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S4 cours  chap2 - produit scalaire-orthogonalité
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  • 1. Université Mohammed V – Agdal ‫– اآ ال‬ ‫ا‬ Faculté des Sciences Juridiques, ‫د‬ ‫وا‬ ‫ما‬ ‫ا‬ ‫آ‬ Economiques et sociales ‫وا‬ RABAT ‫ط‬ ‫اا‬ http://www.fsjesr.ac.ma Filière de Sciences Économiques et de Gestion Semestre : S4 Module : M 16 (Méthodes Quantitatives IV) Matière : Algèbre II CHAPIITRE 2 : PRODUIT SCALAIRE-ORTHOGONALITE CHAP TRE 2 :I- Produit scalaire dans Թ࢔ et Espace euclidien Թ࢔ ........................................................... 2 I-1 Définitions ...................................................................................................................................................... 2 I-2 Matrice dun produit scalaire .......................................................................................................................... 3 I-3 Produit scalaire et norme euclidienne ............................................................................................................. 4 I-4 Produit scalaire et angle de deux vecteurs ...................................................................................................... 5II- Orthogonalité .................................................................................................................. 5 II-1 Vecteurs orthogonaux ................................................................................................................................... 5 II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt ............................................................................................ 6 II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux ............................................................................................................ 7III- Projection - Projection orthogonale ............................................................................. 8 III-1 Définitions ................................................................................................................................................... 8 III-2 Détermination pratique de la projection orthogonale .................................................................................. 9 III-1 Caractérisation et propriétés ...................................................................................................................... 10 IV-1 Droites dans Թଶ ......................................................................................................................................... 12IV- Application aux droites et aux plans ........................................................................... 12 Equation d’une droite dans le plan ....................................................................................................... 12 IV-2 Plans et droites dans Թଷ ............................................................................................................................. 14 Projection orthogonale sur une droite du plan..................................................................................... 13 Equation d’un plan, équation d’une droite dans l’espace .................................................................... 14 Projection orthogonale sur un plan ...................................................................................................... 16 Projection orthogonale sur une droite .................................................................................................. 17V- Application aux matrices : images et noyaux orthogonaux ........................................ 17VI- Retour aux systèmes linéaires (solution au sens des MCO) ...................................... 18Professeure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 1
  • 2. I- Produiit scallaiire dans Թ࢔ et Espace euclliidiien Թ࢔[S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] I- Produ t sca a re dans Թ࢔ et Espace euc d en Թ࢔ Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité I-1 Définitions On appelle produit scalaire dans Թ௡ toute application ߮ de Թ௡ ൈ Թ௡ dans Թ qui possède lesDéfinition : (Produit scalaire) On notera ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ , ou simplement ‫ ,ۄݕ ,ݔۃ‬le nombre réel ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ. propriétés ci-dessus. - Linéarité par rapport à la première variable : ሺ‫ ݔ ,ݔ׊‬ᇱ , ‫ א ݕ‬Թ௡ ݁‫ א ߚ ,ߙ׊ ݐ‬Թሻ (1) La bilinéarité. ߮ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ݕ‬ሻ ൌ ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൅ ߮ሺ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ݕ‬ሻ ൜ ฻ ߮ሺߙ. ‫ ݔ‬൅ ߚ. ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ݕ‬ሻ ൌ ߙ. ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൅ ߚ. ߮ሺ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ݕ‬ሻ ߮ሺߙ. ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ߙ. ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ ݔۃ‬൅ ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ۄݕ‬ఝ ൌ ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ ൅ ‫ ݔۃ‬ᇱ , ‫ۄݕ‬ఝ ou encore : ቊ ฻ ‫ ݔ .ߙۃ‬൅ ߚ. ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ۄݕ‬ఝ ൌ ߙ. ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ ൅ ߚ. ‫ ݔۃ‬ᇱ , ‫ۄݕ‬ఝ ‫ۄݕ ,ݔ .ߙۃ‬ఝ ൌ ߙ. ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ - Linéarité par rapport à la deuxième variable : ሺ‫ ݕ ,ݕ ,ݔ׊‬ᇱ ‫ א‬Թ௡ ݁‫ א ߚ ,ߙ׊ ݐ‬Թሻ ߮ሺ‫ ݕ ,ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ᇱ ሻ ൌ ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൅ ߮ሺ‫ ݕ ,ݔ‬ᇱ ሻ ൜ ฻ ߮ሺ‫ ݕ .ߙ ,ݔ‬൅ ߚ. ‫ ݕ‬ᇱ ሻ ൌ ߙ. ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൅ ߚ. ߮ሺ‫ ݕ ,ݔ‬ᇱ ሻ ߮ሺ‫ݕ .ߙ ,ݔ‬ሻ ൌ ߙ. ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ ݕ ,ݔۃ‬൅ ‫ ݕ‬ᇱ ‫ۄ‬ఝ ൌ ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ ൅ ‫ ݕ ,ݔۃ‬ᇱ ‫ۄ‬ఝ ou encore : ቊ ฻ ‫ ݕ .ߙ ,ݔۃ‬൅ ߚ. ‫ ݕ‬ᇱ ‫ۄ‬ఝ ൌ ߙ. ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ ൅ ߚ. ‫ ݕ ,ݔۃ‬ᇱ ‫ۄ‬ఝ ‫ۄݕ .ߙ ,ݔۃ‬ఝ ൌ ߙ. ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ ‫ א ݕ ,ݔ׊‬Թ௡ ‫׷‬ ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ou encore ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ ൌ ‫ۄݔ ,ݕۃ‬ఝ (2) La bilinéarité. ‫ א ݔ׊‬Թ௡ ‫׷‬ ߮ሺ‫ݔ ,ݔ‬ሻ ൒ 0 ou encore ‫ۄݔ ,ݔۃ‬ఝ ൒ 0 (3) La positivité. ‫ א ݔ׊‬Թ௡ ‫׷‬ ߮ሺ‫ݔ ,ݔ‬ሻ ൌ 0 ฻ ‫ 0 ؠ ݔ‬ou encore ‫ۄݔ ,ݔۃ‬ఝ ൌ 0 ฻ ‫0 ؠ ݔ‬ (4) La non dégénérescence. Lorsquil est muni dun produit scalaire ‫ۄ . , .ۃ‬ఝ , Թ௡ est appelé un espace vectoriel euclidien.Définition : (Espace vectoriel euclidien) On le note par ൫Թ௡ , ‫ۄ . , .ۃ‬ఝ ൯ (1) ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ∑௡ ‫ݔ‬௜ ‫ݕ‬௜ est un produit scalaire sur Թ௡ : produit scalaire canonique ou usuel de Թ௡ .Exemples : ௜ୀଵ (2) ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ∑௡ ܽ௜ ‫ݔ‬௜ ‫ݕ‬௜ , ሺܽ௜ ൐ 0, ‫ ݅׊‬ൌ 1, … ݊ሻ est un produit scalaire sur Թ௡ . ௜ୀଵ (3) ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 2ݕ‬est un produit scalaire sur Թଶ . (4) ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଶ ‫ 2ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଷ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫ 2ݕ‬est un produit scalaire sur Թଷ .Professeure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 2
  • 3. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité I-2 Matrice dun produit scalaire La matrice d’un produit scalaire ‫ۄ . , .ۃ‬ఝ défini sur Թ௡ , muni de sa base canonique ሼ݁ଵ , … , ݁௡ ሽDéfinition : (Matrice d’un produit scalaire) c’est la matrice ‫ ܯ‬définie par ݉௜௝ ൌ ߮൫݁௜ , ݁௝ ൯, ሺ݅ ൌ 1, ݊ሻ .Exemples : (2) La matrice du produit scalaire défini ‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌ ∑௡ ܽ௜ ‫ݔ‬௜ ‫ݕ‬௜ , ܽ௜ ൐ 0 c’est la matrice diagonale ሺܽ௜௜ ሻଵஸ௜ஸ௡ . (1) La matrice du produit scalaire canonique c’est la matrice identité. ௜ୀଵ 2 1 (3) La matrice du produit scalaire défini ‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 2ݕ‬c’est la matrice ቂ ቃ. 1 1 (4) La matrice du produit scalaire défini ‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଶ ‫ 2ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଷ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫ 1ݕ‬൅ 2 1 1 ‫ݔ‬ଶ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫ 2ݕ‬c’est la matrice ൥1 2 1൩. 1 1 2Définition : (Matrice symétrique définie positive) Une matrice symétrique est dite définie positive si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.Exemples : (1) La matrice identité est une matrice symétrique définie positive. (2) Une matrice diagonale est une matrice symétrique définie positive si tous ses éléments diagonaux sont 1 2 (3) La matrice symétrique ቂ ቃ n’est pas définie positive. strictement positifs. 2 1 2 1 (4) La matrice symétrique ቂ ቃ est définie positive. 1 1 1 1 െ1 (5) La matrice symétrique ൥ 1 1 1 ൩ n’est pas définie positive car ܲ஺ ሺߣሻ ൌ െሺߣ ൅ 1ሻሺߣ െ 2ሻଶ െ1 1 1 2 1 1 (6) La matrice symétrique ൥1 2 1൩ est définie positive car ܲ஺ ሺߣሻ ൌ െሺߣ െ 4ሻሺߣ െ 2ሻଶ 1 1 2 La matrice d’un produit scalaire sur Թ௡ est une matrice symétrique définie positive.Proposition :Exemples : La matrice du produit scalaire ‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌ ∑௡ ܽ௜ ‫ݔ‬௜ ‫ݕ‬௜ , ܽ௜ ൐ 0 est symétrique définie positive. (1) La matrice du produit scalaire canonique est symétrique définie positive (la matrice identité). ௜ୀଵ La matrice du produit scalaire ‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 2ݕ‬est symétrique définie positive. (2) La matrice du produit scalaire ‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଶ ‫ 2ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଷ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫ 1ݕ‬൅ (3) ‫ݔ‬ଶ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫ 2ݕ‬est symétrique définie positive. (4)Professeure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 3
  • 4. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité Une matrice carrée d’ordre ݊ définit un produit scalaire sur Թ௡ si et seulement si elle estProposition : Soit ‫ ܯ‬une matrice symétrique définie positive d’ordre ݊. symétrique définie positive. L’application ߮ de Թ௡ ൈ Թ௡ dans Թ par ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ௧‫ ݕ .ܯ .ݔ‬est un produit scalaire sur Թ௡ . On notera ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ெ , le nombre réel ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ. 1 2 (1) La matrice symétrique ቂ ቃ ne définit pas de produit scalaire sur Թଶ car elle n’est pas définie positive.Exemples : 2 1 2 1 (2) La matrice symétrique ቂ ቃ définit un produit scalaire Թଶ (car elle est définie positive) par 1 1 2 1 ‫1ݕ‬ ߮ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ሺ‫ݔ‬ଵ ‫ݔ‬ଶ ሻ ቂ ቃ ቀ ቁ ൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫2ݕ‬ 1 1 ‫2ݕ‬ 1 1 െ1 (3) La matrice ൥ 1 1 1 ൩ ne définit pas de produit scalaire sur Թଷ car elle n’est pas définie positive. െ1 1 1 2 1 1 (4) La matrice symétrique ൥1 2 1൩ définit un produit scalaire Թଷ (car elle est définie positive) par 1 1 2 2 1 1 ‫1ݕ‬ ‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌ ሺ‫ݔ‬ଵ ‫ݔ‬ଶ ‫ݔ‬ଶ ሻ ൥1 2 1൩ ൭‫ 2ݕ‬൱ 1 1 2 ‫3ݕ‬ ‫ ۄݕ ,ݔۃ‬ൌ 2‫ݔ‬ଵ ‫ 1ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଶ ‫ 2ݕ‬൅ 2‫ݔ‬ଷ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 2ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଵ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫ 1ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଶ ‫ 3ݕ‬൅ ‫ݔ‬ଷ ‫2ݕ‬ I-3 Produit scalaire et norme euclidienne Soit ‫ۄݕ ,ݔۃ‬ఝ un produit scalaire sur Թ௡ . On notera ԡ‫ݔ‬ԡఝ simplement par ԡ‫ݔ‬ԡ.Définition : L’application définie de Թ௡ vers Թ par : ԡ‫ݔ‬ԡ ൌ ඥ‫ۄݔ ,ݔۃ‬ఝ s’appelle norme euclidienne. Le nombre ԡ‫ݔ‬ԡ s’appelle norme du vecteur ‫.ݔ‬ L’application définie de Թ௡ vers Թ par : ݀ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ԡ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ԡ s’appelle distance euclidienne. La distance d’un point ‫ ݔ‬à un sous espace vectoriel ‫ ܨ‬est donnée par : ݀ሺ‫ܨ ,ݔ‬ሻ ൌ minԡ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ԡ ௬‫א‬ி Homogénéité : ԡߣ. ‫ݑ‬ԡ ൌ |ߣ|. ԡ‫ݑ‬ԡPropriétés : (norme euclidienne) Norme d’une somme de deux vecteurs : ԡ‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ԡଶ ൌ ԡ‫ݑ‬ԡଶ ൅ ԡ‫ݒ‬ԡଶ ൅ 2. ‫ۄݒ ,ݑۃ‬ (1) Inégalité de Schwarz : |‫ |ۄݒ ,ݑۃ‬൑ ԡ‫ݑ‬ԡ. ԡ‫ݒ‬ԡ (2) Inégalité de Minkowski : ԡ‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ԡ ൑ ԡ‫ݑ‬ԡ ൅ ԡ‫ݒ‬ԡ (3) (4) (1) ݀ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ݀ሺ‫ݔ ,ݕ‬ሻPropriétés : (distance euclidienne) (2) ݀ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ 0 ฻ ‫ ݔ‬ൌ ‫ݕ‬ (3) ݀ሺ‫ݖ ,ݔ‬ሻ ൑ ݀ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ൅ ݀ሺ‫ݖ ,ݕ‬ሻProfesseure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 4
  • 5. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -OrthogonalitéProposition : Si ൫Թ௡ , ‫ۄ . , .ۃ‬ఝ ൯ est un espace euclidien, alors : ‫ א ݒ ,ݑ׊‬Թ௡ ; ‫ ۄݒ ,ݑۃ‬ൌ ସ ሺԡ‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ԡଶ െ ԡ‫ ݑ‬െ ‫ݒ‬ԡଶ ሻ ଵ Pour désigner un espace euclidien, on note alors aussi ൫Թ௡ , ԡ. ԡఝ ൯ au lieu de ൫Թ௡ , ‫ۄ . , .ۃ‬ఝ ൯, La connaissance de la norme détermine complètement le produit scalaire. ԡ. ԡఝ étant la norme euclidienne associée au produit scalaire ‫ۄ . , .ۃ‬ఝ . I-4 Produit scalaire et angle de deux vecteurs Si ‫ ݑ‬et ‫ ݒ‬sont deux vecteurs non nuls de ሺԹ୬ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ alors il existe un unique angle θ ‫ א‬ሾ0, πሿ telProposition : |‫ |ۄݒ ,ݑۃ‬൑ ԡ‫ݑ‬ԡ. ԡ‫ݒ‬ԡ que cos ߠ ൌ ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ : ൜ ฺ െ1 ൑ ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ ൑ 1 ฺ ‫ א ߠ׌‬ሾ0, ߨሿ/ cos ߠ ൌ ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ ‫ۃ‬௨,௩‫ۄ‬ ‫ۃ‬௨,௩‫ۄ‬ ‫ۃ‬௨,௩‫ۄ‬ ԡ‫ݑ‬ԡ. ԡ‫ݒ‬ԡ ് 0 Si ‫ ݑ‬et ‫ ݒ‬sont deux vecteurs non nuls de ሺԹ௡ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ alors l’unique angle ߠ ‫ א‬ሾ0, ߨሿ vérifiantDéfinition : cos ߠ ൌ ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ s’appelle angle des deux vecteurs ‫ ݑ‬et ‫. ݒ‬ ‫ۃ‬௨,௩‫ۄ‬ On considère dans toute la suite l’espace euclidien ሺԹ࢔ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ : où Թ࢔ est muni du produit scalaire usuel : ࢔ ࢔ ‫ א ࢟ ,࢞׊‬Թ ‫ ۄ࢟ ,࢞ۃ ׷‬ൌ ෍ ࢞࢏ ࢟࢏ ; ԡ࢞ԡ ൌ ඩ෍ሺ࢞࢏ ሻ૛ ࢔ ࢏ൌ૚ ࢏ൌ૚ II- Orthogonalliité II- Orthogona té II-1 Vecteurs orthogonaux On dit que deux vecteurs ‫ ݑ‬et ‫ ݒ‬de Թ௡ sont orthogonaux et on note ‫ ݒ ٣ ݑ‬ssi ‫ ۄݒ ,ݑۃ‬ൌ 0.Définition : ෣Propriétés : (1) L’angle de deux vecteurs orthogonaux ‫ ݑ‬et ‫ ݒ‬est égal à : cosሺ‫ݒ ,ݑ‬ሻ ൌ ԡ௨ԡ.ԡ௩ԡ ൌ 0 గ ‫ۃ‬௨,௩‫ۄ‬ ଶ (2) Deux vecteurs ‫ ݑ‬et ‫ ݒ‬sont orthogonaux ssi ԡ‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ԡଶ ൌ ԡ‫ݑ‬ԡଶ ൅ ԡ‫ݒ‬ԡଶ (l’identité de Pythagore) Un système de vecteurs ሼ‫ݑ‬ଵ , … , ‫ݑ‬௞ ሽ de Թ௡ est un système orthogonal ssi ‫ݑۃ‬௜ , ‫ݑ‬௝ ‫ ۄ‬ൌ 0 ‫.݆ ് ݅ ݅ݏ‬Définition :Professeure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 5
  • 6. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -OrthogonalitéProposition : Un système orthogonal est libre. Un système, de n vecteurs de Թ௡ , ሼ‫ݑ‬ଵ , … , ‫ݑ‬௡ ሽ est une base orthonormée ssi :Définition : 0 ‫݆ ് ݅ ݅ݏ‬ ‫ݑۃ‬௜ , ‫ݑ‬௝ ‫ ۄ‬ൌ 0 ‫݆ ് ݅ ݅ݏ‬ ‫ݑۃ‬௜ , ‫ݑ‬௝ ‫ ۄ‬ൌ ߜ௜௝ ൌ ൜ ‫ ݅ݏݏ‬ቊ 1 ‫݆ ് ݅ ݅ݏ‬ ‫ݑۃ‬௜ , ‫ݑ‬௜ ‫ ۄ‬ൌ ԡ‫ݑ‬௜ ԡଶ ൌ 1 . Tout sous espace vectoriel de ሺԹ௡ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ admet une base orthonormée.Proposition : II-2 Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt Soit ‫ ܧ‬un sous espace de ሺԹ௡ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ . Le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt consiste à construire une base orthonormée ൛ߝଵ , … , ߝ௣ ൟ de ‫ ܧ‬à partir d’une base quelconque ൛‫ݑ‬ଵ , … , ‫ݑ‬௣ ൟ de ‫. ܧ‬Étapes du procédé : Départ : ൛‫ݑ‬ଵ , … , ‫ݑ‬௣ ൟ une base de ‫.ܧ‬ Étape 1 : construire le 1er vecteur de la base orthonormée ߝଵ ߝԢଵ ߝԢଵ ൌ ‫ݑ‬ଵ ื ߝଵ ൌ ԡߝԢଵ ԡ Étape 2 : construire le 2ème vecteur de la base orthonormée ߝଶ ߝԢଶ ߝԢଶ ൌ ‫ݑ‬ଶ െ ‫ݑۃ‬ଶ , ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ื ߝଶ ൌ ԡߝԢଶ ԡ Étape r : construire le rième vecteur de la base orthonormée ߝ௥ ߝԢ௥ ߝԢ௥ ൌ ‫ݑ‬௥ െ ‫ݑۃ‬௥ , ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ … െ ‫ݑۃ‬௥ , ߝ௥ିଵ ‫ߝ .ۄ‬௥ିଵ ื ߝ௥ ൌ ԡߝԢ௥ ԡ Étape p : construire le pième vecteur de la base orthonormée ߝ௣ ߝԢ௣ ߝԢ௣ ൌ ‫ݑ‬௣ െ ‫ݑۃ‬௣ , ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ … െ ‫ݑۃ‬௣ , ߝ௣ିଵ ‫ߝ .ۄ‬௣ିଵ ื ߝ௣ ൌ ฮߝԢ௣ ฮ Arrivée : ൛ߝଵ , … , ߝ௣ ൟ est une base orthonormée de ܸ.Exemple : Une base orthonormée du sous espace vectoriel ܸ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ൌ 0ሽ ‫ 1ݑ‬ൌ ሺെ1,1,0,0ሻ Départ : On construit une base ሼ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሽ de ܸ ቐ‫ 2ݑ‬ൌ ሺെ1,0,1,0ሻ ‫ 3ݑ‬ൌ ሺെ1,0,0,1ሻ Étape 1 : On construit le 1er vecteur de la base orthonormée ߝଵ ൌ ቀ , , 0,0ቁ ିଵ ଵ √ଶ √ଶ ߝ ᇱଵ ൌ ‫ݑ‬ଵ ൌ ሺെ1,1,0,0ሻ ԡߝ ᇱଵ ԡ ൌ √2 ߝଵ ൌ ԡఌᇱ ԡ . ߝԢଵ ൌ . ሺെ1,1,0,0ሻ ଵ ଵ భ √ଶProfesseure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 6
  • 7. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité Étape 2 : construire le 2ème vecteur de la base orthonormée ߝଶ ൌ ቀ , , , 0ቁ ିଵ ିଵ ଶ √଺ √଺ √଺ ߝ ᇱ ଶ ൌ ‫ݑ‬ଶ െ ‫ݑۃ‬ଶ , ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ൌ ሺെ1,0,1,0ሻ െ ቀ , , 0,0ቁ ൌ ቀ ଶ , ଶ , 1,0ቁ ; ‫ݑۃ‬ଶ , ߝଵ ‫ ۄ‬ൌ ଵ ିଵ ଵ ିଵ ିଵ ଵ √ଶ √ଶ √ଶ √ଶ ିଵ ଶ ିଵ ଶ ԡߝ ᇱ ଶ ԡ ൌ ටቀ ቁ ൅ ቀ ቁ ൅ ሺ1ሻଶ ൌ ට ଷ ଶ ଶ ଶ ߝଶ ൌ ԡఌᇱ ԡ . ߝԢଶ ൌ ටଷ . ቀ ଶ , , 1,0ቁ ଵ ଶ ିଵ ିଵ మ ଶ Étape 3 : construire le 3ème vecteur de la base orthonormée ߝଷ ൌ ቀଶ , , , ቁ ିଵ ିଵ ିଵ ଷ √ଷ ଶ √ଷ ଶ √ଷ ଶ √ଷ ߝ ᇱ ଷ ൌ ‫ݑ‬ଷ െ ‫ݑۃ‬ଷ , ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ െ ‫ݑۃ‬ଷ , ߝଶ ‫ߝ .ۄ‬ଶ ; ‫ݑۃ‬ଷ , ߝଵ ‫ ۄ‬ൌ ଶ , ‫ݑۃ‬ଷ , ߝଶ ‫ ۄ‬ൌ ଺ ଵ ଵ √ √ ߝ ᇱ ଷ ൌ ሺെ1,0,0,1ሻ െ ቀ , , 0,0ቁ െ . ቀ , , , 0ቁ ൌ ቀ , , , 1ቁ ଵ ିଵ ଵ ଵ ିଵ ିଵ ଶ ିଵ ିଵ ିଵ √ ଶ √ଶ √ଶ √ ଺ √଺ √଺ √଺ ଷ ଷ ଷ ଶ ଶ ଶ ԡߝ ᇱ ଷ ԡ ൌ ටቀ ቁ ൅ ቀ ቁ ൅ ቀ ቁ ൌ ሺ1ሻଶ ൌ ିଵ ିଵ ିଵ ଶ ଷ ଷ ଷ √ଷ ߝଷ ൌ ԡఌᇱ ԡ . ߝԢଷ ൌ . ቀ , , , 1ቁ ଵ √ଷ ିଵ ିଵ ିଵ ଶ ଷ ଷ ଷ Arrivée : ሼߝଵ , ߝଶ , ߝଷ ሽ est une base orthonormée de ܸ. య II-3 Sous espaces vectoriels orthogonaux Soit ܸ un sous-espace vectoriel de Թ௡ . On appelle sous-espace orthogonal de ܸ et on noteDéfinition : ܸ ୄ l’ensemble : ܸ ୄ ൌ ሼ‫ א ݒ‬Թ௡ / ‫ ۄݒ ,ݑۃ‬ൌ 0 ‫ܸ א ݑ׊‬ሽ Deux sous espaces vectoriels ‫ ܨ‬et ‫ ܩ‬de Թ௡ sont supplémentaires ssi Թ௡ est leur somme directe :Rappel : ‫ ܩ۩ܨ‬ൌ Թ௡ ‫ א ݔ׊ ݅ݏݏ‬Թ௡ ; ‫ !׌‬ሺ‫ݖ ,ݕ‬ሻ ‫ ܨ א‬ൈ ‫ ݔ / ܩ‬ൌ ‫ ݕ‬൅ ‫ݖ‬ L’orthogonal d’un sous-espace vectoriel de ሺԹ௡ , ‫ۄ ,ۃ‬ሻ est un sous espace vectoriel de ሺԹ௡ , ‫ۄ ,ۃ‬ሻ.Proposition : Un sous espace vectoriel et son orthogonal sont supplémentaires dans Թ௡ : ܸ۩ܸ ୄ ൌ Թ௡ . L’orthogonal de l’orthogonal d’un sous espace vectoriel lui est égal : ሺܸ ୄ ሻୄ ൌ ܸ En particulier, on a : ሺሼ0, … ,0ሽሻୄ ൌ Թ௡ et ሺԹ௡ ሻୄ ൌ ሼ0, … ,0ሽ Si ܸ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬൛‫ ݌ݑ , … , 1ݑ‬ൟ est un sous-espace vectoriel de Թ௡ alors :Proposition : ܸ ୄ ൌ ൛‫ א ݒ‬Թ௡ / ‫ݑۃ‬ଵ , ‫ ۄݒ‬ൌ ‫ ڮ‬ൌ ‫ݑۃ‬௣ , ‫ ۄݒ‬ൌ 0ൟExemple : ܸ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ൌ 0ሽ ‫ 1ݑ‬ൌ ሺെ1,1,0,0ሻ ܸ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ 3ݑ , 2ݑ , 1ݑ‬ሽ avec ቐ‫ 2ݑ‬ൌ ሺെ1,0,1,0ሻ ; car ሼ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሽ est une base de ܸ. ‫ 3ݑ‬ൌ ሺെ1,0,0,1ሻProfesseure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 7
  • 8. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité ‫ ۄݔ , 1 ݑ ۃ‬ൌ 0 െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬ൌ 0 െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬ൌ 0 ‫ ݔ‬ൌ ሺ‫ 4ݔ , 3ݔ , 2ݔ , 1ݔ‬ሻ ‫ ฻ ܸ א‬ቐ‫ ۄݔ , 2ݑۃ‬ൌ 0 ฻ ൝െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬ൌ 0 ฻ ൝െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬ൌ 0 ୄ ‫ ۄݔ , 3 ݑ ۃ‬ൌ 0 െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ൌ 0 െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ൌ 0 ܸ ୄ ൌ ሼሺ‫ 4ݔ , 3ݔ , 2ݔ , 1ݔ‬ሻ ‫ א‬Թ / െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬ൌ 0 ; െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬ൌ 0 ; െ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ൌ 0ሽ 4 ܸ ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ 1ݒ‬ሽ ; avec ‫ݒ‬ଵ ൌ ሺ1,1,1,1ሻ une base de ܸ ୄ . Un sous espace vectoriel de Թ௡ est dit hyperplan s’il est de dimension ݊ െ 1.Définition : ܸ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ൌ 0ሽ est un hyperplan de Թସ : dimሺԹସ ሻ ൌ 4 et dimሺܸሻ ൌ 3Exemple : Soit H un hyperplan de ሺԹ୬ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ alors il existe un vecteur ‫ א ݒ‬Թ୬ tel que ‫ ܪ‬ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ݒ‬ሽ.Proposition : ܸ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ൌ 0ሽ est un hyperplan de Թସ .Exemple : ‫ݒ׌‬ଵ ൌ ሺ1,1,1,1ሻ ‫ א‬Թସ / ܸ٣ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ݒ‬ଵ ሽ. Soit H un hyperplan de ሺԹ୬ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ et ‫ ܪ‬ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ݒ‬ሽ.Définition : Le vecteur ‫ ݒ‬s’appelle "vecteur normal" ou "une normale" à H. Si ԡ‫ݒ‬ԡ ൌ 1, ‫ ݒ‬est un "vecteur normal unitaire" ou "normale unitaire" à H. ܸ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ൌ 0ሽ est un hyperplan de Թସ .Exemple : ܸ ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ 1ݒ‬ሽ, avec ‫ 1ݒ‬ൌ ሺ1,1,1,1ሻ. Le vecteur ‫ݒ‬ଵ ൌ ሺ1,1,1,1ሻ est un vecteur normal à ܸ. Le vecteur ‫ݒ‬ଵ ൌ ԡ௩ ԡ . ‫ݒ‬ଵ ൌ ቀଶ , ଶ , ଶ , ଶቁ est un vecteur normal unitaire à ܸ. ෤ ଵ ଵ ଵ ଵ ଵ భ III- Projjectiion -- Projjectiion orthogonalle III- Pro ect on Pro ect on orthogona e III-1 Définitions Si ‫ ܨ‬et ‫ ܩ‬sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de Թ୬ alors l’application ‫ ݌‬définieProposition : par : ‫ א ݔ׊‬Թ୬ , ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ ݅ݏ ݕ‬ൌ ‫ ݕ‬൅ ‫ ܩ א ݖ ݐ݁ܨ א ݕ ܿ݁ݒܽ ݖ‬est une application linéaire.Professeure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 8
  • 9. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité Soient ‫ ܨ‬et ‫ ܩ‬sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de Թ୬ : Թ୬ ൌ ‫ܩ ْ ܨ‬Définition : L’application linéaire ‫ ݌‬définie sur Թ୬ par ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ ݅ݏ ݕ‬ൌ ‫ ݕ‬൅ ‫ ܩ א ݖ ݐ݁ܨ א ݕ ; ݖ‬s’appelle la projection sur ࡲ parallèlement à ࡳ . L’application linéaire ‫ ݍ‬ൌ ‫݀ܫ‬ோ೙ െ ‫ ݌‬définie sur Թ୬ par ‫ݍ‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬െ ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ est la projection sur ‫ܩ‬ parallèlement à ‫. ܨ‬ Si ‫ ܨ‬est un sous espace vectoriel de ሺԹ୬ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ alors la projection ‫ ݌‬sur ‫ ܨ‬parallèlement à ‫ ܨ‬ୄDéfinition : s’appelle la projection orthogonale sur ‫ .ܨ‬On la notera ‫݌‬ி . III-2 Détermination pratique de la projection orthogonale Soit ‫ ܨ‬un sous-espace de ሺԹ୬ , ‫ۄ . , .ۃ‬ሻ.Proposition : Si ‫ܤ‬ி ൌ ൛ܾଵ , … , ܾ௣ ൟ est une base orthonormée de ‫ ,ܨ‬et si ‫݌‬ி est la projection orthogonale sur ‫ܨ‬ alors : ‫ א ݔ׊‬Թ୬ ; ‫ ܨ݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ∑௜ୀ௣‫ܾ ,ݔۃ‬௜ ‫ܾ .ۄ‬௜ ௜ୀଵ La projection orthogonale sur ‫ ܨ‬ୄ est alors donnée par : ‫ א ݔ׊‬Թ୬ ; ‫݌‬ி఼ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬െ ∑௜ୀ௣‫ܾ ,ݔۃ‬௜ ‫ܾ .ۄ‬௜ ௜ୀଵ (1) ܹ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൌ ‫ݔ‬ଷ ൌ ‫ݔ‬ସ ሽExemples : dimሺܹሻ ൌ 1 : ሼߝଵ ሽ est une base orthonormée de ܸ avec ߝଵ ൌ ቀଶ , ଶ , ଶ , ଶቁ. ଵ ଵ ଵ ଵ La projection orthogonale sur ܹ est donnée par : ‫ א ݔ׊‬Թସ , ‫ ܹ݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫1ߝ .ۄ 1ߝ ,ݔۃ‬ ‫݌‬ௐ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ߝ ,ݔۃ‬ଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ൌ ଶ ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ሻ. ቀଶ , ଶ , ଶ , ଶቁ ଵ ଵ ଵ ଵ ଵ o Donc, ‫׊‬x ‫ א‬Թସ , on a : 1 1 1 1 ‫݌‬ௐ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቆ ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ሻ ; ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ሻ ; ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ሻ ; ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬൅ ‫ 3ݔ‬൅ ‫ 4ݔ‬ሻቇ 4 4 4 4 (2) ܸ ൌ ሼሺ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ሻ ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ൌ 0ሽ dimሺܸሻ ൌ 3 : ሼߝଵ , ߝଶ , ߝଷ ሽ est une base orthonormée de ܸ avec o ߝଵ ൌ ቀ ଶ , ଶ , 0,0ቁ , ߝଶ ൌ ቀ ଺ , ଺ , ଺ , 0ቁ , ߝଷ ൌ ቀଶ ଷ , ଶ ଷ , ଶ ଷ , ଶ ଷቁ ିଵ ଵ ିଵ ିଵ ଶ ିଵ ିଵ ିଵ ଷ √ √ √ √ √ √ √ √ √ La projection orthogonale sur ܸ est donnée par : o ‫ א ݔ׊‬Թସ , ‫ ܸ݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ 1ߝ .ۄ 1ߝ ,ݔۃ‬൅ ‫ 2ߝ .ۄ 2ߝ ,ݔۃ‬൅ ‫3ߝ .ۄ 3ߝ ,ݔۃ‬ ‫ 1ߝ .ۄ 1ߝ ,ݔۃۓ‬ൌ √2 ሺ‫ 1ݔ‬െ ‫ 2ݔ‬ሻ ቀ√2 , √2 , 0,0ቁ െ1 െ1 1 ۖ ‫ 2ߝ .ۄ 2ߝ ,ݔۃ‬ൌ ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬െ 2‫ 3ݔ‬ሻ ቀ , , , 0ቁ െ1 െ1 െ1 2 ‫۔‬ √6 √6 √6 √6 ۖ‫ ߝ .ۄ ߝ ,ݔۃ‬ൌ െ1 ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬െ 3‫ ݔ‬ሻ ቀ െ1 , െ1 , െ1 , 3 ቁ o ‫ە‬ 3 3 2 √3 1 2 3 4 2 √3 2 √3 2 √3 2 √3Professeure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 9
  • 10. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité o qui donne : ‫ 1ߝ .ۄ 1ߝ ,ݔۃ ۓ‬ൌ ቀ2 ሺ‫ 1ݔ‬െ ‫ 2ݔ‬ሻ, െ 2 ሺ‫ 1ݔ‬െ ‫ 2ݔ‬ሻ, 0,0ቁ 1 1 ۖ ‫ 2ߝ .ۄ 2ߝ ,ݔۃ‬ൌ ቀ ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬െ 2‫ 3ݔ‬ሻ, ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬െ 2‫ 3ݔ‬ሻ, െ ሺ‫ 1ݔ‬൅ ‫ 2ݔ‬െ 2‫ 3ݔ‬ሻ, 0ቁ 1 1 2 ‫۔‬ 6 6 6 ۖ ‫ ߝ .ۄ ߝ ,ݔۃ‬ൌ ൬ ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬െ 3‫ ݔ‬ሻ, ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬െ 3‫ ݔ‬ሻ, 1 ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬െ 3‫ ݔ‬ሻ, െ 3 ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݔ‬െ 3‫ ݔ‬ሻ൰ 1 1 ‫ە‬ 3 3 12 1 2 3 4 12 1 2 3 4 12 1 2 3 4 12 1 2 3 4 Donc, ‫׊‬x ‫ א‬Թସ , on a : 1 1 1 1‫݌‬௏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቆ ሺ3‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺെ‫ݔ‬ଵ ൅ 3‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺെ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ ൅ 3‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺെ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ ൅ 3‫ݔ‬ସ ሻቇ 4 4 4 4 ♦ Une méthode plus rapide pour déterminer la projection orthogonale sur ܸ consiste à déterminerRemarque : avant, celle sur son orthogonal qui est de dimension plus petite : dimሺܸ ୄ ሻ ൌ 4 െ dimሺܸሻ ൌ 1. ܸୄ ൌ ܹ La projection orthogonale ‫݌‬ௐ ሺ‫ݔ‬ሻ sur ܹ est donnée par : 1 1 1 1 ‫݌‬ௐ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቆ ሺ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ሻቇ 4 4 4 4 La projection orthogonale sur ܸ définie par ‫݌‬௏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ‫ ݔ‬െ ‫݌‬ௐ ሺ‫ݔ‬ሻ est alors donnée par : 1 1 1 1‫݌‬௏ ሺ‫ݔ‬ሻ ൌ ቆ ሺ3‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺെ‫ݔ‬ଵ ൅ 3‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺെ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ ൅ 3‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ሻ ; ሺെ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ ൅ 3‫ݔ‬ସ ሻቇ 4 4 4 4 III-1 Caractérisation et propriétés Soient ‫ ܨ‬et ‫ ܩ‬sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de Թ୬ .Proposition : Si ‫ ݌‬est une projection sur ‫ ܨ‬parallèlement à ‫ ܩ‬alors : (1) ‫݌‬ଶ ൌ ‫ ݌ ל ݌‬ൌ ‫݌‬ (2) ‫ ל ݌‬ሺ‫݀ܫ‬ா െ ‫݌‬ሻ ൌ ሺ‫݀ܫ‬ா െ ‫݌‬ሻ ‫ ݌ ל‬ൌ 0 (3) ‫݉ܫ‬ሺ‫݌‬ሻ ൌ ‫ ܨ‬ൌ ‫ ݎ݁ܭ‬ሺ‫݀ܫ‬ா െ ‫݌‬ሻ ; ‫݉ܫ‬ሺ‫݀ܫ‬ா െ ‫݌‬ሻ ൌ ‫ ܩ‬ൌ ‫ݎ݁ܭ‬ሺ‫݌‬ሻ Une projection ‫ ݌‬est une projection orthogonale sur ‫ ܨ‬ssi sa matrice dans une base orthonormée de Թ୬ est symétrique. Un endomorphisme ‫ ݌‬de Թ୬ est une projection ssi ‫݌‬ଶ ൌ ‫ ݌ ל ݌‬ൌ ‫ .݌‬Dans ce cas,Proposition : ‫ ݌‬est la projection sur ‫݉ܫ‬ሺ‫݌‬ሻ parallèlement à ‫ݎ݁ܭ‬ሺ‫݌‬ሻ. ‫ ݍ‬ൌ ‫݀ܫ‬Թ౤ െ ‫ ݌‬est la projection sur ‫ݎ݁ܭ‬ሺ‫݌‬ሻ parallèlement à ‫݉ܫ‬ሺ‫݌‬ሻ.Professeure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 10
  • 11. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité Soit ‫ ܨ‬un sous espace vectoriel de Թ୬ . Soit ‫ ݌‬une projection orthogonale sur ‫.ܨ‬Proposition : Si ‫ ܨ א ݔ‬alors ‫݌‬ሺ‫ݔ‬ሻ vérifie les propriétés : ሺ1) Légalité de Pythagore : ԡ‫ݔ‬ԡଶ ൌ ԡ‫)ݔ(݌‬ԡଶ ൅ ԡ‫ ݔ‬െ ‫)ݔ(݌‬ԡଶ (2) ‫ )ݔ(݌‬est lunique vecteur de ‫ ܨ‬minimisant la distance de ‫ ݔ‬à ‫: ܨ‬ ԡ‫ ݔ‬െ ‫)ݔ(݌‬ԡ ൌ minԡ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ԡ ௬‫א‬ி ܸ ൌ ሼ(‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ) ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ൌ 0ሽExemple : 1 1 1 1‫݌‬௏ (‫ )ݔ‬ൌ ቆ (3‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ) ; (െ‫ݔ‬ଵ ൅ 3‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ) ; (െ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ ൅ 3‫ݔ‬ଷ െ ‫ݔ‬ସ ) ; (െ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݔ‬ଷ ൅ 3‫ݔ‬ସ )ቇ 4 4 4 4 ܹ ൌ ܸ ୄ ൌ ሼ(‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ , ‫ݔ‬ଷ , ‫ݔ‬ସ ) ‫ א‬Թସ / ‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൌ ‫ݔ‬ଷ ൌ ‫ݔ‬ସ ሽ 1 1 1 1 ‫ )ݔ( ٣ܸ݌‬ൌ ቆ (‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ) ; (‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ) ; (‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ) ; (‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ )ቇ 4 4 4 4 ԡ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡଶ ൅ ԡ1 െ ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡଶ ൌ ԡ‫ݔ‬ԡଶ ݁‫ )ݔ( ٣ܸ݌ ݐ‬ൌ ‫ ݔ‬െ ‫݌‬௏ (‫: )ݔ‬ ‫ۓ‬ԡ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡ ൅ ฮ‫)ݔ( ٣ܸ݌‬ฮ ൌ ԡ‫ݔ‬ԡ ൌ (‫ݔ‬ଵ ൅ ‫ݔ‬ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ൅ ‫ݔ‬ସ ) ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ ۖ ฮ‫)ݔ( ٣ܸ݌‬ฮ ൌ ԡ‫ ݔ‬െ ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡ ൌ minԡ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ԡ ‫ܸאݕ‬ ‫۔‬ ۖ ԡ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡ ൌ ฮ‫ ݔ‬െ ‫)ݔ( ٣ܸ݌‬ฮ ൌ minԡ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ԡ ‫ە‬ ‫٣ܸאݕ‬ ‫ۓ‬ En effet, on a : (après calcul) ସ ସ ସ 1 ۖԡ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡ ൌ ඩ12 ෍(‫ݔ‬௜ )ଶെ8 ෍ ‫ ݔ ݔ‬െ8 ෍ ‫ݔ ݔ ݔ‬ ۖ 4 ௜ ௝ ௜ ௝ ௞ ௜ୀଵ ௜ஷ௝ୀଵ ௜ஷ௝ஷ௞ୀଵ ‫۔‬ ସ ସ ସ ۖ 1 ฮ‫)ݔ( ٣ ݌‬ฮ ൌ ඩ4 ෍(‫ݔ‬௜ )ଶ൅8 ෍ ‫ ݔ ݔ‬൅8 ෍ ‫ݔ ݔ ݔ‬ ۖ ܸ 4 ௜ ௝ ௜ ௝ ௞ ‫ە‬ ௜ୀଵ ௜ஷ௝ୀଵ ௜ஷ௝ஷ௞ୀଵ ฺ ԡ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡଶ ൅ ฮ‫)ݔ( ٣ܸ݌‬ฮ ൌ (‫ݔ‬ଵ ଶ ൅ ‫ݔ‬ଶ ଶ ൅ ‫ݔ‬ଷ ଶ ൅ ‫ݔ‬ସ ଶ ) ൌ ԡ‫ݔ‬ԡଶ ଶ ‫ ݔ‬ൌ (1,0,0,0): ԡ‫ݔ‬ԡଶ ൌ 1 ‫ۓ‬ԡ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡ ൅ ฮ‫)ݔ( ٣ܸ݌‬ฮ ൌ 1 ൌ ԡ‫ݔ‬ԡ ଶ ଶ ଶ Par exemple : 3 െ1 െ1 െ1 1 √3 1 ‫݌ۓ‬௏ (‫ )ݔ‬ൌ ൬ ; ; ; ൰: ԡ‫݌‬௏ (‫)ݔ‬ԡ ൌ √12 ൌ ۖ 4 4 4 4 4 2 ฺ minԡ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ԡ ൌ ฮ‫)ݔ( ٣ܸ݌‬ฮ ൌ 2 ‫ܸאݕ‬ ‫۔‬ 1 1 1 1 1 1 ‫۔‬ ‫ )ݔ( ٣ܸ݌‬ൌ ൬ ; ; ; ൰ ‫ ׷‬ฮ‫)ݔ( ٣ܸ݌‬ฮ ൌ √4 ൌ ۖminԡ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ԡ ൌ ԡ‫)ݔ( ݌‬ԡ ൌ √3 ‫ە‬ 4 4 4 4 4 2 ‫٣ܸאݕە‬ ௏ 2Professeure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 11
  • 12. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité IV- Applliicatiion aux droiites et aux pllans IV- App cat on aux dro tes et aux p ans Dans Թଶ , les sous espaces vectoriels non triviaux sont des droites. Tout sous espace vectoriel non trivial de Թଶ est de dimension 1 : c’est un hyperplan de Թଶ . o un hyperplan de Թଶ est une droite du plan. Dans Թଷ , les sous espaces vectoriels non triviaux sont des droites et des plans. Tout sous espace vectoriel non trivial de Թଷ est • soit de dimension 2 : un hyperplan de Թଷ , un hyperplan de Թଷ est un plan de l’espace. • ou de dimension 1 : c’est une droite de l’espace. IV-1 Droites dans Թ૛ Equation d’une droite dans le plan Une droite ሺ‫ܦ‬ሻ dans le plan Թଶ a une équation, dite cartésienne, de la forme :Définition : ሺ‫ܦ‬ሻ: ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ ൌ 0, avec ሺܽ, ܾሻ ് ሺ0,0ሻ െܾ Le vecteur ‫ ݑ‬ൌ ቀ ቁ est un vecteur directeur de la droite ሺ‫ܦ‬ሻ. ܽ Le coefficient directeur est ݉ ൌ െ ௕. ௔ ♦ L’équation réduite d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnés est de la forme : ‫ ݕ‬ൌ ݉‫ ݔ‬൅ ‫݉ ; ݌‬Remarque : est le coefficient directeur de la droite et ‫ ݌‬l’ordonnée à l’origine. ♦ L’équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des ordonnés est de la forme : ‫ ݔ‬ൌ ‫. ݌‬ Toute équation de la forme ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ ൌ 0, avec ሺܽ, ܾሻ ് ሺ0,0ሻ, définit une droite ሺDሻ dans leProposition : plan Թଶ . െܾ le vecteur ‫ ݑ‬ൌ ቀ ቁ est un vecteur directeur de ሺDሻ. ܽ ܽ Le vecteur ‫ ݒ‬ൌ ቀ ቁ est un vecteur normal à ሺDሻ. ܾ ሺ‫ܦ‬ሻ ‫ ݔ ׷‬൅ 2‫ ݕ‬൅ 3 ൌ 0 L’équation réduite de la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est donnée par : ‫ ݕ‬ൌ െ ଶ ‫ ݔ‬െ ଶ ଵ ଷExemple : 1 Le vecteur ‫ ݒ‬ൌ ቀ ቁ est un vecteur normal à ሺ‫ܦ‬ሻ 2 െ2 Le vecteurs ‫ ݒ‬ൌ ቀ ቁ est un vecteur directeur de ሺ‫ܦ‬ሻ. 1 Un vecteur directeur de la droite passant par deux points ‫ܯ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ et ܰሺ‫ ݔ‬ᇱ , ‫ ݕ‬ᇱ ሻ est donné par :Proposition : ሬሬሬሬሬሬሬԦ ‫ ݔ‬െ ‫ݔ‬Ԣ ‫ ܰܯ‬ൌ ‫ ݒ‬ൌ ൬ ൰ ‫ ݕ‬െ ‫ݕ‬ԢProfesseure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 12
  • 13. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité Toute droite ሺDሻ du plan passant par l’origine a une équation de la forme : ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ 0.Proposition : La droite ‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ / ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ 0ሽ est un hyperplan de l’espace vectoriel Թଶ . L’hyperplan ‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ / ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ 0ሽ a pour base ൛൫– ܾ, ܽ൯ൟ : ‫ ܦ‬ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬൛൫– ܾ, ܽ൯ൟ. L’orthogonal de l’hyperplan ‫ ܦ‬ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬൛൫– ܾ, ܽ൯ൟ est l’hyperplan ‫ܦ‬ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺܽ, ܾሻሽ. Un vecteur normal à ‫ܦ‬ୄ est un vecteur directeur de ‫ ܦ‬ሺሺ‫ܦ‬ୄ ሻୄ ൌ ‫ܦ‬ሻ L’hyperplan ‫ܦ‬ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺܽ, ܾሻሽ est la droite d’équation െܾ‫ ݔ‬൅ ܽ‫ ݕ‬ൌ 0Exemple : ሺ‫ܦ‬ሻ ‫ ݔ ׷‬൅ 2‫ ݕ‬ൌ 0 ‫ ܦ‬ൌ ሼሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ / ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬ൌ 0ሽ est un hyperplan de l’espace vectoriel Թଶ . െ2 Le vecteur ‫ ݒ‬ൌ ቀ ቁ définit une base ሼሺെ2,1ሻሽ de ‫ ܦ : ܦ‬ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬൛൫– 2,1൯ൟ 1 L’orthogonal de l’hyperplan ‫ ܦ‬est ‫ܦ‬ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺ1,2ሻሽ ‫ܦ‬ୄ est la droite d’équation െ2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ 0. Projection orthogonale sur une droite du plan Soit ሺDሻ est une droite du plan d’équation ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ 0 : D ൌ ሼሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ / ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ 0ሽ ି௕ ሼߝଵ ሽ une base orthonormée de D avec ߝଵ ൌ ቌ√௔ ௔ ቍ మ ା௕మ √௔మ ା௕మ La projection orthogonale sur D est alors donnée par : െܾ ܽ െܾ ܽ ‫׊‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ ; ‫݌‬஽ ൫ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ‫ۃ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ, ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ൌ ൬ ‫ݔ‬൅ ‫ݕ‬൰ . ൬ , ൰ √ܽଶ ൅ ܾ ଶ √ܽଶ ൅ ܾ ଶ √ܽଶ ൅ ܾ ଶ √ܽଶ ൅ ܾ ଶ 1 ‫׊‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ ; ‫݌‬஽ ൫ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ଶ ሺܾ ଶ ‫ ݔ‬െ ܾܽ‫ܽ ,ݕ‬ଶ ‫ ݕ‬െ ܾܽ‫ݔ‬ሻ qui donne : ܽ ൅ ܾଶ Soit ሺDሻ une droite dans le plan Թଶ d’équation : ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ 0.Proposition : La projection orthogonale sur la droite ሺDሻ est donnée par : 1 ‫׊‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ ; ‫݌‬஽ ൫ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ଶ ሺܾ ଶ ‫ ݔ‬െ ܾܽ‫ܽ ,ݕ‬ଶ ‫ ݕ‬െ ܾܽ‫ݔ‬ሻ ܽ ൅ ܾଶ Si ‫ܯ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite ሺDሻ est le point : ܾ ଶ ‫ ݔ‬െ ܾܽ‫ܽ ݕ‬ଶ ‫ ݕ‬െ ܾܽ‫ݔ‬ ෡ ‫ܯ‬ቆ ଶ , ଶ ቇ ܽ ൅ ܾଶ ܽ ൅ ܾଶ ♦ La projection orthogonale sur la droite ሺDሻ d’un point ‫ܯ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ de cette droite ሺDሻ est lui-même :Remarque : ‫ܯ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬ሺ‫ܦ‬ሻ: ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬ൌ 0 ܾ ଶ ‫ ݔ‬െ ܾܽ‫ ܾ ݕ‬ଶ ‫ ݔ‬൅ ܽଶ ‫ݔ‬ ‫ ۓ‬ଶ ൌ ଶ ൌ ‫ ݔ‬௫ et ௬ ܽ ቐ ෡ ܾ ଶ ‫ ݔ‬െ ܾܽ‫ܽ ݕ‬ଶ ‫ ݕ‬െ ܾܽ‫ ݔ‬ሳልልልልልሰ ଶ ൅ ܾ ܽ ൅ ܾଶ ෡ ௕௬ୀ ି௔௫ ଶ ොୀ௫ ොୀ௬ ሳልልልልልልሰ ‫ܯ ؠ ܯ‬ ‫ܯ‬ቆ ଶ , ଶ ቇ ‫ ݕ ܽ۔‬െ ܾܽ‫ ݕ ܽ ݔ‬൅ ܾ ‫ݕ‬ ଶ ଶ ܽ ൅ܾ ܽ ൅ܾ ‫ܽ ە‬ଶ ൅ ܾ ଶ ൌ ܽଶ ൅ ܾ ଶ ൌ ‫ݕ‬ ଶ ଶProfesseure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 13
  • 14. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -OrthogonalitéExemple : ሺ‫ܦ‬ሻ ‫ ݔ ׷‬൅ 2‫ ݕ‬ൌ 0 െ2 Le vecteurs ‫ ݒ‬ൌ ቀ ቁ est un vecteur directeur de ሺ‫ܦ‬ሻ. 1 ିଶ ‫ݔ‬ Le vecteur ߝଵ ൌ ቌ√ହቍ forme une base ሼߝଵ ሽ de D ൌ ቄቀ‫ݕ‬ቁ ‫ א‬Թଶ / ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬ൌ 0ቅ. ଵ √ହ La projection orthogonale sur D est alors donnée par : 1 ‫׊‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ ; ‫݌‬஽ ൫ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ଶ ሺܾ ଶ ‫ ݔ‬െ ܾܽ‫ܽ ,ݕ‬ଶ ‫ ݕ‬െ ܾܽ‫ݔ‬ሻ ܽ ൅ ܾଶ 1 qui donne : ‫׊‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ ; ‫݌‬஽ ൫ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ሺ4‫ ݔ‬െ 2‫ ݕ ,ݕ‬െ 2‫ݔ‬ሻ 5 െ2 1 െ2 1 1 ‫׊‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଶ ; ‫݌‬஽ ൫ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ‫ۃ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ, ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ൌ ൬ ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬൰ . ൬ , ൰ ൌ ሺ4‫ ݔ‬െ 2‫ ݕ ,ݕ‬െ 2‫ݔ‬ሻ ou encore : √5 √5 √5 √5 5 Si ‫ܯ‬ሺ‫ݕ ,ݔ‬ሻ est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est le point : 4‫ ݔ‬െ 2‫ ݕ ݕ‬െ 2‫ݔ‬ ෡ ‫ܯ‬൬ , ൰ 5 5 ෡ La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ1,2ሻ sur la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est le point ‫ܯ‬ሺ0,0ሻ : origine. െ2 ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ ۄݒ ,ܯܯۃ ׷ ݒ‬ൌ ‫ ۄݒ ,ݓۃ‬ൌ 0; ‫ ݒ‬ൌ ቀ ቁ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ቀ ෡ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ෡ 0െ1 െ1 ‫ܯܯ‬ ቁൌቀ ቁ 1 0െ2 െ2 La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺെ2,1ሻ sur la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est le point ‫ ܯ‬lui-même ሺ‫ܦ א ܯ‬ሻ. ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ ۄݒ ,ܯܯۃ ׷ ݒ‬ൌ ‫ ۄݒ ,ݓۃ‬ൌ 0; ‫ ݒ‬ൌ ቀെ2ቁ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ቀെ2 ൅ 2ቁ ൌ ቀ0ቁ ‫ܯܯ‬ ෡ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ෡ 1 1െ1 0 ෡ La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ0,5ሻ sur la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est le point ‫ܯ‬ሺെ2,1ሻ. ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ ۄݒ ,ܯܯۃ ׷ ݒ‬ൌ ‫ ۄݒ ,ݓۃ‬ൌ 0; ‫ ݒ‬ൌ ቀെ2ቁ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ቀെ2 െ 0ቁ ൌ ቀെ2ቁ ‫ܯܯ‬ ෡ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ෡ 1 1െ5 െ4 IV-2 Plans et droites dans Թ૜ Equation d’un plan, équation d’une droite dans l’espace Un plan ሺܲሻ dans l’espace Թଷ a une équation, dite cartésienne, de la forme :Définition : ሺܲሻ: ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ‫ ݖ‬൅ ݀ ൌ 0, avec ሺܽ, ܾ, ܿሻ ് ሺ0,0,0ሻ Une droite ሺ‫ܦ‬ሻ dans l’espace Թଷ a une équation, dite cartésienne, de la forme : ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ‫ ݖ‬൅ ݀ ൌ 0 ሺܽ, ܾ, ܿሻ ് ሺ0,0,0ሻ ሺ‫ܦ‬ሻ: ൜ , avec ൜ ܽԢ‫ ݔ‬൅ ܾԢ‫ ݕ‬൅ ܿԢ‫ ݖ‬൅ ݀Ԣ ൌ 0 ሺܽԢ, ܾԢ, ܿԢሻ ് ሺ0,0,0ሻProfesseure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 14
  • 15. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité Toute équation de la forme ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ‫ ݖ‬൅ ݀ ൌ 0, définit un plan ሺܲሻ dans l’espace Թଷ .Proposition : ܽ Le vecteur ‫ ݒ‬ൌ ቆܾ ቇ est un vecteur normal à ሺܲሻ. ܿ ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ‫ ݖ‬൅ ݀ ൌ 0 Toute équation de la forme ൜ , définit une droite ሺ‫ܦ‬ሻ dans l’espace Թଷ . ܽԢ‫ ݔ‬൅ ܾԢ‫ ݕ‬൅ ܿԢ‫ ݖ‬൅ ݀Ԣ ൌ 0 ሺܲሻ: ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ‫ ݖ‬൅ ݀ ൌ 0 La droite ሺ‫ܦ‬ሻ est l’intersection des deux plans ൜ ᇱ ሺܲ ሻ: ܽԢ‫ ݔ‬൅ ܾԢ‫ ݕ‬൅ ܿԢ‫ ݖ‬൅ ݀Ԣ ൌ 0 Tout plan ሺܲሻ passant par l’origine a une équation de la forme : ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ‫ ݖ‬ൌ 0.Proposition : Le plan ܲ ൌ ሼሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଷ / ܽ‫ ݔ‬൅ ܾ‫ ݕ‬൅ ܿ‫ ݖ‬ൌ 0ሽ est un hyperplan de l’espace vectoriel Թଷ . L’orthogonal de l’hyperplan ܲ est ܲ ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺܽ, ܾ, ܿሻሽ. Le sous espace vectoriel ܲୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺܽ, ܾ, ܿሻሽ est une droite. ሺܲሻ ‫ ݔ ׷‬൅ 2‫ ݕ‬൅ 3‫ ݖ‬ൌ 0Exemple 1 (plan) : 1 Le vecteur ‫ ݒ‬ൌ ൭2൱ est un vecteur normal à ሺܲሻ 3 െ2 െ3 Les vecteurs ‫ ݑ‬ൌ ൭ 1 ൱ et ‫ ݓ‬ൌ ൭ 0 ൱ forment une base du plan vectoriel ܲ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺ‫ݓ ,ݑ‬ሻሽ 0 1 ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ െ2‫ ݕ‬െ 3‫ݖ‬ ቆ‫ݕ‬ቇ ‫ ܲ א‬ssi ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬൅ 3‫ ݖ‬ൌ 0 ssi ‫ ݔ‬ൌ െ2‫ ݕ‬െ 3‫ ݖ‬ssi ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ൭ ‫ݕ‬ ൱ ‫ݖ‬ ‫ݖ‬ ‫ݖ‬ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ െ2 െ3 ቆ‫ݕ‬ቇ ‫ ܲ א‬ssi ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ‫ .ݕ‬൭ 1 ൱ ൅ ‫ .ݖ‬൭ 0 ൱ ‫ݖ‬ ‫ݖ‬ 0 1 L’orthogonal de l’hyperplan ܲ est ܲ ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺ1,2,3ሻሽ, de dimension 1. ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ ۄݒ ,ݑۃ‬ൌ 0 െ2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ 0 ‫ ݒ‬ൌ ቆ‫ݕ‬ቇ ‫ ݅ݏݏ ܲ א‬൜ ୄ ssi ቄ ssi ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ቆ2‫ ݔ‬ቇ ‫ ۄݓ ,ݑۃ‬ൌ 0 െ3‫ ݔ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0 ‫ݖ‬ ‫ݖ‬ 3‫ݔ‬ െ2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ 0 Le sous espace vectoriel ܲୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺ1,2,3ሻሽ est la droite d’équation ቄ െ3‫ ݔ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0 . ‫ݔ‬൅‫ݕ‬൅‫ݖ‬ൌ0 ሺ‫ܦ‬ሻ ‫ ׷‬൜Exemple 2 (droite) : ‫ݔ‬െ‫ݕ‬൅‫ݖ‬ൌ0 1 Le vecteur ‫ ݒ‬ൌ ൭ 0 ൱ forme une base de la droite ሺDሻ : ‫ ܦ‬ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ݒ‬ሽ െ1 ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬൅‫ݕ‬൅‫ ݖ‬ൌ0 ሺ݁1 ൅ ݁2ሻ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0 ቆ‫ݕ‬ቇ ‫ ܦ א‬ssi ൜ ssi ൜ ssi ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ቆ 0 ቇ ‫ݔ‬െ‫ݕ‬൅‫ ݖ‬ൌ0 ሺ݁1 െ ݁2ሻ ‫ ݕ‬ൌ 0 ‫ݖ‬ ‫ݖ‬ െ‫ݔ‬Professeure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 15
  • 16. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité L’orthogonal de la droite ‫ ܦ‬est ‫ܦ‬ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺ1,0,1ሻ, ሺ0,1,0ሻሽ, de dimension 2 : ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ݔ‬ ‫ ݑ‬ൌ ቆ‫ݕ‬ቇ ‫ ۄݒ ,ݑۃ ݅ݏݏ ܦ א‬ൌ 0 ssi ‫ ݔ‬െ ‫ ݖ‬ൌ 0 ssi ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ቆ ‫ ݕ‬ቇ ୄ ‫ݖ‬ ‫ݖ‬ ‫ݔ‬ Le sous espace vectoriel ‫ܦ‬ୄ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺ1,0,1ሻ, ሺ0,1,0ሻሽ est le plan d’équation ‫ ݔ‬െ ‫ ݖ‬ൌ 0. Projection orthogonale sur un planExemple : ሺܲሻ ‫ ݔ ׷‬൅ ‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0 1 1 Les vecteurs ‫ݑ‬ଵ ൌ ൭െ1൱ et ‫ݑ‬ଶ ൌ ൭ 0 ൱ forment une base du plan vectoriel ܲ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼሺ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ ሻሽ 0 െ1 ଵ ଵ ‫ۇ‬ଵ‫ۊ‬ √଺ √ଶ ሼߝଵ , ߝଶ ሽ est alors une base orthonormée de ܲ avec ߝଵ ൌ ൮ିଵ൲ , ߝଶ ൌ ‫.ۋ ۈ‬ √଺ √ଶ 0 ିଶ ‫ی଺√ۉ‬ La projection orthogonale sur ܲ est alors donnée par : o ‫݌‬௉ ൫ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ‫ۃ‬ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ, ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ൅ ‫ۃ‬ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ, ߝଶ ‫ߝ .ۄ‬ଶ o ‫݌‬௉ ൫ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ቀ ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻቁ ቀ , , 0ቁ ൅ ቀ ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ 2‫ݖ‬ሻቁ ቀ , , ቁ ଵ ଵ ିଵ ଵ ଵ ଵ ିଶ √ଶ √ଶ √ଶ √଺ √଺ √଺ √଺ ‫݌‬௉ ൫ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ൬ଷ ሺ2‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬െ ‫ݖ‬ሻ ; ଷ ሺെ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬െ ‫ݖ‬ሻ; ଷ ሺെ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬൅ 2‫ݖ‬ሻ൰ ଵ ଵ ଵ o Si ‫ܯ‬ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ est un point de l’espace alors sa projection orthogonale sur le plan ሺܲሻ est le point : 2‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬െ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬െ‫ ݔ‬െ ‫ ݕ‬൅ 2‫ݖ‬ ෡ ‫ܯ‬൬ ; ; ൰ 3 3 3 ෡ La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ1,1,1ሻ sur le plan ሺܲሻ est le point origine ‫ܯ‬ሺ0,0,0ሻ : ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ݑ‬ ‫ܯܯ‬ ෡ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ෡ ‫ݑ ,ܯܯۃ‬ଵ ‫ ۄ‬ൌ ‫ݑ ,ݓۃ‬ଵ ‫ ۄ‬ൌ 0 1 1 0െ1 െ1 ൝ ଵ ‫׷‬൝ ; ‫ݑ‬ଵ ൌ ൭െ1൱ , ‫ݑ‬ଵ ൌ ൭ 0 ൱ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ൭0 െ 1൱ ൌ ൭െ1൱ ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ݑ‬ ‫ܯܯ‬ ෡ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ෡ ‫ݑ ,ܯܯۃ‬ଶ ‫ ۄ‬ൌ ‫ݑ ,ݓۃ‬ଶ ‫ ۄ‬ൌ 0 ଶ 0 െ1 0െ1 െ1 La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ1, െ2,1ሻ sur le plan ሺܲሻ est le point ‫ ܯ‬lui-même ሺ‫ܲ א ܯ‬ሻ : ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ݑ‬ ‫ܯܯ‬ ෡ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ෡ ‫ݑ ,ܯܯۃ‬ଵ ‫ ۄ‬ൌ ‫ݑ ,ݓۃ‬ଵ ‫ ۄ‬ൌ 0 1 1 1െ1 0 ൝ ଵ ‫׷‬൝ ; ‫ݑ‬ଵ ൌ ൭െ1൱ , ‫ݑ‬ଵ ൌ ൭ 0 ൱ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ൭െ2 ൅ 2൱ ൌ ൭0൱ ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ݑ‬ ‫ܯܯ‬ ෡ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ෡ ‫ݑ ,ܯܯۃ‬ଶ ‫ ۄ‬ൌ ‫ݑ ,ݓۃ‬ଶ ‫ ۄ‬ൌ 0 ଶ 0 െ1 1െ1 0 ෡ La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ0,3,0ሻ sur le plan ሺܲሻ est le point ‫ܯ‬ሺെ1,2, െ1ሻ : ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ݑ‬ ‫ܯܯ‬ ෡ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ෡ ‫ݑ ,ܯܯۃ‬ଵ ‫ ۄ‬ൌ ‫ݑ ,ݓۃ‬ଵ ‫ ۄ‬ൌ 0 1 1 െ1 െ 0 െ1 ൝ ଵ ‫׷‬൝ ; ‫ݑ‬ଵ ൌ ൭െ1൱ , ‫ݑ‬ଵ ൌ ൭ 0 ൱ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ൭ 2 െ 3 ൱ ൌ ൭െ1൱ ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ݑ‬ ‫ܯܯ‬ ෡ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ෡ ‫ݑ ,ܯܯۃ‬ଶ ‫ ۄ‬ൌ ‫ݑ ,ݓۃ‬ଶ ‫ ۄ‬ൌ 0 ଶ 0 െ1 െ1 െ 0 െ1Professeure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 16
  • 17. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité Projection orthogonale sur une droite ‫ݔ‬൅‫ݕ‬൅‫ ݖ‬ൌ0 ሺ‫ܦ‬ሻ ‫ ׷‬൜ ‫ݔ‬െ‫ݕ‬൅‫ ݖ‬ൌ0Exemple : 1 Le vecteur ‫ ݒ‬ൌ ൭ 0 ൱ forme une base de la droite ሺDሻ : ‫ ܦ‬ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫ݒ‬ሽ െ1 ଵ √ଶ ሼߝଵ ሽ est alors une base orthonormée de ‫ ܦ‬avec ߝଵ ൌ ൮ 0 ൲. ିଵ √ଶ La projection orthogonale sur ‫ ܦ‬est alors donnée par : o ‫݌‬஽ ൫ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ‫ۃ‬ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ, ߝଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ൌ ቀ ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݖ‬ሻቁ ቀ , 0, ቁ ଵ ଵ ିଵ √ଶ √ଶ √ଶ ‫݌‬஽ ൫ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ൯ ൌ ൬ ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݖ‬ሻ ; 0; ሺെ‫ ݔ‬൅ ‫ݖ‬ሻ൰ ଵ ଵ ଶ ଶ o Si ‫ܯ‬ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ est un point du plan alors sa projection orthogonale sur la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est le point : ‫ݔ‬െ‫ݖ‬ െ‫ ݔ‬൅ ‫ݖ‬ ෡ ‫ܯ‬൬ ; 0; ൰ 2 2 ෡ La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ1,1,1ሻ sur la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est le point origine ‫ܯ‬ሺ0,0,0ሻ : 1 0െ1 െ1 ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ ۄݒ ,ܯܯۃ ׷ ݒ‬ൌ ‫ ۄݒ ,ݓۃ‬ൌ 0 ; ‫ ݒ‬ൌ ൭ 0 ൱ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ൭0 െ 1൱ ൌ ൭െ1൱ ‫ܯܯ‬ ෡ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ෡ െ1 0െ1 െ1 La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ1,2, െ1ሻ sur la droite ሺ‫ܦ‬ሻ est le point ‫ ܯ‬lui-même ሺ‫ܦ א ܯ‬ሻ : 1 1െ1 0 ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ ۄݒ ,ܯܯۃ ׷ ݒ‬ൌ ‫ ۄݒ ,ݓۃ‬ൌ 0 ; ‫ ݒ‬ൌ ൭ 0 ൱ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ൭ 2 െ 2 ൱ ൌ ൭0൱ ‫ܯܯ‬ ෡ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ෡ െ1 െ1 ൅ 1 0 ෡ La projection orthogonale du point ‫ܯ‬ሺ1,2,3ሻ sur le plan ሺܲሻ est le point ‫ܯ‬ሺെ1,2,1ሻ : 1 െ1 െ 1 െ2 ሬሬሬሬሬሬሬԦ٣ ‫ ۄݒ ,ܯܯۃ ׷ ݒ‬ൌ ‫ ۄݒ ,ݓۃ‬ൌ 0 ; ‫ ݒ‬ൌ ൭ 0 ൱ ݁‫ ݓ ݐ‬ൌ ൭ 2 െ 2 ൱ ൌ ൭ 0 ൱ ‫ܯܯ‬ ෡ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ෡ െ1 1െ3 െ2 V- Applliicatiion aux matriices :: iimages et noyaux orthogonaux V- App cat on aux matr ces mages et noyaux orthogonaux Soit ‫ ܣ‬une matrice carrée d’ordre ݊ .Définition : ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ est le sous espace vectoriel de Թ௡ engendré par les colonnes de ‫: ܣ‬ ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ሼܻ ‫ א‬Թ௡ / ‫ א ܺ׌‬Թ௡ : ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܻሽ ൌ ሼ‫ א ܺ ; ܺ .ܣ‬Թ௡ ሽ Le noyau de ‫ ܣ‬est le sous espace vectoriel de Թ௡ dont l’image est nulle. ‫ݎ݁ܭ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ሼܺ ‫ א‬Թ௡ / ‫ ܺ .ܣ‬ൌ 0௡ ሽProfesseure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 17
  • 18. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité Soit ‫ ܣ‬est une matrice carrée d’ordre ݊ .Remarque : ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ c’est le sous espace vectoriel de Թ௡ des seconds membres du système linéaire ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܻ ImሺAሻ c’est le sous espace vectoriel de Թ୬ , solution du système linéaire homogène A. X ൌ 0୬ . pour lesquels ce système est compatible. Si la matrice ‫ ܣ‬est inversible alors Si ‫ ܣ‬est une matrice carrée d’ordre ݊ alors :Proposition : ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ൣ‫ݎ݁ܭ‬൫ ௧‫ܣ‬൯൧ dimሾ ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻሿ ൌ dimൣ ‫݉ܫ‬൫ ௧‫ܣ‬൯൧ ୄ ൝ ୄ ; ݀‫ ܿ݊݋‬ቊ ‫ݎ݁ܭ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ൣ‫݉ܫ‬൫ ௧‫ܣ‬൯൧ dimሾ ݇݁‫ݎ‬ሺ‫ܣ‬ሻሿ ൌ dimൣ ݇݁‫ݎ‬൫ ௧‫ܣ‬൯൧ Si la matrice ‫ ܣ‬est symétrique alors : ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ሾ‫ݎ݁ܭ‬ሺ‫ܣ‬ሻሿୄ ; ݀‫ ܿ݊݋‬Թ௡ ൌ ‫ݎ݁ܭ‬ሺ‫ܣ‬ሻ۩‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ VI- Retour aux systèmes lliinéaiires (sollutiion au sens des MCO) VI- Retour aux systèmes néa res (so ut on au sens des MCO) Si le système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ est incompatible alors il n’admet pas de solutions : On se contente alors de trouver un vecteur ܺ qui rend ‫ ܺ .ܣ‬aussi proche que possible de ܾ. Ce qui revient à déterminer un vecteur ܺ tel que ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ ܾฮ ൑ ԡ‫ ܺ .ܣ‬െ ܾԡ, ‫ א ܺ׊‬Թ݊ ෠ ෠ Soit ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ un système linéaire.Définition : Une solution au sens des moindres carrées du système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ est un vecteur ෡ tel que : X ෡ െ bฮ ൑ ԡA. X െ bԡ, ‫׊‬X ‫ א‬Թ୬ ฮA. X ෠ Résoudre le système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ au sens des moindres carrées revient à trouver un vecteur ܺ tel que : ෠ ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ bฮ ൌ min௑‫א‬Թ೙ ԡ‫ ܺ .ܣ‬െ bԡProposition : Soit ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ un système compatible. ෨ ෠ si ܺ est une solution de ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ alors :ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ bฮሺൌ 0ሻ ൌ min௑‫א‬Թ೙ ԡ‫ ܺ .ܣ‬െ bԡ les solutions et solutions au sens des moindres carrées de ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ sont alors confondues. ෠ ෠ Un vecteur ܺ est une solution, au sens des MCO, d’un système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ ssi ܺ est une solution du système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ, où ܾ ൌ ‫݉ܫ݌‬ሺ‫ܣ‬ሻ ሺܾሻ : ෠ ෠ Puisque ܾ ൌ ‫݌‬ ෠ ሺܾሻ alors : ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ூ௠ሺ஺ሻൌ൛‫אܺ ; ܺ.ܣ‬Թ݊ ൟ ෠ ෠ ฮܾ െ ܾฮ ൌ min ԡܾ െ ܻԡ ሯልልልልልልልልልልልልልሰ ฮܾ െ ܾฮ ൌ min ԡܾ െ ‫ܺ .ܣ‬ԡ ܻ‫݉ܫא‬ሺ‫ܣ‬ሻ ݊ ܺ‫א‬Թ ෠ Or, une solution ܺ, au sens des MCO, du système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ est caractérisée par : ෠ ฮܾ െ ‫ܺ .ܣ‬ฮ ൌ ݉݅݊ ԡܾ െ ‫ܺ .ܣ‬ԡ ௑‫א‬Թ೙ Donc : ෠ൌܾ ‫ܺ .ܣ‬ ෠Professeure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 18
  • 19. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité Soit ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ un système linéaire.Proposition : ෠ ෠ ෠ ܺ est une solution, au sens des MCO, du système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ ssi ܺ est une solution du système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ, où ܾൌ‫݌‬ ෠ ሺܾሻ. ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻProposition : Soit ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ un système linéaire. Le système ௧‫ ܺ .ܣܣ‬ൌ ௧‫ ܾ .ܣ‬admet toujours au moins une solution. Toute solution du système ௧‫ ܺ .ܣܣ‬ൌ ௧‫ ܾ .ܣ‬est une solution au sens des moindres carrées du système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ. Soit ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ un système linéaire.Définition : Le système ௧‫ ܺ .ܣܣ‬ൌ ௧‫ ܾ .ܣ‬s’appelle « système des équations normales ». Soit ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ un système linéaire.Proposition : Si les colonnes de la matrice ‫ ܣ‬sont linéairement indépendantes alors le système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ a exactement une seule solution au sens des MCO. Soit ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ un système linéaire, avec ‫ࣧ א ܣ‬ሺ݉, ݊ሻ.Proposition : Si ݊ ൑ ݉ ݁‫݃ݎ ݐ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ݊ alors le système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ a exactement une seule solution au sens des MCO. ‫ݔ‬൅‫ ݕ‬ൌ4 1 1 4 ‫ݔ‬ ൝‫ ݔ‬ൌ 5 ‫׷‬ ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ ܽ‫ ܣ ܿ݁ݒ‬ൌ ൥1 0 ൩ , ቀ‫ݕ‬ቁ ݁‫ ܾ ݐ‬ൌ ൭5൱ ‫ݔ‬െ‫ ݕ‬ൌ9 1 െ1 9Exemple : (1) En utilisant les équations normales ࢚࡭࡭. ࢄ ൌ ࢚࡭. ࢈ : 1 1 ‫ ۓ‬௧‫ ܣܣ‬ൌ ቂ1 1 1 ቃ ൥1 0 ൩ ൌ ቂ 3 0 ቃ ۖ െ11 0 0 2 On calcule ௧‫ ܺ .ܣܣ‬et ௧‫: ܾ .ܣ‬ 1 െ1 ‫۔‬௧ 4 1 1 1 18 ۖ ‫ ܾ .ܣ‬ൌ ቂ ቃ . ൭5 ൱ ൌ ቀ ቁ ‫ە‬ 1 0 െ1 െ5 9 3 0 ‫ݔ‬ 18 Les équations normales ‫ ܺ .ܣܣ‬ൌ ‫ ܾ .ܣ‬s’écrivent alors : ௧ ௧ ቂ ቃ . ቀ‫ ݕ‬ቁ ൌ ቀ ቁ 0 2 െ5 ෠ 6 La solution du système ௧‫ ܺ .ܣܣ‬ൌ ௧‫ ܾ .ܣ‬est alors donnée par : ܺൌ൬ ൰ 5/2 7/2 4 െ1/2 ෠ ෠ On calcule ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ ܾฮ : ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ ܾฮ ൌ ะ൭ 6 ൱ െ ൭5൱ะ ൌ ะ 1 ะ ൌ ටଶ ଷ 17/2 9 െ1/2 On a alors : ෠ min௑‫א‬Թ೙ ԡ‫ ܺ .ܣ‬െ bԡ ൌ ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ bฮ ൌ ටଶ ଷProfesseure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 19
  • 20. [S4, Module M 16 : MQ IV, Matière : Algèbre II] Chapitre 2 : Produit scalaire -Orthogonalité (2) En utilisant la projection orthogonale de ࢈ sur ࡵ࢓ሺ࡭ሻ : On détermine ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ : ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ ‫ݐܿ݁ݒ‬ሼ‫݁ .ܣ‬ଵ , ‫݁ .ܣ‬ଶ ሽ, ሼ݁ଵ , ݁ଶ ሽ étant la base canonique de Թଶ 1 െ1 ‫ݒ‬ଵ ൌ ‫݁ .ܣ‬ଵ ൌ ൭1൱ et ‫ݒ‬ଶ ൌ ‫݁ .ܣ‬ଶ ൌ ൭ 0 ൱ ฺ ሼ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ሽ est une base de ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ , ܿܽ‫ ݎ‬ሼ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ሽ est libre 1 1 1 െ1 On construit une base orthonormée ሼߝଵ , ߝଶ ሽ de ‫݉ܫ‬ሺ‫ܣ‬ሻ : ߝଵ ൌ ൭1൱ ; ߝଶ ൌ ൭ 0 ൱ ଵ ଵ 1 1 √ଷ √ଶ 4 7/2 ෠ ෠ ෠ On calcule ܾ ൌ ‫݌‬ூ௠ሺ஺ሻ ሺܾሻ, ܾ ൌ ൭5൱ ‫ ܾ ׷‬ൌ ‫ߝ ,ܾۃ‬ଵ ‫ߝ .ۄ‬ଵ ൅ ‫ߝ ,ܾۃ‬ଶ ‫ߝ .ۄ‬ଶ ฺ ܾ ൌ ൭ 6 ൱ 9 17/2 ෠ ෠ 6 La solution du système ‫ ܺ .ܣ‬ൌ ܾ est alors donnée par : ܺ ൌ ൬ ൰ 5/2 ෠ ෠ ෠ On calcule ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ ܾฮ : ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ ܾฮ ൌ ฮܾ െ ܾฮ ൌ ටଶ ଷ On retrouve alors : ෠ min௑‫א‬Թ೙ ԡ‫ ܺ .ܣ‬െ bԡ ൌ ฮ‫ ܺ .ܣ‬െ bฮ ൌ ටଶ ଷProfesseure Salma DASSER printemps- Session printemps-été 20

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