Guia Mate 8°

página Presentación y jornalización 3 Planificaciones didácticas 4 Unidad 1. Trabajemos con números reales Guía N° 1 Raíz cuadrada x 28 Unidad 2. Operemos con polinomios Guía N° 2. Cocientes notables 29 Unidad 3. Midamos y construyamos con triángulos Guía N° 3. Triángulos, según sus lados y sus ángulos 32 Guía N° 4. Teorema: “La suma de los ángulos exteriores de un triangulo” 34 Guía N° 5. Rectas y puntos notables de un triángulo 35 Guía N° 6. Criterios de igualdad de triángulos 38 Guía N° 7. Semejanza de triángulos 40 Guía N° 8. Teorema de Pitágoras 42 Unidad 4. Aprendamos a factorizar Unidad 5. Trabajemos con áreas de figuras planas Guía N° 9. Áreas de regiones planas 43 Guía N° 10. Fórmula de un polígono regular 46 Guía N° 11. Elementos de un sector circular y de una corona circular 47 Guía N° 12. Área total de un cubo 48 Unidad 6. Operemos fracciones algebraicas Guía N° 13. Máximo común divisor 49 Guía N° 14. Fracción algebraica 51 Unidad 7. Calculemos el área y el volumen de cuerpos geométricos Guía N° 15. El prisma recto 52 Guía N° 16. La pirámide regular hasta seis lados 54 Unidad 8. Utilicemos la información Guía N° 17. Estadística. Recopilación de la información 55 Unidad 9. Trabajemos con ecuaciones Guía N° 18. Ecuaciones 57 Guía N° 19. Fracciones de primer grado con denominadores compuestos 59 Guía N° 20. Gráfica de una ecuación lineal 60

PRESENTACIÓN Editorial Santillana, ante la disposición ministerial de que los programas de estudio actuales deben contener el 80% de los contenidos de los programas de estudio anteriores, decide realizar el análisis de aquellos contenidos desarrollados en los textos escolares “Competentes”, los cuales fueron creados desde el enfoque por competencias y el modelo constructivista. Con este fin, Editorial Santillana decide crear una guía complementaria de estudio con el propósito de apoyar, de forma responsable, el trabajo que realiza el personal docente que actualmente utiliza nuestros textos escolares. Esta iniciativa pedagógica nace con la intención de cubrir aquellos contenidos que establece la actual propuesta curricular del MINED (los programas de estudio) y con ello volver vigentes nuestros textos escolares para facilitarle al personal docente la búsqueda de información y procesos metodológicos requeridos en dicho programa. De igual forma, Santillana aprovecha la oportunidad para brindarles una propuesta de: Jornalización para cada asignatura tomando en consideración: el tiempo, las unidades, los contenidos y los sistemas de evaluación trimestral que indica el MINED. La planificación del proceso de enseñanza-aprendizaje (unidades didácticas) basada en competencias: contenidos conceptuales, procedimentales, actitudinales, indicadores de logro, orientaciones metodológicas y orientaciones de evaluación, mediante la creación de actividades integradoras. El desarrollo de nuevos contenidos que nuestros textos no cubren, que se desarrollan de forma parcial o que necesitan ampliación. Con este esfuerzo editorial, garantizamos el cumplimiento del programa de estudio. 1) Jornalización (según calendario 2009) Nº de Total de Total de Nº de horas Fecha de Fecha de Evaluación horas horas Unidades unidades clase por inicio finalización trimestral anuales semanales unidad 1. Trabajemos con números 15 12 de enero 30 de enero 200 5 9 reales 30 2. Operemos con polinomios 2 de febrero 13 de marzo 30 de marzo 3. Midamos y construyamos al 3 de abril 15 16 de febrero 03 de abril con triángulos 30 4. Aprendamos a factorizar 15 de abril 26 de mayo 5. Trabajemos con áreas de 25 27 de mayo 01 de julio figuras planas 6. Operemos fracciones 25 al 31 de 25 2 de julio 10 de agosto algebraicas agosto 7. Calculemos el área y el 15 volumen de cuerpos 11 agosto 31 de agosto geométricos 15 8. Utilicemos la información 1 de septiembre 22 de septiembre 26 al 30 de 9. Trabajemos con octubre 30 23 septiembre 30 de octubre ecuaciones 3

Planificación de unidades didácticas Unidad 1. Trabajemos con números reales Competencias: Tiempo: 15 horas Razonamiento lógico matemático. Comunicación con lenguaje matemático. Aplicación de la matemática al entorno. Objetivo de unidad: Realizar operaciones con los números reales y la raíz cuadrada aplicando sus propiedades para solucionar problemas de la vida diaria, valorando el aporte de los demás. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Números irracionales: - Representación grafica de números irracionales en la - Seguridad al graficar números irracionales en la recta gráfica recta numérica. numérica. 46-47 - Resolución de ejercicios y problemas aplicando - Perseverancia en la realización de ejercicios y números irracionales. problemas. - Números reales: - Ubicación gráfica de los números reales en la recta - Precisión al graficar números reales en la recta 48 representación geométrica numérica. numérica. - Operaciones: - Resolución de problemas aplicando operaciones - Seguridad y orden al resolver operaciones combinadas suma, resta, multiplicación y combinadas y signos de agrupación de números de números reales. 57-61- 96 división reales. signos de agrupación - Resolución de problemas de aplicación de raíces - Valora la utilidad de la raíz cuadrada. Guía de - Raíz cuadrada x . cuadradas. - Seguridad, orden y precisión al obtener la raíz contenidos N°1 cuadrada. Sugerencias Metodológicas: Defina el conjunto de los números reales como la unión de los números racionales con el conjunto de los números irracionales. Pida que solucionen ejercicios de suma, resta, multiplicación y división. Indique que practiquen los pasos para calcular la raíz cuadrada. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 1.1. Utiliza con seguridad los números irracionales en problemas de aplicación. Diagnóstica: resolución de la sección “Recuerda y practica” págs. 44 y 45. 1.2. Resuelve con seguridad, orden y precisión la raíz cuadrada en problemas Formativa: observaciones del grado de precisión y dominio que muestre en la de aplicación. resolución de los ejercicios, diagnóstico y de refuerzo. Sumativa: - Actividad individual: resolver los ejercicios de las págs. 57 – 58 – 59 – 61. Criterios: Orden y aseo 20%. 4

Constancia del proceso 60 %. Precisión en las respuestas 10%. Puntualidad 10%. - Actividad grupal: realizar actividad de refuerzo de págs. 52 – 53 – 64 – 65. Criterios: Orden y aseo 10%. Aportes al trabajo en equipo 20%. Seguridad en el desarrollo de las resoluciones y respuestas 60%. Perseverancia y puntualidad en la entrega del reporte 10%. Criterios de evaluación: Seguridad Perseverancia Precisión. 5

Planificación de unidades didácticas Unidad 2. Operemos con polinomios Competencias: Tiempo: 30horas Razonamiento lógico matemático. Comunicación con lenguaje matemático. Aplicación de la matemática al entorno. Objetivo de unidad: Interpretar la realidad valorando y utilizando el lenguaje algebraico de los polinomios, así como proponer soluciones a problemáticas económicas y sociales, a través de los productos y cocientes notables. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Polinomios: - Identificación del grado absoluto y relativo en - Seguridad al identificar y explicar el grado grado absoluto y relativo polinomios. absoluto y relativo de un polinomio. 78-80 valor numérico - Resolución de problemas determinando el valor - Confianza y precisión al resolver problemas numérico de polinomios. de aplicación del valor numérico. - Suma y resta. - Resolución de sumas y restas de polinomios con - Orden y seguridad al resolver el ejercicio de signos de agrupación. suma y resta de polinomios. - Resolución de problemas aplicando suma y resta - Seguridad al introducir o suprimir signos de 92-95 de polinomios. agrupación en la suma y resta de polinomios. - Potencia de exponentes enteros. - Deducción y utilización de las propiedades de las - Confianza y seguridad al deducir y utilizar potencias enteras. las propiedades de los exponentes. 96-97 - Resolución de problemas aplicando las propiedades de las potencias enteras. - Multiplicación de polinomios. - Realización de multiplicaciones de: polinomios por - Seguridad y confianza al resolver monomios, polinomios por polinomios. problemas aplicando la multiplicación de 105-106 - Resolución de problemas aplicando la polinomios. multiplicación de polinomios. - Productos notables. - Deducción, explicación y aplicación del cuadrado - Confianza y seguridad en la deducción, Cuadrado de la suma de dos términos: de un binomio y del cubo de un binomio. demostración y aplicación del cuadrado de (a+b)2 = a2+2ab+b2 - Resolución de problemas aplicando el cuadrado de un binomio. Cuadrado de la diferencia de dos un binomio y el cubo de un binomio. - Seguridad e interés al resolver problemas términos: - Deducción, explicación y aplicación del producto de aplicando el cubo de un binomio. 107-109 (a-b)2 = a2-2ab+b2 la suma de dos términos por su diferencia. - Resolución de problemas aplicando la suma Cubo de la suma de dos términos: - Resolución de problemas aplicando la suma por la por la diferencia de dos términos. (m+n)3=m3+3m2n+3mn2+n3 diferencia de dos términos. 6

Cubo de la diferencia de dos términos: (m-n)3= m3-3m2n+3mn2-n3 Producto de la suma de dos términos por su diferencia: (a+b) (a-b) = a2-b2 - Division de polinomios. - Aplicación de las propiedades de las potencias en - Seguridad al utilizar y explicar las la división de polinomios entre monomios y de propiedades de potencia en la división de polinomios entre polinomios. polinomios. 112-113 - Resolución de problemas de aplicación usando la - Colabora con sus compañeros en la división de polinomios. solución de problemas aplicando la división de polinomios. - Division sintética. - Explicación, demostración y aplicación de la - Aplica con seguridad y perseverancia la división sintética. división sintética. 114 - Resolución de problemas utilizando la división sintética. - Cocientes notables: - Determinación, explicación, aplicación y solución - Seguridad y confianza al resolver Cociente de la diferencia de los de problemas del cociente de la diferencia de los problemas aplicando cocientes notables. cuadrados de dos cantidades entre la cuadrados de dos cantidades entre la suma o suma o la diferencia de dichas diferencia de dichas cantidades. cantidades: - Determinación, explicación, aplicación y solución a2 – b2/ a-b = a+b de problemas del cociente de la suma o diferencia a2-b2/a+b = a-b de los cubos de dos cantidades entre la suma o 115 Cociente de la suma o diferencia de los diferencia de dichas cantidades. cubos de dos cantidades entre la suma o - Deducción, explicación, aplicación y resolución de diferencia de dichas cantidades: problemas del cociente de la suma o diferencia de Guía de contenidos a3+b3/ a+b = a2-ab+b2 potencias iguales de dos cantidades entre la suma N°2 a3-b3/a-b = a2+ab+b2 o diferencia de las cantidades. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades: am+bm/ a+b = nunca es exacto si m am+bm/a-b = es par Sugerencias Metodológicas: Ilustre la sustitución de las letras de una expresión algebraica por un valor numérico específico para obtener su valor. Practicarlo resolviendo los ejercicios de la página 80. Explique cómo simplificar una expresión por medio de sumas y restas de términos semejantes. 7

Construya reglas para resolver productos y cocientes notables. Enseñe cómo simplificar divisiones empleando el método de división sintética. Sugerencias Metodológicas: Actividades de evaluación: 2.1. Resuelve problemas aplicando el valor numérico con confianza. Diagnóstica: resolución de la sección “Recuerda y practica” págs. 74 y 75. 2.2. Resuelve con seguridad sumas y restas de polinomios que contienen Formativa: observación del orden y seguridad al resolver diferentes ejercicios y signos de agrupación. el grado de precisión en la respuesta. Se dará atención y seguimiento al grado 2.3. Demuestra confianza al resolver problemas aplicando la multiplicación y/o de colaboración y perseverancia que brinden al trabajo en equipo. división de polinomios. Sumativa: 2.4. Demuestra los productos y/o cocientes notables con seguridad. - Actividad individual: resolución de páginas 74 y 75. 2.5. Demuestra perseverancia en la solución de problemas al utilizar la división Criterios: sintética. Orden y aseo 20%. Proceso escrito 50%. Precisión en las respuestas 10%. Perseverancia en la solución completa de aplicaciones 10%. Puntualidad en la entrega 10%. - Actividad grupal: efectuar actividades de refuerzo págs. 101,119 y 120; reunidos en equipos de trabajo. Socializar posteriormente los resultados. Criterios: Orden y aseo 10%. Colaboración en el trabajo de equipo 20%. Seguridad y calidad de desarrollo 60%. Perseverancia y puntualidad en la entrega del reporte 10%. Criterios de evaluación: Seguridad Confianza Colaboración Perseverancia 8

Planificación de unidades didácticas Unidad 3. Midamos y construyamos con triángulos Competencias: Tiempo: 15 horas Razonamiento lógico matemático. Comunicación con lenguaje matemático. Aplicación de la matemática al entorno. Objetivo de unidad: Construir soluciones a situaciones problemáticas del aula y del entorno utilizando los triángulos con sus teoremas y rectas notables, valorando la opinión de los demás. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Triángulos: - Construcción, descripción y explicación de los - Precisión y aseo al construir triángulos. Guía de contenidos según sus lados y sus ángulos triángulos y clasificación de los mismos según sus - Seguridad al clasificar triángulos. N°3 lados y sus ángulos. - Teorema: “ La suma de los - Demostración y explicación del teorema. - Precisión al resolver problemas utilizando el ángulos exteriores de un triangulo - Resolución de problemas aplicando el teorema. teorema. Guía de contenidos es igual a 360º “. N°4 - Rectas y puntos notables de un - Trazo y construcción de las alturas, medianas, - Precisión en el trazo de las alturas, medianas, triángulo: mediatrices y bisectrices de un triángulo cualquiera. mediatrices y bisectrices de un triángulo. alturas - Determinación y explicación del ortocentro, - Seguridad en la determinación del ortocentro, ortocentro baricentro, circuncentro e incentro de un triángulo baricentro, circuncentro e incentro de un triángulo. medianas cualquiera. - Precisión en el trazo de la circunferencia inscrita. Guía de contenidos baricentro - Resolución de problemas utilizando las rectas N°5 mediatrices notables de los triángulos. circuncentro - Construcción de la circunferencia inscrita en un bisectrices triángulo cualquiera. incentro - Utilización y explicación de los criterios de igualdad - Criterios de igualdad de triángulos: - Seguridad al utilizar y explicar los criterios de lado-ángulo-lado de triángulos. igualdad de triángulos. Guía de contenidos ángulo-lado- ángulo - Resolución de problemas aplicando los criterios de N°6 igualdad de triángulos. - Semejanza de triángulos. - Deducción, utilización y explicación de la - Colabora con sus compañeros en la resolución de proporcionalidad en la semejanza de triángulos. problemas aplicando la semejanza de triángulos. Guía de contenidos - Resolución de problemas aplicando la semejanza de - Seguridad al demostrar, explicar y utilizar teoremas. N°7 triángulos. - Demostración, explicación y utilización del teorema. - Teorema: “Todo paralelo a un lado - Demostración, explicación y utilización del teorema - Cooperar con sus compañeros en la resolución de Guía de contenidos de un triángulo forma, con otros de Pitágoras. problemas aplicando el teorema de Pitágoras. N°8 9

dos lados, un triángulo semejante al primero”. - Resolución de problemas aplicando el teorema. Teorema de Pitágoras: c2 = a2+b2 Sugerencias Metodológicas: Indique que usen instrumentos de medición para construir triángulos sin restricción de medidas en sus lados. Pida que midan los ángulos internos de dichos triángulos con el transportador. Solicite que redacten el teorema de: “suma de ángulos internos” y “suma de ángulos externos” de todo triángulo. Pida que construyan y definan rectas notables de un triángulo. Defina criterios de igualdad de triángulos. Defina criterios de semejanza de triángulos. Enseñe cómo se demuestra el teorema de Pitágoras. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 3.1. Resuelve con precisión problemas aplicando teoremas de: suma de Diagnóstica: construcción de triángulos sin restricción de medidas en sus lados ángulos internos y suma de ángulos externos de todo triángulo. usando como instrumentos de medición: regla, compas y escuadras. 3.2. Construye con precisión las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices Formativa: observación del uso correcto de los diferentes instrumentos de de los lados de un triángulo cualesquiera. medición en la construcción de triángulos y medición de ángulos internos y 3.3. Determina con seguridad el ortocentro, baricentro, circuncentro e externos de todo triángulo. Se prestará atención a la solución de problemas a incentro de un triángulo cualquiera. través de trabajo cooperativo. 3.4. Construye con precisión la circunferencia inscrita en un triángulo Sumativa: cualquiera. - Actividad individual: construir diversos tipos de triángulos y trazar los 3.5. Determina y aplica con seguridad la igualdad y la semejanza de segmentos notables con precisión. triángulos, mostrando confianza. Localizar ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro en triángulos dados. 3.6. Resuelve problemas aplicando el teorema de Pitágoras, en cooperación Criterios: con sus compañeros. Precisión en la construcción de triángulos y segmentos notables 40%. Seguridad al determinar puntos notables de todo triángulo 30%. Orden y aseo 20%. Puntualidad en la entrega 10%. - Actividad grupal: resolver problemas aplicando el teorema de Pitágoras. 10

Criterios: Participación cooperativa 10%. Respeto a los aportes de compañeros 10%. Seguridad y calidad de desarrollo 60%. Orden y aseo 10%. Puntualidad en la entrega del reporte 10%. Criterios de evaluación: Precisión Aseo Seguridad. 11

Planificación de unidades didácticas Unidad 4. Aprendamos a factorizar Competencias: Tiempo: 30 horas Razonamiento lógico matemático. Comunicación con lenguaje matemático. Aplicación de la matemática al entorno. Objetivo de unidad: Utilizar la factorización algebraica como un medio para interpretar sus contextos escolares y sociales, y de esta manera proponer soluciones creativas a los problemas que en dichos ámbitos existan. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Factoreo: - Interpretación, explicación y aplicación de - Seguridad al determinar el factor común factor común monomio: factorización. monomio y polinomio de expresiones ab + ac + ad = a(b + c + d) - Determinación y aplicación del factor común algebraicas. polinomio: monomio y polinomio. 130-131 ac + cb + ad + bd = - Resolución de problemas utilizando factor c(a+b) + d(a+b) = común monomio y polinomio. (a+b) (c+d) - Trinomio cuadrado perfecto: - Resolución de ejercicios y problemas aplicando - Perseverancia en la solución de ejercicios y a2 + 2ab + b2 = (a+b)2 trinomio cuadrado perfecto. problemas aplicando trinomio cuadrado 132 perfecto. - Trinomios factorizables que no son trinomios - Aplicación de las reglas a un trinomio cualquiera - Perseverancia en la solución de ejercicios y cuadrados perfectos: para determinar si es factorizable. problemas aplicando trinomios cuadrados x2 + sx + px2 + sx + p = (x + a) . (x - Resolución de problemas aplicando la perfectos. 133-134 + b) descomposición de trinomios factorizables que si a + b = s y a . b = P no son trinomios cuadrados perfectos. - Diferencia de cuadrados: - Factorización y resolución de problemas - Certeza en la aplicación de la diferencia de a2 – b2 = (a + b) (a – b) aplicando la descomposición de expresiones cuadrados. algebraicas por diferencia de cuadrados. - Perseverancia al resolver problemas 135 aplicando la diferencia de cuadrado. Suma de cubos: - Aplicación de reglas para determinar si una - Seguridad en la aplicación de la a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) expresión algebraica es factorizable por suma o descomposición factorial por suma y/o diferencia de cubos. diferencia de cubos. 136 Diferencia de cubos: - Resolución de problemas aplicando la - Perseverancia en la resolución de problemas a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) descomposición por suma o diferencia de cubos. utilizando la suma o diferencia de cubos. - Trinomios cuadrados perfectos y diferencia de - Factorización de expresiones algebraicas - Seguridad y certeza en la aplicación de cuadrados combinados: aplicando la combinación del trinomio cuadrado reglas para factorizar por la combinación del 139 A2 + 2ab + b2 – c2 = (a + b)2 – c2 perfecto con la diferencia de cuadrados. trinomio cuadrado perfecto con la diferencia = - Resolución de problemas aplicando la de cuadrados. 12

[(a + b) + c][(a + b) – c ] combinación del trinomio cuadrado perfecto con la diferencia de cuadrados. - Factorización de polinomios empleando la - Factorización de expresiones algebraicas - Esmero en la aplicación de la factorización división sintética: aplicando la división sintética. empleando la división sintética. P = (x – a) (x – b) (x – c)…(x – n) - Resolución de problemas factorizando por - Perseverancia en la resolución de problemas división sintética. factorizando expresiones algebraicas por 140 división sintética. Sugerencias Metodológicas: Pida que ejecuten las actividades “Recuerda y practica” de las págs. 128-129 para retroalimentar contenidos básicos del factoreo. Solicite que construyan un cuadro con las características de cada caso de factoreo. Identifique, en expresiones algebraicas dadas, el caso de factoreo que debe usarse en su resolución. Propicie diversos problemas para aplicar la descomposición de expresiones algebraicas por diferentes casos de factoreo. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 4.1. Identifica, en expresiones algebraicas dadas, las características del tipo Diagnóstica: resolución de la sección “Recuerda y practica” págs. 128-129. de factoreo a usar en su simplificación. Formativa: observación de la seguridad con la que identifica en expresiones 4.2. Resuelve con seguridad problemas utilizando el caso de factoreo algebraicas las características del tipo de factoreo a usar en su simplificación y indicado. la perseverancia y certeza con la que resuelve problemas utilizando el caso de factoreo indicado. Sumativa: - Actividad individual: resolución de actividad “Recuerda y practica” págs. 128-129. - Resolver actividades de refuerzo de páginas 143 y 144. Criterios (para ambas actividades): Orden y aseo 10% Constancia del desarrollo 40%. Precisión en las respuestas 20%. Perseverancia en el desarrollo completo 20%. Puntualidad en entrega 10%. - Actividad grupal: reunidos en equipos de trabajo resolver actividades de ampliación de págs. 144 y 145. Criterios: Orden y aseo 10%. Seguridad en la resolución 20%. Aportes en el trabajo cooperativo 20%. Precisión en los procesos y respuestas 40%. Puntualidad en la entrega del reporte 10%. 13

Criterios de evaluación: Seguridad Perseverancia Certeza. 14

Planificación de unidades didácticas Unidad 5. Trabajemos con áreas de figuras planas Competencias: Tiempo: 25 horas Razonamiento lógico matemático. Comunicación con lenguaje matemático. Aplicación de la matemática al entorno. Objetivo de unidad: Aplicar el cálculo de superficies y volúmenes al aula y sus alrededores, a fin de buscar soluciones a las diversas problemáticas que puedan presentarse; valorando, además, la armonía y belleza geométrica que le rodea. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Áreas de regiones planas: - Deduce y utiliza fórmulas para calcular el área de - Precisión al deducir y utilizar la fórmula para triángulo figuras planas. encontrar el área de figuras geométricas. A= 1/2 b . h - Resolución de problemas utilizando la fórmula de - Esmero al solucionar problemas. cuadrado áreas de figuras geométricas. A= I2 rectángulo y romboide A= b . h Guía de contenidos rombo N°9 A= D . d/2 trapecio A= B+b/2 . h polígono regular A= p.a/2 círculo A= r2 - Fórmula de un polígono regular: - Construcción y descripción de polígonos regulares - Precisión y aseo al construir y describir polígonos pentágono desde cinco hasta 12 lados. regulares. hexágono - Determinación y utilización de las fórmulas para - Orden y seguridad al determinar y utilizar las heptágono calcular áreas de polígonos regulares. fórmulas para calcular áreas de polígonos regulares. octágono - Perseverancia al resolver problemas. nonágono Guía de contenidos decágono N°10 endecágono dodecágono - Fórmula A= nla/2. 15

- Elementos del polígono. - De un sector circular: - Representación gráfica y descripción de un sector - Precisión y aseo al graficar un sector circular y/o una A= r2n0 /360° circular y de una corona circular. corona circular. Guía de contenidos - De una corona circular: - Resolución de problemas aplicando la fórmula para - Perseverancia en la resolución de problemas N°11 A= (R2 – r2) encontrar el área de un sector circular y/o una aplicando la fórmula del área de un sector circular y/o corona circular. una corona circular. - Total de un cubo: - Cálculo del área de un cubo. - Interés por identificar y relacionar un ortoedro y un A= 6I2 - Resolución de problemas aplicando las fórmulas del paralelepípedo. - Lateral y total de un ortoedro: área lateral y total de un ortoedro. - Seguridad y confianza en si mismo para proponer A=2.a.b + 2.a.c + - Resolución de problemas aplicando las fórmulas de soluciones a problemas relacionados con el ortoedro. 2.b.c área de figuras compuestas. - Cooperar con sus compañeros en la búsqueda de la - Lateral: solución de los problemas sobre áreas de figuras Guía de contenidos A1= 2.a.b planas. N°12 A2= 2.b.c A3= 2.a.c - Figuras compuestas (de región poligonal). Sugerencias Metodológicas: Indique cómo trazar figuras planas como: triángulo, cuadrado, rectángulo, romboide, rombo, trapecio, polígono regular y círculo. Enseñe la manera para deducir fórmulas para encontrar el área de figuras geométricas. Pida que construyan sobre papel de color polígonos regulares desde cinco hasta 12 lados. Solicite que calculen las áreas lateral y total de un cubo. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 5.1. Resuelve con esmero problemas utilizando las fórmulas de áreas en Diagnóstica: clasificar diferentes tipos de figuras planas atendiendo al número figuras geométricas. de lados. 5.2. Resuelve con perseverancia problemas aplicando la fórmula para Formativa: observación del trazo de figuras planas regulares midiendo con encontrar el área de una corona o sector circular. precisión cada uno de sus lados; y construcción de polígonos regulares sobre 5.3. Resuelve problemas aplicando las fórmulas del área lateral y total de un papel de color mostrando habilidad en dicha ejecución. ortoedro, con seguridad y confianza. Sumativa: - Actividad individual: en forma individual, y usando instrumentos de medición, trazar figuras planas y polígonos regulares. Calcular el área de una variedad de figuras planas y polígonos regulares dados en una guía. Criterios: Precisión en los trazos de figuras planas 40%. Seguridad en el uso de fórmulas para calcular el área 40%. Orden y aseo 10%. 16

Puntualidad en la entrega 10%. - Actividad grupal: resolver problemas usando las fórmulas indicadas en el cálculo de áreas laterales y total de un ortoedro. Criterios: Perseverancia en la solución total de problemas 30%. Seguridad en el uso correcto de la fórmula 40%. Participación cooperativa 10%. Orden y aseo 10%. Puntualidad en la presentación del reporte 10%. Criterios de evaluación: Orden Seguridad Perseverancia Precisión Aseo. 17

Planificación de unidades didácticas Unidad 6. Operemos fracciones algebraicas competencias: Tiempo: 25 horas Razonamiento lógico matemático. Comunicación con lenguaje matemático. Aplicación de la matemática al entorno. Objetivo de unidad: Aplicar con seguridad las fracciones algebraicas y sus propiedades al reducir a términos más simples los resultados, solucionando así el problema de la vida diaria. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Mínimo común múltiplo: - Determinación del mínimo común múltiplo de - Perseverancia al determinar el mínimo común monomio expresiones algebraicas a partir de los números múltiplo de expresiones algebraicas a partir de polinomio enteros. números enteros. 154 – 155 – 156 - Resolución de problemas de aplicación del mínimo - Seguridad al solucionar problemas con el mínimo común múltiplo (monomio y polinomio). común múltiplo monomio y polinomio. - Máximo común divisor: - Determinación del máximo común divisor de - Seguridad al determinar el máximo común divisor monomios expresiones algebraicas a partir de números de expresiones algebraicas a partir de los números Guía de contenidos polinomios enteros. enteros. N°13 - Resolución de problemas aplicando el máximo - Perseverancia al resolver problemas aplicando el común divisor monomio y polinomio. máximo común divisor monomio y polinomio. - Fracción algebraica: - Simplificación de fracciones algebraicas. - Orden e interés al simplificar fracciones y resolver ax + by + c / - Resolución de problemas aplicando la simplificación problemas de aplicación. Guía de contenidos mx + ny + p de fracciones algebraicas. - Autonomía y confianza al determinar y explicar el N°14 Simplificación. - Determinación y explicación del valor numérico de valor numérico de una fracción algebraica. Valor numérico. una fracción algebraica. - Operaciones: - Multiplicación y división de fracciones algebraicas - Orden y aseo al efectuar operaciones de fracciones multiplicación con denominadores monomios y/o polinomios. algebraicas con denominadores monomios y/o a/b . c/d = ac/bd - Resolución de problemas utilizando la multiplicación polinomios. división y/o división de fracciones algebraicas. - Colabora con sus compañeros al resolver 162- 163 - 164 a/b ÷ c/d = ad/bc - Suma y resta de fracciones algebraicas con problemas utilizando operaciones combinadas de suma y resta denominadores monomios y/o polinomios. fracciones algebraicas. a/b ± c/d = ad ± bc / - Resolución de problemas utilizando la suma y resta bd de fracciones algebraicas. - Fracciones complejas. - Identificación y resolución de fracción algebraica - Seguridad e interés al identificar y resolver compleja. fracciones algebraicas complejas. - Resolución de problemas utilizando fracciones - Colabora con sus compañeros en la solución de 166 algebraicas complejas. problemas aplicando la simplificación de fracciones algebraicas complejas. 18

Sugerencias Metodológicas: Pida que efectúen actividades “Recuerda y practica” de las páginas 152-153 para explorar conocimientos sobre fracciones. Ilustre el uso del mínimo común múltiplo monomio y polinomio en la solución de fracciones algebraicas. Explique el uso del máximo común divisor monomio y polinomio en la solución de fracciones algebraicas. Indique que ejerciten la obtención del valor numérico de una expresión algebraica. Estimule la resolución de problemas utilizando multiplicación y/o división de fracciones algebraicas. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 6.1. Resuelve con perseverancia problemas de aplicación del mínimo común Diagnóstica: resolución de sección “Recuerda y practica” págs. 152 y 153. múltiplo y máximo común divisor monomio y polinomio. Formativa: determinación con autonomía y confianza el valor numérico de 6.2. Determina con autonomía y confianza el valor numérico de fracciones fracciones algebraica. Dar orientación en los pasos a seguir para sumar, algebraicas. restar, multiplicar o dividir fracciones algebraicas. 6.3. Multiplica y/o divide fracciones algebraicas con denominadores monomios Sumativa: y/o polinomios; con orden y aseo. - Actividad individual: elaborar individualmente cuadro resumen que contenga los pasos a seguir para sumar, restar, multiplicar o dividir fracciones algebraicas. Criterios: Contenido completo del cuadro resumen 40%. Orden y aseo 20%. Calidad de síntesis 30%. Puntualidad en la entrega 10%. - Actividad grupal: reunidos en parejas de trabajo resolver actividades de refuerzo de páginas 170 y 171. Criterios: Calidad de aportes al trabajo en equipo 40%. Interés en la solución total de la actividad 30%. Orden y aseo 20%. Puntualidad en la entrega del reporte 10%. Criterios de evaluación: Seguridad Perseverancia Interés Orden Aseo. 19

Planificación de unidades didácticas Unidad 7. Calculemos el área y el volumen de cuerpos Competencias: Tiempo: 15 horas geométricos Razonamiento lógico matemático. Comunicación con lenguaje matemático. Aplicación de la matemática al entorno. Objetivo de unidad: Utilizar el área y volumen de los cuerpos geométricos para proponer soluciones a situaciones problemáticas del aula, de su entorno social y familiar, valorando la opinión de los demás. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - La esfera: - Descripción y trazo de los elementos geométricos - Seguridad y precisión al trazar y describir los 217 diámetro que forman la esfera. elementos que forman la esfera. radio - Determinación y utilización de la fórmula del área y - Confianza al aplicar la fórmula del área y del centro volumen de la esfera. volumen de la esfera. cuerda - Resolución de problemas aplicando las fórmulas del - Coopera con sus compañeros al resolver área área y volumen de cuerpos esféricos. problemas sobre áreas y volúmenes de cuerpos A= 4 ·r2 esféricos. volumen V= 4/3 ·r3 - El cono: - Descripción y trazo de los elementos geométricos - Seguridad y precisión al trazar y describir los 219 generatriz que forman el cono. elementos que forman el cono. altura - Determinación y utilización de la fórmula del área y - Confianza al utilizar la fórmula del área y del eje volumen del cono. volumen del cono. área de la base - Resolución de problemas aplicando las fórmulas del - Valora la opinión de sus compañeros al resolver área área y volumen de cuerpos cónicos. problemas sobre áreas y volúmenes de cuerpos AT= ·r·g+ ·r2 cónicos. Al= ·r·g volumen V= 1/3 ·r2·h - El prisma recto: - Descripción y trazo de los elementos geométricos - Seguridad y precisión al trazar y describir los Guía de contenidos que forman el prisma recto. elementos que forman el prisma recto. N°15 caras - Determinación y utilización de l fórmula del área y - Confianza al utilizar la fórmula del área y del aristas volumen del prisma recto. volumen del prisma recto. vertices - Resolución de problemas aplicando las fórmulas del - Coopera con sus compañeros en la búsqueda de ángulos poliedros área y volumen del prisma recto. la solución de los problemas sobre área y volumen diagonales de cuerpos en forma de prisma recto. área A= 2lw+2lh+2wh 20

volumen V= lwh - La pirámide regular hasta seis lados: - Descripción y trazo de los elementos geométricos - Seguridad y precisión al trazar los elementos que Guía de contenidos caras que forman la pirámide regular hasta seis lados en forman la pirámide regular hasta seis lados en su N°16 vértices su base. base. aristas en su base - Determinación y utilización de l fórmula del área y - Confianza al utilizar la fórmula del área y del área volumen de la pirámide regular hasta seis lados en volumen de cuerpos en forma de pirámide regular. AT= A base + Alateral su base. - Coopera con sus compañeros en la búsqueda de volumen - Resolución de problemas aplicando las fórmulas del la solución de los problemas sobre área y volumen V= 1/3 A base · h área y volumen de la pirámide regular hasta seis de cuerpos en forma de pirámide regular. lados en su base. - El cilindro circular recto: - Descripción y trazo de los elementos geométricos - Seguridad y precisión al trazar y describir los 218 caras que forman el cilindro circular recto. elementos que forman el cilindro circular recto. vértices - Determinación y utilización de la fórmula del área y - Confianza al determinar y utilizar la fórmula del aristas volumen de un cilindro circular recto. área y del volumen del cilindro circular recto. alturas - Resolución de problemas utilizando las fórmulas del - Coopera con sus compañeros al resolver base área y volumen del cilindro circular recto. problemas aplicados; sobre el área y el volumen de área cuerpos en forma de cilindro circular recto. A= 2 ·r2+2 ·r·h volumen V= ·r2·h Sugerencias Metodológicas: Indique que efectúen las actividades sobre cuerpos geométricos de la página 215 como exploración de conocimientos previos. Pida que practiquen el uso de las fórmulas del área del volumen de cuerpos geométricos. Indicadores de logro: 7.1. Resuelve problemas de área y volumen de cuerpos geométricos, en Actividades de evaluación: colaboración con sus compañeros. Diagnóstica: resolución de la sección “Recuerda y practica”; págs. 214 y 215. 7.2. Describe y traza con seguridad y precisión los elementos geométricos de: Formativa: descripción y trazo seguro y preciso de los elementos geométricos la esfera, el cono, el prisma recto, la pirámide regular y el cilindro circular de: esfera, cono, prisma recto, pirámide regular y cilindro circular recto. Dar recto. asesoría en la resolución de problemas de área y volumen de cuerpos geométricos en trabajo cooperativo. Sumativa: - Actividad individual: construir cuerpos redondos especificando sus elementos. Calcular el área y el volumen de diferentes cuerpos geométricos trazados en taller de construcción. Criterios: Calidad de construcción 40%. 21

Orden y aseo 10%. Seguridad y confianza en el cálculo de áreas y volúmenes 40%. Puntualidad en la entrega 10%. - Actividad grupal: resolver actividades de refuerzo de la pág. 223. Criterios: Colaboración en el trabajo cooperativo 30%. Precisión en la solución de la actividad 40%. Orden y aseo 10%. Respeto a los aportes de compañeros 10%. Puntualidad en la entrega del reporte 10%. Criterios de evaluación: Confianza Colaboración Seguridad Precisión Cooperación. 22

Planificación de unidades didácticas Unidad 8. Utilicemos la información Competencias: Tiempo: 15 horas Razonamiento lógico matemático. Comunicación con lenguaje matemático. Aplicación de la matemática al entorno. Objetivo de unidad: Recolectar, organizar, graficar e interpretar la información del entorno a fin de ser utilizada en la toma de decisiones de interés personal y/o social, valorando con criticidad la opinión de los demás. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Estadística: - Descripción de población, censo, encuesta y - Confianza al describir términos estadísticos. población muestra. - Seguridad al diferenciar variables continuas de las censo - Diferenciación entre variable continua y variable discretas. encuesta discreta. - Respeto, orden y aseo al recolectar en forma muestra - Recolección de información estadística: primaria y directa información estadística. variable discreta secundaria. - Criticidad, orden y aseo al recolectar datos Guía de contenidos variable continua estadísticos de fuentes documentales. N°17 - Recopilación de la información: primaria (directa de campo). secundaria (bibliográfica). - Organización de la información. - Organización y presentación de los datos - Orden y aseo en la construcción de tablas de - Presentación de la información. recolectados en tablas de datos para variable distribución de datos recolectados. - Tabla de distribución de discreta y /o para variable continua. - Confianza, seguridad y precisión al determinar los frecuencias: - Determinación de: límites inferior y superior de clase, elementos de una tabla de distribución de - clase: rango, número de clases, ancho de clase, frecuencia frecuencias. xi absoluta, marca de clase o punto medio, frecuencia limites de clase: relativa y frecuencia acumulada. li-ls - Resolución de problemas utilizando la información de 10 – 11 – 12 – 13 rango: la tabla de distribución de datos para variable R = xM-xm continua. ancho de clase: i= (xM-xm) / (números de clase) frecuencia absoluta: Fi 23

marca de clase o PM = (li+ls)/ 2 frecuencia relativa Fr= Fi/n frecuencia acumulada: fa=fl+fi-1 - Gráficas: - Construcción y trazo del histograma y polígono de - Precisión y seguridad al trazar el histograma y histograma frecuencias. polígono de frecuencias. polígono de frecuencias - Resolución de problemas interpretando gráficas - Colabora con sus compañeros y valora con 14 estadísticas, histograma y polígono de frecuencias. criticidad sus aportes al resolver problemas interpretando gráficos estadísticos, histogramas y polígono de frecuencias. - Medidas de centralización. - Interpretación y explicación de las medidas de - Seguridad al interpretar medidas de tendencia Media aritmética tendencia central y sus características para variables central. (suma de los datos / discretas y continuas. - Cooperar con sus compañeros en la solución de 15 n) - Resolución de problemas aplicando la fórmula de la problemas donde se aplica la media aritmética. media aritmética. Sugerencias Metodológicas: Indique que simulen un censo poblacional al construir una boleta para recolectar información primaria. Defina conceptos estadísticos básicos de uso frecuente. Pida que organicen en tablas de distribución de frecuencias la información primaria recolectada. Pida que grafiquen e interpreten la información tabulada. Solicite que calculen valores promedios de diferentes series de datos proporcionados. Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 8.1. Recolecta información estadística. Diagnóstica: resolución de la sección “Recuerda y practica” páginas 8 y 9. 8.2. Construye tablas de distribución de datos para variables discretas y/o Formativa: orientación en la simulación del censo poblacional al construir una continuas con orden y aseo. boleta para recolectar información primaria. Dar orientación y seguimiento a la 8.3. Interpreta gráficos estadísticos. organización, representación grafica e interpretación de información 8.4. Resuelve, cooperando con sus compañeros, problemas aplicando la estadística. media aritmética. Sumativa: - Actividad grupal: recolectar información primaria organizados en equipos de trabajo. Organizar la información recolectada en tablas de frecuencia calculando rango, número de clases, límites de clase, ancho de clase, marca de clase, frecuencia absoluta, frecuencia relativa y frecuencia acumulada. Graficar e interpretar los datos tabulados. Criterios: Redacción de boleta censal 20%. Calidad de información primaria recolectada 20%. 24

Construcción de tablas de frecuencias 20%. Construcción e interpretación de gráficas 20%. Orden y aseo 10%. Puntualidad en la entrega 10%. - Actividad individual: calcular el valor promedio de la variable en estudio. Criterios: Seguridad y confianza al calcular valor promedio de la variable 40%. Orden y aseo 10%. Precisión en la interpretación de resultados 40%. Puntualidad en la entrega del trabajo 10%. Criterios de evaluación: Seguridad Criticidad Confianza Precisión Cooperación. 25

Planificación de unidades didácticas Unidad 9. Trabajemos con ecuaciones Competencias: Tiempo: 30 horas Razonamiento lógico matemático. Comunicación con lenguaje matemático. Aplicación de la matemática al entorno. Objetivo de unidad: Proponer alternativas de soluciones a problemáticas de índole escolar, económica y social, utilizando ecuaciones enteras y fraccionarias de primer grado. N° pág. Contenidos conceptuales Contenidos procedimentales Contenidos actitudinales Texto Santillana - Ecuaciones: - Interpretación y explicación de los elementos de las - Interés por determinar los elementos de las variables ecuaciones. ecuaciones. Guía de contenidos grado de la ecuación - Relación del lenguaje común con el lenguaje - Valoración del lenguaje algebraico al utilizarlo en la N°18 raíz algebraico en la construcción de ecuaciones de construcción de ecuaciones de primer grado. conjunto solución primer grado. - Enteras de primer grado con una - Construcción y solución de ecuaciones enteras de - Seguridad al construir y solucionar ecuaciones de incógnita, con y sin productos primer grado con una incógnita con y sin productos primer grado con una incógnita. indicados. indicados. - Colabora con sus compañeros en la solución de 184 - Resolución de problemas utilizando ecuaciones problemas utilizando ecuaciones de primer grado enteras de primer grado con una incógnita. con una incógnita. - Fraccionarias de primer grado con - Construcción y solución de las ecuaciones de primer - Confianza e interés por construir las ecuaciones de denominadores monomios. grado con una incógnita con denominadores primer grado con una incógnita con denominadores 188 monomios. monomios. - Fraccionarias de primer grado con - Construcción y solución de las ecuaciones - Confianza, interés y orden al construir y solucionar denominadores compuestos. fraccionarias con denominadores compuestos de ecuaciones de primer grado con denominadores primer grado con una incógnita. compuestos. Guía de contenidos - Resolución de problemas utilizando ecuaciones - Colabora en la solución de problemas utilizando N°19 fraccionarias de primer grado con una incógnita con ecuaciones fraccionarias de primer grado con una denominadores compuestos. incógnita. - Gráfica de una ecuación lineal. - Graficación de ecuaciones lineales. - Precisión y seguridad al graficar ecuaciones Guía de contenidos lineales. N°20 Sugerencias Metodológicas: Enseñe cómo identificar los elementos de una ecuación. Construya ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita con denominadores monomios y/o compuestos. Pida que solucionen ecuaciones fraccionarias de primer grado. Indique que resuelvan problemas. Solicite que grafiquen ecuaciones lineales. 26

Indicadores de logro: Actividades de evaluación: 9.1. Explica la relación y uso del lenguaje común con el lenguaje algebraico Diagnóstica: traducción de frases de lenguaje común a lenguaje algebraico y valorando su importancia en la construcción de ecuaciones de primer viceversa. grado. Formativa: verificación del interés por determinar los elementos de las 9.2. Resuelve problemas utilizando ecuaciones enteras y/o fraccionarias de ecuaciones. Dar orientación en la resolución de problemas utilizando ecuaciones primer grado con una incógnita; con denominadores monomios y/o de primer grado con una incógnita. Dirección en la graficación de ecuaciones compuestos. lineales. Sumativa: - Actividad grupal: transformar expresiones en lenguaje natural a expresiones algebraicas. Criterios: Precisión y seguridad en la traducción 40%. Aportes al trabajo en equipo 30%. Orden y aseo 20%. Puntualidad 10%. - Actividad individual: resolver una lista de ecuaciones propuestas. Detallar procesos de solución para ecuaciones enteras y/o fraccionarias. Criterios: Interés por resolver en forma completa la actividad 30%. Seguridad en los procesos de solución 40%. Orden y precisión de las respuestas 20%. Puntualidad en la entrega 10%. Criterios de evaluación: Interés Seguridad Orden Precisión Colaboración. 27

RAÍZ CUADRADA X Para encontrar la raíz cuadrada exacta e inexacta de cualquier PARA COMENZAR número entero se siguen estos pasos. Fíjate en el caso resuelto 1. Se forman períodos de dos cifras, de derecha y completa los restantes: a Izquierda. Se usa punto para separar cada Primer período período = 5, porque 52 = 25 porque 2. 3. , porque -9 Se halla la raíz cuadrada del primer período. , porque 3 La raíz más cercana a 12 es 3. Como 32 = 9, se resta el 9. , porque El residuo es 3. Residuo Raíz 3. 3. Junto al residuo se baja el siguiente período (16). -9 6 Se baja el punto, la ultima cifra y se duplica la 3.16 raíz. Residuo Doble de la raíz 4. 3. Se divide el residuo, sin la última cifra, -9 65 x 5 = 325 para el doble de la raíz (31/ 6=5). 3.16 64 x 4 = 256 Se escribe el 5 junto al doble de la raíz (6.5). Se multiplica 6.5 por 5. 5. 3.4 Al multiplicar 6.5 x 5 = 32.5, se observa -9 65 x 5 = 325 que 3.25 >3.16, por lo tanto no se puede 3.16 64 x 4 = 256 restar; se cambia el 5 por el 4 (este -25.6 número nunca será mayor que 9) 0.6 Se resta 3.16 2.56 = 0.60 Se pasa el 4 a la raíz. El resto es 0.60. 3. Determina las raíces cuadradas de 1. La raíz cuadrada de 105 es 10 con cada uno de los siguientes valores. resto igual a 5. Esto quiere decir que a. 105 = 10 10 + 5. Con base en este b. ejemplo, encuentra los términos a y b. c. a. 533 = a a + 4 = a2 + 4 d. b. a = (81)2 + 4 e. c. 115 = a2 + b d. 950 = a2 + b f. 2. Resuelve cada una de las raíces del 4. Utiliza la calculadora y extrae la raíz ejercicio anterior aplicando el respectivo cuadrada de los siguientes números algoritmo. Extrae raíces con dos cifras decimales. decimales. a. a. b. b. c. c. d. d. 28

COCIENTES NOTABLES Los cocientes notables son aquellos que resultan de divisiones exactas entre polinomios, las cuales presentan ciertas regularidades que permiten determinar un resultado sin efectuar las operaciones de rigor propias de una división. PARA COMENZAR 1. Cociente de la forma Encuentra el resultado de las divisiones. Al analizar el producto notable (x + a)(x - a) = x2 - a2 se puede concluir a. (x2 a2) ÷ (x a) que la expresión x2 - a2 es divisible exactamente entre los binomios x + a y x - a. Es decir, se verifican los siguientes cocientes en los cuales __________________. la división es exacta. b. (x2 a2) ÷ (x + a) Caso 1: La diferencia de los cuadrados de dos términos, dividida entre la suma de dichos términos, es igual a la diferencia de los términos: __________________. Caso 2: La diferencia de los cuadrados de dos términos, dividida entre la diferencia de dichos términos, es igual a la suma de los términos: Ejemplos: Halla el resultado de los siguientes cocientes. a. b. Solución a. =x 3 Caso 1 b. = x + 2y Caso 2 1. Resuelve las siguientes expresiones, 3. Completa la tabla. aplicando el cociente notable. dividendo divisor cociente a. c. 49y4 x12 7y2 + x6 25 m10 5 m5 8 b. d. a - 144 a4 - 12 X2 - 8 2. Escribe V, si la afirmación es verdadera, t4r8-t12s4 t2r4- t6s2 o F, si es falsa. Justifica tu respuesta. a. a2 - 36 es divisible entre a + 6 _____ 4. Encuentra una expresión algebraica para determinar la altura del rectángulo b. 2x2 - 1 es divisor de 4x4 1 _____ de la figura. c. m8 + n4 es divisible entre m4 + n2 _____ d. 81w2 - 64z4 es divisible entre 9w + 8z _____ ________ 29

INVESTIGA 2. Cociente de la forma Verifica que el polinomio X3 + a3 no es divisible Al igual que el cociente anterior, en este se distinguen dos casos en los entre el binomio x a. cuales la división es exacta. Caso 1: La suma de los cubos de dos términos dividida entre la suma de dichos términos, es igual al cuadrado del primer término, menos el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término: Caso 2: La diferencia de los cubos de dos términos dividida entre la diferencia de dichos términos, es igual al cuadrado del primer término, más el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término: Ejemplos: Halla el resultado de los siguientes cocientes. a. b. Solución a. = a4 6a2b3 + 36b6 b. = 16x2 + 20xy + 25y2. 1. Realiza las divisiones. 2. Une cada división con su respectivo cociente. 1. a. a. b. 2. b. 1 + xy + c. 3. c. 4x2 + 8xy + 16y2 d. 4. d. 36y8 42y4+49 e. f. 5. e. 9x6 + 3x3 + y2 g. 6. f. x2 + 2x + 4 h. i. 30

Cociente de la forma TOMA NOTA Signos del cociente En este cociente se distinguen tres casos Caso 1: La diferencia de potencias pares o impares iguales, siempre es divisible entre la diferencia de sus bases. Si el divisor es de la forma x-a, en el cociente solo aparecen signos más. Caso 2: La diferencia de potencias pares iguales, siempre es divisible entre la suma de sus bases. Si el divisor es de la forma x + a, los signos del cociente se alternan +, -, +, -. Caso 3: La suma de potencias impares iguales, siempre es divisible entre la suma de sus bases. Ejemplos: resolver el cociente notable . Solución Se divide m5 entre m para obtener el primer término del cociente. Así, Se divide n5 entre n para obtener el último término del cociente. 1. Halla el cociente de las siguientes 3. Escribe V, si la afirmación es verdadera, divisiones. o F, si es falsa. Justifica tu respuesta. a. = __________________. a. an - bn es divisible entre a - b, si n es par. b. = __________________. b. a + b es divisor de an + bn, si n es impar. c. a - b es divisor de an + bn c. = __________________. d. an - bn es divisible entre a + b, si n es par. 2. Determina la base del rectángulo si A=bxh 4. Resuelve. Una finca de 32w5 + 243y5 unidades cuadradas, se cercó. Hallar la longitud de la cerca, si se conoce el ancho de la finca. ________________________. 31

TRIÁNGULOS. SEGÚN SUS LADOS Y SUS ÁNGULOS Un triángulo es la región del plano limitada por tres rectas que se intersecan dos a dos. PARA COMENZAR Marcar con la gráfica que representa el tipo de ángulos que se En un triángulo se identifican tres elementos: vértices, lados y ángulos mencionan. Justificar la interiores. elección. Los vértices son los puntos de intersección de las rectas (A, B, C). Los lados son los segmentos determinados por dos vértices (a, b, c). Ángulos internos En un triángulo, los lados suelen simbolizarse con la misma letra del ángulo opuesto pero en minúscula. Así, Los ángulos interiores son aquellos formados por dos lados consecutivos ( A, B, C). Ángulos externos Se llaman ángulos exteriores de un triángulo a los ángulos adyacentes a los ángulos interiores. El triángulo también se puede definir como un polígono de tres lados, ABC es el triángulo de vértices A, B y C. 1. Halla las medidas del ángulo interior 2. Si DE||GH, halla la medida de 1, 2, 3 y desconocido y de los tres ángulos exteriores al ABC. 3. Resuelve. En un triángulo ABC, el ángulo B mide 15º más que el ángulo C y el ángulo A mide la mitad del ángulo B. ¿Cuál es la medida de los tres ángulos del triángulo ABC? 32

Clasificación de triángulos TOMA NOTA Las marcas || en el Los triángulos se pueden clasificar según la medida de sus lados y triángulo indican los según la medida de sus ángulos internos. lados que tienen la Según la medida de sus lados, los triángulos se clasifican como se misma medida: muestra a continuación: Según la amplitud de sus ángulos interiores, los triángulos se clasifican como se muestra a continuación: 1. Halla la medida de los ángulos señalados. 2. Determina si los siguientes triángulos tienen las medidas correctas. Justificar la respuesta a partir de las propiedades de los triángulos. a. 1, 2, 3 b. 1+ 2 + 3 _____________ _____________ a. 1, 2, 3, 4, 5 _______________ ______________ 33

T LOS EXTERIORES DE UN L PARA COMENZAR Hallar la medida de los ángulos señalados. Figura 1 Si los ángulos A, B, C Entonces de los ángulos exteriores de la figura 1 dice: 1 = ___________ 2 = ___________ Ángulo exterior 1 + Ángulo exterior 1 + Ángulo exterior 1 = 360º 3 = ___________ Demostración: A + ángulo exterior 1 = 180º (1) por ser ángulos adyacentes. <1> B + ángulo exterior 2 = 180º (2) por ser ángulos adyacentes. C + ángulo exterior 3 = 180º (3) por ser ángulos adyacentes. Al sumar las ecuaciones (1) + (2) + (3) = 540º. Y se sabe que A+ B+ 180º + ángulo exterior 1 + ángulo exterior 2 + ángulo exterior 3 = 540º ángulo exterior 1 + ángulo exterior 2 + ángulo exterior 3 = 540º - 180º ángulo exterior 1 + ángulo exterior 2 + ángulo exterior 3 = 360º 1. Observa la figura. Luego, determina si la 2. Responde. afirmación es falsa (F) o verdadera (V). ABCD es un cuadrado y AC y BD son diagonales que se cortan perpendicularmente ___ La amplitud del 1 es menor que la amplitud del 2. ___ La medida del 2 es igual a la medida del 7. ___ El 3 mide lo que miden el 5 y el 2 juntos. ___ El 1 mide 130º. ¿Cuántos triángulos hay? ______. ___ El 5 mide 125º. ¿Cuál es la medida del OIJ? ______. ___ El 6 mide lo que mide el 5 más 15º. ¿Cuál es la medida del OHG? ______. ___ El 8 mide lo mismo que el 1 y el 5 ¿Cuál es la medida del OKL? ______. juntos. 34

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO En un triángulo se pueden trazar cuatro tipos de líneas notables: alturas, medianas, mediatrices y bisectrices. PARA COMENZAR Determinar si la Alturas afirmación es falsa o verdadera. Justificar la Las alturas son los segmentos perpendiculares trazados desde cada respuesta. vértice del triángulo, hasta el lado opuesto o a su prolongación. Un triángulo En un triángulo se pueden trazar tres alturas, usando el ángulo recto de rectángulo isósceles la escuadra: tiene dos lados de igual medida.__________ Un triángulo El punto de intersección entre las alturas de un triángulo se llama obtusángulo ortocentro. isósceles tiene dos El ortocentro de un triángulo acutángulo está ubicado en su interior. Por lados de igual ejemplo: medida.__________ Un triángulo rectángulo escaleno debe tener todos sus lados de distintas En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo medidas y un ángulo recto. Por ejemplo: que mide más de 120º.____________ Un triángulo se puede construir, sólo si se conocen las El ortocentro de un triángulo obtusángulo está ubicado en el exterior. Por medidas de sus tres Ejemplo: lados._____ 1. Utiliza compás, transportador y regla para graficar los siguientes triángulos. A continuación, encuentra el ortocentro para cada triángulo. 35

Medianas Las medianas de un triángulo son los segmentos que unen cada vértice TOMA NOTA del triángulo con el punto medio de su lado opuesto. Se tiene un triángulo cualquiera y se desea El punto de intersección entre las tres medianas de un triángulo se llama construir una baricentro. circunferencia que pase por sus tres vértices. En un triángulo se pueden trazar tres medianas. Para trazarlas se busca ¿Cómo se logra? el punto medio de cada lado y se traza el segmento que une estos puntos 1. Primero se encuentra con su correspondiente lado opuesto. el circuncentro del triángulo. Basta con intersectar dos mediatrices 2. Luego se coloca la punta del compás en el circuncentro y su otra punta en cualquiera de los tres vértices del triángulo. Mediatrices 3. Por último, se traza la Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada circunferencia. lado que pasan por su punto medio. El punto de intersección entre las tres mediatrices se llama circuncentro. El circuncentro corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. 1. Construye los siguientes triángulos, Bisectrices - Incentro luego traza las líneas y puntos notables g. Equilátero, lado de 3 cm. que se indican. h. Isósceles, longitud de lados iguales: 3,5 cm, ángulo entre los lados iguales 60º. i. Rectángulo, lados adyacentes al Alturas - Ortocentro ángulo recto de 1 cm y 5 cm. a. Rectángulo isósceles, lados iguales de 4 cm. 2. Ubica la iglesia del pueblo si se sabe que se b. Obtusángulo isósceles, ángulo obtuso encuentra a la misma distancia de la 120º, lados iguales de 5 cm. alcaldía, la plaza pública y el parque central. c. Escaleno, lados de 6 cm, 7 cm y 8 cm. Medianas - Baricentro d. Rectángulo, lados adyacentes al ángulo recto 2 cm y 4 cm. e. Isósceles, lados iguales a 3 cm, ángulo entre los lados iguales 75º. f. Escaleno, lados de 2 cm, 3 cm y 4 cm. 36

Bisectrices Las bisectrices de un triángulo son los segmentos que dividen cada RECUERDA ángulo interior en dos ángulos de la misma medida. Los puntos notables de Las bisectrices se trazan desde cada vértice hasta sus respectivos lados todo triángulo son: opuestos. ortocentro El punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo se llama incentro. baricentro circuncentro Una aplicación del incentro es la de trazar una circunferencia inscrita incentro dentro de un triángulo determinado, es decir, una circunferencia que sea tangente a cada uno de los lados del triángulo. El incentro corresponde al centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. PQR se procede así: Se traza la perpendicular desde I hasta el lado PR en el punto S. Finalmente, se traza la circunferencia con centro en I y radio IS. De los cuatro elementos estudiados en esta lección, las alturas son las más utilizadas tanto en las matemáticas como en las ciencias básicas. 1. SI R + r = 9 cm. ¿Cuánto mide el área 2. Las tres rectas son mediatrices de un de la región sombreada? triángulo rectángulo y la circunferencia circunscribe al triángulo. Dibuja un triángulo que reúna esas condiciones. Respuesta: __________________ 37

CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS Todo triángulo tiene seis partes principales, tres lados y tres ángulos. ¿Cuándo son iguales dos triángulos? Definición: dos triángulos son congruentes si sus partes PARA COMENZAR correspondientes son iguales. Dibuja los siguientes triángulos; utiliza regla, En términos sencillos, esta definición dice que dos triángulos serán transportador y compás. iguales si al colocar uno sobre el otro coinciden perfectamente. Para determinar si dos triángulos son iguales, es suficiente comparar la igualdad de solo tres de sus elementos de acuerdo con tres criterios de congruencia. Primer criterio de igualdad: lado, lado, lado (LLL). Si los tres lados de un triángulo son iguales con los correspondientes lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son iguales. Por ejemplo, de los triángulos se puede decir lo siguiente: Como, PQ ST QR TU PR SU; enton PQR STU. 1. Nombra los segmentos y los ángulos congruentes en cada figura. _____________________ _________________ _________________ _________________ 38

Segundo criterio de igualdad: lado, ángulo, lado (LAL). Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido entre ellos son iguales a los dos correspondientes lados de otro triángulo y al ángulo comprendido entre ellos, entonces, los dos triángulos son iguales. Por ejemplo TOMA NOTA La propiedad reflexiva de la congruencia de segmentos se refiere a que todo segmento es CA FD congruente a sí mismo A= D = 90º luego, pues tiene la misma A D y como medida. AB DE ABC DEF CD CD Tercer criterio de congruencia: ángulo, lado, ángulo (ALA). Si dos ángulos de un triángulo y el lado comprendido entre ellos son congruentes a los correspondientes ángulos de otro triángulo y al lado comprendido entre ellos, los dos triángulos son congruentes. Por ejemplo: MN está comprendido entre M y N. está comprendido entre y Como M MN y N , MNO 1. Determina si las siguientes parejas 2. Marcar con la figura congruente a la de triángulos son iguales. figura dada. ___________ Guía de contenido 7: Semejanza de triángulos. ___________ 39

TEOREMA SOBRE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Definición: Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales. La relación de semejanza se denota con el símbolo ~ PARA COMENZAR ¿Qué parejas de ángulos son iguales en la siguiente figura? ¿Por qué razón? DHP ~ ULN Como se nota en la figura de arriba, ambos triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes iguales: D U, P N, H L Además, los lados del triángulo izquierdo son todos la mitad de los del triángulo derecho y por tanto, proporcionales a estos: = = = En consecuencia, es posible establecer una relación de semejanza entre ambos triángulos: Si de antemano se sabe que dos triángulos son semejantes, es posible determinar la longitud desconocida de algún lado. Por ejemplo, en la siguiente pero se desconocen los valores de los lados u y b. Para encontrar estos valores faltantes se establecen proporciones: = = u=4 b=9 1. Encuentra los valores desconocidos. 2. Encuentra el valor de los lados a. En la figura, se sabe que AB = 6, desconocidos. AC = 8, BC = 10, EC = 6. Encuentra Se sabe que las siguientes parejas de los valores de ED y DC. triángulos son proporcionales entre sí. a. b. En la figura, se sabe que PS = 9, b. PR = 7, RS = 8, RT = 5. Encuentra los valores de RY y TY. 40

Semejanza de triángulos Dos triángulos semejantes TOMA NOTA por el Postulado AA: En palabras corrientes, dos figuras son semejantes si Teorema LLL de semejanza: Si los tres lados de un triángulo son tienen la misma forma pero proporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos distinto tamaño. triángulos son semejantes. = = = Dos triángulos semejantes por el Postulado LLL: BLD ~ TWG Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo y si los dos correspondientes que incluyen el ángulo son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. = = Dos triángulos semejantes por el Postulado LAL: XLQ ~ RSN 1. Determina si existe semejanza entre cada 2. Determina si existe semejanza entre cada pareja de triángulos. Si hay semejanza, pareja de triángulos. Si hay semejanza, escribe una relación entre ambos triángulos y escribe una relación entre ambos provee el criterio de semejanza que aplica. triángulos y provee el criterio de a. semejanza que aplica. a. b. b. 41

TEOREMA DE PITÁGORAS Uno de los resultados más útiles para el estudio de los triángulos es el Teorema de Pitágoras, en este se afirma que: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. PARA COMENZAR Con tu regla dibuja el siguiente triángulo rectángulo cuidadosamente. a2 + b2 = c2 Al aplicar este teorema es posible encontrar la medida de uno de los lados ¿Cuánto mide la de un triángulo rectángulo, si se conoce la medida de los otros dos lados. hipotenusa? ______ cm Por ejemplo: Las pulgadas de un rectángulo se determinan de acuerdo con la longitud de su diagonal. Si el rectángulo tiene las medidas dadas en el gráfico, ¿de cuántas pulgadas es el rectángulo? Para hallar h, se aplica el teorema de Pitágoras, así: h2 = c12 + c22 2 = (16)2 + (12)2 2 Por lo tanto, el rectángulo es de 20 pulgadas. 1. Resuelve. c. ¿A qué altura vuela el avión? a. Determinar la altura de la tienda de campaña si se sabe que AB BC CA b. Una escalera de 3 metros se pone d. Tres ciudades están ubicadas como se contra una pared. Si la distancia de la muestra en la figura. base de la escalera a la pared es de ¿Cuántos kms hay de M a N? 1 m, ¿a qué distancia se encuentra la parte más alta de la escalera con relación al suelo? 42

ÁREAS DE REGIONES PLANAS Para hallar el área de un polígono no siempre es necesario hacer recubrimientos. Es posible encontrar este valor si se conocen las medidas PARA COMENZAR de algunos elementos del polígono dado. ¿Cuáles son la base y la Área de triángulos altura de ABC ABD El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la longitud de la mostrados en la figura? base por la altura. A= . Por ejemplo, para hallar el área del triángulo BCD se reemplazan los valores de la base y la altura en la expresión y se realizan las operaciones. A= = = 3 cm2 Área de cuadrados El área de un cuadrado es igual al producto de la longitud del lado por sí misma. Área = lado x lado A= l l Por ejemplo, el área de un cuadrado de 3 m de lado es 9 m2 pues 2 A . Área de rectángulos El área de un rectángulo es igual al producto de la longitud de su base por su altura. Área = base x altura A= b h Por ejemplo, el área de un rectángulo de 3 cm de base y 2 cm de altura es 6 cm2 pues 2 A . 1. Halla el área de cada figura. 2. Resuelve. Calcula las áreas de los rectángulos A, B, C y el cuadrado D de la figura. __________ m2 __________cm2 A = _____, B = _____, C = ______,D = ______. __________cm2 43

Área de romboides El área de un romboide es igual al producto de la longitud de la base por la altura. OBSERVA A= b x h Todo romboide se puede Por ejemplo, el área del romboide DEFG es 6 cm2 pues transformar en un rectángulo como se indica en la figura. A = 6 cm2 Área de rombos El área de un rombo es igual al semiproducto de la longitud de la diagonal mayor (D) por la longitud de la diagonal menor (d). Área = (diagonal mayor x diagonal menor) A= En la figura SOR PSO se obtiene un rectángulo cuya base es D y cuya altura es d. Así que: d A= 1. Halla el área de cada figura. 2. Resuelve. a. El área de un rombo es de 40 cm2. Si la diagonal menor mide 5 cm, ¿cuánto mide la diagonal mayor? _________________ cm b. Si se construye un rombo utilizando cuatro triángulos rectángulos de base 3 cm y altura 4 cm, ¿cuál es el área del rombo? _____________ dm2 c. Se va a comprar un cielo raso como el de la figura. ____________ cm2 Si el m2 cuesta $35.000, ¿cuánto hay que pagar para cubrir toda la forma? 44

Área de trapecios El área de un trapecio es igual al semiproducto de la suma de las bases INVESTIGA por la altura. ¿Se puede afirmar que A= todo triángulo equilátero es isósceles? Área de polígonos regulares. ¿Por qué? Todo polígono regular se puede descomponer en tantos triángulos isósceles congruentes, como lados tiene el polígono. La altura de cada triángulo recibe el nombre de apotema y se representa con la letra a. El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema. A= con p: perímetro, a: apotema. Ejemplo: halla el área del pentágono regular. Se calcula la apotema por Pitágoras, así: 52 = a2 + 32 - 9 = a2 2 Luego, se calcula el perímetro y el área. p = 6 cm x 5 = 30 cm, A= 60 cm2 Área de círculos El círculo es la región del plano que abarca la circunferencia, es toda la parte sombreada. Siendo el área igual a 2 del círculo al cuadrado. 2 2 1. Halla el área de cada figura. 2. Halla el área de la región de color azul claro. _________ dm2 3. El polígono ABCDEF es un hexágono regular de 1.440 dm2 de área. Encontrar el área del polígono ACDE sombreado en la figura. _________ cm2 _________ cm2 45

FÓRMULAS DE UN POLÍGONO REGULAR En general, un polígono es una figura formada por un número finito de PARA COMENZAR segmentos coplanares no colineales unidos por sus extremos. Utiliza tus instrumentos de geometría para Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales. dibujar la siguiente figura: Atendiendo el número de lados reciben el nombre siguiente: 5 lados: pentágono 9 lados: eneágono 6 lados: hexágono 10 lados: decágono 7 lados: heptágono 11 lados: endecágono 8 lados: octógono 12 lados: dodecágono Por lo tanto si el polígono para el cual se busca el área tiene n lados, la expresión general debe ser A = donde n l es el perímetro del polígono y a es el apotema. Por ejemplo, halla el área del polígono. Como l = 50 cm, se halla el perímetro del octágono. P = 8 x 50 cm = 400 cm. Luego, se aplica la fórmula para el área de polígonos regulares, así: A= = = 5 000 cm2 1. Escribe V si la afirmación es verdadera o 2. Construye un dodecágono regular y dibujar F, si es falsa. en él el paralelogramo ABML. a. En todos los paralelogramos las diagonales tienen la misma medida. b. En el rombo todos los ángulos tienen la misma medida. c. En todos los paralelogramos las diagonales son perpendiculares. d. En todos los paralelogramos los lados son congruentes. e. En todos los paralelogramos los ángulos opuestos son congruentes. f. En el rombo las diagonales se cortan en el mismo punto. g. Un cuadrado es un rectángulo. Continuar dibujando paralelogramos hasta llenar la figura. ¿Cuántos paralelogramos tiene el dodecágono? __________________.. 46

ELEMENTOS DE UN SECTOR CIRCULAR Y DE UNA CORONA CIRCULAR PARA COMENZAR Un círculo es una figura plana limitada por una circunferencia. Calcula el área del En un círculo se pueden determinar las siguientes regiones. círculo con radio igual a 3 cm Sector circular Región del círculo limitado por dos radios y el arco de circunferencia comprendido entre ellos. A = _________ cm2 Corona circular Porción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas (con el mismo centro). 2 r2 ) 1. Halla el área de la región coloreada. 2. Resuelve. Un jardinero ofrece en su catálogo los siguientes diseños de jardín. Si cada m2 del diseño del jardín cuesta $ 49.65, ¿cuál es el diseño más económico? __________cm2 ___________ __________cm2 ___________ 47

ÁREA TOTAL DE UN CUBO Cubo o hexaedro: El hexaedro o cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. PARA COMENZAR Las fórmulas a utilizar tanto para encontrar su área como su volumen son Si el área de cada una las siguientes: de las caras del cubo es A = 6l2 de 36 cm2, ¿cuánto mide V = l3 la longitud de un lado de una de estas caras? Ejemplo: Enunciado Se desea forrar una caja de regalo cuya arista mide 10 cm. ¿Qué cantidad de papel se utilizará? ¿Cabe en la caja una pelota que tiene un volumen de 524 cm3 y un diámetro menor que 10 cm? (figura 1) Interpretación del enunciado La caja tiene 6 caras y todas las caras son cuadradas. Para determinar la cantidad de papel necesaria para forrarla se busca el área de una de sus caras y luego se multiplica por 6. Área = 10 cm × 10 cm = 100 cm2 Figura 1 Entonces Acubo = 6(100) cm2 = 600 cm2 Acubo = 600 cm2 Para determinar si cabe la pelota dentro de la caja se calcula el volumen del cubo. Esto es: Vcubo = l3 Vcubo = 10 cm × 10 cm × 10 cm Vcubo = (10 cm)3 = 1 000 cm3 Solución Se necesita como mínimo 600 cm2 de papel y se considera que la pelota sí cabe en la caja. Opera: 2. Una caja de zapatos mide 34 cm por 1. Se desea atar una caja de regalo. cada uno de sus lados. ¿Qué cantidad de cinta se empleará si en el moño se utilizan 20 cm? Encuentra: a. ¿Cuánto cartón se necesitará para hacer 1 000 cajas iguales? b. ¿Cuál es el área total de cada una de las cajas? E Respuesta: ________________ 48

MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor (mcd) de dos o más polinomios es un polinomio del mayor grado posible que divide exactamente a los polinomios. PARA COMENZAR Determinar el máximo común divisor en cada Máximo común divisor de monomios caso. Para hallar el máximo común divisor de dos o más monomios se halla el máximo común divisor de los coeficientes y se multiplica por las variables a. 12, 18 y 24 que son comunes en todos los monomios con su menor exponente. b. 32, 40 y 48 Ejemplo: c. 21, 25 y 27 Hallar el máximo común divisor de: a. 32 y 48x b. -5 Solución a. El máximo común divisor de los coeficientes es 16. Las variables comunes son x y y. Como se escriben con el menor exponente, el máximo común divisor de 32 y 48x es . b. El máximo común divisor de los coeficientes es 1. Las variables comunes son a y b. Como se escriben con su menor exponente, el máximo común divisor de -5 Opera: 2. Halla el mcd de cada grupo de monomios. 1. Completa las frases con respecto a cada grupo de monomios. Completarlo para cada a. g. uno de los ejercicios. b. h. a. Para c. i. b. En d. j. El mcd de los coeficientes es ___________ e. k. Las letras comunes son __________ f. l. El menor exponente de ______ es _______ El menor exponente de ______ es _______ El menor exponente de ______ es _______ Luego, el mcd de _____ y _____ es _____ 49

Máximo común divisor de polinomios Para encontrar el máximo común divisor (mcd) de dos o más polinomios, primero se descomponen los polinomios en factores primos. El máximo común divisor es el producto de los factores comunes elevados a la menor potencia con que aparecen en cada factorización. Ejemplo: Determinar el máximo común divisor de los polinomios en cada caso. TOMA NOTA Polinomios primos a. relativos. b. SI el máximo común divisor de dos polinomios Solución es 1, los polinomios son a. La factorización de los polinomios es: 2 primos entre sí. . . Como el único factor común es (x 1) y su menor exponente es 1, el máximo común divisor de es (x 1) b. La factorización de los polinomios es: 2 . 3 . Como (x +3) es factor común de los dos polinomios y el menor exponente con que aparece es 2, el máximo común divisor de es (x + 3)2 1. Hallar el mcd de cada grupo de expresiones 2. Relaciona la factorización de los polinomios algebraicas. con su expresión original a. a. b. c. b. d. c. e. f. d. g. h. e. i. f. j. k. E 50

FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas. Simplificación de fracciones algebraicas Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción PARA COMENZAR equivalente cuyos miembros (numerador y denominador) no tengan Escribe la expresión divisores comunes. algebraica que representa Cuando el numerador y el denominador de una fracción son primos el largo y el ancho del relativos, se dice que la fracción es irreducible y por lo tanto, la fracción terreno. está reducida a su mínima expresión. Por ejemplo, las fracciones: , , están reducidas a su mínima expresión. Simplificación de fracciones cuyos numerador y denominador son monomios Para simplificar fracciones cuyos numerador y denominador son monomios, se debe tener en cuenta la misma propiedad utilizada en división de monomios. Para dividir potencias de igual base se deja la misma base y se restan los exponentes. Esto es: = ; si m > n ó = ; si m < n. Ejemplo: al aplicar la propiedad del cociente de potencias iguales se tiene que: = = Simplificación de fracciones cuyos numerador y denominador son polinomios Largo: ____________. Para simplificar fracciones cuyos numerador y denominador son polinomios, se factorizan dichas expresiones y se eliminan los factores Ancho: ___________. comunes presentes en cada miembro de la fracción. Ejemplo: = = 1. Simplifica la expresión que representa el b). área de cada terreno. a). E Respuesta: ________________________ Respuesta: ______________________________ 51

EL PRISMA RECTO Área de un prisma Para hallar el área de un prisma se procede así: 1. Se encuentra el área de la base y se multiplica por 2. PARA COMENZAR 2. Se halla el área de una de las caras laterales y este resultado se Calcular el área de: multiplica por el número de lados de la base. Ejemplo: Hallar el área del prisma hexagonal con altura de 7.5 cm y cada lado de su base, 2cm . (figura 1) Si A = b x h Solución Se halla el valor de la apotema a del hexágono, aplicando el teorema de A = ____ mm2 Pitágoras. a2 =22 - 12 a2 = 4 - 1 a= cm Así, el área del hexágono se obtiene mediante la expresión: A= = = Figura 1 Entonces, el área de los dos hexágonos equivale a 20,8 cm2 El área de cada cara lateral se obtiene así: A = 2cm x 7,5cm = 15cm2, ya que las caras son rectángulos. Luego, el área del prisma se obtiene mediante la siguiente suma: Apotema a 20,8cm2 + 90cm2 = 110,8cm2 1. Encuentra el área total y área lateral de los 2. Para las siguientes figuras, encuentra su siguientes cuerpos. área total y área lateral correspondientes. a) Prisma recto cuya base es un hexágono regular que tiene 3 cm de arista a) apotema de 2.598 cm en su base y 5 cm de altura. b) b) Prisma recto cuadrangular de 2cm de arista en su base y 8 cm de altura. c) Calcula el area de un prisma de 30 cm c) de altura que tiene una base pentagonal regular de 20 cm de lado y 30 cm de apotema. <(1) Aritmetica y geometría II, Colommbia, pagina 237> 52

VOLUMEN DE UN PRISMA Para hallar el volumen de un prisma se multiplica el área de la base (AB) por la altura (h). V = AB * h Figura 2 Por ejemplo, el volumen del prisma de base cuadrada que se muestra en la figura 1, se obtiene multiplicando el área de la base, que es de 9 cm2, por la altura de 5 cm Luego, el volumen del prisma es de 9 cm2 x 5cm = 45cm3 Ejemplo Hallar el volumen del prisma que se muestra en la figura 2. Figura 3 Solución Se halla el area de la base calculando la altura mediante el teorema de Pitágoras (figura 3) h2 = (6 cm)2 - (3 cm)2 h2 = 36 cm2 - 9 cm2 Así, el área de un triángulo es: h= = h= Luego, el volumen del prisma se obtiene mediante la expresión: V = AB * h = x 10cm = = 155,88 cm3 1. Encuentra el volumen de los 2. Calcula el volumen de las siguientes figuras. siguientes prismas. a) b) c) 3. Halla el volumen de un prisma cuya área de base es de 12cm2 y 17cm de altura. 53

LA PIRÁMIDE REGULAR HASTA 6 LADOS Pirámide Es un poliedro que tiene un polígono como base y triángulos con un PARA COMENZAR vértice común, como caras laterales. ¿Cuáles son las En una pirámide se distinguen los siguientes elementos: arista, base, diferencias más vértice, caras laterales y apotema o altura (figura 1). La altura es la distancia que hay desde el vértice hasta su base, tomada perpendicular a importantes entre un la base. paralelepípedo y un prisma recto? Desarrollo en el plano Para hallar el área total y el volumen de una pirámide es necesario recurrir a su desarrollo en el plano. (figura 2) Área: el desarrollo en el plano de una pirámide está formado por el polígono de la base y tantos triángulos como lados tiene la base. El área lateral (AL) de la pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales. El área total (AT) se obtiene sumando el área lateral con el área de la base (AB). AT = AL + AB Figura 1 El volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base por la medida de la altura. V = AB x h Ejemplo. Hallar el volumen de la pirámide de la figura 3, cuya base es un hexágono regular de 6 cm de lado y 3 cm de apotema. Figura 2 Solución Primero, se halla el perímetro del hexágono: P =6 * (6 cm) =36 cm. Después, se halla el área de la base. Para ello, se remplaza en la fórmula de área del hexágono, así. AB = = = = 91,8 Finalmente, se aplica la fórmula de volumen de una pirámide. Figura 3 V = AB * h = (91,8 cm2)(7 cm) = 214,2 1. Halla el volumen de la siguiente 3. Encuentra el volumen de las siguientes pirámide cuadrada. pirámides. 2. Halla el área de las siguientes pirámides. 4. Encuentra el área y el volumen de una pirámide cuadrada, de 4,2 cm por lado y 5 cm de altura. 54

ESTADÍSTICA. RECOPILACIÓN DE LA INFORMACIÓN PARA COMENZAR Estadística Es la ciencia que se encarga del diseño, recolección y análisis de información para describir el comportamiento de una variable, en un grupo determinado de individuos. Poblacion: La población es el conjunto de individuos que se van a describir a partir del análisis de una característica que puede ser cuantitativa y cualitativa. Por ejemplo: Los rangos de edad: el estudio se aplicará en adolescentes, Al sumar las frecuencias jóvenes, adultos. representada con la La región en donde se va a estudiar este fenómeno: a nivel altura de cada barra se nacional, departamental, de ciudad, de sector, de colegio, obtiene la población en etcétera. estudio. ¿Cuánto es la población La muestra es un subconjunto de la población; sobre ella se obtiene la que practica deporte en información necesaria para describir el comportamiento de toda la el colegio? __________ población con respecto a una variable. Por ejemplo, conocer las edades de los alumnos de octavo grado del país. En esta situación, la población son todos los alumnos, de octavo grado del país, pero aquellos solamente de una ciudad especifica, son muestra representativa. Variables: cuando en una población se desea estudiar una característica de los individuos, a esta característica se le llama variable estadística. Una variable se llama cuantitativa si los valores que toman son numéricos y cualitativa si representan características, no numéricas. Una variable cuantitativa es continua si puede tomar cualquier valor intermedio entre dos posibles valores (tiempo que toman en recorrer 1 000 mt un grupo de atletas); y es discreta si toma pocos valores (número de hijos de empleados en una fabrica). 1. Clasifica las siguientes variables i. Las temperaturas registradas cada estadísticas en cualitativas y cuantitativas. hora en una ciudad De ser cuantitativas, indicar si son j. La estatura de los jugadores de un discretas o continuas. equipo de fútbol a. número de primos k. El número de páginas de los libros de b. sexo una biblioteca c. deporte preferido d. color de ojos e. metros cúbicos de agua en una a. __________ b.__________ empresa f. número de vecinos en un edificio c.__________ d.__________ g. kilos de harina usados en una e.__________ f.___________ panadería, durante una semana h. número de hermanos de los alumnos g.__________ h.___________ de un colegio i.___________ j.____________ k.___________ 55

RECOLECCIÓN DE DATOS Los datos pueden recolectarse a través de diversas formas. Una de ellas es a través de un estudio directo de los fenómenos de interés a través de investigaciones, recolección directa de la información con los individuos, etcétera. A esto se le denomina fuente primaria. INVESTIGA Y fuente secundaria es aquella recolectada por otra persona, de la cual Cuando la población que nosotros utilizaremos su informe o resumen de interés. se va a estudiar es muy grande es preferible investigar sobre una Técnicas de recolección muestra representativa. Algunas técnicas utilizadas para recoger la información son: los test, ¿Qué relación existe entrevistas, cuestionarios (encuestas), censos, entre otros. Los censos entre la población y la específicamente son utilizados con toda la población. muestra representativa? Ejemplo: Determina la población y la muestra en cada una de las siguientes situaciones. a. El rector de un colegio decide hacer una encuesta para determinar las preferencias deportivas de los estudiantes. Decide preguntar a cinco estudiantes de cada curso. b. El profesor de matemáticas quiere verificar si los estudiantes de 7º hicieron la tarea. Decide hacer una evaluación de verificación a 10 de ellos. Solución a. Población: todos los estudiantes del colegio. Muestra: los estudiantes que resuelven la encuesta; cinco de cada curso. b. Población: los estudiantes de 7ºA. Muestra: los 10 estudiantes a los cuales les hace la evaluación. 1. Se requiere saber las estaturas de los 2. Identifica la población, el individuo o estudiantes de tercer ciclo en el país, se miden unidad estadística, la variable estadística y la los alumnos de cinco escuelas por cada muestra. departamento. a. Se desea saber la altura de los árboles de un parque nacional y, para ello, se midieron 100 árboles. Determina los siguientes apartados: b. Se necesita conocer el tipo de transporte Población: ________________ que utilizan las personas de una ciudad y, por esto, se efectuó una encuesta entre Individuo: ________________ 1 500 personas. Variable: ________________ c. En un huerto hay 1 000 árboles frutales: se contó la producción de 200 árboles para Muestra: _________________ conocer la producción total. 56

ECUACIONES Conceptos básicos Una igualdad es una expresión que compara dos cantidades mediante el signo igual. Aquellas expresiones de la forma x + 5 = 8 y 3x + 2x = 5x reciben el nombre de igualdades algebraicas. PARA COMENZAR Las igualdades algebraicas que se cumplen para cualquier valor de la El departamento de San variable o variables en ellas se denominan identidades. Pero, las Salvador posee el mayor igualdades algebraicas que se cumplen para determinado valor de la número de habitantes de variable o variables presentes en ella, se denominan ecuaciones. El Salvador. La variable o variables de una ecuación son valores desconocidos Investiga cuantos denominados incógnitas. (ejemplo: X y Y) habitantes posee. Partes de una ecuación En toda ecuación, la expresión que se encuentra antes del signo igual se denomina primer término y la expresión que se encuentra después del igual se denomina segundo término. Los sumandos de cada miembro de una ecuación reciben el nombre de términos. Si tomamos como ejemplo la ecuación 2x + 5 = 7x - 11, los términos son 2x, 5, 7x y -11. El grado de una ecuación con una sola incógnita, es el mayor exponente de dicha incógnita. Por ejemplo, la expresión 2x + 9 = -13 es una ecuación de primer grado y la expresión - 7x + 10 = 0 es una ecuación de segundo grado. La ecuación x + 5 = 12, únicamente se cumple si x = 7. Este último valor se denomina raíz o solución de la ecuación. Así, solucionar o resolver una ecuación significa hallar el valor o valores de la incógnita que satisfacen la ecuación dada. 1. Resuelve las siguientes ecuaciones y 2. Escribe una expresión que represente verifica la respuesta. cada situación. c. a. x + 23 = 38 x= _______________ a. b. z - 17 = -5 z= _______________ c. 21 - y = -4 y= _______________ d. 6 = m - 39 m = _______________ e. w - 26 = 12 w= _______________ f. -18 = 36 - t t= _______________ g. 7x = 98 x= _______________ h. 4n = 60 n= _______________ b. i. c = -48 c= _______________ j. w= - w= _______________ k. -182 = 14r r= _______________ l. 175 = -25n n = _______________ 57

Ejemplo: Identificar los miembros, términos y grado de cada una de las siguientes ecuaciones. a. 5x + 12 = 20 b. (x + 1)(x - 1) = 0 c. 3m - 17 = -5m + 3 Solución a. 5x + 12 = 20 El primer miembro de la ecuación es 5x + 12 y el segundo miembro es 20. Los términos de la ecuación son 5x, 12 y 20. RECUERDA La ecuación es de primer grado pues el mayor exponente de la incógnita La estadística es la x es 1. ciencia encargada de reunir, clasificar, b. (x + 1)(x - 1) = 0 Al multiplicar (x + 1)(x - 1) = 0 la ecuación queda x2 - 1 = 0 describir, analizar y El primer miembro de la ecuación es x2 - 1 y el segundo miembro es 0. presentar información, Los términos de la ecuación son x2, -1 y 0. acerca de los cuales se La ecuación es de segundo grado pues el mayor exponente de la incógnita deben tomar decisiones. x es 2. c. 3m - 17 = -5m + 3 El primer miembro de la ecuación es 3m - 17 y el segundo miembro es -5m + 3. Los términos de la ecuación son 3m, -17, -5m y 3. La ecuación es de primer grado pues el mayor exponente de la incógnita m es 1. 1. Escribe a las ecuaciones que 2. Resuelve cada ecuación y verifica la corresponden a la situación planteada y solución. resuélvelas. a. La suma de dos números consecutivos a. 5x + 20 = 65 x = ___________ es 35, ¿cuáles son los números? b. 12y - 18 = 15 y = ___________ 3x 1 = 34 c. 8z - 14 + 3z = 19 z = ___________ 2x = 36 2x + 1 = 35 d. 13 - 7b + 27 = -56 b = ___________ b. La diferencia entre cinco veces un número y 86 es 9. Hallar el número. e. = 11 m = ___________ 5x = 95 f. w - 3 = - w = ___________ X 86 = 9 - 9 = 86 g. n - = - n = ___________ c. ¿Cuáles son las longitudes de los lados de un rectángulo, si un lado mide 7 h. t= t = ___________ centímetros más que el otro y el perímetro es 66 cm? 2x + 14 = 66 2x + 2 (x + 7) = 66 2x + 7 = 66 58

FRACCIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES COMPUESTOS Fracciones algebraicas Una fracción algebraica en la que el numerador, el denominador o los dos son fracciones algebraicas, recibe el nombre de fracción algebraica PARA COMENZAR compleja. ¿A qué expresión debe ser igual Q(x) para que Para simplificar una fracción algebraica compleja se factorizan los polinomios del numerador y del denominador, y se simplifican los factores la expresión comunes. Ejemplo: Simplificar sea igual a 1? . Solución . = Se divide el numerador entre el denominador = x Definición de división de fracciones = Se simplifican factores comunes 1. Simplifica las siguientes fracciones 2. Escribe una fracción algebraica. algebraicas. Cuyo grado de numerador sea 3 y el del denominador 2. a. b. Cuyo grado del numerador sea 1 y el del denominador 4. c. d. 3. Calcula el valor numérico de las fracciones algebraicas siguientes. e. f. para x=-2 g. h. para x=5 para x=2 i. j. para x=-3 59

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN LINEAL Notación funcional y gráfica de la ecuación lineal Una función f es una relación entre dos variables, x y y, de tal forma que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. PARA COMENZAR Para representar gráficamente una recta Ejemplo: en el plano cartesiano La siguiente tabla muestra la distancia que recorre un automóvil que basta con determinar viaja siempre con la misma rapidez, para diferentes valores del tiempo. dos puntos de dicha recta en el plano y trazar La situación involucra dos variables: el tiempo y la distancia. la recta que pasa por Se puede establecer una relación entre los valores de dichas variables, ambos puntos. pues los valores de la variable distancia dependen de los valores de la variable tiempo. En este caso, se dice que la distancia es la variable Grafica en el plano lo dependiente y el tiempo es la variable independiente. siguiente. (2, 5) y ( 1, 4) En la tabla de datos se puede observar que al multiplicar el valor del tiempo por 20 se obtiene el valor de la distancia correspondiente. Por lo tanto, la distancia y el tiempo se relacionan mediante la expresión d 5 20 t, en donde d representa la distancia y t representa el tiempo. Los datos de la tabla se pueden representar en un plano cartesiano al asignar un par ordenado a cada valor del tiempo y su respectivo valor de la distancia. La variable independiente, en este caso el tiempo, se representa en el eje horizontal y la variable dependiente, en este caso la distancia, se representa en el eje vertical como se muestra en la figura 1. Una función es lineal si su expresión algebraica es de la forma y= 5 mx + b, donde m y b son números reales y su representación gráfica es una línea recta. Figura 1 1. Dibuja la gráfica de las funciones 2. Grafica cada tabla de valores en el plano cartesiano. siguientes. Elige una escala apropiada para el eje y. a . y = 3x + 5 b. 5x = y 2 a. Número de libros 1 2 3 4 5 c. 3x y=4 d. 9x y=6 Costos en $ 10 500 21 000 31 500 42 000 52 500 e. x + 5 = y f. 2x + 6 = 3y g. 5x 4y = 6 h. 9x 8y = 2 b. Número de manzanas 1 2 3 4 5 i. 4x + 6y = 3 j. = x-4 Peso en gramos 200 400 600 800 1 000 60

Guia Mate 8°

by Adalberto

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