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10225155 matematica-1000-exercicios-resolvidos

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  • 1. pontos médios dos lados do 1º triângulo. Depois REMEMBER II forma-se um 3ºtriângulo eqüilátero unindo-se os pontos médios dos lados do 2ºtriângulo, e assim por01. M é percentualmente maior que N, em: diante. O limite da soma dos perímetros de todos os triângulos assim desenhados vale: a) infinito b) 5 ¼ a c) 2 a d) 6 a e) 4 ½ a.a) 100(M – N) b) 100(M – N) c) M – N M N N 10. Das afirmações abaixo, assinale a incorreta:d) M - N e) 100(M + N) a) dobrando-se a base de um ∆, dobra-se a área. M N b) dobrando-se a altura de um ∆, dobra-se a área. c) dobrando-se o raio de um círculo, dobra-se a área.02. Um campo retangular tem comprimento o dobro d) dobrando-se o denominador de uma fração eda largura e é cercado por uma cerca de x metros. A dividindo-se o numerador por 2 altera-se o quociente.área desse campo é: e) dobrando-se certa quantia pode-se torná-la menora) x² / 2 b) 2x² c) 2x² / 9 d) x² / 18 e) x² / 72. do que ela era originalmente.03. Se o comprimento da diagonal de um quadrado é 11. O limite da soma de um número infinito dea + b, então a área do quadrado é: termos de uma P.G. é a / (1 – q) onde a é o primeiroa) (a + b)² b) ½ (a + b)² c) a² + b² d)1/2 (a²+b²) termo e - 1 < q < 1 denota a razão. O limite da somae) n.r.a. dos quadrados desses termos é: a) a² b) a² c) a² d) 4 a² d) n.r.a.04. Um depósito possui um telhado plano e formato (1 – q)² 1 + q² 1 – q² 1 + q²retangular, medindo 10m de largura, 13m decomprimento e 5m de altura. Este deverá ser pintado 12. Às 02h15min, os ponteiros de um relógio formampor dentro, por fora e no forro, mas não no chão nem um ângulo de:no telhado. A área total (em m²) a ser pintada é: a) 30° b) 5° c) 22 ½° d) 7 ½° e) 28°a) 360 b) 460 c) 490 d) 590 e) 720. 13. A pode fazer uma peça em 9 dias de trabalho. B é05. A possui uma casa no valor de R$ 10.000,00. Ele 50% mais eficiente que A. O número de dias que Ba vendeu para B com 10% de lucro. Mais tarde, B deverá demorar a fazer a mesma peça é:vendeu novamente a casa para A com 10% de a) 13 ½ b) 4 ½ c) 6 d) 3 e) n.r.a.prejuízo.a) A não ganhou nem perdeu dinheiro 14. Tendo em mente a noção de prova (oub) A fez R$ 1.100,00 de lucro no negócio demonstração) em geometria, indique qual dasc) A fez R$ 1.000,00 de lucro no negócio afirmações abaixo é incorreta:d) A perdeu R$ 900,00 no negócio a) algumas afirmações são aceitas sem provae) A perdeu R$ 1.000,00 no negocio. (demonstração) b) em algumas situações existe mais de uma maneira06. As áreas da parte frontal, lateral, e inferior de uma de se provar um certo resultadocaixa retangular são conhecidas. O produto dessas c) cada termo usado em uma prova deve ter sidoáreas é igual: definido previamentea) ao volume da caixa b) à raiz quadrada do volume d) não é possível chegar através de um raciocínioc) ao dobro do volume d) ao quadrado do volume correto a uma conclusão verdadeira se, entre ose) ao cubo do volume. dados, existir uma afirmação falsa. e) a prova indireta pode ser usada sempre que houver07. Uma medida de um comprimento de 10 cm foi duas ou mais proposições contrárias.feita com 0,02 cm de erro, enquanto que uma medidade um comprimento de 100 cm foi feita com 0,2 cm 15. O maior número pelo qual a expressão n³ - n éde erro. O erro relativo a 2ª medida comparado ao da divisível, tornando-se n no conjunto dos números1ª medida é: inteiros, é:a) maior em 0,18cm b) igual c) menor d) 10 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6vezes maior e) descrito corretamente em a) e d). 16. Se ao resolvermos a equação quadrática08. O preço de um dado artigo é diminuído em 10%. f(x) = ax² + bx +c = 0, resultar que c = b² / 4.a, entãoPara retornar ao valor antigo, o novo preço deve ser o gráfico de y = f(x), certamente:aumentado em: a) terá um máximo b) terá um mínimoa) 10% b) 9% c) 11 1/9% d) 11% e) n.r.a. c) tangenciará o eixo dos x d)tangenciará o eixo dos y e) ficará restrito a um09. Desenha-se um triângulo eqüilátero de lado a. único quadrante.Forma-se um novo triângulo eqüilátero unindo-se os 17. Indique em qual das equações abaixo y não é nem diretamente nem inversamente proporcional a x: a) x + y = 0 b) 3xy = 10 c) x = 5y d) 3x + y = 10 e) x / y = √ 3. 18. A expressão 21 x² + ax + 2 deve ser fatorada em dois fatores binomiais primos e lineares com coeficientes inteiros. Isto pode ser feito se a for: a) qualquer número ímpar b) algum número ímpar c) qualquer número par d) algum número par e) zero. 1
  • 2. 19.Qualquer número de seis dígitos e formado com c) as razões entre as três medianasrepetição de um número de três algarismos; por d) a razão entre a altura e a base correspondenteexemplo: 256.256 ou 678.678, etc. é sempre divisível e) dois ângulos.por:a) 7 somente b) 11 somente c) 13 somente 30. Se duas estacas de 20 cm e 80 cm de altura estãod) 101 e) 1.001. a 100 cm de distância, então a altura da interseção das retas que ligam o topo de cada estaca com a base da20. A expressão (x + y) -1 (x-1 + y-1), depois de outra, em cm, é:simplificada e expressa com expoentes negativos, fica a) 50 b) 40 c) 16 d) 60 e) n.r.a.assim:a) x-2 + 2x-1 y-1 + y-2 b) x-2 + 2-1 x-1 y-1 + y-2 31. Um total de 28 apertos de mão foi dado ao final -1 -1 -2 -2c) x y d) x + y e) 1 / x-1 y-1. de uma festa. Assumindo que cada participante foi igualmente polido com relação aos demais, o número21. Dados x > 0, y > 0, x > y e z  0, a desigualdade de pessoas na festa era:que não é sempre correta é: a) 14 b) 28 c) 56 d) 8 e) 7a) x + z > y + z b) x - z > y – z c) xz > yzd) x / z² > y / z² e) x z² > y z² 32. Se o ∆ ABC está inscrito no semicírculo cujo diâmetro é AB, então AC + BC deve ser:22. Os valores de a que satisfazem a equação a) igual a AB b) igual a AB √ 2 c) ≥ AB √ 2log10 (a² - 15 a) = 2 , são: d) ≤ AB √ 2 e) (AB)².a){ 15 ± √ 233 } b){20;-5} c){15 ± √ 305}d){± 20} 2 2 33. As raízes da equação x² - 2x = 0 pode ser obtidae) n.r.a. graficamente encontrando-se os pontos de interseção de cada um dos pares de equação, exceto o par:23.O raio de uma caixa cilíndrica mede 8cm e sua a) y = x² e y = 2x b) y = x² - 2x e y = 0altura 3cm. O comprimento que deve ser c) y = x e y = x – 2 d) y = x² - 2x + 1 e y = 1acrescentado ao raio ou a altura para resultar no e) y = x² - 1 e y = 2x – 1.mesmo aumento não nulo em volume é:a) 1 b) 5 1/3 c) qualquer número 34. O valor de 10 log10 7 é: d)não existente e)n.r.a. a) 7 b) 1 c) 10 d) log10 7 e) log7 10. 35. Se a x = c q = b e c y = a z = d, então:24. A expressão 2 n+4 – 2(2n) , quando simplificada, é: a) x y = q z b) x / y = q / z c) x + y = q + z 2. ( 2 n + 3) d) x – y = q – z e) x y = q za) 2 n+1 – 1/8 b) – 2 n+1 c) 1 – 2n d) 7/8 36. Qual dos seguintes métodos não serve para provare) 7/4. que uma figura geométrica é um certo lugar geométrico (L.G)?25. O apótema de um quadrado cuja área é a) cada ponto do L.G. satisfaz as condições e cadanumericamente igual ao perímetro é comparado com ponto fora do L.G. não satisfaz as condições;o apótema de um triângulo eqüilátero cuja área é b) cada ponto não satisfazendo as condições não estáigual ao perímetro. O primeiro apótema será: no L.G. e cada ponto no LG satisfaz as condições;a) igual ao segundo b) 4/3 do segundo c) cada ponto que satisfaz as condições está no LG ec) 2/√ 3 do segundo d) √ 2/√ 3 do segundo cada ponto no LG satisfaz as soluções;e) não relacionável ao segundo d) cada ponto não pertencente ao LG não satisfaz as condições e cada ponto não satisfazendo as condições26. Na equação x( x – 1 ) – ( m + 1 ) = x as raízes não está no LG; ( x – 1 )( m – 1 ) m e) cada ponto satisfazendo as condições está no LG esão iguais quando: cada ponto não satisfazendo as condições não está noa) m = 1 b) m = ½ c) m = 0 d) m = -1 e) m = -1/2 LG.27. Por um ponto interior a um triângulo, são traçados 37. Um número que ,quando dividido por 10 deixa3 segmentos ligando os vértices aos lados opostos, resto 9, quando dividido por 9 deixa resto 8, quandoformando assim seis seções triangulares. Nestas dividido por 8 deixa resto 7, etc., até que, quandocondições: dividido por 2 deixa resto 1, é:a) pares opostos formam triângulos semelhantes a) 59 b) 419 c) 1259 d) 2519 e) n.r.a.b) pares opostos formam triângulos congruentesc) pares opostos formam triângulos iguais em área 38. É preciso uma elevação de 600m para que umad) são formados 3 quadriláteros semelhantes linha ferroviária cruze uma montanha. A inclinaçãoe) n.r.a do leito da estrada pode ser mantida pequena alongando-se a estrada e fazendo-a circular pelo pico28. A pressão (P) do vento sobre um barco à vela da montanha. Para se reduzir a inclinação da estradacresce com a área A da vela e com o quadrado da de 3% para 2% deve-se alongar a estrada, em metros;velocidade (V) do vento. A pressão sobre 1m² é 1 kgf a) 10.000 b) 20.000 c) 30.000 d) 12.000 e) n.r.a.quando a velocidade é 16 km/h. A velocidade dovento quando a pressão sobre 1m² for 36 kgf, deverá 39. Uma pedra é deixada cair dentro de um poço. Oser em km/h: barulho da pedra atingindo a água é ouvido 7,7a) 10 2/3 b) 96 c) 32 d) 1 2/3 e)16 segundos após. Suponha que a pedra cai 5t² metros em t segundos e a velocidade do som é 350 metros29. O único dos conjuntos de dados abaixo que não por segundo. A profundidade do poço é em metros:que não determina o formato de um triângulo é: a) 245 b) 24,5 c) 29,6 d)296,45 e) n.r.a.a) a proporção entre 2 lados e o ângulo entre elesb) as razões entre as três alturas 40. ( x + 1 ) ² ( x² - x + 1)² ² . (x – 1)² (x² + x + 1)² ² 2
  • 3. ( x³ + 1)² ( x³ - 1)² Pedro andando a 5 km/h. Depois de certa distância,a) ( x + 1 )4 b) ( x³ + 1 )4 c) 1 Paulo desceu do carro e caminhou a 5 km/h enquantod)[( x³ + 1)( x³ - 1)] ² e) [( x³ - 1)²]² José voltou em direção a Pedro e, colocando-o no carro, foi com ele até o destino chegando a ele41. A fórmula que expressa a relação entre x e y na juntamente com Paulo. O número de horastabela abaixo é: necessárias para essa corrida foi: x 2 3 4 5 6 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) impossível calcular y 0 2 6 1 20 2 GABARITOa) y = 2x – 4 b) y = x² - 3x + 2 c) y = x³ - 3x² + 2xd) y = x² - 4x e) y = x² - 4.42. Se x = √ 1 + √ 1 + √ 1 + √ 1 + . . . , então:a) x = 1 b) 0 < x < 1 c) 1 < x < 2d) x é infinito e) x > 2, porém infinito.43. Das afirmações abaixo, a única incorreta é:a)Uma igualdade permanece verdadeira se somarmos,subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos (por nº.0)pela mesma quantidade positiva.b) a média aritmética de duas quantidades positivasdistintas é maior que a média geométrica dessasmesmas quantidades.c) dada à soma de duas quantidades positivas, oproduto das mesmas é máximo quando as mesmassão iguais.d) se a e b são positivos e distintos, então ½ (a² + b²)é maior que [1/2 (a + b)]².e) se o produto de duas quantidades é dado, sua somaé máxima quando essas quantidades são iguais.44. Se xy = a , xz = b e yz = c, onde a, b e c x+y x+z y+zsão não nulos, então x é igual a: SOLUÇÕESa) abc b) 2abc c) 2abc____ ab + ac + bc ab + ac + bc ab + ac - bc 2 abc 2abc___ O1(B) A importância pedagógica deste problemad) e) extremamente simples pode ser aumentada com uma ab + bc – ac ac + bc – ab discussão sobre as restrições que se deve impor sobre45.Dado que log 8 = 0,9031 e log 9 = 0,9542 então o M e N, a possibilidade de que M e N sejam negativosúnico logaritmo que não pode ser achado sem uso de e assim por diante.tabelas é:a) log 17 b) log (5/4) c) log 15 d) log 600 02(D) Sejam L e 2L a largura e o comprimento doe) log 0,4. campo. Então 6L = x ∴ L = x /6 → 2L = x / 3.46. AB é o diâmetro de um círculo cujo centro é 0. A Logo a área = x/6. x/3 = x²/18.partir de um ponto qualquer C qualquer no círculo, étraçada uma corda CD perpendicular a AB. Então, à 03(B) Aq = L² = (d / √ 2 )² = ½ (a + b)².medida que C descreve um semicírculo, o ângulobissetor OCD corta o círculo em um ponto que 04(D) Área á ser pintada = 1xforro + 2x(2xFr +sempre: 2xLat.) = 1x(13x10) + 2x[ 2x(10x5) + 2x(13x5)]=590a) bisseta o arco AB b) trisseta o arco ABc) varia d) dista tanto de AB quanto de D 05(B) V1 = 10.000 + 1.000 = 11.000(Preço de venda)e) é eqüidistante de B e C. 1.B 11. 21. 31. 41.B C C D47. Se r e s são raízes da equação ax² + bx + c = 0, o 2.D 12. 22.B 32. 42.Cvalor de 1 / r² + 1 / s² é: C Da) b² - 4ac b) (b² - 4ac) / 2.a c) (b² - 4ac) / c² 3.B 13. 23.B 33. 43.Ed) (b² - 2ac) / c² e) n.r.a. C C 4.D 14. 24. 34. 44.E48. A área de um quadrado inscrito num semicírculo C D Aestá para a área do quadrado inscrito no círculo todo, 5.B 15.E 25. 35. 45.Aassim como: A Aa) 1 : 2 B0 2 : 3 c) 2 : 5 d) 3: 4 e) 3 : 5. 6.D 16. 26.E 36.B 46.A C49. As medianas de um triângulo retângulo traçadas 7.B 17. 27.E 37. 47.Ddos vértices com ângulos agudos medem 5 e √ 40. O D Dvalor da hipotenusa é: 8.C 18. 28. 38. 48.Ca) 10 b) 2 √ 40 c) √ 13 d 2 √ 13 e) n.r.a. D C A 9.D 19.E 29. 39. 49.D50. José, Pedro e Paulo deram início a uma corrida de D A100 km. José e Paulo foram de automóvel, a 25 km/h; 10. 20. 30. 40. 50.D C C C C 3
  • 4. V2 = 11.000 – 1.100 = 9.900 (Pr. de compra) 16(C) A condição de c = b² / 4 a ocorre se ∆(delta) V1 – V2 = 1.100 ∴ (B) é a resposta correta. = 0, o que implica raízes reais e iguais para f(x) = 0, com coeficientes reais, i.e., a curva toca o eixo dos x06(D) Sejam: C= comprimento, L= largura e A= em um ponto apenas. Logo o gráfico (a parábola) éaltura de uma caixa retangular. O produto dessas tangente ao eixo x.áreas = CL x LA x AC = C².L².A² = (C.L.A)² =quadrado do volume da caixa. 17(D) As alternativas (A),(B),(C) e (E) são da forma y = kx (Diretamente Proporcional) ou xy = k07(B) Sabendo-se que: Erro relativo = erro / medida, (Inversamente Proporcional), mas (D) não.temos; Erro rel. da 1ª medida = 0,02 / 10 = 0,002. Erro rel. da 2ª medida = 0,2 / 100 = 0,002. 18(D) Sejam Ax + B e CX + D os fatores. Então: ∴ são iguais. (Ax + B) (Cx + D) = A.Cx²+(A.D + B.C) x + B.D = = 21 x² + ax + 21.08( C) Seja M o preço marcado no artigo. ∴ A.C = 21 e B.D = 21.Novo preço (com abatimento) = M – 10%M= Como 21 é impar, seus dois fatores também o são, ouM – 0,1M = 0,9 M. seja, os números A e C são números ímpares, bemPara que o preço volte a ser M → devemos somar como B e D. Como o produto de dois números0,9M + 0,1M = M. Deve-se observar que: 0,1 M = ímpares é um número ímpar, temos que a soma de1/9 (0,9M) ,ou seja: 100/9 % = 11 1 /9%. dois números ímpar , logo a = A.C + B.D é umNota: Podemos calcular a taxa do aumento por: número par. 0,9 M → 100% ∴ x = 100% . 0,1M ∴ 19(E) Um número desse tipo tem a forma: 0,1 M → x 0,9 M P. 10³ + P = P (10³ + 1) = P (1.001), onde P é o x = 11 1/9%. número com 3 algarismos que se repete. Portanto a alternativa (E) é a correta.09(D) Seja Pk o perímetro do k-ésimo triângulo. Pelafigura abaixo se pode usar que: P k+1 = ½ . P k 20(C) Usando-se propriedade potências a-n = 1/an,Os perímetros dos ∆ formam uma PG infinita de temos: (x + y)-1 (x-1 + y-1) =razão ½, 1ºtermo = P1 = 3 a e cuja soma S é: S = P1 + P2 + P3 + . . . = 3a+ ½.3a+ ½. ½.3a+ . . .= = 1 ( 1/x + 1/y) = 1 (x + y) = 1 / xy = x-1y-1. 1 x+y x+y xy = 3 a (1 + ½ + ¼ +. . .) = 3 a . = 6 a. 1–½ 21(C) Não é correta sempre, já que, para z < 0, xz < yz. 22(B) Usando a def. de logaritmos temos: a a log10 (a² - 15 a) = 2 → a² - 15 a =10²= 100 que tem como raízes da eq. do 2°grau {-5;20}e a/2 ambas satisfazem a condição do nº. do logaritmo. 60° 60° a/2 23(B) Usando a fórmula volume do cilindro que é10(C) Sabendo-se que a área do círculo de raio R é: V = πr²h, devemos ter que: π( r + x)²h= πr²(h + x) A = πR², temos que, se um outro círculo de ∴ x = ( r² - 2rh)/ h. Para r = 8 e h = 3,temos x = 5raio dobrado R1 = 2R, sua área A1 = π(2R)² = π.4R² = 1/3.4.A. Portanto a área inicial é quadruplicada e (C ) é a 24(D) Usando prop. multiplicação de potências dealternativa incorreta. mesma base ( a m+n = am . a n ) , teremos que: 2 n+ 4 – 2(2 n) = 2 n. 2 4 - 2 . 2 n = 2.2 n( 2³ - 1) =11(C) A nova série é: a² + a²q² + a²q4 + ...; que é umaPG infinita e sua soma é: S = a² / (1 – q²). 2( 2 n+3 ) 2 . 2 n . 2³ 2 . 2 n . 2³ = 7/8.12(C) Em 15 minutos, o ponteiro das horas se desloca¼ de 30° = 7 ½ °. (Verifique que em 1 hora o 25(A) Sendo L1=lado do quadrado; a1=seu apótemaponteiro das horas se desloca 30° e o dos minutos tem-se que área do quadrado = seu perímetro ∴360°= uma volta). Portanto, o ângulo formado pelos L1² = 4L1;e como (2a1 )²=L1teremos 4 a1² = 8 a1ponteiros nesta hora é: 30° - 7 ½° = 22 ½°. ∴ a1 = 2. Seja L2=lado ∆ eqüilátero; h=sua altura; a2= seu13(C) Em um dia, A faz 1 / 9 do trabalho. Como B é apótema; temos que h = √ 3/2 L2 e AT= seu perímetro,50% mais eficiente, B fará 3/2. 1/9 = 1/6 do trabalho então: L2². √ ¾ = 3 L2. Como h = 3 a2 e L2=2h / √ 3 =em um dia. Logo, B necessita de 6 dias para 6 a2 / √ 3 temos 36 a2² / 3 . √ 3 / 4 =completar o trabalho. 3. 6. a2 / √ 3 ∴ a 2 = 2 = a 1 .14(C) é incorreta uma vez que alguns termos (os 26(E) Após simplificação, temos:primitivos) devem permanecer indefinidos. x² - x – m(m + 1) = 0. para termos raízes iguais, o discriminante = D = 1 + 4m(m + 1) = (2m + 1)² = 015(E) Vamos fatorar a expressão dada: ∴ m = - 1 / 2.n³ - n = n(n² - 1) = (n – 1) . n . (n + 1) . Para valoresinteiros de n, representam o produto de 3 inteiros 27(E) Podemos eliminar (A) e (D) provando que osconsecutivos. Como em um par de números inteiros ângulos correspondentes não são iguais. Se (A) éconsecutivos, existe sempre um divisível por 2, então falso, (B) é certamente falso. Podemos eliminar (C)em um terno, existirá um divisível por 3. Logo, n³ - n colocando o ponto muito próximo de um dos lados doé divisível por 2, por 3 e, portanto é também por 6. ∆. Portanto, nenhuma das 4 afirmações é verdadeira. 4
  • 5. 28(C) Temos que: P = k.A.V².Tirando dados doproblema: 1 = k.1 .16² ∴ k = 1 / 16². 37(D) Seja N o número procurado. Pelos dados doPara cálculo da velocidade: 36 / 9 = (1/16)².1. V² ∴ problema temos:V = 32 km/h. N = 10q9 + 9 = 9q8 + 8 = . . . = 2q1 + 1. Adicionando-se 1 a cada membro da equação, temos:29(D) Seja r a proporção entre a altura e a base. Os ∆ N + 1 = 10q9 + 10 = 9q8 + 9 = . . . = 2q2 + 2 =na figura satisfazem a condição (D) mas tem formas = 10(q 9 + 1) = 9(q8 + 1) = . . . = 2(q 2 + 1), oudiferentes. Portanto (D) não determina a forma dos ∆ seja: N + 1 é divisível por 10, 9, 8, . . . , 3, 2 cujo mínimo múltiplo comum é : 2³.3².5.7 = 2520 ∴ N = 2519. rb rb 38(A) Inicialmente vamos calcular os alongamentos relativos a 2% e 3% de 600m. Sendo: 2 % de a1 = 600 m ∴ a1 = 30.000 m 3% de a2 = 600 m ∴ a2 = 20.000 m30(C) Veja a figura abaixo, e usando semelhança Temos então que, com a mudança de 2% para 3%entre os triângulos temos: deve-se alongar a estrada em: a1 – a2 = 10.000 m.1°modo: 1 = 1 + 1 ∴ x = 16 cm x 20 80 39(A) A distância percorrida pela pedra ao cair (queda) é a mesma percorrida pelo som (subida):2º modo: 20 = x ∴ y = 5x d = vq. tq = vs. ts. Logo, os tempos de percurso são 100 y inversamente proporcionais às velocidades, ou seja: 80 = x___ ∴ 80 = x_____ vq / vs = ts / tq (I) 100 100 – y 100 100 – 5y Temos que: vq = 5t q²/tq = 5tq; vs = 350 m/s; t q + ts = 7,7s ∴ ts = 7,7 – tq: daí escrevemos em (I): ∴ x = 16 cm. 5tq / 350 = (7,7 – tq ) / tq ∴ tq= 7 seg.e ts = 0,7seg. Portanto, a profundidade do poço é: 80 d = vs . ts = 350 . 0,7 = 245m. 40(C) Dado que: x³ + 1 = (x + 1)(x² - x + 1) e que 20 x x³ - 1 = (x – 1)(x² + x + 1), então podemos simplificar a expressão a 1, feitas as devidas restrições aos 100 – y y valores de x.31(D) 1ºmodo: Seja n = nº. de pessoas presentes à 41(B) Devemos verificar alternativa a alternativa e aífesta. Sendo P uma pessoa qualquer desse grupo, P então temos a correta.deve ter apertado a mão de (n – 1) pessoas, e isso éverdade para cada uma das n pessoas presentes. Mas 42(C) Iniciamos quadrando a equação, de ondepara não contarmos duas vezes o aperto de mão dado temos:por duas pessoas quaisquer, temos que contar o nº. de x² = 1 + √ 1 + √ 1 + √ 1 + . . . ∴ x² = 1 + x ∴apertos como n(n – 1) / 2 = 28, o que dá n = 8. x² - x – 1 = 0.2º modo: Calculando na forma de combinações Logo x  1,62, ou seja : 1 < x < 2.simples: C n, 2 = n ! = n (n – 1) = 28 ∴ n = 8. 2!(n-2)! 2 43(E) A alternativa (E) é incorreta porque, sendo conhecido o produto de duas quantidades positivas, a32(D) O ∆ inscrito de perímetro máximo, é o ∆ soma das mesmas é mínima quando essasretângulo isósceles (altura = raio), cujos lados quantidades são iguais. Para provar isso, seja x uma(catetos) medem AB √ 2 / 2, cada um. Logo, de uma dessas quantidades, e vamos escrever a 2ª quantidadeforma geral: AC + BC ≤ AB √ 2. como (x + h), com h podendo ser negativo. Então se x (x+h) = p ∴ x² + hx – p = 0 ∴33(C) Temos ( x² - 2x= 0)  (x² = 2x)  (x² ±1 = 2x x = -h + √ h² + 4p ∴ x + x + h = √ h² + 4p cujo o±1) ∴ a alternativa correta é a (C). 2 valor é mínimo quando h = 0.34(A) Em geral, usando uma das propriedades doslogaritmos, temos alogaN = N, com as devidas 44(E) Calculando a inversa das expressões dadascondições para N > 0 e 0 < a  1. Logo 10 log107 = 7. temos o seguinte conjunto de equações: (I)1/y + 1/x = 1/a; (II) 1/z + 1/x = 1/b;35(A) Usando prop. de potência com expoente (III)1/y + 1/z= 1/c.fracionário, temos: Fazendo: (I)-(III) = (IV) = 1/x – 1/z = 1/a – 1/c ec y = a z ∴ c = a z/y, logo c q = a (z/y)q = a x (IV)+(II) = 2/x = 1/a + 1/b – 1/c ∴∴ x = (z/y)q ou xy = zq. 2abc____ x= ac + bc – ab36(B) Para se provar que certa figura é um lugargeométrico, é essencial: 45(A) Usando a definição e algumas propriedades de1º) que ela contenha todos os pontos do lugar. logaritmos temos:2º) que ela não contenha nenhum dos pontos que não i)log 8 = log 2³ = 3.log 2 ∴ log 2 = 1 / 3 . log8seja do lugar.Por este critério, (B) não é suficiente, já que não ii)log 9 = log 3² = 2.log 3 ∴ log 3 = 1 / 2 . log 9satisfaz a condição (1), ou seja, a condição (B) não iii)log 10 = 1;garante que todo ponto que satisfaça às condições iv)log 5 = log(10/2) = log 10 – log 2 = 1 - log2.está no lugar geométrico. 5
  • 6. Portanto, todos os logaritmos das alternativas destaquestão, podem ser representados por um produto de ________________________________________potências 2, 3 e 5, com exceção 17, que é o único ___________________________________________número da lista não representável nessa forma. ___________________________________________Conclui-se portanto que a alternativa correta é (C). ___________________________________________ ___________________________________________ C ___________________________________________46(A) Em primeiro lugardeve-se construir umcírculo conforme dadosno problema(figura A o Babaixo).Vamos estenderCO até encontrar ocírculo no ponto E.Como CE é diâmetro, D E PCD ⊥ DE. A bissetriz doângulo OCD corta o arco DE de tal forma que o arcoDP = arco PE. Independente da posição de C, a cordacorrespondente DE é sempre paralelo a AB e,portanto P sempre corta ao meio o arco AB.47(D) Temos: 1 + 1 = r² + s² = (r + s)² - 2rs r² s² r²s² (rs)²e como r + s = - b/a e r.s = c/a temos que: 1/r² + 1/s² = b² - 2ac c²48(C) A área do quadradomenor é 4r²/5 e a área doquadrado maior é 2r², onde r éo raio do círculo. Portanto aproporção entre as áreas é 2: 549(D) Do enunciado podemosafirmar que, para no ∆ retângulo ABC,(a/2)² + b² = 25; a² + (b/2)² = 40 ∴ a² = 36 e b² = 16. ∴ c² = a² + b² = 52 ∴ c = 2 √ 13. A AD = 5 e BE = √ 40 . b/2 E 5 c b/2 C a/2 D a/2 B50(D) Sejam t1, t2 e t3 o número de horas,respectivamente, dos seguintes trechos da corrida;- a corrida até que o carro pára para descida de Paulo.- a volta até alcançar Pedro- o resto do trajeto até o ponto final.Podemos então escrever:25.t1 -25t2 + 25t3 = 100 (carro)5.t1 + 5t2 + 25.t3 = 100 (Pedro)25.t1 + 5.t2 + 5.t3 = 100 (Paulo)O sistema acima de equações é equivalente a:t1 -t2 + t3 = 4t1 + t2 – 5t3 = 205t1 + t2 + t3 = 20Cuja solução é: t1 = 3, t2 = 3 e t3 = 3 e o tempo totaldo percurso é t1 + t2 + t3 = 8 horas.ANOTAÇÕES 6
  • 7. Portanto, todos os logaritmos das alternativas destaquestão, podem ser representados por um produto de ________________________________________potências 2, 3 e 5, com exceção 17, que é o único ___________________________________________número da lista não representável nessa forma. ___________________________________________Conclui-se portanto que a alternativa correta é (C). ___________________________________________ ___________________________________________ C ___________________________________________46(A) Em primeiro lugardeve-se construir umcírculo conforme dadosno problema(figura A o Babaixo).Vamos estenderCO até encontrar ocírculo no ponto E.Como CE é diâmetro, D E PCD ⊥ DE. A bissetriz doângulo OCD corta o arco DE de tal forma que o arcoDP = arco PE. Independente da posição de C, a cordacorrespondente DE é sempre paralelo a AB e,portanto P sempre corta ao meio o arco AB.47(D) Temos: 1 + 1 = r² + s² = (r + s)² - 2rs r² s² r²s² (rs)²e como r + s = - b/a e r.s = c/a temos que: 1/r² + 1/s² = b² - 2ac c²48(C) A área do quadradomenor é 4r²/5 e a área doquadrado maior é 2r², onde r éo raio do círculo. Portanto aproporção entre as áreas é 2: 549(D) Do enunciado podemosafirmar que, para no ∆ retângulo ABC,(a/2)² + b² = 25; a² + (b/2)² = 40 ∴ a² = 36 e b² = 16. ∴ c² = a² + b² = 52 ∴ c = 2 √ 13. A AD = 5 e BE = √ 40 . b/2 E 5 c b/2 C a/2 D a/2 B50(D) Sejam t1, t2 e t3 o número de horas,respectivamente, dos seguintes trechos da corrida;- a corrida até que o carro pára para descida de Paulo.- a volta até alcançar Pedro- o resto do trajeto até o ponto final.Podemos então escrever:25.t1 -25t2 + 25t3 = 100 (carro)5.t1 + 5t2 + 25.t3 = 100 (Pedro)25.t1 + 5.t2 + 5.t3 = 100 (Paulo)O sistema acima de equações é equivalente a:t1 -t2 + t3 = 4t1 + t2 – 5t3 = 205t1 + t2 + t3 = 20Cuja solução é: t1 = 3, t2 = 3 e t3 = 3 e o tempo totaldo percurso é t1 + t2 + t3 = 8 horas.ANOTAÇÕES 6

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