Matemática 3º medio libro para el estudiante

92,455 views
93,054 views

Published on

3 Comments
21 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
92,455
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
392
Actions
Shares
0
Downloads
1,561
Comments
3
Likes
21
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matemática 3º medio libro para el estudiante

  1. 1. TEXTO DEL ESTUDIANTE MATEMÁTICA MATEMÁTICA Olga Saiz Maregatti Profesora de Matemática Viktor Blumenthal Gottlieb Licenciado en Ciencias, mención Matemática INTRO MAT 3M (001-007).indd 1 3 O medio 2/11/11 14:58:27
  2. 2. Estructura del texto Inicio de unidad: En las primeras dos páginas encontrarás un esquema donde se conectan los contenidos y los objetivos fundamentales y transversales que orientan el trabajo de toda la unidad. En las siguientes dos páginas hallarás los contenidos por trabajar, los aprendizajes esperados y una breve introducción a partir de temas o situaciones reales. Conocimientos previos: Esta sección te permitirá recordar lo aprendido en años anteriores, que servirá de cimiento para los nuevos aprendizajes. También consta de una Evaluación, en la que podrás autoevaluar cuán preparado te encuentras. Contenido: A lo largo del libro se presentan páginas de contenido donde se indica claramente lo que aprenderás en cada sección. Sintetizando y Revisemos lo aprendido: En ellas encontrarás un resumen de los conceptos centrales y una evaluación de proceso que te permitirá revisar tu propio aprendizaje. Trabaja: A través de esta sección podrás ir ejercitando algunas habilidades, a fin de fortalecer tus aprendizajes. 2 INTRO MAT 3M (001-007).indd 2 2/11/11 14:58:43
  3. 3. Trabaja Trabaja En forma individual o grupal ejercitarás distintas habilidades. Toma nota Taller de profundización: Te enfrentarás a un desafío en el que irás más allá con respecto a los contenidos trabajados. Taller: Podrás trabajar en grupos, aplicando de manera entretenida algunos de los aprendizajes de la unidad. Datos claves, que debieras recordar o tener presentes, son los que encontrarás en este lateral. Links de interés Aquí se sugieren sitios Web que enriquecerán los contenidos que se trabajan. Recordar y archivar Lateral en el que se recuerda algún contenido relacionado con el tema que se trabaja. Evaluación de la unidad: Aquí encontrarás preguntas en las que deberás razonar, ejercicios de desarrollo para que apliques lo aprendido y ejercicios con alternativas, lo que te permitirá evaluar tu nivel de aprendizaje. Síntesis: Mediante distintos tipos de actividades podrás evaluar los aprendizajes de todas las unidades tratadas. $+ 7 < ¡ ? >% 2 = Para saber más Encontrarás información complementaria relacionada con el contenido trabajado. Para entretenerse ¿Te gustan los desafíos? En esta sección se proponen algunos muy interesantes que podrás resolver utilizando lo que has aprendido. 3 INTRO MAT 3M (001-007).indd 3 2/11/11 14:58:51
  4. 4. Índice Unidad 1 12 - 13 Conocimientos previos 20, 34, 45, 54, 63 y 65 64 - 65 9 - 10 Taller de profundización 66 - 73 Evaluación Unidad 1 78 - 79 Conocimientos previos 100, 125 Raíces y función raíz cuadrada Sintetizando y Revisemos lo aprendido Sintetizando y Revisemos lo aprendido Objetivos Fundamentales y Transversales, Contenidos y Aprendizajes esperados Unidad 2 131 Ecuaciones cuadráticas y función cuadrática Taller: El huevo, la gallina, la parábola y tú Evaluación Unidad 2 142 - 145 75 - 76 132 - 141 Evaluación de síntesis 1 (Unidades 1 y 2) Objetivos Fundamentales y Transversales, Contenidos y Aprendizajes esperados 4 INTRO MAT 3M (001-007).indd 4 2/11/11 14:58:54
  5. 5. 15 ¿Qué son, en realidad, las raíces y qué se puede hacer con ellas? ¿Cómo calcular el valor de raíces con resultados decimales sin calculadora? 14 Raíces, ¿qué son? 16 23 Propiedades de las raíces 18 Raíces cúbicas, ¿qué son? 40 Racionalización 18 ¿Cómo calcular raíces cúbicas? 48 Ecuaciones irracionales 23 Multiplicación de raíces 55 Función raíz cuadrada 25 División de raíces 28 Descomposición de raíces 29 Suma y resta de raíces 30 Raíz de una raíz 81 84 80 Ecuaciones cuadráticas: ¿qué son, cómo se resuelven y para qué sirven? Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2 + c = 0, con a ≠ 0 Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx = 0, con a y b números reales y a ≠ 0 88 ax2 + bx + c = 0, con a, b y c números reales y a Ecuaciones cuadráticas de la forma ≠ 0, donde el trinomio es fácilmente factorizable 92 Método de completación de cuadrado 94 ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, donde el trinomio no es Ecuaciones cuadráticas de la forma fácilmente factorizable y a, b, c pertenece a los reales 106 La parábola 108 109 106 Función cuadrática: ¿qué es y en qué se utiliza? ¿Cómo determinar si un punto del plano pertenece o no a una parábola? ¿De qué depende que la parábola se abra hacia arriba o hacia abajo? ¿Cómo determinar los puntos de corte o 112 intersección de la parábola con los ejes coordenados? 116 ¿Cómo determinar el vértice de una parábola? 121 ¿Cómo determinar el eje de simetría? 123 Otras consideraciones 5 INTRO MAT 3M (001-007).indd 5 2/11/11 14:58:55
  6. 6. Unidad 3 150 - 151 166, 171, 188, 196 y 201 202 - 211 Algo más sobre triángulos rectángulos Evaluación de síntesis 2 (Unidades 1 a 3) 220 - 221 Unidad 4 Evaluación Unidad 3 212 - 215 Objetivos Fundamentales y Transversales, Contenidos y Aprendizajes esperados Taller de profundización Conocimientos previos 231, 242, 255 y 271 147 148 Sintetizando y Revisemos lo aprendido 199 - 201 Desigualdades e inecuaciones Conocimientos previos Sintetizando y Revisemos lo aprendido 273 Taller: Explorando mi barrio 286 - 289 Unidad 5 Evaluación de síntesis 3 (Unidades 1 a 4) 294 - 295 Objetivos Fundamentales y Transversales, Contenidos y Aprendizajes esperados Evaluación Unidad 4 Conocimientos previos 303, 311 y 335 217 218 274 - 285 Sintetizando y Revisemos lo aprendido 339 Probabilidades... un paso más Taller: La mesa redonda del rey Arturo 360 - 361 Índice temático 362 - 398 Evaluación de síntesis 4 (Unidades 1 a 5) 356 - 359 Objetivos Fundamentales y Transversales, Contenidos y Aprendizajes esperados Evaluación Unidad 5 352 - 355 291 292 340 - 351 Evaluación de síntesis 5 (Unidades 1 a 5) Solucionario 6 INTRO MAT 3M (001-007).indd 6 2/11/11 14:58:58
  7. 7. 152 Desigualdades, ¿parecidas a la igualdad? 154 ¿Tendrán propiedades las desigualdades? 157 ¿Para qué se usan las propiedades de las desigualdades? 175 Inecuaciones: ¿qué son? 162 Números reales: ¿qué número es el que está justo antes que otro? 167 ¿Para qué sirven los intervalos? 175 Inecuaciones lineales 192 Sistemas de inecuaciones: ¿qué son?, ¿cómo se resuelven? y ¿en qué se aplican? 222 Teorema de Pitágoras y teorema de Fermat 244 Trigonometría: ¿qué es y para qué se usa? 262 Otros temas de trigonometría 296 Variable aleatoria: ¿qué es? 306 Probabilidad experimental y teórica... ¿se relacionan? 314 Algunas consideraciones de sucesos y probabilidades 320 Sucesos independientes... ¿cómo trabajar con ellos? 329 185 Inecuaciones con valor absoluto Euclides, Pitágoras y sus teoremas 236 181 Inecuaciones fraccionarias y cuadráticas Sucesos dependientes... probabilidad condicionada 399 Bibliografía 7 INTRO MAT 3M (001-007).indd 7 2/11/11 14:58:58
  8. 8. UNIDAD 1 Raíces y función raíz cuadrada RAÍCES Y FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA Concepto de raíz Cálculo de raíces cuadradas y cúbicas Propiedades de las raíces Ecuaciones irracionales Función raíz cuadrada Aplicaciones de las raíces a la vida diaria 8 U1 MAT 3M (008-073).indd 8 2/11/11 15:20:28
  9. 9. OBJETIVOS FUNDAMENTALES Y TRANSVERSALES En esta unidad: Conocerás y utilizarás conceptos matemáticos asociados al estudio de raíces y función raíz cuadrada. Aplicarás y ajustarás modelos matemáticos para la resolución de problemas y para el análisis de situaciones concretas. Modelarás situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean funciones raíz cuadrada. Resolverás desafíos con grado de dificultad creciente, valorando tus propias capacidades. Percibirás la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. Razonarás lógica y deductivamente para ir en búsqueda de nuevos métodos de solución a los problemas que se plantean. 9 U1 MAT 3M (008-073).indd 9 2/11/11 15:20:33
  10. 10. CONTENIDOS Raíces cuadradas y cúbicas. Propiedades de las raíces (raíz de un producto, producto de raíces, raíz de un cociente, cociente de raíces, raíz de una raíz, composición y descomposición de raíces). Racionalización, estimación y comparación de fracciones que tengan raíces en el denominador. Ecuaciones irracionales. Función raíz cuadrada (gráfico de y = x , y = x 2 e identificación de x 2 = x , dominio de una función raíz cuadrada). Resolución de desafíos y problemas de planteo. Generalización para raíces de otros índices. APRENDIZAJES ESPERADOS Uso de herramientas tecnológicas apropiadas para los contenidos de la unidad. En esta unidad se espera que: 1 Conozcas y utilices procedimientos de cálculo algebraico en expresiones en las que intervengan raíces cuadradas y cúbicas. 2 Resuelvas ecuaciones que involucren raíces cuadradas y cúbicas e interpretes sus soluciones. 3 Analices la función raíz cuadrada en el marco de la modelación de algunos fenómenos sencillos. 4 Utilices algunas herramientas tecnológicas como ayuda en la resolución de problemas. 10 U1 MAT 3M (008-073).indd 10 2/11/11 15:20:39
  11. 11. ( ) fue introducido en 1525 por el El símbolo de la raíz cuadrada matemático Christoph Rudolff. Es una forma estilizada y elegante de la letra r minúscula. Este símbolo representa la palabra latina radix, que significa raíz. UNIDAD 1 El cálculo de las raíces cuadradas ha estado presente en la mayoría de las civilizaciones. Alrededor del 1700 a. C., se presentan tablillas babilónicas de cálculos aproximados de raíces cuadradas, probablemente, para la confección de calendarios que preveían los momentos óptimos de siembra y cosecha. El Papiro de Ahmes, datado en 1650 a. C., muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas. En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue, al menos, tan antiguo como los Sulva Sutras, textos de carácter religioso anteriores a 200 d. C., que tenían instrucciones para la construcción de altares de sacrificios. En uno de ellos se encuentra una aproximación numérica de la 2. La Pascalina, de Blaise Pascal (1645) La idea de utilizar un instrumento para manipular números no es nueva. El ábaco es considerado el más antiguo aparato de cálculo, y aún hoy se sigue usando en algunos lugares de Asia. La primera máquina mecánica de calcular, que sumaba y restaba, la inventó Blaise Pascal en 1645 y se llamó “La Pascalina”. Gottfried Leibniz creó la rueda escalada de Leibniz, que sumaba, restaba, multiplicaba, dividía y sacaba raíces cuadradas. Hoy en día nos valemos de la calculadora para ayudarnos con estos y otros cálculos. Por otro lado, en el siglo XVIII surgió uno de los conceptos más fundamentales, hasta hoy, en matemática: la función. Se le atribuye al matemático Leonhard Euler el primer intento por definirla formalmente. Después se precisó una función como la relación entre dos variables, en la que una de ellas depende de la otra (definición que tú estudiaste el año pasado). Este concepto, seguramente, surgió desde los inicios de la matemática con algunas de las civilizaciones antiguas, como la babilónica, la china y la egipcia. Leonhard Euler (1707- 1783) Así como ya conociste y estudiaste las funciones lineales, existen otras que pueden analizarse. Una de ellas es la función raíz cuadrada, con la que se modelan muchas situaciones de la vida cotidiana y de la ciencia. 11 U1 MAT 3M (008-073).indd 11 2/11/11 15:20:41
  12. 12. Conocimientos previos En años anteriores aprendiste mucho sobre potencias; ahora recordaremos algunos conceptos importantes y cómo aplicarlos a ellas. Primero aprendiste que una potencia (an)= a una abreviación de una es ⋅ a ⋅⋅ a a ⋅ ... n veces = a ⋅ a ⋅ ... multiplicación de factores iguales (multiplicamos n veces anpor sía ⋅⋅ a  n = cualquier número real y n es un número n veces a ⋅ ... misma), en la que a es a ⋅ a ⋅⋅ a  n ⋅ ... natural. Es decir, an = a ⋅ a ⋅⋅ a . Por ejemplo, 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81. aveces  a ⋅a ⋅⋅...dea ⋅ a a  Recuerda que en a , = a=a ⋅⋅⋅a la potencia y n es el exponente. es la base ... ⋅ a n veces n n n vecesveces n Luego definiste algunas propiedades para trabajar con las potencias; ellas son: a. Multiplicación de potencias de igual base: Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. an ⋅ am = an + m Ejemplo: 65536 i. 43 ⋅ 45 = 48 = 65536 ii.  2  3   1 024 2 2 ⋅  =   = 59 049 3 3 2 8 10 b. División de potencias de igual base: Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes. an : am = an − m Ejemplo: i. 83 : 82 = 81 = 8 ii. 75 = 72 = 49 3 7 c. Potencia de una potencia: Para elevar una potencia a un número natural, se conserva la base y se multiplican los exponentes. (a ) n i. 23 m = 215 = 32768 = an⋅m Ejemplo: 5 ( ) Recordar y archivar Recuerda que en matemática las divisiones por cero no están definidas. Por lo tanto, solo tiene sentido esta definición: 1 a− n = n si a ≠ 0 a ii. (( −6) ) = ( −6) 2 3 6 = 46 656 Luego ampliaste la definición de potencia para el caso en que el exponente fuera un número negativo o cero; esto es: a 0 = 1 y 1 a− n = n (con a ≠ 0 ) a Por ejemplo: 1 1 10 1  1 −2 =1 i.  −  + 3 = 1 + 2 = 1 + = 9 9 9 3  5 0 −2 2  a5   b2  b4 b7 ii. a b ⋅  2  = a6 b3 ⋅  5  = a6 b3 ⋅ 10 = 4 a a b  a  2 3 ( ) 12 U1 MAT 3M (008-073).indd 12 2/11/11 15:20:44
  13. 13. Estos ejercicios te ayudarán a recordar dichos conceptos y propiedades. 1 e.   2 1 Calcula el valor de las siguientes potencias: c. −42 = b. ( −4 ) = 2 2 :  = 3 −2  12  f. ( −5) − 3 +   =  7  d. 3 ⋅ 2 = 2 2 2 4 0 3 UNIDAD 1 a. 42 = 2 Calcula el valor de las siguientes potencias usando las propiedades de las potencias: a. 23 ⋅ 24 ⋅ 2−9 = d. 23 ( ) 1 b. 2−2 ⋅ 2−3 ⋅   = 2 3 4  1   −1  5 c.   :   ⋅ 3 = 3  3  4 1 ⋅   : 25 2 2 ( ) −1 = e. 3−1 ⋅ ( −3) ⋅ ( −3) −8 2 ( ) −1 f.    2    6 4 ( 2  −1  ⋅   ⋅ −48  2  −4 ( 5 )= ) −2 = 3 Reduce las siguientes expresiones usando las propiedades de las potencias: a. m3 ⋅ m−7 = ( ) ⋅ (2 p ) b. p4 2 5 c. a2 ⋅ b7 ( ) : (ab ) −2 4 −3  d 2 ⋅ ( 4 c )3  d.   =  8 ( cd )5    : p−1 = 4 = 4 Calcula el área de los siguientes paralelogramos: a. Un cuadrado de lado a2 . 3 b. Un rectángulo de lados ab2 y ( ab ) . 1 c. Un romboide de base (3 x ) y altura   . 3 2 −1 Evaluación Marca con una 8 el casillero correspondiente para evaluar tu trabajo de revisión. Indicador Lo hice sin Me costó; necesito problemas repasar un poco más Necesito repasar los contenidos; tuve muchas dificultades Leí detenidamente los contenidos que se explican. Entendí los ejemplos resueltos. Pude resolver correctamente los ejercicios del ítem 1. Pude resolver correctamente los ejercicios del ítem 2. Pude resolver correctamente los ejercicios del ítem 3. Pude resolver correctamente los ejercicios del ítem 4. Si marcaste tres o más cruces en la última columna, vuelve a leer los contenidos de los Conocimientos previos. Probablemente necesites repasar un poco más. 13 U1 MAT 3M (008-073).indd 13 2/11/11 15:20:48
  14. 14. Raíces, ¿qué son? En esta sección aprenderás Qué son las raíces y cómo se calcula su valor. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 2, 5, 6 • Comprender y resolver: 3, 7 • Relacionar y aplicar: 4a, 4b, 4d, 4e, 4f, 4g, 4h, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 • Interpretar y generar ideas: 4c En la semana del aniversario del colegio de Pedro y Alejandra habrá pruebas para las alianzas. Uno de los desafíos es desarrollar un proyecto de servicio a la comunidad. Como Pedro y Alejandra son parte de la directiva de su curso, le plantearon al director la posibilidad de hermosear un sector eriazo de la plaza que está frente al colegio poniendo flores y arbustos. Habiendo aprobado la idea, el director pidió la autorización al departamento municipal correspondiente y les dio a los estudiantes las dimensiones del lugar: 40 m por 60 m. Pedro, Alejandra y el grupo designado para llevar a cabo esta labor decidieron plantar también en una de las diagonales del terreno, pero no saben su medida. ¿Cómo averiguarlo si en ese momento no podían ir a medirla? Recordaron que, en situaciones similares, lo habían resuelto aplicando el teorema de Pitágoras. En este problema tendremos que: Trabaja más... Habilidades por actividad: • Relacionar y aplicar: 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5 B 40 m A 60 m C 402 + 602 = AC 2 11.600 +3 600==AC 600 3.600 1.600 + 3.600 AC 5.200 5 200 = AC 2 22 5.200 = AC 5.200 5 200 = AC Entonces, tomaron sus calculadoras y encontraron que el valor de 5200 = 72, 11102551. Como este es un número decimal, debieron aproximar la medida de la diagonal a 72 m y luego terminaron su trabajo. Desgraciadamente, Pedro no pudo calcular el valor porque su calculadora no tenía la tecla de raíz cuadrada. Debido a esto, planteó sus inquietudes: ¿se podrá hacer este cálculo sin calculadora? ¿Qué son realmente las raíces cuadradas? 14 U1 MAT 3M (008-073).indd 14 2/11/11 15:20:49
  15. 15. Como ya lo has calculado antes, 4 = 2, porque 22 = 4 ; entonces, entenderemos que a es un número que al elevarlo al cuadrado da como resultado a. Ahora bien, si pensamos en el ejemplo anterior, podemos decir que 2 ( −2) = 4 ; entonces, tenemos que para − a se cumple también ( 2 ) Recordar y archivar Todo número real elevado al cuadrado es siempre positivo o cero, es decir, a2 ≥ 0, ∀a ∈ R. Observa que −4 no es un número real, ya que ningún número real elevado al cuadrado dará como resultado un número negativo. que − a = a. UNIDAD 1 ¿Qué son, en realidad, las raíces y qué se puede hacer con ellas? Por lo tanto, definiremos que: 0 a = x , si y solo si x 2 = a para todo número a ∈ R +  { }. Es decir, la ecuación x 2 = a tendrá dos resultados: a y − a . Esto es equivalente a escribir que 2 ( a) =a Observa que en toda raíz se tiene, Índice de la raíz n a Cantidad subradical Toma nota a a = representa, geométricamente, −a la distancia que hay en la recta a numérica entre el cero y a. =  −a Algebraicamente, se define:  a a = −a si a ≥ 0 0 2 n si a ≤ 0 £ a< 0 ≤ 2n 2n 2n Recuerda que cuando hablamos de la raíz cuadrada su índice es dos y no se anota explícitamente. 16 = 4, porque 42 = 16 Aplicando lo anterior, se puede establecer que: i. ii. − 16 = −4 ; 4 lo mismo que − 16 = − es ( iii. iv. − ) ( 1 1 1 1 1 1 = , porque   = ⋅ = 3 3 3 9 9 3 2 16 = −4 )  1 1 1 1 =− = − ; es lo mismo que −   9 3 9 3   15 U1 MAT 3M (008-073).indd 15 2/11/11 15:20:52
  16. 16. ¿Cómo calcular el valor de raíces con resultados decimales sin calculadora? Recordar y archivar Toda raíz puede ser ubicada en la recta numérica. Por ejemplo, para encontrar 2 , lo hacemos geométricamente de la siguiente manera: 1+ 1 = 2 1 0 1 2 2 Como ya has estudiado, 2 no es un número racional. Esto quiere decir que es un decimal infinito puro (tiene infinitas cifras decimales y no son periódicas ni semiperiódicas), por lo que solo podemos conseguir una aproximación de su valor. Cuando necesitamos resolver un problema, la única manera de escribirla, respetando su valor exacto, es como 2 . Pero ¿cómo logramos una aproximación? Existen varios métodos, unos más prácticos que otros. Un buen sistema cuando se quieren pocos decimales (2 o 3) es la aproximación por exploración: 2 debe ser un número entre 1 y 2, ya que 12 = 1 y 22 = 4 , y 2, cantidad subradical, está entre 1 y 4. Entonces, si calculamos (1, 5) , esto es igual a 2,25, por lo que 2 debe ser menor que 1,5. 2 ⇒ (1, 4 ) = 1, 96, entonces debe ser mayor que 1,4 y menor que 1,5. 2 ⇒ (1, 41) = 1, 9881, y (1, 42) = 2, 0164 . 2 2 Por lo tanto, debe ser mayor que 1,41 y menor que 1,42. $+ 7 < ¡ ? >% 2 = Así se pueden buscar los decimales deseados. Para saber más Existen otros métodos para calcular raíces cuadradas y cúbicas sin calculadora. El siguiente link te lleva a descubrir algo más. http://www.monografias.com/ trabajos44/raiz-cuadrada/raizcuadrada.shtml Gracias a la tecnología, hoy en día nos podemos ahorrar este trabajo; las calculadoras nos ayudan en esta tarea. • Digita en tu calculadora y obtendrás 1,414213562... 16 U1 MAT 3M (008-073).indd 16 2/11/11 15:20:55
  17. 17. Trabaja Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. a. d. 16 g. 225 b. c. 36 64 f. i. 3 h. 169 e. 25 196 j. 400 d. 75 g. 42,6 f. i. 625 UNIDAD 1 9 1 Sin usar tu calculadora, encuentra el valor de cada una de las siguientes raíces: 10101 2 Haciendo uso de tu calculadora y con aproximación a la centésima, indica el valor de cada raíz: a. b. c. 10 144 324 e. 104 h. 867 210 j. 1,501 3 Usando el método de aproximación por exploración, determina el valor a la centésima de las a. 5 siguientes raíces: b. 21 c. 37 d. 48 4 Resuelve con tu compañero o compañera de banco los siguientes problemas: e. 59 a. Julieta quiere instalar, para su cumpleaños, un foco en el techo del pasillo y lo intenta subiéndose a una silla, pero no alcanza; entonces trae una escalera. Cuando llega al pasillo se da cuenta de que no la podrá colocar. No calculó que la muralla de la casa mide 2 metros de altura, que el pasillo tiene 1 metro de ancho y que la escalera mide 2,5 metros. ¿Puedes explicarle a Julieta por qué no puede usar esta escalera? ¿Cuál es la mayor longitud que debería tener la escalera para poder ponerla en el pasillo? b. Felipe necesita un recipiente en forma de cubo para colocar 2 kilos de aserrín para la obra que el taller de teatro está montando. Pregunta a don Patricio, un auxiliar del colegio, si sabe las dimensiones de una caja que había en la bodega y si la puede usar. Don Patricio le dice que la prestaron a otro colegio y que no recuerda cuánto mide la caja, pero que necesitaron 1,5 m2 de papel para forrarla. ¿Podrá Felipe, con estos datos, saber si la caja le servirá? Justifica tu respuesta. (Considera que cada m3 de aserrín pesa 200 kg. Esto corresponde a la densidad del aserrín). c. Ya sabes que las raíces cuadradas son números, racionales algunos e irracionales otros, que se pueden ubicar en la recta numérica; por lo tanto, se pueden ordenar. Esto se debe a que es posible establecer una relación de orden entre ellos, es decir, señalar cuándo un número es mayor o menor que otro. ¿Podrías enunciar una regla para comparar dos raíces cuadradas, sean racionales o irracionales, y así decidir cuál es mayor? 17 U1 MAT 3M (008-073).indd 17 2/11/11 15:20:56
  18. 18. Recordar y archivar 1l = 1 000 cm3 = 1 000 cc Raíces cúbicas, ¿qué son? La fábrica de helados Mejor que en el polo decide lanzar al mercado un nuevo helado familiar. Según el dueño, el envase debe ser un cubo que contenga 1,5 litros. Al proponer la idea al equipo de marketing, ellos lo piensan por un momento, calculan y surgen algunas dudas: ¿será apropiado el envase? ¿No generará desconfianza en el público acerca de la cantidad de contenido? ¿Qué piensas tú? ¿Estás de acuerdo con las dudas del equipo de marketing? ¿Puedes realizar los cálculos que ellos hicieron? Bien, para calcular esto debemos recordar que el volumen de un cubo de arista a se determina por la fórmula V = a3; por lo tanto, se tiene que: Recordar y archivar Otra definición de raíz, muy usada, es aquella que la define como una potencia de exponente racional. Así, tenemos que: n am = a Por ejemplo: 3 = 32 , 3 x2 = x 2 3 1 m n 1, 5 litros = a3 1500 cm3 = a3 a = 3 1500 De la misma manera que definimos una raíz cuadrada, podemos decir que, por ejemplo, 3 8 = 2 porque 23 = 8 . Así, 3 8 es un número que al elevarlo al cubo (o a tres) da por resultado 8. También, 3 125 = 5, ya que 53 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 y 33 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 33 = , , ya que   = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ya que = = ya que 27 3 27 3 3 3 3 3 27 3  3 3 3 27 Observa que en este caso (−2) = −8 ; por lo tanto, no puede darse la misma situación que en las raíces cuadradas. En el caso de las raíces cúbicas, la cantidad subradical puede ser negativa. 3 Fíjate ahora, 3 −27 = −3 , porque ( −3) = − 27. 3 Así, podemos definir que: 3 a = x , si y solo si x 3 = a para todo a∈R. La ecuación x 3 = a tiene una solución en los números reales, que es 3 a . ¿Cómo calcular raíces cúbicas? Al igual que las raíces cuadradas, existen raíces cúbicas cuyo resultado se puede escribir como fracción (es decir, son números racionales) y otras que no. Estas últimas también son números irracionales y solo se pueden aproximar, cuando sea necesario, según el contexto del problema. 18 U1 MAT 3M (008-073).indd 18 2/11/11 15:20:59
  19. 19. Para encontrar un valor aproximado, puedes hacerlo por el método de aproximación por exploración, de la misma manera que lo hicimos anteriormente: 3 2 está entre 1 y 2, ya que 1 = 1 y 23 = 8 . ⇒ (1, 5) = 3, 375, entonces 3 3 Las apariencias engañan 2 es menor que 1,5. ¿Cuál de las bolas rojas es más grande? ⇒ (1, 2) = 1, 728 y (1, 3) = 2, 197. 3 3 ⇒ Será un valor entre 1,2 y 1,3. O bien, puedes usar la calculadora y obtener que 3 π ≈ 1, 25992105... 2 3,14 Volviendo al problema de la fábrica de helado y su envase, tenemos que la medida de la arista del cubo del envase de helado será 3 1500, que es aproximadamente 11,45 cm. UNIDAD 1 3 Para entretenerse Sorprendentemente, ambas son del mismo tamaño. ¿Qué le sugerirías tú al dueño respecto del envase con estas medidas? Trabaja Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 1 125 343 5 Sin usar tu calculadora, encuentra el valor de cada raíz: a. b. 3 3 −216 c. d. 3 3 −64 e. f. 3 3 −1 g. h. 3 3 1331 −729 i. j. 3 3 27 −1 000 6 Haciendo uso de tu calculadora y con aproximación a la centésima, indica el valor de cada una de las −9 siguientes raíces: a. b. 3 3 11 c. d. 3 3 512 27 −81 e. f. 3 3 100 −343 125 g. h. 3 3 71,4 88,02 i. j. 3 3 −0,37 10 010 Trabaja Apliquen lo aprendido y resuelvan. siguiente problema: En el interior de una caja de madera caben exactamente 18 bombones esféricos, distribuidos en tres hileras de seis. 1 En un programa de TV se premiará con un notebook a aquel estudiante que logre solucionar el 19 U1 MAT 3M (008-073).indd 19 2/11/11 15:21:02
  20. 20. Estimen cuáles son las medidas del interior de la caja considerando que el volumen del molde de fabricación de cada bombón es de 13,5 cm3. • Consideren π = 3 para hallar el volumen del interior de la caja. • Tienen exactamente seis días para enviar sus repuestas al correo electrónico del programa. • Los e-mails con las posibles respuestas empiezan a llegar. • Se han seleccionado las diez mejores y recibes la noticia de que entre ellas está la tuya. Se les ha citado al programa en vivo para resolver individualmente el problema. ¿Cuál fue la respuesta ganadora? donde se pondrán mide 3 m de largo y 1 m de ancho; por lo tanto, estos tambores deben tener, a lo más, 1 m de diámetro. En Internet encuentran el siguiente aviso: “Se venden tambores metálicos, usados, de 200 litros; el alto es igual al diámetro. $5 000 c/u”. Con estas dimensiones, ¿es factible comprar estos tambores? Considere π = 3,14 luego, hagan sus cálculos y justifiquen su respuesta. 2 Un grupo ecológico necesita tres tambores metálicos para su plan de reciclaje de basura. El lugar Sintetizando Hay algunos conceptos que no puedes olvidar: • Una raíz (cuadrada o cúbica) es un número que puede ser racional o irracional. • Cuando una raíz cuadrada o cúbica es un número racional, es fácil encontrar su valor sin uso de calculadora. ¿Qué debes hacer? Contesta y revisa tu respuesta con tu profesor o profesora. • Cuando una raíz cuadrada o cúbica es un número irracional, solo se podrá dar un valor aproximado de ella; para esto, puedes utilizar calculadora o el método de aproximación por exploración. ¿Por qué? Contesta y revisa tu respuesta con tu profesor o profesora. • Las raíces cuadradas de números negativos no son números reales. • Las raíces cúbicas de números negativos sí se pueden calcular, ya que son números reales. m • Toda raíz se puede escribir como potencia de exponente racional de la siguiente forma: n am = a n . Revisemos lo aprendido Responde las siguientes preguntas: a. ¿Puedo verbalizar los conceptos de raíz cuadrada y cúbica? b. ¿Pude hacer las actividades? c. ¿Aporté a mi grupo cuando tuvimos que trabajar juntos? d. ¿Qué ejercicios de las actividades individuales y grupales me costaron más? e. ¿Tuve que consultar a mi profesor o profesora con mucha frecuencia? Si hasta aquí no tienes dudas y has logrado resolver correctamente los ejercicios, te invitamos a seguir con la próxima sección. Si has tenido dificultades, debes volver a leer la sección y resolver tus dudas con tu profesor o profesora. 20 U1 MAT 3M (008-073).indd 20 2/11/11 15:21:02
  21. 21. Trabaja más... –En este caso –dijo César a David– la temperatura ha variado desde 20°C a 22°C y la lámina se ha dilatado 1 mm por lado. ¿Cuál es el coeficiente de dilatación del cobre? –preguntó David. 17 ⋅ 10−6 –Es –dijo César. ∞ C °C –Pues bien, ahora sí podemos calcular la medida del lado de la lámina de cobre. –¿Cuál es? Expresa tu respuesta en números enteros. años. Están hojeando una revista de corte y confección de la década del 50. Nancy le recuerda a Margarita lo complejo que fue calcular cuánto hilo necesitarían exactamente cuando decidieron ampliar esta figura a una que tuviera 45 cm2. ¿Cuántos centímetros de hilo ocuparon para hacer el borde de la cruz? Cada cuadradito tiene 2 cm2 de área 4 A Ricardo le picó, en su brazo izquierdo, un insecto tropical que le dejó, a la hora del suceso, una aureola circular de un diámetro de 8 mm. Al cabo de una semana falleció. El área afectada finalmente había aumentado en 9 π mm2. ¿Cuál fue el diámetro final de la aureola circular? Esta es la pregunta que tú debes contestar y que fue importante para la ulterior investigación de su muerte. 2 Lorenzo y Pepita están disfrutando de un atardecer en la parcela después de un productivo día de trabajo. Él le comenta que falta construir un estanque cúbico para almacenar agua en caso de emergencia. Días después, estuvo conversando con el vecino de la parcela aledaña, quien posee un estanque cúbico con un recubrimiento de 600 m2 de área. Él le sugirió que solo construyera uno con 60% del área total de su estanque. ¿Cuáles debieran ser las medidas del estanque cúbico que necesita la parcela de Lorenzo y Pepita de acuerdo a su vecino? UNIDAD 1 1 Margarita y Nancy han sido amigas por casi 60 Trabaja en forma individual 5 –Nicolás, ¡con qué fuerza lanzaste la pelota 3 César y David son instaladores eléctricos y deben revisar unas láminas cuadradas de cobre que se 6 han colocado en una de sus maquinarias, ya que se dilatan con el calor. Antes de ir a terreno a chequearlas, deben realizar algunos cálculos para compararlos con lo que pasa realmente con las láminas. Recibieron un informe que dice lo siguiente: “Según lo estudiado, la dilatación de un metal está dada por la fórmula v f = 2a ∆ d +vA2=⋅ 2 αa ∆ T ,+ vi 2 2a ∆ d + viel ⋅cambio de la ∆ A ∆ A =vfi 0 2 ⋅ ∆d fdonde ∆ A esA2 2 α ⋅ ∆ T , donde v = = 0 medida de la superficie de la lámina; A0 es el área v f inicial; ∆d es i 2 ∆ A 2⋅ ∆ A = A0=⋅ 2 αa ∆ T ,+ vel cambio de temperatura, y α es donde una constante asociada al material de la lámina (llamada coeficiente de dilatación)”. derechito hacia arriba! Lograste rozar el techo del gimnasio, y desde el suelo hasta el techo hay 8 m. –Así es, Matías; nunca imaginé que lo lograría. ¿A qué velocidad la habré lanzado si mis brazos estaban a un metro del piso? Ayuda a Nicolás a responder esta pregunta. Para ello, puedes usar la fórmula vi 2 = 2 gh , donde vi es la velocidad de salida o de disparo; g, la aceleración de gravedad, y h, la altura máxima alcanzada. Da tu respuesta aproximada a la centésima. Usando el método de aproximación por exploración, determina el valor a la centésima de las siguientes raíces: 3 5 b. 3 17 a. 3 28 d. 3 36 c. e. 3 72 21 U1 MAT 3M (008-073).indd 21 2/11/11 15:21:03
  22. 22. Trabaja en grupo 6561 cm3 y quiere construir otro que tenga el triple del volumen del que ya tiene. ¿Cuánto debe medir cada una de las aristas del cubo que desea construir? 1 Margarita tiene un cubo de volumen igual a 2 Pericles está en Internet buscando información sobre su juguete favorito. la que puedan embalar el florero para que quede justo topando las paredes de la caja y no se vaya a quebrar con la mudanza. Julián, que no tiene el florero a mano para poder medirlo, le pregunta a su mamá cuántos litros de agua caben en el florero, y su mamá le responde que caben aproximadamente 4 litros. Con esto, Julián hace unos cuantos cálculos y le da la respuesta a su mamá. ¿Cuál fue esta? (π = 3) 4 Leticia está haciendo un trabajo de tecnología que debe entregar al día siguiente. Este es su tercer intento de construir una caja en forma de cubo que contenga los 1,728 dm3 que quiere su profesor. La última que construyó solo tenía 8 cm de arista. ¿Cuántos cm más de arista debería tener la caja? formado por 16 secciones cúbicas de 0,216 m3 cada una, como lo indica la figura. ¿Cuáles son las dimensiones del estante? 5 El estante de la pieza de Alberto es un modular Él lee que hay dos tamaños y que sus envases, que son dodecaedros como los de la figura, tienen volúmenes de 958 cm3 y 7664 cm3. Pericles quiere saber cuánto más grande es la arista de uno que la del otro, para decidir cuál comprar. ¿Puedes ayudarlo respondiendo su pregunta? 3 El florero más querido de la mamá de Julián es una esfera de cristal que le regalaron sus papás el día de su matrimonio. Como la familia de Julián está cambiándose de casa, su mamá le ha pedido que calcule las medidas de una caja en Mis apuntes 22 U1 MAT 3M (008-073).indd 22 2/11/11 15:21:06
  23. 23. Propiedades de las raíces Multiplicación de raíces La figura muestra el trabajo de Tecnología que el grupo de Amelia debe desarrollar. Consiste en un mosaico compuesto por dos cuadrados: ABCD y AEBF. D C F A B E El profesor les da como instrucción que el lado del cuadrado menor debe medir 50 cm. Para poder comprar los materiales, necesitan saber cuál es el área del cuadrado grande. ¿Cómo la podrían calcular? vf Amelia dice que=en2a ∆d + vi 2 el ABE, rectángulo en E, podemos aplicar el teorema de Pitágoras: ⇒ 502 + 502 = AB 2 ⇒ 2500 ++2500==AB ⇒ 2.500 2.500 AB 2.500 2.500 ⇒ 2.500 = AB 5.000 ⇒ 5000 + 2.500 = AB 2 22 2 5000 2.500 = AB ⇒ 2.500 + = AB, entonces, AABCD = 5000 ⋅ 5000 2 Pero Mario, compañero de Amelia, dice que él se dio cuenta de que el cuadrado ABCD está formado por 4 triángulos congruentes y que, como sus catetos miden 50 cm porque son los lados del cuadrado AEBF, el área de cada uno de ellos es: 50 ⋅ 50 = 1 250 cm2 2 Propiedades de las raíces que te permitirán operarlas y trabajar con ellas. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 2, 3, 4a, 4b, 4c, 4d, 5a-h, 4 • Comprender y resolver: 4e, 4f, 4g, 4h, 4i, 4j, 5i, 5j, 5k, 1, 3 • Relacionar y aplicar: 2, 5 • Interpretar y generar ideas: 6, 7 UNIDAD 1 En esta sección aprenderás Trabaja más... Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 7, 30, 31, 32 • Comprender y resolver: 1, 2, 8, 9, 10, 17, 18, 19, 23, 25, 26, 28, 36 • Relacionar y aplicar: 3, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 24, 27, 29, 34 • Interpretar y generar ideas: 4, 5, 20, 33, 35 Por lo tanto, el área del cuadrado ABCD debería ser 1250 4 = 5000 cm2. Después de pensarlo un momento, deciden llamar a su profesor y contarle su análisis. Él les dice que ambos razonamientos son correctos; entonces Mario y Amelia concluyen que: 5000 ⋅ 5000 = 5000. Pero, ¿cómo es esto posible? Mario y Amelia vuelven a pensar junto con su grupo y escriben que la única forma de que esto fuera posible es que, 5000 ⋅ 5000 = 50002 = 25000 000 = 5000. El profesor, al ver su razonamiento, los felicita y les dice que han descubierto cómo se multiplican dos raíces. 23 U1 MAT 3M (008-073).indd 23 2/11/11 15:21:08
  24. 24. Si generalizamos el hallazgo del grupo de Amelia, entonces podemos escribir que: Se pueden multiplicar raíces de igual índice. Para ello, se conserva la raíz y se multiplican las cantidades subradicales. 0 Esto es: a ⋅ b = ab ∀a , b ∈ R +  { } Observa que también se puede mirar esta definición de la siguiente manera: a ⋅ b = a ⋅ b , esto es, que la raíz de un producto se puede escribir como el producto de las raíces de sus factores. = a ⋅ a = a ⋅ a = a2 = a ∀a , b ∈ R +  {0}. En general, se puede escribir que, n a ⋅ n b = n ab Observa: 2 ( a) Ejemplifiquemos multiplicando algunas raíces: 2 ⋅ 8 = 2 ⋅ 8 = 16 = 4 a. 20 ⋅ 5 = 100 = 10 b. c. 2 2 ⋅ −3 18 = 2 ⋅ −3 ⋅ 2 ⋅ 18 = −6 36 = −6 ⋅ 6 = −36 d. 6 ⋅ 3 5 = 3 30 e. 2 + 7 ⋅ 2 = 2 2 + 14 ( ) ( 5 − 4 3 ) ⋅ 2 3 = 2 15 − 8 9 = 2 g. ( 2 − 11 ) ( 2 + 11 ) = 2 ⋅ 2 + 2 11 − 2 (Usamos propiedad distributiva) 15 − 8 ⋅ 3 = 2 15 − 24 f. h. i. 4 − 121 = 4 − 11 = −7 ( 5−2 6 ) = ( 2) 2 2 − 2⋅ 2 ⋅ 3 + 4 + 3⋅ 4− 3 = j. 2− 3 3 16 − 3 = 13 4⋅3 2 = 3 8 =2 ( 3) 11 − 11 ⋅ 11 = 2 = 2−2 6 +3 = (4 + 3 ) (4 − 3 ) = 42 − (Cuadrado de binomio) ( 3) 2 = (Suma por diferencia) 24 U1 MAT 3M (008-073).indd 24 2/11/11 15:21:11
  25. 25. Trabaja Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios: a. 2 ⋅ 24,5 2a −2 a b. 2 3 12, 5 ⋅ 3 4 ⋅ 3 3 20 c. 7 x ⋅ 13 x d. e. f. ( 3 3 ( 2 ) 14 + 15 )( 14 − 15 UNIDAD 1 1 Desarrolla los productos indicados y, de ser posible, calcula el valor de la raíz: ) 12, 5 a2b ⋅ 3 3 2 a3 ⋅ 3 5 ab2 División de raíces En una clase de Diseño se plantea lo siguiente: “Se están experimentando nuevos diseños de casas, con una habitación cúbica donde exista un pilar de 12 metros que vaya desde uno de los extremos superiores al extremo inferior contrario”. “En este caso –dice el profesor– lo que se está pidiendo es que el pilar sea la diagonal del cubo. ¿Cuál será nuestro problema de medición?” 12 m Si D = a ⋅ 3 , entonces se tendría que 12 = a 3 , lo que implica que 12 a= . Pero ¿cómo se podrá calcular esto? 3 ¿Cómo podemos dividir raíces? Pensemos primero en lo siguiente: ¿Por qué existe allí un problema concreto de medición y construcción? etros Ángelo, uno de sus estudiantes, recordó que en el colegio había aprendido que la fórmula de la diagonal de un cubo es D = a ⋅ 3, donde a es la arista del cubo. Después de hacer los cálculos correspondientes, dio su respuesta. ¿Cuál fue el valor que encontró Ángelo para el lado de la habitación? 1 3⋅ = 1 3 ⇒ 3⋅ ⇒ 1 =1 /: 3 3 1 1 = 3 3 En general, podemos escribir que: (nota que a ≠ 0 ). U1 MAT 3M (008-073).indd 25 1 1 , donde a∈R + = a a 25 2/11/11 15:21:13
  26. 26. Pero ¿y si numerador y denominador son raíces? Pues bien, considera lo siguiente: 5 7 = 5⋅ = 5⋅ 1 7 = 5⋅ 1 5 = 7 7 1 7 (Usamos la propiedad de multiplicación de raíces) Así, generalizando, tenemos que: a , donde a ∈ R +  0 y b ∈ R + b ≠ 0 . {} ( ) b b En general: n a : n b = n a ( b ≠ 0). ( 0 b Para dividir raíces de igual índice, se conserva la raíz y se dividen las cantidades subradicales. a: b= a = 12 Entonces, volvamos a los cálculos de Ángelo. 144 Él tenía que a = 3 , entonces podemos escribir lo siguiente: (al escribir 12 como 144 , podemos ocupar la propiedad 3 de división de raíces que acabamos de deducir). Así, 144 a= = 48 ≈ 6,93 (nótese que este es un número irracional). 3 Como 48 es un decimal infinito, habrá un problema de aproximaciones en la construcción, pues no podemos determinar el valor exacto del lado de la pieza. Solo podremos encontrar un valor aproximado para poder construirla. a= Ahora bien, por otro lado, tenemos que las construcciones no son planas, por lo que se pueden solucionar estos problemas de aproximaciones con el material al construir. 1. 200 : 40 = 200: 40 = 5 Ejemplos: 2. 3 32 : 3 4 = 3 8 = 2 3. 27 : 3 = 9 = 3 4. 12 26 : 2 2 = 6 13 5. 144 144 12 = = 25 5 25 6. 4 a2b3 : 2 ab2 = 2 ab 26 U1 MAT 3M (008-073).indd 26 2/11/11 15:21:15
  27. 27. Trabaja Desarrolla los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 3703 2 Resuelve las divisiones y, de ser posible, calcula el valor de la raíz. UNIDAD 1 7 a. b. 3 500 : 3 4 c. 91 x 3 : 13 x d. 3 y :3 y ( 3 ) e. 18 75 − 39 108 + 15 243 − 21 27 : 3 3 ( f. ) a6 b5c 8 : 3 a3b2c 11 3 g. 3 3 0,8 : 3 0,08 1,2 : 3 0,012 2 h. a ab a a b i. j. 2 3 3 1  39 2 1,5  ⋅ − ⋅  13  5 1,25 4    3  13  ⋅  5  5    ( 14 + 11 ) ( 14 − ( 92 + 11 ) ( 92 − 11 ⋅ ( 35 + 11 ) ⋅ ( 22 + ) 17 ) ( 35 − 17 ) 20 ) ⋅ ( 22 − 20 ) 27 U1 MAT 3M (008-073).indd 27 2/11/11 15:21:17
  28. 28. Descomposición de raíces a⋅b = a ⋅ b . ¿Qué pasaría si probáramos hacer esto con 50? Anteriormente, dijimos que podíamos escribir que Escribiríamos que 50 = 5 ⋅ 10 = 2 ⋅ 25 = 1 ⋅ 50 . Ahora, si nos fijamos bien: 50 = 2 ⋅ 25 = 2 ⋅ 5 = 5 2 . Así, hemos logrado escribir 50 de una forma equivalente. A este proceso se le llama descomposición de raíces. Descomponer una raíz cuadrada ( a ) es escribirla de la forma b c , de modo que se cumpla que a = b2 ⋅ c . En general, podemos descomponer b n c si se cumple que a = bn ⋅ c . n a y escribirla de la forma Para ejemplificar, verás la descomposición de raíces para los siguientes casos: 1. 162 = 81 ⋅ 2 = 81 ⋅ 2 = 9 2 2. 3 300 = 3 ⋅ 3 ⋅ 100 = 3 ⋅ 100 ⋅ 3 = 3 ⋅ 10 ⋅ 3 = 30 3 3. 12 4 ⋅3 4 3 4 3 2 3 = = ⋅ = ⋅ = 125 25 ⋅ 5 25 5 25 5 5 5 4. 12 x 3 y = 4 ⋅ 3 ⋅ x 2 ⋅ x ⋅ y = 2 x 3 xy 5. 3 16 a4 = 3 8 ⋅ 2 ⋅ a3 ⋅ a = 2 a 3 2 a Trabaja Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios. 3 Descompón cada una de las siguientes raíces: a. 18 d. 3 48 50 a2b f. b. 3 81 x 3 y 4 c. e. 2 a 44 a3b7c 9 13 128 2 g. 5 a 3 160 x 7 y 9 z 13 h. 3 8 9 x2 i. 2 b2 j. 3 3 125 4 b5 250 m5n6 28 U1 MAT 3M (008-073).indd 28 2/11/11 15:21:22
  29. 29. ¿Te acuerdas de Amelia, su grupo y su trabajo de Tecnología? Pues bien, ellos ya compraron casi todos sus materiales. Ahora solo tienen que resolver un pequeño problema. Deben comprar la cantidad suficiente de palitos de maqueta para poner por el borde y así terminarlo. Entonces, todos miraron a Amelia y a Mario, esperando una respuesta. “Ya habíamos calculado que AB = 5000, por lo que debemos sumar tres veces 5000 y luego agregarle los catetos del triángulo AEB. Así, tres veces 5000 = 3 ⋅ 5000, entonces debemos comprar 3 ⋅ 5000 + 100. Si aproximamos el valor de 5000, tendremos que comprar 3 ⋅ 70,7 + 100 = 312,1 cm, o sea, aproximadamente 7 palitos de 50 cm cada uno, lo que es más que suficiente”, dijo Amelia. Lo pensaron y respondieron lo siguiente: D UNIDAD 1 Suma y resta de raíces C F A B E Mario señaló que estaba de acuerdo con su razonamiento, pero agregó que de ser así, entonces se podría escribir que dos veces 5000 más dos veces 5000 serían cuatro veces 5000, lo que se podría escribir como 2 5000 + 2 5000 = 4 5000 . Su profesor, atento a los razonamientos de sus dos estudiantes, los felicitó otra vez y les dijo que aquello se podía generalizar de la siguiente manera: Se pueden sumar o restar raíces que tengan igual cantidad subradical e igual índice. Para ello, sumamos o restamos el coeficiente numérico que antecede a la raíz y conservamos la raíz. 29 U1 MAT 3M (008-073).indd 29 2/11/11 15:21:24
  30. 30. Para ejemplificar, se han resuelto los siguientes ejercicios de sumas y restas de raíces. 1. 2 10 + 3 10 = 5 10 2. 8 11 − 14 11 + 11 = −5 11 1 2 5 3− 3=− 3 3. 4 3 12 4. 200 + 2 18 = 10 2 + 6 2 = 16 2 5. 18 x + 50 x = 3 2 x + 5 2 x = 8 2 x (Descomponemos cada raíz) Trabaja Resuelve los siguientes ejercicios. 6 + 6⋅ 6 − 9⋅ 6 g. 4 ⋅ 0,004 − 5 ⋅ 0,009 − 0,001 4 En tu cuaderno, realiza las sumas y restas de raíces y descomponlas cuando sea necesario. a. b. 7 ⋅ 3 11 − 3 11 − 3 ⋅ 3 11 + 5 ⋅ 3 11 c. 11 x + x − 13 x − 4 x + 15 x 3 3 3 d. 7 + 12 7 + 7 7 4 e. −2 54 + 6 24 − 8 6 f. 6 3 189 875 7 − 15 3 + 31 3 64 216 8 h. 3 128 − 4 75 − 2 162 + 4 147 i. 5 3 189 − 3 56 + 2 3 875 j. 33 ⋅ 5 15 5 + 16 ⋅ − 81 ⋅ 121 12 81 Raíz de una raíz Cuando Mario, Amelia y su grupo estaban terminando su trabajo, llegó su profesora de Matemática, motivada por lo que el profesor de Tecnología le había contado sobre ellos y sus razonamientos. Conversaron largo rato acerca de lo que habían descubierto y lo importante que era pensar y ser capaz de resolver nuevos desafíos sin darse por vencidos al primer intento. Como todos estuvieron de acuerdo con ello, la profesora les planteó el siguiente desafío:“¿Se podrá extraer raíz de otra raíz?” Meditaron por un tiempo y no sabían qué hacer. Entonces, Pablo, otro integrante del grupo, recordó algo que vio en un libro y que le había parecido curioso: una raíz se podía escribir también como una potencia. 30 U1 MAT 3M (008-073).indd 30 2/11/11 15:21:27
  31. 31. 2 3 Según Pablo, 3 a2 = ( a ) . Si esto es así, entonces se podría escribir, por ejemplo, que: 5 4 1 4  1 a = a =  a4    5 1 5 Ahora bien, aplicando las propiedades de las potencias, se tiene que: 1  11 20  a 4  5 = ( a ) 20 = a .   Entonces, Pablo dijo que, en conclusión: 5 4 a = 20 a . Como todo el grupo estuvo de acuerdo con lo que dijo Pablo, fueron a buscar a su profesora para contarle su deducción. Ella los felicitó y agregó que, en general, podemos afirmar lo siguiente: Para extraer raíz de otra raíz, se deben multiplicar los índices de las raíces y conservar la cantidad subradical. Esto es, n m $+ 7 < ¡ ? >% 2 = Para saber más Como ya has aprendido, las raíces cuadradas de números negativos no son números reales; entonces, ¿qué son? Por siglos se pensó que estas expresiones no eran números. Sin embargo, el matemático Jerome Cardan se atrevió a trabajar con ellas como si lo fueran y logró resolver algunos de los problemas de ecuaciones en los que estaba enfrascado. UNIDAD 1 ¿Te acuerdas que ya lo aprendiste en la sección anterior? Aunque en su momento a todos les pareció una locura, el sólido trabajo de Cardan y de muchos matemáticos posteriores a él llevó en 1777 a otro matemático, Leonhard Euler, a definir formalmente a estos números como números imaginarios. a = n⋅m a . 256 Luego, la profesora escribió en la pizarra los siguientes ejercicios: 4 1. 256 = 8 256 = 2 Ellos dijeron que era muy fácil y respondieron: 4 2. 3 3 81 Lo pensaron un poco y respondieron: “¡Fácil!” 3 3 81 = 3 3 ⋅ 9 = 3 27 = 3 3. 5 2 Este ejercicio los complicó un poco más, pero luego de meditarlo un tiempo, Pablo dijo a sus amigos que podrían resolverlo como potencias y escribieron: ( 1 1 1 2 1 1 1 2 1    1 2 5 2 = 5 ⋅ 2 =  5 ⋅ 22  = 52 ⋅  22  = 5 2 ⋅ 2 4 = 5 4 ⋅ 2 4 =     52 ⋅ 2 ) 1 4 1 2 = 4 52 ⋅ 2 = 4 50 La profesora les dijo que, en general, podían escribir que: n am b = n⋅m am ⋅ b . 31 U1 MAT 3M (008-073).indd 31 2/11/11 15:21:30
  32. 32. Ahora que tú también lo sabes, recorre paso a paso la aplicación de esta propiedad: 3 1. 320 = 6 320 = 6 64 ⋅ 5 = 6 64 ⋅ 6 5 = 2 6 5 3 10 = 2. 3. 2 6 (Descomponemos) 32 ⋅ 10 = 4 90 (Debemos introducir el 3 dentro de la raíz y luego podemos multiplicar los índices) a + 3 4 3 a = 2 12 a + 3 12 a = 5 12 a 4. 2 3 2 = 2 2 4 18 = = 8 288 Trabaja (Multiplicamos los índices) 4 32 ⋅ 2 24 ⋅ 18 (Aplicamos la propiedad de raíz de raíz en cada uno de los sumandos y luego sumamos) (Debemos introducir los coeficientes numéricos dentro de la raíz, desde el que está más adentro al que está más afuera) (Aplicamos propiedad de raíz de raíz y luego introducimos el 2 dentro de la raíz cuarta que quedó) (Aplicamos propiedad raíz de raíz nuevamente) Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios. 5 Reduce a una sola raíz. 9 a. b. c. 3 2 64 d. 2 3 e. 2 3 5 f. 3 257 g. 3 2 5 h. 9 3 5−3 5 i. j. k. 3 6+ 2 9 3 9⋅ 3 486 1 6 ⋅ 4 0, 25 27 0, 3 3 1, 2 3 Trabaja Resuelve los siguientes problemas con tu grupo. Usa calculadora cuando sea necesario y aproxima tus respuestas a la centésima. 1 Cuando se produce un accidente de tránsito, Carabineros necesita estimar la velocidad a la que iba el º dado Para calcularla, saben que la velocidad (en km/h) es la multiplicación de un factor: 3, 6 2 µ ,= 0,23por automóvil según las marcas de derrape (marcas que dejan los neumáticos en el suelo al frenar). neumáticos y g la aceleración de gravedad 9, 8 m s2. el material del camino, por dg , donde d es la medida de la marca en metros que dejan los Si un automóvil dejó una marca de 95 m y el factor del suelo es µ = 0,23 , ¿cuál era su velocidad en km/h al momento del accidente? 32 U1 MAT 3M (008-073).indd 32 2/11/11 15:21:34
  33. 33. de un rectángulo de 2 por 18 cuadritos del cuaderno. Hecho esto, les planteó formar con él un cuadrado de igual área. Los alumnos lo hicieron fácilmente y formaron un cuadrado de 6 por 6 cuadraditos. Luego, los desafió a encontrar la medida del lado de un cuadrado que tuviera por área la misma que un rectángulo de lados 105 por 12 cm. ¿Cómo lo harían? Resuelvan el problema. UNIDAD 1 2 La profesora de Geometría les mostró a sus estudiantes que se podía construir un cuadrado a partir 3 El curso de Eugenia está haciendo mantas de polar para los abuelitos del hogar de ancianos. El diseño que ves es el que realizó Eugenia. Hizo los cálculos del género que comprará, pero desea poner cintas en las uniones de los triángulos formados y esos cálculos la tienen complicada. Ayuden a Eugenia a determinar la medida de los trazos al interior de la figura y respondan cuántos metros de cinta debe comprar. 0,75 m 0,75 m 1,5 m 1m 1,5 m 0,75 m 0,75 m 1m 4 En el colegio de Roberto hay diarios murales para varias asignaturas: Lenguaje, Arte, Matemática, etc. En el de Matemática, los profesores siempre ponen desafíos para sus estudiantes. Este mes plantearon uno para 3º y 4º medio: Les aseguro que ustedes también pueden hacerlo. Desarrollen ordenadamente y demuéstrenlo. Usando las propiedades de las raíces, demostrar que 2 + 3 ⋅ 7 − 4 3 = 1. ( ) 5 Una empresa de paisajismo va a embellecer el Parque Central de la Avenida Esperanza. Allí hay una figura que desean mantener: dos circunferencias concéntricas, donde se deberán plantar rosas y arbustos perennes. El paisajista encargado aporta los siguientes datos: la circunferencia mayor tiene un área de 7 850 m2 y el área de la menor es 1256 m2. Además, según su teoría, para que esta figura armonice con el resto del diseño, los radios de las circunferencias deben estar en una razón menor o igual a 0,75. ¿Servirán las circunferencias que están hechas o deberán reconstruirlas? Hagan los cálculos correspondientes, sin calculadora, y fundamenten su respuesta. r R 33 U1 MAT 3M (008-073).indd 33 2/11/11 15:21:35
  34. 34. 6 La profesora les ha pedido resolver el siguiente desafío: “Tomen un número par, entre 2 y 10, cuya raíz cuadrada sea un número irracional. Luego dividan la raíz cuadrada de este número por la raíz cuadrada de 2. Vuelvan a dividir por la raíz cuadrada de 2 el resultado anterior y así sucesivamente. ¿A qué resultado tiende? ¿Se obtendrá esto siempre para cualquier número que se tome?” 7 Carola está estudiando para la PSU. Ella debe reforzar Geometría, por lo que ha empezado a recordar algunas fórmulas de los triángulos. Así, descubrió que había olvidado que la medida de la altura de un a 3, donde a es la medida del lado. Ella suspiró y se triángulo equilátero corresponde a la fórmula h = 2 dijo: “otra vez raíces”. Después de hacer varios cálculos, se dio cuenta de que nunca se podría tener que altura y lado fueran ambos racionales. Dentro de sus cálculos, observó que si la altura era 12 , o 48 , o 108 , obtendría un triángulo que tenía por medida de su lado un número natural. Entonces pensó que todas las raíces cuadradas de múltiplos de 12 seguían la misma regla, pero al calcularlo con su razonamiento falló. 24 múltiplos de 12 se cumple la teoría de Carola. Realicen los cálculos que hizo Carola y decidan por qué falló este último caso y con qué raíces de Sintetizando Las propiedades de las raíces son aquellas reglas que nos dicen qué operaciones están permitidas con las raíces y cómo se realizan. Estas son: • Multiplicación de raíces de igual índice. • División de raíces de igual índice. • Raíz de una raíz. • Descomposición de una raíz. • Suma y resta de raíces. Revisemos lo aprendido • Haz un resumen de las propiedades estudiadas en esta sección y escribe un ejemplo de cada una de ellas. • ¿Cuál de las propiedades es aquella que más te cuesta distinguir y aplicar? Vuelve a repasar los contenidos referentes a esta propiedad. • ¿Has logrado hacer las actividades? • ¿Te sientes seguro de lo que has aprendido? 34 U1 MAT 3M (008-073).indd 34 2/11/11 15:21:35
  35. 35. Trabaja más... Trabaja en forma individual 5 El viejo almacenero de la otra cuadra de donde a. 5 x = − 32 ⋅ 18, 75 ⋅ 6 1 Determina el valor de x en: 3 c. 5 3 ⋅ 6, 25 ⋅ 3 22 ⋅ 3 2 = 0, 25 x 2 2x = 3 0, 6 − 12 ningún cliente a su negocio, leía y leía. Muy aficionado a descubrir el secreto de los números, encontró en uno de sus libros que, la raíz cúbica de 7, provenía del producto de las 7 raíces cúbicas de 2, de 3 y de . Exclamó: “¡Qué 6 frustrante no poder entenderlo! ¡Qué dura me 2 Determina el área de un rectángulo si sus medidas, en unidades, son: 6 9 y a. 2 32 + 3 8 − 2 b. 3 17 2 y + 2 2 3 17 2 − 2 2 3 “Señorita Mireya, no entiendo cómo fabricar la cubeta de vidrio, o lo que usted llama paralelepípedo, con semejantes medidas y, más aún, garantizar que finalmente pueda contener 5 litros de manera exacta. Discúlpeme, pero me parecen poco prácticas las medidas que usted me ha dado. Se las voy a repetir en el mismo 3 dm, 3 dm y 3 dm”. orden: 3 4 dm, 3 6,25 dm y 3 5 dm tocó la vida cuando era niño, ya que tenía que más allá de 6º básico!” Él no se percató de que trabajar y no tuve la oportunidad de estudiar yo había entrado y que lo escuchaba. 6 “En efecto, Agustina, como tu tío abuelo te 4 A Luis le encantan las competencias en grupo De acuerdo a lo que tú has estudiado en esta sección, ¿cuál fue la estrategia que usó el grupo de Luis gracias a la que obtuvo el mayor puntaje? ¿Cuál fue su respuesta? Tú puedes mostrar que lo que dice el libro es verdad. Hazlo. ¿Será posible que con las anteriores medidas un paralelepípedo pueda contener exactamente 5 litros? Haz los cálculos respectivos para justificar. que se realizan en las horas de Matemática. Siempre hay tres puestos entre los ganadores, que, de mayor a menor, se distribuyen en los grupos que realizan correcta y más rápidamente los desafíos. Esta vez el profesor les permitió usar calculadora y les pidió que multiplicaran rápidamente entre sí la raíz cuadrada de cada uno de los 10 primeros números naturales. Todos los grupos, excepto el de Luis, calcularon raíz por raíz y luego multiplicaron. UNIDAD 1 b. yo vivo, en los momentos en que no entraba cuento que estaba escrito en la herencia que la diagonal del terreno cuadrado de nuestra tía Menche era simplemente una aproximación a m. la centésima de 735 m Ella misma lo había expresado así. Ahora bien, ¿de dónde sacaron este dato con raíz cuadrada? ¡No lo sé!, pero si sé que el viejo pillo que nos hizo los trámites de la transacción de ese terreno por este otro donde estamos viviendo ¡nos estafó! Porque este solo tiene 340 m²”. ¿Por qué dice esto el tío de Agustina? Calcula la diagonal del terreno actual y luego, haciendo uso de la calculadora, para aproximar ambas raíces a la centésima, encuentra el número de metros cuadrados en que fueron estafados. 13 3 64 − 2 3 10 − 3 9 + 4 7 Reduce al máximo posible la siguiente expresión: 3 3 8 ¿Cuántas veces cabe 6 3 21 en 3 168 ? raíz cuadrada de 0,28 por la raíz cuadrada de trece décimos? 9 ¿Cuál es el número que se obtiene al dividir la 35 U1 MAT 3M (008-073).indd 35 2/11/11 15:21:38
  36. 36. 10 Despeja x en la siguiente ecuación: x 7 = 1 225. función de sus volúmenes. Georgina lo hizo considerando que dos esferas son siempre cuerpos geométricos semejantes. Nombró por V y R al volumen y radio de la esfera mayor y por v y r al volumen y radio de la esfera menor. 11 El área de un triángulo es 6 cm². Si la longitud de la base mide 3 cm, ¿cuál es el valor de la altura? 12 Fabián hizo un bosquejo de un dibujo para su clase de Arte que consiste en dos rectángulos, como lo muestra la figura. Para realizar el dibujo final, tiene que considerar que el rectángulo mayor debe tener área igual a 25 cm2. ¿Cuánto debe medir el lado a del rectángulo mayor? ¿Lo puedes hacer tú y dar la respuesta? 16 Luciano debe dibujar un hexágono regular como el de la figura. Para esto, solo tiene una condición para la altura de los triángulos interiores. Esta debe medir 18 cm. ¿Cuál debe ser la medida del lado del hexágono? 1 cm 2 cm a 13 Natalia está diseñando un jardín. Para ello, cuadriculó el terreno de manera que cada cuadrado tenga 1 m de ancho. En el bosquejo de la figura marcó tres puntos: A, B y C. En ellos colocará árboles y necesita calcular la distancia que debe haber desde el punto C hasta la línea que une A con B, considerando que el área del triángulo ABC tiene que ser de 6 m2. ¿Cuál es la distancia que necesita calcular Natalia? (Calcúlala aproximando a la centésima). 17 Descompón cada raíz en factores, de tal 81 000 es igual a 90 10 manera que demuestres que: a. b. c. 3 a7 b5c 4 es igual a a3b2c 2 ab 21 600 3 2 B 3 vale 7 y 3 z , 5. 18 Se sabe que C es igual a 6 3 50 x 2 yz es igual a 490. Además, 3 x ¿Cuál es el valor de 3 y? y c es 5 3 128 cm3. Completa el siguiente cuadro con posibles medidas para c, descomponiendo, previa y adecuadamente, el volumen en factores. 19 El volumen de un paralelepípedo de aristas a, b A 14 “Te desafío a resolver este problema –le dijo Tomás a Fulvio–. Escucha con atención: divide 3 3 k + 4 k 2 + 3 k + 4 por 3 k ”. ¿Existirá algún valor de k que haga que la división sea un número natural? 15 El profesor de Física le ha propuesto a Georgina un nuevo problema, porque ella le comentó que en clases de Matemática están estudiando raíces. Él le pidió que encontrara la razón entre los radios de dos esferas en 5 cm a 5 cm 2 cm b 4 cm c 20 Manuel, junto con su hermano, están buscando en Internet una respuesta respecto de la fórmula de la diagonal de un cuadrado. Encontraron que se puede calcular conociendo previamente el doble de su área y, luego, 36 U1 MAT 3M (008-073).indd 36 2/11/11 15:21:41
  37. 37. 21 “A veces me ocurre que hago los ejercicios de raíces tan rápido que en las pruebas me salto pasos de desarrollo importantes de escribir. Fíjate que me pasó nuevamente en la última prueba. Tenía que descomponer 812 en dos raíces cuyas cantidades subradicales fueran dos naturales sucesivos, y luego volver a descomponer si era posible, y yo solo anoté el resultado. Por supuesto, me bajaron puntos por no seguir instrucciones. ¿Puedes tú ayudarme a escribir los pasos del desarrollo?” 22 Blas le cuenta telefónicamente a su amigo Miguel una situación bochornosa que le ocurrió en su colegio. “–... Así que, para impresionar a Roberta, le conté que el profesor de Matemática me había lanzado el desafío de descomponer la raíz cúbica de 48000 en cinco raíces distintas, donde al menos una de ellas tuviera raíz cúbica exacta y que yo lo había resuelto en un segundo. Entonces, ella me pidió que le dijera cuál era el resultado. Menos mal que justo tocaron el timbre y tuvimos que entrar a clases; después ya no la vi al salir”. Da tú también una posible respuesta para el problema de Blas. 26 El radio de una circunferencia, medido en m, es 7 . Una segunda circunferencia, concéntrica a la anterior, tiene por radio el triple del de la primera. Y en otra circunferencia, también concéntrica a las anteriores, su radio corresponde al doble del de la segunda. ¿Cuánto vale la suma de sus perímetros y de sus áreas? 3 medida de superficie 8 − 5 unidades de área cada uno; sin embargo, el área del cuadrado verde es 8 + 5 unidades de área. De la zona en blanco que completa el cuadrado que los contiene a todos no se tiene esta información de superficie. –Sí, sí, le contaré, pero ayúdame también con la respuesta, ¿ya? 4 5 ; 3 45 ; 80 y 180, todos expresados en decímetros. ¿Cuál es el valor de su perímetro? 25 Los lados de un cuadrilátero miden: –¿Y le contarás que no tenías la respuesta, verdad? Supongo que no le mentirás – le dijo Miguel. y no volverá hasta después de almuerzo. Son las 11:30 de la mañana. ¿Qué hay que hacer? –Hay que pintar por fuera este contenedor cúbico cerrado de 3 375 litros, y no sé cuánta pintura vamos a necesitar. Dora se hizo cargo de la situación y calculó primero la superficie total por pintar. ¿Cuál crees que fue el valor que obtuvo? Expresa tu respuesta en m2. UNIDAD 1 extrayendo su raíz cuadrada. Ambos se quedaron sorprendidos. ¿Es esta fórmula equivalente a la conocida por ellos, que dice que la diagonal de un cuadrado es igual al producto del lado por la raíz cuadrada de 2? Demuéstralo tú. que 12 provenga de la descomposición sucesiva en raíces cúbicas de 1728. Tengo mis dudas”. 23 “Perdóname, Juanita, pero no me es fácil pensar Haz todo el desarrollo y luego responde si es posible o no. 24 –Dora, Dora, llama a Willy porque tengo que darle una tarea. –Usted lo mandó al banco a hacer un depósito, 27 Los cuadrados amarillos de la figura tienen por a. Encuentra el valor del lado del cuadrado que los contiene. b. ¿Cuál es el valor del área del cuadrado que los contiene? c. ¿Cuál es el valor del área de la zona en blanco? 28 Cristina estaba aburrida en clases de Matemática. Por un momento se distrajo y en su cuaderno dibujó esta linda casita. Su profesora se dio cuenta de esto y, para su asombro, la profesora no la retó; solo le dio una tarea: calcular el perímetro de la casa. 37 U1 MAT 3M (008-073).indd 37 2/11/11 15:21:42
  38. 38. ¿Puedes dar tú también la respuesta a esta pregunta, si cada cuadrado tiene un lado de longitud 1 cm? 31 En la empresa de Ronaldo se están fabricando unas cajas para envasar regalos, como las que se muestran en la figura. Ronaldo debe determinar cuánta cinta se necesitará para cubrir las diagonales de las caras. ¿Puedes tú dar la respuesta a Ronaldo? 1u 5 dm 29 Paolo comenzó hoy su primer trabajo en una empresa de mantención de tractores. Allí aprendió que los tractores tienen mecanismos de engranajes, como el que se muestra en la figura, para aumentar su velocidad de partida. Su jefe le ha dicho que debe crear un engranaje similar a este, en que cada una de las superficies de las piezas celestes tenga 3 π dm2 de área y la pieza central tenga 27 π dm2 de área, y le ha pedido que realice los cálculos necesarios para determinar cuál debe ser el diámetro de la circunferencia mayor (en rosado). Ayuda tú a Paolo y da la respuesta pedida. 3 dm 2 dm 32 Maritza está diseñando una bandera para su club de amigos y pensó en colocar una estrella hecha con un cordón de satín. Para ello, la dibujó usando cuadrados de 10 · 10 cm, como se muestra en la figura adjunta. ¿Cuántos centímetros de cordón de satín debe comprar? 33 Ana, está dando una interrogación oral en estos 30 A Fabiola le gusta mucho hacer deportes y decidió participar en una carrera que se efectuará el próximo mes. Averiguó y encontró un mapa del circuito que debe realizar (el de la figura adjunta), donde se presenta un plano cuadriculado. Sin embargo, hay una información que, según sus cálculos, está errada: se indica un circuito de 25 km por recorrer. ¿Estás tú de acuerdo? Haz los cálculos matemáticos y responde la pregunta. momentos en la pizarra. Tiene que escribir de Ella anotó 3 3 3 3 91 = 8 91 . Algo está mal, a manera reducida la siguiente expresión: 91 . juzgar por la cara del profesor. ¿Cuál es la respuesta correcta? 34 –¡A veces hay que ser preciso, pero nunca tanto, Leonidas! Llegada –Lo siento, jefe; usted ayer me tildó de desordenado en mis cálculos y poco preciso, y ida rt Pa 1 km no le gustaron mis aproximaciones. 38 U1 MAT 3M (008-073).indd 38 2/11/11 15:21:42
  39. 39. circunferencia de área 421 m2, como usted Entonces hoy calculé que si tenemos la dijo, entonces el diámetro respectivo mide 421 4 m. π2 Tú que sabes matemática, ¿concuerdas con el cálculo de Leonidas? 35 “A veces un simple ejercicio matemático sirve para encontrar cosas inesperadas”, comentaba el caballero que iba sentado en el bus al lado del joven con audífonos puestos. Después 2 3 0, 125 ”. El joven extrajo un papel y le mostró donde se leía: “Uno se ve reflejado en lo miró extrañado, mientras alguien le hacía caballero estaba un poco “loco”. Lo curioso es que algo de verdad parece decir ese caballero. Descúbrelo. Reúne todo en una sola raíz y prosigue. Ya verás por qué decía esto el caballero. 36 “¿Quién desarmó mi fórmula? –gritó airado el mago matemático–. ¡Mira como la han dejado!: Q 1 ⋅ T= . Si la tenía lista. t A ⋅ ε ⋅σ Había logrado colocar todo como expresión UNIDAD 1 de una sola raíz para remplazar valores y, en una sola extracción, saber la temperatura T que buscaba...”. Ayuda al mago matemático a obtener nuevamente la fórmula. ¿Cuál es tu respuesta? gestos para que no le hiciera caso, porque el Mis apuntes 39 U1 MAT 3M (008-073).indd 39 2/11/11 15:21:44
  40. 40. Racionalización En esta sección aprenderás A transformar una expresión fraccionaria con raíces en el denominador, en otra equivalente con raíces solo en el numerador. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 1 • Relacionar y aplicar: 2, 3 El profesor de Tecnología de Amelia y Mario evaluó el trabajo y quedó muy impresionado. Como sabía del estusiasmo del curso, les propuso teselar el diario mural para hacer más grata su sala de clases, y ellos aceptaron gustosos. Entonces, surgió una duda entre los estudiantes: las medidas originales eran demasiado grandes; por lo tanto, tenían que reducir su mosaico. ¿Qué hacer en este caso? Debían encontrar un mosaico semejante, solo reducirlo a la mitad, a la cuarta parte, o a la octava parte. Contentos, fueron a decirle a su profesor que lo harían muy rápido, pero, al parecer, esto no iba a ser tan fácil. Él les dijo que, efectivamente, había que hacer mosaicos semejantes, pero que el desafío era que estuvieran en la razón 3 : 2 . Este sí que era un problema complejo. Hicieron estos cálculos. D C S R U Trabaja más... F Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, • Comprender y resolver: 2, 3, 4, 5, 3, 4 • Interpretar y generar ideas: 1, 2, 5, P A B Q T E La figura PTQRS debía ser más pequeña, por lo que para calcular la medida del lado TQ , tenían que resolver la siguiente proporción: (50 2 : 3) 50 6 3 BE 3 50 3 = ⇒ = TQ 2 TQ 2 50 2 (Recuerda que el lado BE = 50 cm) . Pablo tomó entonces su 3 calculadora científica y calculó esta fracción, pero obtuvo como 50 6 resultado . 3 ¿Qué había pasado? ¿Cómo podía aparecer una 6 y “desaparecer” la raíz del denominador? Inquietos por esta duda, decidieron preguntar a su profesora de Matemática. Despejando, se tiene que TQ = Una vez planteado el problema, ella sonrió y les dijo: “Lo que la calculadora hizo fue racionalizar”. Veamos. Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raíces o radicales en el denominador, conviene obtener expresiones fraccionarias equivalentes, pero que no tengan raíces o radicales en el denominador. A este proceso se le llama racionalización de radicales de los denominadores o divisores. 40 U1 MAT 3M (008-073).indd 40 2/11/11 15:21:46
  41. 41. Existen varios casos de racionalización, dependiendo de la naturaleza del divisor. Veamos algunos. a. Cuando el divisor es una raíz cuadrada Fíjate en lo siguiente. Si consideráramos que como una fracción, entonces tendríamos que 1 1 2 1⋅ 2 , lo que equivale a “amplificar”o multiplicar = ⋅ = 2 2 2 2⋅ 2 el dividendo y el divisor por 2. 1 2 Con esto tenemos que 2 Ejemplos: 5 1. 3 7 2. 3. 4. 5. = 2 5 3 = 7 2 11 7 = 5 5 ⋅ 7 = 7 ⋅ 2 5 25 21 49 = 7 2 11 11 11 ⋅ = = 2 . 2 = = 2 2 8 + 10 2 2 = 21 7 77 2 121 ⋅ 2 2 = ( 4 +2 5 2 2+ 5 2+ 5 = = 4 2⋅ 2 2 2 y x = ( 2 y x ⋅ 3 y y ) = 2 se comporta 2 5 5 = 77 77 = 2 ⋅ 11 22 (Nótese que basta multiplicar por 11 ). 8 + 10 1 UNIDAD 1 Miremos el siguiente ejemplo y sigamos el razonamiento dado. 1 1 1 . Ahora bien, si se quiere conseguir que el = = 1: 2 = 2 2 2 divisor de la expresión original sea un racional, entonces 1 1 2 2 2 2 podemos escribir lo siguiente: = ⋅ = = = 2 2 2 4 4 2 8 + 10 2 4 ) 2 = 16 + 20 2⋅ 2 x y 2y b. Cuando el divisor es una suma o resta de raíces cuadradas . Siguiendo el mismo razonamiento 2+ 5 anterior, tenemos que transformar esta división en otra Por ejemplo: equivalente, pero donde el divisor sea un número racional. 41 U1 MAT 3M (008-073).indd 41 2/11/11 15:21:47
  42. 42. Para esto deberíamos lograr que cada una de las raíces del divisor quede elevada a 2. Si pensamos un poco en los productos notables, recordaremos que al resolver una suma por diferencia, se consigue como resultado la diferencia de los cuadrados de los términos de los binomios. Esto es: (a + b )(a − b ) = a2 − b2. Entonces bastará multiplicar por una expresión que forme una suma por diferencia (el mismo binomio donde uno de sus términos sea inverso aditivo del dado). Ejemplos: 1. 3 2+ 5 = 3 2+ 5 ⋅ 2− 5 2− 5 = ( 3 ( 2− 5 2+ 5 ) )( 2 − 5) 5 ) −3 ( 2 − 5 ) = = = ) = 3( 2 − 5) = 3( 2 − 5 −3 −3 2 −5 ( 2) − ( 5) −( 2 − 5) = 5 − 2 (2 + 7 ) ( 3 + 1) = 2 3 + 2 + 2. 2 + 7 = 2 + 7 ⋅ 3 + 1 = 3 −1 3 − 1 3 + 1 ( 3 − 1) ( 3 + 1) ( 3) 3 ( 2− 5 2 2 2 3 + 2 + 21 + 7 2 3 + 2 + 21 + 7 = 3−1 2 2 21 + 7 − 12 4 −5 5 4 −5 5 4 −5 5 4 −5 5 4 −5 5 3. = ⋅ = = 4 + 5 5 4 + 5 5 4 − 5 5 4 + 5 5 4 − 5 5 42 − 5 5 4 −5 5 42 − 2 ⋅ 4 ⋅ 5 5 + 5 5 ( 16 − 125 = 4. 2 ) ( ( = 16 − 40 5 + 125 = −109 141 − 40 5 −141 + 40 5 = 109 −109 a− b b+ a = a− b b+ a ⋅ )( )( b− a b− a 2 ) ( ) ) ( ) 2 ab − a − b + ab 2 ab − a − b = b−a b−a = c. Cuando el divisor es una raíz cúbica Analicemos el siguiente ejemplo: 5 . 2 Si pensamos de forma análoga al caso (a), tenemos que lograr 3 ( 2 ) o, lo que es equivalente, 3 3 ( 2 ); entonces deberíamos proceder de la siguiente manera: que el divisor se transforme en 3 5 3 2 3 = 5 3 2 ⋅ 3 3 22 22 = 53 4 3 23 = 53 4 2 42 U1 MAT 3M (008-073).indd 42 2/11/11 15:21:50
  43. 43. 3 Ejemplos: 1. 3 25 = 52 = 3 3 12 x 3 52 3 ⋅3 5 5 3 22 x = 335 3 53 = 3 48 x 2 335 5 8 ⋅6 x2 2 3 6 x2 3 6 x2 = ⋅ = = = = 2. 3 x 2x 2x 2 x 2 3 2 x 2 3 22 x 3 23 x 3 3 12 x 3 3 3 3 9 +3 3 3 24 ( UNIDAD 1 3 2 3 3 1 + 3 9 3 9 3 9 + 3 81 3 9 + 3 27 ⋅ 3 3. 1 + 9 = 1 + 9 ⋅ 3 = = = = 8 ⋅3 24 833 8 3 3 3 32 8 3 33 ) 1. En general, para racionalizar una división donde el divisor sea una raíz cuadrada, se multiplican el dividendo y el divisor por el divisor. a b a b ⋅ b b = a b 2 b = ( ( b ≠ 0) a b b ( ( b ≠ 0) También lo puedes pensar de esta manera: a = b = a2 a2 b = ⋅ = b b b a2 b b2 = a b b 2. En general, para racionalizar una división donde el divisor es una suma o resta de una expresión que tenga al menos una raíz cuadrada, se multiplica el dividendo o divisor por una expresión que forme una suma por diferencia con el divisor. (b ( a ≠ 0) Así, si el divisor es de la forma a + b , se multiplicará por a − b . ( b ≠ 0) ( 0 Y si es de la forma a − b , se multiplicará por a + b . 3. En general, para racionalizar una división donde el divisor es una raíz cúbica, se multiplican el dividendo y el divisor por una raíz cúbica, de manera que la cantidad subradical resultante sea un cubo perfecto. Así, si el divisor es, por ejemplo, de la forma multiplicará por 3 a 2 . 3 a , se Cuando la profesora terminó de explicar, los estudiantes entendieron. La calculadora había hecho lo siguiente: 50 2 50 2 3 50 6 = ⋅ = 3 3 3 3 Entonces fueron donde su profesor de Tecnología y le contaron que solo podían encontrar un valor aproximado del lado del cuadrado menor del nuevo mosaico, y que era 40,82 cm. U1 MAT 3M (008-073).indd 43 Toma nota Puedes mostrar que una expresión fraccionaria con raíces en el denominador es equivalente a su expresión fraccionaria racionalizada de la siguiente manera. Tomemos las 50 2 50 6 y . Si expresiones 3 3 son iguales, entonces podemos ⇒ 50 2 ⋅ 3 = 50 6 ⋅ 3 verificar los productos cruzados: ⇒ 150 2 = 50 18 ⇒ 150 2 = 50 9 ⋅ 2 ⇒ 150 2 = 50 ⋅ 3 2 ⇒ 150 2 = 150 2 Por lo tanto, las dos expresiones fraccionarias sí son equivalentes. 43 2/11/11 15:21:54
  44. 44. El profesor, contento con sus estudiantes, les dijo que habían cumplido con creces el desafío impuesto y que ahora eran libres de reducir su mosaico al tamaño que quisieran. Decidieron reducirlo a la mitad. Desde entonces, el diario mural ha estado adornando su sala. Trabaja a. 1 2 5+ 3 b. 5 3 c. 3 d. 5 3 2 2 e. 3 4 1 1 Racionaliza las siguientes expresiones. Resuelve estos ejercicios en tu cuaderno. f. 2+ 5 2 7 2+ 3 h. 2 + 2 g. j. 3− 2 i. 5 + 1 5 −1 2 −3 5 2 2+ 5 Trabaja Resuelvan los siguientes problemas: 1 –¿Será posible escribir 4 como 16? –le pregunta Orlando a Vicky. –Por supuesto que sí –le responde Vicky rápidamente–. También lo puedes escribir como 3 64 . Después de un rato, él la vuelve a interrumpir: 12,5 + 4 2 1 2 ”. –En el libro que estoy leyendo dice que “4 se puede escribir como ¿Será cierto? Ustedes que saben mucho sobre raíces, seguro que responderán esta pregunta. de terminar primeros en reducir el ejercicio 18 + 8 + 32 . Con el método que encontramos para 18 − 8 − 32 calcularlo, creo que no nos equivocamos”. Matías está de acuerdo. Van donde su profesor y este 2 “No sé por qué se complican tanto con eso de aplicar la racionalización –dice Lucy a Matías después encuentra que tanto el desarrollo como la respuesta están correctos. ¿Cómo creen que lo resolvieron si ni siquiera usaron calculadora? El profesor les dice: “Está muy bien. Ahora, ¿cómo resuelven Y ustedes, ¿cómo lo solucionarían? 1 2+ 3− 5 sin usar calculadora?” Sugerencia: Soliciten ayuda a su profesor o profesora para que los oriente en la manera de iniciar el desarrollo, o bien revisen en algún libro de la biblioteca o en alguna página de Internet. 44 U1 MAT 3M (008-073).indd 44 2/11/11 15:21:55
  45. 45. decía: “Encontrar la expresión equivalente a 20 − 95 ”. Él le contestó: “Separé la expresión dada en la 8 resta de otras dos, racionalicé dos veces y obtuve lo pedido”. Ella le dijo que había racionalizado, pero UNIDAD 1 3 Germán y Gilda están chateando. Ella le consulta si resolvió en la prueba el último ejercicio, aquel que solo una vez. Curioso, ambos tuvieron la respuesta correcta. a. Escriban el desarrollo posible que hizo Germán. b. ¿Cuál fue el desarrollo de Gilda? c. ¿Cuál es la respuesta correcta? Sintetizando Cuando racionalizamos, queremos transformar el divisor que en un principio era una raíz en un número racional. Estudiamos tres casos de racionalización: BE 3 50 3 = = • Si hay una raíz cuadrada en el denominador ⇒ racionalizar por la misma raíz. BE 50 3 TQ 2 el denominador ⇒ racionalizar por el mismo 2 = 3 = • Si hay una suma o resta de raíces cuadradas en TQ 2 TQ 2 binomio, pero con operación contraria para formar unaTQ suma por diferencia. BE 3 50 3 = = • Si hay una raíz cúbica en el denominador ⇒ racionalizar por una raíz cúbica, cuidando que la TQ 2 TQ 2 cantidad subradical se transforme en un cubo perfecto. Da un ejemplo de cada una y revisa tu respuesta con tu profesor o profesora. Revisemos lo aprendido (7,0 - 6,0) (5,9 - 5,0) (4,9 - 4,0) (3,9 - 1,0) Marca con una 8 cada casillero según la evaluación que hagas de lo aprendido en esta sección: MB: B: S: I: Muy bien Bien Suficiente Insuficiente Indicador Soy capaz de explicar por qué se debe racionalizar. Distingo los tres casos de racionalización y sé qué debo hacer en cada uno de ellos. Pude resolver correctamente los ejercicios de la sección. Aporté a mi grupo durante el trabajo en clases. MB B S I Si has tenido dos o más cruces en las columnas de Suficiente o Insuficiente, debes volver a revisar los contenidos y los ejercicios resueltos. Recuerda que ser honesto con tu propio aprendizaje te ayudará a aprender mejor. 45 U1 MAT 3M (008-073).indd 45 2/11/11 15:21:55
  46. 46. Trabaja más... Trabaja en forma individual Trabaja en grupo 1 En un triángulo rectángulo, la razón entre el 1 Pascual estaba estudiando para su prueba de cateto mayor con respecto al cateto menor es “tres es a raíz cuadrada de tres”. Escribe dicha razón de manera racionalizada. Matemática. Desarrollando unos ejercicios de 5+2 3 4 , un estudiante inició 4 de manera habitual el proceso, amplificando 2 Para racionalizar , 3+ 2 obtenía por resultado 6 , y que si tomaba 3 racionalizar la expresión por 3 16 , y su compañera de igual manera, 2 5 + 5 2 , obtenía por resultado 10. 5+ 2 Entonces pensó: “¿Será cierto que al a b +b a racionalizar expresiones del tipo b+ a se obtiene siempre por resultado ab ?” pero amplificando por 2 . ¿Habrán obtenido el 3 mismo resultado? Hazlo de ambas maneras para justificar tu respuesta. resulta al dividir raíz cuadrada de 2 más 5 veces la raíz cuadrada de tres, por raíz cuadrada de 2, menos 5 veces la raíz cuadrada de tres? Justifica tu respuesta haciendo las reducciones necesarias. 3 ¿Qué tipo de número, racional o irracional, 2 El profesor de Matemática del curso de Mónica les ha dado una tarea. En ella hay una pregunta ordénalos de menor a mayor. Para ello, racionaliza y descompón cuando sea necesario. 27 ; 3 3 3+ 3 ; ; 3 3 3 que complica a Mónica y que dice así: OA = 3 cm; AB = 3 3 cm; OC = 2 3 9 cm; CD = x ; Encuentra el valor de x. Expresa tu respuesta racionalizando el denominador. 5 En la figura, AC y BD son paralelas. ¿Por cuál de los siguientes factores: 3 22 + 3 32 ; 22 − 3 32 ; 3 22 − 3 6 + 3 32 se debe amplificar 3 2 la expresión para que quede 3 2+33 completamente racionalizada? Ayuden a 3 Mónica respondiendo la pregunta. 3 A Camilo le gusta la materia que están B estudiando en el colegio y decidió hacer todos A D Demuestren que la afirmación de Pascual es verdadera. 4 Dada la siguiente sucesión de números, 2 3 ; 3 2 +2 3 racionalización se dio cuenta que al C los ejercicios que aparecen en el libro. Uno de O los que le parecieron más entretenidos y fáciles fue el siguiente. ¿Puedes encontrar un número que multiplicado 5 por 5 dé por resultado ? 7 +2 3 46 U1 MAT 3M (008-073).indd 46 2/11/11 15:21:57
  47. 47. Camilo resolvió el problema y volvió a recordar 5 Fernando discutía con su compañero de curso, que estas raíces que parecen tan complejas en Ismael, acerca de un problema que estaban realidad son solo otros números. Ustedes ¡Háganlo! 4 Teresita pensó en la prueba de Matemática que 108 + 3 500 comentando. Una de ellas señalaba que en la pregunta 6, que decía 3 3 4 a... había marcado la letra D, es decir, 532 . Pero 2 se debía Ismael, por su parte, señalaba que se debía amplificar por 3 + 5 − 7 . Ambos estaban muy complicados, pues al final de su desarrollo es igual Teresita había marcado la letra E, que indicaba que la respuesta era 8. 3+ 5+ 7 amplificar por 3 − 5 + 7 . racionalizar la expresión acababa de dar y en lo que sus amigas estaban 2 resolviendo. Fernando sostenía que para también pueden resolver este problema. UNIDAD 1 les habían dado resultados distintos. ¿Qué le podrías decir tú a Ismael y a Fernando acerca de su problema? ¿Cuál de ellas estaba en lo cierto? Mis apuntes 47 U1 MAT 3M (008-073).indd 47 2/11/11 15:21:58
  48. 48. Ecuaciones irracionales En esta sección aprenderás Qué son las ecuaciones irracionales, cómo se resuelven y para qué sirven. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular:1, 2 • Comprender y resolver: 3, 1 • Relacionar y aplicar: 4, 5, 6, 3, 4, 6, 7 • Interpretar y generar ideas: 2, 6, 5 Marcia fue a visitar a su bisabuela, pues tenía una tarea escolar. El profesor de Historia le había pedido narrar cómo era la vida entre los años 1920 y 1950. Mamá Elvira, bisabuela de Marcia, había nacido en el año 1915 y se acordaba perfectamente de su vida, y además contaba unas historias entretenidísimas. Hablando de su niñez y juventud, le contó que en su casa tenían un gran reloj de pared, de esos con péndulo y cucú, y que un día se cortó la luz y ella se asustó, porque estaba sola en casa. Prendió una vela y se puso a mirar el péndulo por mucho rato. Se dio cuenta entonces de que se demoraba aproximadamente 2 segundos en ir y volver al punto de partida. Pensó: “Ese péndulo tiene una hermosa cadena. ¿Cuánto medirá?” Luego cambió de tema y siguió con lo que a Marcia le preocupaba en ese minuto. Marcia hizo su tarea, pero se quedó pensando en darle una respuesta a Mamá Elvira. ¿Cómo podía hacerlo? Decidió pedir ayuda a sus profesores. La profesora de Física le explicó que el tiempo que se demora un péndulo en ir y volver al punto inicial se llama período (T, medido en segundos) y está dado por la fórmula, L T = 2 π ≈ 3,14 ¿ g L es el largo del péndulo (medido en metros) y g es la aceleración debida a la gravedad (que es igual a 9,8 m/s2). Así, según los datos dados por Marcia, se tenía que: 2 = 2 ⋅π L . Si consideramos π ≈ 3,14 , tenemos que: 9,8 L 2 = 2 ⋅ 3, 14 . 9, 8 Pero ¿cómo podía resolver esta ecuación tan extraña, donde el valor que ella debía encontrar estaba dentro de una raíz? Estas ecuaciones se llaman Ecuaciones irracionales y son aquellas en que al menos una de las incógnitas se encuentra en la cantidad subradical de alguna de las raíces que aparecen en la ecuación. 48 U1 MAT 3M (008-073).indd 48 2/11/11 15:21:59
  49. 49. L Así: 2 = 2 ⋅ ¿ ≈ 3,14 π 9, 8 m/s2 ⇒ 2 = 6, 28 ⇒ 0,318 = L 9, 8 L 9,8  L  ⇒ ( 0, 318 ) =   9, 8     2 ⇒ 0,101124 = / : 6, 28 2 L 9,8 ⇒ 0, 9910152 m = L 0,9910152 m = L /( 2 ) (Aproximamos a 3 decimales) Links de interés / ⋅ 9,8 Esto es, aproximadamente, 1 metro. Marcia, contenta, agradeció a su profesora; ya tenía la respuesta para Mamá Elvira. Se fue a su clase de Matemática. El profesor enseñó ecuaciones irracionales e hizo varios ejemplos como estos: 1. 2x −4 =4 /( Puedes ver una clase donde se explica cómo se resuelven estas ecuaciones en: http://matematicasies. com/spip.php?article917 2 2 x − 4 = 16 / +4 2 x = 20 / :2 x = 10 Las ecuaciones irracionales, al igual que las demás ecuaciones, siempre hay que comprobarlas. Para ello se debe verificar que se cumpla la igualdad planteada en la ecuación irracional al remplazar la incógnita por el valor encontrado. Comprobación: 2 x − 4 = 4 ) 2 ⋅ 10 − 4 = 20 − 4 = 16 = 4 . Como la igualdad planteada se cumple, entonces x = 10 es solución de la ecuación. 2. x + 5 x + 1 = x + 9 5 x +1 = 9 UNIDAD 1 Para resolverla, dijo la profesora, debes dejar a un lado de la igualdad solo la raíz y luego elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación, ya que así podrás eliminar la raíz cuadrada. 5 x + 1 = 81 5 x = 80 x = 16 / −x /( / −1 / :5 x + 5 x +1 = x +9 16 + 5 ⋅ 16 + 1 = 16 + 9 Comprobación: 2 ) (Recuerda que se debe dejar solo la raíz a un lado de la ecuación) 16 + 81 = 16 + 9 16 + 9 = 16 + 9 Por lo tanto, x = 16 es solución de la igualdad. U1 MAT 3M (008-073).indd 49 (Se debe comprobar que ambos lados de la igualdad den el mismo valor) 49 2/11/11 15:22:03
  50. 50. 1+ x − 2 = x −3 /( 3. ( ( 1+ x −2 = 1+ x 2 ) 2 ) ( 2 (¡Cuidado! Cuando eleves al cuadrado el lado izquierdo de la ecuación, quedará un cuadrado de binomio) ) x −3 2 ) − 2 ⋅ 1 + x ⋅ 2 + 22 = x − 3 1+ x − 4 1+ x + 4 = x −3 5+ x − 4 1+ x = x −3 − 4 1 + x = −8 1+ x =2 1+ x = 4 x =3 Comprobación: 1 + x − 2 = x − 3 1+1 −2 = 3−3 4. 2+ 2+ 2+ x = 2 2+ 2+ 2+ x = 4 2+ 2+ x = 2 2+ x +2 = 4 / : −4 /( / −1 2 ) 4 −2= 0 2 − 2 = 0; por lo tanto, x = 3 es solución de la ecuación. /( 2 ) / −2 /( 2 / −2 x + 2 = 2/ ( / ( ) 2 ) 2 ) x + 2 = 4 / −/ − 2 2 x =2 Comprobación: / −5 − x 2+ 2+ 2+ x = 2 2+ 2+ 2+2 = 2 2+ 2+ 4 = 2 2+ 2+2 = 2 2+ 4 = 2 2+2 = 2 4 = 2 ; por lo tanto, x = 2 es solución de la ecuación. 50 U1 MAT 3M (008-073).indd 50 2/11/11 15:22:05
  51. 51. x +4 x −1 ⋅ x + 4 = x + 2 ( ( x − 1 ) ( x + 4 ) ) = ( x + 2) 2 x +3 x −4 = x + 4 x + 4 3x −4=4 x +4 2 2 −4 = x + 4 −8 = x Comprobación: 2 x −1 = /⋅ x + 4 /( 2 Toma nota ) ¿Puede existir solución para la ecuación x + 2 = −3? / −x / −3 x /−4 −8 − 1 = −9 = No, pues una raíz cuadrada no puede tener un valor negativo en el conjunto de los números reales; por lo tanto, decir que x + 2 = −3 contradice la definición de raíz cuadrada. 2 x +2 x +4 −8 + 2 UNIDAD 1 x +2 x −1 = 5. −8 + 4 −6 −4 Pero −9 y −4 no están definidas en los números reales; por lo tanto, la ecuación no tiene solución. 6. 3 ( 3 x −1 = 2 /( x +1 3 ) x −1 = 8 x =9 = 23 3 ) / +1 Comprobando se tiene que: 3 3 x −1 = 2 9−1 = 2 8 =2 2=2 Por lo tanto, x = 2 es solución de la ecuación. 3 Trabaja Resuelve los siguientes ejercicios. a. x − 8 = 2 f. d. 5 − 3 x + 1 = 0 i. 4 + 3 5 x − 2 = 9 2 x + 10 − 2 x + 3 = 1 1 Calcula y comprueba las ecuaciones irracionales planteadas a continuación. b. x 2 − 2x + 1 = 9 − x c. 1+ 2 x −1 = 2 e. 18 + x = 3 11 g. x + 4 − x − 1 = h. 3 x − 8 = 2 j. 15 − 3 7 x − 1 = 12 2 x −1 51 U1 MAT 3M (008-073).indd 51 2/11/11 15:22:09
  52. 52. 2 ¿Cuál es el valor de x que hace igual a 8 la expresión 3 8 − 7x ? 3 Si la raíz cúbica de Z se aumenta en trece unidades, resulta ser el triple de dicha raíz cúbica, pero 4 Los lados de un triángulo, de perímetro 20 cm, miden sumada a siete unidades. ¿De qué valor de Z se trata? x , x + 11 y 9 cm, respectivamente. a. Encuentra el valor de x correspondiente. b. ¿Cuáles son las medidas de los lados que se desconocen? 5 Dada la ecuación 3 13 x = 13 a. ¿Cuál es el valor de x que la satisface? b. Usando los conceptos estudiados en la presente unidad, ¿qué relación se puede establecer entre 13 y el valor hallado para x? 6 Las longitudes de los lados de un rectángulo, medidas en metros, son 5 + 2 2x y 5 − 2 2x . Si su área es 3 m2: a. Halla el valor de x. b. ¿Cuáles son las medidas de los lados? Trabaja Planteen la ecuación irracional correspondiente y resuélvanla. Recuerden dar respuesta en forma completa y escrita. calles. Para que un poste de 4 m quede bien seguro, se debe colocar un cable tensor que una el extremo superior del poste con el suelo. Claudio, su hijo, le escuchó decir que aquel cable medía 12 m y se preguntó: “¿A qué distancia del poste, en el suelo, debe ir anclado el cable tensor?” 1 El señor Donoso trabaja en la compañía de electricidad supervisando la colocación de postes en las 5 2 −2 3 x = 2 3 −5 2 x 2 En su época, Pedro Urdemales tuvo que resolver lo siguiente: • Copió nuevamente el ejercicio: 5 2 − 2 3 x = 2 3 − 5 2 x . Animoso, hizo el siguiente desarrollo: • Agrupó los términos con x: 5 2 x − 2 3 x = 2 3 − 5 2 . • Aplicó una de las propiedades de las raíces que tú conoces: 5 2 x − 2 3 x = 2 3 − 5 2 . • Factorizó por x : 5 2 − 2 3 ( ) x = 2 3 − 5 2. 52 U1 MAT 3M (008-073).indd 52 2/11/11 15:22:12
  53. 53. 2 3 −5 2 • Despejó x : x= (5 2 −2 3 ) ; recordó que: 2 3 −5 2 = − 5 2 −2 3 . ( ) x= (( − 5 2 −2 3 ( 5 2 −2 3 ). UNIDAD 1 2 2 −5 5 = − − 5 −2 2 3 3 3 − 2 por 5 2 2 − 3 2= • Hizo el siguiente cambio: )) • Simplificó y obtuvo: x = −1 . • Elevó al cuadrado en ambos miembros de la ecuación y finalizó diciendo que: x = 1 • Comprobó su respuesta y no pudo creerlo: ¡estaba equivocado! ¿Dónde está su error? al resolver correctamente la siguiente ecuación x 2 + 4, 69 = x + 0, 7 puede encontrar el valor de la raíz cuadrada de un cierto número. Resuélvanla (recuerden comprobarla) y luego escriban cuál es el número y cuál es su raíz cuadrada. 3 Un matemático puede obtener mucha información a partir de la resolución de una ecuación. Por ejemplo, 4 Francisco, en un terreno heredado, ha instalado circuitos de autitos de carrera. Muy preocupado por la seguridad de los usuarios, cada auto es monitoreado a través de una pantalla. En una parte del circuito, de forma triangular y con un tramo total de 300 m por recorrer, al doblar la última esquina y entrando al tramo mayor, ocurrió que un auto no logró ser monitoreado en la vuelta completa, perdiéndose la señal antes de los metros finales. Las medidas de los tramos, de menor a mayor, son 50 m, 120 m y 200 x + 900 m. Determinen el valor de x. preparados para resolver el ejercicio 4 x 2 + 6 x + 9 = 5, aun si pensamos elevar la ecuación a la cuarta, pues aún no hemos visto cómo se resuelven ecuaciones que tengan x2. Pero nos dijo que desarrolláramos esta más sencilla: x + 3 = 5”. 5 “En la última clase que tuvimos con la señorita Ana María, ella nos dijo que todavía no estamos ¿Cuál es la solución de esta última? ¿Será solución también de la que no se pudo resolver anteriormente? 6 “Cuando pasábamos frente al último poblado, íbamos a 60 km/h, y como solo faltaban 50 km para llegar a nuestra casa de campo, me distraje y me quedé profundamente dormida. En sueños sentía que íbamos paulatinamente acelerando y que gritaban diciendo: “¡No vayas tan rápido, papá, no tanto. Mira que ya vamos a 120 km h y solo nos faltan 10 km para llegar”. Todo fue muy rápido. Solo sentí el impacto en mi cabeza y ahora estoy en el hospital”. Así decía el parte de Carabineros publicado en el diario y que nuestro profesor nos leyó. Él nos comentó que, de una manera muy sencilla, puedes hallar la aceleración usando la fórmula vv f== 22a ∆ d + vi22 , donde vf es la velocidad final del auto; vi, su velocidad inicial; a, la aceleración que a ∆ f v f = 2a el 2 llevaba, y ∆d ,+ vicamino recorrido entre el poblado y el lugar del volcamiento. Luego nos preguntó: ¿cuál fue la aceleración del auto? Comenten su resultado con su profesor o profesora de Física y escriban qué datos nos proporciona la solución. 53 U1 MAT 3M (008-073).indd 53 2/11/11 15:22:15
  54. 54. 7 Sr. Pérez: Como encargada del grupo de investigación sobre la disminución numérica de la población joven de lobos de mar en la zona 1, le informo que hay una relación con la merma del número de peces pequeños presentes allí. Así, en un primer acercamiento, una población de 12 000 peces pequeños solo permite alimentar a 60 individuos, y esto hace que no tengamos a los 80 que esperábamos encontrar. Por esto, este factor nutritivo es de alta preocupación. Le adjunto la fórmula encontrada para calcular el número de lobos de mar (L) en relación con el número de peces (p) existentes: Atte. Adriana Díaz L = 50 + p 120 Calculen el número de peces que se necesita para alimentar a los 80 lobos y luego comparen su resultado con la información entregada por Adriana. Sintetizando Las ecuaciones irracionales son aquellas en que al menos una de las incógnitas está en la cantidad subradical de una raíz. Para resolverlas no tienes que olvidar que: • Debes, en lo posible, dejar solo la raíz a un lado de la ecuación. • Elevar al cuadrado o al cubo, dependiendo si la raíz es cuadrada o cúbica, ambos lados de la ecuación para eliminar la raíz. • Si en algunos de los lados hay una suma o resta, cuando se eleva al cuadrado se debe desarrollar como cuadrado de binomio. • Siempre deben comprobarse. Da un ejemplo de ecuación irracional con raíz cuadrada y uno con raíz cúbica, y revisa tu respuesta con tu profesor o profesora. Revisemos lo aprendido Responde y luego comparte y compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. a. ¿Cómo reconoces una ecuación irracional? b. Haz una lista de los pasos que debes seguir para resolver una ecuación irracional. c. En la actividad de la página 51, ¿cuántas ecuaciones pudiste resolver correctamente y sin ayuda? d. ¿Planteaste bien los problemas y los resolviste? 54 U1 MAT 3M (008-073).indd 54 2/11/11 15:22:19
  55. 55. Función raíz cuadrada El informe final señalaba que la población de abejas de la parcela se comportaba bajo la siguiente función: p ( t ) = 16 t + 1200, donde p representaba la población de abejas (en decenas) y t el tiempo transcurrido (en meses). Una tarde, Rubén visitó a su papá y vio, sin querer, sobre la mesa el informe. Como estaba en 4º Medio, recordó que había estudiado funciones y le comentó a su papá que una función es una expresión matemática que relaciona dos variables; en este caso, la función relaciona el número de abejas (población) con el tiempo que ha transcurrido. Hay funciones de distintos tipos, dependiendo de qué expresión matemática relacione las variables; en este caso, la expresión matemática tiene una raíz cuadrada; por lo tanto, la función se llama función raíz cuadrada. En esta sección aprenderás A analizar la función raíz cuadrada y a ocuparla para resolver algunos problemas cotidianos. UNIDAD 1 El papá de Rubén trabaja como administrador de una parcela dedicada a la apicultura (cría de abejas y producción de miel). El dueño de la parcela mandó a hacer un estudio de mercado para poder predecir, de cierta forma, cómo se comportaría su negocio. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 4 • Comprender y resolver: 3, 9, 12, 13 • Relacionar y aplicar: 5, 6, 7a, 10, 11 • Interpretar y generar ideas: 2, 7b, 8 Si consideramos el mes en que partió el negocio como mes 0 (porque no ha transcurrido ningún mes aún), se tiene que t = 0 . Así: p ( 0) = 16 ⋅ 0 + 1 200 = 1 200. Esto quiere decir que el negocio partió con 1200 decenas, es decir, con 12000 abejas. Transcurrido el primer mes, se tiene que t = 1, entonces: p (1) = 16 ⋅ 1 + 1 200 = 4 + 1 200 = 1 204 decenas. Esto significa que al mes había 12040 abejas. Así se puede calcular cuántas abejas había en un determinado mes y en qué mes habrá un determinado número de abejas, si todo se comporta normalmente. El papá de Rubén se alegró por todo lo que sabía su hijo. Contento con lo que su papá le había dicho, quiso repasar más. Buscó sus cuadernos y encontró los siguientes apuntes: Cada tipo de función está representada por un gráfico distinto. Así como la recta es la gráfica que corresponde a una función lineal, la función raíz cuadrada también tiene una gráfica. Analicemos la función y = x . Para graficarla, podemos hacer dos cosas: construir una tabla de valores y hacer el gráfico manualmente o bien utilizar un programa para graficar funciones: Recordar y archivar Cuando se tiene una función f ( x ) definida por una expresión algebraica cualquiera, se reconocen dos variables: una dependiente y una independiente bajo f ( x ). A x se le llama variable independiente o preimagen; a f ( x ) (o y) se le llama variable dependiente o imagen. En el ejemplo de las abejas, cuando calculamos el número de ellas en cierto mes, estamos calculando imágenes y cuando calculamos el mes en que habrá cierta cantidad de abejas, estamos calculando preimágenes. 55 U1 MAT 3M (008-073).indd 55 2/11/11 15:22:21

×