Geometric transformations
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Geometric transformations

on

  • 1,792 views

 

Statistics

Views

Total Views
1,792
Views on SlideShare
1,239
Embed Views
553

Actions

Likes
0
Downloads
6
Comments
0

1 Embed 553

http://aannewball.wikispaces.com 553

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

CC Attribution License

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Geometric transformations Geometric transformations Presentation Transcript

  • Populating Ancient Pompeii with Crowds of VirtualRomans (2007)Jonathan Maïm, Simon Haegler, Barbara Yersin, PascalMüller, Daniel Thalmann, Luc J. Van Gool Geometric Transformations Ing. Andrés Adolfo Navarro Newball, MSc, PhD Senior Lecturer and Researcher Pontificia Universidad Javeriana, Cali, Colombia
  • Notación  P’ = P Trans  P’ = Trans P x1P x1 y1 P y1 Xt1 Yt1Trans Xt1 Xt 2 Xt 2 Yt 2 Trans Yt1 Yt 2
  • Traslación 2D P’ [ x + Dx , y + Dy ] D [ Dx , Dy ]P[ x, y ]
  • Rotación 2D y P’[x2, y2] R P[x1, y1] R β α x X2 cos( ) sen( ) X 1 Y2 sen( ) cos( ) Y 1 Demuestre la ecuación matricial
  • Escalamiento X2 Fx 0 X1 Y2 0 Fy Y 1Por qué el escalamiento puede producir cambiode tamaño?
  • Composición detransformacionesPo  P3Transformaciones Se define T T1: P0  P1 T = T3. T2. T1 T2: P1  P2 De manera que T3: P2  P3 P3 = T.Po P1 = T1.Po P2 = T2.P1 P3 = T3.P2
  • Composición detransformacionesLa traslación no es un producto de matrices!!
  • Solución Coordenadas homogéneas X X Punto P [x, y] = Y Y y w 1 W=1 Encomputación x gráfica w=1 w
  • Resultado Translación Xf Xi Yf T Yi 1 1 1 0 Tx T 0 1 Ty 0 0 1 Donde Tx y Ty son distancias.
  • Resultado Rotación Xf Xi Yf R Yi 1 1 cos( ) sen ( ) 0 R sen ( ) cos( ) 0 0 0 1
  • Resultado Escalamiento Xf Xi Yf S Yi 1 1 Fx 0 0 S 0 Fy 0 0 0 1
  • Computacionalmente Función de rotación void Rotacion (Xi, Yi, angulo) { Xi = Xi cos angulo – Yi sen angulo Yi = Xi sen angulo + Yi sen angulo }
  • ComputacionalmenteMultiplicarcada vértice a transformar por una matriz cada vez? R/ Obtener la ecuación una sola vez y utilizarla dentro de una funciónProducto de matrices O(n3)
  • Respecto al origen http://www.netgraphics.sk/2d-geometric-transformations-3y y R R β α x0,0 x 0,0 y y Q D0,0 x 0,0 x
  • Respecto a un punto y y P[Px, Py] P[Px, Py] α α x0,0 x 0,0 y y P[Px, Py] P[Px, Py] 0,0 x 0,0 x
  • Respecto a un puntoComposición de transformaciones 1. Trasladar el punto al origen 2. Rotar o escalar 3. Trasladar de regreso al punto P
  • Gráficamente Translación P[Px, Py] P[Px, Py]0,0 x 0,0 x Translación Rotación P[Px, Py] P[Px, Py] 0,0 x 0,0 x
  • Calcular la matriz 2D de rotaciónrespecto PXf XiYf TR Yi 1 1 1 0 Xi cos(b) sen (b) 0 1 0 XiTR 0 1 Yi sen (b) cos(b) 0 0 1 Yi 0 0 1 0 0 1 0 0 1
  • Transformaciones 3D X XUn punto Y Y Z Z 1 Xf XiTranslación Yf Yi T Zf Zi 1 1 1 0 0 Tx 0 1 0 Ty T 0 0 1 Tz 0 0 0 1Tx, Ty, Tz son distancias
  • Transformaciones 3DEscalamiento Xf Xi Yf Yi S Zf Zi 1 1 Fx 0 0 0 0 Fy 0 0 S 0 0 Fz 0 0 0 0 1
  • Transformaciones 3D 1 0 0 0Rotación 0 cos( ) sen ( ) 0 Rx 0 sen ( ) cos( ) 0 0 0 0 1 cos( ) 0 sen ( ) 0 0 1 0 0 Ry sen ( ) 0 cos( ) 0 0 0 0 1 cos( ) sen ( ) 0 0 sen ( ) cos( ) 0 0 Rz 0 0 1 0 0 0 0 1
  • Transformaciones 3D Rotación a través de cualquier eje  Vector dirección: U = (Ux, Uy, Uz) 2 2 u x cos (1 u x ) u x u y (1 cos ) u z sen u z u x (1 cos ) u y sen 0u x u y (1 cos ) u z sen u 2 cos (1 u 2 ) y y u y u z (1 cos ) u x sen 0 2 2u z u x (1 cos ) u y sen u y u z (1 cos ) u x sen u z cos (1 u z ) 0 0 0 0 1
  • Cuaterniones a + bi + cj + d k a2 + b2 + c2 + d2 = 1rotar ángulo φ a través del vector unitario [b c d]tcos (φ/2) + b sen (φ/2)i + c sen (φ/2)j + d sen (φ/2) kSecuencia de rotaciones  producto de cuaterniones i2 = j2 = k2 = -1 ij = k = -ij jk = i = -kj ki = j = -ki
  • Bibliografía Foley Watt Hearn