Makalah barisan dan deret

39,668
-1

Published on

Makalah tugas Telaah Matematika II mengenai Modul Barisan dan Deret

0 Comments
6 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
39,668
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5
Actions
Shares
0
Downloads
927
Comments
0
Likes
6
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Makalah barisan dan deret

  1. 1. TUGAS TELAAH MATEMATIKA II BARISAN DAN DERETDISUSUN OLEH :  Aditin Putria (06111008028)  Agatha Indy Candra Dewi (06111008037)  Meta Apriani (06111008030)Dosen Pengasuh : Drs. Budi Santoso, M.Si. FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SRIWIJAYA 2012/2013
  2. 2. Daftar IsiDaftar Isi……………………………………………………….............................. 1Peta Konsep…………………………………………..........................…………… 2Glosarium………………………………………….........................…………….... 3 Bab I Pendahuluan A. Deskripsi................................................................................................. 4 B. Prasyarat.................................................................................................. 4 C. Standar Kompetensi................................................................................ 4 D. Kompetensi Dasar................................................................................... 4 E. Indikator Hasil belajar..............................................................................4 Bab II Materi Pembelajaran A. Materi Dasar Pola Bilangan......................................................................4 B. Barisan dan Deret..................................................................................... 6 1. Barisan Bilangan.................................................................................. 6 2. Barisan dan Deret Aritmatika.............................................................. 10 3. Barisan dan Deret Geometri................................................................. 12 Bab III Latihan dan Pengayaan A. Soal Latihan dan Pengayaan.....................................................................14 B. Kunci Jawaban Pengayaan........................................................................15Daftar Pustaka......................................................................................................... 16
  3. 3. GLOSARIUMTentu saja dalam Modul ini Anda akan menemukan simbol-simbol yang belum Andadapatkan sebelumnya. Oleh karena itu Anda harusmemperhatikan dengan seksama glosarium ini. n : suku Un : Suku ke - n Sn : Jumlah suku ke - n b : beda r : rasio
  4. 4. BAB I PendahuluanA. DESKRIPSIModul ini terdiri atas 3 bagian proses pembelajaran sesuai dengan sub kompetensinya,yaitu :1. Membahas tentang pengertian barisan dan menentukan rumus suku ke – n suatu barisan bilangan2. Bagaimana menentukan rumus suku ke – n dan rumus jumlah suku ke – n deret aritmetika3. Bagaimana mencari suku tengah dan sisipan4. Bagaimana menentukan rumus suku ke – n dan rumus jumlah suku ke – n deret geometriB. PRASYARAT 1. Mengetahui Pola Bilangan 2. Terampil dalam operasi pada bentuk aljabar 3. Memahami konsep sigmaC. STANDAR KOMPETENSI Setelah mempelajari modul ini diharapkan siswa dapat: Siswa dapat menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.D. KOMPETENSI DASAR Siswa dapat menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometriE. TUJUAN AKHIR (INDIKATOR HASIL BELAJAR) 1. Siswa dapat memahami pengertian barisan bilangan 2. Siswa dapat menjelaskan rumus suku ke-n deret aritmetika dan geometri 3. Siswa dapat menjelaskan suku tengah dan sisipan 4. Siswa dapat menjelaskan rumus jumlah suku ke – n deret aritmetika dan geometri
  5. 5. Bab II Materi PembelajaranA. Pola Bilangan Gambar di samping adalah gedung pertunjukan yang mempunyai 40 tempat duduk pada barisan paling depan. Setiap baris tempat duduk tersebut 4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Apabila kamu tuliskan banyaknya tempat duduk pada setiap baris,diperoleh tabel sebagai berikut. 1 2 3 4 5 ... 20 40 44 48 52 56 ... 116Amati bilangan-bilangan 40, 44, 48, 52, 56, ..., 116. Bilangan-bilangan tersebut membentuksuatu kumpulan (himpunan) bilangan dengan pola tertentu, yang setiap suku berikutnyadiperoleh dari suku sebelumnya ditambah 41. Pengertian Pola Bilangan Jika kamu amati, anggota-anggota himpunan bilangan yang telah dipelajari, diurutkan dengan suatu aturan tertentu sehingga bilangan-bilangan pada himpunan tersebut membentuk suatu barisan. Suatu barisan bilangan dapat ditunjukkan dengan pola-pola. Untuk itu, pelajarilah barisan bilangan berikut ini. Barisan 1, 3, 5, 7, 9 ... disebut barisan bilangan ganjil. Barisan 2, 4, 6, 8, ....Barisan ini disebut barisan bilangan asli genap Pola tersebut dapat disusun dengan barisan bilangan berikut. 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10 1 + 2 + 3 + 4 Pola bilangan tersebut adalah salah satu contoh barisan bilangan segitiga.
  6. 6. Amati pola bilangan pada Gambar di bawah iniPola bilangan pada Gambar di atas disebut pola bilangan persegi. Mengapa?Diskusikan dengan temanmu.Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut.1 = 1 atau 12 = 14 = 1 + 3 atau 22 = 1 + 39 = 1 + 3 + 5 atau 32= 1 + 3 + 516 = 1 + 3 + 5 + 7 atau 42 = 1 + 3 + 5 + 7Pola bilangan persegi panjang di antaranya dapat kamu lihat pada Gambar di bawahiniPola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut.2 = 1 × 2 12 = 3 × 46 = 2 × 3 20 = 4 × 5Mengapa barisan tersebut dinamakan barisan persegipanjang? Coba kamu jelaskan.
  7. 7. B. Barisan dan Deret 1. Barisan Bilangan a. Mengenal pengertian barisan suatu bilangan Perhatikan ilustrasi berikut! Seorang karyawan pada awalnya memperoleh gaji sebesar Rp.600.000,00. Selanjutnya, setiap bulan berikutnya gaji yang diperoleh bertambah Rp.5.000,00. jika kita susun gaji karyawan itu mulai bulan pertama adalah sebagai berikut. Rp.600.000,00, Rp.605.000,00, Rp.610.000,00, Rp.615.000,00,........ Susunan yang demikian dinamakan barisan. Bilangan pertama disebut suku pertama (U1),bilangan kedua disebut suku kedua (U2), dan seterusnya.Suku ke-n dari suatu barisan bilangan dinotasikan dengan Un. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.  Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan dengan aturan atau pola tertentu.  Suku dari barisan bilangan adalah setiap bilangan pada barisan bilangan tersebut. b. Menentukan dan menghitung suku ke-n suatu barisan bilangan. Seperti yang telah kalian ketahui bahwa suatu barisan selalu memiliki pola yang teratur sehingga suku ke-n dapat ditentukan. Jika pola barisan bilangan telah diketahui kalian dapat dengan mudah menentukan suku ke-n barisan tersebut. Perhatikan contoh berikut! 1. Manakah suku yang harus diganti dari barisan di bawah ini? 2,3,5,7,9,13,17,19,23,29,...........Jawab:Jika dipandang sekilas tampaknya suku pertama yang harus diganti sebab bukan bilanganganjil. Namun, dengan mengganti suku pertama ternyata belum menjadi barisan yang benar(lihat suku ke-6,ke-7, ke-8, ke-9,dan ke-10). Jadi, manakah yang harus kita ganti? Ternyatasemua bilangan pada barisan di atas adalah bilangan prima, kecuali suku ke-5 sehingga sukuke-5 itulah yang harus diganti dengan 11.
  8. 8. 1. Jika Un = n 2 -1, tentukan suku-suku dari barisan itu dan bentuklah barisannya! Jawab: Un = n2 - 1 U1 = 12 - 1 = 1-1 = 0 U2 = 22 - 1 = 4-1 = 3 U3 = 32 - 1 = 9-1 = 8 U4 = 42 - 1 = 16-1=15 U5 = 52 - 1 = 25-1=24, dan seterusnya. Jadi barisan bilangan tersebut adalah 0, 3, 8, 15, 24,..........2. Jika Un = 5n - 3, tentukan suku-suku dari barisan itu dan bentuklah barisannya! Jawab: Un= 5n - 3 U1= 5(1) - 3= 5-1=2 U2= 5(2) - 3= 10-1=7 U3= 5(3) - 3= 15-1=12 U4= 5(4) - 3= 20-1=19 U5= 5(5) - 3= 25-1=24, dan seterusnya. Jadi barisan bilangan tersebut adalah 2, 7, 12, 17, 22,.......... Jika bilangan – bilangan diurutkan dengan aturan tertentu, maka akan diperolehsuatu barisan bilangan. Tiap-tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan disebutsuku dari barisan itu. Jika aturan suatu barisan telah diketahui, maka suku berikutnya daribarisan tersebut dapat ditentukan.Contoh 1 :1. 2, 6, 10, 14, . . . +4 +4 +4 Aturan pembentukannya adalah “ditambah 4” Dua suku berikutnya adalah 18 dan 222. 1, 2, 5, 10, . . . +1 +3 +5
  9. 9. Aturan pembentukannya adalah “ditambah bilangan ganjil berurutan” Dua suku berikutnya adalah 17 dan 263. 1, 1, 2, 3, 5, ... Aturan pembentukannya adalah “suku berikutnya adalah dengan menjumlahkan dua suku di depannya”. Dua suku berikutnya adalah 3 + 5 = 8 dan 5 + 8 = 13 Barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... disebut barisan Fibonacci. Suku ke-n dari suatu barisan bilangan dapat di tulis Un . Dengan demikian suku ke-1 dapat di tulis U1 dan suku ke-100 dapat ditulis U100 . a. Barisan dengan aturan di tambah bilangan yang sama. Jika aturan suatu barisan di tambah b, maka suku ke-n akan memuat b x n yaitu U n = b x n + .....atau U n = b x n -.... Contoh 2: 1) 5, 8, 11, 14,.... Karena aturannya di tambah 3, maka rumus suku ke-n memuat 3n, yaitu U1 = 5 = 3 x 1 + 2 ditentukan sendiri agar hasilnya sama dengan yang dimaksud U2 = 8 = 3 x 2 + 2 . Jadi Un = 3 x n + 2 = 3n + 2 2) 3, 6, 9, 12, . . . +3 +3 +3 U1 = 3 = 3 x 1 U3 = 9 = 3 x 3 U2 = 6 = 3 x 2 U4 = 12 = 3 x 4 Jadi suku ke-n = Un = 3 x n = 3n 3) 4, 8, 12 16, . . . +3 +3 +3 U1 = 4 = 4 x 1 U3 = 12 = 4 x 3 U2 = 8 = 4 x 2 U4 = 16 = 4 x 4 Jadi suku ke-n = Un = 3 x n = 3n
  10. 10. Dari contoh 2 dan 3 di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut. (i) jika aturan barisan ditambah dengan 3, maka rumus suku ke-n memuat 3 x n (ii) jika aturan barisan ditambah dengan 4, maka rumus suku ke-n memuat 4 x n Jika aturan suatu barisan ditambah dengan b, maka suku ke-n akan memuat b x n yaitu Un = b x n + ... atau Un = b x n - ...Contoh 3: 1) 5, 8, 11, 14,... +3 +3 +3 karena aturannya ditambah 3, maka rumus suku ke-n memuat 3n, yaitu U1 = 5 = 3 x 1 + 2 ditentukan sendiri agar hasilnya sama seperti barisan yang dimaksud U2 = 8 = 3 x 2 + 2 Jadi, Un = 3 x n + 2 = 3n + 2 Gunakan rumus di atas untuk mengecek suku ke-4, maka: Un = 3n + 2 U4 = 3 x 4 + 2 = 14 sesuai dengan suku ke-4 pada barisan di atas b. Barisan dengan aturan dikali atau di pangkatkan Untuk menentukan suku ke-n barisan seperti ini, maka harus di tentukan hubungan antara masing-masing suku dengan bentuk bilangan berpangkat. Contoh 4: 1) 2, 4, 8, 16,.... U1 = 2 = 21 U2 = 4 = 22 , U3 = 8 = 23 , U4 = 16 = 24 Bilangan pokok selalu 2 dan pangkat sesuai dengan urutan suku, maka Un = 2n.
  11. 11. 2. Barisan dan Deret Aritmatika Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah n suku pertama Barisan aritmatika adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang konstan. a, a + b, a + 2b, a + 3b ⋅⋅⋅ adalah barisan aritmatika dengan suku pertama = a dan beda = b. Suku ke-n, Un, dirumuskan dengan : Un = a + (n − 1)b Jumlah n bilangan pertama, Sn, dirumuskan dengan Sn = (2a + (n − 1)b) = (a + Un)Contoh 5 :Diketahui barisan 2, 5, 8, 11, ⋅⋅⋅. Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama.Solusi : 2, 5, 8, 11, ⋅⋅⋅ adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3. Suku ke-10, U10 = 2 + (10 − 1) ⋅ 3 = 29 Jumlah 4 suku pertama = (2(2) +(4-1)3) = 26Contoh 6: 2Sebuah barisan jumlah n buah suku pertama dirumuskan dengan Sn = 3n − 15n, maka U3 =⋅⋅⋅⋅Solusi : Perhatikan bahwa jika kita mengurangkan jumlah n suku pertama, Sn dengan jumlah n − 1 suku pertama, Sn-1, maka akan didapatkan suku ke-n, Un. Jadi, Un = Sn − Sn-1. 2 2 Un = (3n − 15n) − (3(n − 1) − 15(n − 1)) 2 2 Un = 3n − 15n − 3n + 6n − 3 + 15n − 15 = 6n − 18 Maka U3 = 6(3) − 18 = 0 Cara lain adalah dengan langsung menghitung U3 = S3 − S2.
  12. 12. Suku Tengah Misalkan Ut menyatakan suku tengah dari suatu barisan aritmatika maka : Ut = dengan n merupakan bilangan ganjil Contoh 7 : Diketahui 3, ⋅⋅⋅, 13, 15, ⋅⋅⋅ adalah barisan aritmatika. Tentukan suku tengah barisan tersebut. Solusi : 3, ⋅⋅⋅, 13, 15 adalah barisan aritmatika. Maka U1 = a = 3 dan Un = 15. Maka suku tengah, Ut = 21(3 + 15) = 9 Sisipan Misalkan setiap dua bilangan berurutan pada barisan aritmatika disisipi k buah bilangan namun tetap membentuk barisan aritmatika. Maka beda barisan tersebut akan memiliki perubahan dengan suku pertama tetap. Misalkan bB = beda barisan yang baru dan bL = beda barisan yang lama. Hubungan keduanya adalah bB =Contoh 8: Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 12, 22, 32, 42. ⋅⋅⋅⋅ disisipi sebanyak 4 bilangan. Tentukan suku ke-100 dari barisan yang baru. Solusi : Beda barisan yang baru adalah bB = =2 Suku pertama, a = 2. U100 = a + 99bB = 2 + 99 ⋅ 2 = 200 Suku ke-100 = 200. Jadi, suku ke-100 barisan tersebut adalah 200.
  13. 13. 3. Barisan dan Deret Geometri a. Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah n suku pertama Barisan geometri adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki perbandingan yang konstan. Misalkan a, ar, ar, ⋅⋅⋅ adalah barisan geometri dengan suku pertama = a dan rasio = r maka : Suku ke-n, Un, dirumuskan dengan : Un = a ⋅ rn-1 Jumlah n bilangan pertama, Sn, dirumuskan dengan : Sn = Contoh 9 : Diketahui barisan 2,6,18,54,... Tentukan suku ke-5 dan jumlah 4 suku pertama barisan tersebut. Solusi : 2, 6, 18, 54, Suku ke-5, U5 = 2 ⋅ 35-1 = 162 Jumlah 4 suku pertama = = 80 Contoh 10 : Pada barisan geometri diketahui U8 = 36 dan S7 = 52, maka S8 = ⋅⋅⋅⋅⋅ Solusi : U8 = 36 dan S7 = 52 Pada barisan aritmatika maupun geometri berlaku Sn − Sn−1 = Un. S8 − S7 = U8 S8 = 52 + 36 = 88. Suku Tengah Misalkan Ut menyatakan suku tengah dari suatu barisan geometri maka : Ut 2 = U1.Un dengan n merupakan bilangan ganjil Contoh 11: Diketahui 2, 6, 18, 54, 162, ⋅⋅⋅⋅ adalah barisan geometri. Tentukan suku
  14. 14. tengah dari barisan tersebut. Solusi : 2, 6, 18, 54, 162 adalah barisan geometri. Maka U1 = a = 2 dan Un = 162. Maka suku tengah, = 18 Sisipan Misalkan setiap dua bilangan berurutan pada barisan geometri disisipi k buah bilangan namun tetap membentuk barisan geometri. Maka rasio barisan tersebut akan memiliki perubahan dengan suku pertama tetap. Misalkan rB = rasio barisan yang baru dan rL = rasio barisan yang lama. Hubungan keduanya adalah rB = Contoh 12 : Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 32, 512, 8192, ⋅⋅⋅⋅ disisipi sebanyak 3 bilangan. Tentukan suku ke-7 dari barisan yang baru. rB = =2 Suku pertama, a=2 6 6 U7 = ar = (2)(2 ) = 128 Suku ke-7 = 128.4. Barisan dan Deret Lainnya serta Bentuk Tak Hingga Suatu barisan tidak harus masuk ke dalam salah satu dari dua bentuk di atas. Sebagai contoh adalah arisan yang berbentuk 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ⋅⋅⋅ yang merupakan penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya. Untuk menyelesaikan persoalan yang ditanyakan memerlukan pengetahuan terhadap pola dari barisan tersebut. 2 2 2 2 Beberapa contoh rumus deret lainnya : 1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n = 3 3 3 3 1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n = ( )2
  15. 15. BAB III Latihan dan PengayaanSoal Latihan : 1. Jika Un = 7n - 5, tentukan suku-suku dari barisan itu dan bentuklah barisannya! 2 2. Sebuah barisan jumlah n buah suku pertama dirumuskan dengan Sn = 2n − 7n, maka U5 =⋅⋅⋅⋅ 3. Diketahui 7, ⋅⋅⋅, 28, 35, ⋅⋅⋅ adalah barisan aritmatika. Tentukan suku tengah barisan tersebut! 4. Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 8, 14, 20, 26. ⋅⋅⋅⋅ disisipi sebanyak 3 bilangan. Tentukan suku ke-99 dari barisan yang baru! 5. Diketahui barisan 3,9,27,81,... Tentukan suku ke-7 dan jumlah 5 suku pertama barisan tersebut. 6. Diketahui 4, 8, 16, 32, 64, ⋅⋅⋅⋅ adalah barisan geometri. Tentukan suku tengah dari barisan tersebut. 7. Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 7,28, 112, 448, ⋅⋅⋅⋅disisipi sebanyak 3 bilangan. Tentukan suku ke-8 dari barisan yang baru.Soal Pengayaan : 1. (OSK 2006) Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5. Suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama adalah suku ke ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2. Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi hipotenusa sama dengan 20, maka keliling segitiga tersebut adalah ⋅⋅⋅⋅
  16. 16. 2.Kunci Jawaban Soal Pengayaan : 1. u25 = 3(u5), maka a + 24b = 3(a + 4b) sehingga a = 6b un = a + (n − 1)b = 2u1 = 2a 6b + (n − 1)b = 2(6b) n=7 Suku tersebut adalah suku ke-7 2. Karena sisi terpanjang segitiga sama dengan 20 dan membentuk barisan aritmatika maka sisi-sisi segitiga tersebut dapat dimisalkan dengan 20, 20 − x dan 20 − 2x dengan x adalah bilangan positif. Karena ketiga sisi membentuk segitiga siku-siku maka 2 2 2 (20 − 2x) + (20 − x) = 20 2 2 400 − 80x + 4x + 400 − 40x + x = 400 2 5x − 120x + 400 = 0 (x − 4)(x − 20) = 0 x = 4 atau x = 20 Jika x = 20 maka sisi-sisi segitiga tersebut adalah 20, 0 dan −20 yang tidak mungkin merupakan sisi-sisi segitiga. Jika x = 4 maka sisi-sisi segitiga tersebut adalah 20, 16 dan 12 yang membentuk sisi-sisi segitiga siku-siku. Jadi, keliling segitiga tersebut = 20 + 16 + 12 = 48.
  17. 17. Daftar PustakaCholik. M, A. 2002. Matematika untuk SMA kelas 3. Jakarta : ErlanggaTim Penyusun Matematika. 1996. Matematika untuk SMU Kelas 3. Surabaya : Kendang SariHermanto, Eddy. Diktat Pembinaan Olimpiade Matematika Tahun Pelajaran 2010-2011.Bengkulu : SMA Negeri 5 Bengkulu

×