Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales

  1. 1. Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del orden Por: Astrid Medina Eylin Calderón David Torres
  2. 2. Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del orden <ul><li>Dada una solución y 1 (x) de la ecuación diferencial de segundo orden </li></ul><ul><li>(4.11) </li></ul><ul><li>puede determinarse una segunda solución y´´(x) que sea linealmente independiente con y 2 (x), de la forma v(x)y 1 (x), para cierta función v(x) distinta de una constante. </li></ul><ul><li>Sea y(x) — y 1 (x)v(x), entonces </li></ul><ul><li>Sustituyendo las expresiones anteriores para y, y' y y&quot; en (4.11) y simplificando resulta </li></ul>
  3. 3. Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del orden <ul><li>Y como y 1 es una solución de (4.11), el primer término en el lado izquierdo de la igualdad anterior es igual a cero. Así que </li></ul><ul><li>O bien </li></ul><ul><li>Luego, para que la función y 1 (x)v(x) sea una solución de la ecuación diferencial (4.11), v(x) debe satisfacer la ecuación diferencial de segundo orden (4.12). Nótese que haciendo la sustitución u(x) = v’(x) entonces u’(x) = v“(x) y (4.12) se reduce a la ecuacion </li></ul>4.12 4.13
  4. 4. Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del orden <ul><li>La cual es ahora de primer orden para la función incógnita u. Es por esta razón que al método que estamos desarrollando para calcular y2 se le conoce como Método de Reducción de Orden. </li></ul><ul><li>La ecuación (4.13) es lineal en u y también de variables separables. Separando variables tenemos </li></ul><ul><li>e integrando y simplificando, obtenemos </li></ul>
  5. 5. Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del orden <ul><li>donde c es una constante arbitraria. Aplicando exponencial a ambos lados de la última igualdad encontramos que </li></ul><ul><li>Por consiguiente </li></ul><ul><li>Tomando c = 1 tenemos el siguiente resultado. </li></ul>
  6. 6. Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del orden <ul><li>Teorema 4.3.1 Si y 1 (x) es solución de la ecuación diferencial </li></ul><ul><li>entonces una segunda solución y 2 (x) de (4.14). linealmente independiente con y 1 (x) es </li></ul>4.14 4.15
  7. 7. Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del orden <ul><li>EJEMPLO 1. Dado que y 1 (x) = x^ -2 es solución de la ecuación diferencial </li></ul><ul><li>encuentre su solución general en el intervalo (0, α ). </li></ul><ul><li>Solución. Verifiquemos que y 1 (x) es solución de la ecuación diferencial (4.16). Tenemos que </li></ul>4.16
  8. 8. Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del orden <ul><li>Sustituyendo en (4.16) resulta </li></ul><ul><li>Así, efectivamente y 1 es una solución de (4.16). Ahora utilizaremos el resultado (4.15) del teorema anterior para determinar una segunda solución de la ecuación diferencial, l.i. con y 1 . </li></ul><ul><li>Primero, reescribimos (4.16) en la forma </li></ul>
  9. 9. Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del orden <ul><li>de aquí que en este caso p(x) = -7/x y entonces </li></ul><ul><li>Note que una segunda solución l.i. con y 1 (x) es simplemente ỹ 2 (x) = x^10. De modo que la solución general en (0, α ) de la ecuación diferencial (4.16) es </li></ul>
  10. 10. Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del orden <ul><li>EJEMPLO 2. Encuentre la solución general en (0, α ) de la ecuación diferencial </li></ul><ul><li>si y 1 (x)=cos ln x, es una solución de la ecuación. </li></ul><ul><li>Solución. Nuevamente emplearemos (4.15) para obtener una segunda solución y 2 de (4.17). En este caso p(x) = 1/x , por lo cual </li></ul>4.17
  11. 11. Ecuaciones diferenciales lineales, reducción del orden <ul><li>En consecuencia </li></ul><ul><li>De donde la solución general en (0, α ) de (4.17) es </li></ul>
  12. 12. GRACIAS

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