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    Simulacion Simulacion Presentation Transcript

    • Simulación Andrés Adolfo Navarro Newball
    •  Simulación autónoma realista requiere modelos matemáticos exactos
    • Meta Combinar.  Matemáticas  Física  Ingeniería  Análisis numérico Para modelar el comportamiento de objetos que interactúan Considerar interacciones internas y externas
    • Modelado basado en física Modelado que incorpora características físicas en el modelado de objetos permitiendo la simulación numérica de su comportamiento  Ronen Barzel
    • Aplicaciones Partículas  Fuegos pirotécnicos  Cascadas  Fuego Sistemas de cuerpo rígido  Bolos  Articulaciones humanas Objetos deformables  Piel  Ropa
    • Proceso de modelado Ciclo de simulación: Inicializar Calcular objetos fuerzas t=0 difícil Integrar para obtener velocidad Integrar ∆t, una iteración para Discretiza el tiempo obtener posición Mover objetos, incrementa rt
    • Introducción a la dinámica Matemáticas del movimiento Considere un a fuerza F aplicada a una partícula de masa m Se produce una aceleración a tal que F = ma (Newton)
    •  Cuando la aceleración es constante, la velocidad v de la partícula con velocidad inicial u después de un tiempo t es:v u at
    •  Si s es la distancia que se mueve el objeto, entonces s ut 0.5at 2 También v2 u 2 2as
    • Ecuaciones vectoriales Sea una partícula en el punto x = (x1, x2, x3) con velocidad v = (v1, v2, v3) y aceleración a = (a1, a2, a3) La posición de la partícula después de un tiempo t está dada por:2 xt x0 vt 0.5at Y la velocidadt por at v v0
    • Integración numérica Utilizada con el fin de obtener la nueva posición Si la aceleración no es constante, se requiere integrar la velocidad
    • Método de Euler Dado un breve intervalo de tiempo dt, la posición de una partícula está dada por: xt dt xt vdt 0.5adt 2 O xt dt vt adt xt dt xt 0.5(vt vt dt )dt
    •  Si dt es muy pequeño xt dt xt vt dt dt Esta ecuación es mejor para programar
    •  La aceleración de una partícula se obtiene de F=ma Encuentre la fuerza que se aplica a la partícula y divídala por la masa Si múltiples fuerzas actúan en la partícula, adiciónelas para obtener una única fuerza
    • Problemas De integración de Euler ◦ Requiere valores de dt muy pequeños ◦ Es inexacto ◦ Puede acumular energía
    • Alternativas Existen varias ◦ Runge-Kutta ◦ Lagrange ◦ Libros de análisis numérico
    • Colisión de partículas Una partícula viaja hacia un plano Necesita encontrar el tiempo exacto y la posición de la colisión Problema: ◦ La colisión puede ocurrir en el medio de in intervalo de tiempo
    • Tiempo: t Tiempo: t + dt
    • Solución 1 El tiempo en que ocurre la colisión dentro de algún margen (threshold) Reducir localmente el tamaño del intervalo hasta que la partícula esta a una distancia (threshold) del plano Siempre funciona si se aplica recursivamente Puede ser lenta
    • Tiempo: t Tiempo: t + dt/2 Tiempo: t + dt
    • Solución 2 Si la aceleración es constante Calcula el tiempo exacto del impacto  Aquí, la partícula esta a un distancia del plano que es igual a su radio
    •  Si s es el tiempo para colisión. La colisión ocurre en t+s xt x0 vt 0.5at 2 Aplicamos la ecuación a la altura de la partícula zt s zt v zt s 0.5 gs 2
    •  S el plano está a una altura 0, entonces en la colisión r zt v zt s 0.5 gs 2 2 vzt vzt 2 g ( z r ) s g
    • Reacción de la partícula Asumiendo superficies perfectas No fricción Coeficiente de elasticidad 1 El ángulo de incidencia de la partícula es el mismo que el ángulo de reflexión Asuma que:  N: normal en el punto de colisión  Vi: velocidad de impacto  Vr: velocidad después de impacto
    • NVi Vr
    •  Suponga que el impacto ocurre en t+s t< t+s < t+dt Primero, calcular el movimiento de la partícula hasta el punto de colisión y calcular la velocidad en t+s y el punto de colisión vi vt s vt as xt s vr vi 2N ( vi N )
    •  El nuevo valor de la velocidad de la partícula se utiliza para encontrar su posición final después de dt 2 xt dt xt s vt s dt s 0.5 gdt s Cuidado al calcular la distancia de la partícula al plano
    •  O reversar la componente de velocidad adecuada N Vi (Vx,-Vy,Vz) Vr (Vx, -Vy)
    • Casos especiales
    • Colisión de dos partículas Dos o más partículas se mueven en la misma región Se necesita encontrar si algún par de esferas colisionan en dt
    • Solución Considerar un par de partículas Calcular la velocidad para cada partícula Partícula 1: ◦ Posición x1, calcular velocidad u1 Partícula 2: ◦ Posición x2, calcular velocidad u2 Se calcula si las partículas colisionan en el intervalo dt
    • Situaciones posibles No ? Si
    • Colisión de dos partículas Asumir que las partículas no están colisionando inicialmente Calcular la velocidad relativa (u) de la partícula 1, respecto a la partícula 2 u1 u1 u2 -u2 1 2 1 u 2
    •  Utilizando el intervalo dt calcular la ruta de la partícula 1 relativa a la partícula 2 Encuentre la distancia mas corta de la partícula 2 a esta distancia. Si es menos que la suma del radio de la partícula 1 mas el de la partícula 2, entonces hay una colisión. Indica si hay colisión, no cuando
    • 21 d < r1+r2? dt 1
    • Velocidad después de colisión Conservación del momento Coeficiente de restitución (elasticidad) e. Si e=1  perfectamente elástica. No hay pérdida de energía Si e=0  colisión plástica o inelástica. Las partículas se pegan
    • Impacto central m1u1 m2u2 Antes de impacto m1v1 m2v2 Después de impacto
    • Coeficiente de restitución (v2 v1 ) e (u 2 u1 )
    • Conservación del momento m1u1 m2u2 m1v1 m2v2
    • Impacto oblicuo y v1 v2 a2 b2 x a1 b1 u1 u2
    • a1 , a2 , b1 , b2 , Angulosuix , vix , Velocidad _ linea _ de _ impactouiy , viy , Perpendicularm1u1x m2u 2 x m1v1x m2 v2 x , Momento _ linea _ de _ impacto (v2 x v1x )e , Elasticidad _ linea _ impacto (u2 x u1x )m1u1 y m1v1 ym2u2 y m2 v2 yMomento _ prependicular