Your SlideShare is downloading. ×
Solusi uji coba olimpiade sains nasional 2012 1
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Introducing the official SlideShare app

Stunning, full-screen experience for iPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Solusi uji coba olimpiade sains nasional 2012 1

341
views

Published on


0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
341
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
4
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Solusi Soal Uji Coba OSN Mat/22 Juli 2012 SOLUSI UJI COBA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2012 JAKARTA BIDANG : MATEMATIKA Disusun Oleh: Didik Sadianto, S.Pd.BAGIAN PERTAMA1. Misalkan ABC segitiga dengan BAC  90 0 dan AB  AC . Titik M dan N terletak pada sisi BC sedemikian sehingga N terletak diantara M dan C dan BM 2  MN 2  NC 2  0 . Buktikan bahwa tan MAN  1.SOLUSI: A B M N C Dengan menggunakan Aturan Kosinus, Kita peroleh: MN 2  AM 2  AN 2  2 AM . AN cosMAN  (1) Karena AM 2  BM 2  AB 2  BM . AB 2 dan AN 2  AC 2  NC 2  2 AC.NC 2 , hal ini berakibat bahwa: 2 AB 2  AB.BM 2  AB.NC 2 cosMAN   (2) 2 AM AN Dilain Pihak, Kita peroleh: MAN   ABC   BAM   ACN  2 AB 2  AB.MB 2  AB.CN 2  (3) 4 Perhatikan bahwa: MAN   1 AM . AN sin MAN  2 2 AB 2  AB.MB 2  AB.CN 2 sin MAN   (4) 2 AM . AN Dari (2) dan (4), maka kita peroleh bahwa: tan MAN   1 (terbukti)2. Untuk bilangan positif n, misalkan f didefinisikan sebagai 4n  4n 2  1 f ( n)  2n  1  2n  1 2012 Tentukan nilai dari z   f i  . i 1SOLUSI: 4n  4n 2  1 Dari f (n)  , maka 2n  1  2n  1Blog: didiksarden.blogspot.com Email: didiksarden@gmail.com
  • 2. Solusi Soal Uji Coba OSN Mat/22 Juli 2012 f n    2n  1    2 2 n  1  4n 2  1  2 2 n  1  2n  1  f ( n)   2n  1  2 n  1   3  3 2 Jadi, z  2012  i 1 f i   1 2  33  13   5 3 3  3  ....    4024 3  4022 3   4024 3  1 2 .3. Misalkan a, b, c, dan d bilangan real sehingga a 2  b 2  1c 2  d 2  1  ac  bd  12 Buktikan bahwa a 2  b 2  1 dan c 2  d 2  1 .SOLUSI: Andaikan x  1  a 2  b 2 dan y  1  c 2  d 2 adalah bilangan non-negatif. Perhatikan bahwa: a 2  b 2  1c 2  d 2  1  ac  bd  12 2 4 xy  2ac  2bd  2    a 2  b 2  x  c 2  d 2  y  2ac  2bd  2  2 2  a  c   b  d   x  y   x  y   x 2  2 xy  y 2 .  2 2 Hal ini baerakibat: 2 4 xy  x 2  2 xy  y 2 atau 0   x  y  (Hal ini suatu kontradiksi). Jadi, benar bahwa: untuk a, b, c, dan d bilangan real sehingga a 2  b 2  1c 2  d 2  1  ac  bd  12 berlaku bahwa a 2  b 2  1 dan c 2  d 2  1 .4. Tentukan semua bilangan bulat n, sedemikian sehingga n 4  6n 3  11n 2  3n  31 merupakan bilangan kuadrat sempurna.SOLUSI: Andaikan A  n 4  6n 3  11n 2  3n  31 merupakan kuadrat sempurna. Hal ini berarti bahwa:   2 A  n 2  3n  1  3n  10 adalah kuadrat sempurna. Kasus (1): Jika n > 10, maka A  n 2  3n  1 , A  n 2  3n .   2   2    2  2  n 2  3n  1  n 2  3n  3n  30 atau 2n 2  3n  31  0 (Tidak Mungkin). Kasus (2)  Jika n = 10, maka A  10 2  3.10  1  1312 merupakan bilangan kuadrat sempurna.  2 Kasus (3) Jika n < 10, maka A  n 2  3n  1 :   2  n  3 atau 0  n  10 Maka n 2  3n  0  Jadi, A  n 2  3n  2 , yakni 2n 2  9n  27  0  2 atau  7   3 33  3 n  3 33  3 3    4 4 Sehingga n = -6, -5, -4, -3, 0, 1, 2. Untuk nilai n ini maka nilai A berturut-turut: 409, 166, 67, 40, 31, 52, 145. Semua nilai A ini bukan kuadrat sempurna.Blog: didiksarden.blogspot.com Email: didiksarden@gmail.com
  • 3. Solusi Soal Uji Coba OSN Mat/22 Juli 2012  n  2,  1 , maka nilai A berturut-turut 37, 34. Ini juga bukan kuadrat sempurna. Jadi, nilai bilangan bulat n yang memenuhi hanya n = 10.BAGIAN KEDUA5. Lima buah dadu (enam-muka) akan dilempar satu demi satu, lalu hasil kelima angka yang muncul akan dihitung. Manakah yang lebih besar peluang terjadinya hasil kali 180 atau hasil kali 144 ?SOLUSI: Perhatikan bahwa: 180  2 2.3 2.5 , maka kemungkinan lima buah dadu yang memenuhi perkaliannya 180 adalah 1, 3, 3, 4, 5 , 1, 2, 3, 5, 6 , 1, 1, 5, 6, 6 , 2, 2, 3, 3, 5 yang berturut-turut banyaknya 5! 5! 5! kemungkinan tersebut adalah .5!. . . 2! 2!.2! 2!.2! 5! 5! 5! 5! .5!. . Peluang hasil kali mata dadu sama dengan 180 adalah 2! 2!.2! 2!.2! 2!  240 . 65 65 Perhatikan bahwa: 144  2 4.3 2 , maka kemungkinan lima mata dadu yang memeni perkaliannya = 144 adalah 1, 1, 4, 6, 6, 1, 2, 2, 6, 6 , 1, 2, 3, 4, 6 , 1, 3, 3, 4, 4, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 2, 3, 6 yang secara berurutan banyaknya kemungkinan tersebut adalah 5! 5! 5! 5! 5! . .5!. . .  260 2!.2! 2!.2! 2!.2! 2!.2! 3! 260 Peluang hasil kali mata dadu sama dengan 144 adalah 5 . 6 Jadi, peluang lebih besar adalah terjadinya hasil kali 144. 16. Barisan a n  memenuhi kondisi a1  a 2  1 dan a n  a n  2  . Tentukan nilai dari a 2012 . a n1SOLUSI: Berdasarkan asusmsi pada soal, maka kita peroleh: a n 2 a n1  a n1 a n  1. (1) Bentuk persamaan (1) berarti bahwa merupakan suatu barisan a n 1 a n  aritmatika dengan beda 1 dan suku pertamanya juga 1. Sehingga kita peroleh bentuk: a n1 a n  n, n  1, 2, 3,..... (2) Perhatikan bahwa dari (2) kita peroleh: n 1 n 1 n 1 a n 2    . a n , n  1, 2, 3, .... a n 1 n / a n n Hal ini berakibat bahwa: 2011 2011 2009 a 2012  .a 2010  . .a 2008 2010 2010 2008 2011 2009 3 3 5 7 2009 2011  . ..... a 2  . . ....... . 2010 2008 2 2 4 6 2008 2010Blog: didiksarden.blogspot.com Email: didiksarden@gmail.com
  • 4. Solusi Soal Uji Coba OSN Mat/22 Juli 20127. Titik M berada di dalam daerah segitiga ABC. Misalkan titik D, E, F berturut-turut merupakan hasil proyeksi titik M terhadap sisi BC, CA, dan AB. Tentukan nilai minimum dari BC CA AB   . B MD ME MFSOLUSI: D F M C E A Jelas bahwa MF, ME, MD berturut-turut ruas garis yang tegak lurus terhadap sisi AB, AC, dan BC. Dan jelas bahwa: ABC   MAC   MAB  MBC  2 ABC   BC..MD  AC..ME  AB..MF (1) Dengan menggunakan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz: BC.MD  AC.ME  AB.MF  BC  CA  AB    AB  AC  BC 2    MD ME MF  BC CA AB 2 p 2 2 p      , MD ME MF 2S r dimana r, p, S berturut-turut menyatakan jari-jari lingkaran dalam segitiga, setengah keliling segitiga, dan luas segitiga ABC. BC CA AB 2p Jadi, nilai minimum   sama dengan . Kesamaan ini tercapai pada saat: MD ME MF r BC.MD AC. ME AB. MF   yakni ketika MD = ME = MF, dengan kata lain bahwa M BC / MD CA / ME AB / MF merupakan pusat segitiga ABC.8. Sebuah komite mengadakan 40 pertemuan dengan 10 orang anggota komite hadir pada masing- masing pertemuan. Setiap dua orang anggota komite menghadiri pertemuan secara bersamaan paling banyak satu kali. Tunjukkan banyaknya anggota komite tersebut lebih dari 60.SOLUSI: Masing-masing pertemuan dihadiri oleh 10 orang. Maka banyaknya pasangan berbeda ada 10 C 2  45 pada masing-masing pertemuan. Tidak ada dua pasangan yang mengikuti lebih dari satu pertemuan. Karena ada 40 pertemuan maka sedikitnya 40.45 = 1800 pasangan berbeda. Misalkan banyaknya anggota komite adalah n. 1 Banyaknya pasangan berbeda yang bias dibuat adalah n C 2  nn  1 , maka: 2 1 nn  1  1800  n  60 (terbukti) 2Blog: didiksarden.blogspot.com Email: didiksarden@gmail.com