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ALAIN NDEDI

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    • Mathématiques AppliquéesPr. Alain NdediEmail: ndedi.alain@gmail.comAnnée 2012/2013BTS ANNUITESQu’est-ce que sont les annuités ?Les annuités sont des versements effectués à intervalles de temps égaux appelés périodes. Cesannuités, placées à intérêts composés, servent à constituer un capital (valeur acquise par cesversements) ou à rembourser un emprunt (valeur actuelle des versements). I. Calcul de la valeur acquise par une suite d’annuités constantes.Considérons un placement de 500 tous les ans pendant 6 ans. Le taux annuel de ce placement est de5%. On a le schéma suivant :Capital versé 500 500 500 500 500 500 1ère année 2ème 3ème 4ème 5ème 6ème TempsCalculer la valeur acquise par le premier versement :Calculer la valeur acquise par le second versement :Calculer la valeur acquise par les quatre derniers versements :Les valeurs acquises successives sont les 6 premiers termes d’une ……………………………………………………………… de premier terme ………………………… et de raison…………………… .A l’aide de votre formulaire, donner la formule qui permet de calculer la somme des n premiers termesde la suite définie ci-dessus : Sn =Appliquons cette formule au cas de notre exercice pour calculer la valeur acquise (donc la somme desannuités) de notre placement : On la note Vn Généralisons cet exercice au cas d’un placement par annuités constantes a au taux annuel t pendant n périodes. La valeur acquise par ce placement est donnée par la formule : Vaq = a x ( 1 + i ) − 1 n iApplication :  Calculer la valeur acquise par un placement constant chaque année de 1200 (soit 100 par mois) pendant 8 ans au taux annuel de 5,75%.  Boujas place 50 par mois au taux annuel de 4,25% pendant 10 ans. Calculer la valeur acquise par ce placement au terme de ces 10 ans. 1
    •  M. Boujas désire obtenir un capital de 20 000 dans 7 ans afin d’effectuer des travaux dans son domicile. Son placement sera fait au taux annuel de 4,5%. Quel doit être son placement annuel?  M. Beas a effectué un versement de 240 au taux annuel de 3,5% et a obtenu la valeur acquise de 3 504, 47. Quelle a été la durée de ce placement ? II. Calcul de la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes.Nous choisissons de rembourser un capital par annuités constantes de 4943,30€ pendant 5 ans sachantque le taux d’emprunt est de 7,5%.Pour connaître le capital emprunté, il faut actualiser, à intérêts composés, chaque annuité. Il y aéquivalence entre la somme des annuités actualisés et le capital emprunté. On a le schéma suivant : Versements Capital Emprunté 4943,30 4943,30 4943,30 4943,30 4943,30 1ère année 2ème 3ème 4ème 5ème TempsCalculer la valeur actuelle du 1er versement :Calculer la valeur actuelle de 2ème versement :Calculer de la même façon les valeurs actuelles des trois derniers versements :La somme de ces valeurs actuelles est égale au capital emprunté. En déduire le capital empruntéGénéralisation :Le remboursement d’un capital s’effectue par une suite de n annuités constantes de valeur a au tauxpériodique t.Le premier remboursement a lieu 1 période après l’emprunt.  Exprimer les valeurs actuelles des deux premiers versements en fonction de a et de t:  Exprimer la valeur actuelle du nième versement :  En déduire la somme V0 des valeurs actuelles des n versements :  Dans l’expression ci-dessus, mettre ax(1+t)-n en facteur :  A l’intérieur de la grande parenthèse, on reconnaît la somme des n premiers termes d’une suite …………………………… de premier terme ……… et de raison ………… La valeur actuelle d’une suite de n annuités de valeur a, une période avant le premier remboursement est donnée par : V0 = ax 1 − ( 1 − i ) −n iApplication :  Calculer le capital emprunté (à l’euro près) si le remboursement s’effectue en 12 annuités de 5500 au taux de 7,5%.  M. Boussi s’engage à rembourser une dette de 1 900 en 4 annuités au taux d’intérêt de 8%. Quelle doit-être le montant d’une traite ?  M. Z voudrait connaître le nombre de versements semestriels de 1200 qu’il faut pour rembourser un capital de 18 498 € au taux annuel de 6%.  Un emprunt de 13 017 est remboursé en 6 annuités de 2 540. Quel est le taux d’emprunt. 2
    • RécapitulonsAnnuités constantes de début de période Vaq=ax ( 1 + i ) − 1 n x(1+i) i Vac=ax 1 − ( 1 − i ) −n x(1+i) iAnnuités de fin de période Vaq=ax ( 1 + i ) − 1 n i Vac=ax 1 − ( 1 − i ) −n i Emprunts Indivis et anuitésEmprunts Indivis et autre…Les emprunts indivis sont les emprunts faits auprès d’un seul prêteur On va étudier le cas oùle prêteur met à disposition de l’emprunteur un capital pour une durée fixée à l’avance, et oùl’emprunteur rembourse ce capital selon un rythme convenu et verse des intérêts à échéancespériodiques.Lors de chaque annuité (remboursement), on fait la part entre– La somme qui participe au remboursement du capital emprunté ;– La somme qui participe au remboursement de l’intérêt.La somme qui participe au remboursement du capital emprunté s’appelle l’amortissement. SiAp est l’annuité de la période p, c’est-à-dire le montant payé à la fin de la période p, on aAp = Ip +Mp avec :– L’intérêt crée pendant la période p et remboursé en fin de cette période, noté Ip;– L’amortissement de la période p, noté Mp.On se place dans le cadre d’un emprunt d’un capital D0 au taux d’intérêt i par période pendantn périodes. On fixe les notations suivantes.– Le capital restant dû en début de période p est noté Dp−1 ;– Le montant de l’annuité payée en fin de période p est noté Ap ;– L’intérêt versé en fin de la période p est noté Ip ;– L’amortissement versé en fin de la période p est noté Mp.À chaque début de période p, on a une dette Dp−1, c’est la somme qui reste due et crée unintérêt Ip = Dp−1i pendant la période. À la fin, de la période, on rembourse l’annuité Ap quipaye l’intérêt Ip et contribue au remboursement de la dette : Ap = Ip+Mp. La dette de débutde période p+1 est alors Dp = Dp−1 −Mp.On résume la situation par période dans un tableau, appelé tableau d’amortissement. Période Capital dû en début Intérêt de la Amortissement Annuité de la de période période de la période période 1 D0 I1 =D0i M1 A1 = I1 +M1 2 D1 = D0 −M1 I2 =D1i M2 A2 = I2 +M2 3 D2 = D1 −M2 I3 = D2i M3 A3 = I3 +M3 . . . . . . . . . . P Dp−1 = Dp−2 −Mp−1 Ip = Dp−1i Mp Ap = Ip +Mp n Dn−1 = Dn−2 −Mn−1 In = Dn−1i Mn An = In +Mn 3
    • Remboursement par annuités constantes :On calcule l’annuité constante de remboursement à l’aide de la formule du formulaire(formule d’actualisation) : V0 = a× 1−1+) ( t −n soit a= V ×t • V0 : Capital 0 emprunté avec 1−(1+t) −n t • t : taux périodique • n : nombreLe tableau d’amortissement s’établie en calculant dans l’ordre : • L’intérêt, comme pour l’amortissement constant, calculé à intérêts simples en appliquant le taux d’intérêts au capital restant dû en début de période. • L’amortissement, différence entre l’annuité et l’intérêt pour l’échéance étudiée. • Le « capitale restant dû », différence entre le capital restant dû de l’échéance précédente est de l’amortissement de l’échéance étudiée.Remboursement par amortissements constants :L’amortissement constant A est le rapport du capital emprunté sur le nombre de périodes deremboursement A= V0 avec V0 : Capital emprunté et n : nombre de npériode.Le tableau d’amortissement s’établie en calculant : • L’intérêt de chaque période calculé à intérêts simples en appliquant le taux d’intérêts au capital restant dû en début de période. • L’annuité d’une période : somme de l’amortissement et de l’intérêt de la période.ExerciceVoici un tableau d’amortissement sur 8 mois d’un emprunt contracté par Boujas au tauxannuel de 2,91%. Échéance Amortissement Intérêts Annuités Capital restant dû 1 - - - 3 000,00 2 371,83 7,28 379,10 2 628,17 3 372,73 6,37 379,10 2 255,44 4 373,63 5,47 379,10 1 881,81 5 374,54 4,56 379,10 1 507,27 6 375,45 3,66 379,10 1 131,82 7 376,36 2,74 379,10 755,46 8 377,27 1,83 379,10 378,19 9 378,19 0,92 379,10 0,00 Total 3 000,00 32,83 3 032,83 1) Quel est le montant emprunté par Boujas ? 2) Quel type de remboursement a choisi Boujas? 3) Comment retrouver la valeur de l’annuité versée ? 4
    • ExercicePour acheter sa voiture Boujas a emprunté une certaine somme. La banque lui a envoyé untableau d’amortissement mais certains éléments ont disparus sur ce tableau. Échéance Amortissement Intérêts Mensualités Capital restant dû 1 0 0 0 2 1 563,67 35,98 3 4 5 14,49 6 7,26 0,00 Total 108,26 7 998,26 1) Retrouver le capital emprunté par Boujas. 2) Retrouver le montant des mensualités versées par Boujas. 3) Déterminer à l’aide des 2 premières échéances le taux d’intérêt mensuel de l’emprunt. (Arrondir à 10-3) 4) Compléter le reste du tableau.ExerciceUne entreprise emprunte pour 5 ans le capital de 1,5 millions au taux annuel 7,5%, leremboursement se faisant in fine, c’est-à-dire en une seule fois au terme de la période de prêt,les autres années l’entreprise se contente de verser les intérêts. a) Dresser le tableaud’amortissement de cet emprunt. b) Pour préparer le remboursement du capital l’entrepriseplace chaque année à 5% et à intérêts composés une certaine somme. Combien doit-elle placerchaque année ?ExerciceLa onzième ligne d’un tableau d’amortissement d’un emprunt remboursable par annuitésconstantes est: Dette due Intérêt Amortissement 51676,98 5803,22 1941,38Quel est le taux d’intérêt ? Quelle est la durée de l’emprunt ?ExerciceDresser le tableau d’amortissement d’un emprunt de 500 000 au taux de 10% remboursable paranuités constantes sur 5 ans.RéponseCalcul de ‘anuité constante a=500 000x0.1/1-(1.1)-5= 131 898.94 Période Ktal début Intérêts Amorts Anuités Ktal fin 1 500 000 50 000 81898.74 131 898.94 418 101.26 5
    • 2 418 101.26 41 810.13 90 088.61 -//- 328 012.65 3 328 012.65 32 801.27 99 097.47 -//- 228 915.18 4 228 915.18 22 891.52 109 007.22 -//- 119 907.96 5 119 907.96 -//- 0ExerciceUne entreprise emprunte un capital remboursable par annuités constantes aux taux d’intérêts annuelssuivants : 5% pendant les cinq premières années, 6% pendant les six années suivantes et 7% pendantles sept dernières années. Elle rembourse chaque année 50 000.a) Calculer le montant de l’emprunt. b) Quel est le coût de l’emprunt ? c) À la date anniversaire de ladixième année de l’emprunt et après paiement de la dixième annuité, l’entreprise décide de rembourserle solde de l’emprunt. Quel est le montant du remboursement anticipé ? Quel est alors le coût del’emprunt ?ExerciceOn emprunte 200000 au taux annuel 12%. Le remboursement se fait en 6 mensualités égales.Dresser le tableau d’amortissement de ce prêt pour des taux mensuels équivalents.3) On considère un remboursement d’un emprunt en n versements de fin de période, demontant a et au taux par période i. Montrer que a) les amortissements forment une suitegéométrique de raison 1 + i et de premier terme a(1 + i)−n ; b) le capital restant dû après le peversement est a.1 − (1 + i)p−n / iExerciceMr Missi place dans une banque à intérêt composé le 5 janvier de chaque année une sommede 300 000. Le premier versement est fait le 5 janvier 2001 et le dernier versement le 5 janvier2010. Le taux de capitalisation est de 9%. Le capital constitué est resté en banque jusqu’au 5janvier 2012 et a continué à produire les intérêts à 9%.Quelle est la somme qu’il disposera le 5/1/2010. Et celle du 5/1/2012.Réponse300 000. (1.09)9 -1 / 0.09 et 300 000. (1.09)9 -1. (1.09)2 /0.09ExerciceVous disposez de 1.000.000 le 10 mars 2012 que vous placez dans une banque à charge pourqu’elle vous verse tous les ans une somme constante 70.000. le premier versement de labanque intervient le 30 mars 2013 au taux d’intérêt de 10%.Quelle sera la date du dernier versement.Réponse1.000.000 = 70 000.1-(1.1)-n /0.1…..après on tire n=…Exercice (emprunt à taux d’intérêt progressif)Mr X contracte un emprunt dans le but de financer ses investissements. Taux d’emprunt est6% pendant 3 ans et 8% pendant 2 ans. Le montant de l’emprunt 800 000 et la durée deremboursement est de 5 ans.Etablir le tableau d’amortissement.RéponseCalcul de l’annuité constante a…800 000=a.1-(1.06)-3 /0.06 →a=191 833.85 Dette début Intérêts Amorts Anuités Dette fin 800 000 48 000 143 833.85 191 833.85 656 166.15 656 166.15 39 369.97 152 463.88 191 833.85 503 702.27 6
    • 503 702.27 30 222.14 161 611.71 191 833.85 342 090.56 342 090.56 27 367.24 164 466.61 -//- 177 623.95 177 623.95 14 208.90 177 623.95 -//- 0 Exercices et correction -Emprunts IndivisExercice 1 : EmpruntMonsieur Boujas gagne 18 000 par mois et n’anticipe pas de modification de ses revenus dansl’avenir. Il veut effectuer un emprunt immobilier sur 15 ans.Sachant que le banquier accepte un ratio mensualité/revenu de 30% et qu’il lui propose unfinancement à 7%, quel est le montant peut-il emprunter ?Solution :Il faut calculer la capacité de remboursement du client : R = 18 000 × 0.3 = 5 400.Puis calculons le montant du prêt possible. 0 1 2 15 12=180 180 flux de 5 400 C0 ? C0 = 5 400 × . ≈ 600 782,17 • Utilisation de la calculatrice • CLEAR ALL • 12 P/YR • 15 x P/YR • 7 I/YR • 5 400 PMT • PV Résultat ► - 600 782.1711Exercice 2 : Tableaux d’amortissementOn considère un emprunt indivis de montant 200 000 le 01.01.2006, remboursable en 5 ans au tauxd’intérêt de 7% (assurance comprise). 1er remboursement le 01.01.2007 (remboursements par annuités)Présenter le tableau d’amortissement correspondant à chacune des trois modalités possibles deremboursement, les annuités étant perçus tous les 1er janvier. Calculer la somme des intérêts versés.Solution : • Par annuités constantes : Soit : R = 200 000 × ≈ 48 778.14 Montant du Date remboursement Intérêt Créance amortie Assurance Capital restant dû R In = Cni Kn = R-In-An An=Cna Cn=Cn-1 - Kn 01/01/2006 200 000.00 01/01/2007 48 778.14 14 000.00 34 778.14 0.00 165 221.86 01/01/2008 48 778.14 11 565.53 37 212.61 0.00 128 009.25 01/01/2009 48 778.14 8 960.65 39 817.49 0.00 88 191.76 7
    • 01/01/2010 48 778.14 6 173.42 42 604.72 0.00 45 587.05 01/01/2011 48 778.14 3 191.09 45 587.05 0.00 0.00total 243 890.69 43 890.69 200 000.00 0.00 • Par amortissements constants Montant du Date remboursement Intérêt Créance amortie Assurance Capital restant dû R=I+K In = Cni K = C0/n An=Cna Cn=Cn-1 - Kn01/01/2006 200 000.0001/01/2007 54 000.00 14 000.00 40 000.00 0.00 160 000.0001/01/2008 51 200.00 11 200.00 40 000.00 0.00 120 000.0001/01/2009 48 400.00 8 400.00 40 000.00 0.00 80 000.0001/01/2010 45 600.00 5 600.00 40 000.00 0.00 40 000.0001/01/2011 42 800.00 2 800.00 40 000.00 0.00 0.00total 242 000.00 42 000.00 200 000.00 0.00 • In fine Montant du Date remboursement Intérêt Créance amortie Assurance Capital restant dû R=I+K In = Cni K = C0/n An=Cna Cn=Cn-1 - Kn01/01/2006 200 000.0001/01/2007 14 000.00 14 000.00 0.00 0.00 200 000.0001/01/2008 14 000.00 14 000.00 0.00 0.00 200 000.0001/01/2009 14 000.00 14 000.00 0.00 0.00 200 000.0001/01/2010 14 000.00 14 000.00 0.00 0.00 200 000.0001/01/2011 214 000.00 14 000.00 200 000.00 0.00 0.00total 270 000.00 70 000.00 200 000.00 0.00Exercice: Emprunt immobilier1°) Tracez le diagramme des flux.2°) Déduisez-en l’équation vérifiée par C. Simplifiez cette équation et calculez C. 8
    • Exercice: Emprunt à annuités constantes1°) Soit a le montant de l’annuité. Calculez a en détaillant votre calcul.2°) Dressez le tableau d’amortissement de l’emprunt puis remplissez-le. Emprunt obligataires 9
    • I – Définition : Les Obligations : un placement presque sûr 1. Quest ce que cest ?Les obligations font partie des valeurs mobilières. Il sagit de titres de créance émis par une société, unétablissement public, une collectivité locale ou lEtat en contrepartie dun prêt.Lobligataire détient une reconnaissance de dette que lémetteur sengage à rembourser à une échéanceconvenue et à servir au porteur un intérêt annuel indépendant de lévolution de ses résultats et mêmeen labsence de bénéfice.Le contrat démission doit indiquer : • le prix démission, • la date de jouissance (départ du calcul des intérêts), • la date de règlement, la durée de lemprunt, • le coupon (intérêt annuel), • le taux de rendement actuariel brut (rendement effectivement perçu pendant la durée de lemprunt), • la date de remboursement, le remboursement éventuel par amortissement. 2. Avantages et InconvénientsLavantage du placement en obligation est la sécurité du placement : en effet, le rendement est garantiet la mise de fonds est assurée dêtre récupérée à léchéance.Cependant, il existe certains risques : ainsi, si lémetteur est en faillite, il ne pourra pas ni payer lesintérêts ni rembourser lobligation. Cest ce quon appelle le risque de signature. Mais ce risque peutêtre évité en choisissant des obligations sûres comme les obligations dEtat ou de sociétés renommées.Le revers de la médaille est la faiblesse des taux alors offerts.Aussi, il y a le risque de taux : lorsque les taux dintérêt augmentent, le cours des obligations anciennesbaisse puisque les obligations nouvellement émises sont plus attractives. Inversement, lorsque les tauxdintérêt diminuent, le cours des obligations anciennes augmente car leurs rendements sont supérieursà ceux des nouvelles obligations.Enfin, il y a le risque de perte en capital lorsquà la fois les taux dintérêts augmentent et le titulairedobligations décide de les céder : en effet, ces obligations ne prendront pas toujours preneurs. Maisdans le cas où les taux dintérêts baissent, le titulaire dobligations peut sattendre à réaliser des plus-values sil vend les obligations avant leurs échéances. • Avantages o Rendement garanti o Mise de fonds assurée dêtre récupérée à léchéance o En cas de diminution des taux dintérêts, possibilité de réaliser des gains en cas de vente des obligations avant leurs échéances • Inconvénients o Risque de signature o Risque de taux o Risque de perte de capital si les obligations ne sont pas conservées jusquà léchéance 3. La gestion des obligationsLe titulaire dobligation reçoit chaque année un intérêt quon appelle le coupon. Ce coupon est verségénéralement en une seule fois mais il peut y avoir des versements trimestriels.Si lobligation est à taux fixe, le coupon sera chaque année du même montant. Mais le coupon annuelpeut varier dune année à lautre lorsque en cas dobligations à taux variable ou à taux révisable.Lachat des obligations lors de leur émission se fait sur le marché primaire (Cest le marché démissiondes titres (introductions en bourse)) et le règlement des titres est réalisé trois semaines après lannoncede lemprunt. Aussi, lacquisition des obligations plus anciennes seffectue sur le marché secondaire 10
    • (Cest le marché ou se négocient et séchangent les titres en bourse) où séchangent les obligationscotées en Bourse : cest en particulier sur ce marché que les obligations sont revendues avant leurséchéances. 4. Quelques obligations particulières • Les obligations assimilables au Trésor (OAT) : ce sont des titres de créance qui représentent une part dun emprunt à long terme émis par lEtat. LEtat sengage alors à rembourser à lobligataire en une seule fois cette part demprunt à une échéance de sept à trente ans et dont la rémunération est un intérêt annuel. Les OAT sont cotées en Bourse pendant toute la durée de leur vie, ce qui permet dailleurs à leur porteur de sen défaire facilement. La valeur nominale est celle qui sera remboursée à échéance et sur laquelle sont calculés les intérêts. Le prix démission est le prix dachat de lobligation, il peut être différent de la valeur nominale. Depuis octobre 1994, les OAT à dix ans à un prix fixe peuvent être achetées chaque mois chez un intermédiaire financier du premier jeudi au vingt quatre du mois. Le prix inclut une commission dachat de 2 % de la valeur nominale. • Les obligations convertibles en actions (OCA) : ce sont des obligations ayant la possibilité dêtre converties en actions à tout moment ou plusieurs époques déterminées à lavance par lémetteur. Cependant, ces obligations sont émises à un taux inférieur aux obligations classiques (on ne peut pas avoir le beurre et largent du beurre !). Cela permet néanmoins au porteur de ce type dobligation de bénéficier dune gestion flexible et attractive : en effet, lorsque le cours de laction augmente et devient supérieur à la valeur de remboursement de lobligation, le porteur convertira son obligation en action afin de profiter dun meilleur rendement. • Les obligations à coupon zéro : ce sont des obligations émises à un prix bas et remboursées à un prix élevé, ce qui permet au porteur de ce type dobligation de réaliser une plus-value intéressante. En revanche, ces obligations ne rapportent aucun intérêt. 5. Bilan AvantagesPour l’émetteur • Taux d’intérêt versé inférieur à celui des obligations classiques. • Facilité de placement en cas de conjoncture difficile. Clientèle potentielle large (amateurs d’actions et amateurs d’obligations). • En cas de conversion, la dette ne sera pas remboursée. • Augmentation de capital potentielle réalisée avec une prime d’émission plus importante qu’en cas d’augmentation de capital immédiate : les OCA (Obligations Convertibles en Actions) ont un prix de conversion supérieur au cours initial de l’action. • Produit anti-OPA, les OCA sont des actions potentiellesPour le • Rendement garanti.souscripteur • Si le cours de l’action dépasse le cours de l’obligation, celle-ci peut être convertie en action si la valeur de conversion est supérieure au cours de l’obligation. • Le cours de l’obligation convertible en action augmente quand le cours de l’action augmente et ne descend pas en dessous d’un certain niveau lorsque l’action baisse, puisque c’est un titre qui sert un taux d’intérêt fixe. 11
    • 6. Exemple Cours du jour Taux Coupon Date du Cours (en % de la Code ISN Valeur actuariel couru (en % prochain précédent valeur brut du nominal) coupon nominale) CREDIT AGRICOLE SA (EX CNCA)FR0000186 4,90% - 03/2011 CB 98,71 98,76 4,46 2,2311 15/03/06 223FR0000186 5,60% - 12/2011 CA 107,09 107.9 107.18 4.54 6944 groupes de cotation :• CA = titres cotés en continu et ayant un large marché,• CB = idem avec marché moins important• FA = 2 cotations par jours• FB = 1 cotation par jourII – La cotation• le nominal Comme les actions, une obligation a un nominal. Cest sur ce montant que sera calculé les coupons qui vous seront versés par la société. Le nominal des obligations est souvent fonction du type dobligations. Mais dans certains cas, lAMF (BEAC) peut imposer à lémetteur daugmenter la part de son nominal afin de limiter la souscription à des investisseurs plus avertis.• le taux dintérêt nominal Il sagit du taux dintérêt permettant le calcul des coupons. Ainsi avec un nominal de 500 et un taux dintérêt nominal de 6%, vous percevrez chaque année 500 × 6% = 30.• le prix démission Afin dattirer de nombreux investisseurs, il nest pas rare que le prix démission de lobligation soit inférieur à la valeur nominale. Il en est de même pour le marché actions lors de lintroduction en bourse. Il est possible également, dans des cas plus rares, que le prix démission soit supérieur au montant du nominal. Dans la pratique, lentreprise remboursera à léchéance de lobligation un montant supérieur à celui emprunté.• le prix de remboursement A léchéance de lobligation, le montant de cette dernière vous aura été totalement remboursé. Ce remboursement peut être supérieur au montant du nominal, et ce afin daccroître lintérêt pour les investisseurs. La différence entre le prix de remboursement et le nominal est appelé prime de remboursement.• la cotation des obligations Comme tout instrument financier, une obligation peut être négociée, échangée en toute simplicité. De fait, le cours dune obligation évolue en fonction des taux dintérêts et dautres éléments spécifiques à une obligation. Mais il est important de savoir quune obligation est cotée en pourcentage de son nominal et non en unités monétaires.• Le coupon couru C’est la fraction du coupon correspondant à la durée écoulée depuis le paiement du dernier coupon d’intérêts. Il inclut (depuis 1995) le délai s’écoulant entre la date de négociation et la date de règlement – livraison, soit 3 jours ouvrés. Cest-à-dire un intervalle de temps incluant 3 jours ouvré. Par exemple si c’est un mardi, on compte 3 jours, si c’est un jeudi, on compte 5 jours. Attention : Le coupon couru (en %) est exprimé avec 3 décimales. 12
    • ► Exemple 1Soit une obligation de nominal 2 000, au taux de 6,40%, émise le 25.10.N, remboursable le25.10.N+5. Quel était le coupon couru à la date du mardi 12.12.N+3 (date de négociation) ?Solution :Nombre de jours du 25.10.N+3 au 12.12.N+3 : (31-25)+30+12 = 48 joursLe 15.12.N+3 étant un mardi, la durée sur laquelle on doit calculer le coupon couru est : 48 + 3 = 51jours ▪ Coupon couru (en valeur) : ≈ 17,885 ▪ Coupon couru (en % du nominal) : = 0,8942 ou ≈ 0,008942 = 0,8952 %• La valeur d’une obligation à une date donnée Valeur de l’obligation = Valeur cotée + Valeur du coupon couru► Exemple 2Soit une obligation de nominal 2 000, cote du jour 122,60, coupon couru (en %) : 6,396Solution :Valeur totale = …… × 2000 = 2579,92III– Taux actuariel brut (ou taux de rendement actuariel brut)Il sagit du taux dintérêt réellement perçu par linvestisseur. Ce taux se calcule à partir de la valeurdacquisition de lobligation et en fonction des différents coupons.• Définition :A une date donnée, le taux actuariel brut d’un emprunt est le taux pour lequel il y a équivalence entrela valeur des obligations à cette date et l’ensemble des annuités qui restent à recevoir.Le taux actuariel d’une obligation est le taux de rendement réel de cette obligation si elle est conservéejusqu’à son remboursement.• Exemple résolu : 25 25 0 1 2 3 25 + -495Supposons que vous investissiez à lémission dans une obligation de nominal 500 à un prix démissionde 495 avec un taux nominal de 5% pendant 3 ans. Vous percevrez donc des coupons de 25€ pendant3 ans. Le taux actuariel se calcule ainsi :495 = 25 × (1+t) + 25 × (1+t) + 525 × (1+t)On peut aussi écrire que t est la solution de l’équation : 495 = 25 × (1+t) – 1 × ….. + 500×(1+t)Soit 495 = 25×…. + 500×(1+t)(Écrivez 495 = 25 × (1+t) + 25 × (1+t) + 25 × (1+t) +500 × (1+t) ) 13
    • Il faut alors utiliser la calculatrice comme lors du calcul du TRI : Utilisation de la calculatrice financière (HP BII) • CLEAR ALL • 1 P/YR • - 495 CFj • 25 CFj • 2 Nj • 525 CFj • IRR/YR Résultat ► 5,3698 Remarque : La différence entre le taux dintérêt actuariel de 5,37% et le taux dintérêt nominal de 5% sexplique par le montant de la prime démission qui est positive (5€). ► Exemple 3 Soit un emprunt de 2 00 obligations émis le 1.7.N, de nominal 1 000 euros, prix de remboursement : 1 010 euros ; taux nominal de 5% ; remboursement : in fine, dans 5 ans. Calculer le taux actuariel brut à l’émission t. Solution : On peut raisonner sur 1 obligation t solution de : 1000 = 50 × …….+ 1010×(1+t) – 5 , on trouve IV– Valeur théorique d’une obligation à une date donnée Le taux actuariel brut d’une obligation à une date donnée est le taux de rendement exigé par les investisseurs à cette date pour ce type d’obligations (c’est-à-dire, compte tenu de la durée de remboursement, de la nature de l’émetteur…). Connaissant le taux actuariel brut, ou taux de marché, il est possible de retrouver le prix d’achat qu’un investisseur est prêt à payer pour acquérir l’obligation. ► Exemple 4 Dans l’exemple 3, calculer la valeur de l’obligation au 5.3.N+3, sachant que le taux pratiqué sur le marché est de 6,5 % pour ce type d’obligation. Retrouver alors la valeur cotée (ou valeur nue, ou valeur au pied du coupon). Pour 1 obligation 50 50 50 50 50+101 1.7.N 1.7.N+1 1.7.N+2 1.7.N+3 1.7.N+4 1.7.N+5 118 jours 5.3.N+3 -1 000 Solution : On peut raisonner sur 1 obligation Calcul du nombre de jours du 5.3.N+3 au 1.7.N+3 : (31-5)+30+31+30+1 = 118 jours5.4.N+ Valeur = 50×(1,065) – 118/365 + 50×(1,065) – (118+365)/365 + 1060×(1,065) – (118 + 2×365)/365 La valeur trouvée est la valeur à payer pour acquérir l’obligation le 5.3.N+3. On peut aussi retrouver la valeur cotée en déduisant les intérêts courus de ce montant. 14
    • Intérêts courus : 50× ……. ≈ 33,42Valeur cotée théorique (ou valeur nue ou valeur au pied du coupon) = 1 010,72 – 33,42 ≈V– Lien entre la valeur théorique d’une obligation et le taux d’intérêtLa valeur totale d’une obligation et la valeur cotée varient de façon inverse à la variation du tauxd’intérêt.(Quand l’un augmente, l’autre diminue)► Exemple 5 : Avec les données de l’exemple 4 Tauxd’intérêtpratiqué Valeur de l’obligation au 5.4.N+3 sur lemarché 1010.72t = 6,5% 50×(1,065) – 118/365 + 50×(1,065) – (118+365)/365 + 1060×(1,065) – (118 + 2×365)/365 euros 1 031.74t = 5.5% 50×(1,055) – 118/365 + 50×(1,055) – (118+365)/365 + 1060×(1,065) – (118 + 2×365)/365 euros 990.34t = 7.5 % 50×(1,075) – 118/365 + 50×(1,075) – (118+365)/365 + 1060×(1,075) – (118 + 2×365)/365 eurosVI– Sensibilité et duration 2. Définition de la sensibilité :La sensibilité d’une obligation est la variation de la valeur de cette obligation provoquée par lavariation de un point du taux d’intérêt. Cette variation est exprimée en pourcentage.La sensibilité permet ainsi de connaître la valeur future dune obligation en utilisant différentsscénarios de taux dintérêts. Elle mesure la durée de vie moyenne des obligations non encoreremboursées.► Exemple 6Calculer la sensibilité de l’obligation de l’exemple 3 en vous plaçant à la date d’émission. Il y a uneambiguïté, laquelle ?Solution :La valeur d’une obligation à l’émission au taux de t % est : V(t) = 50 × ……. + 1010×(1+t) – 5Donc : t 5% 6% 4% V(t) ≈ 1007.8353 ≈ 965.3489 ≈ 1052.7375Si le taux passe de ti = 5% à tf = 6%, la variation est : ……… ≈ - 4.216 %Si le taux passe de ti = 5% à tf = 4%, la variation est : ………… ≈ + 4.455 %On retient généralement la sensibilité liée à une augmentation de 1 point du taux soit une baisse de4.22%Cela signifie que le cours de l’obligation diminue de 4.22 % quand le taux d’intérêt du marchéaugmente d’un point.Utilisation de la calculatrice • CLEAR ALL • 1 P/YR 15
    • • 5 I/YR • 0 CFj (flux de 0 le 01.01.N) • 50 CFj • 4 Nj (2 flux identiques) • 1060 CFj • NPV Résultat ► 1007.8353 (c’est V((5%)) Puis inutile de tout recalculer, changez juste le taux • 6 I/YR • NPV Résultat ► 965.3489 (C’est V(%)) 3. Définition de la duration :La duration d’une obligation est la moyenne pondérée des dates d’échéances des diverses annuitéspar les flux monétaires (coupons et/ou remboursements) versés aux échéances, ces flux étant actualisésau taux du marché.► Exemple 7En reprenant l’exemple 3/4, calculer la duration de l’emprunt. Echéances 1 2 3 4 5 Flux (coupon et/ou 50 (1 +….) – 1 50 (1 +……) – 2 50 (1 +……) – 3 50 (1 +…..) – 4 1060 (1 +….) – 5remboursement) 4. Relation entre sensibilité et duration :► Exemple 8Vérifier la formule avec les exemples 6 et 7.Solution :On avait S = - 4.22 et D = 4.53 or - 4.34 ≈ - 4.22Remarque : La sensibilité est directement proportionnelle à la duration. 16