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  • 1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL SUPERIOR TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I ELECTROMAGNÉTICA ING. JORGE FLORES MACÍAS ( ING. ALBERTO TAMA FRANCO ( ) ING. FERNANDO VÁSQUEZ VERA ( ) TERCERA EVALUACIÓN Alumno: ) Fecha: mart 25 de febrero del 2014 martes ________________________________________________________________________________ Resumen de Calificaciones Estudiante Examen Deberes Lecciones Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC FIEC-ESPOL – 2013 – 2S 20 Total Tercera Evaluación
  • 2. Primer Tema (35%): Un hilo conductor es doblado dándole la forma que se muestra en la siguiente figura. Por algún método se le suministra carga eléctrica de valor Q; la misma que se distribuye uniformemente en toda su longitud. Determínese la magnitud, dirección y el sentido del vector intensidad de campo eléctrico en el punto de estudio M , localizado en el centro común de sus curvaturas. M µy a M µx µz b E3 a E2 E4 b E1 ET ( M ) = E1 ( M ) + E2 ( M ) + E3 ( M ) + E4 ( M ) ⇒ E2 ( M ) = − E4 ( M ) ET ( M ) = E1 ( M ) + E3 ( M ) Para la determinación de los campos eléctricos 1 y 3, procederemos a determinar la magnitud, dirección y el sentido del vector intensidad de campo eléctrico en el punto de estudio M , producido por un hilo conductor doblado en forma de un arco circular de radio a y subtendido por un ángulo α , tal como se aprecia en la siguiente figura; al cual, por algún método, se le suministra carga eléctrica; la misma que se distribuye uniformemente en su longitud, asociándosele una densidad lineal de carga λ. µy dq ↔ dS µz M θ dE ( M ) = k dq ( cosθ µ x − senθ µ y ) a2 dS = adθ α dE ( M ) a λ ⇒ µx ⇒ dE ( M ) = k dE ( M ) = k λ dS a2 ( cosθ µ adθ ( cosθ µ x − senθ µ y ) a2 Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2013 – 2S x − senθ µ y )
  • 3. dE ( M ) = kλ ( cosθ dθ µ x − senθ dθ µ y ) a θ =α /2 E (M ) = θ =α /2 kλ ( cosθ dθ µ x − senθ dθ µ y ) = kaλ ( senθ µ x + cosθ dθ µ y ) θ =−α / 2 ∫ a θ =−α /2 E (M ) = kλ  α   2 sen µ x  a  2  E (M ) = λ α sen µ x 2πε 0 a 2 De esta manera, aplicaremos la expresión determinada anteriormente, con lo cual se obtiene lo siguiente: E1 ( M ) = λ π sen (−µ y ) 2πε 0 a 2 ⇒ E1 ( M ) = λ (−µ y ) 2πε 0 a λ π sen µ y 2πε 0b 2 ⇒ E3 ( M ) = λ µy 2πε 0b E3 ( M ) = Para encontrar de la densidad lineal de carga eléctrica, se procederá a obtener la longitud total del hilo conductor, es decir: l = l1 + l2 + l3 + l4 = π a + ( b − a ) + π b + ( b − a ) l = π ( a + b) + 2 (b − a ) λ= Q l ⇒ ET ( M ) = E1 ( M ) + E3 ( M ) ET ( M ) = λ= Q π ( a + b) + 2 (b − a ) ⇒ ET ( M ) = λ b−a   (−µ y ) 2πε 0  ab  Q (b − a ) 2πε 0 ab π ( a + b ) + 2 ( b − a )    (−µ ) Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2013 – 2S y
  • 4. Segundo Tema (30%) (30%): Para el circuito magnético mostrado en la siguiente figura, cuyo núcleo ha sido construido de Hierro Armco, determinar el flujo magnético en cada rama. Armco, Considerar que las longitudes medias son: l1 = l3 = 25 [ cm] , l2 = 10 [cm ] y que: A1 = A2 = A3 = 5 cm 2  . Explique claramente el procedimiento a seguir (el abore flujo (elabore   de pasos). Procedimiento a seguir: 1) A partir del circuito magnético dado, se deberá obtener el circuito eléctrico análogo; obtener para lo cual, a cada sección o tramo del mencionado circuito magnético, se le asignará la respectiva reluctancia, pero solo para referenciar e identificar las “caídas de potencial pero caídas magnético” ”. A cada solenoide o bobina dada, se le debe asociar su fuerza magnetomotriz o magnetomotanza, atribuyéndose un sentido de acuerdo con la regla de la mano derecha. El flujo magnético tiene el mismo sentido de la magnetomotanza que predomine y salvo magnético que se indique lo contrario, se asumirá que dicho flujo estará confinado a la estructura del referido circuito magnético, caso contrario, existirá dispersión de flujo magnético. Φ1 a Φ3 Φ2 ℜ1 ℜ2 ℜ3 NI = 250 b Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC FIEC-ESPOL – 2013 – 2S 20
  • 5. 2) Para resolver este tipo de problemas, se aplicarán un conjunto de relaciones y simultáneamente con lo expresado, se utilizarán a) la Ley de Ampère Generalizada Aproximada (LAGA) misma que es obtenida a partir de la Ley de Ampère Generalizada en su forma Integral (LAGI) y una de las Leyes de Kirchhoff para Circuitos Magnéticos (para el presente caso: en el nodo a ); es decir: ∫ c ( LAGI ) H ⋅ dl = NI → ∑H l k k = NI ( LAGA ) k B vs H Φ k = Bk Ak Bk ↔ H k ∑Φ ( interpolación ) k =0 k ∑H l k k = NI ⇒ k  H1l1 + H 2l2 = NI   H 2l2 − H 3l3 = 0 0.25 H1 + 0.10 H 2 = 250  0.10 H 2 − 0.25 H 3 = 0 ⇒ Donde finalmente se obtienen las siguientes relaciones: H 2 = 2,500 − 2.5 H1 H3 = 1 2 H2 5 2 Al aplicar la Ley de Kirchhoff para Circuitos Magnéticos en el nodo a , se tiene que: Φ1 = Φ 2 + Φ 3 Además se conoce que: A1 = A2 = A3 = A Φ1 = Φ 2 + Φ3 ⇒ B1 A1 = B2 A2 + B3 A3 ⇒ B1 A = B2 A + B3 A B1 = B2 + B3 3) Se procederá a asignar valores arbitrarios a H1 ; para con ellos, reemplazarlos en la ecuación 1 y así obtener los valores correspondientes a H 2 . Luego, reemplazarlos en la ecuación 2 y así obtener los valores correspondientes a H 3 . De esta manera, y por interpolación (en la Curva de Magnetización del Hierro Armco), se obtendrán los valores respectivos a B1 , B2 y B3 , operación que deberá llevarse a cabo hasta que se cumpla la relación . H1 H2 1 H3 2 B1 (curva) B2 (curva) 500 600 700 800 840 860 1,250 1,000 750 500 400 350 500 400 300 200 160 140 1.111 1.200 1.273 1.333 1.355 1.365 1.515 1.429 1.304 1.111 1.000 0.933 1.111 1.000 0.857 0.667 0.571 0.519 0.423 0.494 0.589 0.750 0.862 0.940 872 320 128 1.371 0.889 0.485 0.998 874 880 315 300 126 120 1.372 1.375 0.881 0.857 0.479 0.462 1.009 1.043 Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2013 – 2S B3 (curva) B1 / ( B2 + B3 )
  • 6. CURVA DE MAGNETIZACIÓN HIERRO ARMCO 1.40 1.333 1.200 1.111 1.20 B (T) 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 0 200 400 600 800 1,000 1,200 H (Amp/m) Solo para evitar confusión, en la gráfica anterior, que corresponde a la Curva de Magnetización del Hierro Armco, se han esquematizado 3 de los 9 valores que se han interpolado. De igual manera, como se puede apreciar de la tabulación anterior, se ha enmarcado el conjunto de valores que más se aproxima a satisfacer la relación . De lo cual se procederá a obtener los los flujos en cada una de las ramas; es decir: B1 = 1.371 [T ] → Φ1 = B1 A1 ⇒ Φ1 = 1.371( 5 ×10−4 ) B2 = 0.889 [T ] → Φ 2 = B2 A2 ⇒ Φ 2 = 0.889 ( 5 ×10−4 ) B3 = 0.485 [T ] → Φ3 = B3 A3 ⇒ Φ3 = 0.485 ( 5 ×10−4 ) Φ1 = 685.5 [ µWb] Φ 2 = 444.5 [ µWb] Φ3 = 242.5 [ µWb] Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2013 – 2S
  • 7. Tercer Tema (35%): Dos conductores paralelos transportan una corriente i ( t ) = I m sen ωt con las direcciones indicadas en la siguiente figura. a) Calcular la amplitud máxima de voltaje inducido en una bobina rectangular de N espiras que se encuentra en el plano formado por los dos conductores paralelos. b) Determinar la inductancia mutua entre los conductores paralelos y la bobina rectangular. i ( t ) = I m sen ωt 1 a b r Σ → dr B1 ( P ) dS = l dr V B2 ( P ) l c i ( t ) = I m sen ωt 2 Para dar solución al presente problema, se denominará al conductor superior y al conductor inferior. Con la finalidad de poder determinar la fuerza electromotriz inducida en la bobina rectangular de N espiras; y, la inductancia mutua entre aquella y los conductores paralelos, se procederá a aplicar el siguiente flujograma: i (t ) → B ( P ) → Φ → E → M → B1 ( P ) = µ0i ( t ) 2π r B ( P ) = B1 ( P ) + B2 ( P ) B2 ( P ) = → ⇒ B ( P) = µ0i ( t ) 2π ( d − r ) µ0i ( t ) µ0i ( t ) + 2π r 2π ( d − r ) Φ = ∫ B ⋅ dS = ∫ B dS cos 0o Σ  µ i (t ) µ0i ( t )  Φ (Σ) = ∫  0 +  dS 2π r 2π ( d − r )  Σ Σ ⇒ µ0i ( t ) r = a +b  1 1  Φ (Σ) = +   ldr 2π r ∫a  2π r ( d − r )  = µ0i ( t ) r = a + b  1 1  Φ (Σ) =  +  ldr 2π r ∫a  r ( d − r )  = Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2013 – 2S
  • 8. r = a +b µ0i ( t ) l r = a + b  1 µ0i ( t ) l 1  Φ (Σ) = ln r − ln ( d − r )   +  dr =  ∫ r (d − r ) 2π 2π  r =a   r =a Φ (Σ) = µ0i ( t ) l  a + b d − a −b ln a − ln d − a  2π   Φ (Σ) = µ0 i ( t ) l  a + b d −a  ln a + ln d − a − b  2π   Siendo d = a + b + c , se tiene entonces que: Φ (Σ) = E = −N dΦ dt ⇒ E =− E =− µ0 i ( t ) l  a + b b+c ln + ln 2π  a c    E = −N µ0 Nl  a + b b + c  di ( t ) + ln  ln  2π  a c  dt µ0 Nlω I m  a + b b+c + ln  ln  cos ωt 2π a c   Emáx = µ0 Nlω I m  a + b b+c + ln  ln  2π a c   Emáx = N µ0lω I m  ( a + b )( b + c )  ln   2π ac   E = −N − d  µ0 i ( t ) l  a + b b + c  + ln   ln  dt  2π  a c  dΦ di = −M dt dt di ( t ) µ0 Nl  a + b b + c  di ( t ) + ln = −M  ln  2π  a c  dt dt M= µ0 Nl  a + b b+c + ln  ln  a c  2π  M= µ0 Nl  ( a + b )( b + c )  ln   2π ac   Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2013 – 2S