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Lobos y conejos.

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Dinámica de una población de presas y predadores, según el tratamiento de Lotka y Volterra.

Dinámica de una población de presas y predadores, según el tratamiento de Lotka y Volterra.

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  • 1. Tercera Jornada local de Enseñanza de las Ciencias Naturales 27 de octubre de 2007 Instituto Murialdo Villa Bosch, Buenos Aires, Argentina
  • 2. Equilibrio de poblaciones ( conejos, lobos y cuentas ) Agustín Rela – Capacyt – 27 de octubre de 2007 Un tratamiento matemático sencillo propuesto por Alfred J. Lotka y Vito Volterra en 1925 y 1926.
  • 3. La lucha por la vida hiere nuestra sensibilidad. A la cultura dominante le incomoda el hecho y lo oculta, o lo disfraza desde la más temprana educación.
  • 4. Se nos enseña que habría animales buenos y animales malvados.
  • 5. Tambor, el amigo del cervatillo Bambi Las presas se muestran a menudo como personajes bondadosos
  • 6. Rogger Rabbit y su novia, la humana Jessica, de Gary K. Wolf, 1981... ...el Correcaminos de Chuck Jones, 1976... 
  • 7.  
  • 8. Zeque, el Lobo Feroz, de Walt Disney, 1933.
  • 9. Piolín y Silvestre (Tweety & Silvester), de Friz Freleng, 1947. (Naturalmente, en esa ficción el gato nunca se come al pájaro.)
  • 10. Una reciente excepción: En El Rey León , de 1994, hay leones buenos. Pero las hienas son malvadas. Jerónimo Rivera ve en esa historia una alegoría de la sociedad estadounidense, con sus aliados, enemigos, y vecinos marginales y menesterosas.
  • 11. Casi siempre simpatizamos con la presa, más que con el predador.
  • 12.  
  • 13. El resultado opuesto, el real, nos parece triste...
  • 14.  
  • 15. ...aunque lo aceptemos como natural, inevitable, y hasta necesario, tanto para los lobos, como para los humanos.
  • 16. Lo que llamamos equilibrio ecológico o estabilidad de las poblaciones, está lejos de la idea bucólica en la que fuimos criados.
  • 17. bucólico, ca. (Del lat. bucolĭcus, y este del gr. βουκολικoς, de βουκoλος, boyero). 1. adj. Dicho de un género de poesía o de una composición poética, por lo común dialogada: Que trata de cosas concernientes a los pastores o a la vida campestre. 2. adj. Perteneciente o relativo a este género de poesía. 3. adj. Dicho de un poeta: Que cultiva el género bucólico. U. t. c. s. 4. adj. Que evoca de modo idealizado el campo o la vida en el campo. 5. f. Composición poética del género bucólico. Real Academia Española © Todos los derechos reservados
  • 18. El término ecología ( Ökologie ) fue introducido en 1866 por el biólogo y filósofo prusiano Ernst Haeckel, en su trabajo Morfología General del Organismo . La palabra, de raíces griegas, significa estudio de las viviendas ; y en sentido especial, el del hábitat.
  • 19. ecología. (De eco- 1 y -logía ). 1. f. Ciencia que estudia las relaciones de los seres vivos entre sí y con su entorno. Real Academia Española (Edición 19, de 1979)
  • 20. ecología. (De eco- 1 y -logía ). 1. f. Ciencia que estudia las relaciones de los seres vivos entre sí y con su entorno. 2. f. Parte de la sociología que estudia la relación entre los grupos humanos y su ambiente, tanto físico como social. 3. f. Defensa y protección de la naturaleza y del medio ambiente. La juventud está preocupada por la ecología. Real Academia Española (Edición 22, de 2001)
  • 21. Vito Volterra (1860-1940) Físico matemático italiano, n. en Ancona y m. en Roma. Catedrático de la Universidad de Roma desde 1900, senador y presidente de la Accademia dei Lincei, durante la I Guerra Mundial se alistó en el cuerpo de Ingenieros, donde se interesó por la artillería aire-tierra, asegurándose haber sido el primero que disparó desde una aeronave. Su oposición al fascismo y el pretexto de su origen judío le supusieron la expulsión de su cátedra y de las sociedades científicas italianas, si bien en 1936 el Papa Pío XI lo recibió en la Pontificia Academia de Ciencias. Exiliado a...
  • 22. ...Francia hasta 1939, impartió cursos en distintos países, entre ellos España. Volterra desarrolló la solu-ción de ecuaciones integrales de límites variables que lleva su nombre, y en 1926, sobre un problema de poblaciones de peces, diseñó la ecuación logística que serviría de base a Alfred J. Lotka (1880-1949) para desarrollar la ley de crecimiento de dos poblaciones competitivas (por ejemplo, depredadores y presas), expresada como sistema de doble ecuación diferencial (ecuaciones de Lotka-Volterra). Sus Opere matemati-che (Roma, 1954–62) se publicaron en cinco tomos.
  • 23. Alfred James Lotka (Lemberg, 1880-Nueva York, 1949) Matemático estadounidense. Especializado en estadística, se le considera el fundador de la demografía matemática. Estudió la evolución de las poblaciones y definió los conceptos de población estable, población estacionaria y tasa de crecimiento natural. Su obra más importante se titula Teoría analítica de las asociaciones biológicas . http://www.biografiasyvidas.com
  • 24.
    • Hipótesis simplificadas
    • Los conejos disponen de alimento ilimitado.
    • Los conejos siempre mueren comidos, y jamás llegan a viejos.
    • Los lobos carecen de predadores y sólo mueren de hambre o de viejos.
    • Los lobos sólo disponen de conejos como alimento
  • 25. Vienen las ecuaciones ¡Prepararse..!
  • 26. ¡Aaaghh..!
  • 27.  
  • 28. Cantidad de conejos
  • 29. Variación de la cantidad de conejos en un cierto tiempo
  • 30. Tiempo en el que ocurre esa variación
  • 31. Cantidad de lobos
  • 32. Variación de la cantidad de lobos en el mismo tiempo
  • 33. El mismo tiempo, en el que ocurre esa otra variación
  • 34. Tasa de natalidad de los conejos
  • 35. Probabilidad de que lo capturen
  • 36. Tasa de natalidad de los lobos, mayor cuando están bien alimentados
  • 37. Tasa de mortalidad de los lobos, por vejez
  • 38. Procedimiento de cálculo con lápiz y papel
  • 39.
    • Elegimos las cantidades iniciales de conejos y lobos, por ejemplo x = 3000; y = 1000.
    • Elegimos un lapso, p.ej. dt = 1 mes.
    • Elegimos las dos tasas de natalidad, p.ej.
    •  = 0,5 nacimiento por conejo y por mes.
    •  = 0,0002 nacimientos por lobo y por mes.
    • Elegimos las tasas de captura y de mortalidad, p.ej.
    •  = 0,0002 capturas por mes, por lobo y por conejo.
    •  = 0,5 muertes por mes y por lobo.
  • 40. x = 3000 y = 1000 dt = 1  = 0,5  = 0,0002  = 0,5  = 0,0002
  • 41.
    • Usamos la primera ecuación
    • dx/dt = x(  –  y)
    • dx/1 = 3000  (0,5 –0,0002  1000)
    • dx = 3000  (0,3)
    • dx = 900
    • Entre nacimientos y muertes, hay 900 conejos más. Había 3000; ahora hay 3900.
  • 42.
    • Usamos la segunda ecuación
    • dy/dt = –y(  –  x)
    • dy/1 = –1000  (0,5–0,0002  3900)
    • dy = –1000  (–0,28)
    • dy = 280
    • Entre nacimientos y muertes, hay 280 lobos más. Había 1000; ahora hay 1280.
  • 43.
    • Volvemos a usar la primera ecuación, con las nuevas cantidades de lobos y conejos:
    • x = 3900
    • y = 1280
    • Resulta una nueva cantidad de conejos:
    • x = 4852 (redondeamos a un valor entero)
  • 44.
    • Volvemos a usar la segunda ecuación con la nueva cantidad de conejos y la que teníamos de lobos:
    • x = 4852
    • y = 1280
    • Resulta una nueva cantidad de lobos:
    • y = 1882 (redondeamos a un valor entero)
  • 45. Y así sucesivamente.
  • 46. Gráficamente Lobos 2000 4000 6000 2000 4000 0 Condición inicial Conejos
  • 47. Según los parámetros elegidos (alfa, beta, gamma y delta) puede ocurrir, como en este caso, que las poblaciones oscilen, pero que sin embargo se mantengan entre límites estables. Con otros parámetros, las poblaciones languidecen, o al contrario una explota y causa la extinción de la otra, o de ella misma. Y hay parámetros que determinan cierta clase de equilibrio de apariencia caótica entre las poblaciones.
  • 48. Procedimiento de cálculo con computadora
  • 49. Con planilla de cálculo
  • 50. 100 SCREEN 9:KEY OFF:CLS:I=1 120 A=.5 130 B=.0002 140 C=.5 150 D=.0002 160 X=3000:Y=1000:WINDOW(0,0)-(X*2,Y*6) 165 REM i=i+1:LOCATE I,1: PRINT I;TAB(5); INT(X); INT(Y):IF I>20 THEN STOP 180 X=X+A*X-B*X*Y : X=INT(X+.5) 200 Y=Y-C*Y+D*X*Y : Y=INT(Y+.5) 210 CIRCLE(X,Y),25:I=I+1:FOR PT=1 TO 1000000!:NEXT PT 220 GOTO 165 :REM AR 2007.Oct.15:save"amano3.bas",a Con el vetusto y precámbrico GW Basic que usaba en mi juventud; disculpen. Se resaltan las instrucciones principales. PT significa perder tiempo.
  • 51. Nuestro ejemplo, calculado en Basic.
  • 52. Con diferentes parámetros alfa, beta, gamma y delta, y diferentes poblaciones iniciales.
  • 53. Curioso caso, que resulta de determinadas condiciones iniciales.
  • 54. Lo mismo, con el agregado de colores.
  • 55. Ciertos parámetros dan lugar a comportamientos extraños de las poblaciones. Parecen estables...
  • 56. ...pero después de miles de generaciones, y sin que nadie intervenga...
  • 57. ...estalla una catástrofe poblacional, consecuencia de las reglas establecidas. (Desborde en la instrucción 50 significa que la cantidad de animales es gigantesca.)
  • 58. Esto ha sido sólo una simplificación de una teoría de la que no se sabe hasta qué punto es verdadera.
  • 59. Nuestras ideas actuales de la naturaleza quizá sean muy distantes de la verdad. (Visión artística de Quino)
  • 60.  
  • 61. Sin embargo, el modelo presentado, aun dentro de su simplicidad, da cuenta de hechos que se observan realmente en la naturaleza, y sirve de base para planear la explotación y conservación de recursos. Por ejemplo, en qué momento conviene cazar, pescar, faenar la hacienda y cosechar, y cuándo es más favorable dejar que las poblaciones de organismos se recuperen.
  • 62.  
  • 63. Versión del 19.Oct.2007 - 19:02H Fin Corregida el 9.Abr.2008 - 17:25H
  • 64.  
  • 65.