Modul 4 matrik dan determinan
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Like this? Share it with your network

Share
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
No Downloads

Views

Total Views
7,440
On Slideshare
7,440
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
253
Comments
1
Likes
3

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. MODUL 4: MATRIK DAN DETERMINAN
  • 2. Pengertian Matrik Matrik adalah susunan bilangan real (kompleks) berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh tanda kurung, ditulis dengan : )( ... ............ ... ... ... 321 3333231 2232221 1131211 nma aaaa a aaaa aaaa aaaa A ij mnmmm ij n n n                      Istilah-istilah : Lambang matrik digunakan huruf besar, A, B, C Elemen matrik digunakan lambang huruf kecil, a. b , c … Bagian mendatar disebut baris Bagian tegak disebut kolom Indeks-I menyatkan baris, indeks-j menyatakan kolom Jumlah baris=m, jumlah kolom=n Ukuran matrik disebut ordo Matrik dengan jumlah baris=m, jumlah kolom=n diebut dengan ukuran (mxn) atau matrik berordo (mxn)
  • 3. CONTOH                 3145.023 223001.023.0 4333.022 5667.0221 j j A  Beberapa istilah yang perlu diketahui ; Elemen matrik A dapat berupa bilangan bulat, desimal, rel atau bilangan kompleks Jumlah baris A=4, jumlah kolom a=5, A berukuran (4x5) a32 : elemen baris ke-3 kolom-2 adalah 0.001 Elemen-elemen diagonal matrik A : 1, , 3, 1 CONTOH Perhatikan jaringan berikut : 1 2 4 3     terbubungtidakjdaninodejika, terhubungjdaninodejika, 0 1 ija              0110 1011 1101 0110 A Matrik jaringannya adalah sebagai berikut
  • 4. MATRIK-MATRIK KHUSUS Matrik Bujur Sangkar A dikatakan matrik bujur sangkar jika jumlah baris dan jumlah kolom A sama. Matrik A dikatakan berordo n )( ... ............ ... ... ... 321 3333231 2232221 1131211 nna aaaa a aaaa aaaa aaaa A ij nnnnn ij n n n                      Elemen-elemen diagonal utama A adalah a11, a22, a33, a44 …. CONTOH              0110 1011 1101 0110 A Matrik A berordo 4, elemen- elemen diagonal utama A adalah 0, 0, 0, 0                    81.0925 1283.04.0 54.0713 42342 5.01251 A
  • 5. Matrik Segitiga Atas A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen dibawah diagonal utama 0 Matrik Segitiga Bawah A dikatakan matrik segitiga atas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen diatas diagonal utama 0                   81.0925 0283.04.0 0.0713 00042 00001 A Elemen-elemen diagonal utama : 1, 4, 7, 2, 8 Elemen-elemen diatas diagonal utama 0, maka A matrik segitiga bawah                  80000 2000 .700 90 3 j ih gfe dcba A Elemen-elemen diagonal utama : 3, 9, -7, 2, 8 Elemen-elemen dibawah diagonal utama 0, maka A matrik segitiga atas
  • 6. Matrik Diagonal = D A dikatakan matrik diagonal, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama tak nol. Matrik demikian diberi lambang D. Matrik Identitas = I A dikatakan matrik identitas, jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama 1. Matrik identitas diberi lambang I.                               1000 0400 0030 0002 300 020 002 ; 40 02 4 32 D DD                               1000 0100 0010 0001 100 010 001 ; 10 01 4 32 I II
  • 7. Transpose Matrik= AT Transpose matrik A ditulis AT adalah sebuah matrik yang diperoleh dari A dimana baris AT adalah kolam A, dan kolom AT adalah baris A. Bila A berukuran (mxn), AT berukuran (nxm) CONTOH                         2468 7654 6421 ; 276 464 652 841 T A A Matrik Simetris, A=AT A dikatakan matrik simetris, bilamana A adalah matrik bujur sangkar dimana, AT=A CONTOH                                      73000 35200 021010 00161.0 0001.05 543 431 312 ; 31 12 A A A Matrik tridiagonal
  • 8. OPERASI ARITMATIK MATRIK (1) (1) Kesamaan, A=B Matrik, A=[aij] dan B=[bij] dikatakan sama ditulis A=B jika hanya jika (1) A dan B berukuran sama (2) Setiap elemen yang seletak nilainya sama, aij = aij ; Contoh :               463 512 dan 643 512 BA A dan B berukuran sama (2x3), tetapi AB, karena terdapat elemen seletak nilainya tidak sama (2) Perkalian dng skalar, kA Perkalian matrik, A=[aij] dengan skalar tak nol k ditulis kA, didefinisikan bahwa setiap elemen A dikalikan dengan konstanta tak nol k, yakni : kA=k[aij]= [kaij] Contoh : 18129 1536 )6(3)4(3)3(3 )5(3)1(3)2(3 643 512 33A 643 512                           A
  • 9. (3) Penjumlahan, A+B (1) Matrik, A=[aij] dan B=[bij] dikatakan dapat dijumlahkan ditulis A+B bilamana A dan B berukuran sama. (2) Bilamana, A+B=C, maka elemen matrik C diberikan, cij = aij + bij (elemen yang seletak dijumlahkan) OPERASI ARITMATIK MATRIK (2) Contoh : Diberikan :                                                              2605 11112 818121249 4152384 8124 428 18129 1534 462 214 2- 643 512 32B-3A :maka 462 214 dan 643 512 BA
  • 10. OPERASI ARITMATIK MATRIK (3) (4) Perkalian Matrik, AB=C (1) Matrik, A=[aij](m=n) dan B=[bij](pxq) dikatakan dapat dikalikan ditulis AB bilamana jumlah kolom A dan jumlah baris B sama [n=p]. (2) Bilamana, AB=C, maka matrik C=[cij](mxq) dimana elemen cij diberikan oleh : njinjiji n k kjikij bababa bac     ...2211 1 (mxq)(pxq)(mxn) CBA                                                                       643 512 13 42 61 BA 813 1315 13 42 61 643 512 AB maka 13 42 61 dan 643 512 BA Contoh : Diberikan :
  • 11. Soal Latihan                                        12 21 23 12 dan 132 22 141 ; 324 213 ).1( C a ba b BA Hitunglah (a). AB ; BC dan CA (b). (AB)C = A(BC) (c). (BC)(A)=B(CA) (d). (CA)B = C(AB)                                                      ab b ba b a C ba ab ab ba B ba ab ba A 1 22 1 21 12 211 111 232 321 ; 24 42 31 ).2(
  • 12. DETERMINAN MATRIK Fungsi determinan matrik bujur sangkar A dinyatakan dengan det(A)=|A|, didefinisikan sebagai jumlahan hasil kali elementer elemen-elemen bertanda A Kasus n=1 A=[a], det(A) =|a| = a Kasus n=2 10)6(4 12- 34 bc-addet(A) dc ba |A|maka, dc ba A          Kasus, n=3, Metode Sarrus 3231 2221 1211 333231 232221 131211 333231 232221 131211 aa aa aa aaa aaa aaa |A| :|A|det(A)Sarrus,metodedengan aaa aaa aaa A              (–) (–) (–) (+) (+) (+) 7412248916 423 121 432 aaaaaaaaa- aaaaaaaaa 312213332112322311 322113312312332211   
  • 13. METODE EKSPANSI LAPLACE Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn). (1). Minor elemen matrik A baris ke-i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mij didefinisikan sebagai determinan matrik berordo (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan cara menghilangkan baris ke-I dan kolom ke-j (2). Kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j ditulis C-ij didefinisikan sebagai : ij ji ij MC   )1( CONTOH :            63-4 523 212- A 17 3-4 23 1)( M)1(C :untukdan -12(-1)(12) M(-1)C 12)6(6 63- 21 M 13 31 13 21 12 21 21        M21 baris ke-2 dan kolom ke-1 dihilangkan
  • 14. CONTOH : Minor              124-5 2-324 25-13 4132- A              124-5 2-324 25-13 4132- A M23 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-2 dan kolom ke-3 dari matrik A dihilangkan M32 determinan matrik berordo (3x3) baris ke-3 dan kolom ke-2 dari matrik A dihilangkan 134 (-16)-12-40- (-64)(-30)(-4) 14-5 2-24 432- M23    149 (-8)-3-(-100)-240110 125 25-3 412- M32   
  • 15. DETERMINAN METODE EKSPANSI LAPLACE Andaikan, A=[aij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn), dan Cij = (-1)i+j Mij adalah kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j. )i-kebariskofaktorEkspansi( Ca...CaCa n1,2,...,i;Cadet(A)).2( oleh,diberikan Amatrikdeterminan2nUntuk, aa|A|det(A) 1,nUntuk).1( inini2i2i1i1 n 1k ikik 1111        )j-kekolomkofaktorEkspansi( Ca...CaCa n1,2,...,j;Cadet(A)).3( njnj2j2j1j1j n 1k kjkj     CONTOH Hitung det (A) dengan ekspansi kofaktor 1494(31)1(-7)--2(-9) 25 5-3 4 15 23 1- 12 25- (-2) MaMa-Ma CaCaCa 125 25-3 412- det(A) 131312121111 131312121111     
  • 16. CONTOH Hitunglah determinan matrik A Ekspnasi kofaktor baris              4165 3244 5423 7612 A 19()7()6()()2 165 244 423 7- 465 344 523 6 415 324 543 1- 416 324 542 2 Ma-MaMa-Ma CaCa CaCadet(A) 1414131312121111 14141313 12121111      CONTOH Hitunglah determinan matrik A Ekspansi kofaktor kolom              4165 3244 5423 7612 A 196()4()-2()-1() 324 543 762 6 415 543 762 4 415 324 762 2 415 324 543 -1 MaMa-MaM-a CaCa CaCadet(A) 4242323222221212 42423232 22221212     
  • 17. DETERMINAN : METODE CHIO Andaikan, A=[aij](nxn), dan a110, maka : aa aa... aa aa aa aa ... aa aa ...... aa aa... aa aa aa aa aa aa ... aa aa aa aa )(a 1 det(A) nnn1 1n11 n2n1 1211 n2n1 1211 iji1 1j11 3n31 1n11 3331 1311 3231 1211 2n21 1n11 2321 1311 2221 1211 2-n 11  Rumus diatas dikenal pula dengan, rumus menghitung determinan dengan mereduksi orde / ukuran matrik. Reduksi ordenya dapat pula menggunakan elemen matrik yang lain, tidak harus a11.
  • 18. CONTOH Hitunglah, det(A) dari : Jawab : Karena, a11= –2, dan n=3, maka :            125 25-3 412- A 149 2 298 )144154( 2 1 22-9- 16-7 2 1 15 42- 25 12- 23 42- 5-3 12- (-2) 1 det(A) 2-3                   4165 3244 5423 7612 A CONTOH Hitunglah, det(A) dari : Jawab : Karena, a11= 2, dan n=4, maka : 19 4 76 4 9241000 5042 2220 4 1 )7727()7028( )4422()4020( )1( 1 x 4 1 27287 22204 11101 4 1 35)-(830)-(25)-(12 28)-(624)-(44)-(8 21)-(1018)-(83)-(4 (2) 1 det(A) 23 2-4            
  • 19. SIFAT-SIFAT DETERMINAN (1). Jika A matrik bujur sangkar maka det(A) = det(AT) Contoh :                       623 154 432 A 614 253 342 A T Menurut sifat (1), maka : det(A) = det(AT) = –42 (2). Jika A dan B adalah matrik bujur sangkar yang berordo sama maka det(AB) = det(A) det(B) Contoh : 8det(B)60det(A) 200 3-20 21-2 Bdan 602 051 002 A                        480860)det()det(det(AB) 1624 1392 424 200 3-20 21-2 602 051 002 AB                                     BA
  • 20. (3). Jika A matrik bujur sangkar yang memuat baris atau kolom dimana elemennya 0 atau sebanding, maka det(A) = 0 Contoh : SIFAT-SIFAT DETERMINAN                       023 054 032 A 614 000 342 A Baris-2 matrik A elemennya 0, maka det(A)=0 Kolom-3 matrik A elemennya 0, maka det(A)=0 (4). Jika A matrik segitiga atas (bawah) yang berordo (nxn) dimana elemen diagonal utama tak nol, maka : det(A) = a11a22a33 … ann Contoh :              4000 3500 5430 7612 A A matrik segitiga atas, maka : det(A) = (2)(3)(4)(5) = 120
  • 21. (5). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol, maka : det(B) = k det(A) Operasi elementarnya adalah : Hi  k Hi : Baris ke-i baru = kx baris ke-i lama Kj  k Kj : Kolom ke-j baru = kxkolom ke-j lama SIFAT-SIFAT DETERMINAN CONTOH :                       18312 642 342 B 614 321 342 A det(A)=21 H2  2 H2 k1= 2 H2  3 H2 k2=3 det(B) = k1 k2 det (A) = (2) (3) 21 = 126
  • 22. (6). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara menukarkan semua elemen sembarang baris (kolom) , maka : det(B) = – det(A) Operasi elementarnya adalah : Hi  Hj : Baris ke-i baru = baris ke-j lama Ki  Kj : Kolom ke-i baru = kolom ke-j lama SIFAT-SIFAT DETERMINAN CONTOH :                                  231 164 432 C 321 614 342 B 614 321 342 A det(A)=21 H2  H3 K2  K3 det(B)= –det(A) = –21 det(C)= –det(B) = –(–21)=21
  • 23. (7). Jika A dan B matrik bujur sangkar yang berordo sama. Jika matrik B diperoleh dari A dengan cara mengalikan sembarang baris (kolom) dengan konstanta k tak nol dan hasilnya dijumlahkan pada baris (kolom) yang lain, maka : det(B) = det(A) Operasi elementarnya adalah : Hi  Hi+kHj : Baris ke-i baru = Baris ke-i lama + k baris ke-j lama Kj  Kj+k Kj : Kolom ke-j baru = kolom ke-j lama + k kolom ke-i lama SIFAT-SIFAT DETERMINAN                                  400 3-2-0 321 C 2-4-0 3-2-0 321 B 723 322 321 A CONTOH : a11 = pivot a21 dan a31 direduksi menjadi 0 H2  H2 – 2 H1 H3  H3 – 3 H1 a22 = pivot a32 = direduksi – 0 H3  H3 – 2H2 Jadi, det(A) = (1)(-2)(4) = -8
  • 24. Matrik Awal 2 2 4 0 40 3 2 0 1 2 4 6 3 2 4 4 6 Iterasi 1 PIVOT = a11 2 2 4 0 0 -1 -6 1 H2=H2-(a21/a11)H1 0 2 2 3 H3=H3-(a31/a11)H1 0 2 0 6 H4=H4-(a41/a11)H1 Iterasi 2 PIVOT=a22 2 2 4 0 0 -1 -6 1 0 0 -10 5 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 -12 8 H4=H4-(a42/a22)H2 Iterasi 3 PIVOT=a33 2 2 4 0 0 -1 -6 1 0 0 -10 5 0 0 0 2 H4=H4-(a43/a33)H3
  • 25. Matrik Awal 2 4 8 8 8 4 4 6 8 2 4 4 7 7 5 4 8 14 14 8 2 2 6 9 12 CONTOH : Iterasi 1 2 4 8 8 8 -64 0 -4 -10 -8 -14 H2=H2-(a21/a11)H1 0 -4 -9 -9 -11 H3=H3-(a31/a11)H1 0 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a41/a11)H1 0 -2 -2 1 4 H5=H5-(a51/a11)H1 Iterasi 2 2 4 8 8 8 -64 0 -4 -10 -8 -14 0 0 1 -1 3 H3=H3-(a32/a22)H2 0 0 -2 -2 -8 H4=H4-(a42/a22)H2 0 0 3 5 11 H5=H5-(a52/a22)H2 Iterasi3 2 4 8 8 8 0 -4 -10 -8 -14 0 0 1 -1 3 0 0 0 -4 -2 H4=H4-(a43/a33)H3 0 0 0 8 2 H5=H5-(a53/a33)H3 Iterasi4 2 4 8 8 8 0 -4 -10 -8 -14 0 0 1 -1 3 0 0 0 -4 -2 0 0 0 0 -2 H5=H5-(a54/a44)H4
  • 26. DEKOMPOSISI MATRIK DAN DETERMINAN Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didekomposisi, jika terdapat matrik segitiga bawah L dan matrik segitiga atas U sedemikian rupa sehingga : A = LU Akibatnya : det(A) = det(L) det (U) CONTOH 24)det( 1462 951 642 LUA 100 210 321 U; 422 031 002 L                                   A TEKNIK MENGHITUNG DEKOMPOSISI, A=LU (1) Metode Crout, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga atas U adalah satu. (2) Metode Doollite, mendekomposisi matrik yang menghasilkan elemen diagonal utama matrik segitiga bawah L adalah 1 (3) Metode Cholesky mendekomposisi matrik diagonal utama L dan U sama. Metode ini hanya untuk matrik simetris. (4) Metode Operasi Elementer, mendekomposisi matrik menjadi segitiga atas atau segitiga bawah
  • 27. DEKOMPOSISI : METODE CROUT Kasus n=3 Rumus perhitungannya :                                333231 232221 131211 23 1312 333231 2221 11 aaa aaa aaa 100 u10 uu1 lll 0ll 00l 233213313333 22 132123 23 12313232 12212222 11 13 13 11 12 12 313121211111 :5Iterasi :4Iterasi ;:3Iterasi ;:2Iterasi ;;:1Iterasi ululal l ula u ulal ulal a a u a a u alalal        Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Crout adalah : n2,...,jj,i l ula u n1,...,ii,j ulal ii 1i 1k ikikij ij 1j 1k kjikijij           
  • 28.               1624 1392 424 A CONTOH : Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi Jawab : 1 4 4 5.0- 4 2- :2Iterasi 4;2;4 :1Iterasi 13 12 312111    u u lll 120(-1.5)-4(1)-16:5Iterasi -1.5 10 2(1)-13- :4Iterasi 04(-0.5)--2 ;10(2)(-0.5)-9:3Iterasi 33 23 32 22     l u l l 480U)det(L)det(det(A) 1)det( 100 1.5-10 10.5-1 U 480)12)(10(4)det( 1204 0102 004 L Jadi,                          U L
  • 29. KASUS n=4 : METODE CROUT Rumus iterasi perhitungannya adalah :                                      44434241 34333231 24232221 14131211 34 2423 141312 44434241 333231 2221 11 1000 100 10 1 0 00 000 aaaa aaaa aaaa aaaa u uu uuu llll lll ll l 22 142124 24 22 132123 23 12414242 12313232 12212222 11 14 14 11 13 13 11 12 12 41413131 21211111 :4Iterasi ;:3Iterasi ;;:2Iterasi ;; ;;:1Iterasi l ula u l ula u ulal ulal ulal a a u a a u a a u alal alal           3443244214414444 33 2432143134 34 234213414343 233213313333 :7Iterasi :6Iterasi :5Iterasi ulululal l ulula u ululal ululal     
  • 30. CONTOH : Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi Jawab :              6442 3642 1023 0422 A 2)1(24 2)1(24 ;1)1(32:3Iterasi 0 2 0 ;2 2 4 ;1 2 2 :2Iterasi ;2;2 ;3;2:1Iterasi 42 32 22 14 1312 4131 2111        l l l u uu ll ll -1 (-1) )0(3)(-1 u 6 (-1) 3(2)-0 u:4Iterasi 24 23   212(0.5)-2(-1)-2(0)-6 :7Iterasi 5.0 10 2(-1)-2(0)-3 :6Iterasi -122(6)-2(2)-4 -102(6)-2(2)-6:5Iterasi 44 34 43 33     l u l l                           1000 0.5100 1-610 0211 U; 21222 01022 001-3 0002 L Jadi,
  • 31. DEKOMPOSISI : METODE DOOLITTLE Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah : n,...,2ii,j u ula l n1,...,jj,i ulau ii 1j 1k ikikij ij 1i 1k kjikijij            Kasus n=3 Rumus perhitungannya :                                333231 232221 131211 33 2322 131211 3231 21 aaa aaa aaa u00 uu0 uuu 1ll 01l 001 233213313333 22 123132 32 13212323 12212222 11 31 31 11 21 21 131312121111 :5Iterasi l:4Iterasi u ;:3Iterasi ;l:2Iterasi ;;u:1Iterasi ululau u ula ula ulau a a l a a auaua       
  • 32. KASUS n=4 : METODE DOOLITTLE Rumus iterasi perhitungannya adalah :                                      44434241 34333231 24232221 14131211 44 3433 242322 14131211 434241 3231 21 000 00 0 1 01 001 0001 aaaa aaaa aaaa aaaa u uu uuu uuuu lll ll l 22 124142 42 22 123132 32 12414224 13212323 12212222 11 41 41 11 31 31 11 21 21 14141313 12121111 l l:4Iterasi u ;:3Iterasi ;;l:2Iterasi ;; ;;u:1Iterasi u ula u ula ulau ula ulau a a l a a l a a auau aua           3443244214414444 33 2342134143 43 243214313434 233213313333 :7Iterasi :6Iterasi u u :5Iterasi ulululau u ulula l ulula ulula     
  • 33. TUGAS II,III dan IV                  3a1a3b1b 1a1a1b1b 1b2b1a2a 1bba1a A Hitunglah det(A) dengan cara : a. Ekspansi kofaktor baris (genap/ganjil) b. Ekspansi kofaktor kolom (ganjil/genap) c. Sifat-sifat determinan (reduksi menjadi matrik segitiga) d. Metode CHIO e. Dekomposisi matrik (CROUT dan Doolite)                       4121 42121 11212 1121 211 aaabb aaabb aaabb bbbaa bbbaa A Hitunglah det (A) dengan cara : a) sifat-sifat determinan b) Metode CHIO c) Dekomposisi matrik (Crout dan Doolite)