Fisica antologia fenómenos de transporte

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Libro de física, fenómenos de transporte en la bioingeniería

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Fisica antologia fenómenos de transporte

  1. 1. INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA ANTOLOGÍA DE LA ASIGNATURA FENÓMENOS DE TRANSPORTE ELABORADO POR:M. EN C. MARÍA GUADALUPE ORDORICA MORALES 2008
  2. 2. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteCONTENIDO I. Introducción y conceptos básicos. 1.1 Panorama general de los fenómenos de transporte en la bioingeniería 1.2 Sistemas de unidades 1.3 Conversiones 1.4 Conceptos básicos de física y matemáticas 1.5 Ley de Newton de la viscosidad 1.6 Fluidos no Newtonianos 1.7 Viscosidad: Estimaciones II. Transferencia de cantidad de movimiento. 2.1 Balances de cantidad de movimiento 2.2 Flujo de una película descendente. 2.3 Flujo a través de un tubo circular 2.4 Flujo a través de un espacio anular 2.5 Flujo reptante alrededor de una esfera sólida 2.6 Ecuaciones de variación 2.7 Ecuación de continuidad 2.8 Ecuación de cantidad de movimiento 2.9 Ecuaciones de variación en coordenadas curvilíneas 2.10 Análisis dimensional de las ecuaciones de variación 2.11 Uso de las ecuaciones de variación 2.12 Factores de fricción. III. Transferencia de energía. 3.1 Ley de Fourier de la conducción de calor 3.2 Conductividad térmica: Estimaciones 3.3 Balances de energía 3.4 Conducción con disipación térmica 3.5 Conducción con reacción química 3.6 Conducción en paredes compuestas 3.7 Conducción en una aleta de enfriamiento 3.8 Convección forzada 3.9 Convección libre 3.10 Ecuaciones de variación 3.11 Ecuaciones de energía 3.12 Ecuaciones de variación en coordenadas curvilíneas 3.13 Uso de las ecuaciones de variación 3.14 Coeficientes de transmisión de calorIV. Transferencia de materia 4.1 Ley de Fick de la difusión binaria 4.2 Difusividad: Estimaciones 4.3 Balances de materia 4.4 Difusión a través de una película de gas estancada 4.5 Difusión a una película líquida descendente 4.6 Ecuaciones de variación 4.7 Ecuación de continuidad para sistema multicomponente 4.8 Uso de las ecuaciones de variación 4.9 Coeficiente de transferencia de masa M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  3. 3. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte CONCEPTOS BÁSICOS M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  4. 4. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteI Conceptos BásicosTermodinámica: Forma de aprovechamiento energético de las sustancias, generación denuevas formas de energía y transferencia de materia.La termodinámica es la ciencia donde se tratan temas que relacionan los sistemastermodinámicos con sus alrededores. De esta relación se desprenden la forma deaprovechamiento energético de las sustancias, la generación de nuevas formas deenergía y la transferencia de materia para crear orden o desorden.Donde el sistema esta caracterizado por sus variables termodinámicas las cualesdescriben el estado del sistema: • Presión Pabs = Pmanometrica + Patmosferica • Volumen 0> Pmanometrica • Temperatura Patm > 0Un sistema termodinámico es una colección de materia que ocupa una región en elespacio sobre el cual se enfoca la atención para su estudio y análisis. Se define losalrededores del sistema como aquella porción de materia que ocupa la región del espacioque está fuera del sistema seleccionado. La superficie que separa el sistema de susalrededores se denomina frontera del sistema y a través de ésta se realiza la transferenciade energía, materia y/o cantidad de movimiento. Transferencia SISTEMA de masa, energía o momento. Frontera Fig 1.1 Esquema representativo de un sistemaExisten 3 clases de sistema (ver figura 1.2). Sistemas Aislados: los cuales no pueden intercambiar ni energía ni materia con el entorno. Sin embargo, cada parte de ésta clase de sistema se constituye en un subsistema rodeado por las partes restantes y por lo tanto, se darán los intercambios de materia y energía para que cuando el sistema alcance el equilibrio, todas las partes del sistema sean indistinguibles. Sistemas Cerrados: los cuales intercambian energía con su exterior pero no materia. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  5. 5. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Sistemas Abiertos: los cuales intercambian energía y materia con el exterior.Los sistemas pueden ser Homogéneos (Pueden ser mezclas, pero deben ser medioscontinuos) y heterogéneos. Fig 1.2 Diferencia entre los tres tipos de sistemasPara los sistemas homogéneos los fenómenos que involucran el desplazamiento o flujode masa, energía, o cantidad de movimiento, de denomina fenómeno de transporte, y semodela empleando ecuaciones diferenciales que expresan los flujos en términos decambios infinitesimales de las variables. Fig 1.3 Diferencia entre los sistemas homogéneos y heterogéneos M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  6. 6. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteSistema de unidades. Unidades Básicas: longitud (l), masa (m), tiempo (t), temperatura (T), concentración química (mol), corriente Componente Unidades derivadas: fuerza (F), velocidad (v ), aceleración (a), presión (P), etc M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  7. 7. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  8. 8. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteClasificación de los fluidosUn fluido es una sustancia o medio continuo que se deforma continuamente en el tiempoante la aplicación de una solicitación o tensión tangencial sin importar la magnitud deésta.También se puede definir un fluido como aquella sustancia que, debido a su pocacohesión intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que locontiene. No Newtonianos:Un fluido no newtoniano es aquél cuya viscosidad varía con la tensión cortante que se leaplica. Como resultado, un fluido no-newtoniano no tiene un valor de viscosidad definido yconstante, a diferencia de un fluido newtoniano.Suspensiones densas, lodos, emulsiones, soluciones de polímetros de cadena larga,fluidos biológicos, alimentos líquidos, Pinturas, suspensiones de arcillas, etc. Newtonianos:Es un fluido con viscosidad en que las tensiones tangenciales de rozamiento sondirectamente proporcionales al gradiente de velocidades.Gases y fluidos de moléculas sencillas, el aire, el agua, la gasolina y algunosaceites minerales.El gradiente de velocidad en un punto es proporcional al esfuerzo cortante en dicho punto. dv / dx α Ecu. 1El gradiente de velocidad es proporcional al esfuerzo cortante impuesto al fluido (ver fig1.4). Ley de Newton de la Viscosidad Fig 1.4 Representación de la les de Newton de la viscosidadPerfil de velocidad en estado estacionario entre dos laminas M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  9. 9. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Una vez alcanzado el régimen estacionario es preciso aplicar un fuerza cortante F para conservar el movimiento de la lámina interior. Esta fuerza viene dada por la expresión: µ es la viscosidad del fluidoEl régimen de flujo esta dado por el número de Reynolds, el cual es adimensional. Re = D v ρ / µ Re < 2100 Flujo laminar Re > 2100 Flujo turbulento D = Diámetro de la tubería (m) V = velocidad del fluido (m/s) ρ = Densidad del fluido (Kg/m3) µ = viscosidad del fluido (m s/ Kg) Plásticos de Bingham la relación de esfuerzo cortante frente al gradiente de velocidad, es lineal pero no pasa del origen. = 0 + (dv/dY) 0=Tensión o esfuerzo de fluencia = Viscosidad plástica Pseudo plásticos y dilatantes que siguen un comportamiento potencial (Fluido de la ley de la potencia) la relación entre esfuerzo cortante y gradiente de velocidad no es lineal. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  10. 10. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Log = log K (dv/dy) Log = log K (dv/dy) Log = log K + log (dv/dy)Plásticos en general tienen características de plásticos de Bingham = 0 + K (dv/dy) es el indice de comportamiento del fluidoLa densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento sigue la dirección del gradientenegativo de velocidad por lo que el gradiente de velocidad se considera como una fuerzaimpulsora del transporte de la cantidad de movimiento.La viscosidad es la propiedad de un fluido que se opone al movimiento relativo de capasadyacentes en el fluido.La viscosidad en gases la densidad aumenta con la temperatura.La viscosidad en líquidos disminuye al aumentar la temperatura.En gases, la cantidad de movimiento se transporta por las moléculas que se desplazanlibremente, mientras que en los líquidos el mecanismo principal del transporte de cantidadde movimiento coincide en el choque efectivo de las moléculas. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  11. 11. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransportePrincipio de estados correspondientesEstablece que todas las sustancias puras en la región fluida pueden describirse con lasecuaciones de funcion de dos variables reducidas. PV = z RT Pr = P / Pc Tr = T / Tc yx = - µ ( dvx/dy) yx [=] N/m2, dina/ cm2 Ley de Newton Vx [=] m / s , cm / s de la viscosidad Y [=] m, cm µ [=] Kg/ms ó g / cms ó poise V = µ/ ρ [ = ] m2/s Viscosidad cinéticaMétodos para determinar la viscosidad Método de Uyehara.El valor de µc se puede estimar con la siguiente expresión. µc = 61.6 (PMTc) ½ (Vc) -2/3 Ecu. 1.a µc = 7.70 PM ½ Pc 2/3 Tc -1/6 Ecu 1.b µc [=] micropoises Pc [=] atmosferas (atm) Tc [=] kelvin (K) Vc [=] cm3 / g mol M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  12. 12. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Fig 1.5 Viscosidad reducida r = / c, en función de la temperatura reducida, para distintos valores de la presi6n reducida Pr = P / Pc. [O. A. Uyehara y K. M. Watson, Nur. Perroleum News, Tech Section 36,764 (Oct. 4, 1944); revisada por K. M. Watson (1960). Una versi6n a gran escala de este gráfico se inserta en 0. A. Hougen, K. M. Watson y R. A. Ragatz, C. P. P. Chats Wiley, Nueva York (1960), Segunda edición. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  13. 13. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteEjemplo 1.1 Calcule la viscosidad del Nitrógeno molecular (N2) a 50 ° y 854 atm Cutilizando el método de Uyehara.PM = 28.02Pc = 33.5 atm (obtenido de tabla)Tc = 126.2 K (obtenido de tabla)T = 50 ° = 323 K CP = 854 atmµc = 180 x106 g / cm s (teórico)Aplicando la ecuación 1.b se obtiene:Calculando la Temperatura y Presión reducida para interpolar en la grafica 1.5 se tiene:En la Fig. 1.5 se lee que µ/µc = 2.39 = µr aproximadamente. Por tanto, el valor estimadode la viscosidad es:El valor experimental es 455x10-6. El error en este caso es mínimo por lo que el métodoes aceptable.Nota: se le deja al alumno que compruebe el resultado utilizando la ecuación 1.a Método de KobayashiEl valor de µc se puede obtener de tablas. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  14. 14. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Fig. 1.6 Viscosidad reducida r = / c en funci6n de la presión reducida Pr = P / Pc, y la 1.6 temperatura reducida Tr = T / Tc,. [N. L. Carr, R. Kobayashi y D. B. Burroughs, Am. Insr. Min.& Met. Engrs., Petroleum Tech., 6, 47 (1954). M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  15. 15. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransportePostulados de la teoría cinética de los gases • Gases constituidos por partículas que se mueven en línea recta y al azar • Movimiento se modelan si las partículas chocan entre si o con las paredes del recipiente. • La velocidad de las partículas se considera despreciable • Entre partículas no existen fuerzas de atracción ni de repulsión • La energía cinética media de las partículas es proporcional a la temperatura absoluta del gas. Método por la ecuación de Chapman-EnskogSe basa en la teoría cinética de los gases, esta teoría da expresiones de los coeficientesde transporte en función de la energía potencial de interaccione entre dos moléculas degas.donde ϵ/K = 0.77 Tc σ = 0.841 Vc1/3 ó 2.44 (Tc/Pc)1/3 ϵ/K [=] K ϵ/K = 1.15 Tb σ = 1.116 V 1/3 σ [=] Amstrong ϵ/K = 1.92 Tm σ = 1.22 V1/3 Pc [=] atm µc [=] g / cm sEjemplo 1.2 La viscosidad del CO2 a 45.3 atm y 40.3 ° es 1800 x 10 -7 poise. Estimar el C,valor de la viscosidad a 114.6 atm y 40.3 ° Utilizando el método de Kobayashi. C.T1 = 40.3 ° = 313.5 K CP1 = 45.3 atmµ1 = 1800 x 10-7 poisepor lo tanto la Pr y Tr son: M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  16. 16. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteCon estos valores se interpola en la grafica de la figura 1.6 y se tiene una µ# de 1.12 quecorresponden a las condiciones iníciales del problema, por lo tanto µ° = µ/µ# es de: 1610 x10 -7 poiseY para calcular a las condiciones deseadas:T2 = 313.5 KP2 = 114.6 atmµ2 = ? ?por lo tanto Tr = 1.03 y Pr = 1.57 interpolando µ# = 3.7para calcular la viscosidad se tiene: µ = µ# µ° = (3.7) (1610 x 10-7poise) = 5957 x 10 -7 poiseEl valor experimental es de 5800 x 10 -7 poises.Ejemplo 1.3 Calcular la viscosidad del CO2 a 1 atm y: a) 200 K b) 300 K c) 800 K µ T (K) σ ϵ / k ( K) KT/ϵ µ experimental (x 10 -4) 200 3.996 190 1.053 1.549 1.015 300 3.996 190 1.579 1.296 1.495 800 3.996 190 4.21 0.96 ----- M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  17. 17. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte2. Distribución de velocidadVx, y , z , θ, r = variables que se utilizan en las ecuaciones de cantidad de movimiento. Ecuación general de Balance de Cantidad de movimiento >0 Entrada – Salida + Generación – Consumo = Acumulación 0 <0Balance de cantidad de movimientoPrimero se selecciona una envoltura delgada de fluido que tenga la misma geometría queel objeto sobre el cual se hace el balance.La ecuación para el flujo rectilíneo en estado estacionario, el balance de cantidad demovimiento es:Fuerzas de interés son: Presión (que actúa sobre la superficie) y gravedad (que actúansobre el volumen)Transferencia de cantidad de movimiento.El movimiento se transfiere de dos maneras 1. Viscoso: es una transferencia perpendicular al movimiento del fluido. 2. Cinético: es un transferencia paralela al movimiento del fluido.Procedimiento para la resolución de un problema: 1. Escribir el balance de cantidad de movimiento para una envoltura de espesor finito. 2. Se hace tender el espesor a cero utilizando la definición matemática de la primera derivada con el fin de obtener la ecuación diferencial que describe la distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. 3. Se introduce la expresión newtoniana de la densidad de flujo de cantidad de movimiento para obtener una ecuación diferencial para la distribución de velocidad. 4. Se resuelve la ecuación para obtener las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad en el sistema. 5. Se evalúan las constantes de integración utilizando las condiciones limites del sistema. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  18. 18. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteEcuación general de transporte molecularLos tres procesos de transporte molecular de momento lineal, calor y masa secaracterizan por el mismo tipo de ecuación de transporte. Viscosidad Cantidad de calor Difusividad térmicaEl transporte molecular de una partícula se lleva a cabo en un fluido por los movimientosde las moléculas individuales. (Figura 2.1) Flujo de una película descendente Fig. 2.1 Diagrama esquemático del experimento de una película descendente, con indicación de los efectos finales. En la región de Longitud L la distribución de velocidad está totalmente desarrollada. Fluido newtoniano τ= -µ (dv/dy) Fluido incompresible ρ , µ = constantes Estado estacionario A = 0 v = constante Flujo laminar Re < 2100 M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  19. 19. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteEjemplo 2.1 ejemplo de la aplicación de flujo viscoso de una película descendente. Fig. 2.2 Flujo viscoso isotérmico de una película de líquido bajo la influencia de la gravedad, sin formación de ondulaciones. Capa de espesor ∆x sobre la que se aplica el balance de cantidad de movimiento. El eje y es perpendicular al plano del papel.Aplicando la ecuación de balance: Ecu 2.1Por estado estacionario A = 0 v = constante por lo tanto la velocidad es cero, por lo quela ecuación 2.1 queda: Ecu 2.2 2.2Multiplicando la ecuación 2.2 por -1 y dividiendo entre WL∆x y aplicando lomite cuando ∆xtiende a cero, obtenemos: Ecu 2.3 2.3 2.4 Ecu 2.4 M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  20. 20. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteIntegrando la ecuación 2.4 obtenemos: 2.5 Ecu 2.5Tomando en cuenta las condiciones de frontera: τxz = 0 cuando x = 0 y resolviendo laecuación 2.5 obtenemos que la constante C1 es cero.Por lo tanto el perfil de área del fluido es: 2.6 Ecu 2.6Sustituimos la ecuación 2.6 en la ley de Newton 2.7 Ecu 2.7Resolviendo la ecuación diferencial y despezando al perfil de velocidad obtenemos: Ecu 2.8Se evalúa la ecuación 2.8 con las condiciones de frontera 2 ( Vz= 0 cuando x = a, a=grosor de capa). Ecu 2.9La ecuación 2.9 es el perfil de velocidad del fluido.Condiciones de frontera.Para fluidos en movimiento se considera dos puntos importantes: 1. En la interface sólido-líquido (paredes) la capa del fluido pegada al as paredes no se mueve, sin embargo, adquiere la velocidad con la que se desplaza la pared τ=τmax M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  21. 21. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte 2. En el centro del perfil: la velocidad en este punto es máxima, por lo que el esfuerxo de corte es cero (τ=0) V = V max Velocidad del fluido Fig 2.3 Condiciones de frontera M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  22. 22. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteFlujo a través de un tubo circular CL2 r=R v=0 τ=τ CL1 r=0 v v max Fig 2.4 Flujo a través de un tubo circular y condiciones de frontera Entrada SalidaTransporte viscosoTransporte cinéticoFuerzas de presiónFuerzas de gravedadRealizando el balance de materia.Ecu 2.10 M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  23. 23. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteMultiplicando la ecuación 2.10 porY sustituyendo: Ecu 2.11Aplicar limite cuando ∆r tiende a cero Ecu 2.12 Ecu 2.13Integrando y resolviendo la ecuación con las CL1 se tiene que la C1=0 por lo que el perfilde área es: Ecu 2.14Sustituir el perfil de área en la ley de newton: Ecu 2.15Resolviendo la ecuación diferencial y aplicando las CL2 para obtener la C2 y el perfil develocidad del fluido en el tubo. Ecu 2.16Ecuación de Hagen-Poiseuille M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  24. 24. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteEsta ecuación establece la relación que existe entre la velocidad volumétrica de flujo y lasfuerzas que lo originan, para poder usar esta ecuación se tienen que usar las siguientescondiciones: 1. Flujo laminar 5. Efectos finales despreciables 2. ρ constante 6. Medio continuo 3. Estado estacionario 7. No hay deslizamiento en la pared 4. Fluido NewtonianoProblema: Flujo a través de una rendija Fig 2.5 Flujo a través de una rendijaUn fluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija formada por dos paredes planasseparadas una distancia 2B. Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento yobtener las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad demovimiento y de velocidad (ver figura 2.5): Solución: M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  25. 25. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteFlujo a través de una sección de corona circular Entrada Salida T. viscoso V = cte =0 T. cinético Fza P.Fig 2.6 Flujo ascendente a través de Fza g dos cilindros concéntricosVamos a considerar ahora otro problema de flujo viscoso en coordenadas cilíndricas, perocuyas condiciones límites son diferentes. Un fluido incompresible fluye en estadoestacionario a través de la región comprendida entre dos cilindros circulares, coaxiales deradios KR y R (véase Fig. 2.6). Comenzamos efectuando un balance de cantidad demovimiento sobre una fina envoltura cilíndrica, y se llega a la misma ecuación diferencialque se ha obtenido anteriormente para el flujo en un tubo en el ejemplo anterior ecuación2.13 Ecu 2.17Al Integrar obtenemos: Ecu 2.18En este caso C1 no puede ser cero como en el caso anterior por lo que las condicioneslimite son: r = λR = 0 y V1 = maxLo más que podemos decir es que ha de existir un máximo de la curva de velocidad en uncierto plano (hasta ahora desconocido) por lo que el perfil de es: Ecu 2.19 M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  26. 26. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Ecu 2.20Sustituir el perfil de área en la ley de newton: Ecu 2.21Resolviendo la ecuación diferencial e integrando con respecto a r. Ecu 2.23En este caso se tienen 2 condiciones limite mas:CL2:CL3:Al sustituir estas condiciones se obtienen dos ecuaciones para 2.23.a Ecu 2.23.a Ecu 2.23.bAl igualar ambas ecuaciones (2.23.a y 2.23.b)Resolviendo la ecuación y conocemos el valor de λ y y sustituyendo estas constantesen la ecuación de (2.23) se obtiene el perfil de velocidad para el fluido: Ecu 2.23 M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  27. 27. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte 3. Ecuaciones de variaciónEcuación de continuidadEsta ecuación es otra manera de expresar la ley de conservación de la materia y sededuce aplicando un balance de materia a un elemento estacionario de volumen ∆x, ∆y,∆z; a traves del que está circulando el fluido (véase Fig. 3.1). Fig 3.1 Región de volumen ∆x, ∆y, ∆z fijo en el espacio, a través de la cual esta circulando un fluido. Ecu 3.1 M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  28. 28. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos Tabla 3.1 Ecuaciones de movimiento en coordenadas rectangularesEn función de τEn función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de ρ y µ constantes M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  29. 29. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Tabla 3.2 Ecuaciones de movimiento en coordenadas cilíndricasEn función de τEn función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de ρ y µ constantes M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  30. 30. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Tabla 3.3 Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas rectangulares(x, y, z) Tabla 3.4 Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas cilíndricas (r, θ, z) M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  31. 31. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteFlujo a través de una rendija. (utilizando las ecuaciones de variación ecuación F de laTabla 3.1) Fig 3.2 flujo a través de una rendija Ecu 3.2Reacomodando la ecuación 3.2 Ecu 3.1 Ecu 3.2Resolviendo la ecuación deferencial e integrando: Ecu 3.3Obtenemos: Ecu 3.4Sustituyendo la ecuación 3.4 en 3.1 observamos que el la ley de newton y resolviendo laecuación diferencial. Ecu 3.5 Ecu 3.6Las CL1 son: x = B y =0 M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  32. 32. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Ecu 3.7Sustituyendo 3.7 en 3.6 Ecu 3.8Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos.Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminartangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindrosverticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular 0. (VéaseFig. 3.3.) Los efectos finales pueden despreciarse. Fig 3.3 Flujo laminar de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros coaxiales, el exterior de los cuales gira con una velocidad angular 0.Solución:Datos a considerar: • Cilindro exterior gira, cilindro interior estático • Flujo laminar • Fluido newtoniano e incompresible • Velocidad constante (edo. estacionario) • Hallar vθ y τrθ M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  33. 33. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteUtilizar la ecuación de variación E de la tabla 3.2, tomando las consideraciones yreacomodando la ecuación obtenemos: Ecu 3.9Igualando a cero la ecuación y resolviendo el sistema (integrar 2 veces) considerandoCL1CL1 Ecu 3.10 Ecu 3.11De esta manera se obtienen 2 ecuaciones: Ecu 3.12.a Ecu 3.12.bResolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen las constantes 1 y 2: Ecu 3.13 Ecu 3.14Sustituyendo las constantes en la ecuación 3.11 obtenemos e perfil de Ecu 3.15Utilizando la ecuación D de la tabla 3.4 podemos obtener el esfuerzo cortante M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  34. 34. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Ecu 3.16Conservación de la Energía Mecánica Flujo laminar Re< 2100 Flujo Turbulento Re> 2100Ecuación de BernoulliDaniel Bernoulli (1700-1782) Fig 3.4 Representación grafica de la ecuación de BernoulliEnergía contenida en el elemento del fluido. E = Ef + E p + EkPor la primera ley de la termodinámica E1 = E2 M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  35. 35. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Ecu 3.17Restricciones: 1. Fluido incompresible 2. Sin dispositivos mecánicos entre las secciones de interés 3. Sin transferencia de calor hacia dentro o fuera del fluido 4. Sin perdida de energía por fricciónEcuación general de la energía • Ampliación de Bernoulli Elimina las restricciones 2 y 4 Ecu Ecu 3.18 Donde: Energía si hay bomba Energía removida Perdidas menores (por fricción) k = coeficiente de resistencia (adimensional) Ecuación de Darcy (flujo turbulento y laminar) Factor de fricción de Darcy (adimensional) Ecuación de Hagen-Poiseville (Flujo laminar) Laminar Turbulento Diagrama de Moody M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  36. 36. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Ejemplo: De un recipiente grande fluye agua con una rapidez de 1.2 ft3/s, a través de un sistema de conductos como el que se muestra en la figura 3.4. Calcula la cantidad total de energía perdida en el sistema debido a la presencia de válvula, codos, las entradas del tubo y la fricción del fluido. Pman = 0 1 V=0 12 ft Flujo 13 ft D = 3 inSolución: aplicando la ecuación 3.18 Ya que Pman es cero Porque el D Es> tubo2Po lo que la ecuación queda: Ecu 3.1 Ecu 3.19Datos: M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  37. 37. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteDespejando de la ecuación 3.19Sustituyendo los valoresProblemas 1. Encuentre la rapidez de flujo de agua que sale de un tanque. El tanque esta sellado y tiene una presión de 140 KPa por encima del agua, hay una perdida de energía de mientras el agua fluye por la boquilla. Realiza el esquema con todos los parámetros y condiciones. El tanque esta lleno a 2.4m y diámetro del tanque de 50 mm. Determina el flujo másico. Solución: 2. Una cañería de agua consiste en un conducto de presión hecho de concreto de 18 in de diámetro, calcule: La caída de presión en un tramo de 1 milla de longitud, debido a la friccion en la pared del conducto si este transporta 15 ft3/s de agua a 50 °F 3. En la figura se muestra una parte de un sistema de protección contra incendios en el cual una bomba saca agua a 60° de un recipiente y la F transporta al punto B, con una rapidez de flujo de 1500 gal/min. Calcula la altura h requerida para el nivel del agua en el tanque, son el fin de mantener 5 psi de presión relativa en el punto A. A 50 y 60 ° el peso específico del agua es de 62,4 lbf/pie3 F Para tubo de acero calibre 40 de 8 pulgadas el diámetro interno es 0.6651 pie Para tubo de acero calibre 40 de 10 pulgadas el diámetro interno es 0.8350 pie M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  38. 38. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  39. 39. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  40. 40. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte TRANSFERENCIA DE ENERGÍA M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  41. 41. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteTransferencia de energíaMecanismos de transmisión de calor.Conducción: el calor se desplaza desde el extremo con más calor hacia el más frio.Convección: transporte de energía interna, el calor se transfiere por el mezclado de losmateriales y por conducción..Radiación: el medio a través del cual se transfiere el calor casi nunca se calienta.Básicamente, este mecanismo consiste en una transferencia de calor por radiaciónelectromagnética.Conducción:En sólidos, agitación de moléculas mas próximas al foco de calor se propaga a lasmoléculas vecinas sin que se muevan de lugar. Buenos conductores de calor (metales),conducen con dificultad el calor (madera y corcho). Aislamiento térmico: se recubrensuperficies con materiales que no sean buenos conductores.El calor también puede ser conducido en líquidos y gases los cual se verifica mediante latransferencia de energía. Ley de Fourier Fig 4.1Formación del perfil de temperatura en estado estacionario en una placa solida situada entre dos laminas; véase un caso análogo para transporte de cantidad de movimiento.Donde:q [=] cal/cm2sk = conductividad térmica [=] cal / cm s KT [=] KY [=] cm M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  42. 42. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteDifusividad térmicaConductividad térmica:Se estima a partir generalmente de las propiedades críticas, pero los métodosgráficos que se utilizan están basados en el principio de estados correspondientesy son análogos a los que se usan para viscosidad.K = f(T,P)Teoría de la conductividad calorífica de los gases a baja densidad.Las conductividades caloríficas de los gases monoatómicos diluidos se conocen muy bieny pueden predecirse con exactitud mediante la teoría cinética. En cambio, la teoría de losgases poliatómicos se ha desarrollado tan sólo de una forma parcial, si bien existenalgunas aproximaciones groseras que tienen interés.Para gases monoatómicos se tiene la ecuación de Chapman-Enskog Ecu 4.1Donde:K [=] [=] Amstrong ( )T [=] Kelvin (K)PM [=] se obtiene de la tabla B-2 gas monoatómico Ecu 4.2 Poliatómicos (Eucken) 4.3 Ecu 4.3 Numero de Prandtl 4.4 Ecu 4.4Ésta es la fórmula de Eucken para el número de Prandtl de un gas poliatómico a bajadensidad. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  43. 43. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteEjemplo: método de OwenEstimar la conductividad térmica del etano a 67.2 ° y 191.9 atm, si a 1 atm y 67.2 C° Kc= 0.0237 CDatos:EtanoTc = 305.4 KPc = 48.2 atmT = 67.2 ° = 340.35 K CP = 191.9 atmBajo las condiciones de 67.2 ° y 1 atm CDistribución de temperatura en sólidosFlujo laminarProcedimiento similar a los problemas de transferencia de cantidad demovimiento.La ecuación de balance de energía se describe de la siguiente forma: Ecu 4.5Los mecanismos por los que se puede entrar o salir energía del sistema sonconducción y transporte conectivo (causado por el movimiento global de fluido), laenergía que entra o sale de esta forma se le llama calor sensible.Se considera que la energía calorífica se produce por degradación de energíaeléctrica, mecánica (disipación viscosa), y convección de energía química encalor. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  44. 44. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteCondiciones límite:Las más frecuentes son: a) T = T0 temperatura de superficie conocida b) q = q0 densidad de flujo de calor en la superficie conocida c) En interface solida-fluido se tiene: q = h ( T – Tfluido ) ley de enfriamiento de Newton Donde h es un coeficiente de transferencia de calor d) En interface solido-solido puede estar determinada la conductividad de T y q.Ejemplo:Conducción de calor con un manantial calorífico de origen eléctrico.se considera un alambre de sección circular de radio R y conductividad eléctrica ke (ohm-1cm -1). Por el alambre circula una corriente eléctrica, cuya densidad de corriente es Z(amps cm-1). La transmisión de una corriente eléctrica es un proceso irreversible, y partede la energía eléctrica se transforma en calor (energía calorífica). La velocidad deproducción de calor por unidad de volumen viene dada por la expresión: Ecu 4.6Se es el calor que se origina debido a la disipación eléctrica. Se supone que el aumentode temperatura en el alambre no es grande, de forma que no es preciso tener en cuentala variación de las conductividades eléctrica y calorífica con la temperatura. La superficiedel alambre se mantiene, a la temperatura To. Vamos a demostrar cómo se puededeterminar la distribución radial de temperatura en el interior del alambre caliente. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  45. 45. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Fig 4.2 flujo de calor en un alambre de radio RRealizando el balance de energía contemplando la entrada y salida, puesto que es Edoestacionario y flujo laminar, se obtiene la ecuación: Ecu 4.6Resolviendo el limite, notamos que se obtiene la derivada de rqr con respecto a r, yresolviendo la ecuación diferencial para obtener la densidad de flujo de energía. Ecu 4.7Aplicando las condiciones límite nos damos cuenta que c1 tiene que ser cero CL1 r=0 qrno es infinito (nulo), por lo tanto la densidad de flujo de energía para este alambre es: Ecu 4.8Sustituyendo la densidad de flujo de energía en la ley de Fourier (fig 4.1) Ecu 4.9Resolviendo la ecuación de diferencial de primer grado. (donde k es constante) Ecu 4.10 M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  46. 46. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte CL2 T= To y r=RCon estas condiciones se encuentra c2 y sustituyendo en la ecuación 4.10se obtiene queel aumento de la temperatura es una función parabólica de la distancia r medida desde eleje del alambre. 4.11 Ecu 4.11Ejercicio:Conducción de calor en un anillo circular:El color fluye a través de una pared angular cuyo radio interno es r0 y el contorno r1.laconductividad calorífica varia linealmente con la temperatura desde r0 a la temperatura T0hasta r1 a la temperatura T1. Descubrir una expresión para el flujo de calor a través de lapared situado en r = r0 Solución: Fig 4.3 perfil de temperatura en una pared anular 4.3 M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  47. 47. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteConducción de calor por disipación viscosa:Fig 4.4 flujo entre dos cilindros con generación 4.4 Fig 4.5 Forma idealizada de una parte del de calor de origen viscoso. El fluido sistema de flujo de la figura 4.4 en el que ha comprendido entre las líneas de trazo se desaparecido la curva de las superficies presenta en forma idealizada en la siguiente cilíndricas figura. Fluido newtoniano incompresible Estado estacionario A= 0 Cilindro exterior gira con velocidad La friccion genera calor b<< R se desprecia la curvatura, s trabaja con coordenadas cartesianas. Se genera calor de acurdo a SoluciónDefiniciones: • Flujo de calor Q=qA • Densidad de flujo o flux q [=] (energía/ tiempo) * (1/área) • Conduccioón q = - k dT/dx Q [=] energía / tiempo • Convección q = h (Tf – T0) • Coeficiente de transferencia de calor (h) • Coeficiente global de transferencia de calor • Cuando k depende de la temperatura en forma lineal se puede tomar el promedio. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  48. 48. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteEcuaciones de variación para sistemas no isotérmicosGeneralización del balance de energía aplicada a una envoltura para obtener la ecuaciónde energía.Elemento estacionario de volumen a través del cual fluye un liquido puro.Se escribe la ley de conservación de la energía para un fluido en un instante dado. A = E - S + G - C A = estado estacionario (nulo) E - S= energía cinética G = adición de calor C = trabajoRegla de Gibbs F = 2 -π +N F = grados de libertad Π = numero de fases N = numero de compuestosProblema: Flujo tangencial en tubos concéntricos con generación de calor de origenviscosoDeterminar la distribución de temperatura en un fluido newtoniano incompresiblecontenido en dos cilindros coaxiales que se representan en la figura. Considere que lassuperficies mojadas de los cilindros interno y externo están a la temperatura Tk y T1respectivamente. Suponga un flujo laminar estacionario y despreciable la variación de laρ, µ y k con la temperatura. Tabla 4.1 Componentes de la densidad e flujo de energía q M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  49. 49. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Tabla 4.2 A La ecuación de Energía en función de las densidades de flujo de energía y de cantidad de movimiento. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  50. 50. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Tabla 4.2 B La ecuación de Energía en función de las propiedades de Transporte (para fluidos newtonianos de ρ, y k constantes Obsérvese que la constancia de p implica que Cv = Cp) M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  51. 51. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteTemperatura máxima en un lubricanteUn aceite actúa como lubricante de dos superficies cilíndricas. La viscosidad angular delcilindro exterior es de 7908 rpm. El radio del cilindro exterior es de 5.06 cm y la distanciaentre los dos cilindros es de 0.027 cm. ¿Cuál es la máxima temperatura en el aceite, si sesabe que la temperatura en ambas paredes es de 70 ° C?Propiedades físicas del aceite son:Viscosidad 92.3 CpDensidad 1.22 g / cm3Conductividad calorífica 0.0055 cal / s cm °CRealiza el diagrama anotando las condiciones de frontera.Nota se recomienda realizarlo con las ecuaciones de variación y con balance de energía. Solución:Repita algunos ejercicios anteriores pero con ecuaciones de variación. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  52. 52. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte TRANSFERENCIA DE MATERIA M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  53. 53. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteTransporte de materia Interviene en destilación. Adsorción, secado y extracción liquido-líquido. Aplica para gases, líquidos y sólidos. En general los tres procesos de transferencia se tiene que realizar balance de entradas y salidas de energía o movimiento Aplica para sistemas con varios componentes (mezclas). Ecu 5.1 D = Difusividad molecular (m2/s) CA = concentración de A (gmol / mol)Expresiones de la concentración Concentración de masa ρ [=] Kg / m3 Concentración molar Ci = ρ /ρi Fracción masica wi = ρi / ρ Fracción molar αi = C i / CTipos de difusión • Ordinaria: por gradiente de concentración. • De presión: por gradiente de presión. • Térmica: por gradiente de temperatura. • Forzada: se debe a una desigualdad de fuerza, características que se encuentran sobre los componentes A y BEn una mezcla que difunde, las distintas especies químicas se mueve con velocidadesdiferentes (v), por lo tanto, se requiere una velocidad media de masa v, que para unamezcla de n componentes. Pero también se tiene una velocidad media local v*, que escon que las moléculas atraviesan una sección perpendicular a la velocidad. Ecu 5.2 y 5.3Ley de Fick de la difusión: JA* = - C DAB▼XA Ecu 5.4 M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  54. 54. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Tabla 5.1 A Formas equivalentes de la primera le de Fick de la difusión:Variación de la Difusividad con la presión y temperatura.La Difusividad DAB de un sistema binario es mas una función de la temperatura , presión ycomposición, a diferencia de µ y k, pero del mismo modo se propone correlaciones quetiene un campo de acción limitada y se basa mas en la teoría que en la experiencia.Para las mezclas binarias a baja presión, DAB es inversamente proporcional a la presión,aumenta con la temperatura, y es casi independiente de la composición, para una mezclade dos gases determinados.Ecua 5.5Para mezclas binarias de gases no polares: a = 2.745 x 10 -4 b = 1.823Para agua con un gas no polar a = 3.640 x 10 -4 b = 2.334Si los gases A y B son no polares y se conocen sus parámetros de Lennard-Jones, sepuede utilizar la teoría cinética de los gases, en particular la ecuación de Chapman-Enskog. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  55. 55. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Ecu 5.6 5.7 Ecu 5.7Donde DAB [=] cm2 /seg C [=] gmol/cm3 T [=] K P [=] atm [=] Amströng M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  56. 56. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Fig 5.1 Grafica generalizada par alas Difusividad de gases densosEjemplo.Una tuberiía contiene una mezcla de He y N2 a 298 K y 1 atm, condiciones constantes entodo el tubo. En un extremo la presión parcial PA1 del He es de 0.6 atm y en el otroextremo a 20 cm PA2 es de 0.2 atm. Calcule el flujo específico del He en estadoestacionario cuando DAB es de 0.684 x 10 -4 m2/s R = 8314.3 m3 Pa/ Kgmol K.Solución:Aplicando la ley de Fick se obtiene:Al resolver esta ecuación de primer orden: M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  57. 57. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteSi hacemos CA = P / RT Ecua 5.8Ahora sustituyendo los valores numéricos en la ecuación 5.8 y realizando el análisisdimensional se obtiene el flujo especifico del componente (He). Tabla 5.2 Difusividad experimental de algunos sistemas binarios De gases diluidosEstimación de la Difusividad a baja densidadEstimar la DAB para el sistema Argón- Oxigeno a 293.2 K y 1 atm de presión totalSolución:De tablas se obtienen los siguientes datos (tabla B-I):MA = MArgon= 39.944 σA = 3.418 Å °KMB = MOxigeno= 32.00 σA = 3.433 Å °KCalculamos los parámetros σAB y para la solución de la mezcla argónoxigeno con las siguientes ecuaciones: Ecu 5.9 M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  58. 58. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte 5.10 Ecu 5.10 Parametros de Lennar-JonesPor lo tantoPor lo que:Con este dato se obtiene de tablas (tabla B-I) DAB = 1.003, sustituyendo estos valoresen la ecuación 5.7:Comparamos este dato con el de la tabla que muestra los datos experimentales paraalgunas mezclas binarias.Estímese la DAB para una mezcla constituida para 80 moles % de metano y 20 moles %de etano a 136 atm y 313 K. el valor experimental de PDAB a 293 K 0.162 atm cm2/ s Pc (atm) Tc ( atm) Fraccion ( x) Metano 45.8 190.7 0.8 Etano 48.2 305.4 0.2 PD / (PD)° = (incógnita / Valor de referencia )Así se debe corregir la presión a temperatura deseada, el valor de (P DAB) que se indica,para elle se usa la ecuación de la teoría cinética con las constantes no polares paraobtener (P DAB) a 313 K. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  59. 59. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Pc´= ∑ Pcixi Pr´= P/Pc´ Tc´= ∑ Tcixi Tr´= P/Pc´YCon estos datos se interpola en la grafica de la figura 5.1 para obtener PD / (PD)° que esde aproximadamente 0.73 por lo tanto:Ley de Raoult (presiones parciales) L ---- solcion ideal Fases Vol → V ---- gas ideal P → 0 Fzas → 0 PV/RT = z → 1Soluciones líquidas idealesCuando una fase líquida se puede considerar ideal, la presión parcial en el equilibrio deun gas en la solución puede ser calculada sin necesidad de determinacionesexperimentales.Hay cuatro características significativas de las soluciones ideales; todas se relacionanentre sí: 1. Las fuerzas intermoleculares promedio de atracción y repulsión en la solución no cambian al mezclar los componentes. 2. El volumen de la solución varia linealmente con la composición. 3. No hay absorción ni evolución de calor al mezclar los componentes. Sin embargo, en el caso de gases que se disuelven en líquidos, este criterio no incluye el calor de condensación del gas al estado líquido. 4. La presión .total de vapor de la solución varía linealmente con la composición expresada en fracción molar.En realidad no existen soluciones ideales y las mezclas reales sólo tienden a ser idealescomo límite. La condición ideal requiere que las moléculas de los componentes seansimilares en tamaño, estructura y naturaleza química; tal vez la aproximación máscercana a dicha condición sea la ejemplificada por las soluciones de isómeros ópticos de M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  60. 60. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transportecompuestos orgánicos. Sin embargo, prácticamente muchas soluciones se encuentran tancerca de ser ideales que para fines de Ingeniería se pueden considerar como tales. Enparticular, los miembros adyacentes o casi adyacentes de una serie homóloga decompuestos orgánicos pertenecen a esta categoría. Así, por ejemplo, las soluciones debenceno en tolueno, de alcohol etílico y propílico o las soluciones de gases dehidrocarburos parafínicos en aceites de parafina pueden generalmente considerarse comosoluciones ideales. Cuando la mezcla gaseosa en equilibrio con una solución liquida ideal,sigue también la ley de los gases ideales, la presión parcial p* de un soluto gaseoso A esigual al producto de su presión de vapor p a la misma temperatura por su fracción mol enla solución x.Esta es la ley de Raoult P* = pxEl asterisco se utiliza para indicar el equilibrio. La naturaleza del líquido disolvente no setoma en consideración, excepto cuando establece la condición ideal de la solución; poresta causa, la solubilidad de un gas particular en una solución ideal en cualquierdisolvente es siempre la misma.Difusión:Desplazamiento de las moléculas individuales através de un fluido por medio de losdesplazamientos individuales y desordenados delas moléculas. La difusión molecular e análoga ala conducción de calor, la transferencia conectivade ,asa es análoga a la convección en latransferencia de calor., Fig 5.2 Contra difusión equimolar en gases PA1 > PA2 al se P = cte, los moles netos de A que difunden deben ser PB2 > PB1 iguales a los de B, por lo tanto, JAB* = -JBZ* Pero P = Pa + PB = cte, por lo tanto c = cte Diferenciando dCA = - d CBAsíPero dCA = - d CB → DAB = DBA M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  61. 61. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteEjemplo:En un tubo uniforme de 10 cm de largo se difunde NH3 (g) en N2 (g) a 1x105 Pa y 298 K.en el punto 1 la PA1= 1x104 Pa y en 2 PA2= 0.5 104 Pa. DAB = 0.025 x 10-4 m2/s. CalculeJA* en estado estacionario.Caso general para la difusión de gasesA y B mas convección JA* = VAd CA [=] Kgmol A / m2 sVA= velocidad de difusión [=] m/sVM = velocidad molar promedio de velocidad del flujo respecto a un punto estacionario. VA = VAd + VM VA Velocidad de difusión = difusión + velocidad conectiva VA = VAd + VM por CA………… Ecu 5.13 CA VA = CA VAd + CA VM…………… Ecu 5.14 5.14 VAd VM Cada término es un flujo especifico NA = JA* + CA VM ………………………… Ecu 5.15 5.15N = flujo conectivo total de la corriente general respecto al punto estacionario N = C VM = NA + NB ……………… 5.16 Ecu 5.16 …………………. 5.17 Ecu 5.17Sustituyendo la ecuación 5.17 en la ecuación 5.18 M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  62. 62. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte ………………. 5.18 Ecu 5.18 = ley de Fick = ………………… Ecu 5.19 5.19Se sabe que XA = CA /C ……………… Ecu 5.20 5.20Ecuación general para la difusión + convección, para resolver se debe conocer la relaciónentre NA + NB. Es valida para la difusión en gases, líquidos y sólidos. Para contra difusiónequimolar. NA = JA* = - NB = -JB* 5.21 Ecu 5.21Caso particular a difunde y B en reposo Estado estacionario Algún limite al final de la trayectoria de difusión al componente B por lo que no puede atravesarlo. PA2 = 0 por lo que el volumen de B es muy grande en relación al de A • Ley de Raoult • Ecuacion de Antoine De la ecuación Sabiendo que NB = 0 por lo tanto reacomodando la ecuación queda: Si y M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  63. 63. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte Nos damos cuenta que se trata de una ecuación diferencial de primer orden, al resolver esta ecuación obtenemos: Se considera la media logarítmica de B inerte. P = PA1 + PB1 = PA2 + PB2 PB1 = P – PA1; PB2 = P – PA2 Por lo tantoDISTRIBUCIONES DE CONCENTRACIONEN SOLIDOS Y EN FLUJO LAMINAR Ecu 5.22 Difusión molecular Transporte correctivo C C O O N. N. A difusión A L L T T A A Reacciones QuímicasHomogeneo HeterogéneaCambios de concentración en todo el Puede tener catalizador, cambio devolumen (en ecuación de variación se concentración, primero en la superficietoma como generación) de catalizar y después se desplaza. RA = Kn’’’ CAn|superficie. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  64. 64. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte NAZ|superficie = Kn’’ CAn|superficie 2 RA [=] moles/ cm s CA [=] moles/ cm3 n = orden de la reeaccionNota En la reacción heterogénea la Generación se toma en cuanta en el balanceBalance de materiaCondiciones limite a) XQ = XAb en una superficie b) En una superficie se puede conocer NA si se conoce NA | NB, por ejemplo NA = NA0 c) Para difusión en un solido sumergido den un fluido NA0 = KC ( CA0 – CAf) d) Puede conocerse la velocidad de reacción en la superficie, por ejemplo NA0 = K1‘’CAEjemplo: Fig 5.5 Difusión de A en estado estacionario a través de B inmóvil. El grafico indica la forma en que se distorsiona el perfil de concentración debido a la difusión de A.Consideraciones: • Solubilidad de B en A es despreciable NB = 0 • Z = Z1 es constante • En interfase se tiene EVL, por lo tanto • A+B = mezcla gaseosa ideal • T,P del sistema son constantes, por lo tanto c = cte • Estado estacionario. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  65. 65. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteAplicando el balance de materia se obtiene: Entrada – Salida = 0En la que S es el área de la sección transversal de la columna., dividiendo la ecuiacionentre (- S∆z) y aplicando el limite:Sustituir la ecuación obtenida en la ecuación 5.22Resolviendo la ecuación diferencial sabiendo que c DAB son constantesVolviendo a integrar: Ecu 5.23Aplicando las condicione límite:CL1 z = z1 XA = XA1CL2 z = z2 XA = XA2Una vez encontradas las constantes de sustituyen en la ecuación 5.23Ejercicio:Difusión a través de una película esférica no isotérmica a) Deducir el perfil de concentración y la densidad de flujo molar para la difusión a través de una envoltura esférica. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  66. 66. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteEn estado estacionario sucede en el secado de pequeñas gotas y en la difusión a travésde películas gaseosa que rodean a partículas catalíticas esféricas. Solución:Ejercicio:Difusión desde una gotita a un gas estancadoUna gotita de la sustancia A esta suspendida en una corriente del gas B. El radio de lagota es r1. Se admite que existe una película esférica de gas estacionario de radio r2. (Usela figura anterior). La concentración de A en la fase gaseosa es XA1 para r = r1 y XA2 para r= r2. a. Demostrar, mediante un balance aplicado a una envoltura, que para la difusión en estado estacionario, r2NAr1, es una constante cuyo valor en la superficie de la gotita es r2NAr1. b. Demostrar que la Ec. 5.22 y el resultado del apartado (a) conducen a la siguiente ecuación para xA: c. Integrar esta ecuación entre los limites r1 y r2 conel fin de obtener M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  67. 67. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  68. 68. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de Transporte M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales
  69. 69. Instituto Politécnico NacionalUnidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnología Fenómenos de TransporteREFERENCIAS Bennett, O, Myers, J.E. Transferencia de cantidad de movimiento, calor y materia (tomos 1 y 2). Reverte, México, 2ª, edición,1998 Bird, R., Byron, W.E., Stewart, E.N., Lightfoot. Fenómenos de transporte, un estudio sistemático de los fundamentos del transporte de materia, energía y cantidad de movimiento. Reverte, México, 1ª. Edición, 1993. Garcell Puyans, L. Transferencia de cantidad de movimiento, calor y masa. Ministerio de Educación Superior de Cuba – IPN. México 1998. Geankoplis Ch. J., Procesos de transporte y principios de procesos de separación. compañía Editorial continental, cuarta Edición México, 2006. Sisson, E. Elements of transport phenomena, Mc. Graw Hill, Mèxico, 1972. Treybal, J.C. Operaciones de transferencia de masa. Mc. Graw Hill, Mèxico, 1980. Welty, J.R. Fundamentos de transferencia de momento, calor y masa. Limusa, México 1972. M. en C. María Guadalupe Ordorica Morales

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