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  • 1. SYSTEMES A TEMPS DISCRETCommande num´ rique des proc´ d´ s e e e Dimitri Peaucelle 7 avril 2003
  • 2. 2
  • 3. Avant-propos Ce document est con¸ u comme un support de cours destin´ a des el`ves ing´ nieurs. Il a et´ r´ dig´ en particulier en vue c e` ´e e ´e e ed’un enseignement de 15 heures a l’ENSA (Ecole Nationale des Sciences Appliqu´ es) situ´ e sur le pˆ le technologique de ` e e ol’Universit´ Ibn Zohr, Agadir, Maroc. e L’objectif de ce cours est d’aborder certains aspects de la commande num´ rique des syst` mes et ne se veut en aucun cas e eexhaustif. Les pr´ -requis concernent des aspects math´ matiques tels que la manipulation de fonctions et de suites, le calcul e eint´gral et les s´ ries, la transform´ e de Laplace; ainsi qu’une bonne connaissance de l’Automatique des syst` mes lin´ aires e e e e ea temps continu. Partant de proc´ d´ s physiques mod´ lis´ es par des fonctions de transfert en p (variable de Laplace) nous` e e e eaborderons successivement la mod´ lisation de syst` mes discrets et echantillonn´ s, leur analyse et pour finir la synth` se e e ´ e ede lois de commande num´ riques. e Le premier chapitre est enti` rement d´ di´ a la mod´ lisation. Il pr´ sente dans un premier temps la mod´ lisation de si- e e e` e e egnaux a temps discret avant d’introduire la notion de fonction de transfert en z. Il porte une attention particuli` re aux ` esyst` mes discrets obtenus par echantillonnage de proc´ d´ s continus et qui sont au centre de la probl´ matique de la com- e ´ e e emande num´ rique. e Les deux chapitres suivants portent sur la description et l’analyse des comportements temporels d’un syst` me a temps e `discret. Le chapitre 2 commence par d´ crire et calculer les r´ ponses d’un syst` me a la donn´ e d’une entr´ e. Le chapitre e e e ` e e3 quant a lui, s’int´ resse a la notion primordiale en Automatique de stabilit´ . Il propose des r´ sultats th´ oriques pour ` e ` e e eanalyser cette propri´ t´ . ee Par la suite, deux chapitres sont consacr´ s a la synth` se de lois de commande. Le chapitre 4 consid` re le cas le plus e ` e eel´ mentaire d’une loi de commande statique constitu´ e de simples gains. Le chapitre 5 aborde une technique dite de´e ediscr´ tisation. Elle consiste a transposer les m´ thodes de synth` se sp´ cifiques aux syst` mes a temps continu pour la e ` e e e e `commande num´ rique de syst` mes echantillonn´ s. e e ´ e Il est important de pr´ ciser que ce document doit beaucoup au polycopi´ de cours r´ alis´ par Bernard Pradin a l’INSA e e e e `de Toulouse, [9]. De plus il s’inspire d’ouvrages pr´ c´ dents tels que [1] [3] [4] [6] [7] [2] [5] [8]. e e Toulouse, 7 avril 2003 Dimitri Peaucelle i
  • 4. ii
  • 5. BIBLIOGRAPHIE iiiBibliographie[1] P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, and I. Zambettakis. Analyse et R´gulation des Processus e Industriels. Tome 1 : R´gulation continue. Technip, France, 1993. e[2] P. Borne, G. Dauphin-Tanguy, J.P. Richard, F. Rotella, and I. Zambettakis. Analyse et R´gulation des Processus e Industriels. Tome 2 : R´gulation num´ rique. Technip, France, 1993. e e[3] B. d’Andr´ a Novel and M. Cohen de Lara. Commande Lin´ aire des Syst` mes Dynamiques. Masson, France, 1994. e e e[4] E. Dieulesaint and D. Royer. Automatique Appliqu´ e : 1. Syst` mes lin´ aires de commande a signaux analogiques. e e e ` Masson, France, 1987.[5] E. Dieulesaint and D. Royer. Automatique Appliqu´ e : 2. Syst` mes lin´ aires de commande a signaux echantillonn es. e e e ` ´ ´ Masson, France, 1990.[6] R.C. Dorf and R.H. Bishop. Modern Control Systems. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., New-York, 1995.[7] G.F. Franklin, J. D. Powell, and A. Emami-Naeini. Feedback Control of Dynamic Systems. Addison-Wesley Publi- shing Company, Inc., New-York, 1994.[8] D. Jaume, S. Thelliez, and M. Verg´ . Commande des Syst` mes Dynamiques par Calculateur. Eyrolles, France, 1991. e e[9] B. Pradin. SYSTEMES A TEMPS DISCRET - Commande num´ rique des proc´ d´ s. INSA Toulouse, France, 1999. e e e
  • 6. iv BIBLIOGRAPHIE
  • 7. Chapitre 1 e e `Mod` les des syst` mes a temps discret On examine ici des mod` les qui peuvent etre utilis´ s e ˆ e continu dont les valeurs sont nulles a tout instant sauf a ` `pour repr´ senter des syst` mes a temps discret, mono en- e e ` certains instants p´ riodiquement r´ partis. Soit T 0 cette e e !tr´ e mono sortie. Dans un premier temps, ces mod` les e e p´ riode qui peut etre quelconque a ce stade. Dans certains e ˆ `sont pr´ sent´ s dans leur g´ n´ ralit´ . Une attention parti- e e e e e cas T est appel´ e la cadence du signal. Le signal a temps e `culi` re est ensuite port´ e aux syst` mes a temps discrets e e e ` discret peut etre confondu par analogie avec le signal a ˆ `obtenus par echantillonnage, en vue de la commande par ´ temps continu suivant :calculateur, de syst` mes a temps continu. e ` ¢ £  " ¤   n #$ ¨ ¤ %% x t (§ &  ¦ xk si t kT : k  ) t ¥ %% x t 0 sinon `1.1 Signal a temps discret (§ & ¦ Nous verrons par la suite que cette repr´ sentation cor- e1.1.1 Introduction respond a la mod´ lisation du processus d’´ chantillonnage. ` e e L’Automatique des syst` mes a temps continu repose e `sur une repr´ sentation math´ matique des echanges d’´ ner- e e ´ e 1.1.2 D´ finition de la transform´ e en z e egies, de forces, d’informations en tant que fonctions du La transform´ e de Laplace pour les signaux continus etemps a valeurs r´ elles (´ventuellement espace vectoriel ` e e   s’´ crit : ede ) : £  ¡ ¢ ¢ ¤   n ∞ pt ¤ X p 032§ ¦ 10(§ ¦ 4      xt xt e5 § ¦ dt t ¥ xt § ¦ 0Cette repr´ sentation ne tient pas compte de l’ensemble e D` s lors, avec ce qui pr´ c` de il est possible de d´ finir la e e e edes r´ alit´ s des echanges de signaux rencontr´ s en pra- e e ´ e transform´ e de Laplace d’un signal discret a la donn´ e e ` etique. En particulier, l’emploi accru de calculateurs nu- d’une p´ riode T : em´ riques conduit a consid´ rer des signaux, dit a temps e ` e ` ¢ ∞discret, qui n’admettent des valeurs qu’a certains instants pt X p 4 32§ ¦ & 6£§ ¦ &      x t x t e 5 § ¦& dtr´guli` rement espac´ s. Math´ matiquement ils sont repr´ - e e e e e 0sent´ s par des suites : e En ce cas, le signal X etant non nul que pour certaines ´ & ¨ ©¡ ¤   valeurs discr` tes du temps on trouve : e n ¤ ¢ ∞ k xk ∑ xk e ¥ pkT X p  £§ ¦ & 5Sans entrer dans les d´ tails, notons que les outils math´ - e e k 0 matiques associ´ s aux suites sont aussi riches que ceux e C’est a partir de ce r´ sultat que la transform´ e en z des ` e eemploy´ s dans le cas de fonctions. Un grand nombre de e signaux discrets a et´ propos´ e. ´e enotions primordiales ont leur equivalent telles que l’in- ´t´gration ( tT 0 ) qui correspond dans le cas de s´ quences e e On appelle transform´ e en z de la s´ quence xk k N la e e 7 9 8   s´ rie enti` re d´ finie par : e e ediscr` tes a l’op´ rateur somme (∑N 0 ), et la transform´ e e ` e k  ede Laplace ( x t § ¦    X p ) dont l’´ quivalent discret ap- e§ ¦ ¢ ∞pel´ e transform´ e en z ( xk e e X z ) est d´ crite dans ce     e § ¦ X z @0£§ ¦ 7   xk  3 8 ∑ xk z 5 k k 0 qui suit. Il est possible sous certaines hypoth` ses de repr´ senter e e Des exemples de transform´ es en z fr´ quemment utili- e eles signaux a temps discret comme des signaux a temps ` ` s´ es sont donn´ es dans le tableau 1.1 de la page 5. e e 1
  • 8. 2 ` ` ` CHAPITRE 1. MODELES DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET1.1.3 Propri´ t´ s de la transform´ e en z ee e – Th´ or` me de la sommation e e Pour les signaux a temps continu on parle de th´ o- ` e La transform´ e en z est une simple variante de la trans- e r` me de l’int´gration et il s’´ crit : e e eform´ e de Laplace et elle conserve ses propri´ t´ s a quelques e ee ` t 1modifications pr` s. Voici les principales propri´ t´ s : e ee 4 U T f τ dτ§ ¦  WV F p § ¦ 0 p – Lin´ arit´ e e Pour les signaux a temps continu on rappelle que : ` Pour les signaux a temps discret on a : `   αf t A B§ ¦ βg t C2§ ¦  α f t C2§ ¦  A  β gt 2§ ¦    k z z De mˆ me, on a pour la transform´ e en z : e e aY `X ∑ fl  db c z G 1 Q1 7 fk  8 z G 1 F z § ¦ l 0  7 1  α fk A 8 β gk7  8 α @ 7 fk A C 8 β @ 7 gk 8 – Th´ or` me de la valeur initiale e e La valeur initiale d’un signal a temps continu se d´ - ` e – Produit de convolution duit de sa transform´ e de Laplace comme suit : e La transform´ e de Laplace du produit de convolu- e tion f g t d´ fini par : § E§ D ¦ ¦ e f 0  (§ ¦ lim f t  g§ ¦ lim pF p § ¦ t f e 0 p ∞ e t t f g t 4 F§ E§ D ¦  ¦ f τ gt G ¦ § ¦ τ dτ § 4  f t G ¦ τ g τ dτ § ¦ § La version discr` te de ce th´ or` me est donn´ e par : e e e e 0 0 est donn´ e par : e f0  lim F z § ¦ z e ∞ 32§ E§ D H   ¦ ¦ f g t F p G p § ¦ § ¦ Dans le cas des signaux a temps discret la convolu- ` – Th´ or` me de la valeur finale e e tion se d´ finit par : e Si pF p est une fraction rationnelle dont les racines § ¦ du d´ nominateur sont a partie r´ elle n´gative alors le e ` e e ¤ k k signal f t converge pour t § ¦ ∞ et on a : A f g  § D ¦ k ∑ f l gk  5 l ∑ fk 5 l gl l 0  l 0 lim f t  (§ ¦ lim p F p § ¦ t e ∞ p 0 e et sa transform´ e en z est : e De mˆ me, si z z 1 F z est une fraction rationnelle e 5 § ¦  F 8 D @1 7 f g k F z Gz § ¦ § ¦ dont les racines du d´ nominateur sont dans le cercle e ¤ unit´ alors le signal f k converge pour r e ∞ et on A – Th´ or` me du retard e e a: On d´ signe par f t a le signal identique a f t e ` G ¦ § § ¦ z 1 G lim f k lim F z  § ¦ mais retard´ de la dur´ e a. On a : e e k ∞ z 1 z e e ap ap G ¦   f t a F2§   e 5 § ¦ 1   f t e 5 F p§ ¦ 1.1.4 Exemples de transform´ es en z e De mˆ me, si f k l est le signal a temps discret f k re- e ` tard´ de l p´ riodes : e e 5 Exemple 1.1 Soit le signal discret tel que : @ 7 fk  8 5 z l @ 5 7 fk  3 8 z lF z § ¦ l 5 δ0  1 i Uh k p 0 δk  0 1 Ce r´ sultat permet de signaler que l’op´ rateur z e e 5 s’apparente a l’op´ rateur “retard d’une p´ riode”. ` e e Le calcul de sa transform´ e en z est relativement direct. e En appliquant la d´ finition on trouve : e – Th´ or` me de l’avance e e ¢ ∞ ∑ δk z Si f k l correspond au signal f k avanc´ de l p´ riodes ¢ e e Q1 7 δk  3 8  5 k δ0 z0  1 et tel que f j 0 pour tout j 0, alors on a la relation  I k 0  suivante : Remarque : Le signal δk d´ finit ici est usuellement d´ si- e e @ 7 fk  3 8 ¢ l zl Q1 P 7 fk G R 8 ∑l 0 f i z i i 1 5 S 5 gn´ sous l’appellation de l’impulsion unitaire ou encore e dirac. Sa transform´ e en z vaut 1. e q
  • 9. ´ ´1.2. SIGNAL ECHANTILLONNE 3Exemple 1.2 l’´ nonc´ du th´ or` me de la valeur finale. En effet, z z 1 F z e e e e 5  ‚§ ¦ z 1 A partir de l’exemple pr´ c´ dent et des propri´ t´ s de la e e ee z a est une fraction rationnelle dont la racine unique du 5transform´ e en z les relations suivantes sont obtenues. e 5 d´ nominateur est a. Dire que cette racine est dans le disque e Premi` rement consid´ rons le dirac retard´ : e e e unit´ reviens a a e ` I 1. La limite de la suite se calcule ƒ  alors comme suit : fh  1 i rh k p h fk  0 z G 1 lim ak  lim  0On remarque que f k  δk h, donc d’apr` s le th´ or` me du e e e k ¢ e ∞ z e 1z G aretard : 5 q @ 7 fk Q103 8 7   δk  F 8 5 h z h Q1 5 7 δk  3 8 z 5 hConsid´ rons maintenant un signal du type echelon : e ´ ´ 1.2 Signal echantillonn´ e i k s 0 ek  1 1.2.1 IntroductionOn remarque que ek  ∑k j  0 δk , donc d’apr` s le th´ or` me e e ede la sommation : Ce cours s’intitule “Commande Num´ rique des Proc´ - e e k d´ s” car l’objet principal concerne l’utilisation de calcu- e z z @ 7 ek @tF 8 7   ∑ δk  8 z G 1 @ 7 δk  3 8 z G 1 lateurs num´ riques utilis´ s en temps r´ el pour comman- e e e j 0  der, piloter, guider... des proc´ d´ s physiques qui par es- e e sence sont le plus souvent a temps continu. La probl´ - ` ePrenons en suivant le signal du type rampe : matique est alors de repr´ senter les interactions entre des e i k s 0 rk  k signaux physiques mod´ lis´ s par des fonctions avec des e e signaux assimilables par des calculateurs num´ riques qui eIl est possible de constater que rk ek ∑k 0 ek , donc j G r A  se pr´ sentent sous forme de suites. een combinant la lin´ arit´ de la transform´ e en z et le th´ o- e e e e Sans entrer dans les d´ tails du fonctionnement des dif- er` me de la sommation on trouve : e f´ rents el´ ments, la commande par calculateur, ou pro- e ´e k cesseur, d’un proc´ d´ n´ cessite la mise en œuvre d’un e e e Q1 7 rk @1wvu 8 7  G  ek @x 8 7  A ∑ ek 8 certain nombre d’´ l´ ments (figure 1.1) : ee j 0  z @1wv 7  G ek A  8 @1 7 ek 8 – un actionneur, ou organe de commande qui re¸ oit c z G 1 les ordres du processeur a travers un convertisseur ` z yr G¦ 1 A @y§ 7  ek 8 num´ rique-analogique, e z 1 G 1  ek @ 7 8 z 1 G – un capteur, ou organe de mesure qui transmet au pro- z cesseur les informations recueillies sur le proc´ d´ , a e e `  z 12 G ¦ § travers un convertisseur analogique-num´ rique. e qExemple 1.3 Consid´ rons le signal suivant : e Action- u t § ¦ yt § ¦ Proc´ d´ e e Capteur neur i k s 0 fk  akPar d´ finition, sa transform´ e en z se calcule comme suit : e e ¢ ∞ ¢ ∞ ¢ ∞ CAN CNA @1 7 fk  8 ∑ fk z  5 k ∑ ak z k  5 ∑ a z § € ¦ k uk yk k 0  k 0  k 0  ProcesseurIl s’agit d’une s´ rie g´ om´ trique connue : e e e 1 z F z @0(§ ¦ 7   fk  F 8  1 a z G € z G a F IG . 1.1 – Structure g´ n´ rale d’une commande de pro- e e c´ d´ par calculateur e eLa limite de la suite ak est tr` s bien connue. Elle existe euniquement si a 1. Cette condition correspond bien a I C  `
  • 10. 4 ` ` ` CHAPITRE 1. MODELES DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET1.2.2 Conversion analogique num´ rique e 1.2.3 Conversion num´ rique analogique e D’un point de vue mod´ lisation, l’ensemble capteur e Le processeur calculant la commande a appliquer au `convertisseur analogique-num´ rique peut etre assimil´ a e ˆ e` proc´ d´ travaille de mani` re s´ quentielle et g´ n` re des e e e e e eune prise d’´ chantillons de la sortie continue y t a p´ - e ` e § ¦ valeurs num´ riques uk avec la mˆ me p´ riode T que celle e e eriode fixe T (p´ riode d’´ chantillonnage ). Si l’on fait l’hy- e e qui a et´ choisie pour l’´ chantillonnage. L’op´ ration de ´e e epoth` se que le temps de codage est n´gligeable (´ chan- e e e conversion num´ rique-analogique la plus courante consiste etillonnage instantan´ ) et qu’il n’y a pas d’erreur de quan- e a produire un signal de commande u t en escalier a partir ` ` § ¦tification, on peut repr´ senter l’op´ ration de conversion e e des valeurs uk selon le sch´ ma de la figure 1.3. eanalogique-num´ rique selon le le sch´ ma de la figure 1.2. e e uk ut § ¦ yt § ¦ yk uk ut § ¦ yt§ ¦ yk B0 p § ¦ T 0 1 2 k CNA 0 1 2 k0 t CAN 0 1 2 k F IG . 1.3 – Convertisseur num´ rique-analogique e F IG . 1.2 – Convertisseur analogique-num´ rique e Le mod` le math´ matique que l’on associe alors a la e e ` Math´ matiquement, l’op´ ration d’´ chantillonnage peut e e e conversion num´ rique analogique est le bloqueur d’ordre eetre assimil´ e a la modulation du signal continu y t parˆ e ` § ¦ z´ ro dont la fonction de transfert B0 p peut etre facile- e ˆ § ¦un train d’impulsions unitaires de p´ riode T not´ δT (par- e e ment calcul´ e. En effet, c’est la transform´ e de Laplace e efois appel´ egalement peigne de Dirac) : e´ de sa r´ ponse impulsionnelle repr´ sent´ e sur la figure 1.4. e e e ¢ ∞ y t  (§ ¦ & y t δT t§ ¦ § ¦ δT t  (§ ¦ ∑δ t G ¦ kT § δt § ¦ k 0 Il vient : 1 1 ¢ ∞ ¢ ∞ B0 p § ¦ y t  (§ ¦ & ∑y t δt G ¦ § ¦ kT  (§ ∑ yk δ t G ¦ kT § k 0  k 0  0 t CNA 0 T to` y t est un signal a temps continu egal a y t aux u § & ¦ ` ´ ` § ¦instants t kT et z´ ro ailleurs et o` yk y kT est la  e u  ¦ § F IG . 1.4 – Bloqueur d’ordre z´ ro evaleur de l’´ chantillon de y t a l’instant kT . Le signal e ` § ¦echantillonn´ est repr´ sent´ par la s´ quence des valeurs´ e e e e La r´ ponse impulsionnelle du bloqueur d’ordre z´ ro e ey kT mesur´ es avec la p´ riode T : ¦ § e e est de la forme : y kT yk Γt Γt ¦ 7 7 …8 § „ 8 G F§ ¦ G ¦ T § L’´ chantillonnage conduit a une perte d’information au e ` o` Γ t repr´ sente l’´ chelon de position unitaire. Il vient u § ¦ e eregard du signal continu. Cette perte d’information est donc :d’autant plus grande que la fr´ quence f 1 T est pe- e  € 1 e Tp 1 e Tp 5 G 5tite. Id´ alement il faudrait donc echantillonner a une fr´ - e ´ ` e B0 p  (§ ¦ G  p p pquence infinie, cependant, le choix de la p´ riode d’´ chan- e etillonnage d´ pend du type de proc´ d´ et des possibilit´ s e e e eoffertes par les outils num´ riques. En tout etat de cause, e ´l’´ chantillonnage doit respecter le th´ or` me de Shannon e e equi pr´ cise que la fr´ quence d’´ chantillonnage f 1 T e e e  €doit etre au moins egale a deux fois la plus grande fr´ - ˆ ´ ` equence contenue dans le spectre du signal que l’on veutechantillonner.´ Le tableau 1.1 de la page 5 donne une collection designaux continus classiques ainsi que leurs transform´ esede Laplace et leurs repr´ sentations apr` s echantillonnage. e e ´
  • 11. ´ ´1.2. SIGNAL ECHANTILLONNE 5 Transform´ e de Laplace e Signal continu Signal echantillonn´ ´ e Transform´ e en z e F p  § ¦ 0(§ ¦    f t f t § ¦ fk F z  1t†§ ¦    fk 1 δt § ¦ f0  1 i Uh k p 0 fk  0 1 e 5 ap δt G ¦ a § e 5 hT p δt G ¦ hT § fh  1 i Uh k p h fk  0 z 5 h 1 z Γt § ¦ 1 p z G 1 1 z t kT T p2 z G ¦ 1 § 2 2 zz 1 A ¦ § t2 k2 T 2 T2 p3 z 13 § G ¦ 1 at akT z e 5 e 5 aT p A a z G e 5 1 T ze aT te at kTe akT 5 2 5 5 aT 2 p A ¦ a § z e G ¦ 5 § b a G ze aT e bT e at G e bt e akT G e bkT 5 ¦ G 5 § 5 5 5 5 aT bT p a p b A ¦ A E§ ¦ § z e 5 G ¦ G ‡§ ¦ z e 5 § z ak z G a k z § y¦ G a z A a a at akT z 1 e aT G ¦ 5 § 1 G e 5 1 G e 5 aT p p a A ¦ § z 1 z e G ¦‡§ G ¦ 5 § ω z sin ωT sin ωt sin ωkT p2 A ω2 z2 G 2z cos ωT A 1 p z z cos ωT G ¦ § cos ωt cos ωkT p2 A ω2 z2 G 2z cos ωT 1 A TAB . 1.1 – Signaux echantillonn es et leurs transform´ es de Laplace ´ ´ e
  • 12. 6 ` ` ` CHAPITRE 1. MODELES DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET `1.3 Syst` me a temps discret e de la transformation de Laplace a son equation diff´ ren- ` ´ e tielle, on peut associer a un syst` me a temps discret, une ` e ` Un syst` me a temps discret se d´ finit comme un op´ - e ` e e fonction de transfert en z, par application de la transfor-rateur entre deux signaux a temps discret. Consid´ rons le ` e mation en z a son equation r´ currente (cf. Transforma- ` ´ esyst` me repr´ sent´ sur la figure 1.5, o` uk repr´ sente le e e e u e tion en z dans la section 1.1.2). Sous l’hypoth` se que les eterme g´ n´ ral de la s´ quence d’entr´ e et yk le terme g´ - e e e e e conditions “initiales” sont nulles (y0 y1 yn 1  ˜‰‰— –––  5n´ ral de la s´ quence de sortie. Un mod` le entr´ e-sortie, e e e e u0 u1  5 um 1 0) il vient la relation suivante : ‰‰U ––– appel´ aussi mod` le externe, ne fait intervenir que les va- e e a0 A ¦ a1 z an 1 zn 1 an zn Y zriables d’entr´ e uk et de sortie yk . e 5 ‘‰‰6A A– – – A 5 § ¦ § A’‰–‰–6A – A U¦ b0 b1 z bm 1 zm A 5 1 bm zm U z § ¦ § 7 uk 8 7 yk 8 5 Syst` me e soit encore : N z § ¦ Y z  (§ ¦ U z § ¦ Dz § ¦ F IG . 1.5 – Syst` me a temps discret e ` avec : Nous allons aborder dans ce cours deux types de mo- N z b0 b1 zA ‘‰•A A– –– bm 1 zm 1 A 5 bm zmd` les externes, compl´ mentaires l’un de l’autre, que sont e e Dz  dd ™™ Gz  £§ ¦ 5 a0 a1 z A ‘‰‰6A A– – – an 1 zn 1 A 5 an znles equation r´ currentes et les fonctions de transfert. ´ e 5 qui est d´ finie comme la fonction de transfert en z du e1.3.1 Equation r´ currente e syst` me. e Dans le cas g´ n´ ral o` les condition initiales sont non e e u La mod´ lisation initiale d’un syst` me a temps discret e e ` nulles la repr´ sentation en z du syst` me s’´ crit plus exac- e e econduit souvent a l’´ criture d’une equation r´ currente entre ` e ´ e tement :diff´ rents termes des s´ quences d’entr´ e et de sortie. La e e e N z I z § ¦ § ¦ Y z U z  (§ ¦ A B§ ¦forme g´ n´ rale d’une equation r´ currente lin´ aire peut e e ´ e e Dz Dz § ¦ § ¦etre donn´ e par :ˆ e o` le polynˆ me I z ne d´ pend que des conditions ini- u o e § ¦ tiales. Il influe sur la sortie du syst` me sans modifier le e an yk A ¢ n an 1 yk A ¢ ‘‰6A 5 ¢ 5 Aˆˆ ˆ n 1 a1 yk 1 a0 yk comportement dˆ au signal d’entr´ e U z . u e § ¦  bm uk ’‰‰6A 5 ¢ 5 Aˆˆˆ m A ¢bm 1 uk m 1 b1 uk A ¢1 b0 uk La factorisation du num´ rateur et du d´ nominateur conduit e e a la forme pˆ les, z´ ros, gain suivante : ` o e (1.1)Par hypoth` se an 0 et n est appel´ l’ordre du syst` me. e ep e bm z z1 z G ¦ G E§¦ z2 G 2‰‚§ ¦––– z zm §Le syst` me est dit causal si les sorties d´ pendent unique- e e Gz  (§ ¦ an z p1 z G ¦ G E§ ¦ p2 G y‰‚§ ¦––– z pn §ment des ev` nements pass´ s. Pour cela il doit obligatoi- ´ e erement v´ rifier m n. Dans ce cas, il est possible d’´ crire e “ e avec :l’algorithme qui d´ termine la sortie du syst` me a la don- e e ` bmn´ e des entr´ es/sorties pr´ c´ dentes: e e e e pi  1 ge efff n : pˆ les o zj  1 efffe m : z´ ros e k  : gain an an yk G U an 1 yk 2‰‰”G 5 5 Gˆˆˆ 1 a1 yk G 5 5 n 1 a0 yk n Par d´ finition les pˆ les du syst` me sont les racines du e o e 5 (1.2) A bm uk ‘ˆ‰•A 5 ¢ A ˆˆ m n b1 uk A 5 5n 1 b0 uk n polynˆ me d´ nominateur et les z´ ros du syst` me sont les o e e e 5 racines du polynˆ me num´ rateur. Les uns et les autres o eCette formulation de l’´ quation r´ currente est bien adap- e e sont par d´ faut des nombres soit r´ els soit complexes. e et´ e au calcul num´ rique. C’est la forme sous laquelle se- e e Certains auteurs pr´ f` rent une formulation en z 1 de ee 5ront pr´ sent´ s les algorithmes de commande des proc´ - e e e la fonction de transfert. On peut l’obtenir a partir de la `d´ s. Le syst` me est enti` rement d´ fini et l’´ quation r´ - e e e e e e formulation en z comme suit :currente peut etre r´ solue si l’on pr´ cise les conditions ˆ e e“initiales” : y0 y1 yn 1 u0 u1 um 1 . 1 bm 1 m h h 5 ‘‰‰h h– –– h ’‰‰‰h h––– bm m n A & 1z ‘‰•A 5 Aˆ ˆˆ b0 z 5 & 5 Gz  (§ ¦ z 5 5 1 n (1.3) an 1 an A & 1z A‘‰•A 5 ˆˆˆ a0 z 5 & 51.3.2 Fonction de transfert en z avec les notations suivantes : De la mˆ me mani` re que l’on associe a un syst` me a e e ` e ` bj aitemps continu, une fonction de transfert, par application bj  & ai  & bm an
  • 13. ` ´ ´1.4. SYSTEME ECHANTILLONNE 7Elle correspond a l’´ quation (1.2) par opposition a (1.1). ` e ` a temps discret obtenu a la donn´ e du mod` le continu du ` ` e eSon int´ rˆ t est de repr´ senter le syst` me au plus pr` s de ee e e e proc´ d´ . e esa r´ alit´ physique dans le sens o` z 1 repr´ sente l’op´ - e e u 5 e e Avant cela il est important de revenir sur le choix derateur “retard” qui est physiquement r´ aliste tandis que z e la p´ riode d’´ chantillonnage. Le th´ or` me de Shannon e e e esuppose de pr´voir les instants futurs. Bien entendu, les e pr´ cise que la fr´ quence d’´ chantillonnage f 1 T doit e e e  €formulations en z et z 1 sont equivalentes. L’´ criture (1.3) 5 ´ e etre au moins egale a deux fois la plus grande fr´ quence ˆ ´ ` efait apparaˆtre non seulement le gain, les pˆ les, les z´ ros ı o e contenue dans le spectre du signal que l’on veut echan-´mais egalement un retard pur zm n entre une excitation en ´ 5 tillonner. . Ce r´ sultat est exploitable uniquement a la e `entr´ e du syst` me et son effet sur la sortie. e e donn´ e d’un signal. Cependant, le signal de sortie d’un e Notons egalement que, comme dans le cas des sys- ´ syst` me y t n’est pas connu dans la probl´ matique consi- e § ¦ et` mes a temps continu, le d´ nominateur de la fonction e ` e d´ r´ e. eede transfert est appel´ egalement polynˆ me caract´ ris- e´ o e Le v´ ritable probl` me envisag´ est celui de l’´ chan- e e e etique du syst` me. Son degr´ n correspond a l’ordre du e e ` tillonnage en sortie d’un proc´ d´ dont on connaˆt, par e e ısyst` me et ses racines sont les pˆ les du syst` me : e o e exemple, sa fonction de transfert mais la sortie du sys- t` me est inconnue car elle d´ pend du signal d’entr´ e u t e e e § ¦ an zn an 1 zn 1 ’‰‰6A 5 5 A Aˆˆˆ a1 z A a0 qui n’est pas pr´ cis´ . La m´ thode consiste alors a analy- e e e `  an z p1 z G 2––‰‚§ G ‡§ ¦ – ¦ G ¦ p2 z pn § ser les fr´ quences transmises par le syst` me. En tra¸ ant le e e c diagramme de Bode il est possible de d´ terminer la fr´ - e e quence de coupure f c du syst` me et donc d’indiquer que e e ´1.4 Syst` me echantillonn´ e toutes les fr´ quences sup´ rieures a f c dans le spectre du e e ` signal de sortie seront att´ nu´ es. e e1.4.1 Introduction Th´ or` me 1.1 En pratique, il est recommand´ de choi- e e e Comme nous l’avons vu dans la section 1.2, la com- sir la fr´ quence d’´ chantillonnage dans une fourchette de e emande par calculateur, ou processeur, d’un proc´ d´ n´ - e e e l’ordre de 6 a 24 fois la fr´ quence de coupure du proc´ d´. ` e e ecessite la mise en œuvre de conversions num´ rique-analogique eet analogique-num´ rique (voir figure 1.1). La mod´ lisa- e e Exemple 1.4tion conduit donc a consid´ rer simultan´ ment dans la boucle e eun (ou plusieurs) organes a temps continu et un (ou plu- ` Ainsi, pour un proc´ d´ d’ordre 1 : e esieurs) el´ ments a temps discret. Alors qu’il est mal ais´ ´e ` e 1de faire l’analyse des syst` mes a temps discret en tant que e ` G p  (§ ¦ 1 A τpsyst` mes a temps continu dont les entr´ es sorties sont non e ` enulles uniquement par instants, la d´ marche inverse se r´ - e e la fr´ quence de coupure est f c 1 2πτ . La fr´ quence e e  ¦ F€ §v` le etre tr` s riche. e ˆ e d’´ chantillonnage f 1 T sera choisie telle que : e  € Ainsi, l’analyse d’un syst` me command´ par calcu- e elateur num´ rique passe par la d´ finition d’un syst` me a e e e ` 6 1 24 I Itemps discret, comprenant le proc´ d´ command´ de na- e e e 2πτ T 2πτture g´ n´ ralement continue, et les convertisseurs num´ rique- e e e soit approximativement :analogique et analogique-num´ rique, que l’on peut res- epectivement assimiler au bloqueur d’ordre z´ ro et a l’´ chan- e ` e τ I T I τtillonneur, selon le sch´ ma de la figure 1.6. e 4 q uk ut § ¦ yt § ¦ yk Exemple 1.5 Consid´ rons cet autre syst` me : e e B0 p§ ¦ Proc´ d´ e e T p 1 G G p  (§ ¦ p3 A 2p2 A 10 25p ˆ A 9 25ˆ F IG . 1.6 – Proc´ d´ echantillonn e e e´ ´ Son diagramme de Bode est donn´ sur la figure 1.7. e La fr´ quence de coupure est approximativement de ωc e  5rad s ou encore f c ωc 2π. Le crit` re de Shannon im- €  e € Les mod` les entre uk et yk sont du type de ceux pr´ sen- e e pose donc de choisir :t´ s pr´ c´ demment. La suite de cette section s’int´ ressera e e e eau techniques de d´ termination du mod` le echantillonn´ e e ´ e 2π 24 5 ¦ F€ I (§ D T I 2π 6 5 h i§ D F€ ¦ 0 05 ˆ I T I 02 ˆ
  • 14. 8 ` ` ` CHAPITRE 1. MODELES DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET 0 Bode Diagram que l’´ chantillonnage est tr` s dense en comparaison des e e −10 dynamiques observ´ es. Tout echantillonnage plus rapide e ´ −20 demanderait des vitesses de capacit´ de traitement non e Magnitude (dB) −30 n´ cessaires. e −40 −50 Impulse Response 0.2 −60 −70 0.15 −80 180 0.1 90 0.05Phase (deg) 0 Amplitude 0 −90 −0.05 −180 10 −2 10 −1 10 0 1 10 2 10 −0.1 Frequency (rad/sec) −0.15 F IG . 1.7 – Diagramme de Bode du proc´ d´ e e −0.2 −0.25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Nous choisissons T 0 2s pour observer le comporte-  ˆ Time (sec) ment quand l’´ chantillonnage implique la plus grande perte e d’information. L’effet de cette p´ riode d’´ chantillonnage e e F IG . 1.9 – Sorties a temps continu et echantillonn ees ` ´ ´ est observ´ e sur des exemples de signaux en sortie du e syst` me. Nous avons trac´ deux telles r´ ponses sur la e e e q figure 1.8 pour une entr´ e impulsionnelle et une entr´ e e e en echelon. On observe que la p´ riode d’´ chantillonnage ´ e e rend correctement compte de la r´ alit´ du signal a temps e e ` ´ 1.4.2 Fonction de transfert echantillonn´ e e continu. Il n’y a pas de perte significative de l’informa- tion contenue dans le signal. Dans cette sous-section, la m´ thode de calcul qui per- e met a la donn´ e d’une fonction de transfert d’un syst` me ` e e 0.2 Step Response a temps continu de d´ duire le mod` le en z du syst` me ` e e e a temps discret obtenu par echantillonnage est expos´ e. ` ´ e 0.15 Elle se r´ sume au th´ or` me suivant. e e e 0.1 Th´ or` me 1.2 Soit un proc´ d´ continu mod´ lis´ par e e e e e e 0.05 une fonction de transfert Gc p . Ce proc´ d´ , echantillonn e e e ´ § ¦ ´ suivant le sch´ ma de la figure 1.6 admet une fonction de eAmplitude 0 transfert en z telle que: −0.05 z G 1 Gc p § ¦ −0.1 Gz § ¦ j0(§ ¦    G p Bo p F2§ ¦   T  V z p −0.15 −0.2 −0.25 Avant de proc´ der a la preuve de ce r´ sultat il convient e ` e 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Time (sec) de d´ tailler l’´ criture H p o` H p est une fonction e e u  § ¦   § ¦ de transfert d’un syst` me continu. Cette notation recouvre e F IG . 1.8 – Sorties a temps continu et echantillonn ees ` ´ ´ l’op´ ration suivante: e ¤ 1 T¤ ¤ Les observations peuvent egalement se faire avec T ´  H p †x§ ¦ l kG htG § ¦ hk m G H z§ ¦ 0 05s, quand l’´ chantillonnage devient elev´ au regard ˆ e ´ e des fr´ quences non-att´ nu´ es par le syst` me. Pour ce cas e e e e A la donn´ e d’une fonction de transfert H p il convient e § ¦ nous avons fait un grossissement des premiers instants en premier lieu de calculer sa r´ ponse impulsionnelle h t , e § ¦ des r´ ponses du syst` me (voir figure 1.9). On constate e e puis d’´ chantillonner ce signal, hk e h kT , et enfin 7 ¦ 7 …8 „ 8§
  • 15. ` ´ ´1.4. SYSTEME ECHANTILLONNE 9de calculer sa transform´ e en hk e H z . Cette pro-  n§ 1 ¦ § ¦ uk 1 ykc´ dure est d´ taill´ e par la suite sur des exemples et un e e e B0 p § ¦ p p 1 A ¦ § Ttableau de conversion est fourni (tableau 1.2 page 10). Preuve du th´ or` me 1.2 e e Appelons u t le signal a temps continu constitu´ des § o&¦ ` e F IG . 1.10 – Syst` me echantillonn e e ´ ´ xechantillons uk u kT du signal de commande et qui´  ¦ §vaut z´ ro partout ailleurs : e ¢ ∞ u t  (§ ¦ & ∑ uk δ t G ¦ kT § k 0  Exemple 1.6La transform´ e de Laplace de ce signal s’´ crit: e e Consid´ rons le syst` me echantillonn´ repr´ sent´ sur la e e ´ e e e figure 1.10 et pour lequel on veut calculer la fonction de ¢ ∞ ¢ ∞ transfert en z. U p 4 (§ ¦ &  0 u t e 5 § ¦& pt dt  ∑ uk e 5 kT p La fonction de transfert continue etant : ´ k 0  1Par d´ finition des fonctions de transfert les signaux conti- e Gc p  (§ ¦ p p 1 A ¦ §nus U p et Y p v´ rifient: § ¦ e § ¦ la fonction de transfert echantillonn´ e est donn´ e par : ´ e e U p  (§ ¦ B0 p U p § ¦& § ¦ Y p  (§ ¦ Gc p U p§ ¦ § ¦ z G 1 Gc p § ¦Ainsi en posant H p Gc p B0 p : Gz 1t£§ ¦    B0 p Gc p § ¦  § ¦  T v V  (§ ¦ § ¦ § ¦ z p ¢ ∞ avec la d´ composition en el´ ments simples suivante: e ´e Y p  (§ ¦ H pU p  (§ ¦ & § ¦ ∑H § ¦ p uk e 5 kT p k 0  Gc p§ ¦ 1 G 1 1 1   r A Ace qui en appliquant le th´ or` me du retard donne : e e p p2 p 1 A ¦ § p p2 p A 1 1 En utilisant le tableau 1.1, il vient : yt  2§ ¦  5 ¢ qp§ ¦   Y p ∞ z G 1 z Tz z 5 § ¦ s r5 ∑  1 H pe kT p t uk Gz  £§ ¦ z GT z G 1 A z 1 G ¦ § 2 A z e G 5 T V ¢ k 0 ∞ § G ¦ ∑h t  kT uk soit : "yy  k 0 T K  e 5 G 1 A Tavec h t  2§ ¦  5 uF§ ¦   1 H p . Apr` s echantillonnage, yl e ´  y lT , ¦ § Gz  (§ ¦ K z b G ¦ § $y # a  e 5 T y T 1 e Tle signal a temps discret de sortie v´ rifie donc: ` e z 1 z a G ¦ G E§ ¦ § G ¦ § 5 b  1 G e T 1 T G 5 A ¢ ∞ yl  ∑ hn 5 k uk Application num´ rique : e k 0  Soit T 1s. Il vient : qui est la convolution discr` te des s´ quences uk et hk . e e 7 8 7 8 z 0 7183 A ˆ Gz £§ ¦ 0 3679 ˆIl vient donc Y z G z U z avec :  †§ ¦ § ¦ § ¦ z G ¦ 1 z 0 3679 G ‡§ ¦ ˆ § Gz 1t32§ ¦ 10(§ ¦        H p Gc p B0 p § ¦  2§ ¦ qEn introduisant l’expression de la fonction de transfert dubloqueur d’ordre z´ ro : e e ´ 1.4.3 Propri´ t´ s du mod` le echantillonn´ ee e Tp Suite aux formules du tableau 1.2 de la page 10 qui 1 G e 5 Gz T 0(§ ¦   Gc p V§ ¦ permettent de d´ terminer le mod` le a temps discret d’un e e ` p syst` me continu echantillonn´ , nous pouvons mettre en e ´ eLes propri´ t´ s des transformations de Laplace et en z per- ee avant quelques propri´ t´ s fondamentales de cette op´ ra- ee emettent d’´ crire : e tion : 1 Gc p § ¦ z G 1 Gc p § ¦ – Un syst` me lin´ aire continu reste lin´ aire apr` s echan- e e e e ´ GzG U(§ ¦ ¦  1 z vy§ 5 T   wV T v V tillonnage. p z p
  • 16. 10 ` ` ` CHAPITRE 1. MODELES DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET Syst` me continu e D´ composition en elt. simples e Transform´ e en z e Syst` me echantillonn´ e ´ e Gc p § ¦ Gc p § ¦ Gc p § ¦ T  V Gz 0£§ ¦    Gc p B0 p § ¦  2§ ¦ p p 1 z 1 1 p z G 1 1 1 Tz T p p2 z 1 G ¦ § 2 z G 1 b b a € b a € b z b z b 1 e G aT G G – 5 p A a p p a A az 1 G az G e aT a z e G aT 5 5 b1 p A b0 b0 b1 τb0 G b0 z ¦ b1 τ b0 z G € § b1 τ z G ¦ € 1 b0 1 G ¦ ‚§G e § z 5 T τ A A τp A 1 p τp 1 A z 1 G z e T τ G z 5 z e T τ z 5 G 1 G τ 1 τ2 Gτz Tz τz τe T τ G z 5 ¦ τ A T z τ A § A ”G ¦τ T τ z 5 § T e A A A A p τp 1 ¦ A § p p2 τp 1 A z 1 G G ¦ z 1 § 2 z G e T z 5 τ z G ¦ 1 z e G E§ ¦ § T τ z 5 p1 p2 p ¦ G § 1 1 z z ¦ e p1 T e p2 T z 1 G G E§ ¦ § G G G ¦ p p1 p p2 G E§ ¦ § p G p1 p G p2 z G e p1 T z G e p2 T z e p1 T z e p2 T G ¦ G ‡§ ¦ § Ab0 b1 z § z G ¦‡§ e p1 T z e p2 TG ¦ ¦p1 p2 p1 p2 G § p1 G p2 p2 p1 ¦ p1 G p2 z § p2 z p1 z b1 § G p2 p1 2p2 p1 e p1 T ¦6A G  A G A G p2 2p1 e p2 T G ¦ p p1 p p2 G E§ ¦ § p p p1 G p p2G z G 1 z e p1 TG z e p2 T G § G 6A¦ b0 d ¢ ™ § p1 p2 e p1 p2 T G r ¦ p1 e p2 T p2 e p1 T A A TAB . 1.2 – Calcul des fonctions de transfert des syst` mes echantillonn es e ´ ´
  • 17. 1.5. EXERCICES 11 – L’ordre du syst` me est conserv´ . e e Solution Pour commencer on peut remarquer que le syst` me e – Les pˆ les du syst` me echantillonn´ se d´ duisent des o e ´ e e ainsi d´ crit a une cadence T de un an. Cette cadence e pˆ les du syst` me continu comme suit: o e peut egalement s’interpreter comme une p´ riode d’´ chan- ´ e e pdi  e pci T i  i 1 ‘‰‰‰h hˆ ˆ ˆ n tillonnage si on consid` re que le proc´ d´ (´ levage) est en e e e e r´ alit´ continu (les vaches existent entre deux mesures). e e o` pci sont les pˆ les du syst` me continu, pdi les u o e La notion d’´ chantillonnage correspond au choix de comp- e pˆ les du syst` me echantillonn´ et T la p´ riode d’´ chan- o e ´ e e e ter les vaches une fois par an. tillonnage. 1. Les equations correspondant a l’´ nonc´ s’´ crivent : ´ ` e e e – La p´ riode d’´ chantillonnage T conditionne forte- e e ment le mod` le du syst` me echantillonn´ . e e ´ e x1k  f 1 0 8x2k 0 4x3k ˆ A ˆ x2k 1 x1k  f – L’´ chantillonnage du produit de deux fonctions de e x3k G 6A 1 ¦ x2k  f 1 0 3 x3k § ˆ A uk transfert n’est pas egal au produit de leurs mod` les ´ e yk A x1k x2k x3k A  echantillonn´ s respectifs. Cette derni` re remarque ´ e e est tr` s importante. Le calcul d’un syst` me echan- e e ´ 2. Pour obtenir la fonction de transfert on op` re la trans- e tillonn´ n’a de sens que s’il correspond a un transfert e ` form´ e en z sur ce syst` me d’´ quation en supposant e e e entre un bloqueur d’ordre z´ ro et un echantillonneur e ´ que les conditions initiales sont nulles : (voir l’exercice 1.3). zX1 z  (§ ¦ 0 8X2 z ˆ A B§ ¦ 0 4X3 z ˆ § ¦ zX2 z (§ ¦ X1 z § ¦1.5 Exercices zX3 z (§ ¦ X2 z A B§ ¦ ˆ 3§ ¦A 0 7X3 z U z § ¦Exercice 1.1 Y z  †§ ¦ X1 z § ¦ A B§ ¦ A B§ ¦ X2 z X3 z On souhaite mod´ liser l’´volution du cheptel d’un ele- e e ´ Si on remplace dans ces equations X1 z par zX2 z ´ § ¦ § ¦veur de bovins. Soit : on trouve : – x1k : le nombre de vaches de 1 an, z2 X2 z  £§ ¦ 0 8X2 z A 3§ ¦ ˆ 0 4X3 z ˆ § ¦ – x2k : le nombre de vaches de 2 ans, zX3 z  (§ ¦ X2 z § ¦ AB§ ¦ ˆ 3§ ¦ A 0 7X3 z U z Y z  †§ ¦ zX2 z § ¦ A B§ ¦ X2 z A B§ ¦ X3 z – x3k : le nombre de vaches de 3 ans et plus, On en d´ duite que X3 z e ˆ —†§ ¦ ¦  2 5z2 G 2 X2 z donc : § § ¦ces valeurs repr´ sentant des nombres moyens au cours de el’ann´ e k. e z 2 5z2 ˆ ¦ G 2 X2 z ˆ •3§ ¦ ¦ A  (§ ¦ § X2 z 1 75z2 § ˆ G 1 4 X2 z A 3§ ¦ U z § ¦ Les vaches de 1 an ne se reproduisent pas. Les vaches Y z (§ ¦ zX2 z G ˆ •3§ ¦ ¦ A X2 z A B§ ¦ 2 5z2 2 X2 z § ¦ §de deux ans produisent en moyenne 0 8 veau par an, celles ˆde trois ans et plus 0 4 veau par an. D’autre part, seules ˆ ce qui conduit aux equations suivantes : ´celles de trois ans et plus meurent de causes naturellesavec un taux moyen de 30 % par an. 2 5z3 G ˆ ¦ 1 75z2 ˆ § ˆ A G 2z 0 4 X2 z  £§ ¦ U z § ¦ Enfin l’´ leveur s’autorise a acheter ou vendre unique- e ` Y z ˆ ¦—†§ ¦  2 5z2 § ¦ § G A z 1 X2 zment des vaches de trois ans et plus. Soit uk le nombrede vaches achet´ es (uk 0) ou bien vendues (uk 0) au e ! I La fonction de transfert de ce syst` me est donc de la ecours de l’ann´ e k. e forme : 2 5z2 z 1 ˆ A G 1. Etablir les equations r´ currentes de ce syst` me en ´ e e Gz  (§ ¦ 2 ˆ 5z3 G 1 75z2 2z ˆ G A 04 ˆ prenant pour sortie yk le nombre total de vaches au cours de l’ann´ e k. e 3. L’´ quation r´ currente d´ crivant enti` rement l’´volu- e e e e e Y z § ¦ tion entr´ e/sortie du troupeau est donc obtenue en e 2. En d´ duire la fonction de transfert e . op´ rant la transform´ e inverse en z : e e U z § ¦ 3. En d´ duire l’´ quation r´ currente qui relie unique- e e e 2 5yk ˆ G ¢3 1 75yk ˆ G ¢2 2yk A ¢ 1 0 4yk ˆ ment les entr´ es et les sorties du syst` me. e e  2 5uk ˆ A ¢ 2 uk G ¢ 1 uk
  • 18. 12 ` ` ` CHAPITRE 1. MODELES DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET e2k e3 t | { T e4k + B0 p | { G1 p | { G2 p | { uk ut § ¦ yt § ¦ yk - B0 p § ¦ Proc´ d´ e e e1k T T H4 z | { + G3 p | { B0 p | { e7k e6k e5 t | { F IG . 1.11 – Proc´ d´ echantillonn e e e´ ´ F IG . 1.12 – Sch´ ma de trois syst` mes interconnect´ s et e e e r´gul´ s par H4 z e e § ¦Exercice 1.2 On consid` re le syst` me echantillonn´ repr´ sent´ sur e e ´ e e ela figure 1.11. Donner l’expression de la fonction de transfert de On suppose que la fonction de transfert du proc´ d´ est : e e ce syst` me, F z , avec comme entr´ e e1k et comme e e § ¦ H sortie mesur´ e e4k . e G p  (§ ¦ 1 A p 2. La p´ riode d’´ chantillonnage est de T e e 1s et les  fonctions de transfert sont donn´ e par les expres- e 1. Etablir les mod` les (´ quation r´ currente, fonction de e e e sions suivantes : transfert en z) de ce syst` me. e 1 2. Mˆ mes questions lorsque ce syst` me est boucl´ par e e e G1 p  (§ ¦ p un retour unitaire uk yck yk .  G 2 ln 2 1 2p G E§ ¦ ¦ A B§ 2pSolution G2 p  (§ ¦ p ln 2 § ¦ A 1. Mod` les du proc´ d´ : e e e ln 2 § ¦ G3 p  (§ ¦ – Equation r´ currente : e p ln 2 § ¦ A yk G ¢ e 5 T yk G U ¦ 1 e § 5 T Huk H4 z  £§ ¦ K 1 – Fonction de transfert en z : Donner l’expression de la fonction de transfert F z § ¦ en fonction de K. 1 e G T Gz  (§ ¦ H 5 z e G 5 T Solution 2. Mod` les du syst` me boucl´ : e e e 1. La premi` re chose a faire est d’identifier les trans- e ` – Equation r´ currente : e fert entres les diff´ rents bloqueurs et les echantillon- e ´ neurs. C’est uniquement entre ces deux op´ rateurs e T 1 A ¦ H yk G ¢ § 1 e 5 yk  Hyck que l’on peut d´ finir des syst` mes echantillonn´ s. Le e e ´ e premier transfert est donn´ par : e – Fonction de transfert en z : 1 e T e4 z § ¦ Gz H G 5 tt   B0 p G1 p G2 p § ¦ § ¦  § ¦  H5 z § ¦  (§ ¦ z A H A ¦”G 1 H e T e2 z § ¦ 5 § Ensuite du fait de la lin´ arit´ de la transform´ e en z, e e eExercice 1.3 on peut ecrire : ´ Soit les syst` mes interconnect´ s donn´ s par la figure e e e1.12. e6 z jq}§ ¦    B0 p G1 p e2 z § ¦  2§ ¦ jxB§ ¦   A B0 p G3 p e4 z § ¦  § ¦ § ¦  H1 z e2 z § ¦ A B§ ¦ H3 z e4 z § ¦ § ¦ 1. On pose les notations suivantes : Ainsi le syst` me se r´ ecrit comme indiqu´ sur la fi- e e´ e H1 zj6£§ ¦    B0 p G1 p § ¦  § ¦ gure 1.13. Et la boucle ferm´ e est donn´ e par : e e H2 zj6£§ ¦    B0 p G2 p § ¦  § ¦ e4  H5 e2 h e2  e1 G H4 H1 e2 G H4 H3 H5 e2 H3 zj6£§ ¦    B0 p G3 p § ¦  § ¦ Ce qui conduit a la fonction de transfert : ` H5 zj6£§ ¦    B0 p G1 p G2 p § ¦ § ¦  2§ ¦ e4 H5  F  e1 1 A H4 H1 H3 H5 ¦ A § H6 zj6£§ ¦    B0 p G1 p G2 p G3 p § ¦ § ¦ § ¦  2§ ¦
  • 19. 1.5. EXERCICES 13 e4k Le syst` me en boucle ferm´ e peut donc etre calcul´ : e e ˆ e H5 z | { e2k H5 z § ¦ + H1 z | { F z  }§ ¦ - A 1 H4 z H1 z H3 z H5 z ¦ ‡§ ¦ A 3§ ¦ § ¦ § ˜§ ¦e1k ˆ‰‰ ˆˆ 2 2z 1 § G ¦  H4 z | { + H3 z | { z G ¦ 1 2z ¦ E§ G 1 2 K 2z 1 2 § A § G ¦€¦ A § 2 e7k e6k 4z 2 G  4z3 ¦ •A 4K G 8z 2 5 4K z G ¦6A § G 6A § ¦ 3K 1 § F IG . 1.13 – Sch´ ma equivalent e ´ 2. Le calcul de F z n´ cessite le calcul pr´ alable des e § ¦ e fonctions de transfert echantillonn´ es H1 z , H3 z ´ e § ¦ § ¦ et H5 z . Commen¸ ons par H1 z : § ¦ c § ¦ H1 z jq~§ ¦    B0 p G1 p § ¦  2§ ¦ z G 1 G1 p § ¦  T  V z p z G 1 1  T  V z p2 z G 1 Tz  – z z 12 G ¦ § 1  z G 1 Puis maintenant H5 z : § ¦ H5 z jq~§ ¦    B0 p G1 p G2 p § ¦ § ¦  2§ ¦ z G 1 G1 p G2 p § ¦ § ¦  T  V z p z G 1 2 ln 2 1 2p G E§ ¦ ¦ A B§ 2p  T  V z p2 p ln 2 A ¦ § ˜§ ¦ z G 1 G 4 2 4  T  A A V z p p2 p A ln 2 § ¦ z G 1 4z 2T z G 4z  T A 2 A V z z 1 z 1 G G ¦ § z G 1 2 € 1  z G ¦ 1 z 1 2 G E§ ¦ § € et enfin H3 z qui donne avec la mˆ me d´ marche : § ¦ e e H3 z j©~§ ¦    B0 p G3 p § ¦  § ¦ z 1G ln 2 § ¦  T  V z p p ln 2 A ¦ § €§ ¦ 1 2 €  z 1 2 G €
  • 20. 14 ` ` ` CHAPITRE 1. MODELES DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET
  • 21. Chapitre 2 e e `R´ ponse des syst` mes a temps discret Ce chapitre fait le lien entre les diff´ rents mod` les des e e On peut ici reconnaˆtre (mais ce n’est pas toujours aussi ısyst` mes a temps discret et leur comportement dynamique e ` evident) la suite : ´en r´ ponse a des entr´ es connues. Dans un premier temps e ` e yk G r 1 A 2k 5 1 i k ! 0le calcul des r´ ponses en sortie est abord´ et dans un se- e econd temps la notion de modes est d´ finie et etudi´ e. e ´ e qui donne l’expression analytique de la r´ ponse cherch´ e. e e q2.1 Calcul de la r´ ponse e 2.1.2 A partir de la fonction de transfert2.1.1 A partir de l’´ quation r´ currente e e Th´ or` me 2.1 Soit G z une fonction de transfert et e e § ¦ U z  1‚£§ ¦    uk la transform´ e en d’une s´ quence d’en- e e  Un syst` me a temps discret peut etre repr´ sent´ par une e ` ˆ e e tr´ e, sous l’hypoth` se de conditions initiales nulles la r´ - e e eequation r´ currente :´ e ponse du syst` me est donn´ e par : e e an yk G r an 1 yk 2‰‰”G 5 5 Gˆˆˆ 1 a1 yk G 5 5 n 1 a0 yk n 1 5 yk  2§ ¦ § ¦  5 0  GzU z A bm uk ‘ˆ‰6A 5 ¢ A ˆˆ m n b1 uk A 5 5 n 1 b0 uk n 5 Comme dans le cas des syst` mes a temps continu, la e `avec m n pour des raisons de causalit´ . “ e fonction de transfert permet un calcul ais´ des r´ ponses e e Cette mod´ lisation est sous forme algorithmique direc- e uniquement dans le cas des syst` mes initialement au re- etement adaptable a l’implantation dans le processeur. Elle ` pos. La m´ thode est illustr´ sur l’exemple du paragraphe e eest bien adapt´ e a la formulation des lois de commande. e ` pr´ c´ dent. e eLe mod` le par equation r´ currente n’est pas celui que l’on e ´ echoisit g´ n´ ralement pour un calcul manuel de r´ ponse. Il e e e Exemple 2.2peut toutefois etre utilis´ pour calculer point par point la ˆ e La fonction de transfert du syst` me s’´ crit : e er´ ponse comme le fait un calculateur. L’exemple suivant e 1illustre ce calcul. Gz  (§ ¦ z2 G 3z A 2Exemple 2.1 La transform´ e en z du signal impulsionnel uk est ici : e Soit le syst` me a temps discret suivant : e ` U z  (§ ¦ 1 yk G ¢ 2 3 yk A ¢ 1 2 yk  uk Il vient donc :Il est suppos´ initialement au repos, soit : e 1 Y z  (§ ¦ Gz U z § ¦  (§ ¦ yk  0 i k “ 0 z2 3z 2 G Aet on applique une entr´ e impulsionnelle telle que e Le calcul de l’original peut se faire a partir de tables de ` transform´ es, ce qui n´ cessite g´ n´ ralement une d´ com- e e e e e uk  0 i k p 0 et u0  1 position en el´ ments simples. Pour simplifier les calculs ´eL’application successive de l’algorithme conduit a : ` il est recommand´ d’effectuer la d´ composition en el´ - e e ´e y1  3y0 G 2y 1 uA 5  0 ments simples de Y zz et non pas celle de Y z . En effet, d ™ § ¦ 1 5 il vient ici : y2  3y1 G 2y0 u0 A  1 y3  3y2 G 2y1 u1 A  3 Y z § ¦ 1 11 1 1 1 y4 3y3 2y2 u2 7  2 3z 2  A G  G A  z zz¦ G 2 z 2z 2 z 1 A § G G 15
  • 22. 16 ´ ` ` CHAPITRE 2. REPONSE DES SYSTEMES A TEMPS DISCRETAinsi on obtient une d´ composition de Y z en el´ ments e ´e § ¦ Par d´ composition en el´ ments simples : e ´equi sont tous des transform´ es de termes connus (voir ta- ebleau 1.1 page 5) : Y z § ¦ 1  z zz 2 z 3 G ¦ G ‡§ ¦ § 1 1 z z Y z  (§ ¦ A G 11 1 1 1 1 2 2z 2 G z G 1  G A 6z 2z 2 G 3z 3 GLa transform´ e inverse s’obtient directement par applica- etion des transform´ es de la table : e d’o` : u 1 1 z 1 z Y z  £§ ¦ G A 1 1 z z 1 1 k 6 2z 2 3z 3 G G yk wt 5  1 A T G  V δk A 2 G 1k 2 2z 2 G z G 1 2 2 En utilisant le tableau de transform´ es, il vient : eCe qui donne: y0  0 y0 1 1 0 10 1 k 1 k  2 A 22 G  0 yk  G 2 A 3 i k s 1 1 k 2 3 yk ƒ 0  22 G 1k  2k 1 G 5 1 q e ´ 2.2 R´ ponses echantillonn´ es eExercice 2.1 Comme evoqu´ dans le chapitre 1, l’´ chantillonnage ´ e e On consid` re le syst` me r´gi par l’´ quation r´ currente e e e e e d’un signal continu conduit a un perte d’information. Sans `suivante : entrer dans le d´ tail nous allons observer ce ph´ nom` ne e e e yk 2 5yk 1 6yk uk G ¢ A ¢  sur deux exemples de proc´ d´ s continus echantillonn´ s e e ´ eCalculer sa r´ ponse indicielle et sa r´ ponse impulsion- e e selon le mod` le de la figure 2.1. enelle.Solution ut § ¦ yt § ¦ uk yk Le calcul de sa r´ ponse indicielle (r´ ponse a une entr´ e e e ` e B0 p § ¦ Proc´ d´ e een train d’impulsions unitaires uk 1 k 0) peut se  i „h s Tcalculer en partant des repr´ sentation en z du signal d’en- etr´ e et du mod` le : e e z 1 F IG . 2.1 – Proc´ d´ echantillonn e e e´ ´ U z  (§ ¦ h Gz  (§ ¦ z G 1 z2 G 5z A 6On a donc : On sait associer a ce syst` me un mod` le de type dis- ` e e z cret entre la s´ quence d’entr´ e uk et la s´ quence de sor- e e e Y z  †§ ¦ GzU z  £§ ¦ § ¦ 7 8 G ¦ z 1 z G E§ ¦ 2 z G E§ ¦ 3 § tie yk . Ce mod` le permet le calcul de yk pour uk 7 8 e 7 8 7 8Par d´ composition en el´ ments simples : e ´e donn´ , mais ne permet absolument pas de retrouver le si- e gnal continu y t . La seule utilisation du mod` le a temps § ¦ e ` Y z § ¦ 1 discret ne pose g´ n´ ralement pas de probl` me pour une e e e  z z 1 z 2 z G ¦ G E§ ¦ G E§ ¦ 3§ etude en boucle ouverte, mais peut s’av´ rer insuffisante ´ e 1 1 1 1 1 pour caract´ riser compl` tement un syst` me fonctionnant e e e  G A en boucle ferm´ e. Il est pr´ f´ rable dans ce cas d’utiliser e ee 2z 1 z 2 G G 2z 3 G aussi le mod` le a temps continu du proc´ d´ command´ e ` e e ed’o` : u 1 z z 1 z pour d´ terminer y t . e § ¦ Y z  £§ ¦ G A 2z 1 z 2 2z 3 G G G Les calculs devenant complexes, les courbes qui suiventEn utilisant le tableau de transform´ es 1.1 page 5, il vient : e sont d´ termin´ es a l’aide du logiciel Matlab. e e ` 1 k 1 k Exemple 2.3 yk  1 G 2k A 3 2 2 Consid´ rons le proc´ d´ continu de fonction de trans- e e eLe calcul de sa r´ ponse impulsionnelle (r´ ponse a une e e ` fert :entr´ e u0 1 uk 0 k 0, i.e. U z e  h 1) se calcule  i …h p  £§ ¦ 1 G p  (§ ¦de la mˆ me fa¸ on : e c 1 p A 1 Pour trois p´ riodes d’´ chantillonnage diff´ rente la figure e e e Y z  £§ ¦ GzU z  (§ ¦ § ¦ 2.2 donne la r´ ponse yk du syst` me. e e G ¦ z 2 z G ‡§ ¦ 3 §
  • 23. 2.3. NOTION DE MODES 17 Sortie du systeme 1 1.5 0.5 1 Amplitude 0 0 1 2 3 4 5 6 0.5 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Temps 0.5 Sortie du systeme 2 0 0 1 2 3 4 5 6 1.5 Amplitude 1 1 0.5 0.5 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 Temps F IG . 2.2 – Trois echantillonnages diff´ rents ´ e F IG . 2.4 – Echantillonnage a la p´ riode de l’oscillation ` e Dans le premier cas, T 0 1s, l’´ chantillonnage est e  ˆ temps continu. En particulier ici, l’´ chantillonnage se fait etr` s rapide devant la constante de temps du syst` me τ e e  exactement a la p´ riode d’un ph´ nom` ne oscillant pour le ` e e e1s. La r´ ponse du syst` me echantillonn´ se confond avec e e ´ e syst` me a temps continu faisant croire a la convergence e ` `la r´ ponse du syst` me continu. En premi` re approxima- e e e du signal. qtion on pourrait quasiment n´gliger l’effet de l’´ chan- e etillonnage. Dans le troisi` me cas, T 2s, l’´ chantillonnage n’est e e  2.3 Notion de modespas assez rapide pour respecter la r` gle de Shannon. Le esignal discret ne rend pas compte de la r´ alit´ du proces- e e Nous avons etabli que pour calculer la r´ ponse d’un ´ esus. syst` me a temps discret, il est possible de proc´ der par e ` e Le second cas, T 0 5s, est donc a pr´ f´ rer car l’´ chan- ` ee ˆ e d´ composition en el´ ments simples de Y z z. Nous al- e ´e € €§ ¦tillonnage rend compte fid` lement du comportement du e lons maintenant observer cette d´ composition dans le cas esyst` me sans multiplier des mesures inutiles. e q g´ n´ ral. e e Soit G z la fonction de transfert d’un syst` me compre- § ¦ eExemple 2.4 nant n p pˆ les not´ s p1 o e pn p . Chaque pˆ le peut even- o 2‰‰h hˆˆˆ ´ Consid´ rons le syst` me echantillonn´ boucl´ de la fi- e e ´ e e tuellement apparaˆtre plusieurs fois dans le d´ nomina- ı egure 2.3, avec une p´ riode d’´ chantillonnage T 0 5 s et e e  ˆ teur. On parlera de mi , l’ordre de multiplicit e du pˆ le pi ´ oun algorithme de commande repr´ sent´ par la fonction de e e (i 1 n p ). …‰‰h hˆˆˆtransfert : Identiquement on d´ finit une entr´ e quelconque U z e e § ¦ 5z 3 G pour le syst` me. Sa transform´ e en z se caract´ rise par un e e e z 1 A polynˆ me au d´ nominateur avec un certain nombres de o e racines r1 rq . …‰‰h hˆˆˆ yk Apr` s avoir effectu´ la d´ composition en el´ ments sim- e e e ´e ek yt ‰ ˆ ples de Y z z G z U z z on trouve une repr´ senta-  €§ ¦ € € €§ ¦ § ¦ e Š 5z 3 † 1 z 1 † B0 p2 tion de la forme suivante : ‡ T np q Y z  †§ ¦ ∑ Gi z A r§ ¦ ∑ Uj z § ¦ (2.1) i 1  j 1  F IG . 2.3 – Syst` me echantillonn e boucl´ e ´ ´ e Chacun des termes de cette somme s’exprime en fonc- tion soit d’un pˆ le pi soit d’une racine du d´ nominateur o e La figure 2.4 montre d’une part la r´ ponse indicielle e de U z , r j . Nous ne nous int´ resserons pas a ces derniers § ¦ e `de ce syst` me obtenue a partir des seuls mod` les a temps e ` e ` termes dans cette partie du cours. Ils repr´ sentent ce qui ediscret, d’autre part la sortie y t du proc´ d´ calcul´ e a e e e ` § ¦ est appel´ le r´ gime forc´ du syst` me et d´ pendent es- e e e e epartir de son mod` le a temps continu. e ` sentiellement du type d’entr´ e envoy´ e au syst` me. Par e e e La constatation est que si le capteur mesure y t avec § ¦ contre, nous allons d´ tailler les premiers termes Gi z e § ¦la p´ riode d’´ chantillonnage T 0 5s, la mesure ne rend e e  ˆ qui, mˆ me s’ils d´ pendent du choix du signal d’entr´ e, e e epas compte enti` rement du comportement du syst` me a e e ` d´ crivent des caract´ ristiques intrins` ques au syst` me G z . e e e e § ¦
  • 24. 18 ´ ` ` CHAPITRE 2. REPONSE DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET Plus pr´ cis´ ment, les fonctions Gi z se d´ composent e e e § ¦ – Si p 1 et que P k  ‰  P 0 est un polynˆ me con- o  £§ ¦ § ¦comme suit : stant, alors la contribution de ce mode est un signal mi αiq z qui ne diverge ni ne converge. On parle alors de Gi z ∑ z pi q  £§ ¦ G ¦  § mode entretenu. Ce cas est possible uniquement si q 1 P k est un polynˆ me constant (i.e. de degr´ z´ ro) ce § ¦ o e eet leur transform´ e en z inverse s’´ crit g´ n´ riquement de e e e e qui est possible uniquement quand l’ordre de multi-la forme suivante : plicit´ du pˆ le est egal a m 1. e o ´ `  5 1 Gi z U 2§ ¦ ¦  β0 A β1 k ‰‰6A Aˆˆˆ βmi 1k mi 1 § 5 pk i  Pi k pk § ¦ i – Si p 1 et P k est de degr´ non nul, alors la suite  ˜  e § ¦ ¤ 5 P k pk diverge quand k § ¦ 7 ∞. On parle de mode 8 ACe terme ainsi formul´ est compos´ du produit d’un po- e e divergent dont la divergence est port´ e par la suite elynˆ me en k avec la suite g´ om´ trique des puissances du o e e km 1 (divergence polynˆ miale). 7 8 5 opˆ le pi . On va voir que l’´volution de ce type de terme o e – Si p 0, alors la suite P k pk a tendance (au signe ! § ¦ 7 8d´ pend essentiellement de la valeur de pi . On parlera de e de P k pr` s) a etre du mˆ me signe (mode ap´ rio- e ` ˆ § ¦ e emode associ´ au pˆ le pi et nous allons d´ crire dans la e o e dique).suite des cat´gories de comportement de ces modes en efonction de la valeur (r´ elle ou complexe) de pi . e – Si p 0, alors la suite P k pk I 1 kP k p k a § ¦ 7 § yU G¦ 8  ‹§ ¦  Par superposition, la r´ ponse d’un syst` me a une entr´ e e e ` e tendance (au signe de P k pr` s) a changer de signe e ` § ¦quelconque comprends toujours une somme de termes a chaque it´ ration (mode oscillatoire). ` etels que : np np – Si p 0, alors la suite P k pk converge vers 0 en  § ¦ 7 8  5  1 ∑ Gi z F2§ ¦   ∑ Pi k § ¦ pk i une seule it´ ration (r´ ponse pile). e e i 1  i 1  Sans entrer plus dans les d´ tails, voici quelques exemples edont d’´volution temporelle est caract´ ris´ e par chacun e e e qui illustrent ces diff´ rentes notions. edes modes. Il y a autant de modes que le syst` me a de epˆ les distincts. o Exemple 2.5 Nous allons maintenant envisager tour a tour des cas ` Soient les deux syst` mes suivants compos´ d’un seul e esimples de modes associ´ s a diff´ rentes valeurs des pˆ les e ` e o et mˆ me pˆ le. e opuis nous caract´ riserons la r´ ponse globale du syst` me e e ecompos´ e de la superposition de tous les modes. e 1 G z2 A 3z 1 1 G ˆ G1 z  £§ ¦ G2 z  (§ ¦ z G 2 z G ¦ 23 §2.3.1 Mode r´ el e Les r´ ponses a un echelon pour ces deux syst` mes sont e ` ´ e donn´ es sur la figure 2.5 ( pour G1 et o pour G2 ). On e Œ Un mode r´ el est associ´ a un pˆ le r´ el. Pour all´ger e e` o e e constate que la divergence mˆ me si elle n’est pas exacte- eles notations, soient p ce pˆ le et P k pk la suite cor- o § ¦ 7 8 ment identique se fait avec la mˆ me vitesse approxima- erespondant a la contribution de ce pˆ le a la r´ ponse du ` o ` e tive. L’autre constatation est que le signe de la r´ ponse esyst` me. e suit la courbe d’un polynˆ me (mode ap´ riodique). o e Ind´ pendemment de ce que peut etre le polynˆ me P k , e ˆ o § ¦ 1600l’´ tude des suites nous enseigne que : e 1400 – Si p 1, alors la suite P k pk converge vers 0 1200 ¤   I § ¦ 7 8 quand k ∞. On parle alors de mode convergent A 1000 dont la convergence est port´ e par la suite g´ om´ - e e e 800 trique pk . La vitesse de convergence d´ pend es- 7 8 e 600 sentiellement de la valeur de p. Plus la valeur de p   est faible, plus le mode converge vite vers l’origine 400 (convergence exponentielle). 200 0 – Si p 1, alors la suite P k pk diverge quand !   ¤ § ¦ 7 8 k ∞. On parles alors de mode divergent dont la A −200 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 divergence est port´ e par la suite g´ om´ trique pk . e e e 7 8 La vitesse de divergence d´ pend essentiellement de e F IG . 2.5 – R´ ponses de l’exemple 2.5 e la valeur de p. Plus la valeur de p est grande, plus   le mode diverge vite (divergence exponentielle). q
  • 25. 2.3. NOTION DE MODES 19 2Exemple 2.6 1.8 Soient les deux syst` mes suivants compos´ d’un seul e e 1.6et mˆ me pˆ le. e o 1.4 1 z2 1z 1 G A 1.2 G1 z  †§ ¦ G2 z £§ ¦ z 05 A ˆ z 05 2 A ¦ § ˆ 1 0.8Les r´ ponses a un echelon pour ces deux syst` mes sont e ` ´ e 0.6donn´ es sur la figure 2.6 (o pour G1 et pour G2 ). On e Œconstate que la convergence est assez similaire mˆ me si e 0.4elle n’est pas exactement identique. L’autre constatation 0.2est que le signe de la r´ ponse alterne (mode oscillatoire). e 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2 F IG . 2.7 – R´ ponses de l’exemple 2.7 e 1.5 n´ cessairement avec le mˆ me ordre de multiplicit e. Par e e ´ 1 d´ finition un mode complexe est associ´ a un couple de e e` pˆ les complexes conjugu´ s l’un de l’autre. La contribu- o e 0.5 tion de ce mode est de la forme suivante : 0 Pa k pk § ¦ A Pb k p § & ‡§ ¦ ¦ k −0.5 o` Pa k et Pb k sont des polynˆ mes a coefficients com- u § ¦ § ¦ o ` plexes du mˆ me degr´ , mais il est possible de monter que e e −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 la contribution conjointe des puissances de pk et p k est § ‰& ¦ n´ cessairement r´ elle. D` s lors la contribution d’un mode e e e F IG . 2.6 – R´ ponses de l’exemple 2.6 e complexe peut egalement s’´ crire sous la forme suivante : ´ e P k ρk sin kθ § ¦ ¦ A φ § q o` P k est un polynˆ me a coefficients r´ els, o` φ est un u § ¦ o ` e uExemple 2.7 d´ phasage d´ termin´ par la situation, o` ρ est le module e e e u Soient les deux syst` mes suivants compos´ chacun d’un e e du pˆ le et o` θ est l’argument du pˆ le. D’apr` s les for- o u o eseul et mˆ me pˆ le de module egal a un. e o ´ ` mule d’Euler on a p ρe jθ et p ρe jθ .   Ž& 5 Ind´ pendemment de ce peut etre le polynˆ me P k , e ˆ o § ¦ G1 z (§ ¦ 1 G2 z †§ ¦ 0 01 ˆ l’´ tude des suites telles que P k ρk sin kθ φ nous en- e § ¦ ¦ A § z A 1 z 12 G ¦ § seigne les caract´ ristiques suivantes sur la contribution e d’un mode complexe :Les r´ ponses a un echelon pour ces deux syst` mes sont e ` ´ edonn´ es sur la figure 2.6 (o pour G1 et pour G2 ). G1 a e Œ – Si p ρ 1 la r´ ponse transitoire diverge a la vi-  ‰ e ! `une r´ ponse oscillante ni divergente ni convergente (mode e tesse de ρk (divergence exponentielle),entretenu oscillatoire) car le pˆ le 1 apparaˆt dans la fonc- o ı Gtion de transfert avec un ordre de multiplicit e egal a un. ´´ ` – Si p ρ 1 la r´ ponse transitoire converge vers 0  ‰  e IG2 par contre diverge sans osciller car le pˆ le 1 est po- o A a la vitesse de ρk (convergence exponentielle), `sitif et d’ordre de multiplicit e egal a deux. La divergence ´´ ` – Si p ρ 1 la r´ ponse transitoire diverge a la vi-  ‰  e  `n’est pas exponentielle, mais tend vers une asymptote li- tesse du polynˆ me P k et si le pˆ le est de multipli- o o § ¦n´ aire. e cit´ egale a 1 alors P k e´ ` α et le mode ne converge  †§ ¦ q ni ne diverge (mode entretenu), – Si arg p θ 0 est l’argument de p, la r´ ponse du  (§ ¦ e p2.3.2 Mode complexe syst` me oscille a cette fr´ quence (oscillation “por- e ` e t´ e” par la convergence de ρk ). Le mode est oscilla- e Les racines d’un polynˆ me a coefficients r´ els sont soit o ` e toire.r´ elles soit complexes. Dans le second cas, pour chaque epˆ le p tels que Im p o 0 il existe un autre pˆ le p com- § ¦ p o & Un r´ sum´ de ces comportements dynamiques est donn´ e e eplexe conjugu´ de p. ces deux pˆ les p et p interviennent e o & sur la figure 2.8 page 20.
  • 26. 20 ´ ` ` CHAPITRE 2. REPONSE DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET F IG . 2.8 – Allure des modes selon leur emplacement dans le plan de Laplace
  • 27. 2.3. NOTION DE MODES 21 0.6Remarque 2.1 En pratique, on retiendra qu’un syst` me ea temps discret peut avoir deux sources d’oscillations : la` 0.4 Amplitudepr´ sence de modes complexes et/ou la pr´ sence de modes e e 0.2a partie r´ elle n´gative. Bien entendu, ces deux ph´ no-` e e e 0m` nes d’oscillations peuvent se superposer. e −0.2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 No. of SamplesExemple 2.8 1.5 Consid´ rons le syst` me de fonction de transfert : e e 1 Amplitude b0 b0 0.5 Gz  £§ ¦  z2 A a1 z A a0 G ¦ z λ1 z G ‡§ ¦ λ2 § 0 0 2 4 6 8 10 12 14 No. des echantillonsLa r´ ponse impulsionnelle de ce syst` me est obtenue en e ecalculant l’original de sa fonction de transfert en z : F IG . 2.9 – R´ ponses impulsionnelle et indicielle e b0 b0 z b0 zGz F§ ¦ A A λ1 λ2 z G ¦ λ1 λ1 λ1 § ¦ G λ2 § G ¦ z λ2 λ2 λ2 § ¦ G λ1 § Le second syst` me admet les pˆ les e o 2 2 j 2 2 et  G A €  €  G 2 2 j 2 2. Le mode associ´ a ce pˆ le a les mˆ mes G € e` o e €soit : caract´ ristiques que pour G1 si ce n’est que en plus de e b0 b0 l’oscillation li´ e a θ 0, s’ajoute une alternance due au e ` p gk  δk A ¦ λk G 5 1 λk 1 § 5 λ1 λ2 λ1 G λ2 1 2 fait que la partie r´ elle est n´gative. e e Le troisi` me exemple est tel que le couple de pˆ les e oSi les modes du syst` me sont r´ els (4a0 a2 ), le syst` me e e 1 e “ ( 2 2 j 2 2 , 2 2 j 2 2) est d’ordre de multipli-  A €  €  G €  €est compos´ de deux modes r´ els dont le comportement e e cit´ egale a deux. Le syst` me est donc oscillant avec les e´ ` ed´ pend respectivement des valeurs de λ1 et λ2 . e mˆ mes caract´ ristiques que pour G1 mais a la diff´ rence e e ` e Si les modes sont complexes conjugu´ s (4a0 a2 ), il e 1 ! qu’il diverge avec une vitesse polynˆ miale. o qvient : sin k 1 θ G ¦ § g k 0 b 0 ρk 2  ƒ 5 sin θ 20 15avec : 10 a1 ρ a0 cos θ  0 G v 5 2 a0  0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20A la donn´ e de a0 et a1 , la r´ ponse transitoire d’un sys- e e 1t` me du second ordre est soit une somme de deux modes e 0.5r´ els soir un mode complexe dont la convergence est don- e 0n´ e par le module des pˆ les (ρ e o λ ) et l’oscillation est    −0.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20donn´ e par leur argument (θ arg λ ). e § ¦  200 100 Pour illustration les r´ ponses impulsionnelle et indi- e 0cielle pour les valeurs b0 0 5, a1 1 et a0 0 5 sont  ˆ G ‘  ˆ −100donn´ es sur la figure 2.9. e q 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 F IG . 2.10 – R´ ponses indicielles de l’exemple 2.9 eExemple 2.9 Consid´ rons les syst` mes suivants : e e 2.3.3 Caract´ risation des modes par analo- e z2 A 2z 3 A 1 gie avec les syst` mes continus e G1  h G2  z2 G 1 414z 1 ˆ A z2 A 1 414z ˆ A 1 z2 A 2z 3 A On rappelle que les pˆ les des syst` mes continus peuvent o e G3  etre d´ crits par : ˆ e z4 G 2 828z3 ˆ A 4z2 2 828z G ˆ A 1 Le premier syst` me admet deux pˆ les complexes conju- e o pc G ‘ ζωn ’ jωn “ 1 G ζ2gu´ s 2 2 j 2 2 et 2 2 j 2 2. Ces pˆ les com- e  A €  o €  G €  € Cette ecriture g´ n´ rique pour les pˆ les complexes devient ´ e e oplexes sont de module egal a un et ils sont de multiplicit e ´ ` ´ dans le cas de pˆ les r´ els (ζ 1) : o e simple donc la r´ ponse indicielle est oscillante entretenue e(pas de convergence ni de divergence). pc € r G 1 τ
  • 28. 22 ´ ` ` CHAPITRE 2. REPONSE DES SYSTEMES A TEMPS DISCRETEt les polynˆ mes caract´ ristiques des syst` mes a temps o e e ` – un amortissement ζ  1 “ € 1 A ω2 τ2 . pcontinu se factorisent avec des termes tels que : p2 A 2ζωn p A ω2 et p A 1 τ € Exemple 2.10 n En reprenant l’exemple 2.8, le mode complexe est ca-Les diff´ rents param` tres que nous venons de rappeler e e ract´ ris´ par le polynˆ me caract´ ristique : e e o ecaract´ risent les r´ ponses des modes des syst` mes conti- e e enus : 1 z2 G z A 05 ˆ h pd  1 ’ ¦ j § 2 – τ 1 ζωn : temps de r´ ponse du mode (le mode  ¦e‚€ § Ce qui conduit a : ` converge a 95% de sa valeur finale en 3τ secondes). ` – un temps de r´ ponse τ 2 89T (la convergence a e ` – ω p ωn 1 ζ2 : pulsation propre (caract´ rise la  e G  ˆ ” 95% se fait au bout de 9 p´ riodes), e pulsation de l’oscillation dans le cas d’un mode com- π plexe). – une pulsation propre ω p 4T (la p´ riode de l’oscil- e  lation est huit fois sup´ rieure a la p´ riode des echan- e ` e ´ – ωn : pulsation propre non amortie. tillons), – ζ 0 1 : coefficient d’amortissement (plus ζ est  j)  – une pulsation propre non amortie ωn  0 8585 T, ˆ € faible plus le mode oscille avant de converger). – un amortissement ζ 0 4037 (l’amortissement est  ˆCes propri´ t´ s sont maintenant reprises pour caract´ riser ee e ind´ pendant de la p´ riode des echantillons). e e ´les modes des syst` mes discrets. e Nous avons etabli dans la section 1.4.3 que pour les ´ Le temps de r´ ponse et la pulsation propre se retrouvent esyst` mes continus echantillonn´ s que les pˆ les du sys- e ´ e o sur la figure 2.9. qt` mes discret obtenu apr` s echantillonnage se d´ duisent e e ´ edu syst` me continu original suivant la formule : e 2.3.4 Superposition des modes pc T pd  e Pour les proc´ d´ s rencontr´ s en pratique, les pˆ les peu- e e e oo` T est la p´ riode d’´ chantillonnage, pc les pˆ les du sys- u e e o vent etres multiples et leur effets s’additionnent sur la sor- ˆt` me continu et pd les pˆ les du syst` me discret. e o e tie mesur´ e du syst` me. L’ensemble des possibilit´ s n’est e e e pas descriptible. Cependant il est parfois possible de dis- Ainsi partant du pˆ le d’un syst` me continu ayant cer- o e cerner des allures dues aux diff´ rents pˆ les quand les dy- e otaines caract´ ristiques en termes de temps de r´ ponse, e e namiques (vitesses de convergence/divergence) sont tr` s ed’amortissement et de pulsation propre on trouve le pˆ leso diff´ rentes. Quelques exemples sont donn´ s sur la figure e ed’un syst` me discret (fonctionnant a la p´ riode T ) qui au- e ` e 2.11.rait les mˆ mes caract´ ristiques dynamiques : e e 14 pc — G• 1 τ € pc G v ζωn •’ jωn ” 1 G ζ2 12 10 8 pd  e z 5 T τ pd  e ¦ z 5 T τ cos ω p T ¦ j sin ω p T 6 ’ § ¦ § ˜§ 4 2Inversement un pˆ le r´ el d’un syst` me discret, pd o e e  zr se 0 0 5 10 15 20 25 30caract´ rise par : e 7 – un temps de r´ ponse τ e T ln zr , o` T est la p´ - u e G v € § ¦ 6 5 riode de fonctionnement du syst` me discret, e 4 3 – des pulsation propres nulles et un amortissement ζ  2 1 1 (le mode est non oscillant). 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Un pˆ le complexe pd o  zr ’ jzi se caract´ rise par : e F IG . 2.11 – R´ ponses indicielle avec un mode r´ el et un e e – un temps de r´ ponse τ e G v 2T ln € ¦ z2 A z2 § , mode complexe ayant des dynamiques diff´ rentes e r i – une pulsation propre ω p  1 T arctan zi zr , € ¦ § La premi` re de ces courbes montre un syst` me ayant e e un pˆ le r´ el a convergence lente (plus de 30 it´ rations o e ` e – une pulsation propre non amortie ωn “  ω2 p A 1 τ2 , € pour converger) et un mode fortement oscillant qui converge
  • 29. 2.3. NOTION DE MODES 23rapidement (l’oscillation rejoint rapidement l’exponen-tielle convergente du mode r´ el). e La seconde courbe montre la situation inverse. Un moder´ el tr` s rapide converge dans les tout premiers instants e e(mont´ e rapide vers un voisinage de l’´ quilibre). A cette e econvergence rapide s’ajoute un mode oscillant dont laconvergence est plus lente. Dans tous les cas il est important de noter que la conver-gence globale d’un syst` me se fait avec la constante de etemps du mode le plus lent. C’est a dire a la vitesse du ` `mode dont le pˆ le a le module le plus grand. o `
  • 30. 24 ´ ` ` CHAPITRE 2. REPONSE DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET
  • 31. Chapitre 3 e e `Stabilit´ des syst` mes a temps discret Ce chapitre porte sur la stabilit´ des syst` mes a temps e e ` de modifier la commande.discret. Dans un premier temps nous replaceront la notion Ces points d’´ quilibre se sont en g´ n´ ral pas uniques. e e ede stabilit´ dans un cadre g´ n´ ral puis nous porterons plus e e e Par exemple si l’on consid` re un pendule constitu´ d’une e epr´ cis´ ment notre attention sur la stabilit´ d´ finie au sens e e e e barre rigide pouvant tourner dans un plan vertical, ce sys-d’un transfert born´ . La suite du chapitre porte sur des e t` me admet deux points d’´ quilibre quand la barre est e etechniques d’´valuation de la stabilit´ et conclue sur le e e verticale soit vers le haut soit vers le bas. Ceci est illustr´ ecas des syst` mes echantillonn´ s. e ´ e sur la figure 3.1.3.1 Stabilit´ interne des syst` mes e e Positions d’équilibre pour Dans ce cours nous avons volontairement choisi de ne θ=πpr´ senter les syst` mes que sous la forme de fonctions de e e θ=0transferts et d’´ quations r´ currentes. Une autre mod´ li- e e esation tr` s fr´ quemment rencontr´ e s’´ crit sous certaines e e e ehypoth` ses comme suit: e θ ¡ xk ¢ 1  f xk uk § h ¦ mg yk  g xk uk § h ¦O` u repr´ sente le signal en entr´ e du syst` me, y la sortie u e e e F IG . 3.1 – Positions d’´ quilibre du pendule rigide emesur´ e et f et g sont des fonction quelconques d´ cri- e evant le fonctionnement du processus. Cette repr´ sentation e Il est ais´ de remarquer que les deux points d’´ quilibre e e  n ap-a l’avantage de mettre en evidence un vecteur xk ´ ) du pendule n’ont pas le mˆ me statut. On peut spontan´ - e epel´ etat du syst` me. Ce vecteur d´ crit exactement a l’ins- e´ e e ` ment qualifier l’´ quilibre θ π d’instable et la position e tant k l’´ tat (positions, vitesses, concentrations de pro- e inverse de stable. Math´ matiquement la stabilit´ de d´ fi- e e eduits, tensions electriques...) du syst` me. D’usage diff´ - ´ e e nit comme suit :rent de la repr´ sentation pr´ sent´ e dans ce cours, elle va e e eau del` d’une d´ pendance entre les entr´ es et les sorties, a e e D´ finition 3.1 Un point d’´ quilibre xe est : e epour repr´ senter les comportements internes du proces- esus. simplement stable si quel que soit le voisinage Ω1 de xe , La stabilit´ interne des syst` mes est d´ finie a la don- e e e ` il existe un voisinage Ω2 de xe tel que, pour tout etat ´n´ e de ce type de mod` les. Nous donnons ici unique- e e initial x0 Ω2 , xk Ω1 k 0. ) ) i sment quelques brefs el´ ments de cette th´ orie. Le pre- ´e emier d’entre eux est la d´ finition des points d’´ quilibre. e e asymptotiquement stable si il existe un voisinage Ω1 de ¤On suppose que le syst` me est plac´ en mode autonome e e xe tel que, pour tout etat initial x0 Ω1 , xk ´ xe ) ¤(uk ue est une constante le plus souvent nulle) et on d´ -  e quand k ∞. Afinit les etats d’´ quilibre xe comme les solution de l’´ qua- ´ e etion : globalement asymptotiquement stable si pour tout etat ´   ¤ ¤ xe f xe ue  § h ¦ initial x0 n, x )k xe quand k ∞. AIls correspondent aux situations dans les quelles si le sys-t` me est dans cet etat alors il ne peut pas evoluer a moins e ´ ´ ` instable s’il n’est pas stable. 25
  • 32. 26 ´ ` ` CHAPITRE 3. STABILITE DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET Par d´ finition la stabilit´ indique que si le syst` me a e e e Les premiers termes ont et´ etudi´ s dans le chapitre pr´ - ´e´ e eun etat initial suffisamment proche de l’´ quilibre alors il ´ e c´ dent. Ils correspondent tous a des signaux soit conver- e `ne s’en ecarte pas. La stabilit´ asymptotique ajoute a cela ´ e ` geant vers 0 (modes convergeant exponetiellement) soitque l’´ tat du syst` me rejoint asymptotiquement l’´ qui- e e e entretenus, soit divergeants. S’il existe au moins un modelibre pour des conditions initiales suffisamment proches. divergent, la sortie est non born´ e, le syst` me n’est pas e eLe caract` re global indique que la convergence vers l’´ qui- e e stable. Si par contre tous les modes sont convergents alorslibre se fait pour tout condition initiale. Enfin l’instabilit´e le premier terme est convergent et donc born´ . eindique que aussi pr` s que l’´ tat soit de l’´ quilibre consi- e e e Maintenant, en utilisant des arguments similaires si tousd´ r´ , il a tendance a s’en ecarter. ee ` ´ les modes sont tels que pi 1 et sous l’hypoth` se que e I   La probl´ matique est bien souvent pour les syst` mes e e le signal d’entr´ e est born´ , il est possible de montrer que e enon-lin´ aires de d´ terminer des domaines de condition e e le second terme d´ crit un signal born´ : e einitiales pour lesquelles le syst` me est assur´ de conver- e e ˜˜ q ˜˜ger vers un equilibre. Pour ce qui est des syst` mes li- ´ e 5  ˜˜˜ ∑ Uj ∞ 1 X ˜˜ § ¦ z In´ aires sur lesquels porte ce cours, la stabilit´ ou l’in- e e j 1 ˜ c  ∞stabilit´ sont toujours des propri´ t´ s globales et le point e eed’´ quilibre est, sauf cas particulier, unique. e Inversement, si il existe un mode tel que pi 1 il est ais´ e  ˜  de construire un signal d’entr´ e born´ tel que la sortie yk e e Nous ne d´ taillons pas plus la notion de stabilit´ in- e e diverge. Le r´ sultat pour les syst` mes lin´ aires a temps e e e `terne ni la th´ orie de Lyapunov qui lui est associ´ e. Ce- e e discret est donc enonc´ par le th´ or` me suivant. ´ e e ependant, on peut noter qu’a peu de diff´ rences pr` s, pour e eles syst` mes envisag´ s dans ce cours, la stabilit´ interne e e e Th´ or` me 3.1 e e Soit F z un syst` me a temps discret et e ` § ¦et la stabilit´ BIBO sont equivalentes. e ´ soient p1 p2 h ’‰‰‰h h––– pr ses r pˆ les distincts. o 1. Si i ™ 1 r tel que pi 8 ‘‰‰h u) h– – – 7 s ƒ  1, alors le syst` me e3.2 Stabilit´ BIBO des syst` mes e e est BIBO instable. 2. Si j 1 i r, p j  1, alors le syst` me v´ rifie ‘‰‰‰h h– – – e e  I B BIBO vient de la d´ finition en anglais :“bounded input, e la propri´ t´ interne de stabilit e asymptotique et est ee ´bounded output”. La caract´ risation des syst` mes stables e e BIBO stable.se fait en prouvant que la sortie du syst` me est toujours enon divergente tant que le signal d’entr´ e est contenu e 3. Si j 1 i r, p j  1 et i ‘‰‰‰h1 h– – – r tel que “ ƒ  8 ‘‰‰‰h ”) ™ h– – – 7dans un certain domaine. La traduction de l’anglais dit pi   1, alors le syst` me peut eeventuellement v´ - e ´´ e“` entr´ e born´ e, sortie born´ e”. Math´ matiquement la a e e e e rifier la propri´ t´ interne de stabilit e mais n’est pas ee ´d´ finition est : e BIBO stable.D´ finition 3.2 Un syst` me d´ finit part ses entr´ es/sorties e e e e Exemple 3.1 Soit le syst` me caract´ ris´ par la fonction e e etel que: de transfert : uk y ¤ ¤ F k G G 0 25z ˆ F z  (§ ¦est BIBO stable si pour toute entr´ e born´ e e e G ¦ z 0 5 z 0 25 G ¦‡§ ˆ § ˆ – – Les pˆ les sont de module inf´ rieur a 1. Le syst` me est o e ` e 7 uk 8 ∞  sup uk I C  ∞ k — 9 stable. Par exemple, sa r´ ponse a une entr´ e impultion- e ` e nelle (U z 1) s’´ crit :  e (§ ¦la sortie est toujours born´ e e z z – – Y z  £§ ¦ F z D ‚§ ¦ 1  G 7 yk 8 ∞  sup yk I o  ∞ z 05 G ˆ z G 0 25 ˆ k — 9 • 1 5  Cette d´ finition tr` s g´ n´ rale, s’applique a tout type de e e e e ` yk  f 1k A f 2k ˆ  0 5k G 0 25k ˆmod` le. Dans le cas des syst` mes lin´ aires, nous allons e e evoir qu’elle se particularise et revient a etudier les modes `´ et converge comme le montre l’´volution de f 1k et f 2k sur edu syst` me. En effet, en reprenant les notations de la page e la figure 3.2. q17 la transform´ e en z de la sortie du syst` me pour toute e eentr´ e U z est donn´ e par (2.1) : e § ¦ e Exemple 3.2 Soit le syst` me caract´ ris´ par la fonction e e e np q de transfert : Y z  £§ ¦ ∑ Gi Az‘§ ¦ ∑ Uj z § ¦ F z  £§ ¦ z i 1  j 1  A ¦ z 2 z G E§ ¦ 05 § ˆ
  • 33. ´ `3.2. STABILITE BIBO DES SYSTEMES 27 z 0 (U z (§ ¦ z 1) s’´ crit : e 5 −0.1 z z 4 € z 4 € z 2 € Y z  (§ ¦ F z D ‚§ ¦ z 1 G ‘ A A 2 −0.2 5 z 1 A z 1 G G ¦ z 1 § −0.3 • 1 5  1 k 1 k 1 −0.4 yk  f 1k A f 2k ›—A  § Gy¦ …œ G›4 1 41 A 2k  −0.5 et l’une des composantes de la somme diverge comme le −0.6 montre l’´volution de f 1k et f 2k sur la figure 3.4. e −0.7 4 −0.8 3.5 k=7 −0.9 −1 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2.5 F IG . 3.2 – Syst` me asymptotiquement stable e 2L’un des pˆ le est de module sup´ rieur a 1 ( 2 2). Le o e ` G š ! ‡ 1.5syst` me est instable. Par exemple, sa r´ ponse a une entr´ e e e ` e k=1 1impultionnelle (U z 1) s’´ crit : e  (§ ¦ 0.5 k=0 z 15ˆ € z 25ˆ € Y z  †§ ¦ F z D ‚§ ¦ 1 G ‘ A z 2 A z 05 G ˆ 0 −0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 • 1 5  1 k 1 F IG . 3.4 – Syst` me de l’exemple 3.3 en r´ ponse a un eche- e e ` ´ yk  f 1k A f 2k f v G 152 A 2 50 ˆ 5k f lonet l’une des composantes de la somme diverge comme le Par contre, sa r´ ponse a une entr´ e impultionnelle (U z e ` e  F§ ¦montre l’´volution de f 1k et f 2k sur la figure 3.3. e q 1) s’´ crit : e ˆ € z 15 z 25 ˆ € 0.45 Y z G D  F z v F§ ¦ †§ ¦ 1 A A z 2 z 05 G ˆ 0.4 • 1 5  0.35 1 k 1 k k yk  f 1k  f 2k A § y¦ v G G A 2 1 21 05 A ˆ 05 G y¦ ˆ 1 § 0.3 et elle ne diverge pas mais alterne entre deux valeurs. q 0.25 Exemple 3.4 Soit le syst` me caract´ ris´ par la fonction e e e 0.2 de transfert : 0.15 G ¦ z z 0 9 cos π 4 § ˜§ € ¦ ˆ F z  (§ ¦ 0.1 – G z2 2 0 9 cos π 4 z 0 92 A § € ¦ ˆ ˆ G ¦ z z 0 85 cos π 5 § €§ € ¦ ˆ A 2 0 85 cos π 5 z 0 852 0.05 ˆ – G z2 ˆ A § € ¦ 0 −50 0 50 100 Les pˆ les sont complexes (0 9e jπ 4, 0 9e jπ 4, 0 85e jπ 5 o z 5 ˆ z ˆ ˆ z et 0 85e jπ 5) de module inf´ rieur a 1. Le syst` me est ˆ 5 e z` e F IG . 3.3 – Syst` me instable e stable. Par exemple, sa r´ ponse a une entr´ e impultion- e ` e nelle indicielle (U z 1) s’´ crit : e  (§ ¦ z 2 € z 2 €Exemple 3.3 Soit le syst` me caract´ ris´ par la fonction e e e A zde transfert : Y z  †§ ¦ F z D F§ ¦ 1  z 0 9e jπ 5 ˆ G ˆ G 4 z 0 9e jπ 4 z z z z 2 z z 2 F z †§ ¦ ž A ž f A z 1 z 1 z 0 85e jπ 5 z 0 85e jπ 5 A ¦ G E§ ¦ § l f 5 1 5 •Les pˆ les sont de module egaux a 1. Le syst` me est BIBO o ´ ` e 5 instable. Par exemple, sa r´ ponse a une entr´ e indicielle e ` e yk  f 1k A f 2k  0 9k cos kπ 4 ˆ § € ¦ ˆ B§ € ¦ A 0 85k cos kπ 5
  • 34. 28 ´ ` ` CHAPITRE 3. STABILITE DES SYSTEMES A TEMPS DISCRETet les deux composantesconvergent en oscillant a des p´ - ` e n  "y 4: y a0 a1 a2 a3 a4 0riodes diff´ rentes et avec des vitesses de convergence dif- e A A A A !f´ rentes comme le montre l’´volution de f 1k et f 2k sur la e e $y # a0 G a1 a2 a3 a4 0 A G A ! y a2 a2 a0 a3 a1 a4 0figure 3.5. q 4 G 0  tG G !o ¦a0 G a4 2 a0 a2 a4 a1 ¦ § G A ¦6AB§ G a3 a0 a3 ¦ E§ G a1 a4 ! Ÿ§ 0 1 Exemple 3.5 Soit le syst` me dont le polynˆ me carac- e o k=0 t´ ristique s’´ crit : e e Pz  £§ ¦ z3 G •A ¦ K 0 75 z ˆ G § 0 25 ˆ 0.5 L’application du crit` re de Jury conduit a l’ensemble d’´ qua- e ` e tions : "yy a0 A a1 A a2 A a3  K ! 0 k=20 k=8 $y # G a0 A a1 G a2 A a3  K 05 A ˆ ! 0 0 y a3 n tG a0 1 0 25 G ˆ ! 0 a0 a2 G a1 a3 G a20 G„ A a2 3 K 1 6875 A ˆ ! 0 dont l’intersection donne 0 I K I 1 6875 comme condi- ˆ tion de stabilit´ . e q −0.5 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1F IG . 3.5 – Syst` me de l’exemple 3.4 en r´ ponse a une e e ` 3.4 Crit` re de Routh eimpulsion Le crit` re de Jury donn´ dans la sous-section pr´ c´ - e e e e dente est un crit` re qui atteste que les racines d’un poly- e nˆ me appartiennent au disque unit´ ( λ 1) sans avoir a o e ` I ‰ 3.3 Crit` re de Jury e les calculer. Le crit` re de Routh quant a lui atteste que e ` les racines d’un polynˆ me appartiennent au demi-plan o Le crit` re de Jury adresse la stabilit´ a partir de la e e ` gauche (ℜ λ 0). Il n’est donc pas directement appli- I d§ ¦connaissance du polynˆ me caract´ ristique : o e cable pour les syst` mes a temps discret. e ` Pz  £§ ¦ an zn A an 1 zn 2‰•A 5 A––– 1 a1 z A a0 Lemme 3.1 Soit P z un polynˆ me de degr´ n et soit o e § ¦ 5 ˜ P w le polynˆ me du mˆ me degr´ obtenu par la relation § ¦ o e eIl est ainsi possible d’´valuer la stabilit´ d’un syst` me e e e suivante :partant d’une fonction de transfert en etudiant le poly- ´nˆ me au d´ nominateur sans en calculer les racines. o e ˜ n 1 A w Pw G U(§ ¦ ¦  1 w § P   1 G w ¡Th´ or` me 3.2 Un syst` me lin´ aire a temps discret est e e e e ` Le polynˆ me P z a toutes ses racines dans le disque o § ¦asymptotiquement stable si et seulement si les coefficients ˜ unit´ ( zi e 1) si et seulement si les racines de P w sont I o  § ¦de son polynˆ me caract´ ristique v´ rifient les relations o e e dans le demi-plan gauche (ℜ wi 0). ¦ I †§qui suivent. Les conditions d´ pendent de l’ordre du sys- et` me nous ne les donnons que pour n 2 ,3 et 4. Les e  Preuveordres sup´ rieurs peuvent etre g´ n´ r´ s sans difficult´ mais e ˆ e ee esont fastidieux. Pour plus de simplicit´ on suppose que e Soit la transformation bijective suivante :an 0. Dans le cas contraire il suffit de multiplier tous ! 1 A w z G 1les coefficients par 1. G z  h w  1 G w ¢ z A 1 " #$ a0 A a1 A a2 ! 0 elle transforme la variable complexe z en une nouvelle n  2: a0 G a1 A a2 ! 0 variable w telle que : a2 G a0 ! 0 α2 β2 1 2 jβ A G A z  α A jβ h w  "yy a0 a1 a2 a3 A A A ! 0 ¢ α 1 2 β2 A ¦ A § n  3: $yy # G a0 a1 a2 a3 A G A ! 0 d’o` : u a3 a0  6G ! 0 a0 a2 a1 a3 a2 a2 0 3 G A G ! 0 z I ‡  1 h α2 A β2 I 1 h ℜw I †§ ¦ 0 ¢ ¢
  • 35. ` ´ ´3.5. SYSTEMES ECHANTILLONNES 29 xCe r´ sultat appliqu´ aux racines de P z conclue la preuve. e e § ¦ La table de Routh correspondante s’´ crit : e Il est important de noter que la transformation en w des K A 05 ˆ 45 G ˆ K 0polynˆ mes caract´ ristiques de syst` mes a temps discret o e e ` 3 G K K 0permet uniquement d’appliquer le crit` re de Routh. Au- e 8K 13 5 ¢ fcune autre utilisation de cette transformation n’est con- 5 3 K 0 5seill´ e. Il ne faut en aucun cas confondre ce r´ sultat avec e e K 0des transformations donnant une equivalence entre un sys- ´t` me discret et un syst` me continu. Le polynˆ me P w e e o ˜ § ¦ Le polynˆ me en w aura toutes ses racines a partie r´ elle o ` en’a aucune interpr´ tation en Automatique. e n´gative (et par cons´ quent, le polynˆ me P z aura ses ra- e e o § ¦ cines de module inf´ rieur a 1) si tous ses coefficients sont e `Th´ or` me 3.3 e e Soit le polynˆ me donn´ par : o e de mˆ me signe et si les el´ ments de la premi` re colonne e ´e e de la table de Routh sont de mˆ me signe. Ceci conduit e ˜ Pw  (§ ¦ αn wn A αn 1 wn 1 2‰•A 5 Aˆˆˆ α1 w A α0 a la satisfaction simultan´ e de l’ensemble de conditions ` e 5 suivantes : "yyyses racines appartiennent au demi-plan gauche (ℜ wi ¦ I (§ K 05y 0 A ˆ !0) si et seulement si tous ses coefficients αi sont du mˆ me e # 3 K 0 G !signe et que les coefficients de la premi` re colonne du e 45 K yy$y 0 G ˆ ! K y 0tableau de Routh sont egalement du mˆ me signe. ´ e ! 8K 13 5 0 G A ˆ ! Soit q l’arrondi vers le bas de n 2 (par exemple pour € soit la condition de stabilit´ 0 e I K I 1 6875. ˆ qn 5, on trouve q 2). Le tableau de Routh est compos´  ede n 1 lignes et q colonnes et se construit comme suit : A βn 0 e βn 1 e βn 2 e ‰ˆ ˆˆ βn q 1 βn q 0 ´ 3.5 Syst` mes echantillonn´ s e e 5 e e βn 1 0 e 5 βn 1 1 e 5 βn 1 2 e 5 ˆ‰ˆ ˆ βn 1 q 1 βn 1 q 0 5 e 5 e 5 βn 2 0 e 5 βn 2 1 e 5 βn 2 2 e 5 ˆ‰ˆ ˆ βn 2 q 1 0 3.5.1 Etude en boucle ouverte . . 5 e 5 . . . . Consid´ rons le syst` me echantillonn´ en boucle ou- e e ´ e β2 0 e β2 1 e 0 verte repr´ sent´ sur la figure 3.6. e e β1 0 e 0 β0 0 e 0 uk ut § ¦ yt § ¦ ykavec pour i n et i n 1 les coefficients du polynˆ me  o  G B0 p § ¦ Proc´ d´ e erang´ s de deux en deux tels que : e T βn  e j αn 2j h βn  e 5 1 j αn 1 2j 5 5 5et pour i “ n G 2 la relation suivante : F IG . 3.6 – Proc´ d´ echantillonn e e e´ ´ βi e ¢ 1 0 βi 2 j 1 G ¢ e ¢ βi 1 j 1 βi 2 0 ¢ e ¢ e ¢ βi  e j Le proc´ d´ continu est repr´ sent´ par une fonction de e e e e e ¢ βi 10 transfert Fc p et sa stabilit´ est d´ termin´ e par les pˆ les § ¦ e e e o λi . La condition n´ cessaire et suffisante de stabilit´ est e esymboliquement repr´ sent´ e par le produit en croix : e e donn´ e par : e βi βi ℜ λi 0 λi I †§ ¦ i e ¢ 20 ¢ e ¢ 2 j 1 βi e ¢ 10 βi ¢ e ¢ 1 j 1 Consid´ rons maintenant le syst` me echantillonn´ dont la e e ´ e fonction de transfert s’´ crit Fd z e B0 p Fc p et no- 1t(§ ¦    § ¦  § ¦Exemple 3.6 Reprenons l’exemple pr´ c´ dent dont le e e tons ces pˆ les µi . La condition n´ cessaire et suffisante de o epolynˆ me caract´ ristique s’´ crit : o e e stabilit´ asymptotique est donn´ e par : e e Pz  (§ ¦ z3 G •A ¦ K 0 75 z ˆ G § 0 25 ˆ I µi ‡  1 i µiPar transformation bilin´ aire, il vient le polynˆ me : e o En raison de la correspondance : w3 K A ¦ 05 A 3§ ˆ w2 3 G ¦ K A 3§ w 45 G ˆ ¦ K A B§ K ℜ λi I Ÿ§ ¦ 0 £ µi ¤‡    eλi T I o 1
  • 36. 30 ´ ` ` CHAPITRE 3. STABILITE DES SYSTEMES A TEMPS DISCRETon constate qu’un syst` me continu stable en boucle ou- e echantillonn´ a pour expression : ´ everte est egalement stable en echantillonn´ . Ceci est par ´ ´ e s q}§ ¦ K tailleurs tout a fait trivial. Les signaux born´ s restent bor- ` e d ¢ ™ § ¦   Gz B0 p p p 1n´ s quand ils sont echantillonn´ s et quand ils passent par e ´ e t ¢ s  5  z 1 Kun bloqueur d’ordre z´ ro. e d ™ z p2 p 1 La stabilit´ des syst` mes pris de fa¸ on isol´ e n’est pas e e c e § G ¦ z a Kbaltern´ e par l’´ chantillonnage. Il en va autrement dans le e e  T § 5 G ‡§ G ¦ ¦ z 1 z ecas des syst` mes echantillonn´ s boucl´ s, comme on va le e ´ e econstater dans le paragraphe suivant. e T T 1 ¢ 1 avec a  e T T 1 A G 5  5d ¢ ™ l et b e T 1 T . La fonction de e e 5 transfert en boucle ferm´ e s’´ crit alors comme suit : l Gz § ¦ z § G ¦ a Kb 3.5.2 Etude en boucle ferm´ e e 1 A Gz § ¦ z2 ¦ •A Kb G 1 A § 5 G e T z e 5 T G Kba En appliquant le crit` re de Jury le syst` me est asymptoti- e e Sur un exemple nous montrons que la p´ riode d’´ chan- e e quement stable si et seulement si :tillonnage influe la stabilit´ ou non d’une boucle de r´ - e e " e T Kba Kb 1 e T 1 0troaction. De mani` re g´ n´ rale, il peut etre observ´ que e e e ˆ e #$ 5 G A G G A 5 ! e T Kba Kb 1 e T 1 0le fait de remplacer une r´gulation analogique par une e 5 G G A A A 5 !r´gulation num´ rique demande de s’assurer que la p´ - e e e 1 G e T Kba 5 A ! 0riode d’´ chantillonnage choisie n’entraine pas une perte edes propri´ t´ s initiales. ee Ces conditions sont fortement conditionn´ es par la valeur e de l’´ chantillonnage. Par exemple pour T 1s et T 10s e   on trouve respectivement :Exemple 3.7 Consid´ rons la r´gulation continue re- e e T  1s T  10spr´ sent´ e sur la figure 3.7. La fonction de transfert du e esyst` me en boucle ouverte est d’ordre 2. Le syst` me est e e " " #$ K ! 0 #$ K ! 0asymptotiquement stable quel que soit K 0. ! 12 2 ! ˆ K 0 25ˆ ! K 24 ˆ ! K 1 ! K On constate ainsi qu’une augmentation de K et/ou de T conduisent a l’instabilit e de ce syst` me. ` ´ e q yc t + § ¦ K yt § ¦ p p 1 A ¦ § G 3.6 Exercices Exercice 3.1 F IG . 3.7 – R´gulation continue e Soit le syst` me F z de l’exercice 1.3 de la page 12 ; e § ¦ 4z G 2 F z  £§ ¦ Consid´ rons le mˆ me syst` me dans le cas d’une r´gu- e e e e 4z3 ¦ 6A 4K G 8 § z2 G 6A ¦ 5 4K z ¦ 6A § 3K G 1 §lation echantillonn´ e selon le sch´ ma de la figure 3.8. ´ e e Etudier la stabilit´ de F z en fonction du param` tre K a e e ` § ¦ l’aide du crit` re de Jury. eyck ¦¥ uk ut | { yt | { yk Solution On est en pr´ sence d’un syst` me du troisi` me e e e K ordre. Le crit` re de Jury est donc compos´ de quatre condi- e e B0 p | { ¥ p p 1 { | T tions. La premi` re est : e a0 A a1 A a2 A a3 ! 0 ce qui correspond a la somme de tous les coefficients du ` F IG . 3.8 – R´gulation echantillonn ee e ´ ´ polynˆ me d´ nominateur de la fonction de transfert. Pour o e la fonction F z cette condition donne : § ¦ La fonction de transfert en boucle ouverte du syst` me e 3K ! 0 h K ! 0
  • 37. 3.6. EXERCICES 31La seconde condition du crit` re de Jury donne : e G a0 A a1 G a2 A a3 ! 0 h K I 18 11 €La troisi` me condition s’´ crit : e e a3 o tG !  a0 0 h G 1 I K I 5 3 €Enfin la troisi` me condition est : e a0 a2 G a1 a3 G a2 0 A a2 3 ! 0 h 3K G ¦ 1 2 ! § 0On en d´ duit que le syst` me est stable pour toute valeur e ede K comprise dans les intervalles suivants : § 18 stab.  ¨ 0 1 h ª~  © 1 h  11Les valeurs 0, 1 et 18 conduisent a des syst` mes a la li- 11 ` e `mite de la stabilit´ . Par exemple pour K 1 on trouve un e syst` me F z tel que : e § ¦ 4z 2 G F z  (§ ¦ 4z3 G 4z2 z A A 2dont les pˆ les sont donn´ es sur la figure 3.9. Les deux o epˆ les complexes sont de module egal a un et correspondent o ´ `a un mode oscillant entretenu. Le syst` me est BIBO in-` estable mais v´ rifie la stabilit´ interne dans ce cas. e e Im(z) 0.75 + 0.6614i −0.5 Re(z) Mode oscillant entretenu 0.75 − 0.6614i Mode convergent alterné F IG . 3.9 – Pˆ les du syst` me pour K o e  1
  • 38. 32 ´ ` ` CHAPITRE 3. STABILITE DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET
  • 39. Chapitre 4Synth` se : Gain de r´ troaction e e A ce stade, nous avons etabli un ensemble de notions et ´ Loi de commande Consigned’outils math´ matiques qui permettent de d´ crire le fonc- e e commande Kctionnement des syst` mes. Les chapitres qui suivent sont e + K Procédé −d´ di´ s a la synth` se de correcteurs. L’objectif est d’ob- e e ` etenir par le calcul une loi de commande qui connaissant mesureles mesures en temps r´ el r´ alis´ es sur le syst` me et les e e e econsignes impos´ es par un utilisateur, agit sur les entr´ es e e F IG . 4.2 – Loi de commande par un gain de r´ troaction edu syst` me. Globalement, l’objet a r´ aliser fonctionne en e ` e et un gain de pr´ -commande etemps r´ el en parall` le du syst` me comme d´ crit sur le e e e esch´ ma 4.1. e et en d´ taillant les polynˆ mes au num´ rateur et au d´ no- e o e e commande minateur de la fonction de transfert G z N z Dz :  (§ ¦ € ˜§ ¦ § ¦ appliquée Consigne aux actinneurs Loi de commande Procédé KN z § ¦ Kc KN z § ¦ Y z  g§ ¦ V z § ¦ Y z  g§ ¦ Yc z § ¦ D z KN z A B§ ¦ § ¦ D z KN z A B§ ¦ § ¦ mesure réalisée par les capteurs 4.2 Calcul du gain de r´ troaction e F IG . 4.1 – Loi de commande Le gain de r´ troaction K permet essentiellement d’as- e Dans ce cours nous aborderons uniquement des lois de surer la stabilit´ de la boucle ferm´ e. C’est ce gain uni- e ecommande sous forme de mod` les lin´ aires. Elles seront e e quement qui agit sur le d´ nominateur de la boucle ferm´ e e erepr´ sent´ es soit par des equations r´ currentes (c’est en e e ´ e et donc sur les pˆ les. Au del` de la stabilit´ , l’objectif o a eg´ n´ ral sous cette forme que les lois de commande sont e e est d’imposer des dynamiques. La premi` re sp´ cification e er´ alis´ es en pratique), soit par des fonctions de transfert. e e impose que les pˆ les du syst` me boucl´ soient tous de o e e module inf´ rieur a l’unit´ , la seconde revient a imposer e ` e ` des contraintes plus strictes sur ces mˆ mes pˆ les (voir e o chapitre 2 et la notion de modes).4.1 Introduction Ce premier chapitre s’int´ resse au cas le plus simple e 4.2.1 Crit` res de Jury et Routh ede synth` se : la synth` se d’un gain statique pour les sys- e et` mes ayant une entr´ e et une sortie. Dans ce cas la loi de e e Les crit` res de Jury et de Routh abord´ s dans le cha- e ecommande se r´ sume a deux coefficients repr´ sent´ s sur e ` e e pitre 3 permettent de donner des conditions pour la sta-le sch´ ma 4.2. e bilit´ des syst` mes a la donn´ e des coefficients du po- e e ` e On note uk le signal de commande, yk le signal de lynˆ me caract´ ristique. D` s lors en appliquant ces cri- o e emesure, yck le signal de consigne et vk Kc yck . Partant  t` res au polynˆ me D z KN z il est possible d’´ crire e o A F§ ¦ e § ¦d’un proc´ d´ d´ crit par une fonction de transfert Y z e e e  «§ ¦ les conditions sur K pour que la boucle ferm´ e soit stable. eG z U z on trouve : § ¦ § ¦ Une application du crit` re de Jury dans cet objectif est e donn´ e dans l’exemple 3.7. De plus en choisissant : e KG z § ¦ Kc KG z § ¦ Y z  (§ ¦ V z § ¦ Y z  (§ ¦ Yc z § ¦ Dz z3 0 75z 0 25 N z z 1 KG z A § ¦ 1 KG z A § ¦  (§ ¦ G ˆ G ˆ  ¬§ ¦ 33
  • 40. 34 ` ´ CHAPITRE 4. SYNTHESE : GAIN DE RETROACTIONl’exemple 3.6 montre une application du crit` re de Routh e – Une portion de l’axe r´ el appartient au lieu d’Evans epour la synth` se du gain de r´ troaction. e e si le nombre de pˆ les et z´ ros r´ els a sa droite est o e e ` impaire.4.2.2 Lieu d’Evans – Les points de rencontre et d’´ clatement sont parmi e les solutions r´ elles de l’´ quation : e eD´ finition 4.1 Le lieu d’Evans d’un syst` me G z e e  ­§ ¦N z D z se d´ finit comme le lieu des racines du po- € ˜§ ¦ e § ¦ dD z § ¦ dN z § ¦ ¢ ®  N z G ‚§ ¦ Dz  †§ ¦ 0lynˆ me D z KN z pour toutes les valeurs de K o A 3§ ¦ § ¦ . ) dz dz Par d´ finition le lieu d’Evans repr´ sente l’ensemble des e e Le lieu d’Evans admet une tangente verticale en cesconfigurations possibles pour les pˆ les de la boucle fer- o points.m´ e repr´ sent´ e sur la figure 4.2. Nous choisissons de e e e – Les points d’intersection avec le cercle unit´ sont edonner uniquement quelques r´ sultats de construction du e obtenus comme solutions k θ de l’´ quation com- e § h ¦lieu d’Evans sans en d´ tailler les preuves. Le plus sou- e plexe :vent le lieu d’Evans est de nos jours trac´ ł’aide de lo- e D e jθ KN e jθ ¦ 0 A B§ ¦  (§giciels comme par exemple M ATLAB. Dans la C ONTROLTOOLBOX la fonction qui permet de tracer le lieu d’Evans – Au d´ part d’un pˆ le complexe pk , le lieu d’Evans a e o `est rlocus. une tangente d’angle :Notations : Le d´ nominateur de G z est donn´ par e e § ¦ π G ∑ θi ¦ pk A B§ ∑ φi ¦ pk § i k ° i Dz G r£§ ¦ ¦  z p1 z G ¦E§ p2 G 2‰‚§ ¦––– z pn § – A l’arriv´ e sur un z´ ro complexe zk , le lieu d’Evans e eo` les pi sont les n pˆ les du syst` me. Le num´ rateur de u o e e a une tangente d’angle : `G z donn´ par § ¦ e N z (§ ¦ Kg z G ¦ z1 zG E§ ¦ z2 G 2‰‚§ ¦––– z zm § π G ∑ φi Azk B§ ¦ ∑ θi zk § ¦ i k ° io` les zi sont les m z´ ros du syst` me et Kg est un gain. u e ePour chaque pˆ le et z´ ro on note : o e M´ thode de construction pour Kg 0 e I θi z  †§ ¦ arg z G ¦ pi § φi z  †§ ¦ arg z G ¦ zi § Dans ce cas la construction est quasiment identique. Les diff´ rences sont les suivantes : eles arguments (ou phases) des vecteurs de reliant res- ¯pectivement les pˆ les et les z´ ros au point z. o e – Angles des asymptotes aux branches infinies :M´ thode de construction pour Kg 0 e ! 2π Le lieu d’Evans de G z est constitu´ de n courbes e § ¦ Φa ˜ „ 0 T V n G mcontinues dans le plan complexe appel´ es egalement e ´ ¯branches du lieu d’Evans. Globalement le lieu d’Evans – Angle au d´ part d’un pˆ le complexe pk : e oest sym´ trique par rapport a l’axe r´ el. e ` e – Les points de d´ part du pieu d’Evans sont les n pˆ les e o G ∑ θi ¦ pk A B§ ∑ φi ¦ pk § i k ° i pi repr´ sent´ s par une croix. e e – Le lieu d’Evans comporte m branches qui convergent – Angle d’arriv´ e sur un z´ ro complexe zk : e e vers les z´ ros zi quand K devient grand. e G ∑ φi zk A B§ ¦ ∑ θi § ¦ zk – Le lieu d’Evans comporte n m branches qui di- G i k ° i vergent asymptotiquement vers des droites caract´ -e ris´ es par un point d’intersection r´ el unique : e e Exemple 4.1 Reprenons l’exemple 3.6 qui correspond a l’analyse de la stabilit´ du syst` me ` e e n m 1 σa  n G m X ∑ pi ∑ zi G c Gz £§ ¦ z i 1  i 1  z3 G 0 75zˆ G 0 25 ˆ et qui font des angles avec l’axe r´ el tels que : e boucl´ par une r´ troaction K. e e π 2π Φa „ T V Le lieu d’Evans de ce syst` me est trac´ sur la figure 4.3 e e n G m n m G ainsi que sur la figure 4.4 (trac´ obtenu avec Matlab). e
  • 41. ´4.2. CALCUL DU GAIN DE RETROACTION 35 2 1.5 1 0.5 Imag Axis 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Real Axis F IG . 4.4 – Lieu d’Evans obtenu avec Matlab z compos´ de deux mode. L’un r´ el devient de plus en plus e e F IG . 4.3 – Lieu d’Evans de G z  £§ ¦ z3 0 75z 0 25 f 5 f 5 rapide a mesure que K est grand (le pˆ le se rapproche ` o de l’origine). Le second mode quand a lui est de plus en ` plus oscillant et de plus en plus lent a mesure que K est ` Le lieu d’Evans a les caract´ ristiques suivantes : e pris grand (partie imaginaire du pˆ le et le module aug- o – Il y a autant de branches que le syst` me G z contient e § ¦ mentent). de pˆ les. Dans l’exemple le syst` me est d’ordre 3, o e Root Locus les trois branches repr´ sentent les valeurs prises par e 1.2 les trois pˆ les du syst` me boucl´ quand K croit de 0 o e e a ∞. ` A 1 1.57 – le lieu d’Evans est sym´ trique par rapport a l’axe e ` 1.88 System: untitled1 1.26 r´ el. e 0.8 2.2 Gain: 0.848 Pole: −0.292 + 0.592i 0.1 Damping: 0.201 Overshoot (%): 52.5 0.2 – Chacune des branches part (K 0) d’un pˆ le du o  Frequency (rad/sec): 2.07 Imag Axis 0.3 0.6 syst` me en boucle ouverte (pˆ les de G z ) et tend e o § ¦ 0.4 ¤ (K ∞) soit vers un z´ ro de la boucle ouverte (ra- A e 0.5 cine du num´ rateur de G z ) soit vers l’infini. Dans e § ¦ 0.4 0.6 0.7 l’exemple, l’un des pˆ les de la boucle ferm´ e est si- o e 0.8 tu´ en fonction de la valeur de K entre le point z 1 e  0.2 0.9 (pˆ le de la boucle ouverte) et le point z 0 (z´ ro de o e  la boucle ouverte), les deux autres pˆ les sont com- o 0 plexes conjugu´ s et sont situ´ s en z e e 0 5 j0 G œ ’ ˆ pour K 0 (pˆ les de la boucle ouverte) et suivent o  −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 une asymptote d’angle de π 2 quand K prend de€ Real Axis grandes valeurs. F IG . 4.5 – Zoom sur le lieu d’Evans et choix d’un gain A partir de ce trac´ on note que qu’a partir de la va- eleur K 1 6875 les pˆ les de la boucle ferm´ e sortent du  ˆ o e De ces constations, il est possible de faire un choix dedisque unit´ . On en d´ duit que a boucle ferm´ e est stable e e e K en vue d’assurer une rapidit´ globale au syst` me et evi- e e ´uniquement si 0 K 1 6875. I I ˆ ter de trop grandes oscillations (voir section 2.3.3 pour la En plus de ces informations, le lieu d’Evans permet de d´ finition de ces propri´ t´ s). Si l’objectif du choix de K e eeconclure que quelle que soit la valeur de K le syst` me est e est d’avoir un amortissement de ζ 0 2 il est possible de  ˆ
  • 42. 36 ` ´ CHAPITRE 4. SYNTHESE : GAIN DE RETROACTION zchoisir directement sur la courbe la valeur de K associ´ e. e Preuve Soit l’´ chelon unit´ U z e e z 1 , la r´ ponse e  d§ ¦Ceci est fait sur le zoom de la figure 4.5. Le point s´ lec- e du syst` me a cet echelon est Y z e ` ´ F z U z . D’apr` s le e § ¦ 5 § ¦ ¬§ ¦ tionn´ est sur la courbe iso-amortissement ζ 0 2. Mat- e  ˆ th´ or` me de la valeur finale la sortie du syst` me converge e e elab renvoie la valeur du gain K 0 848 correspondant et  ˆ vers :indique que la pulsation propre non amortie associ´ e est ede 2 07rad s (en ayant fait le choix de T 1s pour la ˆ €  y∞  lim 1 z  1 Y z F§ ¦ § 5 G ¦ lim 1 z  F§ ¦ § ¦ § 5 G ¦ 1 F zU z lim F z § ¦x z e 1 z e 1 z e 1p´ riode des echantillons). e ´ q Ce qui d’apr` s la d´ finition correspond au gain statique. e eExemple 4.2 Reprenons l’exemple 3.7. La stabilit´ du emod` le echantillonn´ boucl´ d´ pend du choix de l’´ chan- e ´ e e e e Comme nous l’avons indiqu´ , le gain de pr´ -commande e etillonnage T . Ce r´ sultat se retrouve quand on trace les e permet de r´gler le gain statique de la boucle en r´ ponse e elieu d’Evans des deux syst` mes e a la consigne. En effet, la r´ ponse du syst` me r´gul´ pour ` e e e e un signal de consigne yc s’´ crit : e 1 Gz T 6£§ ¦   B0 p § ¦ V Y z§ ¦ Kc KG z § ¦ p p 1 A ¦ §  Yc z § ¦ 1 KG z A § ¦obtenus avec les deux echantillonnage T ´  1s et T  10s. et son gain statique est donn´ par (la limite quand z tend e T=1s T=10s vers 1 est atteinte d` s lors que le syst` me est asymptoti- e e 1 quement stable) : 0.8 1 Kc KG 1 § ¦ 0.6 Fs  1 KG 1 A § ¦ 0.4 0.5 0.2 On souhaite g´ n´ ralement r´gler ce gain statique a l’unit´ . e e e ` e Ainsi, quand l’utilisateur envoie une consigne constante, Imag Axis Imag Axis 0 0 yck yco , le syst` me, stable par le choix de K, converge  e −0.2 k ∞ ¢¤ e vers la valeur de consigne, yk yco . G −0.5 −0.4 Pour assurer un gain statique unitaire on prend : −0.6 −1 1 A KG 1 § ¦ −0.8 Kc  −1 KG 1 § ¦ −2 −1 0 1 −1 −0.5 0 0.5 1 Real Axis Real Axis F IG . 4.6 – Lieu d’Evans pour diff´ rentes valeurs de T e 4.4 Exercices Les courbes 4.6 montrent que le choix de la p´ riode e Exercice 4.1d’´ chantillonnage modifie fortement le type de compor- e On consid` re le syst` me de l’exercice 1.1 de la page e etement atteignable par la boucle ferm´ e. e q 11. Il s’agit de l’´volution du cheptel d’un eleveur de e ´ bovins o` l’action de commande consiste a acheter ou u ` vendre des vaches et la mesure est la somme totale de4.3 Calcul du gain de pr´ -commande e bovins. On rappelle que le mod` le est donn´ par : e e Un gain de r´ troaction K etant choisi, le gain de pr´ - e ´ e 2 5z2 z 1 ˆ A G Gz £§ ¦commande Kc est utilis´ pour r´gler le gain statique du e e 2 5z3 1 75z2 2z ˆ G ˆ G A 04 ˆsyst` me en r´ ponse a la consigne. e e ` 1. Etudier la stabilit´ du syst` me en boucle ouverte. e eD´ finition 4.2 Le gain statique d’un syst` me est la va- e e 2. On consid` re une loi de commande statique telle eleur a l’infini de la sortie du syst` me en r´ ponse a un ` e e ` que :echelon unit´. Il caract´ rise egalement le rapport entre´ e e ´ uk K Kc yc yk  ¦ G §l’entr´ e et la sortie quand le syst` me est a l’´ quilibre. e e ` e Etudier la stabilit´ et le comportement en r´gime e e transitoire de ce syst` me en fonction de K. Illus- eTh´ or` me 4.1 Le gain statique d’un syst` me d´ crit par e e e e trer le comportement de ce syst` me pour des valeurs esa fonction de transfert F z est donn´ par : e § ¦ remarquables de K en consid´ rant que la consigne e Fs  lim F z § ¦ fix´ e par l’´ leveur est d’avoir un cheptel de trente e e z e 1 vaches (yc 30). 
  • 43. 4.4. EXERCICES 37 K=0.4Solution 30 1. Les pˆ les de G z sont : o § ¦ 25 λ1 G r 0 72 ˆ λ2  1 24ˆ λ3  0 18ˆ 20 Nombre de vaches 15 Le syst` me est donc instable. Il poss` de deux modes e e stables et un mode instable ap´ riodique (λ2 1). e ! 10 Ceci signifie que toute initialisation non nulle du troupeau conduit a une augmentation tendant vers ` 5 l’infini de la population. 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 annees (sec) 2. Le trac´ du lieu d’Evans du syst` me est donn´ sur e e e la figure 4.7. Il permet de voir que la stabilit´ est e F IG . 4.8 – Evolution du troupeau pour K  04 ˆ atteinte uniquement pour 1 86 K 0 33. On peut ˆ ! ! ˆ alors distinguer plusieurs types de choix de K qui assure la stabilit´ : e la boucle ferm´ e sont alors : e Root Locus 1 λ1  0 82 λ2 ˆ G ‘ 0 55 λ3 ˆ G r 0 27 ˆ 0.8 L’´volution du troupeau est plus rapide (voir figure e 0.6 4.9). System: G 0.4 Gain: 0.322 Pole: 1.01 K=0.7, K =0.5143 c Damping: −1 30 0.2 Overshoot (%): Inf Frequency (rad/sec): 0.0113 Imag Axis 25 0 −0.2 20 Nombre de vaches −0.4 15 System: G −0.6 Gain: 1.86 Pole: −0.874 − 0.464i 10 Damping: 0.00375 −0.8 Overshoot (%): 98.8 Frequency (rad/sec): 2.65 5 −1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 Real Axis 0 0 5 10 15 20 25 annees (sec) F IG . 4.7 – Lieu d’Evans F IG . 4.9 – Evolution du troupeau pour K  07 ˆ a - Si K est pris assez proche de 0 33. Alors les trois ˆ pˆ les sont r´ els et stables et l’un des pˆ les est oscil- o e o b - Si K est pris sup´ rieur a 0 76 (valeur pour la- e ` ˆ lant car n´gatif. Ce qui domine dans ce cas c’est le e quelle un des modes devient complexe). Alors on mode associ´ au pˆ le proche z 1. Il est de module e o  peut s’attendre a des ph´ nom` nes oscillant mais even- ` e e ´ elev´ ce qui conduit a un syst` me boucl´ tr` s lent. ´ e ` e e e tuellement avec une convergence du nombre de bˆ tese assez rapide. A titre d’illustration, la r´ ponse du syst` me a l’´ tat e e ` e initial x0 est repr´ sent´ e sur la figure 4.8 avec K e e  A titre d’illustration, la r´ ponse du syst` me a l’´ tat e e ` e 0 4. Le trac´ est fait avec un choix de Kc 0 15 afin ˆ e  ˆ initial x0 est repr´ sent´ e sur la figure 4.10 avec K e e  d’assurer un gain statique unitaire et les pˆ les de la o 1. Le trac´ est fait avec un choix de Kc 0 66 afin e  ˆ boucle ferm´ e sont : e d’assurer un gain statique unitaire et les pˆ les de la o boucle ferm´ e sont : e λ1  0 96 λ2 ˆ G r 0 66 λ3 ˆ  0 λ1  0 72 λ2 3 ˆ G ‘ e 0 51 ˆ ’ j0 27 ˆ Ce choix de r´gulation ne convient pas a l’´ leveur e ` e qui ne souhaite pas attendre 100 ann´ es avant de e La figure 4.11 montre plus en d´ tail l’´volution ex- e e constituer son troupeau. acte du nombre de vaches par cat´gories. On constate e Pour acc´ l´ rer le processus on peut prendre K 0 7. ee  ˆ une convergence rapide vers un equilibre tel qu’il y a ´ Cela implique de prendre Kc 0 5143 et les pˆ les de o  ˆ environ 12 vaches de moins d’un an et 12 vaches de
  • 44. 38 ` ´ CHAPITRE 4. SYNTHESE : GAIN DE RETROACTION K=1, K =0.66 K=1.86, K =0.8172 c c 30 50 45 25 40 35 20 Nombre de vaches Nombre de vaches 30 15 25 20 10 15 10 5 5 0 0 0 5 10 15 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 annees (sec) annees F IG . 4.10 – Evolution du troupeau pour K  1 F IG . 4.12 – Evolution du troupeau K  1 86 ˆ K=1, Kc=0.66 Ce choix de r´gulation ne convient evidement pas a e ´ ` Moins de 1 an 10 l’´ leveur. e 5 0 Exercice 4.2 On consid` re le proc´ d´ d´ crit par la fonction de trans- e e e e 10 fert continue : 2 ans 5 1Nombre de vaches G p  (§ ¦ 0 p2 1 A 20 1. Etudier la stabilit´ et le comportement en r´gime e e plus de 3 ans 10 transitoire du proc´ d´ de fonction de transfert G p . e e § ¦ 0 2. Calculer la fonction de transfert G z de ce proc´ d´ e e § ¦ 20 echantillonn´ selon le sch´ ma de la figure 4.13, pour ´ e e 10 une p´ riode d’´ chantillonnage T e e π 2 s.  € achats 0 −10 0 2 4 6 8 10 12 annees uk ut § ¦ yt § ¦ yk B0 p § ¦ Proc´ d´ e e T F IG . 4.11 – Evolution du troupeau pour K  1 deux ans. Le nombre de vaches de trois ans et plus F IG . 4.13 – Proc´ d´ echantillonn e e e´ ´ converge vers 6 et l’´ leveur vend pr` s de 10 vaches e e chaque ann´ e. La strat´gie semble etre de consti- e e ˆ 3. Ce syst` me est boucl´ par un retour unitaire selon e e tuer d` s la premi` re ann´ e un troupeau de 20 vaches e e e le sch´ ma de la figure 4.14. Etudier sa stabilit´ en e e ag´ es et ensuite tr` s vite l’´ leveur finit par vendre ˆ e e e fonction de K 0. ! les vaches en exc` s. e c - Si K est pris proche de 1 86. Alors le syst` me est e ˆ proche de l’instabilit e et le mode dominant est un ´ mode oscillant. ykc + yk A titre d’illustration, la r´ ponse du syst` me a l’´ tat e e ` e KG z § ¦ initial x0 est repr´ sent´ e sur la figure 4.12 avec K e e  G 1 86. Le trac´ est fait avec un choix de Kc 0 8172 ˆ e  ˆ afin d’assurer un gain statique unitaire et les pˆ les o de la boucle ferm´ e sont : e F IG . 4.14 – Syst` me boucl´ e e λ1  0 59 λ2 3 ˆ G ‘ e 0 88 ˆ ’ j0 46 ˆ
  • 45. 4.4. EXERCICES 39Solution 1. Les modes du syst` me sont p e j. Le syst` me est e ’  donc en limite de stabilit´ oscillatoire avec une pul- e sation propre ω 1rad s.  € 2. La fonction de transfert du syst` me echantillonn´ est e ´ e donn´ e par : e td ™ s  5 z 1 G p Gz ~§ ¦ z p z 1 s  5 1 t  z d ¢ ™ p p2 1 z 1 t ¢ G s  5 1 p  z p p2 1 z 1 z z2  ¦ 5 z z 1 G § ¢ z2 1 ¢ 5 z 1  ¢ z2 1 3. L’application du crit` re de Jury conduit a : e ` G 1 I K I 0 qui est incompatible avec la condition K 0. Le sys- ! t` me boucl´ avec K 0 est donc toujours instable. e e !
  • 46. 40 ` ´ CHAPITRE 4. SYNTHESE : GAIN DE RETROACTION
  • 47. Chapitre 5Synth` se : Transposition des m´ thodes e eanalogiques ¦¥ | yt La synth` se de correcteurs num´ riques par extension e e yc t { | {de correcteurs analogiques est une approche couramment Rc p| { G p | {utilis´ e dans le domaine industriel. Cela s’explique par ele fait que les techniques d’´ tude des syst` mes continus e esont g´ n´ ralement bien maˆtris´ es et que les sp´ cifica- e e ı e etions sont plus facilement interpr´ tables sur des mod` les e e discr´ tisation econtinus que sur des mod` les echantillonn´ s. e ´ e On s’int´ resse d’abord a des m´ thodes relevant de la e ` e ¦¥ yck uk yt | { ykdiscr´ tisation directe d’un correcteur analogique calcul´ e e Rd z | { B0 p | { G p | {a partir du mod` le continu du proc´ d´ a commander. On` e e e` Texamine ensuite des m´ thodes de synth` se dans lesquelles e ele correcteur est con¸ u a partir d’un mod` le prenant en c ` ecompte de mani` re approch´ e l’existence du bloqueur en e eamont du proc´ d´ . On examine ensuite de mani` re d´ - e e e etaill´ e la discr´ tisation du correcteur analogique le plus e e F IG . 5.1 – Discr´ tisation d’un correcteur analogique er´ pandu, le r´gulateur P.I.D. e e εt § ¦ ut § ¦ εk uk5.1 Discr´ tisation e Rc p§ ¦ Rd z § ¦ p  f z § ¦ Cette approche suppose que l’on ait r´ alis´ la synth` se e e ed’un correcteur analogique par les m´ thodes d’´ tude des e e F IG . 5.2 – Approximation de la variable psyst` mes continus. On recherche alors un algorithme nu- em´ rique qui se rapproche le plus possible du correcteur eanalogique, en faisant des approximations de la variablede Laplace p, ou sur les pˆ les et z´ ros de la fonction o e Les approximations les plus utilis´ es sont les suivantes : ede transfert du correcteur analogique. Si on raisonne en z 1termes de fonctions de transfert, on cherche a obtenir la ` discr´ tisation avant : p e  5 Tfonction de transfert R z d’un correcteur num´ rique par § ¦ e Elle r´ sulte de l’approximation de la d´ riv´ e d’une fonc- e e eapproximation de celle d’un correcteur analogique R p ,§ ¦ tion entre deux instants d’´ chantillonnage par la m´ thode e ecomme illustr´ sur la figure 5.1. e d’Euler : 1 dx t § ¦ xt A ¦ T G ‚§ xt§ ¦ 1 z G 15.1.1 Approximations de la variable p  5  pX p R2§ ¦   5 ²  T X z V§ ¦ dt ± T T Le principe de l’approche consiste a d´ duire un cor- ` erecteur Rd z du correcteur Rc p en choisissant une ap- § ¦ § ¦ z 1 discr´ tisation arri` re : p e e  5 zTproximation de la variable p, selon le sch´ ma de la figure e5.2. Elle r´ sulte de l’approximation suivante de la d´ riv´ e e e e 41
  • 48. 42 ` ´ CHAPITRE 5. SYNTHESE : TRANSPOSITION DES METHODES ANALOGIQUESd’une fonction entre deux instants d’´ chantillonnage : e continu. En effet, si l’on choisit comme approximation de Tustin adapt´ e (frequency prewarping) : e 1 dx t § ¦ xt G ‚§ ¦ xt G ¦ T § 1 z G 1 5  pX p R2§ ¦   5 u  T X z V § ¦ ωc z · 1 dt ± T zT p ¶ tg ω2T z c ¸ 1 2 z 1 approximation de Tustin : p  T z 1 5¢ il vient, pour la pulsation ωc : Cette approximation, connue egalement sous le nom ´ ωc ωc Tde transformation bilin´ aire, r´ sulte de l’approximation e e Rd e jTωc ´ ¶ £µ Rc j ´ ωcT tg 2 ¶ £µ Rc jωc ´ µ tg 2de l’int´gration num´ rique par la m´ thode des trap` zes. e e e eEn effet, soit : Les deux correcteurs sont donc bien fr´ quentiellement e equivalents pour la pulsation ωc . ´ ¤ 1 yt 4 (§ ¦  x t dt § ¦ G Y p  (§ ¦ X p § ¦ p 5.1.2 Adaptation des pˆ les et des z´ ros o ePar approximation entre deux instants d’´ chantillonnage, eil vient : Cette approche (matched pole-zero method) consiste yk  y kT ¦  (§ yk A 5 xk 1 xk T ¢ a appliquer la transformation z eT p aux pˆ les et aux ` o ¶ 1 2 l z´ ros de la fonction de transfert du correcteur continu, e ³ avec un facteur multiplicatif permettant de conserver le  gain aux basses fr´ quences c’est-` -dire pour p e a 0 ou º 1 T 1 1 G ¦ z  (§ ¦ § 5 Y z 2 1 A ¦ z § ¦ § 5 X z bien z 1. ºsoit la formule : Par exemple, le correcteur analogique : p ¸ a T z A 1 Rc p ¶ £µ ´ Y z  £§ ¦ X z § ¦ p ¸ b 2 z G 1 est approch´ par le correcteur discret : e Un inconv´ nient des approches par approximation de ela variable de Laplace p est qu’elles peuvent modifier ¶ †µ ´ a 1 · e » bT z · e » aTl’´ chelle des pulsations de la r´ ponse fr´ quentielle du cor- e e e Rd z · aT · bT b 1 e » z e »recteur que l’on a discr´ tis´ , ce qui peut etre gˆ nant dans e e ˆ ele cas d’un filtre passe-bande par exemple. Cet effet est Une pr´ caution a prendre lorsque le degr´ du num´ - e ` e econnu sous le nom de distorsion fr´ quentielle (frequency e rateur est inf´ rieur a celui du d´ nominateur, consiste a e ` e `warping). introduire au num´ rateur du correcteur discret des termes e ¸ ´ µ z 1 pour conserver un gain nul aux hautes fr´ quences e Examinons ses cons´ quences dans le cas de l’approxi- emation de Tustin. Soit un correcteur analogique de fonc- en r´ tablissant des degr´ s identiques. Ceci se justifie par e etion de transfert Rc p . Sa r´ ponse fr´ quentielle est d´ - e e § ¦ e le fait que le th´ or` me de Shannon limite la pulsation a e e `termin´ e par la fonction complexe Rc jω . Le r´gulateur e e ¦ § ω π T , soit z e jTω ¶ ¼ ¶ 1. La valeur z · ¶ 1 joue en · ¶discret obtenu par la m´ thode de Tustin a pour fonction e discret le mˆ me rˆ le que ω ∞ en continu. e o ¶de transfert Ainsi, le correcteur analogique : 2 z 1 G Rd z Rc  (§ ¦ ¦ § p a ¸ T z 1 A Rc p ¶ (µ ´ ¸ ´ p ¸ ´µ b p c µEn utilisant la relation z eT p e jT ω (voir section 1.4.3),  sa r´ ponse fr´ quentielle est d´ termin´ e par la fonction e e e e est approch´ par le correcteur discret : ecomplexe : · ´ · ´µ »bT cT · ´µ ¸ ´ µ aT µ a 1 e 1 e » z 1 z e » 2 e jT ω · 1 2 ωT 2bc 1 » · e aT · ´µ » · ´ z e bT z e cT µRd e jT ω ¶ (µ Rc ¶ £µ Rc j tg ­µ ¹¶ Rc jω µ » T e jT ω ´ ´ ¸ 1 ´ T 2 ´Manifestement la discr´ tisation induit des erreurs sur le e 5.1.3 Applicationcomportement fr´ quentiel. Ceci peut etre corrig´ au voi- e ˆ esinage d’une fr´ quence particuli` re. On peut mettre en e e Position du probl` me eœuvre une adaptation pour que le gain en amplitude des On consid` re le proc´ d´ repr´ sent´ par la fonction de e e e e edeux correcteurs (continu et equivalent discret) soit iden- ´ transfert :tique a une pulsation particuli` re ωc choisie par l’utili- ` e 5 ¶ (µ ´sateur, par exemple la pulsation de coupure du correcteur G p ¸ ´ µ p p 1
  • 49. ´5.1. DISCRETISATION 43Le gain de boucle ayant et´ fix´ a 5 pour satisfaire des ´e e` Calcul des correcteursconditions de pr´ cision. On veut faire la synth` se d’un e er´ seau correcteur permettant d’obtenir pour le syst` me e e Les correcteurs (sous forme de fonctions de transfertboucl´ une marge de phase φm 45o . e ¶ en z) obtenus par les diff´ rentes approximations sont don- e n´ s ci-apr` s : e e 50 – discr´ tisations directes de p. e Gain dB ¶ z 1 0 Avec p T , » il vient : -50 -1 0 53z ½ · 0 23 ½ 10 10 0 1 10 ¶ Rd z (µ ´ Frequency (rad/sec) 0 21z ½ ¸ 0 09 ½ -60 -90 ¶ z 1 Avec p zT , il vient : Phase deg -120 » -150 -180 ¶ (µ ´ 0 83z ½ · 0 53 ½ Rd z · 10 -1 10 0 Frequency (rad/sec) 1 10 0 51z ½ 0 21 ½ F IG . 5.3 – R´ ponse fr´ quentielle de G p e e µ ´ – m´ thode de Tustin e ¶ (µ ´ 1 89z 1 06 ½ · ½ A partir des courbes de r´ ponse en fr´ quence (figure 5.3) e e Rd z · z 0 17 ½dans le plan de Bode de la fonction de transfert G p , on µ ´d´ termine un r´ seau correcteur par avance de phase : e e – m´ thode de Tustin avec elimination de distorsion e ´ fr´ quentielle (prewarp, en prenant wc 5rd s). e ¶ ¼ ¶ (µ ´ 1 ¸ 0 53p ½ Rc p · 1 ¸ 0 21p ½ ¶ (µ ´ 1 81z 0 87 ½ ½ Rd z · z 0 06 ½ 50 – m´ thode de conversion des pˆ les et des z´ ros (mat- e o e ched pole-zero method). 0 Gain dB -50 1 76z 0 99 ½ · ½ ¶ Rd z (µ ´ · z 0 24 ½ -100 -1 0 1 2 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) -60 Etude du syst` me boucl´ avec correcteur num´ rique e e e -90 Phase deg -120 Les r´ ponses des syst` mes obtenues pour les diff´ rents e e e -150 correcteurs num´ riques sont donn´ es sur les figures sui- e e -180 10 -1 0 10 1 10 2 10 vantes : Frequency (rad/sec) µ ´ µ ´ – discr´ tisations directes de p : figures 5.6 et 5.7. e F IG . 5.4 – R´ ponse fr´ quentielle de Rc p G p e e – m´ thode de Tustin : figure 5.8. e Les courbes de r´ ponse en fr´ quence de Rc p G p (fi- e e µ ´ µ ´gure 5.4) permettent de v´ rifier que l’on obtient bien la e – m´ thode de Tustin avec elimination de distorsion e ´ fr´ quentielle (prewarp), en prenant wc 5rd s : fi- e ¶marge de phase souhait´ e φm 45o . e ¶ ¼ µ ´ gure 5.9. La commande en sortie du correcteur Rc p et la r´ - eponse en boucle ferm´ e du syst` me ainsi corrig´ , pour e e e – m´ thode de conversion des pˆ les et des z´ ros (mat- e o eune consigne en echelon unitaire, sont donn´ es figure 5.5. ´ e ched pole-zero method) : figure 5.10. On d´ sire etudier le comportement de ce syst` me dans e ´ ele cas d’un r´gulateur num´ rique calcul´ par discr´ tisa- e e e e On note que les diff´ rentes m´ thodes conduisent a des e e `tion du r´gulateur analogique pr´ c´ dent, pour une p´ riode e e e e correcteurs relativement similaires mˆ me si dans l’ensemble ed’´ chantillonnage T 0 3s. e ¶ ½ les syst` mes corrig´ s par des r´gulateurs discrets sont e e e plus lents et plus oscillants que avec Rc p . µ ´
  • 50. 44 ` ´ CHAPITRE 5. SYNTHESE : TRANSPOSITION DES METHODES ANALOGIQUES Commande du systeme Commande du systeme 3 2 2 1 Amplitude Amplitude 1 0 0 -1 −1 -2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 1 2 3 4 5 6 Time (secs) Temps Sortie du systeme Sortie du systeme 1.5 2 1.5 1 Amplitude Amplitude 1 0.5 0.5 0 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 3 4 5 6 Time (secs) TempsF IG . 5.5 – Commande et r´ ponse indicielle de Rc p G p e µ ´ µ ´ F IG . 5.8 – R´ ponses (m´ thode de Tustin) e e Commande du systeme Commande du systeme 3 2 2 Amplitude 1 Amplitude 1 0 0 -1 -1 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Temps Temps Sortie du systeme Sortie du systeme 1.5 2 1.5 1 Amplitude Amplitude 1 0.5 0.5 0 0 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Temps Temps ¶ z 1F IG . 5.6 – R´ ponses (correcteur discr´ tis´ avec p e e e T ) » F IG . 5.9 – R´ ponses (m´ thode de Tustin avec “prewarp”) e e Commande du systeme Commande du systeme 2 2 1 1 Amplitude Amplitude 0 0 -1 -1 -2 -2 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Temps Temps Sortie du systeme Sortie du systeme 2 2 1.5 1.5 Amplitude Amplitude 1 1 0.5 0.5 0 0 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Temps Temps ¶ z 1F IG . 5.7 – R´ ponses (correcteur discr´ tis´ avec p e e e zT ) » F IG . 5.10 – R´ ponses (matched pole-zero method) e
  • 51. `5.2. PRISE EN COMPTE DU BLOQUEUR DANS LA SYNTHESE 455.2 Prise en compte du bloqueur dans 40 Bode Diagram la synth` se e 20 Magnitude (dB) 0 Les m´ thodes pr´ sent´ es dans le paragraphe pr´ c´ dent e e e e e −20ne prennent pas en compte la pr´ sence dans la boucle du ebloqueur d’ordre z´ ro. Si l’on reprend la logique de la fi- e −40 −90gure 5.1, on note qu’elle suppose que Rd z sera une ap- µ ´ µ ´proximation de Rc p et devrait donc satisfaire la boucle −135 Phase (deg)r´ alis´ e avec un op´ rateur Gd z dont le comportement e e e µ ´ −180 µ ´serait tr` s proche de G p . Dans cette logique cela revient e −225a ignorer le comportement du bloqueur, B0 p . Ceci peut` µ ´ −270devenir tr` s pr´ judiciable si l’´ chantillonnage T et elev´ e e e ´ e 10 −1 10 0 10 1 À2µ ´ µ ´ Frequency (rad/sec)car dans ce cas le comportement de Bo p G p se dis- ¿ ¾tingue fortement de celui de G p . µ ´ µ ´ Tp µ ´ F IG . 5.11 – Diagramme de Bode de G p et e » 2 G p Nous pr´ sentons ci-apr` s des m´ thodes prenant en compte e e el’existence du bloqueur d’ordre z´ ro, de mani` re exacte e eou approch´ e. e qui conduit a une marge de phase de φm 35o . Par la m´ - ` e ¶ thode de Tustin, la discr´ tisation de ce correcteur donne : e5.2.1 Approximation du bloqueur par un re- 3z 1 8 · ½ Tp ¶ Rd z†µ ´ z 02¸ tard pur e 2 Á ½ La r´ ponse du syst` me echantillonn´ utilisant ce correc- e e ´ e Dans ce cas, la synth` se est r´ alis´ e comme dans les e e em´ thodes du paragraphe 5.1, mais la fonction de transfert e teur est donn´ e figure 5.12. edu proc´ d´ est choisie egale a : e e ´ ` Commande du systeme 3 Tp e » 2 G p µ ´ 2 Amplitude 1Ce qui revient a faire l’approximation le bloquer d’ordre ` 0z´ ro comme un retard pur d’une demie p´ riode d’´ chan- e e e -1tillonnage et de tenir compte de cette approximation lors -2 0 1 2 3 4 5 6 µ ´ Tempsdu calcul initial de Rc p . Sortie du systeme 1.5 Consid´ rons le proc´ d´ de la section 5.1.3 et la p´ riode e e e ed’´ chantillonnage : e 1 Amplitude ¶ (µ ´ 5 ¶ 0.5 G p ¸ ´ µ T 0 3s ½ p p 1 0 0 1 2 3 4 5 6 Temps Les courbes de r´ ponse en fr´ quence de la fonction de e etransfert F IG . 5.12 – R´ ponses (correcteur tenant compte du blo- e Tp e 2 G p » µ ´ queur)sont repr´ sent´ es sur la figure 5.11. Sur la mˆ me figure e e esont repr´ sent´ es egalement les courbes de r´ ponse fr´ - e e ´ e e µ ´quentielle de G p . On remarquera que le gain en am- 5.2.2 Transformation en wplitude est identique, mais que le retard pur introduit und´ phasage aux hautes fr´ quences (le d´ phasage diverge e e e Cette approche est tr` s diff´ rente des pr´ c´ dentes. Au- e e e epour ω croissant). cune approximation n’est faite a aucun moment. L’id´ e e Tp µ ´ est de faire la synth` se a partir du mod` le exact G z e ` e ¶ Žµ ´ On calcule pour e » 2 G p un r´ seau correcteur par e À 2µ ´ µ ´avance de phase : ¿ B0 p G p . Cependant, la synth` se utilise les tech- 1¾ e niques des syst` mes continu au travers de l’astuce pure- e ¶ (µ ´ 1 ¸ 0 6p½ ment math´ matique de la transformation en w (voir sec- e Rc p ¸ tion 3.4 egalement). ´ 1 0 1p½
  • 52. 46 ` ´ CHAPITRE 5. SYNTHESE : TRANSPOSITION DES METHODES ANALOGIQUES 50 On commence par calculer le mod` le discret de l’en- esemble bloqueur + proc´ d´ : e e Gain dB 0 F z ¾ (µ ´ ¿ ¶ B0 p G p À 2µ ´ µ ´ -50 -2 -1 0 1 2 10 10 10 10 10On utilise ensuite la transformation en w : Frequency (rad/sec) 0 ¶ 1 ¸ w ¶ z · 1 z º w -90 Phase deg 1 · w  z ¸ 1 -180pour d´ finir ensuite une fonction de transfert de type continu : e -270 -2 -1 0 1 2 10 10 10 10 10 Frequency (rad/sec) 1 ¸ w F z º · µ ´ Fc w ¶ (µ ´ F à · 1 w Ä F IG . 5.13 – Diagramme de Bode de Fc w µ ´La transformation math´ matique fait que si le syst` me e e Commande du systeme µ ´continu Fc w est stable, alors F z est stable. Cependant µ ´ 3 µ ´Fc w n’a pas d’autre signification physique. 2 Amplitude µ ´ 1 La synth` se du r´ seau correcteur Hc w s’effectue alors e e 0selon une m´ thode classique de synth` se des syst` mes e e e µ ´ -1continus appliqu´ e a Fc w . De ce correcteur il vient par e ` -2la transformation inverse en w la fonction de transfert 0 1 2 3 Temps 4 5 6 µ ´H z du correcteur num´ rique a utiliser : e ` Sortie du systeme 1.5 ¶ (µ ´ z · 1 1 H z Hc Amplitude ¸ à z 1 Ä 0.5 Appliquons cette approche au probl` me du paragraphe e 05.1.3. On calcule le mod` le discret de l’ensemble blo- e 0 1 2 3 Temps 4 5 6queur + proc´ d´ : e e F IG . 5.14 – Syst` me corrig´ par H z e e µ ´ 0 204z 0 185 ½ ¸ ½ F z 1¾ £µ ´ ¿ ¶ B0 p G p F2µ ´ µ ´ ¶ À z2 1 74z 0 74 · ½ ¸ ½ 5.3 R´ gulateur P.I.D. num´ rique e eOn utilise ensuite la transformation en w pour d´ finir une efonction de transfert fictive de type continu : Le r´gulateur P.I.D. est tr` s r´ pandu dans le domaine e e e 1 ¸ w · ¶ 0 019w2 0 37w 0 389 ½ · ½ ¸ ½ industriel. Il constitue l’outil standard de la commande ¶ Fc w (µ ´ F à de nombreux proc´ d´ s industriels. Con¸ u initialement en e e c 1 · w Ä 3 58w2 0 52w ½ ¸ ½ technologie analogique (hydraulique, pneumatique, elec-´On effectue la synth` se d’un r´ seau correcteur a avance e e ` tronique,...), il a et´ transpos´ en num´ rique pour pouvoir ´e e e µde phase Hc w a partir des courbes de r´ ponse en fr´ - ` e e etre implant´ sur calculateur. Cette transposition n’est rien ˆ e µ ´´quence de Fc w repr´ sent´ es figure 5.13. e e d’autre que l’application de la m´ thode de discr´ tisation e e de la section 5.1. Le choix d’un r´ seau correcteur : e ¶ (µ ´ 1 ¸ 3 73w ½ Hc w 1 ¸ 0 74w 5.3.1 Rappels sur le r´ gulateur P.I.D. ana- e ½ logiqueconduit a une marge de phase de φm 35o . La transfor- ` ¶mation inverse en w permet d’obtenir la fonction de trans- La formulation de base du r´gulateur P.I.D. est donn´ e e e µ ´fert H z du correcteur num´ rique a utiliser : e ` par la relation suivante : kp ε t τi 0 ε τd · · ¶ gµ ´ ¸ µ ´ Å 1 t µ ´ dε tÈ Ç ¶ (µ ´ z 1 ¶ 4 73z ½ 2 73 ½ ut t dt ¸ dt H z Hc ¸ à ¸ Æ É z 1 Ä 1 74z ½ 0 26 ½ ËtÊLa r´ ponse du syst` me echantillonn´ utilisant ce correc- e e ´ eteur est donn´ e figure 5.14. e U p ¶ (µ ´ kp 1 ¸ Å 1 τi p ¸ τd p µ ´ Ì ¬É p
  • 53. ´ ´5.3. REGULATEUR P.I.D. NUMERIQUE 47o` ε repr´ sente l’´ cart entre le signal de consigne yc et le u e e sortie uk de la saturation (r´ elle ou simul´ e), avec une e esignal de sortie mesur´ du proc´ d´ y. e e e constante d’int´gration τt . Le principe de cette adaptation e En pratique, des adaptations sont r´ alis´ es a partir de e e ` est montr´ sur la figure 5.15. ela formulation de base. · y Adaptations de la partie d´ riv´ e. e e k p τd p L’effet d´ riv´ pur ne peut pas etre impl´ ment´ car non e e ˆ e e ¸ ¸r´ alisable physiquement. De plus, l’effet d´ rivateur appli- e e ε v uqu´ a de hautes fr´ quences conduirait a une amplification e` e ` kp ¸trop importante des bruits de mesure. En approchant leterme τd p par la fonction de transfert : kp ¸ 1 · ¸ τd p τi ¸ p τd ¸ 1 p es N 1on limite a N le gain aux hautes fr´ quences de la par- ` e τttie d´ riv´ e. Les valeurs de N sont g´ n´ ralement choisies e e e edans la fourchette 3-20, voir N 10 par d´ faut. e ¶ En r´gulation, on evite aussi souvent de d´ river le terme e ´ e F IG . 5.15 – Adaptation de la partie int´grale ede consigne pour eviter des variations brusques de la com- ´mande lors de discontinuit es sur la consigne. ´ La variable v, qui est la sortie du P.I.D. classique g´ - e En conclusion, l’effet d´ riv´ peut etre pris suivant l’un e e ˆ n` re la commande u a travers une saturation simulant la e `des trois mod` les suivants : e saturation r´ elle de l’actionneur. L’´ cart entre u et v est e e reboucl´ sur la partie int´grale du correcteur. Le sch´ ma e e e ¶ D p(µ ´ k p τd p µ ´ Ì p du syst` me peut etre ramen´ a celui de la figure 5.16. e ˆ e` Ê limitations sur les hautes fr´ quences e ¸ v ¶ (µ ´ τd p µ ´ D p kp τd Ì p P.I.D. 1 Í N p Ê limitations sur la consigne · u · (µ ´ ¶ τd p µ ´ 1 D p kp τd Y p 1 Í N p pτt e s ¸ Adaptations de la partie proportionnelle. F IG . 5.16 – Sch´ ma equivalent e ´ Pour la mˆ me raison que pour l’effet d´ riv´ , on peut e e eetre amen´ a n’injecter qu’une partie de la consigne dansˆ e`le terme proportionnel. La pr´ cision est malgr´ tout assu- e e Lorsque la commande sature, alors u Cte est de type ¶r´ e grˆ ce au terme int´gral. e a e echelon. La boucle comportant une int´gration, l’´ cart es ´ e e tend vers z´ ro et v tend donc vers u Cte, entraˆnant une e ı ¶ L’effet proportionnel peut etre pris suivant l’un des deux ˆmod` les suivants : e d´ -saturation de l’int´grateur. e e ¶ £µ ´ µ ´ Ceci se traduit, pour la partie int´grale du correcteur, a e ` P p kp p Ì l’un des deux mod` les suivants : e Ê 1 limitations sur la consigne ¶ I p (µ ´ kp p µ ´ ¶ £µ ´ τi p Ì P p k p bYc p ´ · µ ´ µ Y p˜µ ´ Ê anti-d´ rive de l’int´grateur e eavec 0 b 1. Î Î 1 1 ¶ I p(µ ´ kp ¸ µ ´ p kp · µ ´ ´ U p V p µ ˜µ ´ Adaptations de la partie int´ grale. e τi p Ì τt p La partie int´grale peut entraˆner des effets ind´ sirables e ı elorsque, en raison d’un signal d’erreur trop grand, l’int´ -e 5.3.2 R´ glage du P.I.D. egrateur sature. L’actionneur reste alors en but´ e, mˆ me e elorsque la sortie du proc´ d´ varie. Une approche possible e e Le r´glage du r´gulateur P.I.D. passe par le choix des e epour eliminer cet effet consiste a introduire un bouclage ´ ` param` tres k p , τi , τd , τt , b et N. Les param` tres fonda- e esur l’int´grateur, ramenant l’´ cart entre l’entr´ e vk et la e e e mentaux sont k p , τi et τd . Le param` tre N est souvent fix´ e e
  • 54. 48 ` ´ CHAPITRE 5. SYNTHESE : TRANSPOSITION DES METHODES ANALOGIQUESa la valeur par d´ faut N 10. La constante de temps τt` e ¶ La partie d´ riv´ e v´ rifie l’une des trois equations r´ - e e e ´ eest choisie dans la fourchette 0 1τi τi . ½ ¿ Ï À currentes : Pour la d´ termination des param` tres k p , τi et τd , des e e k p τd dk ¶ T ´ εk · εk 1 µm´ thodes exp´ rimentales d’analyse du proc´ d´ ont et´ e e e e ´e »propos´ es par Ziegler et Nichols (entre autres). e Ê limitations sur les hautes fr´ quences e M´ thode de la r´ ponse indicielle : e e k p τd N τd Pour un syst` me caract´ ris´ par un retard pur Tr et une e e e dk ¶ τd NT dk 1 Í ¸ τd NT Í ´ εk · εk 1 µ » »pente a en r´gime transitoire, les valeurs des param` tres e e Ê limitations sur la consignesont : ¶ τd · k p τd N · µ dk τd NT dk 1 Í τd NT Í ´ yk yk 1 » » Type kp τi τd P 1 aTr ¼ L’algorithme g´ n´ ral du P.I.D. num´ rique est donn´ e e e e PI 0 9 aTr ¼ ½ 3Tr comme la somme des trois termes : PID 1 2 aTr ¼ ½ 2Tr 0 5Tr ½ ¶ ¸ ¸ uk pk ik dk M´ thode de l’oscillation limite en boucle ferm´ e : e e qui se calculent en temps r´ el a la donn´ e du signal εk et e ` e des valeurs pr´ c´ dentes. e e On boucle le syst` me avec un r´gulateur proportionnel e ede gain K. Si Ko est le gain mettant le syst` me en oscilla- e Adaptation pr´ dictive de l’erreur. etion limite de p´ riode To , les valeurs des param` tres sont : e e Lorsque la p´ riode d’´ chantillonnage est trop petite pour e e que le temps de calcul ne puisse plus etre n´glig´ , l’hypo- ˆ e e Type kp τi τd th` se de synchronisme entre uk et εk peut conduire a des e ` r´ sultats erron´ s. On met alors en œuvre un P.I.D. pr´ dic- e e e P 0 5Ko ½ teur. La valeur de εk est pr´ dite par la valeur εk obtenue e ˆ PI 0 45Ko ½ To 1 2½ ¼ par l’extrapolation lin´ aire : e PID 0 6Ko ½ To 2 ¼ To 8 ¼ εk ˆ · εk 1 ¶ εk 1 · εk 2 » » »5.3.3 Equations d’un correcteur P.I.D. nu- c’est a dire : ` εk ˆ ¶ 2εk 1 · εk 2 m´ rique e » » qui est port´ e dans l’algorithme a la place de εk . e ` Ayant fait un choix de mod` le pour le P.I.D. et ayant r´ - e egl´ les param` tres il est possible d’appliquer ce r´gulateur e e eaux syst` me echantillonn´ s par la technique de discr´ tisa- e ´ e e 5.3.4 Exemple d’application du P.I.D. nu-tion. Prenons par exemple le choix d’une approximation m´ rique earri` re. e Exemple 5.1 A titre d’exemple, nous pr´ sentons ici les e La partie proportionnelle s’´ crit donc suivant l’une des e r´ sultats de simulation obtenus dans le cas de la r´gula- e edeux formules : tion par P.I. num´ rique d’un proc´ d´ continu de fonction e e e de transfert : pk ¶ k p εk 1 G p ¶ (µ ´ Ê p p 1 ¸ ´ µ limitations sur la consigne en pr´ sence d’un bloqueur d’ordre z´ ro et avec une p´ - e e e pk ¶ k p byck · yk µ ¶ ´ riode d’´ chantillonnage T 1s. Les param` tres du cor- e e recteur sont fix´ s a : e `avec 0 b 1. Î Î La partie int´grale v´ rifie l’une des deux equations r´ - e e ´ e kp ¶ 1 b ¶ 1 τi ¶ 5 s τt ¶ 5scurrentes : La figure 5.17 donne le r´ sultat (commande et sortie) dans e k pT le cas o` il n’y a pas de saturation de l’organe de com- u τi εk ik ¶ ik 1 ¸ » mande. La figure 5.18 correspond au cas o` l’amplitude u Ê de la commande est satur´ e a 0,1 en valeur absolue et e ` anti-d´ rive de l’int´grateur e e o` il n’y a pas d’adaptation du r´gulateur. La figure 5.19 u e k pT kp T montre l’effet du correcteur de saturation. Ð τi εk ik ¶ ik 1 ¸ ¸ uk · vk µ τt » ´
  • 55. 5.4. EXERCICES 49 Commande du systeme Commande du systeme 1.5 0.1 1 0.05 Amplitude Amplitude 0.5 0 0 -0.05 -0.5 -1 -0.1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Temps Temps Sortie du systeme Sortie du systeme 2 1.5 1.5 1 Amplitude Amplitude 1 0.5 0.5 0 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Temps Temps F IG . 5.17 – R´ ponse indicielle du syst` me boucl´ e e e F IG . 5.19 – R´ ponse indicielle avec anti-d´ rive e e Commande du systeme 0.1 3. Etudier en fonction de K le comportement du sys- 0.05 t` me echantillonn e boucl´ avec bloqueur d’ordre z´ ro, e ´ ´ e e Amplitude 0 en pr´ sence de ces diff´ rents r´gulateurs et compa- e e e -0.05 rer avec la r´gulation continue (lieu d’Evans, limite e de stabilit´ , comportement en r´gime transitoire). e e -0.1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Temps 2 Sortie du systeme Solution 1.5 1. Le syst` me continu boucl´ a pour equation caract´ - e e ´ e Amplitude 1 ristique 0.5 K ¸ ¶ 1 0 ¸ ´ µ 0 p p 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Temps soit l’´ quation caract´ ristique : e e F IG . 5.18 – R´ ponse avec saturation de la commande e p2 ¸ p ¸ K ¶ 0 Le syst` me est donc asymptotiquement stable, quel e5.4 Exercices que soit K 0, avec le comportement suivant ÑExercice 5.1 0 Î K Î 1 4 ¼ ap´ riodique e On consid` re le syst` me continu de fonction de trans- e efert : K Ñ 1 4 ¼ oscillatoire 1 ¶ (µ ´ G p p 2. Les diff´ rentes approximations conduisent aux r´gu- e e lateurs num´ riques e 1. Etudier le comportement en fonction de K de ce sys- t` me lorsqu’on le boucle avec un r´gulateur : e e ¶ · ¶ £µ ´ K p z 1 º Rd z z ¶ (µ ´ K Rc p · p ¸ 1 ¶ z 1 ¶ £µ ´ Kz p º Rd z · z 2z 1 2. On d´ cide de mettre en œuvre une r´gulation nu- e e · µ z 1 ¸ ´ K z 1 m´ rique et on choisit une p´ riode d’´ chantillonnage e e e p ¶ 2 º Rd z ¶ (µ ´ ¶ z ¸ 1 3z 1· T 1s. Calculer les r´gulateurs num´ riques obtenus e e par discr´ tisation de R p en utilisant les approxima- e µ ´ tions suivantes : 3. Les trois r´gulateurs conduisent respectivement aux e r´ sultats suivants. e ¶ z · 1 ¶ · z 1 ¶ 2 z · 1 p p p ¸ T zT T z 1
  • 56. 50 ` ´ CHAPITRE 5. SYNTHESE : TRANSPOSITION DES METHODES ANALOGIQUES Cas no 1 Equation caract´ ristique e · ´ zz 1 ¸ µ K ¶ 0 Le lieu d’Evans est repr´ sent´ sur la figure 5.20. Les e e conditions de stabilit´ sont : e 2 Stabilit´ asymptotique e 0 Î K Î 1 1.5 ap´ riodique 0 e Î K Î 1 4 ¼ 1 oscillatoire 1 4 Î ¼ K Î 1 0.5 Imag Axis 0 2 −0.5 1.5 −1 1 −1.5 0.5 −2 Imag Axis −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 Real Axis F IG . 5.21 – Lieu d’Evans cas n0 2 −0.5 −1 −1.5 −2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Real Axis F IG . 5.20 – Lieu d’Evans cas n0 1 Cas no 2 Equation caract´ ristique e · ´ z ´µ 1 2z · 1 ¸ µ Kz ¶ 0 Le lieu d’Evans est repr´ sent´ sur la figure 5.21. Les e e conditions de stabilit´ sont : e Stabilit´ asymptotique e 0 Î K Î 6 3 ap´ riodique 0 e Î K Î 0 17 ½ 2 oscillatoire 0 17 ½ Î K Î 3 1 doublement oscillatoire 3 K 5 82 Imag Axis Î Î ½ 0 oscillatoire 5 82 ½ Î K Î 6 −1 Cas no 3 −2 Equation caract´ ristique e −3 · ´ z 1 3z´µ · 1 ¸ µ K z ¸ ´ 1 ¶ ¬µ 0 −4 −3 −2 −1 Real Axis 0 1 2 Le lieu d’Evans est repr´ sent´ sur la figure 5.22. Les e e F IG . 5.22 – Lieu d’Evans cas n0 3 conditions de stabilit´ sont : e Stabilit´ asymptotique e 0 Î K Î 2 ap´ riodique 0 e Î K Î 0 63 Ï oscillatoire 0 63 Ï Î K Î 2
  • 57. INDEX 51Indexamortissement, 22, 35 analogique, 46 num´ rique, 48 ebloqueur d’ordre z´ ro, 4, 45 e p´ riode d’´ chantillonnage, 4, 7, 11, 16, 36 e ebranches asymptotiques, 34 pˆ les d’un syst` me, 6, 11, 26, 34 o e point d’´ quilibre, 25 ecadence, 1, 11 points de rencontre et d’´ clatement, 34 ecausalit´ , 6, 15 e polynˆ me caract´ ristique, 7, 28, 29 o econvertisseur pulsation propre, 22, 36 analogique-num´ rique, 4 e num´ rique-analogique, 4 e r´gime forc´ , 17 e ecrit` re de Jury, 28, 30, 33 e r´ ponse pile, 18 ecrit` re de Routh, 28, 33 e retard pur, 45d´ composition en el´ ments simples, 9, 17 e ´e signaldiscr´ risation, 41 e a temps continu, 1 ` arri` re, 41 e a temps discret, 1 ` avant, 41 echantillonn´ , 3 e matched pole-zero, 42 signal born´ , 26 e Tustin, 42 stabilit´ , 25, 26 e asymptotique, 25, 26echantillonnage BIBO, 26 table de conversion, 5 globale, 25echantillonneur, 4 interne, 25equation r´ currente, 6, 11, 15 e syst` me echantillonn´ , 7, 10, 29 e ´ efonction de transfert, 6 syst` mes interconnect´ s, 12 e e echantillonn´ e, 8 e forme en z 1 , 6 » temps de r´ ponse, 22 e forme pˆ le, z´ ro, gain, 6 o e th´ or` me de Shannon, 4, 7, 17 e e transform´ e de Laplace, 1, 5 egain de pr´ -commande, 36 e transform´ e en w, 29, 45 egain de r´ troaction, 33 e transform´ e en z, 1, 5, 11 egain statique, 36 lin´ arit´ , 2 e e produit de convolution, 2lieu d’Evans, 34 th´ or` me de l’avance, 2 e eloi de commande, 33 th´ or` me de la sommation, 2, 3 e e th´ or` me de la valeur finale, 2, 3, 36 e emode d’un syst` me, 18 e th´ or` me de la valeur initiale, 2 e e mode ap´ riodique, 18 e th´ or` me du retard, 2, 3, 9 e e mode complexe, 19 mode entrennu, 19 z´ ros d’un syst` me, 6, 34 e e mode oscillatoire, 18, 19 mode r´ el, 18 eordre du syst` me, 7, 11 eoscillations, 21P.I.D.
  • 58. 52 INDEX
  • 59. `TABLE DES MATIERES 53Table des mati` res e1 Mod` les des syst` mes a temps discret e e ` 1 1.1 Signal a temps discret . . . . . . . . . . . . ` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 D´ finition de la transform´ e en z . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.3 Propri´ t´ s de la transform´ e en z . . ee e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.4 Exemples de transform´ es en z . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Signal echantillonn´ . . . . . . . . . . . . . ´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Conversion analogique num´ rique . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Conversion num´ rique analogique . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Syst` me a temps discret . . . . . . . . . . . e ` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Equation r´ currente . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Fonction de transfert en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Syst` me echantillonn´ . . . . . . . . . . . e ´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Fonction de transfert echantillonn´ e ´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.3 Propri´ t´ s du mod` le echantillonn´ ee e ´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 R´ ponse des syst` mes a temps discret e e ` 15 2.1 Calcul de la r´ ponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 A partir de l’´ quation r´ currente . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 A partir de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 R´ ponses echantillonn´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Notion de modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1 Mode r´ el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.2 Mode complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.3 Caract´ risation des modes par analogie avec les syst` mes continus e e . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.4 Superposition des modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Stabilit´ des syst` mes a temps discret e e ` 25 3.1 Stabilit´ interne des syst` mes . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Stabilit´ BIBO des syst` mes . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Crit` re de Jury . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Crit` re de Routh . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.5 Syst` mes echantillonn´ s . . . . . e ´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5.1 Etude en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5.2 Etude en boucle ferm´ e . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Synth` se : Gain de r´ troaction e e 33 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Calcul du gain de r´ troaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 33
  • 60. 54 ` TABLE DES MATIERES 4.2.1 Crit` res de Jury et Routh e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2.2 Lieu d’Evans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3 Calcul du gain de pr´ -commande e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Synth` se : Transposition des m´ thodes analogiques e e 41 5.1 Discr´ tisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.1.1 Approximations de la variable p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.1.2 Adaptation des pˆ les et des z´ ros . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.1.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2 Prise en compte du bloqueur dans la synth` se . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Tp 5.2.1 Approximation du bloqueur par un retard pur e » 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2.2 Transformation en w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 R´gulateur P.I.D. num´ rique . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3.1 Rappels sur le r´gulateur P.I.D. analogique . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3.2 R´glage du P.I.D. . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.3.3 Equations d’un correcteur P.I.D. num´ rique . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3.4 Exemple d’application du P.I.D. num´ rique . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Index 51