Introdução à Computação Gráfica
DEINF-UFMA
Prof. Anselmo Paiva
UFMA
Transformações Geométricas

Transformações Geométricas 2D
• Para gerar imagens bidimensionais precisamos das primitivas básicas
(linhas, círculos, caracteres, etc.),
• Uma vez que temos um objeto definido em termos dessas primitivas,
as transformações permitem mudar a orientação, tamanho ou forma
dos objetos
• Os objetos são representados pelos pontos que o descrevem ( p = (x,y))
• Se descrevermos as transformações de pontos, então descrevemos a
transformação de objetos
• Transformações 2-D :
– Translação.
– Escala (relativa a um ponto).
– Rotação (em torno de um ponto).
Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 2

Transformações Lineares
(espelhamento)
x´ x´ = -1.x
x
y
P´ = P = y´ = y
y´ y
P´ P
x
x´ -1 0
=
1
0 y
y´
x
Exercício: Deduzir as expressões
para espelhamento em torno do
eixo X.

Translação
• Descrevemos a translação de um ponto (x, y) por:
 x' = x + tx

 y' = y + ty
• Ou através de soma de vetores:
P' = P + T
• Onde os vetores são definidos por :
 x  x '  tx 
P =  , P' =   , = 
T
 y  y '  ty 
Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 4

Translação
• Transladando cada ponto do objeto com a mesma equação,
transladamos o objeto inteiro
• Os pontos se movem ao longo de linhas paralelas.
Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 5

Translação
y
tx
x’
P’ x
P’ = = +
ty
y’ y
tx
P t =
ty
x
x’ 1 0 tx x
P’ = =
y’ 0 1 ty y
[T]
Matriz de Translação
Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 6

Escala
• Podemos escalar as coordenadas x e y de um ponto
de maneira independente:
x = s x × x; y = sy × y
• Isso também pode ser escrito sob a forma matricial
 x '  s x 0   x
  = 0 s y   y
 y '   
• ou P ' = S × P onde S é a matriz de escala.
• Se sx=sy então todos os
• pontos se movem
• diretamente a partir da origem
Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 7

Rotação
y x´ Um ponto pode ser rotacionado em
P´ =
y´ torno da origem de ângulo q usando
as equações
x
P =
q
x´ = x.cos q - y.sen q
y
y´ = x.sen q + y.cos q
x
E na forma matricial:
x´ x
cos q -sen q
=
cos q
sen q
y´ y
Ou P'= RDP onde R é a matriz de
rotação
• Todos os pontos se movem ao longo de círculos concêntricos, com centro na
origem
• Uma figura que não esteja na origem sofre uma translação além da rotação

Coordenadas Homogêneas
• Escala e rotação podem ser representadas por uma
multiplicação de matriz, mas translação não pode.
• Se todas as transformações pudessem ser
representadas por matriz, multiplicando matrizes
colocariamos várias delas juntas.
• Isso é possíve se representarmos pontos 2D não por
um par de números (x; y) (representado como um
vetor unidimensional), mas se representarmos por
por três números (X;Y;W) denominado coordenadas
homogêneas
• Dois conjuntos de coordenadas homogêneas
representam o mesmo ponto 2D sss são múltiplos
uns dos outros: (3,2,1), (6,4,2) ou (12,8,4)
Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 9

Coordenadas homogêneas (CH)
x wx xh
x ∆ ∆
y y wy yh
P = =
= =
y
1 w w
P Ex.:
6
3 9
3 ∆ ∆
4
2 6
= = =
2
2
1 3
x
x = xh /w
w>0
w
y = yh /w
y
• Cada ponto 2-D possui muitas representações em CH,
x
que se forem interpretadas como pontos 3D, formam uma
reta no espaço 3D passando pela origem, e pelo ponto
yh
w=1
2D no plano z=1.
• Para obter uma única representação tratamos sempre
os pontos (X;Y;W) dividino por W para obter na forma (x;
xh y; 1).

Translação em coordenadas homogêneas
y
tx
x’
P’ x
P’ = = +
ty
y’ y
tx
t
P =
ty
x
w
y x’ 1 0 tx x
x’
P’ y’ 0 1 ty y
t = = =
x y’
1 0 0 1 1
yh
w=1
[T]
xh Matriz de Translação

Escala e Rotação em coordenadas homogêneas
• Escala
 x '  s x 0  x 
0
 
0  y 
y' = 0 sy
   
 1  0 1  1 
0
   
• Rotação
− sin q
 x '  cos q 0  x 
 
0  y 
y ' = sin q cosq
   
 1  0 1  1 
0
   
Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 12

Propriedades das Transformações
• Considere as linhas da matriz de rotação 2 x 2
• Cada linha é um vetor unitário
• O produto escalar entre os dois vetores é zero - as
linhas são ortogonais
• A mesma propriedade vale para as colunas
• Em razão dessas propriedades a matriz e
denominada ortogonal.
• Consequência:
– a inversa é igual a transposta
Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 13

Propriedades das Transformações
• Uma matriz da forma
r tx 
r12
11

ty 
r r21
 21 
0 1
0
 
• onde a submatriz da parte superior esquerda é
ortogonal é denominada de transformação de corpo
rígido:
– Preserva ângulos.
– Preserva comprimentos.
– Pode realizar uma translação/rotação arbitrária.
Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 14

Propriedades das Transformações
• O produto de uma sequência arbitrária de matrizes de
translações, escalas e rotações, é denominado uma
transformação afim. Representada por:
r r12 t x 
11

r21 r21 t y 
 
0 0 1
 
onde a submatriz 2x2 superior esquerda não
necessariamente é ortogonal
• Consequência:
– Preserva paralelismo de retas.
– Não necessariamente preserva ângulos ou comprimentos.
– Pode realizar transformações de translação, escala,
rotação, espelhamento e cisalhamento
Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 15

Transformação de Cisalhamento
• Possuem uma interpretação geométrica simples:
• São produzidas por uma matriz da seguinte forma:
 1 a 0  1 0 0
SH x =  0 1 0 SH y =  b 1 0
   
 0 0 1  0 0 1
   
• Podem ser produzidas por uma combinação de
rotações e escalas não uniformes
Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 16

Concatenação de Transformações
• Suponha que seja necessário rotacionar um objeto
em torno de um ponto P1 = (x1; y1), diferente da
origem
• Não temos uma transformação que faça isso
diretamente.
• Essa operação pode ser realizada com uma
sequência de transformações fundamentais.
Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 17

Concatenação de Transformações
• Translade o objeto de modo que
P1 conincida com a origem.
• Rotacione em torno da origem.
• Translade de volta de modo que
o ponto sobre a origem va para
na posição originária de P1.
Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 18

Concatenação
• Um única matriz realizando esses três passos pode
ser obtida através da multiplicação das matrizes das
tr6es transformações na ordem inversa em que as
transformações foram aplicadas.
Trot _ P1 = Torigem− > p1 Rq _ origemT p1− > origem
− −
x1   cos q sen q
1 0  1 0 x1 
0

y1   senq 0  0 1 y1 
=0 − =
cos q
Trot _ P1 1
   
0 1 0 1  0 0 
0 0 1
   
− x1 (1 − cos q ) + y1 sin q 
 cos q senq
 
= senq y1 (1 − cos q ) − x1 sin q
cos q
 
0 
0 1
 
Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 19

Concatenação - Rotação em Torno do centro do Objeto
y a y
y0 y0
x
x0 x
x0
1 0 − x0 
  1 x0 
0
1 − y0 
0  
0 1 y0 
0 1
0
 
y y 0 1
0
 
 cos a 0
− sin a
a
 
 sin a cos a 0
0 1
0
 
x x
 x ' 1 x 0   c o sa 0  1 x0   x 
− −
sin a
0 0
   
    
y ' =  0 −
sin a cosa
 y0  y
1 y0 0 0 1
 
 1 1 1
0   1 0
0 1 0 0 0
        

Concatenação de Transformações
y y
x x
T1 T2
y y
x x
R1 R2
y
y
E
x
x
P’= T2 R2 E R1 T1 P
P’= T2 R2 E R1 T1 P Anselmo Cardoso de Paiva - DEINF - UFMA 21

Transformações em 3D
(translações e escalas)
y
1
x’ 0 0 tx x
0
y’ 1 0 ty y
=
x 0
z’ 0 1 tz z
0 0 0 1
1 1
z
sx
x’ 0 0 0 x
0
y’ sy 0 0 y
=
0
z’ 0 sz 0 z
0 0 0 1
1 1

Transformações em 3D
(Rotações)
1
x’ 0 0 0 x
y 0 cos q x
y’ 0 y
-sen q x
=
sen q x
0 cos q x
z’ 0 z
qy
0
1 0 0 1 1
x
qx
x’ 0
sen q y
0 x
cos q y
qz
z 0
y’ 1 0 y
0
=
-sen q y cos q y
z’ 0 0 z
0 0 0 1
1 1
cos q z
x’ 0 0 x
-sen q x
sen q x cos q x
y’ 0 y
0
= 0
0 1
z’ 0 z
0
1 0 0 1 1