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• 1. AnalyseDidier Müller, janvier 2012 www.nymphomath.ch
• 2. Table des matières1. Limites1.1. Les limites dans la vie courante.....................................................................................................................................11.2. Exemple introductif.......................................................................................................................................................21.3. Définition et notations...................................................................................................................................................31.4. Opérations sur les limites..............................................................................................................................................41.5. Calcul de limites quand x → a, a fini............................................................................................................................41.6. Calcul de limites quand x → ∞......................................................................................................................................51.7. Une limite célèbre..........................................................................................................................................................71.8. Ce quil faut absolument savoir.....................................................................................................................................72. Continuité2.1. Continuité en un point...................................................................................................................................................92.2. Continuité sur un intervalle...........................................................................................................................................92.3. Opérations sur les fonctions continues........................................................................................................................102.4. Deux théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues........................................................................................112.5. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................123. Dérivées3.1. Un peu dhistoire..........................................................................................................................................................133.2. Définition de la dérivée...............................................................................................................................................133.3. La dérivée seconde......................................................................................................................................................173.4. Dérivées de fonctions usuelles....................................................................................................................................193.5. Règles de dérivation....................................................................................................................................................193.6. Théorèmes relatifs aux fonctions dérivables...............................................................................................................213.7. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................244. Applications des dérivées4.1. Calculs de tangentes à des courbes..............................................................................................................................254.2. Problèmes de taux daccroissement.............................................................................................................................284.3. Problèmes doptimisation.............................................................................................................................................294.4. Méthode de Newton-Raphson.....................................................................................................................................324.5. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................325. Étude de fonctions5.1. Asymptotes..................................................................................................................................................................335.2. Points fixes..................................................................................................................................................................335.3. Croissance et concavité (rappels)................................................................................................................................345.4. Méthode.......................................................................................................................................................................355.5. Un exemple complet....................................................................................................................................................355.6. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................386. Étude de courbes paramétrées6.1. Définitions...................................................................................................................................................................396.2. Exemple de courbes paramétrées : figures de Lissajous.............................................................................................396.3. Asymptotes..................................................................................................................................................................406.4. Dérivées et points particuliers.....................................................................................................................................416.5. Méthode.......................................................................................................................................................................416.6. Deux exemples complets.............................................................................................................................................426.7. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................45
• 3. 7. Intégrales7.1. Un peu dhistoire..........................................................................................................................................................477.2. Calcul daire.................................................................................................................................................................477.3. Définition de lintégrale définie...................................................................................................................................487.4. Le théorème fondamental du calcul intégral...............................................................................................................497.5. Recherche de primitives..............................................................................................................................................507.6. Retour au problème du calcul daire............................................................................................................................537.7. Calcul de lintégrale définie.........................................................................................................................................547.8. Intégrales impropres....................................................................................................................................................557.9. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................568. Applications des intégrales8.1. Aire entre deux courbes...............................................................................................................................................578.2. Volume dun solide de révolution................................................................................................................................588.3. Longueur dune courbe plane.......................................................................................................................................598.4. Aire dune surface de révolution..................................................................................................................................608.5. Mouvement rectiligne..................................................................................................................................................618.6. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................629. Équations différentielles9.1. Introduction.................................................................................................................................................................639.2. Léquation y = f(x).......................................................................................................................................................639.3. Léquation à variables séparables y⋅ g(y) = h(x)........................................................................................................649.4. Léquation homogène y =g y x ..............................................................................................................................649.5. Léquation linéaire y + p(x)⋅ y = q(x)..........................................................................................................................659.6. Applications des équations différentielles dordre 1....................................................................................................659.7. Ce quil faut absolument savoir...................................................................................................................................67
• 4. LIMITES 11. Limites1.1. Les limites dans la vie courante La notion de vitesse, et en particulier la vitesse dun objet à un instant précis, est,Vitesse instantanée étonnamment, subtile et difficile à définir précisément. Considérez cette affirmation : « À linstant où le cheval a franchi la ligne darrivée, il galopait à 64 km/h ». Comment peut-on étayer une telle affirmation ? Une photographie ne serait daucune aide, puisque sur le cliché, le cheval est immobile ! Il y a une sorte de paradoxe à essayer de quantifier le mouvement à un moment précis puisquen se focalisant sur un seul instant on stoppe le mouvement ! Rappelons que la vitesse est la distance parcourue ∆x divisée par le temps ∆t quil a fallu pour la parcourir. Pour avoir la vitesse instantanée, on choisira  t 0 . On ne peut pas prendre ∆t = 0, puisquon aurait une division par 0. La vitesse instantanée est donc une limite. Zénon dElée Les problèmes de mouvement étaient un des thèmes centraux de Zénon et dautres (Elée, env. −490 − philosophes dès le 5ème siècle avant Jésus Christ. Lapproche moderne, rendue célèbre Elée, env. −425) par Newton, ne considère plus la vitesse à un instant donné, mais sur un petit intervalle de temps contenant cet instant. On a vu dans le chapitre consacré aux droites comment calculer la pente dune droite.Pente dune courbe Quen est-il pour une courbe ? Contrairement aux droites, la pente dune courbe nest pasen un point constante. Par exemple, quand les coureurs du Tour de France gravissent un col, la pente nest pas toujours la même ; certains tronçons sont plus raides que dautres. Comme la pente dune droite est le déplacement vertical ∆y divisé par le déplacement horizontal ∆x, la pente en un point précis dune courbe sera obtenu en choisissant  x 0 , autrement dit en prenant deux points « proches » sur la courbe. La pente dune courbe en un point est donc elle aussi une limite. La notion de limite est particulièrement utile pour étudier le comportement dune fonction au voisinage dun trou ou dun bord de son domaine de définition. Voisinage dun trou Voisinage dun bord du domaineDidier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
• 5. 2 CHAPITRE 11.2. Exemple introductif sin  x Soit la fonction f  x= dont nous allons étudier le comportement au voisinage x 0 de a = 0, car elle est indéfinie en ce point, puisquon aurait . 0 Méthode numérique La méthode numérique consiste à construire un petit tableau de valeurs. Dans notre cas, on se rapprochera de 0 en venant depuis la gauche (i.e. en prenant des nombres plus petits que 0) et depuis la droite (i.e. en prenant des nombres plus grands que 0). Daprès le tableau ci-dessous, il semblerait que la limite de f(x) quand x tend vers 0 est 1. Attention ! Dans les méthodes numériques, les angles sont toujours exprimés en radians ! gauche  a  droite x –0.1 –0.01 –0.001 –0.0001 0 0.0001 0.001 0.01 0.1 f(x) 0.99833 0.99998 0.99999 0.99999 indéfini 0.99999 0.99999 0.99998 0.99833 Méthode géométrique Nous allons prouver que le résultat de lanalyse numérique est exact par une méthode géométrique ad hoc. D Regardons le dessin ci-contre. B Aire du triangle OCB ≤ Aire du secteur OCB ≤ Aire du triangle OCD, ta n x doù : 1 2 x 1 ⋅1⋅sin  x⋅1 ⋅  ⋅1⋅tan  x s in x 2 2 2 x Après simplifications : 0 A C sin  x x tan x 1 Après division par sin(x) (daprès le dessin sin(x) > 0) :Larc de cercle BC est une portion du x 1cercle trigonométrique (de rayon 1). 1  sin  x cos  x Puis en inversant tout : sin  x 1 cos  x x Comme on fait tendre x vers 0, cos(x) tend vers 1 et il résulte que : sin  x 1 1 x On vient de démontrer que, en venant depuis la droite (puisque langle x est positif), la limite de la fonction f(x) tend vers 1. On remarque rapidement que le résultat est le même en venant depuis la sin − x sin  x gauche (i.e. x < 0), puisque = et cos(–x) = cos(x). −x x Comme la limite à gauche est égale à la limite à droite, on dit que la limite existe et quelle est égale à 1. sin  x On lécrit : lim =1 x 0 x Remarque importante Si la limite à gauche est différente de la limite à droite, on dit que la limite nexiste pas.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
• 6. LIMITES 3 sin  x Graphe de , avec un trou en x = 0 x1.3. Définition et notations Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a. Elle peut ne pas être définie en a. La limite de f en a est le nombre vers lequel se rapproche la valeur de f(x) quand x se rapproche aussi près quon veut de a, mais avec x ≠a. Notations Il existe de nombreuses notations pour indiquer les limites à gauche et à droite. Voici celle que nous utiliserons : Limite à gauche Limite à droite lim f x = L lim f  x= L x a x a xa xa Rappelons encore une fois que lim f x = L ⇔ lim f  x= L et lim f  x=L . x a xa x a xa xa {Exercice 1.1 – 1 si x  1 Soit la fonction f(x) = 2 si x = 1 3 si x  1 Donnez : a. lim f x  b. lim f x  c. lim f x  d. f(1) x 1 x 1 x 1 x1 x1Didier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
• 7. 4 CHAPITRE 11.4. Opérations sur les limites Si f et g admettent des limites finies quand x  a , avec a fini ou infini, alors : lim  k⋅f  x=k⋅lim f  x , où k est un nombre réel x a xa lim  f  x g  x=lim f  xlim g x (idem pour « – ») x a xa x a lim  f  x⋅g  x=lim f  x⋅lim g  x x a xa xa lim f  x f  x x  a lim = si lim g x≠0 x a g x lim g  x x a xa n x a  lim  f  x= n lim f  x x a On va maintenant classer les limites en différentes catégories, puis on développera des techniques de résolution pour chacune de ces catégories. On cherchera dabord des limites quand x tend vers un nombre fini, puis quand x tend vers linfini.1.5. Calcul de limites quand x → a, a finiLimites de fonctions Introduisons dabord une définition intuitive de la continuité :continues en a « Une fonction est continue dans un intervalle si on peut la dessiner dun bout à lautre de lintervalle sans lever le crayon. » Si f est continue en a, la limite en a est égale à limage de a. 2 2 Exemples lim 3 x x =3⋅ 5=80 5 x 5 lim sin  x=sin x  3  3 3 = 2 N  xLimite du quotient Soit la fonction f  x= D xde deux fonctions1er cas : c1 Si lim N  x=c1 et lim D  x=c 2≠0 , alors lim f  x= .dénominateur non nul x a x a x a c22ème cas : Seule une des trois réponses suivantes est possible :numérateur non nul et 1. lim f  x=∞dénominateur nul x a 2. lim f  x=−∞ x a 3. lim f  x nexiste pas car lim f  x≠lim f  x x a x a x a xa xa Pour déterminer la bonne réponse, il faut donc comparer la limite à gauche et la limite à droite. Si elles sont égales, la bonne réponse sera la 1. ou la 2. Si elles sont différentes, la bonne réponse sera la 3. Si le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0, on a une forme indéterminée.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
• 8. LIMITES 53ème cas : a. N(x) et D(x) sont des polynômesnumérateur et Si N(a) = 0, N(x) est divisible par (x–a) et si D(a) = 0, D(x) est aussi divisible pardénominateur nuls (x–a). On peut donc simplifier la fraction par (x–a). 2 x – 5 x6  x−2 x−3 x−3 1 Exemple : lim =lim =lim =− x – x – 2 x  2  x−2 x1 x  2 x1 2 x2 3 b. N(x) et D(x) ne sont pas des polynômes Dans certains cas on peut simplifier. Exemple : lim  x – 2 =lim x–2 =lim 1 = 1 x4 x –4 x4   x−2  x 2 x  4  x 2 4 Dans dautres cas, il faut une autre méthode, par exemple numérique ou géométrique (voir lexemple introductif). Nous verrons dans le chapitre 3, consacré aux dérivées, le théorème de lHôpital, qui pourra être utilisé dans un pareil cas. Calculez, si elles existent, les limites suivantes :Exercice 1.2 2 2 2 x –2 x 2 x x – 1 3 x – 2 x 2 1. lim 2. lim 3 3. lim x 0 x x – 1 x 1 x 0 x1 2 2 2 x 2 x – 15 x 2 x – 15 x 2 x – 15 4. lim 2 5. lim 2 6. lim 2 x – 5 x 8 x15 x3 x 8 x15 x−3 x 8 x15 2 2 2 x – 2 x1 x 1 x – 3 x2 7. lim 8. lim 9. lim x  2 ∣x – 4∣ 2 2Aide pour les ex. 13-16 : x 1 x –1 x2 x – 4 x 4 x2  a  b  a –  b=a – b 2 2 2 x – 3 x2 x – 5 x6 x x – 2 10. lim 2 11. lim 2 12. lim 2Remarque utile pour les x2 x – 4 x 4 x3 2x –6x x 1  x – 1 x2calculsQuand x≈0, alors sin(x) ≈x 13. lim x –1 14. lim  x 2 x –  2 15. lim x–5et tan(x) ≈x. x 1 x –1 x 1 x –1 x 5  2 x –1 – 3 2Attention, cela ne marche que x sin 2 x sin 2 x 16. lim 17. lim 18. limquand x est proche de 0 ! x 0  x 1 – 1 2 x 0 x x 0 sin 3 x  sin  x –1 sin  x xAide pour les ex. 23-24 : 19. lim 20. lim 2 21. lim 2 x 1 x–1 x 0 2 x x x 1  x – 1comparer les limites à gaucheet à droite tan3 x ∣x∣ ∣x−2∣ 22. lim 23. lim 24. lim 2 x 0 3x x 0 x x2 x −3 x21.6. Calcul de limites quand x → ∞ Quand on divise un nombre fini par un nombre tendant vers linfini, le résultat tend versPrincipe du gâteau zéro.danniversairePlus le nombre dinvitésest grand, plus la part degâteau est petite.Didier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
• 9. 6 CHAPITRE 1 Théorème 1Limite dunefonction polynôme En +∞ (respectivement –∞), toute fonction polynôme a la même limite que son terme de degré le plus élevé.quand x → ∞ Démonstration n n– 1 n –2 lim  an x an – 1 x an – 2 x a 1 xa0  = x ∞ n a n – 1 1 an – 2 1 a1 1 a0 1 n lim an x 1    =lim a x x ∞ an x  a n x2 a n x n−1  x  ∞ n  a n xn 0 0 0 0 Théorème 2Limite dunefonction rationnelle En +∞ (respectivement –∞), toute fonction rationnelle a la même limite que le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.quand x → ∞ En effet, daprès le théorème 1 : { 0 si n  m n n–1 n a n x a n – 1 x a1 xa0  an x an lim m m– 1 =lim m = si n = m x ∞ bm x bm – 1 x b1 xb0  x ∞ bm x bn ∞ ou – ∞ si n  m 0Formes Des expressions du type « », « 0⋅∞ », « ∞ », « ∞−∞ » sont dites indéterminées. ∞ 0indéterminées Lorsquun calcul de limites conduit à une forme indéterminée, on ne peut pas conclure  x =∣x∣ 2 immédiatement ; il faut généralement faire quelques transformations en utilisant par exemple les formules que vous trouverez dans la marge. Exemples ∣x∣ = { x si x0 – x si x  0 a. lim   x 24 x 4 – x  = lim    x2 – x = lim ∣x2∣ – x = 2 x∞ x∞ x∞ lim  x2 – x = 2 lim  x 2b xc = x∞ x ∞ lim x x ∞ ∣ b∣ 2 b. lim   x 2−2 x 42 x = lim    x−1232 x = x−∞ x−∞Refaites les deux exemplesci-contre en utilisant latroisième formule ! x−∞  lim   x−1  1 2  3  x−1  2 2 x = lim ∣x−1∣ 1 x−∞  3  x−1 2  2 x = 0 lim ∣x−1∣ 2 x = lim − x12 x = lim  x1 = –∞. x−∞ x−∞ x−∞ Calculez, si elles existent, les limites suivantes :Exercice 1.3 2 2 2 2x –3x 3 x – x1 2x – x 1. lim 2 2. lim 3 3. lim x∞ 3 x – 5 x1 x−∞ x x x−∞ x2 3 2 2 2 x 3 x  x−1 x −4 x3 4. lim 2 5. lim 2 6. lim 2 x∞ x –1 x∞ x 3 x x∞ 2 x 5 7. lim 2 x −5 x6 8. lim  x 2−3− x 9. lim  x 2−4x3 2 x−∞ 2 x −6 x x−∞ x x∞ x1 10. lim  x –  x2 1 11. lim 2 x x 21 x∞ x−∞Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
• 10. LIMITES 71.7. Une limite célèbre Dans le chapitre consacré aux logarithmes, nous avions déjà vu cette limite célèbre, qui est la définition du nombre e (dont la valeur est 2.718281828459...) : x x lim 1 x∞  1 x =e . De plus, on a aussi lim 1 x−∞   1 x =e . Cest ici loccasion de remarquer que lon peut facilement se tromper en faisant desOù est la faute de raisonnements qui semblent justes. On pourrait en effet se dire que quand x tend versraisonnement ? linfini, 1/x tend vers 0, et quil reste alors 1 puissance infini, donc 1. Or, ce nest pas la réponse exacte. Aussi est-il toujours prudent de vérifier sa réponse par une petite analyse numérique. 1Remarquez bien que On a aussi : lim 1 y y =e .quand x → ±∞, y → 0, y0 1 1puisque y= . En effet, en substituant y par , on retrouve la première limite. x x Calculez, si elles existent, les limites suivantes :Exercice 1.4 x5 3x xIl faut utiliser les opérations 1. lim 1 x∞  1 x 2. lim 1 x∞   1 x 3. lim 1 x∞  2 xdu § 1.4 et parfois travailler x x   1par substitution pour seramener à la définition de e. 4. lim 1− x∞  1 x 5. lim 1 – 4 x x x 0 6. lim x∞ x 1 x x1 7. lim x∞   x3 x−1 8. lim 13 tan 2  xcot x 0 2 x 1.8. Ce quil faut absolument savoirConnaître les définitions de limite, limite à gauche, limite à droite t ok sin  xSavoir prouver que lim =1 t ok x 0 xSavoir résoudre les types de limites vus dans ce chapitre t okDidier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
• 11. 8 CHAPITRE 1Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
• 12. CONTINUITÉ 92. Continuité des fonctions2.1. Continuité en un point Définition On dit quune fonction f est continue en x = a si les trois conditions suivantes sont satisfaites : - f(a) existe dans ℝ , - les limites à gauche et à droite existent dans ℝ et sont égales, - les limites à gauche et à droite sont égales à f(a). Version courte, mais équivalente : f est continue en a si lim f x = f  a . x a Où les fonctions ci-dessous sont-elles discontinues ? 2 x – x– 2 a. f  x= x –2 On remarque que f(2) nest pas défini, ce qui entraîne que f est discontinue en 2. { 2 x – x– 2 si x≠2 b. f(x) = x– 2 1 si x=2 2 x – x–2  x – 2 x1 Comme f(2) = 1, f est définie en 2, et lim =lim =3 existe, x2 x–2 x 2 x–2 mais lim f x ≠ f 2  . x 2 Donc, f est discontinue en 2. { 1 si x≠0 c. f(x) = x 2 1 si x=0 1 Comme f(0) = 1, f est définie en 0, mais lim f x =lim 2 =∞ . x 0 x 0 x Aussi, f est discontinue en 0. d. f(x) = [x] La fonction partie entière f(x) = [x] présente une discontinuité en chaque valeur entière de x parce que lim [ x ] nexiste pas si n est un entier. x n2.2. Continuité sur un intervalle Définition graphique Donnons tout dabord une définition graphique intuitive : « Une fonction f est continue si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon. »Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
• 13. 10 CHAPITRE 2 Continuité à gauche et Une fonction est continue à droite en un nombre a si lim f x = f  a et continue à x a continuité à droite xa gauche en un nombre a si lim f x = f  a . x a xa Esquissez le graphe dune fonction qui est continue partout sauf en x = 3, et qui estExercice 2.1 continue à gauche en 3. Un parking fait payer 2 francs pour la première heure (ou fraction dheure) et 1 francExercice 2.2 pour chaque heure suivante jusquà un maximum journalier de 10 francs. a. Représentez graphiquement ce tarif de parking en fonction du temps. b. Remarquez les discontinuités de cette fonction et expliquez leur signification à quelquun qui met sa voiture dans ce garage. Continuité sur un On dit quune fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point intervalle de lintervalle. Aux extrémités de lintervalle, il faut comprendre continue par continue à droite ou continue à gauche.Rappel Toutes les fonctions suivantes sont continues sur leur domaine de définition :Une fonction est une règle qui - polynomiales (elles sont continues dans ℝ )assigne à chaque élément x - rationnellesdun ensemble A exactement - racinesun élément, noté f(x), dun - trigonométriquesensemble B. Lensemble A est - trigonométriques réciproques (arcsin, arccos, arctan, arccot)appelé le domaine de - exponentiellesdéfinition de la fonction. - logarithmes Attention ! Une fonction continue sur son domaine de définition nest pas forcément continue dans ℝ . Par exemple, tan(x) est continue sur son domaine de définition, mais pas dans ℝ .2.3. Opérations sur les fonctions continues Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I ; soit un réel a ∈ I. Si les fonctions f et g sont continues en a, alors 1. λ·f est continue en a ( ∈ℝ ), 2. f + g est continue en a (idem pour « – »),Chacun de ces résultatsdécoule de la loi des limites 3. f·g est continue en a,correspondante f 4. est continue en a si g(a) ≠ 0 et discontinue si g(a) = 0.(voir chapitre 1, § 1.4) g 5. Si une fonction g est continue au point a et une fonction f est continue au point g(a), alors f °g est continue en a. ln  xarctan  x Où la fonction f  x= 2 est-elle continue ? x –1 La fonction y = ln(x) est continue pour x > 0 et y = arctan(x) est continue sur ℝ . Il sensuit que la fonction ln(x) + arctan(x) est continue sur ]0 ; +∞[, daprès la règle 2. La fonction du dénominateur est polynomiale et donc partout continue. Dautre part, x2 − 1 est nul quand x = 1 et x = −1. Finalement, f est continue sur les intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +∞[.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
• 14. CONTINUITÉ 11 Expliquez pourquoi les fonctions ci-dessous sont discontinues pour la valeur de aExercice 2.3 donnée. Dessinez le graphe de ces fonctions. 2 x –1 a. f(x) = a = −1 x1 { 2 x −1 si x≠−1 b. f(x) = x1 a = −1 6 si x=−1 { 2 x −2 x−8 c. f(x) = si x≠4 a=4 x−4 3 si x=4 d. f(x) = {1−x si 2 x −2 x si x≤2 x2 a=2 Expliquez pourquoi les fonctions ci-dessous sont continues en chaque point de leurExercice 2.4 domaine de définition. Précisez ce domaine de définition. 4 x 17 a. f  x= 2 b. f t =2 t  25 – t 2 6 x x – 1 x 2 c. f  x=e sin 5 x d. f  x=arcsin  x – 1 f  x=cos e x  4 e. f t=ln t –1 f.2.4. Deux théorèmes fondamentaux sur les fonctions continues Théorème de Bolzano Si f est une fonction continue sur [a, b] telle que f(a) et f(b) ont des signes opposés, alors il existe au moins un réel c dans lintervalle ouvert ]a, b[ tel que f(c) = 0. Moins formel : « Une fonction continue ne peut changer de signe quaprès sêtre annulée. » Théorème de la valeur intermédiaire Bernhard Bolzano Si f est une fonction continue sur [a, b] et f(a) ≠ f(b), alors, pour tout réel u strictement (Prague, 5/10/1781 - compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c de lintervalle ouvert ]a, b[ tel que Prague, 18/12/1848) f(c) = u.Le théorème de la valeurintermédiaire certifie quunefonction continue passe partoutes les valeurs intermédiairesentre les valeurs f(a) et f(b).Attention ! Linverse nestpas vrai ! En effet, pour unréel c strictement comprisentre a et b, il nexiste pasforcément un réel u = f(c) danslintervalle ]f(a), f(b)[.Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
• 15. 12 CHAPITRE 2 Y a-t-il équivalence entre la propriété de la valeur intermédiaire et la continuité ?Exercice 2.5 Autrement dit, est-ce que si une fonction satisfait la propriété de la valeur intermédiaire, cela signifie-t-il quelle est continue ? La réponse est non. {  1 sin si x≠0 Montrez que la fonction f(x) = x est un contre-exemple. 0 si x=0 Le théorème de la valeur intermédiaire est mis à contribution dans la localisation des racines des équations, ainsi que le montre lexemple suivant :Quand u = 0, on peut aussiutiliser le théorème de « Montrez quune racine de léquation 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 est située entre 1 et 2. »Bolzano, qui est un casparticulier du théorème de la Posons f(x) = 4x3 − 6x2 + 3x − 2. Nous sommes à la recherche dune solution devaleur intermédiaire. léquation donnée, cest-à-dire dun nombre c situé entre 1 et 2 tel que f(c) = 0. Voilà pourquoi nous prenons a = 1, b = 2 et u = 0, en vue dexploiter ce théorème. On a : f(1) = 4 − 6 + 3 − 2 = −1 < 0 et f(2) = 32 − 24 + 6 − 2 = 12 > 0 Donc f(1) < 0 < f(2) et u = 0 est bien un nombre situé entre f(1) et f(2). De plus, f, étant une fonction polynomiale, est continue. Dans ces conditions, le théorème de la valeur intermédiaire affirme lexistence dun nombre c entre 1 et 2 tel que f(c) = 0. Autrement dit, léquation 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 a au moins une racine dans lintervalle ]1 ; 2[. Algorithme de Lalgorithme le plus simple permettant de recherche de zéros trouver un zéro dune fonction est la dune fonction méthode de dichotomie. On commence avec deux abscisses a et b qui encadrent un zéro de la fonction. À chaque itération, on coupe lintervalle en deux sous-Les algorithmes de recherche intervalles [a, c] et [c, b], c = (a + b)/2des zéros dune fonction sont étant le milieu de a et b. On garde le sous-étudiés en analyse numérique. intervalle qui contient un zéro, puis on recoupe en deux ce sous-intervalle, et ainsi de suite. Lintervalle encadrant le zéro devient ainsi de plus en plus petit. La méthode de dichotomie garantit la convergence vers un zéro lorsque la Étapes successives de la méthode de dichotomie fonction est continue. avec comme intervalle initial [a1; b1]. 1Exercice 2.6 Montrez que la fonction sin(4x4+3x+2) a une racine comprise entre 0 et 2 , puis calculez-la à 0.01 près.2.5. Ce quil faut absolument savoirConnaître la définition de la continuité en un point t okConnaître la définition de la continuité à gauche, à droite, sur un intervalle t okReconnaître une fonction continue t okDire où une fonction est discontinue t okConnaître le théorème de Bolzano t okConnaître le théorème de la valeur intermédiaire t okConnaître la méthode de dichotomie t okCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
• 16. DÉRIVÉES 133. Dérivées3.1. Un peu dhistoire Isaac Newton est né le jour de Noël 1642, lannée de la mort de Galilée, à Woolsthorpe, petit bourg de la région de Lincoln, sur la côte est de lAngleterre. Admis au Trinity College de Cambridge en 1661, il se familiarise avec les œuvres de Descartes, Galilée, Wallis et Isaac Barrow. Entre 1665 et 1666, il est contraint de quitter lUniversité de Cambridge qui ferme ses portes à cause de la peste qui sévit dans la région. De retour à Woolsthorpe, cest au cours de cette parenthèse quil pose les fondements du calcul infinitésimal, de la nature de la lumière blanche et de sa théorie de lattraction universelle. De retour à Cambridge en 1669, il succède à Isaac Barrow à la chaire de mathématiques de lUniversité, quil conservera jusquen 1695. En 1671, il conçoit lui- même un télescope à miroir, exceptionnel pour lépoque, qui grossit 40 fois. Le 11 Isaac Newton janvier 1672, il est élu à la Royal Society de Londres. En 1687, Newton publie son (Woolsthorpe, 25/12/1643 - œuvre maîtresse, Principes mathématiques de philosophie naturelle, exposant sa théorie Londres, 31/3/1727) de lattraction universelle. En 1693, il plonge dans une profonde dépression qui marquera la fin de sa période créatrice. Les Méthodes des fluxions, quil avait écrites en 1671, ne seront publiées quen 1736, après sa mort. Newton y faisait alors naître le calcul infinitésimal, en même temps que Leibniz dont le Calcul différentiel fut, lui, édité en 1686. À lépoque, les deux hommes sétaient vivement opposés, chacun revendiquant la paternité de la découverte. À la mort de Newton, le débat continua. Leibniz est né à Leipzig le 1er juillet 1646. Il est donc parfaitement contemporain à Newton. À quinze ans, maîtrisant les langues anciennes, il entre à luniversité de Leipzig pour étudier le droit mais il y découvre Kepler, Galilée et Descartes, ce qui lincite à sinitier aux mathématiques. En 1663 il soutient une thèse sur le principe dindividuation, part étudier les mathématiques à Iena, puis le droit à Altorf où il obtientGottfried Wilhelm von Leibniz un doctorat en 1667. En 1672, Leibniz rejoint une mission diplomatique à la cour de (Leipzig, 1/7/1645 - Louis XIV – pour convaincre le roi de conquérir lÉgypte. Là, il se lie avec les grands Hannover, 14/11/1716) esprits de lépoque, dont le mathématicien hollandais Christiaan Huygens (1629-1695), se plonge dans la lecture de Pascal et invente une machine à calculer. Leibniz est ébloui par les méthodes que lui dévoile Huygens ; au cours dun voyage à Londres en 1673, il rencontre des mathématiciens anglais à qui il montre ses premiers travaux et assiste à des séances de la Royal Society dont il est élu membre étranger. De retour à Paris, il retrouve Huygens qui lencourage vivement à poursuivre ses recherches. À lissue de son séjour parisien, il élabore le calcul différentiel. En 1684, il publie son Calcul différentiel. Il fonde en 1700 lacadémie de Berlin dont il est le premier président. Leibniz est aussi célèbre en tant que théologien et philosophe. Dautres grands noms sont liés à lintégration. Citons entre autres Jacques Bernoulli (1654-1705), Jean Bernoulli (1667-1748) le frère de Jacques, Daniel Bernoulli (1700- Christiaan Huygens 1782) le fils de Jean, le marquis de lHôpital (1661-1704), Leonhard Euler (1707- (La Haye, 14/4/1629 - 1783), Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Pierre Simon de Laplace (1749-1827) et La Haye, 8/7/1695) Augustin Cauchy (1789-1857).3.2. Définition de la dérivée f  x 0 x – f  x 0  Définition 1 Si la limite f  x 0= lim existe, elle est appelée fonction dérivée  x 0 x de la fonction f. f est alors dite dérivable. Remarque : ∆x peut être positif ou négatif. Si ∆x > 0 on parle de dérivée à droite ; si ∆x < 0, on parle de dérivée à gauche. La fonction est dérivable si la dérivée à droite et la dérivée à gauche existent et si elles sont égales.Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
• 17. 14 CHAPITRE 3∆x est un accroissement(une variation) de lavariable x.f(x0+∆x) – f(x) estlaccroissement de f . f  x 0 x – f  x 0 est xle taux daccroissementmoyen.Quand ∆x → 0, on parlede taux de variationinstantané. Attention ! ∆x ne signifie pas ∆·x. Cela signifie « un petit accroissement de x ». On ne peut pas séparer le ∆ du x. Interprétation La valeur f (x0) est la pente de la tangente à la courbe f(x) en x = x0. géométrique De cette interprétation géométrique, on peut déduire que : Si f > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle. Si f = 0 en un point, alors ce point est un extremum de la fonction ou un point dinflexion à tangente horizontale. minimum maximum points dinflexion à tangente (extrema) horizontale (chaise) Définition 2 Si une fonction f(x) est dérivable en tout point de lintervalle I = ]a ; b[, elle est dite dérivable sur lintervalle I. Notations Il existe plusieurs notations pour désigner la dérivée dune fonction y = f(x) : dy f (x), f , y, ˙ , y dx La dernière notation a été introduite par Leibniz. Elle remplace parfois avantageusement les autres notations. En effet, dans de nombreux calculs, on est en droit de travailler comme sil sagissait dun rapport banal, ce qui donne un aspect immédiat à certains résultats. Une fonction dérivable en un point est continue en ce point.Dérivabilité etcontinuité Attention ! La réciproque est fausse : une fonction continue nest pas forcément dérivable. Par exemple la fonction y = |x| est continue mais pas dérivable en x = 0 (les dérivées à gauche et à droite ne sont pas égales). Il en est ainsi pour toutes les fonctions possédant des « pointes ».Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
• 18. DÉRIVÉES 15 Sur le graphe de la fonction f(x) ci-dessous, indiquez les valeurs approximatives de xExercice 3.1 pour lesquelles : 1 a. f(x) = 0 b. f (x) = 0 c. f (x) = 1 d. f (x) = –4 e. f (x) = – 2IndicationUtilisez linterprétationgéométrique de la dérivée. Esquissez le graphe de sin(x) et utilisez ce graphe pour décider si la dérivée de sin(x) enExercice 3.2 x = 3π est positive ou négative. En utilisant la définition 1 de la dérivée, trouvez algébriquement la dérivée f deExercice 3.3 1Pour trouver f(x+∆x), il suffit a. f(x) = x3 + 5 b. f(x) = xde remplacer le symbole « x » c. f(x) =  x d. f(t) = 3t2 + 5tpar « x+∆x ». Trouvez la pente des tangentes à la parabole y = x2 aux points A(1; 1) et D(−2; 4).Exercice 3.4 Utilisez la définition 1 pour estimer numériquement la dérivée deExercice 3.5 a. f(x) = xx en x = 2  b. f(x) = ln(cos(x)) en x = Travaillez toujours en radians ! 4 c. f(x) = sin(ex) en x = 3 1Exercice 3.6 La position dun mobile est donnée par léquation du mouvement s = f(t) = 1t , où t est mesuré en secondes et s en mètres. Calculez la vitesse du mobile après 2 secondes.Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
• 19. 16 CHAPITRE 3 Esquissez le graphe de la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous :Exercice 3.7 a. b. c. d. e. f. En mettant en correspondance les courbes de f(x) et f (x) de lexercice 3.7, remplissezExercice 3.8 les cases vides du tableau ci-dessous avec les réponses suivantes (il y a un intrus) : = 0, = 0, = 0, < 0, > 0, ∞, min ou max point pt. dinfl. à f(a) décroît croît minimum maximum dinflexion tg. horiz. f (a) Dans une expérience de laboratoire, le nombre de bactéries après t heures est donné parExercice 3.9 n = f(t). a. Quelle est la signification de f (5) ? En quelles unités sexprime f (5) ? b. Si la quantité de nourriture et despace nest pas limitée, lequel des deux nombres f (5) et f (10) sera le plus grand ? a. Dessinez une courbe dont la pente partout positive croît continûment.Exercice 3.10 b. Dessinez une courbe dont la pente partout positive décroît continûment. c. Dessinez une courbe dont la pente partout négative croît continûment. d. Dessinez une courbe dont la pente partout négative décroît continûment. Dessinez un graphe possible de y = f(x) connaissant les informations suivantes sur laExercice 3.11 dérivée : • f (x) > 0 pour 1 < x < 3 • f (x) < 0 pour x < 1 ou x > 3 • f (x) = 0 en x = 1 et x = 3 a. Sur un même système daxes, dessinez les graphes de f(x) = sin(x) et g(x) = sin(2x),Exercice 3.12 pour x compris entre 0 et 2π. b. Sur un deuxième système daxes identique au premier, esquissez les graphes de f (x) et g (x) et comparez-les. Par des expériences, on peut constater que le chemin parcouru ( l) par un corps en chuteExercice 3.13 libre est proportionnel au carré du temps écoulé : g l(t) = t2 où g est la gravité terrestre (9.81 m/s2). 2 a. Quelle est la vitesse moyenne entre le moment t et le moment t + ∆t ? Quand ∆t → 0, la vitesse moyenne tend, par définition, vers la vitesse instantanée au moment t. b. Quelle est la vitesse instantanée au moment t ?Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
• 20. DÉRIVÉES 173.3. La dérivée seconde Comme la dérivée est elle-même une fonction (cf. ex. 3.7), on peut souvent calculer sa dérivée. Pour une fonction f, la dérivée de sa dérivée est appelée dérivée seconde et notée f . Que nous dit la dérivée seconde ? Rappelons que la dérivée dune fonction nous dit si une fonction croît ou décroît. Si f > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.Remarque Si f < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.On peut aussi calculer ladérivée troisième, quatrième, Puisque f est la dérivée de f :etc. Cependant, elles ont Si f > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.moins dintérêt que les Si f < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.dérivées première et seconde. Ainsi la question devient : quindique le fait que f soit croissante ou décroissante ? Lorsque f est croissante, la courbe f se redresse : elle est convexe. Lorsque f est décroissante, la courbe f sinfléchit vers le bas : elle est concave.Deux trucs mnémotechniquesPour se rappeler la différenceentre convexe et concave,penser quune courbe concave ala forme dune caverne.Si la dérivée seconde estpositive, on peut imaginer que« la courbe sourit ».Inversement, quand elle estnégative, « elle tire la tronche ». Pour trouver les points dinflexion (point noir sur la figure ci-dessus) de f(x), il faut poser f (x) = 0 et résoudre. Mais attention ! Il faudra vérifier que cest bien un point dinflexion : f (x−ε) et f (x+ε) devront être de signe opposé. Pour la fonction f donnée ci-dessous, décidez où la dérivée seconde est positive et oùExercice 3.14 elle est négative.Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
• 21. 18 CHAPITRE 3 Donnez trois moyens de faire la différence entre un minimum local dune fonction f, unExercice 3.15 maximum local et un point dinflexion à tangente horizontale . Chacun des graphes ci-dessous montre la position de quatre wagonnets se déplaçant surExercice 3.16 une ligne droite en fonction du temps. Les échelles de tous les graphes sont les mêmes. Quel(s) wagonnet(s) a (ont) :Rappels de physique a. une vitesse constante ?La fonction vitesse est la b. la plus grande vitesse initiale ?dérivée de la fonction horaire c. une vitesse nulle ?(position). La fonction d. une accélération nulle ?accélération est la dérivée de e. une accélération toujours positive ?la fonction vitesse. f. une accélération toujours négative ? (I) (II) (III) (IV) x x x x t t t t Trouvez algébriquement la dérivée seconde deExercice 3.17 1 a. f(x) = x3 + 5 en x = 1 b. f(x) = en x = 2(suite de lex. 3.3) x c. f(x) =  x en x = 1 d. f(t) = 3t2 + 5t en t = –1 Dessinez sur le graphe de la fonction f ci-dessous les « bouts de la fonction f » où f ≥ 0Exercice 3.18 (en vert), f ≥ 0 (en rouge) et f ≥ 0 (en bleu). On se donne les abscisses suivantes : –2.25, –1.6, –1.2, –0.5, 0, 0.7, 1.55, 2. Dites pour lesquelles de ces abscisses… a. f et f sont non nulles et de même signe. b. au moins deux des valeurs de f, f et f sont nulles. a. Dessinez une courbe dont la première et la seconde dérivée sont partout positives.Exercice 3.19 b. Dessinez une courbe dont la seconde dérivée est partout négative, mais dont la première dérivée est partout positive. c. Dessinez une courbe dont la seconde dérivée est partout positive, mais dont la première dérivée est partout négative. d. Dessinez une courbe dont la première et la seconde dérivée sont partout négatives.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
• 22. DÉRIVÉES 193.4. Dérivées de fonctions usuelles Pour éviter de toujours recalculer les mêmes dérivées à partir de la définition 1, on peut construire une table des dérivées. Les tables ci-dessous regroupent les fonctions usuelles. a et n sont des constantes. f (x) f (x) f (x) f (x) a 0 sin(x) cos(x) n n– 1 x n⋅x cos(x) –sin(x) 1 1 1 2  x= x 2 tan(x) 2 =1tan  x 2 x cos  x 1 1 2 ln(x) cot(x) − 2 =−1−cot  x x sin  x loga(x) 1 1 arcsin(x) x ln a  1 – x2 x x 1 e e arccos(x) −  1 – x2 x x 1 a a ln a arctan(x) 2 1 x 1 |x| sgn(x) (x ≠ 0) arccot(x) − 2 1x3.5. Règles de dérivation Soient f et g deux fonctions dérivables et λ un nombre réel. Les propriétés suivantes servent au calcul des dérivées :Les démonstrations de ces 1. (f + g) = f + g 2. (f – g) = f – gpropriétés, longues et fastidieuses, découlent de ladéfinition 1. 3. (λ·f) = λ·f 4.  f g = f g – f g g 2 5. (f·g) = f ·g + f·g 6.  g° f =g ° f ⋅f La règle la plus difficile est la sixième. Elle concerne la dérivation de fonctions composées. Nous la traiterons en détails un peu plus loin.3 exemples de calculs 1. Dérivons h(x) = ex + x3de dérivées On a f(x) = ex , g(x) = x3 et h(x) = f(x) + g(x).   Daprès la règle 1 : h  x=e x  3 x2 f g sin  x 2. Dérivons h x= x e f  x On a f(x) = sin(x) , g(x) = ex et h x= g  x f g f g Daprès la règle 4 : h  x=   sin x  = cos  x⋅e – ⋅e cos  x−sin  x x x x 2 x  e  e g2Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
• 23. 20 CHAPITRE 3 2 x 3. Dérivons h x= x ⋅3 On a f(x) = x2 , g(x) = 3x et h(x) = f(x)·g(x). Daprès la règle 5 : h  x=2 x⋅3  ⋅3 ln3= x⋅3 2 x ln 3  x  x 2 x x f g f g a, b, c, d sont des nombres réels. On donne f(x). Calculez f (x) pour les cas suivants :Exercice 3.20 1. x+1 2. 2x 3. –3x+5 4. ax+bLa règle 6 nintervient dansaucun des ces calculs, car il 5. x2 6. 4x2–5x–4 7. 2x3+2x+6 8. ax2+bx+cny a pas de fonctions 9. 0 10. ax3+bx2+cx+d 11. (x+5)(x–3) 12. (3x2+5)(x2–1)composées. 2 a x5 x – x5 13. (ax+b)(cx+d) 14. 15. 16. 2 x x –1 x – 2 x1 3 1 17. x 18. 3 x 19.  x2 20. xRappel sur la Envisageons les fonctions f(x) = 6x − 4 et g x = x . On peut les appliquer à la queuecomposition de fonctions leu leu, par exemple : la fonction « f suivie de g ». Prenons un exemple : 5 → f → 26 → g →  26 Pour x, on aura :Les flèches représentent lesmachines (les fonctions). Pour x → f → 6x − 4 → g → 6 x – 4obtenir le résultat, on remplacele carré représente par ce qui est On écrira g  f  x=  6 x – 4 ou g ° f  x=  6 x – 4 .au début de la flèche. De même avec la « fonction g suivie de f » :Remarquez bien que lordre x→ g→  x → f → 6 x – 4des opérations est linverse de On écrira f  g x=6  x – 4 ou f ° g  x=6  x – 4 .lordre décriture!3 exemples dutilisation 1. Dérivons h x=sin  x . Le schéma est x → f →  x → g→ sin  x .de la règle 6 1  Daprès la règle 6 : h  x=cos  x⋅En anglais, la règle 6 sappelle g ° f  2 x f the chain rule. x2 2 2 2. Dérivons h x=e . Le schéma est x → f → x → g→ e . x 2   Daprès la règle 6 : h  x= e x ⋅2 x g ° f f 3. Dérivons h x=ln ∣cos3 x ∣ . 2 Le schéma est x → f → 3 x → g→ cos 3 x  → k→ ln ∣cos 3 x ∣ . 2 2 2 1  2 2 Daprès la règle 6 : h  x= 2 ⋅−sin 3 x ⋅6 x =−6 x tan 3 x On peut aussi voir une  g ° f cos 3 x  f k °g ° fcomposition de fonctionscomme lemboîtement de Remarquez que lon dérive les fonctions successivement de droite à gauche tout enpoupées russes. On « dérive gardant intact « lintérieur » des fonctions. On parle souvent de dérivée de lintérieur.toutes les poupées » de Pour se rappeler lordre de dérivation, il est utile quand on débute de faire le petitlextérieur vers lintérieur. schéma fléché.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
• 24. DÉRIVÉES 21 a et b sont des nombres réels. On donne f(x). Calculez f (x) pour les cas suivants :Exercice 3.21 1.  x 25 x – 1 2.   x – 1 2 3 3. x 2  2 x1Rappelez-vous que lerreur la 1plus courante dans le calcul 4.  2 x – 1  2 x – 1 5.  x2 –16   4 – x 6. (x2+5x–1)5 3des dérivées est loubli de ladérivée intérieure ! 7. (3x2–x–1)(2x–3)3 8. (2x2–x–1)3 9. (x+2)3x2 10. sin(x) + cos(x) 11. tan(x) – x 12. sin(2x–1) 13. sin5(4x) 14.  sin  x 15. cos3   x 1 16. 17. e2x 18. eax+b tan 2 x 19. esin(x) 20. exsin(x) 21. cos(2x) e4x 22. ln(3x) 23. ln(sin(4x)) 24. ln(ln(x)) 3 25. ln(ex) 26. 3 x 2 –2 x–1 27.  xtan  x  32 x 2 x 9 28.  cos 3 x 29. 30.  1 x x3 x –x e –e 31. arctan(2–x) 32. sin2x + cos2x 33. x –x e e 3 34.  x  1 x 2 35.  cos2  x 3sin 2 x  36. arcsin(2x) 37. x2e 38. xx3.6. Théorèmes relatifs aux fonctions dérivables Soit f : [a ; b] → ℝ telle que :Théorème de Rolle 1. f est continue sur [a ; b] 2. f est dérivable sur ]a ; b[Michel Rolle (1652-1719) 3. f(a) = f(b).est un mathématicien Alors il existe une valeur c dans lintervalle ]a ; b[ telle que f (c) = 0.français. Démonstration Puisque la fonction f est continue sur [a ; b], elle admet une valeur maximale M et une valeur minimale m sur [a ; b]. Deux cas sont alors possibles : a. M = m. Dans ce cas, f est constante et on a f (x) = 0 pour tout x dans ]a ; b[. b. M > m. Dans ce cas, il existe un x tel que f(x) = M ou f(x) = m, avec x dans ]a ; b[. Pour fixer les idées, supposons que ce soit M : il existe donc une valeur c dans lintervalle ]a ; b[ telle que f(c) = M. Comme M est un maximum, alors f (c) = 0. tDidier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
• 25. 22 CHAPITRE 3 Soit f : [a ; b] → ℝ telle que :Théorème desaccroissements finis 1. f est continue sur [a ; b](aussi appelé théorème de 2. f est dérivable sur ]a ; b[.la moyenne) f b  – f a  Alors il existe au moins une valeur c dans lintervalle ]a ; b[ où : = f c b –aA gauche :Illustration du théorème desaccroissements finisA droite :La fonction auxiliaire F(x)Voici une conséquence pratiquedu théorème des accroissementsfinis : Démonstrationsi une voiture relie Zurich àBâle à une vitesse moyenne de On va utiliser le théorème de Rolle.112 km/h, alors il y a un f b – f  a Définissons une fonction auxiliaire F  x= f  x−  x−a  .moment où la vitesse b–ainstantanée de la voiture (la f b – f  a La dérivée de cette fonction F est F  x= f  x− .vitesse lue au compteur) est b–aexactement de 112 km/h. F vérifie les trois hypothèses du théorème de Rolle. Donc il existe une valeur c dans f b – f  a lintervalle ]a ; b[ telle que F(c) = 0. Donc f c= b–a t Ce théorème est aussi appelé « Théorème des accroissements finis généralisé ».Théorème deCauchy Soient f et g deux fonctions continues sur [a ; b], dérivables sur ]a ; b[. Supposons que g(a) ≠ g(b) et que g ne sannule pas sur ]a ; b[. f b – f a  f c Alors il existe une valeur c dans lintervalle ]a ; b[ telle que : = g b – g a g  c Démonstration La démonstration est analogue à celle du théorème des accroissements finis, en posant comme fonction auxiliaire : F(x) = [g(b) – g(a)]f(x) – [f(b) – f(a)]g(x). La dérivée de cette fonction F est F(x) = [g(b) – g(a)]f (x) – [f(b) – f(a)]g(x). Augustin Louis Cauchy F vérifie les trois hypothèses du théorème de Rolle. Donc, il existe une valeur c dans (Paris, 21/8/1789 - Sceaux, 23/5/1857) lintervalle ]a ; b[ telle que F(c) = 0. Donc [g(b) – g(a)]f (x) = [f(b) – f(a)]g(x), ce qui f b – f a f c implique bien que = . g b – g a g  c tCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
• 26. DÉRIVÉES 23 Soient f et g deux fonctions telles que :Règle de lHôpital 1. lim f x =lim g  x=0 x a xa 2. il existe un voisinage V de a tel que f et g sont dérivables dans V{a}. 3. g ne sannule pas dans V{a} f  x 4. lim existe. x a g  x Alors : f  x f  x lim =lim x a g x x  a g  x Démonstration Guillaume François Antoine Choisissons x ≠ a arbitraire dans V. En appliquant le théorème de Cauchy, nous avons : Marquis de lHôpital f  x− f a f  = , où ξ est un nombre compris entre a et x. (Paris, ?/?/1661 - g  x− g a  g  Paris, 2/2/1704) f  x f  Mais par la condition 1, on sait que f(a) = g(a) = 0. Par conséquent : = g  x  g  Si x → a, alors ξ tend aussi vers a, puisque ξ est compris entre x et a. f  x f  En outre, si lim = A , lim existe et est égale à A. x a g  x  a g  f  x f  f  x Par conséquent, il est évident que : lim =lim =lim =A , x a g x  a g  x  a g  x f  x f  x et en définitive : lim =lim . x a g x x  a g  x t Remarque importante La règle de lHôpital est aussi valable si a = ±∞, ou si lim f = ±∞ et lim g = ±∞.Utilisation de la règle de La règle de lHôpital permet de remplacer une limite par une autre qui peut être pluslHôpital simple. Cette règle sutilise en trois étapes : f  x 0 1. Vérifier que est une forme indéterminée ( , 0·∞ ou ∞ ). ∞ g x  0On peut au besoin réitérer ce Si ce nest pas le cas, on ne peut pas utiliser la règle de lHôpital.processus plusieurs fois. 2. Dériver f(x) et g(x) séparément. f  x 3. Calculer lim x a g  xExemples Solutions sin 2 xCalculons lim Puisque lim sin 2 x=0 et lim x=0 , on a bien une forme indéterminée. x 0 x x 0 x 0 sin 2 x 2cos  2 x La règle de lHôpital peut sappliquer : lim =lim =2 . x 0 x x 0 1 x x 2 e Ici, nous avons lim e =1 et lim x =0 .Calculons lim 2 x 0 x 0 x 0 x x e lim 2 nest donc pas une forme indéterminée. La solution est +∞. x 0 x Si on avait appliqué (à tort) la règle de lHôpital, on aurait obtenu : x x x e e e 1 lim 2 =lim =lim = . x 0 x x0 2 x x 0 2 2Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
• 27. 24 CHAPITRE 3 La règle de lHôpital ne sapplique pas au calcul des limites ci-dessous, bien que celles-Exercice 3.22 ci existent. Expliquez pourquoi et calculez ces limites par une autre méthode. a. lim xsin x b. lim 2 3x c. lim sin  1 x x ∞ x x 0 x 1 x 0 1 x Calculez les limites suivantes, si elles existent, en utilisant la règle de lHôpital.Exercice 3.23 Noubliez pas de dabord contrôler si vous avez le droit dutiliser cette règle ! 2 5 4 3 2 x 2 x−3 x −2 x  x 2 x −4 x2 a. lim b. lim 3 x 1 x−1 x 1 x −3 x 2 c. lim x 0 x xsin x  x 1  d. lim 1 – xtan   x 2 m m ln  x−1 x −a e. lim f. lim n n (m ≠ n) xe x−e x a x −a 1−sin  x sin a x−sin b x g. lim 2 h. lim (a ≠ −b) x  cot  x x 0 sin a xsin b x 2 sin   x x−1 i. lim j. lim 3 2 x 0 x x 1 x −2 x  x3.7. Ce quil faut absolument savoirConnaître la définition de la dérivée en tant que limite t okComprendre linterprétation géométrique de la dérivée t okConnaître les dérivées des fonctions usuelles t okConnaître les six règles de dérivation par cœur t okPouvoir dériver nimporte quelle fonction t okConnaître le théorème de lHôpital et savoir lappliquer t okCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
• 28. APPLICATIONS DES DÉRIVÉES 254. Applications des dérivées4.1. Calculs de tangentes à des courbes On cherche parfois à connaître léquation dune droite tangente à une fonction. Rappels sur les droites Rappelons quune droite a pour équation y = mx + h, où m est la pente de la droite. Il est aussi utile de savoir quune droite de pente m passant par le point A(x0; y0) a pour équation y – y0 = m(x – x0). Rappelons enfin que f (a) donne la pente de la tangente à la courbe f(x) en x = a. Si le point de tangence T(xT ; yT) est donné, le problème est simple à résoudre.Cas où le point detangence est connu 1. Calculer m = f (xT). Cest la pente de la tangente. 2. Introduire les coordonnées du point de tangence (xT ; yT) dans léquation y – yT = m(x – xT). 3. Simplifier cette équation pour en obtenir une de la forme y = mx + h. Exemple Soit la fonction f  x=  3 x et le point T(3; 3). Donnez léquation de la tangente à la courbe passant par le point T. Le point T appartient à la courbe ( f  x=  3⋅3=3 ). Cest donc le point de tangence. 1. f  x=  3 ⇒ f 3= 1 =mLa numérotation correspond à 2 x 2celle du plan de résolution. 1 2. y – 3=  x – 3  2 x 3 3. y=  2 2 Pour les fonctions f suivantes, donnez léquation de la tangente au graphe de f en xT :Exercice 4.1 a. 2 f  x=5 x – 6 x 2 xT = 1 b. f  x=  x xT = 4 3x–2 c. f  x= xT = 0 5 x1Didier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
• 29. 26 CHAPITRE 4 Si le point A(x0 ; y0) nest pas le point de tangence, le problème est un peu plusCas où le point de compliqué. Il faut dabord trouver xT, labscisse du point de tangence.tangence nest pasconnu 1. Calculer f (x). 2. Poser y0 – f (xT) = f (xT )(x0 – xT) et résoudre pour trouver xT . 3. yT = f (x T ). 4. m = f (xT). 5. Introduire les coordonnées du point de tangence (xT ; yT) dans léquation y – yT = m(x – xT). 6. Simplifier cette équation pour en obtenir une de la forme y = mx + h. Léquation du point 2 provient de y – yT = m(x – xT). En effet, m = f (xT ) et comme le point A appartient à la droite, ses coordonnées doivent satisfaire léquation de celle-ci. 3 Exemple Soit la fonction f  x= x et le point A(1; -3). 9 Donnez léquation de la tangente à la courbe passant par le point A. 2 xLa numérotation correspond à 1. f  x= . 3celle du plan de résolution. 3 2 xT xT 3 2 2. – 3– = 1 – xT  . En développant, on trouve 2 xT − 3 xT − 27 = 0 . 9 3 Par tâtonnement, on trouve xT = 3. 3. yT = f (3) = 3 4. m = f (3 ) = 9/3 = 3 5. y − 3 = 3(x − 3) 6. y = 3x − 6 Pour les fonctions f suivantes, donnez léquation de la tangente passant par le point A :Exercice 4.2 2 x a. f  x= A(–1 ; –3) 5 b. f(x) = 2·ln(x) A(0 ; –4) c. f(x) = ex A(0 ; 0)Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
• 30. APPLICATIONS DES DÉRIVÉES 27 Sur lécran du jeu vidéo que montre la figure ci-dessous, on peut voir des avions quiExercice 4.3 descendent de gauche à droite en suivant la trajectoire indiquée et qui tirent au rayon laser selon la tangente à leur trajectoire en direction des cibles placées sur laxe Ox aux abscisses 1, 2 , 3 et 4. 2 x1 On sait que la trajectoire de lavion a pour équation y= . x a. La cible no 4 sera-t-elle touchée si le joueur tire au moment où lavion est en (1 ; 3) ? b. Déterminez labscisse de lavion permettant datteindre la cible no 2.Exercice 4.4 On veut prolonger un segment de parabole par deux droites, de sorte que la fonction f obtenue soit partout dérivable (voir dessin ci-contre). Complétez la formule ci-dessous avec les équations des droites : { ..................... si x– 1 2 x f(x) = –2 x si – 1x3 2 ..................... si x3 Langle sous lequel se coupent les graphes de deux fonctions f et g en leur pointExercice 4.5 dintersection I est langle que forment leurs tangentes au point I.Rappel Trouvez langle dintersection des graphes des fonctions f et g suivantes :Angle entre deux droites a. f(x) = x2 g(x) = x3de pentes m1 et m2 : x 2 b. f(x) = x2 g  x= 3 ∣ ∣ m2 – m1 4tan = π 1m1 m2 c. f(x) = sin(x) g(x) = cos(x) 0≤ x≤ 2Didier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
• 31. 28 CHAPITRE 4 1Exercice 4.6 Soit f  x= x a. Esquissez le graphe de f(x) pour x > 0. b. Soit un point A sur le graphe de f (dabscisse supérieure à 0). Calculez laire du triangle OAB, où O est lorigine et B est le point dintersection de la tangente au graphe de f en A avec laxe horizontal. ax − 2Exercice 4.7 On donne la fonction f ( x) = . 8 − bx Calculez a et b de telle manière que le graphe de f passe par le point   1; 1 3 et que la 7 tangente au graphe de f au point (2 ; f(2)) ait une pente égale à . 24.2. Problèmes de taux daccroissementExercice résolu Une brèche sest ouverte dans les flancs dun pétrolier. Supposons que le pétrole sécoulant du tanker sétend autour de la brèche selon un disque dont le rayon augmente de 2 m/s. À quelle vitesse augmente la surface de la marée noire quand le rayon de la nappe de pétrole est de 60 m ? Solution Soit A laire du disque (en m2), r le rayon du disque (en m) et t le temps écoulé depuis laccident (en secondes) .Dans ce genre de problème, la dA dA drnotation de Leibniz est très = ⋅pratique. On va utiliser la relation suivante :    dt dr dt cherché à calculer donnéCela peut paraître étrange, mais dron peut faire comme si ces Le taux daccroissement du rayon est =2 m/s (voir la donnée). dtdérivées étaient des fractions ! dA Il faut maintenant exprimer A par rapport à r pour pouvoir calculer . dr Laire du disque A est donnée par la formule : A = πr2.Le modèle de résolutionci-contre est applicable à tous dA dA En dérivant A par rapport à r, on obtient : =2 r . Comme r = 60, =120 .les exercices qui suivent. dr dr dA On veut le taux daccroissement de laire polluée par rapport au temps, cest-à-dire . dt dA dA dr dA Daprès la relation de départ = ⋅ , on trouve que =120⋅2=754 m2/s. dt dr dt dr a. Si les arêtes dun cube de 2 cm de côtés croissent de 1 cm/min, comment le volumeExercice 4.8 croît-il ? b. Si laire dune sphère de 10 cm de rayon croît de 5 cm2/min, comment le rayon croît- il ? c. Soit un cône dont le rayon de la base et égal à la hauteur. Si le volume de ce cône haut de 10 cm croît de 15 cm3/min, comment la hauteur croît-elle ? À laltitude de 4000 pieds, une fusée sélève verticalement à une vitesse de 880 pieds parExercice 4.9 seconde. Une caméra au sol, située à 3000 pieds de la rampe de lancement, la filme. À quelle vitesse doit augmenter langle délévation de cette caméra pour quelle ne perde pas de vue la fusée ? Une échelle longue de 5 mètres est appuyée contre un mur. Quand lextrémité posée surExercice 4.10 le sol est à une distance de 4 mètres du mur, léchelle glisse à une vitesse de 2 m/s. À quelle vitesse lextrémité appuyée contre le mur glisse-t-elle alors vers le bas ?Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
• 32. APPLICATIONS DES DÉRIVÉES 294.3. Problèmes doptimisation Beaucoup de problèmes pratiques conduisent à la détermination des valeurs maximales et minimales prises par une quantité variable. Ces valeurs, qui sont les plus favorables dans un contexte donné, sont appelées valeurs optimales. Déterminer ces valeurs constitue un problème doptimisation. Voici la marche à suivre pour résoudre un problème doptimisation :Plan de résolution 1. Exprimer la quantité variable Q à rendre optimale (maximale ou minimale) comme fonction dune ou de plusieurs variables. 2. Si Q dépend de plus dune variable, disons n variables, trouver (n–1) équations liant ces variables. 3. Utiliser ces équations pour exprimer Q comme fonction dune seule variable et déterminer lensemble D des valeurs admissibles de cette variable. 4. Calculer les extrema de Q (sans oublier de contrôler ce qui se passe aux bords de D). Il faut donc dériver Q par rapport à la variable utilisée et poser Q = 0. 5. Vérifier le résultat : a-t-on bien trouvé loptimum cherché ? On dispose dune corde dune longueur L pour construire un enclos rectangulaire le longPremier exemple de dun mur rectiligne.problème a a b Quelles dimensions faut-il donner à cet enclos pour que le pré quil délimite ait une aire maximale ? Résolution 1. Soit A laire délimitée par lenclos. On a évidemment : A = a·bLa numérotation correspond à 2. L = 2·a + b ⇒ b = L – 2·acelle du plan de résolution. 3. A = a·(L – 2·a) = a·L – 2·a2 L Laire A doit être positive, donc D(a) = [0 ; ]. 2 Sur le bord gauche de D, a vaut 0 ce qui correspond à une aire nulle. L Sur le bord droit de D, a vaut ce qui correspond à une aire nulle. 2 dA L L 4. = L – 4a =0 ⇒ a= et b= da 4 2 5. Pour a = 0.25·L, on trouve une aire de 0.125 L2. Comparons ce résultat avec laire obtenue pour a = 0.24·L et a = 0.26·L. Dans les deux cas, on obtient une aire de 0.1248·L2. On a donc bien trouvé laire maximale. On aurait aussi pu calculer la dérivée seconde de A en a = 0.25·L, et étudier son 2 d A signe. On a : 2 =– 4 . da La fonction A est partout concave (cest une parabole), donc aussi en a = 0.25·L. Le résultat est donc bien un maximum.Didier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
• 33. 30 CHAPITRE 4 Soit la figure ci-dessous :Deuxième exemple Le polygone PQRS est un carré. Pour quelle valeur de α laire A est-elle maximum ? Trouvez la longueur du segment PS quand laire A est maximum. Résolution 1. A = carré PQRS – (secteur OTP – triangle OPS) 2 = sin  –   2 2 1 2 2   1 ⋅⋅1 – cos ⋅sin  =sin  –  cos ⋅sin  2 2 2. rien à faire 3. A=sin 2  –  1  cos ⋅  . D = 0;  2 2 sin 2 [ ] dA 1 1 =2 sin  cos  –   =sin 2 cos – sin  2 2 4. – sin cos  d 2 2 1−2sin 2  cf. formulaire  dA ° =0⇔ 2cos =sin ⇔ tan = 2⇔=1.107 radians =63.345 d Sur le bord gauche de D (α = 0), laire vaut 0.   Sur le bord droit de D ( = ), laire vaut 1 – ≅ 0.2146. 2 4 dA dA 5. Si α < 1.107, 0 . Si α > 1.107, 0 . d d On a donc bien un maximum. La réponse est donc : PS=sin =0.894 Parmi tous les rectangles de périmètre 2p, quel est celui dont laire est maximale ?Exercice 4.11 Quelle est son aire ? Vous disposez dune plaque de carton carrée, de côté a. On vous demande de fabriquerExercice 4.12 une boîte à chaussures sans couvercle de volume maximum. Pour cela, vous découperez quatre carrés dans les coins de la plaque pour obtenir une croix, puis vous relèverez les bords. Dimensionnez une boîte de conserve cylindrique dun décimètre cube, lobjectif étantExercice 4.13 dutiliser le moins de fer-blanc possible. Un fil de longueur L doit être coupé en deux parties de manière à pouvoir former unExercice 4.14 triangle équilatéral avec lune et un carré avec lautre. Comment faut-il couper ce fil pour que laire totale des deux figures construites soit a. maximale b. minimale ?Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
• 34. APPLICATIONS DES DÉRIVÉES 31 Le gardien dun phare (point A) doit rejoindre le plus rapidement possible sa maisonExercice 4.15 côtière (point B). Il se déplace en canot à la vitesse de 4 km/h et à pied à la vitesse de 5 km/h. Où doit-il accoster (point P) pour que le temps de parcours soit minimal ? La côte est supposée rectiligne. Une fenêtre romane est formée dun rectangle surmonté dun demi-disque. SupposonsExercice 4.16 que le périmètre p de la fenêtre soit donné. Calculez les dimensions de la fenêtre romane laissant passer le maximum de lumière. Dessinez cette fenêtre en prenant p = 7.14 mètres. On considère une famille de droites de pente négative passant par le point deExercice 4.17 coordonnées (3; 2). Pour quelle droite de la famille le triangle délimité par la droite et les axes de coordonnées a-t-il la plus petite aire ? À midi, un navire B est repéré à 40 km à lest dun navire A. A se déplace à la vitesse deExercice 4.18 20 km/h dans la direction 30oE, tandis que B se dirige à la vitesse de 10 km/h dans laPour simplifier, on admettra direction 30oW (les angles sont mesurés avec la direction N).que la surface de la mer est À quelle heure les navires seront-ils le plus proche lun de lautre ?plate... Quelle sera alors la position du navire B par rapport à A ? On fabrique un cornet de forme conique enExercice 4.19 rejoignant les bords rectilignes dun secteur circulaire dangle φ et de rayon r (voir ci- contre). Quel est le volume du cornet de capacité maximale ? Formules pour le cône s est lapothème du cône, θ langle au sommet, r le rayon de la base, h la hauteur et φ langle de développement. Alat = r s Atot = r r s 1 2 V = r h 3 sin   r 2 = s =2 sin  2Didier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
• 35. 32 CHAPITRE 44.4. Méthode de Newton-Raphson En analyse numérique, la méthode de Newton-Raphson, est un algorithme efficace pour approcher un zéro dune fonction. De manière informelle, le nombre de décimales correctes double à chaque étape.Partant dune valeur f  xnapproximative raisonnable dun Par récurrence, on définit la suite xn par : x n1 = xn – . En principe, cette suite va f  x nzéro x0 dune fonction f, onapproche la fonction par sa converger vers a.tangente au point (x0; f(x0)).Cette tangente est une fonctionaffine dont on sait trouverlunique zéro (que lon appellerax1). Ce zéro de la tangente seragénéralement plus proche du« vrai » zéro de la fonction (a).On recommence les mêmescalculs en partant cette fois dex1, ce qui va nous donnerlabscisse x2, etc.ExerciceRetrouvez la valeur de xn+1 enpartant de léquation de la droitey−y0 = m(x−x0) Si la fonction présente un extremum local, il y a un risque que la méthode ne converge pas, car la valeur de la dérivée est nulle en un extremum et le nouveau point à linfini. 3 Exemple Cherchons un zéro de la fonction f  x=cos  x – x . 2 La dérivée est f  x=– sin  x – 3 x . Nous savons que le zéro se situe entre 0 et 1. Prenons comme valeur de départ x0 = 0.5. f  x 0 cos 0.5– 0.5 3 x1 = x0 – =0.5 – 2 =1.11214 f  x0  – sin 0.5 – 3⋅0.5 f  x 1 cos 1.11214 – 1.11214 3 x 2= x1 – =1.11214 – 2 =0.90967 f  x1  – sin 1.11214 – 3⋅1.11214 f  x2 cos 0.90967 – 0.90967 3 x 3= x2 – =0.90967 – 2 =0.86626 f  x 2 – sin 0.90967  – 3⋅0.90967 f  x3 cos 0.86626  – 0.86626 3 x 4= x3 – =0.86626 – 2 =0.86547 3 f  x 3 – sin 0.86626  – 3⋅0.86626 f  x=cos  x – x f  x4 cos 0.86547  – 0.86547 3 x 5 = x4 – =0.86547 – 2 =0.86547 f  x 4 –sin 0.86547  – 3⋅0.86547 Après cinq itérations, les cinq premiers chiffres après la virgule sont déjà exacts. Cherchez le zéro de la fonction ex + sin(x) − 3.Exercice 4.204.5. Ce quil faut absolument savoirCalculer une tangente à une courbe t okConnaître la notation de Leibniz pour les dérivées t okRésoudre un problème de taux daccroissement t okConnaître la démarche pour résoudre un problème doptimisation t okConnaître la méthode de Newton-Raphson t okCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
• 36. ÉTUDE DE FONCTIONS 335. Étude de fonctions5.1. Asymptotes Asymptote verticale La droite x = a est dite asymptote verticale (A. V.) de la fonction f si lune au moins des conditions suivantes est vérifiée : lim f  x=∞ (ou –∞ ) lim f  x=∞ (ou –∞ ) x a x a xa xa Une A. V. ne peut exister que si la fonction est discontinue en x = a. Asymptote affine La droite déquation y = mx + h est une asymptote affine de la courbe représentative de la fonction f siRemarque lim [ f x – mx h]=0 (propriété analogue en – ∞ ) x∞Si m = 0, lasymptote esthorizontale. Les valeurs m et h sont calculés avec les formules suivantes :Il faut donc commencer par f  x m= lim h= lim [ f  x−m x] (idem en –∞ )calculer m. Si m tend vers x∞ x x∞linfini, il ny a pasdasymptote affine. Attention ! Lasymptote affine nest pas forcément la même en +∞ et en –∞. Il faut donc étudier les deux cas. 3 x Ci-dessous, le graphe de la fonction , qui possède deux asymptotes verticales 2 x –4 (en bleu) et une asymptote affine (en vert). Remarquez que la fonction est discontinue en x = –2 et x = 2.5.2. Points fixes Soit E un ensemble et f : E  E une fonction. On dit que x∈ E est un point fixe de f si f(x) = x.Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
• 37. 34 CHAPITRE 55.3. Croissance et concavité (rappels) Le signe de la dérivée dune fonction f renseigne sur sa croissance et sa décroissance. Si f > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle. La dérivée seconde f renseigne sur la concavité de la fonction. Si f > 0 sur un intervalle, alors f est convexe sur cet intervalle. Si f < 0 sur un intervalle, alors f est concave sur cet intervalle. Lorsque f (c) = 0, alors il y a un point dinflexion en c. Dérivée nulle On sait, daprès le chapitre sur les dérivées, que lorsque f (c) = 0, on a, en c, soit un minimum, soit un maximum, soit un point dinflexion à tangente horizontale. Pour déterminer dans lequel des trois cas on se trouve, trois méthodes sont possibles : 1. Étudier la valeur de la fonction f(x) dans le voisinage de c. 2. Étudier le signe de la dérivée f (x) dans le voisinage de c. 3. Calculer f (c). Les quatre tableaux suivants montrent tous les cas possibles. x c–ε c c+ε x c–ε c c+ε f(x) f(c–ε)>f(c) f(c) f(c+ε)>f(c) f(x) f(c–ε)<f(c) f(c) f(c+ε)<f(c) f (x) f (c–ε)<0 0 f (c+ε)>0 f (x) f (c–ε)>0 0 f (c+ε)<0 f (x) f (c)>0 f (x) f (c)<0 f(c) est un minimum f(c) est un maximum x c–ε c c+ε x c–ε c c+ε f(x) f(c–ε)>f(c) f(c) f(c+ε)<f(c) f(x) f(c–ε)<f(c) f(c) f(c+ε)>f(c) f (x) f (c–ε)<0 0 f (c+ε)<0 f (x) f (c–ε)>0 0 f (c+ε)>0 f (x) f (c)=0 f (x) f (c)=0 f(c) est un point dinflexion à tangente horizontale (2 cas) Exemple Soit la fonction f(x) = –x2 + 4x – 3. f (x) = –2x + 4 et f (x) = –2. En posant f (x) = 0, on trouve un point critique en x = 2 (voir définition à létape 6 de la méthode présentée au § 5.4). Doù le tableau : x 2–ε 2 2+ε f(x) <1 1 <1 f (x) + 0 – f (x) –2 f(2) est un maximum Exercice-test Esquissez la courbe dune fonction f où lon trouve les quatre cas décrits dans les tableaux ci-dessus. Mettez en évidence les points où f (x) = 0.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
• 38. ÉTUDE DE FONCTIONS 355.4. MéthodeLétude dune fonction f comprend huit étapes. Vous trouverez au § 5.5 un exemple qui vous servira daide-mémoire.1. Ensemble de définition Déterminer le domaine D où la fonction f(x) est définie.2. Parité Voir si la fonction est paire, impaire, périodique ou rien du tout. Cela permet, si la fonction est « agréable », de gagner du temps par la suite. La fonction f est paire si f(x) = f(–x), et impaire si f(x) = –f(–x), ∀ x.3. Signe de la fonction Chercher les zéros, puis faire un tableau pour voir où la fonction est négative, positive ou nulle.4. Asymptotes verticales, trous Calculer la ou les asymptotes verticales et trouver les éventuels trous.5. Asymptotes affines Calculer la ou les asymptotes affines et, si demandé, trouver le position- nement de la courbe par rapport à ces asymptotes.6. Croissance et points critiques Un point c de lensemble de définition est un point critique si f (c) = 0 ou si f (c) nexiste pas. Calculer la dérivée et chercher ses zéros. Faire un tableau pour voir comment la fonction croît. Identifier les minima, les maxima et les points dinflexion à tangente horizontale (en utilisant une des trois méthodes du § 5.3).7. Concavité et points dinflexion Chercher la concavité de la fonction et les points dinflexion. Pour cela, calculer la dérivée seconde si elle nest pas trop compliquée (cette méthode est la seule qui garantit de trouver tous les points dinflexion). Faire un tableau. Calculer les pentes des tangentes aux points dinflexion. Dessiner la courbe en utilisant les renseignements glanés aux étapes 1 à 7.8. Représentation graphique Faire un grand dessin où lon représente le graphe de la fonction, les asymptotes et les points particuliers.5.5. Un exemple complet 3 x Étudions la fonction f  x= 2 .  x – 11. Ensemble de définition Lensemble de définition de f est D = ℝ {1}.2. Parité f est paire si f(x) = f(–x). Est-ce le cas ? 3 3  – x –xSi la fonction est paire ou impaire, on f – x= 2= 2 ≠ f  x . f nest donc pas paire.  – x – 1   x1peut alors nétudier que le côté positif.Le côté négatif se déduira du côté f est impaire si f(x) = – f(–x). Est-ce le cas ?positif. 3 3  – x x − f  – x=− 2= 2 ≠ f x  . f nest donc pas impaire.  x1  x1 En fait, puisque le domaine de définition D nest pas symétrique, il est évident que la fonction ne peut être ni paire, ni impaire.Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
• 39. 36 CHAPITRE 53. Signe de la fonction Cherchons dabord le(s) zéro(s) de f : 3 x 3 f  x=0 ⇒ 2 =0 ⇒ x =0 ⇒ x=0 .  x –1 Le signe de la fonction est donné par le tableau suivant (dans la première ligne, on met les valeurs de x trouvées aux étapes 1 et 3) : x <0 0 ]0;1[ 1 >1 x3 – 0 + + (x – 1)2 + + + + f(x) – 0 + +4. Asymptotes verticales (A.V.), Les asymptotes verticales, sil y en a, se trouvent aux abscisses trouvées à trous létape 1. Il sagit de vérifier que ce sont bien des asymptotes verticales et non pas des trous.On peut saider du tableau de signes de lim f  x=∞ et lim f  x=∞létape 3 pour déterminer le signe de x 1 x 1 x1 x1linfini. Si on avait un trou, on trouverait que la limite à gauche est égale à la limite à droite et que ces limites seraient égales à un nombre.5. Asymptotes affines (A.A.) Une asymptote affine est de la forme y = m·x + h. On va analyser ce qui se passe en –∞ et en +∞. 2 2 2 f  x x x x Du côté de +∞ m= lim = lim 2 = lim 2 = lim 2 =1 x∞ x x∞  x−1 x ∞ x −2 x1 x ∞ x   3 2 x 2 x −x h= lim [ f  x−m x]= lim 2 − x = lim 2 x∞ x ∞  x−1 x∞ x −2 x1 2 2x = lim 2 =2 x∞ x Du côté de +∞, l A.A. est donc y = x + 2. Du côté de –∞ Idem que pour +∞ (le signe ne change rien). 26. Croissance et points critiques x  x – 3 f  x= 3 sannule en 0 et 3.  x – 1 Les points du graphe dont les abscisses sont des points critiques de f sont 27 donc (0 ; 0) et (3 ; ). 4 La croissance de f est donnée par le tableau suivant (dans la première ligne, on met les valeurs de x trouvées aux étapes 1 et 6) : x 0 1 3 f (x) + 0 + – 0 + 27 f(x)  0    4 pt. dinfl. minimum à tg. hor.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
• 40. ÉTUDE DE FONCTIONS 377. Concavité et points dinflexion 6x f  x= 4 sannule en 0.  x – 1 La concavité de f est donnée par le tableau suivant (dans la première ligne, on met les valeurs de x trouvées aux étapes 1 et 7) : x 0 1 f (x) – 0 + + f(x) ∩ 0 ∪ ∪ pt. dinfl. Calcul de la pente de la tangente Il y a un seul point dinflexion en (0 ; 0). au point dinflexion 2 0 0 – 3 0 m= f  x= 2 = =0  0– 1 1 (on savait déjà daprès létape 6 que cétait un point dinflexion à tangente horizontale).8. Représentation graphiqueOn trace dabord lesasymptotes trouvées auxétapes 4 et 5.On place ensuite tous lespoints que lon a trouvésaux étapes 3, 6 et 7.On trace enfin la courbedaprès les indicesrécoltés aux étapes 2, 3, 6et 7. Les tableaux enparticulier sont dune aidetrès précieuse.Il est conseillé de calculerdautres points de lafonction et de les reportersur le dessin.Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
• 41. 38 CHAPITRE 5Exercice 5.1Étudiez les fonctions suivantes selon lexemple du § 5.5. Vous trouverez des corrigés sur le site de ce cours. – 3 x4Fonctions 1. f  x= 2 x3rationnelles 2 2 x –4x –5 – 83 x – 12 x13 2. f  x= 2 aide : f  x= 2 3 2 x – 4 x3  x – 4 x3 2 x  x – 3 64 – x 3. f  x= 2 aide : f  x= 4  x – 2  x – 2 3 3 2 x 2 2  – x 6 x 3 x – 2  4. f  x= 2 aide : f  x= 2 3 x 1  x 1  f sannule en −0.8056, 0.38677, 6.41883Autres types de 5. f  x= 1 – x2fonctions – x2 6. f  x=e 2 2 –2 x 7. f  x= 2 x 2 x – 1⋅e 2 ln  x 1 8. f  x= 2x x x 9. f  x=e – 5e 1 http://ow.ly/5Hpp8 4 3Exercice 5.2 Voici le graphe de la fonction f  x=– x  4 x  x5 . Malheureusement, les axes ont disparu. Remettez les axes et graduez-les (la graduation nest pas la même sur labscisse et lordonnée).5.6. Ce quil faut absolument savoirTrouver les asymptotes dune fonction t okConnaître les huit étapes de la méthode par cœur t okMaîtriser parfaitement chaque étape de la méthode t okCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
• 42. ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES 396. Étude de courbes paramétrées6.1. Définitions Soit deux fonctions f et g définies sur le même sous-ensemble D⊂ℝ . Le point M(t) de coordonnées (f(t) ; g(t)) décrit un sous-ensemble (C) du plan lorsque t varie dans un intervalle I.Remarques Une représentation paramétrique d’une courbe (C) est un système d’équations où lesLa courbe (C) n’est pas coordonnées des points de la courbe sont exprimées en fonction d’un paramètrenécessairement le graphe (souvent noté t, k, θ, …).d’une fonction ; c’estpourquoi on parle de courbeparamétrée et non pas de (C) : { x = f t  y = g t fonction paramétrée. Ces équations sont appelées équations paramétriques de (C).On peut parfois, en éliminantle paramètre t entre les deuxéquations, obtenir y comme On note parfois également { x = xt y = yt fonction de x, et ramenerl’étude de la courbe à celle Si l’on veut que cette définition ait un sens, il faut que x(t) et y(t) existentd’une courbe définie par une simultanément.relation y = h(x). C’est pourquoi le domaine de définition D de la courbe (C) est l’intersection des domaines de définition Dx et Dy des fonctions x(t) et y(t). On a donc D= D x ∩ D y . Soit a et b deux nombres réels. Trouvez le domaine de définition de la courbeExercice 6.1 paramétrée : { x =  t −a y =  b −t6.2. Exemple de courbes paramétrées : figures de Lissajous Les figures de Lissajous (ou courbes de Bowditch) sont de la forme : {x = a sin t  y = b sin n t  avec 0≤≤ et n≥1 2 En électronique, on peut faire apparaître des figures de Lissajous sur un oscilloscope. Jules Antoine Lissajous (Versailles, 4/3/1822 - Plombières, 24/6/1880) {x = sin 5t  y = cos3t  , t∈[0; 2[Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
• 43. 40 CHAPITRE 66.3. AsymptotesAsymptote verticale On obtient une telle asymptote lorsque x tend vers une valeur finie a et y tend vers une valeur infinie. lim xt =a , avec a∈ℝ t t0 lim y t=±∞ t t 0 L’asymptote verticale est une droite qui a pour équation x = a. Si x(t) – a est positif, la courbe est à droite de l’asymptote, sinon elle est à gauche. La courbe coupe l’asymptote lorsque x(t) = a. Asymptote verticale x = 1Asymptote horizontale Cette fois, x tend vers l’infini et y tend vers une valeur finie b lorsque t tend vers t0. lim xt =±∞ t t 0 lim y t=b , avec b∈ℝ t t0 L’asymptote horizontale est une droite qui a pour équation y = b. Si y(t) – b est positif, la courbe est en dessus de l’asymptote, sinon elle est en dessous. Asymptote horizontale y = 1.5 La courbe coupe l’asymptote lorsque y(t) = b. Une asymptote oblique ne peut exister que si x et y tendent tous deux versAsymptote oblique l’infini lorsque t tend vers t0. Cette condition est nécessaire mais pas suffisante. lim xt =±∞ t t0 lim y t=±∞ t t0 La droite y = mx + h est une asymptote oblique si : yt  m=lim ∈ ℝ t t0 xt Asymptote oblique y = −x − 1 h=lim  y t −m⋅x t  ∈ ℝ t t 0 Ces formules sont analogues à celles rencontrées au chapitre 5, page 33.Si m = ∞, il ny a pas dasymptoteoblique. La position de la courbe est donnée par le signe de y(t) – mx(t) – h. Si cette expression est positive, la courbe est en dessus de l’asymptote, sinon, elle est en dessous.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
• 44. ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES 416.4. Dérivées et points particuliers Les valeurs de t décrivant le domaine d’étude, on étudie, lorsque c’est possible, le signeDérivées dx dy des dérivées et . dt dt Comme pour les fonctions d’une seule variable (voir chapitre 5), on présentera les résultats sous forme d’un tableau, qui est constitué de deux tableaux accolés, donnant les variations de x et y (voir § 6.6). Regardons deux points voisins de la courbe : M(t0) et M(t0 + ε). La droite passant par dyCalcul de ces deux points tend vers la tangente à la courbe au point M(t0) lorsque ε tend vers zéro. dx La pente de la droite passant par M(t0) et M(t0 + ε) est :On peut écrire : yt 0 – yt 0  y t yt 0 – yt 0 yt 0 – y t 0   m= y x = mt 0 ;= = ⋅ = x t xt 0 – xt 0   x t0  – x t0  x t 0  – x t 0   dy dy donne la pente de la t  dx dt 0 dytangente à la courbe. Lorsque ε tend vers 0, la pente tend vers = t 0  . dx dx t 0  dt Si x’(t0) ≠ 0 et y’(t0) = 0, la courbe admet une tangente horizontale en M(t0).Points particuliers Si x’(t0) = 0 et y’(t0) ≠ 0, la courbe admet une tangente verticale en M(t0). Si x’(t0) = 0 et y’(t0) = 0, la courbe admet un point singulier en M(t0). y t On pourra compléter le tableau des dérivées par une ligne donnant les valeurs de x t pour les valeurs de t figurant déjà dans ce tableau.6.5. MéthodeL’étude d’une courbe paramétrée comprend six étapes.1. Domaine de définition Déterminer le domaine D où la courbe est définie.2. Asymptotes Déterminer, s’il y en a, les A.V, les A.H et les A.O. dx dy dy3. Dérivées et tableau de variation Calculer , et . Faire le tableau de variation. dt dt dx4. Points particuliers Déterminer, s’il y en a, les points à tangente verticale, les points à tangente horizontale et les points singuliers. Calculer la limite de la pente de la tangente aux points singuliers, i.e. dy m=lim t t  a dx5. Intersection avec les axes Trouver les t qui satisfont x(t) = 0 et y(t) = 0.6. Représentation graphique Dessiner la courbe en utilisant les renseignements glanés aux étapes 1 à 5. Il n’est pas interdit de calculer certains points de la courbe, afin de faire un dessin plus précis.Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
• 45. 42 CHAPITRE 66.6. Deux exemples completsPremier exemple { 2 t x = t –1 Étudions la courbe t y = 2 t –11. Domaine de L’ensemble de définition de la courbe est D = ℝ {−1 ; 1}. définition2.1. Asymptote Il y a une A. V. quand t = −1, puisque verticale (A. V.) { 1 lim x t=− t−1 2 { lim yt =−∞ lim y t n existe pas , car t −1 t−1 t−1 lim yt =∞ t −1 t−1 { lim xt =∞2.2. Asymptotes t ∞ Quand t ∞ , il y a une A. H., car horizontales (A. H.) lim y t =0 t ∞ { lim xt =−∞ t −∞ Quand t −∞ , il y a une A. H., car lim y t =0 t −∞2.3. Asymptotes Il y a une A. O. quand t = 1, puisque obliques (A. O.) { { lim x t=−∞ t 1 lim x t n existe pas , car t1 t 1 lim x t=∞ t 1 t1 { lim yt=−∞ t 1 lim y t  n existe pas, car t 1 t 1 lim yt=∞ t 1 t 1 t 1 2 t –1 t 1 t 1 Calcul de m m=lim 2 =lim =lim = t 1 t t 1 t t 1 t1 2 t–1 1 2 2 3 2 t 1 t 2t−t t1 −t −t 2 t Calcul de h h=lim 2 – ⋅ =lim 2 =lim 2 = t 1 t – 1 2 t – 1 t 1 2t −1  t 1 2t −1 2 2 1 −t − 2t t−1 1 −t −2 t  1 −3 3 lim = lim = ⋅ =− 2 t  1 t −1t1 2 t  1 t 1  2 2 4 1 3 L’A. O. a donc pour équation y= x – . 2 4Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
• 46. ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES 43 2 23. Dérivées et tableau dx 2 t t – 1 – t t – 2 t t t – 2 = 2 = 2= 2 s’annule en t = 0 et t = 2. de variations dt t – 1 t – 1 t – 1  2 2 2 2 dy t – 1 – 2 t – t –1 t 1 = 2 2 = 2 2 =– 2 2 ne s’annule pas. dt t – 1 t – 1 t – 1 2 2 2 2 2 dy t 1 t – 1 t 1 t−1 t 1 =– 2 2⋅ =– 2 2⋅ =− 2 ne s’annule pas. dx t – 1  t t – 2  t−1 t1 t t −2 tt−2 t 1 Les valeurs de t intéressantes sont t = –1, 0, 1 et 2 (valeurs trouvées aux étapes 1 et 3). Il faut aussi voir ce qui se passe quand t → ±∞. t –∞ –1 0 1 2 +∞ 1 x –∞  –  0   4  +∞ 2 dx 0 − − 0 + + + dt 2 y 0−   0    0+ 3 dy − – –1 – − –5 − dt A. H. A. V. tangente A. O tangente A. H. verticale verticale4. Points particuliers En inspectant le tableau ci-dessus, on saperçoit quil n’y a pas de points singuliers, mais deux points à tangente verticale.5. Intersection avec Il y a une seule intersection en t = 0. Le point dintersection est (0 ; 0). les axes6. Représentation En bleu, les trois asymptotes. graphiqueDidier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
• 47. 44 CHAPITRE 6Second exemple { 1 x = 2t − 2 Étudions la courbe t 2 y = 2tt1. Domaine de L’ensemble de définition de la courbe est D = ℝ * définition { lim xt=−∞ t 02. Asymptotes Il y a une asymptote horizontale quand t = 0, puisque lim y t=0 t 0 Il ny a pas dasymptotes quand t ±∞ .3. Dérivées et tableau dx 2 =2 3 s’annule en t = −1. de variations dt t dy =2 2t s’annule en t = −1. dt 3 3 3 dy 1t 1t t t 1 t t1 t = = = 3 = = 2 ne sannule jamais. dx 1 t3 1 t 1 2 t 1t −t1 t −t1 1 3 3 t t Les valeurs de t intéressantes sont t = –1 et 0 (valeurs trouvées aux étapes 1 et 3). Il faut aussi voir ce qui se passe quand t → ±∞. t –∞ –1 0 +∞ x –∞  –3   +∞ dx + 0 + − dt y +∞  –1  0  +∞ dy − 0 + 2 + dt dy 1 − dx 3 Point Asymptote singulier horizontale4. Points particuliers En inspectant le tableau, on saperçoit quil y a un point singulier en t = −1. Il est utile dy dans ce cas de calculer −1 pour connaître la pente de la tangente en ce point. dx 15. Intersections avec xt =0⇒ t = 3 qui correspond au point (0 ; 2.22) les axes 2 yt =0 ⇒ t =−2 qui correspond au point (−4.25 ; 0)6. Représentation En esquissant le dessin de cette courbe, on sapercevra que cette courbe contient un graphique point double. Pour le calculer, il faut résoudre { x t = x s y t = y s avec t≠s . Ce nest en général pas facile ! En résolvant le système avec Mathematica, on a trouvé t=– 1 –  2 et s= – 1 2 . Ces deux valeurs correspondent au point (−5 ; 1).Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
• 48. ÉTUDE DE COURBES PARAMÉTRÉES 45Exercice 6.2 Étudiez et dessinez les courbes suivantes selon les exemples du § 6.6 (a > 0). { 2 t x t = { 2 2 x t = t 1t a. b. 3 y t = t3 t y t = 2 1t { { 3t 3t x t = 3 x t = 3 1t 1t c. 2 d. 2 3t 3t y t = 3 y t = 2 1t 1t { { e−t e−t x t  = x t  = t t e. f. 1 1 y t = y t = t t−1 t t2 { ln t g. x t = y t = t t ln t  h. { x t = y t = a t −sin t  a1−cost  { { 3 3 x t = a cos t  x t = a cos t  i. j. y t = a sin 3 t y t = a sin t6.7. Ce qu’il faut absolument savoirTrouver les asymptotes d’une courbe paramétrée t okTrouver les points particuliers d’une courbe paramétrée t okConnaître les six étapes de la méthode par cœur t okMaîtriser parfaitement chaque étape de la méthode t okDidier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
• 49. 46 CHAPITRE 6 { 3a t x= Folium de Descartes 1t 3 y =t x { x = cost 2cos 2t Trèfle gauche y = sin t −2 sin 2 t z = −2sin 3t Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
• 50. INTÉGRALES 477. Intégrales7.1. Un peu dhistoire Les calculs daire de figures géométriques simples comme les rectangles, les polygones et les cercles sont décrits dans les plus anciens documents mathématiques connus. La première réelle avancée au-delà de ce niveau élémentaire a été faite par Archimède, le génial savant grec. Grâce à la technique dArchimède, on pouvait calculer des aires bornées par des paraboles et des spirales. Au début du 18 ème siècle, plusieurs mathématiciens ont cherché à calculer de telles aires de manière plus simple à laide de limites. Cependant, ces méthodes manquaient de généralité. La découverte majeure de la résolution générale du problème daire fut faite indépendamment par Newton et Leibniz (voir le chapitre 3) lorsquils saperçurent que laire sous une courbe pouvait être obtenue en inversant le processus de différentiation. Cette découverte, qui marqua le vrai début Archimède de Syracuse de lanalyse, fut répandue par Newton en 1669 et ensuite publiée en 1711 dans un (Syracuse, -287 - article intitulé De Analysis per Aequationes Numero Terminorum Infinitas. Syracuse, -212) Indépendamment, Leibniz découvrit le même résultat aux environs de 1673 et le formula dans un manuscrit non publié daté du 11 novembre 1675.7.2. Calcul daire Dans ce paragraphe, nous allons étudier le deuxième problème majeur de lanalyse (le premier problème était de trouver la tangente à une courbe qui nous a conduit à la découverte des dérivées) : Le problème du calcul daire Soit une fonction f continue et non négative sur un intervalle [a, b]. Trouver laire entre le graphe de f et labscisse dans lintervalle [a, b]. 5Que vaut laire sous la courbe 44 + sin(x) entre 1 et 6 (voir 3dessin ci-contre) ? 2 1 1 2 3 4 5 6 Lidée est de subdiviser lintervalle [a, b] en plusieurs sous-intervalles de même largeur [x0, x1], [x1, x2], ... , [xn–1, xn], avec x0=a et xn=b. La largeur de chaque sous-intervalle est égale à la largeur de lintervalle [a, b] divisé par b–a le nombre de sous-intervalles, cest-à-dire : de  x= . n Pour chaque i = 0, 1, ... , n–1, on dessine un rectangle ayant comme base le segment Georg Friedrich Bernhard xixi+1 et comme hauteur f(xi) (voir dessins page suivante). Riemann (Breselenz, 17/9/1826 - Ainsi, laire du ième rectangle (hauteur x largeur) est : Selasca, 20/7/1866) f  xi  ×  x Laire totale des n rectangles est : n –1Note : cette somme est appelée A n= ∑ f  x i ⋅ x somme de Riemann. i=0Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
• 51. 48 CHAPITRE 7 Lorsque le nombre n de sous-intervalles augmente, la largeur de chaque sous-intervalle diminue et lapproximation de laire sous la courbe devient plus précise. À la limite, nous obtenons lexpression exacte pour laire A :Rappel 3 n– 1 b–a∑ xi = x0  x1 x 2 x 3 A= lim n ∞ ∑ f  x i ⋅ x avec  x= n i=0 i=0 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Approximation avec 10 rectangles : aire = 19.8691 Approximation avec 30 rectangles : aire = 19.6745 Voici trois manières dapprocher laire sous la courbe 4+sin(x). Les deux premièresExercice 7.1 utilisent cinq rectangles, la troisième cinq trapèzes. 5 5Laire exacte est 19.5801. 4 4 3 3 a. 2 b. 2 1 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 5 4 3 c. 2 Calculez ces trois approximations. 1 1 2 3 4 5 67.3. Définition de lintégrale définie Dune manière générale, et indépendamment du calcul daire, la quantité n– 1 A= lim ∑ f  x i ⋅ x n ∞ i=0 (si la limite existe) est appelée intégrale définie de la fonction f(x) de a à b. Elle estNote importante notée b b∫ f  x dx est un nombre. ∫ f  x dx a a Les nombres a et b sont appelés bornes dintégration et x variable dintégration. « dx » est un symbole insécable (on ne peut pas séparer le d du x). Il indique que lon intègre sur x. Il se place toujours en dernière position et marque la fin de lintégrale.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
• 52. INTÉGRALES 497.4. Le théorème fondamental du calcul intégral Lusage de la définition de lintégrale b n–1 ∫ f  x dx=nlim ∑ b−a⋅f  xi  ∞ n a i=0 se révèle être très peu pratique car demandant des calculs longs et parfois difficiles. Cependant, pour certaines fonctions (pas toutes), il existe une alternative plus simple. Il se trouve quil y a une relation entre intégration et différenciation. Cette relation sappelle le théorème fondamental du calcul intégral. Théorème fondamental Soit une fonction f continue définie sur lintervalle [a, b]. Alors b du calcul intégral ∫ f  x dx= F b− F a a où F(x) est une fonction telle que F(x) = f(x).Note∫ f  x dx est une fonction On dit que F(x) est la primitive de f(x) et on écrit F  x=∫ f  xdx . Preuve du théorème Pour simplifier, nous allons prouver le théorème pour une fonction f positive sur lintervalle [a, b]. Le cas général est similaire. Pour tout nombre réel x compris entre a et b, notons A(x) laire bornée par la courbe, labscisse, la droite verticale passant par a et celle passant par x. Ceci définit une fonction A(x). Considérons le changement de la valeur A(x) quand x augmente dune petite quantité h. Si h est suffisamment petit, la différence entre A(x) et A(x+h) est approximativement égale à laire du rectangle de largeur h et de hauteur f(x), donc daire h·f(x). Ainsi : A xh− A x≈h⋅f  x En divisant par h, on obtient : A xh − A x ≈ f  x h Plus h sera petit, plus petite sera lerreur de lapproximation ci-dessus. À la limite, nous aurons : A xh – A x lim = f  x h 0 hDidier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
• 53. 50 CHAPITRE 7 Cette limite nest rien dautre que la dérivée A(x) de la fonction A(x). Nous avons donc montré que :En dautres termes, A(x) est la A(x) = f(x)primitive de f(x) (les Anglo- Supposons maintenant que F(x) est une primitive de f(x). Ainsi :Saxons disent volontiersantidérivée ou encore intégrale F(x) = f(x) = A(x)indéfinie). Donc F(x) – A(x) = [F–A](x) = 0 Cela signifie que la fonction F–A est constante sur lintervalle [a, b] (car sa dérivée est nulle). Supposons que [F–A](x) = C. Ainsi : F(x) = A(x) + C Comme A(a) = 0, nous pouvons déterminer C en posant x = a : F(a) = 0 + C Ainsi : F(x) = A(x) + F(a) ou A(x) = F(x) – F(a) Il sensuit que b ∫ f  x dx= A b= F b− F a a Q.E.D. Exemple Reprenons notre exemple de départ, à savoir calculer laire sous la courbe de la fonction f(x) = 4 + sin(x), dans lintervalle [1, 6]. Une primitive possible de f(x) est F(x) = 4x – cos(x). On peut le vérifier aisément en dérivant F(x).Attention ! Donc, daprès le théorème fondamental du calcul intégral :Il faut toujours travailler en 6radians ! ∫ 4sin xdx =24−cos 6 −  =19.580132  4−cos 1 1 F 6 F 17.5. Recherche de primitives Soit donnée la fonction F(x) = x2. Sa dérivée est F(x) = f(x) = 2x. Supposons maintenant que lon ait « oublié » la fonction F(x) et quon nait retenu que sa dérivée f(x). Est-il possible de retrouver la fonction originale F(x) ? Cette recherche de la fonction originale est appelée recherche dune primitive. Dériver F  x=x 2 f  x=2 x Chercher une primitive Remarquons au passage quil existe une infinité de primitives pour une fonction f(x). En effet, rappelons-nous que la dérivée dune constante est nulle. Donc F(x) = x2 + 2, F(x) = x2 – 5 sont aussi des primitives de f(x) = 2x. Cependant, toutes les primitives de f(x) = 2x sont de la forme F(x) = x2 + C .Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
• 54. INTÉGRALES 51 En vous appuyant sur vos souvenirs des dérivées, trouvez les primitives ci-dessous :Exercice 7.2 ∫ 4 dx = ∫ 6 x dx = ∫ x2 dx = dx ∫ −cos  x dx = ∫ e x dx = ∫x = dx d ∫ sin d  = ∫ 2x = ∫ cos2  = Vous trouverez une liste des primitives les plus courantes dans votre formulaire de mathématiques.Propriétés des (1) ∫ k⋅f  x dx= k ∫ f  x dxprimitives (2) ∫  f  x g x  dx=∫ f  x dx∫ g  x dx (idem pour « – ») En utilisant votre formulaire et les deux propriétés ci-dessus, trouvez les primitivesExercice 7.3 suivantes : 4 5x a. ∫ cot  xdx b. ∫ 12 dx c. ∫ 7sin 3x dx d. ∫ 5 cos 2 x−e5x 9 dx e. ∫ 2tan  x dx f. ∫ 3x dx 3 x 1 g. ∫ x dx (aide : transformez cette fonction en somme de puissances de x). Cette importante méthode est couramment utilisée pour transformer un problèmeIntégration par dintégration compliqué en un problème plus simple. Elle peut se résumer ainsi :substitution Pas 1. Poser u = g(x). Tout le problème est de bien choisir g(x) ! du Pas 2. Calculer = g  x . dx Pas 3. Faire la substitution u = g(x), du = g(x) dx. À partir dici, plus aucun x ne doit subsister dans lintégrale. Si tel était le cas, cela voudrait dire que la substitution du pas 1 nétait pas judicieuse. Pas 4. Trouver la primitive. Pas 5. Remplacer u par g(x), pour obtenir le résultat en fonction de x. Premier exemple Évaluer ∫ sin 2  xcos  x dx . du Si on pose u = sin(x), on aura = cos(x), donc du = cos(x)dx. dx 3 3 u sin  x Ainsi, ∫ sin 2  xcos  x dx=∫ u2 du= 3 C = 3 C  cos x Deuxième exemple Évaluer ∫ x dx . du 1 1 1 Si on pose u=  x , on aura = , donc du= dx et 2 du= dx . dx 2  x 2 x x  cos x Ainsi, ∫ x dx=∫ 2 cos u  du=2 ∫ cos u du=2 sin u C=2 sin  xCDidier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
• 55. 52 CHAPITRE 7 Trouvez les primitives ci-dessous en faisant la substitution indiquée :Exercice 7.4 a. ∫ 2 x x 21 23 dx u = x2 + 1 b. ∫ cos3  xsin  xdx u = cos(x) ∫  sin x c. dx u=  x x 3 x dx d. ∫ u = 4x2 + 5  4 x2 5 Trouvez les primitives ci-dessous. Vous vérifierez chaque résultat en le dérivant.Exercice 7.5 a. ∫ x2− x 23 dx b. ∫ cos 8 xdx 2 x c. ∫ t  7t 212 dt d. ∫ dx  x 31 5 x dx sin   e. ∫ f. x 2 4 x 1 3 ∫ x 2 dx 2 x dx g. ∫ cos2  x 3 h. ∫ sin 5 3 cos 3d  sin 3d  ∫ cos2 cos 3 2 i. j. ∫ x e x dx ln  x k. ∫ x dx l. ∫ x2  x3 2dx 2 8x m. ∫ 3 x  1−2 x 2 dx n. ∫ x 32 dx tan 4 x x2Les questions o, p et q o. ∫ cos 4 x dx p. ∫ x1 dxnécessitent une opérationpréalable. q. ∫ cos3  d  2 (indication : rappelez-vous que cos sin =1 ) 2 Si nous voulons poursuivre notre projet de ramener des problèmes compliqués à desIntégration par problèmes simples, nous pouvons examiner la possibilité dexprimer lintégrale dunparties produit de deux fonctions f et g en termes des intégrales de f et g. Essayons dinverser la règle pour la dérivée dun produit : (f·g) = f ·g + f·g En intégrant, on obtient : f  x⋅g x =∫ f  x⋅g  x dx∫ f  x⋅g  xdx Doù la règle dintégration par parties : ∫ f  x⋅g  xdx = f  x⋅g  x−∫ f  x⋅g  xdx Utilité de la formule La formule de lintégration par parties ne résout que très partiellement le problème que dintégration par nous nous sommes posé. Analysons-la : elle sapplique à un produit de fonctions dont parties nous devons pouvoir dériver lune (f→f ) et intégrer lautre (g→g). Mais son point faible réside dans le fait quelle ramène lintégrale dun produit (f·g) à lintégrale dun autre produit (f ·g). Son utilisation na donc de sens que si le calcul de la deuxième intégrale est plus simple que celui de la première.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
• 56. INTÉGRALES 53 Exemple ∫ x e x dx =? Les deux facteurs peuvent très facilement être dérivés et intégrés. Comme la dérivée de x est 1, on va poser : f (x) = x g(x) = ex doù : f (x) = 1 g(x) = ex (+C)Remarque et nous trouvons : ∫ x e x dx =x e x −∫ e x dx .Lors dune résolution enutilisant cette technique, il La nouvelle intégrale (celle à droite du « = ») est facile à résoudre : ∫ e x dx =e xarrive que lon doive intégrer Donc : ∫ x e x dx =x e x −e x C= x−1e x Cpar parties plusieurs fois. Vérifions le résultat en dérivant : ((x–1)·ex) = (x–1)·ex + ex = x·ex Trouvez les primitives suivantes, en intégrant par parties :Exercice 7.6 x a. ∫ x cos x dx b. ∫ e x dx x c. ∫ x3 ln∣4 x∣ dx d. ∫  x1 dx ln ∣x∣ e. ∫ 2 x sin 3 xdx f. ∫ x dx g. ∫ t2 et dt h. ∫ x2 sin x dx i. ∫ e x  x2 x1 dx j. ∫ e−x sin  xdx7.6. Retour au problème du calcul daire Nous avons introduit la notion dintégrale à partir du problème du calcul daire sous uneExercice 7.7 courbe (voir § 7.2). Ce problème avait une restriction : la fonction f devait être positive dans lintervalle [a, b]. Que se passe-t-il si ce nest pas le cas ? Pour le découvrir, calculez successivement les intégrales définies ci-dessous (voir § 7.3) :   0 4 2 ∫ sin x dx = ∫ sin x dx = ∫ sin x dx = 0 0 0 3  2 2 ∫ sin x dx = ∫ sin  xdx = ∫ sin  x dx = 0 0 0 3 0 0 ∫ sin  x dx = ∫ sin  x dx = ∫ sin x dx = 0 −  Voici le graphe de sin(x) dans lintervalle [−π ; 3π]. Que constatez-vous détrange et comment lexpliquez-vous ? À votre avis, quentend-on par le terme aire signée ?Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
• 57. 54 CHAPITRE 77.7. Calcul de lintégrale définie b bPropriétés de (1) ∫ k⋅f  x dx=k⋅∫ f  x dxlintégrale définie a a b b bComme vous avez pu le (2) ∫  f  x g  x  dx=∫ f  x dx∫ g x dx (idem pour « – »)constater au § 7.6, lintégrale a a adéfinie représente laire asignée comprise entre la (3) ∫ f  x dx=0 acourbe et laxe Ox dans un b aintervalle donné. Cela signifieque laire est comptée (4) ∫ f  x dx=−∫ f  x dx a bnégativement quand la b c bfonction est négative. (5) ∫ f  x dx=∫ f x dx∫ f  xdx (avec a ≤ c ≤ b)Cette constatation aide à a a ccomprendre les propriétés ci- b bcontre. (6) ∫ f  x dx≤∫ g  x dx si f(x) ≤ g(x) pour tout x dans [a, b] a aSil est impossible de trouver Chaque fois que cest possible, le calcul de lintégrale définie entre les bornes a et b seune primitive, on peut toujours fait en deux temps. Premièrement, trouver une primitive F(x) de la fonction f(x) àapprocher numériquement le intégrer ; deuxièmement calculer F(b) – F(a).résultat par la somme des 3rectangles définis au § 7.2. Comme exemple, calculons ∫ x 2 x2 dx . –1 4 x Étape 1 : ∫ x2 x 2 dx=∫  2 xx 3 dx =x 2 4 C 3 4 4 Étape 2 : ∫ x 2 x2 dx =32 3 −−12 −1  =9 81 −1 1 = 28 4 4 4 4 –1 Calculez les intégrales définies ci-dessous :Exercice 7.8 3 2 2 a. ∫x 3 dx b. ∫ x 1x  dx 3 c. ∫ t 2−2t 8dt 2 −1 1 3 2 9 d. ∫ 12 dx e. ∫  13 − 22 x−4  dx f. ∫  x dx 1 x 1 x x 1  9 4 3 4 − 3 g. ∫ 2 y  y dy h. ∫  −5  x− x  dx 2 i. ∫ cos  x dx 4 1 x − 4  2 2  2 x j. ∫  x sin 2  x  dx k. ∫ dx l. ∫ x2 cos  xdx  0  13 x 2 0 6 a. Calculez laire sous la courbe y = x2 + 1 dans lintervalle [0, 3].Exercice 7.9 b. Calculez laire au-dessus de laxe Ox mais en dessous de la courbe y = (1–x)(x–2).Pour toutes les questions ci- c. Calculez laire du domaine borné par la courbe y = 3sinx et labscisse dans 4contre, il est vivement lintervalle [0, ]. 3recommandé de faire uneesquisse. d. Calculez laire du domaine borné par la courbe y = x3 – 5x2 + 6x et labscisse dans lintervalle [0, 3]. 2 3π / 4Exercice 7.10 a. Calculez ∫ 2x − 3 dx b. Calculez ∫ cos x dx 0 0Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
• 58. INTÉGRALES 557.8. Intégrales impropres Une intégrale définie est dite impropre (ou généralisée) dans deux cas : 1. une ou les deux bornes sont à linfini ou 2. la fonction nest pas continue dans lintervalle dintégration. Si la fonction f est continue dans lintervalle dintégration, on définit :Premier cas ∞ b b b ∫ f  xdx =b∞ ∫ f  x dx lim et ∫ f  xdx =alim ∫ f  x dx −∞ a a −∞ a Dans les deux cas, si la limite existe et nest pas infinie, on dit que lintégrale converge. Autrement, elle diverge. ∞ 0 ∞ De plus, ∫ f  xdx =∫ f  xdx ∫ f  x dx . −∞ −∞ 0 ∞ Exemple 1 ∫ dx2 =? 1 x dx 1 On a : ∫ x2 =− x C=F  x ∞ b dx dx 1 Doù : ∫ x 2 =blim ∫ x 2 =blim F b− F 1=blim − b −−1=1 1 ∞ 1 ∞  ∞ 0 Cette intégrale converge vers 1. ∞ Exemple 2 ∫ dx x =? 1 dx On a : ∫ x =ln∣x∣C=F  x ∞ b ∫ dx =blim ∫ dx =blim F b− F 1=blim lnb −ln 1 =∞   Doù : 1 x ∞ 1 x ∞ ∞ 0 ∞ Cette intégrale diverge. Si la fonction f est discontinue en c dans lintervalle [a, b] (c peut être une des bornesSecond cas dintégration), alors b  b ∫ f  x dx=limc ∫ f  x dxlimc ∫ f  x dx   a a  c c 2  2 dx dx dx Exemple 3 ∫  x−12 =lim ∫  x−12 lim ∫  x−12  1  1 =? 0 0  1 1 dx 1 On a : ∫ 2 =− C =F  x  x−1  x−1  dx 1 Calcul de la première limite : lim ∫ =lim − −1=∞  1 0 2  x−1  1 −1 1 1 2 dx 1 Calcul de la seconde limite : lim ∫ 2 =lim −1 =∞  1   x−1  1 −1 1 1 Cette intégrale diverge. Si on avait appliqué naïvement la formule sans prendre de précaution, on aurait trouvé F(2) – F(0) = −1−1 = −2. Résultat aberrant puisque f nest jamais négative : lintégrale définie ne peut pas être négative non plus !Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
• 59. 56 CHAPITRE 7 Calculez les intégrales impropres ci-dessous :Exercice 7.11 ∞ ∞ ∞ a. ∫ e−x dx b. ∫ dx c. ∫ 2 dx 0 1 x  4 2 x −1 ∞ 0 0 dx dx d. ∫ 3 e. ∫ 3 f. ∫ e 3 x dx e x ln  x −∞ 2 x−1 −∞ ∞ ∞ 4 g. ∫ x dx3 h. ∫ 2 x 2 dx i. ∫ dx 2 −∞ −∞  x 3 3  x−3   2 3 2 cos x j. ∫ tan  xdx k. ∫ dx l. ∫  1−sin  x dx 0 0 x−2 07.9. Ce quil faut absolument savoirComprendre comment calculer une aire avec une somme de rectangle t okConnaître le théorème fondamental de lanalyse et savoir le démontrer t okSavoir ce quest une primitive t okTrouver une primitive par la méthode de substitution t okIntégrer par partie t okCalculer une intégrale définie t okCalculer laire comprise entre une courbe de laxe des x t okCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
• 60. APPLICATIONS DES INTÉGRALES DÉFINIES 578. Applications des intégrales définies8.1. Aire entre deux courbes Problème Soient f et g deux fonctions continues dans lintervalle [a, b] telles que f(x) ≥ g(x), pour a ≤ x ≤ b. Calculer laire A du domaine délimité par ces deux courbes. Solution Si g est positive (g ≥ 0) dans lintervalle [a, b], alors A = « aire sous f » – « aire sous g » donc b b b A=∫ f  xdx−∫ g  xdx =∫ [ f  x – g  x] dx a a a Cette formule est aussi valable quand les fonctions ne sont pas partout positives. En effet, si g prend des valeurs négatives dans lintervalle [a, b], on translate les deux courbes verticalement vers le haut de sorte que la fonction g soit partout positive ou nulle. Il sagit donc de trouver le minimum m de g sur [a, b], puis de soustraire m (car m<0) à f(x) et à g(x). Puisque les deux courbes sont translatées de la même façon, il est clair que laire entre les deux courbes ne va pas changer. On a alors : b bLes m se sont simplifiés A=∫ [ f x  – m – g  x – m ] dx=∫ [ f  x – g  x]dx a a On donne les fonctions f et g. Calculez laire du domaine borné délimité par les deuxExercice 8.1 fonctions. 2 2 a. f  x= x g  x=8− x 2 2 b. f  x= x −3 x2 g  x=−x −x6 3 2 3 2 c. f  x= x −5 x 6 x g  x= x −7 x 12 x 1 3 d. f  x= x g  x= 2 x 4 Calculez laire du domaine compris entre les courbes des fonctions f et g et les droites verticales x = a et x = b. e. f(x) = x2 + 1 g(x) = x a = –1 b=2 f. f(x) = x3 g(x) = x a=0 b=2 1 g. Calculez laire du domaine compris entre les courbes y = x, y= , et les droites x horizontales y = 1 et y = 2.Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
• 61. 58 CHAPITRE 88.2. Volume dun solide de révolution Problème Soit f une fonction continue et non négative sur lintervalle [a, b]. Trouver le volume V du solide généré par la révolution autour de laxe Ox de la portion de courbe y = f(x) comprise entre x = a et x = b. 2 3 4 0 1 3 2 2.5 2 1.5 0 1 0.5 -2 1 2 3 4 2 0 -2 Volume de révolution obtenu en faisant tourner la courbe de gauche autour de laxe Ox Solution Lidée est la même que lorsque lon cherchait laire sous une courbe. On va découper (méthode des disques) lintervalle [a, b] en n sous-intervalles de même largeur [x0, x1], [x1, x2], ... , [xn–1, xn], avec x0 = a et xn = b. La largeur de chaque sous-intervalle est égale à la largeur de lintervalle [a, b] divisé par b–a le nombre de sous-intervalles, cest-à-dire :  x= . Pour chaque i = 0, 1, ... , n–1, n on dessine un rectangle ayant comme base le segment xixi+1 et comme hauteur f(xi). Lorsquils tourneront autour de laxe Ox, chacun de ces rectangles va définir un cylindre très fin (presque un disque) de volume π·[f(xi)]2∆x. Le volume du corps de révolution sera la somme de tous ces cylindres : n V = lim n ∞ ∑ ⋅[ f  x]2  x i=1 qui nest rien dautre que lintégrale définie : b V =∫ [ f  x] dx 2 a 2 3 4 0 1 2 0 -2 2 0 -2 Volume de révolution approché par une série de cylindres.Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
• 62. APPLICATIONS DES INTÉGRALES DÉFINIES 59 Calculez le volume des solides générés par la révolution autour de laxe Ox des courbesExercice 8.2 suivantes et donnez le nom (quand ils en ont un) de ces solides : a. y = 4, –1 ≤ x ≤ 3 b. y = 3x, 0≤x≤2 c. y = x + 1, 0≤x≤3 d. y=  R − x , 2 2 –R ≤ x ≤ R e. y=  3− x , x ≥ –1 f. y = x2, 0≤x≤2 g. Donnez la formule permettant de trouver le volume engendré par une révolution autour de laxe Oy, puis calculez le volume du solide généré par la révolution autour de laxe Oy de la courbe : y = x3, 0 ≤ y ≤ 1. h. Trouvez le volume du corps engendré par la révolution autour de laxe Oy de la courbe x=  1 y , y ≤ 3.8.3. Longueur dune courbe plane Définition préalable Une fonction est lisse sur un intervalle si sa dérivée est continue sur cet intervalle. Problème Soit f une fonction lisse dans lintervalle [a, b]. Trouver la longueur L de la courbe y = f(x) de a à b. Solution Lidée consiste à découper lintervalle [a, b] en n sous-intervalles [x0, x1], [x1, x2], ..., [xn–1, xn] de largeur ∆x. On pose évidemment x0 = a et xn = b. On relie ensuite par une ligne polygonale les points P0, P1, ..., Pn. On obtiendra une bonne approximation de la longueur de la courbe en additionnant les longueurs Lk des n différents segments, pour k = 1, ..., n. Regardons un segment. Le théorème de Pythagore nous donne facilement sa longueur s :  s= x2 y2 Que lon peut aussi écrire :     2 2 2  x  y y  s=  ⋅ x= 1 ⋅ x 2  x  x2 x Si lon regarde de segment [xk–1, xk], on peut écrire :  2 L k = 1  xk – xk – 1  f  xk  – f  x k – 1  ⋅ xk – xk – 1  Daprès le théorème des accroissements finis,Voir La dérivée § 3.6 f  x k  – f  x k – 1 = f k  où xk–1 < ξk < xk x k – xk – 1 Par conséquent, L k = 1[ f  k ]2⋅ x Donc, la longueur de la ligne polygonale est n L=∑  1[ f k ] ⋅ x 2 k=1Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
• 63. 60 CHAPITRE 8 Si nous augmentons maintenant le nombre de sous-intervalles de sorte que ∆x→0, alors la longueur de la courbe polygonale va approcher la longueur de la courbe y = f(x). Par définition, ce nest rien dautre que lintégrale définie suivante : b L=∫  1[ f  x] dx 2 a a. Calculez la longueur de la courbe y = 2x entre les points (1, 2) et (2, 4) en utilisantExercice 8.3 la formule ci-dessus, puis vérifiez votre réponse à laide du théorème de Pythagore. 3 b. Calculez la longueur de la courbe y= x 2 – 1 de x = 0 à x = 1. 2 c. 1. Calculez la longueur de la courbe y= x 3 de x = 1 à x = 8. 2. Pourquoi ne peut-on pas utiliser telle quelle la formule pour calculer la longueur de cette courbe entre –1 et 8 ? Donnez un moyen de sen sortir. d. Calculez la longueur de la courbe y=  1 – x 2 de x = 0 à x = 1.8.4. Aire dune surface de révolution Problème Soit f une fonction lisse et non négative sur lintervalle [a, b]. Trouver laire de la surface générée par la révolution autour de laxe Ox de la portion de courbe y = f(x) comprise entre x = a et x = b. Solution Lidée est un peu la même que pour calculer la longueur dune courbe : on va approcher la courbe par une ligne polygonale. En faisant tourner cette ligne polygonale autour de laxe Ox, la surface obtenue sera composée de troncs de cônes circulaires droits mis bout à bout. Si r1 est le rayon du grand cercle de base, r2 le rayon du petit et g la longueur dune génératrice du tronc de cône, son aire latérale vaut : Acône = π(r1 + r2)·g Reprenons notre surface de révolution dont on veut connaître laire. Coupons-la en tranches de largeur ∆x, comme le ferait un boucher avec un jambon. Ces tranches sont « à peu près » des cônes tronqués. Laire latérale du tronc de cône no k est :Le théorème de la valeur A k =2⋅f mk ⋅L kintermédiaire nous assure quemk existe. f  x k – 1  f  xk  avec mk compris entre xk–1 et xk et tel que f mk = . 2 Lors des calculs de la longueur dune courbe du § 8.3, nous avons calculé que L k = 1[ f  k ]2⋅ x , donc A k =2⋅f mk ⋅ 1[ f  k ]2⋅ x Laire de la surface totale est la somme : n A=∑ 2 ⋅f  mk ⋅ 1[ f k ] ⋅ x 2 k=1 Quand on augmente le nombre de segments, leur longueur diminue, et forcément ξ seLe calcul intégral avancé nous rapproche de m. Si on suppose quà la limite ces points sont confondus, on trouveapprend que cette supposition lintégrale suivante :est en fait inutile car f et f sont b A=2∫ f  x  1 f  x dx 2toutes deux continues. aCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
• 64. APPLICATIONS DES INTÉGRALES DÉFINIES 61 2 3 4 0 1 3 2 2.5 2 1.5 0 1 0.5 -2 1 2 3 4 2 0 -2 Surface de révolution obtenue en faisant tourner autour de laxe Ox la ligne polygonale approchant la courbe Problème semblable Pour une fonction exprimée sous la forme x = g(y), avec g(y) continue sur lintervalle [c, d] et g(y) ≥ 0 pour c ≤ y ≤ d, laire de la surface générée par la révolution de g(y) autour de laxe Oy est donnée par la formule : d A=2 ∫ g  y  1g  y dy 2 c Trouvez laire de la surface engendrée par la révolution autour de laxe Ox des courbesExercice 8.4 suivantes : 1 a. y=  1 – x 2 , 0 x b. y = 7x, 0 x1 2 c. y=  4 – x2 −1 x1 Trouvez laire de la surface engendrée par la révolution autour de laxe Oy des courbes suivantes : d. x=9 y1 0 y 2 e. x=  9 – y 2 −2 y2 3 f. y=  3 x 0 y 28.5. Mouvement rectiligneRemarque Pour introduire les dérivées, nous avions parlé du problème de calculer la vitesseDans ce paragraphe, nous instantanée dun mobile connaissant son horaire s(t). Nous avions vu que la vitesse v(t)supposerons que tous les est la dérivée de lhoraire et laccélération a(t) la dérivée de la vitesse :mouvements se font sur une 2ligne droite. ds dv d s v t = s t = et at =v t= = dt dt dt 2 Inversement, on déduit que lhoraire est lantidérivée de la vitesse et que la vitesse est lantidérivée de laccélération : st =∫ v t dt et v t=∫ at  dt Ainsi, si la fonction vitesse dun mobile est connue, on peut trouver sa position à condition davoir suffisamment dinformations pour déterminer la constante dintégration.Didier Müller - LCP - 2010 Cahier Analyse
• 65. 62 CHAPITRE 8 Exemple Trouvez la fonction horaire dune particule se déplaçant avec une vitesse v(t) = cos(π·t) le long dune ligne droite, en sachant quen t = 0, s = 4. 1 La fonction horaire est st =∫ v t dt =∫ cos  t dt= sin tC .  1 Comme s = 4 quand t = 0, il suit que 4= s0 = sin 0 C=C .   0 1 Ainsi, st= sin  t 4 . Déplacement et distance Le changement de position, ou déplacement, du mobile dans un laps de temps [t1, t2]parcourue est donné par la formule : t2 ∫ vt dt =s t2 − st 1 t1 La distance parcourue par le mobile dans ce même laps de temps peut être différente du déplacement. Elle est donnée par la formule : t2 ∫∣vt ∣dt t1 Donnez la fonction horaire s(t) dun mobile sachant queExercice 8.5 a. v(t) = t3 – 2t2 + 1 ; s(0) = 1 b. a(t) = 4 ; v(0) = 1 ; s(0) = 0 c. a(t) = 4cos(2t) ; v(0) = –1 ; s(0) = –3 d. Trouvez la position, la vitesse et laccélération en t = 1, si v t=sin    2 t et sachant que s = 0 quand t = 0. Donnez le déplacement et la distance parcourue par une particule le long dune droite sachant que e. v(t) = t2 + t – 2 ; 0≤t≤2 f. a(t) = t – 2 ; v(0) = 0 ; 1≤t≤5 1 g. at = ; v(0) = 2 ; 0≤t≤3  5t 1 h. Sachant quun mobile en chute libre dans le vide subit une accélération a(t) = –g, trouvez les formules de la vitesse v(t) et de lhoraire s(t).8.6. Ce quil faut absolument savoirCalculer laire entre deux courbes t okCalculer le volume dun solide de révolution autour dun des axes t okTrouver les valeurs de la constante C daprès les données initiales t okCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2010
• 66. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 639. Équations différentielles9.1. Introduction Une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. Lordre dune équation différentielle correspond au degré maximal de différenciation auquel une des fonctions inconnues a été soumise. Ainsi, une équation différentielle dordre n est une équation de la forme R(x ; y ; y; y; ... ; y(n)) = 0. Toute fonction qui vérifie, pour tout x, léquation R(x ; y ; y; y; ... ; y(n)) = 0 est une solution de cette équation. Résoudre une équation différentielle consiste à déterminer lensemble des fonctions qui en sont solutions. Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques et biologiques, par exemple pour létude de la radioactivité ou la mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un vaste champ détude, aussi bien en mathématiques pures quen mathématiques appliquées. 1. xy – y = 0 est une équation différentielle du premier ordre.Exemples Lune des solutions est donnée par y = x. Lensemble des solutions est donné par lensemble des fonctions de la forme y = λx, avec ∈ℝ . 2. y + 4y = 0 est une équation différentielle dordre 2. Lune des solutions est donnée par y = sin(2x), une autre par cos(2x). Les solutions de cette équation sont de la forme y = λcos(2x) + µsin(2x),  , ∈ℝ . 3. y + y – 2 ex = 0 est une équation différentielle dordre 3. La fonction y = ex est solution de cette équation. Trouvez les équations différentielles qui ont pour solution générale les fonctions y = f(x)Exercice 9.1 données ci-dessous, α, β et γ étant des constantes. a. y=αx b. y = αex 1 y = sin(x + α) 2 c. d. y=  x  2 e. y = α x2 + β x + γ9.2. Léquation y = f(x) Une équation différentielle dordre 1 R(x ; y ; y) = 0 admet, sous certaines conditions, une solution qui dépend dune constante réelle arbitraire (constante dintégration). Pour caractériser lune des fonctions f, solution de R(x ; y ; y) = 0, il faut se donner une condition initiale. Méthode de résolution Soit léquation y = f(x). Si F est une primitive de f, alors la solution générale de léquation proposée est donnée par y = F(x) + α, ∈ℝ . 1 Exemple y = cos(2x) admet comme solution générale y= sin 2 x , ∈ℝ . 2Didier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
• 67. 64 CHAPITRE 9 Résolvez les équations suivantes :Exercice 9.2 a. y = 0 b. y + 2x = 0 1 c. y = sin(x)cos(x) d. y = 2 1 x x x –1 e. y = f. y =  1 x 2 x19.3. Léquation à variables séparables y⋅ g(y) = h(x) Méthode de résolution Une équation différentielle du type y⋅ g(y) = h(x) est dite « à variables séparables ». Si G et H sont des primitives respectives de g et h, la solution dune telle équation est donnée par : G(y) = H(x) + α, ∈ℝ Exemple Léquation (x – 1)y – 2y = 0 peut se ramener à 1 2 dy 1 2 dy 2 y = ou = ⇒ = dx y x –1 dx y x – 1 y x–1 à condition décarter provisoirement la solution y = 0. En intégrant, on obtient : – ln∣∣ ln ∣y∣ =2ln ∣x – 1∣ , ∈ℝ * c cest-à-dire ln ∣∣=ln  x – 1 , doù la solution y= x – 1 , ∈ℝ . y 2 2 Résolvez les équations suivantes :Exercice 9.3 a. y sin(x) = y cos(x) b. y2 + (x+1)y = 0 c. xy – ky = 0, k ∈ℝ * d. y =2 x  1− y2 e. x2y + y = 3 f. yy = x g. y – xe-y = 0 h. y = ln(y)9.4. Léquation homogène y = g  y x Méthode de résolution Pour résoudre léquation y = g y x  y , on pose =z (y = xz et y = z + xz) : on obtient x ainsi une équation différentielle à variables séparables. y Exemple xy = x + y est une équation homogène, car elle peut sécrire : y =1 . x 1 En posant y = xz, on obtient léquation z + xz = 1 + z, doù z = . x Sa solution générale est z = ln|x| + α, ∈ℝ . Doù la solution générale de léquation proposée : y= x ln∣x∣ Résolvez les équations suivantes :Exercice 9.4 a. xy = x – y b. xy2y = x3 + y3 c. x – y + xy = 0 d. (x2– y2)y = xyCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
• 68. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 659.5. Léquation linéaire y + p(x)⋅ y = q(x) Méthode de résolution Soit léquation à résoudre y + p(x)⋅ y = q(x). ∫ p x dx 1. Calculer =e . µ est appelé facteur dintégration. d 2. Poser  y= q x . dx 3. Intégrer les deux côtés de léquation obtenue en 2 et résoudre pour y. Exemple Résoudre y – 4xy = x. ∫ −4 x dx −2 x 2 Comme p(x) = –4x, le facteur dintégration vaut =e =e . d –2 x 2 –2 x 2Remarque On pose e y= x e . dxCette équation aurait aussi pu 1 – 2x – 2 x2 – 2 x2 2se résoudre par séparation des On intègre : e y=∫ x e dx=− e C 4variables. 1 2x 2 Doù lon tire : y=− C e 4 Résolvez les équations suivantes :Exercice 9.5 a. y + y tan(x) = sin(2x) b. x2y + y = 1 c. y − x3 = xy d. y sin(x) − y cos(x) = cot(x) e. (x+1)y − 2y = (x+1)3 f. xy − y = ln(x) Résolvez les équations suivantes avec les conditions initiales indiquées :Exercice 9.6 a. xy − 2y = 2 – x , y(0.5) = 0 b. 2xy + y = 1 , y(1) = 2 c. xy + y = xcos(x) , y   2 =1 d. y + y = e−x , y(0) = 0 2 e. y = y + 3x + 2 , y(0) = −3 f. xy + 3y = – , y(−1) = −3 x9.6. Applications des équations différentielles dordre 1 Trouver une courbe du plan passant par le point (0; 3) et dont la pente de la tangente auGéométrie 2x point (x; y) est de 2 . y dy 2 x On a y = = et la condition initiale y(0) = 3. dx y 2 On doit résoudre léquation différentielle à variables séparables : y2dy = 2xdx. 1 3 2 Doù : ∫ y 2 dy=∫ 2 x dx ⇒ 3 y = x C . 3 De la condition initiale, on déduit que C = 9. La courbe est donc y=  3 x 27 . 2 Trouvez une courbe du plan passant par le point indiqué et dont la pente de la tangenteExercice 9.7 au point (x; y) est également donnée. 2 y a. (1; −1) ; pente = 3x b. (2; 0) ; pente = x e yDidier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
• 69. 66 CHAPITRE 9 Au temps t = 0, un réservoir contient 4 lb de sel dissous dans 100 gal deau. SupposonsMélanges quune saumure contenant 2 lb de sel par gallon deau sécoule dans le réservoir à un débit de 5 gal/min et que la solution obtenue séchappe du réservoir aussi avec un débit de 5 gal/min. La solution est conservée uniforme par un mélangeur. Quelle est la quantité de sel dans le réservoir après 10 min (t = 10) ? Soit y(t) la quantité de sel (en livres) au temps t. Commençons par trouver une dy expression de , la vitesse de variation de la quantité de sel au temps t. dt 5 10 lb de sel pénètrent chaque minute dans le réservoir, et yt  en sortent. 100 dy yt On a donc =10 – . dt 201 lb = 1 livre = 453,6 grammes dy y t  =10 est une équation différentielle linéaire dordre 1. dt 201 gal = 1 gallon = On a aussi la condition initiale y(0) = 4. Résolvons. 3.8 litres (USA) ou ∫1 / 20dt t / 20 4.5 litres (GB) =e =e d t /20 t /20 e y=10 e dt y=∫ 10 e t / 20 t /20 t / 20 e dt =200 e C −t / 20 yt =200C e Daprès la condition initiale, 4 = 200 + C ⇒ C = −196. −t/ 20 Donc, yt =200−196 e . −0.5 Après 10 minutes, la quantité de sel sera y10=200−196e =81.1 lb. Au temps t = 0, un réservoir contient 25 lb de sel dissous dans 50 gal deau. SupposonsExercice 9.8 quune saumure contenant 4 lb de sel par gallon deau sécoule dans le réservoir à un débit de 2 gal/min et que la solution obtenue séchappe du réservoir aussi avec un débit de 2 gal/min. La solution est conservée uniforme par un mélangeur. a. Quelle est la quantité de sel dans le réservoir au temps t ? b. Quelle est la quantité de sel dans le réservoir après 25 min ? Un réservoir dune capacité de 1000 gallons contient initialement 500 gal dune saumureExercice 9.9 contenant 50 lb de sel. Au temps t = 0, de leau pure est ajoutée à un débit de 20 gal/min et la solution obtenue est évacuée avec un débit de 10 gal/min. Combien de sel y aura-t-il dans le réservoir quand il commencera à déborder ? La loi de Torricelli donne une relation entre la vitesse découlement dun liquide parExercice 9.10 lorifice dun récipient et la hauteur de liquide au-dessus de lorifice. Soit h(t) la hauteur de liquide contenu dans le récipient au-dessus de lorifice au temps t et A(h) laire de la surface du liquide quand la hauteur du liquide est h. On a la relation : dh A h = – k h dt où k est une constante positive dépendant de certains facteurs, comme la viscosité du liquide et laire de la section du trou découlement. Au temps t = 0, un réservoir cylindrique dun mètre de rayon contient 4 mètres deau au- dessus de lorifice. La constante k vaut 0.025. a. Trouvez h(t). b. Après combien de minutes le réservoir arrêtera-t-il de se vider ?Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2011
• 70. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 67 En mathématiques, en économie et en biologie, on parle dun phénomène à croissanceCroissance exponentielle (ou géométrique) lorsque la croissance en valeur absolue de laexponentielle population est proportionnelle à la population existante, cest-à-dire lorsque le taux de croissance est constant. Une croissance exponentielle sexprime en mathématiques : • pour un phénomène discret (on prend des mesures à intervalle régulier) sous forme dune progression géométrique, • pour un phénomène continu (on essaie de calculer ce qui se passe entre deux mesures consécutives) sous forme dune fonction exponentielle. Soit y(t) la population en question. Comme la croissance en valeur absolue de la dy population est proportionnelle à la population existante, cela se traduit par = ky où dt k est le facteur de proportionnalité, avec y(0) = y0. Cette équation est à variables séparables et peut donc être résolue comme vu plus haut. ∫ dy =∫ k dt y ln|y| = kt + C kt C C kt ∣y∣=e =e ⋅e De la condition initiale y(0) = y0, il suit que eC = y0 . Par conséquent, la solution de dy kt léquation différentielle = ky est y= y0 e . dt Selon les données de lONU, la population mondiale au début de lannée 1990 étaitExercice 9.11 denviron 5.3 milliards dhabitants, avec un taux de croissance de 2% par an. En utilisant le modèle de la croissance exponentielle, estimez la population mondiale au début de lannée 2015. Le nombre de bactéries dans une culture croît de manière exponentielle au taux de 1%Exercice 9.12 par heure. En supposant quil y ait actuellement 10000 bactéries, trouvez... a. le nombre de bactéries au temps t ; b. le nombre de bactéries après 5 heures ; c. le temps nécessaire pour obtenir 45000 bactéries.9.7. Ce quil faut absolument savoirRésoudre une équation à variables séparables t okRésoudre une équation homogène t okRésoudre une équation linéaire t okDidier Müller - LCP - 2011 Cahier Analyse
• 71. 68 ANALYSESolutions des exercicesChapitre 1 Chapitre 31.1. a. −1 b. 3 c. nexiste pas d. 2 3.1. a. x = –1, 1, 2, 3 b. x ≅ –0.3, 1.45, 2.6 c. x ≅ –0.1, 1, 2.8 d. x ≅ –0.81.2. 1. –2 2. –1 3. 2 e. x ≅ –0.4, 1.75, 2.4 4. 4 5. 0 6. nexiste pas 3.2. La dérivée est négative, car la pente de la tangente en 3π est négative. 7. 0 8. +∞ 9. +∞ y 10. –∞ 11. 1/6 12. nexiste pas 1 1 3 13. 14. 15. 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x 2 2 2 -1 2 16. 2 17. 2 18. 3 1 1 3.3. a. 3x2 b. – c. d. 6t + 5 19. 1 20. 1 21. +∞ x 2 2 x 22. 1 23. nexiste pas 24. nexiste pas 3.4. Calculons dabord la pente de la sécante AB : 2 CB 1 x –1 pente = tan = = = AC x1.3. 1. 2/3 2. 0 3. –∞ 2 x x 2 =2 x 4. +∞ 5. 1 6. 1/2 x 7. 1/2 8. –2 9. 1 Si B tend vers A, ∆x tend vers 0 et la pente de la sécante tend vers 2. La pente de la tangente au 10. 0 11. –∞ point A est donc : lim (pente de la sécante AB) = lim (2+∆x) = 2 B A x  01.4. 1. e 2. e3 3. e2 La pente en A est de −4. 4. 1/e 5. e−4 6. 1/e 7. e4 8. e3 3.5. a. 6.77259 b. –1 c. 6.5981 1 3.6. – m/sChapitre 2 9 3.7.2.3. a. f(−1) nest pas défini b. x – 1 f  x≠ f – 1 lim a. b. c. lim f x ≠ f  4 d. lim f x ≠ f 2 x 4 x2 x22.4. voir § 2.3. c. d. 1 1 a. D = {x∣x≠– , } b. D = [−5; 5] 2 3 c. D = ℝ d. D = [ –  2 ;  2 ] e. D = ] –∞ ;– 1[∪]1;∞[ f. D = {x∣x≥0} e. f.2.5. f satisfait la propriété de la valeur intermédiaire, mais est en discontinue en 0.2.6. environ 0.36Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
• 72. 69 ANALYSE3.9. a. Le taux instantané de variation du nombre de 3.20. 1. 1 2. 2 3. –3 bactéries après 5 heures, exprimé en nombre 4. a 5. 2x 6. 8x–5 de bactéries par heure. 7. 6x2+2 8. 2ax+b 9. 0 b. f (10) > f (5) car f(t) est une fonction 10. 3ax2+2bx+c 11. 2x+2 12. 12x3+4x exponentielle. a −6 13. 2acx+ad+bc 14. – 2 15. 2 x  x – 13.12. a. x9 1 1 16. – 17. 18. 3 2 2 x 3x 2 3 x – 1 1.5 2 –1 19. 3 20. 1 3x 2  x3 0.5 1 2 3 4 5 6 3.21. -0.5 2 x5 2 -1 1. 2. 2  x 25 x – 1 3 3x–1 -1.5 2 5 x 2 x -2 3. 4. 2 x – 1 b.  2 x1 gHxL 1 2 5. 5 x 4  4 – x 6. 5(2x+5)(x2+5x–1)4 2 1 7. (30x2–26x–3)(2x–3)2 8. 3(2x2–x–1)2(4x–1) 9. x(5x+4)(x+2)2 10. cos(x) – sin(x) 1 2 3 4 5 6 11. tan2(x) 12. 2cos(2x–1) -1 cos x  13. 20sin4(4x)cos(4x) 14. 2  sin  x -2 –3 2 2 15. sin   xcos   x 16. – ∆ l l(t + ∆ t ) − l(t ) 2 x 2 sin 2 x3.13. a. vmoyenne = = = ∆t ∆t 17. 2e2x 18. aeax+b g 2 g 2 19. cos(x) esin(x) 20. (sinx+cosx) ex t t – t 2 2 2 2 2 g t 2t  t  t – t = 1 t 2 t 21. 2(2cos(2x)–sin(2x))e4x 22. x g g = 2 t t = g t   t 1 2 2 23. 4ctg(4x) 24. x ln  x x g 2 3 x – 1 b. v t= lim = lim  g t  t = g t 25. 1 26. t  0 t t 0 2 3 3 x – 2 x – 1 3 2 2 2 2tan  x 3 sin 3 x3.14. La dérivée seconde est négative si x < −1 et 27. 28. – 2  xtan  x 2  cos 3 x positive si x > −1. Elle est nulle quand x = 1, ce qui signale un point dinflexion. 29. 2 x1 30.  x3 x2 6 x – 9 21 x  1x 2 x32  x 293.15. Voir http://www.nymphomath.ch/ –1 MADIMU2/ANALY/COR3-15.PDF 31. 2 32. 0 x – 4 x53.16. a. III et IV b. II c. IV 4 4 x 1 x1 33. 34. 4  1 x  x 2 1 x x –x 2 d. III et IV e. I f. II e e  23.17. a. 6 b. 1/4 c. –1/4 d. 6 35. 0 36.  1 – 4 x23.18. a. –2.25, –0.5, 2 b. 0, 1.55 37. 2ex2e−1 38. (1+ln(x)) xxCahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
• 73. SOLUTIONS DES EXERCICES 703.22. a. 1 b. 0 c. 0 Chapitre 5 1 5.2. Repérer les points critiques et dinflexion3.23. a. 4 b. 1 c. 2 2 1 m m–n d. e. f. a  e n 1 a–b g. h. i. ∞ 2 ab j. nexiste pasChapitre 4 14.1. a. y = 4x – 3 b. y = 4 x + 1 c. y = 13x – 2 6 94.2. a. y = –2x – 5 et y= x – 5 5 Chapitre 6 b. y = 2ex – 4 c. y = ex – 1  5 6.1. D = [a ; b]4.3. a. oui b. 2 { 1 – 3x – si x  – 1 Chapitre 7 2 x2 7.1. a. 20.1762 b. 19.0553 c. 19.61574.4. f(x) = – 2x si – 1 x3 2 5 x 9 7.3. a. lnsinx + C b. +C x– si x  3 12 2 5x 7 5 e c. – cos 3 xC d. sin 2 x – 9 xC4.5. a. 0 ; 8.13° b. 30.94° c. 70.53° 3 2 5 x 34.6. b. 1 e. -2 lncosx + C f. C ln 3  34 84.7. a = 3 ; b = 5 ou a= 9 ; b= 3 g. 2  x  x37C 7 1 34.8. a. 12 cm3/min b. 16  cm/min c. 20 cm/min 1 2 24 1 44.9. environ 6.05 ˚/s 7.4. a. 24 x 1 C b. – 4 cos  xC 34.10. – 8/3 m/s c. – 2cos   xC 2 d. 4  4 x 25C p p4.11. Le carré de côté 2 et daire 4 2a a 1 2 4 14.12. Base carrée de côté 3 , hauteur 6 7.5. a. – 8 2 – x  C b. 8 sin 8 xC 3  1 2 34.13. hauteur = diamètre = 3 4 dm c. 21 7 t2 12  2 C d. 3  x 1C 4.14. a. ne faire que le carré b. l= 9L pour le triangle e. – 1 16 2 –2 4 x 1 C f. 1 5 cos 5 x  C 94  3 1 3 1 6 g. tan  x C h. sin 3 C 3 184.15. PB = 3 km 1 1 x 2 2p p i. – tan cos 3C j. e C4.16. rectangle : largeur : 4 hauteur : 4 3 2 3 1 2 2 3 ln ∣x∣C  x  2 2 C4.17. La droite de pente – 2 k. 2 l. 9 3 3 1 8 ln∣x 2∣C 34.18. À 14h. Le navire B sera alors à 20 km de A dans la m. – 1 – 2 x 2  2 C n. 2 3 direction 150oE. 3 1 2 r o. C p. x + ln|x+1| + C4.19. cm3 4cos 4 x 9 3 3 sin  q. sin – C4.20. 0.81944 3Didier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse
• 74. 71 ANALYSE7.6. a. x·sinx + cosx + C b. e–x(–1–x) + C 8.4. a. π b. 35  2  c. 8π d. 40  82  e. 24π f. 24.1179   4 x 1 c. ln∣4 x∣ – C 4 4 4 t 2 d. 2  x – 2   x1C 8.5. a. st = – t3 t1 b. s(t) = 2t2 + t 4 3 3 e.  2 1 3 3  sin 3 x – x cos 3 x C c. s(t) = –cos(2t)–t–2 e. 2/3; 3 d. s = 2/π; v=1; a=0 f. –10/3; 17/3 1 2 g. 204/25; 204/25 f. ln  xC g. et(t2–2t+2) + C 2 h. −x2cosx + 2xsinx + 2cosx + C i. e x  x2 – x2C Chapitre 9 1 –x j. – e cos  xsin  xC 2 9.1. a. xy = y b. y = y c. y + y = 0 d. xy – y = 07.8. a. 65/4 b. 81/10 c. 22/3 e. y = 0 d. 2/3 e. –1/3 f. 52/3 9.2. a. y = α, ∈ℝ b. y = α x2 g. 844/5 h. –55/3 i. 2 1 2 2 c. y= sin  x d. y = arctan(x) + α  2 j. 2  3 k. 0.868 l. −2π 9 e. y=  1 x 2 f. y = x – ln(x+1)2 + α 17.9. a. 12 b. 1/6 c. 15/2 9.3. a. y = α sin(x) b. y= ln ∣  x1∣ d. 37/12 c. y = α xk d. y = sin(x2 + α) 1 1 e. y=3 e x f. y=± x 27.10. a. 5/2 b. 2 – 27.11. a. 1 b. diverge c. ln(5/3) ∣1 2 g. y=ln  x 2 ∣ h. y=ln ∣ ∣1 − x d. 1/2 e. –1/4 f. 1/3 2 x  3 9.4. a. y= b. y= x  ln ∣ x3∣ g. 0 h. 0 i. diverge 2x j. diverge k. ln(1/2) l. 2 c. y= x⋅ln  x d. x=± y  – 2ln  y 9.5. a. y = −2cos2(x) + α cos(x)Chapitre 8 1 b. y=1 e x 2 c. y= – x 2 – 2 ex / 28.1. a. 64/3 b. 9 1 c. 9 d. 5/3 d. y= sin  x – e. 9/2 f. 5/2 2sin  x g. 1 e. y = (x + α)(x + 1)2 f. y = αx – ln(x) – 18.2. a. cylindre : 64π b. cône : 24π 1 c. cône tronqué : 21π d. sphère : 4 R 3 9.6. a. 2x2 + x – 1 b. y=1 3 x xsin  xcos x 32 c. y= d. y = xe−x e. paraboloïde : 8π f.  x 5 2 4– x 3 e. y = 2ex – 3x – 5 f. y= 3 g.  h. 8π x 5   2 –3 x8.3. a.  5 b. 1.4397 c. 1. 7.6337 9.7. a. y= 2  x1 b. y= – ln 3 – 2 d. π/2Cahier Analyse Didier Müller - LCP - 2012
• 75. SOLUTIONS DES EXERCICES 729.8. a. y= 200 – 175e – t /25 b. 136 lb9.9. 25 lb9.10. a. h(t) = (2 – 0.003979t)2 b. environ 8.4 min9.11. 8.7 milliards9.12. a. y=10000 e 0.01 t b. 10513 c. environ 150 heuresDidier Müller - LCP - 2012 Cahier Analyse