Trabalho trigonometria
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    Trabalho trigonometria Trabalho trigonometria Document Transcript

    • UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE EDUCAÇÃO E CIÊNCIAS HUMANAS DEPARTAMENTO DE METODOLOGIA DE ENSINO ENSINO DE TRIGONOMETRIA: UM ENFOQUE METODOLÓGICODisciplina: METODOLOGIA DO ENSINO DE MATEMÁTICADocente: Profa. Dra. Maria do Carmo de SousaAlunos: Ailton Barcelos da Costa Fábio Domingues Gabriel Lopes da Rocha Marcelo Aguiar Dias 1
    • AILTON BARCELOS DA COSTA FÁBIO DOMINGUES GABRIEL LOPES DA ROCHA MARCELO AGUIAR DIASENSINO DE TRIGONOMETRIA: UM ENFOQUE METODOLÓGICO SÃO CARLOS 2007 2
    • ÍNDICE 3
    • INTRODUÇÃO 4
    • 1. EVOLUÇÃO HISTÓRICA DA TRIGONOMETRIA A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início dodesenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas geradospela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com osegípcios e babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no PapiroRhind e também uma notável tábua de secantes na tábua cuneiforme babilônica Plimpton322. Para considerar a gênese, devemos discutir qual o significado que daremos ao termoTrigonometria. Se o tomarmos como a ciência analítica estudada atualmente, teremos aorigem no século XVII, após o desenvolvimento do simbolismo algébrico. Mas, se oconsiderarmos para significar a geometria acoplada à Astronomia, as origens remontarãoaos trabalhos de Hiparco, no século II a.C., embora existam traços anteriores de seu uso. Seo considerarmos, ainda, para significar literalmente medidas do triângulo, a origem será nosegundo ou terceiro milênio antes de Cristo. De acordo com EVES (1997), temos que: “ Um certo número de papiros egípcios de algum modo resistiu ao desgaste do tempo por mais de três milênios e meio. O mais extenso dos de natureza matemática é um rolo de papiro com cerca de 0,30 m de altura e 5 m de comprimento, que está agora no British Museum, exceto uns poucos fragmentos que estão no Brooklin Museum. Foi comprado em 1858 numa cidade à beira do Nilo, por um antiquário escocês, Henry Rhind, que lhe emprestou o nome. Às vezes, é chamado Papiro Ahmes em honra ao escriba que o copiou por volta de 1650 a.C. O escriba conta que o material provém de um protótipo do Reino do Meio, de cerca de 2000 a 1800 a.C., e é possível que parte desse conhecimento tenha 5
    • provindo de Imhotep, o quase lendário arquiteto e médico do Faraó Zoser, que superintendeu a construção de sua pirâmide há cerca de 5000 anos. De qualquer modo, a matemática egípcia parece ter ficado estagnada por cerca de 2000 anos, após um início bastante auspicioso. Talvez a mais notável das tabulas matemáticas babilônias já analisadas. O nome indica tratar-se da tabula da coleção G.A. Plimpton da universidade de Colúmbia, catalogada sob o número 322. A tabula foi escrita no período Babilônico Antigo - aproximadamente entre 1900 e 1600 a.C. - e os primeiros a descrever seu conteúdo foram Neugebauer e Sacs em 1945". Então, podemos dizer que os primeiros indícios de rudimentos de trigonometriasurgiram tanto no Egito quanto na Babilônia, a partir do cálculo de razões entre números eentre lados de triângulos semelhantes. No Egito, isto pode ser observado no Papiro Ahmes, conhecido como Papiro Rhind,que data de aproximadamente 1650 a.C., e contém 84 problemas, dos quais quatro fazemmenção ao seqt de um ângulo. Ahmes não foi claro ao expressar o significado desta palavra mas, pelo contexto,pensa-se que o seqt de uma pirâmide regular seja equivalente, hoje, à cotangente de umângulo. Na construção das pirâmides era essencial manter uma inclinação constante dasfaces, o que levou os egípcios a introduzirem o conceito de seqt, que representava arazão entre afastamento horizontal e elevação vertical. Além da utilização da trigonometria nas medições das pirâmides, apareceu noEgito (1500 a.C. aproximadamente) a idéia de associar sombras projetadas por uma varavertical a seqüências numéricas, relacionando seus comprimentos com horas do dia(relógios de sol). 6
    • Poderíamos dizer então que essas idéias estavam anunciando a chegada, séculosdepois, das funções tangente e cotangente. Os predecessores da tangente e da cotangente,no entanto, surgiram de modestas necessidades de medição de alturas e distâncias. Como já mencionamos, os primeiros vestígios de trigonometria surgiram não só noEgito, mas também na Babilônia. Os babilônios tinham grande interesse pela Astronomia,tanto por razões religiosas, quanto pelas conexões com o calendário e as épocas de plantio. É impossível o estudo das fases da Lua, os pontos cardeais e as estações do ano semusar triângulos, um sistema de unidades de medidas e uma escala. Os babilônios foram excelentes astrônomos e influenciaram os povos posteriores.Eles construíram no século 28 a.C., durante o reinado de Sargon, um calendárioastrológico e elaboraram, a partir do ano 747 a.C, uma tábua de eclipses lunares. Estecalendário e estas tábuas chegaram até os nossos dias (Smith, 1958). Papiro Rhind, Museu de Londres. Uma trigonometria primitiva foi encontrada no Oriente. Na China, no reinado deChóu-pei Suan-king, aproximadamente 1110 a.C., os triângulos retângulos eramfreqüentemente usados para medir distâncias, comprimentos e profundidades. Existemevidências tanto do conhecimento das relações trigonométricas quanto do conceito de 7
    • ângulo e a forma de medi-lo mas, infelizmente não temos registro de como eram feitasas medições e quais as unidades de medida usadas. Na literatura chinesa, segundo COSTA, encontramos uma certa passagem quepodemos traduzir por: "O conhecimento vem da sombra, e a sombra vem do gnômon", oque mostra que a trigonometria plana primitiva já era conhecida na China no segundomilênio a.C Também na China, em 152 a. C., há indícios que Chuan Tsanom sistematizou todoo conhecimento matemático conhecido na coleção "A Matemática em Nove Livros", aqual foi modificada mais tarde no século I d. C. por Lin Sing, onde já se usava o π =3,1547, obtido de maneira semelhante a que Arquimedes (287 – 212 a. C.) conseguiu naGrécia. Ainda na China Antiga, no século III d. C, Lin Hui, fazia aplicações do teorema dePitágoras. A primeira amostra documentada de contribuição grega para o estudo datrigonometria apareceu por volta de 180 a.C. quando Hipsícles, influenciado pela culturababilônica, dividiu o zodíaco em 360 partes. Essa idéia foi posteriormente generalizada porHiparco para qualquer círculo (Eves, 1995). O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta de 180 a 125 a.C., ganhou o direito deser chamado "o pai da Trigonometria", pois na segunda metade do século II a.C., fez umtratado em doze livros em que se ocupou da construção do que deve ter sido a primeiratabela trigonométrica, incluindo uma tábua de cordas. Evidentemente, Hiparco fez essescálculos para usá-los em seus estudos de Astronomia. Hiparco foi uma figura de transiçãoentre a astronomia babilônica e a obra de Ptolomeu. As principais contribuições àAstronomia, atribuídas a Hiparco se constituíram na organização de dados empíricosderivados dos babilônios, bem como na elaboração de um catálogo estrelar, melhoramentosem constantes astronômicas importantes - duração do mês e do ano, o tamanho da Lua, oângulo de inclinação da eclíptica - e, finalmente, a descoberta da precessão dos equinócios. 8
    • Assim, podemos dizer que na Grécia, durante os dois séculos e meiocompreendidos entre Hipócrates e Eratóstenes, a trigonometria esteve engatinhando, o quenos leva a concordar com a afirmativa de BOYER (1974, p. 118): "De Hipócrates a Eratóstenes os gregos estudaram as relações entre retas e círculos e as aplicaram na Astronomia, mas disso não resultou uma trigonometria sistemática". A "Trigonometria" era então baseada no estudo da relação entre um arco arbitrárioe sua corda. Hiparco escreve a respeito do cálculo de comprimentos das cordas. Apesar dacorda de um arco não ser o seno, uma vez conhecido o valor do seu comprimento, pode-secalcular o seno da metade do arco, pois a metade do comprimento da corda dividido pelocomprimento do raio do círculo é justamente esse valor, ou seja, para um círculo de raio xunitário, o comprimento da corda subtendida por um ângulo x é 2 sen . 2 A palavra cosseno surgiu somente no século XVII, como sendo o seno docomplemento de um ângulo. Os conceitos de seno e cosseno foram originados pelosproblemas relativos à Astronomia, enquanto que o conceito de tangente, ao que parece,surgiu da necessidade de calcular alturas e distâncias. Outro matemático grego, Menelau de Alexandria, por volta de 100 d.C., produziuum tratado sobre cordas num círculo, em seis livros, porém vários deles se perderam.Felizmente o seu tratado Sphaerica , em três livros, se preservou numa versão árabe e é otrabalho mais antigo conhecido sobre trigonometria esférica. Entretanto, a mais influente e significativa obra trigonométrica da Antigüidade foi aSyntaxis mathematica, obra escrita por Ptolomeu de Alexandria que contém 13 livros. Este tratado é famoso por sua compacidade e elegância, e para distinguí-lo deoutros foi associado a ele o superlativo magiste ou "o maior". Mais tarde na Arábia ochamaram de Almajesto, e a partir de então a obra é conhecida por esse nome. 9
    • Mostrando a mesma influência babilônica apresentada por Hiparco, Ptolomeu 377dividiu a circunferência em 360 partes e o diâmetro em 120 partes. Usou 120 comoaproximação para o número π. Embora não fizesse uso dos termos seno e cosseno, mas dascordas, utilizou o que pode ser considerado o prenúncio da conhecida relação fundamenta(sen x)2 + (cos x)2 = 1. Semelhantemente, em termos de cordas, Ptolomeu conhecia as propriedades deseno e cosseno. De posse do equivalente dessas fórmulas, Ptolomeu construiu uma tabela de cordasde uma circunferência, para ângulos que variam de meio em meio grau, entre 0º e 180º.Calculou comprimentos de cordas, inscrevendo polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 e 10 ladosnum círculo. Isso lhe possibilitou encontrar a corda subtendida por ângulos de 36º, 60º, 72º,90º e 120º. Descobriu então, um método para encontrar a corda subtendida pela metade doarco de uma corda conhecida. Esse fato que, em nossa simbologia, é o mesmo que senα = 1 − cos α /( 2 ), juntamente com interpolação, permitiu-lhe calcular cordas com um2bom grau de precisão. Posteriormente, surgiu a necessidade de uma nova unidade de medida para osângulos. Foi quando surgiu o radiano, denominado radian, pois os estudiosos discutiamuma "expressão" do ângulo em termos de π, que primeiramente foi chamada " π -medida", "circular" ou "medida arcual". Nenhum autor explica por que fizeram uso dessaunidade, mas o seu uso simplificou várias fórmulas matemáticas e físicas. Durante seis séculos, O Almajesto, representou a mais importante fonte de consultapara os astrônomos de todo o mundo. Porém no século VIII é que os cientistas voltariam asua atenção para as obras trigonométricas de um povo, que sempre surpreendera o mundocom sua Matemática original e criativa, os Hindus. Sobre a trigonometria na Índia, entre os séculos VIII – VII a. C, onde temos doismais antigos monumentos da cultura matemática dos hindus, os livros religiosos Sutras e 10
    • Vedas, escritos em Sânscrito. Neles encontramos, de acordo com RIBNIKOV (1987),construções geométricas que constituem parte importante da parte dos rituais na construçãode obras para o culto, como templos e altares. Neles podemos encontrar os primeirosmétodos da quadratura de círculos e aplicações do teorema de Pitágoras. Assim, no século IV da nossa era, a Europa Ocidental entrou em crise com asinvasões dos bárbaros germânicos e com a queda do Império Romano. O centro da culturacomeçou a se deslocar para a Índia, que revolucionou a trigonometria com um conjunto detextos denominados Siddhanta, que significa sistemas de Astronomia. O que chegou até nós foi o Surya Siddhanta, que quer dizer Sistemas do Sol e éum texto épico, de aproximadamente 400 d.C, escrito em versos e em sânscrito. Os hindusdiziam que o autor do texto foi Surya, o deus do Sol. Esta obra contém poucas explicaçõese nenhuma prova pois, afinal, tendo sido escrita por um Deus, seria muita pretensão exigirprovas. (Boyer, 1974). A importância do Surya, para nós, é que ele abriu novas perspectivas para aTrigonometria por não seguir o mesmo caminho de Ptolomeu, que relacionava as cordas deum círculo com os ângulos centrais correspondentes. Nas aplicações da .função. corda, naAstronomia, era necessário dobrar o arco antes de usá-lo na tábua de cordas. Naturalmente,era mais conveniente ter uma tábua na qual o próprio arco fosse a variável independente. No Surya, a relação usada era entre a metade da corda e a metade do ângulo centralcorrespondente, chamada por eles de jiva. Isto possibilitou a visão de um triânguloretângulo na circunferência. Por volta de 500 d.C., o matemático hindu Aryabhata já calculava semi cordas eusava também o sistema decimal, desenvolvido aproximadamente em 600 d.C. Aosurgirem, os numerais hindus continham nove símbolos e não havia símbolo para o zero. Quando os hindus introduziram os conceitos de semi corda e de seno,demonstraram algumas identidades, e encontramos em Varahamihira, no ano 505 d.C., oequivalente verbal de (sen x)2 + (cos x)2 = 1. 11
    • O primeiro aparecimento real do seno de um ângulo se deu no trabalho dos hindus.Aryabhata, por volta do ano 500, elaborou tabelas envolvendo metade de cordas que agorarealmente são tabelas de senos e usou jiva no lugar de seno. Esta mesma tabela foireproduzida no trabalho de Brahmagupta, em 628, e um método detalhado para construiruma tabela de senos para qualquer ângulo foi dado por Bhaskara em 1150. Durante algum tempo os matemáticos árabes oscilaram entre o Almajesto e aTrigonometria de jiva - de origem hindu - o conflito chegou ao final quando, entre 850 e929, o matemático árabe al-Battani adotou a Trigonometria hindu, introduzindo umapreciosa inovação - o círculo de raio unitário - surgiu o nome da função seno. Após os hindus, foram os árabes e os persas a dar sua contribuição à trigonometria. O Império Muçulmano ou Árabe, além da expansão econômica, viveuextraordinário avanço nos diversos campos das artes e da ciência do fim do século VIII atéo século XI, com destaque ao século IX. A expansão do saber muçulmano deveu-se,sobretudo, à difusão da língua árabe, que substituiu o grego na condição de línguainternacional. O emprego do árabe permitiu a fixação e a preservação de obras antigas, queforam traduzidas e assim difundidas entre os intelectuais muçulmanos. Podemos dizer que a influência árabe começou com a fundação da Escola deBagdad, no século IX, e um dos seus maiores expoentes foi o príncipe da Síria Mohamed-ben-Geber, conhecido como AL Battani (aproximadamente 850 a 929 d.C.), ouAlbategnius, nas traduções latinas, chamado o Ptolomeu de Bagdad. Os estudos de AL Battani ficaram entre o Almagesto e Siddhanta e foi por suainfluência que a trigonometria hindu foi adotada pelos árabes, principalmente a partir desua genial idéia de introduzir o círculo de raio unitário e com isso demonstrar que a razãojiva é válida para qualquer triângulo retângulo, independentemente do valor da medida dahipotenusa. Depois de Al-Battani, digno de nota entre os matemáticos árabes foi Abul Wafaque, em 980, iniciou uma organização, uma sistematização de provas e teoremas detrigonometria. 12
    • Os árabes trabalharam com senos e cossenos e, em 980, Abul Wafa sabia quesen2x = senx. Cosx, embora isso pudesse facilmente ter sido deduzido pela fórmula dePtolomeu sem(x+y)=senx.cosy+seny.cosx, fazendo x = y. De acordo com STRUIK (1992), quando a Escola de Bagdad entrou em declínio, ocentro das atividades intelectuais deslocou-se para o sul da Europa, na Península Ibérica,e com ele o estudo da trigonometria, particularmente nos triângulos esféricos necessáriosaos estudos astronômicos. A cidade de Toledo tornou-se o mais importante centro dacultura, a partir de 1085, quando foi libertada pelos cristãos do domínio mouro. Istoocorreu porque para ela afluíram os estudiosos ocidentais, visando a adquirir o sabermuçulmano. O século XII na História da Matemática foi, então, um século de tradutoresdos quais citamos Platão de Tivoli, Gerardo de Cremona, Adelardo de Bath e Robert deChester . Com isso, a Europa teve acesso à matemática árabe e à herança grega que haviasido conservada, na medida do possível, por eles. A palavra hindu jiva - meia corda, dada ao seno foi traduzida para o árabe quechamou o seno de jiba, uma palavra que tem o mesmo som que jiva. Daí, jiba se tornoujaib nos escritos árabes. A palavra árabe adequada que deveria ter sido traduzida seria jiba,que significa a corda de um arco, em vez de jaib, pois foi o estudo das cordas de arcosnuma circunferência que originou o seno. O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Muitaspessoas acreditam que este nome se deve ao fato de o gráfico da função correspondente serbastante sinuoso. Mas, na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, quesignifica dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não tem nada a ver com o conceitomatemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa que dura até hoje. Quando osautores europeus traduziram as palavras matemáticas árabes em latim, eles traduziram jaibna palavra sinus. Em particular, o uso de Fibonacci do termo sinus rectus arcusrapidamente encorajou o uso universal de seno. Uma justificativa para esse erro de tradução seria o fato de que em árabe, como emhebraico, é freqüente escrever-se apenas as consoantes das palavras, cabendo ao leitor a 13
    • colocação das vogais. Além de jiba e jaib terem as mesmas consoantes, a primeira dessaspalavras era pouco comum, pois tinha sido trazida da Índia e pertencia ao idioma sânscrito. Diversos dos astrônomos árabes se deslocaram para a Espanha para trabalhar epassaram a difundir o saber. Os mais importantes escritores foram os astrônomosIbrâhîm ibn Yahyâ al Naqqâsh, (conhecido como Abû Ishâq ou Ibn al-Zarqâla ou, nastraduções latinas como Arzachel, e que viveu em Córdoba) autor de um conjunto de tábuastrigonométricas em 1050, e Jabir ibn Aflah (conhecido como Jeber ibn Aphla, tendovivido em Sevilha), cujos estudos astronômicos de 1145 se mostraram tão interessantesque, séculos mais tarde (1543), foram publicados em Nuremberg. O matemático europeu mais habilidoso do século XIII foi Fibonacci (1170-1250).Ele estudou no norte da África e depois viajou pelo Oriente como mercador, com issosofreu grande influência dos árabes. Sua obra .Practica Geometriae., de 1220, é umaaplicação da trigonometria árabe na Agrimensura. O rei Alfonso X de Castela ordenou, no ano 1250, a estudiosos (cristãos, mouros ejudeus) de Toledo que traduzissem os livros de Astronomia e modernizassem as tábuastrigonométricas árabes. Em 1254 foram concluídas as Tábuas Afonsinas, que juntocom Os Libros del Saber de Astronomia foram considerados de grande valia. Na Europa do século XIV alguns importantes passos foram dados para odesenvolvimento da Matemática. Pela primeira vez, as noções de quantidades variáveis ede função são expressas e, tanto na Escola de Filosofia Natural do Merton College deOxford quanto na Escola de Paris, chega-se à conclusão de que a Matemática é o principalinstrumento para o estudo dos fenômenos naturais. Com o início do estudo da velocidadeinstantânea ou pontual e a atenção especial dada ao movimento, tornou-se necessáriodesenvolver um suporte matemático. Paralelamente ao desenvolvimento da trigonometria, que já vinha ocorrendo naEuropa desde o século XI com a retomada do conhecimento árabe, ocorreu odesenvolvimento das funções. Neste campo surgiu Nicole Oresme (1323 – 1382) com seu 14
    • Treatise on theconfiguration of Qualities and Motions., no qual introduziu a representaçãográfica que explicita a noção de funcionalidade entre variáveis (no caso velocidade portempo). Seu trabalho influenciou Galileu (1564-1642) e Descartes (1596-1650) nosséculos XVI e XVII. Com os estudos de Oresme, começou a se consolidar o conceito defunção. No século XIV, Purbach, na Inglaterra, retomou a obra de Ptolomeu e computouuma nova tábua de senos, muito difundida entre os estudiosos europeus. Purbach foio mestre de Regiomontanus (1436-1475), um dos maiores matemáticos do século XV,cujo trabalho teve grande importância, estabelecendo a Trigonometria como uma ciênciaindependente da Astronomia. Regiomontanus escreveu um Tratado sobre triângulos., em cinco livros, contendouma trigonometria completa. A invenção posterior dos logaritmos e alguns dos teoremasdemonstrados por Napier (1550-1617) mostram que a Trigonometria de Regiomontanusnão diferia basicamente da que se faz hoje em dia. No .Tratado. ele calculou novastábuas trigonométricas, aperfeiçoando a de senos de Purbach, e introduziu na trigonometriaeuropéia o uso das tangentes, incluindo-as em suas tábuas. Podemos dizer que foi elequem lançou as fundações para os futuros trabalhos na trigonometria plana e esférica. Copérnico (1473-1543) também contribuiu ao completar, em 1520, alguns trabalhosde Regiomontanus, que incluiu em um capítulo de seu De Lateribus et AngulisTriangulorum., publicado separadamente por seu discípulo Rhaeticus em 1542, e estetambém produziu tabelas importantes de senos e cossenos que foram publicadas após a suamorte. O primeiro trabalho impresso em trigonometria provavelmente foi a TabulaDirectionum. de Regiomontanus, publicado em Nuremberg certamente antes de 1485, poisa segunda edição data deste ano, em Veneza. As seis funções trigonométricas foram definidas como funções do ângulo, emvez de funções do arco, e subentendidas como razões, pela primeira vez, no .Canon 15
    • DoctrinaeTtriangulorum. De Joachim Rhaeticus em Leipzig, 1551, embora ele não tenhadado nomes para seno, cosseno ou cossecante, exceto perpendiculum, basis e hypotenusa. O termo seno certamente não foi aceito imediatamente como a notação padrão portodos os autores em tempos, quando a notação matemática era por si mesma uma novaidéia, muitos usaram a sua própria notação. Edmund Gunter foi o primeiro a usar aabreviação sen em 1624 em um desenho. O primeiro uso de sen em um livro foi em 1634pelo matemático francês Hérigone, enquanto Cavalieri usava Si e Oughtred S. Por sua vez, o cosseno seguiu um curso semelhante no que diz respeito aodesenvolvimento da notação. Viète usou o termo sinus residuae para o cosseno, Gunter em1620, sugeriu co-sinus. A próxima figura notável na trigonometria foi Pitiscus que publicou um tratado,em 1595, no qual corrigiu as tábuas de Rhaeticus e modernizou o tratamento do assunto. Apalavra trigonometria aparece pela primeira vez, como título de um livro seu. Seguindo Pitiscus, destacamos o britânico Napier, que estabeleceu regras paratriângulos esféricos, que foram amplamente aceitas, enquanto sua maior contribuição,os logaritmos, ainda estavam sendo analisados e não eram reconhecidos como válidos portodos. Suas considerações sobre os triângulos esféricos foram publicadas postumamenteno .Napier Analogies., do .Constructio. no ano de 1619, em Edinburgh. Outro grande expoente em trigonometria foi Oughtred. Em seu trabalho, de 1657,preocupou-se em desenvolvê-la do ponto de vista simbólico. No entanto, como osimbolismo algébrico estava pouco avançado para tornar isto possível, a idéia não foiaceita até que Euler exercesse sua influência neste sentido no século XVIII. John Newton (1622-1678) publicou em 1658 o tratado Trigonometria Britannicaque, embora baseado nos trabalhos de Gellibrand e outros escritores, era o mais completolivro do tipo que havia surgido em seu tempo. Newton e Gellibrand anteciparam atendência atual de introduzir divisões centesimais do ângulo nas tábuas trigonométricas. 16
    • O próximo importante passo em trigonometria foi dado por John Wallis (1616-1703) ao expressar fórmulas usando equações em vez de proporções, e por trabalhar comséries infinitas. Sir Isaac Newton (1642-1727) também deu sua contribuição à trigonometria pois,paralelamente aos seus estudos de cálculo infinitesimal apoiados fortemente na geometriado movimento, trabalhou com séries infinitas, tendo expandido arcsen x em séries e, porreversão, deduzido a série para sen x. Além disso, comunicou a Leibniz a fórmula geralpara sen (nx) e cos(nx) tendo, com isso, aberto a perspectiva para o sen x e o cos xsurgirem como números e não como grandezas, sendo Kastner, em 1759, o primeiromatemático a definir as funções trigonométricas de números puros. A trigonometria toma a sua forma atual quando Euler (1707-1783) adota a medidado raio de um círculo como unidade e define funções aplicadas a um número e não mais aum ângulo como era feito até então, em 1748. A transição das razões trigonométricas paraas funções periódicas começou com Viète no século XVI, teve novo impulso com oaparecimento do Cálculo Infinitesimal no século XVII e culminou com a figura de Euler. O tratamento analítico das funções trigonométricas está no livro .Introductio inAnalysin Infinitorum., de 1748, considerado a obra chave da Análise Matemática. Nele, oseno deixou de ser uma grandeza e adquiriu o status de número obtido pela ordenada de umponto de um círculo unitário. Assim, a trigonometria, no início uma auxiliar da Agrimensura e da Astronomia,tornou-se primeiramente autônoma e por fim transformou-se em uma parte da AnáliseMatemática, expressando relações entre números complexos, sem necessidade de recorrer aarcos ou ângulos. Para encerrar, fica a nossa mensagem ao professor para que, ao ensinartrigonometria, de alguma forma se discuta com os alunos questões que os levem a perceberque o conhecimento matemático não "caiu do céu" ou surgiu pronto e acabado e que dealguma forma a evolução possa ser acompanhada e alguma parte do caminho feita comeles. 17
    • 2. ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS (i) Década de 1960 a) Introdução A análise dos livros didáticos da década 60 traz um grande clássico dos livrosdidáticos, que é o “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL JAIRO BEZERRA, emostra bem a característica da matemática antes do advento da chamada “MatemáticaModerna”. Em geral, segundo LOMAS, podemos dizer que o livro didático é visto muitasvezes como instrumento de trabalho para o professor ou como material de estudo para osalunos, tem muito mais a nos mostrar historicamente, pois ele esteve presente em váriosmomentos importantes para o ensino, com todas as mudanças e adaptações, sejam essasmudanças pelo interesse de grupos, seja por modismos ou fatores políticos. Sendofundamental no processo de ensino-aprendizagem de matemática, o livro didático pode seconstituir na mais forte referência para a prática docente, como ressaltado por MANSUTTI(1993). De acordo com MIORIM (2005), podemos situar a década de 1950 como aquela emque são iniciadas ações que provocariam mudanças significativas relacionadas ao ensino dematemática brasileiro. Durante a década de 1950, ao lado de livros didáticos mais recentes, que estavam deacordo com as orientações da Portaria Ministerial nº 966, de 1951, tal como o de JairoBezerra, que continuou a ser editado e utilizado. Apesar de algumas modificações terem sido realizadas em edições mais recentes dealguns desses livros, MIORIM (2005) afirma que essa permanência de livros de períodosanteriores parece apontar para a existência de uma certa estabilidade da matemáticaescolar, apesar das reformas e mudanças oficiais. 18
    • Este cenário começa a mudar a partir dos congressos de nacionais de ensino dematemática, de 1955, 1957 e 1959, que será tema para os capítulos seguintes. Então, vamos ao livro de BEZERRA (1962), propriamente dito. b) Análise Então, vamos ao livro de BEZERRA (1962), propriamente dito. Resumindo,pretendemos colocar em evidência as semelhanças e diferenças dos conteúdosprogramáticos para a trigonometria com o passar de cada década, observando as variaçõesque aparecem tanto no conteúdo, como na forma de ser “transmitida”. Para tanto,deixaremos exposto o que cada um dos livros das décadas de 60, 70, 80 e 90 traz para oprofessor aplicar em cada um dos ciclos, sempre vertendo para o assunto que interessa, etambém levando em consideração o livro Matemática Moderna Para o Ensino Secundário,que em 1965 foi o marco da transição do conteúdo clássico para o moderno. Em sua oitava edição, em 1962, o livro traz os seguintes temas para o primeiro ano:Retas e Planos, Poliedros, Seções Cônicas, Progressões, Equações Exponenciais, entreoutros temas. Para o segundo ano: Determinantes Sistemas lineares, RelaçõesTrigonométricas, Transformações Trigonométricas, Equações trigonométricas, Vetores,entre outros. Finalmente o terceiro ano, onde além de Geometria Analítica, o aluno eraapresentado aos Limites, Derivadas e Primitivas, conteúdos hoje vistos apenas nagraduação de cursos da área de ciências exatas e tecnológicas. A princípio, nota-se que este livro ainda não se enquadra na chamada matemáticamoderna, apesar de MIORIM (2005) constar que Curso de Matemática se encaixou naportaria ministerial nº 966, de 1951 que apresentava os programas para o curso secundário,e continuou a ser editado e usado. Deve-se considerar em segundo lugar o contexto daépoca e levar em consideração que movimentos para a mudança no ensino da matemáticaeram muito recentes e por isso os conteúdos didáticos ainda eram complexos, sendo queaos olhos atuais, exagerados para o que hoje é o ensino médio. 19
    • Isso vai ser notado com relação à trigonometria, quando já eram ensinados aosalunos do segundo ano conceitos de geometria que estão longe de serem vistos nas nossasescolas atuais. Além das teorias e conceitos de trigonometria, podemos observar osexercícios, que exigem apenas aplicação das fórmulas e as mesmas são dadas de formasintética e sem aplicação clara com o cotidiano. Ainda com relação aos exercícios, ficaevidente que muitos estudantes deviam ter muitas dificuldades na resolução dos mesmos,pois eram de alto grau de dificuldade. No livro constam muitos exercícios que eramretirados de testes e provas de escolas militares, de engenharia e técnicas, como a E. N.Engenharia, E. Aeronáutica, E. Fluminense de Engenharia, Escola Militar, Escola Naval eEscola Técnica do Exercito, com problemas datados de 1938 até 1959. Além disso, na própria apresentação, BEZERRA (1962, sem pg.), mostra que: “Esperamos que este nosso trabalho, contendo todo o programa de matemática do segundo ciclo, venha facilitar aos nossos colegas e ajudar aos estudantes. Além de estar menos sujeito às modificações de programas, facilitará a revisão da matéria nas vésperas dos vestibulares, auxiliará ao professor quando (numa série mais adiantada) desejar recordar um assunto da série anterior e possibilitará ao estudante a compra dos livros do segundo ciclo por um preço mais acessível.” Visualizando todo conteúdo de trigonometria do livro, observa-se que Curso deMatemática deve ser considerado como um didático como muito que vê atualmente emcursos técnicos e de pré-vestibular, com um conteúdo extenso, porém pobre nas origens eaplicações, mas com características típicas do que o ensino da década de 60 exigia. Poderemos fazer uma comparação mais detalhada após a análise dos livros damatemática moderna, e para isso colocaremos os temas que estão inclusos nesse programa. 20
    • Trigonometria para o segundo colegial – Tabela 1Noções sobre Grandezas Classificação Resultante entre Teorema devetores: escalares e dos vetores, dois vetores, Chasles. vetoriais,Projeções: Projeção Projeção Projeção de Teorema de ortogonal de ortogonal de vetores Carnot. um ponto sobre um vetor sobre eqüipolentes, um eixo, um eixo,Relações Arcos Expressão geral Generalização Expressões dastrigonométricas: côngruos, da medida da noção de funções algébrica de um ângulo, Seno, trigonométricas arco, cosseno, de um arco em tangente, função do seno cotangente, desse arco. cosecante, secante, Agora iremos ao segundo livro, de 1965, “Matemática Moderna Para o EnsinoSecundário”, do Grupo de Estudos do Ensino da Matemática (G. E. E. M.). No ano de 1965, o G.E.E.M lançou a segunda edição do livro em questão, no qualserá feita a análise sobre os aspectos da trigonometria, para comparação com as técnicas epeculiaridades da forma clássica do ensino-aprendizagem. De início, o livro nos informa que a sua primeira edição foi feita em 1962, mesmadata da publicação da edição do livro de BEZERRA (1962), e sabe-se que daí em diantetodos os livros começaram a usar a forma da era modernista do ensino matemático e tãoimportante foi essa mudança, que achamos importantes colocar duas das frases encontradasno prefácio G.E.E.M. (1963, sem p.) ditas por participantes da Conferencia Internacionaldo Ensino da Matemática que foi realizada em Atenas, em 1963: 21
    • “... depois de 50 anos os matemáticos resolveram introduzir, não somente conceitos novos, mas essencialmente uma linguagem nova que satisfaz as necessidades atuais dos jovens alunos de hoje e recebe a aprovação universal dos educadores.” (J.Dieudonné do Grupo Bourbaki). “... é necessário, incontinenti, que os jovens alunos da escola secundária possam ainda crer na Matemática recebendo o espírito que caracteriza a Matemática contemporânea.” (A. Lichnerowicz – Presidente da Comissão Internacional de Educação Matemática.). Tais opiniões demonstram que era realmente preciso uma mudança no conteúdoprogramático da escola secundaria e isso foi feito, como também é dito no prefácio: “Pelaoportunidade, constará dessa segunda edição a publicação das sugestões para um roteiro dePrograma para a cadeira de Matemática...”, sugestões essas que serão citadas mais parafrente, mas antes colocaremos o que deve ser entendido como Matemática Moderna,explicada também pelos próprios autores. O que se deve entender por Matemática Moderna nas escolas secundárias. Em um dos capítulos iniciais de G.E.E.M. (1963), é dito que o que se entende pormodernização da matemática é a mudança nas linguagens dos assuntos, uma vez que oconteúdo da matemática clássica possuía uma metodologia difícil específica para “adultosacostumados com rígidos pensamentos lógicos” e assim brecar uma herança de mais de 50anos que deixava a entender que a disciplina era para poucos privilegiados e que, segundoestá escrito no próprio livro, estava longe de atender as exigências de muitos tempos deciência que tinham sido atravessados. Portanto, não se esperava que se abrisse mão de tudo que já tinha sido usado antesdas discussões sobre a mudança das metodologias e dos objetos de estudo e sim que se 22
    • achasse uma forma de abranger esse conhecimento para os ciclos primários econseqüentemente superar a situação de desenvolvimento que nosso país se encontra. Para isso, foi posto em G.E.E.M. (1963, p. 97) os assuntos que teriam que serconsiderados mínimos para um moderno programa de matemática para o colégio, cujoenfoque nosso será na trigonometria, e novamente para facilitar as comparações, serácolocada uma tabela citando o que se vê como matéria essencial seguido das sugestõesdadas pelo G.E.E.M para o segundo ciclo.Tabela 2Assuntos Minimos SugestõesIdentidades, equações e Discussão das soluções,inequações trigonométricas levando em consideração asimples. periodicidade e simetria.Coordenadas de um ponto Ressaltar a significação dasda circunferência com medidas de arco e de ângulocentro na origem.Aplicações em radianos,. No estudo dasdas relações trigonométricas funções, destacar as relaçõesnos triângulos. entre elas e as propriedades da simetria e periodicidade. Introduzir a noção de vetor no estudo do teorema das projeções.Examinar os casos simples de resolução de triângulos. O livro também trás considerações sobre as sugestões que vão além dos assuntosmínimos já citados aqui, que vão desde o primeiro ano do ginasial até o terceiro anocolegial. Como colocamos aqui as disciplinas que eram aplicadas no curso do livro deBEZERRA (1962) do primeiro até o terceiro ciclo do colégio, colocaremos aqui também o 23
    • que se sugere nesses 3 anos, dando ênfase ao primeiro ano, onde aparece o objeto de nossoestudo.Tabela 3 - Primeiro ano colegial e o estudo das funções trigonométricasFunções Seqüências Funções trigonométricas Introdução à geometria espacial.Noções gerais; Exemplos de Estudo das funções Axiomas e teoremas seqüências; trigonométricas, fundamentais; periodicidade, simetria, representação gráfica;Função Linear; Princípios da Relações fundamentais, Perpendicularismo erepresentação indução; funções do tipo a(+ou-), paralelismo;gráfica, estudo da 2 a, a/2 onde a e b projeção e distancia;reta; representam medidas de arcos;Função Progressões Transformações de Diedros.exponencial e aritmétrica e sem(a)(+ou)sen(b),cos(a)logarítmica; Geométrica. ( +ou-)cos(b) em produto;Função trinomial. Equações trigonométricas elementares. Para o 2º ano colegial, propõe-se Análise Combinatória e Binômio de Newton,Sistemas de Equações Lineares, Ângulos Poliédricos e Poliedros, Superfícies e SólidosRedondos e finalmente Áreas e Volumes dos Principais Sólidos. Para o 3º ano colegial, Conjunto dos Números Complexos, Polinômios e EquaçõesAlgébricas, Geometria Analítica, Introdução ao calculo infinitesimal e finalmenteTransformações Geométricas. 24
    • (ii) Década de 70 a) Introdução Na analise da década de 70 utilizamos o livro de Gelson Iezzi, autor muitoconhecido inclusive para graduandos em exatas, uma vez que seus livros são de agradopara muitos professores. No nosso caso, pegamos o Matemática: 1 a série, 2o grau – V. 1,data de 1973, da ATUAL EDITORA LTDA., São Paulo. Importante dizer que mais autores ajudaram na criação do material didático, e elesescrevem alguns pontos interessantes também no prefácio (sem página) no qualdestacamos: “Ao escrever um livro para determinada população, necessita-se fazer uma escolha quanto ao tratamento a ser dado à matéria. Alunos do 2o grau que dominam todos os conceitos incluídos no programa do 1o grau e gostam de matemática ou estão suficientemente motivados para ela existem, indubitavelmente. São muitos? Não acreditamos.” “Decidimos escrever um livro acessível para o aluno normal do curso colegial, na maioria dos casos com deficiência de formação. Para atingirmos nossos objetivos optamos por um tratamento onde a formalização, necessária, foi reduzida ao mínimo.” Neste em especial, poderemos fazer uma comparação sobre o que é dito pelosautores e o que realmente acaba acontecendo, levando em consideração que muito secomenta contra o livro didático como único apoio para os professores, com o argumento deque todos trazem sempre o mesmo conteúdo, mudando apenas a capa. 25
    • Além disso, durante nossa busca pelas bibliografias da pesquisa vimos o volume 3deste mesmo livro, que deveria ser para o terceiro ano do colegial, também de 1973 e assimcomo o clássico de BEZERRA (1962), apresenta em seu programa noções de Limite,Derivada e técnicas de encontrar as primitivas, deixado claro que o autor ainda trazvestígios da Matemática Clássica. Podemos antes da análise em si, por fim, colocar outro fato curioso encontrado nafolha introdutória desta quinta edição do livro do IEZZI (1973), o que indica que oconteúdo do livro que será analisado a seguir vem pelo menos em parte, da época maistradicional do ensino da Matemática. A intenção do mesmo é tratar a trigonometria já no primeiro ano do colegial, talvezporque nesse caso haja mesmo uma síntese nas formalizações e a aplicação também sejamenos formal. Em todo caso, no índice a trigonometria é encontrada em último lugar, oque nos leva a crer que seria no final do primeiro ano, passando antes por Conjuntos,Números, Relações e Funções, Função do 1o grau, Função Quadrática, Função Modular,Função Exponencial, Função Logarítmica e finalmente Funções Circulares, onde estaenquadrada a trigonometria, em IEZZI (1973, p. 199). b) Análise Quando buscamos, desde o inicio, as semelhanças e diferenças entre as décadas emrelação ao ensino da trigonometria observamos principalmente como é apresentado cadatópico, em qual proporção aparecem os exemplos com relação ao número de exercícios eprincipalmente quais disciplinas foram acrescentadas e/ou retiradas ao longo do tempo. Nota-se que a década de 70 é também um marco importante uma vez que foi adécada seguinte a mudança aconselhada pelo G.E.E.M, para melhoria na qualidade do 26
    • ensino, ampliando o conhecimento para camadas antes não atingidas e com issopercebemos sim, uma significativa melhora no que diz respeito ao linguajar usado naelaboração dos conceitos e teoremas, além de darem maior importância para a MatemáticaConcreta, tentando levar figuras que mostram o que esta sendo pedido ou demonstrado. Um exemplo disso esta no trabalho de fundamentar a função seno, em IEZZI (1973,p. 200): "A idéia fundamental do que vamos estudar está sugerida na ilustração que segue: uma escada de 15 m de comprimento esta encostada a uma parede num ponto B e ao solo num ponto C. Em A temos um ângulo reto." Após é colocada a figura, com cada medida destacada ao lado, e após asconsiderações do autor, é colocada a generalização da fórmula nos triângulos retângulos. Imaginamos que as próximas décadas serão muito mais semelhantes a de 70 do queas de antes, e possivelmente por isso nossas análises não abrangeram detalhes queacreditarmos serem menos importantes. Entretanto, colocaremos, como já pusemos, tabelasque ajudaram na conclusão final. Esta que segue será a das disciplinas de trigonometria queestão no programa do livro de G. IEZZIIntrodução A 1.Noções 2.Seno 3.Cosseno 4.Relações 5.Tangente.Trigonometria. Fundamentais entre Seno e CossenoAs Funções Arcos e A função Propriedades A função Outras FunçõesCirculares. ângulos Seno das funções tangente trigonométricas/ seno e Redução ao cosseno primeiro quadrante. 27
    • Relações As cinco Relações IdentidadeFundamentais. relações decorrentes fundamentaisTransformações Formulas de Conseqüência Formulas deTrigonométricas. adição das formulas transformação de Adição. em produto.Equações Equação sen Equação cos Equação tg x Equações EquaçõesTrigonométricas. x = a x=a =a redutíveis fatoraveis. a uma equação do 2o grauInequações Inequação Inequação Inequação tg InequaçõesTrigonométricas. sen x>a ou cos x > a ou x > a ou tg x que sem x<a cos x < a <a recaem nas anteriores.Funções Função Arco Função arco- Função Arco-Circulares Seno cosseno tangente.Inversas.Resolução de Triângulos Triângulostriângulos. retângulos quaisquer. (iii) Década de 80. a) Introdução O quarto livro que foi analisado, Matemática por Assunto 3, trigonometria, deFernando do Coltro Antunes da editora Scipione, tem na sua 2 a edição em seu conteúdoexclusivamente trigonometria. Segundo o autor, na Apresentação, temos: “A seqüência proposta para este volume de Trigonometria visa tornar o assunto menos abstrato. 28
    • Iniciamos o estudo das razões trigonométricas mostrando como foram formulados os conceitos de seno, cosseno e tangente a partir de ângulos dos triângulos retângulos. No segundo capítulo, os conceitos já estudados são entendidos para ângulos entre 0o e 360o. Para tanto, abordamos inicialmente arcos e ângulos de uma circunferência, apresentando a seguir a circunferência trigonométrica. Desenvolvemos então, em maior detalhe, o estudo das razões trigonométricas na circunferência e das relações trigonométricas. O capítulo é complementado com uma seção que trata de algumas das aplicações dos conhecimentos trigonométricos na Geometria e na Topografia. No terceiro capítulo retomamos a circunferência trigonométrica, agora para estudos das funções trigonométricas, bem como as funções trigonométricas inversas.” Pelo depoimento do autor, observamos que o livro não possui mais vestígios da eraclássica do ensino da matemática, mas iremos agora a análise do conteúdo propriamentepara visualizamos melhor as características da década. b) Análise Por se tratar de um livro que traz somente o assunto da trigonometria, fica maisdifícil de relatar as possíveis mudanças ocorridas nessa década em comparação com osoutros, por não existirem outros assuntos que também auxiliam no embasamento teóricoque deixa notável para todas as novas e antigas características. Como exemplo, no livro deBEZERRA (1962), os limites, derivadas e técnicas de encontrar as primitivas nos deixouperceber que a época exigia conteúdos mais amplos para estudantes que naquele tempo se 29
    • formavam e iam continuar o estudo na Europa, e conseqüentemente a trigonometria seguiua tendência e era aplicada naquela forma abstrata e de difícil linguagem. De qualquer forma, logo de início, ANTUNES (1987, pg. 7), se vê algo que não eramuito comum aparecer nos didáticos pesquisados anteriormente: “A origem da palavra Trigonometria (do grego trígonon, ‘triângulo’, e metria, ‘medição’, nos indica que uma das aplicações mais comuns dessa área da matemática consiste no cálculo de medidas de triângulos. Entre os Egípcios e os babilônios, povos que primeiro desenvolveram esse ramo de estudo, os conhecimentos trigonométricos eram empregados basicamente na determinação de distância, recorrendo-se, para isso, à proporcionalidade entre os lados paralelos de dois triângulos semelhantes.” Esta demonstração histórica da utilização da trigonometria pode ser considerada umavanço, apesar de que hoje só isso não basta, pois envolve de certa forma os alunos nacuriosidade e na percepção de que a matemática não surgiu do nada e para tudo nósusamos. Como foi feito anteriormente, colocaremos em forma de tabela os principais temas.Na década de 70, em função do livro que esta sendo usado, será colocada três tabelas, porse tratarem de muitos assuntos.Capitulo 1 Trigonometria no Triangulo Retângulo.Introdução ------------------------------- ------------------------------Trigonometria no Triangulo Razões trigonométricas no Ângulos Notáveis.Retângulo. triangulo retângulo.Capítulos 2 Trigonometria na circunferência.Introdução. 30
    • Arcos e Ângulos na Unidades de medida.Circunferência.Trigonometria na Seno e Cosseno, Cotangente, Secante, Extensão doCircunferência. Tangente. Cossecante. Conceito de Arco.Relações Trigono. na Relações Razões Trig. Da Arcos Dobro e ArcoCircunferência. Fundamentais. soma e diferença de metade. dois arcos.Resolução deTriângulosquaisquer.Capítulo 3 Funções Trigonométricas.Introdução.Representaçãodos NúmerosReais naCircunferênciaTrigonométrica.Funções A função Seno. A função A função FunçõesTrigonométricas. Cosseno. Tangente. Cotangente, Cossecante e Secante.Funções Arco-seno. Arco-cosseno Arco-tangente.TrigonométricasInversas. Novamente, em uma rápida comparação com o primeiro livro analisado, observou-se que há notória diferença nos exercícios exigidos com relação principalmente no que dizrespeito aos tipos de escola que os exigiram. Parece óbvio, já que muitas das escolas jácomentadas nem existem mais, porém quando colocamos em foco a dificuldade de cada 31
    • questão, percebe-se mais uma vez que o que se exige hoje, após a publicação do livro doG.E.E.M., é bem menos severo do que antigamente. Alguns exemplos de faculdades eescolas são: FGV-SP, ITA-SP, AMAN-RJ, FUVEST-SP (os problemas não são datados). Para concluir, na apresentação do livro (sem pág), aparece: “Os nove volumes desta coleção tratam de assuntos básicos da Matemática, usualmente desenvolvidos ao longo das três séries do 2o grau. Ao optar pela subdivisão dos assuntos de cada série, consideramos a possibilidade de o professor compor um currículo conveniente seus propósitos e aos de seus alunos.” Isso, citado acima, é com certeza é um progresso significativo, levando emconsideração o fato de que poucas décadas atrás era tudo programado em um rígidoesquema, onde o professor seguia a risca o conteúdo e a forma, na hora que eles apareciam. O docente tendo mais controle de sua aula pode ensinar mais e melhor. (iv) Década de 90 (v) Década de 2000. 32
    • 3. ANÁLISE DAS PROPOSTAS CURRICULARES a) A Matemática no Brasil: De 1900 a 1960 De acordo com PARANÁ (2007), no inicio do século XX, surgiram preocupaçõesrelativas ao ensino da matemática, resultado de discussões realizadas em encontrosinternacionais de Matemática, onde começaram a ser elaboradas propostas pedagógicaspara o ensino da matemática. Com o advento da era industrial, e a mudança do cenário sócio-político-econômico,em conjunto com as ciências modernas, fez surgir uma nova forma de produção de bens. Agora os matemáticos até antes pesquisadores, tornaram-se também professores epassaram a preocupar-se com as questões do ensino. Para isso os docentes, procuraram 33
    • fundamentações nas teorias matemáticas e nos estudos psicológicos, filosóficos esociológicos para produzirem um guia curricular para o ensino da matemática. Surgiram então discussões sobre a Educação Matemática, que deveria orientar asações didáticas pedagógicas para o Ensino da Matemática. As primeiras idéias foram obtidas nos congressos internacionais, entre 1900 e 1914,vindas ao Brasil por intermédio do Imperial Colégio D. Pedro II. O ensino da Matemáticaera divido em outras disciplinas, cujo programa garantiu o ensino de Aritmética,Geometria, Álgebra e Matemática. A disciplina de Matemática incorporava aTrigonometria e a Mecânica. O professor Euclides de Medeiros Guimarães Roxo se destacou nas discussões doEnsino de Matemática no Colégio D. Pedro II. Felix Klein professor da Universidade de Erlangen, Leipzig e Göttingen, defendeu,didática e pedagogicamente, que fazia sentido criar uma única disciplina que agregasse oobjeto de estudo abordado pela Matemática. Assim com base nas discussões internacionais, Euclides Roxo solicitou ao GovernoFederal a junção das disciplinas aritmética, álgebra, geometria e trigonometria numa única,denominada Matemática. O início da modernização do ensino da Matemática no país aconteceu, segundoPARANÁ (2007), num contexto de mudanças que promoviam a expansão da indústrianacional, do desenvolvimento da agricultura, do aumento da população nos centrosurbanos e das idéias que agitavam o cenário político internacional, após a Primeira GuerraMundial. As idéias reformadoras do ensino da Matemática estavam ligadas ao movimento daEscola Nova, que propunha um ensino norteado por concepções empírico-ativistas, aovalorizar os processos da aprendizagem e o envolvimento do estudante em atividades depesquisa, atividades lúdicas, resolução de problemas, jogos e experimentos. Além de caracterizar a Matemática como disciplina, esta tendência orientou aformulação da metodologia de ensino na Reforma. 34
    • Além de contribuir para a caracterização da Matemática como disciplina, estatendência do escolanovismo orientou a formulação da metodologia do ensino daMatemática na Reforma Francisco Campos, em 1931. A proposta básica da tendência escolanovista era o desenvolvimento da criatividadee das potencialidades e interesses individuais. O estudante era considerado o centro doprocesso e o professor, o orientador da aprendizagem. Outras tendências,concomitantemente a empírico-ativista (escolanovista), influenciaram o ensino daMatemática em nosso país. FIORENTINI (1995) destacou as seguintes tendências:formalista clássica, formalista moderna, tecnicista, construtivista, sócio-etno-cultural,histórico-crítica. A tendência formalistica clássica permaneceu no ensino da Matemática no Brasilaté o fim da década de 1950. Esta tendência baseava-se no "modelo euclidiano e naconcepção platônica de Matemática", a qual se caracteriza pela sistematização lógica e pelavisão estática, a-histórica e dogmática do conhecimento matemático. Nesta tendência, a aprendizagem era centrada no professor e no seu papel detransmissor e expositor do conteúdo, pelos desenvolvimentos teóricos em sala de aula. Oensino livresco e conteudista e a aprendizagem consistia na memorização e na repetiçãoprecisa de raciocínios e procedimentos. Após a década de 1950, a tendência formalista moderna que valorizava a lógicaestrutural da idéias matemáticas, foi então reformulando o currículo escolar, peloMovimento da Matemática Moderna. O ensino era centrado no professor que demonstrava os conteúdos em sala de aula.Enfatizava-se o uso preciso da linguagem Matemática, o rigor e as justificativas dastransformações algébricas por meio das propriedades estruturais. Com o movimento da Matemática Moderna, acreditava-se que o rigor e a precisãoda linguagem matemática facilitariam o seu ensino. 35
    • Tal abordagem não respondeu às propostas de ensino, e, em contrapartida, ascríticas se intensificaram e as discussões no campo da Educação Matemática sefortaleceram. b) Década de 60: A proposta da Matemática Moderna Em 1964, segundo PARANÁ (2007), foi instaurado o regime militar brasileiro,trazendo a tendência pedagógica tecnicista. FIORENTINI (1995) afirmou que a escola, naconcepção tecnicista, tinha a função de manter e estabilizar o sistema de produçãocapitalista, cujo objetivo era preparar o indivíduo para ser útil e servir ao sistema. Até a década de 60, era focado essencialmente o domínio do conhecimentoespecífico, sendo que os de ordem pedagógica eram pouco valorizados. É marcado nestaépoca, no ambiente escolar brasileiro, pelo movimento da matemática moderna. Eram distinguidos dois tipos de livros didáticos editados que circulavam nos meiosescolares: os formalistas clássicos e os formalistas modernos. Ambos têm em comum a concepção platônica de matemática e como fundamentometodológico euclidiano. Segundo BÚRIGO (2006), tanto formalismo clássico quanto o moderno têm emcomum a concepção platônica de matemática e como fundamento metodológico o modeloeuclidiano. Vale lembrar que a Matemática – concepção platônica – é entendida comoentidades que têm existência objetiva, independente da mente do matemático e do mundoempírico. Se nos reportarmos à clássica antinomia filosófica entre objetivismo esubjetivismo referente à natureza da Matemática para saber se o homem a descobre ou acria, a concepção platônica diz que ela não é inventada ou construída. Tem existênciaabsoluta, independente do pensamento. As idéias matemáticas existem em um mundo ideale estão adormecidas na mente do homem. A análise do livro didático, no período determinado, toma como ponto de partida aconcepção formalista clássica de matemática como o conhecimento reprodutivo, uma das 36
    • categorias anteriormente mencionada. Tal afirmação pode ser ilustrada com a definição depotenciação em dois livros didáticos que circularam nos meios escolares. Os autores, no prefácio ou apresentação de seus livros, chamam a atenção dosalunos e professores para a necessidade de se apoiar numa linguagem concisa comocondição para o rigor científico e o entendimento exato e preciso da lógica matemática decada conceito. A linguagem, o rigor e as justificativas dos procedimentos adotados pelaspropriedades das operações garantiriam as definições das estruturas matemáticas (ordem,algébrica e topológica). Entretanto, essa preocupação passa a ser periférica, pois os autoresreferidos não apresentam em seus livros um estudo sobres as estruturas algébricas. Deantemão, vale destacar que em nenhum dos livros adotados nas escolas estudadas napresente pesquisa trata-se das referidas estruturas. c) Proposta Curricular da década de 70 Segundo PARANÁ (2007), o desenvolvimento do caráter mecanicista e pragmáticodo ensino da Matemática foi marcante no decorrer da década de 1970. O método deaprendizagem enfatizado era a memorização de princípios e fórmulas, o desenvolvimento eas habilidades de manipulação de algoritmos e expressões algébricas e de resolução deproblemas. A pedagogia tecnicista não se centrava no professor ou no estudante mas, sim,nos objetivos instrucionais, nos recursos e nas técnicas de ensino. Os conteúdos eramorganizados por especialistas, muitas vezes em kits de ensino, e ficavam disponíveis emlivros didáticos, manuais, jogos pedagógicos e recursos audiovisuais. Nos anos 1970, segundo DAMAZIO (2006), algumas obras mais adotadas foram deName, Zambuzzi e Ens, novos autores que não descartam nem o brilhantismo de seus 37
    • antecessores como também o formalismo matemático. Entretanto, fazem uma crítica sutil àaridez como, até então, eram tratados os conteúdos e à finalidade implícita do ensino deMatemática: desenvolvimento do espírito, da disciplina mental e do rigor lógico. Apreocupação é de traduzir a matemática para uma linguagem mais simples e concisa, com afinalidade de se tornar acessível aos alunos. Também, há um esforço de fazer umaaproximação mais estreita do formalismo moderno ao clássico. Essa preocupação e tentativa de aproximação explicitam um elemento criativoreprodutor dos novos livros: os aspectos didático-metodológicos, isto é, os conteúdosmatemáticos permanecem os mesmos, porém muda seu enfoque e sua forma deapresentação. Os autores recorrem ao estudo dirigido como metodologia para “lecionar”Matemática sem as tradicionais aulas expositivas que cansam os alunos e principalmente osprofessores atarefados, segundo ZAMBUZZI (1973). A crença explicitada pelos autores éque o estudo dirigido aumenta a capacidade de reflexão dos alunos, pois dá a oportunidadede, por si mesmos, chegarem à conclusões e elaborar deduções das questões propostas.Concorrem para a aprendizagem: a simplicidade da apresentação dos assuntos e osexemplos dos exercícios tirados da própria vivência do aluno, isto é, o conhecimento dedomínio dos alunos aprendido anteriormente. Segundo DAMAZIO (2006), o pressuposto de que o aluno teria a oportunidade deconcluir e generalizar, explicitado na apresentação dos livros, se restringe, no caso dapotenciação, à observação de duas multiplicações: uma de fatores diferentes e a outra defatores iguais. Da mesma forma, a pergunta - “O que você observou nas multiplicaçõesdadas?” - admite que ambas as alternativas sejam consideradas, o que de modo algumlevaria os alunos às conclusões e soluções próprias do conceito de potenciação, sem aintervenção do professor. É ilusório que, ao sugerir apenas duas multiplicações seguidas deuma pergunta, o aluno chegaria à definição de potenciação, pois são restritas aspossibilidades de estabelecer relações, de filtrar informações, de evidenciar aspectosessenciais e de perceber regularidades, consideradas fundamentais no processo deaprendizagem de qualquer noção matemática e de elaboração conceitual. 38
    • Um aspecto ainda a ressaltar é a fuga do referido autor da definição de potênciadada pela Matemática Moderna que outros livros didáticos, lançados nesse período e queadotam a modalidade de estudo dirigida. Há autores que seguem as mesmas noções iniciaisdadas por ZAMBUZZI (1973), porém destacam a definição envolvendo a linguagem dateoria dos conjuntos. d) Proposta Curricular da década de 80 Embora estivessem em vigor às diretrizes gerais do currículo estabelecido pela Lei5.692/71, iniciou-se um movimento no governo, a fim de revisar e reformular os guiascurriculares em vários estados. O poder público federal durante está época não tinha muitopoder sobre os guias curriculares dos estados. Segundo SOUZA (2006), a reestruturação curricular no Estado de São Pauloiniciou-se com a implantação, em 1983, do ciclo básico (Decreto 21.833, de 21.12.1983),ponto de partida para a reorganização da escola pública de 1º grau. Este decreto do ponto de vista político visava diminuir a seletividade escolar, paracumprir metas do governo de São Paulo para a democratização do ensino, com essainiciativa, grandes transformações ocorreram na prática da alfabetização nas séries iniciais. O segundo passo da reestruturação paulista foi à elaboração das propostascurriculares para o ensino de 1º grau que ocorreu a partir de 1985. As versões preliminaresdas propostas curriculares contemplaram as sugestões de novas abordagens teóricas emetodológicas das diferentes áreas do conhecimento que eram produzidas ou divulgadasnas principais universidades paulistas. A maior parte das propostas curriculares foi construída entre 1986 e 1987 edistribuídas à rede de ensino público a partir de 1988. Ao iniciar a década de 1980, a CENP continuava a executar o projeto de elaboraçãodos Subsídios para a implementação dos guias curriculares. Os subsídios foram construídoscom uma linguagem bem coloquial; apresentavam-se sob a forma de manuais para o 39
    • professor, como um “receituário” indicando a distribuição do conteúdo, do tempo, aavaliação e até palavras que o professor deveria usar. A implantação do ciclo básico, apartir de 1984, exigiu da Secretaria de Educação de São Paulo iniciativas de capacitação deprofessores, uma vez que a proposta de ciclo significou não apenas uma reordenação daorganização pedagógica, união da 1ª e 2ª séries e dissertação, mas, essencialmente, umanova forma de trabalhar a aprendizagem da leitura e da escrita. Segundo SOUZA (2006), no final da década de 1980, a Cenp passou a investir naprodução de outro tipo de material, com novas características em relação à composiçãográfica e configuração lingüística. O ideal da articulação teoria-prática, mencionadoinsistentemente nos textos do início da década de 80, era viabilizado mediante nova formade elaboração e produção dos textos em que os conteúdos, mais simplificados, falavam aoprofessor de uma prática fundamentada teoricamente, cuja teoria era, porém, mostradaimplicitamente. Outra mudança dizia respeito ao suporte material do texto (o livro)trazendo maior número de ilustrações, com o intuito de tornar o material mais agradável aoleitor. A Matemática era vista como uma construção constituída por estruturas e relaçõesabstratas entre formas e grandezas. Por este motivo, o construtivismo dava mais ênfase aoprocesso e menos ao produto do conhecimento. A interação entre os estudantes e oprofessor era valorizada e o espaço de produção individual se traduzia como um momentode interiorização das ações e reflexões realizadas coletivamente. A Psicologia era o núcleocentral da orientação pedagógica. A tendência pedagógica socioetnocultural surgiu a partir da discussão sobre aineficiência do Movimento Modernista. Valorizou aspectos socioculturais da EducaçãoMatemática e tinha sua base teórica e prática na Etnomatemática. O conhecimento matemático passou a ser visto como saber prático, relativo, nãouniversal e dinâmico, produzido histórico-culturalmente nas diferentes práticas sociais epodia aparecer sistematizado ou não. A relação professor-estudante, nesta concepção, era a 40
    • dialógica, isto é, privilegiava a troca de conhecimentos entre ambos e atendia sempre àiniciativa dos estudantes e problemas significativos no seu contexto cultural. A tendência histórico-crítica, por sua vez, concebe a Matemática como um sabervivo, dinâmico, construído historicamente para atender às necessidades sociais e teóricas. Nesta tendência, a aprendizagem da Matemática não consiste apenas emdesenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pelamemorização ou listas de exercícios, mas criar estratégias que possibilitam ao alunoatribuir sentido e construir significado às idéias matemáticas de modo a tornar-se capaz deestabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. A ação do professor é articular o processo pedagógico, a visão de mundo do aluno,suas opções diante da vida, da história e do cotidiano. O auge das discussões da tendênciahistórico-crítica aconteceu num momento de abertura política no país, na década de 1980. No final da década de 1980, a Cenp passou a investir na produção de outro tipo dematerial, com novas características em relação à composição gráfica e configuraçãolingüística. O ideal da articulação teoria-prática, mencionado insistentemente nos textos doinício da década de 80, era viabilizado mediante nova forma de elaboração e produção dostextos em que os conteúdos, mais simplificados, falavam ao professor de uma práticafundamentada teoricamente, cuja teoria era, porém, mostrada implicitamente. Outramudança dizia respeito ao suporte material do texto (o livro) trazendo maior número deilustrações, com o intuito de tornar o material mais agradável ao leitor. e) Propostas Curriculares da década de 90 A aprovação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (N° 9.394, de 20de dezembro de 1996 – LDBEN) introduziu novas interpretações sobre o ensino daMatemática. 41
    • Desde a vigência de tal, as escolas trabalham com certa autonomia no seu projetopolítico-pedagógico. Oferecendo aspectos curriculares tanto na oferta de disciplinas quantono elenco de conteúdos das disciplinas da Base Nacional Comum. A partir de 1998, iniciou-se a distribuição dos Parâmetros Curriculares Nacionais(PCN) através do Ministério da Educação, ao qual a crítica contemporânea se concentra nadefesa da concepção neoliberal de homem, mundo e sociedade. Quanto ao avanço nas pesquisas de Educação Matemática, pode-se dizer que osPCN são as sínteses das tendências metodológicas na Educação Matemática e osprocedimentos de avaliação. A crítica ao PCN de 1998 é pelo fato, da forte indicação do ensino de Matemáticavoltada o para a aplicação no trabalho, minimizando o valor científico da disciplina. Nos últimos anos acentuou-se, visivelmente, a atuação do governo federal noâmbito das prescrições curriculares em todos os níveis de ensino que passou a assumir,inclusive, competências que vinham sendo historicamente exercidas no âmbito dosgovernos estaduais, tais como a produção de materiais de orientação curricular para oensino fundamental e médio. No final da década de 1990, atenção da Secretaria da Educação voltou-se para acompra de material didático (jogos e livros) e para a formação de professores mediante aeducação à distância, investindo na aquisição de antenas parabólicas e equipamentosnecessários a esse tipo de formação. A promulgação da Lei Federal nº 9.394/96 - Lei de Diretrizes e Bases da EducaçãoNacional e da Legislação Complementar trouxe a necessidade de reelaborarão doscurrículos dos cursos formais, desde a educação infantil até o nível universitário. Comoresultado pode-se observar que ocorreu uma aproximação aos princípios norteadores doscurrículos referidos, propiciando ainda uma socialização da terminologia específica emelhoria da comunicação intra-grupal. f) Proposta Curricular da primeira década de 2000. 42
    • Segundo PORTANOVA (2007), os grandes temas a serem trabalhados nas trêsséries do ensino médio são: Geometria, Álgebra e Análise de Dados. Inicialmente, fazemos uma análise de como esses temas são abordados nosParâmetros Curriculares Nacionais (1999) e nos chamados PCN+ (2002). A partir dostópicos apresentados nos referidos documentos, estabelecemos critérios para a elaboraçãode uma proposta de abordagem dos referidos temas. Para estabelecer esses critérios, relativamente à Geometria, promovemos um breveestudo teórico sobre cada item que consideramos importante para ser trabalhado no ensinomédio: geometria euclidiana, geometrias não-euclidianas e dimensionalidade, localizando-os na História da Matemática, a fim de verificar a sua importância para o desenvolvimentode conhecimentos, habilidades e competências através do ensino de Matemática. Analisando os PCN+, BRASIL (2002, p.111), relativos ao ensino médio,considerado como etapa final da escolaridade básica, verifica-se que: “[...] a Matemática deve ser compreendida como uma parcela do conhecimento humano essencial para a formação de todos os jovens, que contribui para a construção de uma visão de mundo, para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades que deles serão exigidas ao longo de sua vida social e profissional”. Inserir diferentes geometrias nos currículos é, antes de tudo, trabalhar com estilosde raciocínios que desenvolvem variadas formas de pensar, o que dá mobilidade aopensamento do homem, qualidade essencial para o sujeito do século XXI. Segundo PORTNOVA (2007), a Álgebra pode-se entender como a generalização daaritmética. Pode-se, ainda, encará-la como um meio eficaz na resolução de problemas. Noentanto, é no desenvolvimento e análise de relações e na compreensão das estruturasmatemáticas que a álgebra assume, hoje, um papel de destaque no estudo das matemáticas,nos diferentes graus de ensino, em especial, no ensino médio. Isso fica mais evidente, se 43
    • considerarmos que a sociedade de hoje e, principalmente a do futuro onde viverão nossosalunos, passa por um período de intensa matematização. É necessário que a álgebra sejacompreendida de forma ampla, pois fornece recursos para analisar e descrever relações emvários contextos, matemáticos e não matemáticos. Pretendemos destacar a importância deuma metodologia de ensino da álgebra que permita ao aluno construir significados, lidandocom diferentes contextualizações. Também consideramos que a abordagem no contexto geométrico para questõesalgébricas possibilita expressivamente que se estabeleçam conexões em vários tópicos daMatemática, não por desconsiderarmos a importância de outras significações, inclusivenão-matemáticas, pois é possível lermos e interpretarmos argumentos matemáticosvalendo-nos do raciocínio geométrico. A Álgebra, no ensino médio, segundo os PCN+, é um dos eixos estruturadores doensino da Matemática, sendo desenvolvida concomitantemente com a Geometria e aAnálise de Dados. A Análise de Dados foi dividida em três grandes temas: Combinatória, Estatística eProbabilidade. Analisamos através de um estudo das Orientações EducacionaisComplementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCN+), aforma como esses assuntos são abordados, se são viáveis e se têm condições de seremaplicados nas escolas. Buscamos, ainda, descrever a melhor maneira para odesenvolvimento desses temas, tendo um olhar especial para tecnologias como acalculadora e o computador, buscando qual a melhor forma pela qual elas podem serinseridas na sala de aula para contribuírem com o seu desenvolvimento. O contextohistórico, a estrutura e a forma dada a cada um dos temas é o ponto de partida paraentendê-los e, também, uma forma de verificar o que eles têm para contribuir com odesenvolvimento do pensamento matemático e do raciocínio lógico trabalhado nas escolas. Não conseguimos vislumbrar nenhuma desvantagem em abordar no Ensino Médio,o ensino da Estatística e da Probabilidade, pois nossa preocupação é com a formação dealunos críticos, reflexivos e capazes de avaliar a consistência das informações que recebem 44
    • tanto na escola como na sociedade, através da mídia e, para isso, o tema Análise de Dadosé um conteúdo formador valioso. Conclui-se que abordando os referidos temas, de uma forma integrada econtextualizada, nas três séries do ensino médio, os alunos poderão completar a educaçãobásica, tendo desenvolvido as competências esperadas para um cidadão capaz de viverneste novo século.4. ANÁLISE METODOLÓGICA DO ENSINO DETRIGONOMETRIA a) Metodologia de História da Matemática Antes de começar a análise metodológica, nos vem uma questão em mente: como asinformações geradas pela história da matemática podem ser utilizadas no ensino dematemática? Mendes nos diz que a investigação em história da matemática atualmente pode serconsiderada uma alternativa metodológica para o ensino de matemática escolar e baseia-seem pressupostos que defendem o uso dessas informações através de atividades de 45
    • aprendizagem para o aluno. Assim, podemos buscar na história fatos, descobertas erevoluções que nos mostrem a criatividade do homem quando se dispõe a elaborar edisseminar a ciência matemática no seu meio sócio-cultural. Mendes ainda diz que o aluno tem mais condições de construir a matemática comoum conjunto de idéias que são não somente inter-relacionadas, mas também relacionadas aoutros aspectos da conjuntura que as deu origem. Assim, será facilitada tanto a suacompreensão da própria matemática quanto as suas aplicações. De acordo com um estudo realizado por MENDES & FOSSA (1996), citado porMENDES, procurando verificar as concepções, atitudes e experiências dos professores deMatemática com relação ao uso da história em sala de aula, pode ser detectada que osprofessores investigados apontam para a necessidade de um aprofundamento acerca doconteúdo histórico de alguns tópicos matemáticos como a trigonometria, justificando serpossível e necessária a utilização do mesmo durante as suas atividades de ensino. Dessemodo buscamos desenvolver um estudo que procurasse apresentar a eles umaprofundamento teórico acerca do conteúdo histórico de trigonometria para que se tornepossível utilizá-lo como alternativa de aprendizagem de conceitos trigonométricos básicosno ensino secundário. Bem, agora falando um pouco sobre as relações metodológicas na história doensino de matemática, podemos dizer que a busca de estabelecer possíveis relaçõesmetodológicas entre a história da matemática e o ensino desta disciplina, tem seapresentado cada vez mais presente em vários estudos realizados atualmente por umnúmero cada vez crescente de educadores matemáticos. Segundo MENDES, com relação ao uso da história como recurso de ensino dematemática, há na literatura referente a esse tema, um estudo exaustivo, realizado porMIGUEL (1993), ele caracteriza diversas fontes de utilização na história da matemática,dentre as quais destacamos a de motivação da aprendizagem, a de seleção de objetivos deensino, a de recreação através de atividades lúdicas e heurísticas, a de desmistificação, paramostrar a matemática acessível às atividades educativas do homem; a de formalização de 46
    • conceitos, a de dialética, a de unificação de vários campos da matemática, a deconscientização epistemológica e de significação, a de cultura e a de epistemologia. Alémdisso, seu trabalho culmina com a apresentação de um estudo histórico-pedagógico-temático voltado para o ensino-aprendizagem dos números irracionais, material estebastante útil para o trabalho dos professores que atuam no ensino secundário. O ensino de matemática baseado em atividades pressupõe a aprendizagem comouma construção constante das noções matemáticas a partir da experimentação, discussãoposterior dos resultados obtidos e elaboração final dos conceitos em construção. Cabe,porém, ao professor preocupar-se com a elaboração das atividades e com as orientaçõesdadas aos estudantes durante a realização das mesmas, pois isso poderá ser decisivo noprocesso de aprendizagem. Essa abordagem de ensino prevê a experiência direta doaprendiz, com situações reais vivenciadas onde a abordagem instrucional é centrada noaluno e em seus interesses espontâneos. Assim, MENDES encerra, dizendo que para que se efetive um ensino-aprendizagem significativo, é proposto uso da história através de atividades centradas naaprendizagem por descoberta, pois o material histórico servirá de referencial para aelaboração e testagem das atividades de ensino de trigonometria. Essa forma de abordagemde ensino pressupõe uma colaboração mútua entre professor e alunos durante o ato deconstrução do saber, pois a característica essencial desse modo de encaminhar as atividadesde ensino está no fato de que os tópicos a serem aprendidos estão por ser (re)descobertospelo próprio aluno durante o processo de busca que é conduzido pelo professor até que eleseja incorporado à estrutura cognitiva do aprendiz. Além disso, esse modo de atividadeconduz o aprendiz através de experiências semelhantes às etapas vivenciadas pelosmatemáticos do passado e por isso o material histórico torna-se imprescindível para odesenvolvimento desse tipo de ação docente. Uma atividade que pode ser sugerida diz respeito à medição de altura de objetossem a utilização de sombras, cujos objetivos são; relacionar ângulos e lados de dois ou 47
    • mais triângulos retângulos semelhante, visando determinar a razão entre os lados dessestriângulos através dos processos de medição desses objetos.Essa atividade suscita fatos históricos ligados às experiências de Tales e ao conhecimentosobre a construção de tábuas trigonométricas realizadas na antigüidade, através dadeterminação da tangente de um ângulo agudo. b) Uma proposta alternativa para o ensino e aprendizagem de trigonometria (i) Principais aspectos da teoria de David Ausubel Segundo BRIGUENTI (1998), Ausubel define aprendizagem como organização eintegração do novo conhecimento com conceitos já existentes na estrutura cognitiva doaprendiz e a estrutura cognitiva é entendida como um corpo de conhecimento estabelecido,organizado e adquirido de forma cumulativa, e sempre ancorado em conhecimentos jáexistentes, a qual é chamada de aprendizagem significativa. 48
    • A aprendizagem significa é ponto alto da teoria de Ausubel, pois para ele esse tipode aprendizagem só ocorre se, alem de se ter proporcionado ao aluno a conexão entre o euele já sabe e o novo conhecimento, o conteúdo lhe for significativo, originando umacuriosidade em aprender. Também temos o conceito de diferenciação progressiva, que é o de se oferecer aosalunos as idéias mais gerais em primeiro lugar, para depois detalhá-las. Já outro conceitodefendido por Ausubel para facilitar a aprendizagem do conteúdo é o conceito dereconciliação integrativa que envolve uma aprendizagem superordenada ou combinatória,pois engloba varias ideais, integrando o novo conhecimento aos outros já existentes. (ii) A nova proposta BRIGUENTI (1998) diz que as praticas de ensino vem sendo realizadas em nossasescolas na concepção segundo a qual se acredita ser suficiente apresentar aos alunos osconceitos já sistematizados. Nessa concepção, os alunos são meros espectadores e o professor como aqueleindicado para apresentar as definições e regras já sistematizadas. Assim, segundoBRIGUENTI (1998), não é dada ao aluno a oportunidade de ser co-produtor do seuconhecimento. Dessa forma podemos considerar que o aluno deve participar da construção doconhecimento, ou seja, que a aquisição do saber historicamente acumulado adquirido naescola só se dá quando o aluno é objeto e também sujeito da educação, o que nos leva aconsiderar a sala de aula um espaço importante para a formação do aluno. Ao elaborar atividades de ensino de trigonometria diferenciadas, BRIGUENTI(1998), apoiou-se no conceito de aprendizagem significativa de AUSUBEL (1968), ondeestas forneçam momentos através de reflexões e de discussões das idéias pertinentes aoproblema proposto, do desenvolvimento da criatividade e do pensamento hipotético aoelaborar hipóteses na tentativa de encontrar a solução do problema, e ainda promover a 49
    • interação social entre os alunos e o bom relacionamento entre professor e alunos. Então, asatividades oferecem modos de ações para ajudar o aluno a construir os conceitos estudos,possibilitando a aprendizagem significativa dos conceitos, favorecendo e estimulando opensamento reflexivo. Durante o desenvolvimento da atividade, segundo BRIGUENTI (1998), procura-seestabelecer conceitos relevantes e inclusivos que o aluno já possui, apoiando-se naestrutura cognitiva do aluno. Então, a dinâmica utilizada influi nos aspectos afetivos e lúdicos, considerando quea maneira de trabalhar motiva fortemente o aluno ao possibilitar que este manipulemateriais concretos. Bem, agora vamos passar à idéia da hierarquização dos conceitos, onde emmatemática alguns conceitos relevantes, pois serve de ancora desde os primeiros contatoscom o assunto, o que é o caso de semelhança de triângulos, segundo BRIGUENTI (1998). Aqui podemos chegar à conclusão que os livros didáticos apresentam os conteúdosem trigonometria numa ordem que não proporciona hierarquização dos conceitos e nemaprendizagem significativa. Outro fator importante a ser considerado são as condições para a aprendizagemsignificativa, ou seja, que segundo AUSUBEL (1968), o conteúdo a ser aprendido deve sersignificativo para o aluno, originando as condições que desperte no aluno a curiosidade euma pré-disposição para aprender. Assim, BRIGUENTI (1998), diz que antes de iniciar-se a apresentação de um novoconceito na aula de matemática, o professor deveria utilizar-se de filmes envolvendo osconceitos a ser iniciado, o que pode motivar os alunos para a aquisição de novoconhecimento. A seguir um mapa conceitual, mostrando relações entre ensino de trigonometriatradicional e a nova proposta de ensino diferenciada: ENSINO DE TRIGONOMETRIA 50
    • LIVROS DIDÁTICOS DEFINIÇÕES E FÓRMULASPROPOSTA SUGERIDA:POSSIBILITA AÇÕES METODOLÓGICAS DIFERENCIADAS POR MATERIALCONCRETO.NOVO CONHECIMENTO ANCORADO EM CONCEITOS BÁSICOS ERELEVANTES. O ALUNO TRABALHARÁ APENAS NA 1a VOLTA, COM OS VALORES DOS PRIMEIROS ARCOS EM TODOS OS QUADRANTES. ALUNOS CONSTROEM CONCEITOS DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIANGULO RETÂNGULO, POR AÇÕES CONCRETAS. GENERALIZANDO OS PRINCIPAIS CONCEITOS TRIGONOMÉTRICOS, PODE-SE APRESENTAR FUNÇÕES TRIGONOMETRICAS UTILIZANDO –SE PROGRAS COMPUTACIONAIS. 51
    • (iii) Aprendizagem receptiva x aprendizagem por descoberta Segundo BRIGUENTI (1998), a grande preocupação de Ausubel era que aaprendizagem do novo conhecimento esteja relacionada com os conceitos estabelecidos naestrutura cognitiva do aluno, portanto que esta aprendizagem seja feita através dadescoberta do conceito. Para ele a aprendizagem significativa de um conceito pode se deratravés de uma aula expositiva, pois a principal condição para acontecer à aprendizagemnão está na descoberta das propriedades de um conceito, mas na interação entre o novoconceito e os já conhecidos pelos alunos. Segue um mapa conceitual das aprendizagens: PROPOSTA SUGERIDA APRENDIZAGENS DOS ALUNOSMANIPULAÇÃO DE RETOMADA DOS DESENVOLVIMENTOMATERIAIS CONCEITOS DO RACIOCÍNIOCONCRETOS 52
    • INDÍCIOS DE DESENV. DEAPRENDIZAGEM AUTONOMIASIGNIFICATIVA DOSCONCEITOS (iv) Relação entre teoria de Ausubel e atividades Neste item, segundo BRIGUENTI (1998), vamos apresentar o relacionamento entreas ações propostas nas atividades com a teoria de AUSUBEL (1968). Antes de entrarmos nas atividades, vale ressaltar BRIGUENTI (1998), que não setrata de oferecer aos professores de Matemática “fórmulas mágicas” ou “receitas” para odesenvolvimento dos conceitos trigonométricos, com a intenção de substituir os livrosdidáticos, mas sim de sugerir ações que poderão ajudar o aluno na construção dosconceitos trigonométricos. Segue abaixo a analise das dezesseis atividades, retirados de BRIGUENTI (1998). ATIVIDADE I: MEDINDO ALTURAS Esta atividade envolve dois conceitos relevantes – semelhança de triângulos eproporcionalidade – que tem por objetivo que os alunos determinem alturas de árvores, depilares, etc., utilizando-se de dois procedimentos diferentes. Como já citado anteriormente, recomenda-se que o professor deveria recorrer afatos históricos que se relacionam com os conceitos matemáticos abordados nessaatividade (semelhança de triângulos). Apoiado e um conceito fundamental – medida - acabam esclarecendo para osalunos como foi que Thales de Mileto determinou a altura da pirâmide mais alta do mundo,Queops, sem escalá-la. Aqui, para reforçar o desenvolvimento da atividade, poderá serexibido o filme “Teorema de Thales de Mileto”, da TV Escola, produzido pelaCoordenadoria de Ensino e Normas Pedagógicas (CENP), encontrado nas Delegacias deEnsino que retrata Thales de Mileto (600 a.C.) determinou a altura dessa pirâmide. 53
    • Com a intenção de verificar se os conceitos de semelhança de triângulos eproporcionalidade estão presentes na estrutura cognitiva do aluno é propostas atividadesextraclasse presente no ANEXO DE I de BRIGUENTI (1998). Assim, é importante mostrar que a matemática não surgiu como é apresentada hoje,mas foi fruto de um aperfeiçoamento e amadurecimento de idéias. Para encerrar, são propostos alguns exercícios, pois para Ausubel a repetiçãotambém é importante. ATIVIDADE II: RAZÔES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIANGULORETÂNGULO Essa atividade tem dois objetivos: primeiro que o aluno deverá concluir que a razãoentre dois lados quaisquer de um triângulo é a mesma tomando-se os lados homólogos nostriângulos semelhantes a ele e elaborar o conceito de razões trigonométricas. Aqui o aluno deverá perceber que a razão entre as medidas de dois lados quaisquerde um lado de um triangulo é a mesma quando se faz a razão entre lados homólogos deoutro triângulo semelhante, e assim ele estará construindo o conceito de razõestrigonométricas nos no triângulo retângulo, sem que o professor tenha iniciado este assuntopela apresentação das fórmulas já sistematizadas. Então, dessa forma, o aluno terá aoportunidade de realizar uma aprendizagem por descoberta significativa dos conceitos derazões trigonométricas nos triângulos retângulos, pois estes foram ancorados em conceitosanteriormente estudados – semelhança e proporcionalidade – que, por sua vez, serão pontosde apoio para outros conceitos trigonométricos que deverão ser estudados. 54
    • Ao deixar os alunos a manipular material concreto (triângulos recortados em papeldobradura), eles terão oportunidade de vivenciar o desenvolvimento da atividade, sobauxilio do professor. Na 2ª parte desta atividade, deve possibilitar ao aluno rever a nomenclatura para oslados dos triângulos retângulos. Na 3ª parte dessa atividade, devem possibilitar o fortalecimento e a assimilação dosconceitos estudos através da resolução de exercícios, e só após todas estas etapas que oprofessor poderá apresentar aos alunos os nomes de cada razão trigonométrica,sistematizados através de formulas. ATIVIDADE III: APLICAÇÕES DAS RAZÕES TRIGOMÉTRICAS NOTRIÂNGULO RETÂNGULO Esta atividade tem por objetivo a resolução de exercícios e problemas gerais, demodo que os alunos, inseridos em situações-problema, tenham de interpretar os enunciadose esquematizar a situação descrita. Aqui seria conveniente que o professor explorasse situações próximas às das vidasdos alunos, o que farão com eles resolvessem problemas do dia-a-dia. Na 1ª parte da atividade propõem-se exercícios que exijam para sua resoluçãoesquemas gráficos. Na 2ª parte os exercícios exigem soluções mais analíticas, embora seja necessária aajuda de esquemas gráficos para facilitar a representação da situação. Então, tanto na 1ª ouna 2ª parte, o principio da reconciliação integrativa estará sendo utilizado, pois váriosconceitos terão sua parcela de contribuição na resolução dos exercícios ali propostos. 55
    • Seguindo, antes da 3ª parte da atividade, que abrange todos os conceitos estudadosaté aqui, é interessante que o professor faça algumas considerações importantes sobre osmesmos, supondo que o triângulo retângulo considerado tenha hipotenusa unitária. Taisconsiderações serão ancoras para o comportamento das razões trigonométricas no ciclotrigonométrico e possibilitarão aumentar o nível de discriminalidade dos conceitos até aquidesenvolvidos. Assim, com este procedimento, segundo AUSUBEL (1968), estaria utilizando osprincípios de diferenciação progressiva e de reconciliação integrativa, pois o conceito derazões trigonométricas no triangulo retângulo estaria sendo ampliado para umadeterminada especificidade e este fato, relacionado com outros conceitos já conhecidospelos alunos, influenciariam na compreensão de algumas formulas, o que levaria a umaintegração vertical e horizontal entre os conceitos, facilitando a aprendizagem significativa. ATIVIDADE IV: SISTEMATIZAÇÃO DOS CALCULOS DAS RAZÕES SENOE COSSENO DE UM ÂNGULO AGUDO O objetivo desta atividade é que o aluno determine os calores de sen α e cos α,quando α varia de 10° em 10° (até 180°) e estabeleça a tendência dos númerostrigonométricos para α tendendo a 0° e a 90°. Ela oferece oportunidades para os alunos, por meio de ações concretas comoconstruir triângulos retângulos conforme as especificidades dadas, medir os seus lados ecomparar os resultados, possam refletir sobre o comportamento das razões trigonométricassen α e cos α. Assim sendo, além dos alunos utilizarem conceitos âncoras - razões trigonométricasno triângulo retângulo – o fato de construírem os vários triângulos com a medida dahipotenusa constante, possibilita fazer analogias com o que foi estudado anteriormente.Desta forma, os alunos terão seus primeiros contatos com os comportamentos das funçõestrigonométricas. 56
    • Após, os alunos devem calcular os valores dos senos e cossenos dos ângulos, eobservando o comportamento assumido pelos valores. Então, para provocar maisdiscussões, o professor deverá perguntar o que aconteceria se α estivesse variando de 5° em5° ou de 1° em 1°. Depois o professor pode apresentar uma transparência para visualizaremo que acontece com valores das razoes trigonométricas dos triângulos retângulos que estãosendo modificados. Assim, podemos dizer que o citado acima é mais um exemplo de aprendizagemsignificativa, pois se chegou à definição de ciclo trigonométrico, através da utilização deconceitos já concebidos. ATIVIDADE V: SISTEMATIZAÇÃO DA TANGENTE Antes de começar a atividade, o professor deverá comentar que a tangente além deser obtida por fórmula, também pode ser representada graficamente. Procedendo dessa forma, novamente os conceitos de semelhança eproporcionalidade estarão sendo utilizados para definir a tangente como medida desegmento, proporcionado a aprendizagem significativa do conceito. Para fortalecer as idéias apresentadas, propõe-se que os alunos determinem osvalores ta tg α, para α variando de 10° em 10°, até 80°, e estabeleçam os valores datangente do arco muito próximo de de0° e 90°. Assim, os alunos visualizam o rápidocrescimento dos valores das tangentes e que tg 90° não existe. Esta maneira de proceder motiva os alunos, porque alem de trabalhar de maneiradiferenciada do que normalmente se tem feito, também constatam que houve aprendizagemdo que foi estudado, tendo em vista, sempre que possível esses conceitos são retomados eutilizados. 57
    • ATIVIDADE VI: TRABALHANDO COM ÂNGULOS MAIORES QUE 90° É importante comentar a rudimentaridade e a impressão e a imprecisão do processorealizado até aqui e que, até o presente momento, foram trabalhados apenas com os ângulosagudos do triangulo retângulo. Devido à necessidade de se utilizar cálculos trigonométricosmais complexos, por exemplo, ampliam-se os conceitos estudados para arcos maiores que90°. Para iniciar o trabalho com arcos contidos na primeira volta do ciclo trigonométricoé conveniente que os alunos conheçam e trabalhem com as duas unidades de arcos maisutilizadas: graus e radianos deverão saber localizá-los no ciclo trigonométrico e converte-los de uma unidade para outra. Na 1ª parte desta atividade, a partir da razão entre a medida do comprimento de umarco e a medida do raio da circunferência que o contém, os alunos descobrem que osvalores das razões são sempre iguais a uma mesma constante e encontram a medida doângulo central. Essa constante obtida quantas vezes a medida do raio “cabe” na medida do arco,chegando assim a formula para determinar a medida do ângulo central e iniciando otrabalho com radianos. Na 2ª parte da atividade, trabalha-se a correspondência existente entre o ângulocentral da meia volta e o numero irracional π, determinando todas as correspondênciasentre a medida do ângulo central e os números irracionais. Para finalizar, a 3ª parte contém exercícios que aplicam e reforçam os conceitosaprendidos. Como vemos esta atividade não está ancorada nos conceitos de semelhança eproporcionalidade, mas são construídos a partir de idéias relevantes particulares anteriores,menos inclusivas, mas já conhecidas pelos alunos. 58
    • Uma motivação é que os alunos conseguem estabelecer relações com aprendizagensanteriores. ATIVIDADE VII: ARCOS TRIGONOMÉTRICOS Esta atividade é praticamente a extensão da anterior, coloca os alunos em contatocom arcos de mais de uma volta ou arcos negativos. Pretende-se com ela que o alunolocalize no ciclo trigonométrico qualquer arco representado pela sua expressão geral,escrito em radianos ou em graus. Assim, o aluno terá os primeiros contatos com os arcostrigonométricos que poderão ser, alem daqueles já estudados, arcos maiores que 360° oumenores que 0° (arcos negativos). O professor deverá comentar que um ponto do ciclo trigonométrico poderá serrepresentado por infinitos arcos com a mesma posição na circunferência, mas com medidasdiferentes, e que a localização dependerá do sentido escolhido para percorrer o arco. ATIVIDADE VIII: VALORES DO SENO E COSSENO PARA ARCOS DO 2°QUADRANTE Antes de começar a atividade, vale ressaltar que as atividades VIII, IX e X têmcomo conceitos fundamentais: simetria e congruência entre triângulos, ou seja, caso oprofessor verifique falhas conceituais é conveniente que ele tente saná-las antes dedesenvolver esta atividade. Nesta etapa da proposta, objetiva-se ampliar os conceitos estudados anteriormente,para os principais arcos contidos na primeira volta do ciclo trigonométrico. Então,utilizando-se dos conceitos de simetria e congruência entre os triângulos existentes, épossível determinar os valores das razoes trigonométricas de arcos da primeira volta do 59
    • ciclo trigonométrico, comparando com valores já conhecidos dessas razões do 1°quadrante, onde as razões trigonométricas já estudadas serão retomadas. Para introduzir os valores do seno e do cosseno de arcos do 2° quadrante, oprofessor deverá desenhar na lousa um ciclo trigonométrico e arco de medida β. Assim,usando simetria, o professor deve chegar geometricamente à conclusão que os arcos sãocongruentes. Então da congruência citada, deve chegar-se a conclusão que α + β = 180°,assim torna-se um momento propicio para se nomear estes ângulos como suplementares,pois a soma de suas medidas é 180°. Apesar de a atividade ser expositiva, segundo AUSUBEL (1968), é possívelacontecer uma aprendizagem significativa, pois os conceitos utilizados não foramapresentados de forma isolada e desconexa de outros.ATIVIDADE IX: VALORES DO SENO E COSSENO PARA ARCOS DO 3° E 4°QUADRANTES Esta atividade tem por meta que os alunos determinam os valores do seno e docosseno dos principais arcos do 3° e 4° quadrantes e que estabeleçam a relação existenteentre os senos e cossenos de arcos explementares, (β – α = 180°) e replementares (α + β =360°). Antes de começar a atividade, o professor deve fazer observações envolvendo osconceitos de simetria e de congruência entre triângulos, sempre fazendo relações com osconhecimentos já assumidos pelos alunos. O professor deverá traçar um circulo e marcar um arco β, de extremidade no 3°quadrante. Também deverá fixar um ponto e marcar um arco simétrico no 1° quadrante, econcluindo que os triângulos retângulos formados são congruentes, porém algebricamenteopostos. Daí fica fácil visualizar que β – α = 180° ou que β = 180° - α. Conclusão análoga deverá ser feita ao termino da 2ª parte. 60
    • Para encerrar, são passados exercícios, mas vale ressaltar que a hierarquia dosconceitos prepara o desenvolvimento das próximas atividades.ATIVIDADE X: VALORES DA TANGENTE PARA ARCOS DO 2°, 3° e 4°QUADRANTES Esta atividade, utilizando-se dos mesmos procedimentos realizados nas atividadesrecém-desenvolvidas, amplia o estudo da tg α, para os outros quadrantes, anteriormentefeitos pra o 1° quadrante. Para isso, será considerado um arco com a extremidade no 2°quadrante. É conveniente relembrar que a tangente de α pode ser determinada pela relaçãoentre seno e cosseno. Com a intenção de relembrar o conceito de tg α para os arcos do 2° quadrante, éimportante que o professor trace no quadro um ciclo trigonométrico, e deverá mostrar asimetria e congruência entre os dois triângulos formados pelo 1° e 2° quadrantes. As ações sugeridas para esta atividade, não abrangem somente a descoberta dosvalores da tangente para os arcos do 2° quadrante, mas também possibilitam, ainda na 1ªparte, que trabalhem com arcos do 3° e 4° quadrantes. 61
    • Aqui a aprendizagem significativa é realizada através de estudos anteriores, quandoo aluno observou o comportamento do seno e cosseno dos arcos do 3° e 4° quadrantes, oque fez com que os alunos visualizassem o comportamento da tangente para arcos do 3° e4° quadrantes.ATIVIDADE XI: REDUÇÃO DE ARCOS AO PRIMEIRO QUADRANTE Antes do inicio desta atividade, o professor deverá explicar a utilização de sereduzir arcos ao 1° quadrante. Para isso, deve-se comentar que, embora as tabelastrigonométricas nos livros didáticos tragam valores das razoes trigonométricas somente dosarcos que estão no intervalo de 0° a 90°, é possível determinar esses valores de arcosmaiores que 90°, ou menos de 0° fazendo uso da mesma tabela trigonométrica, medindo aredução do arco considerado ao 1° quadrante. O objetivo aqui é relacionar o valor de seno, do cosseno e da tangente de um arcoqualquer, com o valor destes no 1° quadrante. Ao desenvolver o 1° item desta atividade, oaluno terá de utilizar o conceito de simetria para transportar a extremidade do arco do 2°quadrante para o 1°, determinando o novo arco do 1° quadrante que lhe permitirádeterminar os valores trigonométricos doa arco do 2° quadrante procurado. 62
    • Aqui é importante os alunos utilizarem esquemas gráficos no ciclo trigonométrico,pois este procedimento traz vantagens para resolver exercícios, facilitando a escolha dosinal a ser adotado. Todos esses procedimentos, o retorno constante aos conceitos estudadosanteriormente, indicam que a aprendizagem aqui realizada é do tipo superordenada, poisabrange vários conceitos relevantes ao mesmo tempo, sem os quais, não seria possível aconcretização de uma aprendizagem significativa. Também vale enfatizar que esta habilidade é muito importante para odesenvolvimento de conceitos trabalhados anteriormente, dele depende muito outros jáestudados e muitos outros dependerão.ATIVIDADE XII: OUTRAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Esta atividade apresenta novas razões trigonométricas: a cotangente, a secante e acossecante e determina seus valores trigonométricos para os principais arcos do ciclo. Dependendo do grau de desenvolvimento dos alunos e do aprofundamento que sepretende dar a este estudo, o professor poderá mostrar o comportamento e a variação destasnovas razões nos seus respectivos eixos do ciclo trigonométricos ou apenas relacioná-lascom as outras já estudadas, através da divisão entre a medida dos lados dos triângulossemelhantes, para chegarem às fórmulas dessas novas razões trigonométricas. Embora, o conceito mais abrangente e relevante continue sendo o de semelhançaentre triângulos, o professor pode apresentar as novas razões trigonométricas utilizando-seda representação geométrica. 63
    • Entendendo que para realizar a aprendizagem significativa desses conceitos, seriaconveniente trabalhar com os aspectos geométricos, para depois chegar aos algébricos. Para resolver os exercícios sugeridos, foram utilizados os dois princípios propostospor Ausubel – diferenciação progressiva e reconciliação integrativa. O primeiro porqueidéias gerais precedem os conceitos mais específicos e o segundo porque foramestabelecidas comparações entre o novo conhecimento e o já estabelecido. Aqui podeacontecer uma aprendizagem superordenada, pois para o aluno determinar a sec 120°, eleteve de aplicar muitas outras idéias relevantes, particulares e menos inclusivas. ATIVIDADE XIII: EQAUÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Até aqui, conhecendo-se a medida de um ângulo era possível determinar o valor deuma razão trigonométrica ou a medida de um lado do triangulo retângulo. Agora, com estaatividade, pretende-se fazer o caminho inverso, ou seja, determinar a medida de um ânguloque satisfaça uma igualdade trigonométrica composta. Pretende-se com esta atividade que os alunos saibam resolver equaçõestrigonométricas e, para isso, o aluno deverá saber que uma equação trigonométrica édeterminar todos os possíveis valores de x, que satisfaçam a igualdade proposta. Paragarantir a aprendizagem significativa de um novo conhecimento desenvolvido nestaatividade, caso o professor detecte dificuldades referentes à “equação”, será convenienteque este conceito seja retomado. 64
    • Para o aluno resolver uma equação trigonométrica, deverá primeiro reconhecer quese trata de uma equação e saber trabalhar com os procedimentos algébricos exigidos parareduzir a equação numa igualdade representada de um lado, por uma razão trigonométricae do outro lado, por uma igualdade numérica. Somente depois disso, o aluno terá condiçõesde determinar os valores de x que satisfação aquela igualdade para resolver a equaçãoinicialmente proposta. Com estes procedimentos, apesar do professor realizar uma aula expositiva e osalunos ouvirem passivamente os exemplos dos vários tipos de equações, pode teracontecido uma aprendizagem significativa superordenada, pois além do novo conceito seapoiar na estrutura cognitiva existente, o mesmo abrange vários outros conceitos relevantesmenos inclusivos, como os conceitos de equação. ATIVIDADE XIV: INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As inequações trigonométricas, normalmente não fazem parte do programa dematemática do atual ensino médio, mas pode ser conveniente propor que se desenvolvaeste conceito, tendo em vista que o modo como os conceitos trigonométricos foramdesenvolvidos até aqui. Os alunos acostumados a utilizar o esquema gráfico representandoa situação no ciclo trigonométrico determinam com facilidade o valor de seno, cosseno eda tangente dos principais arcos do ciclo trigonométrico. O professor desenvolverá ou nãoeste conceito. Nesta atividade os procedimentos são análogos ao da atividade anterior e exige quealuno interprete o esquema gráfico feito no ciclo trigonométrico. 65
    • Estes procedimentos oferecem oportunidade de aprendizagem significativasuperordenada já desenvolvidos e também outros conceitos relevantes menos inclusivos,como é o caso do conceito de inquação. ATIVIDADE XV: CORRESPONDENCIA ENTRE UM NÚMERO REAL E UMPONTO DO CICLO TRIGONOMÉTRICO Até esta etapa os alunos tiveram a oportunidade de trabalhar com os alunos osconceitos trigonométricos para os arcos pertencentes ao intervalo 0 ≤ α ≤ 2πrd.Desenvolveram e aplicaram conceitos como: redução de arcos para o 1° quadrante,equações e inequações trigonométricas. Como já dito, a proposta de BRIGUENTI (1998) se diferencia muito do quenormalmente tem sido feito para trabalhar este assunto da Matemática. É vital importância que os alunos apresentem na sua estrutura cognitiva o conceitode função. Caso haja alguma falha neste conceito, o professor deverá saná-la para que nãoexista um comprometimento da aprendizagem significativa. Antes de aplicar os conceitos trigonométricos para todo numero x real, propõe-seque os alunos desenvolvam esta atividade que objetiva localizar um numero real no ciclotrigonométrico. Será conveniente que o professor comente com seus alunos que a trigonometriasurgiu para relacionar as medidas dos lados e dos ângulos de um triangulo. Entretanto, como passar do tempo, esses conceitos foram ampliados para movimentos circulares e pararesolver problemas que envolviam periodicidade de todos os tipos, até chegar a envolvernúmeros reais. 66
    • Para facilitar o entendimento, o professor pode surgir que seus alunos imaginemuma reta real numerada, cuja finalidade é a medida do raio do ciclo trigonométrico, queseja ajustada sobre o ciclo trigonométrico. Não se pode deixar de observar que cada nuumero real tem seu ponto correspndenteno ciclo trigonométrico e que é represento por infinitos números reais. ATIVIDADE XVI: GRÁFICO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NOPLANO CARTESIANO Nesta etapa os alunos já sabem que é possível relacionar arcos com números reaisno ciclo trigonométrico. Dessa forma, este é momento ideal para generalização econstrução de gráficos das funções trigonométricas no plano cartesiano. Caso o professor tenha oportunidade é bastante oportuno fazer uso de umcomputador para visualizar os gráficos das funções trigonométricas no plano cartesiano,observando as variações de crescimento e sua periodicidade. Apesar da proposta alternativa sobre o ensino e a aprendizagem da trigonometriaencerrar com esta atividade XVI, o estudo realizado para determinar os conceitosrelevantes deste assunto, bem como a hierarquia existente entre eles, apontou tambémoutros conceitos trigonométricos como: adição, multiplicação e bisseção de arcos, poderãoser estudos no ensino superior, num momento oportuno. 67
    • (iv) Mapa Conceitual dos procedimentos da implantação da proposta PROCEDIMENTOS TRABALHO RELACIONAMENTO ASPECTO EM EQUIPE ENTRE ALUNOS E LÚDICO DA PROFESSORAS PROPOSTA ALUNOS PROFESSORAS REFLEXÃO A PARTIR DOS ERROS MOTIVAÇÃO REL. ENTRE TROCA DE MELHORIA DO GRUPOS INFORMAÇÕES REL. ENTRE 5. BIBLIOGRAFIA PESSOAS1. AUSUBEL, D. P. Educational psycology: a cognitive view. Holt, Rinehart and Winston, 13a ed., New York, 1968. 2. Antunes, Fernando do Coltro. Matemática por assunto: trigonometria. Editora Scipione, 2a edição. São Paulo, 1989. 3. BEZERRA, Manuel Jairo. Curso de Matemática. Companhia das Letras, 8ª edição, São Paulo, 1962. 4. BRASIL, SECRETARIA DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília: SEF/MEC, 1997. 68
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