cours RDM et application

1. Résistance des matériaux : Flexion Plane Simple
SYNTHESE
Désignation Formule Unité Observation
σ Sigma : contrainte normale
. y
σ Mf
I
GZ
=
. v
σ maxi Mf maxi
I
GZ
=
N/mm²
Toujours normale à la
section S
τ Tau : contrainte tangentielle
τ = T N/mm²
S
Toujours tangente à la
section S
Mf
Moment fléchissant :- la somme
algébrique des moments des
forces situées à gauche de la
section S. (variable le long de la
poutre)
Mf = - Σ Fi Xi N.mm
On peut représenter sa
variation par un diagramme
T
Effort tangentielle :- la somme
algébrique des forces situées à
gauche de la section. (variable le
long de la poutre)
T = - Σ Fi N On peut représenter sa
variation par un diagramme
IGZ Moment quadratique Suivant la section mm4
CONDITION DE RESISTANCE
Rpe = Re
σ max ≤ Rpe avec : s
Tel que : Rpe : la résistance pratique à l’extension (en MPa)
Re : Résistance élastique à l’extension (en MPa)
s : Coefficient de sécurité
Répartition des contraintes :
(D’après le signe de Mfz et le signe de y )
Exemple : Au dessus de la fibre neutre Mfz > 0 (d’après le diagramme de Mfz) et y > 0
Au dessous de la fibre neutre Mfz > 0 (d’après le diagramme de Mfz) et y < 0
Moment quadratique :
bh3
a4
πd4
IGz = IGz = IGz = IGz =
π(D4-d4 )
Prof : A. RAZGALLAH
y
G z
y
G z
y
G z
a
a
z
y
G
h
b
12
12
64
64

2. Résistance des matériaux : Flexion Plane Simple
Activité
Un arbre de boite à vitesse est assimilé à une poutre cylindrique de diamètre d mini =16mm.
Les actions sur les roues dentées engendrent une flexion supposée simple sur cet arbre.
Le problème est représenté par le schéma ci- dessous.
1°) Vérifier par calcul que les modules de RA et RD
sont convenables pour que la poutre soit en équilibre.
On donne RA = 800N et RD = 700N .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On donne F1 =500N, F2 =1000N
A B C D
2°) Ecrire les équations et donner les valeurs des efforts tranchants et des moments fléchissants sur
le tableau
Zones Expressions Valeurs aux limites de zones
[AB[ Ty = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mf = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En A , X= . . .
En B , X= . . .
Ty = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mf = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mf = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
……… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En … , X= . . .
En … , X= . . .
Ty = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mf = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mf = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
……… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En … , X= . . .
En … , X= . . .
Ty = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mf = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mf = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3°) Tracer les diagrammes des efforts tranchants et des moments fléchissant.
A B D x
Echelle : 1mm 50N
Prof : A. RAZGALLAH
x
Y
RD
RA
F1 F2
+
25 29 41
F2
C
RD
RA
F1
Y
+
X
T(N)
MF(Nm)
X
Echelle : 1mm 1mN

3. Résistance des matériaux : Flexion Plane Simple
4°) Calculer :
a) La contrainte normale smaxi :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) La contrainte tangentielle t max :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5°) Représenter la répartition de la contrainte normale dans la section la plus sollicitée de la
poutre.
Echelle : 1mm 10N/mm2
6°) En utilisant le tableau ci-dessous encercler les matériaux qui vérifier la condition de résistance
de la poutre. Sachant que le coefficient de sécurité adopté est s = 5
……………………………………………………………………………………………………………………
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……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………
N U A N C E D E M A T É R I A U
S 185 E 335 C 22 C 25
Re [MPa] 185 335 255 285
Rp ……. … ….. ………
Prof : A. RAZGALLAH
y
x