Productos notables y factorización a

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Presentación de productos notables y factorización, para apoyo al reforzamiento escolar a estudiantes de Educación Media.

Presentación de productos notables y factorización, para apoyo al reforzamiento escolar a estudiantes de Educación Media.

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  • 1. RJAL UNIDAD II: ALGEBRA TEMA: PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.1 MATEMATICA BASICA MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ
  • 2. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.2 CONCETOS BASICOS La palabra álgebra proviene del vocablo árabe ilm al-ŷabr w’al muqabala titulo en arábigo de un libro escrito en el siglo IX por el matemático árabe al- Khwarizmi. Traducido como ciencia de la restauración y la reducción, lo cual proviene de trasponer y combinar términos semejantes (de una ecuación).
  • 3. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.3 CONCEPTOS BASICOS El algebra “es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible”. (Aurelio Baldor) A diferencia de la aritmética elemental, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables o coeficientes), o cantidades desconocidas (incógnitas).
  • 4. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.4 CONJUNTOS NUMERICOS Números Reales Números Complejos Números Racionales Números Irracionales Números Enteros Números decimales finitos e infinitos periódicos Números Naturales Negativos de los números naturales 0 Números Imaginarios
  • 5. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.5 CONCEPTOS BASICOS Una expresión algebraica es una combinación de símbolos, letras y números reales ligadas por las operaciones fundamentales del algebra suma, resta, multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces. Ejemplos : -4x +3y , (2a +3b)c, 5x2 + 3x - 2 3a + b Un término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre si por el signo + o –. Ejemplos: 2b , 3xyz, 4cd 5x
  • 6. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.6 CONCEPTOS BASICOS Un Monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplos: 5x, -4z, 2x3yz Un Polinomio es una expresión algebraica que consta de mas de un término. Si tiene dos términos se le llama binomio, si es de tres términos se le llama trinomio. Ejemplos: Binomios 2x - 3y, 2a2 – 5ab, 2x3 + xyz 3w Trinomios 2a – 5b + z, -3a2 + 5a + 6
  • 7. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.7 Se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección es decir sin verificar la multiplicación. 1. Cuadrado de la suma de dos cantidades (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 Ejemplo: (2x + 3z2 )2 = (2x)2 + 2(2x)(3z2) + (3z2)2 = 4x2 + 12xz2 + 9z4 PRODUCTOS NOTABLES
  • 8. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.8 PRODUCTOS NOTABLES Cuadrado de la suma o de la (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 diferencia de dos cantidades (x - y)2 = x2 - 2xy + y2 Producto de la suma por la (x + y)(x - y) = x2 - y2 diferencia de dos cantidades Producto de dos binomios de (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab de la forma (x + a)(x + b) Producto de dos binomios de (ax+ b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd de la forma (ax + b)(cx + d) Producto de un binomio por (x + y)( x2 - xy + y2 ) = x3 + y3 un trinomio (x - y)( x2 + xy + y2 ) = x3 - y3 Cubo de un binomio (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 (x - y)3 = x3 - 3x2 y + 3xy2 - y3
  • 9. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.9 Ejemplos: 1. (5x + 2y)2 = (5x)2 + 2(5x)(2y) + (2y)2 25x2 + 20xy + 4y2 2. (3m2 – 4n3)2 = (3m2)2 - 2(3m2)(4n3) + (4m3)2 = 9m4 + 24m2n3 + 16m6 3. (2x - 3y)3 = (2x)3– 3(2x)2(3y)+3(2x)(3y)2– (3y)3 = 8x3 - 36x2y + 54xy2 - 27y3 4. (n + 3)(n2 - 3n + 9) = n3 + 27 PRODUCTOS NOTABLES
  • 10. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.10 5. (x + 5)(x - 3) = x2 + (5 - 3)x – 5(3) = x2 + 2x - 15 6. (a + b)(a - b)(a2 – b2) = (a2 – b2) )(a2 – b2) = (a2 – b2)2 = a4 - 2a2 b2 + b4 7. (8n - 6p)(7n - 10p) = = (8)(7)n2 + [(8)(-10)+(-6)(7)] np + (-6)(-10)p2 = 56n2 -122pn + 60 p2 PRODUCTOS NOTABLES
  • 11. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.11 8. (2a + 3b + c)(2a + 3b - c) = [(2a + 3b) + c][(2a + 3b) - c] = (2a + 3b)2 + c2 = 4a2 + 12ab + 9b2 – c2 PRODUCTOS NOTABLES
  • 12. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.12 Se llaman factorización al proceso de expresar una expresión algebraica como como el producto de dos o más factores. 1. Factor común monomio ax + ay = a(x + y) Ejemplo: 35m2n3 + 70m3 = 35m2 (n3 + 2m) FACTORIZACION
  • 13. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.13 FACTORIZACION Factor común monomio ax+ ay = a(x + y) Factor común polinomio a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) Trinomio cuadrado perfecto x 2 + 2xy + y 2 = (x + y) 2 x 2 - 2xy + y 2 = (x - y) 2 Diferencia de cuadrados x 2 - y 2 = (x + y)(x - y) Trinomio de la forma x 2 + bx + c = (x + A)(x + B) x 2 + bx + c donde A + B = b y A*B = c Trinomio de la forma ax 2 + bx + c = (Ax + B)(Cx + D) ax 2 + bx + c donde A*C = a A*D + B*C = b y B*D = c Suma o diferencia de cubos x 3 + y 3 = (x + y)( x 2 - xy + y 2 ) x 3 - y 3 = (x - y)( x 2 + xy + y 2 )
  • 14. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.14 Ejemplos: 1. 8a2 b3 - 2ab2 + 4a3 = 2a(4ab3 – b2 + 2a2) 2. 16x2 - 9y2 = (4x + 3y)(4x- 3y) 3. 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2 4. (x2 + 6x + 9) - (y2 - 4y + 4) = (x + 3)2 - (y - 2)2 = [(x+3) + (y-2)] [(x+3) - (y-2)] = (x + y +1) (x – y + 5) FACTORIZACION
  • 15. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.15 Ejemplos: 5. x2 - 6x + 8 = (x - 4)(x - 2) 6. 6x2 - 7x – 3 = 6(6x2) - 6(7x) - 6(3) 6 = 62x2 - 7(6x) - 18 6 = (6x - 9)(6x + 2) (3)(2) = (2x - 3)(3x + 1) FACTORIZACION
  • 16. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.16 7. 8x3 - 125 = (2x)3 - 53 = (2x - 5)[(2x)2 + 2x(5) + 52] = (2x - 5)(4x2 + 10x + 25) 8. 16x4 - y4 = (4x)2 - (y2)2 = (4x2 + y2)(4x2 - y2) = (4x2 + y2)(2x - y)(2x + y) 9. 2a2x - 5a2y + 15by - 6bx = (2a2x - 5a2y) - (6bx - 15by) = a2(2x - 5y) - 3b(2x - 5y) = (2x - 5y)(a2 - 3b) FACTORIZACION
  • 17. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.17 FACTORIZACION PRODUCTOS NOTABLES Factor común monomio ax+ ay = a(x + y) Factor común polinomio a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) Trinomio cuadrado perfecto x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 Cuadrado de la suma o de la x2 - 2xy + y2 = (x - y)2 diferencia de dos cantidades Diferencia de cuadrados x2 - y2 = (x + y)(x - y) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Trinomio de la forma x2 + bx + c = (x + A)(x + B) Producto de dos binomios de x2 + bx + c donde A + B = b y A*B = c de la forma (x + A)(x + B) Trinomio de la forma ax2 + bx + c = (Ax + B)(Cx + D) Producto de dos binomios de ax2 + bx + c donde A*C = a A*D + B*C = b y B*D = c de la forma (Ax + B)(Cx + D) Suma o diferencia de cubos x3 + y3 = (x + y)( x2 - xy + y2 ) Producto de un binomio por x3 - y3 = (x - y)( x2 + xy + y2 ) un trinomio RESUMEN
  • 18. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.18 Productos notables 1. (x - 2)(x + 2)(x2 + 4)(x4 + 16) 2. (x + 3y + 2z – 4w) (x + 3y - 2z + 4w) 3. [2(x - 3y) + 5] [3(x - 3y) - 2] 4. (m2 + t2) (m4 - m2 t2 + t4) EJERCICIOS PROPUESTOS
  • 19. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.19 Factorización 1. 4x3 + 4x2 + x 2. (x - y)2 + 2(x - y) - 24 3. 8x3/27 - y6/125 4. pa2 + (1-p)b2 - [pa + (1-p)b]2 5. 8x6 + 19x3 - 27 EJERCICIOS PROPUESTOS
  • 20. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.20 Algebra. Aurelio Baldor Algebra y trigonometría con Geometría Analítica. Earl W. Swokowky y Jeffery A. Cole. Algebra y trigonometría.. Dennis Zill Algebra y funciones elementales. Carlos J. Walsh M. EJERCICIOS PROPUESTOS
  • 21. RJAL 01/10/2013 MSC. ROBERTO AGUILERA L.21 MUCHAS GRACIAS MSC. ROBERTO JOSE AGUILERA LOPEZ