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  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA LÓGICO-HISTÓRICA: delineamentos de uma metodologia de ensino, a partir do estudo das dificuldades dos alunosDISCIPLINA: TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSODOCENTE RESPONSÁVEL: PROFA. DRA. MARGARETE TEREZA ZANONBAPTISTINIORIENTADORA: PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE SOUSA –PROFESSORA ADJUNTA – DMEALUNO: AILTON BARCELOS DA COSTA
  • 2 SÃO CARLOS/ SP 2009 AILTON BARCELOS DA COSTA PROFA. DRA. MARIA DO CARMO DE SOUSA ORIENTADORA O ENSINO DE CÁLCULO NA PERSPECTIVA LÓGICO-HISTÓRICA: Delineamentos de uma metodologia de ensino, a partir do estudo das dificuldades dos alunosDISCIPLINA: TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSODOCENTE RESPONSÁVEL: PROFA. DRA. MARGARETE TEREZA ZANONBAPTISTINI
  • 3 SÃO CARLOS/ SP 2009 SUMÁRIO1. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA1.1 MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA1.2 QUESTÃO DE INVESTIUGAÇÃO1.3 OBJETIVOS2. METODOLOGIA DA PESQUISA3. TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EMALGUMAS UNIVERSIDADES4. CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDOPROFESSORES5. DICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO APARTIR DA TEORIA5.1 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE FUNÇÕES5.2 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE LIMITES5.3 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE DERIVADAS5.4 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE INTEGRAIS6. HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL EINTEGRAL6.1 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÕES6.1.1 CONCEITO DE FUNÇÕES NA ANTIGUIDADE6.1.2 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MÉDIA6.1.3 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MODERNA6.2 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE LIMITES6.3 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE DERIVADAS6.4 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE INTEGRAIS7. O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO8. O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DEHOJE8.1 FUNÇÕES(i) DECADA DE 1960.
  • 4(ii) DECADA DE 1970(iii) DECADA DE 1980(iv) DECADA DE 1990(V) DECADA DE 20008.2 CÁLCULO8.2.1 FUNÇÃO(i) DECADA DE 1960.(ii) DECADA DE 1970(iii) DECADA DE 1980(iv) DECADA DE 1990(v) DECADA DE 20008.2.2 LIMITE(i) DECADA DE 1960.(ii) DECADA DE 1970(iii) DECADA DE 1980(iv) DECADA DE 1990(v) DECADA DE 20008.2.3 DERIVADA(i) DECADA DE 1960.(ii) DECADA DE 1970(iii) DECADA DE 1980(iv) DECADA DE 1990(v) DECADA DE 20008.2.4 INTEGRAL(i) DECADA DE 1960.(ii) DECADA DE 1970(iii) DECADA DE 1980(iv) DECADA DE 1990
  • 5(v) DECADA DE 20009. ANÁLISE DE LIVROS USADOS NAS DISCIPLINAS INICIAIS DECÁLCULO9.1 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS(i) T. M. APOSTOL: Calculus – Vol. 1(ii) G. S. S. ÁVILA: CÁLCULO DIFERECIAL E INTEGRAL 1(iii) R. COURANT: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – VOL.1(iv) H. L GUIDORIZZI: UM CURSO DE CÁLCULO – VOL. 1(v) N. PISKUNOV: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - VOL.1(vi) E. W. SWOKOWSKI: CÁLCULO COM GEOMETRIAANALÍTICA - VOL. 110. A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NOS CURSOS DECÁLCULO10.1 Metodologias(i) Seguir os passos da "invenção" do conhecimento.(ii) Principio Genético(iii) Método Experimental(iv) A Perspectiva lógico-histórica no ensino10.2 Livros de Cálculo usando a história11. UMA PROPOSTA METODOLÓGICA NO ENSINO DE CÁLCULO12. DELINEAMENTOS DE UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA ASDISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO COM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA13. CONCLUSÕES14. BIBLIOGRAFIA15. DATA – LOCAL – ASSINATURA
  • 6LISTA DE FIGURASFIGURA 1: MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISAFIGURA 2: ÁREAS SOBREADAS DOS GRÁFICOS.FIGURA 3: REPRESENTAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO.FIGURA 4: REPRESENTAÇÃO DO PRIMEIRO PARADOXO DE ZENÃO.FIGURA 5:REPRESENTAÇÃO DA APROXIMAÇÃO PARA A ÁREA DOCÍRCULO.FIGURA 6: PÁGINA DO LIVRO “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUELJAIRO BEZERRA.FIGURA 7: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA DEAPOSTOL (1967)FIGURA 8: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA DE ÁVILA(2001) LISTA DE GRÁFICOSGRAFICO 1: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL EINTEGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008,POR SEMESTREGRAFICO 2: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE, SEMDESISTENCIAS, DE 2005 A 2008.GRAFICO 3: Taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem desistências, de1999 a 2008.GRAFICO 4: Taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2008.GRÁFICO 5: FUNÇÃO QUE REGE UMA CORDA ELÁSTICA. LISTA DE TABELASTABELA 1: DADOS DA TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIALE INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008.TABELA 2: Dados sobre taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, semdesistências, de 1999 a 2008.TABELA 3: Dados da taxa de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2000.
  • 7TABELA 4: RESUMO DAS PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES PARA FUNÇÕES. RESUMO A motivação inicial para nosso trabalho foi o grande número reprovações nasdisciplinas iniciais de Cálculo na Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), nosúltimos dez anos, bem como a análise de dados de algumas universidades brasileiras,sobre o chamado fracasso do ensino de Cálculo. Também partimos de nossa experiênciaem trabalhar com a temática lógico-histórica, visto que a Iniciação Científica, o que noslevou à questão de investigação, onde perguntamos de forma a perspectiva lógico-histórica poderia se configurar como metodologia de ensino de Cálculo. Dessa forma, adotamos uma pesquisa de cunho histórico-bibliográfica, onde estase faz preferencialmente sobre documentação escrita, o qual segundo FIORENTINI &LORENZATO (2006) a coleta de informações é feita a partir de fichamento das leituras. Já quanto aos instrumentos de coleta de informações, usamos as entrevistas, quepermitem uma obtenção mais direta e imediata dos dados, na qual classificamos porsemi-estruturadas. Nesse sentido, inicialmente, entrevistamos professores que ministram aulas deCálculo. Em seguida, transcrevemos e analisamos tópicos destas entrevistas paralevantamento das dificuldades de aprendizado dos alunos, o qual nos ajudou acompreender as dificuldades de aprendizado. Fizemos um estudo do sobre os conceitos de discreto e contínuo no Cálculo, noqual foi abordado o desenvolvimento da Matemática Discreta e da MatemáticaContínua, desde os gregos com a Escola Platônica, passando pela visão discreta deLeibniz e a visão contínua de Newton, até chegarmos à análise não-standard. A história e o desenvolvimento dos conceitos do Cálculo Diferencial e Integralvêm em seguida, de forma a compreendermos os nexos conceituais do Cálculo,historicamente construídos. Ao compreendermos estes nexos, buscamos os currículos e livros didáticos paraanalisarmos como foi estruturado o ensino do Cálculo nas escolas de nível médio, desdea década de sessenta, até os dias atuais, enfatizando como era feito o ensino de taldisciplina e sua mudança com o surgimento do Movimento da Matemática Moderna.Assim, nos fundamentamos para discutir a importância da História da Matemática nos
  • 8cursos de Cálculo e buscamos analisar algumas sugestões metodológicas que têm comofoco, História do Cálculo. Por fim, indicamos os delineamentos, de uma possível proposta metodológicapara o ensino do Cálculo, o qual segue a delimitação de uma proposta de ensino, da qualconcluímos que pelas nossas pesquisas, concordamos que uma boa alternativa é oestudo da disciplina via história da matemática, assentada em problemas de cunhohistórico, com uma visão que priorize o desenvolvimento e a evolução dos conteúdos,em vez do enfoque metodológico tradicional.
  • 9 1. INTRODUÇÃO E JUSTIFICATIVA Ao elaborar este projeto, levamos em consideração a nossa experiência emtrabalhar com a temática lógico-histórica, visto que a Iniciação Científica foi feita sobesta ótica, enfatizando o ensino de seqüências e progressões no Ensino Médio. Outro ponto considerado importante para a elaboração desse projeto foi o grandenúmero reprovações nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral que observamosna UFSCar (Universidade Federal de São Carlos), no período compreendido entre 1999e 2008, semestralmente, cujos dados seguem logo abaixo, no capítulo 3. Conforme observa BROLEZZI (2008), no caso particular do Cálculo, que éconsiderada porta de entrada para a Matemática superior, há quase uma unanimidadeentre os professores que se interessam por problemas do ensino superior em entenderque seria preciso seguir mais a ordem histórica da construção do Cálculo, que é inversada ordem geralmente adotada nos livros, ou seja, de acordo com REZENDE (2003),possibilitar que o Cálculo exerça no ensino básico de Matemática o mesmo papelepistemológico que ele realizou no processo de construção do conhecimentomatemático no âmbito científico. Dessa forma, propomos estudar uma Metodologia que se fundamenta na Históriada Matemática para o ensino das disciplinas de Cálculo, onde é proposto que o alunoparticipe do processo de pensar sobre os conceitos matemáticos. De acordo com estudos realizados anteriormente, durante no nosso projetoIniciação Científica, vimos que a análise sobre o uso da História da Matemática,pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o ponto de vista do educador matemático.Tal análise, decorrente do processo de investigação, deve enfatizar a reconstituição, nãoapenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos,psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula. Sendo assim, oeducador matemático, ao fazer a análise sobre o papel da História da Matemática noensino, tem condições de verificar onde e como esses resultados foram produzidos,contribuindo para a explicitação das relações que a Matemática consegue estabelecercom a realidade. Assim, há de se considerar ainda, outros aspectos que também deveriam servisados pela História da Matemática, quando esta é pedagogicamente orientada, tais
  • 10 como, as várias dificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgem durante o processo. Então, o distanciamento propiciado pela História é, assim, imprescindível para se obter uma visão de conjunto do edifício matemático que se almeja construir no ensino elementar (BROLEZZI, 1991). Portanto, estamos propondo uma Metodologia que leve o aluno a participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social, relacionados ao surgimento do Cálculo. A este processo, estamos denominando de perspectiva lógico-histórica, o qual é estudado principalmente pelos seguintes autores: SOUSA, M. C., LANNER DE MOURA, A. R. e MOISÉS, R. P. Passemos agora aos objetivos de cada capitulo do corpo do trabalho, antes de seguirmos ao mapa conceitual das principais idéias da pesquisa.• TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM ALGUMAS UNIVERSIDADES: O objetivo deste capítulo é mostrar as taxas de reprovações de algumas universidades brasileiras, inclusive a UFSCar.• CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO PROFESSORES: O objetivo deste capítulo é fazer com que através de entrevistas a professores possamos observar algumas concepções de ensino-aprendizagem destes, bem como algumas concepções sobre como corrigir o grande número de reprovações, conforme mostrado no capitulo anterior. • DICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO A PARTIR DA TEORIA: O objetivo deste capítulo é analisar conceitos de Cálculo à luz da literatura especializada, bem como retomando sugestões de professores entrevistados sobre tais dificuldades. • O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO: O objetivo deste capitulo é mostrar o problema do discreto e do continuo no desenvolvimento do Cálculo.
  • 11• HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: O objetivo deste capitulo é trazer um pouco de como se desenvolveram os conceitos de Cálculo, como funções, limites, derivadas e integrais. • O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DE HOJE: O objetivo deste capitulo é mostrar como o Cálculo foi inserido no ensino médio, a partir do currículo e de livros didáticos, desde a década de 60 até os dias de hoje. 1.1 MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA FIGURA 1: MAPA CONCEITUAL DAS PRINCIPAIS IDÉIAS DA PESQUISA Taxas de reprovações Introd. e Metodologia em Cálculo Justificativa Entrevista com Análise: dificuldades Historia e professores no aprendizado de Desenv. cálculo do Cálculo A Importância da Cálculo no Discreto e História da Ensino Médio: Continuo do Matemática no de 1960 à Cálculo Cálculo 2000 Análise: Livros Proposta Usando em Metod. Delimitação Cálculo No Ensino de Propostas de Cálculo de Ensino
  • 121.2 QUESTÃO DE INVESTIGAÇÃO “De que forma a perspectiva lógico-histórica pode se configurar como metodologiade ensino de Cálculo?”1.3 OBJETIVOS Estudar a história da matemática enquanto metodologia de ensino na disciplinade Cálculo. Pesquisar atividades de ensino de Cálculo na perspectiva lógico-histórica.2. METODOLOGIA DA PESQUISA A pesquisa é teórica ou de cunho histórico-bibliográfica, onde, se fazpreferencialmente sobre documentação escrita, ou seja, segundo FIORENTINI &LORENZATO (2006), neste tipo de pesquisa a coleta de informações é feita a partir defichamento das leituras. Outra característica desse tipo de pesquisa, para o mesmo autoré que os documentos para estudo se apresentam de forma estáveis no tempo e ricoscomo fonte de informação, pois como no nosso caso, incluem livros, propostascurriculares, dissertações ou teses acadêmicas e artigos de revistas científicas. Aqui, entre as descrições de FIORENTINI & LORENZATO (2006) sobre osvários tipos de estudos bibliográficos desçamos a que mais se encaixa nos nossosestudos, que é a metanálise, que é uma revisão sistemática de outras pesquisas, visandorealizar uma avaliação crítica das mesmas e/ou produzirem novos resultados ou síntesesa partir do confronto desses estudos, transcedendo aqueles anteriormente obtidos. Já quanto aos instrumentos de coleta de informações, usamos as entrevistas, quede acordo com FIORENTINI & LORENZATO (2006) permite uma obtenção maisdireta e imediata dos dados, servindo para aprofundar o estudo. Já quanto áclassificação, nossas entrevistas são semi-estruturadas, pois aqui, quando o pesquisadorpretendendo aprofundar-se sobre um fenômeno ou questão específica, organiza umroteiro de pontos a serem contemplados durante a entrevista, podendo, de acordo com odesenvolvimento da entrevista, alterar a ordem dos mesmos e, inclusive formularquestões não previstas inicialmente. Ainda quanto às entrevistas, FIORENTINI & LORENZATO (2006, p. 122)destacam uma série de recomendações aos entrevistadores, às quais pretendemos seguir:
  • 13 • Antes de iniciar o processo de entrevista, o entrevistador deve explicar o objetivo e a natureza do trabalho, esclarecendo porque ele foi escolhido para entrevista. • Assegurar o anonimato do entrevistado e o sigilo do depoimento, garantindo que os mesmos serão utilizados somente para a finalidade de investigação. • O entrevistador deve solicitar a autorização para gravar a entrevista, assegurando, depois, que a transcrição será lida, revisada e autorizada pelo entrevistado. • Escolher, para entrevista, um lugar apropriado e tranqüilo que favoreça um diálogo profundo, esclarecendo que o entrevistado tem o direito de não responder a todas as perguntas, podendo, inclusive, interromper a entrevista. • O entrevistado não deve discutir sua opinião ou seus pontos de vista, nem mostrar surpresa ou desaprovação e, mesmo ainda, avaliar negativamente. • Recomenda-se que o entrevistador não interrompa o curso do pensamento do entrevistado.Assim, entrevistamos quatro professores, através de um questionário semi-estruturado,os quais tinham as seguintes questões, em forma de roteiro:1. OS ALUNOS APRESENTAM DEFICIENCIAS EM RELAÇÃO AO ENSINOMÉDIO? QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS?• Objetivo: Investigar as principais deficiências dos alunos do ensino médio aocomeçar o curso de Cálculo.
  • 142. OS ALUNOS SÃO QUESTIONADORES OU PASSIVOS? INFLUENCIA NAAULA TAIS ATITUDES?• Objetivo: Investigar a postura dos alunos durante as aulas.3. OS ALUNOS TÊM DIFICULDADES NA INTERPRETAÇÃO DOSENUNCIADOS DOS EXERCICIOS OU PROBLEMAS?• Objetivo: Investigar deficiências de interpretação de textos durante as aulas deCálculo, em especial na resolução de exercícios ou problemas.4. QUAIS AS PRINCIPAIS DIFICULDADES DELES NO ESTUDO DELIMITES? TEM DIFICULDADES COM O CONCEITO DE INFINITO?• Objetivo: Investigar as principais dificuldades na aprendizagem de limites.5. EXISTEM DIFICULDADES NAS DEMONSTRAÇÕES POR PARTE DOSALUNOS? POR QUÊ?• Objetivo: Investigar dificuldades nas demonstrações de Cálculo.6. OS ALUNOS ESTUDAM O CONTEÚDO EM CASA, DE FORMACONTINUA OU SÓ NA VESPERA DA PROVA?• Objetivo: Investigar o comportamento dos alunos em relação aos estudoscontínuos do conteúdo.7. QUAIS AS DIFICULDADES QUE ELES APRESENTAM NOAPRENDIZADO DE DERIVADAS? E EM RELAÇÃO ÀS INTEGRAIS?• Objetivo: Investigar as principais dificuldades na aprendizagem de derivadas.8. QUE METODOLOGIA VOCE SEGUE COMO UM TODO NO ENSINO DECÁLCULO? COMO É A SUA PREPARAÇÃO PARA DA AULA?• Objetivo: Investigar o tipo de metodologia utilizada pelo docente.
  • 159. VOCE ACREDITA QUE A MUDANÇA DE METODOLOGIAINFLUENCIARIA O APRENDIZADO DOS ALUNOS?• Objetivo: Investigar concepções do docente em relação à mudançasmetodológicas.10. QUAL O PAPEL DA HISTÓRIA E DO DESENVOLVIMENTO DOCALCULO NAS SUAS AULAS?• Objetivo: Investigar a concepção do docente em relação ao papel da história damatemática como metodologia nas aulas de Cálculo.11. O QUE VOCE MUDARIA NA DISCIPLINA DE CALCULO 1?• Objetivo: Investigar se o docente está satisfeito com o modelo de ensino deCálculo, bem que prováveis mudanças na disciplina poderiam ser feitas. Dessa forma, pretendemos estudar os conceitos de Cálculo a partir daperspectiva lógico-histórica, onde podemos caracterizar a pesquisa por investigaçãohistórica, como procedimento de ensino, na qual deva ser orientada ou regida pela idéiade que o conhecimento da evolução de um conceito matemático possibilita ao alunoa sua compreensão. De acordo com estudos realizados anteriormente, durante no nosso projetoIniciação Científica, podemos dizer que ao pesquisador oportuniza a formação de umavisão dinâmica e processual da Matemática e estabelecer uma identidade entreprocessos de produção e aprendizagem de seus conhecimentos, deixando dereduzir as questões metodológicas do ensino a uma simples reprodução mecânica. Aqui também podemos trazer os principais instrumentos de nossa pesquisa, quesão: - Livros didáticos; - Propostas curriculares; - Entrevistas; - Artigos; - Dissertações; - Teses.
  • 16 - Banco de Dados SCIELO. - Páginas de busca na internet. - Página do DM – UFSCar na internet. 3. TAXAS DE REPROVAÇÕES NAS DISCIPLINAS DE CÁLCULO EM ALGUMAS UNIVERSIDADES O objetivo deste capítulo é mostrar as taxas de reprovações de algumasuniversidades brasileiras, inclusive a UFSCar. Tal capítulo também tem a finalidade de desmistificar a concepção de queapenas na UFSCar existem altos índices de reprovações, pois de acordo com RESENDE(2003), tal problema do fracasso em Cálculo é não cultural, e que não se justifica pelacondição sócio-econômica da sociedade brasileira, pois sabemos que a situação doensino de Cálculo nos países “desenvolvidos” não é muito diferente, visto que trabalhossobre esse tema têm sido publicados e recebidos merecido destaque por parte daliteratura especializada internacional. Dessa forma, levantamos alguns dados sobre reprovações das disciplinas iniciaisde Cálculo, em algumas universidades brasileiras, como segue: UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE (UFF); UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ (UFC); UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP); UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS (UFSCar); Então, tomando DA SILVA & BORGES NETO (s/d, p 2), temos que em 1990,o Sistema Nacional de Avaliação do Ensino - SAEB/ INEP – MEC, realizou umapesquisa em 4.790 escolas públicas de vinte e cinco Unidades da Federação, envolvendo108.982 alunos de 1ª, 3ª, 5ª e 7ª séries, através de testes semi-objetivos e objetivos,através da qual se constatou que o desempenho qualitativo dos alunos em matemática éextremamente baixo. Dessa forma, de acordo com DA SILVA & BORGES NETO (s/d, p 2), temos: Estes dados revelados pelo SAEB vêm confirmar a triste realidade por que passa o ensino de matemática e que nas últimas décadas tem
  • 17 afetado, sobremaneira, o desempenho dos alunos que ingressam na universidade, principalmente aqueles que são dirigidos a cursar a disciplina Cálculo Diferencial e Integral I. Os efeitos dessas deficiências podem ser observados na própria estatística de aprovação nessa disciplina, na Universidade Federal do Ceará, que não chega a ultrapassar 33% dos alunos matriculados em cada semestre.Em RESENDE (2003, p. 1) temos os seguintes dados: BARUFI (1999), em sua tese de doutorado, nos revela alguns dados alarmantes dessa crise: o índice de não-aprovação em cursos de Cálculo Diferencial e Integral oferecidos, por exemplo, aos alunos da Escola Politécnica da USP, no período de 1990 a 1995, varia de 20% a 75%, enquanto que no universo dos alunos do Instituto de Matemática e Estatística o menor índice não é inferior a 45% - isto é, não se aprova mais do que 55% em uma turma de Cálculo. No que diz respeito à UFF, instituição onde leciono, os índices de não-aprovação são bem mais catastróficos do que os levantados por Barufi, na USP. Assim, de acordo com REESENDE (2003, p. 2), temos: Na UFF, a variação do índice de não-aprovação se encontra na faixa de 45% a 95%, sendo que, para o Curso de Matemática, este não é inferior a 65%.
  • 18 Agora, tomando a UFSCar, de acordo a página do Departamento de Matemáticada mesma, podemos mostrar dados sobre reprovações nas seguintes disciplinas: Cálculo 1; Cálculo Diferencial e integral 1 Cálculo A; Cálculo B; TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL EINTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E2008, POR SEMESTRE:TABELA 1: DADOS DA TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULODIFERENCIAL E INTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS,ENTRE 1999 E 2008.
  • 19ANO REPROV. (%)1999/1 27,01999/2 28,02000/1 31,02000/2 34,02001/1 23,02001/2 35,02002/1 25,02002/2 43,02003/1 20,02003/2 19,02004/1 29,02004/2 46,02005/1 36,02005/2 23,02006/1 59,02006/2 27,02007/1 60,02007/2 57,02008/1 59,02008/2 34,0
  • 20 Coluna C REPROV. CDI 170.060.050.040.030.020.010.0 0.0 1999/2 2000/1 2001/1 2001/2 2002/2 2003/1 2004/1 2004/2 2005/2 2007/1 2008/2 1999/1 2000/2 2002/1 2003/2 2005/1 2006/1 2006/2 2007/2 2008/1GRAFICO 1: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO DIFERENCIAL EINTERGRAL 1 - POR SEMESTRE – SEM DESISTENCIAS, ENTRE 1999 E 2008,POR SEMESTRE Dessa forma, vemos que a taxa de reprovação dessa disciplina varia entre 27% e 60%, com uma taxa semestral média de 35,75%. TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE, SEM DESISTENCIAS, DE 2005 A 2008.
  • 21 ANO REPROV. (%) REPROV. CALCULO 1 2005/1 29,0 Coluna C60.0 2005/2 28,0 2006/1 46,050.0 2006/2 25,0 2007/1 27,040.0 2007/2 43,0 2008/1 31,030.0 2008/2 48,020.010.0 0.0 2005/1 2005/2 2006/1 2006/2 2007/1 2007/2 2008/1 2008/2 GRAFICO 2: TAXA DE REPROVAÇÃO DE CALCULO 1 - POR SEMESTRE, SEM DESISTENCIAS, DE 2005 A 2008. Aqui vemos que a taxa de reprovação varia entre 29% e 48%, com taxa média semestral de 34,6%. Agora, vamos tomar a taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem desistências, de 1999 a 2008.
  • 22 TABELA 2: Dados sobre taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem desistências, de 1999 a 2008. REPROV. CALC. A70.0 Coluna C60.050.040.030.020.010.0 0.0 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 GRAFICO 3: Taxa de reprovação da disciplina CALCULO A, sem desistências, de 1999 a 2008. Aqui vemos a taxa de reprovação variar entre 15% e 63%, com taxa média anual de 38,3%. Agora, finalmente, vamos tomar as taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2008: TABELA 3: Dados da taxa de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2000.
  • 23 ANO REPROV. (%) 1999 28,0 2000 37,0 2001 20,0 2002 43,0 2003 44,0 2004 38,0 2005 22,0 2006 43,0 2007 25,0 2008 38,0 REPROV. CALC. B 50.0 Coluna C 45.0 40.0 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 GRAFICO 4: Taxas de reprovação de Calculo B, de 1999 a 2008 Aqui vemos que a taxa de reprovação varia entre 20% e 44%, com uma taxaanual média de 33,8%. Então, agora podemos fazer uma análise das taxas sobre as taxas de reprovaçõesnas disciplinas iniciais de Cálculo na UFSCar. Então, revisando, se tomarmos a UFSCar, podemos mostrar dados sobrereprovações nas seguintes disciplinas inicias de Cálculo:
  • 24 Cálculo 1: A taxa de reprovação varia entre 27% e 60%, com taxa média de35,75%. Cálculo Diferencial e integral 1: A taxa de reprovação varia entre 29% e 48%,com taxa média de 34,6%. Cálculo A: A taxa de reprovação variar entre 15% e 63%, com taxa de 38,3%. Cálculo B: A taxa de reprovação varia entre 20% e 44%, com taxa média de33,8%. Antes de entramos nas taxas reprovações, vamos ver algumas observações sobreo caráter de cada disciplina, observando o objetivo geral de cada uma delas:CALCULO 1 (4 CRÉDITOS TEÓRICOS): Propiciar o aprendizado dos conceitos de limite, derivada e integral de funçõesreais de uma variável real. Propiciar a compreensão e o domínio dos conceitos e das técnicas de cálculodiferencial e integral dessas funções. Desenvolver a habilidade de implementação desses conceitos e técnicas emproblemas nos quais eles se constituem os modelos mais adequados. Desenvolver a linguagem matemática como forma universal de expressão daciência.CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 (5 CRÉDITOS TEÓRICOS + 1PRÁTICO): Propiciar o aprendizado dos conceitos de limite, derivada e integral de funções deuma variável real. Propiciar a compreensão e o domínio dos conceitos e das técnicas de cálculodiferencial e integral 1. Desenvolver a habilidade de implementação desses conceitos e técnicas emproblemas nos quais eles se constituem os modelos mais adequados. Desenvolver a linguagem matemática como forma universal de expressão daciência. Desenvolver a habilidade computacional colocando o aluno em contato com oslaboratórios computacionais reenge/ligs desde o seu ingresso na ufscar.
  • 25 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A (4 CRÉTIDOS TEÓRICOS): Familiarizar o aluno com a linguagem matemática básica dos problemas de continuidade, diferenciação e integração, que são conceitos imprescindíveis no estudo da física moderna e das ciências em geral. Apresentar ao aluno as primeiras aplicações do cálculo diferencial e integral nas ciências físicas e aplicadas. Utilizar programas computacionais para cálculos algébricos e aproximados, visualizações gráficas e experimentos computacionais, ligados à teoria do cálculo diferencial de funções reais de uma variável. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL B (4 CRÉDITOS TEÓRICOS): Desenvolver os conceitos e técnicas ligadas ao cálculo integral. Introduzir o aluno no universo das equações diferenciais ordinárias. Fornecer ao estudante técnicas para a resolução de equações diferenciaisordinárias de 1ª e 2ª ordens. Utilizar programas computacionais para o cálculo algébrico e aproximado, visualizações gráficas e experimentos computacionais, ligados à teoria da integração e às equações diferenciais ordinárias. Dessa forma, a média de reprovações nas quatro disciplinas iniciais de Cálculo oferecidas pela UFSCar, está entre 33,3% e 38,3%, o que é inferior às taxas aqui citadas da UFC, UFF e USP, mas ainda são consideradas altas. Dessa forma, podemos tirar a conclusão de que as taxas de reprovações nas disciplinas iniciais de Cálculo na UFSCar são inferiores às taxas das respectivas universidades citadas acima, que é o oposto da nossa concepção antes do trabalho, e também bem como do que é propalado entre os estudantes de nossa universidade. Assim, observando os objetivos gerais de Calculo 1 e de Cálculo Diferencial e Integral 1, vemos os objetivos são os mesmos, a menos de no segundo existir um crédito para aplicações computacionais. Também observamos que o segundo tem um crédito teórico a mais que o primeiro. Já Calculo A e B, existem mais conceitos teóricos, e menos aplicados que as outras disciplinas iniciais de Calculo, além de Cálculo A ser oferecido no segundo período, após o oferecimento da disciplina de Fundamentos 1, de nível mais elementar.
  • 26 Dessa forma, o grande numero de reprovações em Calculo A pode acontecerdevido à dificuldade em linguagem matemática básica de funções, o que incluem-sedemonstrações, uma deficiência tida como fundamental dos alunos que chegam àuniversidade, já que tal estudo raramente é feito no ensino médio, segundo ÁVILA(1991). Agora, segue abaixo entrevistas com professores, de onde podemos observaralgumas concepções destes sobre ensino-aprendizagem de Cálculo.4. CONCEPÇÕES SOBRE DEFICIENCIAS EM CÁLCULO SEGUNDO PROFESSORES O objetivo deste capítulo é fazer com que através de entrevistas a professorespossamos observar algumas concepções de ensino-aprendizagem destes, bem comoalgumas concepções sobre como corrigir o grande número de reprovações, conformemostrado no capitulo anterior. Dessa forma, pretendemos tirar a partir das concepções sobre ensino-aprendizagem algumas dificuldades dos alunos e possíveis soluções apontadas por essesprofessores, para que no próximo capitulo possamos fazer uma análise detalhada de taisdificuldades, mediante a literatura disponível. Assim, passamos às transcrições dos principais episódios de tais entrevistas. (i) PRINCIPAIS DEFICIÊNCIAS DE ENSINO MÉDIO DOS ALUNOS DE CÁLCULO: PROFESSOR 1: Não aponta. PROFESSOR 2: Deficiências: conceitual e de conteúdo, tanto algébrica quanto geométrica. PROFESSOR 3: Varia de curso para curso, pois cursos mais concorridos têm poucas deficiências, enquanto os menos concorridos, muitas deficiências. PROFESSOR 4: A primeira dificuldade está em álgebra. ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui podemos notar que três professores apontam que os alunos têm deficiências, mas somente dois as enumera, onde são descritos
  • 27 por dois como de ordem algébrica e por por um deles de ordem geométrica, o que podemos dizer há um problema na estruturação do pensamento algébrico por parte desses alunos.(ii) LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS: PROFESSOR 1: Dificuldade em ler o livro, em interpretação PROFESSOR 2: Tem dificuldade de interpretação e de expressão. PROFESSOR 3: Poucas dificuldades, e não atrapalha. PROFESSOR 4: Acredito que exista uma componente cultural, pois não sabem se expressar, e nem conseguir interpretar os textos, pois lêem pouco.ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui há um consenso sobre dificuldades deinterpretação de texto, onde um professor chega a citar como uma dificuldade deorigem cultural, devido à pouca leitura que os alunos fazem fora das obrigatóriaspara a faculdade. Tal dificuldade de interpretação também é citada por BARUFI(1999), cita (Machado, 1990, p. 10), onde retiramos o seguinte comentário a respeitoda colaboração entre a Matemática e a Língua Materna: Entre a Matemática e a Língua Materna existe uma relação de impregnação mútua. Ao considerarem-se estes dois temas enquanto componentes curriculares, tal impregnação se revela através de um paralelismo nas funções que desempenham, uma complementaridade nas metas que perseguem, uma imbricação nas questões básicas relativas ao ensino de ambas. É necessário reconhecer a essencialidade dessa impregnação e tê-la como fundamento para a proposição de ações que visem à superação das dificuldades com o ensino da Matemática. Dessa forma, vemos que os alunos, segundo os professores entrevistados,não percebem a importância e nem a relação entre Língua Materna e Matemática, o
  • 28que está explicito na falta de leitura extracurricular. Assim, alunos chegam no cursosuperior com dificuldades de interpretação de texto, o que se reflete, por exemplo,no não entendimento de enunciados de exercícios e problemas.(iii) QUANTO AOS ALUNOS FAZEREM PERGUNTAS EM SALA DE AULA: PROFESSOR 1: Não perguntam. PROFESSOR 2: Menos de 20%. PROFESSOR 3: Menos de 10%. PROFESSOR 4: Não perguntam.ANÁLISE DO TÓPICO: Neste tópico enfatizamos a passividade, ou de outraforma, se os alunos perguntam em sala de aula. As respostas são estarrecedoras, já ataxa de alunos que participam ativamente da aula é de uma taxa muito baixa. Aqui,surgiu outro fato, sobre a causa dessa passividade, o que não sabem identificar deuma forma geral, mas tal fato por ter origem no ensino médio, e na forma que taisalunos sempre se comportam em sala de aula.(iv) A PASSIVIDADE DOS ALUNOS INFLUENCIA OU NÃO O APRENDIZADO: PROFESSOR 1: Influencia. PROFESSOR 2: Influencia. PROFESSOR 3: Influencia. PROFESSOR 4: Influencia.ANÁLISE DO TÓPICO: Aqui surge outra unanimidade, onde os professoresdeclaram que a passividade dos alunos influencia o aprendizado, ao não expressaraos professores onde pode estar o problema da aula, das dificuldades sentidas ou daprópria metodologia do professor.(v) QUANTO À PERCEPÇÃO QUE O ALUNO ESTUDA CONTINUAMENTE OU NÃO:
  • 29 PROFESSOR 1: Os alunos não estudam continuamente. PROFESSOR 2: Os alunos não estudam continuamente. PROFESSOR 3: Os alunos não estudam continuamente. PROFESSOR 4: Os alunos não estudam continuamente. (vi) QUANTO À PROCURA NO ATENDIMENTO: PROFESSOR 1: Só aparece na véspera da prova, poucos procuram sempre. PROFESSOR 2: Só aparece na véspera da prova, poucos procuram sempre. PROFESSOR 3: Só aparece na véspera da prova, poucos procuram sempre. PROFESSOR 4: Só aparece na véspera da prova, poucos procuram sempre. (vii) ANÁLISE DO TÓPICO: Neste tópico há unanimidade novamente, quando os professores identificam que os alunos não estudam continuamente, de uma forma geral, pois tanto nas monitorias quanto nos atendimentos, há pouca procura durante todo o período, e se concentrando na véspera da prova tal procura por tirar as dúvidas na disciplina. Entre os professores há um consenso que se alunos estivessem estudando continuamente, haveria mais procura dos alunos nos atendimentos, e uma possível identificação mais fácil por parte dos professores dos pontos de mais dificuldades por parte dos alunos. (viii) QUANTO À DIFICULDADE EM LIMITES: PROFESSOR 1: A dificuldade é no conceito em si, na abstração. PROFESSOR 2: É um conceito complicado, de depende muito do professor. PROFESSOR 3: Limites têm dificuldades na definição, e na idéia geométrica. PROFESSOR 4: Usa o mínimo de linguagem matemática avançada, eminimiza as dificuldades usando a idéia geométrica. (ix) QUANTO AO CONCEITO CHAVE EM CÁLCULO: PROFESSOR 1: Limites. PROFESSOR 2: Limites. PROFESSOR 3: Limites. PROFESSOR 4: Limites.
  • 30 ANÁLISE DO TÓPICO: Uma unanimidade que surge aqui é a citação do conceito de limite como chave nos cursos de Cálculo, ou seja, RESENDE (2003, p. 9), nos traz seguinte, fazendo a mesma referência: (…) O conceito de função, introduzido no núcleo semântico do Cálculo por Euler e Lagrange, vai constituir, junto com a noção de limite, a urdidura da nova estrutura do Cálculo. Dessa forma, podemos dizer que podemos definir derivadas como um limite, e da mesma uma integral, como o limite das somas de Riemann, ou seja, colocando limite como um conceito de fato fundamental nos cursos iniciais de Cálculo. (x) QUANTO ÀS DIFICULDADES EM DERIVADAS: PROFESSOR 1: Dificuldade em limites. PROFESSOR 2: Dificuldade em limites. PROFESSOR 3: Dificuldade em limites. PROFESSOR 4: Dificuldade em limites. ANÁLISE DO TÓPICO: Podemos que derivada é definida como um limite, ou seja, se aluno teve dificuldades em limites, e não tem esse conceito bem assentado, vai ter dificuldades em derivadas.(xi) QUANTO ÀS DIFICULDADES EM INTEGRAIS: PROFESSOR 1: Dificuldade em limites. PROFESSOR 2: Dificuldade em limites. PROFESSOR 3: Dificuldade nas técnicas, como de substituição trigonométrica. PROFESSOR 4: Dificuldades e continuidade e em aplicações. ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui dois professores relatam que os alunos tem dificuldades em limites, pois de fato, podemos tomar a integral como o limite das
  • 31somas de Riemann. Outras dificuldades relatadas são nas técnicas de integração, naparte algébrica em si.(xii) QUANTO À METODOLOGIA USADA NA SALA DE AULA: PROFESSOR 1: Não sabe o que é metodologia. PROFESSOR 2: Tradicional. PROFESSOR 3: Tradicional. PROFESSOR 4: Tradicional.ANÁLISE DO EPISÓDIO: Quando perguntado sobre que tipo de metodologia oprofessor usava em sala de aula, encontramos que três deles só usavam a tradicional,enquanto outro não sabia o que era metodologia.(xiii) QUANTO AO USO DE METODOLOGIA DE HISTORIA DA MATEMÁTICA OU MUDUNDAÇA NA METODOLOGIA: PROFESSOR 1: Não sabe. PROFESSOR 2: Não perguntado. PROFESSOR 3: Não resolve. PROFESSOR 4: Não resolve. Historia da Matemática só serve para motivação.ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui tratamos de indagar se o uso de história damatemática enquanto metodologia ajudaria alguma coisa no aprendizado dos alunos.O resultado é que um deles não sabe se ajuda ou não, enquanto outros dois afirmamque não resolvem, pois na visão deles, a história só serviria como motivação aosalunos. Aqui destacamos que estes professores têm uma formação técnica emmatemática pura, e na sua maneira de ver o ensino, apenas reproduziriam o que teriavisto em suas vidas acadêmicas.(xiv) O QUE FAZER PARA DIMINUIR AS REPROVAÇÕES: PROFESSOR 1:O que diminuiria o numero de reprovações, é se talvez você desse mais tempo. Apergunta é para que você quer isso? Aprendizado? Ótimo, não deu nesse semestre,tente de novo. A comparação que eu faço é que se a gente pedisse para a mesmo
  • 32 numero de alunos que faz calculo fosse aprender musica, talvez você teria índices de reprovações mais altos. PROFESSOR 2: O aluno tem que ter consciência do que ele ta fazendo aqui. Depois, a herança cultural que trouxe. Tem que ter boa vontade, motivação, de natureza interna. De 40 a 45 anos de magistério, vejo que o aluno tem que ter disposição em aprender. PROFESSOR 3: Precisa conscientizar os alunos a estudar e de maneira certa. Estuda errado. PROFESSOR 4: Qual o índice de reprovações no ITA? Não sei, mas deve ser baixo. Acredito que lá devo ser próximo de zero. Eles tem vestibular forte, e entra quem tem capacidade e competência. Aqui talvez não fazemos isso, os alunos não têm base, o vestibular é fraco. ANÁLISE DO EPISÓDIO: Aqui foi abordado o tema reprovações, o que poderia ser feito para diminuí-las. O professor 1 diz que poderia dar mais tempo para o aluno fazer cálculo, e de certa forma, reprovações aqui não inevitáveis. O professor 2 vem dizer que o problema está no aluno, na falta de motivação e de consciência do que ele está fazendo na universidade, e que tem haver muito com a herança cultural de cada aluno. Já o professor 3 vem dizer que o problema está no aluno, e ele não sabe estudar. Finalmente o professor diz que o problema está na base do aluno, e que o vestibular é fraco e que não os seleciona direito.5. DIFICULDADES NO APRENDIZADO DOS CONCEITOS DE CÁLCULO APARTIR DA TEORIA O objetivo deste capítulo é analisar conceitos de Cálculo à luz da literaturaespecializada, bem como retomando sugestões de professores entrevistados sobre taisdificuldades.
  • 33 Retomando o capitulo anterior, onde dissemos que, de acordo com RESENDE(2003), um dos grandes desafios no ensino superior de matemática ainda é, sem dúvida,o tão propalado “fracasso no ensino de Cálculo”. Dessa forma, continua a nos falar RESENDE (2003), que tal problema dofracasso em Cálculo é não cultural, e que não se justifica pela condição sócio-econômica da sociedade brasileira, pois sabemos que a situação do ensino de Cálculonos países “desenvolvidos” não é muito diferente, visto que trabalhos sobre esse tematêm sido publicados e recebidos merecido destaque por parte da literatura especializadainternacional. DAVID TALL (1976), por exemplo, continua RESENDE (2003), temsido um dos principais articuladores da área de pesquisa “pensamento matemáticoavançado”, cujas questões giram em torno das dificuldades encontradas nasaprendizagens dos conceitos básicos do Cálculo, tendo a psicologia cognitiva comopano de fundo para as suas análises epistemológicas. Dessa forma, podemos apresentar algumas questões, levantadas por RESENDE(2003, p. 4), tais como:a) Qual é a razão de tantas reprovações?b) Onde reside a dificuldade?c) No processo de aprendizagem?d) No aluno, isto é, na “falta de base” do aluno?e) Ou estaria esta dificuldade no próprio professor, ou na metodologia de ensino,ou ainda, na estrutura curricular do ensino de matemática que não dá o suporte queesta disciplina mereceria? São muitas as respostas e encaminhamentos por pesquisadores da área, ou seja,de acordo com RESENDE (2003), uns preferem justificar o problema no âmbito dapsicologia cognitiva, pois acreditam que o problema é de natureza psicológica, isto é,os alunos não aprendem por que não possuem estruturas cognitivas apropriadas quepermitam assimilar a complexidade dos conceitos do Cálculo; já para outros o problemaé de natureza mais simples, ou seja, as dificuldades de aprendizagem são decorrentes doprocesso didático, isto é, a solução reside em se encontrar uma forma apropriada para seensinar a disciplina de Cálculo.
  • 34 Dessa forma, tentaremos resumir as algumas dificuldades no aprendizado dostópicos apresentados nas disciplinas iniciais de Cálculo.5.2 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE FUNÇÕES De acordo com OLIMPIO JUNIOR (2006), entre os conceitos matemáticosreferidos às funções é, seguramente, o único apresentado e discutido na maioria absolutados cenários de Ensino Médio brasileiro. Dessa forma, ao longo do desenvolvimento histórico do conceito de função,foram surgindo algumas dificuldades, e sendo superadas, na medida do possível. Então, podemos começar pelo conceito de variável independente, que segundoCOTRET (1986/7), citado em OLIVEIRA (1997), é importante saber que tal noçãoaparece no conceito de função a partir do conjunto de estudos qualitativos equantitativos do movimento, e isto, por intermédio das representações gráficas, pois atéfim da idade média, não se considerava que certos valores se integravam dentro doconceito de grandeza variável. Tal separação era devida aos obstáculos das proporções,da homogeneidade e da incomensurabilidade. Vejamos então estes obstáculosepistemológicos:• Proporção OLIVEIRA (1997) vem nos dizer que entre os gregos, e até a Idade Média, asrelações entre grandezas ou entre quantidades eram expressas por meio de proporções,pois deste fato devem-se sempre considerar 4 elementos aleatórios. ContinuaOLIVEIRA (1997), que esta forma de proceder dissimulava a relação de funcionalidadeque podia existir entre as 2 variáveis em jogo, ou seja, por exemplo, para exprimir arelação que existe entre a área e o diâmetro de um círculo, procedia-se assim: A1/ A2 =(d1)2 / (d2)2. Dessa forma, este elemento de funcionalidade não podia ser expressopela proporção.• Homogeneidade Segundo OLIVEIRA (1997), o princípio de homogeneidade estipulava que só sepoderia comparar elementos da mesma natureza, as áreas ou os segmentos ou ainda osvolumes.
  • 35 Pode-se dizer, segundo OLIVEIRA (1997), que a homogeneidade reforçou autilização das proporções, isto é, por exemplo do obstáculo da homogeneidade, pode-sesublinhar o fato que antes da extinção deste obstáculo, era impossível dar-se umadefinição métrica da velocidade, quer dizer, não se podia definir a velocidade como umafunção da distância e do tempo, isto é, v = d/t, pois estes elementos são de naturezasdiferentes, ou seja, utilizava-se então sempre as proporções, por exemplo: v1 / v2 = t1 /t2. Assim, concluindo, OLIVEIRA (1997) nos diz que na realidade, o que se perdianão eram os próprios elementos, mas as relações desses elementos, e essas relaçõespodiam ser quantitativas, mas também, simplesmente, as relações de grandezas que nãopoderiam ser expressas numericamente.• Incomensurabilidade Segundo OLIVIVEIRA (1997), não podemos dizer que o conhecimento daincomensurabilidade seja um obstáculo como tal ao desenvolvimento de função, masteve considerável influência sobre a utilização das proporções, pois além de provocarum retrocesso, ela criou um mal entendido a tudo que toca o infinito. Assim,OLIVEIRA (1997), nos diz que este problema é de grande importância, pois relacionacom tudo que tem a ver com os conceitos de variações. 5.3 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE LIMITES Segundo VIEIRA (1999), as dificuldades relativas ao ensino e à aprendizagemdo conceito de limite são há muito conhecidas. Assim, ao tomarmos ENGLER at al (2007), citamos ARTIGUE (1995) que vemnos dizer que as dificuldades de acesso ao cálculo são diversificadas e complexas. Porisso, segundo ENGLER at al (2007), é possível agrupá-las em categorias amplas,associadas com: a) A complexidade matemática dos objetos básicos do cálculo; b) A conceitualização e formalização da noção de limite no núcleo de seu conteúdo e ao seu tratamento sobre o ensino; c) Na ruptura álgebra/ cálculo, há uma brecha entre o pensamento analítico e algébrico.
  • 36 Continuamos seguindo ENGLER at all (2007), onde ele se refere aos trabalhosde CORNU (1991) e SIERPINSKA (1985), onde estes manifestam que a enormedificuldade de ensino e aprendizagem do conceito de limite se deve a sua complexidade,tanto nos aspectos cognitivos implicados, não se podem gerar a partir da definiçãomatemática. Já ARTIGUE (1998), vêm nos dizer que as investigações didáticas a respeito dasdificuldades persistentes na aprendizagem de limites têm diversas origens, e formamuma rede complexa. Dessa forma, continua ARTIGUE (1998), foram agrupadas taisdificuldades em categorias, dependentes umas das outras, que são as seguintes: • As dificuldades ligadas a complexitude matemática dos objetos básicosdo campo conceitual: números reais, funções e sucessões. ARTIGUE (1998), nos diz que em relação aos números reais, diversos estudosmostram que os alunos não se apropriam de tais conceitos de forma adequada para aaprendizagem da análise, conforme ROBINET (1986). Seguindo ARTIGUE (1998), os estudantes têm a concepção de número realatravés de calculadora principalmente, e quando chega ao cálculo, os números reais sãotratados como objetos algébricos. Já quanto à dificuldade no conceito de função, já foi tratado acima. • As dificuldades ligadas a conceitualização da noção de limite, que é anoção central do seu domínio técnico. ARTIGUE (1998) nos diz que muitas das dificuldades estão associadas àconceitualização da noção de limite, ou seja, aqui é necessário mencionar a noção deobstáculo epistemiológico introduzido por Bachelard. Para ele, segundo ARTIGUE(1998), o conhecimento científico não se desenvolve num processo continuo, uma vezque resulta das formas prévias do conhecimento que se constituem em obstáculosepistemiológicos. Aqui também temos a hipótese de que tais obstáculos se encontramno desenvolvimento histórico do conceito e na aprendizagem atual, a pesar dasdiferenças cognitivas e culturais evidentes, como se fossem constituídos da gênese doconceito, isto é, ampliando a utilização da análise histórica. Então de acordo com ARTIGUE (1998, p. 4), temos:
  • 37 Podemos falar aqui dos obstáculos que se encontram também no desenvolvimento histórico do conceito, a pesar das diferentes concepções cognitivas e culturais envolvidas. Também podemos mencionar que o conceito de limite como o de função tem duas dimensões: uma de processo e uma de objeto, a possibilidade de manejar com eficácia estas duas dimensões requer processos cognitivos. Por fim, outra categoria importante de dificuldade vem das características da definição formal do conceito de limite: sua complexidade lógica e a necessidade de inverter a direção do processo que vai da variável x ao valor da função f(x). Assim, aliada a estas características formais, temos um ponto essencial. Porém, além destas características formais, há um ponto essencial: entre uma concepção intuitiva dos limites e uma concepção formal, há um salto qualitativo fundamental, também atestado pela história do conceito. Assim, podemos dizer que o conceito formal de limite é um conceito rompe com as concepções prévias de tal noção. • As dificuldades ligadas à uma necessária ruptura com os modos depensamento do funcionamento algébrico. Segundo ARTIGUE (1998), as atividades de Cálculo se apóiam emcompetências algébricas, e ao mesmo tempo no chamado pensamento analítico, onde énecessária certa distância em relação ao pensamento algébrico. Assim, segue ARTIGUE(1998), a ruptura entre o pensamento algébrico e o analítico se organiza em váriasdimensões, onde as principais são as seguintes:
  • 38 • É necessário enriquecer sua visão da noção de igualdade e desenvolvernovos métodos para provar as igualdades, isto é, podemos notar que uma reconstruçãosimilar da noção de igualdade foi posta em evidencia pela investigação didática, natransição do pensamento numérico para o pensamento algébrico. Dessa forma, tomar consciência de todas as mudanças e do crescimento dadificuldade técnica do trabalho matemático, nos ajudam a compreender melhor adistância que separa a capacidade de formular a definição formal da noção de limite,ilustrada por exemplos e contra-exemplos, representada graficamente, e por outra parte,de dominar tecnicamente esta definição, é decidir ser capaz de utilizá-la como uminstrumento operativo na resolução de problemas. Assim, podemos mencionar outra dimensão da ruptura Álgebra/ Cálculo. Aentrada no mundo do cálculo obriga também aos estudantes a reconstruir objetosmatemáticos.5.4 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE DERIVADAS Segundo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), ARTIGUE (1995), nos dizque podemos ensinar os alunos a realizar de maneira mais ou menos mecânica algunsalunos de cálculo a resolver alguns problemas, mas teremos dificuldades para que taisjovens atinjam uma compreensão satisfatória dos conceitos e métodos de pensamentodo centro da análise matemática, ou seja, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) vemdizer que no fundo a raiz da questão é que alunos não constroem um significadoadequado do conceito de derivada, pois esta construção parcial do significado noscursos iniciais podem gerar dificuldades no seu desempenho futuro. SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) continuam dizendo que as perspectivasteóricas das investigações nos permitem compreender melhor como dar significado àmaneira que os alunos resolvem os problemas, indicando as características deaprendizagem. Dessa forma, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 269), nos diz oseguinte: Entre as diversas perspectivas teóricas que tem adotado os investigadores, seencontram as aproximações centradas nos elementos de cognição, como:
  • 39 - Esquema conceitual (Azcárate, 1990), derivada da idéia de imagem do conceito (Tall, 1989). - Idéias procedentes de uma aproximação piagetiana do conhecimento e seu desenvolvimento, da teoria APOE (Asiala, Cottrill, Dubinsky, & Schwingendorf, 1997) e do desenvolvimento dos esquemas (Clark et al., 1997) e Baker et al., 2000); - Idéias precedentes do papel das representações e atividades com o desenvolvimento dos significados (Font, 2000a; 2000b; Habre & Abboud, 2006); - A teoria da reificação, que centra-se nos vínculos processo-objeto (Zandieh, 2000). No entanto, segundo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), durante osúltimos anos se desenvolveu uma linha de investigação no México que se ocupa daaproximação da teoria conhecida como sócio-epistemiológica, a qual estuda osfenômenos de produção e difusão do conhecimento através de uma perspectiva múltipla,de acordo com Cantoral & Farfán (2003). Assim, com base em tais pressupostos, foi organizada a informação atendendoaos seguintes aspectos:Erros e dificuldades da compreensão da derivada, ou seja, a noção de taxa de variação –relação entre taxa e razão de uma mudança progressiva. SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) nos diz que podemos em resumo dizerque a sócio-epistemiologia considera o conceito de derivada como um complexo depráticas de natureza social que lhe dão sentido e significado. Além, os trabalhos nestalinha de investigação abandonam a abordagem para a derivada “a partir da definição delimite do quociente incremental e da explicação da secante que lhe é tangente”, poisdefendem a idéia de que até não se vê a noção de derivada como uma organização dasvariações sucessivas não será compreendida. Os sistemas de representação como ferramentas para pensar sobre as derivadas.
  • 40 SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007) nos mostra que a descrição sobre oserros e dificuldades que os estudantes têm com respeito às derivadas foi o objetivo dasprimeiras investigações realizadas sobre este tema, ou seja, ORTON (1983), segundoSÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), identificou três tipos de erros que cometiamos alunos nos exercícios de diferenciação e suas aplicações:Estruturais, relacionados com os conceitos implicados.Arbitrários, quando o aluno se comporta arbitrariamente sem tomar em conta os dadosdo problema.Manipulação: embora os conceitos envolvidos possam ser entendidos. De acordo com SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), se consideramos que aderivada em um ponto nos indica a velocidade de mudança, a compreensão de tal idéiase apóia no saber prévio da razão entre o incremento de x em relação a y. Dessa forma, em resumo, SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007): Orton indica que as dificuldades com a idéia de razão de mudança e suavinculação ao tipo de função linear ou quadrática podiam ter sua origem na difícilcompreensão sobre o conceito de função. As informações destas investigaçõesdestacam-se pela importância da razão de mudança e do quociente incremental nacompreensão da derivada, entendida como uma qualificação da mudança.O local e o global, ou seja, a relação entre a derivada de um ponto f ′(a) e a funçãoderivada f ′(x). Outro aspecto importante na compreensão da derivada, segundo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), é a relação entre o aspecto local e o global num pontodado f ′(a) e a idéia de função derivada f ′(x), que permite passar de uma perspectivapontual a uma global. Dessa forma, os estudos de BADILLO (2003), segundoSÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), diz que a existência de diferentes significadosda idéia de derivada num ponto e da função derivada, isto é, a compressão gráfica de f(x), f (a) y f (x) mostra ser difícil, já que se identificaram algumas inconsistências comoas seguintes: A confusão entre a derivada num ponto x = a, f ′(a) e a função derivada, f ′(x). A redução da expressão simbólica de f ′(x) à equação da reta tangente, e gráfica de f ′(x) à da reta tangente.
  • 41 A falta de justificativas sobre o uso das técnicas de derivação direta e indireta. SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 284) nos diz que: A complexidade do conceito de derivada leva a investigado a reparar na compreensão do esquema de derivada em relação ao local (derivada num ponto) e o global (função derivada). Dessa forma, tal vínculo não tem sido amplamente estudado nestes momentos, levanta questões sobre a forma como as diferentes abordagens que podem ser enfatizadas na educação pode determinar a compreensão dessas relações, bem como o papel dos diferentes modos de representação para promover a compreensão da relação entre local e global no desenvolvimento de uma compreensão do esquema derivados. A aplicação do conceito de derivada: o desenvolvimento da compreensão deregra da cadeia. De acordo com SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), os livros de cálculointroduzem o conceito de derivada, como o capítulo cinco de Análise Matemática doApostol, começando com a definição de derivada, segue com as relações entrecontinuidade e derivada, e termina com a álgebra de derivada e uma aplicaçãoimportante deste conceito: Assim, de acordo SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007, p. 289), temos: A regra da cadeia: algumas investigações, como de CLARK et al (1997), centraram-se nas aplicações de derivada, com fundamentação do marco teórico. Assim, tais investigações levaram a cabo a decomposição genética inicial do conceito da regra da cadeia, a qual consideram como descrição de uma trajetória hipotética de
  • 42 aprendizagem pela qual pode-se transitar um estudante na aprendizagem do conceito. A compreensão da derivada associada à sua utilização em diversas aplicações, incluindo a regra da cadeia. Dessa forma, conclui SÁNCHEZ-MATAMOROS at al (2007), dizendo que, comose pode inferir a partir de trabalhos de Clark e sua equipe, a construção que umestudante faz destas aplicações podem seguir algumas orientações. A decomposiçãogenéticaoferece uma contribuição, que é necessário para cumprir as decisões instrucionaistomadas pelos professores. 5.5 DIFICULDADES NO APRENDIZADO DE INTEGRAIS De acordo com LLORENS & SANTONJA (1997), entre os professores deCálculo é quase consenso que os problemas de aprendizagem do conceito de integral éfacilmente detectável. Dessa forma, de acordo com LLORENS & SANTONJA (1997),os estudos de MUNDY (1984), ORTON (1983) e TURÉGANO (1993) nos trazem umresumo destas deficiências, como segue: a) Geralmente os estudantes identificam integral com primitiva. Para estes estudantes, a integral não comporta nenhum processo de convergência ou tão pouco nenhum processo geométrico, e sim é um algo puramente algébrico, mais ou menos complicado, a tal ponto que podem conhecem vários processos de integração, saber aplicá-los, e ao mesmo tempo não ser capaz de aplicá-los ao calculo de uma área ou ignorar o que são as somas de Riemann. b) As integrais “definidas” se identificam com a regra de Barrow, incluindo quando esta regra pode aplicar-se. É dizer que o símbolo:
  • 43representa somente o cálculo de primitivas, a aplicação da regra de Barrow. Comoexemplo, podemos citar o comportamento relatado por MUNDY (1984), tanto comopor LLORENS & SANTONJA (1997). Foi feita a seguinte pergunta:Por que a integral abaixo está errada? LLORENS & SANTONJA (1997) dizem que somente 23% sabiam que aintegração estava errada, enquanto MUNDY (1984) fala que pouquíssimos alunossouberam identificar o erro. Antes de seguir, podemos dizer que aconteceu exatamente a mesma coisaquando era entrevistado um professor do DM – UFSCar. Na ocasião, ao serperguntado sobre as principais dificuldades dos alunos em integrais, ele resolveuexemplificar, pedindo para um orientando dele, e já formado em bacharelado emmatemática pela mesma universidade, fazer a tal integral acima. O aluno caiu nomesmo erro, e disse que tal erro era muito comum. Também afirmou que alunos daUSP, formados caem no mesmo erro. Dessa forma, podemos dizer, por uma análisesuperficial, que tal dificuldade ocorre tanto nas universidades americanas, nasuniversidades espanholas, quanto na UFSCar, como na USP, parecendo ser umproblema generalizado dos estudantes de cálculo e todo o mundo. Dessa forma, LLORENS & SANTONJA (1997, p. 63) afirmam: Observamos que esse tipo de resposta não se explica somente porque esses estudantes não conhecem a regra de Barrow, e aparece como representativas de uma desconexão mais profunda entre o conceito de integral e sua particular imagem desse conceito. Outros dados permitem afirmar que, de modo mais enfático, que nem se quer quando se diz expressamente “integral definida”, não evoca no estudante nenhuma relação desse conceito com o problema da convergência, já conhecidos previamente por ele
  • 44 no tema de sucessões, derivadas, continuidade, etc., quando está estudando integrais. Assim, é fácil comprovar que quando os estudantes estão estudando integrais impróprias, a maioria dos estudantes se parece muito surpreendente que uma integral pode ser divergente. Não há integração entre o conceito de área com o de integral. De acordo com LORENS & SANTONJA (1997), os estudantes tem ouvido queexiste uma relação entre as integrais (definidas) e a área, mas não se verifica umaunião entre ambas, de modo que persiste uma interpretação puramente algébrica daintegral. Dessa forma, continua LLORENS & SANTONJA (1997), as respostasequivocadas dos exemplos anteriores indicam não somente que a função édescontínua em x = 0, mas também que claramente não tem uma imagem visual doproblema: nem da função (sempre positiva) nem da própria integral entendida comoárea. Dessa forma, segue LLORENS & SANTONJA (1997), é muito freqüente queessa interpretação da integral como área somente se utiliza quando expressamente sepedem exercícios que tipicamente dão o enunciado “Calcular a área fechada dográfico de … “, porém quase nunca espontaneamente. Ainda por LLORENS & SANTONJA (1997), essa falta de integração semanifesta em sentido contrário também, ou seja, LLORENS & SANTONJA (1997)proporão um exercício para se obter o valor da área sombreada em cada um dasfiguras abaixo:FIGURA 2: ÁREAS SOBREADAS DOS GRÁFICOS.
  • 45 Dessa forma, LLORENS & SANTONJA (1997), a maioria das respostas iniciais foram e , respectivamente. No primeiro caso, pela dificuldade que significa a presença do módulo, muito frenquêntemente podemos encontrar solução incompletas ou absurdas, coerente com o trabalho de MUNDY (1984), no qual menos de 95% dos estudantes contestaram incorretamente a pergunta: de modo que nos reafirmamos no diagnóstico assinalado, já que o aluno está preferindo o contexto algébrico-formal ao visual-geométrico, porque não tem integrado. Também, ao mesmo tempo, LLORENS & SANTONJA (1997) concluem que estes estudantes consideram trivial pedir para calcular a área de um quadrado cujo lado mede 1 metro ou de um triângulo retângulo como os que aparecem nos gráficos anteriores.6. HISTÓRIA E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL O objetivo deste capitulo é trazer um pouco de como se desenvolveram os conceitos de Cálculo, como funções, limites, derivadas e integrais. De acordo com ÁVILA (1985, p. 14), Muita gente tem a impressão de que matemática é estática; de que os conceitos, uma vez formulados, se cristalizam como coisas completas e acabadas, que permanecem imutáveis; de que os resultados, uma vez obtidos, se somam uns aos outros na acumulação de um corpo de conhecimento que não tem outra dinâmica interna que a do crescimento de unidades novas.
  • 46 Dessa forma, os conceitos do Cálculo Diferencial e Integral exemplificam bem isto, relacionados à: funções, limites, derivadas e integrais, ou seja, através de nexos conceituais relacionais aos conceitos de Cálculo, como a fluência, a interdependência e o movimento, mostram a Matemática com não estática. Assim, ao passarmos por 4.000 anos de evolução da história de destes conceitos, vemos claramente a constante mudança e transformação da Matemática como um todo, bem como dos conceitos de Cálculo, ou seja, desta forma da Babilônia, em 2.000 a.C. até ao final do século XX, num constante mudar e transformação destes conceitos, ao logo da história. Dessa foram, podemos começar nosso trabalho fazendo uma pergunta que foi feita pelos professores WAGNER e CARNEIRO (2004), na RPM Nº 60, que os alunos a fazem constantemente, que foi:• Vale a pena estudar Cálculo? A resposta parece fácil, mas não é bem assim, pois de acordo com ÁVILA (2006), desde que se comece com uma apresentação bem simples e modesta do que seja derivada, pode-se mostrar como isso ocorre num contexto do estudo de funções. Ainda, de acordo com ÁVILA (2006), é importante que esses conceitos de funções, limites e derivadas, bem como o de integral, sejam integrados, e não separados em blocos estanques. Dessa forma, nosso primeiro passo é mostrar o desenvolvimento histórico dos conceitos de função, limite, derivada e integral. Assim, com esta seqüência de tópicos, podemos começar levantando a gênese do desenvolvimento histórico dos conceitos de funções, limites, derivadas e integrais, para que posteriormente possamos identificar os nexos conceituais respectivos. Assim, passemos a tal levantamento histórico. 6.1 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE FUNÇÕES De acordo com AVILA (1985), os matemáticos só chegaram ao conceito de função tal como conhecermos hoje, depois de um período de evolução do Cálculo, por mais de cento e cinqüenta anos.
  • 47 Porém, antes de chegarmos a este período, vamos ver que paraYOUSCHKEVITCHI (1981), citado por OLIVEIRA (1997), existem três etapasprincipais do desenvolvimento de funções, a saber: • Antiguidade: Etapa no curso no qual o estudo de diferentes casos de dependência entre duas quantidades ainda não isolou as noções de gerais de quantidades variáveis e de funções. • Idade Média: Nesta etapa, as noções, são pela primeira vez, e de maneira precisa, expressas sob uma forma geométrica e mecânica, mas durante a qual, como na antiguidade, cada caso concreto de dependência entre duas quantidades, são definidas por uma descrição verbal, ou por um gráfico, de preferência fórmula. • Período Moderno: No curso, da qual, no fim do século XVI, e durante o século XVII, as expressões analíticas de funções começam a prevalecer; a classe de funções analíticas geralmente é expressa por meio de soma de séries infinitas, tornando-se logo a principal classe utilizada.6.2.1 CONCEITO DE FUNÇÕES NA ANTIGUIDADE Segundo OLIVEIRA (1997), a antiguidade foi a época da concepção de função,pois a idéia de funcionalidade de uma certa maneira, segundo SÁ at all (2003), não érecente na mente humana. Por exemplo, quando o homem levado pela necessidade,passou a associar uma pedra a cada animal visando ao controle de seu rebanho,poderíamos encarar essa relação de dependência entre as pedras e os animais como umarelação funcional. Levando em consideração esse raciocínio, podemos citar os babilônicos queconstruíram tabelas em argila, e para cada valor na primeira coluna existia um númerona segunda, que era o resultado da multiplicação do número da primeira por umaconstante, segundo SÁ at all (2003). Já OLIVEIRA (1997), ressalta que os Babilônios,em 2.000 a. C., fizeram tabelas sexagesimais de quadrados e de raízes quadráticas, decubos e raízes cúbicas, e outras, revelando o “instinto funcional”.
  • 48 É importante destacar que, para os Babilônios, cada problema exigia uma novaanálise, pois eles não desenvolveram procedimentos ou regras gerais para resolveremproblemas semelhantes (SÁ at all, 2003). Semelhante aos babilônicos, os egípcios construíram também tabelas, namaioria das vezes em papiros, que segundo BOYER (1974) apresentavam o resultadode investigações empíricas, ou na melhor das hipóteses, generalizações que eram oresultado da indução incompleta de casos mais simples para casos mais complicados. Dentre os gregos, poderíamos citar a contribuição de Ptolomeu. Em sua obraAlmagesto, desenvolveu idéias funcionais. Segundo MENDES (1994, p.12), AABOE (1984, p.20) cita que ele trabalhou naárea da astronomia, e que, desenvolveu ferramentas matemáticas, entre elas atrigonometria. Ele utilizou tabelas envolvendo a função da corda do arco x, ou crd x,mas sem fazer referência a palavra função. E ainda entre as idéias funcionais gregastemos os symptons, que eram a condição necessária para que um ponto pertencesse auma curva. Apolônio e Arquimedes chegaram a utilizar os symptons. Já OLIVEIRA (1997) fala que entre os Pitagóricos aparece a idéia de função noestudo da interdependência quantitativa diferentes em quantidades físicas, como porexemplo, o comprimento e a altura da nota emitida por cordas da mesma espécie,pinçadas com tensões iguais, o que revelou uma interdependência inesperada entrenúmero, espaço e harmonia. Assim, apesar de tantos exemplos que indicam a presença das dependênciasfuncionais, “não havia nenhuma idéia geral de funcionalidade na Antiguidade”,YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 13), o que mostra que o pensamento matemático naAntiguidade não criou nenhuma noção geral nem de quantidade variável nem de função.6.2.2 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MÉDIA Segundo OLIVEIRA (1997), a primeira vez que a noção de função aparecenuma forma “mais genérica” é no século XII, nas escolas de filosofia natural em Oxforde Paris, onde cada problema era tratado de maneira isolada. Foi nesta época, a Idade Média, que o Bispo parisiense de Lisieux NicoleOresme (1323 – 1382), que segundo BOYER (1974), em um trabalho intitulado deTractatus de Latitudinibus Formarum, feito por um discípulo ou até por ele mesmo,
  • 49seria o resumo de uma obra maior do próprio Oresme, Tractatus de Potentiarum et osproblemas utilizando métodos mais gerais. Um dos objetivos visados por Oresme, segundo OLIVEIRA (1997), com seumétodo era permitir às pessoas a compreensão mais rápida e fácil da natureza dasmudanças, onde suas representações se mostram à frente, em direção ao conceito defunção ou variável dependente. Dessa forma, não podemos dizer que ele utilizasse de funções, pois ele não seinteressava pela forma na qual uma qualidade varia por razão do objeto que estádependendo. Assim, suas representações eram imaginárias e qualitativas. (OLIVEIRA,1997).6.2.3 CONCEITO DE FUNÇÕES NA IDADE MODERNA Segundo SÁ et all (2003), é com Galileu Galilei (1564-1642) que surge ointeresse em debater quantitativamente os axiomas, mensuráveis e que, portantopoderiam ser relacionados por fórmulas. MENDES (1994) cita que o principal interessede Galileu era entender como os fenômenos ocorriam, com o intuito de descrever asmudanças da natureza. Segundo KLINE (1972), citado por MENDES (1994), foi oestudo do movimento que originou o conceito de uma função ou de uma relação entre variáveis. Porém Galileu não formalizou explicitamente a palavra função. É com o estudo de Galileu sobre movimento, e conseqüentemente a velocidade,a aceleração e a distância percorrida. OLIVEIRA (1997) ressalta que sua insistência em querer estudar os movimentosda forma quantitativa, por intermédio da experimentação, contribuiu para a evolução danoção de função, ao lidar de forma funcional com as causas e efeitos, trazendo anecessidade essencial da concepção de variável dependente. No século XVI ainda não havia surgido à idéia de estudar a equação geral deuma classe inteira de equações, o que só surgiu com Viète. Segundo YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 23), citado por OLIVEIRA (1997),
  • 50 A importância desta notação que, pela primeira vez, tomou possível a colocação por escrito sob uma forma simbólica das equações algébricas e de expressões contendo quantidades desconhecidas e coeficientes arbitrários (um trabalho que também nascem com Viète) poderia ser subestimada. Entretanto, o criado da nova Álgebra não utiliza sua notável descoberta para “fazer avançar” o conceito de função: pensar em termos de função não foi característica de seu espírita. René Descartes (1596-1650), e Pierre de Fermat (1601-1665), magistrado emToulouse, desenvolveram separadamente as bases teóricas da geometria analítica. Fermat, citado por OLIVEIRA (1997), diz que “tão logo duas quantidadesdesconhecidas aparecem em uma igualdade, há u lugar geométrico e o ponto terminalde uma das duas quantidades descreve uma reta ou curva”. BAUMGART (1992, p. 83), citado por SÁ at all (2003), afirma que Descarteschegou a definir função como qualquer potência de x, como x², x³, ... De fato, segundo OLIVEIRA (1997, p. 18), Aparece em “La Geométrie” a noção de função de forma mais detalhada, e completamente clara, sustentada pela idéia de que a equação em x e u é um meio de introduzir uma dependência entre quantidades variáveis de modo a permitir o cálculo dos valores de uma delas correspondendo aos valores dados da outra. Tal método de representação foi estendido a outros ramos da matemática, em especial ao cálculo infinitesimal. Vem o século XVIII e com ele destacam-se Isaac Newton (1642-1727) eGottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
  • 51 Newton, segundo SÁ at all (2003), direcionou suas pesquisas dentro da Física,especificamente no campo da Mecânica, e como frutos para a matemática desenvolveuos métodos infinitesimais. Assim, KLEINE (1989, p.289), citado por MENDES (1994,p. 26), acredita que a maior contribuição de Newton dentro do conceito de função foramsuas descobertas a respeito de séries de potências, e é ele quem introduz o termo“variável independente”. Já foi Leibniz quem introduz a palavra “função”, que apareceu no trabalhointitulado “Methodus tangentium inversa, seu de fonctionibus”, no qual ganha oseguinte sentido: o de um termo geral para diferentes segmentos ligados a uma curvadada. Já, segundo OLIVEIRA (1997), o conceito de função aparece num sentido maisamplo na geometria diferencial em artigos publicado em 1692 e 1694 onde ele chama desegmentos de retas obtidas por construção de retas correspondendo a um ponto fixo e apontos de uma curva dada. Já a primeira definição explicita como expressão analítica aparece com JeanBernoulli (1694 – 1698). De acordo com YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 35), temos: “Chamamos função de uma grandeza variável uma quantidade composta de qualquer maneira que seja desta grandeza variável e constante.” Segundo OLIVEIRA (1997), na sua definição, Bernoulli não dá indicação sobreo modo de construir função a partir da variável independente. Leonhard Euler (1707-1783) nascido em Bâle na Suiça, foi aluno de JeanBernoulli, foi figura essencial no desenvolvimento do conceito de função, onde segundoo qual uma função não necessitava unicamente de uma expressão analítica e ele tambémintroduziu o símbolo f(x). Segundo SÁ at all (2003), no segundo volume deIntroduction in Analysin Infinitorum, Euler diferenciou as funções contínuas edescontínuas, levando em consideração a lei de formação de cada função. Aquelas quefossem definidas por apenas uma expressão analítica seria classificada como contínua ecaso essa lei mudasse em qualquer intervalo do domínio automaticamente seclassificaria como descontínua ou mista. É no século XVIII, segundo SÁ at all (2003), que o Problema da Corda Vibrantemexe com o raciocínio dos matemáticos da época e que vai influenciar na reformulação
  • 52do conceito de função. O questionamento seria determinar a função que iria reger oformato de uma corda elástica, com os pontos iniciais e final fixos, num determinadotempo t. GRÁFICO 5: FUNÇÃO QUE REGE UMA CORDA ELÁSTICA. Foi D’Alembert (1717-1783) que publicou um trabalho sobre as cordasvibrantes, onde resolveu a uma equação diferencial e a chamou de equação da onda emque y representaria o deslocamento transversal do ponto x da corda no tempo t. Valelembrar que Daniel Bernoulli também publica um trabalho sobre o tema. Foi oferecido em 1787, que um prêmio foi oferecido pela Academia de SãoPetesburgo, para quem melhor explicasse como eram as funções arbitrárias quepoderiam ser obtidas nas soluções de equações diferenciais parciais. O ganhador foiLouis Arbogast (1759-1803), que segundo MENDES (1994, p. 36) citando EDWARDS(1979, p. 303), argumentou que tais funções não poderiam ser contínuas, mas para issoele conceituou continuidade: A lei de continuidade consiste em que uma quantidade não pode passar de umestado para o outro sem passar através de todos os estágios intermediários que sãosujeitos à mesma lei. Esta continuidade pode ser destruída de duas formas: A funçãopode mudar sua forma, quer dizer, a lei pela qual a função depende das variáveis podemudar repentinamente. Uma curva formada pela reunião de muitas porções de curvasdiferentes é deste tipo... Não é nem necessário que a função y seja expressa por uma equação para umcerto intervalo da variável; ela pode mudar continuamente sua forma, e alinha que arepresenta, ao invés de ser uma reunião de curvas regulares, pode ser tal que em cadaum destes pontos ela se torne uma curva diferente; quer dizer ela pode ser inteiramenteirregular e não seguir qualquer lei para qualquer intervalo mesmo pequeno.
  • 53 De acordo com SÁ at all (2003), Jean Baptiste Joseph Fourier (1768- 1830),secretário do Instituto do Egito, destaca-se na virada do século XVIII para o séculoXIX, com seus estudos sobre a propagação do calor. Em 1822 publica La ThéorieAnalytique de la Chaleur onde afirmou que qualquer função poderia ser expressa poruma série trigonométrica. ÁVILA (1985, p. 20) afirma que apesar de Daniel Bernoulli em 1753 já tivessediscutido tal questão de maneira mais restrita, foi com Fourier que ela se tornourealmente presente no mundo matemático. Perto do fim do século XVIII, ainda de acordo com SÁ at all (2003), quandomuitos absurdos e contradições tinham surgido na matemática, sentiu-se que eraessencial examinar as bases da análise para dar-lhes uma fundamentação, foi umareação ao emprego descontrolado da intuição e do formalismo do século anterior.Assim, a própria idéia de função teve que ser esclarecida e noções como a de limite,continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade tiveram de ser cuidadosa e claramentedefinidas. Bolzano (1781-1848), segundo BOYER (1974), foi considerado pioneiro nessaformalização, pois em 1817, publica Functionlehre onde conceitua continuidade muitopróxima do conceito atual. Ele também demonstrou o teorema do valor médio, hojemuito utilizado em cursos regulares de cálculos, mas que segundo LEITÃO (2009) noseu contexto original, este resultado não se referia apenas ao movimento local, isto é, agrandeza que se encontra a variar, não era necessariamente a velocidade. FIGURA 3: REPRESENTAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO.
  • 54 Segundo MENDES (1994), já no século XIX iniciou-se um processo defundamentação rigorosa da Análise, que foi conhecido como Aritmetização da Análise.Neste período, se inspiraram nos trabalhos de Euler os matemáticos: Condorcet (1778),Cauchy (1789) Lacroix (1797), Fourier (1821) e Lobatchevsky (1837). Já em meados do século XIX, segundo OLIVEIRA (1997) e SÁ at all (2003), asfunções já não precisavam ter a forma “bem comportada” com que os matemáticosestavam acostumados. De acordo com BOYER (1974), em 1837, Dirichlet sugeriu umadefinição muito ampla de função: “Se uma variável y está relacionada com uma variável x de tal modo que, sempre que é dado um valor numérico a x, existe uma regra segundo a qual um valor único de y fica determinado, então diz-se que y é uma função da variável independente x.” Ou seja, temos: Com a ≠ b, a e b constantes. Segundo OLIVEIRA (1997), a definição geral de função dada nos cursos deanálise matemática no fim do século XIX e no começo do século XX era a de Hankel,que diz ter se baseado em Dirichlet, é a seguinte, de acordo com YOUSCHKEVITCHI(1981, p. 61): Diz-se que y é uma função de x se a cada valor de x de um certo intervalo, corresponde um valor bem definido de y sem que isto exija, entretanto que y seja bem definido sobre todo intervalo pela mesma lei em função de x, nem mesmo que y seja definido por uma expressão matemática explicita de x.”
  • 55 O alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann, também deixou sua marca noséculo XIX. ÁVILA (1985, p. 29) acredita que os estudos de Riemann foraminfluenciados por Dirichlet, daí seu interesse pelas séries trigonométricas. E como essasséries trigonométricas apresentavam integrais como coeficiente, Riemann preocupou-secom o esclarecimento dos critérios de integrabilidade, surgindo aí o conceito de“integral de Riemann.” De acordo com SÁ at all (2003), Karl Theodor Weierstrass (1815 - 1897)nascido em Ostenfeld na Alemanha, foi professor de matemática em Deutsche –Croner,desvinculou continuidade de diferenciabilidade em 1872, quando sugere uma funçãocontínua e não diferenciável. Segundo BOYER (1989, p. 142), Weierstrass definiu função como uma série depotência juntamente com todas as que podem ser obtidas dela por prolongamentoanalítico. Já OLIVEIRA (1997) afirma que, a matemática moderna teve dificuldades emestabelecer a definição universal de função que não é algorítmica. De acordo com YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 64), em 1972, Weyl sustentaque: “Ninguém jamais soube explicar o que é função. Mas uma função f é definida se pó um meio qualquer podemos associar a um número a, um numero b... Dizemos então que b é um valor da função f para o valor a do argumento.” Em meados do século XX, a filosofia formalista predominou nos textosmatemáticos. Então, assim, de acordo com SÁ at all (2003), o nome Nicolas Bourbakise destaca no século XX, que foi um nome grego de um suposto autor francês, nascidoem Nancy, assinou várias obras. Porém acredita-se que seria um grupo de matemáticosque resolveram ter em Nicolas Bourbaki um pseudônimo. Em Théorie des Ensembles, conceituou função de duas maneiras: “Sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não. Uma relação entre uma variável x de E é uma variável y de F é
  • 56 dita uma relação funcional em y, ou relação funcional de E em F, se qualquer que seja x ª E, existe um e somente um elemento y ª F que estejam associados a x na relação considerada. Dá-se o nome de função à operação que desta forma associa a todo o elemento x ª E o elemento y ª F que se encontra ligado a x na relação dada; diz-se que y é o valor da função para o elemento x, e que a função está determinada pela relação funcional considerada. Duas relações funcionais equivalentes determinam a mesma função.” MENDES(1994, p. 53). De acordo com SÁ at all (2003, p. 14 – 17), segue abaixo um quadro resumo daevolução dos conceitos de funções:TABELA 4: RESUMO DAS PRINCIPAIS CONTRIBUIÇÕES PARA FUNÇÕES.
  • 57
  • 58
  • 59
  • 60 6.2.4 NEXOS CONCEITUAIS DE FUNÇÕES Quando começamos a analisar os nexos conceituais de funções, podemosrecorrer a CARAÇA (1951), e ele sugere que comecemos por trabalharmos aregularidade de um fenômeno, ou seja, a lei qualitativa. Aqui CARAÇA (1951, p. 127)afirma que: quando queremos estudar leis qualitativas, temos que criar um instrumento matemático cuja essência seja a correspondência de dois conjuntos.
  • 61 Hora, se relembrarmos o item 2.2.1 deste trabalho, podemos citar SÁ at all(2003) que afirma que os babilônios construíram tabelas em argila, onde na primeiracoluna existia um número na segunda, que era o resultado da multiplicação do númeroda primeira por uma constante, em 2.000 a. C., que revelaria seu “instinto funcional”. Dessa forma, temos a construção de tabelas já pelos babilônicos, ou seja, emessência é a correspondência entre conjuntos, mas a busca por leis qualitativas veiosomente mais tarde com Galileu Galilei. Já OLIVEIRA (1997) ressalta que o estudo dos movimentos da formaquantitativa, por intermédio da experimentação, contribuiu para a evolução da noção defunção. Porém, é exatamente aqui que queríamos chegar, pois com Galileu Galilei,segundo KLINE (1972), o estudo da natureza e do movimento, originou o conceito deuma função ou de uma relação entre variáveis. Vimos em 2.2.3 que foi Descartes que chegou a definir função como qualquerpotência de x, como x², x³, .... De fato, segundo OLIVEIRA (1997, p. 18), aparece em “La Geométrie” a noção de função de forma mais detalhada, e completamente clara, sustentada pela idéia de que a equação em x e u é um meio de introduzir uma dependência entre quantidades variáveis de modo a permitir o cálculo dos valores de uma delas correspondendo aos valores dados da outra. Tal método de representação foi estendido a outros ramos da matemática, em especial ao cálculo infinitesimal. Assim, surgia o problema de se trabalhar com o conceito de variável x, masafinal, segundo CARAÇA (1951), quem é x, sem coincidir individualmente comnenhuma dos números do intervalo, é suscetível de representar todos? Ora, CARAÇA (1951) vem ainda dizer que a variável é e não é cada um doselementos do conjunto, ou que faz com que vemos como uma primeira de suascaracterísticas a fluência, que nada mais é que a representação da natureza, que tudoflue, tudo se transforma.
  • 62 Sabemos também que Newton e Liebnitz deram contribuições para o conceito defunção, mas a primeira expressão analítica aparece com Jean Bernoulli (1694 – 1698).De acordo com YOUSCHKEVITCHI (1981, p. 35), temos: “Chamamos função de uma grandeza variável uma quantidade composta de qualquer maneira que seja desta grandeza variável e constante.” Neste ponto, CARAÇA (1951) nos diz que: Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números; diz-se que y é função de x e escreve-se: y = f(x) (1) se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca no sentido x →y. A x chama-se variável independente, a y variável dependente. Dessa forma, podemos ver que após estabelecer qual a variável dependente e aindependente, CARAÇA (1951), passa a questionar, de que forma podemos fazer acorrespondência entre estas duas variáveis. Então, foi dessa forma que no final doséculo XVII e inicio do século XVIII, os matemáticos passaram a fazer taisquestionamentos, chegando à primeira definição analítica por Jean Bernoulli. Já Eulervem depois e estabelece uma definição mais clara de função, e traz sua representação. Por outro lado, CARAÇA (1951), vem dizer que definição este modo dedefinição consiste em dar um conjunto de modo tal que, por meio delas, se possa fazercorresponder a cada valor a de x um valor b de y. CARAÇA (1951) afirma que no final do século XIX, pela insuficiência dadefinição de funções, surgiu a moderna definição dada por Riemann-Dirichilet,ganhando generalidade ao estabelecer a correspondência das variáveis, mas isso a fez seafastar das condições em que surgiu.
  • 63 Já de acordo com BOYER (1974), Dirichlet em 1837, sugeriu uma definiçãomuito ampla de função, a qual CARAÇA (1951) chama de definição de Riemann-Dirichilet: “Se uma variável y está relacionada com uma variável x de tal modo que, sempre que é dado um valor numérico a x, existe uma regra segundo a qual um valor único de y fica determinado, então diz-se que y é uma função da variável independente x.”6.3 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE LIMITES Sabemos que, de acordo com THOMAS (2002), entre todos os conceitosprincipais do cálculo - derivada, continuidade, integral, convergência/divergência, sãodefinidos em termos de limites, e assim é considerado o conceito básico do Cálculo.Logo, em termos do desenvolvimento histórico e lógico do cálculo, os limites deveriamvir primeiro, mas vendo o desenvolvimento histórico do Cálculo, observamos ocontrário, já que por vários séculos, ainda segundo THOMAS (2002), as noções delimite eram confusas, com idéias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o infinito(números infinitamente grandes e infinitamente pequenos e outras entidadesmatemáticas) e com intuição geométrica subjetiva e indefinida. O termo limite em nossosentido moderno, de acordo com BOYER (1989), é um produto do iluminismo, levandoa saber que nossa definição moderna tem menos de 150 anos de idade. A primeira vez em que a idéia de limite apareceu, segundo DINIZ (2006), foipor volta de 450 a.C., na discussão dos quatro paradoxos de Zenão. Por exemplo, noprimeiro paradoxo - a Dicotomia - Zenão discute o movimento de um objeto que semove entre dois pontos fixos, A e B, situados a uma distância finita, considerando umaseqüência infinita de intervalos de tempo - T 0, T1, T2,..., Tn,... - cada um deles sendo otempo gasto para percorrer a metade da distância percorrida no movimento anterior. Veja a figura abaixo:
  • 64 FIGURA 4: REPRESENTAÇÃO DO PRIMEIRO PARADOXO DE ZENÃO. Analisando o problema, Zenão concluiu que dessa maneira o móvel nuncachegaria em B. Aristóteles (384 - 322 a.C.), refletiu sobre os paradoxos de Zeno comargumentos filosóficos. Para provas rigorosas das fórmulas de determinadas áreas evolumes, Arquimedes encontrou diversas somas que contêm um número infinito determos. Na ausência do conceito de limite, Arquimedes utilizava argumentosdenominados dupla reductio ad absurdum. Segundo BOYER (2006), para suas demonstrações rigorosas das fórmulas paracertas áreas e volumes, Arquimedes (287--212 a.C.) encontrou várias séries infinitas –somas que contêm um número infinito de termos. Não possuindo o conceito de limitepropriamente dito, Arquimedes inventou argumentos muito engenhosos chamados deredução ao absurdo duplo, que, na verdade, incorporam alguns detalhes técnicos do queagora chamamos de limites. Cálculo é também algumas vezes descrito como o estudo de curvas, superfícies esólidos. O desenvolvimento da geometria destes objetos floresceu seguindo a invençãoda geometria analítica por Pierre Fermat (1601--1665) e René Descartes (1596--1650).A geometria analítica é, essencialmente, o casamento da geometria com a álgebra, ecada uma melhora a outra. Fermat, segundo THOMAS (2002), desenvolveu um método algébrico paraencontrar os pontos mais altos e mais baixos sobre certas curvas. Descrevendo a curvaem questão por uma equação, Fermat chamou um número pequeno de E, e então fezalguns cálculos algébricos legítimos, e finalmente assumiu E = 0 de tal maneira quetodos os termos restantes nos quais E estava presente desapareceriam. Essencialmente,Fermat colocou de lado o limite com o argumento que E é "infinitamente pequeno".
  • 65Geometricamente, Fermat estava tentando mostrar que, exatamente nos pontos maisaltos e mais baixos ao longo da curva, as retas tangentes à curva são horizontais, isto é,têm inclinação zero. Encontrar retas tangentes às curvas é um dos dois problemas mais fundamentaisdo cálculo. Problemas envolvendo tangentes são uma parte do que chamamos agora deestudo das derivadas. Durante o século XVII, segundo BOYER (1989), váriosgeômetras desenvolveram esquemas algébricos complicados para encontrar retastangentes a certas curvas. Descartes tinha um processo que usava raízes duplas de umaequação auxiliar, e essa técnica foi melhorada pelo matemático Johan Hudde (1628--1704), que era também o prefeito de Amsterdã. René de Sluse (1622--1685) inventouum método ainda mais complicado para obter tangentes a curvas. Em cada um dessescálculos, o limite deveria ter sido usado em alguma etapa crítica, mas não foi. Nenhumdestes geômetras percebeu a necessidade da idéia de limite, e assim cada um encontrouuma maneira inteligente para alcançar seus resultados, os quais estavam corretos, mascom meios que, agora reconhecemos, faltam fundamentos rigorosos. De acordo com THOMAS (2002), em quase todos os seus trabalhos que agorasão considerados como cálculo, Isaac Newton (1642 – 1727), também não reconheceu opapel fundamental do limite. Para séries infinitas, Newton raciocinou meramente poranalogia: se fosse possível executar operações algébricas em polinômios, então seriapossível fazer o mesmo com o número infinito de termos de uma série infinita. Newtoncalculou o que ele chamou de flúxions a curvas, não exatamente derivadas, mas muitopróximo. O processo que ele usou para esses cálculos era muito próximo do método deFermat. Neste e na maioria dos outros trabalhos comparáveis, Newton negligenciou olimite. Por outro lado, em seu Principia Mathematica (1687), segundo EVES (1996),talvez o maior trabalho em matemática e ciência, Newton foi o primeiro a reconhecerque o limite deve ser o ponto de partida para problemas de tangência, quadratura e afins.No início do Livro I do Principia, Newton tentou dar uma formulação precisa doconceito de limite. Já THOMAS (2002), afirma que o cálculo se desenvolveu rapidamente pelosseus vários sucessos no século XVIII, e pouca atenção foi dada aos seus fundamentos,muito menos ao limite e seus detalhes. Colin Maclaurin (1698 -1746) defendeu o
  • 66tratamento dos fluxions de Newton do ataque de George Berkeley. Mas Maclaurinreverteu a argumentos do século XVII similares aos de Fermat e apenas ocasionalmenteusou a redução ao absurdo dupla de Arquimedes. Apesar de suas boas intenções,Maclaurin passou por oportunidades de seguir a sugestão de Newton sobre limites. JeanLe Rond dAlembert (1717--1783) foi o único cientista daquele tempo que reconheceuexplicitamente a importância central do limite no cálculo. Na famosa Encyclopédie (1751--1776), dAlembert afirmou que a definiçãoapropriada da derivada necessitava um entendimento do limite primeiro e então, deu adefinição explícita: Uma quantidade é o limite de uma outra quantidade quando asegunda puder se aproximar da primeira dentro de qualquer precisão dada, não importaquão pequena, apesar da segunda quantidade nunca exceder a quantidade que elaaproxima. A preocupação sobre a falta de fundamento rigoroso para o cálculo, segundoBOYER (1989), cresceu durante os últimos anos do século XVIII. Em 1784, aAcademia de Ciências de Berlim ofereceu um prêmio para um ensaio que explicassecom sucesso uma teoria do infinitamente pequeno e do infinitamente grande emmatemática e que poderia, por sua vez, ser usada para colocar uma base sólida para ocálculo. Embora este prêmio tenha sido dado, o trabalho vencedor "longo e tedioso" deSimon LHuilier (1750 -1840) não foi considerado uma solução viável para osproblemas colocados. Lazare N. M. Carnot (1753--1823) produziu uma tentativapopular de explicar o papel do limite no cálculo como "a compensação de erros" - masele não explicou como estes erros se cancelariam mutuamente perfeitamente. No final do século XVIII, segundo THOMAS (2002), o grande matemático daépoca, Joseph-Louis Lagrange (1736 –1813), conseguiu reformular toda a mecânica emtermos de cálculo. Nos anos que seguiram a Revolução Francesa, Lagrange concentrousua atenção nos problemas da fundamentação do cálculo. Sua solução, FunçõesAnalíticas (1797), desligou o cálculo de "qualquer consideração do infinitamentepequeno ou quantidades imperceptíveis, de limites ou de flúxions." Renomado por suasoutras contribuições ao cálculo, Lagrange fez um esforço heróico (como sabemos agora,com uma falha fatal) para tornar o cálculo puramente algébrico eliminando limitesinteiramente.
  • 67 Ao longo do século XVIII, segundo BOYER (1989), havia pouca preocupaçãocom convergência ou divergência de seqüências e séries infinitas; hoje, entendemos quetais problemas requerem o uso de limites. Em 1812, Carl Friedrich Gauss (1777--1855)produziu o primeiro tratamento estritamente rigoroso da convergência de seqüências eséries, embora ele não tenha usado a terminologia de limites. Na sua famosa TeoriaAnalítica do Calor, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768--1830) tentou definir aconvergência de uma série infinita, novamente sem usar limites, mas então ele afirmouque qualquer função poderia ser escrita como uma de suas séries, e não mencionou aconvergência ou divergência desta série. No primeiro estudo cuidadoso e rigoroso das diferenças entre curvas contínuas edescontínuas e funções, Bernhard Bolzano (1781-1848) olhou além da noção intuitivada ausência de buracos e quebras e encontrou os conceitos mais fundamentais os quaisexpressamos hoje em termos de limites. No começo do século XVIII, de acordo com THOMAS (2002), as idéias sobrelimites eram com certeza, confusas. Enquanto Augustin Louis Cauchy (1789 -1857)estava procurando por uma exposição clara e rigorosamente correta do cálculo paraapresentar aos seus estudantes de engenharia na École Polytechnique em Paris, eleencontrou erros no programa estabelecido por Lagrange. Então, Cauchy começou o seucurso de cálculo do nada; ele começou com uma definição moderna de limite.Começando em 1821, ele escreveu as suas próprias notas de aula, essencialmente seuspróprios livros, o primeiro chamado de Cours d’analyse (Curso de Análise). Nas suasclasses e nestes livros-texto clássicos, Cauchy usou o princípio de limite como a basepara introduções precisas à continuidade e convergência, a derivada, a integral, e o restodo cálculo. Assim, perdeu alguns dos detalhes técnicos, especialmente na aplicação dasua definição de limite a funções contínuas e à convergência de certas séries infinitas. Nas décadas de 1840 e 1850, afirma BOYER (1898), enquanto era um professordo ensino médio, Karl Weierstrass (1815 – 1897) determinou que a primeira etapanecessária para corrigir estes erros era restabelecer a definição original de Cauchy dolimite em termos estritamente aritméticos, usando apenas valores absolutos edesigualdades. A exposição de Weierstrass é exatamente aquela que encontramos nolivro de Cálculo de Thomas. Weierstrass prosseguiu em uma carreira brilhante como
  • 68professor de matemática na Universidade de Berlim. Lá ele desenvolveu um programapara trazer rigor aritmético para todo o cálculo e à análise matemática. Aqui, passemos a uma breve análise dos nexos conceituais de limites, comrespeito à História da Matemática, como segue. Então, o primeiro desafio que aparece aqui é o chamado problema domovimento, que surge a partir um paradoxo de Zenão, da impossibilidade de Aquilesalcançar a tartaruga. Dessa forma, CARAÇA (1951) nos diz que aqui temos a impossibilidade detrabalhar só com números, e dessa foram, precisamos de um novo conceito, ou seja, aprimeira coisa a fazer é introduzir a noção variável, que pode representar qualquernúmero. Nessa primeira etapa, CARAÇA (1951) nos diz que é necessário trabalharmoscom pontos muito próximos, o que vai dar origem ao conceito de infinitésimos. Assim, por CARAÇA (1951, p. 219), temos: Definição: Dá se o nome de infinitésimo a toda a variável representativa de um conjunto de pontos pertencentes à vizinhança da origem quando nessa variável considerarmos sucessivamente valores x1, x2, ..., xn, ... tais que |xn| < δ para todos os valores de n > n1 e todo δ > 0. 6.4 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE DERIVADAS Segundo DALL’ANESE (2000), atribui-se a “invenção” do Cálculo Diferenciale Integral a Newton e Leibnitz, na segunda metade do século XVII, através dasistematização de métodos quer tornaram possível à solução de problemas referentes àconstrução de tangentes, cálculo de áreas, volumes, etc. Porém, vamos começar pela sua origem nos problemas geométricos clássicos detangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva emapenas um ponto dado. Segundo THOMAS (2002), Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiarteorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é perpendicular
  • 69ao raio em P; e depois Arquimedes (287--212 a.C.) tinha um procedimento paraencontrar a tangente à sua espiral e Apolônio (cerca de 262--190 a.C.) descreveumétodos, todos um tanto quanto diferentes, para determinar tangentes a parábolas,elipses e hipérboles. Mas, ainda segundo Thomas (2002), estes eram apenas problemasgeométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; osgregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas. Na realidade, após os Gregos, segundo BOYER (1989), o interesse por tangentesa curvas reapareceu no século XVII, como parte do desenvolvimento da geometriaanalítica. Uma vez que equações eram então usadas para descrever curvas, o número evariedade de curvas aumentaram tremendamente naqueles estudos em épocas clássicas. Por exemplo, Pierre Fermat (1601--1665) foi o primeiro a considerar a idéia deuma família inteira de curvas de uma só vez. Aqui BOYER (1974), diz que é possívelque Fermat desde 1629 estivesse de posse de sua geometria analítica, pois por essaépoca ele fez duas descobertas significativas que se relacionam de perto com seutrabalho sobre lugares. Ele as chamou de parábolas superiores, curvas da forma y = kxª,onde k é constante e a = 2, 3, 4, … Esta família de curvas, de acordo com Boyer (1974),foi estuda num tratado não publicado durante sua vida chamado método para acharMáximos e Mínimos. Estas curvas citadas acima são freqüentemente chamadas de“parábolas de Fermat” se a é posivo, ou “hipérboles de Fermat”, se a é negativo. De acordo com BOYER (1974, p. 255), temos que: “Para curvas polinomiais da forma y = f(x) ele (Fermat) notou um modo muito engenhoso para achar pontos em que a função assume um máximo ou um mínimo. Ele comparouo valor de f(x) num ponto com a valor f(x + E) num ponto vizinho. Em geral esses valoresserao bem direferentes, mas num alto ou num baixo de uma curva lisa a variação será quase imperceptivel. Portanto para achar os pontos de máximos e minimos Fermat iguala f(x) e f(x + E), percebendo que os valores, embora não exatamente iguais, são quase iguais. Quanto menor o intervalo E entre dois pontos mais perto chega a pseudo- equação de ser uma verdadeira equação; por isso Fermat,
  • 70 depois de dividir tudo por E fazia E = 0. Os resultados lhes davam as abcissas dos pontos de máximo e mínimos do polinômio. Aqui em essência tem-se o processo hoje chamado diferenciação, pois o método de Fermat equivale a achar: f ( x + E ) − f ( x) Lim E -- > 0 E e igualar isso a zero. Portanto, é razoavel acompanhar Lapalce ao saudar Feramt como o descobridor do Cálculo diferencial, bem como co-descobridor da geometria analítica. Evidentemente Fermat não tinha o conceito de limite, mas por outro lado seu método para máximos e mínimos se assemelha ao uado no Cálculo hoje, só que agora se usa em geral o simbolo h ou Δx em lugar do E de Fermat. O processo de mudar ligeiramente a variável e considerar valores vizinhos é a essencia da análise infinitesimal.” Assim, de acordo com THOMAS (2002), a introdução de símbolos algébricospara estudar a geometria de curvas contribuiu significativamente para odesenvolvimento da derivada, da integral e do cálculo. Por outro lado, como conclusõese resultados geométricos poderiam ser obtidos mais facilmente usando raciocínioalgébrico que geométrico, os padrões de rigor lógico que tinham sido iniciados pelosgregos antigos foram relaxados em muitos problemas de cálculo, e isto (entre outrosfatores) levou a controvérsias espirituosas e até amarguradas. Foi René Descartes (1596--1650) teve o discernimento de prever a importânciada tangente, e foi ele quem inventou um procedimento de dupla raiz para encontrar anormal e então a tangente a uma curva. Como resultado da tradução da Geometria deDescartes para o latim, os princípios e benefícios da geometria analítica tornaram-semais amplamente conhecidos. Após, foi Hudde quem simplificou a técnica da dupla raizde Descartes para determinar pontos máximos e mínimos sobre uma curva; oprocedimento da dupla raiz foi redescoberto por Christiaan Huygens (1629 - 1695).
  • 71 Foi René François de Sluse (1622--1685) quem desenvolveu uma técnicaalgébrica que levou à inclinação da tangente a uma curva, mas foi para Gilles Personnede Roberval (1602--1675), que uma curva era o caminho de um ponto se movendo, e eledesenvolveu um método mecânico para encontrar a tangente para muitas curvas,incluindo a ciclóide. No entanto, o método de Roberval não podia ser generalizado paraincluir mais curvas. Segundo DALL’ANESE (2000), Newton desenvolveu o “Método das Fluxões”no sei “De methodis Serierum et Fluxionum”, publicado em 1736. Neste, sua intençãoparece ter sido determinar a relação entre variação y e da quantidade x, de uma função y= f(x), quando x sofre um acréscimo infinitesimal, considerando as quantidadesmatemáticas “como se fossem geradas por um aumento contínuo do espaço no qual umobjeto se move descrevendo uma trajetória”. Já para THOMAS, Newton estendeu esta técnica como um método paraencontrar a curvatura de uma curva, uma característica que agora sabemos ser umaaplicação da derivada segunda. Em 1666, 1669 e 1671, Newton resumiu e revisou seutrabalho de cálculo e estes manuscritos circularam entre um grande número de seuscolegas e amigos. Ainda assim, embora tenha continuado a retornar a problemas decálculo em épocas diferentes de sua vida científica, os trabalhos de Newton sobrecálculo não foram publicados até 1736 e 1745. Dessa foram, de acordo com DALL’ANESE (2000), Newton desenvolveu o“Método das Fluxões” no seu “De Methodis Serierum et Fluxionum”, publicado em1736, no qual sua intenção parecia ter sido determinar a relação entre a variação daquantidade y e da quantidade x, de uma função y – f(x), quando x sofre um acréscimoinfinitesimal, considerando as quantidades matemáticas “como se fosse geradas por umaumento continuo do espaço no qual um objeto se move descrevendo uma trajetória”.Então, Newton define suas noções de fluentes e fluxões assim: “Eu chamarei de Quantidades Fluentes, ou simplesmente Fluentes estas quantidades que eu considero como aumentadas gradualmente e indefinidamente , eu as representei pelas ultimas letras do alfabeto v, x, y e z para distinguir das outras quantidades que, nas equações, são
  • 72 consideradas como conhecidas e determinadas que nós representaremos pelas letras iniciais a, b, c, etc; eu representarei pelas mesmas letrs sobrepostas de um ponto v., x., y., z. as velocidadees cujas fluentes são aumentadas pelo movimento que as produz e, por consequencia nós poderemos chamar Fluxões.” Ainda segundo DALL’ANESE (2000), a diferença entre Newton e seuspredecessores, é que ele formulou regras para cobrir soluções gerais da maioria dosproblemas relativos ao cálculo infinitesimal, conhecidos no seu tempo. Também écitado por DALL’ANESE (2000) que Newton estabeleceu muito tarde a notação padrãocomo ponto para representar a diferenciação. A notação para derivadas, segundo BOYER (1989), deve-se a Gottfried WilhelmLeibniz (1646--1716): dy ( ) dx Para ele, uma curva era um polígono com um número infinito de lados. Leibniz(1686) fez y representar uma ordenada da curva e dx a distância infinitesimal de umaabscissa para a próxima, isto é, a diferença entre abscissas "sucessivas". Segundo BOYER (1989), Leibnitz por volta de 1676 tinha chegado à mesmaconclusão que Newton chegara vários anos antes, ou seja, que uma função fosseracional ou irracional, algébrica ou transcedentes, suas operações de achar somas ediferenças podiam sempre ser aplicadas. Dessa forma, continua BOYER (1989), aprimeira exposição do cálculo diferencial foi publicada por Leibnitz em 1684, onde eledeu a as fórmulas dxy = xdy + ydx, d(x/y) = (ydx – xdy)y 2 e dxn = nxn dx, paraprodutos, quocientes e potencias (ou raízes), juntamente com as explicaçõesgeométricas. Assim, pelo exposto sobre Newton e Leibniz, podemos perceber que foi atravésdeles que se reconheceu a relação inversa entre problemas de quadratura e de tangentes.
  • 73 De acordo com DALL’ANESE (2000, p. 34), Augustin Louis Cauchy (1789--1857) estabeleceu a ligação entre a derivada e os diferenciais, da seguinte forma: “Seja y = f(x) novamente uma função de variável independente x. Seja i uma quantidade infinitamente pequena e h uma quantidade finita. Se dissermos que i =αh, α será, novamente, uma quantidade infinitamente pequena, e teremos a identidade: f ( x + i ) − f ( x ) f ( x + α h) = i αh (1) f ( x + α h) − f ( x ) f ( x + i ) − f ( x ) onde, = h α i O limite para o qual converge o lado esquerda da equação (1) à medida que α se aproxima indefinidamente de zero e h permanece constante é chamado “diferencial” da função y = f(x). A diferença é indicada por dy ou df(x). Seu valor pode ser facilmente determinado se soubermos o valor da função derivada y’ ou f’(x). De fato, se tomarmos os limites de ambos os lados da equação (1) acharemos um resultado geral: df(x) = hf’(x) (2) No caso especial quando f(x) = x, a equação 92) reduz-se a dx = h. Assim, a diferencial da variável independente x é precisamente h. Dado isto, a equação (2) torna-se df(x) = f’(x)dx, ou equivalentemente, dy = y’dx Essas últimas equações mostram que a derivada y’ = f’(x) dy de qualquer função y=f(x) é precisamente igual a ( ), dx isto é, à razão entre a diferencial da função e a diferencial da variável ou, se quisermos, ao coeficiente
  • 74 pelo qual devemos multiplicar a segunda diferencial a fim de obtermos a primeira. É por isso que a derivada é chamada às vezes de “coeficiente diferencial”.6.5 DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE INTEGRAIS De acordo com THOMAS (2002), o cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura, ou seja, resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Para um problema de cubatura, queremos determinar o volume exato de um sólido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Recorrendo à história, vemos que quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão. Vale aqui lembrar que, de acordo com BOYER (1989), a palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas. Hoje, sabemos que foi Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) executou as primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lunas, regiões que se parecem com a lua próxima do seu quarto crescente. Antiphon (cerca de 430 A.C.) alegou que poderia "quadrar o círculo" com uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado; segundo um octógono, a seguir um hexadecaedro, etc. Porém, faltava-lhe o conceito de limites para terminar com rigor matemático. Entretanto só depois que Eudoxo (cerca de 370 A.C.) fez o desenvolvimento do método de exaustão: uma técnica de aproximação da área de uma região com um número crescente de polígonos, com aproximações melhorando a cada etapa e a área exata sendo obtida depois de um número infinito destas etapas. Dessa forma, exemplificando, uma primeira aproximação para a área do círculo é dada pela área do quadrado inscrito no círculo. Com o acréscimo de quatro
  • 75 triângulos isósceles convenientes, obtemos o octógono regular inscrito no círculo, cuja área fornece uma aproximação melhor à área do círculo. Ou seja: FIGURA 5: REPRESENTAÇÃO DA APROXIMAÇÃO PARA A ÁREA DOCÍRCULO. Continuando com o processo de acrescentar novos triângulos, tomamos umpolígono regular de 16 lados. Do ponto de vista geométrico, é possível observar que jáse tem a impressão de termos exaurido o círculo, embora saibamos que existem algumasáreas que não foram cobertas. De acordo com THOMAS (2002): Para o círculo, Arquimedes primeiro mostrou que a área depende da circunferência; isto é muito fácil de se verificar hoje em dia, uma vez que ambas as fórmulas dependem de p. Então Arquimedes aproximou a área do círculo de raio unitário usando polígonos regulares de 96 lados inscritos e circunscritos! Seu famoso resultado foi 3 10/71 < p < 3 1/7; mas como estas eram apenas aproximações, no sentido estrito, não eram quadraturas. Esta técnica refinou o método de exaustão, assim quando existe um número infinito de aproximações poligonais, chamamos de método da compressão. O processo de Arquimedes para encontrar a área de um segmento de uma espiral era comprimir esta região entre setores de círculos inscritos e circunscritos: seu método de determinar o volume de um conóide (um sólido formado pela rotação de uma parábola ao redor de seu eixo) era comprimir este sólido entre cilindros inscritos e
  • 76 circunscritos. Em cada caso, a etapa final que estabelecia rigorosamente o resultado era o argumento da redução ao absurdo dupla. Assim, podemos dizer que a idéia básica do conceito de integral já estavaembutida no método da exaustão atribuído a Eudoxo, desenvolvido e aperfeiçoadopor Arquimedes. Já no Império Árabe, segundo BOYER (1989), um dos mais notáveis detodos matemáticos árabes, Thabit ibn Qurrah (826 – 901) desenvolveu sua própriacubatura, um tanto complicada, deste sólido; e então o cientista persa Abu Sahl al-Kuhi (século 10) simplificou consideravelmente o processo de Thabit. Ibn al-Haytham (965 -1039), usou o método de compressão para encontrar o volume dosólido formado pela rotação da parábola ao redor de uma reta perpendicular ao eixoda curva. Seguindo a história, chegamos a Johannes Kepler (1571 – 1630) aproximouos volumes de vários sólidos tridimensionais, cada qual era formado girando umaregião bidimensional ao redor de um eixo. Seguindo THOMAS (2002), as próximas grandes contribuições foram de: • Bonaventura Cavalieri (1598--1647), que desenvolveu uma teoria de indivisíveis. • Pierre Fermat (1601 – 1665) desenvolveu uma técnica para encontrar as áreas sob cada uma das "parábolas de ordem superior" (y = kxn , onde k > 0 é constante e n = 2, 3, 4, …) usando retângulos estreitos inscritos e circunscritos para levar ao método de compressão. Então empregou uma série geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas y = kxn, para n = -2, -3, -4, …. Mas, para sua decepção, nunca foi capaz de estender estes processos para "hipérboles de ordem superior", ym = kxn. • Por volta da década de 1640, a fórmula geral para a integral de parábolas de ordem superior era conhecida de Fermat, Blaise Pascal (1623-1662), Gilles Personne de Roberval (1602--1675), René Descartes (1596--1650), Torricelli, Marin Mersenne (1588--1648) e provavelmente outros.
  • 77 • Roberval e Pascal foram os primeiros a plotar as funções seno e co-seno e a encontrar as quadraturas destas curvas (para o primeiro quadrante). Pascal aproximou integrais duplas e triplas usando somas triangulares e piramidais. Ainda por THOMAS (2002), O Cálculo na forma geométrica, grande parte docálculo se desenvolveu nos primeiros dois terços do século XVII com Isaac Barrow(1630--1677). Após, foi James Gregory (1638--1675) ao pensar na área da região entreuma curva e o eixo horizontal como uma variável; o extremo esquerdo era fixo, mas oextremo direito podia variar, permitindo estender algumas fórmulas de quadratura deWallis e o levou ao Teorema Fundamental do Cálculo. Já Newton escreveu seu ensaio,"On the Quadrature of Curves" (Sobre Quadratura de Curvas), escrito entre 1691 e 1693e publicado como um apêndice na edição de 1704 do seu Opticks. Neste, ele montouuma tabela extensa de integrais de funções algébricas um tanto complicadas, e paracurvas as quais não podia desenvolver fórmulas de integração, inventou técnicasgeométricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Newtondesenvolveu as técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo osmétodos de substituição e integração por partes. Segundo BOS e BARON (1974), entre as principais contribuições de Newton aoCálculo estão: • Formula regras e procedimentos sistemáticos para cobrir as soluções gerais da maioria dos problemas relativos ao Cálculo Infinitesimal que eram conhecidos no seu tempo; • Estabelece uma estrutura unificada e um quadro dentro do qual todos os problemas podiam ser formulados; • Usa séries infinitas como ferramenta importante ao estender-se à classe das curvas “quadráveis”, isto é, curvas cuja quadratura podia ser determinada; • Estabelece a idéia de que a diferenciação e a integração são operações inversas. Sobre o Teorema Fundamental do Cálculo, ÁVILA (1985), afirma que esterelaciona integral com derivada, sendo um resultado decisivo para que os métodos
  • 78infinitesimais que então surgiram pudessem se organizar e disciplinas autônoma, - oCálculo Diferencial e Integral. Numa das versões, AVILA (1985), mostra que: x F ( x ) = ∫ f (t ) dt a É uma primitiva de f, isto é, F’(x) = f(x). Outra versão equivalente desse teorema afirma que se G é uma primitiva qualquer da função f, então: b G (b) − G ( a ) = ∫ f (t ) dt ; a Ou ainda, como f ( x) = G ( x), b G (b) − G ( a ) = ∫ G (t ) dt. a Evidentemente, tudo isso é válido no pressuposto de que f(x) e G’(x) sejam funções contínuas no intervalo [a, b}. Porém, no século XVII, quando o Cálculo ainda se encontrava em estágio embrionário, não havia uma preocupação explicita com a noção de continuidade, mesmo porque o conceito de função era também muito restrito. Por função se entendia uma correspondência entre variáveis, sempre dada por fórmulas ou expressões analíticas, como: y=3x²-7x+1, y= x x ² + , etc. 1 E a noção de continuidade só começaria a aparecer no século XVIII. De acordo com THOMAS (2002), para Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 –1716), uma curva era um polígono com um número infinito de lados, onde ele fez yrepresentar uma ordenada da curva e dx a distância infinitesimal de uma abscissa para apróxima, isto é, a diferença entre abscissas "sucessivas". Então disse que representaria aárea de uma figura pela soma de todos os retângulos [infinitesimais] limitados pelas
  • 79ordenadas e diferenças das abscissas, e assim representaria em seu cálculo a área dafigura por ò y dx. Leibniz tomou o "S" alongado para a integral do latim summa e d do latimdifferentia, e estas têm permanecido nossas notações de cálculo mais básicas desdeentão, segundo BOYER (1989). Segundo BOS e BARON (1974, p. 52), algumas idéias importantes quefundamentaram a invenção do cálculo por Leibniz, foram: • O interesse de Leibniz pelo simbolismo e pela notação vinculando à sua idéia de uma linguagem simbólica geral; • O reconhecimento de que somar sequências e tomar as suas diferenças são operações inversas e que, semelhantemente, a determinação de áreas e a de tangentes são operações inversas. No inicio do século XVIII, segundo ÁVILA (1985), Leonhard Euler (1707 –1783), publicou livros que estabeleceram padrões definitivos ao Cálculo e exerceraminfluencia por um século. Então, segundo volume de uma dessas obras – “Introductionin Analysin Infinitorum”, de 1848, ele distingue funções continuas de descontínuas.Assim, por contínua, ele entende uma função dada por uma única expressão analítica,como: y = sen x, y = x2 + 1 ou y = log x. É descontínua uma função dada por várias expressões analíticas, porém cujográfico é uma curva única, sem interrupções, o que difere do que hoje entendemos pordescontinuidade. Já THOMAS (2002), nos diz que a idéia moderna de uma função contínua,independente de qualquer fórmula, foi iniciada em 1791 por Louis-François Arbogast(1759 – 1803): "A lei de continuidade consiste em que uma quantidade não pode passarde um estado [valor] para outro [valor] sem passar por todos os estadosintermediários [valores] ...". Esta idéia tornou-se rigorosa em um panfleto de 1817 porBernhard Bolzano (1781 - 1848) e é conhecida agora como o Teorema do ValorIntermediário. Dessa forma, as funções descontínuas no sentido moderno só foram
  • 80introduzidas na comunidade matemática e científica por Joseph Fourier (1768 – 1830)no seu famoso Analytical Theory of Heat (Teoria Analítica do Calor, 1822). Segundo THOMAS (2002), Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) assumiu areforma total do cálculo para seus alunos de engenharia na École Polytechnique nadécada de 1820, a integral era uma de suas pedras Fundamentais. Já BOS e BARON (1974), diz que a concepção de integração como o inverso dadiferenciação, de Newton e de Bernoulli, era geralmente aceita no século XVII. Então,Cauchy apresentou outro enfoque para a integração, considerando-a como soma. Eledefiniu a integral como um somatório que tende a um limite. Seguindo BOS e BARON (1974), é dito que: Uma vez que a integração não é mais definida como o inverso da diferenciação, o Teorema Fundamental do Cálculo não um corolário da definição da integração, mas deve ser provado. O teorema fundamental afirma que a integração e a diferenciação são operações inversas. Para sermos mais precisos, ele afirma que se f é uma função continua e considerarmos a função F definida por: b F ( x ) = ∫ f ( x ) dx, entãoF = f . a Segundo THOMAS (2002, p. 11), Cauchy definiu a integral de qualquer funçãocontínua no intervalo [a, b] sendo o limite da soma das áreas de retângulos finos. Dessaforma sua primeira obrigação era provar que este limite existia para todas as funçõescontínuas sobre o intervalo dado. Infelizmente, embora Cauchy tenha usado o Teoremado Valor Intermediário, não conseguiu seu objetivo porque não observou dois fatosteóricos sutis, mas cruciais. Ele não tinha noção das falhas lógicas no seu argumento eprosseguiu para justificar o Teorema do Valor Médio para Integrais e para provar oTeorema Fundamental do Cálculo para funções contínuas. Já TUMELERO e MUSIAL (2003, p. 7), dizem que no século XVIII, a ênfaseera posta na idéia de função dada por uma expressão analítica. Também é dito que osconceitos de derivada e integral, como os de funções e continuidade, eram insuficientespara lidar com os novos problemas que surgiam no final do século. Então, Cauchy foi o
  • 81primeiro a introduzir a integral analiticamente. Em seu “Résumée” de 1823 ele defineintegral como o limite de somas do tipo: Ou seja, de acordo com TUMELERO e MUSIAL (2003), quebrou o domínio daintegração em subintervalos de tamanho arbitrário por uma divisória ecalculou a área como o limite de: ,então quando n aumenta, esta soma se aproxima da área do trapezóide definido sob ográfico de f, estabelecendo assim sua existência para toda a função contínua. Portanto, TUMELERO e MUSIAL (2003), concluem a respeito da integralsegundo Cauchy que a integral assim definida dispensa com a restrita concepção de quef tenha uma função analítica. Basta que a função f seja contínua para que exista F talque F’(x) = f(x); F é a integral definida de f num intervalo [a; b]. Ainda no século, apareceu Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), queseguiu os trabalhos de Dirichilet, de tal forma que segundo TUMELERO e MUSIAL(2003, p. 8), o ponto de partida de Riemann é a questão não resolvida por Dirichlet em1829: O que significa dizer que uma função é integrável? Ao contrário de Cauchy, que se restringiu, em suas considerações, as funções que são contínuas, ou, no máximo, seccionalmente contínuas, Riemann não faz outra hipótese sobre a função a ser integrada, além da exigência de que suas “somas de Riemann”, convirjam. E estabelece, a partir daí, critérios para a integrabilidade que caracterizam completamente a classe das funções integráveis.
  • 82 De acordo com TUMELERO e MUSIAL (2003, p. 10-11), segue a definiçãoexata, na íntegra da integral de Riemann: Terminando a análise de TUMELERO e MUSIAL (2003), é dito que asdemonstrações dadas por Riemann em seu trabalho tinham várias lacunas, das quais sópodem ser justificadas à luz de resultados sobre continuidades e convergênciauniformes, os quais época de Riemann esses conceitos ainda não tinham sidodefinitivamente identificados e incorporados à matemática. Após a contribuição de Riemann, TUMELERO e MUSIAL (2003) destacam otrabalho Henri-Léon Lebesgue (1875 – 1941).
  • 83 Aqui vale destacar que nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral 1, é estudadoao conceito de integral de Riemann. Entretanto, como a história da matemática não párae continua dinâmica, vamos apenas dar uma breve pincelada em tal contribuição. Assim, TUMELERO e MUSIAL (2003), dizem que em 1901, Lebesguepublicou uma nota na qual propunha um novo conceito de integral contendo como casoparticular a de Riemann, conseqüentemente a de Cauchy, eliminando várias deficiênciasdessas integrais, e em particular, dando uma resposta mais geral sobre a validade dafórmula de Newton- Leibniz. Este novo conceito vai permitir, por exemplo, estender aclasse das funções integráveis: Um exemplo simples de função ƒ: [0, 1] → R integrávelà Lebesgue e não integrável à Riemann é: Em resumo, podemos falar sobe o desenvolvimento dos conceitos de Cálculo,subdividindo-os em 4 grupos, a saber:• Funções: Como vimos anteriormente, de acordo com YOUSCHKEVITCHI (1981), citadopor OLIVEIRA (1997), existem três etapas principais do desenvolvimento de funções,que podem ser resumidos da seguinte forma: • Antiguidade: Etapa no curso no qual o estudo de diferentes casos de dependência entre duas quantidades ainda não isolou as noções de gerais de quantidades variáveis e de funções. • Idade Média: Nesta etapa, as noções, são pela primeira vez, e de maneira precisa, expressas sob uma forma geométrica e mecânica, mas durante a qual, como na antiguidade, cada caso concreto de dependência entre duas quantidades, são definidas por uma descrição verbal, ou por um gráfico, de preferência fórmula. • Período Moderno: No curso, da qual, no fim do século XVI, e durante o século XVII, as expressões analíticas de funções começam a prevalecer; a
  • 84 classe de funções analíticas geralmente é expressa por meio de soma de séries infinitas, tornando-se logo a principal classe utilizada.• Limites: Vimos que entre todos os conceitos de Cálculo, limites é considerado o maisbásico de todos, e de fundamental importância para a compreensão dos demais. Dessa forma, tem seu desenvolvimento histórico começado a partir dosparadoxos de Zenão, do qual ele tira a impossibilidade do movimento. Ainda na Grécia Antiga, vimos que Arquimides não tem o conceito de infinito trabalhou com oargumento denominado dupla reductio ad absurdum. Já no século XVII, Fermat essencialmente trabalhou com limite com oargumento que algo é "infinitamente pequeno". Geometricamente, Fermat estavatentando mostrar que, exatamente nos pontos mais altos e mais baixos ao longo dacurva, as retas tangentes à curva são horizontais, isto é, têm inclinação zero. Depois, temos Descartes, que tinha um processo que usava raízes duplas de umaequação auxiliar, o qual teve sua técnica melhorada pelo matemático Johan Hudde(1628--1704). Em cada um desses cálculos, o limite deveria ter sido usado em algumaetapa crítica, mas não foi. Nenhum destes geômetras percebeu a necessidade da idéia delimite, e assim cada um encontrou uma maneira inteligente para alcançar seusresultados, os quais estavam corretos, mas com meios que, agora reconhecemos, faltamfundamentos rigorosos Em quase todos os trabalhos de Isaac Newton (1642 – 1727), também nãoreconheceu o papel fundamental do limite. Mas, dentre estes precursores do cálculo, temos Jean Le Rond dAlembert(1717--1783), que foi o único cientista daquele tempo que reconheceu explicitamente aimportância central do limite no cálculo. Já no inicio do século XVIII, nas suas classes e nos livros-texto clássicos,Cauchy usou o princípio de limite como a base para introduções precisas à continuidadee convergência, a derivada, a integral, e o resto do cálculo. Em fim, foi Karl Weierstrass (1815 – 1897) quem determinou que a primeiraetapa necessária para corrigir os erros da definição original de Cauchy do limite em
  • 85termos estritamente aritméticos, usando apenas valores absolutos e desigualdades, aqual é usada até hoje.• Derivadas: Segundo THOMAS (2002), podemos começar o desenvolvimento do Cálculopor Euclides (cerca de 300 a.C.), que provou o teorema que diz que a reta tangente a umcírculo em qualquer ponto P é perpendicular ao raio em P; e depois Arquimedes (287-212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente à sua espiral e Apolônio(cerca de 262 - 190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto quanto diferentes, paradeterminar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Na realidade, podemos dizer que após os Gregos o interesse por tangentes acurvas reapareceu no século XVII, como parte do desenvolvimento da geometriaanalítica. Ou seja, foi René Descartes (1596 – 1650) que teve o discernimento de prevera importância da tangente, e foi ele quem inventou um procedimento de dupla raiz paraencontrar a normal e então a tangente a uma curva. Já Newton, teve a intenção de determinar a relação entre variação y e daquantidade x, de uma função y = f(x), quando x sofre um acréscimo infinitesimal,considerando as quantidades matemáticas “como se fossem geradas por um aumentocontínuo do espaço no qual um objeto se move descrevendo uma trajetória”. Também foi Newton que estabeleceu muito tarde a notação padrão como pontopara representar a diferenciação. Assim, pelo exposto sobre Newton e Leibniz, podemos perceber que foi atravésdeles que se reconheceu a relação inversa entre problemas de quadratura e de tangentes.• Integrais: De acordo com THOMAS (2002), o cálculo integral se originou com problemasde quadratura e cubatura, na Grécia Antiga, como Hipócrates de Chios, Antiphon,Eudoxo e Arquimedes. Já no Império Árabe, segundo BOYER (1989), um dos mais notáveis de todosmatemáticos árabes, Thabit ibn Qurrah (826 – 901) desenvolveu sua própria cubatura. Seguindo THOMAS (2002), as próximas grandes contribuições foram de:
  • 86 • Bonaventura Cavalieri (1598--1647), que desenvolveu uma teoria de indivisíveis.• Pierre Fermat (1601 – 1665) desenvolveu uma técnica para encontrar as áreassob cada uma das "parábolas de ordem superior" usando retângulos estreitos inscritos ecircunscritos para levar ao método de compressão. • Por volta da década de 1640, a fórmula geral para a integral de parábolas de ordem superior era conhecida de Fermat, Blaise Pascal (1623-1662), Gilles Personne de Roberval (1602--1675), René Descartes (1596--1650), Torricelli, Marin Mersenne (1588--1648) e provavelmente outros. Já Newton escreveu seu ensaio entre 1691 e 1693, onde ele montou uma tabelaextensa de integrais de funções algébricas um tanto complicadas, e para curvas as quaisnão podia desenvolver fórmulas de integração, inventou técnicas geométricas dequadratura. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Newton desenvolveu astécnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os métodos desubstituição e integração por partes. De acordo com THOMAS (2002), para Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 –1716), uma curva era um polígono com um número infinito de lados, onde ele fez yrepresentar uma ordenada da curva e dx a distância infinitesimal de uma abscissa para apróxima, isto é, a diferença entre abscissas "sucessivas". Então disse que representaria aárea de uma figura pela soma de todos os retângulos [infinitesimais] limitados pelasordenadas e diferenças das abscissas, e assim representaria em seu cálculo a área dafigura. Já Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) assumiu a reforma total do cálculopara seus alunos de engenharia na École Polytechnique na década de 1820, onde aintegral era uma de suas pedras Fundamentais. Ainda no século, apareceu Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), queseguiu os trabalhos de Dirichilet, de tal forma que o ponto de partida de Riemann é aquestão não resolvida por Dirichlet em 1829, dando uma grande contribuição ao estudodas integrais. Após a contribuição de Riemann, destacamos o trabalho Henri-Léon Lebesgue(1875 – 1941).
  • 87 7. O DISCRETO E O CONTÍNUO NO DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO O objetivo deste capitulo é mostrar o problema do discreto e do continuo nodesenvolvimento do Cálculo. O Cálculo, segundo BOYER (1989), teve sua origem nas dificuldadesencontradas pelos antigos matemáticos gregos na sua tentativa de expressar suas idéiasintuitivas sobre as razões ou proporções de segmentos de retas, que vagamentereconheciam como contínuas, em termos de números, que consideravam discretos. Já para COBIANCHI (2001), o problema de continuidade e do infinito foramsentidos desde a antiguidade, nas tentativas de medição de segmentos, retificação decurvas, quadraturas de figuras planas e cálculo de volumes de sólidos; podendo ter umade suas primeiras aparições na Escola Pitagórica, a partir do século VI antes de Cristo. Assim, antes de tudo, vamos definir discreto e continuo. De modo geral, segundo CUNHA (1996) citado por BROLEZZI (1996), discretoé aquilo que exprime objetos distintos, que se revela por sinais separados, que se põe àparte. Vem do latim discretus, particípio passado do verbo discernere (discernir), quesignifica discriminar, separar, distinguir, ver claro. Já contínuo, segundo MAGNE (1959), vem de con-tenere (ter junto, manterunido, segurar). Contínuo é o que está imediatamente unido a outra coisa. Então, começaremos nossa análise pela Escola Platônica. GRAGNER (1974, p.37), afirma que: A dificuldade de medida que constituiu a existência de grandezas incomensuráveis foi trazida à tona, depois dos Pitagóricos, pelos geômetras do circulo de Platão. Esse problema dos incomensuráveis causou um verdadeiro escândalo lógico, pois pareceu arruinar teoremas envolvendo proporções; e um exemplo desse problema,
  • 88 refere-se a duas quantidades, como a diagonal e o lado do quadrado, que são incomensuráveis quando sua razão não resulta algum número (inteiro) para outro inteiro. Dessa forma, podemos dizer que, de acordo com COBIANCHI (2001) que aincomensurabilidade nunca poderia ser descoberta a partir de observações o mediçõesexperimentais, as quais estão sempre submetidas a uma maior ou menor aproximação,pois a Matemática é um produto do puro pensamento discursivo, e suas verdades sãoestabelecidas pelo raciocínio dedutivo, que são suas demonstrações, e não pelaverificação experimental. Podemos dizer que a raiz do pensamento de Platão, de acordo com COBIANCHI(2001), está em que a realidade não se localiza nas coisas sensíveis, e sim nas formas.Desse modo, ainda segundo COBIANCHI (2001), a filosofia de Platão e a ciência gregaimpuseram-se duas limitações, que muito influiu na construção da Matemática, a saber: 1. A rejeição do devir como base de uma explicação racional do mundo; 2. A rejeição do manual e do mecânico para fora do domínio da cultura. Em conseqüência disso, houve a esse abandono do aspecto quantitativo, restandosomente um estudo qualitativo. Assim, seguindo o caminho percorrido pela continuidade, segundoCOBIANCHI (2001), cabe ressaltar que Matemática trata com dois tipos diferentes deatividades, com vínculos estreitos em relação à continuidade, a saber: 3. Envolvendo contagem de elementos discretos, separados e indivisíveis; 4. Envolvendo medida de quantidades que são continuas e, na imaginação, infinitamente divisíveis, isto é, divisíveis sem fim. KLINE (1972, p. 35), citado por COBIANCHI (2001), nos diz que foi Zenãoquem deu relevância ao problema da relação entre discreto e contínuo. Já BROLEZZI (1996), vem nos dizer que após a crise dos incomensuráveis, quepode ser situada no seio da nascente escola pitagórica, irá surgir outra grande polêmicamuito fértil entre os filósofos pré-socráticos, ou seja, ao que tudo indica o problema daincomensurabilidade entre magnitudes gerou algumas concepções polêmicas acerca da
  • 89natureza do mundo físico, como a doutrina atomística, defendida por Demócrito, quepropunha a existência do infinitamente pequeno compondo o ser das coisas. Segundo BOYER (1959), Demócrito foi, aparentemente, o primeiro a falar deinfinitesimais, e a considerar a possibilidade de trabalhar com o infinitamente pequeno afim de recompor o todo, como no caso de utilizar lâminas circulares infinitamente finaspara calcular o volume de cilindros e cones, antecipando-se assim ao teorema deCavalieri, nesses casos. Tal teoria foi combatida duramente pela escola filosófica de Parmênides, noentanto segundo BROLEZZI (1996), foi um aluno de Parmênides, Zeno de Eléa, ouZenão, que entrou para História com seus famosos dons dialéticos, ou seja, através damanipulação de argumentos lógicos, pretendia demolir as idéias dos adversários. Zenão,continua BROLEZZI (1996), dizia que a idéia de infinitésimos é totalmente absurda,pois se possuem algum comprimento, então uma quantidade infinita deles irá comporuma reta de comprimento infinito; e se não têm nenhum comprimento, então umaquantidade infinita deles tampouco terá comprimento algum. Além disso, dirá também:aquilo que acrescentado a outro não o faz maior, e subtraído de outro não o faz menor, ésimplesmente nada. Quando Zenão fez seus paradoxos deixaram descobertas as dificuldades de seimaginar ou intuir os fenômenos associados à continuidade, isto é, a questão toda,segundo BROLEZZI (1996), está em se considerar tempo contínuo e espaço discreto,ou vice versa, trazendo essa sensação de certo desamparo intuitivo, relatando umasituação de perplexidade comum frente à continuidade e ao infinito. Como exemplo, o Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga, BROLEZZI (1996, p. 22),afirma que: O paradoxo mais conhecido é sem dúvida o de Aquiles e a Tartaruga, embora seja similar ao da Dicotomia. Agora temos o atleta Aquiles, com toda sua força física, sendo derrotado numa corrida por uma lenta tartaruga. Basta para isso que deixe a tartaruga sair com uma vantagem de distância, mesmo pequena, à frente dele. Pois assim que Aquiles alcançar a posição inicial da tartaruga,
  • 90 ela já se deslocou dali, mesmo que seja pouca coisa. Quando Aquiles chegar ao local onde a tartaruga devia se encontrar agora, esta já adiantou-se outro pequeno espaço, e assim por diante, de modo que a tartaruga sempre está à frente de Aquiles, até cruzar vitoriosa a reta de chegada. Segundo BOYER (1989, p. 87), a Matemática adquiriu outra configuração apósZeno: As grandezas não são associadas a números ou pedras, mas a segmentos de reta. Em Os Elementos os próprios inteiros são representados por segmentos. O reino dos números continuava a ser discreto, mas o mundo das grandezas contínuas (e esse continha a maior parte da Matemática pré-helênica e pitagórica) era algo à parte dos números e devia ser tratado por métodos geométricos. Já COBIANCHI (2001), vem dizer que a concepção corpuscular da EscolaPitagórica estava batida, onde os argumentos de Zenão tornaram palpável aincompatibilidade dessa concepção com a estrutura da reta. Sobre a obra de Euclides, BROLEZZI (1996) fala que representa o início dabusca que resultará no Cálculo Diferencial e Integral. Euclides reúne toda a elaboraçãogrega dos séculos anteriores, e registra o momento em que os pesquisadores começam ase voltar para a possibilidade da exploração da continuidade e da geometria em termosde análise algébrica, interessando-se mais por métodos de redução como o método deexaustão de Eudoxo. Não é por acaso que Arquimedes, bem como todos os criadores doCálculo no século dezessete, irão se voltar para Euclides e tentar buscar aí as idéias doCálculo.
  • 91 Aqui a principal dificuldade para os gregos desenvolverem o Cálculo era o usofreqüente da idéia de razão. Esse fundamento da Matemática grega irá dificultar que seenxerguem as idéias fundamentais do Cálculo. Como diz BOYER, (1974, p. 301), Os próprios conceitos que deram nascimento ao Cálculo - aqueles de variação e continuidade, do infinito e do infinitesimal - foram banidos da matemática grega por esta razão, sendo o trabalho de Euclides um monumento a esta exclusão. Dessa forma, continua BROLEZZI (1996), no mundo grego se estabelece agrande divisão entre as noções de discreto e contínuo, em termos de concepçãofilosófica, marcando profundamente a evolução da Matemática. É Euclides quemmelhor registra essa dicotomia que caracterizava a mentalidade grega, dividindo emlivros diferentes aquilo que se referia à geometria daquilo que se referia aos números. AGeometria seria o “reino da continuidade”, enquanto a Aritmética seria o “reino dodiscreto”. BOYER (1974) vem nos dizer que os Elementos baseiam-se em "intuiçãorefinada" e não deixavam espaço livre para a "intuição ingênua”, o que viria a tornar-seespecialmente ativa na gênese do Cálculo no século dezessete. A diferença entre estes dois tipos de intuição, segundo BROLEZZI (1996), ficamais patente nos trabalhos que marcam a evolução pós-Euclides, principalmente nasobras de Arquimedes. Para verificarmos de que forma os gregos estavam próximos doCálculo, é preciso explicar antes o Método de Exaustão de Eudoxo e a utilização quedele fez Arquimedes. BROLEZZI (1996, p. 23), nos diz que: O conceito de proporção dos pitagóricos, associando a razão entre dois segmentos de reta à razão entre números inteiros, não podia ser aplicada no caso das grandezas incomensuráveis. Eudoxo, aluno de Platão, propôs então uma outra definição de proporção, de caráter mais geral,
  • 92 permitindo que os quatro termos da proporção fossem todos grandezas geométricas, evitando por completo qualquer extensão à idéia pitagórica de número. Desse modo, Eudoxo constrói um instrumento útil que podia ser manuseado sem haver misturas entre números e grandezas geométricas, isto é, sem ferir o modo de pensar grego. Dessa forma, Eudoxo desenvolveu o seu Método da Exaustão, que se baseavanum princípio que acabará por ficar conhecido como Postulado de Arquimedes, emborao mesmo o atribua a Eudoxo, segundo BROLEZZI (1996). O enunciado desse axioma é dado por Euclides X, 1, dizendo que, dadas duasgrandezas diferentes (ambas não nulas), Se da maior subtrairmos uma grandeza maior que a sua metade, e do que restou subtrairmos uma grandeza maior que a sua metade, repetindo esse processo continuamente, restará uma grandeza que será menor que a menor grandeza dada. O que há de fantástico nesta definição, segundo BROLEZZI (1996), é queexclui o infinitesimal de todas as demonstrações geométricas dos gregos, permitindoraciocinar sem ultrapassar a compreensão intuitiva clara, pois Eudoxo não propõe ir atéo infinito para de fato atingir o limite, mas apenas afirma que se pode chegar a umagrandeza tão pequena quanto qualquer outra dada. A diferença entre o método de exaustão e o limite do Cálculo Diferenciale Integral, segundo BROLEZZI (1996), reside apenas no fato de os gregos nãorealizarem essa passagem ao infinito, pois não tinham noção de um continuumaritmético. Mas o tipo de argumentação é o mesmo, tanto no caso do atual limite quantono método de exaustão geométrico. Para avaliar até que ponto chegaram os gregos, BOYER (1959), nos diz quebasta verificar o que Arquimedes (287 – 212 aC) realizou o Cálculo da área sob a
  • 93parábola antecipando-se, assim, em mais de dezessete séculos aos resultados do CálculoIntegral. Segundo EDWARDS (1979), faltava a Arquimedes a noção de passagem aolimite, pois ele partilhava com os gregos do chamado horror ao infinito. Ao mesmo tempo, BROLEZZI (1996) afirma que, o estudo da Matemática gregamostra como as idéias originais do Cálculo têm início em considerações que envolvemtanto noções de grandezas discretas quanto de grandezas contínuas, servindo ambas parase chegar aos resultados do Cálculo. Assim, continua BROLEZZI (1996), será também por estes dois caminhos -ambos igualmente úteis – que surgirá o reconhecimento da relação inversa entreproblemas de área e de tangente a uma curva, que é o cerne do Teorema Fundamentaldo Cálculo. Mas isso somente irá aparecer de maneira explícita nos trabalhos de Newtone Leibniz, na segunda metade do século XVII. Dessa forma, BROLEZZI (1996), nos diz que Newton (1642-1727) e Leibniz(1646-1716) chegaram ao Cálculo através de caminhos diferentes, tanto em linguagemcom que ambos expressaram as idéias fundamentais do Cálculo, mas também emtermos de concepção pode-se verificar uma diferença grande entre os trabalhos desteshomens. Tanto Newton quanto Leibniz podem ser considerados como os primeiros aexpressar a idéia da reciprocidade entre a diferencial e a integral, que constitui oTeorema Fundamental do Cálculo. Mas a maneira de ver o Cálculo era distinta. De acordo com ROBINSON (1974, p. 260), que foi o criador da análise não-standard, nos diz que quando analisamos os fundamentos da teoria do Cálculo, épossível identificar dois modos distintos de trabalhar as idéias básicas: No que se refere aos fundamentos do novo assunto, Newton vacilava, referindo-se às vezes aos infinitesimais, às vezes aos limites, e às vezes a uma intuição física básica, e seus sucessores imediatos deram preferência a essa última abordagem. Por outro lado, Leibniz e seus seguidores basearam o desenvolvimento da teoria sobre os diferenciais infinitamente pequenos, de primeira e segunda ordem.
  • 94 Já BOYER (1989, p. 260), nos diz que: Newton, o cientista, encontrou na noção de velocidade a base que para ele parecia satisfatória; Leibniz, o filósofo, que era também tanto teólogo quanto cientista, preferia encontrar a base na diferencial, a contrapartida em pensamento da mônada, que deveria desempenhar um papel tão grande no seu sistema metafísico. Dessa forma, poderíamos dizer assim que Newton teria chegado ao Cálculo pelavia do contínuo, e Leibniz pela via do discreto, conforme já visto acima, pois ambas asmaneiras de abordar o problema mostraram-se igualmente úteis, já que não estavaestabelecida a noção de limites, as idéias de movimento contínuo e de infinitésimosdiscretos surgiram como tentativas de esquematizar as impressões sensíveis a respeitoda variação. Quando nos referimos à percepção da relação inversa entre a derivada e aintegral, e a formulação de regras de para se obter derivadas e integrais, podem sertomados como a essência da criação do Cálculo, isto é, para chegar a esses conceitos,Newton segue o caminho constituído pela manipulação da noção contínua de velocidadee movimento. Já Leibniz, segundo BARON & BOS (1985, p.70), tem outra maneira de encararas coisas. Para Leibniz, a visualização do Cálculo se dá de forma estática: Leibniz considerava as variáveis como percorrendo seqüências de valores infinitamente próximos. No seu Cálculo há pouco uso de conceitos de movimento. A visão discreta de Leibniz e a visão contínua de Newton, segundo BROLEZZI(1996), foram ambas igualmente úteis para compor o cenário para o Cálculo que estavanascendo. As preocupações metafísicas de Newton e Leibniz levaram ambos a tentaresclarecer a natureza do "ser" das variáveis e dos fenômenos relacionados a elas. Essasexplicações iniciais serviram para dar sustentação a esse período inicial do Cálculo, até
  • 95que a matemática evoluísse mais para poder ultrapassar a visão dicotômica entre odiscreto e o contínuo. Assim, afirma BOYER (1974, p. 216): Somente após o desenvolvimento do conceito geral abstrato de número real o caminho estava claro para interpretar ambos os cálculos fluxionário e diferencial em termos de limite de uma seqüência infinita de razões ou números; mas essa interpretação não tornou-se aceita ainda por mais um século. Hoje, de acordo com BARON & BOS (1985, p.73), podemos dizer que oCálculo moderno é, em essência, o mesmo que eles criaram, mas com uma linguagem euma abordagem conceitual bem distinta de ambos: No Cálculo moderno a operação de diferenciação associa uma função a uma derivada. Para Leibniz, a diferenciação associava uma diferencial infinitamente pequena a uma variável. Para Newton, tomar fluxões significava associar uma velocidade finita a uma variável. Portanto, a concepção da operação fundamental nos cálculos de Newton e Leibniz era totalmente diferente do conceito de diferenciação que está em uso no Cálculo moderno. Em 1826, segundo BROLEZZI (1996), Cauchy estabelece a noção de limites,em certa medida elaborando em linguagem matemática uma estrutura flexível dentro daqual as noções de discreto e contínuo pudessem ser trabalhadas. Já Weierstrass, com aferramenta da noção de limite, formaliza o Cálculo, introduzindo a linguagem dosÉpsilons e Deltas. Os dois caminhos percorridos por Newton e Leibniz, segundo BROLEZZI(1996), se encontraram em um mesmo ponto, o Cálculo. Conseqüentemente, o Cálculo éo “reino” onde interagem de modo especial o discreto e o contínuo. Para chegar a umamelhor definição do Cálculo, foi necessário elaborar a teoria sobre o contínuo, e tentar
  • 96compreender a natureza da reta real. O Cálculo irá se apoiar assim sobre os númerosreais, e sobre a idéia de limite. Já foi Georg Cantor, segundo BROLEZZI (1996), foi quem chamou a atençãopara a continuidade da reta real, ainda não suficientemente explicada. Cantor propôs aconstrução de um conjunto especial de pontos, chamado de Conjunto de Cantor ouPoeira de Cantor. Esse conjunto tem grande importância histórica, e pode serconsiderado o mais simples dos fractais. Segundo YOUNG (1992, p. 321), citado porBROLEZZI (1996): Cantor foi levado ao conjunto que agora leva seu nome em seus esforços para esclarecer as características essenciais de um contínuo matemático e, portanto cobrir a distinção entre um conjunto de pontos contínuo e discreto Atualmente, de acordo com BROLEZZI (1996), afirma que mesmo bemdefinido matematicamente, o contínuo continua a desafiar a mente com um problema deordem epistemológica, colocado por Caveing do seguinte modo: O contínuo é um dadoprimitivo e intuitivo, ou uma construção matemática? DA COSTA & DORIA (1991/2) sugere algumas linhas de pesquisa quepermitam obter estruturas contínuas antes de estruturas discretas, a fim de estabelecer,dentro da Matemática, uma relação entre parceiros iguais. Essas indagações sobre ainteração entre discreto e contínuo traduzem-se em um problema de base do Cálculo.PETITOT (1985, p. 209), comenta essa dificuldade da base da análise: Ora, se se remonta do seu formalismo de base - a saber, o formalismo diferencial - até ao seu conceito primitivo - a saber, o de infinitesimal -, depara-se com uma contradição. Com efeito, dada a estrutura arquimediana da reta real, uma quantidade infinitesimal é necessariamente nula; sendo o contínuo divisível sem resto até ao infinito, não poderiam aí existir nem "átomos" indivisíveis fazendo parar o processo de divisão, nem infinitamente pequenos que o excedam.
  • 97 Em 1960, segundo BROLEZZI (1996), Abraham Robinson provou que osinfinitésimos podem ser definidos de modo a fornecer uma estrutura rigorosa para oCálculo, onde a análise não-standard tem a mesma consistência interna que o Cálculobaseado em números reais e limites. Comenta YOUNG (1992) sobre a análise não-standard de Robinson: Apesar de o tema estar ainda na sua infância e seu futuro estar longe de ser claro, ainda assim constitui-se em um esforço para construir uma ponte cobrindo o espaço existente entre o contínuo e o discreto. A análise não-standard, ainda por BROLEZZI (1996), faz parte portanto dessatentativa de construir um fundamento sólido, ligando o discreto ao contínuo, para asidéias do Cálculo Diferencial e Integral. Ao comentar sua própria criação, Robinsonchama a atenção para o fato de que a teoria do Cálculo somente veio a ser bemfundamentada muito tempo depois de suas bases estarem lançadas: Penso que nos séculos futuros será considerado algo muito estranho na história da matemática que a primeira teoria exata dos infinitesimais foi desenvolvida 300 anos após a invenção do Cálculo diferencial. Desse modo, conclui BROLEZZI (1996), a análise não-standard faz parte, dessatentativa de construir um fundamento sólido, ligando o discreto ao contínuo, para asidéias do Cálculo Diferencial e Integral.8. O CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: DA DÉCADA DE 60 ATÉ OS DIAS DEHOJE O objetivo deste capitulo é mostrar como o Cálculo foi inserido no ensino médio, a partir do currículo e de livros didáticos, desde a década de 60 até os dias de hoje. Podemos começar este tópico perguntando por que ele foi inserido? Qual a importância dessa discussão?
  • 98 Pois bem, comecemos com ÁVILA (1991), quando ele questiona porque doCálculo não ser ensinado no 2.o grau (atual ensino médio)? Será que é muito difícilpara tal nível de ensino? Pois, é por isso que começaremos seguindo ÁVILA (1991), quando ele afirmaque no final da década de 50 e inicio dos anos 60, com o inicio do Movimento daMatemática Moderna, que pregavam a modernização do ensino, cuja tônica foi àênfase excessiva no formalismo e no rigor das apresentações, foi retirado do antigosegundo grau (atual ensino médio) programas tais como o Cálculo. Na ocasião oconteúdo de Cálculo fazia parte do programa da 3.a série do chamado curso cientifico,segundo ÁVILA (1991). De fato, quando pegamos o livro “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUELJAIRO BEZERRA, temos neste conteúdo de Cálculo, o qual analisaremos mais tarde.O que chama a atenção logo de inicio é a seguinte mensagem na contra-capa do livro:“De acordo com os programas em vigor, conforme portarias n.os 966, de 02/10/1951e 1.054 de 14/12/1951”. (BEZERRA, 1962, s/p)Mas afinal, que programas curriculares em vigor em 1962 são esses? Antes de falarmos sobre tais portarias, ÁVILA (1991) nos diz que desde 1943quando foi instituída a reforma do ensino secundário, conhecida por reformaCapanema, e bem como antes de tal reforma, o Cálculo já fazia parte do programa dedois anos do pré-universitário, das escolas de engenharia. Agora, quando pegamos SILVA (2008), ele nos diz que a portaria de 1951,lançada pelo então Ministro da Educação e Saúde Simões filho, foi denominadaprograma mínimo e procurava estabelecer um limite mínimo na qual todas asinstituições escolares estariam sujeitas. Dessa forma, o programa mínimo para ocolégio estabelecia na 3ª série, de acordo com SILVA (2008, p. 137), temos: Desenvolvimento dos Programas Mínimos de Ensino Secundário e respectivas instruções metodológicas. I – Conceito de função; representação cartesiana; reta e círculo; noção intuitiva de limite e de continuidade. (vii) Conceito elementar de variável e de função. Variável progressiva e variável contínua; intervalos; noção intuitiva de limite de
  • 99 uma sucessão; exemplos clássicos elementares; convergência. 2) Funções elementares; classificação. Representação cartesiana de uma função e equação de uma curva. Curvas geométricas e curvas empíricas; noção intuitiva de continuidade. Representação gráfica de funções usuais; função exponencial, função logarítmica e funções trigonométricas diretas. Acréscimo de uma função num ponto; funções crescentes e funções decrescentes. Tangente; inclinação da tangente. 3. Limite de variáveis e de funções; limites infinitos. Propriedades fundamentais. Exemplos elementares de descontinuidade de uma função em um ponto. Descontinuidade das funções racionais fracionárias. 4. A função linear e a linha reta em coordenadas cartesianas. Parâmetros angulares e parâmetro linear. Formas diversas de equação da linha reta. Representação paramétrica; ares de um triângulo em função das coordenadas dos vértices. Os problemas clássicos de inclinação, intersecção, passagem e distância, relativos à linha reta. 5. A equação geral do 2° grau com duas variáveis e a circunferência de círculo em coordenadas cartesianas. Formas diversas da equação da circunferência de círculo. Intersecção de retas e circunferências. II – Noções sobre derivadas e primitivas; interpretações; aplicações.1. Definição daderivada em um ponto; notações; derivada infinita.Interpretação geométrica e cinemática da derivada.
  • 100 Diferença e diferencial; interpretação geométrica. Funções derivadas. Derivação sucessiva. 2. Regras de derivação; derivada de um constante; de um função de função; de funções inversas; da soma, do produto e do quociente de funções. Aplicação à derivação de funções elementares. 3. Aplicação da teoria das derivadas ao estudo da variação de uma função. Funções crescentes e funções decrescentes; máximos e mínimos relativos; interpretação geométrica. 4. Funções primitivas; integral indefinida; constante de integração. Primitivas imediatas; regras simples de integração. 5. Integral definida. Aplicação ao cálculo de áreas e de volumes; exemplos elementares. Agora, podemos falar da Reforma da Matemática Moderna, cujascaracterísticas principais, segundo ÁVILA (1993), foram a ênfase acentuada nautilização da linguagem de conjuntos e numa apresentação excessivamente formal dasdiferentes partes da Matemática. ÁVILA (1993, p. 2) faz a seguinte análise sobre tal período: O ensino da Matemática como era feito antes da reforma da Matemática dos anos sessenta realmente continham muitas deficiências. Não levava em conta aspectos importantes da psicologia do aprendizado que, felizmente, vem recebendo, hoje em dia, mais atenção. Mas a reforma trouxe inovações desastrosas, algumas das quais persistem, não obstantes as mudanças salutares dos últimos anos. Assim é que os livros
  • 101 do 1º e 2º graus continuam carregados de simbolismo e linguagem de conjuntos que mais atrapalham do que ajudam o aluno em seu esforço de aprendizagem. Já com a reforma da Matemática Moderna, as sugestões de 1965, segundo SILVA (2008), referente a Analise Matemática, temos: - Introdução ao Calculo Infinitesimal: - Noção de limite e continuidade de funções reais de variável real; - Derivada de funções racionais e trigonométricas; - Propriedades das derivadas e aplicação no estudo da variação das funções.8.2 FUNÇÕES (i) DECADA DE 1960. Começaremos nossa análise por funções, pois se trata de um dos fundamentos do Cálculo, e pelo qual toda a disciplina se assenta. Além de sua importância no ensino médio, tal assunto hoje em dia é revisto no inicio dos cursos de Cálculo. Bem, quanto à análise propriamente dita, começaremos por um dos livros da década 60, que é um grande clássico dos livros didáticos, que é o “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL JAIRO BEZERRA, e mostra bem a característica da matemática antes do advento da chamada “Matemática Moderna”. Resumindo, pretendemos colocar em evidência as semelhanças e diferenças dosconteúdos programáticos para o programa de Cálculo com o passar de cada década,observando as variações que aparecem tanto no conteúdo, como na forma de ser“transmitida”. Para tanto, deixaremos expostos o que cada um dos livros das décadas de60, 70, 80 e 90 traz para o professor aplicar em cada um dos ciclos, sempre vertendopara o assunto que interessa, e também levando em consideração o livro MatemáticaModerna Para o Ensino Secundário, que em 1965 foi o marco da transição do conteúdoclássico para o moderno.
  • 102 Então, podemos iniciar com a portaria ministerial de 1951 e analisar tallivro, bem como tendo em vista o programa de Cálculo atual da UFSCar e os PCN doensino médio. De acordo com COSTA at all (2007), temos em sua 8ª edição, em1962, o livro de Jairo Bezerra traz os seguintes temas para o terceiro ano: Além de Geometria Analítica, o aluno era ser apresentado aos Limites,Derivadas e Primitivas, conteúdos hoje vistos apenas na graduação de cursos da áreade ciências exatas e tecnológicas. Segue abaixo a análise de cada um dos capítulos. Funções Conceito elementar de função; O capitulo começa com o conceito elementar de função, que naverdade é semelhante à definição de Dirichlet, que em 1837 sugeriu uma definiçãomuito ampla de função, a qual CARAÇA (1951) chama de definição de Riemann-Dirichilet, a saber: “Se uma variável y está relacionada com uma variável x de tal modo que, sempre que é dado um valor numérico a x, existe uma regra segundo a qual um valor único de y fica determinado, então diz-se que y é uma função da variável independente x.” Já BEZERRA (1962) vem inclusive definir variável dependente eindependente. Funções unívocas e plurívocas; Aqui a novidade em relação aos livros atuais para ensino médio é adefinição de função plurívoca ou multiforme, termos as quais não são mais vistos pelosalunos atuais. Campo de existência da função; É definido por BEZERRA (1962), como campo de existência dafunção, o domínio da variável independente. Tal termo não é mais visto no ensino médio.
  • 103 Aqui temos que uma mudança de linguagem e de metodologia emtratar tal assunto. Tópicos expostos da mesma maneira atualmente: Valor numérico de uma função; Zeros de uma função; Tópicos expostos de maneira análoga à atualmente, mas com granderigorismo e linguagem muito rígida sob o ponto de vista dos livros de hoje: Intervalos; Exercícios resolvidos; Solução detalhada e rigorosa de exercícios mecânicos, para fixação. Exercícios para resolver Em sua maioria são exercícios mecânicos, com poucos exercícios dedemonstrações. Classificação de funções Funções explícitas e implícitas: São apresentadas funções implícitasquando aparece sob a forma f(x, y) = 0, e não são adotadas nos livros atuais, e nemvisto no ensino médio funções de duas variáveis. Funções algébricas e transcedentes: trabalha com funções de duasvariáveis. Funções racionais e irracionais: trabalha com funções polinomiais,onde y é a razão de duas funções de x. Funções inversas: trabalhadas da maneira tradicional, como feita hoje. Resumo da classificação das funções:  Funções algébricas (são implícitas ou explicitas, que são irracionais ou racionais, eu pode ser também inteiras e fracionárias), transcedentes (são implícitas ou explicitas, que são exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e ciclómétricas).  Representação gráfica de funções usuais  A representação gráfica é feita de forma análoga ao de hoje, mas de forma mais concisa.  Funções crescentes e decrescentes;
  • 104  O conteúdo é apresentado de forma análoga ao que é feito no ensino superior de hoje, de forma rigorosa, matematicamente, co poucos exemplos e aplicações.  Representação gráfica da função exponencial. Se tomarmos BRASIL (1952), citado por SILVA (2008), o Desenvolvimentodos Programas Mínimos de Ensino Secundário, e respectivas instruções metodológicas,em relação a Funções, temos o seguinte conteúdo: Conceito elementar de variável e de função. Variável progressiva e variávelcontínua; intervalos. Funções elementares; classificação. Representação cartesiana de uma função eequação de uma curva. Curvas geométricas e curvas empíricas; noção intuitiva decontinuidade. Representação gráfica de funções usuais; função exponencial; funçãologarítmica e funções trigonométricas diretas. Acréscimo de uma função num ponto;funções crescentes e funções decrescentes. Exemplos elementares de descontinuidade de uma função em um ponto.Descontinuidade das funções racionais fracionárias. Também podemos observar que o tópico relativo a trigonometria era visto no 2º ano, enquanto funções em geral ficava par ao 3º ano. Por outro lado, de acordo com SILVA (2008), as sugestões de 1965 trouxeram como novidade para o Ensino Colegial o estudo das Funções como ponto de partida já no primeiro ano, ressaltando a representação gráfica e unindo a Álgebra à Geometria. Já pela portaria de 1951, funções eram vistas somente no terceiro ano. Já segundo SÃO PAULO (1965), são mostradas Sugestões para um roteiro dePrograma para a cadeira de matemática, de acordo com a Matemática Moderna. Emrelação a FUNÇÕES, antes era dado no 3º ano, e passa ao 1º Colegial, temos: Funções: a) Noções gerais; b) Função linear, representação gráfica, estudo da reta; c) Função trinômio do 2º grau, variação, representação gráfica, inequações do 2º grau; d) Função exponencial e logarítmica, uso das taboas.
  • 105 Aqui, trigonometria é tratada no primeiro colegial, juntamente com funções. Agora, tomando GEEM (1965), citado por SILVA (2008), nos mostra a lista deAssuntos Mínimos para o colégio, orientações e sugestões para o seu desenvolvimento.Quando tomamos o tópico 1, relativo a funções, temos os seguintes assuntos mínimos:: Função de 2º grau. Estudo completo do trinômio do 2º grau e aplicações. Dessa forma, GEEM (1965) nós dão as seguintes sugestões:- No estudo do trinômio, ressalta-se o aspecto gráfico e nas aplicações, asinequações do 2º grau. Nota-se uma mudança significativa no conteúdo de funções entre a portaria de 1951 e a da Matemática Moderna de 1965, com mudança de ênfase significativa.(ii) DECADA DE 1970 Aqui, tomamos BOULOS & WATANABE (1979), onde através do prefácio feito por OSVALDO SANGIORGI, um dos fundadores do movimento da Matemática Moderna no Brasil, já temos um indicio do caminho a ser percorrido pelo livro, ou seja: A Matemática, considerada, com muita propriedade eixo metodológico de todos os ramos conhecimento humano, conseguiu, por parte dos autores um tratamento correto e simples, capaz de atrair jovens estudantes do segundo grau, mesmo aqueles que não se destinam especificamente ao ensino universitário. Nada de tratamento exageradamente rigoroso, com a intenção de agradar tão somente os matemáticos profissionais, e sim, dentro de uma linguagem clara e certa, a preocupação de atender às reais necessidades de conhecimento cientifico exigidas pelos alunos atuais.
  • 106 No começo a definição de funções é baseada em conjuntos com representações gráficas e tabelas, bem como diagramas, dessa forma, explorando a noção intuitiva de funções. Na mesma linha segue funções afim e quadrática, bem como funções exponenciais e logarítmicas. O livro ainda consta bastante exercícios de fixação, repetitivos, bem como exercícios resolvidos.(iii) DECADA DE 1980 Nesta década, pegamos LAPA & CAVALLANTE (1984), segue a mesma linha do livro citado para a década de 1970, com bastante regras para memorização, exercícios resolvidos e exercícios de fixação. A novidade aqui são os gráficos coloridos, para melhor visualização. Já em relação à função logarítmica e exponencial, é explorada bastante a ênfase algébrica. Em síntese, continua seguindo a reforma da Matemática Moderna.(iv) DECADA DE 1990 Aqui tomamos PACCOLA & BIANCHINI (1995), onde na apresentação temosa tendência da obra, ou seja:(…) acompanhamento a moderna tendência do ensino de estreitar a relaçãoaprendizado/ cotidiano, procuramos trabalhar os conceitos de forma criativa emotivadora, privilegiando sua aplicação em problemas que estimulem o interesse doaluno. Também nos exemplos resolvidos e nos “exercícios propostos”, sempre quepossível, procuramos trabalhar com situações retiradas da realidade do estudante. Em relação à definição de funções, o livro começa com problemas do cotidiano,para depois chegar à formalização. Porém, o livro continua assentado bastante emconjuntos, e na visualização gráfica. À primeira vista, o livro não consegue fazer ligaçãoentre aprendizagem/ cotidiano, conforme citada na apresentação, mas fica na introduçãoapenas de alguns conceitos. Já a parte histórica é uma novidade, mas aparece comomera curiosidade. São apresentados exercícios como fixação e repetitivos, sem situaçõesproblemas.
  • 107 No fim, acaba repetindo o conteúdo das décadas anteriores, de formarepaginada, mas ainda seguindo a Matemática Moderna.(v) DECADA DE 2000 Tomamos o livro MATEMÁTICA, vol. 1, de Luiz Roberto Dante, de 2004. DANTE (2006), no mostra os seguintes tópicos relativos a funções: - Funções: noção intuitiva de funções, gráfico, função injetiva, função sobrejetiva e bijetiva. Função inversa e composta; - Função afim: gráfico, propriedades, aplicações, inequações do 1ºgrau; - Função quadrática: gráfico, forma canônica da função quadrática, estudo de sinais, problemas com funções quadráticas; - Função Modular: distância entre dois pontos na reta real, função modular, equações modulares, inequações modulares. A característica deste livro é o grande numero de exemplos, gráficos, aplicações,exemplos e aplicações. Toda introdução e formalização de função são feitas em cima deconjuntos, uma herança da Matemática Moderna. Já em relação a função afim, modular e quadrática, a característica básica é aintrodução e formalização dos conceitos em cima de diversos gráficos, e exemplos. DANTE (2006) também procura mostrar muitas relações com o cotidiano doaluno, algo que não ocorria nas décadas anteriores.8.2 CÁLCULO 8.2.1 INTRODUÇÃO De acordo comandados SILVA (2008, p. 71), temos: Na Análise Matemática os conteúdos quase que se igualam nas apresentações, mas as abordagens são distintas. Na Portaria de 1951 é apresentada a definição, a notação da derivada e as regras de derivação das funções elementares. Nas Sugestões
  • 108 de 1965 o assunto é tratado como uma introdução ao cálculo infinitesimal e notações e regras de derivação, traz as funções reais de variável real e as derivadas de funções racionais e trigonométricas, além de trazer as definições. Apresenta também, como orientação para esse estudo, o fato de ater-se às propriedades que seriam utilizadas nas aplicações às outras Ciências. Já quando tomamos ÁVILA (1991), ele vem nos dizer que no final dos anos 50 e começo dos anos 60, houve uma mudança significativa no ensino da Matemática no Brasil. O nome do movimento era Matemática Moderna, pois, como propalavam seus defensores, era preciso modernizar esse ensino. ÁVILA (1991), ainda nos diz que a tônica dessa modernização foi uma ênfase excessiva no rigor e no formalismo das apresentações, à custa de retirar antigos programas importantes do ensino, como o de Cálculo. Desse modo, a análise dos conteúdos de Cálculo no ensino médio nas últimas décadas passa necessariamente pela discussão do Movimento da Matemática Moderna, com suas repercussões no ensino de Cálculo no antigo 2° grau. 8.2.2 LIMITES(i) DECADA DE 1960 Vamos pegar o livro “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL JAIRO BEZERRA, e mostra bem a característica da matemática antes do advento da chamada “Matemática Moderna”. De acordo com BRASIL (1952), o Desenvolvimento dos Programas Mínimos deEnsino Secundário, e respectivas instruções metodológicas, em relação à Limitesrecomenda o seguinte conteúdo: • Limite de variáveis e de funções; • Limites infinitos. • Propriedades fundamentais.
  • 109 • Exemplos elementares de descontinuidade de uma função em um ponto. • Descontinuidade das funções racionais fracionárias. Dessa forma, como BEZERRA (1962) está de acordo com a Portaria Ministerialde 1951, o conteúdo referente a Limites é: Limite de uma variável; Limites infinitos; Limite de uma função; Cálculo de limites com auxílio da definição; Propriedades fundamentais dos limites; Operações fundamentais sobre limites; Limite da função algébrica racional inteira; Limite de uma função racional; Limites fundamentais; Limites laterais; Função continua; Descontinuidade das funções racionais fracionárias; Então, vemos que o livro segue tal Portaria de conteúdos mínimos. Agora, olhando os conteúdos de BEZERRA (1962), vemos que a definição delimites usava-se a idéia de épilons e deltas, sem exprimi-los claramente, e de forma ausar a notação de módulo para abertos e fechados. Nota-se que não eram pedidas demonstrações em geral. Quanto às propriedades e operações fundamentais são apenas mostras semqualquer demonstração, como regras a serem memorizadas. Já os exemplos caracterizam-se de aplicações simples das regras e definições Por fim, existe uma grande carga de exercícios de fixação. Já segundo SÃO PAULO (1965), são mostradas sugestões para um roteiro dePrograma para a cadeira de matemática, de acordo com a Matemática Moderna. Emrelação a limites, no Terceiro Colegial temos:- Noção de limite e continuidade de funções reais de variável real.
  • 110 Como já dito acima, mudança no programa de limites, são decorrentes doMovimento da Matemática Moderna. De acordo com GEEM (1965), citado por SILVA (2008), nos mostra a lista deAssuntos Mínimos para o colégio, orientações e sugestões para o seu desenvolvimento.Quando tomamos o tópico 18, temos: Noção de limite, continuidade e derivada. Elementos de calculo integral;aplicações ao calculo de áreas e volumes. Segue a recomendação: Dar noções intuitivas, que permitam deduzir as principais propriedades, queserão utilizadas nas aplicações a outras ciências. (ii) DÉCADA DE 1970 Tomamos para análise o livro: MATEMÁTICA, vol. 3, coleção curso colegialmoderno, de Luiz Mauro Rocha e Ruy Madsen Barbosa, de 1971. Já na apresentação os autores dizem que serão estudadas elementarmente asnoções de Cálculo Infinitesimal. Assim, tais autores vêm seguir desde já as sugestões doGEMM (1965), da reforma da Matemática Moderna. Antes de propriamente entrar nos conceitos de limites ROCHA & BARBOSA (1971) vem dizer que o ensino de cálculo nos cursos secundários, e justifica dizendo que os conceitos de forma correta são de difícil assimilação pelos alunos. No entanto, continua ROCHA & BARBOSA (1971), à guisa de motivação para os cursos subseqüentes, serão apresentadas, de forma intuitiva algumas técnicas simples de cálculos. Sobre o estudo de limites em si, os autores começam pela noção prática de continuidade, onde é mostrada a continuidade de forma intuitiva, ou seja, ROCHA & BARBOSA (1971, p. 216), diz que: Está claro que a curva é continua e posso traçá-la sem interrupções. Na mesma linha segue definindo vizinhança e limites, sem nenhuma demonstração, e com muitos exemplos, seguindo de fato as recomendações do GEEM (1965).
  • 111 (iii) DÉCADA DE 1980 Pegamos o livro MATEMÁTICA, de Nilton Lapa e Sidney Luiz Cavallante,Vol. 3ª, de 1983. LAPA & CAVALLANTE (1983, p. 208), nos diz que: Nesta parte veremos conceitos de grande importância para a Matemática superior, lecionada nas faculdades. Aqui, as noções de limites e derivadas serão vistas de modo bastante intuitivo, sendo a seguir utilizadas no estudo da variação de uma função. Nesta abordagem – que mantém a característica de iniciação ao tema -, serão feitos gráficos de inúmeras funções, tendo-se especial atenção ao estudo de seus pontos de máximo ou de mínimo relativos. Esta parte finaliza-se com as aplicações de máximos e mínimos à resolução de problemas. Assim, pelas palavras dos autores, fica evidente o perfil do livro, no qual se encaixa as recomendações do GEEM (1965). Verificando o conteúdo, em especial de limites, ao primeiro tópico chama-se “O conceito informal de limite”, onde se inicia com a grande numero de gráficos, e é evitado ao uso dos termos matemáticos formais. As propriedades são dadas como regras, sem qualquer demonstração. Outro tópico é “Cálculo de limites”, com varias regras, exemplos numéricos e gráficos. Por fim, segue a mesma linha quando fala de limites infinitos. (iv) DÉCADA DE 1990 Tomamos GENTIL at all (1997), e vemos que limites são apresentados de maneira intuitiva, com bastante exemplos numéricos e gráficos, e sem demonstrações, ainda refletindo a reforma da Matemática Moderna. Na prática, tal livro parece reeditar o material das décadas anteriores, só mudando os exemplos.
  • 112 (v) DÉCADA DE 2000 Tomamos o livro MATEMÁTICA, vol. 3, de Luiz Roberto Dante, de 2006. Notamos que os conceitos de cálculo não aparecem mais no ensino médio. 8.2.3 DERIVADAS (i) DECADA DE 1960 Tomando o livro “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL JAIRO BEZERRA, que mostra bem a característica da matemática antes do advento da chamada “Matemática Moderna”. Assim, como feito anteriormente, pegamos de BRASIL (1952), oDesenvolvimento dos Programas Mínimos de Ensino Secundário, e respectivasinstruções metodológicas, em relação a Derivadas recomenda o seguinte conteúdo: - Definição da derivada em um ponto; notações; derivada infinita. Interpretação geométrica e cinemática da derivada. Diferença e diferencial; interpretação geométrica. Funções derivadas. Derivação sucessiva. - Regras de derivação; derivada de um constante; de função de função; de funções inversas; da soma, do produto e do quociente de funções. Aplicação à derivação de funções elementares. - Aplicação da teoria de derivadas ao estudo da variação de uma função. Funções crescentes e funções decrescentes; máximos e mínimos relativos; interpretação geométrica. Assim, se compararmos as duas propostas, a de 1951, a qual BEZERRA (1962)se encaixa, e a de 1965, que já traz a reforma da Matemática Moderna, vemos umasensível diferença e diminuição em relação ao conteúdo de BEZERRA (1962). Por outro lado, SILVA (2008), nos diz que na portaria de 1951 é apresentada adefinição das funções elementares; já na de 1965 o assunto é tratado como umaintrodução ao Cálculo Infinitesimal e notações e regras de derivação, traz as funçõesreais de variável real e as derivadas de funções racionais e trigonométricas, além detrazer as definições. Também diz que, como orientação para esse estudo, o fato de ater-se às outras propriedades que seriam utilizadas nas aplicações às outras ciências.
  • 113 De acordo com GEEM (1965), citado por SILVA (2008), nos mostra a lista deAssuntos Mínimos para o colégio, orientações e sugestões para o seu desenvolvimento.Quando tomamos o tópico 18, temos: Noção de limite, continuidade e derivada. Elementos de calculo integral;aplicações ao calculo de áreas e volumes. Segue a recomendação: Dar noções intuitivas, que permitam deduzir as principais propriedades, queserão utilizadas nas aplicações a outras ciências. Já quando tomamos BEZERRA (1962), observamos que são apresentadasderivadas sem muitas deduções e demonstrações, na forma de regras de memorização.Além disso, o autor apresenta poucos exemplos e muitos exercícios de fixação, semnenhuma demonstração. Abaixo segue uma página de BEZERRA (1962), como exemplo:
  • 114 FIGURA 6: PÁGINA DO LIVRO “CURSO DE MATEMÁTICA”, deMANUEL JAIRO BEZERRA. Assim, podemos fazer a análise de que poucas demonstrações no livro supracitado, é decorrente da grande mudança com o Movimento da Matemática Moderna, esua exigência de rigorismo excessivo, de acordo com ÁVILA (1991).
  • 115(ii) DECADA DE 1970 Tomamos para análise o livro: MATEMÁTICA, vol. 3, coleção curso colegialmoderno, de Luiz Mauro Rocha e Ruy Madsen Barbosa, de 1971. Já na apresentação os autores dizem que serão estudadas elementarmente asnoções de Cálculo Infinitesimal. Assim, tais autores vêm seguir desde já as sugestões doGEMM (1965), da reforma da Matemática Moderna. Os autores ROCHA & BARBOSA (1971) denominam o capitulo de “Noçõessobre Derivadas”. Assim, propriamente dito, os autores, antes de definir derivadas por limite,começa definindo h = ∆x = X – X0, o qual denomina de acréscimo da variávelindependente x, a partir do ponto X0. O livro segue com apresentação de regras simples, sem demonstração, e commuitos exemplos numéricos e gráficos.(iii) DÉCADA DE 1980 Pegamos o livro MATEMÁTICA, de Nilton Lapa e Sidney Luiz Cavallante,Vol. 3ª, de 1983. LAPA & CAVALLANTE (1983), como já citado acima, fica evidente o perfildo livro, no qual se encaixa as recomendações do GEEM (1965). Seguindo o conteúdo, LAPA & CAVALLANTE (1983), começa com váriosexemplos gráficos de tangentes a uma curva em um ponto, e segue ate a definição depor limites, usando coeficiente angular. No tópico seguinte, relativo a regras dederivação, tais regras são vistas sem a demonstração, com exceção da derivada dafunção potencia de expoente n e função logarítmica de base e, cujas derivadas são feitasvia dedução por limites, algo não visto nos livros das décadas anteriores. O capitulo termina com um tópico referente a comportamento de uma função e afunção derivada, o qual é afeita mediante vários exemplos gráficos, para que seintroduza a determinação de máximos e mínimos.(iv) DÉCADA DE 1990
  • 116 Tomamos GENTIL at all (1997), e vemos que derivadas são apresentadas de maneira intuitiva, através de taxa de variação, com bastante exemplos numéricos e gráficos, e sem demonstrações, ainda refletindo a reforma da Matemática Moderna. Na prática, tal livro parece reeditar o material das décadas anteriores, só mudando os exemplos. (v) DECADA DE 2000 Tomamos o livro MATEMÁTICA, vol. 3, de Luiz Roberto Dante, de 2006. Notamos que os conceitos de cálculo não aparecem mais no ensino médio.8.2.5 INTEGRAIS (i) DÉCADA DE 1960 Tomando o livro “CURSO DE MATEMÁTICA”, de MANUEL JAIRO BEZERRA, que mostra bem a característica da matemática antes do advento da chamada “Matemática Moderna”. Assim, como feito anteriormente, pegamos de BRASIL (1952), oDesenvolvimento dos Programas Mínimos de Ensino Secundário, e respectivasinstruções metodológicas, em relação ao conteúdo de Integral, recomenda o seguinteconteúdo: Funções primitivas; integral indefinida; constante de integração. Primitivas imediatas; regras simples de integração. Integral definida. Aplicação ao cálculo de áreas e de volumes; exemplos elementares. Tomando agora SÃO PAULO (1965), são mostradas Sugestões para um roteirode Programa para a cadeira de matemática, de acordo com a Matemática Moderna. Emrelação a Integrais, no Terceiro Colegial não temos nenhum conteúdo do referidotópico. Assim, se compararmos as duas propostas, a de 1951, a qual BEZERRA (1962)se encaixa, e a de 1965, que já traz a reforma da Matemática Moderna, vemos aextinção do tópico ‘Integral’. (ii) DÉCADA DE 1970
  • 117 Tomamos para análise o livro: MATEMÁTICA, vol. 3, coleção curso colegial moderno, de Luiz Mauro Rocha e Ruy Madsen Barbosa, de 1971. Já na apresentação os autores dizem que serão estudadas elementarmente as noções de Cálculo Infinitesimal. Assim, tais autores vêm seguir desde já as sugestões do GEMM (1965), da reforma da Matemática Moderna. Dessa forma, ao consultarmos o conteúdo do livro, notamos que não existe o conteúdo de integrais, indo na mesma linha de sugestões do GEEM. (iii) DECADA DE 1980 Consultamos LAPA & CAVALLANTE (1983) e TROTTA, IMENES & JAKUBOVIC (1980), que não trazem nada a respeito de integrais.(iv) DECADA DE 1990 Tomamos GENTIL at all (1997), e vemos que as integrais são apresentadas como operação inversa das derivadas, com bastante exemplos numéricos e gráficos, e sem demonstrações, ainda refletindo a reforma da Matemática Moderna. Aqui vemos grande numero de tabelas e regras para o aluno decorar. Na prática, tal livro parece reeditar o material das décadas anteriores, só mudando os exemplos. (v) DECADA DE 2000 Tomamos o livro MATEMÁTICA, vol. 3, de Luiz Roberto Dante, de 2006. Notamos que os conceitos de cálculo não aparecem mais no ensino médio. 9. ANÁLISE DE LIVROS USADOS NAS DISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO Antes de entrarmos no desenvolvimento dos cursos de cálculo e suas problemáticas nos cursos superiores, vamos fazer a análise de diversos livros didáticos indicados para os alunos de Cálculo 1 e Cálculo Diferencial e Integral 1, já que vimos até agora como o calculo era dado no ensino médio, segundo alguns livros. Podemos dizer o que o objetivo deste capitulo é fazer a analise de diversos livros didáticos indicados para os alunos de Cálculo.
  • 118 Dessa forma, passamos aos livros que de fato são usados nos cursos iniciais deCálculo.. Consultando os planos de ensino no “NEXOS”, na página da UFSCar. No itemreferente à bibliografia de todas as turmas oferecidas em 01/2009, observamos um totalde 17 livros indicados. São eles: 1) Guidorizzi, H.L., Um Curso de Cálculo, Vol.1 e 2, 5ª. Edição, LTC, Rio de Janeiro, 2001. 2) Thomas, G. B. et al, Cálculo, Vol 1, Addison-Wesley (Pierson Education do Brasil), São Paulo, 2002. 3) Bartle, R. G.; Tulcea, C. I., Calculus, Scott, Glenview, 1968. 4) Apostol, T. M., Calculus. 2 ed., John Wiley & Sons, New York, 1967. 5) Stewart, J., Cálculo, Vol. 1, Pioneira, São Paulo, 2001. 6) Ávila, G. S. S., Cálculo: diferencial e integral. V. 1, 3ª ed. Rio de Janeiro: Livros Tecnicos e Cientificos, 1978. 7) COURANT, R., Cálculo diferencial e integral. Alberto Nunes Serrao (Trad.). Porto Alegre: Globo, 1970. v.1. 8) Spivak, M., Calculus, Addison-Wesley, 1973. 9) Zorich, V. A., Mathematical Analysis I, Springer Verlag, 2002. 10) Anton, H., Cálculo - Um novo horizonte, Vol. 1, 6ª.Edição, Bookman, Porto Alegre, 2000. 11) Leithold, L., Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1, Harper & Row do Brasil Ltda., São Paulo, 1977. 12) SIMMONS, George F., 1925-. Calculo com geometria analitica. V. 1, Seiji Hariki (Trad.). Sao Paulo: McGraw-Hill, 1987. 13) Flemming, M., Gonçalves, M. B. - Cálculo A - 5a. edição Makron Books, São Paulo, (1992). 14) Piskunov, N. - Cálculo Diferencial e Integral, Vol. 1 - Publishers, Moscou, (1968). 15) Priestley, W. M. - Calculus: An Historical Approach - Springer-Verlag, N. Y., (1979). 16) Swokowski, E. W. - Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1 - Makron Books, São Paulo, (1995).
  • 119 17) SAMPAIO, J. C. V. Fascículos de Cálculo 1, 2005. Desta lista de livros, selecionaremos alguns destes, que segundo BARUFI(1999), apresentam uma proposta original e alternativa, fundamentada em objetivosclaros do autor, que demonstram uma preocupação com a aprendizagem significativapor parte dos estudantes. 9.1 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS (i) T. M. APOSTOL: Calculus – Vol. 1 Segundo BARUFI (1999), APOSTOL (1967) começa o livro dizendo que nãoexistia uma concordância geral em que consistiria um primeiro curso de cálculo, poisalguns sugerem o desenvolvimento passo a passo, de maneira lógica e rigorosa, e jáoutros enfatizam que como o cálculo é uma ferramenta, deveria priorizar aplicações.Assim, termina APOSTOL (1967), dizendo que ambas as idéias fazem sentido, já quemuito da beleza do cálculo deriva da beleza das aplicações físicas. Dessa forma, BARUFI (1999) começa enfatizando que a seqüência de temas dolivro difere da maioria dos outros textos, pois o autor começa com o Calculo Integral, edepois o Calculo Diferencial. Sendo assim, a opção inicial é exposição do método deexaustão de Arquimedes, o que segundo APOSTOL (1967) acabou sendo transformadono Cálculo Integral. BARUFI (1999, p. 67) analisa que: A escolha de Apostol parece ser adequada para estabelecer uma ponte com o conhecimento dos alunos iniciantes, para os quais o problema de calcular áreas e volumes de figuras mais gerais parece estar muito próximo dos problemas de calcular áreas e volumes de figuras simples que foi desenvolvido na escola média. BARUFI (1999) afirma que há uma grande quantidade de figuras sugestivas ecriativas, pois, por exemplo, no tópico sobre derivadas, observa-se grande quantidade deilustrações relacionando uma função com sua derivada.
  • 120 Por fim, BARUFI (1999), diz que o autor constrói os conceitos de através deprocessos aproximados, procurando fazer com que o leitor, ao alcançar a formalizaçãodefinitiva dos conceitos, tenha passado por varias etapas sucessivas. A seqüência temática do APOSTOL (1967), segundo BARUFI (1999), é aseguinte: FIGURA 7: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA DE APOSTOL (1967) Logaritmo, Introdução a exponencial, e eq. Cálculo Cálculo as inversas das diferenciais integral diferencial funções trigonométricas Aplicações Álgebra vetorial Curvas e Teor, do do teor. Do com aplicações à superfícies valor valor geometria analítica médio e médio generaliza -ções Seq. Series infinitas e integrais imprópias (ii) G. S. S. ÁVILA: CÁLCULO DIFERECIAL E INTEGRAL 1 Segundo BARUFI (1999), ÁVILA (2001) começa o livro dizendo que o Cálculo com seus fundamentos profundos e sutis, só podem ser adquirido gradualmente e de forma intuitiva, e por isso sugere que tais conceitos devem ser dados com o mínimo de formalismo. Continuando, AVILA (2001, p. x) afirma que: (...) a idéia de que o aluno de Matemática se deva ministrar, desde o inicio, um ensino rigoroso e isolado das outras ciências encerra um grave erro,
  • 121 sob dois aspectos: de um lado, priva-se o estudante da correta apreciação da Matemática, cujo valor mais autêntico reside na idéias, na criatividade e não apenas no rigor e no encadeamento lógico das demonstrações. (...) De outro lado, esse ensino isolado n ao corresponde à realidade histórica; de fato, as exigências de desenvolvimento de teorias e métodos matemáticos em Física, Astronomia e nas demais ciências tem se constituído nas fontes mais estimuladoras da criação matemática. Segundo BARUFI (1999), a preocupação inicial de ÁVILA (2001) é na revisão de temas do ensino médio, e só após que começa a explorar as idéias do Cálculo, através de colocações provisórias para só depois chegar ao conceito em sua forma definitiva. Outra coisa que BARUFI (1999) nota é que ao final do livro, é colocado um texto para mostrar que aquele conceito não foi descoberto e sim construído. Encerrando, BARUFI (199) afirma que a seqüência temática é bastante tradicional, mas a exposição não o é. FIGURA 8: MAPA CONCEITUAL SOBRE SEQUENCIA TEMÁTICA DE ÁVILA (2001) Nos reais Funções, Eq. e gráficos Funções limites, Elemen- derivadas taresAplicações da Regras de Integral ComportamentoIntegral integração de funções
  • 122(iii) R. COURANT: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – VOL. 1 Segundo BARUFI (1999), COURANT (1970) começa a revisão dealguns conceitos do ensino médio, onde examina o conceito de limite deforma intuitiva, para só depois dar uma definição formal de limites, usandoseqüência de números reais e por ultimo coloca a definição de limite quandoa variável é continua. Já sobre a continuidade BARUFI (1999) nos diz que acontinuidade é explora de forma intuitiva por exemplos, até o conceitoformal aparecer. No capitulo 2, BARUFI (1999) diz que o autor começa explorando asidéias do Cálculo através de áreas, e só depois passa para o limite doquociente de diferenças. Já sobre integração, COURANT (1970) começa umtópico especifico para explorar a interpretação gráfica, com ilustraçõesusando a integração e a relação com o coeficiente angular da reta tangente. BARUFI (1999, p. 87) termina a análise dizendo: Ao longo de todo o texto observamos a utilização da linguagem corrente, para esclarecer aquilo que foi feito formalmente. Dessa forma, o autor consegue propor um curso com um bom nível de profundidade e na qual as idéias não ficaram escondidas atrás de uma máscara lógico-formal. A obra atinge um alto nível de generalização, constituindo um texto de Cálculo extremamente completo.(iv) H. L GUIDORIZZI: UM CURSO DE CÁLCULO – VOL. 1 Segundo BARUFI (1999), o autor parece fazer um revelação doCálculo sistematizado, buscando idéias internalistas, sem recorrer aosproblemas que motivaram seu surgimento. BARUFI (1999) continuaafirmando que os problemas servem para ilustrar os resultados e os exemplospara motivação.
  • 123 Outra análise, segundo BARUFI (1999), é sobre a preocupação com aformalização e a generalização sempre presentes. BARUFI (1999) encerra dizendo que o autor não faz referencia àgênese do calculo, e a seqüência temática apresenta o Calculo sistematizadoe logicamente estruturado, onde tal seqüência temática é: NUMEROS REAIS – FUNÇÕES – LIMITES E CONTINUIDADE –EXTENSOES DO CONCEITO DE LIMITE – TEOREMAS DOANULAMENTO, DO VALOR INTERMEDIÁRIO E DE WEIERSTRASS– FUNÇÃOEXPONENCIAL E LOGARITMICA – DERIVADAS –FUNÇÕES INVERSAS – ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES –PRIMITIVAS – INTEGRAL DE RIEMANN – TECNICAS DEINTEGRAÇÃO – EQ. DIF. DE 1ª ORDEM, DE VAR. SEPARÁVEIS ELINEARES – TEOR. DE ROLLE, DO VALOR MÉDIO E DE CAUCHY,REGRAS DE L´HOSPITAL – FORMULA DE TAYLOR – APENDICE 1A 5 – FUNÇÕE INTERAVEIS – FUNÇÃO DADA POR INTEGRAL –MAIS ALGUMAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL, COORDENADASPOLARES – EXTENSOES DO CONCEITO DE INTEGRAL – EQ. DIF.DE 1ª E 2ª ORDEM, COM COEF. CONSTANTES.(v) N. PISKUNOV: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - VOL. 1 Segundo BARUFI (1999), as idéias fundamentais não sãoapresentadas como solucionadoras de problemas importantes, e nemcolocação de problemas para motivar a introdução dos conceitos, emboracoloque diversas aplicações posteriores. Seguindo BARUFI (1999), diz quena parte de integrais, é observado o desenvolvimento da operação deprimitivação, como inversa da derivação, antes de falar em área sob o gráficode uma curva. Encerrando a análise, BARUFI (1999), p. 112) afirma que: O autor cuida da generalização e da formalização, demonstrando, normalmente, todas as proposições ou teoremas.
  • 124 A seqüência de conteúdos é a seguinte: NUMERO, VARIÁVEL, FUNÇÕES – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES – DERIVADA E DIFERENCIAL – TEOR. RELATIVOS ÀS FUNÇÕES DERIVÁVEIS – ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES – CURVATURA DE UM CURVA – NUMEROS COMPLEXOS, POLINOMICOS – FUNÇÕES DE VARIAS VARIÁVEIS – APLICAÇÕES DO CALCULO DIFERENCIAL À GEOMETRIA DO ESPAÇO – INTEGRAL INDEFINIDA – INTEGRAL DEFINIDA – APLICAÇÕES GEOM. E MECANICAS DA INTEGRAL DEFINIDA – FUNÇÕES DIFERENCIAVEIS. (vi) E. W. SWOKOWSKI: CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA - VOL. 1 BARUFI (1999) nos diz logo nas primeiras páginas, o autor apresenta umformulário, onde inclui uma grande quantidade de fórmulas referentes às derivadas e àsintegrais e inclusive a diversos outros assuntos normalmente constantes do conteúdodesenvolvido no ensino médio, o que leva a crer que o autor queira garantir o que sejapossível encontrar aquilo que normalmente os estudantes imaginam ser o fundamentalnum curso de Cálculo. No Prefácio, segundo BARUFI (1999), encontramos que a presente edição,revisão da original, ou seja: (...) foi empreendida com três objetivos em mente. O primeiro é tornar o livro mais voltado para o estudante, ampliando discussões e proporcionando maior número de exemplos e ilustrações para melhor esclarecer os conceitos. Para auxiliar ainda mais o leitor, foram acrescentadas, em muitas seções do texto, sugestões para a resolução de problemas. O segundo objetivo é enfatizar a utilidade do Cálculo por meio de aplicações
  • 125 atualizadas de derivadas e integrais. O terceiro objetivo - tornar o livro tão livre de erros quanto possível - foi alcançado por meio de um exame cuidadoso do texto ...(Swokowski, 1994, p. xix) O autor inicia seu texto, segundo BARUFI (1999), com uma RevisãoPré-Cálculo, na qual retoma diversos assuntos que considera essenciaispara o desenvolvimento subseqüente, logo desenvolve o conceito de limite deuma função que é uma das idéias fundamentais que distinguem o cálculo daálgebra e da trigonometria. Pode-se, observar, segundo BARUFI (1999), que oautor busca convencer tanto através de cálculos, como de figuras ou dalinguagem. O uso da intuição é também bastante explorado. No Capítulo sobre Derivadas, BARUFI (1999), observa-se que há trêsexemplos, desenvolvidos com detalhes, que são: reta tangente ao gráfico de umafunção num ponto, velocidade instantânea e taxa instantânea de variação, nosquais sempre obtém a expressão usual que, em seguida, vai colocar como sendoaquela que define a derivada de uma função em um ponto. Já parte sobreintegração, BARUFI (1999) analisa que primeiro o autor trabalha a integraçãoindefinida, como operação inversa da derivação, e só depois coloca a questão docálculo de áreas. Encerrando a análise, BARUFI (1999, p 120), nos diz que: Todo o texto é trabalhado no sentido de primeiro apresentar exemplos trabalhados com detalhe, antes da introdução do conceito. Os problemas mais interessantes são propostos depois. O texto busca o convencimento do leitor, e para isso utiliza argumentos muitas vezes intuitivos, não apenas decorrentes da lógica interna. A formalização e generalização são bem cuidadas. A seqüência de conteúdos é a seguinte:
  • 126 REVISAO PRÉ-CALCULO – LIMITES DE FUNÇÕES – A DERIVADA – APLICAÇÕES DA DERIVADA – INTEGRAIS – APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA – FUNÇÕES LOGARITICAS E EXPONENCIAIS – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS E HIPERBOLICAS – TECNICAS DE INTEGRAÇÃO – FORMA INDETERMINADAS E INTEGRAIS IMPROPRIAS – APENDICE.10. A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NOS CURSOS DECÁLCULO O objetivo deste capitulo é mostrar a importância da historia da matemáticaparta o ensino de Cálculo. Segundo BARBOSA (2008), aparentemente existe um consenso entre autoresque um dos meios mais interessantes de obter conhecimento é através da história, e queé possível compreender a origem das idéias que deram forma à nossa cultura e observartambém os aspectos humanos do seu desenvolvimento, ou seja, enxergando os homensque criaram essas idéias e estudando as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Nesse sentido, BARBOSA (2008, p.78), destaca a importância da história damatemática escrevendo: “A participação da história dos conteúdos matemáticos como recursos didáticos é imprescindível. O desenvolvimento histórico não só serve como elemento de motivação, mas também como fator de melhor esclarecimento do sentido dos conceitos e das teorias estudadas. Não se trata de fazer uma referência histórica de duas linhas ao iniciar um capitulo, mas de realmente usar a ordem histórica da construção matemática para facilitar uma melhor assimilação durante a reconstrução teórica. Isto é central. Os conceitos e noções da matemática tiveram uma ordem de construção histórica. Esse decurso concreto põe em evidência os obstáculos que surgiram em sua edificação e compreensão. Ao recriar teoricamente esse processo (obviamente adaptado
  • 127 ao estado atual de conhecimento) é possível revelar seu sentido e seus limites. A história deveria servir, então, como o instrumento mais adequado para a estruturação do delineamento mesmo da exposição dos conceitos. É provável também que uma aproximação dessa natureza seja possível satisfazer as exigências de um sentido vetorial do concreto ao abstrato. Com isso não se quer dizer que se deve reproduzir mecanicamente a ordem da aparição histórica dos conceitos matemáticos; sem dúvida, todas as ciências possuem certa lógica interna que se dá a partir de sínteses teóricas importantes e que se deve assimilar no sentido ensino-aprendizagem. Só se coloca a necessidade buscar um equilíbrio, enfatizando a importância do segundo”. No entanto, pelo que vimos acima, o autor supra citado considera a história damatemática como uma importante ferramenta no ensino-aprendizagem da mesma. Mas,através de diversos livros didáticos, vemos que muitos autores apenas usam a históriacomo mera curiosidade, e no máximo como elemento motivador. Já MENDES (2007), nos diz que, com relação ao uso da história como recursode ensino de matemática, há na literatura referente a esse tema, um estudo exaustivo,realizado por MIGUEL (1993), onde ele caracteriza diversas fontes de utilização nahistória da matemática, dentre as quais destacamos a de motivação da aprendizagem, ade seleção de objetivos de ensino, a de recreação através de atividades lúdicas eheurísticas, a de desmistificação, para mostrar a matemática acessível às atividadeseducativas do homem; a de formalização de conceitos, a de dialética, a de unificação devários campos da matemática, a de conscientização epistemológica e de significação, ade cultura e a de epistemologia. Nesse sentido, SEBASTIANI FERREIRA (1997, p.154), diz que: “A história em sala de aula tem um alcance muito maior que apenas uma simples motivação. Além de motivar o aluno, o faz passar por revoluções no
  • 128 método da matemática, que foram sem dúvida, marcos decisivos nesta ciência”. Além disso, continua o autor, “mostra como a matemática foi construída pelo homem através dos tempos e como suas dificuldades foram sendo superadas”. Dessa forma, conforme afirma BARBOSA (2008), conhecendo a história damatemática percebemos que as teorias que hoje aparecem acabadas e elegantesresultaram sempre de desafios que os matemáticos enfrentaram que foramdesenvolvidas com grande esforço e, quase sempre, numa ordem bem diferente daquelaem que são apresentadas após todo o processo de criação, conforme acontece noCálculo Diferencial e Integral. Então, pelo que vemos na História da Matemática, ela tem um papel importantena organização do conteúdo que se quer ensinar, e até dando, por assim dizer, um modode raciocinar próprio de um conhecimento que se quer construir. Segundo BARBOSA (2008), o desafio que ainda não foi superado é encontraruma metodologia que contemple o desenvolvimento histórico da matemática comomecanismo de ensino; qual deve ser o melhor caminho para inseri-la como ferramentano processo de ensino-aprendizagem. Desse modo BARBOSA (2008), traz um panorama de algumas metodologias,como segue abaixo.10.1 Metodologias(i) Seguir os passos da "invenção" do conhecimento. De acordo com SEBASTIANI FERREIRA (1996, p.250) cita CLAIRAUT(1892): “Afim de seguir nesta obra um caminho semelhante aos dos inventores faço com que os principiantes descubram antes de tudo as verdade que pode depender a simples medida dos terrenos e das distâncias acessíveis, etc. Passo daí a outras investigações, de tal modo análogas às primeira que
  • 129 a curiosidade natural de todos os homens os leva a nelas se deterem. Justificando depois esta curiosidade por algumas aplicações úteis, chego a ensinar tudo o que de mais interessante a geometria elementar tem ... Por esse método, os principiantes, a cada passo que lhes fazemos dar, percebem a razão que move o inventor; e podem assim mais facilmente adquirir o espírito da invenção” (CLAIRAUT, 1892, apud SEBASTIANI FERREIRA, 1996, p.250).(ii) Principio Genético Segundo BARBOSA (2008) este principio pode ser estabelecido da seguinteforma: “a aprendizagem efetiva requer que cada aluno refaça os principais passos daevolução histórica”, ou seja, lembramos a lei biogenética da Psicologia, que afirma que oindivíduo, desde seu nascimento até sua maturidade, repete as principais etapas dodesenvolvimento humano. Assim, segundo EDWARDS (1977), citado por BARBOSA (2008), a Históriada Matemática não se detém na descrição da teoria, a não ser o mínimo necessário parao entendimento dos fatos, e o método genético não busca um estudo detalhado doseventos que não contribuem para o entendimento do assunto. Entre os autores quedefendem este principio, temos Hanri Poincaré, George Polya, Morris Kline e RenéThom. Segundo SEBASTIANI FERREIRA (1996, p.253), Antonio Miguel em sua tesede doutorado, diz que é problemático o uso do “principio genético” para relacionarhistória e ensino-aprendizagem, porque na concepção de produção do conhecimento noplano psicogenético, a matemática passa a ser vista como um corpo cumulativo deconhecimentos seqüenciais e ordenados hierarquicamente, e a adoção do recurso àhistória baseada na ordem cronológica da constituição dos conteúdos a serem ensinados.(iii) Método Experimental
  • 130 Segundo BARBOSA (2008), esse método é fundamentado no conceito deexperiência cientifica. Para realização de tal experiência devemos adquirir recursostanto materiais quanto teóricos. Para isso devemos nos preocupar em: a) Espaço para realização da pesquisa, que não precisa ser necessariamente a sala de aulas, mais sim um laboratório de computação, biblioteca, etc.; b) Encher o espaço com ferramentas semelhantes as quais dispunham os matemáticos e determinada época; segundo Ferreira, os materiais não precisam ser necessariamente objetos concretos, mas conceitos, técnicas e estratégias matemáticas que o autor dispunha. c) Perturbação do sistema. Essa etapa consiste em mudar os equipamentos (conceitos, técnicas e estratégias matemáticas) de acordo com a evolução do processo histórico. Nesse momento, utilizamos bibliografias para mostrar os principais momentos históricos até que chegamos ao computador por ser a ferramenta e/ou equipamento utilizado pelos matemáticos contemporâneos; d) Instigar os alunos para que eles expressem todo o processo experimental, podendo ser em forma oral, escritas, ou ambas. Ainda segundo BARBOSA (2008), a idéia é pegar um fato e “caminhar” comele através da história da matemática. Essa é a idéia defendida pelo professor EduardoSebastiani.(iv) A Perspectiva lógico-histórica no ensino Retomando o Projeto deste trabalho, bem como estudos realizadosanteriormente, durante no nosso projeto Iniciação Científica, vimos que a análise sobreo uso da História da Matemática, pedagogicamente, deva ser feita e escrita sob o pontode vista do educador matemático. Tal análise, decorrente do processo de investigação,deve enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, masprincipalmente dos contextos epistemológicos, psicológicos, sócio-político e culturaispresentes na sala de aula. Sendo assim, o educador matemático, ao fazer a análise sobreo papel da História da Matemática no ensino, tem condições de verificar onde e como
  • 131esses resultados foram produzidos, contribuindo para a explicitação das relações que aMatemática consegue estabelecer com a realidade. Portanto, essa Metodologia leva o aluno a participar da construção doconhecimento escolar de forma ativa e crítica tendo como uma das exigências a relaçãocom a necessidade histórica e social, relacionados ao surgimento do Cálculo. A esteprocesso, estamos denominando de perspectiva lógico-histórica. Agora vamos destacar alguns livros que propõe o ensino do Cálculo usando aHistória.10.2 Livros de Cálculo usando a história (i) “Curso de História da Matemática” de M. E. Baron e H. J. M. Bos. De acordo com BARBOSA (2008, p.83), A coleção de livros da UNB é dividia em cinco volumes e expõe todos os conceitos de um primeiro curso de cálculo contando os principais fatos históricos e instigando o leitor a fazer avaliação dos acontecimentos propondo questões avaliativas relacionado ao assunto tratado. Em alguns casos, pede-se que façamos comentários críticos e, em outros, propõe que se façam resumos de partes dos textos. Nestes textos encontramos traduzidos os relatos, publicações, cartas, etc. como são encontrados nos trabalhos originais dos autores. Logo após cada exposição desses trabalhos, são feitos apontamentos sobre o assunto. (ii) The Calculus: a Genetic Approach, Toeplitz. De acordo com BARBOSA (2008, p.83), O livro segue a inspiração histórica para apresentar os conceitos do Cálculo ao estudante. Inicia com uma discussão sobre as especulações dos antigos matemáticos gregos sobre os processos infinitos, a teoria das proporções, o método da exaustão, a medida da
  • 132 circunferência de Arquimedes, o conceito de número, limites de seqüências e séries numéricas. O estudo da integral definida se inicia com a quadratura da parábola por Arquimedes, e a retomada deste problema 18 séculos após com Cavalieri. A derivação é apresentada com o estudo do problema de se encontrar a tangente a uma curva em um ponto, com problemas de máximos e mínimos e o conceito de velocidade de Galileu. O estudo dos logaritmos lança uma luz sobre a relação entre derivada e integral. O livro termina com aplicações a problemas de movimento, como o pêndulo, oscilações, leis de Kepler e de Newton. Toeplitz deixou o livro inacabado, tendo falecido em 1940 em Jerusalém, após deixar a Alemanha em 1939. (iii) The historical development of the calculus, EDWARDS.De acordo com BARBOSA (2008, p.83-4), Segundo Edwards, a história do desenvolvimento do cálculo tem um especial interesse para quem aprecia o valor histórico na perspectiva de ensino e aprendizagem, desfrutando dela e de suas aplicações. Seu livro começa discutindo os problemas da antiguidade até chegar à análise do século vinte. Após tratar dos principais assuntos da matemática grega, o autor conta fatos históricos e as contribuições dos principais personagens precussores do cálculo, que de uma forma ou de outra, colaboraram no seu desenvolvimento até chegarmos à Newton e Leibniz que auferiram o direito de ter, cada um deles, um capítulo inteiro no livro por serem eles inevitavelmente considerados a peça central da história do cálculo. A principal característica deste livro é a inclusão entremeada de exercícios ao longo do texto como
  • 133 uma parte integrante da exposição. A história da matemática, como matemática própria, não se aprende com uma leitura passiva, mas com uma caneta na mão. No entanto, a solução de problemas típicos e particulares de um determinado período histórico, utilizando as ferramentas daquele tempo permite ao leitor compartilhar o entusiasmo da primeira descoberta. O autor indaga que o melhor caminho de penetrar no pensamento de Arquimedes e Newton, por exemplo, é resolver alguns problemas utilizando seus próprios métodos. 11. UMA PROPOSTA METODOLÓGICA NO ENSINO DE CÁLCULO O objetivo deste capitulo é discutir a história da matemática como metodologiade ensino em Cálculo. Podemos começar a dizer sobre uma proposta metodológica tomando SPINA(2002), que vem mostrar que na escola, o antigo paradigma deveria ter sido substituído,o que significaria o fim dos "planejamentos de arquivo", das aulas preparadas e nuncamudadas, da passividade-receptividade dos alunos, numa palavra, o abandono dascertezas, dos objetivos de longo prazo, o que na prática não acontece, ou seja, aindapersistem os antigos métodos de ensino, à revelia das mudanças que estão a exigir umanova mentalidade. Dessa forma, ASSMANN (1996, p.55) afirma: “Confesso a minha perplexidade, não apenas diante de muitos aspectos da atual evolução da humanidade, mas também diante dos que persistem em não evoluir. Há muita literatura sobre a educação na qual não se registra nada acerca dos terremotos epistemológicos do século XX.” Assim, MORAES (1997, p. 51), citado por SPINA (2002), diagnostica o estadode calamidade do sistema escolar brasileiro:
  • 134 Na área educacional, as influências do pensamento cartesiano-newtoniano parecem ainda mais graves considerando o seu significado para a formação de novas gerações, com sérias implicações para o futuro da humanidade. (...) Em vez de produzir as transformações necessárias para o desenvolvimento harmonioso do ser humano, a educação atual continua gerando padrões de comportamento preestabelecidos, com base em um sistema de referência que nos ensina a não questionar, a não expressar o pensamento divergente, a aceitar passivamente a autoridade, a ter certeza das coisas (...) Dessa forma, ainda de acordo com SPINA (2002), o ensino da Matemática nãofoge à regra. As transformações por que passa o mundo, o ritmo alucinante da evoluçãosolicita outra didática, mentalidade, metodologia. Como diz ZUÑIGA (1991), citado por SPINA (2002): O reflexo disso se faz sentir na Matemática (...) a natureza da Matemática está mudando: há muitos indícios disso. Cada dia mais pessoas questionam o modelo matemático infalível, absoluto, longe da intuição empírica e da realidade terrena, que dominou até agora... Cada vez se percebe melhor a íntima relação entre as matemáticas e a sociedade. Cada vez tem-se mais espaço para um novo paradigma sobre a natureza das matemáticas, um paradigma empírico e construtivista, um paradigma que recorre à intuição sensorial, um paradigma que integre no seu seio as influências sociais e culturais, que recorre à História das Matemáticas e das Ciências como inspiração, não só para anedotas, senão para estabelecer a lógica que sustenta a prática educativa de uma forma mais acertada.
  • 135 Assim, quando pretendemos abordar a História da Matemática comoprocedimento de ensino, esta é pedagogicamente orientada, tal como, as váriasdificuldades de interpretação, a construção de teorias e outros problemas que surgemdurante o processo. Então, de acordo com estudos realizados anteriormente, durante na nossaIniciação Científica, temos que se vista de forma dinâmica, a História da Matemática seinsere no conteúdo que está sendo abordado. De certa forma, segundo os estudos deLanner de Moura (1995), Sousa (2004), guardadas as devidas proporções, o alunoreconstrói os passos que foram dados para a organização daquele conhecimento, alémde mostrar a dimensão didática e humana do conhecimento entre professor e aluno. Oaluno deve participar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e críticatendo como uma das exigências a relação com a necessidade histórica e social quesustentaram o surgimento e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos. A esteprocesso estamos denominando de perspectiva lógico-histórica. Assim, segundo SOUSA (2007), ao acenarmos para um ensino que se fundamenteno par lógico-histórico, estamos defendendo que a relação lógico-histórica na práticapedagógica do professor. Também, nesta mesma linha, de acordo com estudos anteriores, feitos durante oRelatório de Iniciação Científica, podemos dizer que ao assumirmos o lógico-históricoenquanto forma de pensamento, necessariamente, assim como os estudos que sefundamentam na perspectiva da Educação Conceitual (Lanner de Moura, 2003),consideramos a flexibilidade, a relatividade, a interdependência, a fluência, o processo eo movimento do próprio pensamento que ocorre na totalidade do pensamento, enquantodefine para si mesmo o que vem a ser a verdade elaborada pela praxis humana enquantoo homem tenta se humanizar pelo conhecimento. Já RIBNIKOV (1987, p. 12), nos diz que: Conhecer a história do desenvolvimento da matemática nos permite conhecer seu objeto, bem como “compreender o lugar dessa ciência na atividade produtiva e social dos homens”
  • 136 Dessa forma, de acordo com SOUSA (2004), professores e estudantes devempartir do princípio de que aprender um conceito matemático envolve apropriação designificações que são produzidas durante o desenvolvimento histórico da humanidade.Tais apropriações são elaboradas enquanto procuram atender as necessidades sociais ecognitivas.12. DELINEAMENTOS DE UMA PROPOSTA DE ENSINO PARA ASDISCIPLINAS INICIAIS DE CÁLCULO COM HISTÓRIA DA MATEMÁTICA Este capítulo possui a intenção de mostrar os delineamentos de propostas deensino pesquisadas a partir de um enfoque histórico, onde a idéia seria a deproporcionar que o estudante possa fazer reflexões sobre conceitos que estuda. Outro ponto a ser abordado aqui é a opção entre seguir os nexos conceituaispresentes no desenvolvimento do Cálculo, ou seguir a ordem adotada nos livrosdidáticos. Mais especificamente, para BARUFI (1999), existem dois modelos principais aserem abordados, a saber: (...) Constitui na apresentação do Cálculo sistematizado, formal e logicamente organizado, como resultado do trabalho de pensadores, filósofos e matemáticos, durante vinte séculos. (...) Nesse caso, a seqüência temática, basicamente é: Números Reais, funções, Limites, Derivadas e Integrais, e o tratamento metodológico obedece, em muitos casos, à idéia de fornecer uma revelação do Cálculo. (BARUFI, 1999, p. 52) (...) Este modelo diverge do anterior por apresentar uma seqüência temática que não obedece necessariamente à estrutura lógica, mas muito mais ao desenvolvimento do Cálculo, ou à sua contemporaneidade. Isto se deve ao fato de basear-se numa metodologia problematizadora, segundo a qual aquilo que deflagra o processo de construção do conhecimento, por parte dos alunos, é a
  • 137 existência de problemas importantes e motivadores. (BARUFI, 1999, p. 53) Dessa forma, a abordagem lógico-histórica, que aqui adotamos, condiz com osegundo modelo apresentado por BARUFI (1999). Nesse sentido, em nossas pesquisas, constatamos que praticamente não existematividades de ensino com a abordagem histórica na literatura em português e emespanhol, cujas pesquisas realizamos através da base de dados SCIELO. Outra fonte depesquisa da literatura brasileira, em específico, foi através do banco de dados dasprincipais universidades brasileiras, onde não foi encontrada nada de relevante. Emportuguês foi encontrada a coleção “Curso de História da Matemática” de M. E. Barone H. J. M. Bos, de 5 volumes. Já na literatura internacional, encontramos três livros em específico, de autoresamericanos, que são: TOEPLITZ (1996), PRIESTLEY (1974) e EDWARDS (1974). Dessa forma, em vez de copiarmos alguns exercícios de tais livros, vamosapenas relembrar suas principais características, já analisadas acima, de acordo comBARBOSA (2008). Seguem as principais características desses livros: (i) “Curso de História da Matemática” de M. E. Baron e H. J. M. Bos. De acordo com BARBOSA (2008, p.83), A coleção de livros da UNB é dividia em cinco volumes e expõe todos os conceitos de um primeiro curso de cálculo contando os principais fatos históricos e instigando o leitor a fazer avaliação dos acontecimentos propondo questões avaliativas relacionado ao assunto tratado. Logo após cada exposição desses trabalhos, são feitos apontamentos sobre o assunto. Verificamos que os exercícios são mais de cunho histórico do que sobrecálculo especificamente. (ii) The Calculus: a Genetic Approach, Toeplitz.
  • 138 De acordo com BARBOSA (2008, p.83), O livro segue a inspiração histórica para apresentar os conceitos do Cálculo ao estudante. Inicia com uma discussão sobre as especulações dos antigos matemáticos gregos sobre os processos infinitos, a teoria das proporções, o método da exaustão, a medida da circunferência de Arquimedes, o conceito de número, limites de seqüências e séries numéricas. O estudo da integral definida se inicia com a quadratura da parábola por Arquimedes, e a retomada deste problema 18 séculos após com Cavalieri. A derivação é apresentada com o estudo do problema de se encontrar a tangente a uma curva em um ponto, com problemas de máximos e mínimos e o conceito de velocidade de Galileu. O estudo dos logaritmos lança uma luz sobre a relação entre derivada e integral. O livro termina com aplicações a problemas de movimento, como o pêndulo, oscilações, leis de Kepler e de Newton. Toeplitz deixou o livro inacabado, tendo falecido em 1940 em Jerusalém, após deixar a Alemanha em 1939. Assim, verificamos que são exercícios voltados mais para física, do que problemas de cunho histórico. (iii) The historical development of the calculus, EDWARDS.De acordo com BARBOSA (2008, p.83-4), Segundo Edwards, a história do desenvolvimento do cálculo tem um especial interesse para quem aprecia o valor histórico na perspectiva de ensino e aprendizagem, desfrutando dela e de suas aplicações. Seu livro começa discutindo os problemas da antiguidade até chegar à análise do século vinte. Após tratar dos principais
  • 139 assuntos da matemática grega, o autor conta fatos históricos e as contribuições dos principais personagens precursores do cálculo, que de uma forma ou de outra, colaboraram no seu desenvolvimento até chegarmos à Newton e Leibniz que auferiram o direito de ter, cada um deles, um capítulo inteiro no livro por serem eles inevitavelmente considerados a peça central da história do cálculo. A principal característica deste livro é a inclusão entremeada de exercícios ao longo do texto como uma parte integrante da exposição. A história da matemática, como matemática própria, não se aprende com uma leitura passiva, mas com uma caneta na mão. No entanto, a solução de problemas típicos e particulares de um determinado período histórico, utilizando as ferramentas daquele tempo permite ao leitor compartilhar o entusiasmo da primeira descoberta. O autor indaga que o melhor caminho de penetrar no pensamento de Arquimedes e Newton, por exemplo, é resolver alguns problemas utilizando seus próprios métodos. Ao verificar o livro, vimos que é o que mais se aproxima de um livro didático decálculo usando a história da matemática. Também vimos muitos exercícios durante olivro, adequados com a abordagem histórica. Entretanto a critica que fazemos aqui é pela maioria das atividades se reduziremà simples exercícios, alguns de fixação da teoria ou onde são pedidas demonstrações deresultados apresentados durante o capítulo, com poucos problemas a serem resolvidos.12. CONCLUSÕES Podemos concluir de nossa pesquisa que cumprimos nosso objetivo de estudar ahistória da matemática enquanto metodologia de ensino nas disciplinas iniciais deCálculo, já que fizemos um levantamento das taxas de reprovações em tais cursos, e
  • 140também a partir de entrevistas de professores, levantamos as principais dificuldades noensino-aprendizagem, e aprofundamos seu estudo. Assim, durante a nossa pesquisa, podemos observar tanto através das entrevistascom professores como no estudo da bibliografia citada, que um dos principais conceitosenvolvidos no estudo do Cálculo é o de limite, sendo fundamental para o aprendizadode derivadas e integrais. Dessa forma, destacamos em nossa pesquisa a chamada ruptura entre opensamento algébrico e o analítico, como problema de ensino-aprendizagem doCálculo, que segundo ARTIGUE (1998) ocorre quando o aluno é obrigado a reconstruirobjetos matemáticos, ou seja, tomar consciência de todas as mudanças e do crescimentoda dificuldade técnica do trabalho matemático nos ajuda a compreender melhor àdistância que separa a capacidade de formular a definição formal da noção de limite,ilustrada por exemplos e contra-exemplos, representada graficamente, e por outra parte,de dominar tecnicamente esta definição, é decidir ser capaz de utilizá-la como uminstrumento operativo na resolução de problemas. Logo, ao falarmos sobre nossa aprendizagem sobre ao conteúdo de Cálculo,principalmente ao estudarmos as dificuldades de ensino-aprendizagem, um pouco sobreo conceito formal de limites, sobre como eram tratadas as tangentes, deste problema dostempos de Euclides. Porém destaca-se aqui o conceito de integrais, principalmente naintegração de funções em intervalos descontínuos, onde não basta a aplicação pura esimples das regras, e sim fazer antes um estudo do gráfico e das possíveisdescontinuidades, para ai sim efetuarmos a operação. Na seqüência estudamos a importância do uso da história da matemática noensino de cálculo, onde aprofundamos com o estudo de diversas metodologias que usamtal abordagem, culminando com o lógico-histórico. Dessa forma, podemos dizer queaprendemos um pouco sobre a história dos conceitos de Cálculo, sendo destaque parafunção, onde apareceu para nós todo o seu desenvolvimento lento e gradual. Tambémdestacamos o aprendizado sobre o surgimento histórico primeiro de integrais emdetrimento dos demais conceitos. Já sobre nosso aprendizado sobre as metodologias deensino de Cálculo, podemos dizer que passamos a ter algum conhecimento sobre osdiversos enfoques da história da matemática como metodologia.
  • 141 Antes de concluirmos, por tudo que estudamos, aprendemos um pouco com asentrevistas dos professores, das queixas deles em relação aos alunos e comparando comas taxas de reprovações, vimos que realmente tem algo errado, e em geral com ocomportamento dos alunos em relação aos estudos. Porém, o radicalismo de algunsprofessores em não tentar enxergar outras metodologias de ensino é um fator há serestudado. Assim, vemos que é mais fácil notarmos o que não deve ser feito em sala deaula, com exemplos negativos, do que propormos um modo correto de procedimento.Porém, pelas nossas pesquisas, concordamos que uma boa alternativa é o estudo dadisciplina via história da matemática, assentada em problemas de cunho histórico, comuma visão que priorize o desenvolvimento e a evolução dos conteúdos, em vez doenfoque metodológico tradicional. Dessa forma, concluímos que o que melhor se adéqua de um livro didático decálculo usando a história da matemática é o livro de EDWARS (1977). Também vimosmuitos exercícios durante o livro, adequados com tal abordagem, porém, em vez decopiarmos alguns exercícios de tais livros, apenas relembramos suas principaiscaracterísticas, vantagens e desvantagens. Para encerrarmos, propomos a seguinte questão de investigação: “De que forma a perspectiva lógico-histórica pode se configurar como metodologiade ensino de Cálculo?” Assim, podemos dizer que tal perspectiva deve enfatizar a reconstituição, nãoapenas dos resultados matemáticos, mas principalmente dos contextos epistemológicos,psicológicos, sócio-político e culturais presentes na sala de aula, levando o aluno aparticipar da construção do conhecimento escolar de forma ativa e crítica, tendo comouma das exigências a relação com a necessidade histórica e social, relacionados aosurgimento do Cálculo.15. BIBLIOGRAFIA• AABOE, Asger. Episódios da História Antiga da Matemática. Trad. deJoão Pitombeira de Carvalho. Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática,1984. 170 p.
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