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Solución de la Primera Evaluación de Teoría Electromagnética I - 2006 - 2S

Solución de la Primera Evaluación de Teoría Electromagnética I - 2006 - 2S
FIEC - ESPOL

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TE1-PE-2006-2S Document Transcript

  • 1. ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA I Profesor: ING. ALBERTO TAMA FRANCO PRIMERA EVALUACIÓN Fecha: martes 05 de diciembre del 2006 Alumno: _____________________________________________________________________________ Primer Tema: El espacio entre dos superficies conductoras esféricas concéntricas de radios a y c , está lleno con dos dieléctricos de permitividades 1 y  2 , tal como se muestra en la figura, siendo b el radio de la frontera entre los dos dieléctricos. a) Determine la relación que deben tener ambas permitividades 1 /  2 para que el campo eléctrico máximo que soporte cada dieléctrico sea igual. b) Indique cuál de los dieléctricos es el de mayor permitividad. Tomando, en primer lugar, una superficie gaussiana que cumpla con la condición de que a  r  b , se tiene que:  c D  b  r c    b   D1 (a  r  b)  dS  QNETA a<r b  | D1 (a  r  b) | 4 r 2  Q(r  a ) a 1  Q(r  a ) | D1 (a  r  b) |  4 r 2 2 D  ar b  De la misma manera y tomando una superficie gaussiana que cumpla con la condición de que b  r  c , se tendría que:  Q(r  a ) | D2 (b  r  c) | 4 r 2 A partir de los cuales se obtendrían las respectivas intensidades de campo eléctrico en cada dieléctrico, es decir:  Q(r  a )  Q(r  a ) | E1 (a  r  b) | | E 2 (b  r  c) | 41r 2 4 2 r 2 Los valores máximos de campo eléctrico en cada dieléctrico se producen cuando el radio es mínimo respectivamente, esto es: Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2006 – 2S
  • 2.   Q(r  a)   Q (r  a ) | E1 |máx | E1 ( a  r  b) |r  a  | E2 |máx | E2 (b  r  c) |r b  41a 2 4 2b 2 De acuerdo al enunciado del problema, se debe cumplir que:   Q(r  a ) Q(r  a ) | E1 |máx | E2 |máx   41a 2 4 2b 2 1 b 2  b  2    2 a2  a    Como b  a , se concluye que el material dieléctrico 1 tiene mayor permitividad que el material dieléctrico 2, es decir que 1   2 . Segundo Tema: Si el radio de la Tierra RT  6,378  km  , el radio de la Luna RL  1, 740  km  y la distancia entre la Tierra y la Luna es: d  384, 000  km  . Calcular la capacitancia entre la Tierra y la Luna. RT RL r P Dr  E  E d D Tomando dos superficies esféricas gaussianas, una de ellas, concéntrica con la Tierra y de radio r , la otra, concéntrica con la Luna y de radio D  r , y considerando que el sistema en sí, se encuentra en el espacio vacío, se tendrían la existencia de dos campos eléctricos, es decir:   | E  | QTIERRA y | E | QTIERRA , recordar que aquí se cumple: QLUNA  QTIERRA 4 o r 2 4 o  D  r  2 Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2006 – 2S
  • 3. De acuerdo al principio de superposición, el campo total estará dado por:  QTIERRA QTIERRA | ET |  4 O r 4 O  D  r  2 2 RT            d  RT ET  dl RT Q QTIERRA  RT Q QTIERRA       TIERRA     dr  cos180     TIERRA2  o  dr  4 O r d  RT  2 4 O  D  r   2  4 O r 4 O  D  r  2   d  RT   R R Q  1 1 T Q 1 1 T    TIERRA    r Dr  TIERRA  r D  r  4 O   d  RT 4 O   d  RT QTIERRA  1 1 1 1         4 O  RT d  RT D  RT D  d  RT  De acuerdo al esquema del problema, se aprecia que: D  RT  RL  d , a partir de lo cual se obtiene lo siguiente: QTIERRA  1 1 1 1         4 O  RT d  RT d  RL RL  QTIERRA 4 O CSISTEMA   CSISTEMA    1 1 1 1        RT d  RT d  RL RL  Reemplazando los valores indicados en el enunciado del problema: 4 x 8.85 x1012 CSISTEMA   1 1 1 1      6   6.378 x10 390.378 x10 385.740 x10 1.74 x10  6 6 6 CSISTEMA  1.53x104  F  Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2006 – 2S
  • 4. Tercer Tema: El dieléctrico en un capacitor de placas planas paralelas es no homogéneo. La permitividad varía linealmente desde un valor 1 en la superficie de una de las placas, hasta un valor  2 en la superficie de la otra placa. La distancia entre las placas es “ d ” y su área es “ S ”. Considerar además que cada placa se encuentra cargada con una carga “ Q ”. a) Determine la capacitancia de este capacitor. b) Determine las distribuciones de cargas superficiales de polarización. Y 1 2 X d + V De acuerdo al enunciado del presente problema, la permitividad del dieléctrico no homogéneo, contenido entre las placas del capacitor, cumpliría con la siguiente relación:  2  1  ( x)  x  1 (0  x  d ) d    | E (0  x  d ) |   ( x)   2   1   d x  1                 E . dl  0   d  dx     E ( 0  x  d ). dl      2  1   d x  1  d 0   Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2006 – 2S
  • 5.  d Qd   ln(  2 / 1 )  ln(  2 / 1 )  2  1 S (  2  1 ) Q S ( 2  1 ) CSISTEMA    d ln( 2 / 1 )   P (0  x  d )  (   0 ) E (0  x  d )     1  Q  P (0  x  d )   2 x  1   0  x  d  S   2  1 x     1  d  Q  P ( x  0)  (1   0 ) S 1 Q  P ( x  d )  ( 2   0 ) S 2 Nota del Autor: La solución de este último problema, deberá ser considerada como errata del problema 2.4 del Libro “Problemas de Electromagnetismo”. Dicha corrección será incluida en la Segunda Edición del mencionado Libro. Ing. Alberto Tama Franco Profesor de Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL Ing. Alberto Tama Franco Profesor de la Materia Teoría Electromagnética I FIEC-ESPOL – 2006 – 2S