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TE1-PE-2010-2S

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Solución de la Primera Evaluación de Teoría Electromagnética I - 2010 - 2S …

Solución de la Primera Evaluación de Teoría Electromagnética I - 2010 - 2S
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  • 1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I ING. CARLOS DEL POZO C. ( ) ING. JORGE FLORES MACÍAS ( ) ING. ALBERTO TAMA FRANCO ( )PRIMERA EVALUACIÓN Fecha: martes 07 de diciembre de 2010Alumno: ________________________________________________________________________________ Resumen de Calificaciones Total Primera Estudiante Examen Deberes Lecciones Evaluación Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2010 – 2S
  • 2. Primer Tema:Se tienen dos conductores paralelos de sección transversal muy pequeña e infinitamentelargos, con densidad de carga −λ y +λ respectivamente, separados una distancia D , talcomo se muestra en la figura. Calcular el potencial absoluto en el punto de observación Mubicado a una distancia R de la línea de carga positiva. −λ +λ i M D RProcederemos a determinar la intensidad de campo eléctrico producida por una líneainfinita de carga y el potencial escalar eléctrico con relación a puntos ubicados sobreuna superficie equipotencial cilíndrica de radio ro (referencia). E+ dl +λ E− dl −λ dS dS r1 r2 εo ∫ ⊙→ E + ⋅ dS = QNETA ( Σ ) = Q ⇒ εo ∫ ⊙→ E + dS cos 0 o = Q Q λ λ ε o E + 2π rl = Q ⇒ E+ = = ⇒ E− = 2πε o rl 2πε o r 2πε o r λ λ E+ = µr y E− = (− µ r ) 2πε o r 2πε o r Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2010 – 2S
  • 3. r1 r1 r1 ϕr − ϕr = − ∫ E+ ⋅ dl = − ∫ E + dl cos 180 = − ∫ E+ ( −dr ) cos 180o 1 o o ro ro ro r1 λ λ r  λ r  λ r ϕr − ϕr = − ∫ dr = − ln  1  = ln  o  ⇒ ϕr = ln  o  1 o ro 2πε o r 2πε o  ro  2πε o  r1  1 2πε o  r1  r2 r2 r2 ϕ r − ϕr = − ∫ E − ⋅ dl = − ∫ E− dl cos 180o = − ∫ E− dr cos 180o 2 o ro ro ro r2 λ λ r  λ r  ϕ r − ϕr = ∫ dr = ln  2  ⇒ ϕr = − ln  2  2 o ro 2πε o r 2πε o  ro  2 2πε o  ro  ϕ ( M ) = ϕr + ϕr 1 2 λ r  λ r  ϕ (M ) = ln  o  + ln  2  2πε o  r1  2πε o  r0  λ   ro   r2   λ  r   r   ϕ (M ) = ln   + ln    = ln  o   2   2πε o   r1   ro   2πε o  r1   ro   λ r  ϕ (M ) = ln  2  2πε o  r1 En nuestro caso particular: r1 = R y r2 = D + R , por lo cual se tendría lo siguiente: λ  D+R ϕ (M ) = ln   2πε o  R  Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2010 – 2S
  • 4. Segundo Tema:Un cable coaxial de radio interior a y radio exterior c , tiene en su interior dos dieléctricosde permitividades ε1 y ε 2 = ε1 /2 , tal como se muestra en la figura.a) (20%) Calcular el valor del radio b de separación de los dos dieléctricos, para que la diferencia de potencial en cada dieléctrico sea igual.b) (15%) Calcular la capacitancia por unidad de longitud del cable. Su respuesta no debe quedar expresada en términos del radio b .Para resolver el presente problema, asumiremos que se ha aplicado una diferencia depotencial Vo entre los cilindros del cable coaxial de radio interior a y radio exterior c , aefectos de determinar el campo eléctrico y la diferencia de potencial en cada dieléctrico. Tomando, en primer lugar, una superficie gaussiana que cumpla con la condición de que a < r ≤ b , se tiene que: D2 ( b ∫ ⊙→ D1 (a < r ≤ b) ⋅ dS = QNETA( a < r ≤b ) = Q ( r = a ) <r≤ c c) | D1 ( a < r ≤ b) | 2π rl = Q (r = a ) b ε2 Q(r = a ) ε1 | D1 (a < r ≤ b) |= a 2π rl De la misma manera y tomando una D1 ( a < r ≤ b ) superficie gaussiana que cumpla con la condición de que b < r ≤ c , se tendría que: Q(r = a ) | D2 (b < r ≤ c) |= 2π rlA partir de los cuales se obtendrían las respectivas intensidades de campo eléctrico encada dieléctrico, es decir: Q(r = a ) Q (r = a ) | E1 (a < r ≤ b) |= ⇒ E1 (a < r ≤ b) = µr 2πε1rl 2πε1rl Q( r = a) Q (r = a ) | E2 (b < r ≤ c) |= ⇒ E2 (b < r ≤ c) = µr 2πε 2 rl 2πε 2 rlA continuación, procederemos a determinar las diferencias de potencial en cadadieléctrico: + ϕ+ − ϕ − = ∆ϕ = − ∫ E ⋅ dl − b b ϕb − ϕc = − ∫ E 2 ( b < r ≤ c ) ⋅ dl = − ∫ E2 ( b < r ≤ c ) dl cos 180o c c Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2010 – 2S
  • 5. b b Q (r = a) ϕb − ϕc = ϕbc = − ∫ E 2 ( b < r ≤ c ) ( − dr ) cos 180o = − ∫ dr c c 2πε 2 rl Q (r = a)  c  ϕbc = ln   2πε 2l b a a ϕa − ϕb = − ∫ E1 ( a < r ≤ b ) ⋅ dl = − ∫ E1 ( a < r ≤ b ) dl cos 180o b b a a Q (r = a) ϕa − ϕb = ϕ ab = − ∫ E1 ( a < r ≤ b ) ( −dr ) cos 180o = − ∫ dr b b 2πε 1rl Q (r = a)  b  ϕ ab = ln   2πε1l aSabiendo que ε 2 = ε1 /2 , se requiere determinar el radio b para el cual ϕab = ϕbc , es decir: Q (r = a)  b  Q (r = a)  c  1 b 1 c ln   = ln   ⇒ ln   = ln   2πε1l a 2πε 2l b ε1  a  ε 2  b  2 1 b 2 c b c b c ln   = ln   ⇒ ln   = 2ln   ⇒ ln   = ln   ε1  a  ε1  b  a b a b b c2 = ⇒ b3 = ac 2 ⇒ b = 3 ac 2 a b2 Q (r = a) Q (r = a) Q (r = a) CSISTEMA = = = ∆ϕ ϕ ac ϕ ab + ϕbc Q (r = a) Q (r = a) CSISTEMA = = Q (r = a)  b  Q (r = a)  c  Q (r = a)  b  Q (r = a)  c  ln   + ln   ln   + ln   2πε1l a 2πε 2l b 2πε1l a πε1l b Q (r = a) Q (r = a) CSISTEMA = = Q (r = a)  c  Q (r = a)  c  Q (r = a)  c  Q ( r = a)  c  2ln   + ln   ln   + ln   2πε1l b πε1l b πε1l b πε1l b CSISTEMA πε1 πε1 πε1 πε1 πε1 πε1 = = = = = = l c c 2 b  3 ac 2   ac 2  c 2/3 2ln   ln   ln   ln   ln  3 3  ln   b b a  a    a    a  CSISTEMA 3πε1 = l c 2ln   a Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2010 – 2S
  • 6. Tercer Tema:(35%) En un punto P ( x, y, z ) de una región del espacio, existe un campo eléctricoE = krx µ x + kry µ y + krz µ z , donde k es una constante y r es la distancia del punto Prespecto del origen de coordenadas.Calcular la carga total contenida en el volumen limitado por una superficie esférica de radioR centrada en el origen. Para resolver el presente problema z aplicaremos la Ley de Gauss en su forma diferencial o microscópica (LGD), tomando en consideración que trabajaremos con el sistema de coordenadas rectangulares. P ( x, y , z ) ρ ∂Ex ∂E y ∂Ez ρ ∇⋅E = ⇒ + + = εo ∂x ∂y ∂z ε o r y QTOTAL o kR + kR + kR = ε oVesfera 4 QTOTAL = 3kRε oVesfera = 3kRε o π R 3 3x QTOTAL = 4π kε o R 4 Segunda Metodología: Dominio de sistemas de coordenadas.-Para expresar E = krx µ x + kry µ y + krz µ z de la forma E = Er µ r + Eθ µθ + Eφ µφ ; esdecir, expresarlo de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas, se debeconsiderar los siguientes reemplazos: x = r senθ cosφ y = r senθ senφ z = r cosθ µ x = senθ cosφ µr + cosθ cosφ µθ − senφ µφ µ y = senθ senφ µr + cosθ senφ µθ + cosφ µφ µz = cosθ µr − senθ µθ Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2010 – 2S
  • 7. Er = kr 2 ( sen 2θ cos 2φ + sen 2θ sen 2φ + cos 2θ ) = kr 2 Eθ = kr 2 ( senθ cosθ cos 2φ + senθ cosθ sen 2φ − senθ cosθ ) = 0 Eφ = kr 2 ( − senθ senφ cosφ + senθ senφ cosφ ) = 0 E = kr 2 µ rAl aplicar la Ley de Gauss en su forma integral o macroscópica (LGI), notamos que para lasuperficie gaussiana de radio r = R , el dS que tiene ser perpendicular a la superficiegaussiana y saliendo de la misma, tiene una dirección radial, es decir de la forma dS µr .Por lo cual, y si es que hubieren las componentes Eθ y Eφ del campo eléctrico, solamentela componente Er contribuiría con el flujo eléctrico que atraviesa la superficie gaussiana.Con lo cual se tendría lo siguiente: εo ∫ ⊙→ E .dS = QNETA ( r = R ) ⇒ εo ∫ ⊙→ E dS cos 0o = QNETA ( r = R ) εo E ∫ ⊙→ dS = QNETA ( r ) ⇒ ε o E 4π r 2 = QNETA ( r ) QNETA ( r ) = 4π kε o r 4 QNETA ( r = R ) = 4π kε o R 4 Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2010 – 2S

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