Axioma sup

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Te presento el axioma del supremo del Prof. Nelson Cifuentes F.

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Axioma sup

  1. 1. Prof. Nelson Cifuentes F.0.1 Axioma del supremoEl conjunto de los números racionales cumple con la propiedades de cuerpoy de orden que se cumplen en , sin embargo en tal conjunto no podemos darrespuesta a la existencia de un número para el cual se cumpla x2 = 2es por eso que necesitamos dar otro axioma en , antes debemos introduciralgunas definiciones. Sea S ⊆ , definimos:Definición 0.1.1 Se dice que un número real a es cota inferior de S si a ≤ spara todo s ∈ S. Si existe alguna cota inferior para S diremos “S está acotadoinferiormente”.Definición 0.1.2 Se dice que un número real b es cota superior de S si b ≥ spara todo s ∈ S. Si existe alguna cota superior para S diremos “S está acotadosuperiormente”.Definición 0.1.3 Si S es acotado superior e inferiormente diremos que es un con-junto acotado.Ejemplo 0.1.4 Sea S = ]−1, 3[ ∪ [4, 5] entonces a = −2 es cota inferior para S. Enefecto, si s ∈ S entonces −1 < s < 3 ∨ 4 ≤ s ≤ 5 se sigue −2 ≤ s sea cual sea els ∈ S. Similarmente a = −1.5, a = −3, a = −1 son cotas inferiores de S. a = 7/2no es cota inferior de S pues existe un elemento de S (por ejemplo s = 1) que esestrictamente menor que a . Al encontrar una cota inferior, de inmediato podemos decir que el conjuntoes acotado inferiormente, note también que si a es una cota inferior de un con-junto S entonces todo j ≤ a también será cota inferior.Ejemplo 0.1.5 Sea A = x ∈ : x = n para algún n ∈ 1 = 1, 2 , 3 , ... . b = 2 es 1 1una cota superior para A pues si n ∈ entonces n ≥ 1 de donde obtenemos1 ≥ 1/n para cada n ∈ , se sigue que cualquier elemento del conjunto es menorque 1 y así menor que 2. 1 también es cota superior. Ningún número menor que1 es cota superior, ya que 1 ∈ A. Al encontrar una cota superior, de inmediato podemos decir que el con-junto es acotado superiormente, note también que si b es una cota superior deun conjunto S entonces todo b con b ≤ b también será cota superior.Definición 0.1.6 Un número real m se dice mínimo de un conjunto S si m ∈ S ym ≤ s para todo s ∈ S. Se escribe entonces m = min (S).Matemática 1 (MAT021) 1 versión preliminar
  2. 2. Prof. Nelson Cifuentes F.Definición 0.1.7 Un número real M se dice máximo de un conjunto S si M ∈ Sy M ≥ s para todo s ∈ S. Se escribe entonces M = max (S).Ejemplo 0.1.8 Sea A = [0, 1] entonces m = 0 es un mímino, pues 0 ∈ A y paracada x ∈ A se tiene 0 ≤ x . Note que a = −1 es cota inferior pero no es el mínimoporque no esta en el conjunto. En este mismo ejemplo M = 1 es máximo de A,1 ∈ A y para cada x ∈ A se cumple x ≤ 1.Ejemplo 0.1.9 Sea A = [−1, 5[ entonces m = −1 es un mímino, pues −1 ∈ Ay para cada x ∈ A se tiene −1 ≤ x . Este conjunto no tiene máximo, note que5 ∈ A pero se cumple x < 5 para cada elemento en el conjunto, es decir 5 es cotasuperior pero no esta en el conjunto, ningún número mayor que 5 puede ser elmaximo al no estar en el conjunto, si −1 < b < 5 entonces el elemento b +5 ∈ A 2y b < b +5 luego b no es máximo. Claramente si b ≤ −1 no puede ser el máximo 2basta tomar 2 ∈ A para tener una contradicción. Si el máximo existe entonces es único: Si M 1 y M 2 son dos máximos delconjunto S entonces se sumple que M 1 ∈ S y M 2 ∈ S pero al ser M 1 un máximoen particular se cumple para cada s ∈ S, s ≤ M 1 en particular para s = M 2 setiene M2 ≤ M1similarmente, al ser M 2 un máximo se cumple M1 ≤ M2de ambos se obtiene M 1 = M 2 .Definición 0.1.10 Un número real a se dice infimo de un conjunto S si es lamayor de las cotas inferiores de S. Es decir, si a ≤ s para todo s ∈ S y cada a > ano es cota inferior de S, verificándose que a > s para algún s ∈ S . En este casose escribe a = inf (S).Definición 0.1.11 Un número real b se dice Supremo de un conjunto S si es lamenor de las cotas superiores de S. Es decir, si s ≤ b para todo s ∈ S y cada b < bno es cota superior de S, verificándose que b < s para algún s ∈ S. En este casose escribe a = supS.Ejemplo 0.1.12 Si A = ]1, 2[ entonces el conjunto de las cotas inferiores de A es]−∞, 1] (cualquier elemento de este conjunto es una cota inferior) se ve que lamayor de todas ellas es x = 1 luego 1 = inf A. El conjunto de las cotas superioresde A es [2, ∞[ luego la menor de las cotas superiores es 2 se sigue que 2 = sup A.Matemática 1 (MAT021) 2 versión preliminar
  3. 3. Prof. Nelson Cifuentes F.Ejemplo 0.1.13 Si B = [−1, 3[ entonces el conjunto de las cotas inferiores de Aes ]−∞, −1] (cualquier elemento de este conjunto es una cota inferior, incluso el−1) se ve que la mayor de todas ellas es x = −1 luego −1 = inf A. El conjunto delas cotas superiores de A es [3, ∞[ luego la menor de las cotas superiores es 3 sesigue que 3 = sup A. • El supremo no necesariamente esta en el conjunto, es decir, no necesari- amente es el máximo del conjunto. • El ínfimo no necesariamente esta en el conjunto, es decir, no es necesari- amente el mínimo del conjunto. • Si existe un máximo el será el supremo del conjunto • Si existe el mínimo el será el ínfimo del conjunto.Proposición 0.1.14 Sea A un conjunto no vacío de entonces inf A ≤ sup A Demostración: Si a ∈ A entonces a ≤ sup A pues sup A es cota superior,además inf A ≤ a pues inf A es cota inferior.Proposición 0.1.15 Si A ⊆ B y A = entonces inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B Demostración: Note que si x ∈ A entonces x ∈ B se sigue que para cadax ∈A inf B ≤ x ≤ sup B(inf B es cota inferior de B y sup B es cota superior), se sigue que inf B es cotainferior de A y sup B es cota superior de A. Como inf A es la mayor de las cotasinferiores de A se sigue inf B ≤ inf Ay como sup A es la menor de las cotas superiores sup A ≤ sup Bpero por la propiedad anterior inf A ≤ sup Ajuntando las desigualdades obtenemos inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B Ya estamos en condiciones de dar el axioma que caracteriza a : Axioma del supremo: Todo subconjunto de no vacío y acotado superior-mente tiene un supremo. (el supremo es un número real) Este axioma implica lo siguiente:Matemática 1 (MAT021) 3 versión preliminar
  4. 4. Prof. Nelson Cifuentes F.Proposición 0.1.16 Todo subconjunto de no vacío y acotado inferiormentetiene un ínfimo. (el ínfimo es un número real) Demostración: Sea A un conjunto no vacío y acotado inferiormente, defi-namos −A = {−a : a ∈ A} entonces −A es no vacío y acotado superiormente(note que si l era cota inferior de A entonces l ≤ a para cada a ∈ A eso implica−l ≥ −a para cada a ∈ A, se sigue −l es cota superior de −A). Por el axiomadel supremo existeel supremo de −A y denotemoslo por sup (−A), este númerocumple con ser la menor de las cotas superiores de −A se sigue que para cada−a ∈ −A se cumple −a ≤ sup (−A)entonces, para cada a ∈ A se tiene a ≥ − sup (−A)mostremos que en realidad inf A = − sup (−A)ya sabemos que − sup (−A) es cota inferior, si j > − sup (−A) entonces −j <sup (−A), de la definición de supremo se sigue que debe existir un elmento−a ∈ −A tal que −j < −a < sup (−A)se sigue que j > a > − sup (−A)luego cualquier número mayor que − sup (−A) no es cota inferior de A , se sigueque − sup (−A) es la mayor cota inferior, es decir el ínfimo, de donde obtenemos inf A = − sup (−A) Como es de esperar, este axioma tiene importantes concecuencias entre lascuales podemos nombrar las siguientes:Teorema 0.1.17 El conjunto de los naturales no es acotado superiormente en .Demostración. Supongamos que esta acotado superiormente en , como esno vacío, por el axioma del supremo existiría un real K = supahora bien, K − 1 no es cota superior pues K es la menor de las cotas inferiores,se sigue que existe un n ∈ tal que K −1 < n se sigue sumando a ambos lados dela igualdad que K < n + 1 pero n + 1 es un natural, entonces K no puede ser elsupremo, esto es una contradicción que viene de suponer acotado, se sigue que no puede ser acotado en .Matemática 1 (MAT021) 4 versión preliminar
  5. 5. Prof. Nelson Cifuentes F.Teorema 0.1.18 Para cada x > 0 existe un n ∈ tal que 0 < 1/n < x .Demostración. Suponga que existiera un x > 0 tal que para cada n ∈ 1 x≤ nentonces se cumpliría n ≤ x −1para todos los naturales, es decir, estaría acotado en lo que sabemos no puedeser.Teorema 0.1.19 Para cada x ∈ existe un k ∈ tal que k ≤ x < k + 1 (esteentero es llamado la parte entera de x y generalmente se denota por [x ])Teorema 0.1.20 Si x ,y son dos reales con x < y entonces existe un racional P =n/m tal que x <p <y(esta propiedad es llamada densidad de los racionales en , nos dice en todointervalo no degenerado de la recta real existen racionales) El axioma del supremo puede ser utilizado para garantizar la existencia deraíces de reales. Sea b ∈ + entonces n b = sup {x ∈ : 0 ≤ x ∧xn ≤ b}0.1.1 Ejercicios propuestos 1. Determinar supremo e infimo de los siguientes conjuntos (si es que exis- ten) (a) x∈ : x2 < 3 (b) x∈ : x 2 − x + 1 > −2 (c) {0.3, 0.33, 0.333, ...} (d) {−1/n : n ∈ } 2. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados superiormente. Defina el conjunto A B = {a b ∈ : a ∈ A ∧ b ∈ B } demostrar que en general sup (A B ) = sup A sup B pero que si A y B contienen solo reales positivos entonces si se cumple la igualdad. Muestre también que si sup A < 0 y sup B < 0 entonces inf (A B ) = sup A sup BMatemática 1 (MAT021) 5 versión preliminar
  6. 6. Prof. Nelson Cifuentes F. 3. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados superiormente. Defina el conjunto A + B = {a + b ∈ : a ∈ A ∧ b ∈ B } demostrar que sup (A + B ) = sup A + sup B ¿Qué pasa con los ínfimos? 4. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados. Decidir cuales de las siguientes propiedades son verdaderas y demostrarlas y encontrar con- traejemplos para las falsas. (a) sup (A ∩ B ) ≤ inf sup A, sup B (b) sup (A ∩ B ) = inf sup A, sup B (c) sup (A ∪ B ) ≥ sup sup A, sup B (d) sup (A ∪ B ) = sup sup A, sup B 5. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados. ¿Es verdad que sup A = sup B y inf A = inf B implican A = B ? 6. Utilizando el último teorema y la irracionalidad de 2 muestre que si x , y ∈ y x < y entonces existe un irracional ξ tal que x <ξ<y x y Ind.: Con el teorema insertar un racional r entre 2 y 2 , mostrar que r 2 es irracional. 7. S es un conjunto acotado si y solo si existe un número real J > 0 tal que S ⊆ [− J , J ]. 8. Muestre que si el mínimo existe es único.Matemática 1 (MAT021) 6 versión preliminar

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