Introducción al pensamiento matemático
Unidad 2. Métodos de demostración
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Referencias:
Solow, D. (1993). “Cómo entender y h...
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Act. 1. metodos_de_demostracion_caracteristicas_ejemplos

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  1. 1. Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración Actividad 1. Métodos de demostración, características y ejemplos. Métodoprogresivo – regresivo. Este método consiste en trabajar con la hipótesis y la conclusión de forma simultánea obteniendo afirmaciones equivalentes a ambas y de alguna forma llegar vincularlas de manera lógica. Por ejemplo: Si tenemos un triangulo rectángulo tal que su hipotenusa tiene longitud , y su area es entonces el triángulo es isósceles. Del enunciado anterior se desprenden dos premisas que forman implicación , donde, es la hipótesis y la conclusión, para el ejemplo se tiene que: Para demostrar la veracidad de la implicación, primero se empezara a trabajar con la hipótesis, es decir trabajar de manera “progresiva”. Si e son las longitudes de los catetos y la longitud de la hipotenusa y dado que se trata de un triángulo rectángulo entonces se aplica el “teorema de Pitágoras” y se obtiene que . Por otro lado en la hipótesis se dice que el área del triángulo es y sabemos que el área de un triángulo está definida como por lo tanto se puede decir que: Ahora sustituya el teorema de Pitágoras en esta última igualdad y se tiene que: Hasta este punto se utilizado solo la hipótesis y como se puede observar ya no se pueden derivar otras proposiciones a partir de la hipótesis, por lo que ahora se tendrá que trabajar con la conclusión ( ) y tratar de relacionar de manera lógica a esta con la hipótesis ( ). Esto último implica que se realice el proceso regresivo.
  2. 2. Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración Para trabajar con la conclusión se tiene que hacer la pregunta ¿Cuándo el triángulo es isósceles?, la respuesta a esta pregunta se encuentra en la siguiente definición: un triángulo es isósceles si tiene dos lados iguales. La definición para triángulo isósceles obliga a la pregunta ¿Cuándo son dos lados iguales?, la cual se puede escribir en forma de ecuación como ¿cuando ? Una respuesta a esta pregunta sería dos lado son iguales cuando si diferencia sea cero esto es: Observe como hasta este punto se han establecido dos nuevas proposiciones a partir de la conclusión estas son: Ambas proposiciones se conjuntan para comprobar la validez de la conclusión de tal forma que si entonces por lo tanto el triángulo es isósceles. Hasta este punto ya no se pueden derivar más proposiciones a partir de la conclusión, por lo que se tiene que encontrar una relación lógica entre la última proposición derivada de la hipótesis con la última proposición derivada de la conclusión. Si se logra probar que entonces se habrá demostrado exitosamente la implicación, para ello se toma la última proposición derivada de la hipótesis: Multiplicamos por en ambos miembros de la igualdad y se tiene que: Restamos en ambos miembros de la igualdad y se tiene: Se simplifica como y finalmente aplicando raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad se tiene que: Puesto que esta últimatransformaciónvincula lógicamente a la hipótesis y a la conclusión, se puede concluir que el triángulo presentado al inicio es un triangulo isósceles.
  3. 3. Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración Métodode demostración directa. Este método consiste, en utilizar las hipótesis para avanzar progresivamente en la demostración del enunciado, alcanzando la conclusión, ya sea para demostrarla o encontrarla. Esto es una demostración directa del teorema si “p entonces q” consiste en establecer un razonamiento de la forma: Donde la hipótesis “p” se toma como premisa y , expresan consecuencias lógicas secundarias, axiomas, o teoremas ya demostrados. Por ejemplo: Demostrar que la suma de dos enteros pares es par. Del enunciado anterior se desprenden dos premisas que forman implicación , donde, es la hipótesis y la conclusión, para el ejemplo se tiene que: Al observar las dos proposiciones surge la siguiente pregunta ¿Cuándo un número entero es par? La respuesta a esta pregunta es que un número es par cuando esel resultado de la multiplicación de un entero cualquiera por dos. De lo anterior se derivan dos proposiciones nuevas: Donde y son dos enteros únicos. Ahora con estas dos nuevas proposiciones se puede escribir que: Con lo que se demuestra que es par pues (que es un numero entero) es par.
  4. 4. Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración Método por reducción a lo absurdo. Este es un tipo de demostración indirecta, que se fundamenta en las dos equivalencias lógicas siguientes: Este método consiste en suponer que el resultado expresado por el enunciado del teorema es falso. Según la fórmula 1, esto significa suponer la posibilidad de que siendo verdadera, sea falsa. Si a partir de este supuesto se deduce una contradicción (representada por ) entonces la formula es una tautología y esto implica que sea verdadera. Por ejemplo: Demostrar que si el cuadrado de un número entero es impar, entonces el número es impar. Del enunciado anterior se desprenden dos premisas que forman implicación , donde, es la hipótesis y la conclusión, para el ejemplo se tiene que: Sea cualquier número entero y aplicando la fórmula 1 de la definición para este tipo de demostración se tiene que: Esto implica a decir que es impar y es par, de esta equivalencia surgen las preguntas ¿Cuándo un número es impar o par? La respuesta a esta pregunta es que un número es par cuando es el resultado de la multiplicación de un entero cualquiera por dos y un número es impar cuando es el resultado de sumar la unidad a un número par. De lo anterior se derivan dos proposiciones nuevas: Donde y son dos enteros únicos. Ahora a partir de estas proposiciones se tratara de deducir una contradicción , esto es:
  5. 5. Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración Ahora se igualan para comprobar: Se realiza la manipulación algebraica: Y puesto que y son dos enteros, entonces tambien es un entero (llamado ), por lo que se ha encontrado un número entero tal que Esto quiere decir que es par, lo cual, obviamente, es una contradicción. Esta contradicción es el resultado de suponer que es par, lo cual deriva a concluir que es un número impar. Método por inducción matemática. En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro que toma una infinidad de valores enteros. En otras palabras, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento: Sea una proposición que asegura que el entero positivo n, tiene cierta propiedad P. Suponga que se puede probar: Paso básico: Que la propiedad es satisfecha por el primer entero positivo, es decir, es verdadera. Paso inductivo: que si representa un entero cualquiera, cada vez que la propiedad es satisfecha por entonces es satisfecha tambien por el entero siguiente , es decir: si es verdadera, entonces también lo es. Entonces, la propiedad es satisfecha por todos los enteros positivos. Para realizar una demostración por este método, primero se debe demostrar que el primer término de la formula cumple la propiedad. En segundo lugar, se supone que la propiedad es verdadera para un número y se demuestra que también lo es para el siguiente número que es . Cuando se demuestran estos dos pasos la propiedad queda satisfecha para todos los enteros positivos.
  6. 6. Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración Por ejemplo: Demostrar que la igualdad es válida para entero . Aquí se aplica el principio de inducción, pues se asegura que una propiedad es válida para todos los enteros positivos. Paso básico: cuando , existe un solo término en la suma: este valor coincide con . Por lo tanto la, la expresión se satisface para . Paso inductivo: suponga que la propiedad es satisfecha por algún , es decir: En base a esta igualdad demostrar que la propiedad también es satisfecha para . De tal forma que si se tienen términos en la suma, esta es , pues basta con aumentar el impar que sigue a . Asociando los términos obtenido se puede escribir: Esta igualdad demuestra que si en la suma hay términos, la propiedad también se cumple. Método por contraejemplo. Este método se utiliza para demostrar que un argumento que pensamos que no es válido realmente no es válido. Es decir, no se utiliza para demostrar la validez si no para demostrar la falsedad. Este método de demostración está íntimamente relacionado con el cuantificador universal, aparece cuando se quiere probar que una proposición del tipo es falsa. Normalmente se dice que se refuta la proposición . En efecto, será falsa cuando exista, al menos, un elemento a en el universo del discurso para el cual sea una proposición falsa. Entonces se habrá encontrado, un ejemplo que contradice que sea verdad por lo cual se le conoce como contraejemplo. En el caso de un teorema el planteamiento seria como sigue es falso si existe un elemento a en el universo para el cual la proposición condicional sea falsa, es decir, tal que sea verdad y, sin embargo sea falsa.
  7. 7. Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración Por ejemplo: En el universo de los números enteros positivos, demostrar o refutar que “la suma de dos cuadrados perfectos es también un cuadrado perfecto.” La proposición a demostrar escrita en forma condicional seria: “Si y son enteros positivos y cuadrados perfectos, entonces es un cuadrado perfecto” Esto lleva a la siguiente pregunta ¿Cuándo un entero positivo es cuadrado perfecto? La respuesta a esta pregunta es: un entero positivo “ ” es un cuadrado perfecto si puede encontrarse otro entero positivo “ ” tal que . Ahora se plantea el contraejemplo de la siguiente forma: “pueden encontrarse dos enteros positivos y tales que sean cuadrados perfectos y que, sin embargo, su suma no lo sea” Pues bien se eligen dos cuadrado perfectos arbitrariamente por ejemplo y . Entonces Como se puede observar no es cuadrado perfecto. A partir de este contraejemplo se puede decir que la proposición es falsa, esto porque: “ y son, ambos, cuadrados perfectos y, son embargo, su suma, no lo es.” Método por contraposición. Esta técnica consiste en realizar una prueba directa de y se conoce como prueba por contraposición o por contra recíproca, esto debido a que es conocida como contra positiva de . La demostración de un teorema se dice que es por contraposición cuando suponiendo que la conclusión , es falsa y y utilizando la hipótesis y otros teoremas y equivalencias lógicas establecidas previamente, se concluye que es falso. Está basada en la equivalencia lógica entre una proposición condicional y su contra recíproca: Por lo tanto, si puede probar que es una tautología, se habrá probado que también lo es.
  8. 8. Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración Por ejemplo: Demostrar, para cada entero , que si es par, entonces es impar. Lo anterior se puede escribir en forma de proposiciones: Puesto que se utilizara el método por contraposición, se escribe la contra recíproca de la proposición condicional : Es decir “Para cada entero , si NO es impar, entonces NO es par” Esto lleva a la siguiente pregunta ¿Cuándo un entero es impar? La respuesta a esta pregunta es: un entero “ ” es impar cuando cumple la siguiente igualdad para cualquier entero . Pues bien, sea cualquier número entero. Si NO es impar entonces tenemos que: Para cualquier entero y, por lo tanto: Realizando operaciones: Y se puede escribir como: Si es entero, entonces tambien lo es (se llamara , por lo tanto: Esto último afirma que NO es par y con esto se concluye la demostración, pues se afirma que “Para cada entero , si NO es impar, entonces NO es par”
  9. 9. Introducción al pensamiento matemático Unidad 2. Métodos de demostración Referencias: Solow, D. (1993). “Cómo entender y hacer demostraciones en Matemáticas” México. Editorial Limusa. Alfonso Bustamante Arias.(2009).“Lógica y argumentación:De los argumentos inductivos a las algebras de Boole“. México. Editorial Pearson. http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711051/Apuntes/Leccion3.pdf

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