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# P1961 001 V2 Le Distribuzioni Di Probabilita Implicite Da Contratti Derivati

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### P1961 001 V2 Le Distribuzioni Di Probabilita Implicite Da Contratti Derivati

1. 1. a: Lea Zicchino in copia: Chiara Fornasari Riccardo Tedeschi Paolo Onofri Giuseppe Lusignani Flavio Cocco Emanuele De Meo Cosimo Musiello Pier Luigi Coriazzi Rita Romeo Chiara Sabbi Ugo Speculato Giacomo Tizzanini da: Teresa Sardena Davide Boldarin nome doc.: Le distribuzioni di probabilità implicite da contratti derivati (PDFs): una misura delle aspettative dei mercati data: 26 novembre 2008 no. doc.: P1961_001_v2 Sommario 1. Introduzione ................................ ................................................................................................................................ .............................................................................2 2. Utilizzo delle PDF a fini congiunturali congiunturali................................................................................................ ..........................................................3 3. Metodi di stima ................................ ................................................................................................................................ .......................................................................8 4. Contratti “sintetici” ad orizzonte costante ................................................................ .............................................................................. 11 5. I risultati dai nostri modelli di stima ................................................................................................ ........................................................... 12 6. Conclusioni................................ ................................................................................................................................ .............................................................................. 19 Appendice I: Metodi di stima ................................................................................................ ................................................................................ 20 Mistura di log normali ................................................................................................................................ ........................................................ 20 Metodo non parametrico: Cubic Smoothing Spline ................................................................ ............................................................ 22 Appendice II: Metodi di stima della PDF ad orizzonte costant ................................ costante ......................................................................... 27 Appendice III: Filtri sui dati ................................................................................................................................ .................................................... 29 Bibliografia ................................ ................................................................................................................................................................ .................................................... 32 1
2. 2. L’obiettivo di questa nota è di illustrare il lavoro di stima delle funzioni di distribuzione di probabilità (dette in breve PDF, dall’inglese probability density functions ottenute dai dette functions), prezzi delle opzioni su un dato asset sottostante e di spiegare le finalità e il possibile utilizzo delle PDF per l’analisi congiunturale analisi congiunturale. La nota è organizzata come segue: dopo una breve introduzione (sezione 1), si discute di come le PDF possano essere usate per l’analisi congiunturale dei mercati finanziari (sezione 2) e si espongono brevemente i due metodi di stima adottati (sezione 3) ma illustrando l’importanza di stimare le PDF su contratti sintetici a orizzonte costante oltre che sui contratti scambiati sui mercati a scadenze prefissate (sezione 4) e infine si mostrano i primi risultati o ottenuti sui diversi sottostanti. 1. Introduzione Negli ultimi anni le banche centrali, i risk manager e gli investitori istituzionali hanno sviluppato un’intera letteratura sui metodi di estrazione delle PDF dei futuri rendimenti delle attività finanziarie dai prezzi delle opzioni,, al fine di inferire le aspettative dei mercati sull’andamento futuro di tassi di interesse, indici azionari, tassi di cambio e prezzi delle commodity. L’idea base attorno a cui questa letteratura si è sviluppata è la seguente: mentre gli indicatori costruiti usand le serie storiche dei rendimenti o prezzi degli asset sono usando backward-looking (ad esempio, la volatilità storica dei rendimenti degli indici azionari – costruita con rolling window – può dare indicazioni sull’evoluzione pass windows passata dell’incertezza), indicatori ottenuti da prezzi delle opzioni, incorporan le aspettative sul dai incorporando futuro andamento del sottostante possono invece dare informazioni forward-looking (ad sottostante, esempio, dalle PDF si può ottenere una stima della volatilità dei rendimenti degli indici azionari che i mercati si aspettano fra tre mesi, sei mesi, ecc.). Ma come si arriva dai prezzi delle opzioni alle distribuzioni di probabilità sui prezzi delle attività sottostanti? L’intuizione è piuttosto semplice: osservando i prezzi delle opzioni che hanno prezzi di esercizio diversi, ma medesima scadenza, si può inferire la probabilità assegnata dal mercato ai possibili esiti (in questo caso, livelli) del sottostante sull’orizzonte temporale ll’orizzonte futuro corrispondente alla scadenza delle opzioni. Infatti, le opzioni sono contratti che danno il diritto (ma non l’obbligo) ad acquistare o e vendere un sottostante a una certa data futura a un dato prezzo di esercizio pre pre-fissato. Le opzioni call (put) hanno valore se e solo se vi è una certa probabilità che alla data di esercizio dell’opzione, il sottostante raggiunga un prezzo maggiore (minore) rispetto al prezzo di esercizio stesso. Quindi osservando le opzioni call (put) che danno diritto ad acquistare (vendere) un’azione, a un prefissato momento nel futuro, a diversi prezzi di esercizio, si può inferire dal prezzo a cui questi contratti sono scambiati, quale sia l’opinione di mercato sulla possibilità che il prezzo del sottostante salga (scenda) sopra il prezzo di esercizio. E’ importante ricordare che le probabilità implicite ottenute dalle opzioni sono 2
3. 3. neutrali al rischio - ossia ipotizzano che gli investitori non richiedano un compenso per il rischio - poiché i modelli di pricing dei contratti derivati sono a loro volta c costruiti sotto l’ipotesi di misure di probabilità neutrali al rischio. Per comprendere – in modo più formale - come possa essere estratta la PDF dai prezzi delle opzioni, si consideri una call (europea) con prezzo C al tempo t, basata su un sottostante con prezzo pari a S. Sia poi K il prezzo di esercizio dell’opzione e T la sua scadenza futura. Il prezzo dell’opzione call al tempo t, calcolato in base al principio di valutazione neutrale al rischio è: e rischio, ∞ C = exp(− r * (T − t )) ⋅ ∫ f ( S T ) ⋅ ( S T − K )dS T ; K dove r è il tasso di interesse privo di rischio e f (ST ) indica la funzione di densità (neutrale a rischio) del prezzo del sottostante alla data di scadenza1. Quindi, la funzione di densità del sottostante f (ST ) può essere ricostruita dai prezzi delle opzioni a condizione che sia quotato un numero sufficientemente ampio di opzioni sullo stesso sottostante con differenti prezzi di esercizio esercizio. 2. Utilizzo delle PDF a fini congiunturali Dato che la PDF può essere interpretata come la distribuzione di probabilità interpretata aggregata del prezzo del sottostante a una specifica scadenza, le stim ottenute possono e stime essere usate a fini congiunturali per analizzare le aspettative de agenti economici degli sull’andamento di una partic particolare classe di sottostanti. Inoltre, poiché la probabilità non è quella “vera” ma è trasformata per tener conto del rischio, le PDF rifletteranno anche le dell’economia2. preferenze degli operatori e il grado di incertezza percepita sulla crescita dell’ Considerando i diversi momenti della distribuzione stimata, possiamo classificare le erando indicazioni estraibili dalle PDF in tre diverse categorie: - central projection l’analisi del momento primo della distribuzione permette di projection: valutare quale sia il rendimento atteso da parte dell’investitore, mentre guardando ai percentili si può valutare la probabilità che il sottostante giaccia a scadenza tra due dati valori; - amount of risk: considerando le misure di dispersione della distribuzione, q quali la deviazione standard, è possibile valutare l’incertezza percepita dagli investitori, che è una componente importante del rischio; ponente - balance of risk:: considerando statistiche di asimmetria della distribuzione, quali skewness si riesce a inferire a quale direzione dei movimenti del prezzo del e 1 In maniera analoga si può determinare il prezzo delle opzioni put. 2 Ad esempio, sulla base di un modello di equilibrio generale di asset pricing, come il Consumption Capital Asset Pricing (C-CAPM), la probabilità neutrale al rischio rifletterà il grado di avversione al rischio CAPM), dell’agente rappresentativo e la volatilità d della crescita della ricchezza aggregata. 3
4. 4. sottostante l’investitore attribuisca maggiore probabilità. Dalla curtosi (ossia statistiche legate a alle code spesse) si può inferire la probabilità assegnata dall’investitore a variazioni estreme. Diversi metodi possono essere usati per presentare e rappresentare l’inf ssono l’informazione contenuta nelle PDF. Il primo, il più semplice e intuitivo, è quello grafico.. Tale metodo è utile per confrontare: - due distribuzioni ottenute con la stessa metodologia in due istanti diversi La diversi. principale utilità di questo metodo è quello di mettere a fuoco variazioni pronunciate nella densità o ampi cambiamenti nella dispersione. E’ spesso usato per analizzare cambiamenti nelle aspettative degli operatori prima e dopo un determinato evento evento; - due distribuzioni ottenute con due metodi di stima diversi al medesimo istante ue temporale. In secondo luogo, per valutare come le aspettative sul futuro andamento dei prezzi dei sottostanti varino nel tempo e quindi, interpretare ex-post e conciliare gli sviluppi e, post nell’andamento dei diversi sottostanti è utile stimare e storicizzare le statistiche di sintesi sottostanti, zare ossia registrare giornalmente nel database le statistiche delle PDF. All’interno del nostro framework le statistiche calcolate sono: e - media. La media della PDF misura il centro di gravità della PDF. Tale indicatore edia. gravità non rappresenta il ”vero” valore atteso del sottostante a una data futura, bensì il prezzo futuro atteso neutrale al rischio; - volatilità implicita. La volatilità implicita misura la dispersione della PDF implicita attorno alla media. Le nostre procedure non aggiustano la volatilità implicita per il “time to expiration” e per tanto non forniscono una misura della volatilità time expiration” annualizzata; - skewness. La skew kewness ness. skewness fornisce una misura dell’asimmetria della PDF, ossia misura la probabilità relativa - pesata da una distanza cubica - che il prezzo futuro sia sopra o sotto la media attesa. Se la PDF presenta una skewness positiva, la coda destra sarà più grande della coda sinistra e ciò suggerisce che gli agenti del mercato coda hanno una view positiva riguardo all’andamento futuro del prezzo del sottostante. andamento Per questo si dice che la skweness esprime il “ “directional bias” delle aspettative. ” - curtosi La curtosi fornisce una misura dello "spessore" di entrambe le code, urtosi. misura ovvero il grado di "appiattimento" della PDF. E’ solitamente confrontata con la curtosi di una distribuzione normale. L’eccesso di curtosi (ossia una distribuzione lepto-curtica) implica sia un’alta probabilità di eventi estremi sia un centro della curtica) distribuzione più “appuntito”. Questi due effetti congiunti si traducono nel fatto che un aumento dell’eccesso di curtosi sia riconducibile a due distinte e divergenti cause. Secondo una prima interpretazione, l’aumento della curtosi può derivare dal fatto che gli agenti si aspettano una variazione futura del prezzo del sottostante piuttosto ampia e quindi l’aumento nell’eccesso di curtosi implicherebbe un aumento dell’incertezza nel mercato del sottostante. D’altro canto un aumento della curtosi D’altro può indicare, altresì, che gli agenti divengono più sicuri del livello attuale dei prezzi cosicché la distribuzione diviene “più appuntita” al centro. Al fine di discriminare tra questi due interpretazioni Nakamura e Shiratsuka (1999) suggeriscono di guardare Shiratsuka 4
5. 5. contemporaneamente l’eccesso di curtosi e la deviazione standard: l’aumento congiunto dell’eccesso di curtosi e della deviazione standard può essere interpretato come un aumento dell’incertezza nel mercato rispetto a variazioni alle future estreme del prezzo del sottostante quindi l’effetto delle code spesse è enfatizzato. Viceversa se la deviazione standard diminuisce mentre aumenta l’eccesso di curtosi diviene plausibile interpretare questo effetto come un aumento nel grado di fiducia nella persistenza del livello corrente del sottostante ossia gli agenti del mercato stanno attribuendo un’alta probabilità a pic piccole variazioni del sottostante. La tabella sottostante sintetizza questo comportamento e può essere un utile strumento interpretativo delle fasi di mercato mento mercato: Eccesso di curtosi Aumenta Diminuisce Ampio rischio di una Ampio rischio di una Deviazione Standard Aumenta variazione di prezzo variazione di prezzo + + Forte aspettativa di un esito Bassa confidenza estremo sull’attuale livello di prezzo Basso rischio di una Basso rischio di una Diminuisce variazione di prezzo variazione di prezzo + + Forte confidenza sull’attuale Bassa confidenza livello di prezzo sull’attuale livello di prezzo Tabella 1: Interpretazione congiunta dell’eccesso di curtosi e della standard deviation - percentili L’x-esimo percentile indica il punto della distribuzione xq, per il quale ercentili. -esimo la somma delle frequenze dei valori minori o uguali a xq è uguale al valore q (espresso in termini percentuali)3. Per dare un esempio dei risultati ottenuti, il grafico sottostante mostra l’andamento nel mese di ottobre delle serie storiche giornaliere della media e della volatilità calcolate dalle PDF dei prezzi delle opzioni sul tasso di cambio USD/EUR con scadenza ad un mese ezzi mese, stimate con il metodo non parametrico . 3 Per completezza abbiamo deciso di stimare dieci diversi percentili (0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.05 0.65 0.75 0.85 0.95),, ma è importante sottolineare che i percentili molto bassi e molto alti (0.05 e 0.95) sono notevolmente influenzati dalle tecniche di stima e di estrapolazione della PDF, poiché spesso cadono al di evolmente fuori dell’insieme supporto dei prezzi di esercizio realmente rilevato. Quindi è preferibile utilizzare i percentili che cadono all’interno dell’insieme supporto rilevato. 5
6. 6. 0.82 0.30% Media (asse SN) 0.80 Volatilità (asse DX) 0.78 0.25% 0.76 0.20% 0.74 0.72 0.15% 0.70 0.68 0.10% 0.66 0.64 0.05% 0.62 0.60 0.00% Grafico 1: Serie storiche delle statistiche Media e Volatilità derivanti dalla PDF dei prezzi delle opzioni sul tasso di cambio USD/EUR con scadenza ad un mese stimata con il metodo non parametrico ( asso (Cubic- Smoothing Spline).Source: elaborazione Prometeia su dati Bloomberg Source: Un’importante osservazione, da farsi in questa sede, è rilevare come le statistiche di sintesi dipendano dal modello di stima utilizzato e dalla parametrizzazione del modello stesso, per tanto non ha senso confrontare segmenti di statistiche di sintesi derivanti da modelli diversi: le statistiche di sintesi devono quindi essere lette come valori relativi quindi confrontabili a parità di modello. Inoltre le statistiche di sintesi possono risentire degli stessi problemi da cui è affetta la stima dei momenti campionari: skewness e curtosi possono essere meno stabili nel tempo quindi la loro attendibilità inferiore rispetto a media e varianza Per questo si varianza. suggerisce l’utilizzo di questi indicatori solo avendo a disposizione un campione temporale sufficientemente profondo. Le serie storiche delle statistiche di sintesi4 delle distribuzioni implicite potranno poi tribuzioni aiutarci a rispondere, ad esempio, alle seguenti domande: - possiamo costruire degli indicatori di early warning su possibili crisi nei mercati o viceversa su possibili riprese dei mercati sulla base dell dell’andamento passato delle statistiche di sintesi A tal proposito è interessante richiamare elle sintesi? nuovamente lo studio di Nakamura e Shiratsuka (1999) i quali costruisco un costruiscono indicatore di identificazione delle “fasi del mercato” analizzando congiuntamente le 4 Si è elaborata una routine MATLAB che a partire dalla griglia dei prezzi (indipendentemente dal metodo di stima con cui questa griglia di prezzi è stata ricavata) calcola le statistiche “campionarie”. 6
7. 7. tre statistiche deviazi deviazione standard, skewness ed eccesso di curtosi. Ad esempio una fase di crescita del mercato azionario è caratterizzata da due semi semi-fasi successive: nella prima semi-fase “ripresa del mercato”, si può ravvisare un aumento della fase, deviazione standard, congiunto a un aumento dell’eccesso di curtosi e a una marcata variazione della skewness (diviene negativa e aumenta il suo valore assoluto), mentre nella seconda semi semi-fase, “recupero della stabilità del mercato” si può mercato”, ravvisare una diminuzione della deviazione standard congiuntamente sia a una deviazione diminuzione dell’eccesso di curtosi sia al fatto che la skewness diviene meno negativa. - le statistiche di sintesi hanno potere previsivo riguardo all’economia reale e/o finanziaria? Ad esempio la volatilità estratta dalle PDF ha potere previsivo della estratta volatilità “realizzata”? - qual è il legame tra le aspettative di mercato in distinte aree geografiche? Analizzando i legami di correlazione e di causalità alla Granger5 tra statistiche di sintesi di diverse aree geografiche si riesce a indagare il legame esistente tra l’incertezza attesa in Usa e UK. Nel mercato azionario e nei tassi di interesse, invece, el si riesce ad analizzare se l’inclinazione della struttura a termin dei tassi abbia termine effetti causali sull’incertezza presente nei mercati dei tassi di interesse. - qual è l’appetito per il rischio di un investitore avverso al rischio in un dato mercato? Gai and Vause (2006) illustrano come possa essere costruito un indicato indicatore di appetito per il rischio da un’elaborazione numerica delle statistiche delle PDF, elaborazione basato sulla variazione nel rapporto tra distribuzione di probabilità neutrale al rischio e la distribuzione di probabilità soggettiva usata dagli investitori nel valuta valutare i pay-off attesi di un dato sottostante. Rispetto ai tradizionali modelli econometrici (di tipo serie storica), il metodo di stima delle PDF presenta alcuni punti di forza ed è particolarmente adatto a essere usato come strumento per l’analisi congiunturale dei mercati. In primo luogo, la stima della PDF congiunturale permette di ottenere non solo una previsione puntuale del rendimento futuro bensì l’intera distribuzione dello stesso. Inoltre, tale metodologia non richiede la disponibilità di serie storiche lunghe per consentire stime accurate e è capace di cogliere repentinamente la ed 6 variazione nelle aspettative dei mercati In secondo luogo, le PDF sono più adatte a mercati. cogliere l’incertezza nei mercati finanziari. Questo perché la forma della distribuzione perché dipende dai dati di mercato disponibili lungo i diversi prezzi di esercizio e non dalla funzione matematica degli errori standard di un modello econometrico. Infine, le PDF sono costruite sulla base di un numero relativamente limitato di ipotesi imposte dalla teoria o relativamente da un modello specifico: per tale motivo la stima della parte centrale delle distribuzioni è relativamente indipendente dal modello utilizzato7. 5 Una variabile x causa in senso di Granger una variabile y se le osservazioni nel passato di x sono di senso qualche utilità per predire y. Per una definizione più accurata si rimanda a Granger (1969) (1969). 6 Ad esempio, un cambiamento improvviso dovuto ad un annuncio di un policy maker o a una n news economica viene catturato immediatamente dai prezzi delle opzioni e quindi incorporato nelle PDF mentre gli indicatori basati su dati storici presentano tipicamente un certo ritardo strutturale nell’incorporare tali cambiamenti. 7 Ciò che risente di più della scelta del modello è la stima della distribuzione di probabilità nelle code. ù 7
8. 8. 3. Metodi di stima Le tecniche per la stima dell PDF possono essere ricomprese in due filoni: delle - metodi parametrici i quali ipotizzano che il sottostante abbia una determinata parametrici, distruzione ; - metodi non parametrici i quali non formulano alcuna ipotesi sulla distribuzione parametrici, del sottostante. Metodo parametrico Metodo non parametrico Esiste una formula chiusa per il La formula di pricing è utilizzata in pricing delle opzioni. E’ basata modo indiretto. sul modello di Black e SScholes Formula di option (1973) o Black (1976). Il modello pricing di pricing è adattato all’ipotesi fatta sulla distribuzione del sottostante. Dipende dalle ipotesi fatte sulla Non vi sono parametri da stimare Parametri Stimati distribuzione del sottostante. Non si utilizza alcuna funzione Si interpola la volatilità implicita Smoothing spline di interpolazione Minimizzazione di una funzione Metodi basati sul risultato di di perdita quadratica Breeden e Litzenberger (1976) ossia che in mercati Metodo di estrazione dinamicamente completi, la PDF della funzione di del sottostante è proporzionale probabilità implicita alla derivata seconda della funzione di prezzo delle opzioni call calcolata rispetto al prezzo di esercizio. Tabella 2: I due approcci di stima delle PDF I metodi parametrici sono piuttosto strutturati, semplici da stimare e solitamente parsimoniosi. Sono preferiti quando si vuole stimare la PDF a fini di pricing o per la valutazione della distribuzione di probabilità nelle code (valutazioni di tipo VaR). I metodi non parametrici invece sono solitamente preferiti per la ricostruzione di indicatori sulle aspettative di mercato per scopi di analisi congiunturale. Poiché si vuole ottenere una prospettiva dei mercati la più obiettiva possibile,, si preferisce non introdurre alcuna ipotesi aggiuntiva sull’andamento del sottostante ed estrarre dai dati solamente va ciò che è contenuto nei dati, senza tentare di sopperire all’informazione mancante con specifiche assunzioni parametriche sulla dinamica dei sottostanti. Un limite dei metodi non parametrici è che, essendo meno strutturati, e quindi data-driven possono presentare driven, dei problemi su piccoli campioni e risentire fortemente della bontà dei dati su cui è stimata la distribuzione. La tabella 2 sintetizza le principali differenze tra i due approcci, mentre la tabella 3 mette 8
9. 9. in luce i punti di forza di entrambi i modelli in termini di implementazione risultati e robustezza della stima e suggerisce, infine, in quali circostanze e a quali fini sia preferibile un approccio rispetto all’altro . Metodo parametrico Metodo non parametrico E’ sufficiente un numero ridotto Non introduce ipotesi aggiuntive di dati per la stima Metodo numerico basato su Risente negativamente di insiemi procedure di ottimizzazione. supporto di rilevazione dei prezzi di Implementazione Può presentare problemi di: esercizio ridotti - Ottimo Globale, - Lentezza nella convergenza. Il comportamento delle code Non definisce il comportamento dipende dal modello ipotizzato. della distribuzione nelle code ella (momento terzo e quarto risultano meno attendibili). Comportamento nelle La stima dei percentili estremi La stima dei percentili estremi Code è coerente con il modello dipende dalle ipotesi sulle code. utilizzato Adatto a valutazioni di VaR Il metodo non si presta a valutazioni di VaR. Distribuzioni spiked: può Raramente produce distribuzioni produrre delle distribuzioni spiked all’interno dell’insieme spiked. supporto. Piccole variazioni nei prezzi di Il metodo cubic smoothing spline input inficiano la stabilità delle presenta il più alto livello di statistiche di sintesi. Per robustezza alle variazioni dei dati di tantol’interpretazione delle input8. Piccole perturbazioni nei variazioni temporali delle prezzi di input non inficiano la Robustezza statistiche di sintesi può non stabilità delle statistiche di sintesi essere univoca. ottenute, ossia non generano ampie variazioni nella stima della PDF e quindi non producono ampie variazioni nelle statistiche della distribuzione stessa9. Tabella 3:: Vantaggi e Svantaggi dei due metodi di stima Per il progetto di stima delle PDF, si è costruiti sia un modello parametrico che un modello non parametrico. Il modello parametrico è stato studiato ed implementato dalla Pricing Unit & Financial Innovation al fine di costruire una superficie di volatilità volta alla valutazione di opzioni scritte sul sottostante considerato. Il modello non parametrico l parametrico, 8 Risultato analogo viene raggiunto da M. Andersson and M. Lomakka (2001), che dimostrano che le bande di confidenza elaborate tramite bootstrap degli errori di pricing de modello non del parametrico sono più strette delle bande di confidenza costruite con il metodo parametrico. 9 La deviazione standard ottenuta con il metodo delle spline è più bassa di quella ottenuta con qualunque altra tecnica. (Campa – Chang – Reider 1998) 9
10. 10. invece, è stato sviluppato internamente al team di Analisi congiuntural dei mercati della congiunturale practice di Publishing e vorrà essere utilizzato principalmente a fini congiunturali congiunturali. Si è preferito ricorrere a due modelli diversi sia perché i due approcci rispondono a esigenze diverse sia per avere in ogni momento un confronto tra i risultati ottenuti con le due metodologie. Tra i modelli parametrici si è preferito il modello di misture di log log- normali e in particolare la mistura di log normali secondo l’approccio Rebonato log-normali Rebonato-Cardoso (2003), poiché presenta un elevato grado di flessibilità e permette di riprodurre un ampia ), flessibilità gamma di distribuzioni. Per i modelli non parametrici invece si è scelto il modello basato sulle tecniche di er “cubic smoothing spline” (Css),, seguendo la metodologia sviluppata dalla B Bank of England (BoE) divenuta un benchmark utilizzato da tutte le banche centrali. Nell’appendice I si delinea brevemente la teoria su cui si basano i due approcci. Il grafico 2 mostra un confronto tra le due metodologie da noi implementate alla stessa data di riferimento, stessa scadenza e per il medesimo sottostante. Si nota che le stessa distribuzioni sono molto simili all’interno dell’intervallo di supporto mentre le code assumono un comportamento diverso, poiché il modello non parametrico non modellizza completamente il comport comportamento della distribuzione nelle code. 25% Css Mistura Log Normali 20% 15% PDF implicita 10% 5% 0% 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 USD/EUR Grafico 2:: Distribuzione di probabilità estratta dai prezzi delle opzioni sul tasso di cambio USD/EUR con data valutazione 25/8/2008 con scadenza ad un mese stimata sia con il metodo parametrico sia con il metodo non parametrico. Source: elaborazione Prometeia su dati Bloomberg 10
11. 11. 4. Contratti “sintetici” a orizzonte costante ontratti sintetici Le opzioni scambiate sui mercati sono contratti con una data di scadenza prefissata. La stima giornaliera delle PDF estratte dai prezzi di mercato esprime l’opinione di mercato elle sulle possibili variazioni del prezzo del sottostante tra il giorno di rilevazione dei prezzi e il giorno di scadenza delle opzioni in esame. Questo significa che con il passare del temp il tempo confronto delle PDF a date diverse diviene difficile. ronto Infatti, il grado di incertezza relativo al valore del sottostante a scadenza diminuisce naturalmente all’avvicinarsi della scadenza stessa del contratto di opzione senza che vi opzione, sia un cambiamento nel grado di rischiosità percepita del sottostante. Ci si pone quindi il problema di distinguere quanta parte della variazione nella dispersione della PDF sia imputabile al nuova informazione presente nel mercato e alla quanta parte sia semplicemente una conseguenza fisiologica dell’avvicinarsi della scadenza del contratto di opzione opzione. Per separare questi due effetti si è deciso di costruire dei contratti sintetici “ “a orizzonte costante” e stimare su di essi le PDF Ad esempio un contratto a orizzonte ostante” PDF. d costante 3 mesi guarderà sempre tre mesi avanti. In questo modo, le variazioni nella dispersione della PDF in due giorni consecutivi saranno unicamente da attribuire a cambiamenti nelle aspettative dei mercati: ad esempio una marcata variazione da un lle giorno all’altro nella volatilità implicita nelle opzioni a orizzonte costante definite sul future sull’Euribor a tre mes potrà essere interpretata come un aumento dell’incertezza Euribor mesi percepita dagli operatori sul futuro valore dell’Euribor a tre mesi. ita In generale i moviment nelle statistiche di sintesi delle PDF estratte da questi movimenti contratti sintetici saranno scevri da ogni effetto scadenza. I due metodi di stima parametrico e non parametrico costruiscono i “contratti con orizzonte costante” in modo parametrico distinto. Una breve spiegazione di come i due diversi approcci permettano di costruire le opzioni sintetiche è in appendice. La visualizzazione più comune delle PDF a orizzonte costante è costituita dalle bande di confidenza note in letteratura come Fan Chart Questo tipo di grafico fornisce Chart. uesto una misura grafica dell’intervallo dell’incertezza – rappresentata dall’area sfumatasfumata- attorno alla proiezione centrale rappresentata nel colore più scuro. Il range di incertezza è costruito utilizzando i percentili della PDF a orizzonte costante e in particolare a 3 6, e 12 3, mesi. In linea teorica nulla vieterebbe di costruire le Fan Chart sulle PDF costruite sulle opzioni scambiate sul mercato ma è evidente c l’interesse degli osservatori è rivolto che i maggiormente a quelle a orizzonte costante. 11
12. 12. 60.0% 40.0% S&P MIB - Rendimento 20.0% 0.0% -20.0% -40.0% -60.0% 3 mesi 6 mesi 1 anno Grafico 3:: Fan Chart ottenuta dalla distribuzione di probabilità implicita a orizzonte costante estratta con il metodo non parametrico dai prezzi delle opzioni sullo S&PMIB alla data 20/10/2008. Source: elaborazione Prometeia su dati Bloomberg 5. I risultati dai nostri modelli di stima I modelli di stima delle PDF sono stati implementati sui seguenti fattori di rischio: implementati - Opzioni su futures su tassi di interesse a breve termine (Euribor a tre mesi - EuroDollaro a tre mesi - Short Sterling a tre mesi, EuroYen a tre mesi); - Opzioni su futures su titoli governativi a 10 anni (Opzioni su futures su 10YR Bund - Opzioni su futures su 10Y USD Treasury Bond- Opzioni su futures su BOND 10 Y GBP GILT - Opzioni su futures su 10 Y Japanese Bond); - Opzioni su futures su indici azionari o opzioni su indici azionari stessi (qualora il future non esista): opzioni su FTSE 100 - opzioni sul future sul S&P 500 - opzioni su EuroSTOXX 50 -opzioni su S&P MIB -opzioni su Nikkei; opzioni - Opzioni OTC su tassi di cambio: (EURUSD-EURJPY EURJPY-EURGBP-USDJPY- USDGBP-JPYGBP). Si è deciso di non considerare le opzioni su futures su tasso di JPYGBP). cambio (dati CME) perché per alcuni cambi risultavano poco liquide e per uniformità poco si è preferito utilizzare la stessa fonte dei dati (e quindi lo stesso tipo di modello) per ciascuna valuta. Per tutti i fattori di rischio sono stimabili le PDF con entrambi i metodi sia a stimabili orizzonte costante sia a scadenza fissa e sono consultabili le statistiche di sintesi. Questi modelli possono fornire un gran numero di informazioni, utili per l’analisi congiunturale dei mercati. Nei prossimi paragrafi se ne presenta una prima analisi e se ne fornisce una prima interpretazione, suggerendo alcuni tipi di visualizzazioni che potranno 12
13. 13. essere aggiornate a frequenza giornaliera e utilizzati per monitorare i mercati. In riferimento ai mercati monetari, dalla distribuzione di probabilità dei prezzi delle monetari, opzioni sui futures sui tassi di interesse a breve possiamo inferire le aspettative di politica monetaria e definire la view di mercato riguardo ai possibili rischi sul percorso futuro dei tassi di interesse. Per una lettura più agevole dell’incertezza sui tassi di interesse a breve, i cui cambiamenti avvengono per intervalli di 25 punti base, abbiamo discretizzato la distribuzione di probabilità in modo da poterla rappresentare con un grafico a istogrammi. probabilità, La distribuzione di probabilità a una singola data ci fornisce la fotografia delle aspettative degli operatori di mercato a quella stessa data mentre confrontando due date data, successive si mettono in risalto le variazioni nelle aspettative del mercato. Nel grafico 3 riportiamo un esempio: è la distribuzione di probabilità dei tassi a breve discretizzata ottenuta dai dati del 6/10/2008 e l’ 8/10/200810 giorno in cui la BCE ha tagliato il tasso di riferimento di 50 punti base. mento 35% 06/10/2008 08/10/2008 30% PDF Discretizzata 25% 20% 15% 10% 5% 0% 3.75 - 4.00 4.00 -4.25 4.25 - 4.50 4.50 - 4.75 4.75 - 5.00 5.00 - 5.25 5.25 -5.50 5.50-5.75 5.75 -6.00 5.75 Euribor a mesi (%) Grafico 4:: Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non parametrico) dai prezzi delle opzioni sul future sull’euribor a tre mesi con scadenza 17/11/2008 a due date successive. Source: elaborazione Prometeia su dati Bloomberg Si vede come a seguito della mossa di politica monetaria si sia ampliato l’insieme supporto della distribuzione, sia a destra sia a sinistra denotando un forte aument sinistra, aumento 10 Il modello utilizza i prezzi di chiusura delle opzioni e del future, pertanto l’analisi della PDF dell’8/10/2008 incorpora già il taglio della BCE. 13
14. 14. dell’incertezza nel mercato: gli operatori attribuiscono una probabilità positiva ed elevata (attorno al 15%) al fatto che il tasso Euribor raggiunga il 6% e contemporaneamente attribuiscono una probabilità pari circa al 30% all’evento che i tassi scendano sotto il 4,25%, mentre due giorni prima le loro aspettative erano incentrate su un intervallo più incentrate ristretto tre 4,25% e 5,75%. Un utile e istruttivo esercizio ci è sembrato quello di confrontare le probabilità estratte dal nostro modello e quelle consultabili in Bloomberg, come mostrato nel grafico 4. Per le opzioni sul tasso Euribor a tre mesi, è stata calcolata la PDF a orizzonte costante er a di tre mesi e confrontata con quella elaborata da Bloomberg per la stessa data. 1.2% Stima Prometeia - CSs PDF a Orizzonte costante- 3 mesi 1.0% Stima Prometeia - CSs senza estrapolazione costante- 0.8% Stima - Bloomberg 0.6% 0.4% 0.2% 0.0% 0.00% 1.00% 2.00% 3.00% 4.00% 5.00% 6.00% Euribor (livelli) Grafico 5: Distribuzione di probabilità estratta (con il metodo non parametrico) dai prezzi delle opzioni sul future sull’euribor a tre mesi con valutazione successive 5/10 /2008 Source: elaborazione Prometeia su dati Bloomberg Le differenze nella forma delle distribuzioni sono, a nostro avviso, imputabili alla numerosità delle opzioni nell e nell’insieme supporto utilizzato dai due metod di estrapolazione, metodi che causa un ribasamento della PDF il nostro modello è stimato su un insieme supporto PDF: limitato a dieci strike (10 strike per le opzioni put e 10 per le opzioni call), una scelta fatta per contemperare l’obbiettivo di una buona stima con quello di contenimento dei costi, mentre è molto probabile che il modello di Bloomberg,, evidentemente privi di limiti sul numero di dati da utilizzare, sia stimato utilizzando l’intero insieme di opzioni disponibili. ntero Questa considerazione è supportata dal fatto che modificando il tipo di 14
15. 15. estrapolazione – la curva verde chiaro rappresenta la stima di Prometeia senza estrapolazione – la PDF ricalca molto bene la PDF di Bloomberg a m meno di uno shift verso l’altro. Il grafico quindi pone alla nostra attenzione un altro quesito: t teoricamente come si può spiegare questa traslazione Questa traslazione è integrabile con la teoria economica traslazione? o rappresenta un errore di modello modello? La traslazione non è un indice di errore del modello né inficia la bontà del contenuto ne informativo del modello stesso Infatti, la spiegazione dello shift verticale della stesso. distribuzione è nel legame tra distribuzione di probabilità neutrale al rischio e probabilità real world. Per maggior chiarezza si guardi la seguente uguaglianza, introdotta da Ait Ait- Sahalia e Lo (2000) 1 U ' S (t ) q ( ST ) = ⋅ ∗ p(ST ) λ 4 ' S (T ) 1 24 U 3 Componente _ Definita _ a _ meno _ di _ un _ errore _ di _ stima dove t rappresenta la data valutazione e T indica l’orizzonte della PDF. Essa mostra come la PDF neutrale al rischio q( ST ) possa essere vista come funzione della probabilità 1 real world p ( ST ) della funzione di utilità aggregata U(.) e del premio per il rischio . Quindi λ la differenza tra le due funzion di probabilità è spiegabile in termini di una funzione di funzioni utilità aggregata U(.) che interpreti le preferenze degli investitori e di un premio al rischio che funge da fattore moltiplicativo. Pertanto la traslazione della PDF non ha un significato economico bensì si traduc semplicemente in una modifica del fattore moltiplicativo e traduce ica residuale “premio al rischio”. Anche in riferimento ai mercati azionari, le PDF estratte dai prezzi degli indici ferimento azionari si rivelano un utile strumento nel monitorare, definire e interpretare i rischi potenziali nei mercati stessi. Ad esempio, la concentrazione di probabilità nelle code della distribuzione indica una crescente percezione di movimenti inusuali nei prezz dei titoli prezzi azionari e quindi una distribuzione meno “stretta” e “più allargata” spesso denota una “stretta” minor confidenza degli operatori rispetto al futuro andamento del sottostante. Il grafico 5 rappresenta la PDF dello S&P MIB tra la fine settembre e le prime settimane di ottobre,, stimate con il medesimo metodo (non parametrico ) Si può vedere parametrico ). come la distribuzione si sia appiattita a ottobre, denotando un aumento marcato dell’incertezza degli operatori e il valore medio atteso sia diminuito spostando la diminuito, distribuzione verso sinistra. Utilizzando la tabella 1 come chiave di lettura è evidente che iave siamo nel caso in cui è aumenta la deviazione standard e diminuito l’eccesso di curtosi aumentata per cui possiamo concludere che vi è un ampio rischio di una variazione di prezzo e una bassa confidenza sull’attuale livello di prezzo prezzo. 15
16. 16. 0.012% 22/09/2008 08/10/2008 22/10/1008 0.010% 0.008% PDF implicita 0.006% 0.004% 0.002% 0.000% 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 S&P MIB Grafico 6: Distribuzione di probabilità estratta dai prezzi delle opzioni sullo S&PMIB a tre successive date valutazioni 22/9/2008, 8/10/2008, 22/10/2008 /10/2008 alla scadenza 20/03/2009stimata sia con il metodo non parametrico (Cubic-Smoothing Spline). Source: stimata Smoothing elaborazione Prometeia su dati Bloomberg Lo studio delle PDF sui tassi di cambio permette di esaminare come i mercati anticipino o reagiscano a particolari eventi I grafici 6 e 7 mostrano come si sono mosse le eventi. distribuzioni di probabilità neutrali al rischio estratte dai prezzi delle opzioni sul tasso di cambio dollaro-euro nelle prime settimane di ottobre 2008 periodo caratterizzato dalla 2008, forte turbolenza dei mercati. I primi due grafici fanno vedere la PDF de cambio dollaro- del -euro su un orizzonte costante di tre mesi. Analizzandoli congiuntamente si può notare che nel corso dei primi nalizzandoli diciassette giorni del mese di ott ottobre si sono rafforzate le aspettative di un apprezzamento del dollaro a breve termine (tre mes mesi). 16
17. 17. 60% tre mesi Data Riferimento : 1 ottobre 2008 50% 40% PDF Discretizzata 30% 20% 10% 0% 0.41 0.51 0.61 0.71 0.81 0.91 1.01 1.22 Tasso di cambio USD/EUR Grafico 7: Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non parametrico) dai prezzi delle opzioni sul cambio USD/EUR il 1/10/2008. Source: elaborazione Prometeia su dati oni Bloomberg 60% tre mesi Data Riferimento: 17 ottobre 2008 50% 40% PDF Discretizzata 30% 20% 10% 0% 0.44 0.54 0.64 0.74 0.84 0.95 1.05 Tasso di cambio USD/EUR Grafico 8: Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non parametrico) dai prezzi delle opzioni sul cambio USD/EUR il 17/10/2008. Source: elaborazione Prometeia su dati oni Bloomberg 17
18. 18. Per il mercato dei cambi le PDF sono costruite sulle opzioni OTC sui cambi stessi. te Queste opzioni sono quotate dire direttamente a orizzonti costanti (1 settimana 1 mese-3 mesi settimana- -6 mesi-1 anno-2 anni- 5 anni). Questo ci permette di estrarre aspettative di lungo peri periodo sull’andamento delle valute Ad esempio il grafico 8 rappresenta la probabilità implicita lute. discretizzata del cambio ddollaro- euro a due anni. 60% due anni Data Riferimento: 17 ottobre 2008 50% PDF Discretizzata 40% 30% 20% 10% 0% 0.44 0.54 0.64 0.74 0.84 0.95 1.05 Tasso di cambio USD/EUR Grafico 9: Distribuzione di probabilità discretizzata estratta (con il metodo non paramet parametrico) dai prezzi delle opzioni a 2 anni sul cambio USD/EUR il 17/10/2008. Source: elaborazione Prometeia su dati Bloomberg Sebbene la letteratura a riguardo sia poco estesa, abbiamo applicato i medesimi ebbene modelli alle opzioni su future su titoli obbligazionari governativi rendendo così possibile obbligazionari estrarre le aspettative di mercato relativamente ai tassi a lungo termine Si rileva che su relativamente termine. questo mercato le opzioni hanno un orizzonte temporale meno esteso - solitamente le opzioni quotate e sufficientemente liquide sono relative ai mesi del trimestre in esame. 18
19. 19. 6. Conclusioni In questa nota si sono presentati i modelli realizzati per l’estrazione della distribuzione di probabilità implicita nei prezzi delle opzioni, illustrandone i possibili utilizzi a fini congiunturali e di valutazione. Dopo una breve discussione dell’intuizione economica e delle differenze tra approccio parametrico e non parametrico e dell’importanza di costruire contratti sintetici ’importanza a orizzonti costanti, sono stati presentati i risultati dei due modelli indicando alcuni modelli, possibili schemi interpretativi che potranno essere utilizzati per estr estrarre informazioni sull’evoluzione attesa del prezzo delle attività sottostanti e che monitorati con continuità potrebbero divenire strumenti utili per l’analisi congiunturale. La nostra analisi ha dato risultati che ci sembrano confortanti, in quanto la st stima delle PDF sembra in linea con i benchmark di mercato (Bloomberg) e supera i principali test suggeriti in letteratura. Il progetto non è ancora concluso e due sono le direzioni a cui stiamo guardando per i futuri sviluppi. Innanzitutto, vi è la possibilità di estendere i modelli ad altri sottostanti sottostanti: oltre che l’estensione ai prezzi delle materie prime si sta valutando la possibilità della stima delle PDF di indici CDS (ad esempio, iTraxx) implicite nei prezzi di opzioni su questi indici. Dalle PDF si può costruire un indice di appetito al rischio degli investitori In DF investitori. letteratura esiste un esempio di questo approccio in un articolo pubblicato dalla BoE (Prasanna, Vause, 2006),, dove è sfruttato il legame esistente tra PDF neutrale al rischio e PDF real world,, legame che - come abbiamo visto nel paragrafo 3 - è definito a meno della funzione di utilità aggregata dell’investitore rappresentativo. Infine, sii può costruire un indice che identifichi varie “fasi” di mercato azionario a partire dalle sta statistiche di sintesi seguendo quando proposto da Nakamura e Shiratsuka (1999). 19
20. 20. Appendice I: Metodi di stima In questa appendice si vuole fornire un’illustrazione sintetica dei due modelli implementati, sia quello parametrico (mistura di log-normali secondo l’approccio di normali Rebonato Cardoso) che quello non parametrico secondo l’approccio cubic-smoothing spline. Mistura di log normali Supponendo che la distribuzione del prezzo futuro del sottostante sia una combinazione lineare di distribuzioni lognormali, il prezzo di un’opzione Pkmod , put o call, ne ,t con il modello proposto diviene una combinazione lineare di n funzioni di pricing alla Black e Scholes (1973), in seguito BS, relative a n diversi stati di natura: Pkmod = ∑ ω i PkBS (µ i ,t , σ i ,t ) n ,t ,t i =1 PkBS (µ i ,t , σ i ,t ) dove ,t indica il prezzo di un’opzione europea, call o put, secondo il modello di Black e Sholes nel primo stato del mondo i, mentre ω i è la probabilità dello holes stato del mondo i. Tra le varie versioni della metodologia sviluppate in letteratura l’approccio di Rebonato e Cardoso (2003) permette di ottenere una st stima dei parametri attraverso un processo di ottimizzazione non vincolata. Il modello si basa su due condizioni: una condizione sui pesi della distribuzione e una zione seconda condizione sui drift neutrali al rischio. Condizione sui pesi della distribuzione ondizione PkBS (µ i ,t , σ i ,t ) Affinché il valore dell’opzione Pkmod sia una media ponderata de valori ,t dei ,t deve valere che: 0 ≤ ω i ≤ 1, ∀i  n   ∑ i ω =1  i =1 Per evitare di introdurre un vincolo sui parametri da ottimizzare, Rebonato e Cardoso propongono di stimare un set di parametri θ 1 , θ 2 , K , θ n −1 , i quali possono assumere qualsiasi valore, a partire dai quali è possibile ottenere i pesi ω i 11. E’ così possibile utilizzare un’ottimizzazione non vincolata che garantisca la condizione sui pesi della mistura. Condizione sui drift neutrali al rischio: La seconda condizione riguarda la stima dei drift neutrali al rischio delle distribuzioni 11 Per un maggiore dettaglio della metodologia si rimanda a Rebonato e Cardoso (2003). 20
21. 21. log-normali. Per assicurare che il mercato sia privo di arbitraggio, la media ponderata dei er valori attesi del sottostante negli n stati di natura deve essere pari al valore del sottostante capitalizzato al tasso risk risk-free sino a scadenza. e rt = ∑k =1 ω k e µ k t n Tale condizione, attraverso semplici passaggi algebrici, implica che il drift relativo alla prima distribuzione log log-normale sia pari a:  e rt − ∑n ω k e µ k t  µ1 = ln  k =2 /t  ω1    In questo modo, per ogni scadenza si devono stimare n 1 angoli θ , n volatilità σ e n-1 er n-1 coefficienti µ . Per ottenere una stima sono necessari, quindi, almeno 3n prezzi di 3n-2 opzioni disponibili sul mercato. Per stimare i parametri sulla base dell’osservazione dei prezzi delle opzioni si timare P mkt minimizza la somma degli scarti quadratici medi tra i prezzi osservati sul mercato k ,t j per t i diversi prezzo di esercizio k disponibili, alla data di scadenza j , e i prezzi stimati con il Pkmod modello ,t : ( ) H 2 min ∑ P mod k h ,t j −P mkt k h ,t j ϑ h =1 dove H è il numero di opzioni, sia put che call, disponibili ai vari prezzi di esercizio per data di scadenza j e ϑ = (µ 2 ,..., µ n ; σ 1 ,..., σ n ;θ1 ,..., θ n −1 ) è il vettore dei parametri da t la stimare. Generalizzando tali condizioni per ogni scadenza dell’opzione e minimizzando gli scarti quadratici per tutto l’insieme di opzioni disponibili, è possibile calibrare i parametri possibile del modello in un’unica funzione di minimizzazione: ( ) H J 2 min ∑ ∑ P mod k h ,t j −P mkt k h ,t j ϑ h =1 j =1 in cui J è il numero di scadenze per cui sono disponibili opzioni quotate e  µ12 ,..., µ1n ;σ 11 ,...,σ 1n ;θ11 ,...,θ1n −1    ϑ = M   µ ,..., µ ;σ ,...,σ ;θ ,...,θ   J2 Jn J1 Jn J1 Jn −1  è la matrice dei parametri da stimare. Sebbene questa metodologia di ottimizzazione produca risultati più stabili, converge più difficilmente rispetto all’ottimizzazione su una singola scadenza scadenza. Una volta identificato il modello di ottimizzazione presentato qui sopra, i prezzi di 21
22. 22. Pkmod un’opzione, scritta su un titolo, definiti dal modello critta si possono ottenere come media ,t P BS ponderata di n premi calcolati con il modello di Black e Scholes k ,t . Ipotizzando di voler costruire una mistura di 2 log log-normali, il prezzo di una call europea e di una put europea sarà ∞ C ( K ,τ ) = e− r (T − t ) ∫ [θL(α1 , β1; ST ) + (1 − θ )L(α 2 , β 2 ; ST )](ST − X )dST X ∞ P( K ,τ ) = e − r (T − t ) ∫ [θL(α1 , β1 ; ST ) + (1 − θ )L(α 2 , β 2 ; ST )]( X − ST )dST X dove (ln S T α ) 2 1 L(α , β , ST ) = e 2β 2 ST β 2π è la densità log-normale e normale  1  α i = ln S +  µi − σ i2 τ  2  e βi = σ i τ . Quindi applicando il modello di BS le funzioni di pricing divengono uindi divengono: C ( K ,τ ) = θ e − rd t ⋅ eα 1 N ( d1 ) − e f KN ( d 2 )  + (1 − θ )e − rd t ⋅ eα 2 N ( d 3) − e f KN ( d 4)   + 0 .5 β 1 2 −r t +0 .5 β 2 2 −r t           P ( K ,τ ) = θ e − rd t ⋅ eα 1 N ( − d1 ) − e f KN ( − d 2 )  + (1 − θ )e − rd t ⋅ eα 2 N ( − d 3 ) − e f KN ( − d 4 )   +0.5 β 1 2 −r t +0.5 β 2 2 −r t           Dove − ln K + α1 + β 12 − ln K + α 2 + β 22 d1 = d3 = d2 = d1 − β 1 β 1 , , β2 e d 4 = d3 − β 2 La metodologia è del tutto simile per la stima dei premi di opzioni su future: essa essa, infatti, si ottiene semplicemente sostituendo le funzioni di pricing di Black (1976) alle funzioni di pricing di Black e Sholes. lack Poiché il modello delle spline, presentato qui di seguito, è applicato su una singola scadenza, per ragioni di uniformità di metodologia si consiglia di calibrare i parametri gioni tenendo costante la data di scadenza delle opzioni. Metodo non parametrico: Cubic Smoothing Spline arametrico Le tecniche non parametriche, non ipotizzando alcun processo o distribuzione per il 22
23. 23. sottostante, partono dal risultato di Ros Ross-Breeden e Litzenberger (1976) in mercati (1976): dinamicamente completi e se la funzione di prezzo delle opzioni call è una funzione continua rispetto ai prezzi di esercizio, la PDF del sottostante è proporzionale alla esercizio, derivata seconda della funzione di prezzo delle opzioni call calcolata rispetto al prezzo di call, esercizio. Questo risultato implica che se i prezzi delle opzioni fossero noti con certezza per tutti i possibili prezzi di esercizio da zero a infinito, la stima della PDF sarebbe semplicemente e univocamente determinabile tramite differenziazione, analitica o numerica. Sfortunatamente invece, i prezzi delle opzioni sono scambiati solamente a prezzi di esercizio spaziati in modo discreto e distrib distribuiti su un intervallo limitato. allo Pertanto, tutte le procedure di stima della PDF devono gestire il problema di interpolare lungo gli prezzo di esercizio osservati ed estrapolare al di fuori dell’intervallo coperto dai prezzi di esercizio esercizio. Se ne ricava che la stima della PDF è particolarmente complessa, anche se l’idea di base è piuttosto semplice: la maggiore complessità della stima della PDF consiste nel ricavare e stimare una funzione di prezzo delle opzioni call continua e derivabile con continuità. Per questo i vari meto non parametrici si differenziano, principalmente, tra di metodi on loro per il diverso metodo di interpolazione ed estrapolazione. Il metodo della cubic smoothing spline si basa su quattro passi successivi, i primi tre volti alla costruzione della funzione di prezzo delle opzioni call mentre l’ultimo è basato prezzo sull’applicazione del risultato di Breeden e Litzenberger Litzenberger(1978): 1. Stima della volatilità implicita e del delta per le opzioni osservate e fitting di una cubic smoothing spline nello spazio cartesiano volatilità implicita implicita-delta (grafico 10) 12 , 2. Trasformazione dei delta interpolati nei corrispondenti prezz di esercizio ed prezzi espressione della volatilità implicita come funzione del prezzo di esercizio (grafico 10). 12 Si preferisce interpolare lo smile di volatilità e non i prezzi delle opzioni direttamente perché questa tecnica è più semplice ed affidabile. In letteratura viene dimostrato che è particolarmente difficile modellare in modo adeguatola curvatura della funzione di prezzo delle opzioni call perché è funzione costituita sia da segmenti lineari sia da parti convesse. Quindi anche piccoli errori nell’approssimazione possono portare ad ampi errori nella stima delle distribuzioni neutrali al rischio. Viceversa lo smile della volatilità implicita può essere generalmente meglio approssimato cosicché piccoli errori hanno un lla generalmente effetto molto limitato sulla curvatura della funzione di prezzo delle opzioni call e quindi nella stima delle PDF. 23
24. 24. 0.15 0.15 Volatilità Implicita Volatilità Implicita 0.14 0.14 Volatilità implicita 0.13 0.13 Volatilità implicita 0.12 0.12 0.11 0.11 0.1 0.1 0.09 0.09 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 1 0.75 0.5 0.25 0 Tasso di interesse Delta Grafico 10:Trasformazione dello spazio cartesiano per ottenere una maggior accuratezza nel asformazione fitting. 3. Sostituzione dell’espressione della volatilità implicit nel modello di pricing implicita 13 utilizzato (Black, 1976) e costruzione della funzione di prezzo delle opzioni call (grafico 11). 0.9 50.0% Prezzo opzioni call (asse SN) 0.8 PDF (asse DX) 45.0% 40.0% 0.7 35.0% 0.6 30.0% 0.5 Prezzo PDF 25.0% 0.4 20.0% 0.3 15.0% 0.2 10.0% 0.1 5.0% 0 0.0% 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 Tasso di interesse Grafico 11:: Funzione di prezzo di un’opzione call al variare del prezzo di esercizio. 4. Derivazione numerica della funzione di prezzo delle opzioni call e costruzione della PDF utilizzando il risultato di Breeden do Breeden-Litzenberger: 13 Si noti che il metodo non parametrico non presume che la formula di Black (1976) sia una accurata mula rappresentazione del processo di formazione del prezzo di un’opzione ma è utilizzato solamente come metodo appropriato per mappare i prezzi nella volatilità e viceversa. 24
25. 25. δ 2C ∂ 2C ( K ,τ ) c − c − 2c PDF(ST ) = = e − r ( T −t ) ⋅ = e − r (T −t ) ⋅ i +1 i −1 2 i δ K 2 ∂ K 2 (∆K ) L’interpolazione compiuta ai passi 1 è richiesta dal passo 4. Infatti, per derivare una erpolazione 1-3 funzione due volte è necessari trasformarla da funzione definita su uno spazio discreto a necessario funzione definita su uno spazio continuo. Il metodo consigliato in letteratura è il cubic smoothing-spline che utilizza un spline, polinomio di terzo grado costruit in modo che la funzione risulti deri costruito derivabile nel knot-point. Questo metodo di interpolazione ha proprietà di ridurre le oscillazioni indotte dai dati di mercato sulle opzioni che - come prima descritto - sono “noisy” e aumentare la smoothness ” della spline cubica. Infatti, alla presenza di dati noisy un’esatta interpolazione potrebbe dar luogo a una curva con eccessive “oscillazioni”. Invece le smoothing spline riducono le oscillazioni delle interpolanti andando a selezionare la soluzione del seguente problema di ottimizzazione: min Φ λ ∑ ωi [yi − f ( xi ;Φ)] + (1−λ )∫ f " ( xi ;Φ) 2 dx 2  i    dove x e y sono le osservazioni da interpolare f ( x ;Φ) e la spline, Φ è la matrice di i parametri della spline, ω sono i pesi attribuiti alle singole osservazioni e λ è il parametro i di smoothing. La funzione obiettivo è costituita di due parti, la prima rappresentala scabrezza dei dati, ossia la media pesata della differenza tra i dati osservati e i dati riprodotti dalla spline, mentre la seconda parte minimizza l’integrale del quadrato della curvatura della re stessa. All’aumentare della variabilità della spline, aumenta il secondo addendo che quindi controlla la smoothness.. Il parametro di smoothing è di grande importanza, poiché un parametro troppo alto significa che la procedura assegna un elevato valore alla rametro minimizzazione della somma dei residui, viceversa un valore troppo basso significa enfatizzare la minimizzazione della curvatur Un parametro di smoothing pari a uno curvatura. significa che la spline collassa sull’interpolante naturale dei dati, un valore pari a zero he significa scegliere una funzione che minimizza la curvatura, in questo caso la spline diviene la retta dei minimi quadrati. Tutti i metodi di interpolazione basati su funzioni di tipo spline risentono fortemente delle coordinate cartesiane su cui è ricostruita l’interpolazione. Il problema di questo metodo di stima consiste nell’estrapolare correttamente la PDF nelle code quindi decidere come controllare le code della distribuzione. I metodi più spesso utilizzati in letteratura sono due: 1. si assume che la funzione di spline sia lineare al di fuori dell’intervallo d di osservazione.. Questo metodo è usato da Bliss e Panigirtzoglou (1999) ed è equivalente ad assumere che lo smile di volatilità sia piatto al di fuori dell’intervallo di osservazione. 2. si suppone che la volatilità sia costante nelle code e si utilizzano la volatilità più 25
26. 26. bassa per la coda sinistra e la volatilità più alta nella coda destra. volatilità Il prototipo realizzato ammette tre possibilità: a) stima della PDF senza estrapolazione, tima b) stima della PDF con estrapolazione costante della volatilità tima volatilità, c) stima della PDF con estrapolazione lineare. E’ il metodo suggerito dalla BoE e tima che noi preferiamo. Il grafico 13 rappresenta il confronto tra i diversi metodi di estrapolazione del modello non parametrico. Si può vedere come il metodo di estrapolazione costante, sebbene permetta di ottenere un insieme supporto più ampio, po possa dar luogo a distribuzioni “spiked”,, mentre il metodo di estrapolazione lineare conduce a distribuzioni più regolari ma definite su un insieme supporto meno ampio. 0.025% Spline in-sample sample Spline estr.lineare Spline estr.costante 0.020% PDF implicita (%) 0.015% 0.010% 0.005% 0.000% 22000 24000 26000 28000 30000 32000 34000 36000 38000 40000 S&P MIB (livelli) Grafico 12: Distribuzione di probabilità dai prezzi delle opzioni sullo S&PMIB con data PMIB valutazione 25/8/2008 alla scadenza 17/10/2008 calcolata con il modello Cubic Cubic–Smoothing Spline e tre diversi tipi di estrapolazione Source: elaborazione Prometeia su dati Bloomberg estrapolazione. 26