1. a: Lea Zicchino in copia: Chiara Fornasari
Riccardo Tedeschi Paolo Onofri
Giuseppe Lusignani
Flavio Cocco
Emanuele De Meo
Cosimo Musiello
Pier Luigi Coriazzi
Rita Romeo
Chiara Sabbi
Ugo Speculato
Giacomo Tizzanini
da: Teresa Sardena
Davide Boldarin
nome doc.: Le distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivati (PDFs):
una misura delle aspettative dei mercati
data: 26 novembre 2008
no. doc.: P1961_001_v2
Sommario
1. Introduzione ................................
................................................................................................................................
.............................................................................2
2. Utilizzo delle PDF a fini congiunturali
congiunturali................................................................................................
..........................................................3
3. Metodi di stima ................................
................................................................................................................................
.......................................................................8
4. Contratti “sintetici” ad orizzonte costante ................................................................
.............................................................................. 11
5. I risultati dai nostri modelli di stima ................................................................................................
........................................................... 12
6. Conclusioni................................
................................................................................................................................
.............................................................................. 19
Appendice I: Metodi di stima ................................................................................................
................................................................................ 20
Mistura di log normali ................................................................................................................................
........................................................ 20
Metodo non parametrico: Cubic Smoothing Spline ................................................................
............................................................ 22
Appendice II: Metodi di stima della PDF ad orizzonte costant ................................
costante ......................................................................... 27
Appendice III: Filtri sui dati ................................................................................................................................
.................................................... 29
Bibliografia ................................
................................................................................................................................................................
.................................................... 32
1

2. L’obiettivo di questa nota è di illustrare il lavoro di stima delle funzioni di distribuzione di
probabilità (dette in breve PDF, dall’inglese probability density functions ottenute dai
dette functions),
prezzi delle opzioni su un dato asset sottostante e di spiegare le finalità e il possibile
utilizzo delle PDF per l’analisi congiunturale
analisi congiunturale.
La nota è organizzata come segue: dopo una breve introduzione (sezione 1), si discute
di come le PDF possano essere usate per l’analisi congiunturale dei mercati finanziari
(sezione 2) e si espongono brevemente i due metodi di stima adottati (sezione 3)
ma
illustrando l’importanza di stimare le PDF su contratti sintetici a orizzonte costante oltre
che sui contratti scambiati sui mercati a scadenze prefissate (sezione 4) e infine si
mostrano i primi risultati o
ottenuti sui diversi sottostanti.
1. Introduzione
Negli ultimi anni le banche centrali, i risk manager e gli investitori istituzionali hanno
sviluppato un’intera letteratura sui metodi di estrazione delle PDF dei futuri rendimenti
delle attività finanziarie dai prezzi delle opzioni,, al fine di inferire le aspettative dei
mercati sull’andamento futuro di tassi di interesse, indici azionari, tassi di cambio e prezzi
delle commodity.
L’idea base attorno a cui questa letteratura si è sviluppata è la seguente: mentre gli
indicatori costruiti usand le serie storiche dei rendimenti o prezzi degli asset sono
usando
backward-looking (ad esempio, la volatilità storica dei rendimenti degli indici azionari –
costruita con rolling window – può dare indicazioni sull’evoluzione pass
windows passata
dell’incertezza), indicatori ottenuti da prezzi delle opzioni, incorporan le aspettative sul
dai incorporando
futuro andamento del sottostante possono invece dare informazioni forward-looking (ad
sottostante,
esempio, dalle PDF si può ottenere una stima della volatilità dei rendimenti degli indici
azionari che i mercati si aspettano fra tre mesi, sei mesi, ecc.). Ma come si arriva dai prezzi
delle opzioni alle distribuzioni di probabilità sui prezzi delle attività sottostanti?
L’intuizione è piuttosto semplice: osservando i prezzi delle opzioni che hanno prezzi di
esercizio diversi, ma medesima scadenza, si può inferire la probabilità assegnata dal
mercato ai possibili esiti (in questo caso, livelli) del sottostante sull’orizzonte temporale
ll’orizzonte
futuro corrispondente alla scadenza delle opzioni.
Infatti, le opzioni sono contratti che danno il diritto (ma non l’obbligo) ad acquistare o
e
vendere un sottostante a una certa data futura a un dato prezzo di esercizio pre pre-fissato.
Le opzioni call (put) hanno valore se e solo se vi è una certa probabilità che alla data di
esercizio dell’opzione, il sottostante raggiunga un prezzo maggiore (minore) rispetto al
prezzo di esercizio stesso. Quindi osservando le opzioni call (put) che danno diritto ad
acquistare (vendere) un’azione, a un prefissato momento nel futuro, a diversi prezzi di
esercizio, si può inferire dal prezzo a cui questi contratti sono scambiati, quale sia
l’opinione di mercato sulla possibilità che il prezzo del sottostante salga (scenda) sopra il
prezzo di esercizio.
E’ importante ricordare che le probabilità implicite ottenute dalle opzioni sono
2

3. neutrali al rischio - ossia ipotizzano che gli investitori non richiedano un compenso per il
rischio - poiché i modelli di pricing dei contratti derivati sono a loro volta c
costruiti sotto
l’ipotesi di misure di probabilità neutrali al rischio.
Per comprendere – in modo più formale - come possa essere estratta la PDF dai
prezzi delle opzioni, si consideri una call (europea) con prezzo C al tempo t, basata su un
sottostante con prezzo pari a S. Sia poi K il prezzo di esercizio dell’opzione e T la sua
scadenza futura. Il prezzo dell’opzione call al tempo t, calcolato in base al principio di
valutazione neutrale al rischio è:
e rischio,
∞
C = exp(− r * (T − t )) ⋅ ∫ f ( S T ) ⋅ ( S T − K )dS T ;
K
dove r è il tasso di interesse privo di rischio e f (ST ) indica la funzione di densità
(neutrale a rischio) del prezzo del sottostante alla data di scadenza1. Quindi, la funzione di
densità del sottostante f (ST ) può essere ricostruita dai prezzi delle opzioni a condizione
che sia quotato un numero sufficientemente ampio di opzioni sullo stesso sottostante con
differenti prezzi di esercizio
esercizio.
2. Utilizzo delle PDF a fini congiunturali
Dato che la PDF può essere interpretata come la distribuzione di probabilità
interpretata
aggregata del prezzo del sottostante a una specifica scadenza, le stim ottenute possono
e stime
essere usate a fini congiunturali per analizzare le aspettative de agenti economici
degli
sull’andamento di una partic
particolare classe di sottostanti. Inoltre, poiché la probabilità non è
quella “vera” ma è trasformata per tener conto del rischio, le PDF rifletteranno anche le
dell’economia2.
preferenze degli operatori e il grado di incertezza percepita sulla crescita dell’
Considerando i diversi momenti della distribuzione stimata, possiamo classificare le
erando
indicazioni estraibili dalle PDF in tre diverse categorie:
- central projection l’analisi del momento primo della distribuzione permette di
projection:
valutare quale sia il rendimento atteso da parte dell’investitore, mentre guardando ai
percentili si può valutare la probabilità che il sottostante giaccia a scadenza tra due
dati valori;
- amount of risk: considerando le misure di dispersione della distribuzione, q quali la
deviazione standard, è possibile valutare l’incertezza percepita dagli investitori, che è
una componente importante del rischio;
ponente
- balance of risk:: considerando statistiche di asimmetria della distribuzione, quali
skewness si riesce a inferire a quale direzione dei movimenti del prezzo del
e
1
In maniera analoga si può determinare il prezzo delle opzioni put.
2
Ad esempio, sulla base di un modello di equilibrio generale di asset pricing, come il Consumption
Capital Asset Pricing (C-CAPM), la probabilità neutrale al rischio rifletterà il grado di avversione al rischio
CAPM),
dell’agente rappresentativo e la volatilità d
della crescita della ricchezza aggregata.
3

4. sottostante l’investitore attribuisca maggiore probabilità. Dalla curtosi (ossia
statistiche legate a alle code spesse) si può inferire la probabilità assegnata
dall’investitore a variazioni estreme.
Diversi metodi possono essere usati per presentare e rappresentare l’inf
ssono l’informazione
contenuta nelle PDF.
Il primo, il più semplice e intuitivo, è quello grafico.. Tale metodo è utile per
confrontare:
- due distribuzioni ottenute con la stessa metodologia in due istanti diversi La
diversi.
principale utilità di questo metodo è quello di mettere a fuoco variazioni pronunciate
nella densità o ampi cambiamenti nella dispersione. E’ spesso usato per analizzare
cambiamenti nelle aspettative degli operatori prima e dopo un determinato evento
evento;
- due distribuzioni ottenute con due metodi di stima diversi al medesimo istante
ue
temporale.
In secondo luogo, per valutare come le aspettative sul futuro andamento dei prezzi
dei sottostanti varino nel tempo e quindi, interpretare ex-post e conciliare gli sviluppi
e, post
nell’andamento dei diversi sottostanti è utile stimare e storicizzare le statistiche di sintesi
sottostanti, zare
ossia registrare giornalmente nel database le statistiche delle PDF. All’interno del nostro
framework le statistiche calcolate sono:
e
- media. La media della PDF misura il centro di gravità della PDF. Tale indicatore
edia. gravità
non rappresenta il ”vero” valore atteso del sottostante a una data futura, bensì il
prezzo futuro atteso neutrale al rischio;
- volatilità implicita. La volatilità implicita misura la dispersione della PDF
implicita
attorno alla media. Le nostre procedure non aggiustano la volatilità implicita per il
“time to expiration” e per tanto non forniscono una misura della volatilità
time expiration”
annualizzata;
- skewness. La skew
kewness
ness. skewness fornisce una misura dell’asimmetria della PDF, ossia
misura la probabilità relativa - pesata da una distanza cubica - che il prezzo futuro sia
sopra o sotto la media attesa. Se la PDF presenta una skewness positiva, la coda
destra sarà più grande della coda sinistra e ciò suggerisce che gli agenti del mercato
coda
hanno una view positiva riguardo all’andamento futuro del prezzo del sottostante.
andamento
Per questo si dice che la skweness esprime il “ “directional bias” delle aspettative.
”
- curtosi La curtosi fornisce una misura dello "spessore" di entrambe le code,
urtosi. misura
ovvero il grado di "appiattimento" della PDF. E’ solitamente confrontata con la
curtosi di una distribuzione normale. L’eccesso di curtosi (ossia una distribuzione
lepto-curtica) implica sia un’alta probabilità di eventi estremi sia un centro della
curtica)
distribuzione più “appuntito”. Questi due effetti congiunti si traducono nel fatto che
un aumento dell’eccesso di curtosi sia riconducibile a due distinte e divergenti cause.
Secondo una prima interpretazione, l’aumento della curtosi può derivare dal fatto
che gli agenti si aspettano una variazione futura del prezzo del sottostante piuttosto
ampia e quindi l’aumento nell’eccesso di curtosi implicherebbe un aumento
dell’incertezza nel mercato del sottostante. D’altro canto un aumento della curtosi
D’altro
può indicare, altresì, che gli agenti divengono più sicuri del livello attuale dei prezzi
cosicché la distribuzione diviene “più appuntita” al centro. Al fine di discriminare tra
questi due interpretazioni Nakamura e Shiratsuka (1999) suggeriscono di guardare
Shiratsuka
4

5. contemporaneamente l’eccesso di curtosi e la deviazione standard: l’aumento
congiunto dell’eccesso di curtosi e della deviazione standard può essere
interpretato come un aumento dell’incertezza nel mercato rispetto a variazioni
alle
future estreme del prezzo del sottostante quindi l’effetto delle code spesse è
enfatizzato. Viceversa se la deviazione standard diminuisce mentre aumenta
l’eccesso di curtosi diviene plausibile interpretare questo effetto come un aumento
nel grado di fiducia nella persistenza del livello corrente del sottostante ossia gli
agenti del mercato stanno attribuendo un’alta probabilità a pic piccole variazioni del
sottostante. La tabella sottostante sintetizza questo comportamento e può essere
un utile strumento interpretativo delle fasi di mercato
mento mercato:
Eccesso di curtosi
Aumenta Diminuisce
Ampio rischio di una Ampio rischio di una
Deviazione Standard
Aumenta
variazione di prezzo variazione di prezzo
+ +
Forte aspettativa di un esito Bassa confidenza
estremo sull’attuale livello di prezzo
Basso rischio di una Basso rischio di una
Diminuisce
variazione di prezzo variazione di prezzo
+ +
Forte confidenza sull’attuale Bassa confidenza
livello di prezzo sull’attuale livello di prezzo
Tabella 1: Interpretazione congiunta dell’eccesso di curtosi e della standard deviation
- percentili L’x-esimo percentile indica il punto della distribuzione xq, per il quale
ercentili. -esimo
la somma delle frequenze dei valori minori o uguali a xq è uguale al valore q (espresso
in termini percentuali)3.
Per dare un esempio dei risultati ottenuti, il grafico sottostante mostra l’andamento
nel mese di ottobre delle serie storiche giornaliere della media e della volatilità calcolate
dalle PDF dei prezzi delle opzioni sul tasso di cambio USD/EUR con scadenza ad un mese
ezzi mese,
stimate con il metodo non parametrico .
3
Per completezza abbiamo deciso di stimare dieci diversi percentili (0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55
0.05
0.65 0.75 0.85 0.95),, ma è importante sottolineare che i percentili molto bassi e molto alti (0.05 e 0.95) sono
notevolmente influenzati dalle tecniche di stima e di estrapolazione della PDF, poiché spesso cadono al di
evolmente
fuori dell’insieme supporto dei prezzi di esercizio realmente rilevato. Quindi è preferibile utilizzare i
percentili che cadono all’interno dell’insieme supporto rilevato.
5

6. 0.82 0.30%
Media (asse SN)
0.80 Volatilità (asse DX)
0.78 0.25%
0.76
0.20%
0.74
0.72
0.15%
0.70
0.68
0.10%
0.66
0.64 0.05%
0.62
0.60 0.00%
Grafico 1: Serie storiche delle statistiche Media e Volatilità derivanti dalla PDF dei prezzi delle opzioni sul
tasso di cambio USD/EUR con scadenza ad un mese stimata con il metodo non parametrico (
asso (Cubic-
Smoothing Spline).Source: elaborazione Prometeia su dati Bloomberg
Source:
Un’importante osservazione, da farsi in questa sede, è rilevare come le statistiche di
sintesi dipendano dal modello di stima utilizzato e dalla parametrizzazione del modello
stesso, per tanto non ha senso confrontare segmenti di statistiche di sintesi derivanti da
modelli diversi: le statistiche di sintesi devono quindi essere lette come valori relativi
quindi
confrontabili a parità di modello.
Inoltre le statistiche di sintesi possono risentire degli stessi problemi da cui è affetta
la stima dei momenti campionari: skewness e curtosi possono essere meno stabili nel
tempo quindi la loro attendibilità inferiore rispetto a media e varianza Per questo si
varianza.
suggerisce l’utilizzo di questi indicatori solo avendo a disposizione un campione temporale
sufficientemente profondo.
Le serie storiche delle statistiche di sintesi4 delle distribuzioni implicite potranno poi
tribuzioni
aiutarci a rispondere, ad esempio, alle seguenti domande:
- possiamo costruire degli indicatori di early warning su possibili crisi nei
mercati o viceversa su possibili riprese dei mercati sulla base dell dell’andamento
passato delle statistiche di sintesi A tal proposito è interessante richiamare
elle sintesi?
nuovamente lo studio di Nakamura e Shiratsuka (1999) i quali costruisco un
costruiscono
indicatore di identificazione delle “fasi del mercato” analizzando congiuntamente le
4
Si è elaborata una routine MATLAB che a partire dalla griglia dei prezzi (indipendentemente dal
metodo di stima con cui questa griglia di prezzi è stata ricavata) calcola le statistiche “campionarie”.
6

7. tre statistiche deviazi
deviazione standard, skewness ed eccesso di curtosi. Ad esempio una
fase di crescita del mercato azionario è caratterizzata da due semi semi-fasi successive:
nella prima semi-fase “ripresa del mercato”, si può ravvisare un aumento della
fase,
deviazione standard, congiunto a un aumento dell’eccesso di curtosi e a una marcata
variazione della skewness (diviene negativa e aumenta il suo valore assoluto),
mentre nella seconda semi semi-fase, “recupero della stabilità del mercato” si può
mercato”,
ravvisare una diminuzione della deviazione standard congiuntamente sia a una
deviazione
diminuzione dell’eccesso di curtosi sia al fatto che la skewness diviene meno
negativa.
- le statistiche di sintesi hanno potere previsivo riguardo all’economia reale e/o
finanziaria? Ad esempio la volatilità estratta dalle PDF ha potere previsivo della
estratta
volatilità “realizzata”?
- qual è il legame tra le aspettative di mercato in distinte aree geografiche?
Analizzando i legami di correlazione e di causalità alla Granger5 tra statistiche di
sintesi di diverse aree geografiche si riesce a indagare il legame esistente tra
l’incertezza attesa in Usa e UK. Nel mercato azionario e nei tassi di interesse, invece,
el
si riesce ad analizzare se l’inclinazione della struttura a termin dei tassi abbia
termine
effetti causali sull’incertezza presente nei mercati dei tassi di interesse.
- qual è l’appetito per il rischio di un investitore avverso al rischio in un dato
mercato? Gai and Vause (2006) illustrano come possa essere costruito un indicato
indicatore
di appetito per il rischio da un’elaborazione numerica delle statistiche delle PDF,
elaborazione
basato sulla variazione nel rapporto tra distribuzione di probabilità neutrale al
rischio e la distribuzione di probabilità soggettiva usata dagli investitori nel valuta
valutare
i pay-off attesi di un dato sottostante.
Rispetto ai tradizionali modelli econometrici (di tipo serie storica), il metodo di stima
delle PDF presenta alcuni punti di forza ed è particolarmente adatto a essere usato come
strumento per l’analisi congiunturale dei mercati. In primo luogo, la stima della PDF
congiunturale
permette di ottenere non solo una previsione puntuale del rendimento futuro bensì l’intera
distribuzione dello stesso. Inoltre, tale metodologia non richiede la disponibilità di serie
storiche lunghe per consentire stime accurate e è capace di cogliere repentinamente la
ed
6
variazione nelle aspettative dei mercati In secondo luogo, le PDF sono più adatte a
mercati.
cogliere l’incertezza nei mercati finanziari. Questo perché la forma della distribuzione
perché
dipende dai dati di mercato disponibili lungo i diversi prezzi di esercizio e non dalla
funzione matematica degli errori standard di un modello econometrico. Infine, le PDF sono
costruite sulla base di un numero relativamente limitato di ipotesi imposte dalla teoria o
relativamente
da un modello specifico: per tale motivo la stima della parte centrale delle distribuzioni è
relativamente indipendente dal modello utilizzato7.
5
Una variabile x causa in senso di Granger una variabile y se le osservazioni nel passato di x sono di
senso
qualche utilità per predire y. Per una definizione più accurata si rimanda a Granger (1969)
(1969).
6
Ad esempio, un cambiamento improvviso dovuto ad un annuncio di un policy maker o a una n news
economica viene catturato immediatamente dai prezzi delle opzioni e quindi incorporato nelle PDF mentre
gli indicatori basati su dati storici presentano tipicamente un certo ritardo strutturale nell’incorporare tali
cambiamenti.
7
Ciò che risente di più della scelta del modello è la stima della distribuzione di probabilità nelle code.
ù
7

8. 3. Metodi di stima
Le tecniche per la stima dell PDF possono essere ricomprese in due filoni:
delle
- metodi parametrici i quali ipotizzano che il sottostante abbia una determinata
parametrici,
distruzione ;
- metodi non parametrici i quali non formulano alcuna ipotesi sulla distribuzione
parametrici,
del sottostante.
Metodo parametrico Metodo non parametrico
Esiste una formula chiusa per il La formula di pricing è utilizzata in
pricing delle opzioni. E’ basata modo indiretto.
sul modello di Black e SScholes
Formula di option
(1973) o Black (1976). Il modello
pricing
di pricing è adattato all’ipotesi
fatta sulla distribuzione del
sottostante.
Dipende dalle ipotesi fatte sulla Non vi sono parametri da stimare
Parametri Stimati
distribuzione del sottostante.
Non si utilizza alcuna funzione Si interpola la volatilità implicita
Smoothing spline
di interpolazione
Minimizzazione di una funzione Metodi basati sul risultato di
di perdita quadratica Breeden e Litzenberger (1976)
ossia che in mercati
Metodo di estrazione dinamicamente completi, la PDF
della funzione di del sottostante è proporzionale
probabilità implicita alla derivata seconda della
funzione di prezzo delle opzioni
call calcolata rispetto al prezzo di
esercizio.
Tabella 2: I due approcci di stima delle PDF
I metodi parametrici sono piuttosto strutturati, semplici da stimare e solitamente
parsimoniosi. Sono preferiti quando si vuole stimare la PDF a fini di pricing o per la
valutazione della distribuzione di probabilità nelle code (valutazioni di tipo VaR).
I metodi non parametrici invece sono solitamente preferiti per la ricostruzione di
indicatori sulle aspettative di mercato per scopi di analisi congiunturale. Poiché si vuole
ottenere una prospettiva dei mercati la più obiettiva possibile,, si preferisce non introdurre
alcuna ipotesi aggiuntiva sull’andamento del sottostante ed estrarre dai dati solamente
va
ciò che è contenuto nei dati, senza tentare di sopperire all’informazione mancante con
specifiche assunzioni parametriche sulla dinamica dei sottostanti. Un limite dei metodi
non parametrici è che, essendo meno strutturati, e quindi data-driven possono presentare
driven,
dei problemi su piccoli campioni e risentire fortemente della bontà dei dati su cui è stimata
la distribuzione.
La tabella 2 sintetizza le principali differenze tra i due approcci, mentre la tabella 3 mette
8

9. in luce i punti di forza di entrambi i modelli in termini di implementazione risultati e
robustezza della stima e suggerisce, infine, in quali circostanze e a quali fini sia preferibile
un approccio rispetto all’altro .
Metodo parametrico Metodo non parametrico
E’ sufficiente un numero ridotto Non introduce ipotesi aggiuntive
di dati per la stima
Metodo numerico basato su Risente negativamente di insiemi
procedure di ottimizzazione. supporto di rilevazione dei prezzi di
Implementazione
Può presentare problemi di: esercizio ridotti
- Ottimo Globale,
- Lentezza nella
convergenza.
Il comportamento delle code Non definisce il comportamento
dipende dal modello ipotizzato. della distribuzione nelle code
ella
(momento terzo e quarto risultano
meno attendibili).
Comportamento nelle La stima dei percentili estremi La stima dei percentili estremi
Code è coerente con il modello dipende dalle ipotesi sulle code.
utilizzato
Adatto a valutazioni di VaR Il metodo non si presta a valutazioni
di VaR.
Distribuzioni spiked: può Raramente produce distribuzioni
produrre delle distribuzioni spiked all’interno dell’insieme
spiked. supporto.
Piccole variazioni nei prezzi di Il metodo cubic smoothing spline
input inficiano la stabilità delle presenta il più alto livello di
statistiche di sintesi. Per robustezza alle variazioni dei dati di
tantol’interpretazione delle input8. Piccole perturbazioni nei
variazioni temporali delle prezzi di input non inficiano la
Robustezza statistiche di sintesi può non stabilità delle statistiche di sintesi
essere univoca. ottenute, ossia non generano ampie
variazioni nella stima della PDF e
quindi non producono ampie
variazioni nelle statistiche della
distribuzione stessa9.
Tabella 3:: Vantaggi e Svantaggi dei due metodi di stima
Per il progetto di stima delle PDF, si è costruiti sia un modello parametrico che un
modello non parametrico. Il modello parametrico è stato studiato ed implementato dalla
Pricing Unit & Financial Innovation al fine di costruire una superficie di volatilità volta alla
valutazione di opzioni scritte sul sottostante considerato. Il modello non parametrico
l parametrico,
8 Risultato analogo viene raggiunto da M. Andersson and M. Lomakka (2001), che dimostrano
che le bande di confidenza elaborate tramite bootstrap degli errori di pricing de modello non
del
parametrico sono più strette delle bande di confidenza costruite con il metodo parametrico.
9 La deviazione standard ottenuta con il metodo delle spline è più bassa di quella ottenuta con
qualunque altra tecnica. (Campa – Chang – Reider 1998)
9

10. invece, è stato sviluppato internamente al team di Analisi congiuntural dei mercati della
congiunturale
practice di Publishing e vorrà essere utilizzato principalmente a fini congiunturali
congiunturali.
Si è preferito ricorrere a due modelli diversi sia perché i due approcci rispondono a
esigenze diverse sia per avere in ogni momento un confronto tra i risultati ottenuti con le
due metodologie. Tra i modelli parametrici si è preferito il modello di misture di log log-
normali e in particolare la mistura di log normali secondo l’approccio Rebonato
log-normali Rebonato-Cardoso
(2003), poiché presenta un elevato grado di flessibilità e permette di riprodurre un ampia
), flessibilità
gamma di distribuzioni.
Per i modelli non parametrici invece si è scelto il modello basato sulle tecniche di
er
“cubic smoothing spline” (Css),, seguendo la metodologia sviluppata dalla B
Bank of England
(BoE) divenuta un benchmark utilizzato da tutte le banche centrali. Nell’appendice I si
delinea brevemente la teoria su cui si basano i due approcci.
Il grafico 2 mostra un confronto tra le due metodologie da noi implementate alla
stessa data di riferimento, stessa scadenza e per il medesimo sottostante. Si nota che le
stessa
distribuzioni sono molto simili all’interno dell’intervallo di supporto mentre le code
assumono un comportamento diverso, poiché il modello non parametrico non modellizza
completamente il comport
comportamento della distribuzione nelle code.
25%
Css
Mistura Log Normali
20%
15%
PDF implicita
10%
5%
0%
0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
USD/EUR
Grafico 2:: Distribuzione di probabilità estratta dai prezzi delle opzioni sul tasso di cambio
USD/EUR con data valutazione 25/8/2008 con scadenza ad un mese stimata sia con il metodo
parametrico sia con il metodo non parametrico. Source: elaborazione Prometeia su dati
Bloomberg
10

11. 4. Contratti “sintetici” a orizzonte costante
ontratti sintetici
Le opzioni scambiate sui mercati sono contratti con una data di scadenza prefissata.
La stima giornaliera delle PDF estratte dai prezzi di mercato esprime l’opinione di mercato
elle
sulle possibili variazioni del prezzo del sottostante tra il giorno di rilevazione dei prezzi e il
giorno di scadenza delle opzioni in esame. Questo significa che con il passare del temp il
tempo
confronto delle PDF a date diverse diviene difficile.
ronto
Infatti, il grado di incertezza relativo al valore del sottostante a scadenza diminuisce
naturalmente all’avvicinarsi della scadenza stessa del contratto di opzione senza che vi
opzione,
sia un cambiamento nel grado di rischiosità percepita del sottostante.
Ci si pone quindi il problema di distinguere quanta parte della variazione nella
dispersione della PDF sia imputabile al nuova informazione presente nel mercato e
alla
quanta parte sia semplicemente una conseguenza fisiologica dell’avvicinarsi della
scadenza del contratto di opzione
opzione.
Per separare questi due effetti si è deciso di costruire dei contratti sintetici “ “a
orizzonte costante” e stimare su di essi le PDF Ad esempio un contratto a orizzonte
ostante” PDF. d
costante 3 mesi guarderà sempre tre mesi avanti. In questo modo, le variazioni nella
dispersione della PDF in due giorni consecutivi saranno unicamente da attribuire a
cambiamenti nelle aspettative dei mercati: ad esempio una marcata variazione da un
lle
giorno all’altro nella volatilità implicita nelle opzioni a orizzonte costante definite sul
future sull’Euribor a tre mes potrà essere interpretata come un aumento dell’incertezza
Euribor mesi
percepita dagli operatori sul futuro valore dell’Euribor a tre mesi.
ita
In generale i moviment nelle statistiche di sintesi delle PDF estratte da questi
movimenti
contratti sintetici saranno scevri da ogni effetto scadenza. I due metodi di stima
parametrico e non parametrico costruiscono i “contratti con orizzonte costante” in modo
parametrico
distinto. Una breve spiegazione di come i due diversi approcci permettano di costruire le
opzioni sintetiche è in appendice.
La visualizzazione più comune delle PDF a orizzonte costante è costituita dalle
bande di confidenza note in letteratura come Fan Chart Questo tipo di grafico fornisce
Chart. uesto
una misura grafica dell’intervallo dell’incertezza – rappresentata dall’area sfumatasfumata-
attorno alla proiezione centrale rappresentata nel colore più scuro. Il range di incertezza è
costruito utilizzando i percentili della PDF a orizzonte costante e in particolare a 3 6, e 12
3,
mesi.
In linea teorica nulla vieterebbe di costruire le Fan Chart sulle PDF costruite sulle
opzioni scambiate sul mercato ma è evidente c l’interesse degli osservatori è rivolto
che i
maggiormente a quelle a orizzonte costante.
11

12. 60.0%
40.0%
S&P MIB - Rendimento
20.0%
0.0%
-20.0%
-40.0%
-60.0%
3 mesi 6 mesi 1 anno
Grafico 3:: Fan Chart ottenuta dalla distribuzione di probabilità implicita a orizzonte costante
estratta con il metodo non parametrico dai prezzi delle opzioni sullo S&PMIB alla data
20/10/2008. Source: elaborazione Prometeia su dati Bloomberg
5. I risultati dai nostri modelli di stima
I modelli di stima delle PDF sono stati implementati sui seguenti fattori di rischio:
implementati
- Opzioni su futures su tassi di interesse a breve termine (Euribor a tre mesi -
EuroDollaro a tre mesi - Short Sterling a tre mesi, EuroYen a tre mesi);
- Opzioni su futures su titoli governativi a 10 anni (Opzioni su futures su 10YR
Bund - Opzioni su futures su 10Y USD Treasury Bond- Opzioni su futures su BOND 10
Y GBP GILT - Opzioni su futures su 10 Y Japanese Bond);
- Opzioni su futures su indici azionari o opzioni su indici azionari stessi (qualora il
future non esista): opzioni su FTSE 100 - opzioni sul future sul S&P 500 - opzioni su
EuroSTOXX 50 -opzioni su S&P MIB -opzioni su Nikkei;
opzioni
- Opzioni OTC su tassi di cambio: (EURUSD-EURJPY EURJPY-EURGBP-USDJPY-
USDGBP-JPYGBP). Si è deciso di non considerare le opzioni su futures su tasso di
JPYGBP).
cambio (dati CME) perché per alcuni cambi risultavano poco liquide e per uniformità
poco
si è preferito utilizzare la stessa fonte dei dati (e quindi lo stesso tipo di modello) per
ciascuna valuta.
Per tutti i fattori di rischio sono stimabili le PDF con entrambi i metodi sia a
stimabili
orizzonte costante sia a scadenza fissa e sono consultabili le statistiche di sintesi.
Questi modelli possono fornire un gran numero di informazioni, utili per l’analisi
congiunturale dei mercati. Nei prossimi paragrafi se ne presenta una prima analisi e se ne
fornisce una prima interpretazione, suggerendo alcuni tipi di visualizzazioni che potranno
12

13. essere aggiornate a frequenza giornaliera e utilizzati per monitorare i mercati.
In riferimento ai mercati monetari, dalla distribuzione di probabilità dei prezzi delle
monetari,
opzioni sui futures sui tassi di interesse a breve possiamo inferire le aspettative di politica
monetaria e definire la view di mercato riguardo ai possibili rischi sul percorso futuro dei
tassi di interesse. Per una lettura più agevole dell’incertezza sui tassi di interesse a breve, i
cui cambiamenti avvengono per intervalli di 25 punti base, abbiamo discretizzato la
distribuzione di probabilità in modo da poterla rappresentare con un grafico a istogrammi.
probabilità,
La distribuzione di probabilità a una singola data ci fornisce la fotografia delle
aspettative degli operatori di mercato a quella stessa data mentre confrontando due date
data,
successive si mettono in risalto le variazioni nelle aspettative del mercato.
Nel grafico 3 riportiamo un esempio: è la distribuzione di probabilità dei tassi a breve
discretizzata ottenuta dai dati del 6/10/2008 e l’ 8/10/200810 giorno in cui la BCE ha
tagliato il tasso di riferimento di 50 punti base.
mento
35%
06/10/2008 08/10/2008
30%
PDF Discretizzata
25%
20%
15%
10%
5%
0%
3.75 - 4.00 4.00 -4.25 4.25 - 4.50 4.50 - 4.75 4.75 - 5.00 5.00 - 5.25 5.25 -5.50 5.50-5.75 5.75 -6.00
5.75
Euribor a mesi (%)
Grafico 4:: Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non parametrico) dai
prezzi delle opzioni sul future sull’euribor a tre mesi con scadenza 17/11/2008 a due date
successive. Source: elaborazione Prometeia su dati Bloomberg
Si vede come a seguito della mossa di politica monetaria si sia ampliato l’insieme
supporto della distribuzione, sia a destra sia a sinistra denotando un forte aument
sinistra, aumento
10 Il modello utilizza i prezzi di chiusura delle opzioni e del future, pertanto l’analisi della PDF
dell’8/10/2008 incorpora già il taglio della BCE.
13

14. dell’incertezza nel mercato: gli operatori attribuiscono una probabilità positiva ed elevata
(attorno al 15%) al fatto che il tasso Euribor raggiunga il 6% e contemporaneamente
attribuiscono una probabilità pari circa al 30% all’evento che i tassi scendano sotto il
4,25%, mentre due giorni prima le loro aspettative erano incentrate su un intervallo più
incentrate
ristretto tre 4,25% e 5,75%.
Un utile e istruttivo esercizio ci è sembrato quello di confrontare le probabilità
estratte dal nostro modello e quelle consultabili in Bloomberg, come mostrato nel grafico
4. Per le opzioni sul tasso Euribor a tre mesi, è stata calcolata la PDF a orizzonte costante
er a
di tre mesi e confrontata con quella elaborata da Bloomberg per la stessa data.
1.2%
Stima Prometeia - CSs
PDF a Orizzonte costante- 3 mesi
1.0% Stima Prometeia - CSs senza
estrapolazione
costante-
0.8% Stima - Bloomberg
0.6%
0.4%
0.2%
0.0%
0.00% 1.00% 2.00% 3.00% 4.00% 5.00% 6.00%
Euribor (livelli)
Grafico 5: Distribuzione di probabilità estratta (con il metodo non parametrico) dai prezzi delle
opzioni sul future sull’euribor a tre mesi con valutazione successive 5/10 /2008 Source:
elaborazione Prometeia su dati Bloomberg
Le differenze nella forma delle distribuzioni sono, a nostro avviso, imputabili alla
numerosità delle opzioni nell
e nell’insieme supporto utilizzato dai due metod di estrapolazione,
metodi
che causa un ribasamento della PDF il nostro modello è stimato su un insieme supporto
PDF:
limitato a dieci strike (10 strike per le opzioni put e 10 per le opzioni call), una scelta fatta
per contemperare l’obbiettivo di una buona stima con quello di contenimento dei costi,
mentre è molto probabile che il modello di Bloomberg,, evidentemente privi di limiti sul
numero di dati da utilizzare, sia stimato utilizzando l’intero insieme di opzioni disponibili.
ntero
Questa considerazione è supportata dal fatto che modificando il tipo di
14

15. estrapolazione – la curva verde chiaro rappresenta la stima di Prometeia senza
estrapolazione – la PDF ricalca molto bene la PDF di Bloomberg a m
meno di uno shift verso
l’altro.
Il grafico quindi pone alla nostra attenzione un altro quesito: t
teoricamente come si
può spiegare questa traslazione Questa traslazione è integrabile con la teoria economica
traslazione?
o rappresenta un errore di modello
modello?
La traslazione non è un indice di errore del modello né inficia la bontà del contenuto
ne
informativo del modello stesso Infatti, la spiegazione dello shift verticale della
stesso.
distribuzione è nel legame tra distribuzione di probabilità neutrale al rischio e probabilità
real world. Per maggior chiarezza si guardi la seguente uguaglianza, introdotta da Ait Ait-
Sahalia e Lo (2000)
1 U ' S (t )
q ( ST ) = ⋅ ∗ p(ST )
λ 4 ' S (T )
1 24
U
3
Componente _ Definita _ a _ meno _ di _ un _ errore _ di _ stima
dove t rappresenta la data valutazione e T indica l’orizzonte della PDF. Essa mostra
come la PDF neutrale al rischio q( ST ) possa essere vista come funzione della probabilità
1
real world p ( ST ) della funzione di utilità aggregata U(.) e del premio per il rischio
. Quindi
λ
la differenza tra le due funzion di probabilità è spiegabile in termini di una funzione di
funzioni
utilità aggregata U(.) che interpreti le preferenze degli investitori e di un premio al rischio
che funge da fattore moltiplicativo. Pertanto la traslazione della PDF non ha un significato
economico bensì si traduc semplicemente in una modifica del fattore moltiplicativo e
traduce ica
residuale “premio al rischio”.
Anche in riferimento ai mercati azionari, le PDF estratte dai prezzi degli indici
ferimento
azionari si rivelano un utile strumento nel monitorare, definire e interpretare i rischi
potenziali nei mercati stessi. Ad esempio, la concentrazione di probabilità nelle code della
distribuzione indica una crescente percezione di movimenti inusuali nei prezz dei titoli
prezzi
azionari e quindi una distribuzione meno “stretta” e “più allargata” spesso denota una
“stretta”
minor confidenza degli operatori rispetto al futuro andamento del sottostante.
Il grafico 5 rappresenta la PDF dello S&P MIB tra la fine settembre e le prime
settimane di ottobre,, stimate con il medesimo metodo (non parametrico ) Si può vedere
parametrico ).
come la distribuzione si sia appiattita a ottobre, denotando un aumento marcato
dell’incertezza degli operatori e il valore medio atteso sia diminuito spostando la
diminuito,
distribuzione verso sinistra. Utilizzando la tabella 1 come chiave di lettura è evidente che
iave
siamo nel caso in cui è aumenta la deviazione standard e diminuito l’eccesso di curtosi
aumentata
per cui possiamo concludere che vi è un ampio rischio di una variazione di prezzo e una
bassa confidenza sull’attuale livello di prezzo
prezzo.
15

16. 0.012%
22/09/2008
08/10/2008
22/10/1008
0.010%
0.008%
PDF implicita
0.006%
0.004%
0.002%
0.000%
10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000
S&P MIB
Grafico 6: Distribuzione di probabilità estratta dai prezzi delle opzioni sullo S&PMIB a tre
successive date valutazioni 22/9/2008, 8/10/2008, 22/10/2008
/10/2008 alla scadenza
20/03/2009stimata sia con il metodo non parametrico (Cubic-Smoothing Spline). Source:
stimata Smoothing
elaborazione Prometeia su dati Bloomberg
Lo studio delle PDF sui tassi di cambio permette di esaminare come i mercati
anticipino o reagiscano a particolari eventi I grafici 6 e 7 mostrano come si sono mosse le
eventi.
distribuzioni di probabilità neutrali al rischio estratte dai prezzi delle opzioni sul tasso di
cambio dollaro-euro nelle prime settimane di ottobre 2008 periodo caratterizzato dalla
2008,
forte turbolenza dei mercati.
I primi due grafici fanno vedere la PDF de cambio dollaro-
del -euro su un orizzonte
costante di tre mesi. Analizzandoli congiuntamente si può notare che nel corso dei primi
nalizzandoli
diciassette giorni del mese di ott ottobre si sono rafforzate le aspettative di un
apprezzamento del dollaro a breve termine (tre mes
mesi).
16

17. 60%
tre mesi Data Riferimento : 1 ottobre 2008
50%
40%
PDF Discretizzata
30%
20%
10%
0%
0.41 0.51 0.61 0.71 0.81 0.91 1.01 1.22
Tasso di cambio USD/EUR
Grafico 7: Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non parametrico) dai
prezzi delle opzioni sul cambio USD/EUR il 1/10/2008. Source: elaborazione Prometeia su dati
oni
Bloomberg
60%
tre mesi Data Riferimento: 17 ottobre 2008
50%
40%
PDF Discretizzata
30%
20%
10%
0%
0.44 0.54 0.64 0.74 0.84 0.95 1.05
Tasso di cambio USD/EUR
Grafico 8: Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non parametrico) dai
prezzi delle opzioni sul cambio USD/EUR il 17/10/2008. Source: elaborazione Prometeia su dati
oni
Bloomberg
17

18. Per il mercato dei cambi le PDF sono costruite sulle opzioni OTC sui cambi stessi.
te
Queste opzioni sono quotate dire
direttamente a orizzonti costanti (1 settimana 1 mese-3 mesi
settimana-
-6 mesi-1 anno-2 anni- 5 anni). Questo ci permette di estrarre aspettative di lungo peri
periodo
sull’andamento delle valute Ad esempio il grafico 8 rappresenta la probabilità implicita
lute.
discretizzata del cambio ddollaro- euro a due anni.
60%
due anni Data Riferimento: 17 ottobre 2008
50%
PDF Discretizzata
40%
30%
20%
10%
0%
0.44 0.54 0.64 0.74 0.84 0.95 1.05
Tasso di cambio USD/EUR
Grafico 9: Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non paramet
parametrico) dai
prezzi delle opzioni a 2 anni sul cambio USD/EUR il 17/10/2008. Source: elaborazione Prometeia
su dati Bloomberg
Sebbene la letteratura a riguardo sia poco estesa, abbiamo applicato i medesimi
ebbene
modelli alle opzioni su future su titoli obbligazionari governativi rendendo così possibile
obbligazionari
estrarre le aspettative di mercato relativamente ai tassi a lungo termine Si rileva che su
relativamente termine.
questo mercato le opzioni hanno un orizzonte temporale meno esteso - solitamente le
opzioni quotate e sufficientemente liquide sono relative ai mesi del trimestre in esame.
18

19. 6. Conclusioni
In questa nota si sono presentati i modelli realizzati per l’estrazione della
distribuzione di probabilità implicita nei prezzi delle opzioni, illustrandone i possibili
utilizzi a fini congiunturali e di valutazione.
Dopo una breve discussione dell’intuizione economica e delle differenze tra
approccio parametrico e non parametrico e dell’importanza di costruire contratti sintetici
’importanza
a orizzonti costanti, sono stati presentati i risultati dei due modelli indicando alcuni
modelli,
possibili schemi interpretativi che potranno essere utilizzati per estr
estrarre informazioni
sull’evoluzione attesa del prezzo delle attività sottostanti e che monitorati con continuità
potrebbero divenire strumenti utili per l’analisi congiunturale.
La nostra analisi ha dato risultati che ci sembrano confortanti, in quanto la st
stima
delle PDF sembra in linea con i benchmark di mercato (Bloomberg) e supera i principali test
suggeriti in letteratura.
Il progetto non è ancora concluso e due sono le direzioni a cui stiamo guardando per i
futuri sviluppi. Innanzitutto, vi è la possibilità di estendere i modelli ad altri sottostanti
sottostanti:
oltre che l’estensione ai prezzi delle materie prime si sta valutando la possibilità della
stima delle PDF di indici CDS (ad esempio, iTraxx) implicite nei prezzi di opzioni su questi
indici. Dalle PDF si può costruire un indice di appetito al rischio degli investitori In
DF investitori.
letteratura esiste un esempio di questo approccio in un articolo pubblicato dalla BoE
(Prasanna, Vause, 2006),, dove è sfruttato il legame esistente tra PDF neutrale al rischio e
PDF real world,, legame che - come abbiamo visto nel paragrafo 3 - è definito a meno della
funzione di utilità aggregata dell’investitore rappresentativo. Infine, sii può costruire un
indice che identifichi varie “fasi” di mercato azionario a partire dalle sta
statistiche di sintesi
seguendo quando proposto da Nakamura e Shiratsuka (1999).
19

20. Appendice I: Metodi di stima
In questa appendice si vuole fornire un’illustrazione sintetica dei due modelli
implementati, sia quello parametrico (mistura di log-normali secondo l’approccio di
normali
Rebonato Cardoso) che quello non parametrico secondo l’approccio cubic-smoothing
spline.
Mistura di log normali
Supponendo che la distribuzione del prezzo futuro del sottostante sia una
combinazione lineare di distribuzioni lognormali, il prezzo di un’opzione Pkmod , put o call,
ne ,t
con il modello proposto diviene una combinazione lineare di n funzioni di pricing alla Black
e Scholes (1973), in seguito BS, relative a n diversi stati di natura:
Pkmod = ∑ ω i PkBS (µ i ,t , σ i ,t )
n
,t ,t
i =1
PkBS (µ i ,t , σ i ,t )
dove ,t
indica il prezzo di un’opzione europea, call o put, secondo il
modello di Black e Sholes nel primo stato del mondo i, mentre ω i è la probabilità dello
holes
stato del mondo i. Tra le varie versioni della metodologia sviluppate in letteratura
l’approccio di Rebonato e Cardoso (2003) permette di ottenere una st
stima dei parametri
attraverso un processo di ottimizzazione non vincolata.
Il modello si basa su due condizioni: una condizione sui pesi della distribuzione e una
zione
seconda condizione sui drift neutrali al rischio.
Condizione sui pesi della distribuzione
ondizione
PkBS (µ i ,t , σ i ,t )
Affinché il valore dell’opzione Pkmod sia una media ponderata de valori
,t dei ,t
deve valere che:
0 ≤ ω i ≤ 1, ∀i
 n

 ∑ i
ω =1
 i =1
Per evitare di introdurre un vincolo sui parametri da ottimizzare, Rebonato e
Cardoso propongono di stimare un set di parametri θ 1 , θ 2 , K , θ n −1 , i quali possono
assumere qualsiasi valore, a partire dai quali è possibile ottenere i pesi ω i 11. E’ così
possibile utilizzare un’ottimizzazione non vincolata che garantisca la condizione sui pesi
della mistura.
Condizione sui drift neutrali al rischio:
La seconda condizione riguarda la stima dei drift neutrali al rischio delle distribuzioni
11
Per un maggiore dettaglio della metodologia si rimanda a Rebonato e Cardoso (2003).
20

21. log-normali. Per assicurare che il mercato sia privo di arbitraggio, la media ponderata dei
er
valori attesi del sottostante negli n stati di natura deve essere pari al valore del
sottostante capitalizzato al tasso risk
risk-free sino a scadenza.
e rt = ∑k =1 ω k e µ k t
n
Tale condizione, attraverso semplici passaggi algebrici, implica che il drift relativo
alla prima distribuzione log
log-normale sia pari a:
 e rt − ∑n ω k e µ k t 
µ1 = ln  k =2
/t
 ω1 
 
In questo modo, per ogni scadenza si devono stimare n 1 angoli θ , n volatilità σ e n-1
er n-1
coefficienti µ . Per ottenere una stima sono necessari, quindi, almeno 3n prezzi di
3n-2
opzioni disponibili sul mercato.
Per stimare i parametri sulla base dell’osservazione dei prezzi delle opzioni si
timare
P mkt
minimizza la somma degli scarti quadratici medi tra i prezzi osservati sul mercato k ,t j per
t
i diversi prezzo di esercizio k disponibili, alla data di scadenza j , e i prezzi stimati con il
Pkmod
modello ,t :
( )
H 2
min ∑ P mod
k h ,t j −P mkt
k h ,t j
ϑ
h =1
dove H è il numero di opzioni, sia put che call, disponibili ai vari prezzi di esercizio per
data di scadenza j e ϑ = (µ 2 ,..., µ n ; σ 1 ,..., σ n ;θ1 ,..., θ n −1 ) è il vettore dei parametri da
t
la
stimare.
Generalizzando tali condizioni per ogni scadenza dell’opzione e minimizzando gli
scarti quadratici per tutto l’insieme di opzioni disponibili, è possibile calibrare i parametri
possibile
del modello in un’unica funzione di minimizzazione:
( )
H J 2
min ∑ ∑ P mod
k h ,t j −P mkt
k h ,t j
ϑ
h =1 j =1
in cui J è il numero di scadenze per cui sono disponibili opzioni quotate e
 µ12 ,..., µ1n ;σ 11 ,...,σ 1n ;θ11 ,...,θ1n −1 
 
ϑ = M 
 µ ,..., µ ;σ ,...,σ ;θ ,...,θ 
 J2 Jn J1 Jn J1 Jn −1 
è la matrice dei parametri da stimare.
Sebbene questa metodologia di ottimizzazione produca risultati più stabili,
converge più difficilmente rispetto all’ottimizzazione su una singola scadenza
scadenza.
Una volta identificato il modello di ottimizzazione presentato qui sopra, i prezzi di
21

22. Pkmod
un’opzione, scritta su un titolo, definiti dal modello
critta si possono ottenere come media ,t
P BS
ponderata di n premi calcolati con il modello di Black e Scholes k ,t . Ipotizzando di voler
costruire una mistura di 2 log
log-normali, il prezzo di una call europea e di una put europea
sarà
∞
C ( K ,τ ) = e− r (T − t ) ∫ [θL(α1 , β1; ST ) + (1 − θ )L(α 2 , β 2 ; ST )](ST − X )dST
X
∞
P( K ,τ ) = e − r (T − t ) ∫ [θL(α1 , β1 ; ST ) + (1 − θ )L(α 2 , β 2 ; ST )]( X − ST )dST
X
dove
(ln S T α ) 2
1
L(α , β , ST ) = e 2β 2
ST β 2π
è la densità log-normale e
normale
 1 
α i = ln S +  µi − σ i2 τ
 2 
e
βi = σ i τ .
Quindi applicando il modello di BS le funzioni di pricing divengono
uindi divengono:
C ( K ,τ ) = θ e − rd t ⋅ eα 1 N ( d1 ) − e f KN ( d 2 )  + (1 − θ )e − rd t ⋅ eα 2 N ( d 3) − e f KN ( d 4)  
+ 0 .5 β 1
2
−r t +0 .5 β 2
2
−r t
    
    
P ( K ,τ ) = θ e − rd t ⋅ eα 1 N ( − d1 ) − e f KN ( − d 2 )  + (1 − θ )e − rd t ⋅ eα 2 N ( − d 3 ) − e f KN ( − d 4 )  
+0.5 β 1
2
−r t +0.5 β 2
2
−r t
    
    
Dove
− ln K + α1 + β 12 − ln K + α 2 + β 22
d1 = d3 =
d2 = d1 − β 1
β 1 , , β2 e d 4 = d3 − β 2
La metodologia è del tutto simile per la stima dei premi di opzioni su future: essa
essa,
infatti, si ottiene semplicemente sostituendo le funzioni di pricing di Black (1976) alle
funzioni di pricing di Black e Sholes.
lack
Poiché il modello delle spline, presentato qui di seguito, è applicato su una singola
scadenza, per ragioni di uniformità di metodologia si consiglia di calibrare i parametri
gioni
tenendo costante la data di scadenza delle opzioni.
Metodo non parametrico: Cubic Smoothing Spline
arametrico
Le tecniche non parametriche, non ipotizzando alcun processo o distribuzione per il
22

23. sottostante, partono dal risultato di Ros
Ross-Breeden e Litzenberger (1976) in mercati
(1976):
dinamicamente completi e se la funzione di prezzo delle opzioni call è una funzione
continua rispetto ai prezzi di esercizio, la PDF del sottostante è proporzionale alla
esercizio,
derivata seconda della funzione di prezzo delle opzioni call calcolata rispetto al prezzo di
call,
esercizio.
Questo risultato implica che se i prezzi delle opzioni fossero noti con certezza per
tutti i possibili prezzi di esercizio da zero a infinito, la stima della PDF sarebbe
semplicemente e univocamente determinabile tramite differenziazione, analitica o
numerica. Sfortunatamente invece, i prezzi delle opzioni sono scambiati solamente a
prezzi di esercizio spaziati in modo discreto e distrib
distribuiti su un intervallo limitato.
allo
Pertanto, tutte le procedure di stima della PDF devono gestire il problema di
interpolare lungo gli prezzo di esercizio osservati ed estrapolare al di fuori dell’intervallo
coperto dai prezzi di esercizio
esercizio.
Se ne ricava che la stima della PDF è particolarmente complessa, anche se l’idea di
base è piuttosto semplice: la maggiore complessità della stima della PDF consiste nel
ricavare e stimare una funzione di prezzo delle opzioni call continua e derivabile con
continuità. Per questo i vari meto non parametrici si differenziano, principalmente, tra di
metodi on
loro per il diverso metodo di interpolazione ed estrapolazione.
Il metodo della cubic smoothing spline si basa su quattro passi successivi, i primi tre
volti alla costruzione della funzione di prezzo delle opzioni call mentre l’ultimo è basato
prezzo
sull’applicazione del risultato di Breeden e Litzenberger
Litzenberger(1978):
1. Stima della volatilità implicita e del delta per le opzioni osservate e fitting di una
cubic smoothing spline nello spazio cartesiano volatilità implicita
implicita-delta (grafico 10)
12
,
2. Trasformazione dei delta interpolati nei corrispondenti prezz di esercizio ed
prezzi
espressione della volatilità implicita come funzione del prezzo di esercizio (grafico
10).
12 Si preferisce interpolare lo smile di volatilità e non i prezzi delle opzioni direttamente perché
questa tecnica è più semplice ed affidabile. In letteratura viene dimostrato che è particolarmente
difficile modellare in modo adeguatola curvatura della funzione di prezzo delle opzioni call perché è
funzione
costituita sia da segmenti lineari sia da parti convesse. Quindi anche piccoli errori nell’approssimazione
possono portare ad ampi errori nella stima delle distribuzioni neutrali al rischio. Viceversa lo smile
della volatilità implicita può essere generalmente meglio approssimato cosicché piccoli errori hanno un
lla generalmente
effetto molto limitato sulla curvatura della funzione di prezzo delle opzioni call e quindi nella stima
delle PDF.
23

24. 0.15 0.15
Volatilità Implicita Volatilità Implicita
0.14 0.14
Volatilità implicita
0.13 0.13
Volatilità implicita
0.12 0.12
0.11
0.11
0.1
0.1
0.09
0.09
3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5
1 0.75 0.5 0.25 0
Tasso di interesse Delta
Grafico 10:Trasformazione dello spazio cartesiano per ottenere una maggior accuratezza nel
asformazione
fitting.
3. Sostituzione dell’espressione della volatilità implicit nel modello di pricing
implicita
13
utilizzato (Black, 1976) e costruzione della funzione di prezzo delle opzioni call
(grafico 11).
0.9 50.0%
Prezzo opzioni call (asse SN)
0.8 PDF (asse DX) 45.0%
40.0%
0.7
35.0%
0.6
30.0%
0.5
Prezzo
PDF
25.0%
0.4
20.0%
0.3
15.0%
0.2
10.0%
0.1 5.0%
0 0.0%
3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25
Tasso di interesse
Grafico 11:: Funzione di prezzo di un’opzione call al variare del prezzo di esercizio.
4. Derivazione numerica della funzione di prezzo delle opzioni call e costruzione della
PDF utilizzando il risultato di Breeden
do Breeden-Litzenberger:
13
Si noti che il metodo non parametrico non presume che la formula di Black (1976) sia una accurata
mula
rappresentazione del processo di formazione del prezzo di un’opzione ma è utilizzato solamente come
metodo appropriato per mappare i prezzi nella volatilità e viceversa.
24

25. δ 2C ∂ 2C ( K ,τ ) c − c − 2c
PDF(ST ) = = e − r ( T −t ) ⋅ = e − r (T −t ) ⋅ i +1 i −1 2 i
δ K
2
∂ K
2
(∆K )
L’interpolazione compiuta ai passi 1 è richiesta dal passo 4. Infatti, per derivare una
erpolazione 1-3
funzione due volte è necessari trasformarla da funzione definita su uno spazio discreto a
necessario
funzione definita su uno spazio continuo.
Il metodo consigliato in letteratura è il cubic smoothing-spline che utilizza un
spline,
polinomio di terzo grado costruit in modo che la funzione risulti deri
costruito derivabile nel knot-point.
Questo metodo di interpolazione ha proprietà di ridurre le oscillazioni indotte dai dati di
mercato sulle opzioni che - come prima descritto - sono “noisy” e aumentare la smoothness
”
della spline cubica. Infatti, alla presenza di dati noisy un’esatta interpolazione potrebbe
dar luogo a una curva con eccessive “oscillazioni”. Invece le smoothing spline riducono le
oscillazioni delle interpolanti andando a selezionare la soluzione del seguente problema di
ottimizzazione:
min Φ λ ∑ ωi [yi − f ( xi ;Φ)] + (1−λ )∫ f " ( xi ;Φ) 2 dx
2
 i
 

dove x e y sono le osservazioni da interpolare f ( x ;Φ) e la spline, Φ è la matrice di
i
parametri della spline, ω sono i pesi attribuiti alle singole osservazioni e λ è il parametro
i
di smoothing.
La funzione obiettivo è costituita di due parti, la prima rappresentala scabrezza dei
dati, ossia la media pesata della differenza tra i dati osservati e i dati riprodotti dalla
spline, mentre la seconda parte minimizza l’integrale del quadrato della curvatura della
re
stessa. All’aumentare della variabilità della spline, aumenta il secondo addendo che quindi
controlla la smoothness.. Il parametro di smoothing è di grande importanza, poiché un
parametro troppo alto significa che la procedura assegna un elevato valore alla
rametro
minimizzazione della somma dei residui, viceversa un valore troppo basso significa
enfatizzare la minimizzazione della curvatur Un parametro di smoothing pari a uno
curvatura.
significa che la spline collassa sull’interpolante naturale dei dati, un valore pari a zero
he
significa scegliere una funzione che minimizza la curvatura, in questo caso la spline diviene
la retta dei minimi quadrati. Tutti i metodi di interpolazione basati su funzioni di tipo spline
risentono fortemente delle coordinate cartesiane su cui è ricostruita l’interpolazione.
Il problema di questo metodo di stima consiste nell’estrapolare correttamente la
PDF nelle code quindi decidere come controllare le code della distribuzione. I metodi più
spesso utilizzati in letteratura sono due:
1. si assume che la funzione di spline sia lineare al di fuori dell’intervallo d di
osservazione.. Questo metodo è usato da Bliss e Panigirtzoglou (1999) ed è
equivalente ad assumere che lo smile di volatilità sia piatto al di fuori dell’intervallo
di osservazione.
2. si suppone che la volatilità sia costante nelle code e si utilizzano la volatilità più
25

26. bassa per la coda sinistra e la volatilità più alta nella coda destra.
volatilità
Il prototipo realizzato ammette tre possibilità:
a) stima della PDF senza estrapolazione,
tima
b) stima della PDF con estrapolazione costante della volatilità
tima volatilità,
c) stima della PDF con estrapolazione lineare. E’ il metodo suggerito dalla BoE e
tima
che noi preferiamo.
Il grafico 13 rappresenta il confronto tra i diversi metodi di estrapolazione del
modello non parametrico. Si può vedere come il metodo di estrapolazione costante,
sebbene permetta di ottenere un insieme supporto più ampio, po possa dar luogo a
distribuzioni “spiked”,, mentre il metodo di estrapolazione lineare conduce a distribuzioni
più regolari ma definite su un insieme supporto meno ampio.
0.025%
Spline in-sample
sample
Spline estr.lineare
Spline estr.costante
0.020%
PDF implicita (%)
0.015%
0.010%
0.005%
0.000%
22000 24000 26000 28000 30000 32000 34000 36000 38000 40000
S&P MIB (livelli)
Grafico 12: Distribuzione di probabilità dai prezzi delle opzioni sullo S&PMIB con data
PMIB
valutazione 25/8/2008 alla scadenza 17/10/2008 calcolata con il modello Cubic
Cubic–Smoothing
Spline e tre diversi tipi di estrapolazione Source: elaborazione Prometeia su dati Bloomberg
estrapolazione.
26

27. Appendice II: Metodi di stima della PDF a orizzonte costante
L’idea sottostante alla costruzione di un contratto sintetico utilizzato per stimare la
PDF a orizzonte costante, ad esempio con scadenza 6 mesi, consiste nell’interpolare i dati
di contratti “veri” con scadenz inferiori e superiori, ma il più vicino possibile ai sei mesi. Lo
scadenze a
smile della volatilità implicita di un’opzione con orizzonte costante può essere pensato
come una cross-section della superficie a una data particolare.
La tecnica di interpolazione utilizzata in entrambi gli appro
approcci è l’interpolazione
lineare. La letteratura (soprattutto per l’approccio non parametrico) suggerisce due
approcci alternativi: il cubic smoothing spline (Clews–Panigirtzoglou
Panigirtzoglou–Proudman, 2000) o
l’interpolazione lineare (Andersen e Wagener 2002)).
Andersen Wagener,
Nel nostro modello abbiamo preferito questa seconda possibilità poiché usualmente
si ha a disposizione un numero limitato di dati che lascia poco spazio a tecniche più
sofisticate della semplice interpolazione lineare.
Una volta creati i contratti sintetici si stima la PDF con le stesse metodologie
sintetici
utilizzate per stimare la PDF di opzioni “quotate”. Ciò che differenzia i due approcci è lo
spazio tridimensionale in cui è fatta l’interpolazione.
Nell’approccio parametrico la metodologia si basa sull’interpola
sull’interpolazione lineare delle
volatilità nello spazio tridimensionale (volatilità implicita, strike, scadenza). Dalla proposta
di Andersen e Wagener e riprendendo la nota relazione lineare tra deviazione standard e la
radice dell’orizzonte temporale, si interpolano linearmente nel tempo le volatilità implicite
nelle quotazioni disponibili sul mercato.
Date le volatilità implicite iVol(k ,t1 ) e iVol(k ,t 2 ) per il prezzo di esercizio k,
rispettivamente alla scadenza t1 e t2, la volatilità implicita dell’opzione con prezzo di
esercizio k e scadenza t (compresa tra t1 e t2) sarà pari a.
( ) (t − t1 )
iVol (k , t ) = iVol (k , t1 ) + iVol (k , t 2 ) − iVol (k , t1 ) * , t ≤ t ≤ t2
2 2 2
(t 2 − t1 ) 1
Nell’approccio non parametrico, l’interpolazione dello smile di volatilità avviene nello
spazio tridimensionale (volati
(volatilità implicita, delta, scadenza) a parità di delta. Si preferisce
interpolare a parità di delta rispetto a parità di strike perché l’insieme supporto del delta è
(0-1) indipendente dalla scadenza, mentre l’intervallo di definizione degli strike può va variare
da scadenza a scadenza. Questo assicura maggiore stabilità all’implementazione del
metodo non parametrico. In questo modo si ricostruisce una superficie di volatilità stimata
per tutti i gruppi di delta considerati e per scadenza.
La formula precedente diviene:
( ) (t − t1 )
iVol (δ , t ) = iVol (δ , t1 ) + iVol (δ , t 2 ) − iVol (δ , t1 ) * , t ≤ t ≤ t2
2 2 2
(t 2 − t1 ) 1
27

28. dove iVol(δ ,t1 ) e iVol(δ ,t 2 ) sono le volatilità implicite espresse come funzioni di
delta δ , rispettivamente alla scadenza t1 e t2,.
28