Tcc final ailton

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Tcc final ailton

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA LÓGICO-HISTÓRICA: delineamentos de uma metodologia de ensino, a partir do estudo das dificuldades dos alunosDISCIPLINA: TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSODOCENTE RESPONSÁVEL: PROFA. DRA. MARGARETE TEREZA ZANONBAPTISTINIORIENTADORA: PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE SOUSA –PROFESSORA ADJUNTA – DMEALUNO: AILTON BARCELOS DA COSTA
  2. 2. 2 SÃO CARLOS/ SP 2009 AILTON BARCELOS DA COSTA PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE SOUSA ORIENTADORA O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA LÓGICO-HISTÓRICA: Delineamentos de uma metodologia de ensino, a partir do estudo das dificuldades dos alunosDISCIPLINA: TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSODOCENTE RESPONSÁVEL: PROFA. DRA. MARGARETE TEREZA ZANONBAPTISTINI
  3. 3. 3 SÃO CARLOS/ SP 2009 SUMÁRIO1. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA1.1 MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA1.2 QUESTÃO DE INVESTIUGAÇÃO1.3 OBJETIVOS2. METODOLOGIA DA PESQUISA3. TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EMALGUMAS UNIVERSIDADES4. CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDOPROFESSORES5. DICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO APARTIR DA TEORIA5.1 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE FUNÇÕES5.2 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE LIMITES5.3 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE DERIVADAS5.4 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE INTEGRAIS6. HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL EINTEGRAL6.1 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÕES6.1.1 CONCEITO DE FUNÇÕES NA ANTIGUIDADE6.1.2 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MÉDIA6.1.3 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MODERNA6.2 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE LIMITES6.3 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE DERIVADAS6.4 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE INTEGRAIS7. O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO8. O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DEHOJE8.1 FUNÇÕES(i) DECADA DE 1960.
  4. 4. 4(ii) DECADA DE 1970(iii) DECADA DE 1980(iv) DECADA DE 1990(V) DECADA DE 20008.2 CÁLCULO8.2.1 FUNÇÃO(i) DECADA DE 1960.(ii) DECADA DE 1970(iii) DECADA DE 1980(iv) DECADA DE 1990(v) DECADA DE 20008.2.2 LIMITE(i) DECADA DE 1960.(ii) DECADA DE 1970(iii) DECADA DE 1980(iv) DECADA DE 1990(v) DECADA DE 20008.2.3 DERIVADA(i) DECADA DE 1960.(ii) DECADA DE 1970(iii) DECADA DE 1980(iv) DECADA DE 1990(v) DECADA DE 20008.2.4 INTEGRAL(i) DECADA DE 1960.(ii) DECADA DE 1970(iii) DECADA DE 1980(iv) DECADA DE 1990
  5. 5. 5(v) DECADA DE 20009. ANÁLISE DE LIVROS USADOS NAS DISCIPLINAS INICIAIS DECÁLCULO9.1 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS(i) T. M. APOSTOL: Calculus – Vol. 1(ii) G. S. S. ÁVILA: CÁLCULO DIFERECIAL E INTEGRAL 1(iii) R. COURANT: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – VOL.1(iv) H. L GUIDORIZZI: UM CURSO DE CÁLCULO – VOL. 1(v) N. PISKUNOV: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - VOL.1(vi) E. W. SWOKOWSKI: CÁLCULO COM GEOMETRIAANALÍTICA - VOL. 110. A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NOS CURSOS DECÁLCULO10.1 Metodologias(i) Seguir os passos da "invenção" do conhecimento.(ii) Principio Genético(iii) Método Experimental(iv) A Perspectiva lógico-histórica no ensino10.2 Livros de Cálculo usando a história11. UMA PROPOSTA METODOLÓGICA NO ENSINO DE CÁLCULO12. DELINEAMENTOS DE UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA ASDISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO COM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA13. CONCLUSÕES14. BIBLIOGRAFIA15. DATA – LOCAL – ASSINATURA
  6. 6. 6LISTA DE FIGURASFIGURA 1: MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISAFIGURA 2: ÁREAS SOBREADAS DOS GRÁFICOS.FIGURA 3: REPRESENTAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO.FIGURA 4: REPRESENTAÇÃO DO PRIMEIRO PARADOXO DE ZENÃO.FIGURA 5:REPRESENTAÇÃO DA APROXIMAÇÃO PARA A ÁREA DOCÍRCULO.FIGURA 6: PÁGINA DO LIVRO “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUELJAIRO BEZERRA.FIGURA 7: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA DEAPOSTOL (1967)FIGURA 8: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA DE ÁVILA(2001) LISTA DE GRÁFICOSGRAFICO 1: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL EINTEGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008,POR SEMESTREGRAFICO 2: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE, SEMDESISTENCIAS, DE 2005 A 2008.GRAFICO 3: Taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem desistências, de1999 a 2008.GRAFICO 4: Taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2008.GRÁFICO 5: FUNÇÃO QUE REGE UMA CORDA ELÁSTICA. LISTA DE TABELASTABELA 1: DADOS DA TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIALE INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008.TABELA 2: Dados sobre taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, semdesistências, de 1999 a 2008.TABELA 3: Dados da taxa de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2000.
  7. 7. 7TABELA 4: RESUMO DAS PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES PARA FUNÇÕES. RESUMO A motivação inicial para nosso trabalho foi o grande número reprovações nasdisciplinas iniciais de Cálculo na Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), nosúltimos dez anos, bem como a análise de dados de algumas universidades brasileiras,sobre o chamado fracasso do ensino de Cálculo. Também partimos de nossa experiênciaem trabalhar com a temática lógico-histórica, visto que a Iniciação Científica, o que noslevou à questão de investigação, onde perguntamos de forma a perspectiva lógico-histórica poderia se configurar como metodologia de ensino de Cálculo. Dessa forma, adotamos uma pesquisa de cunho histórico-bibliográfica, onde estase faz preferencialmente sobre documentação escrita, o qual segundo FIORENTINI &LORENZATO (2006) a coleta de informações é feita a partir de fichamento das leituras. Já quanto aos instrumentos de coleta de informações, usamos as entrevistas, quepermitem uma obtenção mais direta e imediata dos dados, na qual classificamos porsemi-estruturadas. Nesse sentido, inicialmente, entrevistamos professores que ministram aulas deCálculo. Em seguida, transcrevemos e analisamos tópicos destas entrevistas paralevantamento das dificuldades de aprendizado dos alunos, o qual nos ajudou acompreender as dificuldades de aprendizado. Fizemos um estudo do sobre os conceitos de discreto e contínuo no Cálculo, noqual foi abordado o desenvolvimento da Matemática Discreta e da MatemáticaContínua, desde os gregos com a Escola Platônica, passando pela visão discreta deLeibniz e a visão contínua de Newton, até chegarmos à análise não-standard. A história e o desenvolvimento dos conceitos do Cálculo Diferencial e Integralvêm em seguida, de forma a compreendermos os nexos conceituais do Cálculo,historicamente construídos. Ao compreendermos estes nexos, buscamos os currículos e livros didáticos paraanalisarmos como foi estruturado o ensino do Cálculo nas escolas de nível médio, desdea década de sessenta, até os dias atuais, enfatizando como era feito o ensino de taldisciplina e sua mudança com o surgimento do Movimento da Matemática Moderna.Assim, nos fundamentamos para discutir a importância da História da Matemática nos
  8. 8. 8cursos de Cálculo e buscamos analisar algumas sugestões metodológicas que têm comofoco, História do Cálculo. Por fim, indicamos os delineamentos, de uma possível proposta metodológicapara o ensino do Cálculo, o qual segue a delimitação de uma proposta de ensino, da qualconcluímos que pelas nossas pesquisas, concordamos que uma boa alternativa é oestudo da disciplina via história da matemática, assentada em problemas de cunhohistórico, com uma visão que priorize o desenvolvimento e a evolução dos conteúdos,em vez do enfoque metodológico tradicional.
  9. 9. 9 1. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a nossa experiência emtrabalhar com a temática lógico-histórica, visto que a Iniciação Científica foi feita sobesta ótica, enfatizando o ensino de seqüências e progressões no Ensino Médio. Outro ponto considerado importante para a elaboração desse projeto foi o grandenúmero reprovações nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral que observamosna UFSCar (Universidade Federal de São Carlos), no período compreendido entre 1999e 2008, semestralmente, cujos dados seguem logo abaixo, no capítulo 3. Conforme observa BROLEZZI (2008), no caso particular do Cálculo, que éconsiderada porta de entrada para a Matemática superior, há quase uma unanimidadeentre os professores que se interessam por problemas do ensino superior em entenderque seria preciso seguir mais a ordem histórica da construção do Cálculo, que é inversada ordem geralmente adotada nos livros, ou seja, de acordo com REZENDE (2003),possibilitar que o Cálculo exerça no ensino básico de Matemática o mesmo papelepistemológico que ele realizou no processo de construção do conhecimentomatemático no âmbito científico. Dessa forma, propomos estudar uma Metodologia que se fundamenta na Históriada Matemática para o ensino das disciplinas de Cálculo, onde é proposto que o alunoparticipe do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos. De acordo com estudos realizados anteriormente, durante no nosso projetoIniciação Científica, vimos que a análise sobre o uso da História da Matemática,pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático.Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, nãoapenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos,psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, oeducador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática noensino, tem condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos,contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecercom a realidade. Assim, há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam servisados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais
  10. 10. 10 como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgem durante o processo. Então, o distanciamento propiciado pela História é, assim, imprescindível para se obter uma visão de conjunto do edifício matemático que se almeja construir no ensino elementar (BROLEZZI, 1991). Portanto, estamos propondo uma Metodologia que leve o aluno a participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social, relacionados ao surgimento do Cálculo. A este processo, estamos denominando de perspectiva lógico-histórica, o qual é estudado principalmente pelos seguintes autores: SOUSA, M. C., LANNER DE MOURA, A. R. e MOISÉS, R. P. Passemos agora aos objetivos de cada capitulo do corpo do trabalho, antes de seguirmos ao mapa conceitual das principais idéias da pesquisa.• TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM ALGUMAS UNIVERSIDADES: O objetivo deste capítulo é mostrar as taxas de reprovações de algumas universidades brasileiras, inclusive a UFSCar.• CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO PROFESSORES: O objetivo deste capítulo é fazer com que através de entrevistas a professores possamos observar algumas concepções de ensino-aprendizagem destes, bem como algumas concepções sobre como corrigir o grande número de reprovações, conforme mostrado no capitulo anterior. • DICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO A PARTIR DA TEORIA: O objetivo deste capítulo é analisar conceitos de Cálculo à luz da literatura especializada, bem como retomando sugestões de professores entrevistados sobre tais dificuldades. • O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO: O objetivo deste capitulo é mostrar o problema do discreto e do continuo no desenvolvimento do Cálculo.
  11. 11. 11• HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: O objetivo deste capitulo é trazer um pouco de como se desenvolveram os conceitos de Cálculo, como funções, limites, derivadas e integrais. • O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DE HOJE: O objetivo deste capitulo é mostrar como o Cálculo foi inserido no ensino médio, a partir do currículo e de livros didáticos, desde a década de 60 até os dias de hoje. 1.1 MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA FIGURA 1: MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA Taxas de reprovações Introd. e Metodologia em Cálculo Justificativa Entrevista com Análise: dificuldades Historia e professores no aprendizado de Desenv. cálculo do Cálculo A Importância da Cálculo no Discreto e História da Ensino Médio: Continuo do Matemática no de 1960 à Cálculo Cálculo 2000 Análise: Livros Proposta Usando em Metod. Delimitação Cálculo No Ensino de Propostas de Cálculo de Ensino
  12. 12. 121.2 QUESTÃO DE INVESTIGAÇÃO “De que forma a perspectiva lógico-histórica pode se configurar como metodologiade ensino de Cálculo?”1.3 OBJETIVOS Estudar a história da matemática enquanto metodologia de ensino na disciplinade Cálculo. Pesquisar atividades de ensino de Cálculo na perspectiva lógico-histórica.2. METODOLOGIA DA PESQUISA A pesquisa é teórica ou de cunho histórico-bibliográfica, onde, se fazpreferencialmente sobre documentação escrita, ou seja, segundo FIORENTINI &LORENZATO (2006), neste tipo de pesquisa a coleta de informações é feita a partir defichamento das leituras. Outra característica desse tipo de pesquisa, para o mesmo autoré que os documentos para estudo se apresentam de forma estáveis no tempo e ricoscomo fonte de informação, pois como no nosso caso, incluem livros, propostascurriculares, dissertações ou teses acadêmicas e artigos de revistas científicas. Aqui, entre as descrições de FIORENTINI & LORENZATO (2006) sobre osvários tipos de estudos bibliográficos desçamos a que mais se encaixa nos nossosestudos, que é a metanálise, que é uma revisão sistemática de outras pesquisas, visandorealizar uma avaliação crítica das mesmas e/ou produzirem novos resultados ou síntesesa partir do confronto desses estudos, transcedendo aqueles anteriormente obtidos. Já quanto aos instrumentos de coleta de informações, usamos as entrevistas, quede acordo com FIORENTINI & LORENZATO (2006) permite uma obtenção maisdireta e imediata dos dados, servindo para aprofundar o estudo. Já quanto áclassificação, nossas entrevistas são semi-estruturadas, pois aqui, quando o pesquisadorpretendendo aprofundar-se sobre um fenômeno ou questão específica, organiza umroteiro de pontos a serem contemplados durante a entrevista, podendo, de acordo com odesenvolvimento da entrevista, alterar a ordem dos mesmos e, inclusive formularquestões não previstas inicialmente. Ainda quanto às entrevistas, FIORENTINI & LORENZATO (2006, p. 122)destacam uma série de recomendações aos entrevistadores, às quais pretendemos seguir:
  13. 13. 13 • Antes de iniciar o processo de entrevista, o entrevistador deve explicar o objetivo e a natureza do trabalho, esclarecendo porque ele foi escolhido para entrevista. • Assegurar o anonimato do entrevistado e o sigilo do depoimento, garantindo que os mesmos serão utilizados somente para a finalidade de investigação. • O entrevistador deve solicitar a autorização para gravar a entrevista, assegurando, depois, que a transcrição será lida, revisada e autorizada pelo entrevistado. • Escolher, para entrevista, um lugar apropriado e tranqüilo que favoreça um diálogo profundo, esclarecendo que o entrevistado tem o direito de não responder a todas as perguntas, podendo, inclusive, interromper a entrevista. • O entrevistado não deve discutir sua opinião ou seus pontos de vista, nem mostrar surpresa ou desaprovação e, mesmo ainda, avaliar negativamente. • Recomenda-se que o entrevistador não interrompa o curso do pensamento do entrevistado.Assim, entrevistamos quatro professores, através de um questionário semi-estruturado,os quais tinham as seguintes questões, em forma de roteiro:1. OS ALUNOS APRESENTAM DEFICIENCIAS EM RELAÇÃO AO ENSINOMÉDIO? QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS?• Objetivo: Investigar as principais deficiências dos alunos do ensino médio aocomeçar o curso de Cálculo.
  14. 14. 142. OS ALUNOS SÃO QUESTIONADORES OU PASSIVOS? INFLUENCIA NAAULA TAIS ATITUDES?• Objetivo: Investigar a postura dos alunos durante as aulas.3. OS ALUNOS TÊM DIFICULDADES NA INTERPRETAÇÃO DOSENUNCIADOS DOS EXERCICIOS OU PROBLEMAS?• Objetivo: Investigar deficiências de interpretação de textos durante as aulas deCálculo, em especial na resolução de exercícios ou problemas.4. QUAIS AS PRINCIPAIS DIFICULDADES DELES NO ESTUDO DELIMITES? TEM DIFICULDADES COM O CONCEITO DE INFINITO?• Objetivo: Investigar as principais dificuldades na aprendizagem de limites.5. EXISTEM DIFICULDADES NAS DEMONSTRAÇÕES POR PARTE DOSALUNOS? POR QUÊ?• Objetivo: Investigar dificuldades nas demonstrações de Cálculo.6. OS ALUNOS ESTUDAM O CONTEÚDO EM CASA, DE FORMACONTINUA OU SÓ NA VESPERA DA PROVA?• Objetivo: Investigar o comportamento dos alunos em relação aos estudoscontínuos do conteúdo.7. QUAIS AS DIFICULDADES QUE ELES APRESENTAM NOAPRENDIZADO DE DERIVADAS? E EM RELAÇÃO ÀS INTEGRAIS?• Objetivo: Investigar as principais dificuldades na aprendizagem de derivadas.8. QUE METODOLOGIA VOCE SEGUE COMO UM TODO NO ENSINO DECÁLCULO? COMO É A SUA PREPARAÇÃO PARA DA AULA?• Objetivo: Investigar o tipo de metodologia utilizada pelo docente.
  15. 15. 159. VOCE ACREDITA QUE A MUDANÇA DE METODOLOGIAINFLUENCIARIA O APRENDIZADO DOS ALUNOS?• Objetivo: Investigar concepções do docente em relação à mudançasmetodológicas.10. QUAL O PAPEL DA HISTÓRIA E DO DESENVOLVIMENTO DOCALCULO NAS SUAS AULAS?• Objetivo: Investigar a concepção do docente em relação ao papel da história damatemática como metodologia nas aulas de Cálculo.11. O QUE VOCE MUDARIA NA DISCIPLINA DE CALCULO 1?• Objetivo: Investigar se o docente está satisfeito com o modelo de ensino deCálculo, bem que prováveis mudanças na disciplina poderiam ser feitas. Dessa forma, pretendemos estudar os conceitos de Cálculo a partir daperspectiva lógico-histórica, onde podemos caracterizar a pesquisa por investigaçãohistórica, como procedimento de ensino, na qual deva ser orientada ou regida pela idéiade que o conhecimento da evolução de um conceito matemático possibilita ao alunoa sua compreensão. De acordo com estudos realizados anteriormente, durante no nosso projetoIniciação Científica, podemos dizer que ao pesquisador oportuniza a formação de umavisão dinâmica e processual da Matemática e estabelecer uma identidade entreprocessos de produção e aprendizagem de seus conhecimentos, deixando dereduzir as questões metodológicas do ensino a uma simples reprodução mecânica. Aqui também podemos trazer os principais instrumentos de nossa pesquisa, quesão: - Livros didáticos; - Propostas curriculares; - Entrevistas; - Artigos; - Dissertações; - Teses.
  16. 16. 16 - Banco de Dados SCIELO. - Páginas de busca na internet. - Página do DM – UFSCar na internet. 3. TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM ALGUMAS UNIVERSIDADES O objetivo deste capítulo é mostrar as taxas de reprovações de algumasuniversidades brasileiras, inclusive a UFSCar. Tal capítulo também tem a finalidade de desmistificar a concepção de queapenas na UFSCar existem altos índices de reprovações, pois de acordo com RESENDE(2003), tal problema do fracasso em Cálculo é não cultural, e que não se justifica pelacondição sócio-econômica da sociedade brasileira, pois sabemos que a situação doensino de Cálculo nos países “desenvolvidos” não é muito diferente, visto que trabalhossobre esse tema têm sido publicados e recebidos merecido destaque por parte daliteratura especializada internacional. Dessa forma, levantamos alguns dados sobre reprovações das disciplinas iniciaisde Cálculo, em algumas universidades brasileiras, como segue: UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE (UFF); UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ (UFC); UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP); UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS (UFSCar); Então, tomando DA SILVA & BORGES NETO (s/d, p 2), temos que em 1990,o Sistema Nacional de Avaliação do Ensino - SAEB/ INEP – MEC, realizou umapesquisa em 4.790 escolas públicas de vinte e cinco Unidades da Federação, envolvendo108.982 alunos de 1ª, 3ª, 5ª e 7ª séries, através de testes semi-objetivos e objetivos,através da qual se constatou que o desempenho qualitativo dos alunos em matemática éextremamente baixo. Dessa forma, de acordo com DA SILVA & BORGES NETO (s/d, p 2), temos: Estes dados revelados pelo SAEB vêm confirmar a triste realidade por que passa o ensino de matemática e que nas últimas décadas tem
  17. 17. 17 afetado, sobremaneira, o desempenho dos alunos que ingressam na universidade, principalmente aqueles que são dirigidos a cursar a disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. Os efeitos dessas deficiências podem ser observados na própria estatística de aprovação nessa disciplina, na Universidade Federal do Ceará, que não chega a ultrapassar 33% dos alunos matriculados em cada semestre.Em RESENDE (2003, p. 1) temos os seguintes dados: BARUFI (1999), em sua tese de doutorado, nos revela alguns dados alarmantes dessa crise: o índice de não-aprovação em cursos de Cálculo Diferencial e Integral oferecidos, por exemplo, aos alunos da Escola Politécnica da USP, no período de 1990 a 1995, varia de 20% a 75%, enquanto que no universo dos alunos do Instituto de Matemática e Estatística o menor índice não é inferior a 45% - isto é, não se aprova mais do que 55% em uma turma de Cálculo. No que diz respeito à UFF, instituição onde leciono, os índices de não-aprovação são bem mais catastróficos do que os levantados por Barufi, na USP. Assim, de acordo com REESENDE (2003, p. 2), temos: Na UFF, a variação do índice de não-aprovação se encontra na faixa de 45% a 95%, sendo que, para o Curso de Matemática, este não é inferior a 65%.
  18. 18. 18 Agora, tomando a UFSCar, de acordo a página do Departamento de Matemáticada mesma, podemos mostrar dados sobre reprovações nas seguintes disciplinas: Cálculo 1; Cálculo Diferencial e integral 1 Cálculo A; Cálculo B; TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL EINTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E2008, POR SEMESTRE:TABELA 1: DADOS DA TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULODIFERENCIAL E INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS,ENTRE 1999 E 2008.
  19. 19. 19ANO REPROV. (%)1999/1 27,01999/2 28,02000/1 31,02000/2 34,02001/1 23,02001/2 35,02002/1 25,02002/2 43,02003/1 20,02003/2 19,02004/1 29,02004/2 46,02005/1 36,02005/2 23,02006/1 59,02006/2 27,02007/1 60,02007/2 57,02008/1 59,02008/2 34,0
  20. 20. 20 Coluna C REPROV. CDI 170.060.050.040.030.020.010.0 0.0 1999/2 2000/1 2001/1 2001/2 2002/2 2003/1 2004/1 2004/2 2005/2 2007/1 2008/2 1999/1 2000/2 2002/1 2003/2 2005/1 2006/1 2006/2 2007/2 2008/1GRAFICO 1: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL EINTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008,POR SEMESTRE Dessa forma, vemos que a taxa de reprovação dessa disciplina varia entre 27% e 60%, com uma taxa semestral média de 35,75%. TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE, SEM DESISTENCIAS, DE 2005 A 2008.
  21. 21. 21 ANO REPROV. (%) REPROV. CALCULO 1 2005/1 29,0 Coluna C60.0 2005/2 28,0 2006/1 46,050.0 2006/2 25,0 2007/1 27,040.0 2007/2 43,0 2008/1 31,030.0 2008/2 48,020.010.0 0.0 2005/1 2005/2 2006/1 2006/2 2007/1 2007/2 2008/1 2008/2 GRAFICO 2: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE, SEM DESISTENCIAS, DE 2005 A 2008. Aqui vemos que a taxa de reprovação varia entre 29% e 48%, com taxa média semestral de 34,6%. Agora, vamos tomar a taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem desistências, de 1999 a 2008.
  22. 22. 22 TABELA 2: Dados sobre taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem desistências, de 1999 a 2008. REPROV. CALC. A70.0 Coluna C60.050.040.030.020.010.0 0.0 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 GRAFICO 3: Taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem desistências, de 1999 a 2008. Aqui vemos a taxa de reprovação variar entre 15% e 63%, com taxa média anual de 38,3%. Agora, finalmente, vamos tomar as taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2008: TABELA 3: Dados da taxa de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2000.
  23. 23. 23 ANO REPROV. (%) 1999 28,0 2000 37,0 2001 20,0 2002 43,0 2003 44,0 2004 38,0 2005 22,0 2006 43,0 2007 25,0 2008 38,0 REPROV. CALC. B 50.0 Coluna C 45.0 40.0 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 GRAFICO 4: Taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2008 Aqui vemos que a taxa de reprovação varia entre 20% e 44%, com uma taxaanual média de 33,8%. Então, agora podemos fazer uma análise das taxas sobre as taxas de reprovaçõesnas disciplinas iniciais de Cálculo na UFSCar. Então, revisando, se tomarmos a UFSCar, podemos mostrar dados sobrereprovações nas seguintes disciplinas inicias de Cálculo:
  24. 24. 24 Cálculo 1: A taxa de reprovação varia entre 27% e 60%, com taxa média de35,75%. Cálculo Diferencial e integral 1: A taxa de reprovação varia entre 29% e 48%,com taxa média de 34,6%. Cálculo A: A taxa de reprovação variar entre 15% e 63%, com taxa de 38,3%. Cálculo B: A taxa de reprovação varia entre 20% e 44%, com taxa média de33,8%. Antes de entramos nas taxas reprovações, vamos ver algumas observações sobreo caráter de cada disciplina, observando o objetivo geral de cada uma delas:CALCULO 1 (4 CRÉDITOS TEÓRICOS): Propiciar o aprendizado dos conceitos de limite, derivada e integral de funçõesreais de uma variável real. Propiciar a compreensão e o domínio dos conceitos e das técnicas de cálculodiferencial e integral dessas funções. Desenvolver a habilidade de implementação desses conceitos e técnicas emproblemas nos quais eles se constituem os modelos mais adequados. Desenvolver a linguagem matemática como forma universal de expressão daciência.CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 (5 CRÉDITOS TEÓRICOS + 1PRÁTICO): Propiciar o aprendizado dos conceitos de limite, derivada e integral de funções deuma variável real. Propiciar a compreensão e o domínio dos conceitos e das técnicas de cálculodiferencial e integral 1. Desenvolver a habilidade de implementação desses conceitos e técnicas emproblemas nos quais eles se constituem os modelos mais adequados. Desenvolver a linguagem matemática como forma universal de expressão daciência. Desenvolver a habilidade computacional colocando o aluno em contato com oslaboratórios computacionais reenge/ligs desde o seu ingresso na ufscar.
  25. 25. 25 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A (4 CRÉTIDOS TEÓRICOS): Familiarizar o aluno com a linguagem matemática básica dos problemas de continuidade, diferenciação e integração, que são conceitos imprescindíveis no estudo da física moderna e das ciências em geral. Apresentar ao aluno as primeiras aplicações do cálculo diferencial e integral nas ciências físicas e aplicadas. Utilizar programas computacionais para cálculos algébricos e aproximados, visualizações gráficas e experimentos computacionais, ligados à teoria do cálculo diferencial de funções reais de uma variável. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL B (4 CRÉDITOS TEÓRICOS): Desenvolver os conceitos e técnicas ligadas ao cálculo integral. Introduzir o aluno no universo das equações diferenciais ordinárias. Fornecer ao estudante técnicas para a resolução de equações diferenciaisordinárias de 1ª e 2ª ordens. Utilizar programas computacionais para o cálculo algébrico e aproximado, visualizações gráficas e experimentos computacionais, ligados à teoria da integração e às equações diferenciais ordinárias. Dessa forma, a média de reprovações nas quatro disciplinas iniciais de Cálculo oferecidas pela UFSCar, está entre 33,3% e 38,3%, o que é inferior às taxas aqui citadas da UFC, UFF e USP, mas ainda são consideradas altas. Dessa forma, podemos tirar a conclusão de que as taxas de reprovações nas disciplinas iniciais de Cálculo na UFSCar são inferiores às taxas das respectivas universidades citadas acima, que é o oposto da nossa concepção antes do trabalho, e também bem como do que é propalado entre os estudantes de nossa universidade. Assim, observando os objetivos gerais de Calculo 1 e de Cálculo Diferencial e Integral 1, vemos os objetivos são os mesmos, a menos de no segundo existir um crédito para aplicações computacionais. Também observamos que o segundo tem um crédito teórico a mais que o primeiro. Já Calculo A e B, existem mais conceitos teóricos, e menos aplicados que as outras disciplinas iniciais de Calculo, além de Cálculo A ser oferecido no segundo período, após o oferecimento da disciplina de Fundamentos 1, de nível mais elementar.
  26. 26. 26 Dessa forma, o grande numero de reprovações em Calculo A pode acontecerdevido à dificuldade em linguagem matemática básica de funções, o que incluem-sedemonstrações, uma deficiência tida como fundamental dos alunos que chegam àuniversidade, já que tal estudo raramente é feito no ensino médio, segundo ÁVILA(1991). Agora, segue abaixo entrevistas com professores, de onde podemos observaralgumas concepções destes sobre ensino-aprendizagem de Cálculo.4. CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO PROFESSORES O objetivo deste capítulo é fazer com que através de entrevistas a professorespossamos observar algumas concepções de ensino-aprendizagem destes, bem comoalgumas concepções sobre como corrigir o grande número de reprovações, conformemostrado no capitulo anterior. Dessa forma, pretendemos tirar a partir das concepções sobre ensino-aprendizagem algumas dificuldades dos alunos e possíveis soluções apontadas por essesprofessores, para que no próximo capitulo possamos fazer uma análise detalhada de taisdificuldades, mediante a literatura disponível. Assim, passamos às transcrições dos principais episódios de tais entrevistas. (i) PRINCIPAIS DEFICIÊNCIAS DE ENSINO MÉDIO DOS ALUNOS DE CÁLCULO: PROFESSOR 1: Não aponta. PROFESSOR 2: Deficiências: conceitual e de conteúdo, tanto algébrica quanto geométrica. PROFESSOR 3: Varia de curso para curso, pois cursos mais concorridos têm poucas deficiências, enquanto os menos concorridos, muitas deficiências. PROFESSOR 4: A primeira dificuldade está em álgebra. ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui podemos notar que três professores apontam que os alunos têm deficiências, mas somente dois as enumera, onde são descritos
  27. 27. 27 por dois como de ordem algébrica e por por um deles de ordem geométrica, o que podemos dizer há um problema na estruturação do pensamento algébrico por parte desses alunos.(ii) LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS: PROFESSOR 1: Dificuldade em ler o livro, em interpretação PROFESSOR 2: Tem dificuldade de interpretação e de expressão. PROFESSOR 3: Poucas dificuldades, e não atrapalha. PROFESSOR 4: Acredito que exista uma componente cultural, pois não sabem se expressar, e nem conseguir interpretar os textos, pois lêem pouco.ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui há um consenso sobre dificuldades deinterpretação de texto, onde um professor chega a citar como uma dificuldade deorigem cultural, devido à pouca leitura que os alunos fazem fora das obrigatóriaspara a faculdade. Tal dificuldade de interpretação também é citada por BARUFI(1999), cita (Machado, 1990, p. 10), onde retiramos o seguinte comentário a respeitoda colaboração entre a Matemática e a Língua Materna: Entre a Matemática e a Língua Materna existe uma relação de impregnação mútua. Ao considerarem-se estes dois temas enquanto componentes curriculares, tal impregnação se revela através de um paralelismo nas funções que desempenham, uma complementaridade nas metas que perseguem, uma imbricação nas questões básicas relativas ao ensino de ambas. É necessário reconhecer a essencialidade dessa impregnação e tê-la como fundamento para a proposição de ações que visem à superação das dificuldades com o ensino da Matemática. Dessa forma, vemos que os alunos, segundo os professores entrevistados,não percebem a importância e nem a relação entre Língua Materna e Matemática, o
  28. 28. 28que está explicito na falta de leitura extracurricular. Assim, alunos chegam no cursosuperior com dificuldades de interpretação de texto, o que se reflete, por exemplo,no não entendimento de enunciados de exercícios e problemas.(iii) QUANTO AOS ALUNOS FAZEREM PERGUNTAS EM SALA DE AULA: PROFESSOR 1: Não perguntam. PROFESSOR 2: Menos de 20%. PROFESSOR 3: Menos de 10%. PROFESSOR 4: Não perguntam.ANÁLISE DO TÓPICO: Neste tópico enfatizamos a passividade, ou de outraforma, se os alunos perguntam em sala de aula. As respostas são estarrecedoras, já ataxa de alunos que participam ativamente da aula é de uma taxa muito baixa. Aqui,surgiu outro fato, sobre a causa dessa passividade, o que não sabem identificar deuma forma geral, mas tal fato por ter origem no ensino médio, e na forma que taisalunos sempre se comportam em sala de aula.(iv) A PASSIVIDADE DOS ALUNOS INFLUENCIA OU NÃO O APRENDIZADO: PROFESSOR 1: Influencia. PROFESSOR 2: Influencia. PROFESSOR 3: Influencia. PROFESSOR 4: Influencia.ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui surge outra unanimidade, onde os professoresdeclaram que a passividade dos alunos influencia o aprendizado, ao não expressaraos professores onde pode estar o problema da aula, das dificuldades sentidas ou daprópria metodologia do professor.(v) QUANTO À PERCEPÇÃO QUE O ALUNO ESTUDA CONTINUAMENTE OU NÃO:
  29. 29. 29 PROFESSOR 1: Os alunos não estudam continuamente. PROFESSOR 2: Os alunos não estudam continuamente. PROFESSOR 3: Os alunos não estudam continuamente. PROFESSOR 4: Os alunos não estudam continuamente. (vi) QUANTO À PROCURA NO ATENDIMENTO: PROFESSOR 1: Só aparece na véspera da prova, poucos procuram sempre. PROFESSOR 2: Só aparece na véspera da prova, poucos procuram sempre. PROFESSOR 3: Só aparece na véspera da prova, poucos procuram sempre. PROFESSOR 4: Só aparece na véspera da prova, poucos procuram sempre. (vii) ANÁLISE DO TÓPICO: Neste tópico há unanimidade novamente, quando os professores identificam que os alunos não estudam continuamente, de uma forma geral, pois tanto nas monitorias quanto nos atendimentos, há pouca procura durante todo o período, e se concentrando na véspera da prova tal procura por tirar as dúvidas na disciplina. Entre os professores há um consenso que se alunos estivessem estudando continuamente, haveria mais procura dos alunos nos atendimentos, e uma possível identificação mais fácil por parte dos professores dos pontos de mais dificuldades por parte dos alunos. (viii) QUANTO À DIFICULDADE EM LIMITES: PROFESSOR 1: A dificuldade é no conceito em si, na abstração. PROFESSOR 2: É um conceito complicado, de depende muito do professor. PROFESSOR 3: Limites têm dificuldades na definição, e na idéia geométrica. PROFESSOR 4: Usa o mínimo de linguagem matemática avançada, eminimiza as dificuldades usando a idéia geométrica. (ix) QUANTO AO CONCEITO CHAVE EM CÁLCULO: PROFESSOR 1: Limites. PROFESSOR 2: Limites. PROFESSOR 3: Limites. PROFESSOR 4: Limites.
  30. 30. 30 ANÁLISE DO TÓPICO: Uma unanimidade que surge aqui é a citação do conceito de limite como chave nos cursos de Cálculo, ou seja, RESENDE (2003, p. 9), nos traz seguinte, fazendo a mesma referência: (…) O conceito de função, introduzido no núcleo semântico do Cálculo por Euler e Lagrange, vai constituir, junto com a noção de limite, a urdidura da nova estrutura do Cálculo. Dessa forma, podemos dizer que podemos definir derivadas como um limite, e da mesma uma integral, como o limite das somas de Riemann, ou seja, colocando limite como um conceito de fato fundamental nos cursos iniciais de Cálculo. (x) QUANTO ÀS DIFICULDADES EM DERIVADAS: PROFESSOR 1: Dificuldade em limites. PROFESSOR 2: Dificuldade em limites. PROFESSOR 3: Dificuldade em limites. PROFESSOR 4: Dificuldade em limites. ANÁLISE DO TÓPICO: Podemos que derivada é definida como um limite, ou seja, se aluno teve dificuldades em limites, e não tem esse conceito bem assentado, vai ter dificuldades em derivadas.(xi) QUANTO ÀS DIFICULDADES EM INTEGRAIS: PROFESSOR 1: Dificuldade em limites. PROFESSOR 2: Dificuldade em limites. PROFESSOR 3: Dificuldade nas técnicas, como de substituição trigonométrica. PROFESSOR 4: Dificuldades e continuidade e em aplicações. ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui dois professores relatam que os alunos tem dificuldades em limites, pois de fato, podemos tomar a integral como o limite das
  31. 31. 31somas de Riemann. Outras dificuldades relatadas são nas técnicas de integração, naparte algébrica em si.(xii) QUANTO À METODOLOGIA USADA NA SALA DE AULA: PROFESSOR 1: Não sabe o que é metodologia. PROFESSOR 2: Tradicional. PROFESSOR 3: Tradicional. PROFESSOR 4: Tradicional.ANÁLISE DO EPISÓDIO: Quando perguntado sobre que tipo de metodologia oprofessor usava em sala de aula, encontramos que três deles só usavam a tradicional,enquanto outro não sabia o que era metodologia.(xiii) QUANTO AO USO DE METODOLOGIA DE HISTORIA DA MATEMÁTICA OU MUDUNDAÇA NA METODOLOGIA: PROFESSOR 1: Não sabe. PROFESSOR 2: Não perguntado. PROFESSOR 3: Não resolve. PROFESSOR 4: Não resolve. Historia da Matemática só serve para motivação.ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui tratamos de indagar se o uso de história damatemática enquanto metodologia ajudaria alguma coisa no aprendizado dos alunos.O resultado é que um deles não sabe se ajuda ou não, enquanto outros dois afirmamque não resolvem, pois na visão deles, a história só serviria como motivação aosalunos. Aqui destacamos que estes professores têm uma formação técnica emmatemática pura, e na sua maneira de ver o ensino, apenas reproduziriam o que teriavisto em suas vidas acadêmicas.(xiv) O QUE FAZER PARA DIMINUIR AS REPROVAÇÕES: PROFESSOR 1:O que diminuiria o numero de reprovações, é se talvez você desse mais tempo. Apergunta é para que você quer isso? Aprendizado? Ótimo, não deu nesse semestre,tente de novo. A comparação que eu faço é que se a gente pedisse para a mesmo
  32. 32. 32 numero de alunos que faz calculo fosse aprender musica, talvez você teria índices de reprovações mais altos. PROFESSOR 2: O aluno tem que ter consciência do que ele ta fazendo aqui. Depois, a herança cultural que trouxe. Tem que ter boa vontade, motivação, de natureza interna. De 40 a 45 anos de magistério, vejo que o aluno tem que ter disposição em aprender. PROFESSOR 3: Precisa conscientizar os alunos a estudar e de maneira certa. Estuda errado. PROFESSOR 4: Qual o índice de reprovações no ITA? Não sei, mas deve ser baixo. Acredito que lá devo ser próximo de zero. Eles tem vestibular forte, e entra quem tem capacidade e competência. Aqui talvez não fazemos isso, os alunos não têm base, o vestibular é fraco. ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui foi abordado o tema reprovações, o que poderia ser feito para diminuí-las. O professor 1 diz que poderia dar mais tempo para o aluno fazer cálculo, e de certa forma, reprovações aqui não inevitáveis. O professor 2 vem dizer que o problema está no aluno, na falta de motivação e de consciência do que ele está fazendo na universidade, e que tem haver muito com a herança cultural de cada aluno. Já o professor 3 vem dizer que o problema está no aluno, e ele não sabe estudar. Finalmente o professor diz que o problema está na base do aluno, e que o vestibular é fraco e que não os seleciona direito.5. DIFICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO APARTIR DA TEORIA O objetivo deste capítulo é analisar conceitos de Cálculo à luz da literaturaespecializada, bem como retomando sugestões de professores entrevistados sobre taisdificuldades.
  33. 33. 33 Retomando o capitulo anterior, onde dissemos que, de acordo com RESENDE(2003), um dos grandes desafios no ensino superior de matemática ainda é, sem dúvida,o tão propalado “fracasso no ensino de Cálculo”. Dessa forma, continua a nos falar RESENDE (2003), que tal problema dofracasso em Cálculo é não cultural, e que não se justifica pela condição sócio-econômica da sociedade brasileira, pois sabemos que a situação do ensino de Cálculonos países “desenvolvidos” não é muito diferente, visto que trabalhos sobre esse tematêm sido publicados e recebidos merecido destaque por parte da literatura especializadainternacional. DAVID TALL (1976), por exemplo, continua RESENDE (2003), temsido um dos principais articuladores da área de pesquisa “pensamento matemáticoavançado”, cujas questões giram em torno das dificuldades encontradas nasaprendizagens dos conceitos básicos do Cálculo, tendo a psicologia cognitiva comopano de fundo para as suas análises epistemológicas. Dessa forma, podemos apresentar algumas questões, levantadas por RESENDE(2003, p. 4), tais como:a) Qual é a razão de tantas reprovações?b) Onde reside a dificuldade?c) No processo de aprendizagem?d) No aluno, isto é, na “falta de base” do aluno?e) Ou estaria esta dificuldade no próprio professor, ou na metodologia de ensino,ou ainda, na estrutura curricular do ensino de matemática que não dá o suporte queesta disciplina mereceria? São muitas as respostas e encaminhamentos por pesquisadores da área, ou seja,de acordo com RESENDE (2003), uns preferem justificar o problema no âmbito dapsicologia cognitiva, pois acreditam que o problema é de natureza psicológica, isto é,os alunos não aprendem por que não possuem estruturas cognitivas apropriadas quepermitam assimilar a complexidade dos conceitos do Cálculo; já para outros o problemaé de natureza mais simples, ou seja, as dificuldades de aprendizagem são decorrentes doprocesso didático, isto é, a solução reside em se encontrar uma forma apropriada para seensinar a disciplina de Cálculo.
  34. 34. 34 Dessa forma, tentaremos resumir as algumas dificuldades no aprendizado dostópicos apresentados nas disciplinas iniciais de Cálculo.5.2 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE FUNÇÕES De acordo com OLIMPIO JUNIOR (2006), entre os conceitos matemáticosreferidos às funções é, seguramente, o único apresentado e discutido na maioria absolutados cenários de Ensino Médio brasileiro. Dessa forma, ao longo do desenvolvimento histórico do conceito de função,foram surgindo algumas dificuldades, e sendo superadas, na medida do possível. Então, podemos começar pelo conceito de variável independente, que segundoCOTRET (1986/7), citado em OLIVEIRA (1997), é importante saber que tal noçãoaparece no conceito de função a partir do conjunto de estudos qualitativos equantitativos do movimento, e isto, por intermédio das representações gráficas, pois atéfim da idade média, não se considerava que certos valores se integravam dentro doconceito de grandeza variável. Tal separação era devida aos obstáculos das proporções,da homogeneidade e da incomensurabilidade. Vejamos então estes obstáculosepistemológicos:• Proporção OLIVEIRA (1997) vem nos dizer que entre os gregos, e até a Idade Média, asrelações entre grandezas ou entre quantidades eram expressas por meio de proporções,pois deste fato devem-se sempre considerar 4 elementos aleatórios. ContinuaOLIVEIRA (1997), que esta forma de proceder dissimulava a relação de funcionalidadeque podia existir entre as 2 variáveis em jogo, ou seja, por exemplo, para exprimir arelação que existe entre a área e o diâmetro de um círculo, procedia-se assim: A1/ A2 =(d1)2 / (d2)2. Dessa forma, este elemento de funcionalidade não podia ser expressopela proporção.• Homogeneidade Segundo OLIVEIRA (1997), o princípio de homogeneidade estipulava que só sepoderia comparar elementos da mesma natureza, as áreas ou os segmentos ou ainda osvolumes.
  35. 35. 35 Pode-se dizer, segundo OLIVEIRA (1997), que a homogeneidade reforçou autilização das proporções, isto é, por exemplo do obstáculo da homogeneidade, pode-sesublinhar o fato que antes da extinção deste obstáculo, era impossível dar-se umadefinição métrica da velocidade, quer dizer, não se podia definir a velocidade como umafunção da distância e do tempo, isto é, v = d/t, pois estes elementos são de naturezasdiferentes, ou seja, utilizava-se então sempre as proporções, por exemplo: v1 / v2 = t1 /t2. Assim, concluindo, OLIVEIRA (1997) nos diz que na realidade, o que se perdianão eram os próprios elementos, mas as relações desses elementos, e essas relaçõespodiam ser quantitativas, mas também, simplesmente, as relações de grandezas que nãopoderiam ser expressas numericamente.• Incomensurabilidade Segundo OLIVIVEIRA (1997), não podemos dizer que o conhecimento daincomensurabilidade seja um obstáculo como tal ao desenvolvimento de função, masteve considerável influência sobre a utilização das proporções, pois além de provocarum retrocesso, ela criou um mal entendido a tudo que toca o infinito. Assim,OLIVEIRA (1997), nos diz que este problema é de grande importância, pois relacionacom tudo que tem a ver com os conceitos de variações. 5.3 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE LIMITES Segundo VIEIRA (1999), as dificuldades relativas ao ensino e à aprendizagemdo conceito de limite são há muito conhecidas. Assim, ao tomarmos ENGLER at al (2007), citamos ARTIGUE (1995) que vemnos dizer que as dificuldades de acesso ao cálculo são diversificadas e complexas. Porisso, segundo ENGLER at al (2007), é possível agrupá-las em categorias amplas,associadas com: a) A complexidade matemática dos objetos básicos do cálculo; b) A conceitualização e formalização da noção de limite no núcleo de seu conteúdo e ao seu tratamento sobre o ensino; c) Na ruptura álgebra/ cálculo, há uma brecha entre o pensamento analítico e algébrico.
  36. 36. 36 Continuamos seguindo ENGLER at all (2007), onde ele se refere aos trabalhosde CORNU (1991) e SIERPINSKA (1985), onde estes manifestam que a enormedificuldade de ensino e aprendizagem do conceito de limite se deve a sua complexidade,tanto nos aspectos cognitivos implicados, não se podem gerar a partir da definiçãomatemática. Já ARTIGUE (1998), vêm nos dizer que as investigações didáticas a respeito dasdificuldades persistentes na aprendizagem de limites têm diversas origens, e formamuma rede complexa. Dessa forma, continua ARTIGUE (1998), foram agrupadas taisdificuldades em categorias, dependentes umas das outras, que são as seguintes: • As dificuldades ligadas a complexitude matemática dos objetos básicosdo campo conceitual: números reais, funções e sucessões. ARTIGUE (1998), nos diz que em relação aos números reais, diversos estudosmostram que os alunos não se apropriam de tais conceitos de forma adequada para aaprendizagem da análise, conforme ROBINET (1986). Seguindo ARTIGUE (1998), os estudantes têm a concepção de número realatravés de calculadora principalmente, e quando chega ao cálculo, os números reais sãotratados como objetos algébricos. Já quanto à dificuldade no conceito de função, já foi tratado acima. • As dificuldades ligadas a conceitualização da noção de limite, que é anoção central do seu domínio técnico. ARTIGUE (1998) nos diz que muitas das dificuldades estão associadas àconceitualização da noção de limite, ou seja, aqui é necessário mencionar a noção deobstáculo epistemiológico introduzido por Bachelard. Para ele, segundo ARTIGUE(1998), o conhecimento científico não se desenvolve num processo continuo, uma vezque resulta das formas prévias do conhecimento que se constituem em obstáculosepistemiológicos. Aqui também temos a hipótese de que tais obstáculos se encontramno desenvolvimento histórico do conceito e na aprendizagem atual, a pesar dasdiferenças cognitivas e culturais evidentes, como se fossem constituídos da gênese doconceito, isto é, ampliando a utilização da análise histórica. Então de acordo com ARTIGUE (1998, p. 4), temos:
  37. 37. 37 Podemos falar aqui dos obstáculos que se encontram também no desenvolvimento histórico do conceito, a pesar das diferentes concepções cognitivas e culturais envolvidas. Também podemos mencionar que o conceito de limite como o de função tem duas dimensões: uma de processo e uma de objeto, a possibilidade de manejar com eficácia estas duas dimensões requer processos cognitivos. Por fim, outra categoria importante de dificuldade vem das características da definição formal do conceito de limite: sua complexidade lógica e a necessidade de inverter a direção do processo que vai da variável x ao valor da função f(x). Assim, aliada a estas características formais, temos um ponto essencial. Porém, além destas características formais, há um ponto essencial: entre uma concepção intuitiva dos limites e uma concepção formal, há um salto qualitativo fundamental, também atestado pela história do conceito. Assim, podemos dizer que o conceito formal de limite é um conceito rompe com as concepções prévias de tal noção. • As dificuldades ligadas à uma necessária ruptura com os modos depensamento do funcionamento algébrico. Segundo ARTIGUE (1998), as atividades de Cálculo se apóiam emcompetências algébricas, e ao mesmo tempo no chamado pensamento analítico, onde énecessária certa distância em relação ao pensamento algébrico. Assim, segue ARTIGUE(1998), a ruptura entre o pensamento algébrico e o analítico se organiza em váriasdimensões, onde as principais são as seguintes:
  38. 38. 38 • É necessário enriquecer sua visão da noção de igualdade e desenvolvernovos métodos para provar as igualdades, isto é, podemos notar que uma reconstruçãosimilar da noção de igualdade foi posta em evidencia pela investigação didática, natransição do pensamento numérico para o pensamento algébrico. Dessa forma, tomar consciência de todas as mudanças e do crescimento dadificuldade técnica do trabalho matemático, nos ajudam a compreender melhor adistância que separa a capacidade de formular a definição formal da noção de limite,ilustrada por exemplos e contra-exemplos, representada graficamente, e por outra parte,de dominar tecnicamente esta definição, é decidir ser capaz de utilizá-la como uminstrumento operativo na resolução de problemas. Assim, podemos mencionar outra dimensão da ruptura Álgebra/ Cálculo. Aentrada no mundo do cálculo obriga também aos estudantes a reconstruir objetosmatemáticos.5.4 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE DERIVADAS Segundo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), ARTIGUE (1995), nos dizque podemos ensinar os alunos a realizar de maneira mais ou menos mecânica algunsalunos de cálculo a resolver alguns problemas, mas teremos dificuldades para que taisjovens atinjam uma compreensão satisfatória dos conceitos e métodos de pensamentodo centro da análise matemática, ou seja, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) vemdizer que no fundo a raiz da questão é que alunos não constroem um significadoadequado do conceito de derivada, pois esta construção parcial do significado noscursos iniciais podem gerar dificuldades no seu desempenho futuro. SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) continuam dizendo que as perspectivasteóricas das investigações nos permitem compreender melhor como dar significado àmaneira que os alunos resolvem os problemas, indicando as características deaprendizagem. Dessa forma, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 269), nos diz oseguinte: Entre as diversas perspectivas teóricas que tem adotado os investigadores, seencontram as aproximações centradas nos elementos de cognição, como:
  39. 39. 39 - Esquema conceitual (Azcárate, 1990), derivada da idéia de imagem do conceito (Tall, 1989). - Idéias procedentes de uma aproximação piagetiana do conhecimento e seu desenvolvimento, da teoria APOE (Asiala, Cottrill, Dubinsky, & Schwingendorf, 1997) e do desenvolvimento dos esquemas (Clark et al., 1997) e Baker et al., 2000); - Idéias precedentes do papel das representações e atividades com o desenvolvimento dos significados (Font, 2000a; 2000b; Habre & Abboud, 2006); - A teoria da reificação, que centra-se nos vínculos processo-objeto (Zandieh, 2000). No entanto, segundo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), durante osúltimos anos se desenvolveu uma linha de investigação no México que se ocupa daaproximação da teoria conhecida como sócio-epistemiológica, a qual estuda osfenômenos de produção e difusão do conhecimento através de uma perspectiva múltipla,de acordo com Cantoral & Farfán (2003). Assim, com base em tais pressupostos, foi organizada a informação atendendoaos seguintes aspectos:Erros e dificuldades da compreensão da derivada, ou seja, a noção de taxa de variação –relação entre taxa e razão de uma mudança progressiva. SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) nos diz que podemos em resumo dizerque a sócio-epistemiologia considera o conceito de derivada como um complexo depráticas de natureza social que lhe dão sentido e significado. Além, os trabalhos nestalinha de investigação abandonam a abordagem para a derivada “a partir da definição delimite do quociente incremental e da explicação da secante que lhe é tangente”, poisdefendem a idéia de que até não se vê a noção de derivada como uma organização dasvariações sucessivas não será compreendida. Os sistemas de representação como ferramentas para pensar sobre as derivadas.
  40. 40. 40 SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) nos mostra que a descrição sobre oserros e dificuldades que os estudantes têm com respeito às derivadas foi o objetivo dasprimeiras investigações realizadas sobre este tema, ou seja, ORTON (1983), segundoSÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), identificou três tipos de erros que cometiamos alunos nos exercícios de diferenciação e suas aplicações:Estruturais, relacionados com os conceitos implicados.Arbitrários, quando o aluno se comporta arbitrariamente sem tomar em conta os dadosdo problema.Manipulação: embora os conceitos envolvidos possam ser entendidos. De acordo com SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), se consideramos que aderivada em um ponto nos indica a velocidade de mudança, a compreensão de tal idéiase apóia no saber prévio da razão entre o incremento de x em relação a y. Dessa forma, em resumo, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007): Orton indica que as dificuldades com a idéia de razão de mudança e suavinculação ao tipo de função linear ou quadrática podiam ter sua origem na difícilcompreensão sobre o conceito de função. As informações destas investigaçõesdestacam-se pela importância da razão de mudança e do quociente incremental nacompreensão da derivada, entendida como uma qualificação da mudança.O local e o global, ou seja, a relação entre a derivada de um ponto f ′(a) e a funçãoderivada f ′(x). Outro aspecto importante na compreensão da derivada, segundo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), é a relação entre o aspecto local e o global num pontodado f ′(a) e a idéia de função derivada f ′(x), que permite passar de uma perspectivapontual a uma global. Dessa forma, os estudos de BADILLO (2003), segundoSÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), diz que a existência de diferentes significadosda idéia de derivada num ponto e da função derivada, isto é, a compressão gráfica de f(x), f (a) y f (x) mostra ser difícil, já que se identificaram algumas inconsistências comoas seguintes: A confusão entre a derivada num ponto x = a, f ′(a) e a função derivada, f ′(x). A redução da expressão simbólica de f ′(x) à equação da reta tangente, e gráfica de f ′(x) à da reta tangente.
  41. 41. 41 A falta de justificativas sobre o uso das técnicas de derivação direta e indireta. SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 284) nos diz que: A complexidade do conceito de derivada leva a investigado a reparar na compreensão do esquema de derivada em relação ao local (derivada num ponto) e o global (função derivada). Dessa forma, tal vínculo não tem sido amplamente estudado nestes momentos, levanta questões sobre a forma como as diferentes abordagens que podem ser enfatizadas na educação pode determinar a compreensão dessas relações, bem como o papel dos diferentes modos de representação para promover a compreensão da relação entre local e global no desenvolvimento de uma compreensão do esquema derivados. A aplicação do conceito de derivada: o desenvolvimento da compreensão deregra da cadeia. De acordo com SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), os livros de cálculointroduzem o conceito de derivada, como o capítulo cinco de Análise Matemática doApostol, começando com a definição de derivada, segue com as relações entrecontinuidade e derivada, e termina com a álgebra de derivada e uma aplicaçãoimportante deste conceito: Assim, de acordo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 289), temos: A regra da cadeia: algumas investigações, como de CLARK et al (1997), centraram-se nas aplicações de derivada, com fundamentação do marco teórico. Assim, tais investigações levaram a cabo a decomposição genética inicial do conceito da regra da cadeia, a qual consideram como descrição de uma trajetória hipotética de
  42. 42. 42 aprendizagem pela qual pode-se transitar um estudante na aprendizagem do conceito. A compreensão da derivada associada à sua utilização em diversas aplicações, incluindo a regra da cadeia. Dessa forma, conclui SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), dizendo que, comose pode inferir a partir de trabalhos de Clark e sua equipe, a construção que umestudante faz destas aplicações podem seguir algumas orientações. A decomposiçãogenéticaoferece uma contribuição, que é necessário para cumprir as decisões instrucionaistomadas pelos professores. 5.5 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE INTEGRAIS De acordo com LLORENS & SANTONJA (1997), entre os professores deCálculo é quase consenso que os problemas de aprendizagem do conceito de integral éfacilmente detectável. Dessa forma, de acordo com LLORENS & SANTONJA (1997),os estudos de MUNDY (1984), ORTON (1983) e TURÉGANO (1993) nos trazem umresumo destas deficiências, como segue: a) Geralmente os estudantes identificam integral com primitiva. Para estes estudantes, a integral não comporta nenhum processo de convergência ou tão pouco nenhum processo geométrico, e sim é um algo puramente algébrico, mais ou menos complicado, a tal ponto que podem conhecem vários processos de integração, saber aplicá-los, e ao mesmo tempo não ser capaz de aplicá-los ao calculo de uma área ou ignorar o que são as somas de Riemann. b) As integrais “definidas” se identificam com a regra de Barrow, incluindo quando esta regra pode aplicar-se. É dizer que o símbolo:
  43. 43. 43representa somente o cálculo de primitivas, a aplicação da regra de Barrow. Comoexemplo, podemos citar o comportamento relatado por MUNDY (1984), tanto comopor LLORENS & SANTONJA (1997). Foi feita a seguinte pergunta:Por que a integral abaixo está errada? LLORENS & SANTONJA (1997) dizem que somente 23% sabiam que aintegração estava errada, enquanto MUNDY (1984) fala que pouquíssimos alunossouberam identificar o erro. Antes de seguir, podemos dizer que aconteceu exatamente a mesma coisaquando era entrevistado um professor do DM – UFSCar. Na ocasião, ao serperguntado sobre as principais dificuldades dos alunos em integrais, ele resolveuexemplificar, pedindo para um orientando dele, e já formado em bacharelado emmatemática pela mesma universidade, fazer a tal integral acima. O aluno caiu nomesmo erro, e disse que tal erro era muito comum. Também afirmou que alunos daUSP, formados caem no mesmo erro. Dessa forma, podemos dizer, por uma análisesuperficial, que tal dificuldade ocorre tanto nas universidades americanas, nasuniversidades espanholas, quanto na UFSCar, como na USP, parecendo ser umproblema generalizado dos estudantes de cálculo e todo o mundo. Dessa forma, LLORENS & SANTONJA (1997, p. 63) afirmam: Observamos que esse tipo de resposta não se explica somente porque esses estudantes não conhecem a regra de Barrow, e aparece como representativas de uma desconexão mais profunda entre o conceito de integral e sua particular imagem desse conceito. Outros dados permitem afirmar que, de modo mais enfático, que nem se quer quando se diz expressamente “integral definida”, não evoca no estudante nenhuma relação desse conceito com o problema da convergência, já conhecidos previamente por ele
  44. 44. 44 no tema de sucessões, derivadas, continuidade, etc., quando está estudando integrais. Assim, é fácil comprovar que quando os estudantes estão estudando integrais impróprias, a maioria dos estudantes se parece muito surpreendente que uma integral pode ser divergente. Não há integração entre o conceito de área com o de integral. De acordo com LORENS & SANTONJA (1997), os estudantes tem ouvido queexiste uma relação entre as integrais (definidas) e a área, mas não se verifica umaunião entre ambas, de modo que persiste uma interpretação puramente algébrica daintegral. Dessa forma, continua LLORENS & SANTONJA (1997), as respostasequivocadas dos exemplos anteriores indicam não somente que a função édescontínua em x = 0, mas também que claramente não tem uma imagem visual doproblema: nem da função (sempre positiva) nem da própria integral entendida comoárea. Dessa forma, segue LLORENS & SANTONJA (1997), é muito freqüente queessa interpretação da integral como área somente se utiliza quando expressamente sepedem exercícios que tipicamente dão o enunciado “Calcular a área fechada dográfico de … “, porém quase nunca espontaneamente. Ainda por LLORENS & SANTONJA (1997), essa falta de integração semanifesta em sentido contrário também, ou seja, LLORENS & SANTONJA (1997)proporão um exercício para se obter o valor da área sombreada em cada um dasfiguras abaixo:FIGURA 2: ÁREAS SOBREADAS DOS GRÁFICOS.
  45. 45. 45 Dessa forma, LLORENS & SANTONJA (1997), a maioria das respostas iniciais foram e , respectivamente. No primeiro caso, pela dificuldade que significa a presença do módulo, muito frenquêntemente podemos encontrar solução incompletas ou absurdas, coerente com o trabalho de MUNDY (1984), no qual menos de 95% dos estudantes contestaram incorretamente a pergunta: de modo que nos reafirmamos no diagnóstico assinalado, já que o aluno está preferindo o contexto algébrico-formal ao visual-geométrico, porque não tem integrado. Também, ao mesmo tempo, LLORENS & SANTONJA (1997) concluem que estes estudantes consideram trivial pedir para calcular a área de um quadrado cujo lado mede 1 metro ou de um triângulo retângulo como os que aparecem nos gráficos anteriores.6. HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL O objetivo deste capitulo é trazer um pouco de como se desenvolveram os conceitos de Cálculo, como funções, limites, derivadas e integrais. De acordo com ÁVILA (1985, p. 14), Muita gente tem a impressão de que matemática é estática; de que os conceitos, uma vez formulados, se cristalizam como coisas completas e acabadas, que permanecem imutáveis; de que os resultados, uma vez obtidos, se somam uns aos outros na acumulação de um corpo de conhecimento que não tem outra dinâmica interna que a do crescimento de unidades novas.
  46. 46. 46 Dessa forma, os conceitos do Cálculo Diferencial e Integral exemplificam bem isto, relacionados à: funções, limites, derivadas e integrais, ou seja, através de nexos conceituais relacionais aos conceitos de Cálculo, como a fluência, a interdependência e o movimento, mostram a Matemática com não estática. Assim, ao passarmos por 4.000 anos de evolução da história de destes conceitos, vemos claramente a constante mudança e transformação da Matemática como um todo, bem como dos conceitos de Cálculo, ou seja, desta forma da Babilônia, em 2.000 a.C. até ao final do século XX, num constante mudar e transformação destes conceitos, ao logo da história. Dessa foram, podemos começar nosso trabalho fazendo uma pergunta que foi feita pelos professores WAGNER e CARNEIRO (2004), na RPM Nº 60, que os alunos a fazem constantemente, que foi:• Vale a pena estudar Cálculo? A resposta parece fácil, mas não é bem assim, pois de acordo com ÁVILA (2006), desde que se comece com uma apresentação bem simples e modesta do que seja derivada, pode-se mostrar como isso ocorre num contexto do estudo de funções. Ainda, de acordo com ÁVILA (2006), é importante que esses conceitos de funções, limites e derivadas, bem como o de integral, sejam integrados, e não separados em blocos estanques. Dessa forma, nosso primeiro passo é mostrar o desenvolvimento histórico dos conceitos de função, limite, derivada e integral. Assim, com esta seqüência de tópicos, podemos começar levantando a gênese do desenvolvimento histórico dos conceitos de funções, limites, derivadas e integrais, para que posteriormente possamos identificar os nexos conceituais respectivos. Assim, passemos a tal levantamento histórico. 6.1 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÕES De acordo com AVILA (1985), os matemáticos só chegaram ao conceito de função tal como conhecermos hoje, depois de um período de evolução do Cálculo, por mais de cento e cinqüenta anos.
  47. 47. 47 Porém, antes de chegarmos a este período, vamos ver que paraYOUSCHKEVITCHI (1981), citado por OLIVEIRA (1997), existem três etapasprincipais do desenvolvimento de funções, a saber: • Antiguidade: Etapa no curso no qual o estudo de diferentes casos de dependência entre duas quantidades ainda não isolou as noções de gerais de quantidades variáveis e de funções. • Idade Média: Nesta etapa, as noções, são pela primeira vez, e de maneira precisa, expressas sob uma forma geométrica e mecânica, mas durante a qual, como na antiguidade, cada caso concreto de dependência entre duas quantidades, são definidas por uma descrição verbal, ou por um gráfico, de preferência fórmula. • Período Moderno: No curso, da qual, no fim do século XVI, e durante o século XVII, as expressões analíticas de funções começam a prevalecer; a classe de funções analíticas geralmente é expressa por meio de soma de séries infinitas, tornando-se logo a principal classe utilizada.6.2.1 CONCEITO DE FUNÇÕES NA ANTIGUIDADE Segundo OLIVEIRA (1997), a antiguidade foi a época da concepção de função,pois a idéia de funcionalidade de uma certa maneira, segundo SÁ at all (2003), não érecente na mente humana. Por exemplo, quando o homem levado pela necessidade,passou a associar uma pedra a cada animal visando ao controle de seu rebanho,poderíamos encarar essa relação de dependência entre as pedras e os animais como umarelação funcional. Levando em consideração esse raciocínio, podemos citar os babilônicos queconstruíram tabelas em argila, e para cada valor na primeira coluna existia um númerona segunda, que era o resultado da multiplicação do número da primeira por umaconstante, segundo SÁ at all (2003). Já OLIVEIRA (1997), ressalta que os Babilônios,em 2.000 a. C., fizeram tabelas sexagesimais de quadrados e de raízes quadráticas, decubos e raízes cúbicas, e outras, revelando o “instinto funcional”.
  48. 48. 48 É importante destacar que, para os Babilônios, cada problema exigia uma novaanálise, pois eles não desenvolveram procedimentos ou regras gerais para resolveremproblemas semelhantes (SÁ at all, 2003). Semelhante aos babilônicos, os egípcios construíram também tabelas, namaioria das vezes em papiros, que segundo BOYER (1974) apresentavam o resultadode investigações empíricas, ou na melhor das hipóteses, generalizações que eram oresultado da indução incompleta de casos mais simples para casos mais complicados. Dentre os gregos, poderíamos citar a contribuição de Ptolomeu. Em sua obraAlmagesto, desenvolveu idéias funcionais. Segundo MENDES (1994, p.12), AABOE (1984, p.20) cita que ele trabalhou naárea da astronomia, e que, desenvolveu ferramentas matemáticas, entre elas atrigonometria. Ele utilizou tabelas envolvendo a função da corda do arco x, ou crd x,mas sem fazer referência a palavra função. E ainda entre as idéias funcionais gregastemos os symptons, que eram a condição necessária para que um ponto pertencesse auma curva. Apolônio e Arquimedes chegaram a utilizar os symptons. Já OLIVEIRA (1997) fala que entre os Pitagóricos aparece a idéia de função noestudo da interdependência quantitativa diferentes em quantidades físicas, como porexemplo, o comprimento e a altura da nota emitida por cordas da mesma espécie,pinçadas com tensões iguais, o que revelou uma interdependência inesperada entrenúmero, espaço e harmonia. Assim, apesar de tantos exemplos que indicam a presença das dependênciasfuncionais, “não havia nenhuma idéia geral de funcionalidade na Antiguidade”,YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 13), o que mostra que o pensamento matemático naAntiguidade não criou nenhuma noção geral nem de quantidade variável nem de função.6.2.2 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MÉDIA Segundo OLIVEIRA (1997), a primeira vez que a noção de função aparecenuma forma “mais genérica” é no século XII, nas escolas de filosofia natural em Oxforde Paris, onde cada problema era tratado de maneira isolada. Foi nesta época, a Idade Média, que o Bispo parisiense de Lisieux NicoleOresme (1323 – 1382), que segundo BOYER (1974), em um trabalho intitulado deTractatus de Latitudinibus Formarum, feito por um discípulo ou até por ele mesmo,
  49. 49. 49seria o resumo de uma obra maior do próprio Oresme, Tractatus de Potentiarum et osproblemas utilizando métodos mais gerais. Um dos objetivos visados por Oresme, segundo OLIVEIRA (1997), com seumétodo era permitir às pessoas a compreensão mais rápida e fácil da natureza dasmudanças, onde suas representações se mostram à frente, em direção ao conceito defunção ou variável dependente. Dessa forma, não podemos dizer que ele utilizasse de funções, pois ele não seinteressava pela forma na qual uma qualidade varia por razão do objeto que estádependendo. Assim, suas representações eram imaginárias e qualitativas. (OLIVEIRA,1997).6.2.3 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MODERNA Segundo SÁ et all (2003), é com Galileu Galilei (1564-1642) que surge ointeresse em debater quantitativamente os axiomas, mensuráveis e que, portantopoderiam ser relacionados por fórmulas. MENDES (1994) cita que o principal interessede Galileu era entender como os fenômenos ocorriam, com o intuito de descrever asmudanças da natureza. Segundo KLINE (1972), citado por MENDES (1994), foi oestudo do movimento que originou o conceito de uma função ou de uma relação entre variáveis. Porém Galileu não formalizou explicitamente a palavra função. É com o estudo de Galileu sobre movimento, e conseqüentemente a velocidade,a aceleração e a distância percorrida. OLIVEIRA (1997) ressalta que sua insistência em querer estudar os movimentosda forma quantitativa, por intermédio da experimentação, contribuiu para a evolução danoção de função, ao lidar de forma funcional com as causas e efeitos, trazendo anecessidade essencial da concepção de variável dependente. No século XVI ainda não havia surgido à idéia de estudar a equação geral deuma classe inteira de equações, o que só surgiu com Viète. Segundo YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 23), citado por OLIVEIRA (1997),
  50. 50. 50 A importância desta notação que, pela primeira vez, tomou possível a colocação por escrito sob uma forma simbólica das equações algébricas e de expressões contendo quantidades desconhecidas e coeficientes arbitrários (um trabalho que também nascem com Viète) poderia ser subestimada. Entretanto, o criado da nova Álgebra não utiliza sua notável descoberta para “fazer avançar” o conceito de função: pensar em termos de função não foi característica de seu espírita. René Descartes (1596-1650), e Pierre de Fermat (1601-1665), magistrado emToulouse, desenvolveram separadamente as bases teóricas da geometria analítica. Fermat, citado por OLIVEIRA (1997), diz que “tão logo duas quantidadesdesconhecidas aparecem em uma igualdade, há u lugar geométrico e o ponto terminalde uma das duas quantidades descreve uma reta ou curva”. BAUMGART (1992, p. 83), citado por SÁ at all (2003), afirma que Descarteschegou a definir função como qualquer potência de x, como x², x³, ... De fato, segundo OLIVEIRA (1997, p. 18), Aparece em “La Geométrie” a noção de função de forma mais detalhada, e completamente clara, sustentada pela idéia de que a equação em x e u é um meio de introduzir uma dependência entre quantidades variáveis de modo a permitir o cálculo dos valores de uma delas correspondendo aos valores dados da outra. Tal método de representação foi estendido a outros ramos da matemática, em especial ao cálculo infinitesimal. Vem o século XVIII e com ele destacam-se Isaac Newton (1642-1727) eGottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
  51. 51. 51 Newton, segundo SÁ at all (2003), direcionou suas pesquisas dentro da Física,especificamente no campo da Mecânica, e como frutos para a matemática desenvolveuos métodos infinitesimais. Assim, KLEINE (1989, p.289), citado por MENDES (1994,p. 26), acredita que a maior contribuição de Newton dentro do conceito de função foramsuas descobertas a respeito de séries de potências, e é ele quem introduz o termo“variável independente”. Já foi Leibniz quem introduz a palavra “função”, que apareceu no trabalhointitulado “Methodus tangentium inversa, seu de fonctionibus”, no qual ganha oseguinte sentido: o de um termo geral para diferentes segmentos ligados a uma curvadada. Já, segundo OLIVEIRA (1997), o conceito de função aparece num sentido maisamplo na geometria diferencial em artigos publicado em 1692 e 1694 onde ele chama desegmentos de retas obtidas por construção de retas correspondendo a um ponto fixo e apontos de uma curva dada. Já a primeira definição explicita como expressão analítica aparece com JeanBernoulli (1694 – 1698). De acordo com YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 35), temos: “Chamamos função de uma grandeza variável uma quantidade composta de qualquer maneira que seja desta grandeza variável e constante.” Segundo OLIVEIRA (1997), na sua definição, Bernoulli não dá indicação sobreo modo de construir função a partir da variável independente. Leonhard Euler (1707-1783) nascido em Bâle na Suiça, foi aluno de JeanBernoulli, foi figura essencial no desenvolvimento do conceito de função, onde segundoo qual uma função não necessitava unicamente de uma expressão analítica e ele tambémintroduziu o símbolo f(x). Segundo SÁ at all (2003), no segundo volume deIntroduction in Analysin Infinitorum, Euler diferenciou as funções contínuas edescontínuas, levando em consideração a lei de formação de cada função. Aquelas quefossem definidas por apenas uma expressão analítica seria classificada como contínua ecaso essa lei mudasse em qualquer intervalo do domínio automaticamente seclassificaria como descontínua ou mista. É no século XVIII, segundo SÁ at all (2003), que o Problema da Corda Vibrantemexe com o raciocínio dos matemáticos da época e que vai influenciar na reformulação
  52. 52. 52do conceito de função. O questionamento seria determinar a função que iria reger oformato de uma corda elástica, com os pontos iniciais e final fixos, num determinadotempo t. GRÁFICO 5: FUNÇÃO QUE REGE UMA CORDA ELÁSTICA. Foi D’Alembert (1717-1783) que publicou um trabalho sobre as cordasvibrantes, onde resolveu a uma equação diferencial e a chamou de equação da onda emque y representaria o deslocamento transversal do ponto x da corda no tempo t. Valelembrar que Daniel Bernoulli também publica um trabalho sobre o tema. Foi oferecido em 1787, que um prêmio foi oferecido pela Academia de SãoPetesburgo, para quem melhor explicasse como eram as funções arbitrárias quepoderiam ser obtidas nas soluções de equações diferenciais parciais. O ganhador foiLouis Arbogast (1759-1803), que segundo MENDES (1994, p. 36) citando EDWARDS(1979, p. 303), argumentou que tais funções não poderiam ser contínuas, mas para issoele conceituou continuidade: A lei de continuidade consiste em que uma quantidade não pode passar de umestado para o outro sem passar através de todos os estágios intermediários que sãosujeitos à mesma lei. Esta continuidade pode ser destruída de duas formas: A funçãopode mudar sua forma, quer dizer, a lei pela qual a função depende das variáveis podemudar repentinamente. Uma curva formada pela reunião de muitas porções de curvasdiferentes é deste tipo... Não é nem necessário que a função y seja expressa por uma equação para umcerto intervalo da variável; ela pode mudar continuamente sua forma, e alinha que arepresenta, ao invés de ser uma reunião de curvas regulares, pode ser tal que em cadaum destes pontos ela se torne uma curva diferente; quer dizer ela pode ser inteiramenteirregular e não seguir qualquer lei para qualquer intervalo mesmo pequeno.
  53. 53. 53 De acordo com SÁ at all (2003), Jean Baptiste Joseph Fourier (1768- 1830),secretário do Instituto do Egito, destaca-se na virada do século XVIII para o séculoXIX, com seus estudos sobre a propagação do calor. Em 1822 publica La ThéorieAnalytique de la Chaleur onde afirmou que qualquer função poderia ser expressa poruma série trigonométrica. ÁVILA (1985, p. 20) afirma que apesar de Daniel Bernoulli em 1753 já tivessediscutido tal questão de maneira mais restrita, foi com Fourier que ela se tornourealmente presente no mundo matemático. Perto do fim do século XVIII, ainda de acordo com SÁ at all (2003), quandomuitos absurdos e contradições tinham surgido na matemática, sentiu-se que eraessencial examinar as bases da análise para dar-lhes uma fundamentação, foi umareação ao emprego descontrolado da intuição e do formalismo do século anterior.Assim, a própria idéia de função teve que ser esclarecida e noções como a de limite,continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade tiveram de ser cuidadosa e claramentedefinidas. Bolzano (1781-1848), segundo BOYER (1974), foi considerado pioneiro nessaformalização, pois em 1817, publica Functionlehre onde conceitua continuidade muitopróxima do conceito atual. Ele também demonstrou o teorema do valor médio, hojemuito utilizado em cursos regulares de cálculos, mas que segundo LEITÃO (2009) noseu contexto original, este resultado não se referia apenas ao movimento local, isto é, agrandeza que se encontra a variar, não era necessariamente a velocidade. FIGURA 3: REPRESENTAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO.

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