ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

21,500 views

Published on

Exponential Function and Logarithm Function

Published in: Education

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

  1. 1. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม (Exponential Function and Logarithm Function) ข้อกาหนด เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็มบวก บทนิยาม aaaaa n  ... ( n ตัว) เมื่อ a เป็นจานวนจริงใด ๆ n เป็นจานวนเต็มบวก เรียก a ว่า ฐาน (base) เรียก n ว่า เลขชี้กาลัง ( exponent) เรียก n a ว่า เลขยกกาลัง (power) ทฤษฎีบท (Theorem) ถ้า a , b เป็นจานวนจริงที่ไม่เป็น 0 และ m , n เป็นจานวนเต็ม จะได้ (1) nmnm aaa   (2) mnnm a)a(  (3) nnn baab )( (4) n nn b a b a       (5) mn nm m n a a a a    1 (6) 1a 0  (7) n n a 1 a   ; n เป็นจานวนเต็มบวก 0 0 ไม่นิยาม ตัวอย่างที่ 2 (1) 103 .10-4 = 103+(-4) = 10-1 = 10 1 (2) X4 X5 = X4+5 = X9 (3) ถ้า 0X  แล้ว X.X-1 = X1+(-1) = X0 = 1
  2. 2. ตัวอย่างที่ 3 (1) 6422)2( 62323   (2) 729 1 3 1 33)3( 6 6)3)(2(32   (3) ถ้า 0x  แล้ว 2 2)2)(1(21 x 1 xx)x(   ตัวอย่างที่ 4 (1) 2222 x9x3)x3(  (2) x4x4)x(2)x2( 2)(222 2 1 2 1 2 1  (3) 623223 1021.1)10()1.1()101.1(   ตัวอย่างที่ 5 (1) ถ้า 0y  แล้ว 2 2 2 y x ) y x (  (2) 4 x 4 x 2 )x( 2 x 2) 2 1( 2 22 1 2 2 1            ตัวอย่างที่ 6 (1) 10 1 101010 10 10 123)2(3 2 3     (2) 128222 2 2 725)2(5 2 5    (3) ถ้า 0x  แล้ว 235 5 3 xx x x  
  3. 3. รากที่ n ในระบบจานวนจริง และจานวนจริงในรูปกรณฑ์ บทนิยาม ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และถ้า a, x เป็นจานวนจริงซึ่งสอดคล้องกับ สมการ xn = a แล้วเราเรียก x ว่าเป็นรากที่ n ของ a ตัวอย่างที่ 1 (1) รากที่ 2 ของ 4 คือ 2 และ -2 เพราะว่า (2)2 = 4 และ (-2)2 = 4 (2) รากที่ 3 ของ -8 คือ -2 เพราะว่า (-2)3 = -8 (3) รากที่ 6 ของ 64 มีสองจานวนคือ 2 หรือ -2 (4) รากที่ 6 ของ -64 ที่เป็นจานวนจริงไม่มีเลย (5) รากที่ 3 ของ 64 มีจานวนเดียวคือ 4 (6) รากที่ 3 ของ -64 มีจานวนเดียวคือ -4 ข้อสังเกต (1) ถ้า n เป็นจานวนเต็มคู่แล้ว จานวนบวกแต่ละจานวนจะมีรากที่ n เป็น จานวนจริงสองจานวน รากหนึ่งจะเป็นจานวนบวก และอีกรากหนึ่งเป็น จานวนลบ (2) ถ้า n เป็นจานวนเต็มคู่ แล้วจานวนลบแต่ละจานวนจะไม่มีรากที่ n ที่เป็น จานวนจริง (3) ถ้า n เป็นจานวนเต็มคี่ แล้ว จานวนจริงแต่ละจานวนจะมีรากที่ n เป็นจานวน จริงเพียงจานวนเดียว รากที่ n ของจานวนบวกเป็นจานวนบวกและรากที่ n ของจานวนลบก็เป็นจานวนลบ บทนิยาม ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 และ a เป็นจานวนจริง ( ยกเว้นกรณีที่ n เป็น จานวนคู่ และ a เป็นจานวนลบ ) แล้วเรากาหนดความหมายของ n a ดังนี้ n a = n a 1 สัญลักษณ์ที่เกี่ยวกับรากที่ n ของจานวนจริง (ก) เครื่องหมาย n เรียกว่า เครื่องหมาย กรณฑ์ ( Radical) และเรียก n ว่าเป็นอันดับ ของกรณฑ์ ( อันดับของ กรณฑ์) (ข) n a อ่านว่า กรณฑ์อันดับที่ n ของ a หรือรากที่ n ของ a (ค) 2 a นิยมเขียนแทนด้วย a
  4. 4. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรากที่ n ของจานวนจริง ถ้า a และ b เป็นจานวนจริง และ m ; n เป็นจานวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1 โดยที่ n a และ n b หาค่าได้แล้ว 1.  nn a = a 2. n ab = nn ba  3. n b a = n n b a ; b  0 4. n n a =    คี่nเป็ นจำนวน;a คู่nเป็ นจำนวน;a 5. m n a = mn a 6. kn km a = n m a ; k เป็นจานวนเต็มบวก 7. n m a = m n a         1 = n m a 8. n 0 = 0 9. n 1 = 1 การบวกและการลบของจานวนที่ติดกรณฑ์ ข้อตกลง จะนาจานวนที่ติดกรณฑ์ มาบวกหรือลบกันได้ต่อเมื่อจานวนนั้น ๆ ต้องมีคุณสมบัติครบ 2 ประการ คือ 1. อันดับของกรณฑ์ต้องเท่ากัน 2. จานวนที่อยู่ภายใต้กรณฑ์ต้องเท่ากัน และเวลาบวกหรือลบกันให้นา " สัมประสิทธิ์หน้ากรณฑ์มาบวกหรือลบ " เท่านั้น ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ 323335  แนวคิด นาสัมประสิทธิ์หน้ากรณฑ์มาบวก ลบ กัน 323335  =   3235  = 36
  5. 5. ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ 32712  แนวคิด จะต้องทาตัวเลขภายใต้กรณฑ์ให้เท่ากันเสียก่อน แล้วจึงนามาบวกลบกัน จะได้ 32712  = 33.93.4  = 33332  =   3132  = 34 การคูณกรณฑ์ด้วยกรณฑ์ ข้อตกลง 1. จะนากรณฑ์มาคูณกันได้ก็ต่อเมื่ออันดับกรณฑ์ต้องเท่ากัน 2. เมื่ออันดับกรณฑ์เท่ากันก็ให้นาตัวเลขภายใต้กรณฑ์มาคูณกัน 3. นาสัมประสิทธิ์หน้ากรณฑ์มาคูณกัน ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ    225273 แนวคิด จะเห็นว่าคูณกันได้เลยตามข้อตกลง จะได้    225273 =   2.5.72.2.3 = 7012 ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าของ   3535  แนวคิด   3535  =       33533555  = 5 - 3 = 2 ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ   3522 3 แนวคิด จะเห็นว่าโจทย์ที่ให้อันดับของกรณฑ์ตัวตั้งกับตัวคูณไม่เท่ากัน ต้องทาให้เท่ากันเสียก่อน โดยนาอันดับของกรณฑ์ที่ทั้งตัวตั้งและตัวคูณมาหา ค.ร.น. โดยใช้ทฤษฎีบทข้อ 6 เข้าช่วย km kn a = m n a จะได้ 3 2 = 2.3 2 2 = 6 4 3 = 3.2 3 3 = 6 27
  6. 6.   35223  =   66 27542 =  6 27.45.2 = 6 10810 การคูณโดยอาศัยรูปผลต่างกาลังสอง )))(( 22 bababa  ดังนั้น bababa  ))(( รูปผลต่างกาลังสองจะนามาใช้ในการแก้ปัญหาโจทย์เกี่ยวกับกรณฑ์ในกรณีที่ตัวส่วนติดกรณฑ์ การหารกรณฑ์ด้วยกรณฑ์ ข้อตกลง 1. จะนากรณฑ์มาหารกันได้ก็ต่อเมื่ออันดับของกรณฑ์ต้องเท่ากัน 2. เมื่ออันดับของกรณฑ์เท่ากันก็ให้นาตัวเลขภายใต้กรณฑ์มาหารกัน 3. ถ้าตัวส่วนติดกรณฑ์ต้องใช้รูปผลต่างกาลังสองแก้ปัญหา ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของผลหารต่อไปนี้ ( 1 ) 2 32 แนวคิด จากโจทย์จะเห็นว่าอันดับของกรณฑ์เท่ากัน สามารถกระทากันได้เลย จะได้ 2 32 = 2 32 = 16 = 4 ( 2 ) 2 15 แนวคิด จะเห็นว่าอันดับของกรณฑ์เท่ากัน แต่ผลหารไม่ลงตัว จะต้องทากรณฑ์ของตัวส่วนให้ หมดไป โดยนา 2 คูณทั้งตัวเศษและตัวส่วน จะได้ 2 15 = 2 30 22 215    ( 3 ) 3 23
  7. 7. แนวคิด จะเห็นว่าอันดับกรณฑ์ไม่เท่ากันต้องเปลี่ยนเป็นกรณฑ์อันดับ 6 จะได้ 3 23 = 6 3 6 3.2 3 2.3 2 3 4 3 2  =    6 6 6 6 36 3 6 36 3 274 33 34    = 3 1086 ตัวอย่างที่ 9 จงทาให้ส่วนไม่มีเครื่องหมายกรณฑ์ ( 1 ) 35 1  =     3535 351   = 35 35   = 2 35  ข้อสังเกต จากตัวอย่างข้างต้น   3535  เราสามารถใช้ รูปผลต่างกาลังสองมาใช้แก้ปัญหา    bababa  สรุป 1. กรณฑ์ เหมือนกันเท่านั้นจึงจะบวกลบกันได้ 2. กรณฑ์ อันดับเดียวกันเท่านั้น จึงจะคูณ หารกันได้ 3. การเปรียบเทียบ กรณฑ์ จะเปรียบเทียบได้ก็ต่อเมื่อเป็นกรณฑ์อันดับเดียวกัน
  8. 8. การหารากที่สองของจานวนที่อยู่ในรูป y2x  นักเรียนพิจารณาการกระจายต่อไปนี้ ab2)ba(bab2a)ba( 22222  ab2)ba()b(b.a2)a()ba( 222  ดังนั้น ba)ba(ab2)ba( 2  ถ้า   Rb,a ซึ่ง x = a + b และ y = ab ; 1. ab2)ba(  = ba  2. ab2)ba(  = ba  = 0เมื่อb bเมื่อa ab ba        3. รากที่สองของ )ba(ab2)ba(  4. รากที่สองของ )ba(ab2)ba(  5. 2 )ba(ab2)ba(  ตัวอย่างที่ 1 จงหารากที่สองของ 9610  แนวคิด 1. พยายามแยกตัวประกอบ(Facter)ตัวที่อยู่ในกรณฑ์ 2. หน้ากรณฑ์สัมประสิทธิ์ต้องเป็น 2 จะได้ 9610  = 24.410  = 24210  = 4.62)46(  = 2 )46(  = 2 )26(  ดังนั้น รากที่สองของ 9610  = 24210  = 2 )26(  = )26( 
  9. 9. ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ 625  แนวคิด 625  = 2.32)23(  = 2 )23(  = 23  ตัวอย่างที่ 3 จงหารากที่สองของ 5818  แนวคิด 5818  = 5818  = 5.4218 2  = 80218  = 8.102)810(  = )810(  = 2210(  การแก้สมการจานวนที่อยู่ในรูปเครื่องหมายกรณฑ์ หลักการแก้สมการ ( การหาเซตคาตอบ) เป้าหมายหลัก คือ ต้องทาให้ตัวแปรและตัวเลขในสมการไม่ติดกรณฑ์ 1. ถ้ามีเพียงหนึ่งกรณฑ์ ให้ย้ายข้างให้เหลือกรณฑ์ตัวเดียว 2. ถ้ามีกรณฑ์ 2 ตัว ให้ย้ายไปอยู่ข้างละ 1 ตัว 3. ในกรณฑ์ที่มีกรณฑ์มากให้แบ่งกรณฑ์ไปอยู่แต่ละข้างให้ยึดหลักว่า " ผลบวกของ สัมประสิทธิ์ของตัวแปรทั้งสองข้างนั้นต้องเท่ากันหรือใกล้เคียงกันมากที่สุด" 4. ยกกาลังเพื่อให้กรณฑ์หมด โดยนา a)a( nn  มาใช้ 5. แก้สมการตามปกติ 6. ตรวจคาตอบที่ได้ว่าสมการเป็นจริงหรือไม่
  10. 10. ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคาตอบจากสมการ x119x  แนวคิด 9x  = x - 11 2 )9x(  = 2 )11x(  (ยกกาลังสองทั้งสองข้าง) x + 9 = 121x22x 2  112x23x 2  = 0 )16x)(7x(  = 0  16,7x  ตรวจคาตอบ 1. กรณี x = 7 จะได้ 71197  เป็นเท็จ ดังนั้น 7 ไม่เป็นคาตอบของสมการ 2. กรณี x = 16 จะได้ 1611916  เป็นจริง ดังนั้น 16 เป็นคาตอบของสมการ ดังนั้น เซตคาตอบของสมการ คือ  16 ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคาตอบของสมการ 011x8x  แนวคิด 8x  = 11x  2 )8( x =  2 11x  (ยกกาลังสองทั้งสองข้าง) 8x  = 11x21x  1x2  = 8 1x  = 4 ( ย้าย 2 มาหาร 8) 2 )1x(  = 2 4 ( ใช้กฎ a)a( nn  ) x - 1 = 16 x = 17 ตรวจคาตอบ 1117817  = 0 1169  = 0 3 - 4 + 1 = 0 0 = 0 สมการเป็นจริง
  11. 11.  เซตคาตอบคือ  17 ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ 4x53x42x31x2  แนวคิด จะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้มี 4 กรณฑ์ ให้แบ่งเป็นข้างละ 2 กรณฑ์ โดยพยายามให้ผลบวกของ สัมประสิทธิ์ของ x ทั้ง 2 ข้างเท่ากันหรือใกล้เคียงกัน แล้วยกกาลังสองทั้งสองข้าง 2 ครั้ง จะได้ 4x51x2  = 2x33x4  2 )4x51x2(  = 2 )2x33x4(  )4x5)(1x2(2)4x5()1x2(  = )2x3)(3x4(2)2x3()3x4(  )4x5)(1x2(  = )2x3)(3x4(   2 )45)(12(  xx =  2 )23)(34(  xx 4x13x10 2  = 6x17x12 2  2x4x2 2  = 0 ( นา 2 มาหารทุก เทอม) x2 - 2x + 1 = 0 (x-1) (x-1) = 0 x = 1 ตรวจคาตอบ 4)1(51)1(2  = 2)1(33)1(4  11  = 11  1 - 1 = 1 - 1 0 = 0 สมการเป็นจริง  เซตคาตอบ = { 1 }
  12. 12. กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล นิยาม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป   1a,0a,ayRRy,xf x   จากสมการ y = ax จะเรียก a ว่า ฐาน ( base) ซึ่งแบ่งการพิจารณาค่าของ a ออกได้ 2 ช่วง เมื่อนามาเขียนกราฟได้ดังนี้ กรณี 0 < a < 1 กรณี a > 1 y y (0,1) (0,1) 0 0 ข้อสังเกตจากกราฟ 1. กราฟของฟังก์ชัน y =ax , a > 0 , a 1 จะผ่านจุด (0,1) 2. ถ้า 0 < a < 1 โดเมนเพิ่มขึ้น เรนจ์จะลดลง เรียก y = ax เป็นฟังก์ชันลด ( Decreasing Function) 3. ถ้า a > 1 โดเมนเพิ่มขึ้น เรนจ์จะเพิ่มขึ้น เรียก y = ax เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ( Increasing Function) 4. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชัน 1 - 1 จาก R ไปทั่วถึง R+ (one to one onto) ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล เป็นฟังก์ชัน 1 - 1 หมายความว่า ถ้า ax = ay แล้ว x = y R R+ f :  R ทั่วถึง 11 R x x
  13. 13. ตัวอย่างที่ 1 ฟังก์ชันที่กาหนดให้ต่อไปนี้ เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลด 1. y = x       5 1 2. y = 3x 3. y = 3-x แนวคิด 1. ฟังก์ชันลด เพราะ 5 1 เป็นฐาน ซึ่ง 0< 5 1 <1 2. ฟังก์ชันเพิ่ม เพราะ 3 เป็นฐาน ซึ่ง 3 > 1 3. ฟังก์ชันลด เพราะ y = 3-x = x x 3 1 3 1        ดังนั้น 3 1 เป็นฐาน ซึ่ง 0 < 3 1 <1 สมการเอกซ์โพเนนเชียล สมการเอกซ์โพเนนเชียล คือ สมการที่มีตัวแปรเป็นเลขชี้กาลัง โดยที่ฐานเป็นค่าคงตัว หลักการทั่วไปในการแก้สมการ 1. ถ้าโจทย์มี 2 พจน์ ให้จัดพจน์แต่ละพจน์ไว้คนละข้างของสมการ ทาฐานของเลขยก กาลังให้เท่ากัน แล้วเทียบเลขชี้กาลัง 2. ถ้าโจทย์มีมากกว่า 2 พจน์ ให้จัดข้างใดข้างหนึ่งของสมการให้เท่ากับศูนย์ แยกตัว ประกอบ ( factor) แล้วพิจารณาค่าของตัวแปร ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมการ 2x = 8 แนวคิด ทาฐานให้เท่ากัน แล้วเทียบเลขชี้กาลัง จะได้ 2x = 23  x = 3
  14. 14. ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมการ 5x = 125 1 แนวคิด ทาฐานให้เท่ากัน แล้วเทียบเลขชี้กาลัง จะได้ 5x = 3 5 1 5x = 53  x = -3 ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซตคาตอบของสมการ   642 1  xx แนวคิด โจทย์ข้อนี้ เป็นลักษณะโจทย์ 2 พจน์ ต้องทาฐานให้เท่ากัน เทียบเลขชี้กาลัง แล้วแก้สมการปกติ จะได้ (2x )x-1 = 64 xx  2 2 = 64 = 26  x2 – x = 6 x2 – x – 6 = 0 (x-3)(x+2) = 0 จะได้ x = 3, -2  เซตคาตอบของสมการคือ { -2 , 3 }

×