Ejemplos de distribucion de probabilidad
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Ejemplos de distribucion de probabilidad Ejemplos de distribucion de probabilidad Document Transcript

  • Universidad Tecnológica de TorreónEjemplos deDistribución de Probabilidad: Bernoulli Binomial Poisson Normal Gamma T de student Adriana ACOSTA López
  • bernoulli1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál esla probabilidad de sacar la carta 9?° La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.8882) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para asípoder darles un premio, pero la maestra los seleccionará conlos ojos cerrados, ¿ Cual es la probabilidad de que salga elalumno numero 16?° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 =0.0625° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 =0.9375
  • 3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, almomento de sacar alguno de ellos ¿que probabilidad haypara que pueda salir premiado el boleto número 342?° La probabilidad de que saque el boleto número 342. P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 =1/342 = 0.00292° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero342. P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 =341/342 = 0.997074) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salgacruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: eléxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q)que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen enun lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0(ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya quecumple todos los requisitos.° La probabilidad de obtener cruz.
  • P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5° La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5DISTRIBUCION BINOMIALEjemplo 1:Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos laprobabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En estecaso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad seríaP(X=20):Ejemplo 2:La última novela de un autor ha tenido un granéxito, hasta el punto de que el 80% de los lectoresya la han leido. Un grupo de 4 amigos sonaficionados a la lectura:1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupohayan leido la novela 2 personas?B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
  • 2.¿Y cómo máximo 2?Ejemplo 3:Un agente de seguros vende pólizas a cincopersonas de la misma edad y que disfrutan debuena salud. Según las tablas actuales, laprobabilidad de que una persona en estascondiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese laprobabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:1. Las cinco personas.B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/32.Al menos tres personas.3.Exactamente dos personas.
  • Ejemplo 4: Se lanza una moneda cuatro veces.Calcular la probabilidad de que salgan más carasque cruces.B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5Ejemplo 5:La probabilidad de que un hombre acierte en elblanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es laprobabilidad de que acierte exactamente en tresocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que aciertepor lo menos en una ocasión?
  • B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4 POISSON Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes n= 100 P=0.03 =100*0.03=3 x=5 Ejemplo2.- La producción de televisores en Samsung trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos. n=85 P=0.02 P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746 X=4 =1.7
  • Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular laprobabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruson=20P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418X=3 =3Ejemplo4.- El 8% de los registros contables de una empresa presentanalgún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcularprobabilidad de que existan 5 registros con problemas?n=40P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793 =3.2X=5Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defectode la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿CalcularProbabilidad que existan 5 registros con problemas?n=40P=0.08 =10
  • Normal1.- Una población normal tiene una mediade 80 una desviación estándar de 14.0 µ = 80 σ = 14 za) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90 Probabilidad μ acumulada. z = 0.7611 z = 0.3594 p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x ≤ 75) Probabilidad acumulada. z 0.3594 p(x ≤ 75) = 0.3594 75 80 μc) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p (55 ≤ x ≤ 70) Probabilidad acumulada. z = 0.2389 z = 0.0367 p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022 55 70 μ 80
  • 2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos enDown River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de$70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió unasolicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que: µ= $70,00 σ =$20,0 za) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x ≥ 80,000) Probabilidad – acumulada. z = 0.6915 p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085 70000 80000 μb) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) Probabilidad – acumulada. z = 0.6915 – z = 0.4013 65000 70000 80000 μ p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x ≥ 65,000) Probabilidad acumulada. 0.4013
  • –z =p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987 65000 70000 μ3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de NuevaYork, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga que ladistribución de los tiempos de viaje en la ciudad de Nueva York tiene unadistribución de probabilidad normal y la desviación estándar es de 7.5minutos. µ = 38.3 min. σ = 7.5 min. za) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? p( x ≤ 30) Probabilidad – acumulada. z = 0.1335 p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3 μb) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? p(30 ≤ x ≤ 35) Probabilidad – acumulada. z = 0.3300 – z = 0.1335 30 35 38.3 μ
  • p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65% c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? p(30 ≤ x ≤ 40) Probabilidad acumulada. – z 0.5910 µ = 1,200 σ = 225 0.1335 = Probabilidad acumulada. z – z 5% = .0500 = 30 38.3 μ p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75% 4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia, tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y una desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario?1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65 – 5% ó 0.0500 z 1.65 X= x = 1,571.25 1,571.25
  • 5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidadprivada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución delos costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal yque la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes deuniversidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad? – 95% ó 0.9500 z 1.64 x = 27,462. X= 27,462 75 µ = 20,082 z σ = 4,500 Probabilidad Valor acumulada. de z 95% = .9500 =
  • Distribución gammaLa distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en laocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variableque mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue unadistribución gamma con parámetros a= n lambda(escala) y p=n (forma). Se denotaGamma(a,p).Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración deelementos físicos (tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por estarazón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos deespera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada delsegundo paciente”).Ejercicio 1El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos deuna hora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada delsegundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).Solución:Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a p)a : Escala 60000p : Forma 20000Punto X 10000Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo pacientees 0,98.Ejercicio 2
  • Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a unacierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetrosa=0,81 y p=7,81, calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
  • Ejercicio
  • DISTRIBUCION t student Un fabricante de focos afirma que su producto duraráun promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focoscada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con estaafirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?: 520 521 511 513 510 µ=500 h 513 522 500 521 495 n=25 496 488 500 502 512 Nc=90% 510 510 475 505 521 X=505.36 506 503 487 493 500 S=12.07SOLUCIÓN. t= x -μ SI n α = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24
  • t = 2.22 Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig. El profesor Pérez olvida poner su despertador 3de cada 10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el despertadoracaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada 10 días en losque olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primera clase?Solución: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos realizando.Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo en base a lossiguientes sucesos.(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertadorT ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A continuacióntraducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan enel enunciado. P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .
  • (b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden quecalculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar laformulas de la probabilidad total, de donde tenemos que: P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado, sinembargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos queP(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se puede escribir como:P(T¯) = + =0.69 La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienenmedia μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamañon=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:P (μ<20.5)Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertadT=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)P (T<2.5) = 0.9902P (μ<20.5)=0.9902La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es del99.02%
  • Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.Solución.1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica: S [W · w0=95] = 0=95Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso: 0=95=- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta cruzarnos en elpunto w0=95.Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será el valor: w0=95 = 2=3534Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera columna,llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la primera fila lallegaremos al valor 0.95 (probabilidad acumulada).Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que vandesde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos que realizar la siguienteconsideración: S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica: w0=25 = ¡w0=75Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]Por tanto, buscando en la tabla con los datos:Grados de libertad: 3Cola de probabilidad: 0.75
  • Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=76492. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso anterior, pero buscandoen la fila 30 de la tabla. Resultando:w0=95 = 1=6973Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828 Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01Solución.Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que:df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado. Por tanto: I9>7; 099 = 6=840