Numeros-complejos

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Numeros-complejos

  1. 1. 11 NUMEROS COMPLEJOS1.1 Definición y origen de los números complejos. Todo número complejo (o imaginario) es una expresión de la forma donde es laparte real y es la parte imaginaria. Tanto como son reales, e Los números complejos aparecen al tratar de resolver ecuaciones del tipo .Despejando a se obtiene que se escribe El origen de los números complejos se remonta al siglo XVI en que Cardano llamó raízficticia a las raíces negativas de una ecuación. Otros matemáticos posteriormente las llamaronraíces falsas o raíces sordas. En 1572 Rafael Bombelli señaló que eran necesarias las cantidades imaginarias pararesolver ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma ., donde es cualquier númeropositivo. El brillante matemático Leonhard Euler designó por a El símbolo expresa en formaprecisa una idea abstracta, ya que se puede preguntar ¿Existe algún número que se multipliquepor sí mismo y de ? Los números complejos se pueden graficar en el plano complejo creado por el granmatemático Gauss, quien colocó en el eje la parte , y en el eje la parte es decir, el ejeo eje real (Re) representa la parte real de un número complejo y el eje o eje imaginario (Im) laparte imaginaria del número complejo. Otra forma de representar un número complejo es elpar real . Gráfica 1: Representación del número complejo . De acuerdo a la gráfica anterior los números reales están contenidos en los númeroscomplejos, ya que en el plano el número complejo coincide con el número real ,donde En el caso de los números complejos de la forma son llamados imaginariospuros.
  2. 2. 21.2 Operaciones fundamentales con números complejos. Los números complejos cumplen las reglas del álgebra ya que se pueden sumar, restar,multiplicar, dividir (excepto la división por Antes de ver la suma de números complejosescribiremos en función de diferentes expresiones:COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.
  3. 3. 3Suma de un número complejo Para sumar dos números complejos se suma primero la parte real del primer número con laparte real del segundo. Luego se suma la parte imaginaria del primer número con la parteimaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:Por ejemplo: La suma anterior se realizó en tres pasos, se recomienda al principio practicar los tres pasos,con un poco de práctica podemos realizar solo los dos últimos pasos, cuando tengamos variosejercicios resueltos podremos aplicar directamente el último paso.Veamos otros ejemplos con dos pasos:Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso apaso en forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.Observe que el resultado anterior está en fracciones por lo que es exacto, si usamos decimalesel resultado NO es exacto. Veamos el caso de:
  4. 4. 4En el caso anterior se puede reportar el resultado como: ó ó los cualesno son iguales y NO son exactos. Es por esto que debemos siempre tratar de dar resultados enfracciones (quebrados) y no en decimales. Resolvamos otro ejercicio.RESUELVA EL SIGUIENTE EJERCICIO.Resta de un número complejo Para restar dos números complejos hay dos formas para hacerlo: La primera es que se le resta a la parte real del primer número la parte real del segundo.Luego se resta a la parte imaginaria del primer número la parte imaginaria del segundo. Enforma de ecuación queda como sigue:Resolvamos varios ejemplos:Para resolver el ejercicio anterior se aplicó la ley de los signosResolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual:
  5. 5. 5 Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio loharemos paso a paso en forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.RESUELVA EL SIGUIENTE EJERCICIO. La segunda forma de restar números complejos es usar las leyes de los signos paracambiar el signo a la parte real e imaginaria del segundo número complejo con lo que laecuación se transforma en una suma de números complejos, esto es muy útil, en especialcuando hay signos negativos en el segundo número complejo.En forma de ecuación queda así: Resolveremos con la segunda forma algunos de los ejercicios que hicimos con la primeraforma, observe que se requiere de un paso adicional para hacer el cambio de signo en elsegundo número complejo quedando la ecuación como suma de dos números complejos envez de resta:RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.
  6. 6. 6 Si comparamos las dos formas de restar números complejos aunque la segunda tiene unpaso adicional (que es transformar una resta en suma a través del cambio de signo del segundonúmero complejo) puede ser más útil que la primera forma, por no tener que estar al pendientede los signos.Multiplicación de números complejosPara multiplicar dos números complejos se procede a multiplicar como si se tratase del productode dos binomios. Uno de los términos tendrá donde es equivalente a: .En forma de ecuación:Resolvamos algunos ejemplos:Observe que se sustituyó en la ecuación por . Siempre se debe hacer así.Para resolver el ejercicio anterior se aplicó la ley de los signos
  7. 7. 7 Observe que en el ejercicio anterior se inicia multiplicando los primeros dos binomios, luegose simplificó el resultado hasta tener un binomio , enseguida se multiplicaron elnuevo binomio por el último binomio y se simplificó. Resolvamos otros ejercicios.Resolvamos ahora una multiplicación de fracciones de números complejosAl aplicar ley de los signos y simplificando las fracciones queda:Resolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual:División de dos números complejos Antes de tratar la división de dos números complejos es necesario definir: El conjugado de un número complejo es es decir, se cambia el signode la parte imaginaria del número complejo. Por ejemplo y sonconjugados. También son conjugados y , observe que el signo dela parte real no cambia. Demuestre que son válidas las proposiciones siguientes, para los números complejos: y
  8. 8. 8COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: yPara dividir dos números complejos se multiplican el numerador y el denominador por elconjugado del denominador y se sustituye por . Recordemos que: para nuestro caso:Veamos varios ejemplos de división de números complejos:
  9. 9. 9Resolveremos manualmente las fracciones anteriores
  10. 10. 10Como hay que resolver dos divisiones se harán por separado.COMPRUEBE LAS SIGUIENTES DIVISIONES.
  11. 11. 11Inverso multiplicativo de un número complejo.75. Calcule el inverso multiplicativo dePara comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor76. Calcule el inverso multiplicativo dePara comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor
  12. 12. 1279. Calcule el inverso multiplicativo dePara comprobar el resultado multiplicamos el inverso multiplicativo por el valor1.3 Potencias de “i ”, módulo o valor absoluto de un número complejo. Para calcular las potencias de se puede emplear la ecuación: Si revisamos los valores anteriores podemos ver que: ; ; ; De acuerdo a lo anterior los valores de las potencias de tienen valores cíclicos de 4 en 4de acuerdo a la siguiente tabla: Aunque la tabla anterior puede resultar práctica para potencias menores a 20, para valorescomo ó ó ó resulta insuficiente. Como los valores son cíclicos de 4 en 4,dividamos las potencias entre 4. Iniciemos con valores del primer renglón, usemos los valoresde potencias de
  13. 13. 13 Si observamos los resultados anteriores vemos que el valor después del punto decimal es en todos los casos, con lo que podemos concluir que cualquier potencia de que se dividaentre 4 y de decimales de tendrá un valor de: Dividiendo entre 4 potencias de del segundo renglón como . Ahora podemos ver que el valor después del punto decimal es en todos los casos, con loque podemos concluir que cualquier potencia de que se divida entre 4 y de decimales detendrá un valor de: Si repetimos lo anterior con potencias de del tercer renglón comoveremos que el valor después del punto decimal es en todos los casos, con lo quepodemos concluir que cualquier potencia de que se divida entre 4 y de una fracción detendrá un valor de: En el caso de potencias de del cuarto renglón como veremos que elvalor después del punto decimal es en todos los casos, con lo que podemos concluir quecualquier potencia de que se divida entre 4 y de una fracción de tendrá un valor de: Como síntesis podemos decir: si la división de una potencia de entre 4 tiene como fracción el valor de En el caso de que la división de una potencia de entre 4 tenga comofracción el valor de Cuando la división de una potencia de entre 4 tiene comofracción el valor de Por último si la división de una potencia de entre 4 tienecomo fracción el valor de Veamos varios ejemplos:
  14. 14. 14COMPRUEBE LAS SIGUIENTES POTENCIAS DE Como último punto es útil saber que todas y cada una de las siguientes potencias de al serdivididas entre 4 tienen como fracción la importancia de lo anterior es que cuandodeseamos calcular la potencia de de cualquier valor de 2, 3, 4, 5 ó más dígitos, solo ocupamosal dividir entre 4 tener en cuenta los últimos 2 dígitos. En todas las potencias de arribaseñaladas el valor es . NOTA: Lo anterior no se cumple para un solo dígito, por ejemplo sies al dividir entre 4 se obtiene y no Si aplicamos lo escrito en el párrafo anterior a los ocho ejercicios anteriores veremos que lafracción obtenida es la misma, con lo que el valor de la potencia de no cambia.COMPRUEBE LAS SIGUIENTES POTENCIAS DE DIVIDIENDO SOLO LOS ÚLTIMOS DOS DIGITOS.Calcule:
  15. 15. 15COMPRUEBE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES. Con lo que tenemos visto ya estamos en condiciones de abordar ejercicios más complicadosde multiplicación y división de números complejos. Vamos a resolver binomios elevados apotencias como por tres métodos distintos.Primer Método: Se inicia multiplicando dos binomios, luego simplificamos el resultado hasta , enseguida multiplicamos el nuevo binomio por el tercero, llevando otra vez el resultado aque quede .El binomio de Newton y el triángulo de Pascal se usan para resolver binomios elevados acualquier potencia. Los primeros 5 renglones de cada uno de ellos son: Triángulo de Pascal Binomio de Newton24. Construya el triángulo de Pascal y el Binomio de Newton para las potencias 5, 6, 7 y 8.Segundo Método: Usamos el Binomio de Newton. pero porqueObserve que al desarrollar el binomio de Newton si sumamos las potencias de cada término seobtiene la potencia a resolver, en este caso 3.Tercer Método: Lo hacemos usando la ley de las potencias y el binomio de Newton.
  16. 16. 1627. COMPRUEBE QUE USANDO EL Primer Método.28. COMPRUEBE QUE USANDO EL Segundo Método.29. COMPRUEBE QUE USANDO EL Tercer Método.Resolver por los tres métodos ya vistos.Primer Método: Se inicia multiplicando dos binomios, luego simplificamos el resultado hasta , enseguida multiplicamos el nuevo binomio por el tercero, llevando otra vez el resultado aque quede , y así continuamos hasta terminar.Segundo Método: Resolvamos ahora usando el método del Binomio de Newton. Podemosobservar que: , , , ,Tercer Método: Lo hacemos usando la ley de las potencias y el binomio de Newton.Nuevamente el resultado es el mismo por los tres métodos. En este último ejercicio es mássencillo resolver por el método de Newton y por la ley de las potencias que multiplicando cadabinomio.33. COMPRUEBE QUE USANDO EL Tercer Método.Vamos a ver divisiones un poco más complicadas.
  17. 17. 17
  18. 18. 181.4 Forma polar y Exponencial de un número complejo.Forma polar de los Números Complejos. En la gráfica que está enseguida se tiene: yLa forma rectangular (binómica) de unnúmero complejo es: , pero x Gráfica 1: Representación de la forma polar de un número complejo.Donde es la forma polar de un número complejo. En la expresión anteriorrepresenta la longitud, la cual es siempre positiva y se conoce como módulo o valor absolutodel número complejo. Con el teorema de Pitágoras se obtiene El ángulo se denomina amplitud o argumento, se puede dar su valor en forma positiva siestá en los primeros dos cuadrantes y en forma negativa si está en los cuadrantes tres y cuatro,sin embargo podemos equivocarnos al omitir el signo. Para obtenerlo siempre con valor positivose usan dos ecuaciones la primera es , donde es el valor absoluto de sin eltérmino , es el valor absoluto de . El ángulo está entre los valores y para los cuatrocuadrantes. El ángulo inicia en el eje x del lado positivo con el valor (está en el número 3de un reloj), y aumenta en sentido contrario a las manecillas del reloj. Veamos las gráficas deángulos en los cuatro cuadrantes. (b) (c) (d)
  19. 19. 19 Gráfica 2. Muestra los ángulos y , así como la relación entre ellos en cada cuadrante.(a) Primer cuadrante, (b) segundo cuadrante, (c) tercer cuadrante, (d) cuarto cuadrante.Para la segunda ecuación que relaciona a y se tiene la siguiente tabla. Signo de Signo de Cuadrante ecuación ángulo Primero a Segundo a Tercero a Cuarto a Demos ejemplos de argumentos en los diferentes cuadrantes en forma positiva y negativa: Primero , Segundo , Tercero , Cuarto . Encuentre el lector los ángulos anteriores en hoja cuadriculada con ayuda deun transportador de preferencia de . Los números complejos no se pueden sumar o restar en forma polar, por lo que en este casose deben pasar de forma polar a forma binómica. Vamos a ver como pasar un número complejo de forma binómica a forma polar. Seráncuatro ejemplos, uno por cada cuadrante. Luego habrá cuatro ejemplos, que coincidan con losejes x, o y, después veremos ejemplos de números complejos que pasan de forma polar aforma binómica.1. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo: está en el primer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en gradoscon la expresión teniendo la calculadora en DEG (D). Como está en el primer cuadrante (ver la tabla) El argumento en radianes se calcula con teniendo la calculadora en RAD (R). Observe que el valor está en radianes pero no contiene a . Para introducir a , se multiplicó y dividió por el número , pero solo se hizo la división en lacalculadora, por lo que , quedó escrito en el numerador y es exacto. Como está en elprimer cuadrante (ver la tabla) .
  20. 20. 20Calculemos el módulo o valor absoluto:Como se tiene que2. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo:3. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo: está en el tercer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en gradoscon la expresión teniendo la calculadora en DEG (D). Como está en el tercer cuadrante (ver la tabla)El argumento en radianes se calcula con teniendo la calculadora en RAD (R). Observe que el valor está en radianes pero no contiene a . Para introducir a , se multiplicó y dividió por el número , pero solo se hizo la división en la
  21. 21. 21calculadora, por lo que quedó escrito en el numerador y es exacto. Como está en el tercercuadrante (ver la tabla) pues .Otra forma de obtener en radianes a partir de en grados es con . Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto: Como se tiene que:4. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo: 5. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo. está en el eje x (en el número 3 de un reloj), para este caso la amplitud es: Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto: Como se tiene que:
  22. 22. 226. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo: 7. Encontremos la forma polar en grados y en radianes del número complejo: está en el eje x (en el número 9 de un reloj), para este caso la amplitud es: Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto: Como se tiene que:8. Demuestre que la forma polar en grados y en radianes del número complejo. Para escribir un número complejo en forma binómica (rectangular) a partir de la forma polar,solo es necesario calcular el coseno y el seno del argumento y multiplicarlo por el módulo .Calculemos 8 ejercicios en grados y luego 8 ejercicios en radianes.9. Encontremos la forma binómica del número complejo:Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).
  23. 23. 23Observe que no es un valor exacto, para tratar de hacerlo un valor exacto seelevó al cuadrado y sacó raíz cuadrada al número , pero solo se desarrolló elcuadrado con la calculadora y entonces se escribió la raíz cuadrada que es un valorexacto.10. Demuestre que la forma binómica del número complejo:11. Encontremos la forma binómica del número complejo:Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D). Los valores y no son exactos, y no es posible hacerlosexactos elevando al cuadrado o al cubo, por lo que se dejan con todas sus cifras significativasen los cálculos y solo al último se redondean a 5 cifras significativas.12. Demuestre que la forma binómica del número complejo:13. Encontremos la forma binómica del número complejo:Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).14. Demuestre que la forma binómica del número complejo:15. Encontremos la forma binómica del número complejo:
  24. 24. 24Al calcular la calculadora debe estar en DEG (D).16. Demuestre que la forma binómica del número complejo: Los últimos 8 números estaban en grados, vamos a pasar de forma Polar a forma binómica,cuando están en radianes.17. Encontremos la forma binómica del número complejo: Observe que no es un valor exacto, para tratar de hacerlo un valor exacto seelevó al cuadrado y sacó raíz cuadrada, pero sólo se desarrolló el cuadrado con la calculadoray entonces se escribió la raíz cuadrada que es un valor exacto.18. Demuestre que la forma binómica del número complejo:19. Encontremos la forma binómica del número complejo:
  25. 25. 25 Los valores y no son exactos, y no es posible hacerlosexactos elevando al cuadrado o al cubo, por lo que se dejan con todas sus cifras significativasen los cálculos y solo al último se redondean a 5 cifras significativas.20. Demuestre que la forma binómica del número complejo:21. Encontremos la forma binómica del número complejo:Al calcular la calculadora debe estar en RAD (R).22. Demuestre que la forma binómica del número complejo:23. Encontremos la forma binómica del número complejo:Al calcular la calculadora debe estar en RAD (R).24. Demuestre que la forma binómica del número complejo: Ya sabemos pasar de forma binómica a forma polar y viceversa. Se mencionó que losnúmeros complejos no se pueden sumar ni restar en forma polar, en este caso se pasan deforma polar a forma binómica, se realiza la suma y se regresan a forma polar. Realizaremos una suma y una resta usando algunos de los números complejos con los queya trabajamos.
  26. 26. 26Calcule: yAl calcular la forma binómica de y se obtuvo al sumar se obtiene25. (a) Encontremos la forma polar del número complejo en grados y radianes: está en el segundo cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en grados Como está en el segundo cuadrante (ver la tabla) Observe que el valor está en radianes pero no contiene a . Para introducir a , se multiplicó y dividió por el número , pero solo se hizo la división en lacalculadora, por lo que quedó escrito en el numerador y es exacto. Como está en elsegundo cuadrante (ver la tabla) pues . Otra forma de obtener en radianes a partir de en grados es con .Calculemos el módulo o valor absoluto:
  27. 27. 27Como se tiene que26. Demuestre que la resta26. (a) Demuestre que la forma polar del número complejo en grados y radianes: es La multiplicación de números complejos en forma polar es relativamente sencilla. Losmódulos se multiplican y los argumentos se suman.Veamos algunas multiplicaciones. Se tiene queVamos a multiplicar primero en grados y luego en radianes.
  28. 28. 28Vamos a resolver paso a paso la suma de fracciones:29. Calcule . Se tiene queVamos a resolver primero en grados y luego en radianes.
  29. 29. 29 La división de números complejos en forma polar es relativamente sencilla. Los módulos sedividen y los argumentos se restan.Resolvamos algunas divisionesSe tiene queVamos a resolver primero en grados y luego en radianes.En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos .Vamos a resolver paso a paso la resta en radianes En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos .
  30. 30. 30Se tiene queVamos a resolver primero en grados y luego en radianes.En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos .
  31. 31. 31En el caso de argumentos negativos se pueden expresar en forma positiva si les sumamos .La suma en radianes paso a paso es:Forma Exponencial de un número complejo Con las leyes de los exponentes tenemos que: enparticular si en lugar de tomamos el valor entonces con x, y Se tiene que ¿Qué pasa con ? Sabemos que como conocemos el valor de , pero con tenemos elproblema de la , ya que no sabemos cuánto vale porque ó también . La fórmula de Euler nos dice que el desarrollo de , de acuerdo con estoun número complejo se podrá escribir con la notación de Euler como , donde . La ecuación es la forma Exponencial de los números complejos. Los números complejos no se pueden sumar o restar en forma Exponencial, por lo que eneste caso primero se pasan a forma Polar, luego se pasan a forma rectangular, se hace la sumao resta y se regresa el resultado primero a forma Polar y luego a forma binómica. Pasar de forma Exponencial a forma Polar es muy sencillo ya que35. Determinemos la forma polar en grados y radianes de
  32. 32. 3236. Determinemos la forma polar en grados y radianes de36.36. Es igual de sencillo pasar de forma Polar a forma Exponencial37. Determinemos la forma Exponencial en grados y radianes de38. Determinemos la forma Exponencial en grados y radianes de
  33. 33. 33 Ya se mencionó que los números complejos no se pueden sumar o restar en formaExponencial. En este caso se pasan a forma Polar, luego a forma rectangular, se hace laoperación de suma o resta y luego se pasa el resultado a forma polar y finalmente a formaExponencial. Vamos a resolver una suma y una resta de números complejos en forma Exponencial.39. Suma en forma Exponencial . Ya se vió que:El valor es en forma rectangular, pasemos a forma Polar y Exponencial. está en el tercer cuadrante, primero determinamos la amplitud (argumento) en grados con El valor es exacto, como está en el tercer cuadrante (ver la tabla) .
  34. 34. 34Como está en el tercer cuadrante (ver la tabla) pues . Otra forma de obtener en radianes a partir de en grados es con . Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto: Como se tiene que:40. Demuestre que la resta en forma Exponencial
  35. 35. 35La multiplicación de números complejos en forma Exponencial es relativamente sencilla. Losmódulos se multiplican y los argumentos se suman.Multipliquemos41.42. Demuestre que siLa división de números complejos en forma Exponencial es relativamente sencilla. Los módulosse dividen y los argumentos se restan
  36. 36. 3644. Demuestre que si1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. El Teorema de De Moivre dice que cuando se eleva a la un número complejo en formaExponencial se obtiene una ecuación que recibe el nombre de Fórmula de De Moivre. Potencias de un número complejo en forma Polar.1. Calcule ya se vió que:Resolvamos primero en grados y luego en radianes usando la Fórmula de De MoivreCon la calculadora en DEG ó D se calculaCon la calculadora en RAD ó R se calcula
  37. 37. 372. Demuestre que si3. Calcule ya se vió queResolvamos primero en grados y luego en radianes usando la Fórmula de De MoivreCon la calculadora en DEG ó D se calculaCon la calculadora en RAD ó R se calcula4. Demuestre que si5. Calcule ya se vió que
  38. 38. 386. Demuestre que si7. Calcule ya se vió queRaíces de un número complejo en forma Polar.Si es un entero con valores sucesivos ,Luego óEn el caso de radianes se tiene lo siguiente para Las ecuaciones en letras negritas nos indican que un número cualquiera tanto real comocomplejo, tiene raíces enésimas distintas, donde la primera raíz será para , la segundaraíz será para , la tercera raíz será para , y así hasta llegar a la raíz que será para .
  39. 39. 39 Aunque todas las operaciones con números complejos son importantes es necesario que lasolución de raíces con números complejos quede bien comprendida, ya que al resolverecuaciones polinómicas con números complejos se tendrá que resolver raíces. Es debido a estoque antes de resolver una raíz con números complejos vamos a desarrollar las ecuaciones pararaíz cuadrada, para raíz cúbica y para raíz cuarta.Raíz cuadrada de un número complejo. Se resuelven dos raíces y pero ya hemos usado y como los dos primerosnúmeros complejos para pasar de forma binómica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugarde y , para las dos raíces; y .Para raíz cuadrada , para la raíz y para la raízEn grados las dos raíces son:En radianes las dos raíces son:Raíz cúbica de un número complejo.Se resuelven tres raíces , y pero ya hemos usado , y como los tres primerosnúmeros complejos para pasar de forma binómica a forma Polar, por lo cual usaremos en lugarde , y , para las tres raíces; , y .Para raíz cúbica , para la raíz , para la raíz y para la raíz
  40. 40. 40En grados las tres raíces son:En radianes las tres raíces son:Raíz cuarta de un número complejo.Se resuelven cuatro raíces , , y pero ya hemos usado , , y como los cuatroprimeros números complejos para pasar de forma binómica a forma Polar, por lo cual usaremosen lugar de , , y para las cuatro raíces; , , y .Para raíz cuarta , para la raíz , para la raíz , para la raíz y para la raíz .En grados las cuatro raíces son:
  41. 41. 41En radianes las cuatro raíces son:Todas las raíces serán resueltas paso a paso, con la práctica será posible omitir varios pasos.8. Vamos a resolver la raíz cuadrada de:Solo hasta el final se redondea a 5 cifras significativas.Solo hasta el final se redondea a 5 cifras significativas.Las dos raíces son:
  42. 42. 42Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen,9. Demuestre que si al calcular la raíz cuadrada se obtiene:10. Vamos a resolver la raíz cuadrada de: dondeResolvamos primero en grados las dos raíces y después en radianes:
  43. 43. 43Las dos raíces son:Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen,Resolvamos en radianes las dos raíces:
  44. 44. 44Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen,Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raícesobtenidas en grados por:11. Demuestre que si al calcular la raíz cuadrada se obtiene:12. Vamos a resolver la raíz cuadrada de: dondeResolvamos primero en grados las dos raíces y después en radianes:
  45. 45. 45Las dos raíces son:Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen,Resolvamos en radianes las dos raíces:
  46. 46. 46Las dos raíces son:Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raícesobtenidas en grados por:
  47. 47. 4713. Demuestre que si al calcular la raíz cuadrada se obtiene: Vamos a resolver la raíz cuadrada de:Resolvamos primero en grados las dos raíces y después en radianes:Se vió que:
  48. 48. 48Las dos raíces son:Al graficar las raíces quedan como línea que pasa por el origen,Resolvamos en radianes las dos raíces:
  49. 49. 49Las dos raíces son:Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raícesobtenidas en grados por:15. Vamos a resolver la raíz cúbica de:Resolvamos primero en grados las tres raíces y después en radianes:
  50. 50. 50Las tres raíces son:Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con: entre cada raíz.Resolvamos en radianes las tres raíces:
  51. 51. 51Las tres raíces son:Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con: entre cada raíz.Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raícesobtenidas en grados por:
  52. 52. 5217. Vamos a resolver la raíz cúbica de:Resolvamos primero en grados las tres raíces y después en radianes:
  53. 53. 53Las tres raíces son:Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con: entre cada raíz.Resolvamos en radianes las tres raíces:
  54. 54. 54Las tres raíces son:Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con: entre cada raíz.Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raícesobtenidas en grados por:19. Vamos a resolver la raíz cúbica de:
  55. 55. 55Resolvamos primero en grados las tres raíces y después en radianes:
  56. 56. 56No es posible simplificar elevando al cuadrado o al cubo, elSe redondeó a 5 cifras significativas solo hasta el final de los cálculos.No es posible simplificar elevando al cuadrado o al cubo, elSe redondeó a 5 cifras significativas solo hasta el final de los cálculos.Las tres raíces son:Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con: entre cada raíz.Resolvamos en radianes las tres raíces:
  57. 57. 57Se redondeó a 5 cifras significativas solo hasta el final de los cálculos.
  58. 58. 58Se redondeó a 5 cifras significativas solo hasta el final de los cálculos.Las tres raíces son:Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en tres secciones iguales con: entre cada raíz.Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raícesobtenidas en grados por:20. Vamos a resolver la raíz cuarta de:Resolvamos primero en grados las cuatro raíces y después en radianes:
  59. 59. 59
  60. 60. 60Las cuatro raíces son:Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en cuatro secciones iguales con: entre cada raíz.
  61. 61. 61Resolvamos en radianes las cuatro raíces:
  62. 62. 62Las cuatro raíces son:Al graficar las raíces quedan como un círculo dividido en cuatro secciones iguales con: entre cada raíz.Podemos observar que las raíces son las mismas tanto al resolver en grados como en radianes.Es posible que en lugar de resolver en radianes solo multipliquemos cada una de las raícesobtenidas en grados por:
  63. 63. 631.6 Ecuaciones polinómicas. Las ecuaciones polinómicas con números complejos aparecen con relativa frecuencia enalgunas áreas de la ciencia, es por ello que se hace necesario el estudiar este tema.1. Resolvamos la siguiente ecuación polinómica. en esta ecuaciónCalculemos la raíz cuadrada de . Con la calculadora en DEG (D)
  64. 64. 64Como está en el tercer cuadrante Enseguida obtenemos el módulo o valor absoluto: Como se tiene que:Podemos ver que al usar todas las cifras significativas fueron enteros.Podemos ver que al usar todas las cifras significativas fueron enteros.Lo anterior da como resultado dos valores de Z.
  65. 65. 65 y son las dos raíces de la ecuación polinómica.Para comprobar basta con sustituir las raíces en la ecuación. . Iniciamos con ySi y2. Demuestre que yson las dos raíces de la ecuación polinómicaEJERCICIOS PROPUESTOS.Resuelva las siguientes ecuaciones polinómicas.

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