EJERCICIOS RESUELTOSSonia Almanza.2C
PROBLEMAS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADEn teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidadde u...
Distribución de Bernoulli   1. Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte      superior del tablero. La...
σ^2 x =(1.35 )^20.55+(0-1.65)^2 0.45σ^2 x =1.002375+1.225125σ^2 x =2.2275   2. en un restaurante de comida rápida 25% de l...
b) Sea py la probabilidad de éxito de X. Determine py           Y=1 cuando salga la moenda de 5 p(x=1)=5 por lo tanto x   ...
1. ¿Cu ál es l a probabil id ad d e qu e en el gru po hay an    l eid o l a novel a 2 pers onas ?         B (4, 0. 2 ) p =...
3.E xac tam en te d os pers onas .3         Un l abora tori o afi rm a qu e u na d roga c au s a d e    efec tos s ec u nd...
3.¿Cu ál es el núm ero m ed io d e pac ien tes qu e es pera    l abora torio qu e s u fran efec tos s ec u nd arios s i el...
2. De term ine l a probabil id ad d e qu e al m enos u no d e    l os c ond uc tores c on tr ol ad os haya c om etid o al ...
DISTRIBUCION DE POISSON1.- Sea X ~ Poisson(4). Determinea) P(X=1)b) P(X=0)c) P(X<2)d) P(X>1)e) μXf) σxa) P(X=1)= e-4 *P(X=...
P(X=1) = 0.073262555                        P(X=0)= 0.018315638P(X<2) =P(X=1)+P(X=0)P(X<2) =0.07326255+0.018315638P(X<2) =...
numero de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tieneneste defecto. Determine:a) P(X=3)b) P(X≤2)c) P(1≤X<4)d...
P(X=1)= 0.149361205                  P(X=2)= 0.0224041807P(X=3)= e-3*   P(X<2)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)P(X=3)= 0.049787068*  ...
P(X=10)= e-12*P(X=10)= 6.144212353x10-6 *P(X=10)= 6.144212353x10-6 * 17062.76571P(X=10)= 0.104837255c) ¿Cuál es la probabi...
Formula para determinar la varianza en una distribución Poisson:σ2y= λσ2y= 3Respuesta:ii) Sí, Y tiene la varianza más gran...
P(X=2)= 0.044617539                   P(X≤2)= 0.061968804c) μXμX= 6d) σxσx=σx= 2.4494897DISTRIBUCION NORMAL1. Determine el...
A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67     El 25...
3- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmentecon media de 10 giga pascales (Gpa) desviación está...
B) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00      1 – 0.9772 = 0.0228   Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días
5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina sedistribuye con media de 12.05 onzas y desviación estándar de0.0...
TABLA PARA EL AREA A LA DERECHA DE Z
TABLA PARA EL AREA LA IZQUIERDA DE Z
DISTRIBUCION GAMMAEjercicio 1El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue unadistribución dePoisson ...
Cola Izquierda Pr [X<=k]   0,9000Cola Derecha Pr [X>=k]      0,1000Punto X                  14,2429Media                  ...
DISTRIBUCION T DE ESTUDENT      1. Sea T ~ t(4,0.5)         a) Determinar        b) Determinar        c) Determinar P(TP(T...
c) Determinar P(T     P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e-3. En el articulo “ParameterEstimationwithOnlyOne Complete   FailureObserv...
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de        5000 horas?        P(t<5000) =P(T        5. Un siste...
Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta...
AQUÍ SE ENCUENTRAN LAS MUESTRAS QUE SE TOMARON PARA RESOLLVER ELPROBLEMA.Solución:    Para poder resolver el problema lo ...
Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.
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  1. 1. EJERCICIOS RESUELTOSSonia Almanza.2C
  2. 2. PROBLEMAS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADEn teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidadde una variable aleatoria es una función que asigna a cada sucesodefinido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho sucesoocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto detodos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de lavariable aleatoria.Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los númerosreales, la distribución de probabilidad está completamente especificadapor la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidadde que la variable aleatoria sea menor o igual que x.
  3. 3. Distribución de Bernoulli 1. Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55 a) Sea X=1 anota el tiros si no lo hace X=0 determine la media y la varianza de X µ=1(p)+0(p) µ=p µ=1(0.55)+0(1-0.55) µ=0.55+0(0.45) µ=0.55 σ^2 x=0.55(1-0.55) σ^2 x=0.55(0.45) σ^2 x=0.2475 b) Si anota el tiro su equipo obtiene dos puntos si lo falla .Su equipo no recibe puntos. Sea Y el numero de puntos anotados ¿Tiene la distancia de Bernoulli ?si es así encuentre la probabilidad de éxito. Explique por qué. No tiene un distribución de Bernoulli por que los eventos posibles (éxito y fracaso) solo pueden tener valores cero y unoTIRO SE 3 PUNTOS c) Determine la media y la varianza de Y.µ=3(0)+0(1-p)µ=3(0.55)+0(1-0.55)µ=1.65+0(0.45)µ=1.65σ^2 x =(3-1.65 )^20.55+(0-1.65)^2 0.45
  4. 4. σ^2 x =(1.35 )^20.55+(0-1.65)^2 0.45σ^2 x =1.002375+1.225125σ^2 x =2.2275 2. en un restaurante de comida rápida 25% de las órdenes para beber es una bebida pequeña 35% una mediana y 40% una grande. Sea X=1 se escoge aleatoriamente una orden de bebida pequeña y X=0 en cualquier otro caso sea X=1si la orden es una bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si la orden es una bebida pequeña o mediana Z=0 para cualquier otro caso. a) sea pxla probabilidad de éxito de X. Determine px P=(X=1) es igual a .25 por lo tanto X Bernoulli (.25) b) sea pyla probabilidad de éxito de Y. Determinepy P= (y=1) es igual a .35 por lo tanto Y Bernoulli (.35) c) sea pzla probabilidad de éxito de Z. Determine pz P= (z=1) es igual a .60 por lo tanto Z Bernoulli (.60) d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1? Si e) ¿Es pz igual a PY y PY? Si 3. Se lanza una moneda de 1y 5 c. sean X=1 si sale cara en la moneda de 1c y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale cara en la moneda de 5c y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale cara en ambas monedas y Z =0 en cualquier otro caso. a) sea px la probabilidad de éxito de X. Determine px. Ny=1 salga cara en la moneda de 1. P(X=1)=5 por lo tanto X Bernoulli (0) Px= (0) (1-.5) + (1) (.5)=p5
  5. 5. b) Sea py la probabilidad de éxito de X. Determine py Y=1 cuando salga la moenda de 5 p(x=1)=5 por lo tanto x Bernoulli Py= {0} (1-.5) +(1) (.5) =p5 c) Sea pz la probabilidad de éxito de X. Determine pz. {2=1} cuando cara en las dos monedas. P(z=2)=.5 por lo tanto X Bernoulli. Pz (2)(1-.5) + (1)(.5)= 2 = .5 d) ¿Son X y Y independientes? Si son independientes X y Y. 4. Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. sea z=XY. a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli. Puestoque los valores de XyY son 0 y 1, los valores posibles del producto Z=xy son también 0y1 por tanto Z=0 y ya sea X,Y o ambas, también son iguales a 0 por lo que nuevamente Z=XY. b) Demuestre si XyY son independientes, entonces Pz= PxPy Pz=P(z=1)=P(xy=1)=P(x=1yY=1)=P(x=1)=PxPyDISTRIBUCION BINOMIAL La úl tim a novel a d e u n au tor ha te nid o u n gran éxito, has ta el pu nto d e qu e el 80% d e los l ec tores y a l a han l eid o. Un gru po d e 4 am igos s on afic ionad os a l a l ec tu ra:
  6. 6. 1. ¿Cu ál es l a probabil id ad d e qu e en el gru po hay an l eid o l a novel a 2 pers onas ? B (4, 0. 2 ) p = 0.8 q = 0.2 2.¿Y c óm o m áxim o 2?2 Un agen te d e s egu ros vend e pól izas a c inc o pers onas d e l a m ism a ed ad y qu e d is fru tan d e bu ena s al u d . S egú n l as tabl as ac tu al es , l a probabil id ad d e qu e u na pers ona en es tas c ond ic iones viva 3 0 año s o m ás es 2/ 3. Hál l es e l a proba bil id ad d e qu e, tr ans c u rrid os 30 años , vi van : 1. Las c inc o pers onas . B (5, 2/ 3 ) p = 2/ 3 q = 1/ 3 2.Al m enos tres p ers onas .
  7. 7. 3.E xac tam en te d os pers onas .3 Un l abora tori o afi rm a qu e u na d roga c au s a d e efec tos s ec u nd arios en u na pro por c ión d e 3 d e c ada 100 pac ien tes . Para c on tras ta r es ta a firm ac ión, o tro l abora torio el ige al azar a 5 pac ien tes a l os qu e apl ic a l a d roga. ¿Cu ál es la proba bil id ad de l os s igu ientes s u c es os ? 1. Ningú n pac iente ten ga efec tos s ec u nd arios . B (10 0, 0 . 03 ) p = 0.0 3 q = 0.97 2.Al m enos d os tengan efec tos s ec u nd arios .
  8. 8. 3.¿Cu ál es el núm ero m ed io d e pac ien tes qu e es pera l abora torio qu e s u fran efec tos s ec u nd arios s i el ige 100 pac ien tes al azar?4 E n u nas pru ebas d e al c ohol em ia se ha obs ervad o qu e el 5% d e l os c ondu c tores c on trol ad os d an pos iti vo en l a pru eba y qu e el 10% d e l os c ond uc tores c on trol ados no ll evan aprovec h ad o el c intu r ón d e s egu rid ad . Tam bién s e ha obs ervad o qu e l as d os infrac c iones s on ind epend ientes . Un gu ard ia d e tr áfic o par a c inc o c ond u c tores al azar . S i tenem os en c u enta qu e el núm ero d e c ond u c tores es su fic ien tem ente i m portan te c om o para es tim ar qu e l a proporc ión d e infra c tores no v arí a al hac er l a s el ecc ión. 1. De term inar l a proba bil id ad a de qu e exac tam en te tres c ond u c tores hayan c om e tid o al gu na d e l as d os infrac c iones .
  9. 9. 2. De term ine l a probabil id ad d e qu e al m enos u no d e l os c ond uc tores c on tr ol ad os haya c om etid o al gu na d e l as d os infrac c iones .5 La prob abil id ad d e qu e u n hom bre ac ier te en el bl anc o es 1/ 4. S i d is para 10 vec es ¿c u ál es l a probabil id ad d e qu e ac ierte e xac tam en te en tr es oc as iones ? ¿Cu ál es l a probabil id ad de qu e ac ierte p or l o m enos en u na oc as ión? B (10 , 1/ 4 ) p = 1/ 4q = 3/ 4
  10. 10. DISTRIBUCION DE POISSON1.- Sea X ~ Poisson(4). Determinea) P(X=1)b) P(X=0)c) P(X<2)d) P(X>1)e) μXf) σxa) P(X=1)= e-4 *P(X=1)= 0.018315638*P(X=1)= 0.018315638* 4P(X=1)= 0.073262555b) P(X=0) = e-4 *P(X=0)= 0.018315638*P(X=0)= 0.018315638* 1P(X=0)= 0.018315638c) P(X<2)P(X=1)= e-4 * P(X=0) = e-4 *P(X=1) = 0.018315638* P(X=0)= 0.018315638*P(X=1) = 0.018315638* 4 P(X=0)= 0.018315638* 1
  11. 11. P(X=1) = 0.073262555 P(X=0)= 0.018315638P(X<2) =P(X=1)+P(X=0)P(X<2) =0.07326255+0.018315638P(X<2) =0.091578193d) P(X>1)P(X=2)= e-4 * P(X=3)= e-4 *P(X=2)= 0.018315638* P(X=3)= 0.018315638*P(X=2)= 0.018315638* 8 P(X=3)= 0.018315638* 10.66666667P(X=2)= 0.146525111 P(X=3)= 0.195366814P(X=4)= e-4 * P(X>1)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)P(X=4)= 0.018315638* P(X>1)= 0.146525111+0.195366814+ 0.195366814P(X=4)= 0.018315638* 10.66666667P(X=4)= 0.195366814 P(X>1)=0.537258739e)μXμX= 4f) σxσx=σx= 22.- suponga que 0.03 % de los contenedores plásticos producidos en ciertoproceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el
  12. 12. numero de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tieneneste defecto. Determine:a) P(X=3)b) P(X≤2)c) P(1≤X<4)d)μXe) σxa) P(X=3)= e-3*P(X=3)= 0.049787068*P(X=3)= 0.049787068* 4.5P(X=3)= 0.0224041807b) P(X≤2)P(X=0)= e-3 * P(X=1)= e-3 *P(X=0)= 0.049787068* P(X=1)= 0.049787068*P(X=0)= 0.049787068* 1 P(X=1)= 0.049787068* 3P(X=0)= 0.049787068 P(X=1)= 0.149361205P(X=2)= e-3* P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X=2)= 0.049787068* P(X≤2)= 0.049787068+0.149361205+ 0.149361205P(X=2)= 0.049787068* 4.5P(X=2)= 0.0224041807 P(X≤2)=0.42319008c)P(X<2)P(X=1)= e-3 * P(X=2)= e-3*P(X=1)= 0.049787068* P(X=2)= 0.049787068*P(X=1)= 0.049787068* 3 P(X=2)= 0.049787068* 4.5
  13. 13. P(X=1)= 0.149361205 P(X=2)= 0.0224041807P(X=3)= e-3* P(X<2)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)P(X=3)= 0.049787068* P(X<2)= 0.149361205+0.224041807+ 0.224041807P(X=3)= 0.049787068* 4.5P(X=3)= 0.0224041807 P(X<2)= 0.597444819d)μXμX= 3e) σxσx=σx= 1.7320308083.- el numero de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncioses una variable aleatoria de Poisson con una razón media de ochomensajes por hora.a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en unahora?b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en11/2 horas?a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en unahora?P(X=3)= e-8*P(X=3)= 3.354626279x10-4 *P(X=3)= 3.354626279x10-4 * 273.0666667P(X=3)= 0.09160366b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?
  14. 14. P(X=10)= e-12*P(X=10)= 6.144212353x10-6 *P(X=10)= 6.144212353x10-6 * 17062.76571P(X=10)= 0.104837255c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en11/2 horas?P(X=0)= e-12* P(X=1)= e-12*P(X=0)= 6.144212353x10-6 * P(X=1)= 6.144212353x10-6 *P(X=0)= 6.144212353x10-6 * 1 P(X=1)= 6.144212353x10-6 * 12P(X=0)= 6.144212353x10-6 P(X=1)= 7.373054824x10-5P(X=2)= e-12* P(X<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X=2)= 6.144212353x10-6 * P(X<3)= 6.144212353x10-6 + 7.373054824x10-5 +P(X=2)= 6.144212353x10-6 * 72 4.423832894x10-4 =P(X=2)= 4.423832894x10-4 P(X<3)= 5.2225805x10-44.- una variable aleatoria X tiene una distribucion binomial y una variable Ytiene una distribucion de Poisson. Tanto X como Y tienen medias iguales a3. ¿Es posible determinar que variable aleatoria tiene la varianza masgrande? Elija una de las siguientes respuestas:i) Sí, X tiene la varianza mas grande.ii) Sí, Y tiene la varianza mas grandeiii) No, se necesita conocer el numero de ensayos,n, para X.iv) No, se necesita conocer la probabilidad de éxito, p, para X.v) No, se necesita conocer el valor de λ para Y.Fórmula para determinar la varianza en una distribución binomial:σ2x= (1-p)σ2x= (1-3)σ2x= -2
  15. 15. Formula para determinar la varianza en una distribución Poisson:σ2y= λσ2y= 3Respuesta:ii) Sí, Y tiene la varianza más grande5.- La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agitapor completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X elnumero de partículas que son retiradas. Determine.a) P(X=5)b) P(X≤2)c)μXd) σxa) P(X=5)= e-6 *P(X=5)= 2.478752177x10-3 *P(X=5)= 2.478752177x10-3 * 64.8P(X=5)= 0.160623141b) P(X≤2)P(X=0)= e-6 * P(X=1)= e-6 *P(X=0)= 2.478752177x10-3 * P(X=1)= 2.478752177x10-3 *P(X=0)= 2.478752177x10-3 * 1 P(X=1)= 2.478752177x10-3 * 6P(X=0)= 2.478752177x10-3 P(X=1)= 0.014872513P(X=2)= e-6 * P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)P(X=2)= 2.478752177x10-3 * P(X≤2)= 2.478752177+0.014872513+0.044617539P(X=2)= 2.478752177x10-3 * 18
  16. 16. P(X=2)= 0.044617539 P(X≤2)= 0.061968804c) μXμX= 6d) σxσx=σx= 2.4494897DISTRIBUCION NORMAL1. Determine el área bajo la curva normal a) Ala derecha de z= -0.85. b) Entre z = 0.40 y z = 1.30. c) Entre z =0.30 y z = 0.90. d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de losproblemasA – 1 – 0.1977 = 0.8023B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.74042- Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyennormalmente con media de 480 y desviación estándar de 90. a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700? b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones? c) Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En que percentil se encuentra? d) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?µ = 480 σ = 90
  17. 17. A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67 El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082 Por lo que una puntuación de 600 esta en el percentil 91D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67 Z = (520 – 480)/90 = 0.44 El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186
  18. 18. 3- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmentecon media de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga resistencia mayor a 12 GPa? b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación. c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.RESULTADOSµ = 10 σ = 1.4A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 =0.0764B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67 El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645 El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.4- La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en uncaldo, cuyo contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. Laconcentración optima e azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentraciónexcede los 6 mg/mL, el hongo muere y el proceso debe suspenderse todoel día. a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación estándar 0.6 mg/mL en que proporción de días se suspenderá el proceso? b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/mL y desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá efectos con menos días de producción perdida? RESULTADOS A) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336
  19. 19. B) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228 Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días
  20. 20. 5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina sedistribuye con media de 12.05 onzas y desviación estándar de0.03 onzas.a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En que valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En que valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?RESULTADOS A) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475 B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas C) – 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas
  21. 21. TABLA PARA EL AREA A LA DERECHA DE Z
  22. 22. TABLA PARA EL AREA LA IZQUIERDA DE Z
  23. 23. DISTRIBUCION GAMMAEjercicio 1El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue unadistribución dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de quetranscurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurrehasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6,2).Solución:Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (ap)a : Escala 60000p : Forma 20000Punto X 10000Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue elsegundo paciente es 0,98.Ejercicio 2Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes queson sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue unadistribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menorque 0,1.Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100
  24. 24. Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
  25. 25. DISTRIBUCION T DE ESTUDENT 1. Sea T ~ t(4,0.5) a) Determinar b) Determinar c) Determinar P(TP(T= 1- e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) -e(0.5)(1)=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636=0.000175 d) Determinar P(TP(T= e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e (0.5)(3)=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551=0.9344 2. Sea T ~ Weibull(0.5,3) a) Determinar b) Determinar
  26. 26. c) Determinar P(T P (T>5) =1-P(T 1) = 1 – e-3. En el articulo “ParameterEstimationwithOnlyOne Complete FailureObservation”se modela la duracion en horas, de cierto tipo de cojinete con la distribucion de Weibull con parámetros a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas de 1000 horas b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de 2000 horas P(T<2000)= P(T c) La función de riesgo se definio en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo en T=2000 horas? h(t) =4. La duración de un ventilador, en horas , que se usa en un sistema computacional tiene una distribución de Weibull con a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure mas de 10 000 horas? P(T>10 000 ) =1 –(1- =0.3679
  27. 27. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de 5000 horas? P(t<5000) =P(T 5. Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie. El sistema fallara cuando alguno de los componentes falle. Sea T el momento en el que el sistema falla. Sean X1 y X2 las duraciones de los dos componentes. Suponga que X1 y X2 son independientes y que cada uno sigue una distribución Weibull con 2 a) Determine P(P( b) Determine P(T 5) P(T =0.8647 c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Así ¿Cuáles son sus parámetros? Si, T~ Weibull (2,
  28. 28. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él seencuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá élsacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:
  29. 29. AQUÍ SE ENCUENTRAN LAS MUESTRAS QUE SE TOMARON PARA RESOLLVER ELPROBLEMA.Solución:  Para poder resolver el problema lo que se tendrá que hacer será lo siguiente se aplicara una formula la cual tendremos que desarrollar con los datos con los que contamos.  Tendremos que sustituir los datos  t= x -μ  SI n α = 1- Nc = 10%  v = n-1 = 24  t = 2.22 Procedimiento:se demostrara la forma en que se sustituiran los datos.  VALOR DE LOS DATOS..APLICACION DE LA FORMULA  µ=500 h t=505.36-500 t = 2.22  n=25 12.0725  Nc=90% v = 25 -1 = 24  X=505.36 α = 1- 90%= 10%  S=12.07
  30. 30. Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.

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