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TE1-TE-2007-1S

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Solución de la Tercera Evaluación de Teoría Electromagnética I - 2007 - 1S …

Solución de la Tercera Evaluación de Teoría Electromagnética I - 2007 - 1S
FIEC - ESPOL

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  • 1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I Profesor: ING. ALBERTO TAMA FRANCO TERCERA EVALUACIÓN Fecha: martes 11 de septiembre del 2007 Alumno: _____________________________________________________________________________ Primer Tema: Dos esferas metálicas de radios “a” y “b” respectivamente, se encuentran conectadas por medio de un alambre conductor delgado, tal como se muestra en la figura. La separación entre ellas, es muy grande comparada con sus dimensiones. Al sistema en conjunto, se le proporciona una carga " Q " , se desea conocer: a) ¿Qué cantidad de carga eléctrica se distribuye sobre cada esfera conductora? b) ¿Cuál es el valor de la capacitancia del sistema? a b Sean Q1 y Q2 las cantidades de carga eléctrica distribuidas sobre las esferas de radios a y b respectivamente, entonces por el Principio de Conservación de Carga Eléctrica, debe cumplirse lo siguiente: Q  Q1  Q2 Debido al alambre conductor delgado, las dos esferas se encuentran al mismo potencial, por lo cual: KQ1 KQ2 a   Q1  Q2 a b b Q1  Q  Q2 a a  Q  Q2  Q2  Q2   1  Q b b  a b Q1  Q y Q2  Q ab ab Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2007 – 1S
  • 2. Para el presente problema, se tendrían en realidad, 2 esferas de radio “a” y “b”, respectivamente, conectadas en paralelo, y cuyo diagrama de conexiones se muestra a continuación: C1 C2 La capacitancia de una esfera de radio “a”, es: C1  4 o a y la capacitancia de una esfera de radio “b”, es: C2  4 ob . Por lo tanto, de acuerdo al esquema anteriormente mostrado, se tendría lo siguiente: CSISTEMA  C1  C2  4 o  a  b  Segundo Tema: Un núcleo toroidal cuya sección transversal es de 2.0 cm 2  de radio y longitud media de   120  cm  , es hecho de un material ferromagnético que tiene una curva inicial de magnetización, tal como se muestra en la figura. Sobre este núcleo, se enrolla una bobina de N  100 espiras , la misma que transporta una corriente eléctrica de intensidad I  10  A . Considerando la existencia de un entrehierro de longitud l 0 = 1 mm, ignorando el flujo de dispersión, y, asumiendo que el núcleo no estuvo magnetizado previamente, determinar la densidad de flujo magnético existente en el entrehierro. Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2007 – 1S
  • 3. El circuito eléctrico análogo sería el siguiente:   Fe NI  1,000 o A partir de lo cual se pude concluir que:  Fe   o    BFe AFe  Bo Ao Como no existe dispersión, entonces: AFe  Ao  BFe  Bo En el presente problema se debe aplicar la Ley de Ampere aproximada, es decir: H l k k k  NI  H Fe lFe  H o lo  NI Pero como solo el aire, en este problema, es homogéneo, se tendría que: Bo BFe H FelFe  lo  NI  H FelFe  lo  NI o o o NI o lFe BFe   H Fe lo lo Al reemplazar valores en la expresión anterior, se obtiene la recta de operación para el circuito magnético en referencia, la misma que está dada por: BFe  1.257  4.7374 x103 H Fe Armando una tabla de valores para obtener BFe vs H Fe circuital  verde  , se obtendría: BFe 1.257 1.02 0.78 0.55 0.43 0.31 0 H Fe 0 50 100 150 175 200 265.33 Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2007 – 1S
  • 4. Recta operacional del  circuito magnético    Punto de operación del circuito magnético De la gráfica, se procede a determinar el punto de intersección  rojo  de la recta operacional del circuito magnético con la curva de magnetización del material, a partir de lo cual se obtiene el punto al que opera dicho circuito magnético, para las condiciones indicadas en el presente problema. Esto es: BFe  Bo  0.37 T  b Tercer Tema: En un campo magnético uniforme B se deja caer una espira rectangular de 200  g  de masa, 1    de resistencia y dimensiones 50  cm  de base y 2  m  de altura, tal como se muestra en la h figura. Note que la parte de los lados verticales dentro del campo son de igual longitud. La espira se acelera hasta alcanzar su velocidad terminal constante de 3  m /seg  . Calcular la magnitud del campo magnético B . B v Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2007 – 1S
  • 5. La premisa fundamental para que se produzca fuerza electromotriz inducida, es que exista movimiento relativo entre el objeto y el campo magnético. Al descender la espira rectangular, se estaría incrementando el área de la misma que está siendo atravesada por el campo magnético B , implicando con ello, un incremento del flujo magnético en el tiempo. Esta variación de flujo en el tiempo, produciría una fuerza electromotriz inducida en la mencionada espira, la misma que al estar cerrada, permitiría la circulación de la correspondiente corriente inducida (Ley de Lenz), cuyo sentido debe ser tal que se oponga a dicho incremento de flujo magnético. En base a lo anteriormente indicado, se concluye que debe circular una corriente inducida I , tal que el campo inducido se encuentre dirigido hacia adentro. Por lo tanto, dicha corriente inducida, deberá circular en sentido horario. Esta corriente, al interactuar con el campo magnético B , produce una fuerza magnética sobre los tramos de la espira que se encuentran inmersos en dicho campo. La fuerza neta sobre los tramos verticales de longitud h es nula por ser de igual magnitud, dirección, pero de sentidos contrarios. Sólo nos interesará determinar la fuerza de origen magnético que actúa sobre el tramo horizontal de longitud b que se encuentra inmerso en la región donde existe el campo B . Por lo cual: Fmag  W  mg E IbB  mg  bB  mg  R Al descender la espira rectangular, en un intervalo de tiempo determinado, recorrerá un espacio arbitrario y , con lo cual existirá una variación del área de esa franja de la espira de dimensiones b  y , es decir: d d d dy E    BA   Bby   Bb   Bbv  dt dt dt dt Al reemplazar en la expresión  en , se tiene lo siguiente: B 2b 2 v 1 mgR  mg  B  R b v Reemplazando en  los valores correspondientes, obtenemos que: 1 200 x103 x9.8 x1 B 50 x102 3 B  1.617 T  Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2007 – 1S
  • 6. Método alternativo de solución: En el presente problema, el objeto se mueve y el campo magnético esta “quieto”, es decir, permanece constante en el tiempo. Por lo tanto, es posible resolver este problema utilizando otra metodología. Sobre los tramos verticales de la espira rectangular, no se produciría fuerza electromotriz inducida, por cuanto el producto punto entre los vectores dl y  v x B  es nulo. Es así, que al analizar el tramo horizontal, de la mencionada espira rectangular, de longitud b , que se encuentra inmerso en la región donde existe un campo magnético B uniformemente distribuido, se tendría lo siguiente: iinducida  I Binducido Einducido B v  E  E   dl   v x B    E   dl v B cos 0o sen90o  Bbv  c c E Bbv I  I , sentido horario R R Debido a la corriente inducida, la espira rectangular, inmersa en un campo magnético B uniformemente distribuido, experimentará una fuerza magnética sobre los tramos que se encuentran inmersos en dicho campo. Sólo nos interesará determinar la fuerza de origen magnético que actúa sobre el tramo horizontal de longitud b que se encuentra inmerso en la región donde existe el campo B . Es decir: Fmag Fmag  W  mg E IbB  mg  bB  mg R B 2b 2 v 1 mgR  mg  B R b v Donde: B  1.617 T  Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2007 – 1S