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Sistemas de coordenadas
 

Sistemas de coordenadas

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Este arquivo é uma nota de aula sobre coordenadas cartesianas e polares

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    Sistemas de coordenadas Sistemas de coordenadas Document Transcript

    • Notas de Aula: Mecânica ClássicaProf. Esp. Antonio Eduardo Alexandria de BarrosSistema de Coordenadas Cartesianas e Polares A posição de uma partícula pode ser descrita localizando-se um ponto no espaçotridimensional. Isto pode ser feito fixando-se três eixos mutuamente ortogonais a partir de umaorigem O no espaço e especificando-se suas coordenadas retangulares x, y e z com relação aestes eixos, como ilustrado na Fig. 1.2. Um sistema como estes três eixos é denominadosistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Dadas as coordenadas em relação a um sistema que localiza a posição de umapartícula, o que se deseja em seguida é descrever a trajetória percorrida por esta partícula emmovimento. Uma representação paramétrica, onde o tempo é o parâmetro, é uma das maneiras deespecificar esta trajetória. Assim, para descrever a trajetória do movimento de uma partícula,as coordenadas cartesianas em função do tempo, x(t), y(t) e z(t) (1.1)devem ser especificadas. As funções x(t), y(t) e z(t) representam as coordenadas da posiçãoda partícula nos eixos cartesianos x, y e z em cada instante t do tempo. Escolhe-se uminstante t0 para o início da medida do tempo, geralmente adotado como zero. A posição deum ponto material no espaço x, y e z (sistema de coordenadas cartesiano) em um dadoinstante de tempo t é descrita pelas coordenadas x(t), y(t) e z(t) do ponto material, ou pelo raiovetor, r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k (1.2) A linha espacial descrita pelas coordenadas do ponto material, ou seja, dada na formaparamétrica x(t); y(t); z(t), chama-se trajetória do ponto. O elemento de comprimento datrajetória é: ds = √ (1.3) De agora em diante usaremos a seguinte notação para derivadas temporais: a derivadaem relação ao tempo será representada por umFigura 1.2: Coordenadas cartesianas ortogonais, especificando a posição de uma partícula P em relação àorigem O do sistema.ponto sobre a letra, assim a derivada de x em relação ao tempo pode ser escrita como
    • Supondo-se que o significado de x(t), y(t) e z(t) estão claros, pode-se então definir ascomponentes cartesianas vx, vy e vz da velocidade num instante t são (1.4)que representam as taxas de variação de cada uma das coordenadas de posição em funçãodo tempo. O módulo da velocidade é dado por (1.5)Dá mesma maneira, pode-se definir as componentes cartesianas da aceleração ax, ay e aznum instante t são (1.6)que representam as taxas de variação de cada uma das componentes da velocidade emfunção do tempo. Dependendo do problema em questão, outros tipos de sistemas decoordenadas tais como as coordenadas polares, cilíndricas e as esféricas são maisconvenientes do que as cartesianas. Para movimentos em duas e três dimensões torna-seconveniente trabalhar com os vetores para representar posições, velocidades e acelerações.Neste caso, o movimento é descrito por um vetor de posição r, onde a cauda (extremidade) éfixa na origem do sistema de referência adotado e a ponta (a outra extremidade) deste vetorlocaliza a posição da partícula (Fig. 1.2). Se o sistema de coordenadas cartesianas foradotado, suas componentes são x, y e z. Assim, as funções (1.1) são resumidas numa únicafunção vetorial r(t) dada por (1.2). A velocidade vetorial é definida como (1.7)e a aceleração vetorial como (1.8)
    • Figura 1.3: Velocidade vetorialUtilizando-se a definição da derivada de uma função vetorial dada porpode-se ver que v(t) é tangente à trajetória da partícula, como ilustrado na figura 1.3. Uma vezque os vetores são independentes do tipo de sistema de coordenadas adotado paradescrevê-lo, é importante ressaltar também que a velocidade e a aceleração expressas comovetores, como em (1.7) e (1.8), respectivamente, são independentes do tipo de sistema decoordenadas e a descrição do movimento pode ser expressa de uma maneira compacta. Nomomento de descrever as componentes em algum tipo específico de sistemas decoordenadas, deve-se lembrar de que as componentes terão expressões apropriadas paracada tipo de sistema de coordenadas. Num sistema cartesiano as componentes de (1.7) e de(1.8) serão dadas pelas expressões (1.4) e (1.6), respectivamente.Coordenadas polares Considere uma partícula movendo-se em um plano. Usando as coordenadas polaresescreva os vetores posição, velocidade e aceleração da partícula neste sistema decoordenadas.Solução:Em coordenadas polares para, localizarmos uma partícula em um plano, devemos fornecer omódulo r do vetor que vai da origem até a partícula, e o ângulo θ que este vetor forma com oeixo x, conforme a mostramos na figura 1.4 abaixo.
    • Figura 1.4: Vetor posição de uma partícula no plano. Aqui mostramos as coordenadaspolares.O vetor posição em coordenadas cartesianas é (1.9)Os vetores unitários em coordenadas polares ˆr e ˆθ (ou er , eθ) estão relacionados com osvetores unitários ˆi e ˆj em coordenadas cartesianas por (1.10)as quais satisfazem as seguintes relações (1.11)O vetor posição em coordenadas polares é (1.12)Observe que os vetores unitários ˆr e ˆθ variam com o tempo, portanto a velocidade dapartícula é (1.13)Uma outra forma de obtermos a velocidade é usarmos o deslocamento infinitesimal ds, o qualé composto pelos deslocamentos infinitesimais dr ao longo da direção ˆr e r.dθ ao longoda direção ˆθ, ou seja, (1.14)logo, a velocidade é dada por (1.15)A aceleração em coordenadas polares é dada por
    • ou seja, (1.16)Observe que o termo rθ˙2 é denominado aceleração centrípeta.