Teoría de colas

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Teoría de colas

  1. 1. Introducción<br />El fenómeno de colas se da en cualquier tipo de sistema ya sea bancos supermercados, estacionamientos etc. Este fenómeno de las colas se da cuando la cantidad de personas que llegan a este establecimiento es mayor al número de personas que son atendidas en el mismo.<br />Este estudio es importante porque en base a ello se puede lograr una mejora en el sistema, sabiendo la modalidad del servicio y cómo llega la población.<br />Nuestro trabajo tomó como ejemplo la Sunat del Ovalo higuereta ; el primer capítulo trata de la problematización, objetivos y planteamiento de las hipótesis a estudiar; el segundo capítulo hace referencia a los antecedentes, y marco teórico; el tercer capítulo hace referencia al análisis y diagnóstico del escenario actual y el cuarto capítulo es el análisis y construcción del modelo actual para terminar con las conclusiones y bibliografía. <br />CAPÍTULO I<br />PROBLEMATIZACIÓN, OBJETIVOS E HIPÓTESIS <br />I.-Problematización <br />Los sistemas tributarios en el Perú, se desarrollan de una manera muy lenta provocando así las inconvenientes colas, y por mucho que no querramos nos tenemos que adecuar a ese sistema.<br />La Sunat posee 10 ventanillas de las cuales solamente 7 estaban en funcionamiento. El usuario llegaba al establecimiento, recogía un ticket en el cual se le destinaba la ventanilla a la cual debía de ir, esperando aquel turno algunas personas atendidas se demoraban más de lo esperado, mientras otras sólo entraban y salían con rapidez, las personas con una atención mayor a los 20 min son las que producían la cola.<br />Este establecimiento poseía 1 parte general de atención y dependiendo de tu problema te destinaban a la planta superior en donde en usuario podía solucionar su problema mucho más directo con algún encargado, el inconveniente surgía también cuando esta charla se extendía más y las personas que llegaban lo hacían más rápidamente.<br />II.-OBJETIVOS<br />Objetivo General <br />Mejorar de atención al cliente en el servicio de la SUNAT. <br />Objetivos Específicos <br />Determinar los factores que influyen en el tiempo de atención al cliente en el servicio de la SUNAT .<br />Determinar qué tipo de modelo de cola se ajusta a este servicio.<br />Establecer la capacidad de atención del servicio de la SUNAT .<br />Establecer los canales de servicio para la mejora de la atención de clientes.<br />III.-HIPÓTESIS DE ESTUDIO <br />Hipótesis General. <br />Después del análisis de los tiempos de espera de los clientes la atención se optimizará en un 30% si se logra el buen funcionamiento de todas las ventanillas que no funcionan.<br />Un sistema de colas se puede describir como: “clientes” que llegan buscando un servicio, esperan si este no es inmediato, y abandonan el sistema una vez han sido atendidos. En algunos casos se puede admitir que los clientes abandonan el sistema si se cansan de esperar.<br />CAPÍTULO II<br />ANTECEDENTES, METODOLOGÍA, MARCO TEÓRICO <br />V. ANTECEDENTES<br />El origen de la Teoría de Colas o Líneas de Espera se remonta a los estudios realizados en 1909 por Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929), para analizar la congestión en el sistema telefónico de Copenhague. <br />Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría llamada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que muchos de sus problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada - partida.<br />La Teoría de Colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Estas se presentan cuando "clientes" llegan a un "lugar" demandando un servicio al "servidor", el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no esta disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la "línea de espera".<br />El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no se sabe con exactitud en qué momento llegarán los clientes. También el tiempo de servicio no tiene un horario fijo.<br />Las llegadas se describen por su distribución estadística. Si las llegadas ocurren con una tasa promedio y que son independientes una de otra, entonces ocurren de acuerdo con una distribución de probabilidades de tipo "Poisson”.<br />V.-ALCANCES Y LIMITACIONES DEL ESTUDIO:<br />Alcances<br />Como alcance principal, tenemos los estudios realizados a lo largo del curso, además de la excelente categoría de sus docentes.<br />Ponemos en práctica nuestros conocimientos de investigación de operaciones II.<br />Ponemos en práctica nuestros conocimientos de modelos de cola y fenómenos de espera, estudiadas a lo largo del curso.<br />Utilizamos software especializado en Investigación de Operaciones para el desarrollo y análisis exacto de los factores e indicadores presentes en ésta estructura de colas.<br />Contamos con la cercanía del local y con la disponibilidad de este (mañana-tarde).<br />Utilizaremos los parámetros reales del sistema tales como:<br />La cantidad de arribos y sus intervalos de tiempo asociado. <br />El tiempo de permanencia promedio de los automóviles estacionados; y <br />Algunos comentarios y sugerencias del público usuario gracias a micro encuestas realizadas.<br />Limitaciones<br />Debido a la negación por parte de miembros de seguridad de SUNAT vimos en parte truncada nuestra intención de continuar con la toma de información acerca de otros detalles como: toma de fotos detallada y videos.<br />Por las limitaciones de tiempo en común por parte de miembros del grupo, la investigación se realizó en el lapso de 03 días ya que miembros del grupo tenían prácticas y otras responsabilidades, los horarios fueron durante las horas pico (3 días consecutivos en la tarde).<br />Nuestro estudio lo realizamos solo en la puerta de entrada (arribos) de los clientes a la SUNAT.<br />VI.- METODOLOGÍA DE ESTUDIO <br />Para el desarrollo de la presente investigación utilizaremos el método observacional descriptivo, con la toma de tiempos de las diversas operaciones que realiza el cliente en el servicio de atención en la SUNAT.<br />En nuestro trabajo de investigación procedimos de la siguiente manera:<br />Toma de tiempo para las llegadas de clientes.<br />Toma de tiempos para la atención de los clientes.<br />Conteo de clientes en un intervalo de tiempo dado (15 min.)<br />Ya introducidos los datos procederemos a hallar el tiempo de arribos y servicios promedio.<br />Luego de analizar los datos hallados realizaremos la respectiva prueba de bondad de ajuste, para ver si estos datos corresponden a una función EXPONENCIAL o POISSON.<br />VII. MARCO TEÓRICO<br />TEORIA DE COLAS<br />El origen de la Teoría de Colas se da a través de estudios de A. K. Erlang (Dinamarca, 1.905) estudiando el problema de dimensionamiento de líneas y centrales de conmutación telefónica para el servicio de llamadas. <br />La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente el cliente decide esperar, entonces se forma la cola.<br />La teoría de colas es una técnica matemática (estadística y económico) que tiene como objetivo reducir los tiempos de permanencia en cola de los clientes a niveles soportables o permisibles (de ser posible tiempo en cola = 0).<br />Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.<br />Objetivos de la Teoría de Colas <br />Los objetivos de la teoría de colas consisten en: <br />Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo. <br />Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo. <br />Establecer un balance equilibrado entre el costo y la calidad del servicio.<br />Depende de la calidad del servicio para saber el comportamiento del usuario y como se desarrollara la cola.<br />Problemas típicos de Teoría de Colas son:<br />Programación de actividades de despegue / aterrizaje en un aeropuerto<br />Sistema de consulta médica<br />Piezas en un taller donde pasan por diferentes máquinas en el proceso de mecanizado<br />Sistema de cajas en una oficina bancaria<br />Clientes en cola: Se dan en<br />Institución financiera<br />Transito<br />Supermercados<br />Servicios básicos <br />Empresa de producción<br />ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE COLA<br />1.Fuente de entrada.- Población potencial de clientes que requiere o podría requerir servicio.<br />Característica: Los parámetros pueden ser finitos o infinitos (N,); cuando son infinitos su formulación matemática resulta sencilla.<br />2.Cola: Es el número de clientes en espera de servicio <br />Característica: Los parámetros pueden ser finitos o infinitos (N,); cuando son infinitos su formulación matemática resulta sencilla.<br />3.Disciplina de la Cola: Es el orden (política del servicio) mediante el cual se seleccionan a los clientes para ser atendidos, estos pueden ser: FIFO, LIFO, GD, SIRO, Servicios con Prioridades, etc.<br />Fifo (First input First output): Primero en llegar primero en ser atendido<br />Lifo (Last input First output): Último en llegar primero en ser atendido<br />Siro (Service input random output): Servicio a los clientes de manera aleatoria.<br />4.Servidor.- Es el mecanismo implementado para brindar servicio (en paralelo). <br />CAUSAS DE LOS FENÓMENOS DE ESPERA<br />Tasa de arribo<Tasa de servicio<br /> <br />COEFICIENTE DE USO DEL SERVICIO ()<br /> = <br /> = Tiempo esperado que el servidor está ocupado.<br />Si: 1Indica origen de cola<br />Observación: para ciertos modelos de cola el coeficiente de servicio puede ser >< = 1<br />Notación de Kendall <br />Viene a ser la descripción resumida de los principales parámetros de un modelo de cola con servicios en paralelo.<br />(a /b /c):(d /e /f)<br />Donde:<br />a: Distribución de probabilidad de los tiempos entre arribos de los clientes al sistema<br />b: Distribución de probabilidad de los tiempos de servicios de los clientes al sistema.<br />c: Numero de servidores (s : servidor; s 1)<br />d. Disciplina del servicio (FIFO, LIFO, GD, Prioridad, etcétera)<br />e: Tamaño del sistema (N, +)<br />f: Tamaño de la fuente de entrada (N,+)<br />Observación:<br />Si el patrón estadístico: <br />Arribos : Poisson Ta Poisson, se denota por M<br />Servicio: Exponencial Ts Exponencial ( ), se denota por M<br />EL PROCESO NACIMIENTO – MUERTE<br />Ingreso MODELO DE COLASalida<br />(1 arribo = 1 nacimiento)(1 salida = 1 muerte)<br />Para la construcción de los modelos de colas es necesario que ocurra el proceso nacimiento – muerte (donde un arribo se considera un nacimiento para el modelo y una salida de un cliente del sistema es considerado como muerte de este parámetro)<br />Tasa de Entrada =Tasa de Salida<br />Según este principio: <br />De manera más precisa, las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes:<br />SUPOSICIÓN 1. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro (n=0,1,2,….).<br />SUPOSICIÓN 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro (n=1,2,….).<br />SUPOSICIÓN 3. La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. <br />Como consecuencia de las suposiciones 1 y 2, el proceso de nacimiento y muerte es un tipo especial de cadena de Markov de tiempo continuo. Los modelos de colas que se pueden representar por una cadena de Markov de tiempo continuo son mucho más manejables analíticamente que cualquier otro.<br />Excepto por algunos casos especiales, el análisis del proceso de nacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra en condición transitoria. Se han obtenido algunos resultados sobre esta distribución de probabilidad de N (t) pero son muy complicados para tener un buen uso práctico. Por otro lado, es bastante directo derivar esta distribución después de que el sistema ha alcanzado la condición de estado estable (en caso de que pueda alcanzarla). <br />Diagrama de Transición de Estados: <br />DEFINICIONES IMPORTANTES<br />N: Numero de clientes que soporta el sistema en el instante t.<br />Pn: Probabilidad que en el sistema se hallen n clientes en el instante t.<br />n: Tasa promedio de arribos (n =0, 1, 2,…) <br />n: Tasa de promedio de servicios (n = 1, 2, 3,…).<br /> S: Numero de servidores (S 1)<br />Ls: Numero esperado de clientes en el sistema en el instante t.<br />Lq: Numero esperado de clientes en cola en espera de servicio en el instante t.<br />Ws: Tiempo promedio esperado que pasa un clientes en el sistema.<br />Wq: Tiempo promedio esperado que pasa un cliente en cola.<br />: Tasa efectiva de llegada de clientes al sistema.<br /> : Numero esperado de servidores ociosos (no operativos) <br /> <br />CAPITULO III<br />ANÁLISIS Y DIAGNÓSTICO DEL MODELO ACTUAL<br />VIII.-ANÁLISIS Y DIAGNÓSTICO DEL MODELO ACTUAL<br />Como producto de todo lo analizado anteriormente, podemos concluir que la capacidad de atención a los clientes en la SUNAT para afrontar los arribos de clientes que llegan en un tiempo de 15 minutos que genera colas y como consecuencia a esto:<br />Malestar <br />Incomodidad<br />Pérdida de tiempo<br />Entre otros<br />Creemos que la solución que arrancará de raíz éste problema se encuentra en el aumento de personal en las ventanillas y que la atención sea más fluida, medida que debería ser tomada en cuenta por los directivos de la SUNAT sobre todo en los fines de mes, mediados y fin de año. <br />CAPITULO IV<br />CONSTRUCCION DEL MODELO DE COLA<br />IX. CONSTRUCCION DEL MODELO DE COLA <br />El modelo de cola que hemos elegido que es el modelo 2: <br />Exponemos que el modelo de cola determinado, que se ajusta a éstas características es:<br />Modelo II:<br />(M / M / s) : ( F / ∞/ ∞)<br />Que cuando se relaciona con nuestro caso de investigación queda formulado de la siguiente manera:<br />(M / M / 7) : ( F /∞ / ∞)<br />X.-TRABAJO DE MODELO DE COLA<br />Primer día<br />En la tardeMuestra nºIntervalos de tiempoNº de personas por periodo de 15 minutos12:00 - 2:15422:15 - 2:30532:30 - 2:45542:45 - 3:00853:00 - 3:15863:15 - 3:30573:30 - 3:45683:45 - 4:005 12046λ=46 personas/ 120min0.38 personas/min<br />Segundo díaEn la tardeMuestra nºIntervalos de tiempoNº de personas por periodo de 15 minutos12:00 - 2:15722:15 - 2:30432:30 - 2:45542:45 - 3:00653:00 - 3:15463:15 - 3:30573:30 - 3:45583:45 - 4:004 12040λ= 40 personas/120min0.33personas/minTercer díaEn la tardeMuestra nºIntervalos de tiempoNº de personas por periodo de 15 minutos12:00 - 2:15322:15 - 2:30532:30 - 2:45442:45 - 3:00553:00 - 3:15463:15 - 3:30573:30 - 3:45283:45 - 4:003 12031λ= 31 personas/120min0.26personas/min  λ (tarde)  persona/minPrimer día 0.383Segundo día 0.333Tercer día 0.258Prom. Total 0.325 λ = 0.325 personas/minCuadros para el cálculo de μPrimer día PersonasTiempo Cronometrado PersonasTiempo Cronometrado 111' 55''248' 08''214' 30 ''2512' 26''39' 50 ''268' 54''48' 37''277' 50''512' 28''2813' 38''68' 20''2911' 35''79' 15''3011' 13''87' 32''3110' 58''95' 10''3211' 27''1011' 04''3310' 02''1110' 37''348' 54''129' 15''359' 50''1312' 15''368' 17''1419' 17''3710' 15''155' 11''389' 22''165' 44''3910' 13''179' 22''409' 05''1812' 16''418' 28''1914' 50''427' 24''2010' 23''438' 50''2110' 58''449' 12''228' 43''4512' 14''237' 36''4613' 10''  μ = 0.1 personas/minSegundo díaPersonasTiempo Cronometrado PersonasTiempo Cronometrado 18' 40''217' 22''29' 36''229' 32''310' 29''236' 10''47' 55''249' 04''511' 10''2511' 37''66' 37''2613' 15''78' 42''278' 15''88' 23''289' 17''97' 42''2910' 26''105' 53''308' 55''1110' 43''319' 53''1212' 17''3211' 12''139' 36''339' 14''1411' 25''3413' 34''157' 28''359' 18''1610' 32''3612' 29''178' 22''379' 53''189' 46''389' 41''196' 37''398' 52''209' 56''4012' 36'' μ=0.1personas/minTercer día PersonasTiempo Cronometrado PersonasTiempo Cronometrado 17' 20''169' 28''29' 25''1712' 43''36' 53''1810' 33''411' 34''199' 48''58' 48''2011' 17'612' 32''2112' 32''710' 32''229' 31''89' 35''237' 59''97' 55''248' 26''1011' 26''2512' 37''119' 11''2612' 44''128' 44''2710' 51''1310' 00''289' 04''149' 15''2911' 54''1512' 35''3011' 23''3110' 49''μ=0.09 personas/min <br /> μ persona/minprimer día0.1segundo día0.1tercer día0.09  μ = 0.096 persona/min <br />Bondad de ajuste: <br />"X"ProbabilidadPxFrecuencias LLEGADASRealPoisson Teórico000.0076350940.00763509010.0416670.0372210840.04485618120.0833330.0907263930.13558257230.2500000.1474303890.28301296640.4166670.1796807860.462693751050.0833330.1751887670.63788251260.0416670.1423408730.78022339170.0833330.0991302510.879353642 10.879353636 24<br />fr-ft (fr-ft)^2(fr-ft)^2 / ft-0.007645.82947E-050.0076350940.004451.97632E-050.002588469-0.007395.46573E-050.0071586980.102570.0105205251.3779168750.236990.0561623087.355810674-0.091860.0084374211.105084019-0.100670.0101352961.327461782-0.015800.0002495430.0326836310.120650.0145555451.906400186<br />XI .- OBTENCION E INTERPRETACION DE RESULTADOS DEL MODELO DE COLA<br /> = λ/μ <br /> = 0.325/0.096 = 0.48<br />Calculos para hallar P0:<br /> = λ/s.μ <br /> = 0.325/7x0.096 = 3.38<br />P0 = 0.033<br />Hallando Lq<br />Lq = 3.3887-1!(7-3.38)2 Po<br />Lq = 0.06<br />Hallando Ls<br />Ls = Lq + <br />Ls = 0.06 + 0.48 = 0.54<br />Hallando Wq<br />Wq = Lq / λ<br />Wq = 0.06 / 0.325 = 0.18<br />Hallando Ws<br />Ws = Wq + 1 / μ<br />Ws = 0.18 + 1 / 0.096 = 10.59<br /> <br />

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