4. 1. Considere el espacio muestral S = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio,
uranio, oxígeno y zinc} y los eventos
A = {cobre, sodio, zinc}
B= {sodio, nitrógeno, potasio}
C = {oxigeno}
Liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes
eventos y represéntelos mediante un diagrama de Venn:
a) A’
b) (AUC)
c) (AnB´) UC´
d) B´ Ú C´
e) (A – B)´ U (B´n C´)
f) A (B – A )´
5. S = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno y zinc}.
A = {cobre, sodio, zinc}
B= {sodio, nitrógeno, potasio}
C = {oxigeno}
a) A’ = { nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno}
b) (AUC) = {cobre, sodio, oxígeno y zinc}
c) (A n B´) UC´
A = {cobre, sodio, zinc}
B´= {cobre, uranio, oxígeno y zinc}
A n B´ = {cobre y zinc}
C´= {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio y zinc}
(A n B´) U C´ = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno y zinc}
d) B´ Ú C´ = = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno y zinc}
e) A – B = {cobre, zinc}
(A – B)´ = {sodio, nitrógeno, potasio, uranio y oxigeno}
(B´ n C´) = {cobre, uranio y zinc}
(A – B)´ U (B´n C´) = {cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxígeno y
zinc}.
6. f) A (B – A )´
B – A = { nitrógeno, potasio}
(B – A)´= {cobre, sodio, uranio, oxígeno y zinc}.
A (B – A )´= {uranio y oxígeno}.
7. Son los subconjuntos del espacio muestral.
S= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18)
Subconjuntos:
Múltiplo de 5 A = (5, 10, 15).
Numero Primo C = (2, 3, 5, 6, 7,11, 13, 17).
Mayor o igual que 12 D = (12,13,14,15,16,18).
8. 2. Cuatro matrimonios compran 8 lugares en la misma fila para un
concierto. ¿De cuantas maneras diferentes se
pueden sentar?
a) Sin restricciones?
b) Si cada pareja se sienta junta?
c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las
mujeres?
9. a) Sin restricciones?
8!= 8X7X6X5X4X2X1
= 40320 maneras diferentes
b) Si cada pareja se sienta junta?
Hay 4! Maneras de sentarsen ya que hay 4 parejas, ademas cad miembro
de una pareja puede intercambiar, por lo tanto, hay
2 a la 4 (4!) = 384 maneras diferentes
10. c) Si todos los hombres se sientan juntos a la derecha de todas las
mujeres?
Recordemos, que si una operación se puede llevar a cabo en n formas, y si
para cada una de estas, se puede realizar una segunda operación en n dos
formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar de n uno y n
dos formas, así, tanto hombres como mujeres pueden sentarsen en
(4!) (4!) = 76 maneras.
11. Se usa las operaciones básicas de subconjuntos unión, intercesión,
complemento.
12. Diagrama de venn representan un espacio muestral y sus eventos:
13. DIAGRAMAS DE ARBOL
Es una especie de mapa de acontecimientos de un
espacio muestral y sus acontecimientos.
14. Es el numero de veces que ocurre un evento, principio de
multiplicación, diferentes maneras de combinar elementos.
15. Concepto de factorial de un numero no negativo
6! = 6×5×4×3×2×1= 720
16. Una permutación de los elementos es una acomodo u
ordenamiento de ellos.
17. Es un conjunto de elementos con subconjuntos donde el orden no
se tiene en cuenta.
18. Combinación o arreglo ordenado en donde siempre hay reemplazo
del elemento que se toma.
En un lanzamiento: 2 21 = casos posibles
• En dos lanzamientos: 422 = casos posibles
• En tres lanzamientos: 283 = casos posibles
19. Es la manera de calcular la probabilidad de ocurrencia de un
resultado.
Probabilidad que el numero cinco caiga des pues de un
lanzamiento.
20.
21. Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con
cada elemento del espacio muestral.
Ejemplo: Supongamos que nos interesamos por el número de varones
X en el experimento de observar al azar dos niños recién nacidos
(Sea H = hombre y M = mujer). Entonces, el espacio muestra, los
valores de la variable aleatoria X que cuenta el número de varones y
su función de probabilidad se dan en la siguiente tabla:
S Valores de X: xi F (Xi)
MM 0 F (0) = 1/4
MH , HM 1 F (1) = 2/4
HH 2 F (2) = 2/4
Total: 4/4 = 1
22. Variable aleatoria discreta: es cuando puede contar su conjunto
de resultados posibles. Se representan datos contados
Variable aleatoria continua: es cuando se puede tomar valores en
una escala continua. Muchas veces los posibles valores de una
variable aleatoria continua son precisamente los mismos valores
que contiene el espacio muestral. En la mayor parte de los
problemas prácticos, se representan datos medidos, como son los
posibles pesos, alturas, temperaturas o períodos de vida.
23. El conjunto de pares ordenados (x,f(x)) se llama función de
probabilidad o distribución de probabilidad de la variable aleatoria
discreta X.
• El conjunto de pares ordenados (x,f(x)) es una función de probabilidad,
función de masa de probabilidad o distribución de probabilidad de la
variable aleatoria discreta X,
1. F (x) > 0,
2. Σ F(x) = 1,
3. P (X=x) = f(x)
24. El valor esperado de una Variable Aleatoria X es el promedio ponderado
de todos los valores posibles de la misma. Donde los pesos son las
probabilidades asociadas con los valores.
Para calcular el valor esperado de una variable aleatoria por su
correspondiente probabilidad y luego sumar los términos resultante.
E(x) = μ = E xf (x)
25. Ejemplo:
En una ciudad, la temperatura máxima durante el mes de junio está
distribuida normalmente con una media de 26º y una desviación típica de
4º.
Calcular el número de días que se "espera", tengan temperatura máxima
comprendida entre 22º y 28º.
Como se trata de una distribución Normal, tipificamos (estandarizamos)
los valores 22 y 28:
z1= (22 – 26) / 4 = -1
z2 = (28 – 26) / 4 = 0, 5
Entonces la probabilidad de que en un día de junio la temperatura máxima
esté entre 22 y 28º es:
p( 22< x < 28) = p( -1 < z < 0,5 ) = 0, 5328
Y el número esperado (esperanza) de días es:
E(x) = n * p = 30 * 0, 5328 ≈ 16 días
26. Es un promedio ponderado de las de las desviaciones al cuadrado.
Varianza = E ( x - μ )² f ( x)
27. La distribución Binomial es un caso particular de probabilidad de variable
aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más
importante.
Esta distribución corresponde a la realización de un experimento
aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:
* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A,
llamado éxito, y el suceso B , llamado fracaso.
* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de
los resultados obtenidos anteriormente.
* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una
prueba del experimento a otra.
* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.
28. Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el
modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.
En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y
de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la
distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:
Donde:
P(X)= es la probabilidad de ocurrencia del
evento
p = es la probabilidad de éxito del evento (en un intento)
q = es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) (se define como
q = 1 – p )
X = ocurrencia del evento o éxitos deseados
n = número de intentos
