Lugares geométricos. Cónicas Actividad realizada por ADIL ZIANI (Matemáticas I, 1º Bach CCNN-Tecnol)
Una superficie cónica se obtiene al girar unarecta g ( generatriz) alrededor de otra recta e(eje), a la que corta en un pu...
1. Elipse Elipse, una de las cónicas. Se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje ...
Demostración gráfica de que d(P,F)+d(P,F’)=k
Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:• Eje focal: recta que contiene a los focos• A...
ECUACIÓN DE LA ELIPSE (Centro (0,0) :                                       d ( P, F ) d ( P, F  ) k             d ( P, F ...
Desarrollo de la ecuación
Excentricidad de la elipse:  e = c/a ; si fijamos los vértices A y A’, es decir, fijamos la coordenada “a”, cuando laexce...
2. Hipérbola    Se trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene al    cortar una superficie cónica de...
Propiedades de la hipérbola:Si cogemos el vértice A como un punto perteneciente a la hipérbola, entonces secumple que: |d...
ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA (Centro(0,0)):                                      d ( P, F ) d ( P, F  )     kP ( x, y )       ...
Desarrollo de la ecuación
Excentricidad de la hipérbola:e = c/a ; en la excentricidad de una hipérbola, “c” es siempre mayor que “a” y por tanto  e...
3. CircunferenciaCircunferencia, en geometría, curva plana cerrada en la que cada uno de suspuntos equidista de un punto f...
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA ( C(a , b)) :                                           d ( P, C ) rP ( x, y )              ...
Desarrollo de la ecuación
4. Parábola:Una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar unasuperficie cónica de eje...
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA (Vértice (0,0)):                                                         d ( P, F ) d ( P, s)P ( x...
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Cónicas

  1. 1. Lugares geométricos. Cónicas Actividad realizada por ADIL ZIANI (Matemáticas I, 1º Bach CCNN-Tecnol)
  2. 2. Una superficie cónica se obtiene al girar unarecta g ( generatriz) alrededor de otra recta e(eje), a la que corta en un punto V (vértice)Se denomina sección cónica a la curvaintersección de un cono con un plano queno pasa por su vértice. Las superficiescónicas pueden ser de distinto tipodependiendo de la inclinación del plano“que corta a la superficie cónica”, porejemplo: circunferencia, elipse, parábola ohipérbola.
  3. 3. 1. Elipse Elipse, una de las cónicas. Se trata de una curva cerrada que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano, que no pasa por el vértice y que corta a “e” bajo un ángulo β mayor que α, pero menor de 90º (α < β < 90º). En la elipse se cumple que la suma de las distancias de cualquier punto perteneciente a la elipse a unos puntos fijos (focos), es constante. d(P,F)+d(P,F’)=k d1 + d2 = k.
  4. 4. Demostración gráfica de que d(P,F)+d(P,F’)=k
  5. 5. Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:• Eje focal: recta que contiene a los focos• A,A’,B y B’ son los vértices de la elipse• El segmento AA’ es el eje mayor• El segmento BB’ es el eje menor• El punto O es el centro. .d(F,F’)=2c .d(A,A’)=2a .d(B,B’)=2b Propiedades de la elipse: Prop 1: Si cogemos el vértice A como un punto perteneciente a la elipse, entones se cumple que: d(A,F)+d(A,F’)=k  d(A,F)+d(A,F’)= d(A,A’)=2a Entonces obtenemos que k=2a Prop 2: También podemos hacer lo mismo con el vértice B, entonces: d(B,F)+d(B,F’)=k  d(B,F)+d(B,F’)=2a Como d(B,F)=d(B,F’); obtenemos que: d(B,F)=a , d(B,F’)=a Así obtenemos una propiedad fundamental de la elipse y es:  a2 = b2 + c2
  6. 6. ECUACIÓN DE LA ELIPSE (Centro (0,0) : d ( P, F ) d ( P, F ) k d ( P, F ) PFP ( x, y )F (c,0) d ( P, F ) PF ( x c) 2 y2 ( x c) 2 y2 2aF ( c,0) k 2a ( prop 1) a2 b 2 c 2 ( prop 2) desarrollando la ecuación...... b2 x2 a2 y2 a 2b 2 dividiendo por a 2b 2 : x2 y2 1 a2 b2 Ecuación de la elipse
  7. 7. Desarrollo de la ecuación
  8. 8. Excentricidad de la elipse: e = c/a ; si fijamos los vértices A y A’, es decir, fijamos la coordenada “a”, cuando laexcentricidad se acerca a 1, eso quiere decir, que su gráfica es más cerrada porque losfocos están más separados, y si el valor de la excentricidad se acerca al 0, eso quieredecir, que la gráfica de la elipse irá tomando forma de una circunferencia dado que losfocos están menos separados.
  9. 9. 2. Hipérbola Se trata de una curva abierta, formada por dos ramas, que se obtiene al cortar una superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano que no pasa por el vértice y que corta a e con un ángulo β menor que α. La hipérbola se define como un lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. |d(P,F)-d(P,F’)|=k Elementos de la hipérbola: Vértices: A y A’ A(a,0); A’(-a,0) Covértices: B y B’ B(0,b); B’(0,-b) Eje transversal: recta que contiene los focos Eje conjugado: recta que contiene a los covértices Centro: intersección de los ejes transversal y conjugado Asíntotas: recta a las que la curva se acerca cada vez más en los extremos sin tener intersección.
  10. 10. Propiedades de la hipérbola:Si cogemos el vértice A como un punto perteneciente a la hipérbola, entonces secumple que: |d(A,F)-d(A,F’)|=kd(A,F’)-d(A,F)=k  d(A,F’)-d(A,F)=d(A,A’)d(A,F’)-d(A,F)=2a, Entonces llegamos a laconclusión de que k=2aOtra propiedad de la hipérbola es lasiguiente: si trazamos una circunferenciade centro “a” y radio “c”, obtenemos loscovértices B y B’, y obtenemos que: b2 = c2 – a2
  11. 11. ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA (Centro(0,0)): d ( P, F ) d ( P, F ) kP ( x, y ) d ( P, F ) PFF (c,0)F ( c,0) d ( P, F ) PF ( x c) 2 y2 ( x c) 2 y2 2a k 2a ( prop 1) b2 a 2 c 2 ( prop 2) desarrollando la ecuación...... b2 x2 a 2 y 2 a 2b 2 dividiendo por a 2b 2 : x2 y2 1 a2 b2 Ecuación de la hipérbola
  12. 12. Desarrollo de la ecuación
  13. 13. Excentricidad de la hipérbola:e = c/a ; en la excentricidad de una hipérbola, “c” es siempre mayor que “a” y por tanto e > 1. Cuando el valor de “e” se acerca al 1 eso quiere decir que su gráfica es muy cerrada y cuando el valor de “e” se aleja del 1, su gráfica se hace más abierta
  14. 14. 3. CircunferenciaCircunferencia, en geometría, curva plana cerrada en la que cada uno de suspuntos equidista de un punto fijo, llamado centro. d(P,C)=rdonde P, es un punto cualesquiera perteneciente a la circunferenciaC, es el centro de la circunferenciar, es el radio de la circunferencia. Elementos de la circunferencia
  15. 15. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA ( C(a , b)) : d ( P, C ) rP ( x, y ) d ( P, C ) ( x a ) 2 ( y b) 2 rC ( a, b) desarrollando la ecuación...... x 2 a 2 2ax y 2 b 2 2by r2 llamando: A 2a, B 2b, C a 2 b2 r 2 x2 y 2 Ax By C 0 Ecuación general de la circunferencia
  16. 16. Desarrollo de la ecuación
  17. 17. 4. Parábola:Una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar unasuperficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano P que no pasa por el vértice y quecorta a e bajo el mismo ángulo α. La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. d(P,F)=d(P,s) Elementos de la parábola La directriz que es la recta s. El vértice V. El foco F. Se llama eje de la parábola a la recta perpendicular al eje que pasa por el foco. La distancia entre el foco y la directriz es el parámetro p
  18. 18. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA (Vértice (0,0)): d ( P, F ) d ( P, s)P ( x, y ) d ( P, F ) PF ( x c) 2 y2 p pF 0, p ( x c) 2 y2 y 2 d ( P, s ) y 2 2 desarrollando la ecuación...... x2 py py x2 2 py Ecuación de la parábola
  19. 19. Desarrollo de la ecuación
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