Operações em Árvores Binárias

Aplicações Com Árvores Binárias

É uma estrutura útil quando uma de duas decisões devem ser tomadas no decorrer do processo.

Encontrar todas as duplicatas em uma lista de números

Um forma de fazer isso é comparar o número como todos os que o precedem

isto não é uma solução eficiente

Aplicações Com Árvores Binárias

Solução: empregar uma árvore binária

Armazenam-se os números na árvore de forma a:

o 1º número é armazenado na raiz de uma árvore com apenas um nó interno

cada um dos próximos números na lista é comparado com a raiz:

caso seja igual é uma duplicata

caso seja menor, é armazenado na sub-árvore da direita seguindo-se recursivamente o mesmo procedimento

caso seja maior, é armazenado na sub-árvore da esquerda seguindo-se recursivamente o mesmo procedimento

Aplicações Com Árvores Binárias 14, 18, 4, 9, 7, 15, 3, 5, 17, 4, 20, 9, 5 3 5 7 9 4 17 15 20 18 14

Aplicações com Árvores Binárias

outra aplicação comum é atravessar a árvore binária, visitando cada nó

como sistematicamente visitaremos cada nó?

operação é trivial para listas lineares

para árvores, existem diferentes formas de proceder

os métodos diferem conforme a ordem em que se visitam os nós, o problema sendo resolvido

Atravessando Árvores Binárias

Métodos

pré-ordem :visite a raiz, então visite a subárvore da esquerda, depois a subárvore da direita

em-ordem ou ordem simétrica: visite a subárvore da esquerda, então visite a raiz, depois a subárvore da direita

pós-ordem : visite a subárvore da esquerda, então visite a subárvore da direita, depois a raiz

pré-ordem :

- * a b * + f g e

em-ordem:

a*b - f+g * e

pós-ordem :

a b * f g + e * -

implementação simples dos métodos - recursiva

como se visita uma subárvore de cada vez, seguindo-se a regra recursiva , cada subárvore é visitada começando pela raiz

Pré-ordem

pre_ordem (pt)

{

if (pt == NULL) return ();

visite(raiz);

pre_ordem (pt->esq);

pre_ordem (pt-> dir);

}

em-ordem

em_ordem (pt)

{

em_ordem (pt->esq);

visite(raiz);

em_ordem (pt-> dir);

}

Pós-ordem

pos_ordem (pt)

{

pos_ordem (pt->esq);

pos_ordem (pt-> dir);

visite(raiz);

}

Árvore Binária Completa

r epresentação em lista sequencial

cada nó pode receber um número de 1 a N

um nó de número i está na posição i da lista

seus filhos da esquerda e da direita nas posições 2 i+1 e 2 i + 2, respectivamente

não necessita ponteiros

restringe um tamanho para a árvore

também chamada de representação seqüencial

Árvore Binária quase Completa A B C D E F G H I

Exercícios

implementar os procedimentos pré-ordem, em-ordem e pós-ordem de forma n ão recursiva

calcular a altura de cada nó de uma árvore binária (exercício do livro texto)

em -ordem

p = raiz ;

do { /* segue pelo ramo da esq. até NULL */

while (p != NULL) {

push(p);

p=p->esq ;

}

/* verifica se já processou toda árvore */

if ( pilha_não_vazia() ) {

p = pop ();

visite(p) ;

p = p-> d ir ;

}

} while( pilha_não_vazia() || p != NULL );

}

H I D E B C A

Árvore Binária d e Busca

construída de tal forma que, para cada nó:

nós com chaves menores estão na sub- á rvore esquerda

nós com chaves maiores ( ou iguais ) estão na sub- á rvore direita

a inserção dos nós da árvore deve satisfazer a essa propriedade

para a busca de uma chave v na árvore binária de busca:

primeiro compare com a raiz

se menor , vá para a sub- árvore esquerda

se maior , para a sub-árvore direita

aplique o método recursivamente

a cada passo, garante-se que nenhuma outra parte da árvore contém a chave sendo buscada

o procedimento pára quando

o nó com v é encontrado

senão, chega-se a NULL

b usca_arvore _nao_recursivo (v , p t)

{

do {

if (v < pt -> info )

pt = pt -> e sq;

else pt = pt -> dir;

}while (pt != NULL) && (v != pt -> info ) ;

return( pt ) ;

}

Inserindo em Árvore Binária de Busca

Para inserir um nó na árvore:

fazer uma busca com insucesso

alocar um novo nó

é necessário saber por qual nó se chegou a NULL

será o pai do novo nó

Inserindo em Árvore Binária de Busca

Inserção Árvore Binária de Busca

i nsere_árvore (int v alor , tipo_nó * pt )

{ tipo_nó * pai;

do { pai = pt ;

if (v alor < pt ->chave) pt = pt ->e sq ;

else pt = pt -> esq ;

} while( pt != NULL );

if (pt == NULL){

pt = aloca();

pt ->chave = v alor; pt ->e sq = NULL ; pt -> dir = NULL ;

if (v < p ai ->chave) p ai ->e sq = pt ;

else p ai -> dir = pt ;

return( pt );

}

}

Inserção Árvore Binária de Busca

a árvore está classificada se percorrida da forma correta (pre, pos ou em-ordem?)

as chaves aparecem em ordem se lidas da esquerda para a direita

podemos ordenar uma sequência como se fosse uma série de inserções

o programa tem apenas os ponteiros para se preocupar

qual a diferença

Remoção em Árvore Binária de Busca

até então, vimos que a implementação da operação de inserção é simples

a remoção de um elemento já é mais complexa

remoção de um nó folha

o s ponteiro s esquerdo e direito do pai são setados para NULL

se possui apenas um filho

o ponteiro apropriado do pai passa a apontar para o filho

se o nó possui dois filhos

se um desses dois filhos não possui filhos, use esse nó para substituir o nó removido

senão: substituir o valor do nó a ser removido

substitua este com o elemento cuja chave é imediatamente maior (ou menor)

é sempre folha?

senão for folha – vá repetindo o procedimento

algoritmo?

Removendo 5:

basta que o ponteiro a direita de 4 aponte para NULL

2 3 5 4 8 7 10 9 6

Removendo 3:

basta que substituir o nó 3 pelo nó 2

continua valendo a regra de formação da árvore

2 3 5 4 8 7 10 9 6

Removendo 4:

basta que o substituir 4 pelo 5

continua valendo a regra de formação da árvore

2 3 5 4 8 7 10 9 6

Removendo 7 ( raiz ) :

substituir o 7 pelo imediatamente maior: 8 – como determinar?

resulta na remoção do elemento de chave 8

2 3 5 4 9 8 1 2 11 10 7

Árvore Binária de Busca

A árvore obtida depende da seqüência de inserção de nós

Para que a árvore binária de busca seja completa

completa tem altura mínima

o conjunto das chaves deve ser reordenado

árvore comum - O (n)

árvore completa - O (log n)

uma árvore binária de busca completa

o conjunto das chaves deve ser re - ordenado

s ejam s o e s n+1 duas chaves fictícias e já inseridas

a cada passo inserir em T uma nova chave que seja de índice médio entre i e j - duas chaves já inseridas

árvore completa : ótima para a busca

quando a freqüência de acesso aos nós é igual

n ormalmente estas freqüências são diferentes

é interessante construir uma árvore binária que seja a melhor possível no que diz respeito à busca para freqüências conhecidas

Eficiência da Árvore de Busca

Depende da ordem original dos dados

Se o array original está ordenado (ascendente ou descendente), as árvores resultantes só tem filhos a direita ou a esquerda

a inserção do 1o. nó - 0 comparações

2 + 3 +....+n = n*(n+1)/2 -1

Complexidade - O (n 2 ) - para inserir n nós

Se a lista original estiver organizad a, e se uma árvore completa (parecida com completa) for se formando :

complexidade da inserção = O ( n log n )

12, 8, 17, 4, 16

A árvore é balanceada

Operações em Árvores Binárias

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