TE1-TE-2010-2S

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Solución de la Tercera Evaluación de Teoría Electromagnética I - 2010 - 2S
FIEC - ESPOL

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TE1-TE-2010-2S

  1. 1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITO SCUELA POLITÉCNICA LITORAL TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I ELECTROMAGNÉTICA ING. CARLOS DEL POZO C. ( ) ING. JORGE FLORES MACÍAS ( ) ING. ALBERTO TAMA FRANCO ( )TERCER EVALUACIÓNTERCERA Fecha: martes 15 de febrero del 2011 esAlumno: ________________________________________________________________________________ Resumen de Calificaciones Total Tercer Tercera Estudiante Examen Deberes Lecciones Evaluación Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 20 – 2S FIEC 2010
  2. 2. Primer Tema:Un cable coaxial de radio interior “a” y radio exterior “2a”, tiene el espacio entreconductores lleno con un dieléctrico cuya permitividad ε ( r ) es una función de la distancia“r” medida desde el eje central del cable. Si el valor de la permitividad del dieléctrico encontacto con el conductor interior es ε 1 , determinar:1) La función de la permitividad ε ( r ) para que el campo eléctrico sea constante en todoslos puntos. 2) La capacitancia por unidad de longitud del sistema. Vamos a asumir que al cable coaxial lo someteremos a una diferencia de potencial Vo , donde la placa de radio a será más positiva que la placa de radio b , con lo cual se tendrá lo siguiente: b ∫ D ( a < r ≤ b ) ⋅ dS = Q ⊗→ NETA (Σ a < r ≤ b) a D ( a < r ≤ b ) 2π rl = Q ( r = a ) r b = 2a Q (r = a) ε (r = a) = ε1 D (a < r ≤ b) = ε (r ) 2π rl Q (r = a) Q (r = a) D (a < r ≤ b) = µr ⇒ E (a < r ≤ b) = µr 2π rl 2π rlε ( r ) Del enunciado del problema, se puede concluir que: E ( a < r ≤ b ) = E ( a < r ≤ b ) r =a Q (r = a) Q (r = a) Q (r = a) Q (r = a) = ⇒ = 2π rlε (r ) 2π rlε (r ) r = a 2π rlε (r ) 2π rlε1 a rε ( r ) = aε1 ⇒ ε (r ) = ε1 r Q (r = a) E (a < r ≤ b) = µr 2π alε1 a a Q (r = a) Vo = − ∫ E ( a < r ≤ b ) dl cos 180o = − ∫ ( −dr ) cos 180o b b 2π alε1 Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2010 – 2S
  3. 3. a Q (r = a) Q (r = a) Q (r = a) Q (r = a)Vo = − ∫ dr = − (a − b) = (b − a ) = ( 2a − a ) b 2π aε1 2π aε1 2π aε1 2π aε1 a Q (r = a) Q (r = a) Vo = ⇒ Vo = 2π l a ε1 2π lε1 Q (r = a) Csist = ⇒ Csist = 2πε1l Vo Csist = 2πε1 l Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2010 – 2S
  4. 4. Segundo Tema:Un núcleo toroidal, de sección transversal 2 cm2 y cuya longitud promedio lm = 0.5 m, eshecho de un material ferromagnético cuya curva de magnetización satisface la relación: 2H m Bm = , H >0 ( 400 + H m ) mDonde: Bm ≡ Densidad de flujo magnético del material ferromagnético. H m ≡ Intensidad de campo magnético del material ferromagnético.Sobre este núcleo, se enrolla una bobina de N = 200 espiras, la misma que transporta unacorriente eléctrica de intensidad I = 2 [A]. Considerando la existencia de un entrehierro delongitud media lo= 1 mm, determinar la densidad de flujo magnético Bo en el entrehierro y elflujo magnético Φ . Φ Φ I ℜm N l0 , A0 NI = 400 ℜo lm , Am ∑H K l = NI K K ⇒ H 0 l 0 + H m l m = NI A partir del circuito eléctrico análogo, se puede concluir que: Φ = Φm = Φ0 ⇒ Bm Am = B0 A0 Como no existe dispersión: A0 = Am ⇒ B0 = Bm , por lo cual: B0 Bm l 0 + H m l m = 400 ⇒ l 0 + H m l m = 400 µ0 µ0 µ0 µ0 Bm = 400 − H ml m ⇒ Bm = 0.5026 − 0.628 x10 −3 H m l0 l0En base a la información técnica del problema, la ecuación anteriormente indicadarepresenta la curva de operación característica del presente circuito magnético; la mismaque al igualarla o graficarla en conjunción con la curva de magnetización del núcleoferromagnético, nos generará el punto de operación de dicho circuito magnético. Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2010 – 2S
  5. 5. Primera Metodología – Analítica.-Reemplazando la expresión de la curva de magnetización en la curva característica delcircuito, se tiene: (0.5026 − 0.628 x10 −3 ) H m (400 + H m ) = 2 H m 2 0.628x10 −3 H m + 1.7486H m − 201.04 = 0 Las soluciones de la ecuación cuadrática anteriormente indicada son las siguientes: H m1 = 110.58 y H m 2 = −2,894.98 (inadmisible) De lo cual y partir de que H m1 = 110.58 , se obtiene que Bm1 = 0.433 [T ] , y como: Bm = B0 ⇒ B0 = 0.433 [T ] En virtud de que: Φ = Φ m = Φ o , se tiene entonces que: Φ = B0 Ao = 0.433x 2 x10−4 [Wb] ⇒ Φ = 0.866 x10−4 [Wb] Segunda Metodología – Gráfica.-La intersección de la curva de característica del presente circuito magnético con la curvade magnetización del núcleo ferromagnético, nos generará el punto de operación dedicho circuito magnético. A partir del cual, se determina el flujo magnético y con esto seobtiene la misma respuesta que con la metodología anterior. 1.40 Curva de 1.20 magnetización 1.00 B (T) 0.80 Recta operacional del 0.60 circuito magnético Bm = Bo = 0.433 0.40 0.20 0.00 0 200 400 600 800 1,000 1,200 H (Amp/m) Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2010 – 2S
  6. 6. Tercer Tema:Un rayo electrónico cilíndrico de radio “a” y de longitud infinita, que se encuentra centradosobre el eje “Z”, conduce una corriente eléctrica distribuida uniformemente en su volumen,con una densidad J = J o µ z , tal como se muestra en la figura. Determine e encuentra enuna región en la que existe un campo magnético con densidad B, gira alrededor del punto“P” con velocidad angular ω , tal como se muestra en la siguiente figura.Determine el flujo magnético sobre el lazo cuadrado de lado “2a”, considerando que elmismo se encuentra contenido en el plano “YZ”. z Vista superior del a rayo electrónico J a /2 y y Σ J xx ∫B c ( r ≤a ) .dl = µ0 I Neta ( r ≤a ) = µ0 J π r 2 = µ0 J 0π r 2 µ0 J 0 r | B (r ≤ a ) | 2π r = µ0 J 0 r 2 ⇒ | B (r ≤ a ) |= 2 ∫B c (r >a ) .dl = µ0 I Neta ( r >a ) = µ0 | J | π a 2 = µ0 J 0π a 2 µ0 J 0 a 2 | B (r > a ) | 2π r = µ 0 J 0 a 2 ⇒ | B (r > a ) |= 2rEn el presente problema, existen tres flujos: el primero de ellos, corresponde a laintegración entre 0 y a/2; el segundo de ellos, corresponde a la integración entre 0 y a,en ambos flujos se utilizaría la densidad de campo magnético para cuando r ≤ a . Eltercer flujo magnético, corresponde a la integración entre a y (3/2)a, pero en cambio,para éste flujo, se utiliza la expresión de la densidad de campo magnético para cuando r > a . De estos tres flujos, el primero tendría el signo contrario a los dos últimos. Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2010 – 2S
  7. 7. Sin embargo, y debido a que la densidad de corriente eléctrica es constante, entonces elprimer flujo se eliminaría con parte del segundo flujo integrado en un rango similar. Porlo tanto, el flujo total requerido sería entonces: ΦTOTAL ( Σ ) = ∫ B ( r ≤ a ) ⋅ dS + ∫ B ( r > a ) ⋅ dS Σ Σ a ( 3/2 ) a ΦTOTAL ( Σ ) = ∫ B (r ≤ a) a /2 2a dr + ∫ a B ( r > a ) 2a dr a (3/2) a dr ΦTOTAL ( Σ ) = µ0 J 0 a ∫ a /2 rdr + µ0 J 0 a 3 ∫ a r 3 3 ΦTOTAL ( Σ ) = µ0 J 0 a 3  + ln  8 2 Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2010 – 2S

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