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TE1-PE-2014-1S TE1-PE-2014-1S Document Transcript

  • Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I ING. JORGE FLORES MACÍAS ( ) ING. ALBERTO TAMA FRANCO ( ) PRIMERA EVALUACIÓN Fecha: martes 1º. de julio del 2014 Alumno: ________________________________________________________________________________ Resumen de Calificaciones Estudiante Examen Deberes Lecciones Total Primera Evaluación
  • Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S Primer Tema: Tal como se muestra en la siguiente figura, el espacio entre los conductores de un capacitor cilíndrico coxial, de radio interior a y exterior b , donde b a> , se encuentra ocupado por poliestireno (material dieléctrico), cuya permitividad absoluta y fortaleza dieléctrica se especifican en la tabla que se muestra a continuación. a) Determinar el valor de a que permita obtener el máximo voltaje 0V a ser aplicado. b) Obtener el máximo voltaje 0V (voltaje de ruptura) que puede soportar el mencionado capacitor antes de que se produzca el daño al dieléctrico del mismo. c) Esquematizar el comportamiento del voltaje 0V versus el radio a . b oV ε ( )a r b< ≤D a Dieléctrico Permitividad ε [ ]02.56 /F mε Fortaleza dieléctrica [ ]20 /K MV m= [ ]? 7a b mm= = ( ) ( )a r b d Q r a → < ≤ ⋅ = =∫⊙ D S ( ) ( )2a r b rl Q r aπ< ≤ = =D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a r bQ r a Q r a a r b a r b rl rlπ ε πε < ≤= = < ≤ = ⇒ < ≤ = = D D E ( ) ( ) ( )180 180 2 a a o o o b b Q r a V a r b d cos dr cos rlπε = = − < ≤ = − −∫ ∫E l ( ) ( ) ( ) ( )180 / 2 2 a o o b Q r a Q r a V dr cos ln b a rl lπε πε = = = − − =∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 / 2 / o o Q r a lV V ln b a Q r a l ln b a πε πε = = ⇒ = = ( ) ( ) 2 2 l Q r a a r b rl πε πε = < ≤ = =E ( )/ 2 oV ln b a lπε r ( ) ( )/ oV a r b r ln b a < ≤ =E
  • El valor máximo de campo menor, es decir en a mm El valor máximo de campo menor, es decir en [a mm 0.063 0.125 0.250 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 2.571 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000 5.500 6.000 6.500 7.000 El valor máximo de campo menor, es decir en a mm 0.063 0.125 0.250 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 2.571 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000 5.500 6.000 6.500 7.000 El valor máximo de campo menor, es decir en ]a mm 0.063 0.125 0.250 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 2.571 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000 5.500 6.000 6.500 7.000 El valor máximo de campo menor, es decir en V aK ln b a V aK V kV El valor máximo de campo menor, es decir en E a) 0 0 0máx máx máxV aK ln b a V aK V kV 0V kV 5.898 10.063 16.661 26.391 38.918 46.213 50.111 51.481 51.503 50.838 48.520 44.769 39.765 33.647 26.528 18.498 9.634 0.000 El valor máximo de campo menor, es decir en (a r b K k V aK ln b aE dV da da a) a b e b a b a mm b) 0 0 0máx máx máxV aK ln b a V aK V kV= [0V kV 5.898 10.063 16.661 26.391 38.918 46.213 50.111 51.481 51.503 50.838 48.520 44.769 39.765 33.647 26.528 18.498 9.634 0.000 El valor máximo de campo menor, es decir en r a a r b K k V aK ln b a< ≤ = = = 0dV da da a b e b a b a mm= = b) 0 0 0máx máx máxV aK ln b a V aK V kV= ]V kV 5.898 10.063 16.661 26.391 38.918 46.213 50.111 51.481 51.503 50.838 48.520 44.769 39.765 33.647 26.528 18.498 9.634 0.000 El valor máximo de campo r a= a r b K k V aK ln b a< ≤ = = = 0dV da da = = / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm= = El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV= ]V kV 10.063 16.661 26.391 38.918 46.213 50.111 51.481 51.503 50.838 48.520 44.769 39.765 33.647 26.528 18.498 Profesor El valor máximo de campo r a= , por lo tanto: )a r b K k V aK ln b a< ≤ = = = d da da = = K ln b a ln b a / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm= = El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV Profesor El valor máximo de campo eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el r a , por lo tanto: )máx a r b K k V aK ln b a< ≤ = = = d aK ln b a K ln b a da da = =       K ln b a ln b a   / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm= = El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: (0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV Profesor eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el , por lo tanto: máx a r b K k V aK ln b a< ≤ = = = / 0 / 1 0aK ln b a K ln b a= =       (K ln b a ln b a   / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: )0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV Ing. Profesor de la Materia FIEC eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el , por lo tanto: a r b K k V aK ln b a< ≤ = = = V V a aK ln b a / 0 / 1 0aK ln b a K ln b a= =       ( / 1 0 / 1K ln b a ln b a   / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: )0 0 0/ 51.5máx máx máxa b e V aK ln b a V aK V kV= Ing. de la Materia FIEC eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el , por lo tanto: a r b K k V aK ln b a< ≤ = = = 0V V a aK ln b a= = ( / 0 / 1 0aK ln b a K ln b a= =       )/ 1 0 / 1K ln b a ln b a− =   / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ / 51.5máx máx máxa b e V aK ln b a V aK V kV= Ing. Alberto Tama Franco de la Materia FIEC-ESPOL eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el , por lo tanto: / a r b K k V aK ln b a a ln b a < ≤ = = = ruptV V a aK ln b a= = )/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a= =       / 1 0 / 1K ln b a ln b a− =   / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm⇒ El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ 51.5máx máx máxa b e V aK ln b a V aK V kV Alberto Tama Franco de la Materia ESPOL eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el ( / OV a r b K k V aK ln b a a ln b a < ≤ = = = ruptV V a aK ln b a= = )/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a= =       / 1 0 / 1K ln b a ln b a− =   / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm⇒ El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV⇒ Alberto Tama Franco de la Materia Teoría Electromagnética I ESPOL eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el / OV a r b K k V aK ln b a a ln b a < ≤ = = = ( )ruptV V a aK ln b a= = / 0 / 1 0aK ln b a K ln b a= =       / 1 0 / 1K ln b a ln b a− = / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV⇒ Alberto Tama Franco Teoría Electromagnética I ESPOL – 20 eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el )/ a r b K k V aK ln b a a ln b a < ≤ = = = )V V a aK ln b a= = / 0 / 1 0aK ln b a K ln b a       / 1 0 / 1K ln b a ln b a⇒ / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm= El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV Alberto Tama Franco Teoría Electromagnética I 2014 eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el a r b K k V aK ln b a< ≤ = = = V V a aK ln b a= = / 0 / 1 0aK ln b a K ln b a⇒       / 1 0 / 1K ln b a ln b a⇒ / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm= El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV Alberto Tama Franco Teoría Electromagnética I 14 – eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el /a r b K k V aK ln b a< ≤ = = = /V V a aK ln b a / 0 / 1 0aK ln b a K ln b a⇒       / 1 0 / 1K ln b a ln b a⇒ / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV= Alberto Tama Franco Teoría Electromagnética I 1S eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el /a r b K k V aK ln b a⇒ ( /V V a aK ln b a / 0 / 1 0aK ln b a K ln b a       (/ 1 0 / 1K ln b a ln b a / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV= Alberto Tama Franco Teoría Electromagnética I eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el /a r b K k V aK ln b a⇒ /V V a aK ln b a / 0 / 1 0aK ln b a K ln b a       (/ 1 0 / 1K ln b a ln b a / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV Teoría Electromagnética I eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el /a r b K k V aK ln b a )/V V a aK ln b a (/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a       )/ 1 0 / 1K ln b a ln b a / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm⇒ El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV⇒ Teoría Electromagnética I eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el /oa r b K k V aK ln b a= / 0 / 1 0aK ln b a K ln b a       / 1 0 / 1K ln b a ln b a = / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm⇒ El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV⇒ Teoría Electromagnética I eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el /a r b K k V aK ln b a= )/ 0 / 1 0aK ln b a K ln b a − =       / 1 0 / 1= / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm= El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el /a r b K k V aK ln b a / 0 / 1 0− =       / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm= El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: 0 0 0/ 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el ( /a r b K k V aK ln b a / 0 / 1 0− =       / 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm= El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: / 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV= eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el ( /a r b K k V aK ln b a / 0 / 1 0− = [/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: / 51.5máx máx máxV aK ln b a V aK V kV= eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el )/a r b K k V aK ln b a [/ 0.3679 36.79% 2.57a b e b a b a mm El máximo voltaje de ruptura del cable estaría dado por: / 51.5V aK ln b a V aK V kV eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el a r b K k V aK ln b a ]a b e b a b a mm [/ 51.5V aK ln b a V aK V kV eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el [/ 51.5V aK ln b a V aK V kV eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el ]V aK ln b a V aK V kV eléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es eleléctrico en el cable coaxial, se produce cuando el radio es el View slide
  • Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S Segundo Tema: En el espacio vacío, considere la existencia de tres conductores esféricos concéntricos, tal como se muestra en la siguiente figura. Asuma que las cargas eléctricas, contenidas en la esfera de radio a y en la concha esférica externa, de radio interior d y exterior e , tienen un valor de 1Q y 3Q , respectivamente; y que sus respectivos potenciales son iguales; es decir que 1 3V V= . Bajo estas circunstancias: a) Determinar la carga eléctrica 2Q de la concha esférica interior; es decir, de la concha esférica de radio interior b y exterior c . b) Hallar el potencial eléctrico 1V de la esfera de radio a . c) Encontrar el potencial eléctrico 2V de la concha esférica interior; es decir, de la concha esférica de radio interior b y exterior c . [ ]30a mm= [ ]50b mm= [ ]60c mm= [ ]90d mm= [ ]100e mm= [ ]1 2Q nC= [ ]3 2Q nC= − 1 3V V= 2 1 2? ? ?Q V V= = = ( ) 0r a≤ =E ( ) 1 2 04 Q a r b rπε < ≤ =E ( ) 0b r c< ≤ =E ( ) 1 2 2 04 Q Q c r d rπε + < ≤ =E ( ) 0d r e< ≤ =E ( ) 1 2 3 2 04 Q Q Q r e rπε + + > =E dϕ ϕ + + − − − = − ⋅∫E l ( ) ( ) ( )1 3 0 c b a d c b V V c r d d b r c d a r b d− = = − < ≤ ⋅ − < ≤ ⋅ − < ≤ ⋅∫ ∫ ∫E l E l E l ( ) ( )0 180 180 c b o o d c c r d d cos b r c d cos= − < ≤ − < ≤∫ ∫E l E l b c d a e View slide
  • Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S ( ) ( ) ( ) ( )0 180 180 c b o o d c c r d dr cos b r c dr cos= − < ≤ − − < ≤ −∫ ∫E E 1 2 1 1 2 1 2 2 0 0 0 0 1 1 0 4 4 4 4 c ac b d bd c Q Q Q Q Q Q dr dr r r r rπε πε πε πε + + = − − = +∫ ∫ 1 2 1 0 0 0 4 4 Q Q Qd c b a cd abπε πε + − −    = +        ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]2 1 2 60 90 50 30 1 2 1 30 50 90 60 cd b a Q Q Q nC ab d c    − × − = − + ⇒ = − +    − × −    ( ) [ ] [ ]2 22 1 2.4 6.8Q nC Q nC= − + ⇒ = − ( ) ( ) ( ) ( )1 3 180 180 e o o e e V V r e d r e d cos r e dr cos ∞ ∞ ∞ = = − > ⋅ = − > = − >∫ ∫ ∫E l E l E 1 2 3 1 2 3 1 3 2 0 0 1 4 4e e Q Q Q Q Q Q V V dr r rπε πε ∞∞ + + + +   = = = −    ∫ ( ) 9 91 2 3 1 3 1 3 3 0 2 6.8 2 10 9 10 4 100 10 Q Q Q V V V V eπε − − − − ×+ + = = ⇒ = = × × [ ]1 3 612V V V= = − ( ) ( ) ( )2 e d c e d V r e d d r e d c r d d ∞ = − > ⋅ − < ≤ ⋅ − < ≤ ⋅∫ ∫ ∫E l E l E l Como ( )3 e V r e d ∞ = − > ⋅∫E l , entonces se tendría lo siguiente: ( ) ( )2 3 3 180 c c o d d V V c r d d V c r d d cos= − < ≤ ⋅ = − < ≤∫ ∫E l E l ( ) ( ) 1 2 2 3 3 2 0 180 4 c c o d d Q Q V V c r d dr cos V dr rπε + = − < ≤ − = −∫ ∫E 1 2 1 2 2 3 3 0 0 1 1 4 4 c c d d Q Q Q Q V V V r rπε πε + +    = − − = +       
  • Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S 1 2 2 3 04 Q Q d c V V cdπε + −  = +     ( ) ( ) 3 9 9 2 6 90 60 10 612 9 10 2 6.8 10 60 90 10 V − − −  − × = − + × × − ×   × ×  [ ]2 852V V= −
  • Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S Tercer Tema: Un capacitor esférico con electrodos de radios “a” y “b”, donde b>a, es llenado con un dieléctrico no homogéneo cuya permitividad ( )rε es una función de la distancia “r” medida desde el centro del capacitor. Dado que la permitividad sobre el electrodo interno tiene un valor de aε determine entonces: a) ( )rε de tal manera que la intensidad del campo eléctrico sea la misma en todos los puntos. b) Represente el comportamiento de dicha permitividad, graficando ( )r vs rε . c) Obtenga la expresión de la capacitancia de dicho capacitor y las distribuciones de cargas de polarización. b ε ( )a r b< ≤D a ( )a r b< ≤E Para la solución del presente problema, se asumirá que la placa de radio a se encuentra a un potencial eléctrico por encima del potencial eléctrico al que se encuentra la placa de radio b. ( ) ( ) ( )a r b d Q a r b Q r a → < ≤ ⋅ = < ≤ = =∫⊙ D S ( ) ( )2 4a r b r Q r aπ< ≤ = =D ( ) ( ) 2 4 Q r a a r b rπ = < ≤ =D ( ) ( ) ( ) 2 4 a r b Q r a a r b rε πε < ≤ = < ≤ = = D E Para que la intensidad de campo eléctrico sea la misma en todos los puntos, la permitividad del dieléctrico debe tener la siguiente forma 2 ( ) /r k rε = ; y, como además se conoce que ( ) ar aε ε= = , se tendría entonces que 2 ak aε= . A partir de lo cual, la permitividad del dieléctrico no homogéneo, estaría dada por la siguiente expresión: 2 2 ( ) aa r r ε ε = ⇒ ( ) 2 ( ) 4 r a Q r a a r b aπε = < ≤ =E µµµµ ( )rε r a b0 aε 2 2 aa b ε
  • Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S ( ) ( ) ( )2 180 180 4 b a a o o aa b b Q r a d a r b d cos dr cos a ϕ ϕ ϕ πε+ − = − = ∆ = − ⋅ = − < ≤ = − −∫ ∫ ∫E l E l ( ) ( ) ( )2 2 4 4 a a ab Q r a Q r a dr b a a a ϕ πε πε = = ∆ = − = −∫ ( ) 2 4 a SISTEMA SISTEMA Q r a a C C b a πε ϕ = = ⇒ = ∆ − ( ) ( ) ( ) 2 4 a r b Q r a a r b rε πε < ≤ = < ≤ = = D E Asumiendo que se conoce el hecho de que dicho sistema se encuentra a una diferencia de potencial de 0V entre placas, se tendría lo siguiente: ( ) 2 04 aa V Q r a b a πε = = − ( ) 2 0 0 2 2 4 ( ) ( ) ( ) 4 4 a r r r a a a V Q r a Vb aa r b a r b a r b a a b a πε πε πε = −< ≤ = ⇒ < ≤ = ⇒ < ≤ = − E E Eµ µ µµ µ µµ µ µµ µ µ ( ) 2 0 0 02 ( ) ( ) ( ) a r a V a r b r a r b a r b r b a ε ε ε ε   < ≤ = − < ≤ ⇒ < ≤ = −     −  P E P µµµµ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0P ar a r a V r a r a a r b a r b b a σ ε ε= = = = = ⋅ < ≤ = − < ≤ = − − − n P P ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 02 a P r b r b a V r b r b a r b a r b b b a ε σ ε= =   = = = ⋅ < ≤ = + < ≤ = −  −  n P P ( ) ( )P a r b a r bρ < ≤ = −∇ ⋅ < ≤P ( ) ( )2 2 1 1 1 r P r P P sen r r r sen r sen φ θ θ θ θ θ φ ∂∂ ∂ ∇⋅ = + + ∂ ∂ ∂ P ( ) ( ) 2 2 2 0 02 2 2 1 1 a P r a V a r b r P r r r r r r b a ε ρ ε   ∂ ∂ < ≤ = − = − −   ∂ ∂ −   ( ) ( ) 0 02 P V a r b r b a ε ρ < ≤ = −
  • Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2014 – 1S Verificación: Procederemos a determinar el valor de la carga total de polarización en el dieléctrico. Toda vez que las cargas de polarización son cargas ficticias, el valor de la carga total de polarización del dieléctrico debe ser idéntico a cero. Total de polarización Total superficial de polarización Total volumétrica de polarizaciónQ Q Q= + ( ) ( )' "Total de polarización P s P s Sup Vol Q dA dVσ ρ= +∫ ∫ En virtud de que las densidades de carga superficiales de polarización son constantes; es decir, uniformemente distribuidas, se tendría lo siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Total de polarización P Pr a r a r b r b P a r b V Q A A dVσ σ ρ= = = = < ≤ = + + ∫ ( ) 2 2 2 20 0 0 0 0 02 2 4 4 4 b a Total de polarización a a V a V V Q a b r dr b a b b a b a ε ε ε ε π ε π π   = − − + − +  − − −  ∫ ( ) ( )2 2 2 20 0 0 04 4 0Total de polarización V V Q b a b a b a b a πε πε = − − + − = − − ( )0 . . .Total de polarizaciónQ l q q d=