Medición de ángulos
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Trabajo especial para la clase de matemáticas

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Medición de ángulos Medición de ángulos Document Transcript

  • Medición de ángulosAhora continuaremos el estudio de la trigonometría con el concepto de ángulos y susmedidas. Un ángulo θ es un conjunto de puntos que consiste de un punto P y dosrayos que se extienden desde P. El punto P es el vértice del ángulo y los rayos son loslados del ángulo. El rayo r, se llama el lado inicial (permanece fijo) y el segundo rayo,rayo s, se llama rayo terminal del ángulo. El ángulo comienza en la posición del ladoinicial y gira alrededor del punto final común P en un plano hasta que alcanza suposición terminal. lado s terminal P θ lado inicial rUna rotación en el sentido contrario a la manecillas del reloj produce un ángulopositivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce unángulo negativo (Figura 2). El tamaño de la rotación en cualquier dirección no estálimitada. Dos ángulos diferentes pueden tener los mismos lados iniciales y terminales(Figura 3), estos ángulos se llaman ángulos coterminales. lado lado inicial terminal θ θ lado terminal β lado inicial α lado inicial θ ángulo positivo θ ángulo negativo α y β ángulos coterminales Nota: β ángulo positivo α ángulo negativo Figura 1 Figura 2 Figura 3Un ángulo en un sistema de coordenadas rectangular está en la posición normal oestándar si su vértice está en el origen y su lado inicial a lo largo del eje positivo x. Siel lado terminal de un ángulo que está en la posición normal yace sobre un ejecoordenado se dice que es un ángulo cuadrantal. Observa la ilustración acontinuación. lado terminal vértice lado inicial
  • Angulo en posición normal Angulo cuadrantalAsí como los segmento se miden en pulgadas, centímetros o pies, los ángulos se midencomúnmente en grados o radianes.Definición: Medición en gradosUn ángulo formado por la rotación completa tiene una medida de 360 grados (3600). Unángulo formado por 1/360 de una rotación completa tiene una medida de 1 grado (1 0).El símbolo “0” denota grados.Definiciones:Un ángulo llano es un ángulo que mide 1800. Un ángulo recto es un ángulo que mide900. Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 900. Un ángulo obtuso es unángulo que mide mayor de 900 pero menor que 1800. Un ángulo central es un ángulocuyo vértice está en el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo. ángulo llano ángulo recto ángulo agudo ángulo obtuso ángulo centralDos ángulos positivos son complementarios si su suma es 900. Dos ángulos sonsuplementarios si su suma es 1800.Nota: Los ángulo que miden 00, 900, 1800, 2700 y 3600 son ángulos cuadrantales(ángulos donde el lado terminal yace sobre los ejes x ó y).
  • Definición: Medición en radianesSi el vértice de un ángulo θ está en el centro de un círculo de radio r>0, y la longitud delarco opuesto a θ en la circunferencia es s, entonces θ medido en radianes está dadopor: s θ= radianes r s r θUn radián es el tamaño del ángulo central de un círculo que interseca un arco de lamisma longitud que el radio del círculo. Observa que s y r deben estar medidas en lasmismas unidades. Además, θ se usa de dos maneras: para nombrar el ángulo y comomedida del ángulo.Nota: La medida en radián es un número sin unidades, pues las unidades en que semiden la longitud del arco y el radio se eliminan, por tanto, queda un número sinunidades.Ejemplos para discusión: Halla en radianes la medida de un ángulo central θ opuesto ala longitud de un arco s de un círculo de radio r, donde s y r están dados acontinuación:1) s = 8 pulgadas; r = 4 pulgadas2) s = 24 centímetros; r = 8 centímetrosEjercicio de práctica: ¿Cuál es la medida de un ángulo central θ opuesto a un arco de60 pies en un círculo de radio de 12 pies?Conversión entre grados y radianes:La conversión de grados a radianes y de radianes a grados está basado en que: 180 grados =π radianesPara cambiar radianes a grados y grados a radianes usamos las siguientesfórmulas:
  • Radianes a grados Grados a radianes 180 0 π θ θ π 180 0Ejemplos para discusión:1) Cambia de radianes a grado: a ) 5 radianes 7 b) π 6 −5 c) π 122) Cambia de grados a radianes: a) 750 b) 1500 c) -150Usando la calculadoraTambién podemos hacer la conversión de grados a radianes y de radianes a grados conla calculadora. Veamos los pasos a seguir dependiendo del tipo de calculadora.Para cambiar radianes a grados:Ejemplo: 5 radianes a grados Calculadora científica Calculadora gráfica- Seleccionar el modo “radianes” con la - Seleccionar el modo “grados con lastecla [DRG]. teclas [MODE],[ENTER],[Exit].- Entrar el número 5. - Entrar al menú [Math].- Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta - Elegir <Angle>.obtener el modo de “grados”. - Entrar el número 5.- La respuesta es 286.50 - Elegir <r> y oprimir [ENTER]. - La respuesta es 286.50Para cambiar grados a radianes:Ejemplo: 750 a radianes Calculadora científica Calculadora gráfica- Seleccionar el modo de “grados” con la - Seleccionar el modo ”radianes” con lastecla [DRG]. teclas [MODE],[ENTER],[EXIT].- Entrar el número 75. - Entrar al menú [Math]
  • - Oprimir las teclas [2nd][DRG] hasta - Elegir <Angle>obtener el modo de “radianes”. - Entrar el número 75.- La respuesta es 1.31 - Elegir <o> y oprimir [ENTER]. - La respuesta es 1.31Ejercicio de práctica:1) Cambia de radianes a grado: a ) 1 radian 17 b) π 102) Cambia de grados a radianes: a) 2400 b) 27003) Completa la tabla a continuación: Radianes Grados π 6 π 4 π 3 90 120 3π 4 5π 6 π 180 210 225 4π 3 270 5π 3 315 11π 6 360