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Flujo máximo teoria de redes
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Flujo máximo teoria de redes

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  • 1. Problema de flujo máximo TEORIA DE REDES Investigación de operaciones II MATERIAL PREPARADO POR: M.C. ADRIANA NIETO CASTELLANOS INSTITUTO TECNOLOGICO DE TEHUACÁN18/04/2011
  • 2. Hay problemas en donde lo importante es la cantidad de flujo que pasa a través de la red, como por ejemplo: en las líneas de gasoductos, redes eléctricas o de transmisión de datos. En dichos problemas, podría ser interesantedeterminar el flujo máximo que pasa a través de dicha red. Naturalmente, en este tipo de problemas, es necesario que existan restricciones para la capacidad de los arcos.
  • 3. Ejemplo: Tres refinerías envían su producto de gasolina a dosterminales. La demanda que no se pueda satisfacer se adquierede otras fuentes. El producto de gasolina se transporta a lasterminales por medio de una red de conductos que sonimpulsados por tres estaciones de bombeo. La tabla siguientecontiene la información de la red, sus enlaces y su capacidad debombeo (en barriles por minuto):Refinerías: R1, R2, R3Estaciones de bombeo: E1, E2, E3Terminales: T1, T2 De A Capacidad De A Capacidad R1 E1 20 E1 E3 10 R2 E1 35 E2 E3 30 R2 E2 45 E1 T1 10 R3 E2 15 E2 T2 30 E1 E2 20 E3 T1 50 E2 E1 10 E3 T2 20
  • 4. ¿Cuánto flujo, como máximo, debe pasar por cada estación de bombeo?.Se muestra el diagrama de red del problema, donde se muestra la capacidadde cada arco: R1 20 10 E1 T1 35 10 50 R2 20 10 E3 20 30 45 E2 T2 30 15 R3
  • 5. Es necesario introducir los nodos ficticios I (inicio) y F (fin) para que la redtenga un inicio y un fin, que indique el flujo máximo desde un nodo a otro.Las capacidades asignadas a los arcos ficticios, derivados de lageneración de estos nodos, será considerada infinita (). R1 20 10  35 E1 T1  10 50 I  R2 20 10 E3 F 20 30 45  E2 30 T2  15 R3
  • 6. El concepto principal del método para encontrar elflujo máximo a través de una red es la de establecer trayectorias (llamadas de penetración) desde elnodo inicial al final, e ir asignando el mayor “tránsito”.Si es necesario se hace una pequeña modificación aldiagrama, transformando los arcos dirigidos a no dirigidos, indicando la cantidad de flujo desde el nodo hacia la dirección del flujo.
  • 7. Red modificada para iniciar el método: Una manera de escoger la trayectoria de penetración es a través de los arcos con mayor capacidad remanente. Dicha capacidad es resultado de restar en el sentido del flujo (y sumarlo en el sentido opuesto) el flujo máximo remanente que puede pasar por esa trayectoria. CapacidadTrayectoria remanente 1 I  R2  E2  T2  F 30 2 I  R2  E1  E2  E3  T1  F 20 3 I  R1  E1  T1  F 10 4 I  R2  E1  E3  T1  F 10 5 I  R3  E2  E3  T2  F 10
  • 8. R1 20 10 E1 T1 35 10 50I R2 20 10 E3 F 30 20 45 E2 T2 30 15 R3 0 R1 20 0 10 0 0 E1 T1 ∞  20 10 0 35 0 50 0I  0 R2 E3 F 45 0 20 0  0 10 30 0 E2 T2 0 30 0 ∞ 0 R3 15 Transformación de arcos dirigidos a arcos no dirigida
  • 9. 0 R1 20 0 0 E1 10 0 T1 ∞  20 10 0 30 35 50 0 30 I  30 R2 0 E3 F 15 10 0 20 30  30 30 0 E2 T2 ∞ 0 0 30 0 R3 15 0 R1 20 0 0 E1 10 0 T1   20 10 0 35 50 0 30 I  30 R2 0 E3 F 30 15 10 0 20 30  30 30 0 E2 T2  0 0 30 0 R3 15Procedimiento de solución del problema: Trayectoria 1: I  R2  E2  T2  F Flujo máximo: 30
  • 10. Trayectoria 2: I  R2  E1  E2  E3  T1  F Flujo máximo: 20 0 R1 20 0 0 E1 10 0 T1 ∞  20 10 0 35 50 020 I  30 R2 0 E3 F 20 15 10 0 20 30  30 30 0 E2 T2 ∞ 0 0 30 0 R3 15 0 R1 20 0 20 E1 10 0 T1 ∞30  0 10 30 20 20 30 1520 I  50 R2 0 E3 F 20 15 20 20 20 30  30 10 0 E2 T2 ∞ 0 0 30 0 R3 15
  • 11. Trayectoria 3: I  R1  E1  T1  F Flujo máximo: 10 0 R1 20 0 20 E1 10 0 T1 ∞  0 10 30 20 20 15 I  50 R2 0 E3 F 15 20 20 20 30  30 10 0 E2 T2 ∞ 0 0 30 0 R3 15 10 R1 10 1030 0 10 30 20 E1 T1 ∞20  0 10 30 20 30 2010 15 I  50 R2 0 E3 F 10 15 20 20 20 30  30 10 0 E2 T2 ∞ 0 0 30 0 R3 15
  • 12. Trayectoria 4: I  R2  E1  E3  T1  F Flujo máximo: 10 10 R1 10 10 E1 0 10 20 T1   0 10 30 20 30 15 0 I  50 R2 E3 F 15 20 20 20 30  30 10 0 E2 T2  0 0 30 0 R3 15 10 R1 10 10 E1 030 10 30 30 T1 20  0 20 30 2010 5 0 10 40 10 I  60 R2 E3 F10 15 20 20 20 30 10  30 10 0 E2 T2  0 0 30 0 R3 15
  • 13. Trayectoria 5: I  R3  E2  E3  T2  F Flujo máximo: 10 10 R1 10 10 E1 0 10 30 T1   0 0 20 30 40 5 10 I  60 R2 E3 F 15 20 20 20 30  30 10 0 E2 T2  0 0 30 0 R3 15 10 R1 10 10 E1 030 10 30 30 T1 20  0 20 30 2010 5 0 10 40 10 I  60 R2 E3 F10 15 20 30 10 40 1010  30 0 10 10 E2 T2  10 0 30 10 R3 5
  • 14. Trayectoria 5: I  R3  E2  E3  T2  F Flujo máximo: 10 10 R1 10 10 E1 030 10 30 30 T1 20  0 20 30 2010 5 0 10 40 10 I  60 R2 E3 F10 15 20 30 10 40 1010  30 0 10 10 E2 T2  10 0 30 10 R3 5Ya no pueden encontrarse nuevas trayectorias, por lo que ésta última es la solución.
  • 15. Interpretación: Refinería 1: envío de 10 barriles/min. Refinería 2: envío de 60 barriles/min. Refinería 3: envío de 10 barriles/min.. Terminal 1: recepción de 40 barriles/min. 10 R1 Terminal 2: recepción de 40 barriles/min. 10 10 40 E1 T1 30 10 30 60 R2 20 E3 30 10 30 E2 T2 40 30 10 10 R3Estación de bombeo 1: recibe 40 barriles/min, y envía 10 barriles/min a la terminal 1, 20 a la estación de bombeo 2 y 10 a la estación 3.Estación de bombeo 2: recibe 60 barriles/min, y envía 30 a la estación 3, y otros 30 a la terminal 2.Estación de bombeo 3: recibe 40 barriles/min, y envía 30 a la terminal 1, y 10 a la terminal 2. Flujo máximo en la red: 80 barriles/min.
  • 16. Cabe destacar que no es una solución única. Una manera de aproximarnos rápidamente al resultado de flujo máximo es conel concepto de llamado “flujo máximo y corte mínimo”, que establece que enuna red de un solo origen y un solo destino, el flujo máximo es igual al valorde corte mínimo en la redUn corte se define como el conjunto de arcos dirigidos que van del nodo origenal destino, su flujo máximo posible sería la suma de flujos de todos los arcoscortados. Por ejemplo, en nuestra red es posible hacer varios cortes paradeterminar el flujo máximo:

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