Matemática 3º medio  libro para el estudiante
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Matemática 3º medio  libro para el estudiante Matemática 3º medio libro para el estudiante Document Transcript

  • TEXTO DEL ESTUDIANTE MATEMÁTICA MATEMÁTICA Olga Saiz Maregatti Profesora de Matemática Viktor Blumenthal Gottlieb Licenciado en Ciencias, mención Matemática INTRO MAT 3M (001-007).indd 1 3 O medio 2/11/11 14:58:27
  • Estructura del texto Inicio de unidad: En las primeras dos páginas encontrarás un esquema donde se conectan los contenidos y los objetivos fundamentales y transversales que orientan el trabajo de toda la unidad. En las siguientes dos páginas hallarás los contenidos por trabajar, los aprendizajes esperados y una breve introducción a partir de temas o situaciones reales. Conocimientos previos: Esta sección te permitirá recordar lo aprendido en años anteriores, que servirá de cimiento para los nuevos aprendizajes. También consta de una Evaluación, en la que podrás autoevaluar cuán preparado te encuentras. Contenido: A lo largo del libro se presentan páginas de contenido donde se indica claramente lo que aprenderás en cada sección. Sintetizando y Revisemos lo aprendido: En ellas encontrarás un resumen de los conceptos centrales y una evaluación de proceso que te permitirá revisar tu propio aprendizaje. Trabaja: A través de esta sección podrás ir ejercitando algunas habilidades, a fin de fortalecer tus aprendizajes. 2 INTRO MAT 3M (001-007).indd 2 2/11/11 14:58:43
  • Trabaja Trabaja En forma individual o grupal ejercitarás distintas habilidades. Toma nota Taller de profundización: Te enfrentarás a un desafío en el que irás más allá con respecto a los contenidos trabajados. Taller: Podrás trabajar en grupos, aplicando de manera entretenida algunos de los aprendizajes de la unidad. Datos claves, que debieras recordar o tener presentes, son los que encontrarás en este lateral. Links de interés Aquí se sugieren sitios Web que enriquecerán los contenidos que se trabajan. Recordar y archivar Lateral en el que se recuerda algún contenido relacionado con el tema que se trabaja. Evaluación de la unidad: Aquí encontrarás preguntas en las que deberás razonar, ejercicios de desarrollo para que apliques lo aprendido y ejercicios con alternativas, lo que te permitirá evaluar tu nivel de aprendizaje. Síntesis: Mediante distintos tipos de actividades podrás evaluar los aprendizajes de todas las unidades tratadas. $+ 7 < ¡ ? >% 2 = Para saber más Encontrarás información complementaria relacionada con el contenido trabajado. Para entretenerse ¿Te gustan los desafíos? En esta sección se proponen algunos muy interesantes que podrás resolver utilizando lo que has aprendido. 3 INTRO MAT 3M (001-007).indd 3 2/11/11 14:58:51
  • Índice Unidad 1 12 - 13 Conocimientos previos 20, 34, 45, 54, 63 y 65 64 - 65 9 - 10 Taller de profundización 66 - 73 Evaluación Unidad 1 78 - 79 Conocimientos previos 100, 125 Raíces y función raíz cuadrada Sintetizando y Revisemos lo aprendido Sintetizando y Revisemos lo aprendido Objetivos Fundamentales y Transversales, Contenidos y Aprendizajes esperados Unidad 2 131 Ecuaciones cuadráticas y función cuadrática Taller: El huevo, la gallina, la parábola y tú Evaluación Unidad 2 142 - 145 75 - 76 132 - 141 Evaluación de síntesis 1 (Unidades 1 y 2) Objetivos Fundamentales y Transversales, Contenidos y Aprendizajes esperados 4 INTRO MAT 3M (001-007).indd 4 2/11/11 14:58:54
  • 15 ¿Qué son, en realidad, las raíces y qué se puede hacer con ellas? ¿Cómo calcular el valor de raíces con resultados decimales sin calculadora? 14 Raíces, ¿qué son? 16 23 Propiedades de las raíces 18 Raíces cúbicas, ¿qué son? 40 Racionalización 18 ¿Cómo calcular raíces cúbicas? 48 Ecuaciones irracionales 23 Multiplicación de raíces 55 Función raíz cuadrada 25 División de raíces 28 Descomposición de raíces 29 Suma y resta de raíces 30 Raíz de una raíz 81 84 80 Ecuaciones cuadráticas: ¿qué son, cómo se resuelven y para qué sirven? Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2 + c = 0, con a ≠ 0 Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx = 0, con a y b números reales y a ≠ 0 88 ax2 + bx + c = 0, con a, b y c números reales y a Ecuaciones cuadráticas de la forma ≠ 0, donde el trinomio es fácilmente factorizable 92 Método de completación de cuadrado 94 ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, donde el trinomio no es Ecuaciones cuadráticas de la forma fácilmente factorizable y a, b, c pertenece a los reales 106 La parábola 108 109 106 Función cuadrática: ¿qué es y en qué se utiliza? ¿Cómo determinar si un punto del plano pertenece o no a una parábola? ¿De qué depende que la parábola se abra hacia arriba o hacia abajo? ¿Cómo determinar los puntos de corte o 112 intersección de la parábola con los ejes coordenados? 116 ¿Cómo determinar el vértice de una parábola? 121 ¿Cómo determinar el eje de simetría? 123 Otras consideraciones 5 INTRO MAT 3M (001-007).indd 5 2/11/11 14:58:55
  • Unidad 3 150 - 151 166, 171, 188, 196 y 201 202 - 211 Algo más sobre triángulos rectángulos Evaluación de síntesis 2 (Unidades 1 a 3) 220 - 221 Unidad 4 Evaluación Unidad 3 212 - 215 Objetivos Fundamentales y Transversales, Contenidos y Aprendizajes esperados Taller de profundización Conocimientos previos 231, 242, 255 y 271 147 148 Sintetizando y Revisemos lo aprendido 199 - 201 Desigualdades e inecuaciones Conocimientos previos Sintetizando y Revisemos lo aprendido 273 Taller: Explorando mi barrio 286 - 289 Unidad 5 Evaluación de síntesis 3 (Unidades 1 a 4) 294 - 295 Objetivos Fundamentales y Transversales, Contenidos y Aprendizajes esperados Evaluación Unidad 4 Conocimientos previos 303, 311 y 335 217 218 274 - 285 Sintetizando y Revisemos lo aprendido 339 Probabilidades... un paso más Taller: La mesa redonda del rey Arturo 360 - 361 Índice temático 362 - 398 Evaluación de síntesis 4 (Unidades 1 a 5) 356 - 359 Objetivos Fundamentales y Transversales, Contenidos y Aprendizajes esperados Evaluación Unidad 5 352 - 355 291 292 340 - 351 Evaluación de síntesis 5 (Unidades 1 a 5) Solucionario 6 INTRO MAT 3M (001-007).indd 6 2/11/11 14:58:58
  • 152 Desigualdades, ¿parecidas a la igualdad? 154 ¿Tendrán propiedades las desigualdades? 157 ¿Para qué se usan las propiedades de las desigualdades? 175 Inecuaciones: ¿qué son? 162 Números reales: ¿qué número es el que está justo antes que otro? 167 ¿Para qué sirven los intervalos? 175 Inecuaciones lineales 192 Sistemas de inecuaciones: ¿qué son?, ¿cómo se resuelven? y ¿en qué se aplican? 222 Teorema de Pitágoras y teorema de Fermat 244 Trigonometría: ¿qué es y para qué se usa? 262 Otros temas de trigonometría 296 Variable aleatoria: ¿qué es? 306 Probabilidad experimental y teórica... ¿se relacionan? 314 Algunas consideraciones de sucesos y probabilidades 320 Sucesos independientes... ¿cómo trabajar con ellos? 329 185 Inecuaciones con valor absoluto Euclides, Pitágoras y sus teoremas 236 181 Inecuaciones fraccionarias y cuadráticas Sucesos dependientes... probabilidad condicionada 399 Bibliografía 7 INTRO MAT 3M (001-007).indd 7 2/11/11 14:58:58
  • UNIDAD 1 Raíces y función raíz cuadrada RAÍCES Y FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA Concepto de raíz Cálculo de raíces cuadradas y cúbicas Propiedades de las raíces Ecuaciones irracionales Función raíz cuadrada Aplicaciones de las raíces a la vida diaria 8 U1 MAT 3M (008-073).indd 8 2/11/11 15:20:28
  • OBJETIVOS FUNDAMENTALES Y TRANSVERSALES En esta unidad: Conocerás y utilizarás conceptos matemáticos asociados al estudio de raíces y función raíz cuadrada. Aplicarás y ajustarás modelos matemáticos para la resolución de problemas y para el análisis de situaciones concretas. Modelarás situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean funciones raíz cuadrada. Resolverás desafíos con grado de dificultad creciente, valorando tus propias capacidades. Percibirás la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. Razonarás lógica y deductivamente para ir en búsqueda de nuevos métodos de solución a los problemas que se plantean. 9 U1 MAT 3M (008-073).indd 9 2/11/11 15:20:33
  • CONTENIDOS Raíces cuadradas y cúbicas. Propiedades de las raíces (raíz de un producto, producto de raíces, raíz de un cociente, cociente de raíces, raíz de una raíz, composición y descomposición de raíces). Racionalización, estimación y comparación de fracciones que tengan raíces en el denominador. Ecuaciones irracionales. Función raíz cuadrada (gráfico de y = x , y = x 2 e identificación de x 2 = x , dominio de una función raíz cuadrada). Resolución de desafíos y problemas de planteo. Generalización para raíces de otros índices. APRENDIZAJES ESPERADOS Uso de herramientas tecnológicas apropiadas para los contenidos de la unidad. En esta unidad se espera que: 1 Conozcas y utilices procedimientos de cálculo algebraico en expresiones en las que intervengan raíces cuadradas y cúbicas. 2 Resuelvas ecuaciones que involucren raíces cuadradas y cúbicas e interpretes sus soluciones. 3 Analices la función raíz cuadrada en el marco de la modelación de algunos fenómenos sencillos. 4 Utilices algunas herramientas tecnológicas como ayuda en la resolución de problemas. 10 U1 MAT 3M (008-073).indd 10 2/11/11 15:20:39
  • ( ) fue introducido en 1525 por el El símbolo de la raíz cuadrada matemático Christoph Rudolff. Es una forma estilizada y elegante de la letra r minúscula. Este símbolo representa la palabra latina radix, que significa raíz. UNIDAD 1 El cálculo de las raíces cuadradas ha estado presente en la mayoría de las civilizaciones. Alrededor del 1700 a. C., se presentan tablillas babilónicas de cálculos aproximados de raíces cuadradas, probablemente, para la confección de calendarios que preveían los momentos óptimos de siembra y cosecha. El Papiro de Ahmes, datado en 1650 a. C., muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas. En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue, al menos, tan antiguo como los Sulva Sutras, textos de carácter religioso anteriores a 200 d. C., que tenían instrucciones para la construcción de altares de sacrificios. En uno de ellos se encuentra una aproximación numérica de la 2. La Pascalina, de Blaise Pascal (1645) La idea de utilizar un instrumento para manipular números no es nueva. El ábaco es considerado el más antiguo aparato de cálculo, y aún hoy se sigue usando en algunos lugares de Asia. La primera máquina mecánica de calcular, que sumaba y restaba, la inventó Blaise Pascal en 1645 y se llamó “La Pascalina”. Gottfried Leibniz creó la rueda escalada de Leibniz, que sumaba, restaba, multiplicaba, dividía y sacaba raíces cuadradas. Hoy en día nos valemos de la calculadora para ayudarnos con estos y otros cálculos. Por otro lado, en el siglo XVIII surgió uno de los conceptos más fundamentales, hasta hoy, en matemática: la función. Se le atribuye al matemático Leonhard Euler el primer intento por definirla formalmente. Después se precisó una función como la relación entre dos variables, en la que una de ellas depende de la otra (definición que tú estudiaste el año pasado). Este concepto, seguramente, surgió desde los inicios de la matemática con algunas de las civilizaciones antiguas, como la babilónica, la china y la egipcia. Leonhard Euler (1707- 1783) Así como ya conociste y estudiaste las funciones lineales, existen otras que pueden analizarse. Una de ellas es la función raíz cuadrada, con la que se modelan muchas situaciones de la vida cotidiana y de la ciencia. 11 U1 MAT 3M (008-073).indd 11 2/11/11 15:20:41
  • Conocimientos previos En años anteriores aprendiste mucho sobre potencias; ahora recordaremos algunos conceptos importantes y cómo aplicarlos a ellas. Primero aprendiste que una potencia (an)= a una abreviación de una es ⋅ a ⋅⋅ a a ⋅ ... n veces = a ⋅ a ⋅ ... multiplicación de factores iguales (multiplicamos n veces anpor sía ⋅⋅ a  n = cualquier número real y n es un número n veces a ⋅ ... misma), en la que a es a ⋅ a ⋅⋅ a  n ⋅ ... natural. Es decir, an = a ⋅ a ⋅⋅ a . Por ejemplo, 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81. aveces  a ⋅a ⋅⋅...dea ⋅ a a  Recuerda que en a , = a=a ⋅⋅⋅a la potencia y n es el exponente. es la base ... ⋅ a n veces n n n vecesveces n Luego definiste algunas propiedades para trabajar con las potencias; ellas son: a. Multiplicación de potencias de igual base: Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. an ⋅ am = an + m Ejemplo: 65536 i. 43 ⋅ 45 = 48 = 65536 ii.  2  3   1 024 2 2 ⋅  =   = 59 049 3 3 2 8 10 b. División de potencias de igual base: Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes. an : am = an − m Ejemplo: i. 83 : 82 = 81 = 8 ii. 75 = 72 = 49 3 7 c. Potencia de una potencia: Para elevar una potencia a un número natural, se conserva la base y se multiplican los exponentes. (a ) n i. 23 m = 215 = 32768 = an⋅m Ejemplo: 5 ( ) Recordar y archivar Recuerda que en matemática las divisiones por cero no están definidas. Por lo tanto, solo tiene sentido esta definición: 1 a− n = n si a ≠ 0 a ii. (( −6) ) = ( −6) 2 3 6 = 46 656 Luego ampliaste la definición de potencia para el caso en que el exponente fuera un número negativo o cero; esto es: a 0 = 1 y 1 a− n = n (con a ≠ 0 ) a Por ejemplo: 1 1 10 1  1 −2 =1 i.  −  + 3 = 1 + 2 = 1 + = 9 9 9 3  5 0 −2 2  a5   b2  b4 b7 ii. a b ⋅  2  = a6 b3 ⋅  5  = a6 b3 ⋅ 10 = 4 a a b  a  2 3 ( ) 12 U1 MAT 3M (008-073).indd 12 2/11/11 15:20:44
  • Estos ejercicios te ayudarán a recordar dichos conceptos y propiedades. 1 e.   2 1 Calcula el valor de las siguientes potencias: c. −42 = b. ( −4 ) = 2 2 :  = 3 −2  12  f. ( −5) − 3 +   =  7  d. 3 ⋅ 2 = 2 2 2 4 0 3 UNIDAD 1 a. 42 = 2 Calcula el valor de las siguientes potencias usando las propiedades de las potencias: a. 23 ⋅ 24 ⋅ 2−9 = d. 23 ( ) 1 b. 2−2 ⋅ 2−3 ⋅   = 2 3 4  1   −1  5 c.   :   ⋅ 3 = 3  3  4 1 ⋅   : 25 2 2 ( ) −1 = e. 3−1 ⋅ ( −3) ⋅ ( −3) −8 2 ( ) −1 f.    2    6 4 ( 2  −1  ⋅   ⋅ −48  2  −4 ( 5 )= ) −2 = 3 Reduce las siguientes expresiones usando las propiedades de las potencias: a. m3 ⋅ m−7 = ( ) ⋅ (2 p ) b. p4 2 5 c. a2 ⋅ b7 ( ) : (ab ) −2 4 −3  d 2 ⋅ ( 4 c )3  d.   =  8 ( cd )5    : p−1 = 4 = 4 Calcula el área de los siguientes paralelogramos: a. Un cuadrado de lado a2 . 3 b. Un rectángulo de lados ab2 y ( ab ) . 1 c. Un romboide de base (3 x ) y altura   . 3 2 −1 Evaluación Marca con una 8 el casillero correspondiente para evaluar tu trabajo de revisión. Indicador Lo hice sin Me costó; necesito problemas repasar un poco más Necesito repasar los contenidos; tuve muchas dificultades Leí detenidamente los contenidos que se explican. Entendí los ejemplos resueltos. Pude resolver correctamente los ejercicios del ítem 1. Pude resolver correctamente los ejercicios del ítem 2. Pude resolver correctamente los ejercicios del ítem 3. Pude resolver correctamente los ejercicios del ítem 4. Si marcaste tres o más cruces en la última columna, vuelve a leer los contenidos de los Conocimientos previos. Probablemente necesites repasar un poco más. 13 U1 MAT 3M (008-073).indd 13 2/11/11 15:20:48
  • Raíces, ¿qué son? En esta sección aprenderás Qué son las raíces y cómo se calcula su valor. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 2, 5, 6 • Comprender y resolver: 3, 7 • Relacionar y aplicar: 4a, 4b, 4d, 4e, 4f, 4g, 4h, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 • Interpretar y generar ideas: 4c En la semana del aniversario del colegio de Pedro y Alejandra habrá pruebas para las alianzas. Uno de los desafíos es desarrollar un proyecto de servicio a la comunidad. Como Pedro y Alejandra son parte de la directiva de su curso, le plantearon al director la posibilidad de hermosear un sector eriazo de la plaza que está frente al colegio poniendo flores y arbustos. Habiendo aprobado la idea, el director pidió la autorización al departamento municipal correspondiente y les dio a los estudiantes las dimensiones del lugar: 40 m por 60 m. Pedro, Alejandra y el grupo designado para llevar a cabo esta labor decidieron plantar también en una de las diagonales del terreno, pero no saben su medida. ¿Cómo averiguarlo si en ese momento no podían ir a medirla? Recordaron que, en situaciones similares, lo habían resuelto aplicando el teorema de Pitágoras. En este problema tendremos que: Trabaja más... Habilidades por actividad: • Relacionar y aplicar: 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5 B 40 m A 60 m C 402 + 602 = AC 2 11.600 +3 600==AC 600 3.600 1.600 + 3.600 AC 5.200 5 200 = AC 2 22 5.200 = AC 5.200 5 200 = AC Entonces, tomaron sus calculadoras y encontraron que el valor de 5200 = 72, 11102551. Como este es un número decimal, debieron aproximar la medida de la diagonal a 72 m y luego terminaron su trabajo. Desgraciadamente, Pedro no pudo calcular el valor porque su calculadora no tenía la tecla de raíz cuadrada. Debido a esto, planteó sus inquietudes: ¿se podrá hacer este cálculo sin calculadora? ¿Qué son realmente las raíces cuadradas? 14 U1 MAT 3M (008-073).indd 14 2/11/11 15:20:49
  • Como ya lo has calculado antes, 4 = 2, porque 22 = 4 ; entonces, entenderemos que a es un número que al elevarlo al cuadrado da como resultado a. Ahora bien, si pensamos en el ejemplo anterior, podemos decir que 2 ( −2) = 4 ; entonces, tenemos que para − a se cumple también ( 2 ) Recordar y archivar Todo número real elevado al cuadrado es siempre positivo o cero, es decir, a2 ≥ 0, ∀a ∈ R. Observa que −4 no es un número real, ya que ningún número real elevado al cuadrado dará como resultado un número negativo. que − a = a. UNIDAD 1 ¿Qué son, en realidad, las raíces y qué se puede hacer con ellas? Por lo tanto, definiremos que: 0 a = x , si y solo si x 2 = a para todo número a ∈ R +  { }. Es decir, la ecuación x 2 = a tendrá dos resultados: a y − a . Esto es equivalente a escribir que 2 ( a) =a Observa que en toda raíz se tiene, Índice de la raíz n a Cantidad subradical Toma nota a a = representa, geométricamente, −a la distancia que hay en la recta a numérica entre el cero y a. =  −a Algebraicamente, se define:  a a = −a si a ≥ 0 0 2 n si a ≤ 0 £ a< 0 ≤ 2n 2n 2n Recuerda que cuando hablamos de la raíz cuadrada su índice es dos y no se anota explícitamente. 16 = 4, porque 42 = 16 Aplicando lo anterior, se puede establecer que: i. ii. − 16 = −4 ; 4 lo mismo que − 16 = − es ( iii. iv. − ) ( 1 1 1 1 1 1 = , porque   = ⋅ = 3 3 3 9 9 3 2 16 = −4 )  1 1 1 1 =− = − ; es lo mismo que −   9 3 9 3   15 U1 MAT 3M (008-073).indd 15 2/11/11 15:20:52
  • ¿Cómo calcular el valor de raíces con resultados decimales sin calculadora? Recordar y archivar Toda raíz puede ser ubicada en la recta numérica. Por ejemplo, para encontrar 2 , lo hacemos geométricamente de la siguiente manera: 1+ 1 = 2 1 0 1 2 2 Como ya has estudiado, 2 no es un número racional. Esto quiere decir que es un decimal infinito puro (tiene infinitas cifras decimales y no son periódicas ni semiperiódicas), por lo que solo podemos conseguir una aproximación de su valor. Cuando necesitamos resolver un problema, la única manera de escribirla, respetando su valor exacto, es como 2 . Pero ¿cómo logramos una aproximación? Existen varios métodos, unos más prácticos que otros. Un buen sistema cuando se quieren pocos decimales (2 o 3) es la aproximación por exploración: 2 debe ser un número entre 1 y 2, ya que 12 = 1 y 22 = 4 , y 2, cantidad subradical, está entre 1 y 4. Entonces, si calculamos (1, 5) , esto es igual a 2,25, por lo que 2 debe ser menor que 1,5. 2 ⇒ (1, 4 ) = 1, 96, entonces debe ser mayor que 1,4 y menor que 1,5. 2 ⇒ (1, 41) = 1, 9881, y (1, 42) = 2, 0164 . 2 2 Por lo tanto, debe ser mayor que 1,41 y menor que 1,42. $+ 7 < ¡ ? >% 2 = Así se pueden buscar los decimales deseados. Para saber más Existen otros métodos para calcular raíces cuadradas y cúbicas sin calculadora. El siguiente link te lleva a descubrir algo más. http://www.monografias.com/ trabajos44/raiz-cuadrada/raizcuadrada.shtml Gracias a la tecnología, hoy en día nos podemos ahorrar este trabajo; las calculadoras nos ayudan en esta tarea. • Digita en tu calculadora y obtendrás 1,414213562... 16 U1 MAT 3M (008-073).indd 16 2/11/11 15:20:55
  • Trabaja Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. a. d. 16 g. 225 b. c. 36 64 f. i. 3 h. 169 e. 25 196 j. 400 d. 75 g. 42,6 f. i. 625 UNIDAD 1 9 1 Sin usar tu calculadora, encuentra el valor de cada una de las siguientes raíces: 10101 2 Haciendo uso de tu calculadora y con aproximación a la centésima, indica el valor de cada raíz: a. b. c. 10 144 324 e. 104 h. 867 210 j. 1,501 3 Usando el método de aproximación por exploración, determina el valor a la centésima de las a. 5 siguientes raíces: b. 21 c. 37 d. 48 4 Resuelve con tu compañero o compañera de banco los siguientes problemas: e. 59 a. Julieta quiere instalar, para su cumpleaños, un foco en el techo del pasillo y lo intenta subiéndose a una silla, pero no alcanza; entonces trae una escalera. Cuando llega al pasillo se da cuenta de que no la podrá colocar. No calculó que la muralla de la casa mide 2 metros de altura, que el pasillo tiene 1 metro de ancho y que la escalera mide 2,5 metros. ¿Puedes explicarle a Julieta por qué no puede usar esta escalera? ¿Cuál es la mayor longitud que debería tener la escalera para poder ponerla en el pasillo? b. Felipe necesita un recipiente en forma de cubo para colocar 2 kilos de aserrín para la obra que el taller de teatro está montando. Pregunta a don Patricio, un auxiliar del colegio, si sabe las dimensiones de una caja que había en la bodega y si la puede usar. Don Patricio le dice que la prestaron a otro colegio y que no recuerda cuánto mide la caja, pero que necesitaron 1,5 m2 de papel para forrarla. ¿Podrá Felipe, con estos datos, saber si la caja le servirá? Justifica tu respuesta. (Considera que cada m3 de aserrín pesa 200 kg. Esto corresponde a la densidad del aserrín). c. Ya sabes que las raíces cuadradas son números, racionales algunos e irracionales otros, que se pueden ubicar en la recta numérica; por lo tanto, se pueden ordenar. Esto se debe a que es posible establecer una relación de orden entre ellos, es decir, señalar cuándo un número es mayor o menor que otro. ¿Podrías enunciar una regla para comparar dos raíces cuadradas, sean racionales o irracionales, y así decidir cuál es mayor? 17 U1 MAT 3M (008-073).indd 17 2/11/11 15:20:56
  • Recordar y archivar 1l = 1 000 cm3 = 1 000 cc Raíces cúbicas, ¿qué son? La fábrica de helados Mejor que en el polo decide lanzar al mercado un nuevo helado familiar. Según el dueño, el envase debe ser un cubo que contenga 1,5 litros. Al proponer la idea al equipo de marketing, ellos lo piensan por un momento, calculan y surgen algunas dudas: ¿será apropiado el envase? ¿No generará desconfianza en el público acerca de la cantidad de contenido? ¿Qué piensas tú? ¿Estás de acuerdo con las dudas del equipo de marketing? ¿Puedes realizar los cálculos que ellos hicieron? Bien, para calcular esto debemos recordar que el volumen de un cubo de arista a se determina por la fórmula V = a3; por lo tanto, se tiene que: Recordar y archivar Otra definición de raíz, muy usada, es aquella que la define como una potencia de exponente racional. Así, tenemos que: n am = a Por ejemplo: 3 = 32 , 3 x2 = x 2 3 1 m n 1, 5 litros = a3 1500 cm3 = a3 a = 3 1500 De la misma manera que definimos una raíz cuadrada, podemos decir que, por ejemplo, 3 8 = 2 porque 23 = 8 . Así, 3 8 es un número que al elevarlo al cubo (o a tres) da por resultado 8. También, 3 125 = 5, ya que 53 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 y 33 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 33 = , , ya que   = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ya que = = ya que 27 3 27 3 3 3 3 3 27 3  3 3 3 27 Observa que en este caso (−2) = −8 ; por lo tanto, no puede darse la misma situación que en las raíces cuadradas. En el caso de las raíces cúbicas, la cantidad subradical puede ser negativa. 3 Fíjate ahora, 3 −27 = −3 , porque ( −3) = − 27. 3 Así, podemos definir que: 3 a = x , si y solo si x 3 = a para todo a∈R. La ecuación x 3 = a tiene una solución en los números reales, que es 3 a . ¿Cómo calcular raíces cúbicas? Al igual que las raíces cuadradas, existen raíces cúbicas cuyo resultado se puede escribir como fracción (es decir, son números racionales) y otras que no. Estas últimas también son números irracionales y solo se pueden aproximar, cuando sea necesario, según el contexto del problema. 18 U1 MAT 3M (008-073).indd 18 2/11/11 15:20:59
  • Para encontrar un valor aproximado, puedes hacerlo por el método de aproximación por exploración, de la misma manera que lo hicimos anteriormente: 3 2 está entre 1 y 2, ya que 1 = 1 y 23 = 8 . ⇒ (1, 5) = 3, 375, entonces 3 3 Las apariencias engañan 2 es menor que 1,5. ¿Cuál de las bolas rojas es más grande? ⇒ (1, 2) = 1, 728 y (1, 3) = 2, 197. 3 3 ⇒ Será un valor entre 1,2 y 1,3. O bien, puedes usar la calculadora y obtener que 3 π ≈ 1, 25992105... 2 3,14 Volviendo al problema de la fábrica de helado y su envase, tenemos que la medida de la arista del cubo del envase de helado será 3 1500, que es aproximadamente 11,45 cm. UNIDAD 1 3 Para entretenerse Sorprendentemente, ambas son del mismo tamaño. ¿Qué le sugerirías tú al dueño respecto del envase con estas medidas? Trabaja Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 1 125 343 5 Sin usar tu calculadora, encuentra el valor de cada raíz: a. b. 3 3 −216 c. d. 3 3 −64 e. f. 3 3 −1 g. h. 3 3 1331 −729 i. j. 3 3 27 −1 000 6 Haciendo uso de tu calculadora y con aproximación a la centésima, indica el valor de cada una de las −9 siguientes raíces: a. b. 3 3 11 c. d. 3 3 512 27 −81 e. f. 3 3 100 −343 125 g. h. 3 3 71,4 88,02 i. j. 3 3 −0,37 10 010 Trabaja Apliquen lo aprendido y resuelvan. siguiente problema: En el interior de una caja de madera caben exactamente 18 bombones esféricos, distribuidos en tres hileras de seis. 1 En un programa de TV se premiará con un notebook a aquel estudiante que logre solucionar el 19 U1 MAT 3M (008-073).indd 19 2/11/11 15:21:02
  • Estimen cuáles son las medidas del interior de la caja considerando que el volumen del molde de fabricación de cada bombón es de 13,5 cm3. • Consideren π = 3 para hallar el volumen del interior de la caja. • Tienen exactamente seis días para enviar sus repuestas al correo electrónico del programa. • Los e-mails con las posibles respuestas empiezan a llegar. • Se han seleccionado las diez mejores y recibes la noticia de que entre ellas está la tuya. Se les ha citado al programa en vivo para resolver individualmente el problema. ¿Cuál fue la respuesta ganadora? donde se pondrán mide 3 m de largo y 1 m de ancho; por lo tanto, estos tambores deben tener, a lo más, 1 m de diámetro. En Internet encuentran el siguiente aviso: “Se venden tambores metálicos, usados, de 200 litros; el alto es igual al diámetro. $5 000 c/u”. Con estas dimensiones, ¿es factible comprar estos tambores? Considere π = 3,14 luego, hagan sus cálculos y justifiquen su respuesta. 2 Un grupo ecológico necesita tres tambores metálicos para su plan de reciclaje de basura. El lugar Sintetizando Hay algunos conceptos que no puedes olvidar: • Una raíz (cuadrada o cúbica) es un número que puede ser racional o irracional. • Cuando una raíz cuadrada o cúbica es un número racional, es fácil encontrar su valor sin uso de calculadora. ¿Qué debes hacer? Contesta y revisa tu respuesta con tu profesor o profesora. • Cuando una raíz cuadrada o cúbica es un número irracional, solo se podrá dar un valor aproximado de ella; para esto, puedes utilizar calculadora o el método de aproximación por exploración. ¿Por qué? Contesta y revisa tu respuesta con tu profesor o profesora. • Las raíces cuadradas de números negativos no son números reales. • Las raíces cúbicas de números negativos sí se pueden calcular, ya que son números reales. m • Toda raíz se puede escribir como potencia de exponente racional de la siguiente forma: n am = a n . Revisemos lo aprendido Responde las siguientes preguntas: a. ¿Puedo verbalizar los conceptos de raíz cuadrada y cúbica? b. ¿Pude hacer las actividades? c. ¿Aporté a mi grupo cuando tuvimos que trabajar juntos? d. ¿Qué ejercicios de las actividades individuales y grupales me costaron más? e. ¿Tuve que consultar a mi profesor o profesora con mucha frecuencia? Si hasta aquí no tienes dudas y has logrado resolver correctamente los ejercicios, te invitamos a seguir con la próxima sección. Si has tenido dificultades, debes volver a leer la sección y resolver tus dudas con tu profesor o profesora. 20 U1 MAT 3M (008-073).indd 20 2/11/11 15:21:02
  • Trabaja más... –En este caso –dijo César a David– la temperatura ha variado desde 20°C a 22°C y la lámina se ha dilatado 1 mm por lado. ¿Cuál es el coeficiente de dilatación del cobre? –preguntó David. 17 ⋅ 10−6 –Es –dijo César. ∞ C °C –Pues bien, ahora sí podemos calcular la medida del lado de la lámina de cobre. –¿Cuál es? Expresa tu respuesta en números enteros. años. Están hojeando una revista de corte y confección de la década del 50. Nancy le recuerda a Margarita lo complejo que fue calcular cuánto hilo necesitarían exactamente cuando decidieron ampliar esta figura a una que tuviera 45 cm2. ¿Cuántos centímetros de hilo ocuparon para hacer el borde de la cruz? Cada cuadradito tiene 2 cm2 de área 4 A Ricardo le picó, en su brazo izquierdo, un insecto tropical que le dejó, a la hora del suceso, una aureola circular de un diámetro de 8 mm. Al cabo de una semana falleció. El área afectada finalmente había aumentado en 9 π mm2. ¿Cuál fue el diámetro final de la aureola circular? Esta es la pregunta que tú debes contestar y que fue importante para la ulterior investigación de su muerte. 2 Lorenzo y Pepita están disfrutando de un atardecer en la parcela después de un productivo día de trabajo. Él le comenta que falta construir un estanque cúbico para almacenar agua en caso de emergencia. Días después, estuvo conversando con el vecino de la parcela aledaña, quien posee un estanque cúbico con un recubrimiento de 600 m2 de área. Él le sugirió que solo construyera uno con 60% del área total de su estanque. ¿Cuáles debieran ser las medidas del estanque cúbico que necesita la parcela de Lorenzo y Pepita de acuerdo a su vecino? UNIDAD 1 1 Margarita y Nancy han sido amigas por casi 60 Trabaja en forma individual 5 –Nicolás, ¡con qué fuerza lanzaste la pelota 3 César y David son instaladores eléctricos y deben revisar unas láminas cuadradas de cobre que se 6 han colocado en una de sus maquinarias, ya que se dilatan con el calor. Antes de ir a terreno a chequearlas, deben realizar algunos cálculos para compararlos con lo que pasa realmente con las láminas. Recibieron un informe que dice lo siguiente: “Según lo estudiado, la dilatación de un metal está dada por la fórmula v f = 2a ∆ d +vA2=⋅ 2 αa ∆ T ,+ vi 2 2a ∆ d + viel ⋅cambio de la ∆ A ∆ A =vfi 0 2 ⋅ ∆d fdonde ∆ A esA2 2 α ⋅ ∆ T , donde v = = 0 medida de la superficie de la lámina; A0 es el área v f inicial; ∆d es i 2 ∆ A 2⋅ ∆ A = A0=⋅ 2 αa ∆ T ,+ vel cambio de temperatura, y α es donde una constante asociada al material de la lámina (llamada coeficiente de dilatación)”. derechito hacia arriba! Lograste rozar el techo del gimnasio, y desde el suelo hasta el techo hay 8 m. –Así es, Matías; nunca imaginé que lo lograría. ¿A qué velocidad la habré lanzado si mis brazos estaban a un metro del piso? Ayuda a Nicolás a responder esta pregunta. Para ello, puedes usar la fórmula vi 2 = 2 gh , donde vi es la velocidad de salida o de disparo; g, la aceleración de gravedad, y h, la altura máxima alcanzada. Da tu respuesta aproximada a la centésima. Usando el método de aproximación por exploración, determina el valor a la centésima de las siguientes raíces: 3 5 b. 3 17 a. 3 28 d. 3 36 c. e. 3 72 21 U1 MAT 3M (008-073).indd 21 2/11/11 15:21:03
  • Trabaja en grupo 6561 cm3 y quiere construir otro que tenga el triple del volumen del que ya tiene. ¿Cuánto debe medir cada una de las aristas del cubo que desea construir? 1 Margarita tiene un cubo de volumen igual a 2 Pericles está en Internet buscando información sobre su juguete favorito. la que puedan embalar el florero para que quede justo topando las paredes de la caja y no se vaya a quebrar con la mudanza. Julián, que no tiene el florero a mano para poder medirlo, le pregunta a su mamá cuántos litros de agua caben en el florero, y su mamá le responde que caben aproximadamente 4 litros. Con esto, Julián hace unos cuantos cálculos y le da la respuesta a su mamá. ¿Cuál fue esta? (π = 3) 4 Leticia está haciendo un trabajo de tecnología que debe entregar al día siguiente. Este es su tercer intento de construir una caja en forma de cubo que contenga los 1,728 dm3 que quiere su profesor. La última que construyó solo tenía 8 cm de arista. ¿Cuántos cm más de arista debería tener la caja? formado por 16 secciones cúbicas de 0,216 m3 cada una, como lo indica la figura. ¿Cuáles son las dimensiones del estante? 5 El estante de la pieza de Alberto es un modular Él lee que hay dos tamaños y que sus envases, que son dodecaedros como los de la figura, tienen volúmenes de 958 cm3 y 7664 cm3. Pericles quiere saber cuánto más grande es la arista de uno que la del otro, para decidir cuál comprar. ¿Puedes ayudarlo respondiendo su pregunta? 3 El florero más querido de la mamá de Julián es una esfera de cristal que le regalaron sus papás el día de su matrimonio. Como la familia de Julián está cambiándose de casa, su mamá le ha pedido que calcule las medidas de una caja en Mis apuntes 22 U1 MAT 3M (008-073).indd 22 2/11/11 15:21:06
  • Propiedades de las raíces Multiplicación de raíces La figura muestra el trabajo de Tecnología que el grupo de Amelia debe desarrollar. Consiste en un mosaico compuesto por dos cuadrados: ABCD y AEBF. D C F A B E El profesor les da como instrucción que el lado del cuadrado menor debe medir 50 cm. Para poder comprar los materiales, necesitan saber cuál es el área del cuadrado grande. ¿Cómo la podrían calcular? vf Amelia dice que=en2a ∆d + vi 2 el ABE, rectángulo en E, podemos aplicar el teorema de Pitágoras: ⇒ 502 + 502 = AB 2 ⇒ 2500 ++2500==AB ⇒ 2.500 2.500 AB 2.500 2.500 ⇒ 2.500 = AB 5.000 ⇒ 5000 + 2.500 = AB 2 22 2 5000 2.500 = AB ⇒ 2.500 + = AB, entonces, AABCD = 5000 ⋅ 5000 2 Pero Mario, compañero de Amelia, dice que él se dio cuenta de que el cuadrado ABCD está formado por 4 triángulos congruentes y que, como sus catetos miden 50 cm porque son los lados del cuadrado AEBF, el área de cada uno de ellos es: 50 ⋅ 50 = 1 250 cm2 2 Propiedades de las raíces que te permitirán operarlas y trabajar con ellas. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 2, 3, 4a, 4b, 4c, 4d, 5a-h, 4 • Comprender y resolver: 4e, 4f, 4g, 4h, 4i, 4j, 5i, 5j, 5k, 1, 3 • Relacionar y aplicar: 2, 5 • Interpretar y generar ideas: 6, 7 UNIDAD 1 En esta sección aprenderás Trabaja más... Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 7, 30, 31, 32 • Comprender y resolver: 1, 2, 8, 9, 10, 17, 18, 19, 23, 25, 26, 28, 36 • Relacionar y aplicar: 3, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 24, 27, 29, 34 • Interpretar y generar ideas: 4, 5, 20, 33, 35 Por lo tanto, el área del cuadrado ABCD debería ser 1250 4 = 5000 cm2. Después de pensarlo un momento, deciden llamar a su profesor y contarle su análisis. Él les dice que ambos razonamientos son correctos; entonces Mario y Amelia concluyen que: 5000 ⋅ 5000 = 5000. Pero, ¿cómo es esto posible? Mario y Amelia vuelven a pensar junto con su grupo y escriben que la única forma de que esto fuera posible es que, 5000 ⋅ 5000 = 50002 = 25000 000 = 5000. El profesor, al ver su razonamiento, los felicita y les dice que han descubierto cómo se multiplican dos raíces. 23 U1 MAT 3M (008-073).indd 23 2/11/11 15:21:08
  • Si generalizamos el hallazgo del grupo de Amelia, entonces podemos escribir que: Se pueden multiplicar raíces de igual índice. Para ello, se conserva la raíz y se multiplican las cantidades subradicales. 0 Esto es: a ⋅ b = ab ∀a , b ∈ R +  { } Observa que también se puede mirar esta definición de la siguiente manera: a ⋅ b = a ⋅ b , esto es, que la raíz de un producto se puede escribir como el producto de las raíces de sus factores. = a ⋅ a = a ⋅ a = a2 = a ∀a , b ∈ R +  {0}. En general, se puede escribir que, n a ⋅ n b = n ab Observa: 2 ( a) Ejemplifiquemos multiplicando algunas raíces: 2 ⋅ 8 = 2 ⋅ 8 = 16 = 4 a. 20 ⋅ 5 = 100 = 10 b. c. 2 2 ⋅ −3 18 = 2 ⋅ −3 ⋅ 2 ⋅ 18 = −6 36 = −6 ⋅ 6 = −36 d. 6 ⋅ 3 5 = 3 30 e. 2 + 7 ⋅ 2 = 2 2 + 14 ( ) ( 5 − 4 3 ) ⋅ 2 3 = 2 15 − 8 9 = 2 g. ( 2 − 11 ) ( 2 + 11 ) = 2 ⋅ 2 + 2 11 − 2 (Usamos propiedad distributiva) 15 − 8 ⋅ 3 = 2 15 − 24 f. h. i. 4 − 121 = 4 − 11 = −7 ( 5−2 6 ) = ( 2) 2 2 − 2⋅ 2 ⋅ 3 + 4 + 3⋅ 4− 3 = j. 2− 3 3 16 − 3 = 13 4⋅3 2 = 3 8 =2 ( 3) 11 − 11 ⋅ 11 = 2 = 2−2 6 +3 = (4 + 3 ) (4 − 3 ) = 42 − (Cuadrado de binomio) ( 3) 2 = (Suma por diferencia) 24 U1 MAT 3M (008-073).indd 24 2/11/11 15:21:11
  • Trabaja Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios: a. 2 ⋅ 24,5 2a −2 a b. 2 3 12, 5 ⋅ 3 4 ⋅ 3 3 20 c. 7 x ⋅ 13 x d. e. f. ( 3 3 ( 2 ) 14 + 15 )( 14 − 15 UNIDAD 1 1 Desarrolla los productos indicados y, de ser posible, calcula el valor de la raíz: ) 12, 5 a2b ⋅ 3 3 2 a3 ⋅ 3 5 ab2 División de raíces En una clase de Diseño se plantea lo siguiente: “Se están experimentando nuevos diseños de casas, con una habitación cúbica donde exista un pilar de 12 metros que vaya desde uno de los extremos superiores al extremo inferior contrario”. “En este caso –dice el profesor– lo que se está pidiendo es que el pilar sea la diagonal del cubo. ¿Cuál será nuestro problema de medición?” 12 m Si D = a ⋅ 3 , entonces se tendría que 12 = a 3 , lo que implica que 12 a= . Pero ¿cómo se podrá calcular esto? 3 ¿Cómo podemos dividir raíces? Pensemos primero en lo siguiente: ¿Por qué existe allí un problema concreto de medición y construcción? etros Ángelo, uno de sus estudiantes, recordó que en el colegio había aprendido que la fórmula de la diagonal de un cubo es D = a ⋅ 3, donde a es la arista del cubo. Después de hacer los cálculos correspondientes, dio su respuesta. ¿Cuál fue el valor que encontró Ángelo para el lado de la habitación? 1 3⋅ = 1 3 ⇒ 3⋅ ⇒ 1 =1 /: 3 3 1 1 = 3 3 En general, podemos escribir que: (nota que a ≠ 0 ). U1 MAT 3M (008-073).indd 25 1 1 , donde a∈R + = a a 25 2/11/11 15:21:13
  • Pero ¿y si numerador y denominador son raíces? Pues bien, considera lo siguiente: 5 7 = 5⋅ = 5⋅ 1 7 = 5⋅ 1 5 = 7 7 1 7 (Usamos la propiedad de multiplicación de raíces) Así, generalizando, tenemos que: a , donde a ∈ R +  0 y b ∈ R + b ≠ 0 . {} ( ) b b En general: n a : n b = n a ( b ≠ 0). ( 0 b Para dividir raíces de igual índice, se conserva la raíz y se dividen las cantidades subradicales. a: b= a = 12 Entonces, volvamos a los cálculos de Ángelo. 144 Él tenía que a = 3 , entonces podemos escribir lo siguiente: (al escribir 12 como 144 , podemos ocupar la propiedad 3 de división de raíces que acabamos de deducir). Así, 144 a= = 48 ≈ 6,93 (nótese que este es un número irracional). 3 Como 48 es un decimal infinito, habrá un problema de aproximaciones en la construcción, pues no podemos determinar el valor exacto del lado de la pieza. Solo podremos encontrar un valor aproximado para poder construirla. a= Ahora bien, por otro lado, tenemos que las construcciones no son planas, por lo que se pueden solucionar estos problemas de aproximaciones con el material al construir. 1. 200 : 40 = 200: 40 = 5 Ejemplos: 2. 3 32 : 3 4 = 3 8 = 2 3. 27 : 3 = 9 = 3 4. 12 26 : 2 2 = 6 13 5. 144 144 12 = = 25 5 25 6. 4 a2b3 : 2 ab2 = 2 ab 26 U1 MAT 3M (008-073).indd 26 2/11/11 15:21:15
  • Trabaja Desarrolla los siguientes ejercicios en tu cuaderno. 3703 2 Resuelve las divisiones y, de ser posible, calcula el valor de la raíz. UNIDAD 1 7 a. b. 3 500 : 3 4 c. 91 x 3 : 13 x d. 3 y :3 y ( 3 ) e. 18 75 − 39 108 + 15 243 − 21 27 : 3 3 ( f. ) a6 b5c 8 : 3 a3b2c 11 3 g. 3 3 0,8 : 3 0,08 1,2 : 3 0,012 2 h. a ab a a b i. j. 2 3 3 1  39 2 1,5  ⋅ − ⋅  13  5 1,25 4    3  13  ⋅  5  5    ( 14 + 11 ) ( 14 − ( 92 + 11 ) ( 92 − 11 ⋅ ( 35 + 11 ) ⋅ ( 22 + ) 17 ) ( 35 − 17 ) 20 ) ⋅ ( 22 − 20 ) 27 U1 MAT 3M (008-073).indd 27 2/11/11 15:21:17
  • Descomposición de raíces a⋅b = a ⋅ b . ¿Qué pasaría si probáramos hacer esto con 50? Anteriormente, dijimos que podíamos escribir que Escribiríamos que 50 = 5 ⋅ 10 = 2 ⋅ 25 = 1 ⋅ 50 . Ahora, si nos fijamos bien: 50 = 2 ⋅ 25 = 2 ⋅ 5 = 5 2 . Así, hemos logrado escribir 50 de una forma equivalente. A este proceso se le llama descomposición de raíces. Descomponer una raíz cuadrada ( a ) es escribirla de la forma b c , de modo que se cumpla que a = b2 ⋅ c . En general, podemos descomponer b n c si se cumple que a = bn ⋅ c . n a y escribirla de la forma Para ejemplificar, verás la descomposición de raíces para los siguientes casos: 1. 162 = 81 ⋅ 2 = 81 ⋅ 2 = 9 2 2. 3 300 = 3 ⋅ 3 ⋅ 100 = 3 ⋅ 100 ⋅ 3 = 3 ⋅ 10 ⋅ 3 = 30 3 3. 12 4 ⋅3 4 3 4 3 2 3 = = ⋅ = ⋅ = 125 25 ⋅ 5 25 5 25 5 5 5 4. 12 x 3 y = 4 ⋅ 3 ⋅ x 2 ⋅ x ⋅ y = 2 x 3 xy 5. 3 16 a4 = 3 8 ⋅ 2 ⋅ a3 ⋅ a = 2 a 3 2 a Trabaja Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios. 3 Descompón cada una de las siguientes raíces: a. 18 d. 3 48 50 a2b f. b. 3 81 x 3 y 4 c. e. 2 a 44 a3b7c 9 13 128 2 g. 5 a 3 160 x 7 y 9 z 13 h. 3 8 9 x2 i. 2 b2 j. 3 3 125 4 b5 250 m5n6 28 U1 MAT 3M (008-073).indd 28 2/11/11 15:21:22
  • ¿Te acuerdas de Amelia, su grupo y su trabajo de Tecnología? Pues bien, ellos ya compraron casi todos sus materiales. Ahora solo tienen que resolver un pequeño problema. Deben comprar la cantidad suficiente de palitos de maqueta para poner por el borde y así terminarlo. Entonces, todos miraron a Amelia y a Mario, esperando una respuesta. “Ya habíamos calculado que AB = 5000, por lo que debemos sumar tres veces 5000 y luego agregarle los catetos del triángulo AEB. Así, tres veces 5000 = 3 ⋅ 5000, entonces debemos comprar 3 ⋅ 5000 + 100. Si aproximamos el valor de 5000, tendremos que comprar 3 ⋅ 70,7 + 100 = 312,1 cm, o sea, aproximadamente 7 palitos de 50 cm cada uno, lo que es más que suficiente”, dijo Amelia. Lo pensaron y respondieron lo siguiente: D UNIDAD 1 Suma y resta de raíces C F A B E Mario señaló que estaba de acuerdo con su razonamiento, pero agregó que de ser así, entonces se podría escribir que dos veces 5000 más dos veces 5000 serían cuatro veces 5000, lo que se podría escribir como 2 5000 + 2 5000 = 4 5000 . Su profesor, atento a los razonamientos de sus dos estudiantes, los felicitó otra vez y les dijo que aquello se podía generalizar de la siguiente manera: Se pueden sumar o restar raíces que tengan igual cantidad subradical e igual índice. Para ello, sumamos o restamos el coeficiente numérico que antecede a la raíz y conservamos la raíz. 29 U1 MAT 3M (008-073).indd 29 2/11/11 15:21:24
  • Para ejemplificar, se han resuelto los siguientes ejercicios de sumas y restas de raíces. 1. 2 10 + 3 10 = 5 10 2. 8 11 − 14 11 + 11 = −5 11 1 2 5 3− 3=− 3 3. 4 3 12 4. 200 + 2 18 = 10 2 + 6 2 = 16 2 5. 18 x + 50 x = 3 2 x + 5 2 x = 8 2 x (Descomponemos cada raíz) Trabaja Resuelve los siguientes ejercicios. 6 + 6⋅ 6 − 9⋅ 6 g. 4 ⋅ 0,004 − 5 ⋅ 0,009 − 0,001 4 En tu cuaderno, realiza las sumas y restas de raíces y descomponlas cuando sea necesario. a. b. 7 ⋅ 3 11 − 3 11 − 3 ⋅ 3 11 + 5 ⋅ 3 11 c. 11 x + x − 13 x − 4 x + 15 x 3 3 3 d. 7 + 12 7 + 7 7 4 e. −2 54 + 6 24 − 8 6 f. 6 3 189 875 7 − 15 3 + 31 3 64 216 8 h. 3 128 − 4 75 − 2 162 + 4 147 i. 5 3 189 − 3 56 + 2 3 875 j. 33 ⋅ 5 15 5 + 16 ⋅ − 81 ⋅ 121 12 81 Raíz de una raíz Cuando Mario, Amelia y su grupo estaban terminando su trabajo, llegó su profesora de Matemática, motivada por lo que el profesor de Tecnología le había contado sobre ellos y sus razonamientos. Conversaron largo rato acerca de lo que habían descubierto y lo importante que era pensar y ser capaz de resolver nuevos desafíos sin darse por vencidos al primer intento. Como todos estuvieron de acuerdo con ello, la profesora les planteó el siguiente desafío:“¿Se podrá extraer raíz de otra raíz?” Meditaron por un tiempo y no sabían qué hacer. Entonces, Pablo, otro integrante del grupo, recordó algo que vio en un libro y que le había parecido curioso: una raíz se podía escribir también como una potencia. 30 U1 MAT 3M (008-073).indd 30 2/11/11 15:21:27
  • 2 3 Según Pablo, 3 a2 = ( a ) . Si esto es así, entonces se podría escribir, por ejemplo, que: 5 4 1 4  1 a = a =  a4    5 1 5 Ahora bien, aplicando las propiedades de las potencias, se tiene que: 1  11 20  a 4  5 = ( a ) 20 = a .   Entonces, Pablo dijo que, en conclusión: 5 4 a = 20 a . Como todo el grupo estuvo de acuerdo con lo que dijo Pablo, fueron a buscar a su profesora para contarle su deducción. Ella los felicitó y agregó que, en general, podemos afirmar lo siguiente: Para extraer raíz de otra raíz, se deben multiplicar los índices de las raíces y conservar la cantidad subradical. Esto es, n m $+ 7 < ¡ ? >% 2 = Para saber más Como ya has aprendido, las raíces cuadradas de números negativos no son números reales; entonces, ¿qué son? Por siglos se pensó que estas expresiones no eran números. Sin embargo, el matemático Jerome Cardan se atrevió a trabajar con ellas como si lo fueran y logró resolver algunos de los problemas de ecuaciones en los que estaba enfrascado. UNIDAD 1 ¿Te acuerdas que ya lo aprendiste en la sección anterior? Aunque en su momento a todos les pareció una locura, el sólido trabajo de Cardan y de muchos matemáticos posteriores a él llevó en 1777 a otro matemático, Leonhard Euler, a definir formalmente a estos números como números imaginarios. a = n⋅m a . 256 Luego, la profesora escribió en la pizarra los siguientes ejercicios: 4 1. 256 = 8 256 = 2 Ellos dijeron que era muy fácil y respondieron: 4 2. 3 3 81 Lo pensaron un poco y respondieron: “¡Fácil!” 3 3 81 = 3 3 ⋅ 9 = 3 27 = 3 3. 5 2 Este ejercicio los complicó un poco más, pero luego de meditarlo un tiempo, Pablo dijo a sus amigos que podrían resolverlo como potencias y escribieron: ( 1 1 1 2 1 1 1 2 1    1 2 5 2 = 5 ⋅ 2 =  5 ⋅ 22  = 52 ⋅  22  = 5 2 ⋅ 2 4 = 5 4 ⋅ 2 4 =     52 ⋅ 2 ) 1 4 1 2 = 4 52 ⋅ 2 = 4 50 La profesora les dijo que, en general, podían escribir que: n am b = n⋅m am ⋅ b . 31 U1 MAT 3M (008-073).indd 31 2/11/11 15:21:30
  • Ahora que tú también lo sabes, recorre paso a paso la aplicación de esta propiedad: 3 1. 320 = 6 320 = 6 64 ⋅ 5 = 6 64 ⋅ 6 5 = 2 6 5 3 10 = 2. 3. 2 6 (Descomponemos) 32 ⋅ 10 = 4 90 (Debemos introducir el 3 dentro de la raíz y luego podemos multiplicar los índices) a + 3 4 3 a = 2 12 a + 3 12 a = 5 12 a 4. 2 3 2 = 2 2 4 18 = = 8 288 Trabaja (Multiplicamos los índices) 4 32 ⋅ 2 24 ⋅ 18 (Aplicamos la propiedad de raíz de raíz en cada uno de los sumandos y luego sumamos) (Debemos introducir los coeficientes numéricos dentro de la raíz, desde el que está más adentro al que está más afuera) (Aplicamos propiedad de raíz de raíz y luego introducimos el 2 dentro de la raíz cuarta que quedó) (Aplicamos propiedad raíz de raíz nuevamente) Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios. 5 Reduce a una sola raíz. 9 a. b. c. 3 2 64 d. 2 3 e. 2 3 5 f. 3 257 g. 3 2 5 h. 9 3 5−3 5 i. j. k. 3 6+ 2 9 3 9⋅ 3 486 1 6 ⋅ 4 0, 25 27 0, 3 3 1, 2 3 Trabaja Resuelve los siguientes problemas con tu grupo. Usa calculadora cuando sea necesario y aproxima tus respuestas a la centésima. 1 Cuando se produce un accidente de tránsito, Carabineros necesita estimar la velocidad a la que iba el º dado Para calcularla, saben que la velocidad (en km/h) es la multiplicación de un factor: 3, 6 2 µ ,= 0,23por automóvil según las marcas de derrape (marcas que dejan los neumáticos en el suelo al frenar). neumáticos y g la aceleración de gravedad 9, 8 m s2. el material del camino, por dg , donde d es la medida de la marca en metros que dejan los Si un automóvil dejó una marca de 95 m y el factor del suelo es µ = 0,23 , ¿cuál era su velocidad en km/h al momento del accidente? 32 U1 MAT 3M (008-073).indd 32 2/11/11 15:21:34
  • de un rectángulo de 2 por 18 cuadritos del cuaderno. Hecho esto, les planteó formar con él un cuadrado de igual área. Los alumnos lo hicieron fácilmente y formaron un cuadrado de 6 por 6 cuadraditos. Luego, los desafió a encontrar la medida del lado de un cuadrado que tuviera por área la misma que un rectángulo de lados 105 por 12 cm. ¿Cómo lo harían? Resuelvan el problema. UNIDAD 1 2 La profesora de Geometría les mostró a sus estudiantes que se podía construir un cuadrado a partir 3 El curso de Eugenia está haciendo mantas de polar para los abuelitos del hogar de ancianos. El diseño que ves es el que realizó Eugenia. Hizo los cálculos del género que comprará, pero desea poner cintas en las uniones de los triángulos formados y esos cálculos la tienen complicada. Ayuden a Eugenia a determinar la medida de los trazos al interior de la figura y respondan cuántos metros de cinta debe comprar. 0,75 m 0,75 m 1,5 m 1m 1,5 m 0,75 m 0,75 m 1m 4 En el colegio de Roberto hay diarios murales para varias asignaturas: Lenguaje, Arte, Matemática, etc. En el de Matemática, los profesores siempre ponen desafíos para sus estudiantes. Este mes plantearon uno para 3º y 4º medio: Les aseguro que ustedes también pueden hacerlo. Desarrollen ordenadamente y demuéstrenlo. Usando las propiedades de las raíces, demostrar que 2 + 3 ⋅ 7 − 4 3 = 1. ( ) 5 Una empresa de paisajismo va a embellecer el Parque Central de la Avenida Esperanza. Allí hay una figura que desean mantener: dos circunferencias concéntricas, donde se deberán plantar rosas y arbustos perennes. El paisajista encargado aporta los siguientes datos: la circunferencia mayor tiene un área de 7 850 m2 y el área de la menor es 1256 m2. Además, según su teoría, para que esta figura armonice con el resto del diseño, los radios de las circunferencias deben estar en una razón menor o igual a 0,75. ¿Servirán las circunferencias que están hechas o deberán reconstruirlas? Hagan los cálculos correspondientes, sin calculadora, y fundamenten su respuesta. r R 33 U1 MAT 3M (008-073).indd 33 2/11/11 15:21:35
  • 6 La profesora les ha pedido resolver el siguiente desafío: “Tomen un número par, entre 2 y 10, cuya raíz cuadrada sea un número irracional. Luego dividan la raíz cuadrada de este número por la raíz cuadrada de 2. Vuelvan a dividir por la raíz cuadrada de 2 el resultado anterior y así sucesivamente. ¿A qué resultado tiende? ¿Se obtendrá esto siempre para cualquier número que se tome?” 7 Carola está estudiando para la PSU. Ella debe reforzar Geometría, por lo que ha empezado a recordar algunas fórmulas de los triángulos. Así, descubrió que había olvidado que la medida de la altura de un a 3, donde a es la medida del lado. Ella suspiró y se triángulo equilátero corresponde a la fórmula h = 2 dijo: “otra vez raíces”. Después de hacer varios cálculos, se dio cuenta de que nunca se podría tener que altura y lado fueran ambos racionales. Dentro de sus cálculos, observó que si la altura era 12 , o 48 , o 108 , obtendría un triángulo que tenía por medida de su lado un número natural. Entonces pensó que todas las raíces cuadradas de múltiplos de 12 seguían la misma regla, pero al calcularlo con su razonamiento falló. 24 múltiplos de 12 se cumple la teoría de Carola. Realicen los cálculos que hizo Carola y decidan por qué falló este último caso y con qué raíces de Sintetizando Las propiedades de las raíces son aquellas reglas que nos dicen qué operaciones están permitidas con las raíces y cómo se realizan. Estas son: • Multiplicación de raíces de igual índice. • División de raíces de igual índice. • Raíz de una raíz. • Descomposición de una raíz. • Suma y resta de raíces. Revisemos lo aprendido • Haz un resumen de las propiedades estudiadas en esta sección y escribe un ejemplo de cada una de ellas. • ¿Cuál de las propiedades es aquella que más te cuesta distinguir y aplicar? Vuelve a repasar los contenidos referentes a esta propiedad. • ¿Has logrado hacer las actividades? • ¿Te sientes seguro de lo que has aprendido? 34 U1 MAT 3M (008-073).indd 34 2/11/11 15:21:35
  • Trabaja más... Trabaja en forma individual 5 El viejo almacenero de la otra cuadra de donde a. 5 x = − 32 ⋅ 18, 75 ⋅ 6 1 Determina el valor de x en: 3 c. 5 3 ⋅ 6, 25 ⋅ 3 22 ⋅ 3 2 = 0, 25 x 2 2x = 3 0, 6 − 12 ningún cliente a su negocio, leía y leía. Muy aficionado a descubrir el secreto de los números, encontró en uno de sus libros que, la raíz cúbica de 7, provenía del producto de las 7 raíces cúbicas de 2, de 3 y de . Exclamó: “¡Qué 6 frustrante no poder entenderlo! ¡Qué dura me 2 Determina el área de un rectángulo si sus medidas, en unidades, son: 6 9 y a. 2 32 + 3 8 − 2 b. 3 17 2 y + 2 2 3 17 2 − 2 2 3 “Señorita Mireya, no entiendo cómo fabricar la cubeta de vidrio, o lo que usted llama paralelepípedo, con semejantes medidas y, más aún, garantizar que finalmente pueda contener 5 litros de manera exacta. Discúlpeme, pero me parecen poco prácticas las medidas que usted me ha dado. Se las voy a repetir en el mismo 3 dm, 3 dm y 3 dm”. orden: 3 4 dm, 3 6,25 dm y 3 5 dm tocó la vida cuando era niño, ya que tenía que más allá de 6º básico!” Él no se percató de que trabajar y no tuve la oportunidad de estudiar yo había entrado y que lo escuchaba. 6 “En efecto, Agustina, como tu tío abuelo te 4 A Luis le encantan las competencias en grupo De acuerdo a lo que tú has estudiado en esta sección, ¿cuál fue la estrategia que usó el grupo de Luis gracias a la que obtuvo el mayor puntaje? ¿Cuál fue su respuesta? Tú puedes mostrar que lo que dice el libro es verdad. Hazlo. ¿Será posible que con las anteriores medidas un paralelepípedo pueda contener exactamente 5 litros? Haz los cálculos respectivos para justificar. que se realizan en las horas de Matemática. Siempre hay tres puestos entre los ganadores, que, de mayor a menor, se distribuyen en los grupos que realizan correcta y más rápidamente los desafíos. Esta vez el profesor les permitió usar calculadora y les pidió que multiplicaran rápidamente entre sí la raíz cuadrada de cada uno de los 10 primeros números naturales. Todos los grupos, excepto el de Luis, calcularon raíz por raíz y luego multiplicaron. UNIDAD 1 b. yo vivo, en los momentos en que no entraba cuento que estaba escrito en la herencia que la diagonal del terreno cuadrado de nuestra tía Menche era simplemente una aproximación a m. la centésima de 735 m Ella misma lo había expresado así. Ahora bien, ¿de dónde sacaron este dato con raíz cuadrada? ¡No lo sé!, pero si sé que el viejo pillo que nos hizo los trámites de la transacción de ese terreno por este otro donde estamos viviendo ¡nos estafó! Porque este solo tiene 340 m²”. ¿Por qué dice esto el tío de Agustina? Calcula la diagonal del terreno actual y luego, haciendo uso de la calculadora, para aproximar ambas raíces a la centésima, encuentra el número de metros cuadrados en que fueron estafados. 13 3 64 − 2 3 10 − 3 9 + 4 7 Reduce al máximo posible la siguiente expresión: 3 3 8 ¿Cuántas veces cabe 6 3 21 en 3 168 ? raíz cuadrada de 0,28 por la raíz cuadrada de trece décimos? 9 ¿Cuál es el número que se obtiene al dividir la 35 U1 MAT 3M (008-073).indd 35 2/11/11 15:21:38
  • 10 Despeja x en la siguiente ecuación: x 7 = 1 225. función de sus volúmenes. Georgina lo hizo considerando que dos esferas son siempre cuerpos geométricos semejantes. Nombró por V y R al volumen y radio de la esfera mayor y por v y r al volumen y radio de la esfera menor. 11 El área de un triángulo es 6 cm². Si la longitud de la base mide 3 cm, ¿cuál es el valor de la altura? 12 Fabián hizo un bosquejo de un dibujo para su clase de Arte que consiste en dos rectángulos, como lo muestra la figura. Para realizar el dibujo final, tiene que considerar que el rectángulo mayor debe tener área igual a 25 cm2. ¿Cuánto debe medir el lado a del rectángulo mayor? ¿Lo puedes hacer tú y dar la respuesta? 16 Luciano debe dibujar un hexágono regular como el de la figura. Para esto, solo tiene una condición para la altura de los triángulos interiores. Esta debe medir 18 cm. ¿Cuál debe ser la medida del lado del hexágono? 1 cm 2 cm a 13 Natalia está diseñando un jardín. Para ello, cuadriculó el terreno de manera que cada cuadrado tenga 1 m de ancho. En el bosquejo de la figura marcó tres puntos: A, B y C. En ellos colocará árboles y necesita calcular la distancia que debe haber desde el punto C hasta la línea que une A con B, considerando que el área del triángulo ABC tiene que ser de 6 m2. ¿Cuál es la distancia que necesita calcular Natalia? (Calcúlala aproximando a la centésima). 17 Descompón cada raíz en factores, de tal 81 000 es igual a 90 10 manera que demuestres que: a. b. c. 3 a7 b5c 4 es igual a a3b2c 2 ab 21 600 3 2 B 3 vale 7 y 3 z , 5. 18 Se sabe que C es igual a 6 3 50 x 2 yz es igual a 490. Además, 3 x ¿Cuál es el valor de 3 y? y c es 5 3 128 cm3. Completa el siguiente cuadro con posibles medidas para c, descomponiendo, previa y adecuadamente, el volumen en factores. 19 El volumen de un paralelepípedo de aristas a, b A 14 “Te desafío a resolver este problema –le dijo Tomás a Fulvio–. Escucha con atención: divide 3 3 k + 4 k 2 + 3 k + 4 por 3 k ”. ¿Existirá algún valor de k que haga que la división sea un número natural? 15 El profesor de Física le ha propuesto a Georgina un nuevo problema, porque ella le comentó que en clases de Matemática están estudiando raíces. Él le pidió que encontrara la razón entre los radios de dos esferas en 5 cm a 5 cm 2 cm b 4 cm c 20 Manuel, junto con su hermano, están buscando en Internet una respuesta respecto de la fórmula de la diagonal de un cuadrado. Encontraron que se puede calcular conociendo previamente el doble de su área y, luego, 36 U1 MAT 3M (008-073).indd 36 2/11/11 15:21:41
  • 21 “A veces me ocurre que hago los ejercicios de raíces tan rápido que en las pruebas me salto pasos de desarrollo importantes de escribir. Fíjate que me pasó nuevamente en la última prueba. Tenía que descomponer 812 en dos raíces cuyas cantidades subradicales fueran dos naturales sucesivos, y luego volver a descomponer si era posible, y yo solo anoté el resultado. Por supuesto, me bajaron puntos por no seguir instrucciones. ¿Puedes tú ayudarme a escribir los pasos del desarrollo?” 22 Blas le cuenta telefónicamente a su amigo Miguel una situación bochornosa que le ocurrió en su colegio. “–... Así que, para impresionar a Roberta, le conté que el profesor de Matemática me había lanzado el desafío de descomponer la raíz cúbica de 48000 en cinco raíces distintas, donde al menos una de ellas tuviera raíz cúbica exacta y que yo lo había resuelto en un segundo. Entonces, ella me pidió que le dijera cuál era el resultado. Menos mal que justo tocaron el timbre y tuvimos que entrar a clases; después ya no la vi al salir”. Da tú también una posible respuesta para el problema de Blas. 26 El radio de una circunferencia, medido en m, es 7 . Una segunda circunferencia, concéntrica a la anterior, tiene por radio el triple del de la primera. Y en otra circunferencia, también concéntrica a las anteriores, su radio corresponde al doble del de la segunda. ¿Cuánto vale la suma de sus perímetros y de sus áreas? 3 medida de superficie 8 − 5 unidades de área cada uno; sin embargo, el área del cuadrado verde es 8 + 5 unidades de área. De la zona en blanco que completa el cuadrado que los contiene a todos no se tiene esta información de superficie. –Sí, sí, le contaré, pero ayúdame también con la respuesta, ¿ya? 4 5 ; 3 45 ; 80 y 180, todos expresados en decímetros. ¿Cuál es el valor de su perímetro? 25 Los lados de un cuadrilátero miden: –¿Y le contarás que no tenías la respuesta, verdad? Supongo que no le mentirás – le dijo Miguel. y no volverá hasta después de almuerzo. Son las 11:30 de la mañana. ¿Qué hay que hacer? –Hay que pintar por fuera este contenedor cúbico cerrado de 3 375 litros, y no sé cuánta pintura vamos a necesitar. Dora se hizo cargo de la situación y calculó primero la superficie total por pintar. ¿Cuál crees que fue el valor que obtuvo? Expresa tu respuesta en m2. UNIDAD 1 extrayendo su raíz cuadrada. Ambos se quedaron sorprendidos. ¿Es esta fórmula equivalente a la conocida por ellos, que dice que la diagonal de un cuadrado es igual al producto del lado por la raíz cuadrada de 2? Demuéstralo tú. que 12 provenga de la descomposición sucesiva en raíces cúbicas de 1728. Tengo mis dudas”. 23 “Perdóname, Juanita, pero no me es fácil pensar Haz todo el desarrollo y luego responde si es posible o no. 24 –Dora, Dora, llama a Willy porque tengo que darle una tarea. –Usted lo mandó al banco a hacer un depósito, 27 Los cuadrados amarillos de la figura tienen por a. Encuentra el valor del lado del cuadrado que los contiene. b. ¿Cuál es el valor del área del cuadrado que los contiene? c. ¿Cuál es el valor del área de la zona en blanco? 28 Cristina estaba aburrida en clases de Matemática. Por un momento se distrajo y en su cuaderno dibujó esta linda casita. Su profesora se dio cuenta de esto y, para su asombro, la profesora no la retó; solo le dio una tarea: calcular el perímetro de la casa. 37 U1 MAT 3M (008-073).indd 37 2/11/11 15:21:42
  • ¿Puedes dar tú también la respuesta a esta pregunta, si cada cuadrado tiene un lado de longitud 1 cm? 31 En la empresa de Ronaldo se están fabricando unas cajas para envasar regalos, como las que se muestran en la figura. Ronaldo debe determinar cuánta cinta se necesitará para cubrir las diagonales de las caras. ¿Puedes tú dar la respuesta a Ronaldo? 1u 5 dm 29 Paolo comenzó hoy su primer trabajo en una empresa de mantención de tractores. Allí aprendió que los tractores tienen mecanismos de engranajes, como el que se muestra en la figura, para aumentar su velocidad de partida. Su jefe le ha dicho que debe crear un engranaje similar a este, en que cada una de las superficies de las piezas celestes tenga 3 π dm2 de área y la pieza central tenga 27 π dm2 de área, y le ha pedido que realice los cálculos necesarios para determinar cuál debe ser el diámetro de la circunferencia mayor (en rosado). Ayuda tú a Paolo y da la respuesta pedida. 3 dm 2 dm 32 Maritza está diseñando una bandera para su club de amigos y pensó en colocar una estrella hecha con un cordón de satín. Para ello, la dibujó usando cuadrados de 10 · 10 cm, como se muestra en la figura adjunta. ¿Cuántos centímetros de cordón de satín debe comprar? 33 Ana, está dando una interrogación oral en estos 30 A Fabiola le gusta mucho hacer deportes y decidió participar en una carrera que se efectuará el próximo mes. Averiguó y encontró un mapa del circuito que debe realizar (el de la figura adjunta), donde se presenta un plano cuadriculado. Sin embargo, hay una información que, según sus cálculos, está errada: se indica un circuito de 25 km por recorrer. ¿Estás tú de acuerdo? Haz los cálculos matemáticos y responde la pregunta. momentos en la pizarra. Tiene que escribir de Ella anotó 3 3 3 3 91 = 8 91 . Algo está mal, a manera reducida la siguiente expresión: 91 . juzgar por la cara del profesor. ¿Cuál es la respuesta correcta? 34 –¡A veces hay que ser preciso, pero nunca tanto, Leonidas! Llegada –Lo siento, jefe; usted ayer me tildó de desordenado en mis cálculos y poco preciso, y ida rt Pa 1 km no le gustaron mis aproximaciones. 38 U1 MAT 3M (008-073).indd 38 2/11/11 15:21:42
  • circunferencia de área 421 m2, como usted Entonces hoy calculé que si tenemos la dijo, entonces el diámetro respectivo mide 421 4 m. π2 Tú que sabes matemática, ¿concuerdas con el cálculo de Leonidas? 35 “A veces un simple ejercicio matemático sirve para encontrar cosas inesperadas”, comentaba el caballero que iba sentado en el bus al lado del joven con audífonos puestos. Después 2 3 0, 125 ”. El joven extrajo un papel y le mostró donde se leía: “Uno se ve reflejado en lo miró extrañado, mientras alguien le hacía caballero estaba un poco “loco”. Lo curioso es que algo de verdad parece decir ese caballero. Descúbrelo. Reúne todo en una sola raíz y prosigue. Ya verás por qué decía esto el caballero. 36 “¿Quién desarmó mi fórmula? –gritó airado el mago matemático–. ¡Mira como la han dejado!: Q 1 ⋅ T= . Si la tenía lista. t A ⋅ ε ⋅σ Había logrado colocar todo como expresión UNIDAD 1 de una sola raíz para remplazar valores y, en una sola extracción, saber la temperatura T que buscaba...”. Ayuda al mago matemático a obtener nuevamente la fórmula. ¿Cuál es tu respuesta? gestos para que no le hiciera caso, porque el Mis apuntes 39 U1 MAT 3M (008-073).indd 39 2/11/11 15:21:44
  • Racionalización En esta sección aprenderás A transformar una expresión fraccionaria con raíces en el denominador, en otra equivalente con raíces solo en el numerador. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 1 • Relacionar y aplicar: 2, 3 El profesor de Tecnología de Amelia y Mario evaluó el trabajo y quedó muy impresionado. Como sabía del estusiasmo del curso, les propuso teselar el diario mural para hacer más grata su sala de clases, y ellos aceptaron gustosos. Entonces, surgió una duda entre los estudiantes: las medidas originales eran demasiado grandes; por lo tanto, tenían que reducir su mosaico. ¿Qué hacer en este caso? Debían encontrar un mosaico semejante, solo reducirlo a la mitad, a la cuarta parte, o a la octava parte. Contentos, fueron a decirle a su profesor que lo harían muy rápido, pero, al parecer, esto no iba a ser tan fácil. Él les dijo que, efectivamente, había que hacer mosaicos semejantes, pero que el desafío era que estuvieran en la razón 3 : 2 . Este sí que era un problema complejo. Hicieron estos cálculos. D C S R U Trabaja más... F Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, • Comprender y resolver: 2, 3, 4, 5, 3, 4 • Interpretar y generar ideas: 1, 2, 5, P A B Q T E La figura PTQRS debía ser más pequeña, por lo que para calcular la medida del lado TQ , tenían que resolver la siguiente proporción: (50 2 : 3) 50 6 3 BE 3 50 3 = ⇒ = TQ 2 TQ 2 50 2 (Recuerda que el lado BE = 50 cm) . Pablo tomó entonces su 3 calculadora científica y calculó esta fracción, pero obtuvo como 50 6 resultado . 3 ¿Qué había pasado? ¿Cómo podía aparecer una 6 y “desaparecer” la raíz del denominador? Inquietos por esta duda, decidieron preguntar a su profesora de Matemática. Despejando, se tiene que TQ = Una vez planteado el problema, ella sonrió y les dijo: “Lo que la calculadora hizo fue racionalizar”. Veamos. Cuando tenemos expresiones fraccionarias con raíces o radicales en el denominador, conviene obtener expresiones fraccionarias equivalentes, pero que no tengan raíces o radicales en el denominador. A este proceso se le llama racionalización de radicales de los denominadores o divisores. 40 U1 MAT 3M (008-073).indd 40 2/11/11 15:21:46
  • Existen varios casos de racionalización, dependiendo de la naturaleza del divisor. Veamos algunos. a. Cuando el divisor es una raíz cuadrada Fíjate en lo siguiente. Si consideráramos que como una fracción, entonces tendríamos que 1 1 2 1⋅ 2 , lo que equivale a “amplificar”o multiplicar = ⋅ = 2 2 2 2⋅ 2 el dividendo y el divisor por 2. 1 2 Con esto tenemos que 2 Ejemplos: 5 1. 3 7 2. 3. 4. 5. = 2 5 3 = 7 2 11 7 = 5 5 ⋅ 7 = 7 ⋅ 2 5 25 21 49 = 7 2 11 11 11 ⋅ = = 2 . 2 = = 2 2 8 + 10 2 2 = 21 7 77 2 121 ⋅ 2 2 = ( 4 +2 5 2 2+ 5 2+ 5 = = 4 2⋅ 2 2 2 y x = ( 2 y x ⋅ 3 y y ) = 2 se comporta 2 5 5 = 77 77 = 2 ⋅ 11 22 (Nótese que basta multiplicar por 11 ). 8 + 10 1 UNIDAD 1 Miremos el siguiente ejemplo y sigamos el razonamiento dado. 1 1 1 . Ahora bien, si se quiere conseguir que el = = 1: 2 = 2 2 2 divisor de la expresión original sea un racional, entonces 1 1 2 2 2 2 podemos escribir lo siguiente: = ⋅ = = = 2 2 2 4 4 2 8 + 10 2 4 ) 2 = 16 + 20 2⋅ 2 x y 2y b. Cuando el divisor es una suma o resta de raíces cuadradas . Siguiendo el mismo razonamiento 2+ 5 anterior, tenemos que transformar esta división en otra Por ejemplo: equivalente, pero donde el divisor sea un número racional. 41 U1 MAT 3M (008-073).indd 41 2/11/11 15:21:47
  • Para esto deberíamos lograr que cada una de las raíces del divisor quede elevada a 2. Si pensamos un poco en los productos notables, recordaremos que al resolver una suma por diferencia, se consigue como resultado la diferencia de los cuadrados de los términos de los binomios. Esto es: (a + b )(a − b ) = a2 − b2. Entonces bastará multiplicar por una expresión que forme una suma por diferencia (el mismo binomio donde uno de sus términos sea inverso aditivo del dado). Ejemplos: 1. 3 2+ 5 = 3 2+ 5 ⋅ 2− 5 2− 5 = ( 3 ( 2− 5 2+ 5 ) )( 2 − 5) 5 ) −3 ( 2 − 5 ) = = = ) = 3( 2 − 5) = 3( 2 − 5 −3 −3 2 −5 ( 2) − ( 5) −( 2 − 5) = 5 − 2 (2 + 7 ) ( 3 + 1) = 2 3 + 2 + 2. 2 + 7 = 2 + 7 ⋅ 3 + 1 = 3 −1 3 − 1 3 + 1 ( 3 − 1) ( 3 + 1) ( 3) 3 ( 2− 5 2 2 2 3 + 2 + 21 + 7 2 3 + 2 + 21 + 7 = 3−1 2 2 21 + 7 − 12 4 −5 5 4 −5 5 4 −5 5 4 −5 5 4 −5 5 3. = ⋅ = = 4 + 5 5 4 + 5 5 4 − 5 5 4 + 5 5 4 − 5 5 42 − 5 5 4 −5 5 42 − 2 ⋅ 4 ⋅ 5 5 + 5 5 ( 16 − 125 = 4. 2 ) ( ( = 16 − 40 5 + 125 = −109 141 − 40 5 −141 + 40 5 = 109 −109 a− b b+ a = a− b b+ a ⋅ )( )( b− a b− a 2 ) ( ) ) ( ) 2 ab − a − b + ab 2 ab − a − b = b−a b−a = c. Cuando el divisor es una raíz cúbica Analicemos el siguiente ejemplo: 5 . 2 Si pensamos de forma análoga al caso (a), tenemos que lograr 3 ( 2 ) o, lo que es equivalente, 3 3 ( 2 ); entonces deberíamos proceder de la siguiente manera: que el divisor se transforme en 3 5 3 2 3 = 5 3 2 ⋅ 3 3 22 22 = 53 4 3 23 = 53 4 2 42 U1 MAT 3M (008-073).indd 42 2/11/11 15:21:50
  • 3 Ejemplos: 1. 3 25 = 52 = 3 3 12 x 3 52 3 ⋅3 5 5 3 22 x = 335 3 53 = 3 48 x 2 335 5 8 ⋅6 x2 2 3 6 x2 3 6 x2 = ⋅ = = = = 2. 3 x 2x 2x 2 x 2 3 2 x 2 3 22 x 3 23 x 3 3 12 x 3 3 3 3 9 +3 3 3 24 ( UNIDAD 1 3 2 3 3 1 + 3 9 3 9 3 9 + 3 81 3 9 + 3 27 ⋅ 3 3. 1 + 9 = 1 + 9 ⋅ 3 = = = = 8 ⋅3 24 833 8 3 3 3 32 8 3 33 ) 1. En general, para racionalizar una división donde el divisor sea una raíz cuadrada, se multiplican el dividendo y el divisor por el divisor. a b a b ⋅ b b = a b 2 b = ( ( b ≠ 0) a b b ( ( b ≠ 0) También lo puedes pensar de esta manera: a = b = a2 a2 b = ⋅ = b b b a2 b b2 = a b b 2. En general, para racionalizar una división donde el divisor es una suma o resta de una expresión que tenga al menos una raíz cuadrada, se multiplica el dividendo o divisor por una expresión que forme una suma por diferencia con el divisor. (b ( a ≠ 0) Así, si el divisor es de la forma a + b , se multiplicará por a − b . ( b ≠ 0) ( 0 Y si es de la forma a − b , se multiplicará por a + b . 3. En general, para racionalizar una división donde el divisor es una raíz cúbica, se multiplican el dividendo y el divisor por una raíz cúbica, de manera que la cantidad subradical resultante sea un cubo perfecto. Así, si el divisor es, por ejemplo, de la forma multiplicará por 3 a 2 . 3 a , se Cuando la profesora terminó de explicar, los estudiantes entendieron. La calculadora había hecho lo siguiente: 50 2 50 2 3 50 6 = ⋅ = 3 3 3 3 Entonces fueron donde su profesor de Tecnología y le contaron que solo podían encontrar un valor aproximado del lado del cuadrado menor del nuevo mosaico, y que era 40,82 cm. U1 MAT 3M (008-073).indd 43 Toma nota Puedes mostrar que una expresión fraccionaria con raíces en el denominador es equivalente a su expresión fraccionaria racionalizada de la siguiente manera. Tomemos las 50 2 50 6 y . Si expresiones 3 3 son iguales, entonces podemos ⇒ 50 2 ⋅ 3 = 50 6 ⋅ 3 verificar los productos cruzados: ⇒ 150 2 = 50 18 ⇒ 150 2 = 50 9 ⋅ 2 ⇒ 150 2 = 50 ⋅ 3 2 ⇒ 150 2 = 150 2 Por lo tanto, las dos expresiones fraccionarias sí son equivalentes. 43 2/11/11 15:21:54
  • El profesor, contento con sus estudiantes, les dijo que habían cumplido con creces el desafío impuesto y que ahora eran libres de reducir su mosaico al tamaño que quisieran. Decidieron reducirlo a la mitad. Desde entonces, el diario mural ha estado adornando su sala. Trabaja a. 1 2 5+ 3 b. 5 3 c. 3 d. 5 3 2 2 e. 3 4 1 1 Racionaliza las siguientes expresiones. Resuelve estos ejercicios en tu cuaderno. f. 2+ 5 2 7 2+ 3 h. 2 + 2 g. j. 3− 2 i. 5 + 1 5 −1 2 −3 5 2 2+ 5 Trabaja Resuelvan los siguientes problemas: 1 –¿Será posible escribir 4 como 16? –le pregunta Orlando a Vicky. –Por supuesto que sí –le responde Vicky rápidamente–. También lo puedes escribir como 3 64 . Después de un rato, él la vuelve a interrumpir: 12,5 + 4 2 1 2 ”. –En el libro que estoy leyendo dice que “4 se puede escribir como ¿Será cierto? Ustedes que saben mucho sobre raíces, seguro que responderán esta pregunta. de terminar primeros en reducir el ejercicio 18 + 8 + 32 . Con el método que encontramos para 18 − 8 − 32 calcularlo, creo que no nos equivocamos”. Matías está de acuerdo. Van donde su profesor y este 2 “No sé por qué se complican tanto con eso de aplicar la racionalización –dice Lucy a Matías después encuentra que tanto el desarrollo como la respuesta están correctos. ¿Cómo creen que lo resolvieron si ni siquiera usaron calculadora? El profesor les dice: “Está muy bien. Ahora, ¿cómo resuelven Y ustedes, ¿cómo lo solucionarían? 1 2+ 3− 5 sin usar calculadora?” Sugerencia: Soliciten ayuda a su profesor o profesora para que los oriente en la manera de iniciar el desarrollo, o bien revisen en algún libro de la biblioteca o en alguna página de Internet. 44 U1 MAT 3M (008-073).indd 44 2/11/11 15:21:55
  • decía: “Encontrar la expresión equivalente a 20 − 95 ”. Él le contestó: “Separé la expresión dada en la 8 resta de otras dos, racionalicé dos veces y obtuve lo pedido”. Ella le dijo que había racionalizado, pero UNIDAD 1 3 Germán y Gilda están chateando. Ella le consulta si resolvió en la prueba el último ejercicio, aquel que solo una vez. Curioso, ambos tuvieron la respuesta correcta. a. Escriban el desarrollo posible que hizo Germán. b. ¿Cuál fue el desarrollo de Gilda? c. ¿Cuál es la respuesta correcta? Sintetizando Cuando racionalizamos, queremos transformar el divisor que en un principio era una raíz en un número racional. Estudiamos tres casos de racionalización: BE 3 50 3 = = • Si hay una raíz cuadrada en el denominador ⇒ racionalizar por la misma raíz. BE 50 3 TQ 2 el denominador ⇒ racionalizar por el mismo 2 = 3 = • Si hay una suma o resta de raíces cuadradas en TQ 2 TQ 2 binomio, pero con operación contraria para formar unaTQ suma por diferencia. BE 3 50 3 = = • Si hay una raíz cúbica en el denominador ⇒ racionalizar por una raíz cúbica, cuidando que la TQ 2 TQ 2 cantidad subradical se transforme en un cubo perfecto. Da un ejemplo de cada una y revisa tu respuesta con tu profesor o profesora. Revisemos lo aprendido (7,0 - 6,0) (5,9 - 5,0) (4,9 - 4,0) (3,9 - 1,0) Marca con una 8 cada casillero según la evaluación que hagas de lo aprendido en esta sección: MB: B: S: I: Muy bien Bien Suficiente Insuficiente Indicador Soy capaz de explicar por qué se debe racionalizar. Distingo los tres casos de racionalización y sé qué debo hacer en cada uno de ellos. Pude resolver correctamente los ejercicios de la sección. Aporté a mi grupo durante el trabajo en clases. MB B S I Si has tenido dos o más cruces en las columnas de Suficiente o Insuficiente, debes volver a revisar los contenidos y los ejercicios resueltos. Recuerda que ser honesto con tu propio aprendizaje te ayudará a aprender mejor. 45 U1 MAT 3M (008-073).indd 45 2/11/11 15:21:55
  • Trabaja más... Trabaja en forma individual Trabaja en grupo 1 En un triángulo rectángulo, la razón entre el 1 Pascual estaba estudiando para su prueba de cateto mayor con respecto al cateto menor es “tres es a raíz cuadrada de tres”. Escribe dicha razón de manera racionalizada. Matemática. Desarrollando unos ejercicios de 5+2 3 4 , un estudiante inició 4 de manera habitual el proceso, amplificando 2 Para racionalizar , 3+ 2 obtenía por resultado 6 , y que si tomaba 3 racionalizar la expresión por 3 16 , y su compañera de igual manera, 2 5 + 5 2 , obtenía por resultado 10. 5+ 2 Entonces pensó: “¿Será cierto que al a b +b a racionalizar expresiones del tipo b+ a se obtiene siempre por resultado ab ?” pero amplificando por 2 . ¿Habrán obtenido el 3 mismo resultado? Hazlo de ambas maneras para justificar tu respuesta. resulta al dividir raíz cuadrada de 2 más 5 veces la raíz cuadrada de tres, por raíz cuadrada de 2, menos 5 veces la raíz cuadrada de tres? Justifica tu respuesta haciendo las reducciones necesarias. 3 ¿Qué tipo de número, racional o irracional, 2 El profesor de Matemática del curso de Mónica les ha dado una tarea. En ella hay una pregunta ordénalos de menor a mayor. Para ello, racionaliza y descompón cuando sea necesario. 27 ; 3 3 3+ 3 ; ; 3 3 3 que complica a Mónica y que dice así: OA = 3 cm; AB = 3 3 cm; OC = 2 3 9 cm; CD = x ; Encuentra el valor de x. Expresa tu respuesta racionalizando el denominador. 5 En la figura, AC y BD son paralelas. ¿Por cuál de los siguientes factores: 3 22 + 3 32 ; 22 − 3 32 ; 3 22 − 3 6 + 3 32 se debe amplificar 3 2 la expresión para que quede 3 2+33 completamente racionalizada? Ayuden a 3 Mónica respondiendo la pregunta. 3 A Camilo le gusta la materia que están B estudiando en el colegio y decidió hacer todos A D Demuestren que la afirmación de Pascual es verdadera. 4 Dada la siguiente sucesión de números, 2 3 ; 3 2 +2 3 racionalización se dio cuenta que al C los ejercicios que aparecen en el libro. Uno de O los que le parecieron más entretenidos y fáciles fue el siguiente. ¿Puedes encontrar un número que multiplicado 5 por 5 dé por resultado ? 7 +2 3 46 U1 MAT 3M (008-073).indd 46 2/11/11 15:21:57
  • Camilo resolvió el problema y volvió a recordar 5 Fernando discutía con su compañero de curso, que estas raíces que parecen tan complejas en Ismael, acerca de un problema que estaban realidad son solo otros números. Ustedes ¡Háganlo! 4 Teresita pensó en la prueba de Matemática que 108 + 3 500 comentando. Una de ellas señalaba que en la pregunta 6, que decía 3 3 4 a... había marcado la letra D, es decir, 532 . Pero 2 se debía Ismael, por su parte, señalaba que se debía amplificar por 3 + 5 − 7 . Ambos estaban muy complicados, pues al final de su desarrollo es igual Teresita había marcado la letra E, que indicaba que la respuesta era 8. 3+ 5+ 7 amplificar por 3 − 5 + 7 . racionalizar la expresión acababa de dar y en lo que sus amigas estaban 2 resolviendo. Fernando sostenía que para también pueden resolver este problema. UNIDAD 1 les habían dado resultados distintos. ¿Qué le podrías decir tú a Ismael y a Fernando acerca de su problema? ¿Cuál de ellas estaba en lo cierto? Mis apuntes 47 U1 MAT 3M (008-073).indd 47 2/11/11 15:21:58
  • Ecuaciones irracionales En esta sección aprenderás Qué son las ecuaciones irracionales, cómo se resuelven y para qué sirven. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular:1, 2 • Comprender y resolver: 3, 1 • Relacionar y aplicar: 4, 5, 6, 3, 4, 6, 7 • Interpretar y generar ideas: 2, 6, 5 Marcia fue a visitar a su bisabuela, pues tenía una tarea escolar. El profesor de Historia le había pedido narrar cómo era la vida entre los años 1920 y 1950. Mamá Elvira, bisabuela de Marcia, había nacido en el año 1915 y se acordaba perfectamente de su vida, y además contaba unas historias entretenidísimas. Hablando de su niñez y juventud, le contó que en su casa tenían un gran reloj de pared, de esos con péndulo y cucú, y que un día se cortó la luz y ella se asustó, porque estaba sola en casa. Prendió una vela y se puso a mirar el péndulo por mucho rato. Se dio cuenta entonces de que se demoraba aproximadamente 2 segundos en ir y volver al punto de partida. Pensó: “Ese péndulo tiene una hermosa cadena. ¿Cuánto medirá?” Luego cambió de tema y siguió con lo que a Marcia le preocupaba en ese minuto. Marcia hizo su tarea, pero se quedó pensando en darle una respuesta a Mamá Elvira. ¿Cómo podía hacerlo? Decidió pedir ayuda a sus profesores. La profesora de Física le explicó que el tiempo que se demora un péndulo en ir y volver al punto inicial se llama período (T, medido en segundos) y está dado por la fórmula, L T = 2 π ≈ 3,14 ¿ g L es el largo del péndulo (medido en metros) y g es la aceleración debida a la gravedad (que es igual a 9,8 m/s2). Así, según los datos dados por Marcia, se tenía que: 2 = 2 ⋅π L . Si consideramos π ≈ 3,14 , tenemos que: 9,8 L 2 = 2 ⋅ 3, 14 . 9, 8 Pero ¿cómo podía resolver esta ecuación tan extraña, donde el valor que ella debía encontrar estaba dentro de una raíz? Estas ecuaciones se llaman Ecuaciones irracionales y son aquellas en que al menos una de las incógnitas se encuentra en la cantidad subradical de alguna de las raíces que aparecen en la ecuación. 48 U1 MAT 3M (008-073).indd 48 2/11/11 15:21:59
  • L Así: 2 = 2 ⋅ ¿ ≈ 3,14 π 9, 8 m/s2 ⇒ 2 = 6, 28 ⇒ 0,318 = L 9, 8 L 9,8  L  ⇒ ( 0, 318 ) =   9, 8     2 ⇒ 0,101124 = / : 6, 28 2 L 9,8 ⇒ 0, 9910152 m = L 0,9910152 m = L /( 2 ) (Aproximamos a 3 decimales) Links de interés / ⋅ 9,8 Esto es, aproximadamente, 1 metro. Marcia, contenta, agradeció a su profesora; ya tenía la respuesta para Mamá Elvira. Se fue a su clase de Matemática. El profesor enseñó ecuaciones irracionales e hizo varios ejemplos como estos: 1. 2x −4 =4 /( Puedes ver una clase donde se explica cómo se resuelven estas ecuaciones en: http://matematicasies. com/spip.php?article917 2 2 x − 4 = 16 / +4 2 x = 20 / :2 x = 10 Las ecuaciones irracionales, al igual que las demás ecuaciones, siempre hay que comprobarlas. Para ello se debe verificar que se cumpla la igualdad planteada en la ecuación irracional al remplazar la incógnita por el valor encontrado. Comprobación: 2 x − 4 = 4 ) 2 ⋅ 10 − 4 = 20 − 4 = 16 = 4 . Como la igualdad planteada se cumple, entonces x = 10 es solución de la ecuación. 2. x + 5 x + 1 = x + 9 5 x +1 = 9 UNIDAD 1 Para resolverla, dijo la profesora, debes dejar a un lado de la igualdad solo la raíz y luego elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación, ya que así podrás eliminar la raíz cuadrada. 5 x + 1 = 81 5 x = 80 x = 16 / −x /( / −1 / :5 x + 5 x +1 = x +9 16 + 5 ⋅ 16 + 1 = 16 + 9 Comprobación: 2 ) (Recuerda que se debe dejar solo la raíz a un lado de la ecuación) 16 + 81 = 16 + 9 16 + 9 = 16 + 9 Por lo tanto, x = 16 es solución de la igualdad. U1 MAT 3M (008-073).indd 49 (Se debe comprobar que ambos lados de la igualdad den el mismo valor) 49 2/11/11 15:22:03
  • 1+ x − 2 = x −3 /( 3. ( ( 1+ x −2 = 1+ x 2 ) 2 ) ( 2 (¡Cuidado! Cuando eleves al cuadrado el lado izquierdo de la ecuación, quedará un cuadrado de binomio) ) x −3 2 ) − 2 ⋅ 1 + x ⋅ 2 + 22 = x − 3 1+ x − 4 1+ x + 4 = x −3 5+ x − 4 1+ x = x −3 − 4 1 + x = −8 1+ x =2 1+ x = 4 x =3 Comprobación: 1 + x − 2 = x − 3 1+1 −2 = 3−3 4. 2+ 2+ 2+ x = 2 2+ 2+ 2+ x = 4 2+ 2+ x = 2 2+ x +2 = 4 / : −4 /( / −1 2 ) 4 −2= 0 2 − 2 = 0; por lo tanto, x = 3 es solución de la ecuación. /( 2 ) / −2 /( 2 / −2 x + 2 = 2/ ( / ( ) 2 ) 2 ) x + 2 = 4 / −/ − 2 2 x =2 Comprobación: / −5 − x 2+ 2+ 2+ x = 2 2+ 2+ 2+2 = 2 2+ 2+ 4 = 2 2+ 2+2 = 2 2+ 4 = 2 2+2 = 2 4 = 2 ; por lo tanto, x = 2 es solución de la ecuación. 50 U1 MAT 3M (008-073).indd 50 2/11/11 15:22:05
  • x +4 x −1 ⋅ x + 4 = x + 2 ( ( x − 1 ) ( x + 4 ) ) = ( x + 2) 2 x +3 x −4 = x + 4 x + 4 3x −4=4 x +4 2 2 −4 = x + 4 −8 = x Comprobación: 2 x −1 = /⋅ x + 4 /( 2 Toma nota ) ¿Puede existir solución para la ecuación x + 2 = −3? / −x / −3 x /−4 −8 − 1 = −9 = No, pues una raíz cuadrada no puede tener un valor negativo en el conjunto de los números reales; por lo tanto, decir que x + 2 = −3 contradice la definición de raíz cuadrada. 2 x +2 x +4 −8 + 2 UNIDAD 1 x +2 x −1 = 5. −8 + 4 −6 −4 Pero −9 y −4 no están definidas en los números reales; por lo tanto, la ecuación no tiene solución. 6. 3 ( 3 x −1 = 2 /( x +1 3 ) x −1 = 8 x =9 = 23 3 ) / +1 Comprobando se tiene que: 3 3 x −1 = 2 9−1 = 2 8 =2 2=2 Por lo tanto, x = 2 es solución de la ecuación. 3 Trabaja Resuelve los siguientes ejercicios. a. x − 8 = 2 f. d. 5 − 3 x + 1 = 0 i. 4 + 3 5 x − 2 = 9 2 x + 10 − 2 x + 3 = 1 1 Calcula y comprueba las ecuaciones irracionales planteadas a continuación. b. x 2 − 2x + 1 = 9 − x c. 1+ 2 x −1 = 2 e. 18 + x = 3 11 g. x + 4 − x − 1 = h. 3 x − 8 = 2 j. 15 − 3 7 x − 1 = 12 2 x −1 51 U1 MAT 3M (008-073).indd 51 2/11/11 15:22:09
  • 2 ¿Cuál es el valor de x que hace igual a 8 la expresión 3 8 − 7x ? 3 Si la raíz cúbica de Z se aumenta en trece unidades, resulta ser el triple de dicha raíz cúbica, pero 4 Los lados de un triángulo, de perímetro 20 cm, miden sumada a siete unidades. ¿De qué valor de Z se trata? x , x + 11 y 9 cm, respectivamente. a. Encuentra el valor de x correspondiente. b. ¿Cuáles son las medidas de los lados que se desconocen? 5 Dada la ecuación 3 13 x = 13 a. ¿Cuál es el valor de x que la satisface? b. Usando los conceptos estudiados en la presente unidad, ¿qué relación se puede establecer entre 13 y el valor hallado para x? 6 Las longitudes de los lados de un rectángulo, medidas en metros, son 5 + 2 2x y 5 − 2 2x . Si su área es 3 m2: a. Halla el valor de x. b. ¿Cuáles son las medidas de los lados? Trabaja Planteen la ecuación irracional correspondiente y resuélvanla. Recuerden dar respuesta en forma completa y escrita. calles. Para que un poste de 4 m quede bien seguro, se debe colocar un cable tensor que una el extremo superior del poste con el suelo. Claudio, su hijo, le escuchó decir que aquel cable medía 12 m y se preguntó: “¿A qué distancia del poste, en el suelo, debe ir anclado el cable tensor?” 1 El señor Donoso trabaja en la compañía de electricidad supervisando la colocación de postes en las 5 2 −2 3 x = 2 3 −5 2 x 2 En su época, Pedro Urdemales tuvo que resolver lo siguiente: • Copió nuevamente el ejercicio: 5 2 − 2 3 x = 2 3 − 5 2 x . Animoso, hizo el siguiente desarrollo: • Agrupó los términos con x: 5 2 x − 2 3 x = 2 3 − 5 2 . • Aplicó una de las propiedades de las raíces que tú conoces: 5 2 x − 2 3 x = 2 3 − 5 2 . • Factorizó por x : 5 2 − 2 3 ( ) x = 2 3 − 5 2. 52 U1 MAT 3M (008-073).indd 52 2/11/11 15:22:12
  • 2 3 −5 2 • Despejó x : x= (5 2 −2 3 ) ; recordó que: 2 3 −5 2 = − 5 2 −2 3 . ( ) x= (( − 5 2 −2 3 ( 5 2 −2 3 ). UNIDAD 1 2 2 −5 5 = − − 5 −2 2 3 3 3 − 2 por 5 2 2 − 3 2= • Hizo el siguiente cambio: )) • Simplificó y obtuvo: x = −1 . • Elevó al cuadrado en ambos miembros de la ecuación y finalizó diciendo que: x = 1 • Comprobó su respuesta y no pudo creerlo: ¡estaba equivocado! ¿Dónde está su error? al resolver correctamente la siguiente ecuación x 2 + 4, 69 = x + 0, 7 puede encontrar el valor de la raíz cuadrada de un cierto número. Resuélvanla (recuerden comprobarla) y luego escriban cuál es el número y cuál es su raíz cuadrada. 3 Un matemático puede obtener mucha información a partir de la resolución de una ecuación. Por ejemplo, 4 Francisco, en un terreno heredado, ha instalado circuitos de autitos de carrera. Muy preocupado por la seguridad de los usuarios, cada auto es monitoreado a través de una pantalla. En una parte del circuito, de forma triangular y con un tramo total de 300 m por recorrer, al doblar la última esquina y entrando al tramo mayor, ocurrió que un auto no logró ser monitoreado en la vuelta completa, perdiéndose la señal antes de los metros finales. Las medidas de los tramos, de menor a mayor, son 50 m, 120 m y 200 x + 900 m. Determinen el valor de x. preparados para resolver el ejercicio 4 x 2 + 6 x + 9 = 5, aun si pensamos elevar la ecuación a la cuarta, pues aún no hemos visto cómo se resuelven ecuaciones que tengan x2. Pero nos dijo que desarrolláramos esta más sencilla: x + 3 = 5”. 5 “En la última clase que tuvimos con la señorita Ana María, ella nos dijo que todavía no estamos ¿Cuál es la solución de esta última? ¿Será solución también de la que no se pudo resolver anteriormente? 6 “Cuando pasábamos frente al último poblado, íbamos a 60 km/h, y como solo faltaban 50 km para llegar a nuestra casa de campo, me distraje y me quedé profundamente dormida. En sueños sentía que íbamos paulatinamente acelerando y que gritaban diciendo: “¡No vayas tan rápido, papá, no tanto. Mira que ya vamos a 120 km h y solo nos faltan 10 km para llegar”. Todo fue muy rápido. Solo sentí el impacto en mi cabeza y ahora estoy en el hospital”. Así decía el parte de Carabineros publicado en el diario y que nuestro profesor nos leyó. Él nos comentó que, de una manera muy sencilla, puedes hallar la aceleración usando la fórmula vv f== 22a ∆ d + vi22 , donde vf es la velocidad final del auto; vi, su velocidad inicial; a, la aceleración que a ∆ f v f = 2a el 2 llevaba, y ∆d ,+ vicamino recorrido entre el poblado y el lugar del volcamiento. Luego nos preguntó: ¿cuál fue la aceleración del auto? Comenten su resultado con su profesor o profesora de Física y escriban qué datos nos proporciona la solución. 53 U1 MAT 3M (008-073).indd 53 2/11/11 15:22:15
  • 7 Sr. Pérez: Como encargada del grupo de investigación sobre la disminución numérica de la población joven de lobos de mar en la zona 1, le informo que hay una relación con la merma del número de peces pequeños presentes allí. Así, en un primer acercamiento, una población de 12 000 peces pequeños solo permite alimentar a 60 individuos, y esto hace que no tengamos a los 80 que esperábamos encontrar. Por esto, este factor nutritivo es de alta preocupación. Le adjunto la fórmula encontrada para calcular el número de lobos de mar (L) en relación con el número de peces (p) existentes: Atte. Adriana Díaz L = 50 + p 120 Calculen el número de peces que se necesita para alimentar a los 80 lobos y luego comparen su resultado con la información entregada por Adriana. Sintetizando Las ecuaciones irracionales son aquellas en que al menos una de las incógnitas está en la cantidad subradical de una raíz. Para resolverlas no tienes que olvidar que: • Debes, en lo posible, dejar solo la raíz a un lado de la ecuación. • Elevar al cuadrado o al cubo, dependiendo si la raíz es cuadrada o cúbica, ambos lados de la ecuación para eliminar la raíz. • Si en algunos de los lados hay una suma o resta, cuando se eleva al cuadrado se debe desarrollar como cuadrado de binomio. • Siempre deben comprobarse. Da un ejemplo de ecuación irracional con raíz cuadrada y uno con raíz cúbica, y revisa tu respuesta con tu profesor o profesora. Revisemos lo aprendido Responde y luego comparte y compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras. a. ¿Cómo reconoces una ecuación irracional? b. Haz una lista de los pasos que debes seguir para resolver una ecuación irracional. c. En la actividad de la página 51, ¿cuántas ecuaciones pudiste resolver correctamente y sin ayuda? d. ¿Planteaste bien los problemas y los resolviste? 54 U1 MAT 3M (008-073).indd 54 2/11/11 15:22:19
  • Función raíz cuadrada El informe final señalaba que la población de abejas de la parcela se comportaba bajo la siguiente función: p ( t ) = 16 t + 1200, donde p representaba la población de abejas (en decenas) y t el tiempo transcurrido (en meses). Una tarde, Rubén visitó a su papá y vio, sin querer, sobre la mesa el informe. Como estaba en 4º Medio, recordó que había estudiado funciones y le comentó a su papá que una función es una expresión matemática que relaciona dos variables; en este caso, la función relaciona el número de abejas (población) con el tiempo que ha transcurrido. Hay funciones de distintos tipos, dependiendo de qué expresión matemática relacione las variables; en este caso, la expresión matemática tiene una raíz cuadrada; por lo tanto, la función se llama función raíz cuadrada. En esta sección aprenderás A analizar la función raíz cuadrada y a ocuparla para resolver algunos problemas cotidianos. UNIDAD 1 El papá de Rubén trabaja como administrador de una parcela dedicada a la apicultura (cría de abejas y producción de miel). El dueño de la parcela mandó a hacer un estudio de mercado para poder predecir, de cierta forma, cómo se comportaría su negocio. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 4 • Comprender y resolver: 3, 9, 12, 13 • Relacionar y aplicar: 5, 6, 7a, 10, 11 • Interpretar y generar ideas: 2, 7b, 8 Si consideramos el mes en que partió el negocio como mes 0 (porque no ha transcurrido ningún mes aún), se tiene que t = 0 . Así: p ( 0) = 16 ⋅ 0 + 1 200 = 1 200. Esto quiere decir que el negocio partió con 1200 decenas, es decir, con 12000 abejas. Transcurrido el primer mes, se tiene que t = 1, entonces: p (1) = 16 ⋅ 1 + 1 200 = 4 + 1 200 = 1 204 decenas. Esto significa que al mes había 12040 abejas. Así se puede calcular cuántas abejas había en un determinado mes y en qué mes habrá un determinado número de abejas, si todo se comporta normalmente. El papá de Rubén se alegró por todo lo que sabía su hijo. Contento con lo que su papá le había dicho, quiso repasar más. Buscó sus cuadernos y encontró los siguientes apuntes: Cada tipo de función está representada por un gráfico distinto. Así como la recta es la gráfica que corresponde a una función lineal, la función raíz cuadrada también tiene una gráfica. Analicemos la función y = x . Para graficarla, podemos hacer dos cosas: construir una tabla de valores y hacer el gráfico manualmente o bien utilizar un programa para graficar funciones: Recordar y archivar Cuando se tiene una función f ( x ) definida por una expresión algebraica cualquiera, se reconocen dos variables: una dependiente y una independiente bajo f ( x ). A x se le llama variable independiente o preimagen; a f ( x ) (o y) se le llama variable dependiente o imagen. En el ejemplo de las abejas, cuando calculamos el número de ellas en cierto mes, estamos calculando imágenes y cuando calculamos el mes en que habrá cierta cantidad de abejas, estamos calculando preimágenes. 55 U1 MAT 3M (008-073).indd 55 2/11/11 15:22:21
  • 0 x 1 4 9 16 25 Tabla de valores 0 4 y 1 2 3 4 5 y 3 –1 2 1 0 –1 1 2 3 4 5 6 7 x Sigue con nosotros los pasos para graficar con el programa Graphmatica (recuerda que lo puedes bajar en forma gratuita desde Internet; para ello, basta que coloques en Google: Graphmatica gratis y lo instales). Acá debes colocar la función. Recuerda que x elevado a 0,5 (un medio) es igual a la raíz cuadrada de x. Luego haces enter y aparecerá la función graficada. Si graficamos la función que modela el comportamiento de las abejas de la parcela, p ( t ) = 16 t + 1 200, tendremos: 56 U1 MAT 3M (008-073).indd 56 2/11/11 15:22:23
  • 4000 y 2000 1000 0 UNIDAD 1 3000 5000 15000 25000 35000 45000 55000 10000 20000 30000 40000 50000 60000 x Te darás cuenta de que en ambos gráficos las curvas mantienen la misma forma, solo varía el punto de partida de la gráfica debido a los cambios en la función. En el caso de las abejas, nota que aunque el gráfico aparece como una curva continua, no lo es. Esto se debe a que el número de abejas solo puede tomar valores naturales; por lo tanto, estrictamente se debiera ver como una serie de puntos que forman dicha curva. Como recordarás, el Dominio (Dom) (valores que puede tomar la variable x para que la función esté bien definida) y el Recorrido (Rec) (valores que toma la variable y, que depende de x) dependen de cada función. Si te fijas con cuidado en los gráficos, verás que: Dom f ( x ) = R +  {0} (recuerda que no existe un valor en los • Para la función f ( x ) = y = x se tiene que: números reales que sea igual a − x ), y Rec f ( x ) = R +  {0} (recuerda que el valor de una raíz cuadrada es siempre positivo). • Para la función y = 16 x + 1200 se tiene que: Dom f ( x ) = R +  {0} (mira el eje x), y Rec f ( x ) = { y ∈  / y ≥ 1 200} (mira el eje y. Recuerda que los valores de y están medidos en decenas). El papá de Rubén está muy interesado en el tema y preguntó a su La apicultura se define como: “Ciencia aplicada que estudia la abeja melífera (productora de miel). Mediante la tecnología se obtienen beneficios económicos”. Fuente: http://www.infoagro.com/agricultura_ ecologica/apicultura.htm hijo si se podría saber cuánto variará la población de abejas entre el primer año y el segundo. Rubén, gustoso, le respondió lo siguiente: será: f (12) = 16 ⋅ 12 + 1 200 = 13, 8 + 1 200 = 1 213, 8 decenas de Al primer año (12 meses habrán transcurrido) el número de abejas abejas; esto es 12138 abejas. U1 MAT 3M (008-073).indd 57 57 2/11/11 15:22:25
  • Al segundo año se tendrá: f ( 24 ) = 16 ⋅ 24 + 1 200 = 19, 6 + 1120 = 1 219, 6 decenas de abejas; esto es 12196. Por lo tanto, la población habrá aumentado en 58 abejas. Investiga. ¿Cuánto crecen las poblaciones de abejas en un año normal? ¿Es posible esta situación? Da tu opinión al respecto. Ahora, observa la siguiente función y su gráfica: f ( x ) = x + 6. 10 y 8 6 f (x) = x y f (x) = − x 4 2 0 1 –2 –4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x f (x) = x y f (x) = − x Si te fijas, Dom f ( x ) = {x ∈ R / x ≥ − 6}. En este caso, la variable x puede tomar valores negativos porque x + 6 será positivo o cero si x ≥ −6 y, por lo tanto, la raíz cuadrada estará bien definida. y Observa los gráficos de las funciones f ( x ) = x y f ( x ) = − x 10 y 8 6 4 2 –2 –4 f (x) = x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x f (x) = − x Nota que un gráfico es el simétrico del otro (con respecto al eje x). Además, ambas funciones tienen un punto de partida. En el caso de f ( x ) = x (gráfico rojo), este punto es el valor mínimo de la función (el menor valor que toma la función). En el caso de la función f ( x ) = − x (gráfico naranja), este es el punto máximo (mayor valor que toma la función). 58 U1 MAT 3M (008-073).indd 58 2/11/11 15:22:28
  • –6 –4 –2 2 –2 2 4 6 UNIDAD 1 Observa ahora la gráfica de la función y = x 2 Mira lo curioso que es. ¿Qué ha pasado? ¿A qué función es igual? ¿Por qué sucede esto? Sí, efectivamente, es la misma función que estudiaste hace un par de años: es la función valor absoluto. Pensemos un poco. Si x toma valores negativos, como debe elevarse al cuadrado, la cantidad subradical quedará positiva; por lo tanto, esta función admite en su dominio a todos los números reales. Además, para x = 1 y x = −1 se tiene que x 2 = 1, por lo que la imagen de 1 y –1 será la misma. Esto hace que nuestro gráfico sea igual al del valor absoluto. Entonces, podemos escribir que: y = x 2 = x . Ejemplos: 1. Martín estudió hoy en clases que el tiempo (en segundos) que un cuerpo en caída libre se encuentra en el aire está dado por la 2d función t = , g donde d es la distancia recorrida por el cuerpo (en metros) y g la aceleración de gravedad (igual a 9,8 m/s2). Él quiere saber cuántos segundos demorará una pelota de tenis en llegar al suelo si la lanza desde el tercer piso de su colegio. Para ello, Martín calculó que desde la ventana hasta el suelo hay, aproximadamente, 5 metros; entonces: t= 2⋅5 10 = = 1,01 9,8 9,8 (Por lo tanto, se demorará aproximadamente 1 segundo) 2. La verdad es que Nibaldo no se sentía muy bien preparado para la prueba de Física. Solo llevaba aprendidas de memoria algunas fórmulas sobre el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, que era el tema de la prueba; pero había desarrollado correctamente los ejercicios de la guía de preparación. 59 U1 MAT 3M (008-073).indd 59 2/11/11 15:22:28
  • Leyó toda la prueba y después de un rato se dio cuenta de que la tercera pregunta era similar a un problema que había resuelto en 2d su casa. Pensó: “Hay que usar la fórmula t = , donde d, en a este caso, es 1 250 m, t = 600 s y luego despejar a, que es la aceleración”. Hizo los remplazos y obtuvo el valor aproximado: m 0, 007 2 . s Estaba seguro de que la respuesta era la correcta. ¿Cómo lo hizo para despejar y conseguir el valor de a? Veamos. Remplazando los valores tenemos: 2 ⋅ 1 250 2 600 = /( ) a 2500 6002 = / ⋅a a 2500 a= 600 ⋅ 600 a = 0,00694 m a = 0, 007 2 s Trabaja 1 Dada la función y = 3 x + 4 , encontrar: Aplica lo aprendido. a. la imagen de 1,3. b. la imagen de –3. c. la preimagen de 0. d. la preimagen de –1. e. Su dominio. f. Su recorrido. 2 Dado el siguiente gráfico y sabiendo que representa una función de la forma y = ax + b , determina la función raíz cuadrada. (*) 4 y 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 1 2 3 4 5 x (*)Nota: Define dos puntos por los que pasa la función, reemplázalos en la función para plantear un sistema y así determinas los valores de a y b. 60 U1 MAT 3M (008-073).indd 60 2/11/11 15:22:31
  • E = 0, 5 mv 2 ”. Esto escuchaba Maritza de boca de su hermana mayor que estudia Física de partículas en la universidad. Por ejemplo, decía que si una bolita de acero de 5 g, es decir, 0,005 kg, va rodando a m 0, 70 , entonces su energía es: s 2 m  E = 0, 5 ⋅ 0, 005 kg ⋅ 0, 7  = 0, 001225 J (J: Joule, que es una unidad de energía). s  “Ahora bien, ¿me puedes ayudar a despejar v?” 2E . m “Muy bien, hermanita. Veo que has aprendido a despejar. Ahora, ayúdame nuevamente a responder”: Maritza le dijo tímidamente: v = b. Si la velocidad de la bolita después de chocar es de 0,4 m/s, ¿cuál es el valor de su energía cinética? a. ¿Cuál debería ser la velocidad de esta partícula para que su energía se duplique? UNIDAD 1 3 “La energía cinética de una partícula y su relación con su masa y su velocidad viene dada por c. ¿Cuál debería ser la velocidad de otra bolita de acero con masa de 2,5 g para que tenga la misma energía que la primera antes del choque? 4 Usando el programa Graphmatica u otro similar, grafica las siguientes funciones. Compáralas, indica c. y = x + 6 sus mínimos o máximos, similitudes y diferencias. b. y = 2 x a. y = x d. y = x + 6 5 Dadas las funciones y = 1 − 0, 5 x e y = 2, 5 x − 5 e. y = − x f. y = − x −5 a. ¿Cuál es el valor de x para que ambas funciones tengan la misma imagen? b. ¿Cuál es el valor de dicha imagen? y y= 3 6 ¿En qué punto las gráficas de las funciones de ecuación y = 3 x − 11 y y = x + 13 se intersectan? 7 Dada la función y = 3 x − 11: a. ¿Cuál es el valor de x para el que el valor de y sea el menor posible? b. ¿Es verdad que a medida que aumenta el valor de las preimágenes de esta función aumentan también los valores de las imágenes correspondientes? Grafica para justificar tu respuesta. planteaba. Le decía: “Adivina qué número resulta al triplicar 9 y disminuirlo en dos unidades y, acto seguido, extraer su raíz cuadrada”. Marmaduque decía: “El que tienes en tu cabeza”. Atanasio insistía una y otra vez. Bonifacio, que por allí pasaba, escuchó reiteradamente la pregunta, lo pensó y escribió en la tierra: 3 ⋅ 9 − 2 = 25. La raíz cuadrada de este número es 5. “5 es el número que pides Atanasio, pero ahora adivina tú: ¿Qué número debo triplicar, disminuirlo en dos, extraer raíz cuadrada y obtener 0?” Atanasio intentó resolverlo, pero no pudo llegar a nada correcto. ¿Cómo resuelves la adivinanza de Bonifacio? ¿Cuál es el número aludido? ¿Cómo relacionarías el resultado obtenido y el problema enunciado a través una función raíz cuadrada? 8 “Me cargan las adivinanzas”, replicaba Marmaduque ante las pesadeces matemáticas que Atanasio le 61 U1 MAT 3M (008-073).indd 61 2/11/11 15:22:35
  • 9 Maximiliano está realizando un experimento de laboratorio sobre el crecimiento de bacterias. Su profesora le ha dicho que el crecimiento de la colonia que está observando se comporta según la función C ( t ) = 5 t + 8, donde C es el número de bacterias a los t días de comenzado el experimento. De acuerdo con su profesora, Maximiliano estableció en su informe final algunos datos trascendentes de su experimento, los que fueron anotados en la siguiente tabla. ¿Puedes tú completarla? Evento Número Número de bacterias al inicio del experimento Número de bacterias transcurridos cinco días Tiempo en que las bacterias han llegado a 18 individuos su cargo. Durante los 5 primeros años de existencia de las empresas A y B, su crecimiento estuvo dado por las siguientes funciones. Para A : U ( t ) = 2 t − 5 + 3. Para B : U ( t ) = 4 t − 12 + 3, donde U representa las utilidades, en millones de pesos, y t, el tiempo transcurrido en años desde que se comienzan a tener utilidades. 10 Patricia, ejecutiva de un banco, está revisando el comportamiento de las cuentas de dos empresas a Patricia debe determinar en qué momento ambas empresas logran obtener las mismas utilidades. ¿Puedes tú responder esto? 11 La temperatura registrada en cierta ciudad durante los primeros 15 días del mes en curso ha ido en aumento en forma constante. Julieta, a quien le gustaba mucho explicar los fenómenos naturales en forma más científica, observó los datos y llegó a la conclusión de que esta situación podría modelarse bajo una función de la forma: T ( d ) = d + a − b, donde T representa la temperatura registrada diariamente en grados Celsius, y d, la cantidad de días transcurridos en el mes. Por su parte, a y b son constantes. Julieta anotó dos datos con los que tú podrás determinar la función, es decir, encontrar los valores de a y b. Ella dijo que el primer día se habían registrado –5°C y que el quinto día se registraron –3°C. Determina la función pedida. 12 Una empresa de artículos médicos inició su actividad el año 2008 con 200 clientes. Este año la gerenta general de la empresa encargó un estudio de mercado, que en una de sus partes establece que el 5025 m + 300 número de clientes ha crecido según la función C ( m ) = + 200, donde C es el número de 4 clientes y m los meses transcurridos desde que la empresa comenzó a funcionar. Determina: a. la cantidad de clientes que tenía el año 2010. b. la cantidad de clientes que tendrá el año 2013. instrucciones dadas por el químico a cargo, la mezcla debe calentarse hasta los 80ºC para que sus componentes se unan, y luego debe enfriarse hasta solidificarse, estado que logra a los 5ºC. La temperatura de enfriamiento de la mezcla se comporta bajo la función T ( m ) = 80 − 30 m + 525, donde T es la temperatura de la mezcla, en grados Celsius, a los m minutos. El técnico a cargo necesita determinar en cuántos minutos se solidificará y qué temperatura alcanzará después de una hora. 13 En una empresa de alimentos se necesita estudiar el tiempo de enfriamiento de una mezcla. Según las 62 U1 MAT 3M (008-073).indd 62 2/11/11 15:22:37
  • Sintetizando • Son curvas crecientes que tienen un punto mínimo (si son de la forma x ) o decrecientes que tienen un punto máximo (si son de la forma − x ). • El dominio y recorrido nunca son todos los números reales. • Modelan algunos problemas cotidianos. Revisemos lo aprendido UNIDAD 1 Las funciones raíces cuadradas son aquellas en que la variable independiente aparece dentro de una raíz cuadrada. De ellas podemos destacar que: Completa el siguiente mapa conceptual. Trata de hacerlo sin mirar el cuaderno y/o el libro. Revísalo con tus compañeros y compañeras. Pregúntale a tu profesora o profesor si tienes dudas. Luego, responde las preguntas dadas. Función raíz cuadrada Dominio: Qué es y cómo se calcula. __________________ __________________ __________________ __________________ Recorrido: Qué es y cómo se calcula. __________________ __________________ __________________ __________________ Imagen: Qué es y cómo se calcula. __________________ __________________ __________________ __________________ Su gráfico: ¿Cómo es? __________________ __________________ __________________ __________________ Preimagen: Qué es y cómo se calcula. __________________ __________________ __________________ __________________ • ¿Pudiste completar el mapa conceptual sin ayuda y sin mirar el cuaderno? • ¿Para qué conceptos tuviste que buscar ayuda? ¿Los tienes claros ahora? • ¿Resolviste correctamente las actividades de la sección? • ¿Usaste correctamente el programa Graphmatica? Recuerda que si no has entendido algo, debes volver a repasar los contenidos en el libro y pedir ayuda a tu profesor o profesora. 63 U1 MAT 3M (008-073).indd 63 2/11/11 15:22:38
  • Taller de profundización En esta sección aprenderás A generalizar las propiedades, ya aprendidas, de raíces cuadradas y cúbicas a raíces de otros índices. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Comprender y resolver: 1, 2, 3, 4, 5 Recuerda que las mismas propiedades que hemos estudiado para las raíces cuadradas y cúbicas se utilizan para operar raíces de otros índices. Recordemos estas propiedades de manera general: a ⋅ n b = n ab 1. n 2. n 3. n m a : n b = n a:b = n a b a = n⋅m a 4. a n b = n an b 5. ( a) n m = n am Desarrollemos juntos algunos ejemplos: 1. 4 x 3 ⋅ 4 xy 2 = 4 x 4 y 2 (Aplicamos propiedad de multiplicación de raíces) = 4 x 4 ⋅ 4 y2 (Separamos para descomponer) (Extraemos raíz y simplificamos el índice y la potencia de la cantidad subradical) =x y 2. 20 5 9 : 5 5 3 = 4 5 3 3. 4. 5. ( 6 4 (Dividimos los coeficientes numéricos que acompañan a las raíces y luego aplicamos la propiedad de división de raíces) 18 x 2 − 6 12 xy 2 : 3 3 xy = 6 2x 5 3 = 4 ) 5 (2 x ) 5 ⋅3 = 20 32 x 5 ⋅ 3 = 20 96 x 5 ( 4 2 +3 4 x ) = ( 2) 2 4 2 6x 6 − 4y y (Aplicamos composición de raíces) (Aplicamos propiedad de raíz de una raíz) + 2⋅ 4 2 ⋅3 4 x + 3 4 x = 2 +6 4 2 x +9 x (Aplicamos propiedad de la división de raíces distribuyendo) ( 2 ) (Aplicamos fórmula de cuadrado de binomio) (Simplificamos el índice de la raíz con el de la potencia y aplicamos propiedad de multiplicación de raíces) 64 U1 MAT 3M (008-073).indd 64 2/11/11 15:22:40
  • Trabaja Resuelvan en su cuaderno los siguientes ejercicios. a. 3 5 32 + 4 4 81 − 6 6 729 sus resultados. 4 b. 9 5 c. 4 d. e. f. 2⋅4 3⋅4 6 4 5 2 x 11 ⋅ 3 15 4 4 x 19 ⋅ 45 x 2 a2 − 2 ab + b2 a2 + 2 ab + b2 c ⋅ c p2 − q 2 ⋅ 5 3 2+44 ( ) p+q p−q ( i. 5 27 a12 : 5 3 a2 3 6 unidades de longitud? ) k. 4 l. 3 2 a5 ⋅ 4 3 a j. 3 8 16 a4 : 8 9 b2 2 ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo cuyo largo es 5 4 4 4 h. c2 ⋅ 4 c3 ⋅ 4 c 4 3 2 64 a + 64 5a −5 g. 6 5 a2 − 5 ⋅ 6 UNIDAD 1 1 Apliquen las propiedades de las raíces, reduzcan al máximo cada expresión. Expongan y compartan 3 a : 6 18 b 3 54 unidades de longitud y su ancho es cm cm. cm. 3 Las bases de un trapecio miden 5 16 cm y 5 60,75 cm Determinen su área si su altura mide 5 4 cm 2 mm 4 El área de un cuadrado mide 7 64 mm 2. ¿Cuál es el valor de su lado? m 5 La medida de la superficie de un rectángulo es 6 60 m2. Si uno de los lados es 6 7,5 m, ¿cuál es el valor de su perímetro? Revisemos lo aprendido Responde las siguientes preguntas: • ¿Entendí los ejercicios resueltos? ¿Pude ampliar los conocimientos aprendidos en la unidad para las raíces de índice mayor que 3? • ¿Pude resolver correctamente los ejercicios? 65 U1 MAT 3M (008-073).indd 65 2/11/11 15:22:44
  • Evaluación Unidad 1 Síntesis conceptual de la unidad Mira el siguiente mapa conceptual y recuerda lo estudiado. Luego, contesta las preguntas de verdadero y falso. Corrige tus respuestas. Recuerda que los resultados están al final del libro. Raíces Definición Índice de la raíz n a Cantidad subradical • En general, n a = b si y solo si, a = bn . • Algunas raíces son números irracionales. • Una raíz también es una potencia de exponente racional. Propiedades Función raíz cuadrada • Multiplicación de raíces de igual índice. • División de raíces de igual índice. • Descomposición de una raíz. • Raíz de una raíz. • Racionalización. • Suma y resta de raíces. • Es toda función que contenga una raíz cuadrada. • Su gráfica está siempre representada por una curva. • Su dominio y recorrido dependen de la forma en que la función esté definida. Ecuaciones irracionales • Son ecuaciones en que alguna de las incógnitas está en la cantidad subradical de una raíz. • Para resolverlas debes ocupar las propiedades y la definición de raíz. • Son útiles en la resolución de problemas que involucren función raíz cuadrada. I. Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada una de las siguientes afirmaciones según corresponda. No olvides revisar tus respuestas al final del libro cuando hayas terminado. 1 ____ Una raíz cuadrada no está definida en los números reales si su cantidad subradical es negativa. 2 ____ Las raíces cúbicas no son números reales si su cantidad subradical es negativa. 3 ____ 4 + 8 =0 3 f ( x ) = 2 x − 3 es el conjunto de todos los reales positivos y el cero. 4 ____ El dominio de la función 5 ____ Para multiplicar raíces de igual índice se conserva el índice y se multiplican las cantidades subradicales. 6 ____ Todo número real se puede escribir como una raíz. 7 ____ Siempre se puede extraer raíz de una raíz. 66 U1 MAT 3M (008-073).indd 66 2/11/11 15:22:45
  • 1 25600 2 3 4 5 3 4 5 6 0,027 6 729 9 1 296 7 8 −243 10 7 10 6 4 −128 1 024 1 000 000 0,0625 4,41 III. Usando las propiedades de las raíces, desarrolla los siguientes ejercicios. Recuerda simplificar cada expresión, de ser posible. 3 2 + −1 + 22 −2 10 10 1 4+ 2 25 = 36  17  3  4 4+   16    3 8 3 a5b5 10 2 4 3 xy + 6 3 3 12 + 2x =1 20 3 3 8 11 2 3 ab2 : 10 a2b xy 13 − x =5 3 0,375 + 4 + 3 3 y − 10 = 1,5 1−2 x = −1 3 x +7 x2 − 3 x = x + 3 x − 4 x +1 x +4 = x −1 2 9 12 − 2 x = 7 + 2 x 11 xy − 12 3 x −9 =2 2 7− 3 x +1 =0 10 49 2 4 8 abc 64 9 mn 3 m2n2 1 7 ) 7 3 IV. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales. No olvides que debes comprobar la solución. 6 −3 1 080 − 3 135 + 7 3 5 + 3 40 7 3 0, 23 5 6 15 50 + 18 32 − 6 200 : 3 2 ( 13 4 4 2 150 − 4 54 + 6 294 5 4 4 9  2  32 2 − +    : 3 3 27  7  7 7     1 12 UNIDAD 1 II. Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios. Puedes trabajar con tus compañeros y compañeras. Calcula el valor de las siguientes raíces (no utilices calculadora): 1− x 1−4 x 1+8 x = 2− x 1+2 x x 2 − 3 x + 21 = x + 1 12 2 + 3 x + 5 = 1 13 1 − 3 + x − 2 = −1 67 U1 MAT 3M (008-073).indd 67 2/11/11 15:22:52
  • V. Resuelve los siguientes problemas: guardar sus pinceles. La caja tiene 20 cm de largo, 10 cm de ancho y 5 cm de alto. ¿Cuánto medirá el pincel más largo que puede guardar en su caja? 1 María José ha construido una caja para 2 Gerardo es el gerente general de una empresa que confecciona artículos para autos. Debido a la baja en sus utilidades, él solicita un estudio que relacione el costo de la fabricación de sus productos con las utilidades de las ventas. El informe final establece que la función que relaciona utilidad versus costo es U ( c ) = c − 1, donde U son las utilidades, en millones de pesos, y c es el costo de producir cada artículo, en miles de pesos. ¿Cuál es el costo que debería tener cada artículo para que las utilidades de la empresa sean $ 2 000 000? 3 A Esteban le entretiene mucho la matemática. Después de haber estudiado y entendido, piensa que ya no es tan difícil como le parecía antes. Entonces, inventa un juego recordando el problema de los mosaicos visto en clases. Según lo que recuerda, a partir de un cuadrado se podían construir otros que tuvieran como lado la diagonal del anterior (fíjate en la figura). Esteban comenzó con un cuadrado de lado 2 cm y ahora va en el décimo cuadrado construido. ¿Cuál es la medida del lado de este décimo cuadrado? que no entendía esto, pensó: “¡¿No tenían nada mejor en que gastar su tiempo aquellos hombres?!” Ella, sin duda, tenía algo más práctico, aunque no más entretenido que hacer: debía estudiar para su prueba de raíces. Aburrida, comenzó a multiplicar 1 ⋅ 2 = 2 , 2 ⋅ 3 = 6 , 3 ⋅ 4 = 12, 4 ⋅ 5 = 20, 5 ⋅ 6 = 30. De pronto, se detuvo y exclamó: “¡Soy una genio!” ¿Qué descubrió Julia? Justifica tu respuesta. VI. Desarrolla los siguientes ejercicios y marca la alternativa correcta. Revisa tus respuestas al final del libro y calcula tu porcentaje de logro. 1 ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) 2⋅ 8 irracional(es)? II. 2 8 + 2 2 I. 5 25 a. Solo I b. Solo II c. Solo III III. d. Solo I y III e. Solo II y III 2 El valor de 169 − 144 es: a. 1 b. 5 c. 25 a. 2 78 3 La suma de b. 13 2 c. 12 3 d. 5 e. 12 12 + 300 da como resultado: x + 4 = 8 es: d. 312 e. No se pueden sumar. 4 El valor de x que satisface la igualdad 4 El profesor de Matemática de Julia había comentado en su clase que los grandes matemáticos pasaron largas horas, días, meses y hasta años descubriendo ciertas regularidades matemáticas (reglas que se cumplían al probar varios casos) que llegaron a ser grandes teoremas de la historia. Julia, a. 4 b. 8 c. 16 d. 24 e. 144 68 U1 MAT 3M (008-073).indd 68 2/11/11 15:22:54
  • ( 50 + 512 − 242 : 2 = ) a. 10 b. 10 2 c. 8 5 d. 32 e. 40 DEMRE 2 + 3 − 2 − 3 = t , entonces el valor de t 2 − 2 es: 6 Si a. 2 3 − 2 b. 0 c. 2 3 2 3 7 a. b. c. 2 3 3 6 d. 2 e. –2 = 4 6 e. 1 2 d. 8 DEMRE I. 2 bc a. Solo I b. Solo II c. Solo III 9 5 2− 3 ( DEMRE a. −25 5 b. 24 5 c. 7 3 +5 2 = b. 2 6 abc c. 6 2 abc e. 6 abc 2 b. 2 2 cm c. 4 2 cm 3 2 cm3 c. DEMRE d. 47 d. 2 abc 6 a. 2 cm b. 8 cm3 5 2 e. x ≥ 0 d. 4 cm e. 64 cm 1 2 1 b. − 4 1 c. 2 DEMRE 3 e. 123 cm3 15 El valor de x en la ecuación a. − 10 Al multiplicar 2 a ⋅ 2 b ⋅ 3 2 c se obtiene: a. 12 abc d. x ≥ área total es 12 cm2: d. 2 2 cm3 a. 2 cm3 ) e. 0 2 5 5 b. x ≤ 2 2 c. x ≥ 5 a. x ≤ 14 Determina el volumen de un cubo cuya II. a4 b2c 2 III. a2bc d. Solo I y II e. Solo I y III )( 12 El dominio de la función f ( x ) = 2 − 5x es: 13 Determina el lado de un cuadrado de área ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) equivalente(s) a 60 ? 3 8 cm2: 2 8 Si 2 = a , 3 = b y 5 = c , entonces −343 podemos afirmar que: a. Es un número natural. b. Es un número entero. c. No es un número real. d. Es un número decimal infinito periódico. e. Ninguna de las anteriores. 11 Sobre el número UNIDAD 1 5 16 ¿Cuál es el valor de a. 3 b. c. 4 3 4 3 d. x 2 + 2x = x − 1 es: 1 4 e. No tiene solución. 3+ 3+ 3+ 3 d. 4 e. 2 3 ? 69 U1 MAT 3M (008-073).indd 69 2/11/11 15:22:59
  • 17 La expresión 2 a. 5 b. 2 3 3 10 ⋅ 2 es equivalente a: 15 3 d. 6 6 e. 3 c. 2 5 5 18 ⋅ 2 irracional(es)? II. III. 8 +3 8 8 32 a. Solo II b. Solo I y II c. S0lo I y III d. Solo II y III e. I, II y III 19 Si a = b + 10 con b > −10 , entonces 2 b es a. 2 a − 10 igual a: b. 2 a2 − 10 c. 4 ( a − 10) 20 2  1  m ⋅ + m=  m  a. 0 b. 1 c. m 5 y 7 es: d. 2 a2 − 10 ( e. 2 ( a − 10) ) 2 d. 1 + m 1 e. m 21 Un número racional comprendido entre 5+ 7 2 5− 7 B b. ) 2 C )2,4 c. 2,4 D)2,7 E )2,8 a. ) A 70 U1 MAT 3M (008-073).indd 70 d. 2,7 e. 2,8 se obtiene: ( a. 4 b. 4 6 5 −1 )( 5 +1 2 ) d. 4 ( e. 6 ( 5 −1 ) 5 − 1) A) 4 A) 4 B) 8 B) 8 23 El valor de la expresiónC )2 2 es: C ) 16 16 d. ) 64 D ) 64 a. ) 4 A) 4 D A) 4 A E )4 8 B) 8 E e. ) 4 8 B) 8 b. ) 8 B c. 4 5 + 4 18 ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) I. 22 Al resolver y reducir la siguiente expresión C ) 16 C ) 16 c. ) 16 C D) 64 D) 64 D) 64 24 ¿A)cuál de los siguientes conjuntos E )4 8 E )4 8 E 48 pertenece 54 ? a. {x ∈ R / 6 < x < 7} b. {x ∈ R /7 < x < 8} c. d. e. {x ∈ R / 26 < x < 28} {x ∈ R / x > 8} {x ∈ R / x ≥ 8} { −27 , −32, 3 −125 , podemos afirmar 25 De los elementos del conjunto 3 que: a. b. c. d. e. 5 } Ninguno de ellos es un número real Todos son enteros negativos Todos son irracionales Algunos son enteros y otros irracionales Todos son números naturales 625x = 5? 26 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 1 4 1 b. 2 a. c. 2 d. 4 e. 5 2/11/11 15:23:05
  • aproximado de 1,25 es: a. 0,059 b. 0,559 c. 0,759 d. 1,011 e. 1,118 5 −2 3 3 −2 5 28 Al racionalizar la expresión 3 15 − 4 d. 17 a. 4 − 3 15 11 se obtiene: b. 3 15 − 4 11 c. e. 4 − 3 15 97 4 − 3 15 17 29 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correcta(s) con respecto a la función f (x) = x +3 −5 ? f (6 ) = 4 II. Su mínimo es ( −3, − 5) I. III. Dom f ( x ) = ]−3, ∞[ a. Solo I b. Solo II c. Solo I y III d. Solo II y III e. I, II y III 30 El gráfico de la figura representa a la función: 10 0 –2 x 2 c. f ( x ) = I. 2 ( x + 3) = 20 racional si: II. x = p2 + 2p + 2 con p∈ N a. (I) por sí sola b. (II) por sí sola c. Ambas juntas, (I) y (II) d. Cada una por sí sola, (I) o (II) e. Se requiere información adicional 2 4 32 El valor de 36 − 2 401 es: 1 27 + 32 1 a. − 11 1 b. − 5 1 c. 5 1 3 1 5 1 13 5 13 e. 11 d. 33 Si a = 2 + 3 , b = 3 − 1 y c = 1 + 3 , b. 9 + 2 3 c. 9 + 4 3 1 x + 2 es un número 31 Se puede afirmar que a. 9 y 6 2 e. f ( x ) = 4 + x b. f ( x ) = 2x entonces el valor de a2 + bc es: 8 4 d. f ( x ) = x + 2 a. f ( x ) = x + 2 UNIDAD 1 27 Si 5 ≈ 2,236, entonces el valor 2 3 4 5 6 7 8 x+ 5 d. 11 + 2 3 e. 11 + 4 3 34 Si x ∈R +, ¿qué expresión se le debe restar a x ( a. 5 b. − 5 c. x 2 ) para obtener un número racional? d. – x e. No se puede determinar 71 U1 MAT 3M (008-073).indd 71 2/11/11 15:23:13
  • 35 Al reducir la expresión ( ) x ⋅ y + xy − se obtiene: y⋅ ( x − xy ) a. – 24 y+y x a. 2 xy d. x b. 2 xy xy e. 2 xy + x y + y x c. xy ( x+ y ) ( 40 − 12 cm2. ) Si uno de sus lados mide 8 cm, ¿cuánto 36 Un rectángulo tiene área d. 2 5 − 6 2 5− 3 mide el otro lado? a. b. 10 − 3 c. 10 − 6 37 El valor de b. 1 a. 5 e. 3 ( 5) 4 c. 5 5 2 + 2 5 es: 10 − 6 2 d. 6 5 e. 6 5 5  5 7 −  se obtiene: 5  7  d. 12 38 Al desarrollar 35 ⋅   b. – 2 c. 0 e. 74 39 Si se extrae raíz cuadrada al triple de un número aumentado en una unidad se obtiene ocho. ¿Cuál es el número? a. 9 49 3 c. 21 b. (2 65 3 e. 27 d. 12 + 3 3 cm. Entonces, su área, 40 La diagonal de un cuadrado mide en cm2, es: a. 16,5 b. 27,75 c. 73,5 ) d. 55,5 e. 111 Mis apuntes 72 U1 MAT 3M (008-073).indd 72 2/11/11 15:23:19
  • Criterios para autoevaluar tu aprendizaje Marca con una 8 según la evaluación de tu trabajo en esta unidad. Recuerda que hacer esta evaluación responsablemente te entregará información sobre tu proceso de aprendizaje. +++ ++– +–– Revisé detenidamente el mapa conceptual de la síntesis. Contesté correctamente el ítem I de la síntesis conceptual. Desarrollé correctamente los ejercicios de los ítems II, III, IV y V. Me fue fácil porque tenía claros los conceptos y tipos de ejercicios. Tuve dificultades porque me equivoqué en la operatoria, pero sé los conceptos y lo que debo hacer. UNIDAD 1 Indicadores Me fue difícil resolver los ejercicios porque no tengo claros los conceptos y la operatoria involucrada en los ejercicios. Pedí ayuda cuando necesité que me explicaran algún contenido o ejercicio. Me siento preparado para resolver cualquier ejercicio de este tema. Calcula el porcentaje de logro que obtuviste en el ítem VI. Porcentaje de logro 29% a 0% 49% a 30% 59% a 50% 69% a 60% 79% a 70% 89% a 80% 100% a 90% Nota Nivel de mi obtenida aprendizaje 1,0 a 2,5 2,6 a 3,5 3,6 a 3,9 4,0 a 4,7 4,8 a 5,4 5,5 a 6,2 6,3 a 7,0 Porcentaje de logro Nº de respuestas correctas . PL = 100 20 40 Cómo mejorar Los contenidos no han sido comprendidos. Debes repasarlos nuevamente y Alerta rehacer los ejercicios. Fíjate muy bien en los ejercicios resueltos. Debes pedir ayuda. ¡Ánimo! con trabajo y estudio se puede. La mayoría de los contenidos no han sido comprendidos. Debes volver a repasarlos Muy bajo y rehacer los ejercicios incorrectos. Pídeles ayuda a tus compañeros o compañeras. Vuelve a estudiar; seguro que lo lograrás. Una gran parte de los contenidos no han sido comprendidos en su totalidad. Bajo Rehaz aquellos ejercicios incorrectos, pero antes, vuelve a estudiar los contenidos. Trata nuevamente. Adquiriste una parte de los contenidos, pero aún faltan. Debes corregir aquellos Medio bajo ejercicios incorrectos y revisar los contenidos de los temas en que fallaste. Bien, has avanzado, aunque aún queda camino por andar. Has logrado entender una buena parte de los contenidos; sin embargo, aún faltan Medio otros y afianzar los primeros. Corrige las respuestas erróneas; puedes pedir ayuda si lo deseas. Revisa los contenidos. Puedes hacerlo mucho mejor. Has logrado adquirir gran parte de los contenidos. Revisa los ejercicios en los que Medio alto fallaste y repasa los respectivos contenidos. ¡Lo has hecho bien! Has logrado aprender todos o casi todos los contenidos tratados. ¡Muy bien! has Alto logrado los objetivos propuestos. Sigue así. 73 U1 MAT 3M (008-073).indd 73 2/11/11 15:23:19
  • UNIDAD 2 Ecuaciones cuadráticas y función cuadrática ECUACIONES CUADRÁTICAS Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Concepto de ecuación cuadrática Concepto de función cuadrática Tipos de ecuaciones cuadráticas y métodos de resolución Análisis de la función cuadrática Problemas de aplicación a la vida diaria 74 U2 MAT 3M (074-145).indd 74 2/11/11 15:27:08
  • OBJETIVOS FUNDAMENTALES Y TRANSVERSALES En esta unidad: Conocerás y utilizarás conceptos matemáticos asociados al estudio de ecuaciones cuadráticas y función cuadrática. Aplicarás y ajustarás modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas. Modelarás situaciones o fenómenos a través de funciones cuadráticas. Resolverás desafíos con grado de dificultad creciente, valorando tus propias capacidades. Percibirás la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. Razonarás lógica y deductivamente para ir en búsqueda de nuevos métodos de solución a los problemas que se plantean. 75 U2 MAT 3M (074-145).indd 75 2/11/11 15:27:10
  • CONTENIDOS Concepto de ecuación cuadrática. Ecuaciones cuadráticas incompletas y método de resolución. Ecuaciones cuadráticas completas factorizables y método de resolución. Resolución de ecuaciones cuadráticas por completación de cuadrados. Ecuaciones cuadráticas completas y fórmula general. APRENDIZAJES ESPERADOS Función cuadrática: concepto y análisis de sus principales características, gráficos y = ax 2; 22 0; y = x 22 ± a ,,a > 0 ; yy== ( x±± a ) , aa>> 0 y = x ±a a>0 ( x a) 2 y = ax + bx + c. Discusión de los casos de intersección de la parábola con el eje x. Aplicación de ecuaciones cuadráticas y función cuadrática en problemas de planteo. Uso de herramientas tecnológicas apropiadas para los contenidos de la unidad. En esta unidad se espera que: 1 Plantees y resuelvas problemas que involucran ecuaciones de segundo grado; explicites procedimientos de solución y analices la existencia y pertinencia de las soluciones obtenidas. 2 Analices la función cuadrática en el marco de la modelación de algunos fenómenos sencillos. 3 Conozcas la parábola como un lugar geométrico, reconozcas su gráfica e identifiques aquellas que corresponden a una función cuadrática. 4 Identifiques algunas de las propiedades y aplicaciones de la función cuadrática en diversos ámbitos de la tecnología. 76 U2 MAT 3M (074-145).indd 76 2/11/11 15:27:15
  • UNIDAD 2 La resolución de la ecuación de segundo grado se remonta a los comienzos del desarrollo de la matemática en general y a los del álgebra en particular. La ecuación de segundo grado y su solución tiene antiguo origen. En el 2000 a. C., los ingenieros chinos, egipcios y babilónicos se topaban con un problema. Sabían el valor del área de un terreno rectangular o en forma de T, pero no podían encontrar las longitudes del terreno en cuestión. Es decir, lo que en nuestros días se resolvería usando una ecuación cuadrática. En Egipto, los ingenieros se dedicaban a calcular el valor de las áreas de los posibles cuadrados y rectángulos por utilizar, construyendo así tablas como una forma de resolver el problema de las longitudes. En China se usó una doble comprobación de operaciones simples matemáticas para resolver este problema, las que fueron asombrosamente fáciles por el empleo extendido del ábaco. En Babilonia, la tablilla cuneiforme BM13901 contiene abundante material relativo a la resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita, donde se pueden apreciar los conocimientos que, sobre el particular, tenían los matemáticos babilonios. En Grecia, la ecuación de segundo grado fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría. Por el año 628 d. C. en la India, una ecuación de segundo grado equivalente a la actual x 2 − 10 x = −9 fue tratada por el matemático indio Brahmagupta, quien propuso una forma de resolverla. Posteriormente, en el siglo IX, el matemático árabe Mohamed ibn Musa al-Khowarizmi utilizó una estrategia para resolver la ecuación x 2 + 10 x = 39. La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya en su Liber embadorum. Ahora bien, con el desarrollo de las funciones, se fue estudiando un tipo especial de ellas: las llamadas funciones polinómicas, es decir, aquellas que están definidas por un polinomio. Por ejemplo, f ( x ) = x 3 + 1, que es una función polinómica de tercer grado. En esta ocasión conoceremos las funciones cuadráticas, es decir, aquellas de grado dos; estudiaremos su gráfica y nos valdremos de ellas para profundizar más en su análisis. También conoceremos qué situaciones se modelan con este tipo de funciones. Emprendamos este viaje al mundo de las ecuaciones y funciones cuadráticas. Diofanto de Alejandría (200 d. C. - 284 d. C.) 77 U2 MAT 3M (074-145).indd 77 2/11/11 15:27:17
  • Conocimientos previos En 1° y 2° medio trabajaste y aprendiste conceptos fundamentales en el desarrollo de la matemática. Uno de ellos es el de factorización. Aunque muchas veces no le veas utilidad a lo que estás estudiando, de seguro llegará el momento en que lo necesitarás para seguir aprendiendo. Para desarrollar nuestra unidad, debemos recordar algunas cosas de este tema. Hagámoslo juntos. Factorización Llamaremos factorizar al proceso de transformar una expresión algebraica en el producto de otras expresiones algebraicas más simples, no factorizables nuevamente (es algo así como “expresiones algebraicas primas”). Como recordarás, había muchos casos de factorización. Repasaremos tres de ellos, que son los que utilizaremos en esta unidad. a. Factor común: Una expresión algebraica se puede factorizar por este caso cuando existe, en todos sus términos, un factor común, es decir, letras que se repiten (con el menor exponente que aparezcan), y/o un máximo común divisor entre sus coeficientes numéricos. Por ejemplo: 1. 2 xy + 3 xz = x ( 2 y + 3 z ) (Debes poner fuera del paréntesis el factor común; en este caso, x) 2. 4 x 2 − 10 xy = 2 x ( 2 x − 5 y ) (Factor común, 2x. Recuerda que siempre puedes comprobar tu 2x ( 2x + 3 y ), deberías obtener la factorización. Si distribuyes 3. 12 x 2 y3 + 3 x 2 y − 9 x 2 y 2 = 3 x 2 y 4 y 2 + 1 − 3 y expresión con la que comenzaste) ( ) b. Trinomio de la forma x 2 + bx + c : Una expresión algebraica de esta forma se puede factorizar, en algunas ocasiones, en dos binomios con un término común. Por ejemplo: 1. x 2 + 6 x + 5 = ( x + 5) ( x + 1) (Buscamos dos números que multiplicados den 5 y sumados 6) 2. x 2 + 7 x − 18 = ( x + 9) ( x − 2) 2 3. x − 15 x + 36 = ( x − 12) ( x − 3) 78 U2 MAT 3M (074-145).indd 78 2/11/11 15:27:20
  • cuadrado de x doble producto de x y 3 2. 4 x 2 − 20 x + 25 = ( 2 x − 5) 2 cuadrado de 3 3. 9 x 2 + 24 x + 16 = (3 x + 4 ) Junto con una compañera o compañero, resuelve los siguientes ejercicios. Factoriza las expresiones algebraicas. Identifica primero a cuál de los tres casos que repasaste corresponde cada ejercicio. 1 b4 − b3 2 14 a − 21 b + 35 3 4 m2 − 20 am 5 4 a3bx − 4 bx 4 ax + bx + cx 6 20 x + 12 xy + 4 xz 7 x2 + 3 x − 4 8 a2 + 4 a + 3 9 m2 + 5 m − 14 10 y 2 − 9 y + 20 11 t 2 − 6 − t 2 12 p − 9 p + 8 2 UNIDAD 2 c. Trinomio cuadrado perfecto: Una expresión algebraica se puede factorizar por este caso, cuando es un trinomio en que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el tercer término es el doble producto de las raíces cuadradas de los términos anteriores. Este es el desarrollo de un cuadrado de binomio. Por ejemplo: 2 1. x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3) 13 u2 − 10 u + 25 14 9 − 6 x + x 2 15 16 + 40 x 2 + 25 x 4 16 1 + 49 m2 − 14 m 17 36 + 12 m2 + m4 2 18 x + x − 2 19 20 + a2 − 21 a 20 x 4 − 2 x 3 − 3 x 2 5 4 3 2 21 2 x − 6 x − 16 x + 24 x + 32 x 2 22 x − 24 x + 144 3 x2 y − 9 xy 2 4 8 2 24 n + 6 n − 16 23 Evaluación Responde las siguientes preguntas: • ¿Recordé cómo factorizar y los casos de factorización planteados? • ¿Entendí los ejercicios resueltos? • ¿Pude hacer correctamente los ejercicios propuestos? • ¿Colaboré con mis compañeros en el desarrollo de las actividades? Recuerda que si has tenido dificultades para hacer los ejercicios y no te sientes seguro o segura en los contenidos, debes volver a repasar o pedir ayuda a tus compañeros o compañeras y/o a tu profesor o profesora. 79 U2 MAT 3M (074-145).indd 79 2/11/11 15:27:29
  • Ecuaciones cuadráticas: ¿qué son, cómo se resuelven y para qué sirven? En esta sección aprenderás Qué son las ecuaciones cuadráticas, cómo se clasifican, cómo se resuelven y qué problemas se pueden resolver con ellas. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Comprender y resolver: 1, 2, 3, 7a, 8, 6, 1, 2a, 2d, 2e, 3, 9 • Relacionar y aplicar: 7b, 2b, 2c, 5, 6, 7, 8 Trabaja más... Habilidades por actividad: • Comprender y resolver: 1, 2, 3, 5, 6, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10 • Relacionar y aplicar: 4, 8, 15, 17, 18, 4, 5, 8 En el consejo de curso, Daniel y Paulina darán a conocer los costos que tendrá su fiesta de graduación. Junto con sus familias, han reunido $1197000. El señor Lucas Montecinos, encargado de la empresa que más les gusta, les dijo que si él les rebajara en $1 000 el costo por persona, entonces podrían ir 12 personas más. Interesados por esta oferta, deben hacer los cálculos de la cantidad de personas que pueden ir y cuánto costaría el menú por cada uno; la idea es que vayan con sus parejas y, tal vez, los papás. Celeste, la hermana de Daniel, que estaba escuchando la conversación, le dijo a Daniel: “¡¿Pero cómo pueden calcular eso?!” Daniel le explicó: Llamemos x a la cantidad de personas que van e y al costo de la cena, por persona, entonces podemos anotar que: x ⋅ y = 1197 000 Ahora bien, como nos rebajarán $1 000 y podrán ir 12 personas más, podemos anotar también que: ( x + 12) ⋅ ( y − 1 000) = 1197 000 Despejamos la incógnita y de la primera ecuación y luego la remplazamos en la segunda: 1197 000 . x Remplazando en la segunda ecuación, tenemos que: Si x ⋅ y = 1197 000 ⇒ y = 1197 000  − 1 000  = 1197 000. x   ( x + 12) ⋅   Multiplicando término a término, se tiene: 14 364 000 1197 000 − 1 000 x + − 12000 = 1197 000 / −1197 000 x ⇒ −1 000 x + 14 364 000 − 12000 = 0 / ⋅x x ⇒ −1 000 x 2 + 14 364 000 − 12000 x = 0 Daniel le dijo que estas eran un tipo de ecuaciones distintas y que en 3° medio las estudiará en el colegio. Al igual que Celeste, que lo hará pronto, estudiemos nosotros estas ecuaciones para terminar luego de resolver el problema de Daniel y Paulina. 80 U2 MAT 3M (074-145).indd 80 2/11/11 15:27:32
  • Así, una ecuación cuadrática será toda ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, con a ≠ 0. Analizaremos los distintos tipos de ecuaciones cuadráticas y su manera de resolverlas, partiendo desde las más sencillas hasta las más complejas. Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax2 + c = 0, con a ≠ 0 En este caso, solo se distinguen términos de grado dos y grado 0 (o término libre). Para resolverla debemos despejar la incógnita. Por ejemplo: 1. 2 x 2 − 8 = 0 / +8 / :2 ⇒ 2 x2 = 8 ⇒x =4 Observa que debes encontrar un número que al elevarlo al cuadrado dé por resultado 4. ¿Te acuerdas que en la unidad anterior dijimos que las soluciones de esta ecuación eran 4 o − 4 ? 2 Por lo tanto, al extraer raíz, tendremos dos soluciones: x = 4 o x = − 4 ; esto es, x = 2 o x = −2 son las soluciones. Veamos otro ejemplo en el que no se presenta directamente el tipo de ecuación que estamos estudiando, sino que al desarrollar y reducir se obtiene este caso: 2. 3 x 2 − 5 = 2 x 2 + 9 ⇒ 3 x − 15 = 2 x 2 + 9 ( 2 ) ⇒ x 2 − 15 = 9 ⇒ x 2 = 24 ⇒ x = 24 3. ⇒ x =2 6 / + 15 (¿Te das cuenta de que esta ecuación presenta solo términos de grado 2 y grado 0 para x?) / x = − 24 (descomponiendo) x = −2 6 son las soluciones. x 2 − 5 4 x 2 − 1 14 x 2 − 1 /m.c.m. 15 + = 3 5 15 Recuerda que esta es una ecuación fraccionaria; por lo tanto, amplificaremos por el m.c.m para eliminar los denominadores. o 5 x 2 − 5 + 3 4 x 2 − 1 = 14 x 2 − 1 ( o / −2 x 2 ) ( ) ⇒ 5 x 2 − 25 + 12 x 2 − 3 = 14 x 2 − 1 U2 MAT 3M (074-145).indd 81 Recordar y archivar Un polinomio es una expresión algebraica con más de dos términos; por ejemplo, 4 x 2 − 3xy + 4z − 1. UNIDAD 2 Definiremos ecuación cuadrática a aquella ecuación en la que al menos una de las incógnitas involucradas está elevada al cuadrado, siendo la mayor potencia de ella. Se llama polinomio en una sola variable a aquel en que el factor literal de sus términos está compuesto solo por potencias de una misma variable; por ejemplo: 2x 2 + 2x − 2. Se llama grado de un polinomio en una variable al mayor exponente de los términos de un polinomio; por ejemplo: el polinomio 2x 3 − 4 tiene grado 3 y el polinomio − x 4 − 3x 2 + 1 tiene grado 4. Recordar y archivar A las soluciones de una ecuación se les llama también raíces de la ecuación. Aunque se nombran de manera similar, no son lo mismo que las raíces estudiadas en la unidad anterior. (¿Estamos en este mismo caso? Pues sí, ya que no hay términos de grado 1 en x) 81 2/11/11 15:27:35
  • ⇒ 17 x 2 − 28 = 14 x 2 − 1 / +28 ⇒ 17 x = 14 x + 27 2 ⇒ 3 x 2 = 27 ⇒ x2 = 9 4. ⇒x= 9 ⇒ x =3 / −14 x 2 2 / :3 / x=− 9 x = −3 son las soluciones. o o /m.c.m. ( x − 2) ( x + 2) 40 x +2 x −2 + = 2 x −2 x +2 x − 4 ( x + 2) + ( x − 2) 2 2 (Recuerda que debes factorizar los denominadores para calcularlo) = 40 x + 4 x + 4 + x − 4 x + 4 = 40 2 2 2 x 2 + 8 = 40 2 x 2 = 32 / −8 / :2 (¿Es este el caso que estamos estudiando?) / x = 4 o x = −4 Recuerda que en las ecuaciones que tienen expresiones algebraicas en los denominadores de una expresión fraccionaria, debes comprobar que ninguno de ellos se haga 0 al remplazar la incógnita por el valor obtenido, pues no existe una fracción con denominador 0. En este caso, esa ya no sería solución. Veamos: ( x − 2) ( x + 2) se hacen cero solo si x = 2 o si x = −2 ; por lo tanto, ambos resultados obtenidos serán soluciones de la ecuación. x 2 = 16 Mira ahora esta ecuación. ¿Recuerdas que ya hemos estudiado algunas similares en la unidad anterior? Son ecuaciones irracionales. 5. 3 /( 5 x 2 + 9 − 19 = 2 3 ) / +19 5 x 2 + 9 − 19 = 8 /( 5 x 2 + 9 = 27 / −9 5 x 2 + 9 = 729 5 x = 720 / :5 2 x 2 = 144 x = 12 o x = −12 2 ) (Y aquí tenemos, nuevamente, ecuaciones de la forma que estamos estudiando) / Comprobando (recuerda que siempre debes hacerlo con las ecuaciones irracionales), se tiene que: Si x = 12 ⇒ 3 3 5 ⋅ 122 + 9 − 19 = 2 5 ⋅ 144 + 9 − 19 = 2 3 729 − 19 = 2 3 27 − 19 = 2 3 8 =2 82 U2 MAT 3M (074-145).indd 82 2/11/11 15:27:40
  • Esto es cierto; por lo tanto, x = 12 es solución. x = −12 ⇒ 3 5 ⋅ ( −12) + 9 − 19 = 2 3 2 5 ⋅ 144 + 9 − 19 = 2 x ( x − 2) + x ( x + 2) = ( x − 2) ( x + 2) x2 − 2 x + x2 + 2 x = x2 − 4 2 x2 = x2 − 4 2 x 2 = −4 x = −4 o x = − −4 UNIDAD 2 Es el mismo caso anterior; entonces x = –12 es solución. Así, las soluciones de la ecuación son x = 12 y x = –12. x x 6. + =1 /m.c.m. ( x − 2) ( x + 2) x +2 x −2 (¿A cuál de los anteriores ejemplos se parece?) / −x2 / Pero −4 no existe (o no está definida) en los números reales; por lo tanto, la ecuación no tiene solución en R. 7. Arnoldo está preparando su primer trabajo para el taller de diseño. Le han pedido que haga un collage sobre una madera de área 900 cm2 con cuadraditos de colores de 2 x 2 cm. La madera es un rectángulo, donde el largo y el ancho difieren en 80 cm. ¿Cómo podrá Arnoldo saber cuántos cuadraditos colocará a lo largo y a lo ancho? Después de un momento de nerviosismo, decidió, ingeniosamente, calcular los lados del rectángulo, para lo que hizo el siguiente bosquejo: ( x + 40) ( x − 40) = 900 x − 1.600 = 900 1600 = 900 2 2500 x = 2.500 x = 50 o x = −50 2 / + 1.600 1 600 / (Suma por diferencia) Si analizamos las respuestas, vemos que x = –50 no es solución, porque una medida de longitud no puede ser negativa; por lo tanto, la solución es x = 50. Entonces, el largo será 50 + 40, es decir, 90 cm, y el ancho será 50 – 40, es decir, 10 cm. Así, deberá colocar 45 cuadraditos a lo largo y 5 a lo ancho. (x + 40) (x − 40) Observa que, en este caso, si la ecuación tiene solución, los resultados de las ecuaciones son uno el inverso aditivo del otro, es decir, si uno es a, entonces el otro será –a. 83 U2 MAT 3M (074-145).indd 83 2/11/11 15:27:43
  • Trabaja Resuelve en tu cuaderno. 1   5  e. 2 y +  7 y −  = 2  1 − y  2   2  1 Incluye todo el desarrollo y comprueba tus respuestas en el solucionario. 2 a. x – 12 = 0 2 b. 6 x 2 − 11 =1 114 + x 2 2 2 f. x − 6 − x + 4 = 5 2 4 4x g. x + 4 + x − 2 + =0 x − 2 x − 4 x2 − 6 x + 8 1 1 1 h. − = 4 z 2 9 z 2 24 c. x 2 + 1 = 0 d. (14 x + 5) (1 − x ) = x ( 9 − x ) 2 i. 2 1 + 0, 5 x = 166 j. 5 x2 − 6 =1 3 x2 + 2 3 Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx = 0, con a y b números reales y a ≠ 0 En este tipo de ecuaciones solo se distinguen términos de grado dos y grado uno; no hay término libre. Por lo tanto, ya no se puede despejar la incógnita para igualarla a un número y luego extraer raíz cuadrada. Miremos algunos casos, a modo de ejemplo. 1. x 2 − 9x = 0 Si factorizamos por x, tendremos que: x ( x − 9) = 0 x =0 o x −9=0 x =0 o x =9 /+9 (Ahora bien, si miramos que este es un producto o multiplicación que es igual a 0, esto solo se puede cumplir si alguno de los factores es 0; por lo tanto, podemos separar esta ecuación en dos) son las soluciones. 2. ( x + 4 ) + ( x − 3) = ( x + 5) Esta es una ecuación en la que debes desarrollar los cuadrados de binomios y reducir términos semejantes. Veamos lo que obtenemos. 2 2 2 x 2 + 8 x + 16 + x 2 − 6 x + 9 = x 2 + 10 x + 25 2 x 2 + 2 x + 25 = x 2 + 10 x + 25 2 x 2 + 2 x = x 2 + 10 x 2 x2 − 8 x = x2 x2 − 8 x = 0 x ( x − 8) = 0 x =0 o x −8 =0 x =0 o x =8 / −x2 / −25 / −10 x (¿Notas que esta ecuación tiene solo términos de grado 2 y 1?) (Por lo tanto, debemos resolverla como lo hicimos en el ejercicio anterior) (Debemos igualar a 0 para poder resolverla) son las soluciones. 84 U2 MAT 3M (074-145).indd 84 2/11/11 15:27:49
  • 3 x2 − 5 ( 5 ) − 2( x 2 − 70 7 / m.c.m. 35 ) = 17 + x 21 x − 5 − 10 x 2 − 70 = 35 (17 + x ) ( 2 ) ( ) 2 21 x 2 − 105 − 10 x 2 + 700 = 595 + 35 x 105 − 10 2 + 700 = 595 + 35x x 2 595 11x 2 + 595 = 595 + 35 x x −595 //−595 / / −35 x −35x 11 x 2 = 35 x 11x 2 = 35x 11x 22 − 35x == 0 x − x 0 x (11x − 35) = 0 o 11 x − 35 0 x = 0 o 11x − 35 = = 0 4. // 11 : : 11 Por lo tanto, las soluciones son: x = 0 o x = ( x +9 = 4+ 1− x x +9 ) = (4 + 2 1− x 2 ) /+ 1− x /( x + 9 = 16 + 8 1 − x + 1 − x x + 9 = 17 + 8 1 − x − x 2x − 8 = 8 1 − x x 1− x (2 x − 8 ) 2 = ((8 2x − 8 = 8 2 1 − xx 1− 22 )) 4 x 2 − 32 x + 64 = 64 (1 − x ) 64 4 x 2 − 32 x + 64 = 64 − 64 x 4 x − 32 x = 0 2 x ( 4 x − 32) = 0 xx= o 4 = 0 32 4 x − 32 = 0 x = 0 o 4 x = 32 8 x =0 o x =8 (¿Ya lo notaste? ¡Muy bien!, esta ecuación es del mismo tipo de las que estamos estudiando) (Factorizamos) / +35 / +35 11 x = 35 x= 35 x= 11 11 x +9 − 1− x = 4 (¿Por qué debemos amplificar por el m.c.m?) 2 ) 35 11 UNIDAD 2 3. (Recuerda que debemos aislar una raíz) (Recuerda que se ha formado un cuadrado de binomio) / −17 + x / / (( 2 2 )) (Nuevamente, cuadrado de binomio y además potencia de una multiplicación) / −64 + 64 x / +32 (Factorizamos, ¿para qué?) / :+32 4 /:4 Comprobando (recuerda que debes comprobar las ecuaciones irracionales): Si x = 0 ⇒ 0 + 9 − 1 − 0 = 4 3 − 1 ≠ 4 ; por lo tanto, x = 0 no es solución. Si x = −8 ⇒ −8 + 9 − 1 − −8 = 4 1 − 3 ≠ 4; por lo tanto, x = −8 no es solución. En consecuencia, la ecuación no tiene solución. 85 U2 MAT 3M (074-145).indd 85 2/11/11 15:27:57
  • 5. La profesora pidió que escribieran un cuento de fantasía. Esto es parte de lo que Aukán escribió: ... después de mucho andar y aventurar, Nawel llegó frente a una gran puerta cuadrada en aquel país lleno de sorpresas. Con voz profunda, la puerta le preguntó: “¿Queréis pasar, extranjero?” “Sí”, respondió Nawel, casi adivinando lo que venía y ya muy cansado para devolverse. “Pues bien –dijo la puerta–, deberás hallar mis medidas, sabiendo que si a 8 veces mi área, en metros cuadrados, le restas 12 veces la medida de mi lado, tendrás nuevamente 12 veces la medida del lado”. ¿Qué le respondió Nawel a la puerta? Este es su razonamiento: Llamemos x a la medida del lado de la puerta; entonces tendremos que: / −12 x 8 x 2 − 12 x = 12 x 8 x 2 − 24 x = 0 x ( 8 x − 24 ) = 0 x = 0 o 8 x − 24 = 0 8 x = 24 x =3 (Factorizamos) / +24 /:8 Como el lado de la puerta no podía medir 0 metros, entonces debía medir 3 metros. Nawel dio la respuesta y la puerta se abrió. Observa que, en este caso, siempre hay dos soluciones reales, donde una de ellas es siempre 0 y la otra es un número real cualquiera. Trabaja Aplica lo aprendido. a. 5 x 2 − 41 x = 0 (7 − 11 x ) (11 − 7 x ) − (1 − x 2 ) = 4 (19 − 4 x ) 2 Desarrolla cada ejercicio en tu cuaderno y verifica tus respuestas consultando en el solucionario. b. c. d. 9x =2 2 x2 19 x 2 + 12 = −2 (3 x + 2) ( 2 x − 3) x2 + 4 4 = ( x − 3) ( x − 5) 15 3  73  e. 4 +  6 y −  = 4  16  2 2 4 x2 − 5 4 x2 + 5 x g. x + 21 x − = 4 12 3 f. ( ) h. 2 x − 1 − 1 − 2 x = 4 x x +2 x − 2 x2 − 4 i. j. ( ) 1 − 0, 4 x 1 + 0, 4 x = 5 1, 4 x + 0, 2 175 z 2 − 112 z 7 =3z ( ) 86 U2 MAT 3M (074-145).indd 86 2/11/11 15:28:03
  • Trabaja 1 Resuelvan en parejas los siguientes problemas. Hagan el desarrollo en su cuaderno. No olviden chequear sus respuestas en el solucionario. UNIDAD 2 a. El profesor de Lenguaje de Macarena le pidió como tarea que hiciera un poema que tuviera rima e integrara las asignaturas de Lenguaje y Matemática. A Macarena le gustaban los desafíos, así que después de un rato escribió: Un número entero soy y qué cansado estoy. Ocho veces han multiplicado mi sucesor por mi antecesor hoy y nadie entiende cómo he terminado ocho unidades menor que yo mismo, aquí donde estoy... b. A Bastián le dijo su mamá que se puede encontrar un número que al sumarle 6 y 8, se forman otros dos cuyo producto es 48. ¿Será cierto? ¿Cuál es este número? ¿A qué número se refiere Macarena en su poema? c. Evelyn tiene mucha imaginación y decidió hacer una ruleta como la de la figura, donde se deben numerar del 1 al 6 los sectores circulares, desde el rojo y en sentido antihorario. Para que sea más entretenido y plantee algún desafío para quienes juegan, pensó colocar ecuaciones que den por resultado los números deseados (obviando la solución que se repite en todas ellas). Esta es la lista de ecuaciones planteadas. ¿Puedes colocarlas correctamente en la ruleta? 2 = x −2 x −1 ( x − 2) 2 =4 x ( x − 1) = 0 ( x − 7 ) ( x + 2) + 14 = 0 4 x ( x − 2) = −2 x ( x − 14 ) x ( x + 1 ) + x ( x − 3) = x 2 d. A Octavio le gusta coleccionar monedas de $500. Él guarda siempre la misma cantidad de dinero en cada una de las bolsas que tiene destinadas para ello. Un día su mejor amigo le pregunta cuántas bolsas tiene y Octavio le responde: “Tú crees que tengo el mismo número de bolsas que de monedas en cada bolsa, pero no es así. Partiendo de tu supuesto, te diría que debes disminuir en 50 las bolsas y en 30 las monedas de cada bolsa para obtener $750000”. Ahora dime, ¿cuántas bolsas y cuántas monedas tiene Octavio? 87 U2 MAT 3M (074-145).indd 87 2/11/11 15:28:07
  • e. El hermano menor de Francisca cantaba por la casa: “Le sumo 5, le sumo 10, al doble le sumo 3, le sumo 6”. Francisca lo escuchó y pensó que era otra de las locuras de su hermano. Después de un rato y cansada de escuchar lo mismo, le preguntó qué era todo aquello. Él le dijo que existía un número que generaba otros cuatro si hacías lo que él cantaba, donde estos últimos formaban una proporción colocándolos en el mismo orden cantado. Miró a su hermana y le preguntó: ¿Cuál es? Responde tú también la pregunta. Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0, con a, b y c números reales y a ≠ 0, donde el trinomio es fácilmente factorizable En este caso, hay términos de grado dos, uno y cero (o término libre) y, además, el trinomio ax2 + bx + c se puede factorizar. Aplicaremos el mismo razonamiento que para el caso anterior. 1. x 2 + 7 x + 12 = 0 ( x + 3) ( x + 4 ) = 0 Veamos: (Factorizamos) (Recuerda, buscabas dos números que multiplicados dieran 12 y sumados, 7. Separamos el producto en dos factores iguales a 0) x +3=0 o x + 4 =0 2. (Resolvemos cada una de las ecuaciones) x = −3 o x = −4 ( x + 6) ( x − 6) − 8 = 1 − 4 x x 2 − 36 − 8 = 1 − 4 x x 2 − 44 = 1 − 4 x x 2 + 4 x − 45 = 0 ( x + 9 ) ( x − 5) = 0 3. x + 9 = 0 o x −5 = 0 x = −9 o x = 5 son las soluciones. / −1 + 4 x (¿Qué hacemos? Desarrollamos; resuelve como suma por diferencia) (¿Se podrá factorizar? Sí. Recuerda que debes encontrar dos números que multiplicados den –45 y sumados, 4) x +3 2 x x −2 − = + / m.c.m. 12 ( x − 4 ) 3 x −4 6 4 ¿Estás de acuerdo que amplificar es lo que debemos hacer? son las soluciones. 4 ( x + 3) ( x − 4 ) − 24 = 2 x ( x − 4 ) + 3 ( x − 2) ( x − 4 ) 4 x 2 − x − 12 − 24 = 2 x 2 − 8 x + 3 x 2 − 6 x + 8 4 x − 4 x − 48 − 24 = 2 x − 8 x + 3 x − 18 x + 24 ( 88 U2 MAT 3M (074-145).indd 88 2 ) 2 4 x 2 − 4 x − 72 = 5 x 2 − 26 x + 24 − x 2 + 22 x − 96 = 0 ( 2 ) / −5 x 2 + 26 x − 24 /⋅−1 2/11/11 15:28:10
  • x 2 − 22 x + 96 = 0 ( x − 16 ) ( x − 6 ) = 0 x − 16 = 0 o x − 6 = 0 x = 16 o x = 6 (Es más fácil factorizar si el coeficiente numérico de x2 es positivo) (Factorizamos) (¿Cuál debe ser el producto y cuál la suma de los números que buscas para factorizar?) Si nos fijamos en los denominadores, x – 4 solo se hará 0 (cero) si x = 4; por lo tanto, las soluciones de la ecuación son: x = 16 o x = 6 4. 9 − ( x − 6 ) = x − 1 / m.c.m. 2 2 2 2 9 − ( x − 6) = 2 x − 2 2 9 − x 2 − 12 x + 36 = 2 x − 2 9 − x 2 + 12 x − 36 = 2 x − 2 ( ) − x 2 + 12 x − 27 = 2 x − 2 − x + 10 x − 25 = 0 2 x 2 − 10 x + 25 = 0 ( x − 5) ( x − 5) = 0 /m.c.m. 2 (Recuerda mantener el signo – delante del paréntesis porque después debes cambiar signos) UNIDAD 2 / −2 x + 2 /⋅−1 (Factorizamos, ¿para qué?) x −5 = 0 o x −5 = 0 x =5 o x =5 En este caso, ambas soluciones son iguales; por lo tanto, decimos que la ecuación solo tiene una solución, que es x = 5 5. La mamá de Humberto está postulando a un trabajo en una empresa importadora. En la entrevista, el dueño le pide que resuelva un problema sencillo de cálculo: Para poder ganar un tanto por ciento igual al precio de compra de cada reloj, ¿cuál es el precio de importación si deben vender los relojes de pared a USD 75 cada uno? La mamá de Humberto, que sabía mucho, tomó papel y lápiz y escribió: x Sea x el precio de importación ⇒ x % = 100 x ⇒ ⋅ x es el porcentaje de ganancia (es el x % de x). 100 Además, el precio de venta debe ser igual al precio de importación más las ganancias; entonces podemos escribir que: x /m.c.m. 100 75 = x + ⋅x 100 7 500 = 100 x + x 2 / −7 500 0 = x 2 + 100 x − 7 500 0 = ( x + 150) ( x − 50) x + 150 = 0 o x − 50 = 0 x = −150 o x = 50 89 U2 MAT 3M (074-145).indd 89 2/11/11 15:28:14
  • Como x representa el precio de un reloj, no puede ser negativo; por lo tanto, solo es solución x = 50. Entonces, cada reloj costó USD 50. El dueño quedó muy satisfecho con la mamá de Humberto y ella consiguió su trabajo. Observa que en este caso puedes tener dos soluciones reales y distintas o dos soluciones reales e iguales. Trabaja Aplica lo aprendido. 3 En tu cuaderno, desarrolla cada ejercicio, sin olvidar comprobar tus respuestas en el solucionario. 2 a. x − 14 x + 45 = 0 b. 4 x 2 − 4 x + 1 = 0 c. 2 x 2 + 7 x − 4 = 0 d. 4 y 2 + 1 = 9 + 4 y e. 2 x + 11 x − 5 + =5 x 3 2 3 x 2 + 9 + 4 x ( x − 4) + x f. 3 x − 8 x + 15 = 2 5 g. x − 3 x ( h. x+ i. 1 = j. 4 x x +1 ( )( x + =5 ) 3 x = 18 ) 7+ x 2x+ 1 =1 8x 90 U2 MAT 3M (074-145).indd 90 2/11/11 15:28:17
  • Trabaja a. “Mira –le dijo Lucía a Reinaldo–, aquí tengo 4 ecuaciones cuadráticas que, de a pares, poseen las mismas soluciones”. ¿Puedes encontrar los dos pares y decir cuáles son sus soluciones? 2 Desarrolla los siguientes problemas con tu grupo. Revisen las respuestas encontradas. UNIDAD 2 A : x 2 − 8 x + 15 = 0 A: B: x ( x + 3) = −5 ( 4 + x ) + 5 C: x ( x − 5) = 3 (7 + x ) − 36 D: D: x 2 + 8 x + 15 = 0 b. A Jasmín se le ha presentado el siguiente problema: debe dibujar dos triángulos semejantes, como muestra la figura adjunta. ¿Cuál debe ser el valor de x? D ( x + 2) cm 6 cm E 6 cm C AB // EC ( x − 3) cm B A c. Cristián debe hacer un diseño para el marco de uno de sus cuadros. Él quiere que tenga forma trapezoidal, de manera que la base mayor y la menor tengan 5 dm más y 2 dm menos, respectivamente, que su altura. Para ello, realizó algunos cálculos y determinó que el área de la tela que debe colocar en el marco debe ser de 76 dm2. ¿Cuáles serán las medidas de las bases y la altura del marco? d. La profesora del curso de Carolina ha decidido hacer un concurso de conocimientos. La última pregunta del concurso decía que ganaría quien diera correctamente, en el menor tiempo posible, la solución de las ecuaciones A: x ( x − 7 ) = 18 y B: ( 2 x + 1) − 3 ( x + 5) = x 2 − 15 x − 51 . Carola, que fue la ganadora, respondió correctamente y se demoró 1 minuto y 35 segundos. ¿Puedes tú superar a Carola? e. El señor Montero, dueño de una plantación de almendras, plantó 324 árboles en una parte de su terreno. Por razones de producción del resto de su fundo, necesita mover estos árboles, de manera que ocupen un terreno rectangular, donde el número de árboles colocados en cada fila supere en 15 unidades al número de árboles puestos en cada columna. ¿Cuántos árboles debe colocar en cada una de las filas y en cada una de las columnas? 91 U2 MAT 3M (074-145).indd 91 2/11/11 15:28:20
  • $+ 7 < ¡ ? >% 2 = Método de completación de cuadrado Para saber más Para resolver ecuaciones cuadráticas, los matemáticos usaban también un método llamado completación de cuadrado. Te lo queremos mostrar en este link. Míralo. Deberás tener en cuenta, eso sí, que como es un método geométrico, se aceptarán solo valores o soluciones positivas. http://www.rena.edu.ve/Terce raEtapa/Matematica/TEMA26/ ecuacionesCuadraticas.html Podemos estudiar ahora otro método para resolver ecuaciones cuadráticas, llamado método de completación de cuadrado. Esto es, transformaremos el trinomio dado en una expresión que contenga un cuadrado de binomio. Con esto conseguiremos una ecuación que se puede reducir a dos ecuaciones lineales. Por ejemplo: 1. x 2 − 2 x − 1 = 0 2 Analicemos los términos x − 2 x . Si estos fueran los dos primeros términos del desarrollo de un cuadrado de binomio del tipo 2 ( x − ) , entonces se tendría que: Por una parte, ( x − ) = x − 2 ⋅ x ⋅ 2 2 2 y, por otra, x2 – 2x debería ser igual a x 2 − 2 ⋅ x ⋅ , con lo que = 1 , necesariamente. 2 Entonces, ( x − 1) = x 2 − 2 x + 1. Para que esta expresión sea igual a la inicial, se debe escribir que: + x 2 − 2 x + 1 = x 2 − 2 x + 1 − 2 = ( x − 1) − 2 2 x2 − 2 x − 1 = 0 2 ⇒ (x − 1) − 2 = 0 Volviendo a nuestra ecuación, ⇒ (x − 1) = 2 / 2 x −1 = 2 o x −1 = − 2 (Extraemos raíz cuadrada) De aquí, x = 2 + 1 o x = − 2 + 1 2. −3 x 2 + x + 2 = 0 ⇒ −3 x 2 + x + 2 = 0 ⇒ 9 x2 − 3 x − 6 = 0 ⇒ 3x− ( 2 ) /⋅−3 = 9 x 2 − 2⋅3 x ⋅ + (Completemos cuadrado) 2 ⇒ 2⋅3 x ⋅ 1 1 Pero,  3 x −  = 9 x 2 − 3 x + , entonces,  2 4  2 (Para que el primer término sea un cuadrado perfecto) =3 x ⇒ 1 1 1  25  ⇒ 9 x −3 x − 6 = 9 x −3 x + − − 6 = 3 x −  − 4 4 2 4  2 2 2 = 1 2 92 U2 MAT 3M (074-145).indd 92 2/11/11 15:28:25
  • ⇒ 9 x 2 − 3x − 6 = 0 Volviendo a la ecuación original: 1  25  ⇒  3x −  − =0 2 4  2 2 1 5 1 5 ⇒ 3x − = o 3x − = − 2 2 2 2 2 ⇒ x =1 o x = − 3 / UNIDAD 2 1  25  ⇒  3x −  = 2 4  Aunque este método es muy útil, no es siempre tan directo o tan fácil de utilizar, por lo que los matemáticos pensaron en tener una regla que sirviera para todas las ecuaciones cuadráticas, y en especial, para aquellas que fueran trinomios no factorizables fácilmente. Trabaja 4 Resuelve los siguientes ejercicios por el método de completación de cuadrado. Compara tus a. x 2 + 32 x − 144 = 0 e. 5 x 2 + 2 x + 5 = 0 desarrollos y resultados con tu grupo y luego verifiquen sus respuestas en el libro. b. x 2 − 6 x − 1 = 0 c. 2 x 2 − 9 x − 5 = 0 d. x 2 − 7 x = −1 f. ( 2 x + 1) (3 x − 4 ) − x ( 2 x + 3) = 1 g. x + 21 2 x − 5 − =3 x x +2 5 Resuelve los siguientes problemas. Para ello, desarrolla las ecuaciones cuadráticas planteadas por el método de completación de cuadrado. a. Josefina debe construir una maceta de base rectangular para su invernadero, de modo que el largo de la base tenga 30 cm más que su ancho, y su altura sea de 20 cm. Además, la maceta debe poder contener 360 dm3 de tierra. ¿Cuáles deben ser las medidas de la maceta? b. Alipio está decidido a resolver el problema que le planteó su mejor amigo como desafío. Él debe encontrar un número x tal que el producto de otros dos números, uno 3 unidades mayor que x y otro 8 unidades menor que x, sea 390. Ayuda a Alipio a encontrar el número x. 93 U2 MAT 3M (074-145).indd 93 2/11/11 15:28:28
  • Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, donde el trinomio no es fácilmente factorizable y a, b, c pertenecen a los reales En este caso, analizaremos la ecuación ax 2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0, de manera general, y deduciremos una fórmula para encontrar sus soluciones. Esta fórmula puede ser usada en todos los casos, pero anteriormente quisimos mostrarte que podías solucionar el problema de manera fácil, sin necesidad de conocimientos nuevos y solo con las herramientas matemáticas que ya tienes. Veamos qué hicieron los matemáticos hace años. Si miramos ax 2 + bx + c = 0 , solo podríamos transformar esto en dos ecuaciones lineales (como en el caso estudiado donde factorizábamos) siempre y cuando pudiéramos transformar ax2 + bx + c en un cuadrado de binomio para luego extraer raíz cuadrada. Analiza pausadamente los siguientes pasos: /⋅a ax 2 + bx + c = 0 / − ac a2 x 2 + abx + ac = 0 a2 x 2 + abx = −ac (Haremos que el primer término sea un cuadrado perfecto) (Formaremos el cuadrado) Si abx es el término central del desarrollo del binomio, entonces debería b ser el resultado de 2 ⋅ ax ⋅ , con lo que el término que nos falta para 2 b completar nuestro cuadrado de binomio es el cuadrado de . Sumemos, 2 2 b entonces, a ambos lados, . 4 a2 x 2 + abx + 2 b2 b2 = −ac + 4 4 b  b2   ax + 2  = 4 − ac   b b2 ax + = − ac 2 4 ⇒ ax = o / b b2 ax + = − − ac 2 4 (Despejando ax y sumando dentro de la raíz) −b b2 − 4 ac o −b b2 − 4 ac descomponiendo la raíz) + ax = − 2 4 2 4 −b + b2 − 4 ac o −b − b2 − 4 ac ⇒x= x= 2a 2a ⇒x= (Escribimos el lado izquierdo como cuadrado de binomio) (Dividiendo por a y (Juntando ambas) −b ± b2 − 4 ac 2a 94 U2 MAT 3M (074-145).indd 94 2/11/11 15:28:30
  • entonces su solución está dada por la fórmula −b ± b2 − 4ac x= . Esta fórmula es conocida como fórmula 2a general para resolver cualquier ecuación cuadrática. Veamos ahora cómo se aplica. Ejemplo: 1. 21x 2 − 8 x − 5 = 0 ⇒ a = 21 ⇒ b = −8 ⇒ c = −5 x= x= (Nota que para aplicar la fórmula, uno de los miembros de la ecuación debe ser 0) (Coeficiente numérico de x2) (Coeficiente numérico de x) −b ± b2 − 4 ac ⇒x= 2a − ( −8 ) ± UNIDAD 2 Si ax 2 + bx + c = 0 (con aπ0) es una ecuación cuadrática, ( −8 ) 2 2 ⋅ 21 8 ± 64 + 420 42 − 4 ⋅ 21 ⋅ −5 (Término libre) (Remplazando los valores de a, b y c) 8 ± 484 8 ± 22 = 42 42 Por lo tanto, tenemos dos soluciones: 8 − 22 −14 −1 8 + 22 30 5 o x= = = x= = = 42 42 3 42 42 7 x= Así, las soluciones de la ecuación son: x = 5 1 o x=− 7 3 2. ¿Te acuerdas del problema de Daniel, Paulina y Celeste y su fiesta de graduación? Daniel llamó x a la cantidad de personas que van a la fiesta e y al costo de la cena por cada uno; entonces anotó que: x ⋅ y = 1197 000. Ahora bien, como les rebajaron $1 000 y podían ir 12 personas más, anotó también que: ( x + 12) ⋅ ( y − 1 000) = 1197 000 Después de despejar y de la primera ecuación y remplazarla en la segunda, se obtuvo que: −1 000 x 2 + 14 364 000 − 12000 x = 0 / ⋅ − 1 1 000 x 2 + 12000 x − 14 364 000 = 0 / : 1 000 x 2 + 12 x − 14 364 = 0 / a = 1, b = 12, c = −14 364 U2 MAT 3M (074-145).indd 95 95 2/11/11 15:28:33
  • Aunque podríamos tratar de factorizar esta ecuación, es decir, buscar dos números que multiplicados den –14364 y sumados, 12, parece un poco complicado, ¿no es cierto? Entonces, el mejor método es utilizar la fórmula que acabas de aprender. x= x= −b ± b2 − 4 ac 2a −12 ± 122 − 4 ⋅ 1 ⋅ −14 364 2⋅1 −12 ± 144 + 57 456 −12 ± 57 600 −12 ± 240 = = 2⋅1 2 2 −12 + 240 228 −12 − 240 −252 x= = = 114 o x = = = −126 2 2 2 2 Pero como x representa el número de personas, entonces la solución –126 no tiene sentido en este contexto; por lo tanto, solo será solución x = 114. x= Ahora bien, como tenían que x ⋅ y = 1197 000 ⇒ 114 ⋅ y = 1197 000 / : 114 ⇒ y = 10500 Por lo tanto, si el presupuesto inicial era para 114 personas y cada una de ellas debía pagar $10500, con la oferta final del señor Lucas Montecinos podrán ir 126 personas (12 más que las anteriores) porque les rebajará $1 000 a cada una, y el costo final será $9 500 c/u. La siguiente es una ecuación irracional que contiene una raíz en el denominador. Desarrollémosla de manera similar a las ecuaciones fraccionarias, es decir, amplifiquemos por el m.c.m. ¿Te parece? 3. ( 8 x + 5 − 5 x − 15 = x +5 − 2 ) x +5 / m.c.m. x + 5 (5 x − 15) ( x + 5) = 8 x + 5 − 5 x 2 + 25 x − 15 x − 75 = 8 / −x − 5 5 x 2 + 10 x − 75 = 9 − 6 x + x 2 / −x2 + 6 x − 9 − 5 x 2 + 10 x − 75 = 3 − x (− 5 x 2 + 10 x − 75 4 x 2 + 16 x − 84 = 0 x 2 + 4 x − 21 = 0 ) = (3 − x ) 2 2 /( 2 ) /:4 En esta ocasión puedes elegir factorizar o usar la fórmula general. Para que no tengas ninguna duda de cómo usarla, apliquémosla: 96 U2 MAT 3M (074-145).indd 96 2/11/11 15:28:36
  • −b ± b2 − 4 ac 2a / a = 1, b = 4, c = −21 −4 ± 42 − 4 ⋅ 1 ⋅ −21 −4 ± 16 + 84 −4 ± 100 −4 ± 10 = = = 2⋅1 2 2 2 −4 − 10 −14 −4 + 10 6 = = −7 ⇒x= = =3 o x = 2 2 2 2 8 Comprobando: Si x = 3 ⇒ 3 + 5 − 5 ⋅ 3 − 15 = 3+5 8 ⇒ 8− 0= 8 ⇒x= ⇒ 8= 8 8 8 ⇒ 8 = 8 ; por lo tanto, x = 3 es solución. Si x = −7 ⇒ −7 + 5 − 5 ⋅ −7 − 15 = 8 , con lo que se tienen −7 + 5 raíces con cantidades subradicales negativas, que no son números reales; por lo tanto, x = −7 no es solución. Entonces, la única solución de la ecuación es x = 3. 4. Rayén estudia en la Escuela Militar y tendrá que ayudar en la preparación del desfile previo a la Parada Militar. Debe ordenar a su grupo y su teniente le ha presentado el siguiente problema: “Tenemos 180 cadetes y debemos ordenarlos de manera tal que el número de filas sea 8 unidades menos que el número de cadetes en cada fila. ¿Cuántos cadetes deberán formar cada fila y cuántas filas tendremos en nuestra unidad?” Rayén pensó e hizo los siguientes cálculos: sea x el número de cadetes en cada fila y x – 8 el número de filas. Por lo tanto: x ( x − 8 ) = 180 x − 8 x = 180 2 x − 8 x − 180 = 0 2 ⇒x= x= −b ± b − 4 ac 2a 8± ( −8 ) 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ −180 2⋅1 / −180 / a = 1, b = −8, c = −180 8 ± 64 + 720 8 ± 784 8 ± 28 = = = 2⋅1 2 2 8 + 28 36 8 − 28 −20 x= = = 18 o x = = = −10 2 2 2 2 Como x representa el número de soldados, no puede ser –10; por lo tanto, la solución es x = 18. Entonces, deberán formarse en 10 filas de 18 cadetes cada una. UNIDAD 2 ⇒x= Toma nota Si las soluciones o raíces de una ecuación cuadrática se calculan por la fórmula −b ± b2 − 4 ac , entonces, que ⇒x= 2a una ecuación tenga dos soluciones reales o una solución real, o no tenga soluciones reales, dependerá de la cantidad subradical de la raíz, a la que se le llama discriminante y se representa por ∆. Así, ∆ = b2 − 4ac y tendremos que si ∆ > 0 ⇒ la ecuación cuadrática tendrá dos soluciones reales y distintas. ∆ = 0 ⇒ la ecuación cuadrática tendrá solo una solución real (o dos soluciones reales e iguales). ∆ < 0 ⇒ la ecuación cuadrática no tendrá soluciones reales (pues la cantidad subradical será negativa). 97 U2 MAT 3M (074-145).indd 97 2/11/11 15:28:39
  • Trabaja Aplica lo aprendido. 7 1 b. x 2 − x + = 0 6 3 f. x +5 2 x −3 x −3 + = x x x −2 9 x +4 = 4− x x +2 i. 5 x +6 − x +7 =1 a. 3 x 2 + 35 x − 12 = 0 6 Desarrolla cada ejercicio en tu cuaderno. No olvides chequear tus respuestas en el solucionario. c. 9 x 2 − 12 x + 29 = 0 d. ( 2 + y ) = 100 − y 2 2 e. g. 1 − 2 = 8 x2 x h. x + 3 − x = 2 + x − 2 3 6 x −4 4 j. 2 2 x + 1 = x + 5 + 4 x − 7 a. Al dividir 961 por un cierto número resulta este mismo número. ¿Cuál es el número? b. Dividiendo 229 por y, se obtiene y como cociente y resto igual a cuatro. ¿Cuál es el valor de y? 7 Desarrolla cada ejercicio y da respuesta a la pregunta planteada. 8 La medida de superficie de un triángulo equilátero de lado a es 192 m2. ¿Cuál es el valor de su perímetro? Trabaja Resuelve junto con tus compañeros y compañeras los siguientes problemas de ecuaciones cuadráticas. No olviden que definir bien la incógnita es de gran ayuda. Hagan el desarrollo en su cuaderno. 3 Mi abuelo me dijo que existe una relación entre la velocidad de escape en la Luna, en km/s, y su fuerza de gravedad, en m/s2. Según lo que he averiguado en esta revista astronómica, esto es: (velocidad mínima de un cuerpo para despegar hacia el espacio, sin orbitar el planeta, desde el suelo) velocidad de escape en la Luna = 2⋅ fuerza de gravedad en la Luna ⋅ radio lunar . Como la velocidad de escape en la Luna es, numéricamente 1,46 veces su gravedad y el radio lunar es aproximadamente 1734 km, entonces... hagamos los cálculos, y estimemos la fuerza de gravedad lunar en m/s2 y su velocidad de escape en km/s. Usa tu calculadora y aproxima tus resultados a la centésima. tendría 1 cm menos de radio del que necesitamos. Y entiendo, además, que lo que ustedes cobran por hacerla está detallado en el diseño siguiente”. 4 “Necesito calcular el volumen de la cajita cilíndrica que ustedes nos ofrecen a $2223 la unidad y que 98 U2 MAT 3M (074-145).indd 98 2/11/11 15:28:41
  • ¿Puedes calcular la medida del radio de la caja ofrecida? ¿Cuál es la diferencia en el volumen con respecto a la que necesitaban? (considera π = 3 ). Detalles de costos r Base: $4 por cm2 r 10 cm 1 cm Tapa: $7 por cm2 UNIDAD 2 Lateral: $10 por cm2 5 Octavio tiene 3 varillas de metal, de 8, 15 y 16 cm, con las que está trabajando en su taller de robótica. Para hacer uno de los ensamblajes necesita construir un triángulo rectángulo cortando un cierto trozo en cada varilla, de modo que con los trozos sobrantes pueda armar un triángulo equilátero. ¿Cuánto debe cortar de cada varilla para que pueda construir ambos triángulos? 6 Matilde le pidió a su hermano que le ayudara a construir una caja muy especial para sus juguetes. Debe ser de base cuadrada, sin tapa, de alto 30 cm y que su volumen sea 588 L. Además, debe ocupar un cartón cuadrado. El hermano de Matilde pensó por un buen rato y después de hacer algunos cálculos, le dio las medidas precisas para que consiguiera el cartón. ¿Cuáles eran estas medidas? un trabajo que, juntos, debieran terminar en 6 semanas. Sin embargo, deciden hacerlo por separado. Sabiendo que siempre uno de ellos se demora 5 semanas más que el otro en terminar los trabajos, ¿cuánto se demorará cada uno trabajando por separado? ¿Qué les dirías para que se convencieran de que el trabajo en equipo es una buena alternativa? 7 Don Alfonso, dueño de una fábrica de muebles, les encarga a dos operarios son la vista superior de dos cilindros de altura 30 cm, donde uno está dentro del otro, tal como se muestra en la figura. Su profesor de taller le indica que el espacio que queda entre ambos se puede llenar con 1 440 cm3 de agua. Además, le señala que considere π aproximado a 3 y que uno de los radios era las tres cuartas partes del otro. Nekul hizo los cálculos de cada radio y pudo dibujar tranquilamente lo que se le solicitaba. 8 Nekul requiere dibujar en una cartulina dos circunferencias concéntricas, que Con estas indicaciones, encuentra el valor de ambos radios. 9 “¿Así que ustedes no le ven ninguna utilidad a 20,25 = 4 + x ?”, nos pregunta un matemático. Nos miramos unos a otros, un poco avergonzados por nuestra falta de imaginación. Entonces nos propone resolver la ecuación y pensar en lo que ella nos dice: “remplacen y verán. Un matemático no deja de mirar de muchas formas una simple ecuación”. Ahora tú determina: a. el valor de x. b. el valor de 20,25 usando el valor obtenido en (a). U2 MAT 3M (074-145).indd 99 99 2/11/11 15:28:44
  • • Una ecuación cuadrática es de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a, b y c son reales y a ≠ 0. • Al resolverla se buscan los valores de x que hacen que la igualdad se satisfaga. Sintetizando −b ± b2 − 4ac . Sin embargo, hay ocasiones en que se 2a pueden resolver por factorización o extrayendo raíces. • La fórmula general para resolverla es x = • Las ecuaciones cuadráticas pueden tener una, dos o ninguna solución (dependiendo del valor de b2 − 4ac ). • Las ecuaciones irracionales y fraccionarias que se reducen a ecuaciones cuadráticas deben ser siempre comprobadas. Revisemos lo aprendido Marca el casillero correspondiente según la evaluación hecha de tu proceso de aprendizaje. MB: Muy bien (7,0 - 6,0) B: Bien (5,9 - 5,0) S: Suficiente (4,9 - 4,0) I: Insuficiente (3,9 - 1,0) Indicador MB Soy capaz de reconocer una ecuación cuadrática. Entendí los ejemplos resueltos y los diferentes tipos de ecuaciones cuadráticas. Sé cómo resolver una ecuación cuadrática. Entendí en qué tipo de problemas cotidianos se utilizan las ecuaciones cuadráticas. Entendí cómo se plantearon los ejercicios resueltos en la resolución de problemas. Fui capaz de resolver correctamente los ejercicios propuestos en esta sección. Fui capaz de resolver correctamente los problemas de planteo propuestos en esta sección. Colaboré con el trabajo de mi grupo cuando fue preciso. B S I Si marcaste 4 o más indicadores en las columnas (S) o (I), debes volver a repasar los contenidos y pedir ayuda si es necesario. Recuerda que debes tener claro los conceptos para poder resolver los ejercicios. Para esto es de mucha ayuda recordar la información de los recuadros de síntesis. 100 U2 MAT 3M (074-145).indd 100 2/11/11 15:28:44
  • Trabaja más... Trabaja en forma individual 2 a. 5 x + 49 = 0 1 Resuelve las siguientes ecuaciones: b. ( 2 x − 11) = 20 (5 − 2 x ) + 4 (5 − x ) + 9 2 c. 2 1 − 0, 75 x 2 = 31 cuadrado da 676? 2 ¿Cuál es el número natural que elevado al 2 120 cm2. ¿Cuánto mide su lado? 3 La tercera parte del área de un cuadrado vale 4 Determina el valor de la incógnita en cada uno de los siguientes casos: a. Z 5u 125 u L1 // L2 // L3 b. Z L1 L2 L3 36 cm X 39 cm R d. Los triángulos de la figura son semejantes. y 60° 18 mm y 6 “Así es, inspector, me di cuenta cuando el ladronzuelo iba corriendo y atravesando en diagonal la parcela vecina. Vi que se llevaba mis joyas y otras pertenencias más, y se perdió en el otro extremo”. Si todas las parcelas de acá son de 5 000 m2 y rectangulares, con un frente de 40 m, ¿cuántos metros debió atravesar en diagonal este ladronzuelo? Usa calculadora si es necesario. Expresa tu respuesta aproximando a la centésima. 7 Juan Carlos encontró que algunos utensilios arqueológicos cilíndricos tenían la particularidad de que el radio era la raíz cuadrada de la altura. “Este instrumento –dijo– tiene un volumen aproximado de 1 200 cm3. Si aproximo π a 3, tendría que la altura y su diámetro debieran ser...”. Entonces interrumpieron su trabajo. De acuerdo a la información dada, ¿qué valores aproximados tienen el radio y la altura? contestó que cobra $2 250 por metro cuadrado de pintura. Le conté que tenías que pintar tres conos iguales de 1 m de diámetro por una altura que no me acordé en ese momento, y que los necesitas lo antes posible para tu exposición de arte. Él parece que se acordaba de la altura de los conos, pues me dijo que según sus cálculos (con π = 3), en total, por los tres cobraría $56700. Luego de un rato de calcular, yo también pude saber la altura”. ¿Puedes tú también calcular la medida de la altura de los conos? Expresa la respuesta con aproximación a la centésima (puedes usar calculadora). 8 “Aló, hija, hablé con el maestro Lucho y me c. El área de la circunferencia es 15,7 mm2 75, 1 (π = 3,14). 60° número pedido. Sé que a partir de él debo formar otros 2 de la siguiente manera: sumando tres y quitando 3, de tal modo que el producto de los números formados sea 2695. ¿Puedes decirme cuál es el número que ando buscando?” UNIDAD 2 5 “Cayó la noche y aún no puedo encontrar el 32 mm 9 Resuelve los siguientes ejercicios en tu a. 5 x 2 = 7 x cuaderno, incluyendo todo el desarrollo: b. 4 ( x + 1) = ( x − 3) − 5 2 101 U2 MAT 3M (074-145).indd 101 2/11/11 15:28:47
  • c. ( 2 x + 3) (3 x − 7 ) − ( 8 x + 1) ( 2 x − 1) = ( x − 5) ( x + 4 ) − 7 ) − ( 8 x + 1 ) ( 2 x − 1 ) = ( x − 5) ( x + 4 ) d. 3 ( x + 1) ( 2 x − 5) − (5 x + 3) ( 2 x − 1) = 4 ( x − 3) x − 3) ( x + 2) e. 9 x + ( = −2 5 3 2 a a  a 3 a  18 =  + 1 + f.  −  +  2 5  50 10  2  50 2 3 x2 − 5 11 x − 4 9 g. 2 = + x − 1 ( x − 1) ( x + 1) 1 − x 2 h. 4 x + 1 ( ) = 26 x +3 ( ) x +3 i. 3 2 = 9x2 −1 22 x +5 j. k. l. Con los datos de la figura adjunta, calcula la medida de los lados del rectángulo si se sabe que su área es igual a 8 cm2. 3x – 8 cm 10 Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. Revisa luego tus respuestas. 2 c. ( 4 x − 1) + 12 x = 15 x + 3 x − 329 ( 2 d. (3 x + 1) − ( 2 x − 3) = 0 e. 2 − x ( x + 2) 2 x ( 2 x + 3) 3 = U2 MAT 3M (074-145).indd 102 −7 x 6 ) : 25 2 x −5 ( ) x 1 =  5 51+5 x 2 k. 1 + 2 x + 5 = 3 x − 2 3 5 + x ⋅ 3 x + 25 = 5 3 x −7 x+ 2 − x− 2 =0 3 x −7 c. 13 z 2 + 0, 25 − 12 z = 0 ( ) la ecuación (3 x − 1) − 121 = 0? 2 12 ¿Cuál es el menor de los números que satisface 13 Resuelve los siguientes ejercicios y responde las preguntas planteadas. a. Al multiplicar un número natural par por su sucesor par, se obtiene 168. ¿Cuáles son estos números? b. La fracción 158 equivale a tomar el número 2m cuatro, también dividirlo por 2 m, y luego aumentarlo en 2 m − 3 unidades. 14 Aumentar en 27 el séxtuplo de un número es ¿Cuánto vale m? Escribe la fracción aludida. lo mismo que sumar su cuadrado cinco veces. ¿Cuál es ese número? 15 En cm, los lados de un rectángulo miden (11 y − 1) y ( y + 1), respectivamente. Si su área es de 20 cm2. ¿Cuánto vale su diagonal? 63 dm2. La altura 8 está dada por 3a y la base por ( 2 a + 5, 5). 16 El área de un triángulo es (3 x + 1 ) ( x + 2) = x 2 + x + 1 + 4 8 2 x +1 2 3 x +5 g. + = x x + 1 x2 + x f. 102 ( x + 1) 2 2 x −3 =8 x2 −7 3 a. 7 y 2 + 14 y = −30 x + 1 ⋅ 2 x + 4 = 4 x − 3 x2 + 4 2 ( ) x +5 14 − x + 8 = x j. b. 4x – 1 cm ⋅ 4 x 11 Resuelve las siguientes ecuaciones: 2 + 3 + x2 + 8 x + 1 = 2 b. 3 x ( x + 2) − 4 x ( x + 6 ) = 77 i. 125 l. x +1 a. 6 x + 3 = −11 x h. 2 x +3 2 Determina el valor de a y las medidas de la altura y la base. 2/11/11 15:28:57
  • a. 7xu 30 u (2 x + 1) u L M Trabaja en grupo 1 En el acto de inicio de temporada a la recién L // M // N remozada piscina municipal, el alcalde en su discurso destacó las ventajas de la colocación de un grifo adicional al que había. Para llenarla con ambos a la vez, tan solo transcurren siete horas y media. La ventaja frente al anterior es que este la podría llenar completamente y por sí solo, en ocho horas menos que el grifo más viejo. En el nuevo recambio de agua, el proceso de llenado de la piscina comenzó a la una de la madrugada, pero no se pudo utilizar el grifo antiguo pues sufrió un desperfecto. ¿A qué hora debiera estar completamente llena si solo se utilizó el grifo nuevo? (13 − x ) u b. ( x − 9) u 6, 6 u 5u N ( x − 1) u UNIDAD 2 17 Determina el valor de x en cada caso: 2 “Nos encontramos en la parte final de nuestro c. 5 cm d. x cm 16 cm (x − 1) cm 6 cm 8 cm 2x cm 2 18 Para la ecuación ax + bx − 7 = 0 se tiene que a = k + 1 y b = 2k , donde k es un número por determinar. Se sabe además que b2 − 4 a ( −7 ) = 10. Determina: a. los valores de k y los de a y b. b. las dos ecuaciones resultantes de la forma ax 2 + bx − 7 = 0. c. la solución de la ecuación formada con los menores valores de a y b. programa Alcanzando una gira de estudio para mi curso, transmitido por RACH-TV. Atención, estudiantes, se viene el desafío matemático: Cada uno de los cinco participantes tiene un paquete con un kilo de harina y dos bolsitas más pequeñas completamente desocupadas. El desafío consiste en llenarlas, usando la harina del paquete, de tal modo que la razón entre las cantidades de la bolsita que quede más pesada (x) y la otra sea igual a la razón entre el kilo original aumentado en 50 g y la bolsita más pesada, a la cual se le ha extraído un cuarto de kilo de harina. ¿Cuántos gramos debe haber en cada bolsa?” 3 Anacleto y Gumersindo, oriundos de Colchagua y amigos desde la infancia, se rencuentran después de muchos años en el campo de Anacleto y sostienen la siguiente conversación: –¡Bienvenidos, compadres, a mis 253 m² de terrenito! Comadre Lola, compadrito Gumersindo, ¿cómo han llegado? –Anacleto Espinoso, ¡quién pudiera imaginar que del terrenito de antes ahora tenga este tremendo potrero...! –Lo único que hice fue comprar 3 m a lo largo y 1 m a lo ancho, y agregárselo al terreno anterior. –Según recuerdo, compadrito, el largo del terrenito anterior era el doble de su ancho. ¿Estoy en lo cierto? –¡Así es! ¿Puedes encontrar las medidas del terreno antiguo de Anacleto? 103 U2 MAT 3M (074-145).indd 103 2/11/11 15:29:01
  • Después, al repartir la torta, añadió: “Al triple de mi edad le restas 131, lo multiplicas con lo que te guardaste y obtendrás 50. ¿Entiendes, linda? C I N C U E N T A, SIN CUENTA”. Todas explotaron en carcajadas... Me levanté y me fui. ¿No sé dónde estuvo mi error? Ella parece de 42 años, pero sé que tiene más... 4 María Gracia y Raymundo estudian química y hoy han aprendido de algunas leyes sobre gases. La ley de Boyle – Mariotte relaciona la presión con el volumen de un gas cuando la temperatura es constante, y dice que la presión inicial multiplicada por el volumen inicial es igual al producto de la presión final por el volumen final. Ellos están preparando su próximo experimento, pero deben hacer algunos cálculos teóricos que después probarán experimentalmente. Para ello, supondrán que toman x litros de un gas y lo someten a una presión igual a 150x mm Hg. Luego, el gas disminuirá en 1 litro, entonces la presión debería llegar a 800 mm Hg. Ahora deben calcular el valor de x para realizar el experimento. ¿Cuál es este valor? ¿Qué debiera ocurrir con el volumen si la presión disminuye? ¿Puedes calcular tú la edad de la tía Gertrudis? 7 Clemente revisó en Internet maneras de construir cohetes de juguete. En una de ellas encontró, además, una ecuación para calcular el tiempo (en segundos) en que ese tipo de cohete tardaría en alcanzar 30 m: −2t 2 + 4 15t = 30, pero al resolverla, no coincidió con el tiempo que allí mostraban. ¿Cuál fue el valor del tiempo que daba esta ecuación? Finalmente, comprobó que su valor para el tiempo era el correcto. ¡A jugar se ha dicho! 5 “Cuando llegó el tío Jacob con cinco galones 8 El distraído Hipólito revisó los apuntes sobre la de barniz de barco, nos explicó que los aplicaría en el frontón de nuestra casa, en el remate triangular de la fachada que reposa sobre la cornisa. Agregó: que como la altura mide 1 metro menos que la base, no le fue difícil hacer el cálculo con respecto al número de galones que usaría en el frontón, ya que para el de su casa, usó dos galones menos. ¿Y por qué menos?, le pregunté. Entonces señaló que aunque el frontón de su casa tiene 1 metro más de base, la altura es 2 metros menos que el frontón de la nuestra. Te entiendo, le dije, comparaste ambas superficies y después estableciste una proporción con el número de galones que usarías!” proporcionalidad inversa que están presentes en un viejo libro. En voz alta, repetía: “Si para realizar un determinado trabajo, 24 trabajadores se demoran dos días, 12 trabajadores lo efectuarían en el doble de tiempo, siempre y cuando se guarden las mismas condiciones. Por otro lado, 3y + 5 trabajadores tardarían 3y + 3 días”. Sin darse cuenta, se había adentrado en el mundo de las ecuaciones cuadráticas. ¿A qué valor de y se refería? ¿Cuántos eran los trabajadores y cuántos días tardarían en realizar el trabajo? 9 “–Afortunadamente, sé matemática –le ¿Puedes tú calcular cuál es el área de ambos frontones? ¿Cuánto rinde cada galón de pintura? 6 Hola, Karen: Te escribo este email porque me siento muy mal por lo ocurrido con la tía Gertrudis en la última reunión en su casa. Estábamos entre mujeres, y en el clima de confianza que había, le pregunté su edad. Se incomodó y se fue a la cocina, con la excusa de traer bebidas. Al volver, y fingiendo reír, me dijo: “Mira, preciosa, a mi edad réstale 50 y guárdatela”. Me enrojecí de vergüenza y todas se echaron a reír. contaba Raúl a su polola–, ya que gracias a eso pude contestar correctamente la última pregunta del test que me hicieron para ingresar a este nuevo trabajo”. –¿Qué pregunta era? –preguntó ella. –Decía así: Dado el cuadro siguiente, encuentra el valor de x y algunas probabilidades. Número Probabilidad 1 1x 2 2 x2 3 3x 4 4x 2 5 5x 6 6 x2 Tú también puedes hacerlo. Para ello, determina: 104 U2 MAT 3M (074-145).indd 104 2/11/11 15:29:04
  • 10 “Otra vez me pasa lo mismo. Cae la noche y aún no puedo resolver la siguiente ecuación, en la cual cada factor representa la medida de una arista en un paralelepípedo: 2 ( 2 x − 3) (5 x − 9) = 224” . ¿Qué representa esta fórmula? ¿Cuál será el valor de x?, ¿Cuáles son las medidas de las aristas? UNIDAD 2 a. la ecuación cuadrática usando la propiedad de la suma de las probabilidades (teorema de la Probabilidad Total). b. ¿la probabilidad de obtener un seis al lanzar un dado cargado. Da tu resultado aproximado a la centésima, puedes usar calculadora. Mis apuntes 105 U2 MAT 3M (074-145).indd 105 2/11/11 15:29:05
  • Función cuadrática: ¿qué es y en qué se utiliza? En esta sección aprenderás Cuáles son las funciones cuadráticas y qué tipo de problemas puedes resolver con ellas. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 6, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 • Comprender y resolver: 2, 5a, 7, 5, 6, 10 Braulio, Macarena y sus amigos planearon una tarde de viernes jugando paintball.“Te puedes sentir en un verdadero combate y las balas, por ser de pintura, no hieren cuando te topan”, fueron los argumentos de Braulio para convencer a sus amigos. Braulio lanzó su bala como se indica en el dibujo. Con estos datos, ¿qué pasó? 1 2 h ( m ) = − m2 + m + 1 9 3 Altura de la bala en función de los metros que recorre techo 3,5 m 1,6 m Trabaja más... Habilidades por actividad: • Comprender y resolver: 2, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 17, 19 • Relacionar y aplicar: 6, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 25 • Identificar y calcular: 1, 1, 2, 3, 16 ¿Qué trayectoria describe, gráficamente, la bala? ¿Es posible determinar de antemano qué pasará con ella? 1 2 La ecuación de la trayectoria es: h ( m ) = − m2 + m + 1. 9 3 La bala que lanzó Braulio describe una curva llamada parábola y el movimiento asociado a esta curva se llama movimiento parabólico. Para poder responder qué pasó con la bala, necesitamos estudiar esta curva, pero ¿qué tiene que ver esto con las ecuaciones cuadráticas que estábamos estudiando? Pues, mucho, ya verás. ¡Manos a la obra! La parábola Ya sabías que existen distintos tipos de funciones, dependiendo de la expresión algebraica que la defina. Llamaremos función cuadrática a toda función del tipo f ( x ) = ax 2 + bx + c , donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Al gráfico de esta función se le llama parábola. El paintball es un juego en el que se desarrolla el trabajo en equipo, el compañerismo, la imaginación; estimula la inteligencia, la velocidad de reacción, la coordinación y la comunicación. A a y b se les llama coeficientes numéricos de x2 y x, respectivamente. A c se le llama término libre. Comencemos analizando la función f ( x ) = x 2. Hacemos una tabla de valores para calcular algunas imágenes y preimágenes (recuerda que las preimágenes son los valores de x y las imágenes, los valores de y o f ( x )). 106 U2 MAT 3M (074-145).indd 106 2/11/11 15:29:09
  • 1 1 0 4 4 $+ 7 < ¡ ? >% 2 = y = ( −1) = 1 2 y = 02 = 0 y = 22 = 4 Para saber más y = ( −2) = 4 2 Ahora bien, podemos ubicar estos puntos en el plano cartesiano para graficar nuestra función. También podemos utilizar un programa para graficar. ¿Recuerdas que en la unidad anterior usamos el programa Graphmatica? Si nos ayudamos con él, tendremos el siguiente gráfico para esta función: y 4 3 2 1 –3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 ¿Y si graficamos f ( x ) = − x 2 ? –3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 –1 0,5 y 1 1,5 2 2,5 3 3,5 x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 La circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola son las curvas cónicas que pueden obtenerse seccionando un cono. Apolonio estudió en detalle las cónicas y les dio su nombre actual. Fue él quien mencionó que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco, propiedad usada en la óptica, y hoy, en las antenas satelitales. Los términos elipse, hipérbola y parábola los usaron por primera vez los discípulos de Pitágoras. Elipse significaba deficiencia, hipérbola significaba exceso y parábola, equiparación. En 1638 Galileo demostró que los proyectiles, en su movimiento, recorren parábolas. En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada geometría analítica. Con ella, las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones en las variables x e y. Así, la parábola quedó relacionada con su ecuación. UNIDAD 2 1 –1 0 2 –2 y = 12 = 1 y = f (x) x x –2 –3 –4 107 U2 MAT 3M (074-145).indd 107 2/11/11 15:29:10
  • ¿Cómo determinar si un punto del plano pertenece o no a una parábola? Si pensamos en la tabla de valores que hicimos anteriormente, podemos decir que para determinar si un punto pertenece a una parábola, debemos tener la función que la determina y así podremos evaluar y verificar que la igualdad se cumpla. Por ejemplo, tomemos la función y = x 2 + 3x − 5 y decidamos si los puntos (1, −1) y ( 2, 1) pertenecen a la parábola. Para el punto (1, −1) tenemos que: −1 = 12 + 3 ⋅ 1 − 5 −1 = 1 + 3 − 5 −1 = 4 − 5 −1 = −1 . Como se cumple la igualdad, entonces el punto pertenece a la parábola. Para el punto ( 2, 1) tenemos que: 1 = 22 + 3 ⋅ 2 − 5 1 = 4 + 6 −5 1 = 10 − 5 , pero 1≠5; por lo tanto, el punto no pertenece a la parábola. Volvamos a trabajar con gráficos para ver esta situación. 6 Links de interés Hay varias maneras de construir una parábola. Te damos aquí los links de los sitios donde las encontrarás. Son muy entretenidos. Prueba tú también. http://almez.pntic.mec.es/~aberho /conicas/parabolas_2.htm http://www.isftic.mepsyd.es/ w3/eos/MaterialesEducativos/ mem2006/curva_conicas/ index.html –5 –4 –3 –2 4 2 y –1 0 –2 –4 1 2 x –6 Estudiemos en profundidad las parábolas y su función asociada. Las parábolas tienen características comunes y puntos muy importantes en ellas. Mira y analiza con detención: 108 U2 MAT 3M (074-145).indd 108 2/11/11 15:29:12
  • Eje de simetría Cóncava hacia arriba o concavidad positiva 0 –2 2 4 6 x f ( x ) = x 2 − 5 x , debemos anotar, f ( x ) = x ∧ 2 − 5 x. Vértice y Eje de simetría 2 Vértice 0 –2 Cóncava hacia abajo o concavidad negativa Recuerda que cuando usas programas computacionales y algunas calculadoras científicas, la notación de potencias se escribe diferente. Así, por ejemplo, para escribir 2 4 Punto de corte con eje x 6 x Punto de corte con eje y ¿De qué depende que la parábola se abra hacia arriba o hacia abajo? Mira y compara. La parábola negra representa la función f ( x ) = − x 2. La parábola verde representa la función f ( x ) = x 2 − 5 x . La parábola azul representa la función f ( x ) = x 2 . 8 f ( x ) = x2 f ( x ) = x2 − 5 x 6 –5 –4 –3 –2 4 2 –1 0 –2 –4 f ( x ) = −x2 f ( x ) = −x2 − 5 x −x 1 2 3 4 5 Recordar y archivar El vértice de una parábola es el punto más bajo (cuando la parábola es cóncava hacia arriba) o el punto más alto (cuando la parábola es cóncava hacia abajo). En el primer caso, decimos que la parábola tiene un mínimo y en el segundo caso, que la parábola tiene un máximo. La parábola roja representa la función f ( x ) = − x 2 − 5 x . y UNIDAD 2 2 Recordar y archivar Punto de corte con eje y Punto de corte con eje x y x –6 –8 ¿Qué es lo común entre las parábolas verde y roja? ¿Qué es lo común entre las parábolas azul y café? ¿Qué es lo que cambia en las fórmulas de las funciones café y verde? ¿Qué es lo que cambia en las fórmulas de las funciones azul y roja? 109 U2 MAT 3M (074-145).indd 109 2/11/11 15:29:15
  • Por lo tanto, que la parábola sea cóncava hacia arriba (se abra hacia arriba) o cóncava hacia abajo (se abra hacia abajo) depende del valor de a (coeficiente numérico de x2). Si a > 0, entonces la parábola será cóncava hacia arriba. Si a < 0, entonces la parábola será cóncava hacia abajo. ¿Estás de acuerdo? Analicemos un poco más el coeficiente a. Observa: f ( x ) = x2 6 f ( x ) = 2 x2 f ( x ) = 3 x2 5 f ( x ) = 0, 5 x 2 4 f ( x ) = 0, 25 x 2 25 3 –6 Para entretenerse Sigue los pasos que a continuación se explican y verás qué fácil es dibujar una parábola. Utilizamos una hoja rectangular de papel mantequilla o diamante. Marcamos en ella un punto F, cerca de un lado. Doblamos el papel, de manera que un punto del lado inferior caiga sobre el punto F. Marcamos el doblez y desdoblamos. Seguimos haciendo dobleces de manera que algún punto del lado inferior caiga sobre F. Si haces suficientes dobleces, verás que aparece una parábola. F F F –5 –4 –3 –2 2 1 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 Entonces, ¿qué cambia en los gráficos de las parábolas a medida que disminuye el valor de a? Concluimos que del coeficiente a depende la apertura de las ramas de la parábola. Mientras mayor sea el valor absoluto de a, la apertura de las ramas será menor, y mientras menor sea el valor absoluto de a, la apertura de las ramas será mayor. Indiscutible ¿no? Ejemplos: 1. Determina la concavidad de la siguiente parábola: y = 2 x 2 − 4. En esta función, a = 2, b = 0, c = −4. Como a = 2 > 0, entonces la parábola será cóncava hacia arriba. 2. El papá de Millaray está leyendo un informe que encargó para la empresa en la que trabaja. En él se dice que las utilidades de las cañas de pescar que vende se calculan en función del precio de venta por unidad bajo la siguiente función: U ( p ) = p2 − 3 p + 2. Donde U representa las utilidades, en decenas de miles de pesos, y p el precio de venta en miles de pesos. Cuando el papá de Millaray trata de calcular el precio de venta que hará que la utilidad sea máxima, nota que en el informe hay un error. ¿Cuál es? 110 U2 MAT 3M (074-145).indd 110 2/11/11 15:29:18
  • Como la función U ( p ) = p2 − 3 p + 2 es una función cuadrática, tendrá un mínimo o un máximo que dependerá de si esta es cóncava hacia arriba o hacia abajo. En este caso, a = 1, por lo que la parábola es cóncava hacia arriba, lo que quiere decir que ella tiene un mínimo. Por lo tanto, el papá de Millaray no podrá calcular un máximo; entonces, el error está en la función. UNIDAD 2 Trabaja Resuelvan en pareja los siguientes ejercicios. Escriban todo el desarrollo en el cuaderno y no olviden revisar sus respuestas en el solucionario. 1 Grafiquen, usando algún programa computacional, las siguientes funciones cuadráticas. Impriman y a. f ( x ) = 6 x 2 − 3 x 2 b. y = x + 6 x + 9 peguen los gráficos en su cuaderno. a. A ( 2, 1) ; y = 2 x 2 − 6 x − 176 1  1 25  b. C  ,  ; f ( x ) = x 2 + 3 c 4 2 8  c. y = −2 x 2 + x + 3 c. E ( −1, −1) ; y = 2 Determinen si los siguientes puntos pertenecen a las parábolas dadas: x2 + 9 x + 6 2 3 Determinen la concavidad de las siguientes parábolas, es decir, si son cóncavas hacia arriba o a. y = 6 x 2 + 2 x − 1 hacia abajo. b. f ( x ) = 3 x 2 − 13 x + 20 c. y = 15 − 7 x 2 + 14 x Trabaja Resuelve los siguientes problemas: 1 Lupercio tuvo que clasificar muchas parábolas según su concavidad. Conforme a los datos dados escribe cóncava hacia arriba o hacia abajo, según corresponda. Haz un bosquejo de cada situación para ayudarte. a. Parábola cuyo vértice está en ( −2, 3) y que intersecta al eje y en ( 0, −5). b. Parábola que intersecta al eje x en ( −3, 0) y ( 0, 5; 0 ), con mínimo. c. Parábola que intersecta al eje y en ( 0, 7 ), pero su vértice no representa un mínimo. d. Parábola que pasa por ( 0, 0), (1, 3) y ( −1, 3). e. Parábola que pasa por ( 0, 0) y todos los otros puntos de ella tienen ordenadas negativas. f. Parábola con eje de simetría coincidente con el eje y, cuyo punto más alto es ( 0, 1). g. Parábola de ecuación y = − x 2 − 3x + 7. h. Parábola cuyo término cuadrático está multiplicado por un número no negativo. 2 Saqui y Quidel se instalaron a ver televisión. Se estaba iniciando un documental titulado El 2013 que nos espera. El programa trataba de la calidad de la atmósfera y la advertencia de peligro si no se toma conciencia y se adopta una conducta más ecológica en el diario vivir. Los científicos entrevistados se valían de fórmulas que explicaban muy bien sus opiniones. 111 U2 MAT 3M (074-145).indd 111 2/11/11 15:29:24
  • Saqui y Quidel estaban muy interesados en saber cómo la densidad de la atmósfera se relacionaba con la altura, pues ellos viven en un sector cordillerano. Pues bien, seguían explicando en la televisión kg que para altitudes h hasta de 10000 m, la densidad de la atmósfera terrestre D, en 3 , está dada m aproximadamente por: 2x 2 + 7 x − 4 = 0 D = 1, 225 − 1, 12 ⋅ 10−4 h + 3, 24 ⋅ 10−9 h2 Desafortunadamente, la pantalla indica “...este programa continuará la próxima semana, gracias por su sintonía”. ¿Serán ciertos los datos encontrados por ellos, que decían que para una altura de 5 200 m la densidad 3 será aproximadamente de 0, 74 kg m ? Pueden usar calculadora. ¿Cómo determinar los puntos de corte o intersección de la parábola con los ejes coordenados? a. Con el eje y Todos los puntos sobre el eje y son de la forma ( 0, y ); esto implica que la condición que se debe cumplir es que la coordenada x sea igual a 0. Si la función cuadrática es y = f ( x ) = ax 2 + bx + c, podemos remplazar x = 0. Entonces y = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c → y = c . Por lo tanto, si x = 0, entonces y = c. Así, el punto de intersección de la parábola con el eje y será siempre (0, c). Por ejemplo, la parábola que representa la función y = 2x 2 − 5x + 6 corta al eje y en el punto ( 0, 6 ) . b. Con el eje x Todos los puntos sobre el eje x son de la forma ( x,0); esto implica que para que se cumpla la condición, la coordenada y debe ser igual a 0. Si la función cuadrática es y = f ( x ) = ax 2 + bx + c, podemos remplazar y = 0. Entonces 0 = ax 2 + bx + c. Es decir, debemos resolver esta ecuación para encontrar los valores de x. ¿Ya te diste cuenta? ¡Qué bien! Exactamente como lo estás pensando, esta es una ecuación cuadrática de esas que acabas de estudiar. Entonces, por ejemplo, si f ( x ) = x 2 + 3 x + 2, tendremos que para calcular los puntos de corte de la parábola con el eje x debemos resolver la siguiente ecuación: 112 U2 MAT 3M (074-145).indd 112 2/11/11 15:29:27
  • x2 + 3 x + 2 = 0 ( x + 2) ( x + 1 ) = 0 x +2=0 o x +1 =0 x = −2 o x = −1 (Factorizamos) Como recordarás, archivamos un concepto muy importante. ¿Cuándo una ecuación cuadrática tiene o no solución? ¿Qué significa esto para nuestras parábolas? Recordemos y pensemos juntos. Habíamos dicho que las soluciones de una ecuación cuadrática (podían ser 2, 1 o ∆ = 32 ⋅1 , = 9 − 8 = ninguna) dependían de su discriminante ∆ = b2 − 4 ac⋅ 2entonces1 quiere decir que las parábolas pueden cortar en dos puntos o un punto o ningún punto al eje x. Veamos cada caso: ( ) 1. En la función anterior, f ( x ) = x 2 + 3 x + 2 , tenemos que: a = 1, b = 3, c = 2, entonces ∆ = 32 − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 9 − 8 = 1. Ahora bien, como 1 > 0, quiere decir que la parábola tiene dos puntos distintos de corte con el eje x (como ya lo habíamos calculado). Miremos su gráfico. $+ 7 < ¡ ? >% 2 = Para saber más Se llama lugar geométrico al conjunto de puntos que cumplen con una condición dada. Generalmente, los lugares geométricos forman figuras; algunas ya las conoces. Por ejemplo, el lugar geométrico (L.G.) de todos los puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo del plano es la circunferencia. Observa: todos los puntos de la circunferencia están a la misma distancia (r) del punto fijo O. UNIDAD 2 Por lo tanto, la parábola corta al eje x en los puntos ( −2, 0) y ( −1, 0). y r 4 3,5 O 3 2,5 2 1,5 1 0,5 –5 –4,5 –4 –3,5 –3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 x 2. En la función y = 4 x 2 + 4 x + 1 se tienen: a = 4, b = 4, c = 1 , entonces ∆ = 42 − 4 ⋅ 4 ⋅ 1 = 16 − 16 = 0 . Si ∆ = 0, habrá solo un punto de corte con el eje x. ¿Cómo puede ser eso? Mira su gráfico. De esta manera, la parábola también es un lugar geométrico. Se dice, entonces, que la parábola es el L.G. de todos los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado foco y a una recta llamada directriz es la misma. Lo puedes ver más fácil en los siguientes sitios. http://www.educacionplastica. net/zirkel/parabola.html http://www.educacionplastica. net/zirkel/parabola1_sol.html L –a P (x, y) y V 0 F (a, 0) x 113 U2 MAT 3M (074-145).indd 113 2/11/11 15:29:30
  • 4 y 3 2 1 Toma nota 0 –2 –1,8 –1,6 –1,4 –1,2 –1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2 Calculemos este punto. Para ello, debemos resolver la ecuación: 4 x2 + 4 x + 1 = 0 −b ± b2 − 4 ac ⇒x= 2a −4 ± 0 −4 ± 0 −4 −1 ⇒x= = = = 2⋅ 4 8 8 2 (Recuerda, la cantidad subradical o discriminante es 0 –lo acabamos de calcular– y cuando se realiza la operación 4 ± 0, ambos resultados serán lo mismo) Por lo tanto, el único punto de corte con el eje x que, en este caso,  −1  siempre coincide con el vértice de la parábola es  ,0  .  2  3. En la función y = 2 x 2 − x + 3, sabemos que a = 2, b = −1, c = 3, entonces podemos calcular que ∆ = −12 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 1 − 24 = −23 . En este caso, < 0; por lo tanto, la parábola no cortará al eje de las x. Miremos su gráfico (recuerda que en este caso la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales porque la cantidad subradical de la raíz implicada en la fórmula es negativa). 8 y A los puntos de corte de la parábola con el eje x se les llama también ceros de la función. 6 En síntesis, una función f ( x ) = ax 2 + bx + c intersecta al eje x en: • 2 puntos si la ecuación ax 2 + bx + c = 0 tiene dos soluciones reales o ∆ > 0. • 1 punto si la ecuación ax 2 + bx + c = 0 tiene una solución real o ∆ = 0. • Ningún punto si la ecuación ax 2 + bx + c = 0 no tiene solución en R o ∆ < 0. 0,2 0,4 0,6 x 4 2 –6 –4 –2 0 2 4 6 x 114 U2 MAT 3M (074-145).indd 114 2/11/11 15:29:32
  • x= ⇒x= −b ± b2 − 4 ac −b ± b2 − 4ac −−11 ± 112 2−− 43−4 ⋅ 4 11 ± 11 4 ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⇒xx== ⇒ 2 2aa 2 ⋅2 ⋅3 3 −− −11 ± 121 + 48 −11 ± 169 −11 ± 13 = = −6 −6 −6 −11 + 13 2 −1 −11 − 13 −24 x= = = o x= = =4 −6 −6 3 −6 −6  −1  Por lo tanto, los puntos de corte con el eje x son  ,0  y ( 4, 0).  3  Por otro lado, para determinar el punto de corte con el eje y basta el valor de c; por lo tanto, el punto de corte con el eje y es ( 0, 4 ) x= UNIDAD 2 Ejemplos: 1. Dada la función f ( x ) = −3 x 2 + 11 x + 4 , calcula los puntos de corte de su gráfico con los ejes coordenados. En la función dada, a = −3, b = 11, c = 4. Resolvamos la ecuación −3 x 2 + 11 x + 4 = 0 para obtener los puntos de corte con el eje x. Por fórmula tenemos que: 2. Mauricio es un fanático del fútbol y de la matemática. Siempre investiga y hace cálculos para tener datos exactos de la fuerza y potencia que tiene su ídolo como atacante y goleador. Los últimos cálculos que hizo lo llevaron a concluir que el lanzamiento desde el centro de la cancha de una pelota detenida 2 estaba determinado por la función h ( m ) = −0, 0064 m + 0, 32 m, donde h es la altura en metros que alcanza la pelota a lo largo de su trayectoria, y m, los metros que ella recorre. Si la distancia entre el centro de la cancha y el arquero es de 50 m, ¿llegará a convertir el gol? Supongamos que el centro de la cancha es el origen del plano cartesiano. Resolver este problema equivale a encontrar a cuántos metros del centro llegará la pelota, es decir, encontrar los puntos de corte con el eje x (en este caso la cancha). h ( m ) = −0, 0064 m2 + 0, 32 m Entonces, resolvamos la ecuación: −0, 0064 m2 + 0, 32 m = 0 m ( −0, 0064 m + 0, 32 ) = 0 m = 0 o −0, 0064 m + 0, 32 = 0 −0, 0064 m = −0, 32 m = 50 50 metros / − 0,32 / : −0,0064 (Factorizamos) 115 U2 MAT 3M (074-145).indd 115 2/11/11 15:29:37
  • Trabaja La solución m = 0 indicará el lugar desde donde el futbolista lanzó la pelota (pues allí estaba el origen del sistema de coordenadas) y m = 50 indicará la distancia recorrida tras la que la pelota volvió a topar el suelo de la cancha, esto es, justo a los pies del arquero (recuerda que la distancia desde el centro de la cancha al portero era de 50 metros). Por lo tanto, no llegó a convertir el gol. Desarrollen la siguiente actividad. Recuerden escribir todo en su cuaderno y revisar sus respuestas. 4 Determinen la intersección de las siguientes parábolas con los ejes coordenados (eje x y eje y). a. f ( x ) = 2 x 2 − 6 x − 176 c. y = − x 2 + 2x + 2 e. y = 3 x 2 + 18 x + 27 Grafiquen las funciones; ayúdense con el programa Graphmatica e identifiquen allí sus respuestas. b. f ( x ) = − x 2 + 10 x − 25 d. f ( x ) = x 2 − 17 x + 16 f. f ( x ) = − x 2 + 196 5 Max ese día estaba muy triste. Las penas de amor a veces nublan la razón y nuestros pensamientos pintan de oscuro nuestro entorno. Simplemente, ella se había alejado. Él se había quedado largo rato mirando los problemas que había que copiar de la pizarra. En esa soledad, después de la última clase, solo escribió: 2 2 x. ... y el niño salta de derecha a izquierda de acuerdo a la ecuación y = x − 2 Suponiendo que el suelo se puede considerar el eje de las abscisas, determina el punto de partida y el punto de llegada del salto. ¿Cómo determinar el vértice de una parábola? Observa nuevamente el gráfico de una parábola: –6 –4 Eje de simetría –2 A y –2 –4 0 2 B 4 6 x Puntos de corte con eje x Vértice Como la parábola es simétrica con respecto al eje de simetría, la coordenada x del vértice de la parábola será la misma que la coordenada x del punto medio entre los puntos de intersección con el eje x. Sea f ( x ) = ax 2 + bx + c. Si A ( X A , 0 ) y B ( X B , 0 ) son los puntos de corte con el eje x y V ( xV , yV ) es el vértice, entonces: 116 U2 MAT 3M (074-145).indd 116 2/11/11 15:29:40
  • x A + xB , y así, evaluando la función en xV , se obtiene que: 2 yv = ax v 2 + bx v + c Por ejemplo, en la función y = x 2 + 3 x + 2 (ejemplo 1, página 113), los puntos de corte con el eje x que calculamos eran ( −2, 0) y ( −1, 0); entonces, si queremos calcular su vértice, tendremos que: xV = −2 + −1 −3 = 2 2 −3 9 9 9 − 18 + 8 −1  −3  yv =   + 3 ⋅ + 2 = − + 2 = = 2 4 2 4 4  2  2  −3 −1  Por lo tanto, el vértice es el punto  ,  . Vuelve a mirar el gráfico  2 4  y ubícalo. UNIDAD 2 xV = Ahora bien, si la parábola corta en un solo punto al eje x, entonces el vértice será dicho punto. Pero ¿qué hacemos cuando no hay puntos de corte con el eje x? ¡Este método ya no resultaría! Entonces, tenemos la necesidad de encontrar alguna generalización que sirva en todos los casos. Pues bien, volvamos a la fórmula de las soluciones de una ecuación cuadrática. Esta era: x= x= −b ± b2 − 4 ac , y así las soluciones estaban dadas por, 2a −b + b2 − 4 ac −b − b2 − 4 ac x= o 2a 2a Si razonamos como anteriormente lo hicimos, tendríamos que sumarlas y luego dividir por 2. Hagámoslo,  −b + b2 − 4 ac + −b − b2 − 4 ac xv =   2a  −2 b −2 b 1 −b ⇒ xv = ⋅ = :2 = 2a 2a 2 2a   :2   2 (Recuerda que son fracciones de igual denominador) (Nota que las raíces siempre se anularán)  −b  ab2 b2 b2 b2 −b ⇒ yv = a ⋅  +c = 2 − +c = − +c  + b⋅ 2a 4a 2a 4a 2a  2a  b2 − 2 b2 + 4 ac 4 ac − b2 = = 4a 4a Muy bien, hemos llegado a la fórmula que nos ayudará a calcular el vértice de cualquier parábola. Esta es:  −b 4 ac − b2  V = ,  4a   2a 117 U2 MAT 3M (074-145).indd 117 2/11/11 15:29:43
  • Calculemos el vértice de la parábola del ejercicio 3, hecho antes (en la página 114), donde y = 2 x 2 − x + 3. Aquí a = 2, b = −1, c = 3 . Así, remplazando en la fórmula recién encontrada, tenemos que:  −b 4 ac − b2  V = ,  4a   2a  − ( −1) 4 ⋅ 2 ⋅ 3 − ( −1)2   V = ,  2⋅2  4 ⋅2    1 24 − 1   1 23  V = , = , 8  4 8  4    Puedes volver a mirar tu gráfico y ubicar el vértice, chequeando sus coordenadas. Ejemplos: 1. Determina el vértice de las siguientes parábolas; indica si son puntos máximos o mínimos. a. y = 2 x 2 − 4 x + 5 En esta función, a = 2, b = −4, c = 5. Usando la fórmula para el vértice, se tiene que: Links de interés Entra a esta página, prueba mover los puntos a, b y c y verás, gráficamente, cómo cambia la parábola al variar los coeficientes (debes contar en tu PC con el complemento Java. Pueden bajarlo en http://www. java.com/es/download). http://www.cidse.itcr.ac.cr/ revistamate/AportesPe/ Externos/fcuadraticas/ paginas/grafica.htm Este otro link te llevará a las aplicaciones de la parábola en la física... míralo. http://centros5.pntic.mec.es/ ies.victoria.kent/Rincon-C/ Curiosid/rc-79/rc-79.html  − ( −4 ) 4 ⋅ 2 ⋅ 5 − ( −4 )2   V = ,  2⋅2  4 ⋅2    4 40 − 16   24  = ( 1, 3 ) = 1, V = , 8   8     4 Es un mínimo, pues la parábola es cóncava hacia arriba ( a < 0). b. y = −3 x 2 − 12 x − 7 En esta función, a = −3, b = −12, c = −7 , entonces:  −b 4 ac − b2  V = ,  4a   2a  − ( −12) 4 ⋅ −3 ⋅ −7 − ( −12)2   V = ,  2 ⋅ −3  4 ⋅ −3   ( a < 0)  −b 4 ac − b2  V = ,  4a   2a −60   12 84 − 144   V = ,  =  −2, −12  = ( −2, 5) −12     −6 Es un máximo, pues la parábola es cóncava hacia abajo ( a < 0). 118 U2 MAT 3M (074-145).indd 118 2/11/11 15:29:47
  • 1 2 h ( m ) = − m2 + m + 1 9 3 Techo Altura de la bala en función de los metros que recorre 3,5 m 1,6 m En una función cuadrática, el dominio serán siempre todos los reales, ya que la expresión y = ax2 + bx + c, con a , b, c ∈ R ∧ aπ0 nunca se indefine, no importa cuál sea el valor de x. El recorrido, en cambio, está determinado por el vértice de la parábola. Como este es su punto más bajo o más alto, entonces el recorrido será Rec f ( x ) = { y ∈ R / y ≥ yV } si tiene un mínimo (a > 0), y será Rec f ( x ) = { y ∈ R / y £ yV } si tiene un máximo (a < 0). f ( x ) = 2 x 2 − x + 3 , hemos Por ejemplo: Para la función Calculemos el punto más alto de la trayectoria de la bala, es decir, el vértice de la parábola: 1 2 a = − ,b = ,c = 1 9 3  −b 4 ac − b2  V = ,  4a   2a  2 −1 2  −   4 ⋅ ⋅1 −   3 9 3 V =   ,   −1  −1 4⋅  2⋅     9  9  Toma nota UNIDAD 2 2. Volvamos al problema inicial de Braulio (página 106). Braulio, Macarena y sus amigos planearon una tarde de viernes jugando paintball.“Te puedes sentir en un verdadero combate y las balas, por ser de pintura, no hieren cuando te topan”, fueron los argumentos de Braulio para convencer a sus amigos. Braulio lanzó su bala como se indica en el dibujo. Con estos datos, ¿qué pasó? 2   −2 −8     =  3 , 9  = (3, 2)   −2 −4     9 9      (Verifícalo con tu calculadora) Esto significa que la altura máxima que alcanzó la bala fue de 2 m desde donde fue disparada. Como Braulio la disparó desde 1,60 m, entonces la altura máxima a la que debía llegar era de 3,6 m, o sea, que se topó con el techo del galpón antes de concluir su trayectoria. 3. La señora Silvia ha entrado a estudiar un curso de finanzas, requisito para obtener un ascenso en su trabajo. En clases, le plantearon el siguiente problema que no supo resolver: “Los gastos de una empresa son modelados, según los costos de producción, por la siguiente función: g ( c ) = 5 c 2 − 3 c + 21, donde c está en miles de pesos y g en cientos de miles de pesos. ¿Cuál es el costo de producción que hace que los gastos sean los menores posibles?” Sus hijos, que ya habían estudiado la función cuadrática, le explicaron a su mamá lo siguiente:  1 23  V =  , , entonces, 4 8  calculado su vértice y era podemos decir que como a > 0, entonces el vértice es su mínimo. Por lo tanto: Dom f ( x ) = R y 23   Rec f ( x ) = {yy ∈ R/ /yy≤ yv }  ∈R ≥ 8   “Para que lo veas más claro, observa el gráfico de esta función”. 8 6 4 2 –2 –1 0 1 2 3 4 x 119 U2 MAT 3M (074-145).indd 119 2/11/11 15:29:52
  • La función cuadrática dada representa una parábola que se abre hacia arriba (ya que a > 0); por lo tanto, el valor mínimo que se pregunta está dado por el vértice de esta. Calculémoslo: ( a = 5, b = −3, c = 21)  − ( −3) 4 ⋅ 5 ⋅ 21 − ( −3)  −b 4 ac − b2  V = , ,  ⇒V =   2⋅5 4a  4 ⋅5  2a  2   3 411  = ,   10 20    Como c representa los costos y la función g ( c ) depende de estos, quiere decir que c es el valor de la primera coordenada y g ( c ) es Trabaja el valor de la segunda coordenada del vértice (compáralo con 3 f ( x ) ); por lo tanto, el costo que hará los gastos mínimos es , 10 o sea, 0,3 miles de pesos, es decir, 0,3 · 1 000 = $300. Si se sabe que el vértice de dicha parábola es un punto de la forma (x, 4x), determinen dicho vértice en cada caso. 6 Los pares de puntos que se dan a continuación son los puntos de corte de una parábola con el eje x. a. ( 2, 0) y ( −3, 0) b. (7, 0) y ( 9, 0)  1  5  c.  − ,0  y  ,0   2  4  7 Dadas las siguientes funciones y un punto, determinen en cada caso si el punto dado es el vértice de la  3 49  a. f ( x ) = 2 x 2 + 3 x − 5,  − , −   4 8  parábola asociada a la función dada. b. y = − x 2 + 2 x − 3, (1, 8 ) 1 2 x + 3 x + 1, ( −6, −8 ) 4 8 Dados los siguientes puntos, que representan vértices de algunas parábolas, asocien cada uno de ellos con las funciones listadas según correspondan. c. y =  1 33  a.  2 , 4    2 4 b.  3 , − 3    1 6 c.  5 , 5    120 i. ____ y = 3 x 2 − 4 x U2 MAT 3M (074-145).indd 120 ii. ____ y = 2 x − 5 x 2 + 1 2 iii. ____ y = 8 + x − x 2/11/11 15:29:57
  • 9 Dados los siguientes gráficos de parábolas, determinen a cuál de las funciones listadas corresponde cada uno de los vértices de los gráficos. i. ____ y = x 2 + 1 ii. ____ y = − x 2 + 3 x + 2 y 4 2 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –2 1 2 3 4 5 6 x UNIDAD 2 iii. ____ y = 2 x 2 + 5 x − 3 –4 –6 10 Determinen a cuál de los cuadrantes del plano cartesiano pertenecen los vértices de las a. y = 3 x 2 + 7 x siguientes parábolas: b. f ( x ) = − x 2 − 4 x − 1 c. f ( x ) = x 2 − 9 ¿Cómo determinar el eje de simetría? El eje de simetría es una recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola. Como recordarás del estudio de rectas del año pasado, toda ecuación paralela al eje y tiene ecuación x = m, donde m es el valor en que la recta corta al eje x. En nuestro caso, el valor de m es el valor de la coordenada x del vértice. Así, el eje de simetría queda determinado por la recta de ecuación x = x v . “Pensemos en el siguiente ejemplo”... Renato estaba jugando básquetbol en el patio con sus compañeros. La oficina del director queda a 6 m de este lugar. Su ventana, ubicada desde su parte más baja, a 2 m del suelo, está cerrada y da al patio. Tratando de encestar, Renato lanza la pelota con más fuerza de lo habitual y se va directo hacia esa ventana. El profesor de Física, que estaba en el patio, estima que la pelota alcanzó su altura máxima de 4 m cuando iba en la mitad de la distancia entre Renato y el edificio. Si Renato lanza la pelota desde un metro de altura, ¿romperá la ventana del director? 121 U2 MAT 3M (074-145).indd 121 2/11/11 15:29:59
  • Este es el dibujo de la situación, suponiendo que el origen de coordenadas está en el punto donde está parado Renato: Vértice (3,4) Punto simétrico del punto de lanzamiento (6,1) Punto (0,1) Eje de simetría x = 3 Como el vértice está en el punto (3, 4 ), quiere decir que allí está el eje de simetría de la parábola descrita por la pelota; entonces, debe haber un punto por el que pasará la pelota que esté a la misma altura de lanzamiento (1 m ) y a la misma distancia desde Renato a la mitad del patio, esto es, en el punto ( 6, 1), como muestra la figura. Como la parte más baja de la ventana está ubicada a 2 m del suelo, tendremos que cualquier punto que pertenezca a la ventana estará por sobre el punto ( 6, 2); por lo tanto, la pelota no llega a la ventana. ¡Qué buena suerte la de Renato! Trabaja 2 a. y = x − 7 x + 12 2 c. y = − x + 15 3 Determina el eje de simetría de cada una de la siguientes parábolas: b. y = 2 x 2 + 3 x d. y = 4 Resuelve los siguientes problemas: 1 2 1 1 x − x+ 4 2 3 e. y = 3 x 2 − 4 x + 2 a. Luisa lanza un balín desde la ventana del edificio donde jugaba softball con sus amigos. Max calcula aproximadamente que el balín alcanzó 3 m de altura máxima a los 2 s de lanzada. ¿En cuánto tiempo, aproximadamente, a partir del lanzamiento, Luisa volverá a ver pasar el balín por la ventana? b. Pedro está respondiendo su prueba de Matemática. El problema 5 dice que los puntos (5, 7 ) y (12, 7 ) son simétricos en una parábola y que se debe hallar el eje de simetría. ¿Cuál será este? ¿Puedes encontrar la respuesta al igual que Pedro? 122 U2 MAT 3M (074-145).indd 122 2/11/11 15:30:03
  • Otras consideraciones Ya hemos analizado una función cuadrática en forma general y has visto sus aplicaciones. Solo nos quedan dos casos interesantes por analizar. f ( x ) = x2 6 f (x) = x +2 y 2 f ( x ) = x2 + 5 f ( x ) = x2 − 3 f ( x ) = x2 − 4 UNIDAD 2 1. Tomemos las funciones de la forma y = ax 2 ± c . Grafiquemos algunas de ellas para poder compararlas. –3 –2 –1 4 2 0 –2 –4 1 2 3 x ¿Qué sucede con el gráfico de la parábola con respecto a las variaciones del valor de c? Si observas bien, verás que con respecto a la función y = x 2 , las otras se han desplazado verticalmente. Luego, del valor de c depende que la parábola se traslade verticalmente. Si c > 0, la parábola se traslada hacia arriba. Si c < 0, la parábola se traslada hacia abajo. Interesante ¿no? 2 2. Grafiquemos ahora funciones de la forma y = ( x ± m ) . Mira, compara y responde. f ( x ) = ( x + 3) 2 4 y f ( x ) = ( x + 1) 3 2 f (x) = (x) 2 –6 –5 –4 –3 –2 1 –1 0 2 f ( x ) = ( x − 1) 1 2 3 2 f ( x ) = ( x − 4) 4 5 2 6 7 x ¿Qué sucede cuando se suma o resta un número dentro del cuadrado, es decir, cuando formamos un cuadrado de binomio? Como ya lo observaste, al comparar las funciones con y = x2, de m depende que las funciones se desplacen horizontalmente. 123 U2 MAT 3M (074-145).indd 123 2/11/11 15:30:08
  • 2 Luego, del valor de m, al hacer y = ( x ± m ) , depende que la parábola se desplace horizontalmente. Así, si m > 0, entonces, la parábola se trasladará hacia la izquierda y si m < 0, entonces la parábola se desplazará hacia la derecha. ¿Lo habrías imaginado? Trabaja Aplica lo aprendido. 5 Jaime está navegando por Internet y le llama la atención un video de optimización de funciones. En más de una oportunidad había escuchado:“Optimicemos la función estudio y ahorremos tiempo”. ¿Qué será esto de optimizar funciones?, se pregunta Jaime. El profesor dice: “Hoy aprenderás a optimizar funciones; resolvamos el siguiente problema. Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo tenga un mínimo valor”. Jaime lo vio y se dio cuenta de que tenía mucha relación con la clase de funciones cuadráticas que había visto recientemente. Anotó el desarrollo y lo guardó. ¿Cuál fue el desarrollo que escribió? analizar 8 parábolas para encontrar todos sus elementos característicos. Se quedaron en el liceo y juntos resolvieron las seis primeras asignadas. Acto seguido, intercambiaron los desarrollos para revisarlos mutuamente a fin de advertir las fallas. Decidieron terminar la tarea en la casa de aquel integrante que tuviera la parábola con sus ramas más abiertas y menos puntos de intersección con el eje x. 6 Los grupos de Amaro y Mauro se unieron para hacer la tarea de parábolas. A cada grupo le tocaba Por el grupo de Amaro competían las siguientes parábolas: y = 0, 5 x 2 ; y = 4 x 2 + 2 x − 1 Por el grupo de Mauro iban: y = 0, 5 x 2 − 1, 5 x + 1; y = 3 x 2 + 1. ¿De qué grupo era el integrante que facilitó su casa? Justifica tu respuesta matemáticamente. o C Explicaron que en su investigación aprendieron que: “La temperatura en ºC (T ) a la que hierve el agua está en función de la altura, h, en metros sobre el nivel del mar mediante la fórmula: 2 h = 1 000 (100 − T ) + 580 (100 − T ) y que esta fórmula se usa solamente a partir de los 95ºC, hasta los 100ºC, inclusive”. 7 El grupo de Rafael disertó acerca de la temperatura a la que hierve el agua y su relación con la altura. Rafael usó correctamente la fórmula para encontrar la temperatura a la cual hierve el agua en la cima del monte Everest, cuya elevación aproximada es de 8 840 m. a. ¿Cuál debiera ser la respuesta que obtuvo Rafael? b. ¿A qué temperatura hierve el agua a nivel del mar? c. Averigua a qué altitud sobre el nivel del mar está el sector donde tú vives. Con esa información, aplica la fórmula para hallar la temperatura a la que hierve el agua en esa zona. Deben usar calculadora. 124 U2 MAT 3M (074-145).indd 124 2/11/11 15:30:09
  • • Una parábola es la curva que representa, gráficamente, a la función cuadrática de la forma y = ax 2 + bx + c , con a, b, c pertenecientes a los reales y a ≠ 0. • Las parábolas tienen elementos característicos que son: Concavidad (sentido hacia donde se abren sus ramas). Puede ser cóncava hacia arriba (si a > 0 ) o cóncava hacia abajo (si a < 0 ). Vértice (punto máximo o mínimo de la parábola). Se calcula usando la fórmula:  −b 4 ac − b2  V = ,  4a   2a Punto de corte con el eje y (punto donde la parábola intersecta al eje y). Está dado siempre por ( 0,c ). UNIDAD 2 Sintetizando Punto de corte con eje x (punto donde la parábola intersecta al eje x). Se resuelve la ecuación ax 2 + bx + c = 0 (se iguala la función a 0). La parábola puede tener dos, uno o ningún punto de corte con el eje x, dependiendo de las soluciones de la ecuación. Si las soluciones son x1 y x2, entonces los puntos de corte son ( x1 , 0) y ( x2 , 0). Eje se simetría (recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola y la divide en dos partes −b iguales). Su ecuación es x = . 2a • La función y = x 2 ± c se traslada verticalmente con respecto a la función y = x 2 si cambia el valor de c. 2 • La función y = ( x ± m ) se traslada horizontalmente con respecto a la función y = x 2 si cambia el valor de m. Revisemos lo aprendido Responde las siguientes preguntas y luego comparte las respuestas con tu compañero o compañera de banco. Complementa lo que te faltó y aporta tus conocimientos. Recuerda preguntar si tienes dudas. • ¿Puedo definir los conceptos de parábola, función cuadrática, dominio, recorrido, imagen y preimagen? • ¿Entendí los contenidos de esta sección? Cuando no fue así, ¿volví a leerlos? ¿Pregunté mis dudas a compañeros o compañeras que entendieron, o a mi profesor o profesora? • ¿Pude resolver correctamente las actividades propuestas en esta sección? • ¿Ayudé a mi grupo para realizar un buen trabajo? • ¿Hice un resumen de los conceptos que me fueron más difíciles de entender, de modo que no los olvide? 125 U2 MAT 3M (074-145).indd 125 2/11/11 15:30:11
  • Trabaja más... 1 Dada la parábola y = −3 x + 2 x , señala: Trabaja en forma individual 5 María Ignacia, gerente comercial de una tienda a. ¿Es cóncava hacia abajo? ¿Por qué? b. ¿Cuáles son los puntos de ella cuyas abscisas son −5 y 1? 3 c. ¿Qué observas en los puntos determinados anteriormente? encuentran en la gráfica de y = 1 + 3 x + 6 x 2 . ¿Cuáles son? 2 Hay dos puntos de coordenadas ( a,4 ) que se 3 La gráfica muestra una parábola y una recta que se intersectan. y 6 5 f ( x ) = x2 + 2 x − 3 f (x) =5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 1 2 3 4 5 6 –4 –5 a. Gráficamente, determina los puntos de intersección. b. Haciendo los cálculos correspondientes y usando la fórmula de la parábola, verifica que los puntos que anteriormente hallaste pertenecen a ella. y = ( x − K ) (5 − Kx ), donde K es cualquier número real distinto de cero. Encuentra dos valores para K, de tal modo que la parábola resultante sea: 4 Hay parábolas cuyas fórmulas son del tipo de electrónica, encargó a su equipo de trabajo un estudio de ventas de LCD durante 2009 y hasta mayo del 2010, mes previo al mundial de fútbol en las distintas salas de ventas a través del país. N: Número de ventas por unidades 2 110 100 90 80 70 60 50 40 N (T ) = 2 T 2 − 12 T + 30 30 20 10 –1 0 –10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 T: Número de mes a partir de enero del 2009 En la reunión de octubre del 2009, y viendo la gráfica, hizo a su equipo varias preguntas, tanto de las ventas ya realizadas como de las proyecciones que se tenían hasta mayo del año siguiente. Algunas que tú también puedes responder fueron: a. ¿Es verdad que las ventas de febrero del 2009 fueron de 18 unidades? ¿Por qué? b. ¿En qué mes se vendieron 62 unidades? Chequea efectuando los cálculos necesarios. c. ¿Cuántas unidades se espera vender en diciembre? d. Específicamente, en el próximo mayo, ¿superarán las ventas de LCD las 370 unidades? ¿Por qué? e. En total, ¿habrá más de 600 unidades vendidas durante los dos meses previos a junio del 2010? a. cóncava hacia abajo. b. cóncava hacia arriba. c. contenga al punto (1, 0): 126 U2 MAT 3M (074-145).indd 126 2/11/11 15:30:15
  • observación. Mire cómo se desplaza velozmente ese objeto en trayectoria parabólica. –Indíqueme por dónde apareció en pantalla. –Por aquí, a 5 km enfrente de nosotros. Seguro pasará por el punto de coordenadas (0; 8, 4). Pero hay aún algo más. Este segundo objeto más pequeño, al parecer, va a su encuentro. ¿Ve usted? Apareció moviéndose verticalmente hacia arriba, 1 km a nuestra derecha. –Capitán, encárguese de saber a qué distancia de aquí debieran encontrarse o cruzarse, y ver si realmente por ese punto debiera pasar la nave mayor. Estas dos informaciones las requiero porque voy a llamar a alerta preventiva. Con ayuda de esta gráfica, y sabiendo que la trayectoria de la nave mayor es de la forma y = ax 2 + 5, responde: 6 5 4 3 2 1 –0,4 –0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 0 x a. ¿Cuáles son las coordenadas del puesto de observación? b. Responde las dos preguntas del mayor. Trabaja en grupo 1 Mafalda estuvo enferma y no fue al liceo. Para ponerse al día, fotocopió algunos cuadernos de sus compañeras. En uno de los ejercicios estaba escrito: no puedo encontrar la solución. Mafalda leyó: “Encuentra las coordenadas de las intersecciones con los ejes de y = x 2 + x − 3”. Lo desarrolló correctamente. Llamó por teléfono a su compañera y le dio la respuesta. ¿Cuál fue? 2 Determinen el número de puntos en el que cada parábola intersecta al eje x. Justifiquen su respuesta. a. y = −3 + 2 x − 7 x 2 b. y = 13 x 2 + 11 x − 2 2 c. y = 169x − 52x + 4 d. y = −19x 2 + 2x e. y = 0,3 x 2 + 5 f. y = 0, 3 x 2 − 1, 3 3 Con respecto a las intersecciones con el eje x, y = 4 x 2 + 2 x − 12; y = 3 x 2 + 1, 5 x − 9 ¿tienen algo en común las siguientes parábolas? Encuentren los puntos de intersección con dicho eje y ya verán. 2 4 Dada la parábola y = −3 x + 11 x − c , donde c UNIDAD 2 6 –Mayor, venga rápidamente al monitor de es un real, escriban su ecuación si se sabe que intersecta al eje y 11 unidades por debajo del eje x. − 11 + 1 es la 5 2 intersección de y = 5 x − 2 x − 2 con el eje x. 5 El punto de abscisa a. Determinen el otro punto de intersección. b. ¿Cuál es el punto de intersección de esta parábola con el otro eje? 2 6 La ecuación y = 0, 5 x + bx + 3 representa parábolas que intersectan al eje x en un solo punto. a. ¿Cuáles son los valores de b? b. Escriban las ecuaciones de las parábolas aludidas en el enunciado de este ejercicio. 7 Encuentren las coordenadas del punto medio entre: a. los puntos de intersección de y = −2 x 2 − 5 x + 25 con el eje x. b. el punto de intersección de y = 21 x 2 + x − 9 con el eje y y el origen. 8 Encuentren el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección de la parábola y = − x 2 + x + 12 con los ejes coordenados. 9 “Alamiro, como amiga y compañera tuya, te digo que no te asustes frente a la siguiente tarea: encuentra la intersección de la parábola f ( x ) = − x 2 + 6, con la recta paralela y = 2, y luego con el eje x. Dibuja el trapecio al unir consecutivamente los puntos de intersección, y después encuentra el área de esta última figura” . 127 U2 MAT 3M (074-145).indd 127 2/11/11 15:30:19
  • parábola y = 2x 2 − x − 1 , cuyas abscisas están entre los puntos de intersección con el eje horizontal. Para esto, eligió los siguientes valores: –0,25 ; 0 y 0,5: Le aseguro que puedo darle las coordenadas desde donde partió, la del primer cruce y el punto donde se detuvo. ¿No me lo cree?” ¿Pueden ustedes dar aquellos puntos? 10 Marcela está ubicando tres puntos de la 14 “En realidad, me tiene bastante preocupado que a. Verifiquen si esta elección cumple la condición dada en el enunciado. Justifica claramente tu respuesta. b. Indiquen la distancia del punto de menor abscisa a la paralela al eje x, que pasa por el punto de intersección de la parábola con el eje y. se proponga en esta reunión que la relación entre nuestras ganancias g (en decenas de miles de pesos) con respecto a nuestras ventas de jugos v (en miles) esté dada por esa dudosa curva, g = 225 − v 2, que el señor Faustino Dundoso está mostrando en su presentación de PowerPoint. Señores, no me miren así; si vendemos más, ganamos más, ¿o no?” 11 “Estoy pensando en un arco parabólico que represente un puente para incluirlo en mi maqueta y participar con ella en el remozamiento de la plaza municipal. Voy a representar mi puente a través de la función y = −0,25x 2 + 3x − 5, donde x e y están en m. Uno de los extremos debe quedar a 2 m de la base del monolito central, que estará en el origen de mi sistema coordenado”. a. ¿A cuántos metros de la base del monolito, queda el otro extremo del puente? b. ¿La distancia entre ambos extremos es 9 m? Justifiquen. ¿Cuál es el problema? Indica cuántas unidades tendrían que vender para llegar nuevamente a $0 de ganancia. ¿Sucede eso alguna vez? 15 Rosalía y Javier han recibido su guía de trabajo en el taller de Física. En ella aparece la siguiente pregunta: “La ecuación de la curva adjunta es d = t 2 − 6t + 5 , donde d representa la posición de un móvil, medida en km, en función del tiempo t, expresado en h. Obtengan los puntos de intersección con los ejes coordenados y hagan una interpretación física de ellos”. d ( km ) 12 –Profesor, no vaya a hacer preguntas tan difíciles en la próxima prueba, por favor, –insistíamos una y otra vez. –No es difícil encontrar similitudes y diferencias, con respecto a los puntos de intersecciones en ambos ejes de las siguientes parábolas: y = 2x 2 − 11x + 12; y = 3x 2 − 16,5x + 18 –dijo–. Esta es una muy interesante pregunta y para empezar a estudiar, vamos a trabajar juntos. Encuentren las similitudes y diferencias mencionadas en el párrafo anterior. Justifiquen su respuesta. 13 “¿Así que usted es la persona que pone en duda mis conocimientos de física? Está bien. Usted me dice que tiene una partícula situada en un sistema de coordenadas que, siguiendo la trayectoria y = x 2 − 9, empieza su movimiento en el punto más bajo de esta curva y sigue siempre por su derecha, hasta llegar al cruce con el eje x. Después de esto –me ha dicho usted– continúa la trayectoria dada por y = x 2 − 10x + 21, hasta el próximo cruce con el eje x, y allí se detiene. t (h) 16 Determinen el vértice de las siguientes parábolas e indiquen si corresponde a un máximo o a un mínimo. Grafiquen las funciones, ayúdense con el programa Graphmatica e identifiquen allí sus respuestas: a. y = x 2 − 14 x + 15 b. y = x 2 + 1 c. y = −4 x 2 + 9 x − 11 d. f ( x ) = x 2 − 12 128 U2 MAT 3M (074-145).indd 128 2/11/11 15:30:21
  • e. f ( x ) = x 2 − 3 x + 20 f. y = 3 x − 8 x + 5 17 Disponen de una cuerda de 100 cm y les piden que la doblen para formar un paralelogramo recto (cuadrado o rectángulo), pero haciendo que su área sea la más grande que puedan tener. ¿Cuáles son las medidas de dicho paralelogramo recto? 18 Débora, Naim, Raquel y Saúl han decidido tomar cursos para microempresarios. Quieren asociarse para instalar una empresa. En la tarea final del curso de costos deben presentar su proyecto para producir bolitas de queso relleno con nueces y almendras. Discuten el precio de costo estimado por unidad y no llegan a un acuerdo. Junto al encargado del curso y mediante el uso de un software, encuentran que el costo promedio C (en pesos) y su relación por cierto número de unidades producidas, x, viene dado por: C ( x ) = 15 − 0, 05 x + 0, 0002 x 2. Estudian muy bien esta fórmula y se preguntan: a. ¿Será más barato producir 90 unidades que 100? b. ¿Cuántas unidades deberíamos producir para hacer el costo promedio lo más bajo posible? c. ¿Cuál es el correspondiente costo mínimo por unidad? 19 Las niñas del 2º básico del colegio están jugando y a saltar la cuerda; mientras, Paola le pregunta a su profesor algunos temas de funciones cuadráticas que no había entendido en clases. “–Mira a esas niñas –le dijo su profesor–. Ellas forman con su cuerda una parábola cuya altura máxima es de aproximadamente 1,5 m. Además, la distancia que hay entre ambas niñas es de alrededor de 2 m”. ¿Puedes tú dar las coordenadas del vértice de la parábola? 1,5 m 2m x telecomunicaciones, le parecía extraña la rapidez con que la empresa financiera que habían contratado para hacer un estudio les había entregado el mismo. Éste decía que los costos de la empresa en un período de cierta cantidad de años estarían modelados, en función de los productos vendidos, por la siguiente función: C ( v ) = v 2 − 13 v + 40, donde v es el número de artículos vendidos (en unidades) y C, los costos asociados a esa venta (en miles de pesos). A Marta le interesó, por supuesto, analizar los costos mínimos. ¿Qué estaba errado en el informe? UNIDAD 2 20 A Marta, gerente general de una empresa de 2 función: C ( t ) = −t 2 + 6 t + 5 , donde C es el capital (en decenas de millones) y t es el tiempo (en décadas). Determinen el capital máximo de la empresa y en qué año de funcionamiento lo logra. 21 Una empresa se capitaliza bajo la siguiente 22 Un banco decide lanzar un nuevo tipo de seguro automotriz. Después de un año, un estudio del banco ha arrojado que el número de clientes captados para este producto se puede modelar bajo la siguiente función: C ( t ) = 10 t − 2 t 2 , donde C es el número de clientes y t los años transcurridos. Determinen en qué momento el banco comienza a tener pérdida de clientes para este producto. 23 En el laboratorio Biolab se está realizando un experimento para encontrar la cura contra una nueva bacteria. Los científicos han detectado que la población de bacterias disminuye con la administración de cierto antibiótico, pero luego de un tiempo, estas se vuelven inmunes y crecen nuevamente. Ellos encontraron que la función que modela la población de bacterias 3 2 3 es: P ( m ) = m − m + 4 , donde P es la 64 4 población de bacterias (en miles de individuos) y m los miligramos de antibiótico suministrado diariamente. ¿Cuál es la población que existe antes de que la bacteria se vuelva inmune? 129 U2 MAT 3M (074-145).indd 129 2/11/11 15:30:25
  • 24 Juan Pablo está haciendo un trabajo para su ramo de diseño de la universidad. Él tiene un triángulo de 8 cm de base y 5 cm de altura, pero debe disminuir su base y aumentar su altura en un mismo valor, de modo que el triángulo que resulte cubra la mayor superficie posible. ¿Qué respuesta le darían a Juan Pablo? ¿Cuál es el mayor valor en el que se puede aumentar la altura y disminuir la base y cuál es el área máxima que podrá cubrir? 25 La compañía disquera donde trabaja Esteban ha determinado que el número de copias que se venden de un artista consagrado cuando lanza al mercado un nuevo trabajo (considerando las preventas) se rige, en función de los días, por: 400 2 4 000 V (d ) = − d + d + 5000. El jefe de 9 3 Esteban le ha pedido que calcule cuál será la cantidad máxima de copias que se venderán y en qué día se logrará esta venta. ¿Pueden también responder ustedes? Mis apuntes 130 U2 MAT 3M (074-145).indd 130 2/11/11 15:30:26
  • Taller Trabaja “El huevo de gallina es un ejemplo exacto de los arcos parabólicos, y fue considerado como la placenta del mundo por el pueblo dogón del oeste africano, y en los mitos conocidos en China, India, Grecia y Japón, entre otros. En la mitología egipcia, al principio solo existía el océano, pero la creación del mundo se produce con la aparición de Ra, el Sol, surgiendo de un huevo. UNIDAD 2 El huevo, la gallina, la parábola y tú A su vez, la raíz del Imperio romano fueron los etruscos, que simbolizaban a la creación con un huevo de gallina y emplearon arcos para edificar no solo templos, sino puentes, puertas de ciudades, etc. Pero fueron los romanos los que desarrollaron toda la sintaxis moderna del arco. Usaron principalmente el arco de medio punto en anfiteatros y palacios, pero en la construcción de templos siguieron la tradición griega de sistema adintelado, salvo en un solo caso, como el templo abovedado del panteón de Agripa en la misma Roma”. Fuente: Extraído de http://webs.adam.es/rllorens/05/fparabola.htm Materiales por grupo: • Un huevo duro • Una hoja de papel milimetrado • Lápices de colores Instrucciones: En grupos de cuatro integrantes, realicen la siguiente actividad: • Como ya lo habrán notado, el contorno de la mitad del huevo tiene forma de parábola. Observen bien su huevo. • Deben encontrar la función de la parábola que describe el contorno del huevo. Para ello, se sugiere usar el papel milimetrado de manera que puedan hacer allí las mediciones correspondientes. • En el papel milimetrado, dibujen los ejes coordenados para que sean más fáciles las mediciones. • Recuerden que para determinar una parábola (su función), necesitan tres puntos cualesquiera por los que pasa. Reemplacen las coordenadas de estos tres puntos en los valores de x e y de una función de la forma y = ax 2 + bx + c . Obtendrán un sistema de ecuaciones para a, b y c. Resuélvanlo y escriban la función pedida. • Cuando hayan determinado la función, respondan: a. ¿Qué concavidad tiene la parábola? b. ¿Cuál es su vértice? c. ¿Tiene punto de corte con los ejes? Si los tiene, ¿cuáles son? d. ¿Cuál es su eje de simetría? e. ¿De qué depende la ecuación que obtuvieron? ¿Podrían haber obtenido otra? • Compartan los resultados de su grupo con el curso. 131 U2 MAT 3M (074-145).indd 131 2/11/11 15:30:28
  • Evaluación Unidad 2 Síntesis conceptual de la unidad Completa los siguientes mapas conceptuales de la unidad. A medida que lo hagas, verbaliza los conceptos con tus palabras (eso te ayudará a entender mejor todo lo relacionado con la unidad) Ecuaciones cuadráticas (es de la forma) Tipos Fórmula general Número de soluciones Función cuadrática (es de la forma) concavidad corte con eje y dos soluciones corte con eje x una solución vértice ninguna solución eje de simetría máximo o minimo 132 U2 MAT 3M (074-145).indd 132 2/11/11 15:30:28
  • I. Completa el siguiente crucigrama con los conceptos de la unidad. 8 6 10 HORIZONTALES 5 1 3 9 1 x 2 − 7 x − 12 = 0 II. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas: 7 2 4 x2 + 5 x − 6 = 0 3 ( x + 4 ) + ( x − 3) = ( x + 5) 2 2 2 4 ( 2 x − 3) ( x − 1 ) − (1 − x ) (1 + x ) = −4 ( x + 1 ) (1 − x ) UNIDAD 2 4 2 Resuelve los ejercicios junto con tu grupo. Escribe todo el desarrollo en tu cuaderno y revisa tus respuestas. (2 x − 3) ( x − 1) − (1 − x ) (1 + x ) = −4 ( x + 1) (1 − x ) 2 5 ( x + 1 ) ( x − 2) + ( x + 2) ( x − 1 ) ( x + 1 ) = ( 2 x + 13) ( x − 1 ) ( x − 2) 2 ( x + 1) ( x − 2) + ( x + 2) ( x − 1) ( x + 1) = (2 x + 13) ( x − 1) ( x − 2) 5. Número de soluciones de una ecuación cuadrática si el discriminante es igual a cero. 9. Número de soluciones de una ecuación cuadrática si el discriminante es menor que cero. 10. Ecuación donde al menos una de las incógnitas está elevada a dos como mayor exponente de ella. VERTICALES 1. Recta que pasa por el vértice de una parábola y la divide en dos partes iguales. 2. Cantidad subradical de la raíz de la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Determina el número de soluciones. 3. Sentido en el que se abren las ramas de una parábola. 4. Curva que representa una función cuadrática. 6. Punto máximo o mínimo de una parábola. 7. Número de soluciones de una ecuación cuadrática si el discriminante es mayor que cero. 8. Soluciones de una ecuación cuadrática. 1 2 3 x + x + =0 8 4 2 x −3 4x +4 7 −1 = +x 1− x 1− x x −2 3− x 8 − =1 x +1 x −1 6 9 2 x + 4 x −3 = 3 10 2 x − 5 + 2 6 x 2 − 5 = 15 11 3+ 4 z +1 z −2 =1 12 2 y 2 − 3 y − 35 = 1 III. Determina, sin resolver las ecuaciones, si ellas tienen o no solución en los números reales. 1 5 x 2 − 10 x = 0 2 3 x 2 + 6 x + 12 = 0 3 18 x 2 + 24 x + 8 = 0 4 7 x 2 + 14 x − 7 = 0 5 5 − 5 x2 ( ) (5 + 6 x + 6 x +3 ( 5 x2 = 0 )(x − ) 6 x +3 =0 ) 133 U2 MAT 3M (074-145).indd 133 2/11/11 15:30:34
  • IV. Resuelve los siguientes problemas de planteo. 1 Hoy es el primer día de trabajo del señor Moreno como encargado de la mantención de la piscina olímpica del CAR (Centro de Alto Rendimiento para deportistas) y le ha tocado colocar un revestimiento especial en los bordes. El problema es que debe poner de un tipo para los lados más largos y de otro distinto para los lados más cortos, y no ha encontrado con qué medirlos, pues aun no conoce bien el lugar. En uno de los bordes está especificado que el perímetro de la piscina es 142 m y su área es de 1050 m2. Ayúdale y encuentra las medidas de la piscina. VI. Determina la concavidad, el vértice, los puntos de corte con los ejes coordenados y el eje de simetría en las siguientes parábolas: 2 1 y = −3 x − 2 x 4 y = −3 x 2 − 2 x + 7 3 y = 2 x2 1 y = 2 x2 − 3 x 2 3 y =6 x han dado dos funciones: f ( x ) = 5 x − 3 y g ( x ) = 2 x 2 + 3 x − 3, que representan parte del plano que está bosquejando. Él necesita saber si los gráficos de estas funciones se intersectan en algún punto y, de ser así, cuáles son esos puntos. ¿Realmente se intersectan? ¿Dónde? (Ayuda: si se intersectan, entonces en esos puntos ambas imágenes tendrán el mismo valor). 3 Jazmín estaba muy preocupada por su 4 y = −2 x 2 + 3 x + 6 2 5 y = −7 x + 21 x física de hoy. Su profesor les había enseñado que si se lanzaba una pelotita con una rapidez de 4 m/s, entonces la altura a la que llegaba la pelotita estaba determinada por el tiempo en segundos que transcurría en alcanzar dicha altura según la función h ( t ) = 1, 2 + 4 t − 2 t 2. Perla, que siempre se tomaba un tiempo para pensar en lo estudiado, se preguntó: ¿cuánto tiempo, después de ser lanzada, se demorará en volver al punto de lanzamiento? Responde tú esta pregunta. 2 Rolando está estudiando dibujo técnico y le V. Grafica las siguientes funciones cuadráticas: 2 2 y = −x − 5 x − 2 2 7 y = x +9 1 Perla había estado muy atenta a la clase de 3 Agustín ha llegado a la casa de sus padres en 2 ⋅ 3 = 6 , 3 ⋅ 4 = 12 , 4 ⋅ 5 = 20 y muy rápido llegó a la conclusión que por ser 1 200 múltiplo de 2, 6, 12 y 20, se podía escribir como el producto de un número por su sucesor. ¿Es cierto aquello? Justifica matemáticamente. 6 y = −3 x 2 + 4 x − 1 VII. Resuelve los siguientes problemas de planteo. el que debe construir un triángulo rectángulo, cuya área sea igual a 96 cm2 y sus catetos estén en la razón 3 : 4. ¿Cuáles deben ser las medidas de los lados del triángulo? 4 Pensaba Aurora, sin cesar, que 1 ⋅ 2 = 2 , 2 8 y = −9 x + 42 x − 49 2 2 y =5 x +2 2 Muriel tiene que hacer un trabajo de arte en el campo luego de una muy buena semana en el internado donde estudia. Conversando con su papá sobre las cosechas y las tierras, él le dice a su hijo que necesita agrandar el terreno rectangular de cultivos, que en este momento mide 10 x 4 m, de manera que m pueda tener 72 m22más para sus nuevas cosechas, pero que debe hacerlo ampliando largo y ancho en una misma medida. ¿Cuáles serán las nuevas dimensiones del terreno? 2 5 y = x + x +2 promedio. Ella se había propuesto estudiar Medicina y necesitaba muy buenas notas. El profesor le había dado hoy una tarea con nota que decía así: “Encuentre dos puntos por los que pasa la función y = ax 2 − 2x + 1, cuyo eje de simetría es x = 1”. Resuelve el problema. 4 Christopher y Jessica son compañeros de curso y están haciendo una tarea con nota sobre las parábolas. En un momento 134 U2 MAT 3M (074-145).indd 134 2/11/11 15:30:40
  • 5 “¡Ah, qué bien! –exclama la señorita Marcela en la sala de clases–. Este es el mejor curso que tengo en Matemática. Estoy segura de que podrán encontrar los puntos de intersección de las siguientes parábolas: y = − x 2 + 2 x + 2, y = 3 x 2 − x + 1, indicando en qué cuadrantes están”. VIII. Desarrolla los siguientes ejercicios y marca la alternativa correcta. Revisa tus respuestas al final del libro y calcula tu porcentaje de logro. mejor a la función f ( x ) = x 2 − 1 ? la ecuación y ( t ) = 100 t − 5 t 2, donde t se mide en segundos y la altura y ( t ) se mide en metros. Entonces, ¿en cuál(es) de los siguientes valores de t estará el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo? 2 La trayectoria de un proyectil está dada por I. 6 s a. Solo en I b. Solo en II c. Solo en III d. Solo en I y en II e. Solo en I y en III DEMRE mejor a la función real f ( x ) = − ( x + 1) + 1 ? 2 y a. 1 –1 y 1 x 1 1 y c. d. y x e. x y –1 x x y x d. 1 y c. x y b. b. III. 14 s 3 ¿Cuál de los siguientes gráficos representa 1 ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a. II. 10s UNIDAD 2 comienzan a discutir lo siguiente: uno de 2 ellos dice que y = ( x − 5) + 8 tiene el mismo 2 máximo que y = − (5 − x ) + 8. ¿Qué opinas tú? Justifica matemáticamente tu respuesta. 1 x y x e. y DEMRE x DEMRE 135 U2 MAT 3M (074-145).indd 135 2/11/11 15:30:43
  • 1 2 ( x − 1) . 2 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? x 2 + 1 = x + 1 es: 9 El conjunto solución (o raíces) de la ecuación 4 Considera la parábola y = a. { } 0 1 b. { } c. { } 0,1 I. La parábola se abre hacia arriba. II. Su vértice se encuentra en (1, 0). III. Su eje de simetría es x = 1. a. Solo I b. Solo I y II c. Solo I y III d. Solo II y III e. I, II y III 2 x 2 + cuando x satisface la igualdad x 15 x+ = 16? x a. 4 d. 0 b. 3 e. – 1 c. 1 DEMRE DEMRE DEMRE 7 Si la base de un triángulo mide z y su altura z mide , entonces ¿cuánto mide el lado de 2 un cuadrado que tiene igual área que el triángulo? z a. 4 z 2 b. 2 c. z z d. 2 z2 e. 4 a. x 2 + 3 x − 2 b. x 2 + 5 x − 3 c. x 2 + 5 x − 2 igual a: 6 Las raíces (o soluciones) de la ecuación d. 4 y – 5 e. – 4 y 5 DEMRE 2 10 Si f ( x ) = x + 3 x − 4, entonces f ( x + 1 ) es 5 ¿Cuál es el menor valor para la expresión x ( x − 1) = 20 son: a. 1 y 20 b. 2 y 20 c. 4 y 5 d. { −1} 0, e. Ninguno de los anteriores. d. x 2 + 5 x e. x 2 + 3 x 2 11 Dada la parábola de ecuación y = x − 2 x + a, DEMRE ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)? I. Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x. II. Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x. III. Si a < 1, la parábola no intersecta al eje x. a. Solo I b. Solo II c. Solo I y II d. Solo I y III e. Solo II y III DEMRE equivalente a la ecuación x 2 − 2 2 x − 5 = 0? 12 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es a. x − 2 ( ) =3 b. ( x − 2 ) = 5 c. ( x − 2 ) = 7 d. ( x − 2 2 ) = 5 e. ( x − 2 2 ) = 1 2 2 2 2 2 DEMRE f ( x ) = x 2 − 3. ¿Cuál es el conjunto de los números reales t que satisfacen f ( t ) = 1 ? 8 Sea la función de números reales − a. { 2} b. { −2} 2, 2 c. { } d. { } 4 e. No tiene solución en el conjunto de los números reales. DEMRE 136 U2 MAT 3M (074-145).indd 136 2/11/11 15:30:50
  • ( x + 5) ( x − 5) − (5 − x ) (5 + x ) = 0, son funciones f ( x ) = 4 x + 3 y g ( x ) = x 2 + 3, es: 18 El gráfico que representa correctamente a las y a. 14 Las soluciones de la ecuación a. {x ∈ R5 − ≥ − 5} ∈ x{ }/ x ≤ x / R números que pertenecen al conjunto: 5x ≥ x / R b. {x ∈ R / − 5}< − ≤ − 3} ∈ x{ 5 / x/ c. {x ∈ R / 5 −}≥ − ≥R} R{ x{ }− 6 ≤ x ≤ 5 ∈ x ∈ e. {x ∈ R5 − ≤ − 6} ∈ x{ }/ x ≥ x / R (6 t − 9) = 9 son: x b. y x d. {x ∈ R / x ≥ − 5} 2 c. y 15 Las soluciones de la ecuación a. 2 y 1 b. 2 y 3 c. –2 y –1 x d. 0 y 2 e. 0 y 1 d. + 16 Sea g ( x ) : R → R , definida por g ( x ) = x − x − 6, entonces el conjunto de todos los valores de x para los cuales g ( x ) = 0 es: 2 3, a. { − 2} b. {−2} c. {−3, 2} 3 d. { } e. {−3, − 2} pertenece(n) a la función y = − x − 3 x + 2? I. ( 0, 2) 2 17 ¿Cuál(es) de los siguientes puntos II. (1, −2) III. ( −1, 4 ) a. Solo I b. Solo II c. Solo I y II UNIDAD 2 consecutivos positivos es 624. ¿Cuál es la suma de estos? a. 24 d. 50 b. 26 e. 54 c. 28 13 El producto de dos números pares d. Solo II y III e. I, II y III y x e. y x la ecuación: x 2 + px + q = 0 si: 19 Se puede determinar la suma de las raíces de (2) el valor de q es 2. (1) el valor de p es el triple de q. a. (1) por sí sola. b. (2) por sí sola. c. Ambas juntas, (1) y (2). d. Cada una por sí sola, (1) o (2). e. Se requiere información adicional. 137 U2 MAT 3M (074-145).indd 137 2/11/11 15:30:56
  • t2 x = 2 t − con x dada por la función 2 expresado en metros y el tiempo t en 20 La distancia que recorre un móvil viene segundos. Entonces, la distancia máxima que recorre el cuerpo es: a. 0 m d. 4 m b. 1 m e. 6 m c. 2 m 3 2x + = 5 es(son): x −5 x −3 a. 7 d. –7 y 4 b. 4 e. 7 y –4 c. 7 y 4 21 La(s) solución(es) de la siguiente ecuación 2 22 Dado el polinomio p ( x ) = 6 x − 5 x + 1, entonces el valor de p ( 0, 5) es equivalente a: a. p ( −1) d. p (1) e. p ( 2) b. p ( 0) 1 c. p   3 ( ) + → R, definida por g ( x ) = 3 x 2 − x − 6 , determine el valor 23 Sea g x = R de g ( −3) + 2 ⋅ g (3) a. – 15 b. – 1,5 c. 1,5 g (1 ) : d. 10,5 e. 15 24 La altura de un cono mide 12 cm. Para que su volumen sea de 100 π cm3, su radio basal debe medir: 3 cm cm 5 b. 5 cm a. c. 5 cm cm 3 d. 3 cm e. 3,5 cm 25 Una caja abierta se construye a partir de una plancha metálica rectangular, cortando cuadrados de lados x en cada una de sus esquinas y doblando los lados hacia arriba. Si la plancha es de 15 cm de ancho por 25 cm de largo, entonces el volumen de la caja es: a. x (15 − x ) ( 25 − x ) b. x (13 − x ) ( 23 − x ) c. x (7, 5 − x ) (12, 5 − x ) d. x (15 − 2 x ) ( 25 − 2 x ) e. x (15 − 2 x ) ( 25 − x ) 2 x 2 + 5 x − 3 = 0 es: a. –2,5 b. 0,5 c. 1 26 La suma de las soluciones de la ecuación d. 2,5 e. 3 ecuación cuadrática del tipo ax 2 = bx , siempre se puede afirmar que: 27 Con respecto a las soluciones de una a. tiene 2 soluciones, donde una de ellas es el opuesto de la otra. b. tiene 2 soluciones iguales. c. tiene 2 soluciones, donde una de ellas es siempre 0. d. tiene solo una solución. e. nunca tiene solución en R. 28 ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) solucion(es) de la ecuación 2 x ( x + 3) − 5 ( x + 1) = 5 x + 1? I. 3 II. – 4 III. – 1 a. Solo I b. Solo II c. Solo III d. I y II e. I y III 29 ¿Cuál de las siguientes ecuaciones NO tiene 2x 2 − 5x − 5 = 0 2x 2 − 7 x − 10 = 0 3x 2 − 8 x + 1 = 0 3x 2 + 2x + 1 = 0 4x 2 + 7x + 3 = 0 solución en los números reales? a. b. c. d. e. 138 U2 MAT 3M (074-145).indd 138 2/11/11 15:31:03
  • valor del segmento BD? (3 x − 16 ) u a. 25 3 b. 9 c. 34 3 D 9u B A ( x + 3) u (2 x + 6 ) u C d. 49 3 68 e. 3 E natural disminuido en 11 y el sucesor del número es igual al doble del número disminuido en 24. ¿Cuál es el número? 1 a. 13 d. 2 1 e. − b. 4 2 34 ¿En cuál(es) de los siguientes puntos se intersectan las parábolas asociadas a las funciones f ( x ) = x 2 + 5 x + 7 y g ( x ) = −2 x 2 + 3 x + 8 1 79 I.  ,  3 9    II. ( −1, 3) 1 79 III.  − ,   3 9    a. Solo I b. Solo III c. Solo I y II a a ( x + a ) − 3 x ( a + 3) = −4 x + , cuando x = 5? 2 a. 12,5 d. –12,5 b. 2 e. (a) y (c) c. –2 32 ¿Cuál es el valor de a en la ecuación f ( x ) = 4 x 2 + 3 x + 1, se puede afirmar que: 33 Dada la función cuadrática a. la parábola es cóncava hacia abajo. b. la parábola corta al eje y en el punto (0, −1). c. el vértice de la parábola es el punto ( −4, −3). d. el eje se simetría de la parábola es la 3 recta de ecuación x = . 8 e. la parábola no corta al eje x. d. Solo II y III e. Solo I y III 35 La función cuadrática que representa la parábola del gráfico adjunto es: y 31 El cociente entre el triple de un número c. 2 UNIDAD 2 30 En la figura adjunta, BC ///DE¿Cuál es el BC // DE . / 4 2 –5 –4 –3 –2 –1 0 –2 –4 1 2 x a. f ( x ) = x 2 + 5 x + 4 d. f ( x ) = − x 2 + 5 x − 4 b. f ( x ) = − x 2 − 5 x − 4 e. f ( x ) = − x 2 + 5 x + 4 c. f ( x ) = x 2 + 5 x − 4 pertenece(n) a la parábola de función 1 f ( x ) = x2 − 3 x + 6 ? 4 36 ¿Cuál(es) de los siguientes puntos I. (4, −2) (−2,13) 37   III.  −1,  4   a. Solo II b. Solo I y II c. Solo I y III II. d. Solo II y III e. I, II y III 139 U2 MAT 3M (074-145).indd 139 2/11/11 15:31:10
  • 37 ¿Cuál(es) de las siguientes funciones I. f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 cuadráticas tiene(n) el mismo mínimo? II. f ( x ) = − x 2 − 2 x − 1 III. f ( x ) = a. I y II b. I y III c. II y III 1 2 1 1 x + x+ 4 2 4 d. I, II y III e. Ninguna de ellas f ( x ) = x 2 − 10 x + 25 corta al eje x en el(los) punto(s): 38 La parábola asociada a la función a. ( −5, 0) b. (5, 0) c. (10, 0) d. ( −10, 0) e. (a) y (b) 2 2 x − 3 x + 4 es: 5 39 La imagen de – 3 bajo la función f (x) = 43 5 47 b. 5 53 c. 5 a. − 77 5 83 e. 5 d. 40 La preimagen de 6 bajo la función f ( x ) = −3 x 2 + 11 x es: 2 3 b. − 2 3 a. c. 3 d. (a) y (b) e. (a) y (c) Mis apuntes 140 U2 MAT 3M (074-145).indd 140 2/11/11 15:31:14
  • Criterios para autoevaluar tu aprendizaje Marca con una 8 según la evaluación de tu trabajo en esta unidad. Recuerda que hacer esta evaluación responsablemente te entregará información sobre tu proceso de aprendizaje. +++ ++– +–– Pude completar el mapa conceptual de la síntesis sin necesidad de mirar mi libro. Hice el crucigrama de la síntesis conceptual sin dificultad. Colaboré con mis compañeros en la realización de las actividades propuestas. Anoté lo que más me cuesta para luego repasar y volver a revisar estos contenidos. Soy capaz de explicar a otros los contenidos y los procedimientos para resolver los ejercicios de esta unidad. UNIDAD 2 Indicadores Entiendo el tipo de problemas cotidianos que se pueden resolver con estos contenidos. Me siento seguro de mis conocimientos sobre lo tratado en esta unidad y creo que podría resolver cualquier ejercicio que se me planteara. Calcula el porcentaje de logro que obtuviste en el ítem VI. Porcentaje de logro 29% a 0% Nota Nivel de mi obtenida aprendizaje 1,0 a 2,5 49% a 30% 2,6 a 3,5 59% a 50% 3,6 a 3,9 69% a 60% 4,0 a 4,7 Alerta Muy bajo Bajo Medio bajo 79% a 70% 4,8 a 5,4 Medio 100% a 90% 6,3 a 7,0 Alto 89% a 80% 5,5 a 6,2 Medio alto Porcentaje de logro Nº de respuestas correctas . 100 PL = 100 20 40 Cómo mejorar Los contenidos no han sido comprendidos. Debes repasarlos nuevamente y rehacer los ejercicios. Fíjate muy bien en los ejercicios resueltos. Debes pedir ayuda. ¡Ánimo! con trabajo y estudio se puede. La mayoría de los contenidos no han sido comprendidos. Debes volver a repasarlos y rehacer los ejercicios incorrectos. Pídeles ayuda a tus compañeros o compañeras. Vuelve a estudiar; seguro que lo lograrás. Una gran parte de los contenidos no han sido comprendidos en su totalidad. Rehaz aquellos ejercicios incorrectos, pero antes, vuelve a estudiar los contenidos. Trata nuevamente. Adquiriste una parte de los contenidos, pero aún faltan. Debes corregir aquellos ejercicios incorrectos y revisar los contenidos de los temas en que fallaste. Bien, has avanzado, aunque aún queda camino por andar. Has logrado entender una buena parte de los contenidos; sin embargo, aún faltan otros y afianzar los primeros. Corrige las respuestas erróneas; puedes pedir ayuda si lo deseas. Revisa los contenidos. ¡Puedes hacerlo mucho mejor! Has logrado adquirir gran parte de los contenidos. Revisa los ejercicios en los que fallaste y repasa aquellos contenidos. ¡Lo has hecho bien! Has logrado aprender todos o casi todos los contenidos tratados. ¡Muy bien! has logrado los objetivos propuestos. Sigue así. 141 U2 MAT 3M (074-145).indd 141 2/11/11 15:31:15
  • Evaluación de síntesis 1 (Unidades 1 y 2) I. Revisión conceptual: Responde las siguientes preguntas: 1 “¡Qué irónica es la vida! Tanto que estudié, pero mis nervios... ¡Y qué vergüenza pública! La única nota roja que hubo en el curso, en la penúltima prueba de Matemática, ¡fue la mía! Se me olvidó cómo multiplicar raíces de igual índice. Ojalá que a ti no te pase”. Escribe la regla correcta que has aprendido. 2 El profesor de Martina le propuso el siguiente desafío: calcular el valor de x en x 729 = 3. Martina lo pensó por algunos minutos y recordó que usando sus conocimientos de las raíces, y sus propiedades, y utilizando la raíz cuadrada de 2 y/o 3, podría resolver el desafío. Hizo algunos cálculos y dio su respuesta. ¿Cuál fue la respuesta de Martina y cómo lo hizo? 3 Ruperto repite una y otra vez:“¿Será verdad que si una parábola es cóncava hacia arriba y además su vértice está en el segundo cuadrante, entonces el valor del discriminante de su ecuación es menor que 0?” ¿Qué opinas tú? II. Resuelve los siguientes ejercicios. Verifica tus respuestas: 1 Aplicando las propiedades de las raíces, calcula lo pedido y expresa tu resultado en su mínima expresión: a. b. c. 2 5 Considera ax + bx + c = 0, a distinto de cero, una ecuación de segundo grado, con soluciones: −b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac x= ;x = 2a 2a a. ¿Qué obtienes al sumarlas? b. ¿Qué obtienes al multiplicarlas? ( x +5 + x −5 2 ) 48 x 3 + 9 27 x 5 − 2 75 x 7 : 3 x d. 3 + 5 2 15 ) 2 Resuelve las siguientes ecuaciones. No 4x +1 +5= x olvides comprobar tus soluciones: a. b. 3 x +1 5x +9 = 5 7 a. 2 x (3 x − 1) − 3 = x ( 2 x + 9) 3 Resuelve las siguientes ecuaciones: b. 4 A Malaquías le preguntan si es verdadero que en una función cuadrática de la forma f ( x ) = ax 2 + c , con a y c menores que cero, se tendrá que su máximo es c. Él dice que sí, pero no sabe justificar. ¿Cuál es la explicación? ( 320 + 2 245 − 5 720 c. d. e. x2 + 3 x + 9 − =1 5 4 x +3 7 2 x −8 + = 3 x +5 8 x −1 x + 5 = x +7 5x −6 = 4 + x −2 4 Resuelve los siguientes ejercicios; coloca todo el desarrollo en tu cuaderno: a. Encuentra el valor mínimo de todos los productos posibles entre dos números si ellos se diferencian en 20 unidades. 142 U2 MAT 3M (074-145).indd 142 2/11/11 15:31:19
  • III. Resuelve los siguientes problemas y coloca todo el desarrollo en tu cuaderno. Recuerda revisar tus respuestas en el libro. 1 En el cuaderno de Matemática de Juan hay dibujado un triángulo rectángulo en que los catetos están marcados con x + 2 y 2x – 2. Más abajo dice “la hipotenusa es 15; ¿cuánto miden los catetos?” Al parecer Juan dejó su cuaderno en la mesa, porque no pudo hacer este ejercicio. ¿Puedes tú dar la respuesta? x ⋅ x + 1 = x − 1 ⋅ x − 2, planteada por su profesora, y dijo que la solución es 1. Sin embargo, Mauricio discrepa de ella y le insiste en que su respuesta es incorrecta. ¿Puedes decir cuál de ellos está en lo cierto? 2 Melisa resolvió la ecuación 3 Una empresa modela el precio de venta de sus desodorantes en función del costo de producción bajo la función P ( c ) = 5 c 2 + 3 c + 1 000 , con P y c en pesos. ¿Cuál es la ganancia por artículo si el costo de producción es $530? (Aproxima los resultados al entero según el contexto del problema). 4 Los juegos de computador están en oferta en la tienda “Bac@n” y esta semana se puede comprar un cierto número de juegos, todos al mismo precio por $30000. Como tú no puedes ir hoy, tu mejor amigo va a la tienda. Al llegar allá, el vendedor le hace una nueva oferta con la que podría comprar tres juegos más, ya que le hará una rebaja de $500 por cada juego. Muy contento después de esta compra, te llama por teléfono y te dice que te regalará el juego que más te guste de los que compró si le dices ¿cuántos juegos compró y cuánto le costó cada uno? 5 Uno de los focos que están en el frontis del colegio al que asiste Antonio está quemado. Ese día por la mañana ve a don Ernesto, el auxiliar, quien lleva la escalera para hacer el cambio. Antonio le ofrece ayuda, pero él gentilmente le indica que no es necesario, pues la apoyará en el pie de la palmera que está en el antejardín. Con gran habilidad, don Ernesto extiende la escalera y sube con seguridad a la tarea requerida, mientras deja en el suelo el siguiente bosquejo: E VA L U A C I Ó N DE SÍNTESIS b. Escribe dos puntos del plano cartesiano que pertenezcan a la parábola de 2 ecuación y = −2 x + 8 x − 15 y que sean simétricos con respecto a la recta de ecuación x = 2. c. Determina el máximo de la función y la 1 preimagen de 0 bajo y = − x 2 + 4 x − 5. 2 d. Determina los puntos de intersección de la curva de ecuación y = 5 x 2 + 2 x − 7 con la recta de ecuación y = 9. 10 m d+4 d Identifica qué son d y d + 4. Acto seguido, encuentra los respectivos valores. 6 Naira acude al trabajo de su mamá, que es estilista, y le comenta que debe subir el precio de corte de cabello con tratamiento, pues en los otros salones contiguos lo tienen mucho más alto. Su madre le indica que con el precio actual tiene clientes fijos por semana y esto significa $200000 en total. “¡Pero mamá!, si subes por lo menos un poco más, el gasto del arriendo del local te será más fácil”. Su madre le indica que subiendo en $1000 pesos, este aumento le hará perder 4 clientes fijos. Y agrega:“Tú sabes lo difíciles que son estas cuatro clientas”. Naira interrumpe:“Está bien, mamá, pero por lo 143 U2 MAT 3M (074-145).indd 143 2/11/11 15:31:21
  • menos sube el precio en $1 000 para que, semanalmente, dispongamos de $30000 más”. Finalmente, subió el precio de corte con las sugerencias de su hija. ¿Cuál es el precio actual de corte de cabello con tratamiento? 7 Agustina y Estela trabajan en una editorial y están haciendo un estudio de ventas debido a la publicación de un libro en el exterior. Los datos que se manejan en el departamento de finanzas son los siguientes: cada libro se venderá a U$50 y los costos totales (en dólares) por la producción de x libros están dados por la función C ( x ) = x 2 − 100 x + 25. Ellas necesitan establecer el número de libros que deben venderse para lograr la máxima utilidad y el monto de ésta. a. ¿Qué precio se debería fijar a cada libro para que el ingreso sea máximo? b. ¿Cuál es este ingreso máximo? 8 Durante la hora de recreo, Tobías va en búsqueda de Nicasio, su hermano mayor, para saber cómo le había ido en la prueba de Física. Lo buscó pero no lo halló. Decidió ir a su sala, pero solo encontró lo siguiente escrito en la pizarra: “Control de Física Nº 3: En el patio, tú lanzas una pelota hacia arriba, con velocidad de salida de 10 m/s, que alcanza una altura de 5 m. Calcula el tiempo de ida y vuelta a tus manos”. Considera g = 10 m s2. En eso estaba, cuando llegó la profesora, quien le explicó que la fórmula que relacionaba la altura con el tiempo y la velocidad era la siguiente: halcanzada = vsalida ⋅ t de ida − 2 2 agravedad ⋅ ( t de ida ) ¿Puedes contestar tú la pregunta del control? ¿Es imagen o preimagen lo que calculas?  a −1 a +1  +  , se obtiene: 1 Al desarrollar   a +1 a −1    IV. Marca la alternativa correcta: 2 a. 4 a a2 − 1 4 a2 − 1 b. 2 a −1 2 c. 4 a + 4 a − 1 a2 − 1 d. 2 4 a2 + 4 a + 4 a2 − 1 e. 5 2 Al resolver la ecuación x + 3 + 4 = 5 x + 19, se obtiene como solución: a. –2 d. 4 b. 6 e. 6 y 4 c. –2 y 6 f ( x ) = 4 x − 5 + 2 alcanza su mínimo es: 3 El punto del plano donde la función 5  a.  ,2  4  5  b.  , −2  4   5  c.  − , −2   4   5 d.  2,   4 5  e.  −2,  4  f ( x ) = x + 3 − 5 y g ( x ) = 6 x − 9 es: 4 El punto de intersección de las funciones a. (1, −3)  13 −41  b.  ,   36 6  c. ( −1, −3) d. (a) y (b) e. ∅ x +2 x 61 es: + = x x + 2 30 a. 120 d. –2 b. 20 e. –120 c. 2 5 El producto de las soluciones de la ecuación 144 U2 MAT 3M (074-145).indd 144 2/11/11 15:31:26
  • 2 I. x − 7 x + 12 = 0 el mismo conjunto solución? II. x + 1 10 + =4 2 x +2 III. ( x − 1) ( x − 2) = 2 ( 2 x − 5) a. Solo I y II b. Solo I y III c. Solo II y III d. I, II y III e. Ninguna de ellas 7 El área de un terreno rectangular mide 180 m . 2 Si el largo mide el doble del ancho disminuido en 9 m, ¿cuántos metros de alambre se necesitan para cercarlo? a. 12 m d. 54 m b. 15 m e. 81 m c. 27 m 1 2 3 1 x − x − es el punto: 2 4 8  3 13  d.  ,   4 32  8 El vértice de la parábola asociada a la función f ( x ) =  3 5  a.  − , −   4 32  3 5  b.  ,   4 32   3 13  c.  − , −   4 32   3 13  e.  , −   4 32  f ( x ) = −3 x 2 − 13 x + 10, se puede afirmar que: 9 Con respecto a la función I. su gráfico posee concavidad hacia abajo. II. su gráfico corta al eje x en los puntos 2  y  3 ,0  ( −5, 0).   III. El eje de simetría de su gráfico es la recta 13 y=− 6 a. Solo I b. Solo II c. Solo I y II E VA L U A C I Ó N DE SÍNTESIS 6 ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones tienen d. Solo II y III e. I, II y III 10 La producción de una empresa de cristalería está dada en función de los años de existencia de la empresa por la siguiente función cuadrática P ( a ) = −3 a2 + 48 a, donde a está en unidades y P en docenas de productos. ¿Cuántos artículos se han producido a los 12 años de comenzada la empresa? a. 2 448 b. 1 728 c. 504 d. 204 e. 144 Mis apuntes 145 U2 MAT 3M (074-145).indd 145 2/11/11 15:31:29
  • UNIDAD 3 Desigualdades e inecuaciones DESIGUALDADES E INECUACIONES Concepto de desigualdad Propiedades Intervalos Concepto de inecuación Sistemas de inecuaciones Resolución de inecuaciones Resolución de sistemas de inecuaciones Problemas de aplicación a la vida diaria 146 U3 MAT 3M (146-215).indd 146 2/11/11 15:32:31
  • OBJETIVOS FUNDAMENTALES Y TRANSVERSALES En esta unidad: Conocerás y utilizarás conceptos matemáticos asociados al estudio de los sistemas de inecuaciones, mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de formulación, verificación o refutación de conjeturas. Aplicarás y ajustarás modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas. Resolverás desafíos con grado de dificultad creciente, valorando tus propias capacidades. Percibirás la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. Razonarás lógica y deductivamente para ir en búsqueda de nuevos métodos de solución a los problemas que se plantean. 147 U3 MAT 3M (146-215).indd 147 2/11/11 15:32:32
  • CONTENIDOS Concepto de desigualdad. Propiedades de las desigualdades. Intervalos. Aplicación de las desigualdades a la interpretación de información. Inecuaciones lineales con coeficientes enteros y fraccionarios. Inecuaciones lineales con valor absoluto. Inecuaciones cuadráticas y fraccionarias. Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una incógnita. APRENDIZAJES ESPERADOS Planteo y resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita; análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones. Relación entre las ecuaciones y las inecuaciones lineales. En esta unidad se espera que: 1 Distingas entre inecuaciones y desigualdades. 2 Conozcas y apliques procedimientos para resolver inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. 3 Plantees y resuelvas problemas que involucren inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. 4 Analices la existencia y pertinencia de las soluciones encontradas. 5 Utilices la notación matemática apropiada en desigualdades e inecuaciones. 6 Distingas ecuaciones e inecuaciones en términos del tipo de fenómeno que cada una puede modelar. 148 U3 MAT 3M (146-215).indd 148 2/11/11 15:32:33
  • UNIDAD 3 Igualdad-desigualdad son patrimonio de todo ser humano, expresadas tanto en su intimidad como en su relación con los otros y el medio ambiente en general. Seguramente estarás siempre escuchando, leyendo o reflexionando que debiera haber igualdad de género, de acceso a la salud, a la educación, a un trabajo digno, a una vejez digna. Todas estas y, sin duda, otras tantas preocupaciones forman parte de un país que quiera el pleno desarrollo de sus habitantes y de manera armónica. Por otro lado, la delincuencia, la drogadicción, la violencia y el narcotráfico se encuentran muy asociados a la desigualdad de oportunidades, y los conocemos como los males sociales actuales que golpean directamente a nuestra comunidad, sociedad, nación. De manera incuestionable, la igualdad de género ha sido una de las preocupaciones que se han evidenciado más fuertemente en el presente siglo. Cabe recordar la participación de mujeres notables en los siglos XIX y XX, como Javiera Carrera, quien se desenvolvió en forma anónima dentro de la esfera del poder durante los inicios independentistas de Chile; Eloísa Díaz y Ernestina Pérez, quienes se recibieron de médico en 1887; Gabriela Mistral, Premio Nobel de Literatura, y, por supuesto, Michelle Bachelet Jeria, la primera mujer que asume como Presidenta de Chile. Pero hay mucho más que hacer en estos y otros niveles para lograr vivir en una nación cada vez más libre, auténtica, democrática, comprometida y abierta a todos los cambios que se requieran para alcanzar la plenitud de todos. Nuestra contribución es desde la matemática. El estudio y las aplicaciones de las desigualdades matemáticas en varios aspectos de la vida cotidiana y del saber en general pueden ser un buen inicio para colaborar de manera constructiva a disminuir las desigualdades sociales que hemos mencionado anteriormente. Para Miguel de Guzmán, matemático español (1936-2004), el impacto de la matemática en nuestro entorno cultural es evidente. Nuestros sistemas de organización manifiestan esquemas matemáticos que les sirven de soporte. Nuestra arquitectura revela estructuras matemáticas subyacentes. Nuestros medios de información y de comunicación son cada vez más potentes gracias a los avances recientes de la informática, que aúna de forma espectacular los progresos matemáticos y tecnológicos. Te invitamos en esta unidad a trabajar con la Matemática, observar, descubrir y aprender sobre desigualdades, inecuaciones matemáticas y sistemas de inecuaciones. La igualdad de género y el avance de las mujeres son dimensiones intrínsecas del desarrollo humano equitativo y sustentable (PNUD) Miguel de Guzmán fue presidente del Comité Mundial para la Enseñanza de la Matemática y uno de los matemáticos más relevantes de habla hispana. Fuente: http://www.fundacionempresaspolar.org/matematica2/fasciculo13.pdf 149 U3 MAT 3M (146-215).indd 149 2/11/11 15:32:34
  • Conocimientos previos En matemática es siempre necesario definir los conceptos con los que se trabajará. Sin embargo, hay algunos que no pueden ser definidos matemáticamente y que, aún así, se aceptan y se entienden de manera intuitiva. Algunos de ellos son: el de punto, recta, plano, espacio y, por supuesto, el de conjunto. Entenderemos la idea de conjunto como una colección de elementos 1. Representaciones: Por extensión Se nombran sus elementos uno a uno, separados por una coma. Ellos se encierran entre llaves. Por ejemplo: A = {a , e , i , o, u} , B ={ 2,4,6} Por comprensión En diagrama (de Venn) Se indica el conjunto de referencia al que Se llaman diagramas de Venn. pertenecen los elementos y la condición que ellos A B cumplen. También se escribe entre llaves. a 2 i 4 , A = {x ∈ abecedario / x es vocal} e B = { X ∈  / x es par y menor que 8} o u 6 2. Pertenencia ( ): Diremos que un elemento pertenece (∈) a un conjunto si está en él. En los ejemplos anteriores, podemos escribir que: a ∈ A , 2∈ B , m ∉ A , 5 ∉ B. 3. Subconjunto ( ): Diremos que un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos del primer conjunto son elementos también del segundo conjunto. Con los conjuntos A y B de los ejemplos a 2 1,3,5}⊄ B . a anteriores: { , i , u}⊂ A , { }⊂ B , { , b, c}⊄ A , { 4. Conjunto universo ( ) y conjunto vacío ( o { }): Se llama conjunto vacío al conjunto que no tiene elementos. Se llama conjunto universo al conjunto referencia de otros conjuntos. En los ejemplos anteriores, un conjunto universo para A sería el abecedario y el conjunto universo para B, los números naturales (N). 5. Unión ( ), intersección ( ) y diferencia ( – ): Son operaciones entre conjuntos. Recordemos cada una: a. Unión: Se llama conjunto unión de A y B ( A ∪ B ) al conjunto formado por los elementos de A o de B (es análogo a la suma). Los elementos repetidos se anotan solo una vez. b. Intersección: Se llama intersección de A y B ( A ∩ B ) al conjunto formado por los elementos que están en A y en B (elementos que se repiten). c. Diferencia de conjuntos: Se llama diferencia de A y B ( A − B ) al conjunto que tiene por elementos todos los elementos del conjunto A que no están en B. 150 U3 MAT 3M (146-215).indd 150 2/11/11 15:32:36
  • F 2 4 6 8 10 12 G 14 F 2 12 6 8 10 4 G 14 a b 2 Si A = { , e , i , o, u} y B = { , e , o}, entonces A − B = { , i , u}. a Cuando la diferencia de dos conjuntos es con respecto al conjunto universo, es decir, U – A, se le llama complemento de A y se anota AC (son todos los elementos del universo que no están en A). A a e i u b B o UNIDAD 3 Ejemplo: 6,8,10,12,14}, entonces, 1 Si F = { 2,4,6,8,10} y G = { 6,8,10} b. F ∩ G = { a. F ∪ G = { 2,4,6,8,10,12,14} Trabaja Resuelve los siguientes ejercicios. Escribe todo el desarrollo en tu cuaderno. No olvides revisar tus respuestas en el solucionario. = {x ∈  / 2 < x < 9} N 2,4,6,8,10}, determina: 1 Dados los conjuntos A = { 1,2,3,4,5}, BB = {x ∈  / 2 < x < 9} y C = { a. A − B b. A ∪ B d. ( B − C ) ∪ A c. B ∩ C e. A ∪ B ∪ C f. A ∩ B ∩ C 2 Dados los siguientes conjuntos, determina los conjuntos pedidos y escríbelos por extensión y comprensión: a. A ∩ B c. B − A b. C − ( A ∪ B ) e. ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) d. A ∩ B ∩ C f. C − ( A ∩ B ) A 13 5 4 3 7 9 27 B C Evaluación Responde las siguientes preguntas: • ¿Entendí los conceptos planteados y los ejercicios resueltos? • ¿Soy capaz de definir los conceptos de conjunto, subconjunto, pertenencia? • ¿Soy capaz de definir los conceptos de unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos? • ¿Pude hacer la actividad planteada? • ¿Trabajé bien en mi grupo, de manera que nuestro trabajo fuera productivo y que todos pudiéramos aprender? Recuerda que si no has logrado entender algún concepto o ejercicio, debes preguntar a tu profesor o profesora. 151 U3 MAT 3M (146-215).indd 151 2/11/11 15:32:37
  • Desigualdades, ¿parecidas a la igualdad? En esta sección aprenderás Qué son las desigualdades, en qué se diferencian de las igualdades. Aprenderás también cuáles son sus propiedades y para qué se usan. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 5, 12, 13, 14, 22, 23, 24a, 24d, 24c • Comprender y resolver: 2d, 4, 7, 15, 16 • Relacionar y aplicar: 2, 6, • Interpretar y generar ideas: 24d Trabaja más... Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 2, 3 • Comprender y resolver: 4, 5, 6, 11, 12, 15, • Relacionar y aplicar: 7, 8, 9, 10, 13, 14 Margarita está creciendo muy rápido y hoy ha recibido la primera mesada que tanto quería tener. Sus padres han calculado el dinero que gasta en locomoción más el que sería prudente que gastara al mes en otros asuntos, y le han dado $12000. Ella, cuando recibió el dinero, sacó sus propias cuentas y dijo así: “En locomoción gasto $260 todos los días que voy al colegio y $100 todos los días en colación. Esto da un total de $7 200 al mes, si considero que voy 20 días al colegio. Entonces, a lo más, podré gastar $4 800 en otras cosas”. Su papá, atento a los cálculos de su hija, le preguntó: –¿Puedes escribir los cálculos que acabas de hacer? Margarita escribió: Locomoción: 130 + 130 (ida y vuelta por día). Colación: 100 por día. 130 + 130 + 100 = 360 por día. Como son 20 días, entonces, 360 ⋅ 20 = 7 200 y como me dieron 12000, entonces, 12000 – 7200 = 4 800 para mí. –Muy bien –dijo el papá–, has hecho muchas igualdades que son ciertas, pero acabas de decir que “A lo más, podrás gastar $4 800”. ¿Se podrá escribir eso con símbolos matemáticos? Después de pensar, Margarita en un abrir y cerrar de ojos, le dijo a su papá: –Lo escribiré así: $4 800 Mis gastos < $4.800 o Mis gastos $4 800. –Muy bien, hija, –dijo su papá, y acotó–: lo que acabas de plantear es una desigualdad y ambas cosas se pueden resumir de la siguiente $4 800 manera: Mis gastos ≤$4 800. Al igual que Margarita, en esta unidad nosotros aprenderemos más acerca de las desigualdades y su aplicación. Comencemos. Un concepto que ya manejas bien es el de igualdad. Cuando tienes en una mano 5 monedas de $100 y en la otra una moneda de $500, dices que la cantidad de dinero que tienes en ambas manos es igual (o es la misma) y lo anotas con el signo =. ¿Qué es una desigualdad matemática? Una desigualdad es la manera matemática que tenemos para decir que algo no es igual. Así, cuando dos cantidades no son iguales, es porque una es mayor que la otra, necesariamente. 152 U3 MAT 3M (146-215).indd 152 2/11/11 15:32:37
  • Ahora bien, hay ocasiones en que, como Margarita, necesitamos escribir, por ejemplo, que una cantidad x es más grande o igual que 9, entonces utilizamos x ≥ 9. Y, por el contrario, si queremos escribir que la cantidad x es más pequeña o igual que 9, escribimos, x ≤ 9. Por lo tanto, una desigualdad es una expresión matemática que indica que dos cantidades no son iguales. Los símbolos utilizados son: ≠ : distinto > : mayor Recordar y archivar Existe una ley que te parecerá muy obvia, pero que no debes olvidar; se llama ley de tricotomía y dice que: Para cada par de números reales, a y b es verdadera una, y solamente una, de las siguientes proposiciones: a<b o a=b o a>b a<b o a=b o a>b o o UNIDAD 3 Pensemos en los números 3 y 7; entonces se puede anotar que: 3<7 o 7 >3 o 7 ≠ 3. < : menor También se ocupan (y permiten la igualdad) los símbolos: ≥ : mayor o igual ≤ : menor o igual Con las desigualdades podemos expresar algunas de las situaciones reales que constatamos a diario. De esta manera, por ejemplo, podemos traducir los siguientes enunciados: 1. Los mm de lluvia caída hasta el momento están por debajo de los de un año normal. Si llamamos Lc a los mm de lluvia caída hasta el momento y Ln a los mm de lluvia en un año normal ⇒ Lc < Ln. 2. Pilar cree que su puntaje de la PSU estará entre 600 y 650 puntos. Si llamamos p al puntaje ⇒ 600 < p < 650. 3. Clemente dice que el mp3 que quiere debería costar a lo más $25000. 25.000 Si p es el precio del mp3 ⇒ p ≤25000. 4. Augusta tiene como mínimo 3 días más de trabajo para terminar su tesis. Si d son los días de trabajo ⇒ d ≥ 3. 5. Consuelo dice que su sueldo es distinto de $300000. 300.000 Si s es el sueldo ⇒ s > 300.000 o s <300000. 300000 Toma nota Estrictamente, en matemática entenderemos que a < b , si y solo si b − a > 0 Si decimos que a es distinto de b, a ≠ b , entonces entenderemos que a > b o a < b Para entretenerse Resuelve los problemas de esta página. Te desafiamos. http://www.iesdionisioaguado. org/mates/index.php?option =com_content&task=blogcate gory&id=27&Itemid=48 153 U3 MAT 3M (146-215).indd 153 2/11/11 15:32:38
  • ¿Tendrán propiedades las desigualdades? Por supuesto que sí; veamos algunas de ellas: 1. En un cumpleaños, Marcial y Pascuala han recogido dulces cuando se rompió la piñata. Marcial recogió 12 y Pascuala, 10. Si luego abrieron sus sorpresas y cada una traía 3 dulces, ¿seguirá teniendo más dulces Marcial que Pascuala? 10 < 12 / +3 10 + 3 < 12 + 3 13 < 15 Sí, ¿verdad? Esto es lo que nos dice la primera propiedad, que en lenguaje algebraico se escribe: Si a, b y c son números reales con a < b, entonces a + c < b + c. ¿Funcionará esto también si c es negativo? Veamos: / −5 3 < 12 3 − 5 < 12 − 5 (Y la desigualdad se mantiene) −2 < 7 Por lo tanto, podemos resumir que: Al sumar o restar un número real a ambos lados de una desigualdad, esta se mantiene, es decir, no cambia el sentido de ella. 2. Loreto y Lucía están concursando en un programa de televisión. Harán girar una ruleta y sabrán qué pasará con el dinero que cada una ha ganado hasta el momento. Loreto ha ganado $100000 y Lucía $250000. Cuando la ruleta se detuvo marcaba “ambas triplican su premio”, ¿seguirá teniendo más dinero Lucía que Loreto? ¿Verdad que sí?; esto es lo que nos dice la segunda propiedad, que en lenguaje algebraico se escribe así: Si a, b y c son números reales, con a < b y c > 0, entonces ac < bc. ¿Funcionará si c < 0 ?; veamos: / ⋅ −3 100000 < 250000 –300000 ? – 750 000 (Observa, ¿qué sucedió?) Para que la desigualdad que planteamos sea correcta, debemos escribir que: –300000 > – 750 000; por lo tanto, la desigualdad ya no se mantiene, sino que cambia de sentido. Por lo tanto: Si a, b y c son números reales, con a < b y c < 0, entonces ac > bc. 154 U3 MAT 3M (146-215).indd 154 2/11/11 15:32:38
  • Nota que lo mismo se cumple para la división. Recuerda que dividir es multiplicar por el inverso multiplicativo del divisor. 3. Razonaba Hugo de la siguiente forma: “Tengo dos cuadrados de lados 6 cm y 9 cm, respectivamente; por lo tanto, el área del cuadrado de lado menor será más pequeña que el área del otro cuadrado. Por otra parte, si tengo dos cuadrados de áreas distintas, entonces la medida del lado del cuadrado de área mayor será más grande que la medida del lado del otro cuadrado” . ¿Estás de acuerdo? Parece lógico. Podemos escribir que si 6 < 9 ⇒ 62 < 92 36 < 81, se cumple. 6 cm 9 cm UNIDAD 3 Al multiplicar una desigualdad por un número real positivo, la desigualdad se mantiene. Si se multiplica por un número real negativo, la desigualdad cambia de sentido. Y que si 81 > 36 ⇒ 81 > 36 9 > 6 , se cumple. ¿Pasará esto siempre para cualquier par de números a y b? Observemos el siguiente cuadro comparativo, atendiendo al sentido de la desigualdad: a b Cuadrados ayb a2 y b2 –1 27 –1 < 27 8 –15 8 > –15 –2 –3 –2 > –3 1 < 729 64 < 225 4<9 Cubos a3 y b3 –1 < 19683 512 > –3375 –8 > –27 Raíces cuadradas a y b −1 –1 −1 −1 –15 no es real −1 y −1 –2 –3 no es real no son reales Raíces cúbicas 3 a y 3b –1 < 3 2 > –15 2 > 3 −15 –2 > –3 2 > 3 −15 3 −15 2> Hugo se dijo: “Al parecer, estas relaciones no se cumplen siempre, solo con reales positivos”. Por lo tanto, solo podemos generalizar que: Si a, b son números reales positivos y a < b, entonces an < bn y n a < n b , con n∈ , n ≥ 2. N En otras palabras, al elevar a un número positivo o extraer raíz (de cualquier índice) a una desigualdad formada por términos positivos, la desigualdad se mantiene. 155 U3 MAT 3M (146-215).indd 155 2/11/11 15:32:38
  • 4. No todos los alumnos del curso llevaron el aserrín y la tierra de hoja pedidas para la clase de Tecnología. Jacinta y Boris miraron sus materiales y notaron que Jacinta tiene menos aserrín que tierra de hoja y Boris, también. Si juntan sus materiales, ¿seguirá habiendo más tierra de hoja que aserrín? Es también muy lógico. Supongamos que Jacinta tiene 1 kilo de aserrín y 2 kilos de tierra de hoja y que Boris tiene 1,5 kilos de aserrín y 1,7 kilos de tierra de hoja, entonces: Toma nota Si a ≠ 0, entonces a2 > 0. Esto dice que el cuadrado de todo número real distinto de cero es siempre positivo. Recordar y archivar La propiedad de transitividad nos dice que, por ejemplo, si a < b y b < c ⇒ a < c . Pero esto también puede ser escrito como a < b < c 1 < 2 y 1,5 < 1,7, 2,5 < 3,7, se mantiene la desigualdad. (Se suman los términos de la desigualdad, juntando ambas cantidades de aserrín y ambas de tierra de hoja) Concluyendo, se tiene que: Si a, b, c y d son números reales, a < b y c < d, entonces a + c < b + d. Al tener dos desigualdades del mismo sentido, se pueden sumar sus miembros y mantener la desigualdad. 5. Emilio y Hugo, compañeros de curso, discutían sobre el siguiente tema. –Mira, Hugo –decía Emilio– si tienes que a < b y b < c, entonces a < c, siempre. –No entiendo, no entiendo, no logro entender. –Mmmm... piénsalo de la siguiente manera: Si tú tienes 20 pesos menos que yo, y yo tengo 30 pesos menos que mi hermano, entonces tú también tienes menos dinero que mi hermano. –Ah, verdad, es fácil; por supuesto, es muy lógico. Entonces, si a, b y c son números reales, se cumple siempre que: Si a ≤ b y b ≤ c ⇒ a ≤ c Si a ≥ b y b ≥ c ⇒ a ≥ c Esta propiedad se llama transitividad. 156 U3 MAT 3M (146-215).indd 156 2/11/11 15:32:39
  • Existen dos grandes aplicaciones de ellas que queremos compartir contigo. La primera y más usual en un contexto cotidiano es la aplicación a la resolución de inecuaciones, que trataremos en la próxima sección. La segunda, menos usada en contextos cotidianos, pero igualmente importante, es la aplicación a la demostración de algunas reglas matemáticas, la que veremos a continuación. Antes de comenzar, es bueno que aclaremos dos conceptos que suelen confundirse: no es lo mismo mostrar que algo sucede, que demostrar que aquello sucede. UNIDAD 3 ¿Para qué se usan las propiedades de las desigualdades? Cuando mostramos que algo sucede, damos un ejemplo, puede ser numérico, de que determinada regla se cumple. Cuando demostramos que algo sucede, debemos hacerlo de forma general, de modo que usando una serie de pasos lógicamente ordenados y correctos, ya sean algebraicos o geométricos, se pueda concluir que la afirmación señalada es verdadera. Veamos algunos ejemplos de demostraciones y mostremos también otras proposiciones. 1. Al hermano de Jorge, que estaba en 1º medio, le dieron una tarea de Matemática. Debía demostrar geométricamente que 2 ( a − b ) = a2 − 2 ab + b2. El profesor había hecho en clases la demostración geométrica para el cuadrado de la suma, así que para él no fue tan difícil construir la figura adecuada con rectángulos y cuadrados de colores. a a−b b a a−b b (a − b) 2 (a − b) a−b b b2 b 2 = a2 − 2 ⋅ ( b ( a − b ) ) − b2 Observa que: (a − b) = a2 − 2 ⋅ ab − b2 − b2 b (a − b) aa − b −b ( ) = a − 2 ab + 2 b − b2 2 = a2 − 2 ab + b2 2 b 157 U3 MAT 3M (146-215).indd 157 2/11/11 15:32:40
  • Después que su hermano había logrado demostrar lo que quería, Jorge observó un momento... ¡Claro!, pensó, y los ordenó de esta manera. 2ab b (a − b) b2 b (a − b) b2 b2 b (a − b) 2 b (a − b) (a − b) b2 a2 + b2 Él había mostrado, sin querer, que a2 + b2 ≥2 ab 2. Jorge estaba tan contento que le llevó su descubrimiento al profesor. Él se alegró mucho; siempre lo hacía al ver lo que sus estudiantes podían deducir y ser capaces de razonar. Entonces, le dijo: “Mira el siguiente cuadro, donde a siempre es positivo”: 0,2 0,5 0,8 1 2 4 8 a 1 a 5 2 1,25 1 0,5 0,25 0,125 a+ 1 a 5,2 2,5 2,05 2 2,5 4,25 8,125 Jorge pensó y pensó, miró por un buen rato tratando de encontrar una regularidad, calculó lo mismo para otros valores y luego le dijo a su profesor: 1 –Profesor, creo que a + ≥ 2, pero no se me ocurre cómo lo a puedo demostrar. El profesor le dijo que un muy buen punto de partida era tener claro qué es lo que se quería demostrar, y lo invitó a aprender una estrategia para ello. Una forma de demostrar una proposición es: 1º suponer que esta es cierta; 2º trabajarla haciendo una serie de pasos lógicos permitidos (en esto nos ayudarán las propiedades de las desigualdades); 3º concluir algo que sabemos que es cierto de antemano. 158 U3 MAT 3M (146-215).indd 158 2/11/11 15:32:41
  • 1 a + ≥2 2 2 a + 1≥2 a a + 1 − 2 a≥ − 2 a + 2 a 2 a2 − 2 a + 1≥0 (a 2 − 1 ≥0 2 ) / ⋅a / −2 a (Como a es positivo, la desigualdad se mantiene) (Si restamos en ambos lados, la desigualdad se mantiene) (Se resta y se ordena) (El lado izquierdo es un cuadrado de binomio) (Esto es cierto siempre (recuerda que el cuadrado de todo número es siempre mayor o igual a cero) UNIDAD 3 De este modo, y para luego presentar la demostración formalmente ordenada, podemos escribir los pasos desde el último al primero y tendremos que a partir de algo que es cierto, obtenemos lo que se quería. Veamos esta forma de demostración en acción: Ahora anotamos ordenadamente los pasos desde el último al primero: 2 / resolviendo el cuadrado de binomio ( a − 1) ≥ 0 2 a −2a +1≥ 0 / +2 a 2 a +1≥ 2a /:a 1 a+ ≥2 a 3. A Jorge esto le pareció bien, pero pensó que sería mejor partir de algo que se sabía cierto y llegar a lo que se quería demostrar. Aunque entendía el método de su profesor y funcionaba bien después de todo, ¿por qué se iba a suponer cierto algo que no se sabía? Se lo comentó a su profesor y él lo desafió. –Demuestra, como tú dices, lo siguiente: Si a > 0, b > 0 y ab = 1, entonces (1 + a ) (1 + b ) ≥ 4 Jorge lo pensó un poco y anotó lo que sabía: a > 0, b > 0 y ab = 1, lo 1 que significa que b = . a Sin saber muy bien a lo que iba a llegar, decidió escribir lo que recién habían demostrado; él conocía a su profesor y generalmente usaba lo que ya había hecho para hacer nuevas cosas. 1 1 Dijo así, a + ≥ 2 / pero b = a a (Pensó que debía llegar a 4) /+2 a+b≥2 a+b+2≥ 4 Y ahí quedó pensativo; por un momento casi se dio por vencido, pero el profesor lo animó y le aconsejó separar el 2 en 1 + 1 y mirar a lo que quiere llegar: / Pero ab = 1 a + b+1+1≥ 4 / Factoricemos a + b + ab + 1 ≥ 4 b ( a + 1) + ( a + 1) ≥ 4 / Factoricemos ( a + 1) ( b + 1) ≥ 4 –¡Ufff! –suspiró agotado–. ¡Lo logré! –Este fue un buen desafío Jorge, –dijo el profesor. 159 U3 MAT 3M (146-215).indd 159 2/11/11 15:32:45
  • Trabaja Responde en el cuaderno y no olvides revisar tus respuestas. 1 Escribe en el cuaderno cada oración y luego tradúcela a lenguaje matemático usando <, ≤, > y ≥ a. Menos siete es menor que siete. b. Eduvigis dice que en la prueba de Matemática le fue bien, por lo que espera tener una nota (n) de seis hacia arriba. c. Pancracio comenta que la estatura de Jerónimo (E), a lo sumo, es un metro setenta y cinco”. d. Ludovico es más viejo que Anacleto. e. Agustina dice que no pesa 65 kg. f. En la tienda electrónica El huidizo electrón, el precio de un pendrive de 1 GB fluctúa entre los $7500 y los $14590. g. La suma de las longitudes de dos lados de un triángulo siempre supera a la longitud del tercero. h. Para preparar un exquisito tazón de café no se alcanzan a ocupar tres cuartos litros de agua. i. El valor de la casa nunca ha sido ni a lo menos de 2 000 UF, pero tampoco para decir 3 000 UF. j. El total obtenido de sumar el cuadrado de un número con el cuadrado de otro, a lo menos supera el doble producto de ellos. 2 Usando las propiedades de las desigualdades y las demostraciones que hemos estudiado, en su cuaderno demuestren que: a. La suma de dos reales positivos es positiva. 1 ≤ 1. 1 a 1 1 d. Si a y b son positivos, tal que a < b, < . b a a+b < b. e. Si a < b, entonces a < 2 1 ≥ 2. f. Si c es positivo, se tiene que c + c b. La suma de dos reales negativos es negativa. c. Si a es mayor o igual a 1, entonces g. Para el cumpleaños de Moira, sus padres acuerdan comprar la oferta “una torta de 1 kg” en Sabores irresistibles. Moira pensó: “Esas tortas son inmensas, pero ¿alcanzará con una para todos?” Son siete amigos, su curso de 30, más la familia. Se inquietó, porque al repartirla en trozos iguales, las porciones serían pequeñas. ¿Qué hacer? Si invitaba a más personas, los trozos serían cada vez más y más pequeños. Probablemente sería imposible trozar la torta para tal cantidad de gente. ¿Cómo demostrarías que, a pesar de dividirla entre muchas personas, siempre recibirían algo? ¿o piensas lo contrario? Justifica tu respuesta matemáticamente. h. Porfirio Cantaclaro, siempre porfiado y buscando explicaciones para todo, no podía quedarse haciendo la actividad de la clase, que era crear una tabla de valores para verificar que a ≤ a . Molesto, exclamó: “A mí me gustan las cosas por lo claro. Quiero que me expliquen hasta cuándo tengo que seguir dando valores a a para verificar que a ≤ a . Lo encuentro aburrido, cansador y me hace perder mi tiempo”. Escribe un análisis del porqué siempre a ≤ a . Considera los tres casos: a < 0, a = 0 y a > 0. 160 U3 MAT 3M (146-215).indd 160 2/11/11 15:32:45
  • i. Sandra y tú tienen su tesis y deben demostrar ante su curso que 0 < mayor o igual a 1. n < 1 , siendo n natural n+1 0,5 décimas. A ustedes les bastó hacer solo una pregunta, y la respuesta fue: “Todo número natural es menor que su sucesor”. Con solo esta información, escribe el desarrollo de la demostración solicitada en tu tesis. j. Malaquías se preocupó al notar que no se sabía la regla para la multiplicación de desigualdades cuando estas son del mismo sentido. Se acercó al profesor Paoa y se lo preguntó. Él le indicó que, para comenzar, trabajara con números positivos. Por ejemplo, 3 < 7 y 0,5 < 0,75. Entonces, lo que debes probar es que 3 ⋅ 0,5 < 7 ⋅ 0,5. Le sugirió que efectuara 3 < 7 / ⋅0,5 y por otro lado 0,5 < 0,75/ ⋅7 . Malaquías hizo las operaciones y estableció que como 3 ⋅ 0,5 < 7 ⋅ 0,5 y además 0,5 ⋅ 7 < 0,75 ⋅ 7, entonces 3 ⋅ 0,5 < 0,75 ⋅ 7. UNIDAD 3 Tienen derecho a preguntar a algún compañero o compañera, pero por cada pregunta se bajará i. ¿Estás de acuerdo con la expresión que estableció Malaquías? ii. Basándote en lo que le sugirió el Señor Paoa, demuestra que: si a, b, c, d son positivos, tal que a < b y c < d, entonces a ⋅ c < b ⋅ d 3 En la fábrica de tapas redondas A la medida, los diámetros de ellas van de, a lo menos, 20 mm hasta un poco menos de los 50 mm. ¿Entre qué valores fluctúan las áreas de dichas tapas? que se demora aproximadamente 50 segundos, en promedio, en digitar un informe estándar. Un día restaban solo cinco minutos para terminar su tarea y ocupó 35 segundos en contestar una urgente llamada. Escribe una desigualdad que indique el número de informes que alcanza a digitar dentro del tiempo que le queda. 4 Macarena es estudiante y en tiempo de vacaciones trabaja digitando los datos de varias empresas. Sabe 5 Usando las desigualdades vistas en la unidad, demuestra lo escrito en el rectángulo de la figura. Mi perímetro es a lo menos 8 cm y mi área es a lo menos 4 cm2 a+ b+ 1 b 1 a 161 U3 MAT 3M (146-215).indd 161 2/11/11 15:32:46
  • 6 Aldo y Yasna, amigos y compañeros de curso, están observando algunas curiosidades numéricas que se han producido al desarrollar ciertos problemas sobre volúmenes. –Observa, Aldo, que si la arista a de un cubo es mayor que uno, la superficie de una cara, a2, numéricamente será mayor que este número, y el volumen a3, será numéricamente mayor que los dos números anteriores. –Lo que dices se escribe 1 < a < a2 < a3. Pero si la arista es menor a 1, supongamos que para facilitar las p ideas, ella vale una fracción irreductible . ¿Ocurrirá lo mismo? q 3 2 p p p p –Intuyo que es al revés, es decir,   <   < < 1 . Investiguemos a partir de < 1 y veamos si q q q q podemos demostrarlo. Ahora, demuéstralo tú. 7 –Necesitamos comprar por lo menos 12 pantallas LCD iguales, de 42 pulgadas cada una, para colocar en las salas de espera y algunos pasillos del hospital, Sr. Ramírez. –¿Y a cuánto asciende ese gasto, Tomás? –pregunta este rascando su barbilla. –$5544000 si son exactamente 12 –responde Tomás, el encargado de la compra–. Pero nos pidieron colocar más si era posible. –Como encargado de finanzas, recuerdo que de la última compra que usted hizo sobraron $2700000. Ahora bien, puedo darle en forma extraordinaria, a lo más, $4 200000, que es de lo que disponemos, por ahora, para este tipo de gastos. De acuerdo a este diálogo: a. escribe las desigualdades que debe satisfacer la cantidad de dinero para efectuar esta compra. b. estima la cantidad máxima de pantallas LCD que se pueden comprar con el dinero reunido. Números reales: ¿qué número es el que está justo antes que otro? A Tobías le encantaba poner a prueba a su hermana Martina, porque siempre resolvía todas sus preguntas. Ese día le preguntó: “¿Qué número es el que está ubicado antes que el 5 en la recta numérica?” Martina pensó en lo que sabía sobre números reales. El profesor les había dicho que existen infinitos números reales entre dos de ellos y, aunque en ese momento ella no le había dado mucha importancia, ahora parecía el momento adecuado para pensarlo. Si lo que su profesor dijo era cierto (ella no lo dudaba), entonces tenía un problema para contestar la pregunta de Tobías. Podía, por ejemplo, tomar el 4,9, pero entre este número y 5 habría infinitos números. Podía tomar el 4,9999999999, pero entre este número y el 5, también habría infinitos números. “¡Qué problema esto de los números reales!, pensó”. Fue donde su hermano y le comentó lo que había pensado; entonces, para su asombro, él la felicitó y le explicó lo siguiente: “Verás, Martina. Como es imposible decir cuál es el número que está ubicado justo antes que otro en la recta numérica, en Matemática se usa 162 U3 MAT 3M (146-215).indd 162 2/11/11 15:32:46
  • una notación especial que llamamos intervalos. Estos permiten anotar un conjunto de números reales, que es subconjunto de R, y especificar, exactamente, los números que están en ellos”. 0 2 UNIDAD 3 Observa la siguiente recta numérica, ∞ Este gráfico representa el conjunto de todos los números reales que son mayores que 2 o iguales que 2 (nota que sobre el 2 hay un círculo de color negro). Lo anotaremos 2,∞  o 2,• ). Diremos que el intervalo es cerrado    en 2 (2 pertenece al intervalo) y abierto en ∞ (no podemos cerrarlo en infinito porque nunca acaba). Esto es, x ≥ 2. En notación conjuntista se escribe {x ∈ R / x ≥ 2}. Ahora mira, 0 2 ∞ Este gráfico representa el conjunto de todos los números reales que son mayores que 2 (nota que sobre el 2 aparece un círculo de color blanco). Lo anotaremos 2,∞  o ( 2,• ). Diremos que el intervalo es   abierto en 2 (2 no pertenece al intervalo, este comienza justo en el número que viene después de 2) y en infinito. Esto es, x > 2. En notación conjuntista, {x ∈ R / x > 2}. Como los intervalos son conjuntos, entonces podemos operar con ellos. Hagamos algunos ejercicios. 1.  −4,5 ∩ 3,9     –4 0 3 5 9 Recordar y archivar Existen cuatro tipos de intervalos. Estos son:   a , b  cerrado: ambos extremos o números límites, a y b, pertenecen al intervalo. abierto [a , b o  [a, b[ o a, b ) por la derecha[ o a, b ):  el límite de la izquierda (límite inferior) pertenece al intervalo, pero el límite de la derecha (límite superior) no. o ( a , b] ]a, b o ]a, b] abierto por la izquierda] o ( a, b]: el límite de la izquierda (límite inferior) no pertenece al intervalo, pero el límite de la derecha (límite superior) sí. abierto o ], , ) ]a, b[ o ( aabb[ o ( a, b ): ninguno de sus límites, ni a ni b, pertenecen al intervalo. Como se está pidiendo la intersección de ambos intervalos, entonces el intervalo solución está formado solo por los números que pertenecen a ambos intervalos a la vez (lo pintado de dos colores). Esto es, 3,5 . En notación conjuntista, {x ∈ R /3 < x £ 5}.   2.  −∞ , −2 ∪  −4,5     U3 MAT 3M (146-215).indd 163 –4 –2 0 5 163 2/11/11 15:32:48
  • Como se está pidiendo la unión de los intervalos, entonces el intervalo solución será el formado por los números que pertenecen a ambos conjuntos (todo lo que está achurado). Esto es,  −∞ ,5. En notación conjuntista, {x ∈ R / x < 5}.   3. 3,5 ∩  −4, −1     –4 –1 0 5 3 5 En este caso, la solución se anota como ]−• , 3] ∪ [5, •[ . En notación conjuntista, {x ∈ R / x £ 3 ∨ x ≥ 5}, o bien R − (3, 5). 5. R − ( −4, 8 ) 3 En este caso, la solución es ∅ (conjunto vacío). No hay intersección entre los intervalos (ningún número real pertenece a ambos intervalos a la vez). 4. ]−• , 3] ∪ [5, •[ 0 –4 0 8 En este caso, la solución son los intervalos que contienen a todos los números que no están en el intervalo dado ( −4, 8 ). Esto es ]−• , −4] ∪ [8, •[ (nota que –4 no pertenece al intervalo dado; por lo tanto, pertenece al intervalo solución; igual pasa con 8). En notación conjuntista, {x ∈ R / x £ − 4 ∨ x ≥ 8}. 6.  −6,10 (teniendo en cuenta como universo al conjunto R)   C –6 0 10 Como el complemento de un conjunto es todo lo que está en el universo y no está en el conjunto, la solución es ]−• , −6[ ∪ [10, •[ 164 U3 MAT 3M (146-215).indd 164 2/11/11 15:32:52
  • Trabaja Responde en tu cuaderno; no olvides revisar tus respuestas. a.  −5,5   c.  −1,5   a. {x ∈ R / x ≥ − 6} c. {x ∈ R / −11 < x £ 1} b.  −3,7    d. ( −8, 4 ) 9 Escribe cada conjunto como intervalo, sin olvidar representarlos gráficamente. b. {x ∈ R / −1 £ x £ 1} d. {x ∈ R /13 < x < 17} UNIDAD 3 8 Expresa cada intervalo usando conjuntos y haz su representación gráfica. 10 Escribe como intervalo y en notación conjuntista los siguientes subconjuntos de R: 0 a. b. c. –3 d. a. Los números mayores que 7. –4 –2 0 0 2 1 3 0 5 11 Usando notación de intervalos, escribe en tu cuaderno cada oración dada. b. Los números de 7 en adelante. c. Aquellos números que no superan a 7. e. Solo los números comprendidos entre –9 y 20. d. Aquellos números cuyo inverso aditivo es mayor o igual a 7. f. Solo los números comprendidos entre –9 y 20, ambos inclusive. g. Únicamente los números que fluctúan entre –9 y 20. h. Todos los números que superan a , pero que no alcanzan a 13 . i. El conjunto de números que a lo sumo superan a 20 en una unidad. j. Esos números que a lo menos superan a 20 en una unidad. 165 U3 MAT 3M (146-215).indd 165 2/11/11 15:32:54
  • 12 En tu cuaderno, dibuja sobre la recta real y escribe con notación de intervalo el resultado de las operaciones indicadas. Para los ejercicios a. al f., considera los intervalos A, B, C y D definidos en R: A =  −4,4    a. A ∪ D b. A ∩ C c. A ∩ ( C ∪ B ) B = ( −8, −4 ) d. B C e. D − B f. B ∪ C En los ejercicios g. al j., usa los intervalos M, N, P, S definidos en R: 9   7  N =  −3,  P =  − , 5 M = ]−•, −3] 2    3  g. ( M ∪ N ) ∩ ( P ∪ S ) D = ]−5, 7] C = [ −1, 5[ i. S C ∩ M C h. M ∩ ( N ∪ P ∪ S ) j. S = [ −1,•[ (M ∪ N ) − (P ∪ S ) C C Revisemos lo aprendido (7,0 - 6,0) (5,9 - 5,0) (4,9 - 4,0) (3,9 - 1,0) Marca el casillero correspondiente según la evaluación hecha de tu proceso de aprendizaje. MB: B: S: I: Muy bien Bien Suficiente Insuficiente Indicador MB B S I Entiendo el concepto de desigualdad. Sé qué propiedades tienen las desigualdades. Entendí la forma propuesta para resolver los ejercicios. Fui capaz de resolver correctamente los ejercicios y actividades propuestas. Entendí por qué es necesario demostrar y cómo hacerlo en el ámbito de las desigualdades. Pregunté mis dudas a quien y cuando correspondía. Si has contestado 3 o más cruces en las columnas de Suficiente (S) o Insuficiente (I), debes repasar lo visto y volver a hacer los ejercicios que fueron más difíciles de resolver. 166 U3 MAT 3M (146-215).indd 166 2/11/11 15:32:56
  • En el colegio de Tobías se unen las asignaturas de Biología, Física y Química para realizar un trabajo de investigación interdisciplinario con los estudiantes de 3º medio. A él y su grupo se les ha designado el tema del Calentamiento global. Parte de la información que han logrado reunir es la siguiente: ¡alerta! CALENTAMIENTO PODRÍA DESENCADENAR CATÁSTROFES GLOBALES UNIDAD 3 ¿Para qué sirven los intervalos? Las consecuencias del cambio climático más incendios, Según un estudio de los científicos de la Universidad de Bristol (Reino Unido), el aumento de la temperatura global provocará a aparentemente pequeñas. Los deforestación e inundaciones. Demostraron que el clima reacciona desproporcionadamente a variaciones de temperatur científicos británicos han realizado un cálculo a partir de varios modelos de cambio climático para los próximos 200 años. deforestación y 1º Si el incremento sobrepasa los 2°c, se notarán las consecuencias en el medio ambiente, entre ellas: más fuegos, más más inundaciones. 2º Si la temperatura supera los 3°c, se esperarán catástrofes incontrolables. La amazonia sufriría sequía, Las zonas más afectadas a una subida de la temperatura del planeta de casi 2°c serían la amazonia y las regiones árticas. y la tundra del ártico los cambios en el clima por la pérdida de masa forestal e incendios. en cuanto a las regiones árticas, los bosques boreales desaparecerían. de china, canadá y américa Junto con la amazonia, las zonas que padecerían mayor pérdida forestal serían la asiática del continente europeo, el este estar en peligro, y el 60% si supera los 3°c. central. Si la temperatura aumenta en 2 o 3°c, el 30% de sus bosques podrán Los períodos de sequía La sequía y la falta de agua dulce constituirían los nuevos problemas relacionados con el cambio climático en otras regiones. serán cada vez más intensos en la zona Variación de la Temperatura Global Tierra - Océanos (ºC) oeste del continente africano, el este de y países del sur de ee.UU., américa central ºC europa, como españa, pues los árboles 0,6 perderían su fuerza y facilitarían el desborde de los ríos, desencadenando 0,4 inundaciones en áfrica tropical y el de Sudamérica. noroeste 0,2 Los investigadores descubrieron que si el de las temperaturas es mayor a aumento 3°c, los depósitos de carbono terrestres 0,0 podrían comenzar a liberar a la atmósfera el carbono que mantienen atrapado, –0,2 empezando una reacción en cadena que aumentaría aún más la cantidad de dióxido de carbono (cO2) en la atmósfera, –0,4 empeorando el efecto invernadero. 2000 Año 1980 1960 1940 1920 1900 1880 científicos del clima es parte El estudio de los del Proyecto QUEST (Quantifying and Gráfico con datos del estudio que muestran cómo la tierra ha ido aumentando su temperatura en Understanding the Earth System), 18 de aproximadamente 0,2°c por década en los últimos 30 años. agosto, 2006 U. Bristol - Actualites - CA Fuente: Goddard/NaSa. l#REC Fuente: http://www.circuloastronomico.cl/secciones/calentamiento2.htm 167 U3 MAT 3M (146-215).indd 167 2/11/11 15:33:01
  • Algunas de las conclusiones de Tobías y su grupo fueron las siguientes: • Entre los años 1880 y 1900, es decir, en el intervalo [1 880, 1 900], el promedio de las temperaturas se encuentra en el intervalo    −0,37; −0,1, o sea, la fluctuación era de 0,27ºC. • Entre los años 1990 y 2000, es decir, en el intervalo [1 990, 2000], el promedio de las temperaturas se encuentran en el intervalo 0,11;0,57 , o sea, la fluctuación era 0,46ºC.   • Si comparamos estas dos informaciones, podemos decir que los promedios mínimos fluctúan en el intervalo  −0,37;0,11 y los   promedios máximos en el intervalo  −0,37;0,11.Esto nos lleva a 0,1;0,57     estimar que los promedios más bajos han aumentado en 0,48ºC y los máximos en 0,67ºC. Adriana trabajó con otro grupo. Les correspondió el tema: Servicio Médico Legal de Chile (SML). Parte de su investigación dice así: % de Variación anual 2007-2008 de las pericias tanatológicas según Servicio Médico Legal Servicio Médico Legal “El Servicio Médico Legal es una entidad pública, dependiente del Ministerio de Justicia de Chile, creada el 30 de agosto de 1915, con el objetivo de asesorar técnicamente a los Tribunales de Justicia del país a través de estudios y análisis desde el punto de vista legal y penal de hechos violentos que han sido denunciados a las fiscalías y Tribunales de Justicia. Dentro de sus labores, también está el promover el desarrollo de la investigación científica en el área y colaborar con las cátedras que imparten esta disciplina en las universidades y Fuerzas Armadas del país”. El registro estadístico de Tanatología (estudio de los efectos que produce la muerte en los cuerpos. Fuente: RAE) considera la práctica de autopsias médico legales en cadáveres, restos humanos y/u orgánicos. Además, incluye las ampliaciones efectuadas a petición de jueces y fiscales. Dichas ampliaciones son efectuadas a los peritajes ya realizados y debieran consistir en especificar algún punto del protocolo de autopsia sobre los cuales dichas autoridades han manifestado incomprensión. En la estadística realizada por el SML, podemos observar la variación porcentual en las autopsias realizadas en el año 2008 con respecto a las realizadas en el 2007. Constitución Coyhaique Talca San Antonio Linares La Serena Illapel Osorno Puerto Montt Temuco Angol Rancagua Chillán Arica Ancud Iquique Los Angeles Melipilla Valparaíso Punta Arenas Concepción San Felipe Copiapó Ovalle Valdivia Santiago Calama Antofagasta Parral Quillota Curicó San Fernando Cauquenes Aysén 32,4 28,4 28,2 26,5 21,3 18,5 16,1 14,1 12,7 11,5 10,8 9,6 9,1 8,1 6,4 2,7 1,8 1,4 1,3 0,7 0,7 –1,7 –1,9 –6,4 –9,2 –9,8 –18,2 –25,1 –28,8 –39,4 –45,9 –53,6 52,9 67,6 % de Variación anual Fuente: http://www.sml.cl/portal/pdfs/Compendio_2008.pdf 168 U3 MAT 3M (146-215).indd 168 2/11/11 15:33:02
  • • Se ha presentado en el año [2007, 2008] una variación positiva que fluctúa en el intervalo porcentual [0, 7; 67, 6]. Esto se traduce en un aumento de autopsias en las regiones que se encuentran dentro de este intervalo. Algunas de las conclusiones del grupo de Adriana fueron: Podemos concluir, entonces, que los intervalos pueden ser utilizados en la entrega de información a partir de gráficos u otra fuente. Mira el siguiente video. ¿Existe alguna relación matemática entre las ventas de algún producto y el clima? Averígualo en la página dada y descúbrelo. http://www.planetamatematic o. com/index.php?option=com _ seyret&Itemid=172&task=vid eodirectlink&id=132 UNIDAD 3 • Se ha presentado en el año [2007, 2008] una variación negativa que fluctúa en el intervalo porcentual [ −53, 6; −1, 7]. Esto se traduce en una disminución en las autopsias realizadas en las regiones pertenecientes a este intervalo. Para entretenerse Marcela está muy preocupada por la calidad del aire de Santiago. Ella es muy buena deportista, pero hay días en que no puede hacer ejercicios porque hay alerta ambiental. Ella decidió averiguar más sobre el tema y recolectó la siguiente información: Índices de calidad del Aire por Material Particulado Respirable (ICAP) El modelo Cassmassi pronostica el valor máximo de concentración promedio de 24 horas de material particulado respirable PM10, para el período de 00 a 24 horas del día siguiente, expresada en microgramos por metro cúbico (µg m3), en cada una de las estaciones de la red MACAM-2 clasificadas como estaciones de monitoreo con representatividad poblacional (EMRP). Estas son: Av. La Paz, La Florida, Las Condes, Parque O’Higgins, Pudahuel, Cerrillos y El Bosque. Es importante destacar que debido a que el modelo pronostica la calidad del aire del día siguiente, la declaración de un episodio por parte de la autoridad no implica que el aire ICAP 0 – 100 Bueno 101 – 200 Regular 201 – 300 Malo 301 – 400 Crítico 401 – 500 Peligroso ≥ 501 Excede Categoría ICAP 0 100 200 300 400 400 haya empeorado, sino que podría llegar a empeorar. Es decir, los episodios se decretan en forma preventiva para evitar alcanzar los índices pronosticados y así proteger la salud de la población. PM10 º g m3 Nivel Episodio (24 hrs.) 0 150 195 240 285 330 0 0 1 2 2 3 Alerta Preemergencia Preemergencia Emergencia Fuente: http://www.conama.cl/rm/568/article-1183.html “Aquí también existen los intervalos –dijo Marcela–. Puedo escribir, por ejemplo, que habrá alerta si el índice de partículas en el aire está en el intervalo [201, 300]”. 169 U3 MAT 3M (146-215).indd 169 2/11/11 15:33:04
  • Trabaja Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios. Revisa tus respuestas. 13 La madre de Josefa le contó que tenía un embarazo de ocho semanas. Fueron juntas a la consulta del médico y allí vieron un cuadro de las categorías del recién nacido, conforme a las características físicas y neurológicas. Decía: a. Recién nacido pretérmino (RNPT), antes de 37 semanas de gestación. b. Recién nacido a término (RNAT), de 37 a 42 semanas de gestación. c. Recién nacido postérmino (RNPT), más de 42 semanas de gestación. Escribe esta información usando intervalos. 14 Vladimir estudia en un liceo comercial y realizó una tarea acerca de la clasificación empresas CORFO. Según una cita que él encontró en Internet (http://www.asimet.cl/clasif_empresas.htm), las empresas se clasifican por cantidad de trabajadores y ventas anuales. La estructura empresarial de Chile de 1997, según número de trabajadores, se clasifica por: Empresa grande: más de 200 trabajadores (11, 1 % ) Pyme: 5 – 199 trabajadores ( 40, 2 % ) Micro: hasta cuatro trabajadores ( 44, 4 % ) Sin identificar: ( 4, 3 % ) Vladimir decide presentar esta información usando intervalos. ¿Lo puedes ayudar? 15 Froilán, profesor de Matemática, estaba escuchando un debate por la TV acerca de la natalidad y mortalidad de los chilenos. Uno de los participantes explicaba que:“En el contexto de América Latina, Chile se clasifica, junto con Costa Rica, Brasil y Argentina, entre los países en etapa de transición demográfica avanzada, la que se caracteriza por tasas de natalidad baja y de mortalidad moderada y baja”. El siguiente gráfico muestra el número de madres que dan a luz por primera vez de acuerdo a su edad. Número de madres por primera vez, 1996 - 2000 - 2004 40000 30000 Nº madres 1996 2000 2004 20000 10000 0 < 20 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45 o + Edad Fuente: Gráfico extraído de http://www.ine.cl/canales/menu/boletines/enfoques/2007/pdf/dia_de_la_madre.pdf Froilán, rápidamente, anotó la dirección de la página web y aprovechó esta información para proponerte algunas actividades. En ellas debes responder utilizando intervalos o desigualdades, cuando corresponda: a. ¿Entre qué valores fluctuaba el número de madres primerizas en el año 2004, aproximadamente? b. ¿Entre qué edades se ha producido la mayor diferencia en el número de mujeres primerizas? c. Usando desigualdades, ordena los años en forma decreciente, según el número de madres primerizas, en el intervalo etario 20,24  .   d. ¿Qué puedes concluir con respecto a la natalidad y madres primerizas en Chile durante estos años? Coméntalo con tu curso. También puedes preguntarle a tu profesor de Historia para analizarlo desde un punto de vista histórico y social. 170 U3 MAT 3M (146-215).indd 170 2/11/11 15:33:06
  • Recuerda que: • Una desigualdad es una expresión matemática que indica que dos cantidades no son iguales. Los símbolos utilizados son: ≠ : distinto > : mayor que < : menor que ≥ : mayor o igual que ≤ : menor o igual que UNIDAD 3 Sintetizando • Con las desigualdades podemos expresar un subconjunto de números reales. • Todo subconjunto de números reales se puede escribir usando intervalos. • Existen muchas relaciones matemáticas que se pueden demostrar usando desigualdades. • En la vida diaria utilizamos comúnmente las desigualdades y los intervalos para entregar información acerca de variados temas. Revisemos lo aprendido Antes de comenzar la próxima sección de esta unidad, responde las siguientes preguntas que te ayudarán a revisar lo aprendido: • ¿Puedo explicar por qué son necesarios los intervalos de número reales? • ¿Entendí la notación de intervalos y puedo representar que un número pertenece a un intervalo o no pertenece a él? • ¿Fui capaz de resolver correctamente los ejercicios de las actividades planteadas? • ¿Soy capaz de interpretar información entregada a base de intervalos? • ¿Soy capaz de comunicar cierta información ayudándome de intervalos? ¿Entiendo cuál es su finalidad? 171 U3 MAT 3M (146-215).indd 171 2/11/11 15:33:06
  • Trabaja más... Trabaja en forma individual 1 Sabiendo que x < y e y ≤ z , todos positivos, para cada ejercicio establece la relación entre ambas expresiones usando los símbolos de desigualdad estudiados. a. z .........x b. x + 21......... y + 21 c. 2 z .........2 y d. − z ......... − y e. y − 2.........x − 2 f. − 1 x ......... − 1 z 2 2 g. 13 z − 8......13 y − 8 h. 2 x + y z .........2 z + 5 5 2 2 i. y − 8.........z − 7 2 Usando desigualdades, estima y compara los perímetros y áreas del cuadrado, la circunferencia y el trapecio. B 3 La siguiente tabla muestra la probabilidad (p), expresada en porcentaje, de cada una de las pintas de un dado cargado. 3 24 4 14 no están incluidos en: -2 –1,4 0 0,5 1 2,2 a. el intervalo azul. b. la intersección de los tres intervalos. c. la unión del intervalo negro con el rojo. : 7 Si y = −0, 3 x − 0, 5 : 8 Si y = 1 − 8 x : a 2 14 6 Escribe los intervalos de aquellos puntos que b. ¿en qué intervalo se encuentran los valores de x, si −3 < y ≤ 3? r Pinta 1 Probabilidad (%) 15 1 . Demuéstralo. 2 Indicación: inicia tu desarrollo a partir 2 de ( a − b ) ≥ 0. entonces ab ≤ a. ¿en qué intervalo se encuentran los valores de y, si {x ∈ R / x < − 5}? b a 2 2 5 Si a y b son positivos y a + b = 1 , 5 17 6 16 Usando desigualdades, ordena en forma decreciente las probabilidades de cada número. 2 4 Sabiendo que a ≥ 0 , demuestra que: a. ¿en qué intervalo se encuentran los valores 15 de y si − < x ≤ 0 ? 8 b. ¿en qué intervalo se encuentran los valores de x si 2 ≤ y < 5 9 Si y = − x ( x − 1 ): a. ¿en qué intervalo se encuentran los valores de y si 1 < x < 6 ? b. ¿en qué intervalo se encuentran los valores de x si −42 ≤ y ≤ −20 ? a. a4 ≥ 0 6 b. a ≥ 0 172 U3 MAT 3M (146-215).indd 172 2/11/11 15:33:09
  • ¿En qué intervalo fluctúa el precio de dicha lavadora? 10 Observa el gráfico y responde a lo que 9 12 “Mamá y mi tía Coné han estado haciendo 8 7 6 5 4 3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 1 2 3 4 5 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 a. Traza en el IV cuadrante una circunferencia de centro ( 4, −6 ) y radio 2. b. Indica entre qué valores fluctúan las abscisas de los puntos interiores del triángulo. c. Indica entre qué valores fluctúan las ordenadas de los puntos que conforman el rectángulo. d. Indica entre qué valores fluctúan las ordenadas de los puntos interiores del rombo. e. Indica entre qué valores fluctúan las abscisas de los puntos que conforman la circunferencia y su interior. 11 “¡Aló, Mamá! ¡Ven de inmediato a Tiendas Ring, ya que están haciendo una gran liquidación de todos sus productos! ¡No me digas que no!, porque te cuento que el menor de los descuentos es de un 30% y, según lo que veo, hay hasta un 70%, que es lo máximo. Mamá, ¿te acuerdas de la lavadora que querías comprar y valía $110000? Adivina a qué precio está ahora con estas rebajas”. U3 MAT 3M (146-215).indd 173 dieta durante un mes, para bajar de peso. Llevaban exitosamente 10 días sin pasarse de las 1 000 calorías diarias, establecidas por la nutricionista, pero al undécimo día, mi mamá había consumido ya 550 calorías, y tía Coné, quien ya llevaba consumidas 700 calorías, llegó con bocaditos que le había regalado su vecina”. Ambas los miraron y se dijeron: “Si aportan 85 calorías cada uno, ¿qué importa si nos comemos algunos sin dejar ninguno a medio comer?” Y así lo hicieron. Haciendo uso de intervalos, ¿cuántos podrían aceptar cada una para no romper sus dietas? UNIDAD 3 se solicita. 13 Los hermanos Chumingo y Anselmo están discutiendo acerca de las dimensiones del terreno que Venancio, un primo de ellos, compró al interior de Doñihue. –¡Que eres porfiado, Anselmo! Te digo que lo cercó con cuatro corridas de 1 000 m de alambre de púas cada una. –Bueno, si eso fuera así, recuerdo que en un momento le escuché decir que el ancho del terreno era de 200 m a 220 m, inclusive... –Puede ser así, porque Venancio agregó que estaba pagando contento su terreno de 7 hectáreas. –Oye, Chumingo, ¿y de qué medida será más o menos el largo del terreno? –Me asalta la duda si con estas medidas que conversamos, realmente tiene 7 hectáreas... Con la información dada en el enunciado y usando intervalos, responde. a. ¿Cuáles serán las posibles medidas para el largo de este terreno? b. ¿Podrá ser de 7 hectáreas el mencionado terreno? Justifica tu respuesta. huecas, de base cuadrada, con 80 cm2 cada una de ellas como base. Había un gran misterio en ellas y pensó: “Es necesario medir las alturas interiores, de lo contrario, la investigación podría empantanarse” Invirtiéndolas sobre . soportes, las fue llenando con agua, usando vasos graduados de laboratorio. La de mayor volumen fue 320 cm³ y la de menor, 256 cm³. 14 Jacinto miró las siete pirámides metálicas, 173 2/11/11 15:33:10
  • “Ya sé cuánto podrían medir las otras alturas”, se dijo. Encuentra el rango en que fluctúan las alturas de las otras cinco pirámides. de 20ºC, que es la actual, y ahora vamos atravesando el antiguo puente de acero, de 1500 m de longitud. Pero en auto, hijita, no nos demoraremos nada en cruzarlo. –Papá, este verano ha sido muy caluroso. ¿Hace mucho calor también en esta ciudad? –Si, hijita. Más que en la nuestra. Aquí la temperatura puede llegar a los 35ºC. Pero en invierno no es muy frío. Lo más bajo que recuerdo es –5 ºC. –Papá, y ¿qué le ocurre al puente cuando hace mucho calor? 15 –La temperatura primaveral en esta ciudad es –Se dilata, es decir, se hace más largo y cuando hace mucho frío, el puente se contrae. Conforme a la conversación anterior, tomando como temperatura inicial 20ºC y ayudado por la fórmula que aparece en el recuadro, donde el coeficiente de variación lineal del acero es 11 ⋅ 10−6 °C−1: a. Indica en qué intervalo de longitud se encuentra dicho puente en verano. b. Indica en qué intervalo de longitud se encuentra dicho puente en invierno. Variación Longitud = • de longitud inicial Coeficiente de Variación de variación lineal • temperatura del acero Mis apuntes 174 U3 MAT 3M (146-215).indd 174 2/11/11 15:33:11
  • Inecuaciones: ¿qué son? Emilio le cuenta a su hermano Julián que ha hecho algunos cálculos para ver cómo emplear el dinero que ganó durante sus vacaciones trabajando como empaquetador en un supermercado. Tiene $267000 y desea comprarse pantalones, pero no quiere gastar más de un tercio de su dinero. Tampoco pagaría más de $12000 por un pantalón. Julián sonríe. Emilio se molesta un poco y le da un pequeño codazo. –¿Me vas a decir algo o solo te vas a reír de mi? Julián le guiña un ojo a su hermano mientras silabea... –I-ne-cua-cio-nes. En la cara de Emilio se dibujó la incertidumbre. –Sí, sí, las matemáticas se usan en todo y son muy entretenidas. Ya, te escucho. –Lo que acabas de decir se puede escribir así: 12000 x < 267 000 : 3 12000 x < 89 000 89 12 5 x <7 12 x< / : 12000 (Si x representa el número de pantalones que puedes comprar, al plantearlo de este modo x será el número máximo de pantalones que puedes comprar) Qué son inecuaciones, cómo se resuelven, qué tipo de inecuaciones hay y en qué tipo de problemas se usan. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 15 • Comprender y resolver: 15, 16, 17, 18, 19a • Relacionar y aplicar: 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 8, 9, 14, 19b, 19c UNIDAD 3 En esta sección aprenderás Inecuaciones lineales Trabaja más... Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 2, 10, 1 • Comprender y resolver: 3, 12, 13, 2, 3, 4, 5, 6, 7 • Relacionar y aplicar: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 8 (Aproximadamente 7, 41) –Esto quiere decir que podrás comprar, a lo más, 7 pantalones. –¡Perfecto, ya entendí! O sea que... –se interrumpió súbitamente Emilio– las inecuaciones se resuelven igual que las ecuaciones. –Solo hay que tener cuidado con las desigualdades. Si multiplicamos o dividimos por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido... –¿Tienes por ahí algunos ejercicios? Quiero practicar. Julián fingió preocupación. –¡Mamá! –gritó Julián–. Emilio está enfermo. –Ya. ¡Cállate y disfrútalo! Tenías razón. Pero Julián no había terminado. –¿No te falta algo? –Sí, gracias, hermanito. 175 U3 MAT 3M (146-215).indd 175 2/11/11 15:33:12
  • Toma nota La solución de una ecuación lineal, cuando esta tiene solución, es un número real. Una inecuación lineal (al igual que las ecuaciones lineales, se llaman así porque la máxima potencia de la incógnita es 1) tiene por solución un conjunto de números reales. En general, una inecuación tendrá infinitas soluciones. Julián escribió estos ejercicios y Emilio los resolvió así: 2 x − 3≥2 − 5 x / +5 x + 3 1. 2 x + 5 x ≥2 + 3 7 x ≥5 / :7 5 x≥ 7 5 5   Por lo tanto, el conjunto solución es:  , ∞  o  x ∈ R / x ≥  7 7   0 5  7 , ∞   Nota que en una inecuación, la solución es, en general, un conjunto de números. 2. 4 ( x − 5) + x ( 4 x − 7 ) < ( 2 − 5) + 6 / 2 4 x − 20 + 4 x 2 − 7 x < 4 x 2 − 20 x + 25 + 6 − 3 x − 2 < −20 x + 31 − 3 x + 20 x < 31 + 20 17 x < 51 x <3 / −4 x 2 / +20 x + 20 ∴ la solución es:  −∞ ,3 o {x ∈ R / x < 3} o   3. 2 x −1 x +5 − 3 x£ 4 3 3 (2 x − 1) − 36 x £4 ( x + 5) 6 x − 3 − 36 x £4 x + 20 − 30 x − 3£4 x + 20 − 30 x − 4 x £ + 20 + 3 − 34 x £23 x≥− 23 34 0 (Cuadrado de binomio) / : 17 3 / m.c.m. 12 / +4 x + 3 / : −34 (Recuerda que debes cambiar el sentido de la desigualdad) 23 ∴ la solución es:  − , ∞  o  x ∈ R / x ≥ − 23  o   34   34     − 23 34 0 176 U3 MAT 3M (146-215).indd 176 2/11/11 15:33:14
  • a. 0, 2 x > −4 x f. ( x + 2) ( x + 1) + 26 £ ( x + 4 ) ( x + 5) 1 Resuelve las siguientes inecuaciones: g. 2 x + 1 > x + 3 b. 5 x − 2£3 c. 0, 5 x − 3 x ≥ − 1 h. ( y − 3) £ ( y − 3) ( y + 3) − 13 2 x 5x > +2 4 2 e. 3 x − 5 < 11 − 5 x 4 2 d. 3 x − 4 + i. 3 z −5 6 z − 11 >1+ 4 7 2 UNIDAD 3 Trabaja 2 Indica los dominios de las siguientes funciones (recuerda que la cantidad subradical debe ser positiva a. f ( x ) = 0, 75 − 1, 25 x o cero): b. g ( x ) = 0, 75 x + 1, 25 c. h ( x ) = 1 3 x − 14 3 Las dimensiones de un paralelepípedo son 5 cm, 8 cm y (7 x − 2) cm. ¿Cuáles debieran ser las medidas para x, de tal manera que el volumen no sobrepase los 600 cm3? 4 Un circuito circular mide entre 106,76 m y 144,44 m de longitud, ambos valores excluidos. ¿Entre qué valores puede variar su diámetro? Considera π = 3,14. 5 Encuentra todos los múltiplos de tres que al disminuirlos en 5 superan a 233. entre 4 y el número. 6 Halla todos los números que cumplen con la condición que los 3 de estos sean menor que la suma 2 x + 1 y x − 1 cm. ¿Cuánto debieran medir los lados para que su área estuviera entre los 5 cm y 9 cm2, ambos números inclusive? 2 7 Los lados de un rectángulo son ( ) ( ) 8 En un dado cargado, la suma de las probabilidades de los números impares no alcanza a 42%. Sabiendo que son porcentualmente iguales, encuentra los posibles valores que toma la probabilidad de obtener un cinco en un lanzamiento de este dado. 9 El lado de un hexágono regular vale b + 3 cm. Se requiere que su perímetro no sea superior a 5 b + 21. ¿Para qué valores de b puede ser esto posible, si b debe ser superior a 0,6? 10 Las edades de dos hermanos son x y ( x + 6 ) años. Si la suma de ellas no alcanza los 36 años, ¿cuáles son las posibles edades del mayor si se sabe que x es superior a 5? 11 Se van a adquirir los productos A y B cuya masa total oscila entre 500 kg y 630 kg, sin incluir estos valores. Si por cada x kg de A se compran 0,25 x kg de B, ¿entre qué valores ha de estar la cantidad total de kg destinada al producto A y al producto B por separado? 177 U3 MAT 3M (146-215).indd 177 2/11/11 15:33:20
  • Trabaja de 180 tornillos estaba toda desordenada. Ya había apartado los defectuosos a un lado y los que estaban en buen estado al otro–. No me acuerdo cuántos fallados eran, pero sé que el doble de los fallados era menor que los en buen estado”. Alberto, un poco sonrojado y sintiéndose culpable, le dijo:“Yo te puedo ayudar a saber cuántos tornillos fallados, son...”. Ahora den la respuesta a la pregunta del papá de Alberto. 1 “He repetido mil veces que no se metan a jugar en mi taller –gritó el papá de Alberto, al ver que su caja 2 “¡De nuevo ha salido una cuenta de teléfono muy alta! Nidia y Matías, mis hijos, no tienen conciencia de lo que es pagar. Voy a tener que parar este asunto. En la Compañía me ofrecen cambiarme a uno de estos dos planes: PLAN A PLAN B CARGO FIJO: $7000 CARGO FIJO: $10000 $50 por minuto para llamadas locales. $45 por minuto para llamadas locales. Sé que mis dos hijos, juntos, gastan cerca de 1 100 minutos, sin contar los pocos minutos que usamos el teléfono mi esposa y yo”. Conforme a lo leído en el párrafo anterior, contesta las siguientes preguntas: a. ¿Para cuántos minutos de duración es más económico tomar el PLAN A? b. ¿Qué plan le aconsejarías a la familia del relato? ¿Por qué? 3 Para mejorar la biblioteca del colegio de Blas, se hará una compra de libros y DVD educativos por un valor total entre los $220000 y los $360000 (incluyendo ambos valores). Si se compran x DVD, a $3500 la unidad, entonces se adquirirán 3x libros, con un precio promedio de $5 500 cada uno. ¿Entre qué valores variará el dinero gastado en total para adquirir los DVD y los libros? 4 –Disculpa, Vilma, pero el agua que me acabas de traer para el café de mi tazón de un cuarto de litro está tibia. –¡Pedro, sabes que el hervidor está fallando, no calienta mucho! –Es verdad. Mira, aprendí hace tiempo que para hacer hervir 1,5 litros de agua, se requieren 120 kcal, si el agua inicialmente estaba a 20ºC y llega a 100ºC, sabiendo que el calor específico del agua kcal es 1 ... kg °C –Pedro, este discursito lo has venido repitiendo desde antes que nos casáramos. –Disculpa, Vilma, tienes razón, creo que es mejor cambiar nuestro viejo hervidor. ¿Qué temperatura se logra alcanzar si la masa de 1,5 kg de agua recibe una cantidad superior a 96 kcal, pero inferior a 120 kcal, partiendo con una temperatura inicial de 20ºC? Usa la siguiente fórmula: Q = c ⋅ m ⋅ (T f − Ti ) Calor recibido (kcal o cal) Temperatura Masa inicial Temperatura Calor final específico cada 5 cm que crece Sandrita, 6 cm lo hace Robertito. Le dije que si sumábamos sus estaturas, el total estaría entre 3,30 m y 3,60 m”. ¿Cuál sería el rango de estaturas para cada uno de los nietos? 5 “Siempre estuvimos pendientes del crecimiento de nuestros nietos. Jonás, mi marido, dice que por 178 U3 MAT 3M (146-215).indd 178 2/11/11 15:33:21
  • de 300 páginas. –Magdalena, amiga, tengo mis técnicas de lectura. El primer día leo una cierta cantidad de páginas, al segundo doblo la cantidad anterior de páginas, al tercer día triplico la cantidad de páginas del día anterior, y así, en este libro, al cuarto día leí las 15 restantes. –Entonces, ¿con cuántas páginas comenzaste? ¿Pueden responder esta pregunta? hay un total de 42 estudiantes, donde, respecto de los resultados del examen de Matemática, el doble de los reprobados era menor que el triple de los aprobados”. 7 Iván está preparando su próxima prueba de desigualdades, y lee un problema que decía:“En una clase Se pide estimar el menor número de aprobados posibles. Entonces, Iván dijo: “Si x representa el número de aprobados, 42 – x son los reprobados. Por lo tanto, el número de aprobados supera los 12; 13 es el mínimo de aprobados posibles”. ¿Será cierto la afirmación de Iván? UNIDAD 3 6 –María Elena, ¿cómo leíste tan rápido el último best seller que estaba en la librería? Tiene poco menos 8 “Nicole, pienso que debemos participar más en clase, porque ni tú ni yo entendimos el ejercicio final de hoy. Se trataba de averiguar las condiciones para a, de tal manera que la parábola y = ax 2 + 5 x + 0, 25 intersecte al eje x por lo menos en un punto. Debiéramos haberle preguntado más el profesor ¿no lo crees así?” Contesten la pregunta hecha en la clase de Nicole. 9 Marcelo y sus amigos, aprovechando un camino recto de la carretera principal, en 90 s aceleraron el auto en que viajaban, superando los 140 km/hr. Más allá fueron detenidos por los carabineros de ruta. Trataron de disculparse diciendo que habían mantenido la velocidad del auto en 90 km/hr, y que fue solo un impulso irracional, al ver el camino casi desocupado y recto. No se libraron del parte; la infracción estaba hecha. Usando la información de este suceso, indiquen qué valores pudo haber tomado la aceleración, suponiendo que estamos frente a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Expresen su respuesta en m/s2. Pueden ayudarse con la siguiente fórmula: velocidad inicial + aceleración • tiempo = velocidad final 10 –Adriana, el precio de cada botella de bebida Green Cola de tres litros para el cóctel que hoy tuvimos es mayor que $1300. –Yo, el fin de semana pasado, en el supermercado Baratísimo, compré tres botellas de esta bebida, dos paquetes de un cuarto kilo de margarina, a $650 cada una, un paquete de queso fresco a $990 y doné $15 al momento de cancelar en caja y todo esto salió menos de $7 000. Discúlpame, pero el precio de esta bebida no es lo que tú aseguras. Hallen el intervalo de los posibles valores del precio de una botella de bebida Green Cola de tres litros. ¿Estaba en lo cierto Adriana respecto al precio de la bebida? Justifiquen su respuesta. 5 ( F − 32), en donde C es la temperatura en grados Celsius y F en 9 grados Fahrenheit. Ella la usa mucho en el laboratorio de calorimetría. Un día tomó un lápiz y papel y 5 escribió C < ( F − 32). Más aún, remplazó C por 100, el punto de ebullición del agua en condiciones 9 normales. Luego, resolviendo la inecuación resultante, anotó algunas conclusiones con respecto a este 11 Juanita sabe muy bien la relación entre las escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit. Esta se expresa en la conocida fórmula C = punto y los grados Fahrenheit obtenidos. Les solicitamos que habiendo leído el texto anterior, resuelvan la inecuación de Juanita: a. ¿Cuál es su respuesta? b. ¿Cómo interpretan físicamente la solución que escribieron en a.? 179 U3 MAT 3M (146-215).indd 179 2/11/11 15:33:22
  • 12 “A veces me molesta mi curso, porque nos cuesta mucho ponernos de acuerdo en cosas tan simples como elegir el sabor de frambuesa o chocolate del helado que nos serviremos en la celebración del día del alumno. Somos 45 en total; cinco simplemente no van a consumir helado; por lo tanto, se restaron de todo este lío. Usando la pizarra, hicimos una votación y resultó que a quienes nos gusta el sabor de frambuesa, éramos menos una y media veces que aquellos que prefirieron el sabor de chocolate”. a. ¿A cuántos, como máximo, les gusta el sabor a frambuesa? b. Indiquen entre qué valores varía el número de estudiantes que prefirieron chocolate. x, 273. Entonces no te será tan difícil plantear la desigualdad para encontrar el valor de todas las temperaturas, en grados Celsius, que superen los 298 K, y después resolverla”. ¿Ya sabes cuál es la temperatura mínima, en grados Celsius y expresada como número entero, que cumple lo requerido en la desigualdad? Planteen la desigualdad mencionada, encuentren el intervalo de solución e indiquen el valor pedido. 13 “Así es, Violeta. Tal como tú lo dices, para convertir x grados Celsius a grados Kelvin basta que sumes a anexas a nuestra sede. Hay que cubrir una superficie de a lo menos 25 m², pero sin sobrepasar los 30 m², según mis cálculos. Queremos hacerlo con baldosas cerámicas cuadradas, de 20 cm x 20 cm. Consulté en los negocios del ramo y averigüé el número mínimo de baldosas, como también el máximo que se necesitarían”. Planteen las inecuaciones que representan lo requerido. Resuélvanlas y estimen cuál es el máximo y cuál el mínimo de baldosas enteras que se necesitarían. 14 “Señorita Natalia, necesitamos embaldosar el patio de atrás de la casa que ocupamos como oficinas estoy de visita en su casa, pero no alcancé a gastar $2 500. Fueron 3 barras de chocolates, a $150 cada una, 10 caramelos más dos bebidas a $750 cada una y me sobraron $20”. ¿Cuánto valía cada caramelo? 15 “Tía, no puedo negar que gasté dinero en golosinas y bebidas. No debía haberlo hecho, sabiendo que 16 Avelino va a dar un recado a su tío, quien trabaja como soldador. Al llegar al taller, se encuentra con que su tío no logra comprender una instrucción: “Para este tipo de trabajo la soldadura debe aplicarse a temperaturas mayores o iguales a 3,2ºF y menores o iguales a 4,0ºF”. Su tío le dice que solo conoce de grados Celsius. Avelino, que sabe que la temperatura en grados Celsius está dada por 5 (Tf − 32) , ayuda a su tío y le dice entre qué temperaturas debe 9 trabajar la soldadura. Repite lo que hizo Avelino y da la respuesta que él encontró. 17 Úrsula está estudiando Química y Farmacia, y en la guía de su laboratorio lee: “La dosis de medicamento para un niño muy pequeño Ad se calcula con la fórmula C = , donde d es la dosis para adultos, C 150 la dosis para niños y A la edad del niño, en meses”. entre un 25% y un 50% de la dosis para adultos. Ayúdale a efectuar Ella debe calcular para qué edades la posología (dosis) infantil está su primer cálculo. 180 U3 MAT 3M (146-215).indd 180 2/11/11 15:33:24
  • A la mañana siguiente, Julián entra corriendo a la cocina, apurado. –Emilio... ¡tú aquí haciendo tareas! –Sí, y necesito tu ayuda. Dice así: “Una cierta cantidad se divide por un número tres unidades menor, quedando menor que 0. ¿Para qué números se cumple este enunciado?” Lo trato de hacer y no me da la respuesta del libro. –Veamos –dice Julián. x <0 x −3 –Te puedes sentir tentado de amplificar ambos lados por x − 3, pero veamos por qué no sirve hacer eso. Recuerda que cuando multiplicamos una desigualdad, debemos saber si el número es mayor o menor que 0, porque dependerá de eso si el signo de la desigualdad cambia de sentido o no. Pero en este caso no sabemos si x − 3 será positivo o negativo. Luego, debemos analizar esta inecuación por casos. Recordar y archivar En matemática se asocian conectores a operaciones de conjuntos. Así, podemos escribir que: yfi ∩ ofi ∪ UNIDAD 3 Inecuaciones fraccionarias y cuadráticas Observa: x x es negativo, y para que < 0 significa que x −3 x −3 esto suceda, se debe tener que el numerador o el denominador Que la fracción deben ser negativos. Esto lo podemos escribir como: o b. x < 0 y x − 3 > 0 a. x > 0 y x − 3 < 0 ⇒ x > 0∩ x <3 x < 0∩ x >3 S a = 0,3   0 3 0 ∴ S f = 0,3   3 Sb = ∅ –Entiendo –dijo Emilio–; ¿me puedes ayudar con este ahora? 2 x +5 <1 3 x +1 –Bien. Hay que dejar el lado derecho de la desigualdad en 0 para poder separar en casos. Recuerda que solo podemos hacer eso porque 0 es el límite entre un número positivo y uno negativo. 181 U3 MAT 3M (146-215).indd 181 2/11/11 15:33:26
  • 2 x +5 −1 < 0 3 x +1 Entonces, sumemos –1 a ambos lados. Con esto se tiene que: Links de interés Puedes repasar los contenidos sobre inecuaciones en una clase virtual. Ingresa a la página: http://matematicasies.com/ spip.php?article913 / m.c.m. (3x + 1). (Solo sumaremos el lado izquierdo) 2 x + 5 − (3 x + 1 ) <0 3 x +1 2 x +5−3 x −1 <0 3 x +1 −x + 4 <0 3 x +1 a. − x + 4 > 0 y 3 x + 1 < 0 − x > −4 ∩ 3 x < −1 1 x < 4∩ x < − 3 1 0 − 3 1  S a =  −∞ , −  3  x +3 ≥0 2 x −1 4 (Entonces, podemos separar) o ∪ ∪ ∪ b. − x + 4 < 0 y 3 x + 1 > 0 − x < −4 ∩ 3 x > −1 1 x > 4∩ x > − 3 − 1 0 3 4 S b =  4, ∞    1  ∴ S f =  −∞ , −  ∪  4, ∞   3   ∪ –¿Y este otro ejercicio? Julián le recordó a Emilio que debería tener presente que un denominador no puede ser cero. Esto tiene que ver directamente con que, al separar en casos, el denominador deberá ser estrictamente mayor o menor que cero. Además, para que una fracción sea positiva, numerador y denominador deben ser ambos positivos o ambos negativos. Observa: o b. x + 3£0 y 2 x − 1 < 0 a. x + 3≥0 y 2 x − 1 > 0 x≥ − 3∩ 2 x > 1 ∪ x£ − 3∩ 2 x < 1 1 1 x≥ − 3∩ x > ∪ x£ − 3∩ x < 2 2 –3 01 x ≥ −3 ∩ x > 2 ∪ –3 01 x ≥ −3 ∩ x > 2 182 U3 MAT 3M (146-215).indd 182 2/11/11 15:33:31
  • 1  Sa =  , ∞  ∪ S b =  −∞ , −3   2  1  ∴ S f =  −∞ , −3 ∪  , ∞    2  Hagamos ahora este ejercicio: (Factoricemos) x 2 + 3 x + 2£0 ( x + 1) ( x + 2) £0 (Esto se separa en casos igual que los a. x + 1 ≤ 0 y x + 2 ≥ 0 x ≤ −1 ∩ x ≥ −2 –2 –1 0 ejercicios anteriores, pues la misma regla se cumple para multiplicación y división) b. o ∪ x ≥ −1 ∩ x ≤ −2 –2 ∪ S a =  −2, −1   x +1≥0 y x +2≤0 ∪ S b = ∅ ∴ S f =  −2, −1   UNIDAD 3 –1 0 Si miramos la inecuación x 2 + 3 x + 2 > 0 y pensamos en el trinomio como una función, entonces establecer el conjunto de números reales que hagan que el trinomio sea mayor que cero, es equivalente a encontrar las imágenes de los valores de x en IR que sean positivas. Si miramos el gráfico de y = x 2 + 3 x + 2,> 0 tenemos que, Piensa ahora esto conmigo Emilio... ¿te acuerdas de las parábolas?... 8 y 6 –4 –3 –2 4 2 –1 0 1 x Por lo tanto, la solución de la inecuación son todos los valores de x que corresponden a las ramas de la parábola que están sobre el eje x (y > 1).(Esto es,0 −• , −2[ ∪ ]−1, •[ x + 0 x + 2) £ ] Si generalizamos esto, podemos decir que, para encontrar la solución de una inecuación cuadrática debes proceder de la siguiente manera: i. Igualar la inecuación a 0 y encontrar las soluciones de dicha ecuación cuadrática (ceros de la función o intersección con el eje x). ii. Determinar el conjunto solución, dependiendo si la inecuación es mayor o menor que cero, esto es: 183 U3 MAT 3M (146-215).indd 183 2/11/11 15:33:33
  • ax 2 + bx + c >0 <0 a > 0, ∆ > 0 x1 < x 2 ]−• , x1 [ ∪ ]x2 , •[ ] x1 , x 2 [ a < 0, ∆ > 0 x1 < x 2 R ∅ a > 0, ∆ = 0 x1 = x 2 a > 0, ∆ < 0 No hay ni No hay x11 ni x22 No hay x ni x a < 0, ∆ = 0 x1 = x 2 a < 0, ∆ < 0 No hay x11 ni x22 No hay x ni x No hay ni R − { x1 } ∅ ] x1 , x 2 [ ]−• , x1 [ ∪ ]x2 , •[ ∅ R R − { x1 } ∅ * En los casos donde las desigualdades son ≥ 0 o £ 0, se deben incluir los valores de x1 y x2. Emilio bosquejó en la clase cada uno de estos casos con su profesor, haz lo mismo tú con el tuyo. Trabaja x2 − 4 ≥0 x2 + 4 2 y −1 4 y − 4 £ b. y +1 2 y −3 2 x2 >x 2 x +1 x x d. ≤ x −3 x +1 4 x +7 < 2. 13 Encuentra los valores de x que cumplen que 1 < 3 x +1 x −1 . 14 Encuentra el dominio de la función h (x ) = x 12 Resuelve las siguientes inecuaciones: a. c. e. z 2 ( z − 2) £0 f. x +5 £ −1 2 x −3 15 A continuación, te presentamos cinco problemas que debes resolver en tu cuaderno, y usando intervalos, expresar cada respuesta. Revisa tus respuestas. a. Resuelvan el siguiente control. CONTROL DE MATEMÁTICA Nombre:  Curso: Fecha:  Tiempo para responder: 10 minutos. PREGUNTA ÚNICA Encuentra todos los números que al duplicarse, sustraerle 3 y, a esta diferencia, dividirla por el triple del número, supere a cinco. Desarrollo:   Respuesta:  184 U3 MAT 3M (146-215).indd 184 2/11/11 15:33:43
  • Emilio llegó muy contento a su casa esa tarde. Sus padres y hermano llegaron después y se sorprendieron. –Emilio, ¿has preparado la once? –dijo Julián. –Sí, estoy muy contento y te quiero agradecer la ayuda para mi prueba; yo creo que me fue muy bien. –¡Qué bueno!, me alegro mucho; cuando quieras. –Ahora, la profesora nos dio una tarea para investigar y llevarla mañana. –¿Son inecuaciones también? –Sí, son unas muy raras, pero nos ofreció unas décimas si podíamos explicar cómo se resuelven y por qué se aplica ese método. –Mmmm... veamos. ¿Qué podré pedir a cambio? –rió Julián. –Casi lo que quieras –respondió Emilio, a quien ya le había gustado sacarse buenas notas. –Ya sé, préstame tu skate para el fin de semana. –Ok, me parece un buen trato; aquí van. x +8 ≤7 Recordar y archivar Recuerda que el valor absoluto está definido de la siguiente manera: a si a ≥ 0 a = −a si a < 0 UNIDAD 3 Inecuaciones con valor absoluto –Ah, dijo Julián. Para esto debes recordar algunas cosas sobre el valor absoluto. Veamos: • El valor absoluto es la distancia que hay en la recta numérica entre el 0 y el número dado. Así, por ejemplo, si se tiene que x ≤ 2 , buscamos todos los números que al remplazarlos por x, satisfagan la condición de ser menores o iguales a 2. Algunos de estos valores son: 1, –1, 0, 1,5, –1,5, etc. Si lo graficamos, tendremos que, –2 0 2 Si te fijas, esto es equivalente a hacer la siguiente intersección: –2 0 2 Esto se puede escribir como x ≤ 2 ∩ x ≥ −2 . Entonces, podemos generalizar que: x ≤ a ⇒ x ≤ a y ( ∩ ) x ≥ −a x < a ⇒ x < a y ( ∩ ) x > −a 185 U3 MAT 3M (146-215).indd 185 2/11/11 15:33:43
  • Por otro lado, fíjate en lo siguiente. Supongamos que queremos determinar los números que cumplen que x ≥ 2 . Algunos ejemplos son: 2, 3, 4, pero también –2, –3, –4. Entonces podemos representar estos números en la recta numérica de la siguiente manera: –2 0 Esto se puede escribir como x ≥ 2 ∪ x ≤ −2. 2 Entonces, podemos generalizar que: x ≥ a ⇒ x ≥ a o(∪ ) )x ≤ −a x ≥ a o (∪∪ x ≤ −a () x > a ⇒ x > a o (∪ ∪ ) x < −a ( ) x < −a –¿Entiendes, Emilio? –dijo Julián. –Sí, creo. ¿Hagamos juntos el ejercicio que te dije? –Bien, veamos... x + 8 ≤ 7 , según lo que acabamos de decir, debemos anotar que: x + 8 ≤ 7 ∩ x + 8 ≥ −7 x ≤ −1 ∩ x ≥ −15 (Resolvemos cada inecuación por separado). (Intersectamos las soluciones). –15 –1 0 Por lo tanto, la solución es:  −15, −1   3 x −5 > x −2 –Muy bien, hagamos otro: Recordar y archivar Recuerda que cada vez que escribas el opuesto de una expresión algebraica, debes cambiar el signo de todos los términos de la expresión. Esto es: el opuesto de a + b − c es: − ( a + b − c ) = −a − b + c 3 x −5 > x −2 2 x >3 3 x> 2 0 ∪ ∪ ∪ 3 2 7 4 3 x − 5 < −x + 2 4 x <7 7 x< 4 Recuerda que la solución final será la unión de ambos intervalos, es decir, la solución es R. 186 U3 MAT 3M (146-215).indd 186 2/11/11 15:33:45
  • x− (Amplificamos cada x +1 x +1 desigualdad por 3) > −x − 3 < x +3 ∩ x − ⇒x− 3 3 3 3 + x < 3 < 3 x 9 3 3 + x > − > −3 x x − (xx− (1)+ 1) x + 9 +∩∩ ∩x − (xx− (1)+ 1) 3 x − 9 − 9 3 x −1 < 3 x + 9 ∩ 3 x − x − 1 > −3 x − 9 2 x −1 < 3 x + 9 ∩ 2 x − 1 > −3 x − 9 − x < 10 ∩ 5 x > −8 8 ∩ x>− x < −10 5 –10 − 8 5 0 Como la solución final es la intersección de ambos intervalos, entonces es:  8  − 5 , ∞   $+ 7 < ¡ ? >% 2 = Para saber más En un plano cartesiano, grafica en el eje x el intervalo ]3, 7[ , y en el eje y, el intervalo ]1, 4[ . Ahora bien, dibuja con líneas punteadas y hacia arriba segmentos paralelos al eje y que nazcan desde los extremos de ]3, 7[ y hasta una de altura de cinco unidades. Obtienes una especie de franja vertical, ¿no? Análogamente, efectúa lo mismo sobre el eje y con el intervalo ]1, 4[ , provocando una franja horizontal, de tal manera que se intersecte con la anterior. ¿Qué representa esta intersección? Observa que usando intervalos puedes delimitar zonas del plano cartesiano. UNIDAD 3 x +1 < x +3 3 Y por último... Trabaja Desarrollen en grupo los siguientes ejercicios. Háganlos en el cuaderno y revisen sus respuestas. a. 1, 5 x £6 18 Resuelvan las siguientes inecuaciones: b. 11 x − 4 < 7 c. 0, 02 x − 4 < 7 d. 0, 5 + 4 x > 1, 5 e. 3 − 2 x < 0 f. 1 x 1 − ≤ 3 8 12 g. ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 4 ) ( x + 5) ≥ 10 h. 3 x − 1 − 2 > 15 i. j. x x +1 5 − −1 < 3 4 12 2 x + 13 7 +1> 26 2 a. Radomiro pregunta: ¿Cuál es el punto medio del intervalo (–2, 5)? Clodomiro responde: 1,5. Dime tú, si yo escribo x − 1,5 < 3,5 , ¿representaré el mismo intervalo? b. El nuevo profesor de Matemática de Lorenzo llegó haciendo los ejercicios de desigualdades de otra manera. Empezó a ver desigualdades con valor absoluto. Simplemente dijo: “Si un valor x oscila entre l + a y l − a, lo escribiremos como x − l £ a”. 19 Resuelvan los siguientes problemas de planteo: 187 U3 MAT 3M (146-215).indd 187 2/11/11 15:33:50
  • Escriban las siguientes ideas: i. La temperatura del ambiente oscila entre –2°C y 2 °C. ii. Al bajar el precio de los lácteos en treinta pesos, estos fluctuarán entre los $400 y los $420. iii. El valor del dólar empezó en $510 y ya va en $495. Lorenzo respondió bien los tres ejercicios, pero, ¿cuál es su desarrollo y su respuesta a ellos? c. Segundo trabaja como ayudante de un laboratorio. Su labor de hoy es llenar con medio litro de agua varias cubetas. Para ello está usando un vaso cilíndrico graduado. Ahora bien, cada vez que revisa las cubetas, no contienen exactamente medio litro de agua, ya que el volumen (V) que Segundo vierte oscila en un poco menos de 5 cm3 por arriba o por debajo de lo solicitado. i. Planteen la desigualdad, usando valor absoluto, que representa esta situación. ii. Resuélvanla y encuentren entre qué valores varía la altura (h) para que se produzcan esos errores cometidos por Segundo. Sintetizando Recuerda que: • Las inecuaciones son desigualdades que se verifican para un conjunto de números reales. • Cada vez que se multiplica o divide una desigualdad por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. • Para resolver una inecuación con una incógnita en el denominador o cuadrática se debe hacer un análisis de casos. Revisemos lo aprendido Completa el siguiente cuadro resumen con los pasos que debes seguir para resolver las inecuaciones. Luego, responde las preguntas planteadas. Inecuaciones cómo se resuelven Inecuaciones lineales sencillas        Inecuaciones con valor absoluto        Inecuaciones fraccionarias y cuadráticas       • ¿Sé distinguir una desigualdad de una inecuación? • ¿Pude enumerar los pasos que se deben seguir para resolver cada uno de los tipos de inecuaciones estudiados? • ¿Pude resolver correctamente las inecuaciones y problemas propuestos en las actividades de la unidad correspondientes a esta sección? 188 U3 MAT 3M (146-215).indd 188 2/11/11 15:33:51
  • Trabaja más... Trabaja en forma individual 1 Resuelve en tu cuaderno las siguientes inecuaciones. Revisa tus respuestas: a. 2 x 2 − 32 < 0 x2 2 − > 0,2 15 5 x c. x 2 − ≤ 0 4 grado está dado por ( 2 z + 3) ( z − 1). Se quiere que dicha ecuación no tenga soluciones reales. ¿Para qué valores de z se produce esto? 5 El discriminante de una ecuación de segundo b. d. x 2 − 6 x + 8 > 0 f. 5 x + 15 x − 20 < 0 2 2 i. y ( y − 20) ≥ 4 ( y − 36 ) 1 5 k. x ( x + 3) − 2 x (x + 1) ≤ 0 ( ) l. −3 x ( x + 2) + 4 x ( x − 2) > 3 8 “Omar, yo creo que ninguno de los dos entendió 2 En tu cuaderno, resuelve las inecuaciones propuestas usando las propiedades y escribe tu respuesta en notación de intervalos. No olvides revisar tus resultados. b. x x +3 4 < − 3 3 x +2 1 4 ≥ 3 x −7 3−2 x alto del edificio donde vive, que mide 96 m de altura. Desde la azotea, lanzó hacia el cielo su pelota, y al caer, lo hizo sobre la antena que estaba en la azotea del edificio contiguo. Hubo un reclamo y también un correctivo. A los días, en el colegio estudió esta ecuación h ( t ) = 96 + 12 t − 12 t 2, donde h es la altura (m) que alcanza un objeto a ser lanzado hacia arriba, en función del tiempo t(s). Encuentra el intervalo de tiempo que estuvo la pelota en el aire, antes de chocar con la antena ubicada a 24 m de altura. 7 Sin pedirle permiso a nadie, Tobías se subió a lo g. − x 2 + 4 x − 7£0 a. b. g ( x ) = 4 x 2 − 1 6 Encuentra el dominio de las funciones: e. x 2 + 2 x + 1≥0 j. 5 x 2 − 8 x + 3, 2 < a. f ( x ) = 36 − x 2 UNIDAD 3 centímetros y su altura debe superar los Aplica lo aprendido. h. ( y − 8 ) > 172 1 3 cm cm. 2 Encuentra todos los posibles valores para x, sabiendo que el área a lo máximo debe ser 6,25 3 cm22. cm 4 El lado de un triángulo equilátero mide x c. x +2 x −2 > x +1 x −1 bien ese ejercicio de la pizarra. Tenemos que encontrar los valores que puede tomar b, de tal manera que la parábola y = 3 x 2 + b x + 0, 75 intersecte al eje x por lo menos en un punto. Debiéramos haberle preguntado más a la profesora”. ¿Puedes ayudarle a Omar y su compañera a encontrar la respuesta? 9 Néstor está en primer año de ingeniería mecánica. 3 El menor de dos números es x y el otro es cinco unidades mayor que x. Se requiere que su producto supere a 66. ¿Cuáles son los posibles valores de dichos números? Anota tu respuesta usando intervalos. Le han dado las ecuaciones de dos parábolas: y = x 2 − 3 x + 0, 75 y = x2 + 4 x − 1 Le solicitan que encuentre el intervalo en que se encuentra x, de tal modo que la razón entre las ordenadas de la primera y las de la segunda sea menor a uno. Néstor escribió bien la desigualdad, pero no la resolvió correctamente. ¿Puedes tú dar la respuesta correcta? 189 U3 MAT 3M (146-215).indd 189 2/11/11 15:33:57
  • 10 “No sé en qué momento de mis sueños se me ocurrió ser aprendiz de matemático. El maestro se puso en medio de nosotros, estiró una hoja arrugada y nos mostró lo que allí estaba x +5 escrito: < 1. 2 x −1 Todos nos miramos sin encontrar nada valioso en esa inecuación. Después nos pidió que la resolviéramos y luego encontráramos un valor dentro de la solución que nos ayudara a mostrar que −5 < 1. Nosotros lo hicimos. ¿Puedes tú también hacer esto?” 11 A Magdalena le han ofrecido un remplazo en un prestigioso laboratorio. Hoy debe terminar el informe que había comenzado. Este está bastante avanzado, pero se han quedado empantanados en la resolución de la siguiente x +3 inecuación: 2 < 0. Magdalena la 2 x − 11 x + 15 resolvió correctamente. Tú también lo puedes hacer. ¿Cuál es su solución? 12 Arcadio ya ha rendido su prueba sobre parábolas y está iniciando la unidad de desigualdades. En esta se le pide que encuentre el intervalo en x, donde la curva y = x 2 − 7 x − 18 está bajo el eje x (los valores de y que son negativos). 13 María Isabel está preparada para aceptar el desafío matemático del concurso del famoso curso. Dispone para ello de un cordel de 1 m de programa Consiguiendo vacaciones para mi longitud y de una huincha graduada solo en centímetros. Al pasarle una tijera, ella debe hacer un corte en el cordel, de tal manera que la razón entre el trozo menor resultante con 5 respecto al mayor sea menor que . 7 Ella logró resolver el desafío. Indica cuáles son las posibles longitudes para el trozo menor que María Isabel pudo haber hecho. Trabaja en grupo 1 Unan cada inecuación con su conjunto solución. 3 x +1 <1 2   −• , − 3  ∪ ]0, •[   Inecuación a. b. c. d. e. x − 8 > −1 3 x +1 >1 2 x + 5 − 7£ x 2 x + 7 − 5≥ x Solución ]−• , −4] ∪ [ −2, •[  2   − 3 , 0   [ −4, 2] R 2 Dadas las siguientes inecuaciones, encuentren la intersección de los conjuntos soluciones de las inecuaciones en cada caso. a. 2 x − 5 £4 − x y x − 7 > 2 + 3 x b. 3 x +3 1 2 1 >1 y x + < 5 2 5 6 c. 2 x + 5 < 4 y 3 x + 7 < 8 d. x + x 1 > 6 y 5x + > x 5 2 e. 4 < x + 6 < 9 3 Coloquen ⊂ o ⊄ (.........) en cada una de las siguientes afirmaciones, dependiendo de si el conjunto dado es subconjunto o no del conjunto solución de la inecuación dada. a. [ −7, −5] ......... de la solución de x +5 >2 x +9 b. ]40, 63] ......... de la solución de 2 ( x + 1 ) − 3 ( x + 5) < 1 c. ]−•,0[ ......... de la solución de d. [ −1, 2[ ......... de la solución de  3 e. 0,  ......... de la solución de  2 3 x − ( x + 1) < 2 + x x 1 + <9 6 2 x + 11 x + 7 > 2 3 190 U3 MAT 3M (146-215).indd 190 2/11/11 15:34:05
  • cámaras de vigilancia de una ciudad dice que se debe colocar en dirección sur o norte a partir del centro de la Plaza de Armas de la ciudad. Además, si se restan 200 m a la distancia a la que debe ser colocada, esta distancia (en valor absoluto) no supera los 1000 m. ¿Cuántos metros, como máximo, hacia el norte y hacia el sur, debe haber entre el centro de la plaza y la cámara si el instalador está mirando hacia el sur? 6 Bernardita está estudiando para el examen de admisión del colegio al que quiere cambiarse. En una de las preguntas que ha encontrado dice así: “El valor absoluto del doble del valor absoluto del sucesor de un número es mayor o igual que 6. ¿Cuáles son todos los posibles valores de este número?” Ayuden a Bernardita y den la respuesta. 7 Erika ha inventado un juego en el que hay que resolver inecuaciones. El ganador será aquel cuyo conjunto solución tenga el menor número de elementos. La inecuación de Erika es 2x − 5 £4 ; la de Joaquín 2 x − 1 ≤ 6 y la de Teo, x − 1 ≤ 0. ¿Quién ganó el juego? 5 Milton necesita hacer una estimación del sistema de refrigeración de su empresa. Él ha observado que la diferencia, en valor absoluto, entre la temperatura que marca el control del sistema y la temperatura ambiental, no supera los 8ºC. Si en este momento la temperatura que marca el sistema es 30ºC, ¿cuál es el intervalo en que varía la temperatura ambiente? UNIDAD 3 4 En las indicaciones para instalar una de las 8 En el colegio de Néstor han elegido a un grupo de estudiantes para comenzar una academia matemática, y el profesor encargado lo ha invitado. En una de las sesiones, el profesor planteó la siguiente inecuación x + 5 £ 3 x − 1 . Además, el profesor les dijo, como ayuda, que separaran una vez el valor absoluto de la izquierda y luego volvieran a separar el valor absoluto que quedaba. ¿Cuál es la solución de este problema? Mis apuntes 191 U3 MAT 3M (146-215).indd 191 2/11/11 15:34:06
  • Sistemas de inecuaciones: ¿qué son?, ¿cómo se resuelven? y ¿en qué se aplican? En esta sección aprenderás Qué son los sistemas de inecuaciones, cómo se resuelven y en qué tipo de problemas se usan. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1 • Comprender y resolver: 1, 2 • Interpretar y generar ideas: 3 Trabaja más... Habilidades por actividad: • Comprender y resolver: 1, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Emilio miró que comenzaba a llover esa tarde. Increíblemente, habían pasado un par de semanas desde la última vez que le había pedido ayuda a Julián. “Después de todo –pensó–, Julián tenía razón: la matemática no es tan complicada y puede llegar a ser entretenida”. “Premio para el que escriba todos los números que cumplen con ser menores que 10 si se les suma 1; y mayores que –9 si a su doble se le resta 3” , había dicho su profesor al cerrar la puerta de la sala. x + 1 < 10 2 x − 3 > −9 “Yo me quiero ganar ese premio”, –pensó Emilio, y escribió: “¿Qué es esto? ... Tranquilo –se dijo–, yo soy capaz”. Pensemos, era lo que siempre decía Julián cuando no sabía por dónde comenzar un ejercicio. “Esto se parece a un sistema de ecuaciones, pero los métodos que estudié solo servían si había igualdades. ¿Qué hago? Bien, resolveré cada inecuación por separado: / −1 x + 1 < 10 2 x − 3 > −9 / +3 x <9 2 x > −6 / :2 x > −3 Y ahora, ¿qué sigue?” –Julián, tengo una pregunta, está en mi cuaderno. Su hermano lo observó y le dijo: –¿Cuál es la pregunta? –No sé cómo seguir... –Pensemos –dijo Julián, mientras Emilio soltaba una carcajada. –¿Qué condición deben cumplir tus números ahora que despejaste la incógnita? –Que sean menores que 9 y mayores que –3. –Ah... ambas condiciones a la vez, ¿no? Emilio no tardó en tomar de nuevo su cuaderno y lápiz: –¡Lo tengo! –gritó–; debo intersectar ambas soluciones. Si x < 9 y x > −3, entonces: –3 192 U3 MAT 3M (146-215).indd 192 0 9 Por lo tanto, los números solución son todos los que pertenecen al intervalo  −3,9 .   2/11/11 15:34:08
  • • Un sistema de inecuaciones es un conjunto de inecuaciones que puede tener una o más incógnitas. • Para solucionarlo se debe resolver cada una de las inecuaciones por separado y luego intersecar las soluciones. Dicha intersección será la solución del sistema. Resolvamos juntos algunos sistemas: 1 3 x − ≥5 4 1. x − 3≥2 x + 8 1 3 x − ≥5 4 12 x − 1≥20 12 x ≥21 21 x≥ 12 7 x≥ 4 / ⋅4 ( m.c.m. ) / +1 / : 12 x − 3≥2 x + 8 x ≥2 x + 11 − x ≥11 x £ − 11 UNIDAD 3 Entonces, hay algunos conceptos importantes que debemos recordar sobre los sistemas de inecuaciones: / +3 / −2 x /⋅−1 Graficando: –11 0 ≥ 7 4 En este caso, la intersección es vacía; por lo tanto, el sistema NO tiene solución. 2. x −3 < 4 2 ( x − 1) ≥ 5 x − 20 ( ) x − 20 Recuerda que para resolver una inecuación con valor absoluto debes separarla. Veamos: x − 3 < 4 ∩ x − 3 > −4 x <7 ∩ x > −1 –1 0 7 Entonces, la solución de la primera inecuación es:  −1,7 .   193 U3 MAT 3M (146-215).indd 193 2/11/11 15:34:10
  • Resolvamos la segunda inecuación. 2 ( x − 1) ≥5 x − 20 2 x − 2≥5 x − 20 − 3 x ≥ − 18 x £6 / +2 − 5 x / :3 x ≥ a ⇒ Intersectando las soluciones de ambas inecuaciones tenemos: –1 0 6 Por lo tanto, la solución del sistema es:  −1,6    3. x + 5 < 12 2 x − 8 < 4 ( x + 6) 3 ( x + 5) > x + 5 < 12 x <7 1 5 1 5 15 ( x + 5) > 1 3 ( x + 5) > 15 x + 75 > 1 1 5 x > −74 −74 x> 15 Links de interés Aquí podrás encontrar otra explicación sobre la resolución de los sistemas de inecuaciones junto a nuevos ejemplos. Te invitamos a verla. El link es: http://www.matesymas.es/ images/stories/videos/ inecuac3.swf / −5 / ⋅5 7 2 x − 8 < 4 ( x + 6) 2 x − 8 < 4 x + 24 − 2 x < 32 x > −16 / +8 − 4 x / : −2 / −75 / : 15 Graficando: –16 −74 15 0 7  −74  ,7  Por lo tanto, la solución del sistema es:   15  4. Marcela trabaja junto con su papá en la construcción de barcos a escala. En esta ocasión están construyendo un modelo de galeón. Marcela tuvo una inquietud: –¿Cuántas personas viajarían en un barco como este? –preguntó. –No lo sé con exactitud, hija, pero leí lo siguiente: 194 U3 MAT 3M (146-215).indd 194 2/11/11 15:34:12
  • “Para este tipo de galeón (ver imagen), se sabe que un tercio del doble de su tripulación disminuida en tres personas no sobrepasaban las 59 almas a bordo y que, por otro lado, el triple de las personas a bordo, aumentadas en 10, no eran menos de 300”. –¿Puedes calcular esto por mí? Ayer te vi estudiando inecuaciones. Ayudemos a Marcela. Si llamamos x a la tripulación de la nave, tenemos que: 2 x −3 ≤ 59 3 3 ( x + 10) ≥ 300 Por lo tanto: 2 x − 3£177 2 x £180 x £90 0 Te desafiamos. Este ejercicio fue publicado por el DEMRE (Departamento de Evaluación, Medición y Registro Educacional) en el año 2009 para preparar la PSU. ¡Seguro que puedes resolverlo! El gráfico que representa al conjunto solución de este sistema de inecuaciones 3x − 6 < 3 es: 4 − 5x ≤ 9 2 a. ∅ 3x + 30≥300 3x ≥270 x £90 b. c. d. 90 Entonces, la intersección es 90, lo que quiere decir que viajaban 90 personas. e. UNIDAD 3 Para entretenerse 3 –1 –1 –1 3 3 Trabaja 4 x − 38 > 0 2x >4 1 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: a. b. c. d. 6 <3+ x 1− x > x +3 2 x +5> 9 7 x − 3£12 x + 9 > 2( x + 6) 3 x + 1 < 4 ( 2 x − 5) 5 x + 13 £1 2 e. 3 x −7 £2 5 2 x −4<1 3 x + 1 < −2 f. x 3 1 − ≥ 3 5 5 g. 4 x + 3≥2 x + 5 ( x + 1 ) ( x − 2) + 3 x ≥ ( x + 5) ( x − 6 ) x +1 2x +7 < 3 4 5 ( x + 3) + 4 ( 2 x + 1 ) > 2 (5 − 2 x ) h. 2 x ( x + 3) + 5 ( x − 2) £ ( x + 5) + ( x − 4 ) 2 x + 13 4 x −1 − ≥0 2 6 2 2 195 U3 MAT 3M (146-215).indd 195 2/11/11 15:34:17
  • Trabaja Resuelvan en grupo los siguientes problemas de planteo de sistemas de inecuaciones lineales. No olviden revisar sus respuestas. 1 Bárbara va a recibir el próximo mes $300000 por comisión de ventas, pero asegura que al juntarlo con su sueldo mensual actual no lo doblará. Añade que, hasta el momento, con los $150000 que paga por concepto de dividendo, le quedan, a lo más, $200000 para el resto de sus necesidades. ¿Entre qué valores fluctúa su sueldo mensual? 2 Elías va al negocio Los más famosos de la Vega Central y compra 5 kg de tomates y 6 kg de limones, paga $3500 y recibe vuelto. Eliana lleva 6 kg de tomates y 6 kg de limones, pero al tratar de pagar con $3 500 se da cuenta de que no le alcanza. ¿Entre qué precios varía el kilo de tomates? encontró que x < 7 y x > 7. Pensó que el sistema no tiene solución, porque falta el 7... es decir, ningún valor real sirve...”. ¿Están de acuerdo con su pensamiento? Justifiquen su respuesta. 3 Durante la resolución de un sistema de dos inecuaciones, Luis Ernesto “LOS MAS FAMOSOS DE LA VEGA CENTRAL” OFERTA DE LA SEMANA TOMATES SUPER REBAJADOS. LIMONES GRANDES Y JUGOSOS POR SOLO $200 EL KILO. ¡¡LOS ESPERAMOS!! Sintetizando Los sistemas de inecuaciones son conjuntos de inecuaciones. En esta sección has aprendido a trabajar con sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. Para resolverlos debes desarrollar cada inecuación por separado y luego intersectar todas las soluciones parciales. Esta intersección será la solución del sistema. Revisemos lo aprendido Contesta las siguientes preguntas para revisar tu aprendizaje: • ¿Soy capaz de reconocer un sistema de inecuaciones lineales? • ¿Sé cuáles son los pasos por seguir para resolverlo? Descríbelos:   • ¿Resolví correctamente los ejercicios propuestos? • ¿Cooperé con el trabajo de mi grupo cuando fue necesario? • Lo que más me costó de esta sección fue:   • Lo que haré para superar aquello que me costó más será:   196 U3 MAT 3M (146-215).indd 196 2/11/11 15:34:18
  • Trabaja en forma individual 1 Resuelve los siguientes sistemas de −5 x − 5£9 − x inecuaciones: a. b. x 2 + 8 x £ − 12 x 2 + 2 x £99 x 2 ≥100 x +6 >1 c. x − 2 2 x 2 + 7 x ≥15 2 x −1 + >0 x x −1 d. 7x + 3 1 + ≥0 8 x x 2 + 5 x − 6≥0 e. 2 x + 1 £−x x x 2 − 8 x − 20£0 − x 2 − 7 x ≥0 f. 9 x +1 £0 5 x −3 2 Resuelve los siguientes sistemas de x + 2 ( x + 3) ≥ − 15 inecuaciones: a. 3 x + 8 < 10 2 x +5 x +2 > 9 3 b. x + 4£5 ( 2 − x ) c. d. x −5 < 4 x (x + 3) − 5 (7 − x ) ≥ ( x + 6 ) ( ) ( ) e. 7 x + 1 + 21 < 13 3 (x + 9 )− 2 (x − 1 ) < 26 2 2 x + 3 £9 UNIDAD 3 Trabaja más... f. 2 x + 6 ≥1 − x 15 x + 1 £8 x + 1 Trabaja en grupo 1 Ricardo quiere estimar la medida del frente de su nueva casa. El arquitecto le ha dicho que todavía la está diseñando, pero que si a la medida del frente le agrega 1 m a cada lado, éste sobrepasa los 6 m y que, por otro lado, si disminuye 1 m a cada lado, el frente medirá menos de 5 m. ¿Cuál es la estimación que puede hacer Ricardo de la medida del frente de su casa con los datos recibidos? 2 Amaro le preguntó a su hermano cuánto dinero tenía en el bolsillo. Él le respondió: “Tengo solo monedas de $100. Si al dinero que tengo le agregas $600, entonces, el total será mayor que $900. Por otro lado, si tuviera una moneda menos y a ese dinero le agregaras $500, entonces el dinero que queda sería menor que $900”. ¿Cuánto dinero tenía el hermano de Amaro en el bolsillo? ¿Cuántas monedas tenía? 3 Una empresa constructora ha decidido construir casas en el terreno que acaba de adquirir. El informe entregado al directorio, para que se dé la orden de comenzar a construir, dice que si se construyen 10 casas más que el doble de las que se presupuestaba, sobrepasarán las 20 y que, además, no serán más de 70. ¿Cuál es el rango de casas que se planea construir? x +3 >7 2 x + 9 > 12 3 x +1 −3 > x 197 U3 MAT 3M (146-215).indd 197 2/11/11 15:34:22
  • cantidad que su papá le dio. Estimen cuánto dinero le ha dado a Soledad su papá. Expresen su respuesta en intervalos. 4 Para lograr estimar los kilos de pan que se consumirán en el próximo campamento scout, los organizadores decidieron leer la bitácora del campamento pasado para tener datos concretos. Cuando comenzaron a leer, se dieron cuenta de que los organizadores del campamento anterior no eran muy precisos. La bitácora decía así: “Al triple de pan que se comió hoy hubo que agregarle 5 kg y, de esta manera, compramos más de 8 kg. Ayer, que se consumió la misma cantidad de pan que hoy, se estableció que teniendo el doble del pan consumido, sobraron 6 kg y, con esto, se compraron menos de 12 kg”. Estima cuántos kilos de pan se consumieron diariamente. 5 El papá de Soledad le ha dicho que le va a dar dinero para sus vacaciones. Si al dinero que le ha dado, Soledad le agrega $15000, entonces el dinero que tendría superaría los $75000. Por otro lado, si tuviera el doble de lo que le ha dado su papá, podría pagar $90000 en pasajes de avión, pero quedaría con menos dinero que la 6 A María Paz le encantan los chocolates. Su pololo le ofreció regalarle una barra muy grande si podía responder el siguiente desafío: “Hay números que cumplen con las siguientes condiciones simultáneamente. El doble del número aumentado en 10 unidades es menor o igual que el número disminuido en 5 unidades. Además, el cuadrado del número es mayor o igual que 36. ¿De cuáles números estamos hablando?” Respondan la pregunta que le hicieron a María Paz. 7 –¿Qué edad tienes, abuela? –preguntó Cristina. –Hija mía, si sumamos el doble de tu edad y la mía, no superamos los 115 años. Ahora bien, si te digo que tú naciste cuando yo tenía 61 años, podrás responder tu pregunta porque mi edad es la mayor que puedas encontrar. Ayuden a Cristina y respondan su pregunta. Mis apuntes 198 U3 MAT 3M (146-215).indd 198 2/11/11 15:34:23
  • Taller de profundización Si recuerdas lo estudiado y lo que nos enseñó Julián, para resolver, x +5 > 0, debíamos separarla, utilizando por ejemplo, la inecuación 2 x −3 casos (si ambos eran positivos o si ambos eran negativos). Pero existe un método que nos ayudará a resolver esta y otras inecuaciones que pueden ser más complejas. Lo llamaremos método de análisis de signos. x +5 > 0, entonces se podrían 2 x −3 analizar los signos del numerador y denominador por separado. Razonemos juntos: En esta sección aprenderás A resolver inecuaciones fraccionarias y cuadráticas con el método de análisis de signos. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 2, 3, 4 • Comprender y resolver: 5 UNIDAD 3 Buscando otros métodos de resolución de inecuaciones fraccionarias y cuadráticas Una de las características más bellas de la matemática es que ante un problema o ejercicio determinado, podemos resolverlo por varios caminos distintos y llegar a la solución correcta. Esto es lo que pasa con las inecuaciones fraccionarias y cuadráticas. Si se debe cumplir que Si es así, que algo sea mayor o menor que cero tiene un límite: ser igual a cero. A estos límites donde numerador y denominador se hacen cero los llamaremos puntos críticos. Calculemos estos valores: a. Cálculo de puntos críticos: • x + 5 = 0 ⇒ x = −5 3 • 2 x − 3 = 0 ⇒ x = 2 b. Confección de tabla de valores con los puntos críticos: x+5 Numerador Denominador División de ambos 2x–3 : – – + Tomamos un número menor que –5 y evaluamos cada una de las partes en ese número, colocando en el casillero correspondiente solo el signo –5 0 – 0 + – 3 2 + 0 + Recta numérica + – + Lo mismo con un número entre –5 y 1,5 Esta fila es el resultado de los signos de la división de ambas filas Lo mismo con un número mayor que 1,5 199 U3 MAT 3M (146-215).indd 199 2/11/11 15:34:24
  • Entonces, para llenar la tabla debemos realizar los siguientes pasos: • Colocar los puntos críticos encontrados en orden ascendente, de izquierda a derecha. • Evaluar cada expresión (numerador y denominador) con un 3 número menor que –5, un número entre –5 y y un número 2 3 mayor que y en los puntos críticos. 2 Por ejemplo, si tomamos x = −6 y evaluamos en la primera fila x + 5, tendremos que −6 + 5 = −1; solo nos interesa el signo. Por lo tanto, colocamos en ese espacio un signo negativo ( − ). Hacemos esto para toda la tabla. • Efectuamos la división, teniendo en cuenta que solo nos interesan los signos y que al dividir por cero la fracción quedará indefinida. x +5 > 0, se está pidiendo que la división sea 2 x −3 mayor que cero, es decir, que sea un número positivo (resultado c. Dar la solución: Por lo tanto, como + en la tabla). 3  ⇒ La solución es:  −∞ , −5 ∪  , ∞    2  (Nota que los intervalos son abiertos en –5 porque la 3 desigualdad es estrictamente mayor que 0, y en porque, 2 además, en ese punto el denominador se hace cero, es decir, no está definida) Es importante destacar que este método sirve cuando la inecuación está formada por un producto o división, ya que son las operaciones donde se pueden analizar signos bajo una regla general (en sumas o restas dependería del valor de cada número). Además, para poder aplicar este método se debe escribir una desigualdad en que el lado derecho sea cero (límite entre positivo y negativo). 200 U3 MAT 3M (146-215).indd 200 2/11/11 15:34:26
  • Trabaja Junto con tu compañero o compañera de banco, resuelvan las siguientes inecuaciones por el “método de análisis de signos”. 2 3 4 2 x 2 − 3 x − 27 ≥0 x 2 − 7x x2 + 2 x <0 x +7 x 2 ( x + 10) ( x − 5) ( x − 10) x +2 2 (x − 5) (3 − x ) 2 UNIDAD 3 1 ≥0 ≤0 general, múltiplos, sucesores, antecesores, etc. Él ha escrito, a partir de 2x, su sucesor par, su antecesor, el triple de él disminuido en 5, y el sucesor de este último. Ahora ha pensado que puede formar dos razones, una con los dos primeros números formados y la otra con los dos últimos, en el mismo orden en que los ha pensado. “Hasta aquí –se dijo– es muy fácil calcular para qué valores de x se formará una proporción con ellas, pero, ¿para qué valores de x la primera razón será menor que la segunda?” 5 Emilio aprendió hace unos años en su colegio, que a partir de un número podía escribir, en forma Revisemos lo aprendido Responde las siguientes preguntas: • ¿Entendí el método planteado en el taller y comprendí que es un método alternativo para resolver algunos tipos de inecuaciones? • ¿Fui capaz de resolver correctamente los ejercicios propuestos en el taller? • ¿Aporté a mi grupo para terminar correctamente las actividades propuestas? • Elige el método que más te gusta (por estudio de casos o por análisis de signos) y explica por qué. 201 U3 MAT 3M (146-215).indd 201 2/11/11 15:34:28
  • Evaluación Unidad 3 Síntesis conceptual de la unidad I. Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas de la forma más completa posible. Da un ejemplo en cada caso. 1 ¿Qué es una desigualdad? 2 ¿Qué sucede con el sentido de una desigualdad al multiplicarla por un número negativo? ¿Cuándo más sucede lo mismo? 3 ¿Qué es un intervalo? 4 ¿Qué significa que el intervalo a , b  sea cerrado en a y abierto en b?   5 ¿Qué es una inecuación? x +1 >0 2x x +1>0 x > −1 / ⋅2 x 6 ¿Cuál es el error en el siguiente desarrollo? 7 ¿Qué condición cumple x si x > a ? 8 ¿Qué condición cumple x si x < b ? 9 ¿Qué es un sistema de inecuaciones lineales? 10 ¿Cómo se determina la solución de un sistema de inecuaciones lineales? II. Completa el siguiente mapa conceptual: Desigualdades e inecuaciones Desigualdades Intervalos Sistemas de inecuaciones lineales Inecuaciones cómo se resuelven Propiedades    Tipos de intervalos    Lineales    Fraccionarias    Cuadráticas    Con valor absoluto    Se resuelven    202 U3 MAT 3M (146-215).indd 202 2/11/11 15:34:28
  • 13 5 contenga: − ;0,7; 3; π; −π; −4,07; 3 9 1 Escriban el menor intervalo que 5 no exceden a 0,34. 2 Encuentren los números que divididos por 3 Si −2 ≤ x ≤ 4, establezcan todos los valores x + 3. 3 4 Usando una tabla de valores, muestren que si a y b son números reales, se cumple a + b ≤ a + b . Esta desigualdad es muy famosa en el desarrollo del cálculo y se llama “La desigualdad del triángulo”. que toma la función f ( x ) = 5 Para lanzar un objeto al espacio y que quede rotando alrededor de la Tierra es necesario que sea lanzado con una velocidad mayor o igual a 11, 2 km s (sin considerar el roce con el aire). En general, la velocidad de escape es la velocidad mínima inicial que necesita un objeto para escapar de la gravitación de un cuerpo astronómico y continuar desplazándose sin tener que hacer otro esfuerzo propulsor. En una tabla, representen cada una de las siguientes situaciones: “Si el objeto se traslada a una velocidad inferior a 0,71 veces la velocidad de escape, no puede conseguir una órbita estable. Ahora bien, si tiene una velocidad igual a 0,71 veces la velocidad de escape, la órbita es circular; y a una velocidad mayor, la órbita se convierte en una elipse hasta que alcanza la velocidad de escape y luego la órbita se convierte en una parábola”. IV. En tu cuaderno, desarrolla las siguientes operaciones con intervalos. Ayúdate graficándolos en la recta numérica: 1 ]1, 7[ ∪ ]−1, 6] 2  −5,3 ∩ 3,5     3 ]0, 3[ ∪ [3, •[ UNIDAD 3 III. Desarrollen cada uno de los ejercicios propuestos. Háganlo en el cuaderno y no olviden revisar sus respuestas. 4 R ∩∅ 5 ( −2, 5) ∩ ( −3, 4 ) ∩ ( −4, 4;7 ) 6 ( ]−•, 2] ∪ ]−3, 4[ ) ∩ ]−3,5; 4, 4[ 7 [2, •[ ∩ ]−24, 4[ ∪  −0, 5;7  ( ) 26   541   ∪ − ,5  ∩ 1,6  9   90           809   9 ( ]−•, 3] ∪ [ −6, 5[ ) ∩  [1, 6] ∪  6,   90    8   −∞ ,    10  −3 3 , 3 ∩  − 6 , 5 ∩ 1, 6  ∪  6 , 7  (    ) (    ) V. Resuelve las siguientes inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales: 1 1  5  1 x +  ≥2 x  x −  − x  2 x +  5  3 3  2 1 8− 2 −2 (1, 7 x − 1 ) ≥ 3 (1 − x ) 3 4 − 63 −   5x   2  < 9 2 x − 9  3    4 ( x − 1 ) ( x + 1 ) − 2 ( x − 5) > − x (5 − x ) 5 x − (3 − 2 x ) −6 − 1£ 3x 2   11 −7 x    7 6 (7 x − 1 ) (5 − x ) ≥ x  7 (x + 3) − 3 2 ≤0 (x + 2) ) 8 5 x +2 < 5 x −2 3 203 U3 MAT 3M (146-215).indd 203 2/11/11 15:34:34
  • 9 10 7x 2 − x ≥0 x2 − x − 2 x2 + 1 ≥1 x 11 x + 12 4 Rómulo lee unas instrucciones con respecto 25 < 10 x 2 x −1 ≥2 x +5 x 3 − >0 4 8 13 5 x − 1£4 3 x 2 < −3 14 4 2 (2 x − 0, 1) ≥5 x + 5 5 “Bueno, dijo furioso Fulano a Sutano, siempre te haces notar cuando vas a la pizarra. Ahora mira esto: se dan dos números impares a y b (positivos), tal que 1 1 a < b ¿puedes demostrar que − > − ?” b a 6 La alegría del barrio fue disponer de un sitio de 75 m por 60 m para instalar algunos juegos. Estos deben ocupar entre el 80 y el 90% del terreno disponible. Todos opinan, pero, en resumidas cuentas, requieren encontrar todas las medidas posibles para un área rectangular cuyo ancho sea al largo como 2 es a 3. ¿Cuáles son estas medidas? 1 1 < x 5 15 x 1 < x −1 2 x − 4 £1 16 3 x − 1 ≥4 7 En un test de habilidades matemáticas te x £3 VI. Resuelve los siguientes problemas: 1 “Si a y b son números reales cualesquiera, entonces a − b ≤ a − b ”, dijo Imelda a Rosaura. “Pero ¿será verdad?”, pensó esta última. Usa una recta numérica, escoge valores de a y b y verifica la afirmación. 2 Expresa, usando una desigualdad con valor absoluto, los números reales menores que 4 pero superiores a –2. 3 Sin resolver la inecuación 2 x − 3 < 1, decide si es posible comprobar si la solución está dada por 1 < x < 3. Justifica matemáticamente. a un medicamento en gotas que están sugeridas en una página de internet:“Para menores de 4 años, solo 5 gotas; para mayores, pero que no alcancen los 12 años, 7 gotas. Si tiene más edad y hasta los 20 años, 10 gotas. Para mayores, 15 gotas”. Elige alguna forma de expresar estas instrucciones usando intervalos. presentan el siguiente desafío. Averiguar todos los posibles valores de x, sabiendo que en el platillo derecho de la balanza hay x gramos de bicarbonato y que Marco agregó cinco gramos de esta misma sustancia en el otro platillo vacío, pero no alcanzó a equilibrar la balanza y ella sigue inclinada hacia el mismo platillo. Por otro lado, a María Ignacia se le informó que si ella agregara la mitad del valor de x a los cinco gramos puestos por Marco, la balanza se inclinaría al otro lado de donde estaba. Francisco, por su parte, determinó que si él quitaba un cuarto del bicarbonato que había en el platillo inicialmente, este todavía no superaba los 5 gramos. ¿Cuál es tu respuesta a este desafío? 8 Clara es la hija del medio, también en estatura, de los Jiménez. Su hermana menor mide 1,65 m y su hermana mayor supera en veintitrés centímetros a esta última. 204 U3 MAT 3M (146-215).indd 204 2/11/11 15:34:37
  • Clara es un poquito más alta que la estatura promedio de su curso (1,75 m). ¿Cuánto puede medir Clara? 9 Manuel necesita construir un paralelepípedo de base cuadrada. Para ello, sabe que el alto debe ser de 10 cm y que su volumen no puede superar los 560 cm3. ¿Cuáles pueden ser los valores de la arista de la base? VII. Desarrolla los siguientes ejercicios y marca la alternativa correcta. Revisa tus respuestas al final del libro y calcula tu porcentaje de logro. 1 ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a la definición correcta de la relación de orden “mayor que”(>) entre números reales a y b? a. a > b ⇔ a − b > 0 b. c. d. e. a>b⇔b>a a > b ⇔ −a > −b a > b ⇔ b − a ∈R Ninguna de las anteriores. 2 Si a es un número real negativo, ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades es(son) siempre verdadera(s)? I. a + a ≥ 0 II. ( a + 1)2 > 0 III. −a > 0 a. Solo I y II b. Solo II y III c. Solo I y III d. I, II y III e. Ninguna de las tres. 3 Si x − 4 > 2 − 3 x , entonces la inecuación equivalente es: a. 2 x + 3 > 0 b. 2 x > 3 c. 3 − 2 x < 0 d. x > 2 e. 3 x − 2 > 0 5x 3x − 5£ se puede expresar como: 6 4 a. x ≤ −48 b. x ≤ −36 c. x ≤ −18 d. x ≤ 18 e. x ≤ 60 4 La solución para x en la inecuación UNIDAD 3 x − 7 < 3 es: 5 El conjunto solución de la inecuación a. {x ∈ R / x < 10} b. {x ∈ R / x < 4} c. {x ∈ R / x > −4} d. {x ∈ R / x > 4} e. {x ∈ R / 4 < x < 10} Si G ( x ) = 3 a − 2 x , donde a es un número g 6 G ( x ) representa los gastos de una persona. real fijo mayor que cero, entonces cuando x a a varía entre y , el gasto varía entre: 4 2 a. 2a y a d. 3a y a 5 5 b. a y a e. a y 2a 2 2 c. 3a y 2a a < b y c < 0. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)? I. ac < bc 7 a, b y c son tres números reales tales que II. a + c < b + c III. a − c < b − c a. Solo I b. Solo II c. Solo I y II d. Solo II y III e. I, II y III 8 Al resolver la inecuación 2 ( x − 5) ≥ 4 + 2 x , el conjunto solución es: a. x ≥ 3 d. ∅ b. x ≥ 3,5 e. R c. x ≤ 3,5 205 U3 MAT 3M (146-215).indd 205 2/11/11 15:34:43
  • 9 Sean p, q, s, t números reales, entonces p + q < s + t si: (1) s > t y p < t (2) q < s y s − t > q a. (1) por sí sola b. (2) por sí sola c. Ambas juntas, (1) y (2) d. Cada una por sí sola, (1) o (2) e. Se requiere información adicional 10 La inecuación que representa al siguiente gráfico es: a. x ≥ 3 b. x ≤ 3 –3 3 c. x > 3 d. x < 3 11 ¿De qué inecuación no es solución el siguiente gráfico? –2 12 ¿Qué inecuación describe al siguiente enunciado: Todos los números reales que están al menos a tres unidades de –1? a. x − 1 ≥ 3 b. x − 3 ≥ −1 c. x + 1 ≥ 3 d. x + 1 ≤ 3 e. x + 1 > 3 a. b. c. d. –7 –7 –7 –7 3 3 3 e. Ninguna de las anteriores. 14 El conjunto solución de e. x = 3 a. −2 x > 4 b. −4 > 2 x c. − x < 2 d. 8 < −4 x e. −2 > x inecuación x 2 + 4 x − 21≥0 es: 13 El gráfico del conjunto solución de la  95  a.  , ∞   21  95   b.  −∞ ,  21   3 2 x 5 3 x −8 5 + > + es: 5 4 4 3 95   c.  −∞ ,  21    95  d.  , ∞   21   95 95  e.  − ,   21 21  2 x −8 £ − 2 corresponden a: −3 15 Los valores que satisfacen la inecuación a. x ≤ 1 3 2 c. x ≥ 7 b. x ≥ 9 2 e. x ≥ 0 d. x ≤ 206 U3 MAT 3M (146-215).indd 206 2/11/11 15:34:47
  • pertenece(n) al conjunto solución de la inecuación 2 x − 3£5? I. 4 II. 5 III. 3 a. Solo I b. Solo II c. Solo III d. Solo I y III e. I, II y III 17 ¿Cuál(es) de los siguientes números NO cumplen con la siguiente condición: La quinta parte de un número disminuido en 6 es mayor que 10? I. 80 II. 60 III. 120 a. Solo II d. Solo II y III e. I, II y III b. Solo I y II c. Solo I y III 18 Al intersectar los intervalos  −5,4  y    −3,5 se obtiene el conjunto:   a. {x ∈ R / −5 ≤ x ≤ 5} b. {x ∈ R / −3 ≤ x ≤ 5} c. {x ∈ R / −3 < x ≤ 4} d. {x ∈ R / −3 < x ≤ 5} e. {x ∈ R / −3 < x < 4} x −1 < 2 es: inecuaciones x +1 >2 19 El conjunto solución para el sistema de 1,3    −∞ , −3 ∪ 3, ∞       −∞ ,1 ∪ 3, ∞      d. 1,3   a. b. c. e. 3,∞    encuentra de Santiago (en km) está dada por la inecuación 3x − 200 < x − 50 + x , donde x representa dicha distancia. ¿A qué distancia se encuentra de Santiago? 20 La distancia a la que una persona se a. A menos de 150 km b. A exactamente 150 km c. A más de 150 km d. A menos de 250 km e. A exactamente 250 km 21 Si 3 ≥ a ≥ 0 y −3 ≤ b ≤ 0 , ¿qué valor(es) a. Los valores entre –3 y 3, ambos incluidos. b. Solo los valores entre –3 y 0, ambos incluidos. c. Solo los valores entre 0 y 3, ambos incluidos. d. Solo el 0. DEMRE e. Ninguno de los anteriores. puede tomar ( a + b )? UNIDAD 3 16 ¿Cuál(es) de los siguientes números 22 Si a > b , con a , b ∈R, entonces, se puede afirmar siempre que: a> b I. 2 II. a > b2 III. ac > bc , si c > 0 a. Solo II b. Solo III c. Solo I y II d. Solo II y III e. I, II y III que tiene no supera las 25 y que exceden las 12. Este enunciado se puede escribir como: 23 Juan ha dicho que el número de bolitas (b) a. 12 ≤ b < 25 b. 12 < b ≤ 25 c. 12 ≥ b ≥ 25 d. 12 > b > 25 e. Ninguna de las anteriores 24 La inecuación 4 ( x + 2) ≥ 5 ( x + 7 ) − 1 tiene a. [26,•[ por solución al conjunto: b. ]−•, −26[ c. ]−•, −26] d. ]−•,26] e. [ −26,•[ 207 U3 MAT 3M (146-215).indd 207 2/11/11 15:34:50
  • 4x + 6 7 − x es el conjunto: ≥ 2 3 25 Gráficamente, la solución de la inecuación 4 7 a. b. c. d. −2 13 e. −2 7 b. ]1, 5[ a. ]−•,5[ ∞ c. ]−•,1[ ∞ d. ]−•,1] ∞ e. ]−•,5] ∞ 16 7 5x − 2 > 2x 2 + 61 es: 29 La solución de la inecuación a. ]− •, - 9[ ∪ ]7, •[ b. ]− •, - 7[ ∪ ]9, •[ 16 13 c. [ −9, 7] d. ]−9, 7[ e. ∅ ( ]−9, 8[ ∪ ]−• , −16,5[ ) ∩ ]−3, 21[ 26 La solución de x + 2≥3 ( x + 7 ) 30 La solución del sistema de inecuaciones 2 x − 5£1 − 8 x a. ]−3, 8[ es el intervalo: b. ]−9, 8[ 19   a.  −∞ , −  2  c. [ −16, 21[ d. ]−9, 5[ e. ]−9, −8[ 4x − 1 ≥ 0 es: 27 La solución de la inecuación x +5 1  a. ]− •, - 5] ∪  , •  4  1  b. ]− •, - 5[ ∪  , •  4  1  c. ]− •, - 5[ ∪  , •  4  28 La solución de la inecuación 3x + 1 < 9 − 5x es: DEMRE es: 3  b.  −∞ ,  5   19 3  c.  − ,   2 5  19  d.  − , ∞   2  3  e.  , ∞  5  1  d.  −5,  4  1  e.  −5,  4  208 U3 MAT 3M (146-215).indd 208 2/11/11 15:34:57
  • subconjunto del conjunto solución de la x +9 2x − £1? inecuación 11 3 1 a.  − , ∞   2    6  b.  , ∞   19  6  d.  −∞ , −  19   x 2 − 4 x + 3£0 es igual al de la inecuación: a. x − 2 < 1 32 Marcela quiere estimar cuántos libros tiene la biblioteca de su colegio. En su investigación encontró que el triple de los libros existentes (l) disminuido en 933 no superan las 12 603 unidades. Entonces, la relación que Marcela tiene para los libros es: c. l ≥ 4.512 4512 d. l ≥ 3.890 3 890 e. l ≤ 13.533 13533 33 La siguiente representación gráfica representa al conjunto: –5 a. {x ∈ R / x ≤ −5} b. {x ∈ R / x < −5} c. {x ∈ R / x > −5} d. {x ∈ R / x ≥ −5} e. {x ∈ R / −5 ≤ x < 5} 34 Resolver la inecuación x + 2 < 5 es equivalente a resolver: d. x > −3 ∩ x < −7 a. x ≤ 3 ∩ x ≥ −7 b. x < 3 ∪ x > −7 c. x < 3 ∩ x < −7 25   25   b.  x ∈ R / x ≥ −  e.  x ∈ R / x ≥  4 4   36 El conjunto solución de la inecuación 6  e.  −∞ , −  19   b. l ≤ 3.890 3890 25  25    a.  x ∈ R / x > −  d.  x ∈ R / x ≤ −  4 4   25   c.  x ∈ R / x < −  4  1  c.  −∞ , −  2  a. l ≤ 4512 4.512 5x +9 13 x ≥− − 3 es el conjunto: 2 10 35 La solución de la inecuación UNIDAD 3 31 ¿Cuál de los siguientes intervalos es e. x < 3 ∩ x > −7 b. x − 2 ≥ 1 c. x − 2 ≤ 1 d. x − 1 ≤ 2 e. x − 1 ≥ 2 37 La inecuación que representa al enunciado “existe un número x tal que es mayor o igual que 5 o también menor o igual que –5” es: a. x ≤ 5 b. x ≥ 5 c. x < 5 d. x > 5 e. x − 5 ≥ 0 38 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones NO es(son) verdadera(s) con respecto a la inecuación x (x + 9) ≤ 36? I. El conjunto solución es [ −12, 3] II. –15 no es parte de la solución de la inecuación III. ]0, 2[ es subconjunto del conjunto solución de la inecuación: a. b. c. d. e. Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III Todas son verdaderas 209 U3 MAT 3M (146-215).indd 209 2/11/11 15:35:00
  • x ( x + 1) ≥ 3 ( x − 5) es: x ≥ 0 es: x +2 39 El conjunto solución de la inecuación 40 El conjunto solución de la inecuación a. {x ∈ R / x ≥ −2 ∧ x ≤ 0} a. ∅ b. R c. R − { } 15 d. R − {−2} e. No se puede determinar b. {x ∈ R / x ≤ −2 ∨ x ≥ 0} DEMRE c. {x ∈ R / x < −2 ∨ x ≥ 0} d. {x ∈ R / x ≥ −2 ∨ x ≤ 0} e. {x ∈ R / −2 ≤ x ≤ 0} Mis apuntes 210 U3 MAT 3M (146-215).indd 210 2/11/11 15:35:01
  • Criterios para autoevaluar tu aprendizaje Marca con una 8 en el casillero correspondiente según la evaluación que hagas de tu trabajo y tu aprendizaje. Indicadores +++ ++– +–– UNIDAD 3 Respondí correctamente sin ayuda las preguntas de la síntesis conceptual de la unidad. Completé correctamente sin ayuda el mapa conceptual de la síntesis conceptual de la unidad. Pude resolver correctamente los ejercicios de evaluación de la unidad. Me siento capaz de resolver cualquier ejercicio similar a los planteados sobre desigualdades e inecuaciones. Aporté al trabajo grupal cuando fue necesario. Recuerda que si tuviste alguna dificultad con los contenidos o ejercicios de esta unidad, debes repasar y preguntar a tus compañeros o compañeras que saben más, o a tu profesor o profesora. Para continuar con la siguiente unidad necesitas lo estudiado hasta ahora. Calcula el porcentaje de logro que obtuviste en el ítem VI. Porcentaje Nota Nivel de mi de logro obtenida aprendizaje 29% a 0% 1,0 a 2,5 49% a 30% 2,6 a 3,5 69% a 60% 4,0 a 4,7 59% a 50% 79% a 70% 89% a 80% 100% a 90% 3,6 a 3,9 4,8 a 5,4 5,5 a 6,2 6,3 a 7,0 Porcentaje de logro Nº de respuestas correctas . PL = 100 20 40 Cómo mejorar Los contenidos no han sido comprendidos. Debes repasarlos nuevamente y rehacer los Alerta ejercicios. Fíjate muy bien en los ejercicios resueltos. Debes pedir ayuda. ¡Ánimo! con trabajo y estudio se puede. La mayoría de los contenidos no han sido comprendidos. Debes volver a repasarlos y Muy bajo rehacer los ejercicios incorrectos. Pídeles ayuda a tus compañeros o compañeras. Vuelve a estudiar; seguro que lo lograrás. Una gran parte de los contenidos no han sido comprendidos es su totalidad. Rehaz aquellos Bajo ejercicios incorrectos, pero antes, vuelve a estudiar los contenidos. Trata nuevamente, pero primero revisa los contenidos de la unidad. Pide ayuda a tus compañeros o profesor. Adquiriste una parte de los contenidos, pero aún faltan. Debes corregir aquellos ejercicios Medio bajo incorrectos y revisar los contenidos de los temas en que fallaste. Bien, has avanzado, aunque aún queda camino por andar. Has logrado entender una buena parte de los contenidos; sin embargo, aún faltan otros Medio y afianzar los primeros. Corrige las respuestas erróneas; puedes pedir ayuda si lo deseas. Revisa los contenidos. ¡Puedes hacerlo mucho mejor! Has logrado adquirir gran parte de los contenidos. Revisa los ejercicios en los que fallaste y Medio alto repasa aquellos contenidos menos logrados. ¡Lo has hecho bien! Has logrado aprender todos o casi todos los contenidos tratados. ¡Muy bien!, has logrado Alto los objetivos propuestos. Sigue así. 211 U3 MAT 3M (146-215).indd 211 2/11/11 15:35:01
  • Evaluación de síntesis 2 (Unidades 1 a 3) I. Sopa de letras. Dadas las siguientes definiciones, encuentra el concepto al que corresponden. S W P R Q G A G F Q R A D K Y P V G D I M H T Y I K F F S DW X T E G R N O I C X W L H M V B J J E F L O R I A W T B Y D I L R H C E W H E T O O L A V D U E Q U M I O S Z Z L F A F T H M U B V A R G P D Z Y C T P Q E Z G G H D B D L V E L M V D R C U F O R I U A M J R Q Y N I L O J O N E S C K K B OW Y D Q L T N C F D G A R M V A A F A Y L J A O D M K I N N S D R I N I W Y N T Y R N O M R V G U D Z R X N C Z J S O H A T V F M S O Y A W F U C A D B T A N O Y X P T N F F I C P U T L E W U M U A K H Z Q G L W E U G A X A F T F D G Y A D G S C M Z H L C T Z R M H E A D Y W R Y X M V P O L M E Z N O I C A U C E N I J T U B J Z B G F O X G N D T U A F O S N Z R I O J U P C W V P U A Y L O U C Z A O J Y I M A A R C D E S I G U A L D A D T N H D X K E R M II. Resuelve los siguientes ejercicios. Coloca todo el desarrollo en el cuaderno y revisa tus respuestas en el solucionario. I B J C T C Q T R Z F C U P Z I L H Z X 1 Forma matemática de expresar una relación de orden (mayor o menor) 2 Desigualdad que se verifica para ciertos valores de la variable involucrada 3 Método por el cual se eliminan las raíces del denominador de una expresión fraccionaria 4 Representación gráfica de una función cuadrática 5 Representación de un subconjunto de 2 6 b − 4 ac 1 Resuelve los siguientes ejercicios de a. 3 2 − 5 12 operatoria de raíces. ( 2 ) b. 44 − 5 396 + 7 275 c. 2 3− 2 + 3 2− 3 a. 2 x + 1 + x = 23 2 Resuelve las siguientes ecuaciones. b. ( x + 6 ) ( x − 8 ) + 2 (3 x + 1) + 41 = 0 c. d. 3 x −7 5 x +1 = +2 x 3 3 x ⋅ 3 x + 3 = 3 3 ⋅ 3 x + 48 3 Dadas las siguientes parábolas, determina vértice y puntos de corte de la parábola con los ejes coordenados. a. y = 4 x 2 − 35 x − 9 b. f ( x ) = ( x − 5) (3 − 2 x ) c. y = x2 − 2 x 3 números reales 1 2 7 Máximo o mínimo de una función cuadrática 8 Potencia de exponente 212 U3 MAT 3M (146-215).indd 212 2/11/11 15:35:05
  • 3 Esteban trabaja en laboratorios haciendo a. 7 ( x + 8 ) − 10 ( 2 x + 6 ) > 3 (5 x − 1) sistemas de inecuaciones. b. c. experimentos con ciertos microrganismos x −5 2 x +7 8 x −3 − £ 6 4 12 que habitan en las plantas. Su trabajo consiste en estudiar el comportamiento de 7x − 2 ≥5 x +1 las poblaciones de microrganismos para que estos no afecten el normal crecimiento 12 x − 33 d. < 4 x −1 2 de las plantas. En su último experimento E VA L U A C I Ó N DE SÍNTESIS 4 Resuelve las siguientes inecuaciones o determinó que el porcentaje de 4 x + 3 > 9 (x − 10) x +3> 9 crecimiento de los individuos de la e. 2 x 1 7 (x − 5) 2 − ≤ 5 2 4 población está dado en función del tiempo (medido en semanas) según una función cuadrática. Si Esteban ha anotado en sus 7 9 2 2 III. Resuelve los siguientes problemas: puntos (2, 0); (5, 0) y  ,  , determina la informes que aquella función pasa por los 1 Mónica está haciendo su tarea de Matemática y tiene un ejercicio que no ha función Pc ( t ) (porcentaje de crecimiento podido resolver; este dice así: “Existe un en función del tiempo). ( 5 − 3) (2 5 + 1) da por resultado (2 − 3 − 3 5 ) . ¿Cuál es este número?” Tú número que al dividirlo por 4 Pilar está haciendo su tarea de Matemática. 2 ya tienes los conocimientos necesarios para ayudar a Mónica, da la respuesta que ella busca. Ella debe encontrar la función que está representada por la curva en rojo y la medida del segmento que une los puntos A y B. Para esto, su profesora le ha dado el siguiente dibujo. Ayuda a Pilar y da la respuesta que necesita. 2 Una empresa estima que los costos de producción (C) del producto que desean lanzar al mercado está dado en función del número de artículos (a) que se deben producir por la función C ( a ) = 2 a − 5 + 12, donde C está medido en miles de pesos y a en cientos de artículos. ¿Cuál es el costo mínimo y cuántos artículos se producen con este costo? A 8 6 4 2 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –2 B y –4 –6 1 x 213 U3 MAT 3M (146-215).indd 213 2/11/11 15:35:08
  • 5 Vicente entró este año a la carrera de ingeniería. En su clase de cálculo están estudiando funciones. En la última clase su profesor dijo, como parte de una de las explicaciones de un ejercicio, que era fácil encontrar los puntos de intersección de la parábola y = 4 x 2 + 3x + 9 con la recta y = −5x + 14 . Él les dio estos puntos y prosiguió con su explicación. Ahora que Vicente está revisando la clase en su casa quiere hacer el desarrollo para llegar al resultado del profesor. ¿Cuáles fueron los puntos dados por el profesor? 6 Una piscina rectangular, de la misma profundidad en todo su largo y ancho, tiene medidas, en metros, que son números pares consecutivos, siendo el menor de ellos su profundidad. Si la superficie del fondo de la piscina mide 48 m2, ¿cuál es su profundidad y su capacidad en litros? 7 La profesora de César les ha planteado el siguiente acertijo: “Existen números que cumplen que la diferencia entre el triple de su sucesor y el cuádruple de su antecesor es un número no mayor que 6 y mayor que – 9?” Ella les ofreció 2 décimas para su próxima prueba si lo podían resolver. César lo hizo correctamente y le mostró su resultado a la profesora. ¿Cuál fue este? 8 La señora Estela y su marido tienen una verdulería. Ellos desean fijar el precio de venta de los tomates. El marido le ha dicho que el porcentaje de ganancia (sobre el precio en que ellos compraron los tomates) debe ser de un 20 % para no encarecer tanto los tomates y que las personas los compren. Si, finalmente, el precio del kilo de tomates no excedió los $550, ¿cuál fue el precio máximo que ellos pudieron haber pagado para comprar los tomates para su negocio? 1 El resultado de multiplicar 2 5 − 3 3 por IV. Marca la alternativa correcta. −3 5 − 2 3 es: d. −12 + 13 8 a. −12 + 5 15 b. −12 + 5 8 c. −48 + 5 15 2 La expresión a. – 2 2 −5 e. −48 − 5 15 10 + 2 2 b. 2 c. −27 + 10 2 46 f ( x ) = 2 x − 7 − 3 es: es equivalente a: 27 − 10 2 46 −27 − 10 2 e. 46 d. 3 El recorrido de la función a. R b. [ −3,•[ c. [7,•[ d. [3,•[ e. 7  2 ,∞   3 x − 1 4 x + 1 5 x2 + 1 + = + 1 es: 5 3 7 4 El conjunto solución de la ecuación 2 a. { }  53    75   53  c. 2,   75  b.   53    75  53 e. −2, −    75   d. −2, 214 U3 MAT 3M (146-215).indd 214 2/11/11 15:35:13
  • 691 200 709 b. 200  691  c.  ,∞  200  a. y = −3 x 2 + 2 x − 7 es: d.  709   200 , ∞    e. No se puede determinar 6 El punto máximo de la función  1 −20  a.  ,  3 3   −1 20  b.  ,   3 3   −1 −20  c.  ,   3 3   1 −80  d.  ,  3 3   −1 −80  e.  ,   3 3  7 Dada la función y = 8 x + 14 x + 3, se puede afirmar que: 2 I. Tiene un punto mínimo II. Corta al eje x en dos puntos III. Es cóncava negativa a. Solo I b. Solo II c. Solo III d. Solo I y II e. Solo I y III 2 x ≤ 3 (5 x + 1)− 11 2 x ≤ 3(5 x + 1) − 11 9 Al resolver el sistema 7 x + 2 + x −3 > x 7 ((x+ 2))+ ((x− 3)) > x 22 8  13    8  b.  17 , ∞    23   c.  −∞ ,  13   22 solución el conjunto: a. −23,  se obtiene por d. ]−•, −23[ 8 e.  , ∞   13   E VA L U A C I Ó N DE SÍNTESIS ecuación −5 x 2 − 3 x + 5 ( 2 k − 7 ) = 0 para que esta tenga una sola solución en el conjunto de los números reales es(son): 5 El(los) valor(es) que debe tener k en la 3 x + 5 < 9 x + 1 es: 10 El conjunto de la inecuación a. 2   3 ,∞    1  b. − , ∞  2  c.    1 2 − 2 , 3     1 2   d. − ,  2 3 1 2 e.  −∞ , −  ∪  , ∞       2 3  4 x +3 ≥6 es: 2 x −1 8 El conjunto solución de la inecuación a. b. c. d. e. 1 9 2 , 8   1 9 2 , 8    9 1 − 8 ,− 2   1  9    −∞ , 2  ∪  8 , ∞      ∅ 215 U3 MAT 3M (146-215).indd 215 2/11/11 15:35:16
  • UNIDAD 4 Algo más sobre triángulos rectángulos TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS TEOREMAS: • Teorema de Pitágoras. • Teorema de Euclides. TRIGONOMETRÍA: • Relación entre ángulos y lados en un triángulo rectángulo. APLICACIONES: • Resolución de problemas de la vida diaria. • Tríos pitagóricos, Teorema de Fermat y otros. 216 U4 MAT 3M (216-289).indd 216 2/11/11 15:38:38
  • OBJETIVOS FUNDAMENTALES Y TRANSVERSALES En esta unidad: Conocerás y utilizarás conceptos matemáticos de nociones de trigonometría en el triángulo rectángulo, mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de formulación, verificación o refutación de conjeturas. Aplicarás los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas y en el análisis de situaciones concretas. Resolverás desafíos con grado de dificultad creciente, valorando tus propias capacidades. Percibirás la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. 217 U4 MAT 3M (216-289).indd 217 2/11/11 15:38:39
  • CONTENIDOS Teorema de Euclides. Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Aplicación de las razones trigonométricas a problemas de medición de la vida diaria. Otra mirada del teorema de Pitágoras. Tríos pitagóricos. Teorema de Fermat y otros. APRENDIZAJES ESPERADOS En esta unidad se espera que: 1 Reconozcas que las razones trigonométricas son cocientes invariantes entre las medidas de los lados, en familias de triángulos rectángulos semejantes. 2 Conjetures sobre propiedades geométricas en triángulos rectángulos semejantes y las demuestres utilizando diversos recursos argumentativos. 3 Resuelvas problemas que involucran propiedades de los triángulos rectángulos; analices las soluciones que se obtienen y su pertinencia. 4 Reconozcas el sentido y la necesidad de la demostración en matemática y, en particular, conozcas la historia del teorema de Fermat-Wiles y los tríos pitagóricos. 218 U4 MAT 3M (216-289).indd 218 2/11/11 15:38:39
  • UNIDAD 4 La trigonometría se remonta al tiempo de los babilonios. Ellos la utilizaban en la agricultura. Posteriormente, los egipcios la utilizaron en la construcción de pirámides. Más tarde, en Grecia, la astronomía hizo uso de sus relaciones entre ángulos y lados en los triángulos. Allí, Hiparco de Nicea fue el primer representante. Luego de 300 años, otro matemático griego, Ptolomeo, hizo de su libro el más consultado por los astrónomos. En el siglo XVII, la trigonometría contribuyó al desarrollo de conceptos como los logaritmos, el cálculo y otros. El origen de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto, donde la utilizaban para determinar medidas en agricultura y en la construcción de las pirámides Por otro lado, las relaciones métricas en el triángulo rectángulo han sido ampliamente desarrolladas en este ámbito, siendo Euclides uno de sus mayores exponentes. Con su serie de libros llamados “Los elementos”, recorre la geometría conocida actualmente. De los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende todavía como geometría elemental. En ellos, Euclides recoge las técnicas geométricas utilizadas por los pitagóricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas, e incluyen también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudoxo. Los libros séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas, y los tres restantes se ocupan de geometría de los sólidos (cuerpos geométricos), hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto. Como ves, nuevamente se puede asegurar que la matemática ha sido descubierta hace muchísimos años, que fue trabajada por varios matemáticos y que aún hoy se sigue profundizando y encontrando cosas nuevas. Te invitamos a explorar en los triángulos rectángulos y sus relaciones. Después de la Biblia, Los elementos de Euclides es la obra que más ediciones ha conocido desde que se le atribuyera a Gutenberg la invención de la imprenta moderna. 219 U4 MAT 3M (216-289).indd 219 2/11/11 15:38:41
  • Conocimientos previos Recordaremos un concepto fundamental en matemática que ya has trabajado en años anteriores: el de razón. Una razón es la comparación de dos cantidades mediante cociente. Por ejemplo, se podrían comparar las horas trabajadas con el sueldo recibido. Entonces, si la razón es 3 200 : 1, podríamos interpretar que una persona gana $3200 por cada hora que trabaja. antecedente a b consecuente Lo primero que se debe saber al trabajar con razones es que tanto el antecedente como el consecuente no representan, necesariamente, las cantidades reales involucradas en una situación. Por ejemplo, si la razón entre los niños y niñas en un curso es 2 : 3, esto no quiere decir que en el curso haya 2 niños y 3 niñas, sino que por cada 2 niños hay 3 niñas. Una razón podría confundirse con una fracción, pero debes saber que no son lo mismo, aun cuando se utilice la misma notación o 2 forma de escritura: 2:3 = . 3 2 La fracción representa un número racional (que está en la recta 3 2 numérica entre el 0 y el 1); en cambio, la razón o 2 : 3 (dos es a 3 tres) del ejemplo anterior está comparando dos grupos de personas. Recuerda que en una razón los términos se llaman antecedente y consecuente. Realicemos algunos ejemplos: cada 400 gr de harina debe agregar 200 g de margarina. ¿Cuál es la razón entre la harina y la margarina? ⇒ buscar la razón h: m (donde h representa la harina y m la margarina). 1 Pamela quiere hacer un queque para la once y la receta dice que por Nota que cuando se escribe una razón, las cantidades deben estar en la misma unidad de medida si son de la misma naturaleza. En este caso, como ambas cantidades miden masa, entonces deben estar en gramos, kilogramos, etc. h 400 4 2 , esto es, que la razón es 2 : 1, lo que significa = = = m 200 2 1 que por cada 2 g de harina, se debe agregar 1 g de margarina. ⇒ También podríamos decir que se debe agregar la mitad de margarina que de harina. 220 U4 MAT 3M (216-289).indd 220 2/11/11 15:38:41
  • Santiago era de 392, 05 hab km2. Si la superficie de Santiago es 2 Según el Censo del año 2002, la densidad poblacional de de 15403 km2, aproximadamente, ¿cuántos habitantes había el Nota que al decir que la densidad era 392, 05 hab km2 se está dando una razón que significa que hay 392,05 personas por cada km2 de superficie, aproximadamente. Por lo tanto, si la superficie de Santiago es, aproximadamente, de 15403 km2, se puede escribir que: 392, 05 x , despejando x = 1 15 403 ⇒x= 392, 05 ⋅ 15 403 ⇒ x = 6 038 746, 15 1 UNIDAD 4 año 2002? (Recuerda que ya estudiaste proporciones) Entonces, en el año 2002 la población era, aproximadamente, de 6038746 habitantes. Trabaja Resuelve en grupo las siguientes actividades. a. 2 L de aceto y 250 cc de aceite. b. 3 kg de harina y 2800 g de azúcar. c. El número de estudiantes de 2º medio y el número de estudiantes de 3º medio de tu colegio. d. El número de salas y el número de oficinas de tu colegio. 1 Escribe la razón entre: 2 Si una razón tiene consecuente 12 y antecedente 32, ¿cuál es la razón? 3 El largo y el ancho de un rectángulo están en la razón 4 : 3. Si el largo es 48 cm, ¿cuál es el ancho? 4 El sueldo de una persona y los días hábiles que trabaja están en la razón 6 500: 1. Si una persona trabaja 25 días hábiles, ¿cuánto dinero recibe? Evaluación Revisemos lo que has aprendido. Responde las siguientes preguntas: 1. ¿Entendí los conceptos planteados y los ejercicios resueltos? 2. ¿Soy capaz de definir el concepto de razón? 3. ¿Pude hacer la actividad grupal planteada? 4. ¿Trabajé bien en mi grupo de manera que nuestra labor fuera productiva y que todos pudiéramos aprender? Recuerda que si no has logrado entender algún concepto o ejercicio, debes preguntar a tu profesor o profesora. 221 U4 MAT 3M (216-289).indd 221 2/11/11 15:38:43
  • Euclides, Pitágoras y sus teoremas En esta sección aprenderás Cuál es el teorema de Euclides, recordarás el teorema de Pitágoras, cómo se demuestran y en qué se aplican. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 2, 3 • Comprender y resolver: 4, 5, 6, 7, 9, 1, 2, 3, 4 • Relacionar y aplicar: 8, 10 Trabaja más... Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 4, 12, 13, 14, 15, 22 • Comprender y resolver: 3, 5, 6, 7, 9, 16, 17, 18 • Relacionar y aplicar: 2, 8, 10, 11, 19, 20, 21 –Amelia, ¿por qué te paseas de un lado para otro sin saber qué hacer? Me tienes un poco mareado –dice su papá. –Es que tengo un trabajo de Tecnología y no sé qué hacer para encontrar una medida. –Pero si Tecnología te encanta. ¿Qué medida tienes que calcular? –Mira, en este bosquejo tengo una pared en forma de triángulo y necesito encontrar la medida del trazo x. Observa. C x A D B –¿Y tienes alguna otra medida? –Sí. AD mide 90 cm y DB mide 1 m. ¿Me ayudas, papá? Tú eres profesor de Matemática. –Ah, ¡ahora me preguntas! Muy bien. Veamos qué tenemos aquí. ¿Te acuerdas que ya estudiaste lo que eran las figuras semejantes? –Sí, papá. –Bien, si miras los triángulos que se forman en tu figura, verás que hay tres: ∆ADC , ∆ABC y ∆BDC y ellos son semejantes. ¿Me puedes decir por qué? –Trataré; déjame colocar algunos ángulos en la figura: C α β x A α β D B –Partamos por los triángulos: ∆ADC y ∆ABC . Ellos son semejantes porque tienen dos ángulos iguales (α y β), ese es el criterio A – A (ángulo, ángulo), ¿verdad? –Así es, hija. Entonces, ¿puedes escribir cuáles lados son proporcionales o las razones que se forman entre ellos? –Sí, claro. A ver. Creo que no me acuerdo. 222 U4 MAT 3M (216-289).indd 222 2/11/11 15:38:43
  • C α β b a UNIDAD 4 –Tienes que nombrar los triángulos de manera ordenada primero, es decir, usando sus ángulos homólogos. –¡Ya me acordé! Entonces se puede escribir que: AD DC AC ∆ADC  ∆ACB y, por lo tanto, = = AC CB AB –Mira ahora, Amelia, yo voy a colocar el nombre a los lados del triángulo en tu figura y plantearé nuevamente tus proporciones. Entonces tendremos que: x A β α q D p B c q b q b b2 x = ⇒ b. Si tomamos las razones de los extremos, = ⇒ b2 = q ⋅ c = q ⋅c = b c c b c p p –Entiendo, papá, ¿pero de qué me sirve esto? –Paciencia, Amelia, el apuro no conduce a nada. –Está bien, ¿y ahora qué sigue? –Todavía faltan dos pares de triángulos, ¿no? –Ah, sí, por supuesto. Si tomamos los triángulos ABC y DBC y anotamos correctamente la semejanza, tenemos que: ∆ABC  ∆CBD (tienen dos ángulos iguales α y β) ⇒ AB CB = BC BD = AC CD c a b = = . Si tomamos las dos primeras razones, podemos a p x c a 2 escribir que: ⇒ = ⇒ a = c ⋅ p a p ⇒ –Bien, Amelia, te queda un par de triángulos. –Ya, veamos: ∆ADC  ∆CDB (dos ángulos iguales α y β) ⇒ AD = DC = AC CD DB CB q x b ⇒ = = . Si tomamos las dos primeras razones, tenemos que: x p a ⇒ q x = ⇒ x2 = q ⋅ p x p 223 U4 MAT 3M (216-289).indd 223 2/11/11 15:38:43
  • –¡Esta sí me sirve, papá! En mi bosquejo, q = 90 cm y p = 100 cm (o 1 m); por lo tanto, puedo decir que: x 2 = 90 ⋅ 100 ⇒ x 2 = 9 000 ⇒ x = 9 000 ⇒ x ≈ 94, 86 . Entonces x debe medir 95 cm, aproximadamente. –Muy bien, Amelia. ¿Ves que era fácil? –Papá, ¿y esto se cumple siempre? –Sí. Estas relaciones que acabas de encontrar son los llamados teoremas de Euclides. Estos se pueden resumir de la siguiente manera: Sea ∆ABDrectángulo en C, y CD la altura trazada con respecto a la ABC base, como muestra la figura. Entonces, siempre se cumple que: C β α b a2 = p ⋅ c b2 = q ⋅ c h2 = q ⋅ p a h A β α D q B p c El teorema de Euclides dice que: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa y la proyección del cateto sobre esta. Por otro lado, el cuadrado de la altura correspondiente a la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre esta”. Por ejemplo: 1. Dado el triángulo ABC de la figura, calcula los trazos p, q, b y a. En el ∆ABD : C p D b A 15 u 20 u a q B 224 U4 MAT 3M (216-289).indd 224 2/11/11 15:38:44
  • Usando el teorema de Euclides, podemos escribir que: h2 = p ⋅ q 225 = p ⋅ 5 7 225 ⇒p= 5 7 p= p= 225 7 35 (Racionalizamos) 45 7 7 UNIDAD 4 152 = p ⋅ 5 7 Si sumamos p y q, obtendremos el valor de a; por lo tanto: ⇒a = p+q a= a= 45 7 45 7 + 35 7 +5 7 = 7 7 80 7 7  (45) 7 2     45 7  + 152 = b2   7  7   En el ∆ADC (aplicando Pitágoras), tenemos que: 2 2025 2025 + 1575 2 + 225 = b2 ⇒ =b 7 7 3600 2 =b / 7 60 ⇒b= b= b= 7 3600 7 (Racionalizamos) 60 7 7 Al día siguiente, Amelia se encontró con un compañero antes de entrar a clases. –Amelia, Amelia. –Dime, Mario. –Necesito que me ayudes con la tarea que nos dieron en Matemática. ¿Ya la hiciste? –Sí, me ayudó mi papá. Mira, teníamos que demostrar, usando los teoremas de Euclides, que en todo triángulo rectángulo se cumple 225 U4 MAT 3M (216-289).indd 225 2/11/11 15:38:47
  • que h = a⋅b . c –Esto nos dice Euclides, ¿recuerdas? Sea ∆ABC rectángulo en C, y CD la altura trazada con respecto a la base, como muestra la figura. Entonces siempre se cumple que: C α β b b p q a2 = q ⋅ c b2 = q ⋅ c a h2 = q ⋅ p h A β α D q B p c –Entonces, de las dos primeras igualdades podemos despejar p y q y escribir que: a2 b2 p= y q= c c ⇒ h2 = p ⋅ q = a2 b2 ⋅ c c a2 ⋅ b2 / c2 a⋅b h= c –¿Ves que fácil es, Mario? –Sí, gracias. Me alegra ser tu compañero. h2 = Sea ∆ABC rectángulo en C, y CD la altura trazada con respecto a la base, como muestra la figura. Entonces siempre se cumple que: C α β b h= a a⋅b c h β α A q D q B c 226 U4 MAT 3M (216-289).indd 226 2/11/11 15:38:47
  • 25 cm A UNIDAD 4 Hagamos juntos el siguiente ejemplo: 1. –¿Un qué? –dijo Nancy extrañada. –Un deltoide: trapezoide con dos pares de lados iguales y dos ángulos rectos – respondió su hermana, mientras trataba de averiguar las medidas del cometa que estaba construyendo. Nancy, su hermana menor, se acercó a la mesa y vio el dibujo que hacía. B D 20 cm C E ¿Puedes ayudar a la hermana de Nancy a calcular las medidas de los trazos BC , EC , AE AC , AD y DC ? (da tu respuesta con aproximación a la décima). 202 + AD = 252 Recordar y archivar El deltoide: En el ∆ADB se tiene, por Pitágoras, que: 2 400 + AD = 625 / − 400 2 AD = 225 En el ∆ACB se tiene, por Euclides, que: 202 = 15 ⋅ DC 400 = DC 15 80 = DC 3 En el ∆ACB se tiene que: ⇒ AC ≈ 41,6 cm 41,7 2 AD = 15 cm 2 DB = AD ⋅ DC / :15 ⇒ DC ≈ 26,6 cm DC ≈ 26,7 a (Simplificamos por 5) a No tiene lados paralelos. Está formado por dos triángulos isósceles que tienen la misma base. Es simétrico con respecto a la diagonal formada por las alturas de los triángulos isósceles trazadas con respecto a la base común. AC = AD + DC 80 AC = 15 + 3 125 AC = 3 227 U4 MAT 3M (216-289).indd 227 2/11/11 15:38:48
  • Y, por otro lado, en el mismo triángulo ACB, 2 según Euclides: BC = AC ⋅ DC 2 125 80 BC = ⋅ 3 3 2 10 000 BC = 9 100 BC = 3 ⇒ BC ≈ 33,3 cm BC = EC = 33,3 cm; AE = AB = 25 cm cm Entonces, como los deltoides son simétricos, se tiene que: AC = 41,6 cm, AD = 15 cm y DC = 26,6 cm cm Trabaja Responde en tu cuaderno. No olvides revisar tus respuestas. Según la figura adjunta, responde los ejercicios 1, 2 y 3. C A B D cm 1 Si AD = 3,6 cm; BD = 6,4 cm. ¿Cuáles son las medidas de AC y BC ? cm cm cm 2 AD = 2 cm; BD = 4 cm. ¿Cuánto mide CD? cm cm 3 AB = 15,6 cm; AC = 6 cm. ¿Cuál es el valor de CD? Aproxima tu respuesta a la centésima. 4 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 1,50 cm y 3,60 cm. Determina las medidas de las cm 5 En la figura siguiente, AD = 6 cm; BD = 4,5 cm. Determina el área del triángulo ABC. cm proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Aproxima tu respuesta a la centésima. C A D B 228 U4 MAT 3M (216-289).indd 228 2/11/11 15:38:48
  • 6 De un triángulo se sabe que la altura sobre la hipotenusa es cuatro unidades más que la proyección del cateto menor. Esta, a su vez, tiene diez unidades menos que la otra proyección. ¿Cuál es el valor del perímetro? 7 FG mide 6 cm e Y lo divide dejando un trazo de 4 cm. La perpendicular XY , al trazo FG , mide 8 cm, pero X 8 cm Y F G 4 cm UNIDAD 4 al completar con trazos punteados, aparece el ∆FGX . ¿Es este un triángulo rectángulo en X? ¿Por qué? 8 En amarillo se muestra el triángulo rectángulo; en rojo, una transversal de gravedad y en azul una de sus alturas. Calcula la medida del HM si los catetos miden quince y veinte unidades, respectivamente. H M 9 El radio de la semicircunferencia es 5 cm y el pie del trazo perpendicular dista 1,20 cm del centro. ¿Cuánto mide dicho trazo? Aproxima tu respuesta a la centésima. 10 Conforme a la siguiente figura, donde h es perpendicular a la hipotenusa, ¿es verdad que la suma de los recíprocos de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, es el cociente entre la hipotenusa y el cuadrado de h? Justifica claramente tu respuesta. b a h q p 229 U4 MAT 3M (216-289).indd 229 2/11/11 15:38:49
  • Trabaja Resuelvan en grupo los siguientes problemas. Respondan en su cuaderno y no olviden revisar sus respuestas. 1 El misterioso detective miró las huellas del carruaje sospechoso en el bosquejo que su ayudante, también misterioso, hiciera rápidamente. Bosquejo del ayudante misterioso 80 y 60 40 20 –100 –80 –60 –40 –20 0 –20 Huella del carruaje –40 Huella del carruaje 20 40 60 80 100 x La graduación de los ejes está en cm Ajustó su pipa; luego informó: “Aunque las huellas son de carruaje inglés, no es el caso, porque el espacio entre ruedas no es de 4 pies y 8,5 pulgadas (aproximadamente de 142,24 cm)”. Enseguida, dio las especificaciones del espacio entre las ruedas de este sospechoso carruaje y soltó una carcajada después de enviar el informe.“Otra vez me olvidé que estos bosquejos siempre se hacen en escala 1:4”. a. ¿Qué medida hay entre las ruedas del carruaje sospechoso? b. ¿Qué tan acertado estuvo el informe del misterioso detective? Comenzaremos con la L, formada con dos segmentos de 6 cm. Ustedes pueden hacer lo que quieran a partir de ella. Marcelo pensó un rato y alargó la base de la L hacia la derecha en la mitad de la medida de la base y, hacia la izquierda, en dos unidades menos que esta. Luego construyó un triángulo rectángulo. Era lo único que había en su cabeza después de la prueba del teorema de Euclides de la hora anterior. ¿Cuáles son las medidas de sus catetos? 2 En la clase de hoy haremos figuras a partir de otras –dijo el profesor de Arte de Marcelo. 3 Aníbal y Pamela son buenos compañeros con todo su curso. Debido a que ese día el profesor estuvo involuntariamente ausente, se propusieron ayudar a sus compañeros. El diálogo que mantuvieron fue: –¿Recuerdas ese problema con los cuadrados pintados? –Sí, el de los cuadrados violeta y amarillo. Creo que en el interior del más chico dice 21 cm2. –Se pide una representación gráfica de la media geométrica entre 3 y 4, es decir, x 2 = 3 ⋅ 4 , usando dos cuadrados y sabiendo que el menor de ellos tiene 21 cm2 como área. –Lee las preguntas. –Bien. a. ¿Cuánto debe medir el área del otro cuadrado? b. ¿Qué representa gráficamente la media geométrica? Indica su valor. 21 cm2 230 U4 MAT 3M (216-289).indd 230 2/11/11 15:38:49
  • Ahora respondan individualmente: 4 Esta pregunta ha recorrido varias generaciones: “¿Cuántos viajes debe hacer un hombre para atravesar un río con un gallo, un zorro y un saco de maíz, sabiendo que puede atravesar solo uno de ellos en cada viaje, de modo que el gallo no se coma el maíz, ni el zorro al gallo?” UNIDAD 4 Estaca Borde del río 15 m Estaca 25 trancos Borde del río Estaca Marco vio la gráfica de las travesías del posible hombre, su caminata de 25 trancos paralelos a la orilla en las hojas de un viejo cuaderno de su abuelo. Luego completó la figura con el trazo rojo, formando un triángulo rectángulo. Las estacas en cada vértice estaban a 1,5 metros del borde del río. Posteriormente, miró los 15 m de estaca a estaca por encima del río. Entonces: a. Si su tranco fuera de un metro, encuentra el ancho del río. b. Sin adivinar, responde ¿cuántos viajes debe hacer? Revisemos lo aprendido Marca con una 8 el casillero correspondiente según la evaluación que hagas de tu trabajo. MB: Muy bien (7,0 - 6,0) B: Bien (5,9 - 5,0) S: Suficiente (4,9 - 4,0) I: Insuficiente (3,9 - 1,0) Indicador MB B S I Entiendo los teoremas de Euclides. Sé en qué tipo de triángulos y situaciones se ocupan. Entendí los ejercicios resueltos. Fui capaz de resolver correctamente los ejercicios y actividades propuestas. Pregunté mis dudas a quien y cuando correspondía. Si has marcado 2 o más cruces en las columnas de Suficiente (S) o Insuficiente (I), debes repasar lo visto y volver a hacer los ejercicios que fueron más difíciles de resolver. 231 U4 MAT 3M (216-289).indd 231 2/11/11 15:38:49
  • Trabaja más... Trabaja en grupo 1 A partir del triángulo ABC de la figura y usando los datos dados en cada caso, determinen lo pedido (puedes usar tu calculadora). C 60 cm 45 cm D A B a. AD = 5 u, AC = 10 u, CB = ? b. AB = 4 u, CD = 8 u, AD = ? c. DB = 2 7 u, AD = 9 u, AC = ? d. CB = 16 u, AB = 12 u, CD = ? e. AC = 2 AD u, CD = 15 u, DB = ? f. AD = 2 26 u, CB = 21 u, P∆ ABC = ? g. AB = 6 u, CD = 9 u, A∆ ABC = ? h. AD = 7 9 u, AB = u, P∆ ABC = ? 4 4 i. DB = 15 u, AB = 25 u, P∆ ABC = ? j. CB = 11 6 AD u, AC = u, =? 5 5 AB diagonal de un cuadrado de lado a era a 2 . 3 Eduardo aprendió hace algunos años que la Ahora, su profesor le ha pedido que demuestre, usando el teorema de Euclides que acaba de a 2 estudiar, que la mitad de la diagonal es . 2 Háganlo ustedes también. 4 Blanca está diseñando un nuevo mosaico para la terraza de su casa. Ha decidido hacerlo de forma rectangular, con medidas de 7 y 24 dm para sus lados. Sin embargo, Blanca tiene un problema porque necesita medir la distancia que hay entre uno de los vértices de su rectángulo y la diagonal opuesta a él. ¿Pueden darle la respuesta? (Recuerden que la distancia de un punto a una recta es la medida de la perpendicular trazada desde el punto). 5 Verónica quiere colocar un cerco y un portón en el campo que acaba de comprar. Ella le ha hecho el siguiente bosquejo del portón que quiere al maestro que lo construirá. 2 “¿Sabes, Rebeca?, encuentro un poco débil el fondo rectangular de la caja donde embalamos la loza. Será mejor que reforcemos los pliegues con doble cinta adhesiva naranja”. Rebeca va a buscarla, pero sabe que queda muy poca. ¿Cuánta cinta naranja necesitan en total? Le ha indicado que los listones que van desde el vértice a la diagonal deben medir 1,66 m y que el alto del portón debe ser de 2 m. 232 U4 MAT 3M (216-289).indd 232 2/11/11 15:38:53
  • trazado su diámetro de 10 cm. Escogió un punto de ella al que llamó A y formó un triángulo con los extremos del diámetro. Luego, calculó que la distancia entre el punto A y el diámetro eran 4,8 cm. ¿Cuánto medían los catetos del triángulo? 6 Daniel había dibujado una circunferencia y 7 El dueño del circo dio las siguientes instrucciones a Gerardo, su trapecista:“Súbete al trapecio de vuelo y amarra estas cuerdas en la polea que lo sostiene. Luego, lánzamelas, de manera que yo pueda anclarlas al piso para formar un triángulo de 90º en el cielo”. Si la distancia de la polea al piso es de 10 m y el anclaje más corto mide 12,5 m, encuentren la medida del otro anclaje y de estos al punto del piso donde descenderá Gerardo. 18 cm 7,5 cm 16 cm con palos de maqueta y colocar 2 palos más en el interior de él, como indica la figura que le dio su profesora. Constanza debe llevar mañana a la clase el número de palos que necesita para construir su cubo y la medida de ellos. ¿Pueden ayudar a Constanza a calcular lo que necesita? UNIDAD 4 El carpintero hizo algunos cálculos y determinó el largo del portón. ¿Cuál es este? (Usen calculadora y aproximen su resultado a la centésima). 9 Constanza debe construir un cubo de lado Polea Techo carpa Anclaje corto Anclaje largo Gerardo Suelo 12 x 16 m. Allí colocará un restaurante para las personas del sector. Ha bosquejado el siguiente plano, donde lo más importante en este momento es fijar el terreno para la bodega de alimentos. ¿Cuál es el área del terreno que ocupará la bodega de alimentos? (Usen calculadora). 10 Braulio compró un terreno rectangular de 8 A Pancracio le gusta dibujar cuando tiene tiempo libre. Hoy ha hecho un rectángulo y ha pensado que es bueno proponerle un desafío a su hijo pidiéndole calcular la medida de la superficie pintada. ¿Pueden darle la respuesta a Pancracio? (Usen calculadora y aproximen su respuesta). 233 U4 MAT 3M (216-289).indd 233 2/11/11 15:38:54
  • 13 Dados los datos de la figura adjunta, determinen la medida de los siguientes segmentos: a. AC b. AD Bodega de alimentos c. CD d. DE e. DB C en escala 1:100 como muestra la figura. La casa está compuesta por dos rectángulos y su patio es un triángulo debido a lo irregular del terreno. ¿Cuántos metros tendrá en su terreno el sendero x que Patricia quiere plantar con flores? Aproximen su respuesta a la centésima. 5u E 11 Patricia ha dibujado el plano para su nueva casa 16 cm 12 cm 5 cm A D B 14 En la semi circunferencia de centro O, los catetos del triángulo rectángulo de la figura son tales que AC = 2 CB . Determinen: C x 4 cm 6 cm A 12 En la prueba de Matemática de Ximena el 3u problema que dejó sin responder decía así: “Dadas las circunferencias concéntricas de la figura de diámetros 10 y 5 cm, determina si h1 = 2h2. Usa el teorema de Euclides y coloca todo el desarrollo en el cuaderno”. Ustedes pueden responder esta pregunta con los conocimientos que han adquirido hasta el momento. Anímense y háganlo. a. AC O b. CB A D 4 cm F h2 D C 10 u l h B c. CD trazado dos segmentos que forman triángulos rectángulos. Determinen la medida de: 6 cm E B 15 En el rectángulo ABCD de la figura se han C h1 D A a. h 24 u B b. l 234 U4 MAT 3M (216-289).indd 234 2/11/11 15:38:55
  • 16 Sobre la altura del triángulo ABC y la proyección del cateto DB se ha dibujado un rectángulo. Calculen el área del rectángulo ABCD. D circunferencia de diámetro 18 cm, como se muestra en la figura adjunta. Determinen: 20 Se ha inscrito un deltoide en una C 7u 3u E 60° A A UNIDAD 4 D B B 17 Sea ABCD un rombo de lado 12 cm. Calculen la distancia del punto de intersección de las diagonales a uno de los lados del rombo si la diagonal menor mide 6 cm (hagan un bosquejo). 18 En el triángulo de la figura, rectángulo en C, se han determinado los puntos medios de los lados M, N y P. Determinen la medida de: C Q N 30 cm M a. la medida de la diagonal CD. b. el área del ∆BCD. c. la medida de la superficie sombreada. de modo 21 En la figura se ha trazado la recta DC ,/ / AB AD 3 = que DC / / AB . Además, se tiene que GB = 6 cm y y cm DC / / AB DE 2 AD 3 . Si EF = 5 cm determinen la medida de: cm, GB = 6 cm y = DE 2 E P 40 cm E C D B cm, 19 En la figura se tiene que AC = 12 cm, DB = 25 cm C F b. la superficie del trapecio PQMB a. PQ AC = 12 cm, DB = 25 cm y DC < CB . Determinen: cm D E A G B b. AG a. FG c. EB 22 Dado el triángulo rectángulo de la figura adjunta, determinen, en función de m y n: C C n A F a. la longitud de EC . b. la longitud de CF . c. al área del ∆EDC . B m A D B a. el perímetro del triángulo ABC. b. el área del triángulo ABC. 235 U4 MAT 3M (216-289).indd 235 2/11/11 15:38:56
  • Teorema de Pitágoras y teorema de Fermat En esta sección aprenderás Otra demostración del teorema de Pitágoras y su relación con el teorema de Fermat. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 2, 5, 11, 2, 3, 4 • Comprender y resolver: 3, 4, 6, 7, 12, 13, 1 • Relacionar y aplicar: 9 • Interpretar y generar ideas: 8, 10, 4, 6 Era miércoles después de almuerzo y hacía mucho calor. Mario y Amelia esperaban su clase de Matemática. –Buenas tardes. –Buenas tardes, señorita. –Asiento. Comencemos la clase. Ayer estudiamos el teorema de Euclides y les dejé una tarea que revisaré más tarde. Ahora me interesa analizar con ustedes otras aplicaciones de este teorema. ¿Se podrá demostrar el teorema de Pitágoras usando los teoremas de Euclides? Miremos. Lo que se quiere demostrar es que si ∆ABC es rectángulo en C y CD es la altura trazada con respecto a la base, entonces a2 + b2 = c 2 C b Trabaja más... Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 2 • Comprender y resolver: 2, 3 • Interpretar y generar ideas: 1 α β a h A β α D q B p c Por Euclides se tiene que: a2 = p ⋅ c , b2 = q ⋅ c , h2 = q ⋅ p ⇒ a2 + b2 = p ⋅ c + q ⋅ c = c (p + q ) = c ⋅ c = c 2 –Fácil, ¿verdad? –Sí –respondieron los estudiantes. –¿Alguien se acuerda qué son los tríos pitagóricos? –Yo –respondió Mario rápidamente–. Se llaman tríos pitagóricos a aquellos números que pueden ser lados de un triángulo rectángulo y, por lo tanto, cumplen con el teorema de Pitágoras. –Bien, pero estos números deben ser números naturales. ¿Conoces algún trío? –Sí, 3, 4 y 5, donde 3 y 4 serían los catetos y 5 la hipotenusa. –Bien, Mario. Ahora, si generalizamos, podríamos escribir que: B 4x C a2 + b2 = c 2 2 5x 3x (3 x ) + ( 4 x ) = (5 x ) 2 9 x 2 + 16 x 2 = (5 x ) 2 25 x 2 = (5 x ) 2 2 (5 x ) = (5 x ) A 2 2 236 U4 MAT 3M (216-289).indd 236 2/11/11 15:38:56
  • UNIDAD 4 –Esto significa que todos los tríos que resultan de amplificar 3, 4 y 5 por un mismo número, serán también tríos pitagóricos; por ejemplo: 9, 12 y 15 o 12, 16 y 20 o 30, 40 y 50, etc. –Señorita, ¿hay alguna forma de obtener tríos pitagóricos? –Sí, la fórmula dice que: “si x e y son números naturales, tales que x > y, entonces se puede obtener un trío pitagórico usando las siguientes fórmulas: a = x 2 − y 2 , b = 2 xy , c = x 2 + y 2”. ". –Amelia, ¿podrías demostrar que esto es cierto? –Voy a tratar. Si a, b y c son tríos pitagóricos, entonces deberían satisfacer el teorema de Pitágoras, ¿verdad? –Sí, ven a escribirlo en la pizarra. ⇒ a2 + b2 = c 2 ⇒ x 2 − y2 ( ) + (2 xy ) = ( x 2 2 2 + y2 2 ) ⇒ x 4 − 2 x 2 y2 + y 4 + 4 x 2 y2 = x 2 + y2 ⇒ x 4 + 2 x 2 y2 + y 4 = x 2 + y2 ( 2 ⇒ x +y 2 2 ) = (x 2 ( +y 2 2 ( ) 2 2 ) (Resolvemos el cuadrado de binomio) ) –Perfecto, Amelia. Jorge, ahora tú. ¿Podrías darme algunos ejemplos numéricos de tríos pitagóricos usando las fórmulas? –Sí, claro, profesora. Escojamos dos números, por ejemplo, 6 y 7; entonces el trío pitagórico será: a = 72 − 62 = 49 − 36 = 13 Para entretenerse Puedes construir una planilla Excel que genere tríos pitagóricos. Observa: b = 2 ⋅ 7 ⋅ 6 = 84 c = 72 + 62 = 49 + 36 = 85 Por lo tanto, los números son: 13, 84 y 85. Comprobémoslo: 132 + 842 = 852 169 + 7 056 = 7 225 7 225 = 7 225 –Muy bien, se cumple, ¡qué curioso! –Señorita, ¿y los múltiplos de este trío también? –Sí, claro, y se puede demostrar de la misma manera como lo hicimos anteriormente. –Profesora, ¿hay otra forma de encontrar tríos pitagóricos? –Esa es la tarea de hoy. Busquen en Internet si existe otra forma de generar tríos pitagóricos y, además, deben buscar qué relación tendrá con estos tríos un matemático llamado Fermat. Hasta luego, jóvenes; nos vemos mañana. Pon en cada celda las fórmulas para a, b y c. Al colocar un número en a, se calcularán automáticamente a, b y c. Para la primera fórmula puedes escribir: Inténtalo. 237 U4 MAT 3M (216-289).indd 237 2/11/11 15:38:59
  • Esa tarde Jorge se puso a buscar en Internet. Le parecía increíble que se pudieran generar tantos tríos pitagóricos. “¿Acaso esto es inagotable?”, pensaba. Buscó y buscó y esto fue lo que encontró: Si n es un número natural, entonces, a = 2 n + 1, b = 2 n ( n + 1) y c = 2 n ( n + 1) + 1 forman un trío pitagórico. Demostrémoslo. Links de interés En este link encontrarás un video donde se muestra el teorema de Fermat, búscalo... http://www.portalplaneta sedna.com.ar/fermat.htm a2 + b2 = c 2 2 2 2 (2 n + 1)2 + (2 n ( n + 1) )2 = (2 n ( n + 1) + 1)2 (2 n + 1)2 + (2 n ( n + 1) )2 = (2 n ( n + 1) + 1)2 (2 n + 1) + (2 n ( n + 1) ) = (2 n ( n + 1) + 1) 4 n2 + 4 n + 1 + 2 n2 + 2 n 2 = 2 n2 + 2 n + 1 4 n2 + 4 n + 1 + 2 n2 + 2 n 2 = 2 n2 + 2 n + 1 4 n2 + 4 n + 1 + 2 n2 + 2 n = 2 n2 + 2 n + 1 ( ( ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 ) ) ) el cuadrado 4 n2 + 4 n + 1 + 4 n4 + 8 n3 + 4 n2 = 2 n2 + 2 n + 1 2 4 n2 + 4 n + 1 + 4 n4 + 8 n3 + 4 n2 = 2 n2 + 2 n + 1 2 2 4 3 2 2 de trinomio) 4 n4 + 4 n + 1 + 4 2 + 8 n + 4 n = 2 n + 2 n + 1 3 n 4 n + 8 n3 + 8 n + 4 n + 1 = 4 n4 + 4 n2 + 1 + 8 n + 4 n2 + 4 n + 1 ( ( ( 2 ) ) ) (Desarrollamos 4 n4 + 8 n3 + 8 n2 + 4 n + 1 = 4 n4 + 8 n3 + 8 n2 + 4 n + 1 “Bien, ya lo demostré. Veamos un ejemplo numérico”. Si n = 2 ⇒ a = 2 ⋅ 2 + 1 = 5 b = 2 ⋅ 2 ( 2 + 1) = 4 ⋅ 3 = 12 b = 2 ⋅ 2 ( 2 + 1) = 4 ⋅ 3 = 12 c = 2 ⋅ 2 ( 2 + 1) + 1 = 12 + 1 = 13 c = 2 ⋅ 2 ( 2 + 1) + 1 = 12 + 1 = 13 “Entonces, ya sé que 5, 12 y 13 es un trío pitagórico”. Para entretenerse ¿Simple curiosidad matemática? Dos números a y b se llaman números amigos si a es la suma de los divisores de b, excluyendo a b, y b es la suma de los divisores de a, excluyendo a a. Fermat redescubrió y demostró la fórmula que Thabit ibn Qurra ibn Marwan al-Sabi al-Harrani, matemático turco, ya había usado. Esta dice que dos números son amigos si se generan a partir de la fórmula: Si P = 3 ⋅ 2n−1 − 1 ; Q = 3 ⋅ 2n − 1; R = 9 ⋅ 22n−1 − 1, con n (número natural) ⇒ a = 2n ⋅ P ⋅ Q y b = 2n ⋅ R son números amigos. ¿Puedes encontrar un par de números amigos? ¿Podrás generar tú otro trío a partir de esta fórmula? Sin duda se pueden generar infinitos tríos pitagóricos. Buscaré al señor Fermat y sus teoremas. ¿Para qué habrán demostrado esto los matemáticos? ¿Tendrían alguna utilidad o solo será una simple curiosidad matemática? En Internet, Jorge encontró lo siguiente: Fermat fue un matemático francés que trabajó toda su vida con los números, demostrando regularidades y buscando fórmulas para encontrar ciertos números, como los números amigos, lo que se conoce como teoría de números. Fermat dejó muchos teoremas sin demostrar, los que han sido demostrados por otros matemáticos. El teorema que tiene relación con los tríos pitagóricos se conoce como “El último teorema de Fermat” y dice así: Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados y, en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla. Pierre de Fermat (1601–1665) Solo en 1994, Andrew John Wiles logró demostrar este teorema. 238 U4 MAT 3M (216-289).indd 238 2/11/11 15:39:03
  • Un ejemplo numérico puede ser el siguiente: 1. Si n = 4 y c = 6, entonces trataremos de encontrar a y b. Para esto calculemos cn = 64 = 1296, entonces probemos algunos pares de números enteros para a y b: ⇒ 14 + 54 = 1 + 625 = 626 24 + 54 = 16 + 625 = 641 54 + 54 = 625 + 625 = 1 250 (Esta es la mayor combinación posible) Nota que los valores de a y b deben ser a lo más 5, pues no pueden ser mayores que c; por lo tanto, el teorema es cierto para este caso. Se necesitan muchas herramientas matemáticas para poder demostrar este teorema. De hecho, no pudo ser demostrado, sino hasta que se avanzó mucho en las diferentes ramas de la matemática. Andrew John Wiles utilizó más de 100 páginas y modernas técnicas matemáticas en su demostración, hasta lograrlo. Otro matemático llamado Gauss escribió: “La aritmética superior nos proporciona un conjunto inagotable de verdades interesantes, de verdades que además no están aisladas, sino en estrecha relación unas con otras, y entre las cuales, con cada sucesivo avance de la ciencia, descubrimos nuevos y,a veces, completamente inesperados puntos de contacto”. Andrew John Wiles (1953), matemático británico, alcanzó fama mundial en 1993 por la demostración del último teorema de Fermat UNIDAD 4 Si anotamos el enunciado de Fermat de otra manera, dirá: “No existe un trío de números enteros a, b y c (con a, b y c distintos de 0) que cumplan la igualdad an + bn = cn, si n > 2”. Es decir, solo se pueden hallar los llamados tríos pitagóricos. Resolvamos algunos ejercicios: 1. Dados los siguientes triángulos rectángulos, coloca valores a los ∆A  ∆B , A  ∆C D  ∆B catetos y a las hipotenusas, de modo que: ∆A  ∆B , ∆∆A  ∆C y y ∆∆D  ∆B ∆A  ∆B , ∆A  ∆C y y ∆D  ∆B A B C D Este problema puede tener infinitas soluciones, dependiendo de los valores que puedas dar a los lados de los triángulos. Aquí te presentamos una de ellas, en la que hemos dado algunos valores para el triángulo A y luego elegido otros para el resto de los triángulos. 239 U4 MAT 3M (216-289).indd 239 2/11/11 15:39:05
  • Recordar y archivar Triángulos semejantes. Recuerda que dos triángulos congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño. Sin embargo, si dos triángulos tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, se denominan triángulos semejantes. C γ b α A c B F γ kb D a β ka β α kc E Dos triángulos son semejantes si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales. Ángulos correspondientes congruentes: ABC ≅ DEF BAC ≅ EDF ACB ≅ DFE Lados correspondientes proporcionales: DE AB = EF BC = DF AC =k La razón de semejanza se denomina k. Entonces, ∆ABC  ∆DEF Observación: Si k = 1, los triángulos serían congruentes. http://www.educarchile.cl/ Portal.Base/Web/ VerConten ido.aspx?GUID=123.456.789. 000&ID=136332 Según el enunciado, los triángulos A, B y D son semejantes (igual forma, pero distinto tamaño) y estos no son semejantes con C. Esto quiere decir que los lados homólogos (lados de ambos triángulos que unen vértices de ángulos iguales) de los triángulos semejantes son proporcionales. –Si tomamos el triángulo A y la fórmula vista para tríos pitagóricos: a = 2 n + 1, b = 2 n ( n + 1) y c = 2 n ( n + 1) + 1, y hacemos n = 5, entonces los lados de A serán: a = 11, b = 60 y c = 61. –Como B y D son en tamaño más grandes que A, entonces podríamos decir que en D, los lados son: a’ = 22; b’ = 120 y c’ = 122, y en B : a’’ = 33; b’’ = 180 y c’’ = 183. –Como C no es semejante a A y además tiene sus catetos aproximadamente de la misma medida, podríamos decir que sus medidas pueden ser, aproximadamente, 34, 34 y 48,08. Chequea tú este último trío pitagórico. 2. Paulo era muy testarudo y aunque había escuchado atentamente el desarrollo de la tarea hecha por Jorge, no podía creer lo que había enunciado Fermat. ¿Cómo era posible esto? Su profesora había tratado de explicarle que no tenía todas las herramientas necesarias para entender la demostración planteada por el célebre matemático Wiles, pero que podía probar con algunos números. –¡Pero señorita! –había dicho Paulo–, usted dice que con probar algunos números no basta. –Paulo, Paulo, –dijo la profesora, armándose de paciencia. ¿Qué sugieres hacer? –Yo voy a probar, probar y probar eso de los bicuadrados, dijo Paulo. ¿Qué tuvo que escribir él para probar que se cumple lo que Fermat enunció para los bicuadrados? Si Paulo probó todas las combinaciones posibles de números naturales para verificar que no existen números naturales que cumplan que a4 + b4 = c4, debería haber escrito algo como lo siguiente: Anotemos los números que son bicuadrados perfectos. Por ejemplo: • 14 = 1, el único candidato para a y b es 1 (aun cuando no forma un trío de números distintos), pero 14 + 14 = 2. No se cumple. • 24 = 16, las posibles combinaciones de a y b serían: 14 + 14 = 2, pero no se cumple (nota que ni a ni b pueden ser iguales a 2). • 34 = 81, las posibles combinaciones de a y b serían: 14 + 14 = 2; 14 + 24 = 17; 24 + 24 = 32, pero no se cumple. • 44 = 256, las posibles combinaciones de a y b serían 14 + 14 = 2; 14 + 24 = 17; 14 + 34 = 82; • 24 + 24 = 32; 24 + 34 = 97, pero no se cumple. Cuando dejé a Paulo llevaba una lista más larga que esta y ya estaba un tanto aburrido. ¿Qué harás tú? 240 U4 MAT 3M (216-289).indd 240 2/11/11 15:39:05
  • Responde en tu cuaderno. No olvides revisar tus respuestas. 1 Si x e y son números naturales, tales que x > y, entonces se puede obtener un trío pitagórico usando las siguientes fórmulas: a = − 2y−, y 2bb = 2 xy , c =c = + 2y+. Bosqueja un triángulo rectángulo y ubica a, b y a = x 2 x 2 ,, =b = 2xy , x 2 x 2 y 2 2xy , c según corresponda. 2 Si n es un número natural, entonces a = 2 n + 1, b = 2 n ( n + 1 ) y c = 2 n ( n + 1 ) + 1 forman un trío pitagórico. Escribe los 7 primeros tríos. Puedes hacer uso de una planilla Excel. 3 Se dispone de dos cubos de cobre de 8 y 27 cm3. Se funden, sin pérdida de material, y se forma otro 4 Las medidas de los catetos de un triángulo son 8 y 6 cm. El cateto de un segundo triángulo es 24 cm, y cubo. ¿Será su arista de medida entera? ¿Contradice el teorema de Fermat? ¿Por qué? UNIDAD 4 Trabaja con dos centímetros más, tenemos la hipotenusa. ¿Cuál es el polígono de menos lados que se obtiene si se unen algunos de sus lados? 5 ¿Cuáles son las medidas de los lados de este triángulo? 4x–3 x 3 ( x + 1) 6 La altura de un triángulo equilátero es 1,5 cm. Usando exclusivamente el teorema de Pitágoras, 7 Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 9 cm y 12 cm. encuentra el valor del lado. lado = ( lado mayor ) − ( otro lado ) 8 De un triángulo escaleno solo se sabe que para conocer el lado menor y/o mediano se aplica: 2 2 9 A un cuadrado le circunscriben una circunferencia de largo 25,12 unidades. ¿Cuál es su perímetro? Considera π = 3,14 . ¿Esto garantiza que el triángulo sea rectángulo? ¿Por qué? 10 ¿Podrá inscribirse un triángulo de catetos 5 y 12 mm en una circunferencia de 132,665 mm2 de área? a. 35, 12 y 37 b. 485, 483 y 44 c. 841, 840 y 40 11 Decide para cada caso si los siguientes tríos de números son o no pitagóricos: 12 Usando la fórmula a = 2 n + 1, b = 2 n ( n + 1 ) y c = 2 n ( n + 1 ) + 1 para generar tríos pitagóricos y, además, sabiendo que uno de los números que se buscan es 60, encuentra los otros dos. 13 Dados los siguientes triángulos, encuentra los otros lados de tal manera que sus medidas formen tríos pitagóricos. (Puedes encontrar más de una solución para cada uno). C 60 u A C C 60 u B B A A 60 u B 241 U4 MAT 3M (216-289).indd 241 2/11/11 15:39:09
  • Trabaja Resuelvan en grupo los siguientes ejercicios. Respondan en su cuaderno y no olviden revisar sus respuestas. 1 Dos amigos conversan: “Si el cuadrado construido sobre el cateto menor se divide en 36 cuadraditos iguales y después, con estos mismos, le agrego veintiocho iguales, tendremos el cuadrado construido sobre el otro cateto; de esta manera, si a todo esto agrego...”.“¡Ya basta de explicaciones tan enredosas!”, grita uno de ellos, agregando: “dime mejor cuánto suman las alturas, que es lo que piden”. ¿Cuál debiera ser la respuesta correcta? 2 “Don Polo, el almacenero, sabe harta matemática”, comenta uno de sus empleados a la madre de Claudia. El profesor de Matemática de la niña les pidió que demostraran que: “existe un triángulo cuyos lados valen, en cm: 2 n + 6, 2 n + 9 y 12 n + 45 , con n natural, y que además es rectángulo”. Don Polo ayudó a Claudia y le dijo: “¡Sí, el profesor tiene razón!, porque...”, y le explicó todo un desarrollo matemático. Escriban por lo menos uno de los suyos. 3 “¡Ya! escribe: distancia desde este punto de observación a la azotea: 156, 205 m y distancia desde este punto de observación a la base del edificio: 120 m. Sí, este hay que demolerlo”. Los hombres de azul y cascos amarillos se alejaron, mientras Juan Esteban, que estaba paseando en su bicicleta, los escuchó. Se trata del viejo edificio donde vive y que tanto le gusta con sus jardines, las palomas que viven en la techumbre y que lo despiertan cada mañana. Llegó afligido: “¡No quiero que lo demuelan!” Sus papás ya estaban enterados. Al mes, comenzaron los trabajos de... ¡REPARACIÓN! El edificio se salvó justito porque su altura era la apropiada. ¿Cuál era esta? 32 + 42 = 52 .... 4 – 3 es uno 62 + 82 = 102.... 8 – 6 es dos 92 + 122 = 152.... 12 – 9 es tres 122 + 162 = 202.... 16 – 12 es cuatro 4 La tarea de tríos pitagóricos que hizo Aurelio, en medio de las jugarretas, decía lo siguiente: a. Indiquen los tríos pitagóricos cuya diferencia entre los catetos es: i. Cinco ii. Ocho Después, siguió con las jugarretas de Fermat y escribió: “Si a es natural, ( a + 1) a2 − a + 1 nunca será el cubo de un número natural”. b. Efectúen, con a natural mayor que 1, ( a + 1) a2 − a + 1 y relaciónenlo con el teorema de Fermat. ( ) ( ) Revisemos lo aprendido Ya sabes lo importante que es revisar lo que vas aprendiendo paso a paso. Coloca frente a cada indicador los siguientes conceptos: T (totalmente entendido), M (medianamente entendido) y N (no entendido, debo volver a estudiar). 1. _____ Comprendí las demostraciones de esta sección. 2. _____ Aprendí cuáles son los tríos pitagóricos y cómo se calculan. 3. _____ Comprendí el teorema de Fermat. 4. _____ Comprendí los ejercicios resueltos de esta sección. 5. _____ Pude resolver correctamente los ejercicios propuestos. 6. _____ Trabajé de manera colaboradora en mi grupo cuando fue necesario. Recuerda que de tener 3 o más respuestas marcadas con N, debes revisar nuevamente los contenidos de la sección, buscando ayuda en un compañero o compañera, o en tu profesor o profesora. 242 U4 MAT 3M (216-289).indd 242 2/11/11 15:39:10
  • Trabaja más... 64 64 225 225 de los catetos miden cm yy cm. cm y cm cm 17 17 17 17 a. Encuentra las medidas de sus lados. b. ¿Es verdad que los números de las medidas obtenidas en a forman un trío pitagórico? Justifica tu respuesta. 2 En un triángulo rectángulo, las proyecciones 2 En la película se veía sobre la mesa tres panecillos de forma triangular e igual grosor, con queso y palta, encerrados en cajitas aparentemente similares. El hombre notó que solo una de ellas tenía en un vértice un ángulo distinto a 90º; las demás eran como perfectos triángulos rectángulos. En escenas posteriores, un policía que descubre el cadáver del hombre, exclama:“Murió por otro ataque de un grupo ritualista. La clave me la dieron las medidas del panecillo envenenado: 7,5; 10 y 12,5 cm, y las relaciones entre estos números; ellos hacen este tipo de envíos a sus víctimas” ¿Cuál será la . relación entre ellos? UNIDAD 4 Trabaja en forma individual 1 Considera a = x − 2 ; b = 3x y c = 3x + 2, con a<b<c . a. Halla x, tal que a, b y c conformen un trío pitagórico. b. Escribe a, b y c. 3 Alma y Elmer están conversando sobre una tarea Trabaja en grupo 1 Entonces, el matemático llegó a la siguiente expresión: x = 4 1314 + 1194 . Nos miró diciendo: “Les aseguro, sin hacer ningún cálculo, que x no es un natural” En otros momentos nos había . dicho lo mismo al ver expresiones similares. ¿Por qué dijo esto? De seguro ustedes también pueden contestar. de tríos pitagóricos a través de sus celulares. Ella dice que con dos números naturales, donde uno de ellos es el doble del otro, obtuvo un trío pitagórico, siendo 180 el mayor de los números obtenidos. Él le pregunta con cuáles números comenzó... y se corta la comunicación. a. ¿Cuáles fueron los números con que Alma obtuvo su trío pitagórico? b. Indiquen dicho trío pitagórico. Mis apuntes 243 U4 MAT 3M (216-289).indd 243 2/11/11 15:39:11
  • Trigonometría: ¿qué es y para qué se usa? En esta sección aprenderás Qué es la trigonometría y en qué se aplica. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 4, 5, 6, 7, 8 • Comprender y resolver: 2, 3, 9, 10, 11, 12, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Trabaja más... Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 14, 16 • Comprender y resolver: 10, 11, 13, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 • Relacionar y aplicar: 5, 6, 12, 15, 5 Después de clases, Mario salió a recorrer su barrio en bicicleta, como le gustaba hacerlo siempre. En el camino vio a dos personas trabajando. Parecía que estaban sacando fotos, pero la máquina que tenían no era una máquina fotográfica, de seguro no lo era. –¡Qué rara máquina usaban esos caballeros!, le contaba Mario a su prima. –¿Cómo era?, puedes hacerme un bosquejo o describirla un poco más. –Sí, era como esta, la encontré en Internet, pero no entendí bien para qué se usa. –¡Ah, una máquina topográfica! –¿Qué es eso? Suena complicado. –Verás. La topografía es una ciencia que tiene por objetivo la representación gráfica del estudio de la Tierra y para ello usan esas máquinas. –Y en eso hay matemática, ¿verdad? –Sí, claro, y sobre todo trigonometría. –¡Ay sí!, de eso que no entendí nada en clases. Es muy raro. –No tanto, Mario, tú eres un joven inteligente. Mira. Es muy fácil, ya verás. –Fíjate en el edificio que tenemos al frente. ¿Crees tú que podríamos medir su altura solo sabiendo que estamos a 10 m de su entrada y que si miramos la azotea, lo estamos haciendo con un ángulo de 45º grados? Si lo graficamos sería algo así: 45° Según la RAE topógrafo es la persona que profesa el arte de la topografía o tiene en ella especiales conocimientos. Su campo laboral se establece en empresas constructoras, de urbanización y obras civiles, mineras, forestales y sanitarias. 10 metros –Ya, entiendo, pero ¿qué tiene que ver lo del seno, coseno y todas esas cosas que mencionó mi profesor? –¿Estuviste atento a la clase, Mario? –Mmm, la verdad no mucho. –Bien, entonces pon atención ahora. La trigonometría relaciona ángulos y lados en un triángulo rectángulo a través de razones matemáticas. De este modo podemos definir dos razones fundamentales que llamaremos seno y coseno. 244 U4 MAT 3M (216-289).indd 244 2/11/11 15:39:12
  • Miremos el siguiente triángulo rectángulo. En él distinguiremos varios elementos con respecto al ángulo α: Cateto opuesto al ángulo α: a Cateto adyacente al ángulo α: b Hipotenusa del triángulo: c c a α C b A Entonces, las razones trigonométricas se definen de la siguiente manera: cateto opuesto a α a sen α = ⇒ sen α = ( seno de α ) hipotenusa c cos α = cateto adyacente a α b ⇒ cos α = ( coseno de α ) hipotenusa c –¡Ya entiendo! es solo la comparación entre dos lados del triángulo. Pero, al ser una razón, su valor siempre será el mismo, independiente del tamaño del triángulo, ¿verdad? –Cierto, por eso se pueden calcular las razones trigonométricas de algunos ángulos especiales usando un triángulo rectángulo cualquiera. ¿Me puedes decir cómo calcularías el valor del seno y coseno de ángulos de 30º y 60º? –Mmm, déjame pensar un rato A ver, a ver... ¡ya lo tengo! Dibujaré un triángulo equilátero y trazaré su altura: A 60° 30° a 2 D a 2 a 3 CD 2 a 1 3 o s e n 60 = = = 3⋅ = a 2 a 2 AC AD a 1 1 = ⋅ = AC 2 a 2 a AD 2 a 1 1 sen 30°= = = ⋅ = AC a 2 a 2 cos60 = a 3 CD 2 a 1 3 o cos 30 = = = 3⋅ = a 2 a 2 AC U4 MAT 3M (216-289).indd 245 Recordar y archivar Recuerda que para calcular la altura de un triángulo equilátero puedes usar el teorema de Pitágoras de la siguiente manera: C a a a 2 D a 2 B En el triángulo BDC tenemos que: 2 a B a 3 (porque es altura de un triángulo 2 equilátero. También lo puedes calcular usando el teorema de Pitágoras). Podemos escribir que: En el triángulo ADC, CD = Nota que como c es la hipotenusa, lado más largo de un triángulo rectángulo, entonces se tiene que c > a y c > b; por lo tanto, los valores de seno y coseno del α nunca serán mayores que 1. A C a Toma nota UNIDAD 4 B 2 DB + DC = BC 2 2 a 2  2  + DC = a   2 2 a2 + DC = a2 4 2 a2 DC = a2 − 4 2 4 a2 − a2 DC = 4 2 2 3a DC = / 4 a DC = 3 2 /− a2 4 245 2/11/11 15:39:15
  • –Bien, Mario, muy bien hecho. ¿Y para un ángulo de 45º? –Veamos... ¿en qué triángulo consigo un ángulo de 45º?... ¡Ya sé!, en un triángulo rectángulo isósceles. Dibujémoslo: B a C a 45° A En el triángulo ABC, AB = a 2 (es la hipotenusa. Lo puedes calcular usando el teorema de Pitágoras). Entonces se puede escribir el seno y coseno de 45º así: s e n 45o = cos 45o = BC a 1 2 = = = AB a 2 2 2 AC a 1 2 = = = AB a 2 2 2 (Racionalizamos) (Racionalizamos) –¡Felicitaciones, Mario! , y dime ahora: ¿Era tan difícil? –No, es fácil; debí haber puesto más atención en clases. –Pero dime, ¿cómo calculamos la altura de aquel edificio? –Vuelve a mirar nuestro problema y dime tú qué harías. 45° 10 metros –Si la altura del edificio la nombramos h, entonces podemos escribir que... ¿Qué hago? ¿Cómo relaciono el cateto opuesto al ángulo con el cateto adyacente? –¡Ah! Esa relación es nueva y se llama tangente del ángulo. Haz un esfuerzo y podrás deducirla. Vamos, piensa, ¿qué harías? Escribe qué es seno y qué es coseno. Veamos: cateto opuesto a α a sen α = ⇒cos αα= catetoadyacentea α y sen = hipotenusa c hipotenusa entonces, para relacionar solo los catetos y que la hipotenusa desaparezca, ¿deberíamos hacer la razón entre seno y coseno? 246 U4 MAT 3M (216-289).indd 246 2/11/11 15:39:16
  • UNIDAD 4 –Genial, Mario, muy bien pensado. Escríbelo. Ya has definido tangente de α ( tg α ) como todo un matemático. –Bien, aquí va: catetoopuesto sen α sen catetoopuesto hipotenusa catetoopuesto hipotenusa tg α = tg α = = = ⋅ = cos α hipotenusa catetoadyacente catetoadyacente cos α catetoadyacente hipotenusa –Ah, necesito el valor de tg 45º, pero es muy fácil. Como el sen 45º tiene el mismo valor que el cos 45º, entonces la tg 45º valdrá 1 (porque es el cociente o división entre dos cantidades iguales). Entonces, para calcular la altura del edificio, podemos escribir que: h h tg 45° = 45º ⇒ 1 = , multiplicando por 10, tendremos que 10 10 h = 10 m; por lo tanto, el edificio mide 10 metros. –Muy bien, Mario, como siempre, has logrado resolver el problema. –Gracias prima, me ayudaste mucho. Resumiendo, podemos decir que: • La trigonometría es la rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. • Las razones trigonométricas principales son seno y coseno, que se definen de la siguiente manera: cateto opuesto a α a sen α = ⇒ sen α = hipotenusa c B a cos α = c α C b A catetoadyacentea α hipotenusa • La tangente de un ángulo es otra razón trigonométrica que se puede definir en función de seno y coseno como: cateto opuesto sen α tg α = , o también, tg α = cateto adyacente cos α • Los valores de las razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º son: sen cos tg U4 MAT 3M (216-289).indd 247 1 2 2 2 Recordar y archivar Existen relaciones entre ángulos y lados en triángulos que no son rectángulos, que se puedan determinar usando trigonometría, a través de los teoremas del seno y del coseno. Estos temas se tratan en profundizaciones de los contenidos de geometría, pero puedes encontrarlos también, si te interesa, en el siguiente link: http:// www.vadenumeros.es/primero/ trigonometria-resolver-triangulos.htm 3 2 30º 45º 60º 3 2 2 2 1 2 3 3 1 3 247 2/11/11 15:39:18
  • Toma nota Mira tu calculadora. En ella aparecen las funciones seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan). Con ellas puedes calcular los valores de estas funciones para cualquier ángulo. Recuerda que tu calculadora debe estar en grados (deg o D). Resolvamos algunos ejercicios donde se apliquen estas razones trigonométricas. 1. Después del colegio, Kandy va al centro comercial con sus amigas. Para subir al segundo piso toman la escalera mecánica y Kandy dice: –Podríamos calcular el largo de esta escalera si sabemos qué ángulo forma con el suelo, como la profesora de Matemática nos enseñó hoy. –¡Ya, Kandy, para! –respondieron sus amigas a coro. –No, esperen, hagámoslo y se lo mostramos mañana; seguro que nos da alguna décima para la prueba. Kandy buscó al guardia del lugar y juntos estimaron las medidas que necesitaba, luego bosquejó la siguiente figura. ¿Puedes calcular tú el largo de la escalera? 4m sen cos tan 30° Si consideramos que la escalera forma con el piso un triángulo rectángulo con una inclinación de aproximadamente 30º, entonces podemos escribir que: 4 sen 30°= , donde x es el largo de la escalera. x  cateto opuesto   recuerda, sen α =  hipotenusa   1 Pero sen 30º es igual a ; por lo tanto, 2 1 4 (Usamos proporciones) = ⇒ x =8 2 x Entonces, la escalera mide aproximadamente 8 m. 2. Una asistente de vuelo miraba detenidamente el avión en el que le tocaría viajar. Como era un vuelo nacional, se decidió colocar una escalera móvil para los pasajeros. Según los datos de la figura, ¿a qué distancia se encuentra el inicio de la escalera del avión? 11,3 m x 38° 248 U4 MAT 3M (216-289).indd 248 2/11/11 15:39:21
  • 11,3,3  11  cateto opuesto   cateto opuesto  recuerda, tgtg ±=  recuerda, ±=  xx  cateto adyacente   cateto adyacente o tg 38o tg 38 = = Usando los datos de la figura, podemos escribir que: pero tg 38º ≈ 0,7812 entonces tenemos que: 11,3 11,3 0,7812 = ⇒x≈ ⇒ x ≈ 14,46 x 0,7812 (Usamos la calculadora), Por lo tanto, la base de la escalera está aproximadamente a 14,5 m del avión. 3. En la fábrica de exportación de frutas donde trabaja la mamá de Mauro pararon las labores de embalaje ayer porque necesitaban colocar una cinta transportadora que subiera las cajas de manzanas desde los 50 cm a los 150 cm. El técnico tenía un problema para calcular el ángulo de inclinación de la escalera, pues solo conocía las medidas que muestra este dibujo. Mauro escuchó a su mamá y le dijo que él podía solucionar el problema: UNIDAD 4 100 cm 70 cm tg α = α cateto opuesto  100   recuerda, tg α =  cateto adyacente  70  Con las medidas dadas en la imagen anterior, podemos escribir que: ⇒ tg αª1, 4285 ⇒ αªtg −1 (1, 4285) ⇒ ± ª55o / tg −1 (Función de la calculadora que entrega el ángulo si se tiene el valor de la razón trigonométrica) (Usamos calculadora) Por lo tanto, el técnico debería poner la cinta transportadora con un ángulo de inclinación de 55º. 249 U4 MAT 3M (216-289).indd 249 2/11/11 15:39:23
  • 4. Un navegante va por un río en su embarcación. De pronto se pregunta: ¿cuánto medirá aquella montaña? Mientras navega, realiza las mediciones respecto a los ángulos de elevación, como se muestra en la imagen. ¿Puede con ellas calcular la altura de la montaña? } 10 m B 22 m 40° A 35° Hagamos un bosquejo de la situación y coloquemos algunas letras para ayudarnos: D Toma nota Cuando miramos hacia arriba, el ángulo que forma nuestra mirada con el horizonte se llama ángulo de elevación. α x A tg 40o = y 40° B x x ⇒ 0, 84 = ⇒ x = 0, 84 y y y En el triángulo ABD, podemos anotar que: tg 35o = 10 35° C x x ⇒ 0, 70 = ⇒ x = 0, 70 ( y + 10) y + 10 y + 10 Por otro lado, en el triángulo ACD podemos anotar que: Cuando miramos desde una cierta altura hacia abajo, el ángulo que forma nuestra mirada con la horizontal se llama ángulo de depresión. α Igualando las ecuaciones (ya que x mide lo mismo para ambas situaciones), se tiene que: 0, 84 y = 0, 7 ( y + 10) (Distribuyendo) 0, 84 y = 0, 7 y + 7 0, 14 y = 7 y = 50 / −0, 70 y / : 0, 14 250 U4 MAT 3M (216-289).indd 250 2/11/11 15:39:26
  • Como había 22 metros desde el suelo hasta el navegante y 42 metros desde él hasta la cima de la montaña, entonces el alto de la montaña es 64 metros. Trabaja Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios. No olvides revisar tus respuestas. Haz un bosquejo en cada ejercicio para ayudarte. UNIDAD 4 Remplazando en x = 0,84 y, se tiene que: x = 0,84 ⋅ 50 x = 42 sen de 1 Si el cateto opuesto a δ vale 6 cm y la hipotenusa 10 cm, encuentra: seno, coseno y tangentesen δ.  2 Si cos x = 0,43, ¿cuál es el valor de sen 90 − x ? ( ) 1 3 y cos α = , ¿cuál es el valor de sen α? 3 4 4 Haciendo uso de tu calculadora, completa la siguiente tabla, aproximando a la centésima. 3 Si tg α = Medida del ángulo Función trigonométrica 15º 43º 79º sen cos tg 5 Los valores de los lados del triángulo rectángulo de la figura son primos entre sí y cos α = cos α = 5 13 5 . 13 Completa la figura indicando el valor de cada lado, como también de sen α y tg α. 6 Encuentra el valor de los ángulos interiores del siguiente triángulo. Aproxima tus respuestas. 4u 3u 251 U4 MAT 3M (216-289).indd 251 2/11/11 15:39:26
  • 7 Encuentra los valores de ángulos y lados que falten. a. 12 u 90° 30° x 20 u y sen 60º ⋅ cos 30º tg 45º y b. 90° 30° c. x 83 u 56 u 90° a 8 Sin utilizar calculadora, encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones: a. b tg 60o + 4 cos2 45o + 2 cos 30o 2 9 ¿Es verdad que el cateto opuesto a α vale v ⋅ sen α y que el adyacente es v ⋅ cos α? v 90° α 10 Mira atentamente la figura: B a α C Define tg α, sen α, cos α, en función de a y b. b A 11 En un triángulo rectángulo, el cateto adyacente de uno de los ángulos agudos x es 7 y el opuesto 5. a. sen y b. cos y c. tg y Si su ángulo complementario es y, encuentra el valor de: 12 Si tg z = 3,75, hallar los valores de: a. sen z b. cos z 252 U4 MAT 3M (216-289).indd 252 2/11/11 15:39:27
  • Trabaja Resuelvan en grupo los siguientes problemas. No olviden revisar sus respuestas. su directora. Hay que hacer algunas reparaciones en el cielo de esta añosa sala. Para ello, los maestros deben usar una escalera de 6 m de longitud que apoyarán sobre la pared vertical, de tal manera que el pie de la escalera quedará a 1,50 m de la base de la pared, como siempre lo acostumbran. Les pide que tengan mucho cuidado porque a poco menos de los 6 m hay unos antiguos dibujos de la época de la Colonia que no pueden ser dañados. Cabe preguntarse: ¿a qué altura de la pared quedará apoyada la escalera y, qué ángulo forma con la pared? Puede que evitemos un gran conflicto. Los invitamos a que nos den su respuesta. UNIDAD 4 1 La Sra. Petit es muy cuidadosa con los murales que están en la gran sala del Museo de Arte, de la cual es x α 2 La carta para Benjamín decía así: 1,50 m Hola Benja: Encontré esta foto de una colombina en Internet. Se parece mucho a la que tenía el tío Loncho según lo que mostró en su álbum del recuerdo. Este instrumento musical es de cuerdas tañidas y tiene la forma de un trapecio recto. Te mando algunas especificaciones: base mayor, 40 cm; base menor, 15 cm y 5 cm de grosor. No sé el alto. La foto te puede insinuar unos 40º en el ángulo inferior izquierdo; considera este valor. Lo que te pido es que calcules el alto, por favor. Acá conozco a alguien que me puede hacer una réplica. Tengo ganas de regalársela al tío Loncho, que está tan solo y tan viejito. Además, tañer la colombina le sirve como terapia. Espero pronto tu respuesta. Vicente. 15 cm x 40º 40 cm Grosor 5 cm 3 “Aquí base 1 a base 2. He detectado un objeto volador no identificado situado estáticamente en un punto del espacio. Con mis instrumentos he determinado que el ovni se encuentra a 4 460 m, en un ángulo de elevación de 35º. Un momento, base 2. El ovni ha comenzado a descender verticalmente hasta posarse en la superficie terrestre”. Determinen a qué distancia del punto de observación descendió este objeto y qué distancia debió descender hasta tocar tierra. 253 U4 MAT 3M (216-289).indd 253 2/11/11 15:39:30
  • 4 Se acerca el 18 de septiembre y ya con casi 202 años de nuestra patria. El director nos ha insistido en el correcto uso de los emblemas nacionales. La bandera del colegio está en buen estado, pero el asta que está enclavada verticalmente en lo alto del edificio de la entrada, no. Hay que cambiarla. Nos cuenta que si nos instalamos a 12 m de la entrada, los ángulos de elevación de la punta del asta y de la parte superior del edificio son de 60º y 50º, respectivamente. La tarea para el curso es cotizar un buen precio para comprarla. Pascual preguntó por el largo del asta. El director lo miró y le dijo: “Señor Inostroza, está usted en 3º medio; seguramente con los datos que le di, la puede calcular”. Ayuden a Pascual a encontrar la longitud del asta. 5 Las frases de cada letra representan parte de un problema que se ha desordenado. Ordénenlo y luego calculen lo pedido. a. b. c. d. e. Que están sobre el terreno en la dirección oeste del monumento. Son de 45º y 30º, respectivamente. Hallar la distancia que los separa. Desde la cúspide de un monumento de 30 m de altura. Los ángulos de depresión de dos objetos. 6 Dos guardabosques de CONAF descubren la misma fogata clandestina en dirección N 42° O y N 48° E, desde sus posiciones respectivas (ver gráfico). El segundo guardabosque estaba a 1,93 km al oeste del primero. Si el guardabosque que está más cercano a la fogata es el que debe acudir, ¿cuál de ellos será y cuánto tendrá que trasladarse? N O 48° Segundo guardabosque Fogata clandestina 1,93 km S 42° E Primer guardabosque 7 Juan Eduardo se encuentra en la ventana de su departamento, que está situada a 8 m del suelo, y observa el edificio de enfrente. Como se ha construido un goniómetro artesanal, ha mirado la parte superior del edificio con un ángulo de 30º y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45º. Preparándose para la prueba de Matemática, logró determinar la altura del edificio señalado. Se felicitó, porque averiguó con el administrador del edificio la altura registrada y su medida estaba casi exacta. ¿Cuál es la altura encontrada por Juan Eduardo? 254 U4 MAT 3M (216-289).indd 254 Goniómetro: instrumento de medición graduado en 180° o 360°, utilizado para medir o construir ángulos 2/11/11 15:39:31
  • 8 Juvenal es ayudante de topógrafo y, atendiendo a una petición de su jefe, se situó en el punto C y localizó 7500 m B 48º x C 5 000 m A UNIDAD 4 dos puntos, A y B, en los lados opuestos de un lago. Le envió, por Internet, esta fotografía, suponiendo que el triángulo señalado en la imagen era rectángulo en A. Conforme a cálculos trigonométricos, y usando un ángulo en C aproximado a 48°, agregó que el ancho solicitado es 5553,06 km. Con toda esta información, respondan: a. Usando razones trigonométricas, ¿es correcto dicho valor para el ancho solicitado? b. Obtengan el ancho pedido usando el teorema de Pitágoras. c. ¿Coinciden ambos valores? ¿Por qué? debe comprar para construir 5 decágonos regulares de lado 10 cm. Tiene poco tiempo y al llegar a la tienda le ofrecen dos tipos: uno de 70 cm x 50 cm que cuesta $60 y otro de 75 cm x 53 cm que cuesta $70. Como quiere ahorrar el máximo de dinero, ¿cuál pliego debiera elegir? ¿Por qué? 9 Clementina está estudiando Educación de Párvulos y necesita saber qué tipo de pliego de papel lustre Revisemos lo aprendido Te invitamos a hacer una pausa en tu aprendizaje para revisar lo aprendido en esta sección. Marca V (verdadero) o F (falso) según lo que creas que corresponda a tu trabajo. 1. _____ Puedo explicarle a otra persona lo que es la trigonometría. 2. _____ Entendí los problemas que se resolvieron en esta parte de la unidad. 3. _____ Pude resolver correctamente los ejercicios propuestos. 4. _____ Aporté al trabajo de mi grupo. Si has logrado 4 o más respuestas afirmativas, te invitamos a seguir adelante. De lo contrario, vuelve a mirar los contenidos en los que crees que estás más débil. 5. _____ Soy capaz de explicar en qué tipo de problemas se utiliza la trigonometría. 255 U4 MAT 3M (216-289).indd 255 2/11/11 15:39:32
  • Trabaja más... 5 , ¿cuál es el valor de cos β? 5 Trabaja en forma individual tan 1 Si tg β = 2 Con los datos dados en la figura adjunta, determina: 5 En la figura se ha dibujado una circunferencia de centro O y una tangente a ella, donde T es mm punto de tangencia. Si PT = 70 mm y mm, PR = 50 mm determina: T x P cos x = 20 29 a. sen x b. tg x c. el valor del ángulo x 3 Se sabe que sen δ = 0,75. En cada caso, R O Q sen TPO a. sen TPO sen POT b. sen POT tan TPO c. tg TPO tan POT d. tg POT e. valor de TPO valor de TPO 6 La figura muestra el triángulo AOB, rectángulo en O, y una de sus alturas. Conforme a la información presentada, indica los valores de: B establece la relación entre ambas expresiones usando símbolos de desigualdades (>, <) sobre los segmentos de puntos. a. sen δ....1 b. sen δ....cos δ c. tg δ....1 d. tg δ....sen δ + cos δ de un mismo triángulo rectángulo son 16 y 30, respectivamente. Indica los valores de: 4 Los lados opuestos a los ángulos agudos α y β a. sen α + sen β b. cos α − cos β c. 2 ⋅ sen α ⋅ sen β d. tg β − tg α tg α e. tg β f. sen α ⋅ tg β − cos β ⋅ tg β C A BC = 3, 2 u OC = 2, 4 u O a. seno del ángulo en A b. tangente del ángulo en B c. coseno de ángulo en A d. tangente del ángulo en A 7 “Te he explicado varias veces cómo se calculan distancias y ángulos de elevación, pero aún no aprendes las razones trigonométricas. ¿Cómo quieres hacerlo, entonces?”, dijo, con clara molestia, Rita a su compañera de curso, mientras estudiaban. 256 U4 MAT 3M (216-289).indd 256 2/11/11 15:39:34
  • x 53 u 45 u 10 Enrique, no puedo ocultar que ella me gustaba mucho. Todo en ella era perfecto: sus labios, su voz, sus cabellos... hasta su nariz, que parecía un triángulo casi perfecto. Pero se ha ido... ¿Quiere usted hacer un retrato de ella mientras la describo? Enrique comenzó a trabajar mientras él le describía a su amada. Cuando llegó a la nariz, él agregó: “En su perfil puedo dibujar un triángulo rectángulo de 2,7 cm de base y 3,6 cm de alto”. ¿Cuál es el valor del coseno del ángulo agudo mayor que se forma? ¿Cuál es ese ángulo? ¿Cuál es el ángulo de tu nariz? UNIDAD 4 Para que no te encuentres en situaciones parecidas a la aludida en el párrafo anterior, te proponemos que calcules todas las razones trigonométricas de ambos ángulos, en el siguiente triángulo: y 8 Sentados a la mesa y después de haber cenado, don Manuel, quien trabaja en la construcción, intenta narrar a su esposa y a su hijo un hecho tragicómico que les ocurrió durante la jornada. –Estábamos cuadrando el terreno, cuando... –¿Cómo cuadran un terreno, papá? –Formamos triángulos de lados 3, 4 y 5 m. A veces, hacemos lo mismo, pero con 6, 8 y 10 m. –¿Y no miden los ángulos? –Nos basta con lo que te dije recién, pero nos aseguramos que... –¿No usan el seno, el coseno o la tangente, entonces? –Parece que no quieres que cuente mi relato. Pues bien, ya que en el colegio te han enseñado de esas cosas, aquí tienes las medidas de un nuevo triángulo: 35, 12 y 37 m. Cuéntame, ¿podré cuadrar con este triángulo? ¿Cuáles son los valores de esas medidas trigonométricas en este triángulo? 9 “Atención, competidores. Sabiendo que en un triángulo rectángulo uno de los ángulos 84 agudos tiene como tangente la razón , 13 ¿cuál es el valor del coseno de ese ángulo agudo? A la vuelta de comerciales esperamos su respuesta”. ¿Cuál fue la respuesta que dio el ganador del concurso? α 11 “Viendo que no disponemos de una calculadora, páseme, Señor Tamayo, rápidamente un papel, lápiz y algo para medir”. El contratista construyó un ángulo agudo y luego unió sus lados formando un triángulo rectángulo. Midió el lado opuesto a su ángulo y la hipotenusa y formó una razón entre ellos: 17 es a 25. Dio un suspiro y dijo: “Este ángulo mide 52º”. El Señor Tamayo hizo una mueca y le dijo: “Perdón, señor, pero no estoy de acuerdo con sus cálculos”. ¿Quién tiene la razón? Usando los datos del problema, encuentra, además, el valor del seno de un ángulo de 47º. cuerda dividida en tres segmentos de 40; 9 y 12 “Magdalena, ¿crees realmente que con esta 41 cm se puede formar un triángulo rectángulo? Recuerda que la profesora nos dijo que si al menor de los ángulos agudos le llamábamos α y al mayor β, podríamos 1 1 tg α x+ x= resolver la ecuación ”. sen α sen β cos β ¿Cuál es el valor de x? 257 U4 MAT 3M (216-289).indd 257 2/11/11 15:39:35
  • comenzarán a hacer los estudiantes de 3º medio del colegio de Pablo. –¿Y con qué? –se preguntaron. –Con un péndulo de medidas y materiales estándares. Veremos los detalles más adelante. Por ahora –dijo el profesor– me interesa que sepan que la mejor medición se realiza cuando el ángulo de oscilación es pequeño. Realizaremos unas mediciones. Para ello, completen la siguiente tabla. La próxima clase les explicaré cómo lo usaremos. 13 Medir la gravedad es una tarea que x Posición de lanzamiento Posición de equilibrio Largo Altura de la posición Cateto del hilo de lanzamiento adyacente Valor de tensor del con respecto a del ángulo cos x péndulo la posición de x (cm) (cm) equilibrio (cm) 50 20 30 30 : 50 = 0,6 50 15 35 45 20 45 15 40 20 40 15 15 “A veces siento que me cuesta resolver problemas. Escucha este y ayúdame por favor. Tengo un triángulo rectángulo de medidas 3, 4 y 5 cm. Debo aumentar en 10% el cateto menor y disminuir en 10% el otro cateto. Con estas nuevas medidas para los catetos construyo un nuevo triángulo rectángulo. ¿Qué porcentaje de variación tiene la tangente del ángulo agudo menor?” (Aproxima a la décima). 16 Lucas estuvo muy enfermo toda la semana pasada con una terrible gripe, y, a pesar de sus deseos, su mamá lo obligó a quedarse en cama. Él no quería perderse la clase de Física de la universidad, porque sabía que entender la materia no le sería fácil. Cuando llegó ese día, un compañero le prestó el cuaderno con la materia sobre fuerzas. En el primer problema decía que las fuerzas en azul se componían en la fuerza roja, y pedían calcular el valor de x e y. Lucas recordó sus clases de Trigonometría y pudo hacerlo. ¿Cuáles son los valores pedidos? x y 10 N 24 N 14 En conjunto, actores y director han repasado el guión de la obra de teatro “Encuéntrale algún sentido”. El actor principal trata de aprenderse las líneas de su personaje, un prestigioso doctor en Matemática que ha llegado a su vejez y ha comenzado a desvariar. Repetía incesantemente. ”Dibujo un triángulo rectángulo de catetos 8 y 15 y luego sus razones trigonométricas; las del ángulo agudo de menor medida son... Ah!, no me puedo aprender tanto número al que no le encuentro sentido”. ¿Puedes tú dar los valores de estas razones? 258 U4 MAT 3M (216-289).indd 258 2/11/11 15:39:35
  • 1 “No llores, Sofía. El barco ya se está perdiendo en el horizonte; deja de mirarlo por ese catalejo, ya no se ve. Es verdad que Renato, tu amado, va allí, pero no te preguntes qué tan lejos está de aquí. Él volverá. Abrígate, mira que estamos a 100 m sobre el nivel del mar, en este peligroso acantilado”. Si el ángulo de depresión con que esta señorita observa al barco es de 5º, ¿cuál es la distancia que los separa? Expresen su respuesta con aproximación al entero. ruta 75 y esta tiene una pendiente natural. Los ingenieros conversan acerca de algunos detalles técnicos. –Germán, la carretera debe ascender 120 m por cada 1000 m de distancia horizontal. –Sí, Braulio, y la primera parte de la carretera construida será de 2,8 km y lo tenemos que tener listo para marzo del 2013. Según los datos, a. ¿cuál es el ángulo de elevación, aproximado al grado más próximo? b. determinen el avance horizontal de la primera parte de la carretera usando el ángulo de elevación obtenido en (a.). Expresen su respuesta sin uso de decimales. 2 Se está construyendo un nuevo tramo de la 3 “No les haga caso, vecina. Son peleas de niños. ¡Qué importa que nuestros pequeños discutan cuál de nuestras casas es más alta que la otra! Todas las casas de esta villa tienen la misma altura. Hasta el momento, nadie del vecindario ha hecho ampliaciones. Un día, le escuché decir a mi hijo mayor, el que está en tercero medio, que cuando el sol está a 30º con respecto al suelo, la sombra de la casa es de 15 m, y por allí hizo el cálculo de la altura...” Con la información dada en el enunciado, encuentren aproximadamente la altura de las casas aludidas. Expresen su respuesta con aproximación a la centésima. 4 “Lo vimos descender rápidamente desde el cielo. Con nuestros instrumentos, empezamos a notar la falla en sus sensores. Y así nuestro módulo espacial, que estando a una altura de 1 450 m, dio su trayecto final por el aire, trayecto rectilíneo oblicuo, y con un ángulo constante de 20º con respecto a la horizontal, chocó con el pavimento. Se desintegró con el impacto. Nuevamente este accidente pone en evidencia que no hemos logrado nuestro objetivo en la carrera espacial”. Abril, 1959 Respondan, según la información dada, ¿cuál fue la distancia recorrida en el descenso de la nave? Expresen su respuesta con aproximación a la centésima. 5 La profesora del Taller de Física al cual voy consiguió que asistiéramos al lanzamiento de un globo. Llevamos binoculares y nos ubicamos a una distancia de 200 m del punto donde empezó a elevarse verticalmente. Con nuestros goniómetros fabricados en el taller, vimos que un minuto después del lanzamiento el ángulo de elevación era de 20º y a los dos minutos, 35º. Con esta información, encuentren: a. la rapidez media en m/s, en los dos primeros minutos. b. la distancia recorrida entre el primer y el segundo minuto. UNIDAD 4 Trabaja en grupo Resuelvan los siguientes problemas. Usen su calculadora cuando sea necesario. 6 Matías y María Ignacia han tenido que refugiarse en un faro, ya que en el borde costero por el cual viajaban se ha desatado una fuerte tormenta de viento y lluvia. Ismael es el guardafaro, quien les presta refugio. –Don Ismael, nunca habíamos estado en un faro. ¿A qué que altura estamos? –A unos 70 m sobre el nivel del mar. –Y con esta escasa visibilidad, poca es la observación que puede hacer. –Se equivocan. Miren, lo que se ve allá en el cielo es un avión. Ángulo de elevación 25º exactos. Compruébenlo ustedes mismos. –¿Y qué es ese punto, que parece estar justo debajo del avión? –Es una barca. La puedo observar con un ángulo de depresión de 24º. De acuerdo al diálogo, contesten las siguientes preguntas, aproximando a la centésima sus respuestas. a. ¿A qué distancia se encuentra el barco con respecto al pie del faro? b. ¿Cuál es la altura del avión sobre el agua? 259 U4 MAT 3M (216-289).indd 259 2/11/11 15:39:35
  • –Entonces, para mejorar la marca de velocidad en bicicleta de Mauro, vamos a elegir un tramo que yo dibujé como MN , por donde va a pasar Mauro, y que después dividí en tres tramos menores: MP , PR y RN . Vean, yo me ubico en O, a 100 m de M, y ustedes cuatro, en los otros puntos. Como elegí un ángulo de 30º en este punto, al cual dividí en ángulos iguales, esto me garantiza que lo tramos menores anteriores sean iguales. –Espere un momento –dijo Mauro–. ¿Es esto realmente cierto? Respondan ustedes la pregunta y den las medidas de los trazos señalados. 7 “He tenido que subir a la cima de la colina y conseguir señal en mi celular para poder comunicarme contigo. Estoy a una altura de 60 m sobre el camino. ¿El paisaje? Un poco agreste. Todo muy solitario. Veo un lago donde hay dos botes en la misma línea recta. Nada interesante que contarte”. Si los ángulos de depresión con los que la persona observa los botes son de 10º y 20º, encuentren la distancia, aproximada a la centésima, entre los botes. 8 “Después de algunos minutos transcurridos del terremoto del 2010, muchos vimos luces que se movían en el cielo. Me llamó la atención una que se mantuvo fija dando destellos naranjas y verdes, con elevación de 20º y mirando hacia el sur. Marcial también observó lo mismo, a igual hora, pero con elevación de 25º, dirección norte. Vivimos a 150 km de distancia en línea recta”. ¿Será posible estimar la altura de esta luz? del quinto piso, del departamento 506, que queda más abajo del piso de la víctima, en el edificio frente a nosotros. Estos edificios son gemelos y están distanciados por 70 m. En estos momentos estoy en la ventana del departamento por donde la víctima cayó al vacío y miro hacia la ventana por donde estuvo el agresor, bajo un ángulo de 30º, aproximadamente. Me pregunto: ¿qué distancia pudo haber recorrido la bala?” Respondan ustedes la pregunta. 11 Marcia es una fanática de las películas de ciencia 9 “Al parecer, el disparo provino desde la ventana 10 Tulio está entrenando a Mauro para que participe en la próxima cicletada del pueblo. Llama a cuatro amigos que le permitan hacer unas mediciones y les muestra un papel, en el cual hizo el siguiente dibujo: Luego agregó: M O 260 U4 MAT 3M (216-289).indd 260 P R N ficción. Ayer fue a ver una de esas al cine y hoy les contaba a todos en el curso...“Los protagonistas estaban en una misma línea, uno antes que el otro. Uno de los protagonistas vio el objeto en la coordenada (3, 4) con una elevación de 35º y el otro lo miró con elevación de 53º aproximadamente. Después, ambos, desde el suelo, levitaron y los absorbió el objeto. Iban hipnotizados...“. De pronto, José echó a reír y le dijo a Marcia... “¿Me puedes decir también cuál era la distancia que separaba a tus protagonistas?” Marcia, enojada, le respondió.“No, calcúlala tú... ya aprendiste trigonometría”. Ahora resuelvan el problema planteado por José. 12 Hernaldo encontró un cuaderno extraviado en uno de los paraderos del Transantiago. Empezó a hojearlo y en una de sus páginas había un ejercicio escrito y sin desarrollo que decía: “Una aplicación a la física de partículas: Tres partículas p1, p2 y p3 chocan simultáneamente, de tal modo que salen expulsadas en distintas direcciones. Experimentalmente, se ha detectado que al cabo de siete segundos se encuentran momentáneamente situadas en los vértices de un triángulo rectángulo. Las más cercanas son p1 y p3, las que distan 19 unidades entre sí. La última de estas se ubica en uno de los vértices, donde se halla un ángulo no recto. El ángulo agudo mayor mide 67º 2/11/11 15:39:36
  • Punto de choque Según esta situación, ¿Fabián debiera encontrar alguna irregularidad para hacerla saber a la autoridad correspondiente? ¿Por qué? En la figura, indica la ubicación correcta de p1, p2 y p3, los ángulos interiores y sus medidas, como también las distancias respectivas. de los ríos. La radio local dice que el río tiene 10 m de ancho, que el puente debe quedar a 2,10 m sobre el agua y que las rampas de acceso tendrán una inclinación de 20º, a ambos lados del río de manera simétrica. De esta forma se va a remplazar el antiguo, que ya estaba en desuso y prácticamente en el suelo: a. ¿Cuál deberá ser la longitud l de la baranda? b. ¿A qué distancia “d” del cauce comenzará la rampa? l 20° d UNIDAD 4 14 En mi zona van a construir un puente sobre uno 2,10 m Vio la pregunta en el globillo e hizo el desarrollo correcto en este cuaderno ajeno. Llamó al celular indicado en caso de pérdida. La voz de una joven respondió: “Muchas gracias...”. ¿Cuál fue la respuesta escrita en el cuaderno? 13 En general, para la construcción de rampas para discapacitados, la pendiente máxima no debe exceder de 7º. Fabián salió a revisar aquella que hay en el cruce de la esquina próxima, pues su hermano, que es discapacitado, la usa diariamente. La rampa cumplía las normas de ancho, pero encontró para una longitud de 120 cm un avance de 119 cm. altura longitud avance ángulo 261 U4 MAT 3M (216-289).indd 261 2/11/11 15:39:37
  • Otros temas de trigonometría En esta sección aprenderás Que existen otras razones trigonométricas y que se las puede considerar como funciones. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 1 • Comprender y resolver: 2, 5, 8, 2 • Relacionar y aplicar: 3, 7, 9, 10, 3, 4, 5 • Interpretar y generar ideas: 4, 6 Trabaja más... Habilidades por actividad: • Relacionar y aplicar: 1 Toma nota Nota que sen2 α = sen α ⋅ sen α y lo mismo sucede para todas las razones trigonométricas. –Este trabajo de investigación me va a costar al menos una de mis neuronas. –Jorge, no seas exagerado –le respondió Amelia. –Pero ¿te fijaste lo largo que es? –Bueno, pero con el papá de Amelia lo terminaremos pronto –dijo Mario. –Lo mejor es que puedo trabajar con ustedes. –Jorge, tú eres muy buen alumno también y entre los tres hacemos un gran equipo. –Sí, eso es cierto. • Primera pregunta: ¿son seno, coseno y tangente las únicas razones trigonométricas? –No, mi papá me explicó ayer lo siguiente: Existen otras tres razones trigonométricas que se relacionan con las primeras; estas son: cosecante, secante y cotangente, y se puede escribir que: 1 1 1 , cosec α = y cotg α = sec α = cos α sen α tg α –Bien, ya lo anoté. • Segunda pregunta: ¿Qué son las identidades trigonométricas? y ¿cuáles son las identidades básicas? Mario lo encuentra y dice: Una identidad es una igualdad que se satisface para cualquier valor de la(s) variable(s) involucrada(s). Si ésta es trigonométrica relacionará razones trigonométricas. Las más conocidas son: • sen α ⋅ cosec α = 1 • cos α ⋅ sec α = 1 • tg α ⋅ cotg α = 1 2 2 • sen α + cos α = 1 2 2 • sec α = tg α + 1 2 2 • cosec α = cotg α + 1 –Las tres primeras las entiendo –dijo Jorge–. Basta tomar las definiciones que dimos anteriormente. Por ejemplo, si tomamos que: 1 cosec α = / ⋅sen α sen α cosec α ⋅ sen α = 1 262 U4 MAT 3M (216-289).indd 262 2/11/11 15:39:39
  • Su papá escuchó atentamente lo que le preguntaron... Pensó un instante y dijo: “Escriban cada razón según su definición” y volvió a sentarse frente al televisor. –¡Ahh! –suspiró Amelia –siempre hace lo mismo... Veamos a qué llegamos: sen α = B a c b cos α = c c a UNIDAD 4 –Y ya está, lo mismo con las otras razones. Pero ¿por qué son ciertas las últimas tres? –¡Papá! –gritó Amelia. α C b A Entonces: sen2 α + cos2 α 2 2 2 2 2 2 a  b a b a +b =  +  = 2 + 2 = c c2 c c c Pero, a2 + b2 = c 2 (por teorema de Pitágoras); por lo tanto: a2 + b2 c 2 = 2 =1 sen2 α + cos2 α = c2 c –Eso estuvo genial –dijo Jorge–, no es muy difícil; sigamos con las otras: sec2 α = tg 2 α + 1 a =   +1 b 2 = = a2 1 + b2 1 a2 + b2 b2 c2  c  = 2 =  b b  cateto opuesto   recuerda que tg α =  cateto adyacente   (Recuerden que debemos igualar denominadores) 2 2    1   1 2 2 =  =  = sec α  b   cos α    c –Ufff... Esto estuvo un poco más complicado, pero lo entendí. –¿Se han dado cuenta de que están demostrando identidades trigonométricas? –dijo el papá de Amelia. 263 U4 MAT 3M (216-289).indd 263 2/11/11 15:39:39
  • –Ejem... Eso suena importante –rió Jorge. Y una última. Seguro que tú puedes demostrarla, inténtalo aquí. cosec2 α = cotg 2 α + 1 sen α − cos 4 4 –Esto va muy bien. –La próxima pregunta dice: Demuestra que 2 sen2 α − 1 = sen 4 α − cos4 α –¿Qué hacemos aquí? El padre de Amelia le sugirió que comenzara del lado derecho de la identidad y usara las identidades que ya había demostrado. sen 4 α − cos4 α = sen2 α + cos2 α sen2 α − cos2 α ( α = ( sen α + cos α ) ( sen = 1 ⋅ ( sen α − cos α ) 2 2 2 2 2 α − cos 2 )( α) ) (Recuerda que sen2 α + cos2 α = 1) (Factorizando) = sen2 α − cos2 α = sen2 α − 1Si sen22 α + cos2 α = 1ficos2 α = 1 − sen2 α ) cos sen sen ( − sen α cos sen2 α − cos2 α = sen2 α − 1 − sen2 α = sen α − 1 + sen α ( 2 2 = 2 sen2 α − 1 ( ) ) –¡Genial!, esto de demostrar identidades me está gustando, papá. ¿Qué pregunta viene ahora? ¿Se cumplirá siempre que sen α = cos 90 − α ?, ¿qué otras identidades de este tipo existen? –Mmmm... –dijo Mario–, déjame dibujar un triángulo rectángulo nuevamente: ( ) B 90–α a Recuerda que ambos ángulos deben sumar 90°. c α b C sen ± = A  catetoa opuesto     hipotenusa   catetoa dyacente     hipotenusa  Entonces: a c c os 90o − ± = ( ) a c Por lo tanto, se cumple la igualdad sen α = cos 90 − α ( ) cos α = sen 90 − α , tg α = cotg 90 − α , sec α = cosec 90 − α , Las otras igualdades de este tipo son: ( ) ( ) cosec α = sec 90 − α y cotg α = tg 90 − α ¿Puedes tú demostrar estas igualdades? (  ) (  ) ( ) 264 U4 MAT 3M (216-289).indd 264 2/11/11 15:39:44
  • –Supongo que si miramos las razones como la siguiente relación, entonces serán funciones... Por ejemplo: Ángulos R Seno 30° 0,5 –A cada ángulo le corresponde un solo valor en R (sen 30º es únicamente 0,5 y no otro valor); por lo tanto, es una función. –Entiendo –dijo Jorge–. Pero ¿qué ángulos se pueden colocar en el conjunto de partida? y ¿se relacionan todos los valores de R con algún ángulo? –No lo sé... Pensémoslo. Los valores de los ángulos debieran estar entre 1º y 89º, ¿no?, porque son ángulos de un triángulo. –Bien pensado, hija – acotó su papá - pero míralo de la siguiente manera. –Supongamos que dibujamos un plano cartesiano y en él un círculo de radio 1 unidad (a este círculo se le llama círculo goniométrico o circunferencia unitaria), observa: 1 –1 –0,5 0,5 0 –0,5 –1 y Los ángulos se pueden medir usando diferentes unidades. Los grados son la medida usual que ya conoces, pero también existen los radianes. La medida del α , en radianes (rad), corresponde a la medida de la longitud del arco que subtiende en una circunferencia. Esta medida es independiente del radio de la circunferencia. Para realizar la conversión de grados a rad tomemos la circunferencia goneométrica (de radio 1) y establezcamos una proporción: Rad Grados 360° 2π α x (recuerda que la longitud de una circunferencia es 2 π r ) 45 ⋅ 2 π x= rad 360 Por ejemplo: Si α = 45, entonces expresado en radianes será: 45 ⋅ 2 π x= 360 90 π π ⇒x= ⇒ x = rad 360 4 (nota que todos los ángulos medidos en radianes quedan expresados en función de π ) Así se pueden anotar los ángulos más usados: 30º Grados B Aα Recordar y archivar 0,5 C 1 x UNIDAD 4 –¿Falta mucho? –preguntó Jorge–. La idea es alcanzar a terminarlo hoy. –No, solo faltan 3 preguntas, la que viene es: “¿Son funciones las razones trigonométricas?” –Funciones... funciones... ¡¿Cuándo vimos eso?! –¡Ay Jorge!, recuerda que una función es una relación entre dos conjuntos, de manera que cada elemento del conjunto de partida tenga una sola imagen en el conjunto de llegada. –¿Cómo te acuerdas de todo eso? –Es que me gusta la matemática y esa materia la aprendí bien. –¿Y qué tiene que ver eso con las razones trigonométricas? 45º 60º 90º 180º Radianes π 6 π 4 π 3 π 2 π 265 U4 MAT 3M (216-289).indd 265 2/11/11 15:39:44
  • $+ 7 < ¡ ? >% 2 = Para saber más ¿Podrías graficar las funciones cotangente, secante y cosecante? Recuerda que puedes usar el programa Graphmatica o graph. Si es necesario, chequea tus respuestas en el siguiente link: http://docentes.uacj.mx/sterraza/ matematicas_en_movimiento/f unctrig/trig_graf.html –Si te fijas bien, a medida que el punto B se mueve a lo largo de la circunferencia, el α va tomando valores desde los 0º a los 360º si B da una vuelta completa. Pero B puede dar más de una vuelta, con lo que tendríamos ángulos mayores a 360º. Además, si movemos el punto B en sentido horario, tendremos ángulos negativos. –Entiendo, papá. Entonces, el conjunto de partida son todos los reales, pues el valor de un ángulo no tiene por qué ser solo un número natural, ¿no? –Bien, Amelia, entonces, ¿puedes escribir el dominio de las funciones trigonométricas? –Creo que sí. Dom = R, lo es igual para todas las funciones trigonométricas –¡No, no, no. Ten cuidado! Como ya sabes que son funciones, las podemos graficar. Si usamos el programa Graphmatica (o el graph), tendremos lo siguiente: sen x = y 1,5 1 Toma nota Dom sen ( x ) = R Para seno de x se tiene que: Rec sen ( x ) = [ −1, 1] (Nota que pueden existir ángulos negativos y que estos son aquellos que se miden en la misma dirección en que avanzan los punteros del reloj). −3π / 2 −π −π / 2 Dom cos ( x ) = R Para coseno de x se tiene que: Rec cos ( x ) = [ −1, 1] 0,5 0 π/2 –0,5 –1 −π 3π / 2 π/2 −π 3π / 2 x –1,5 –2 cos x = y Toma nota y −3π / 2 1,5 y 1 −π −π / 2 0,5 0 –0,5 –1 x –1,5 –2 266 U4 MAT 3M (216-289).indd 266 2/11/11 15:39:47
  • 3 y 2 −3 π 2 −π – −π 2 Toma nota 1 π 2 –1 –2 –3 –4 Para tangente de x se tiene que: Dom tg ( x ) = R − {x ∈ R / x = 90 n, n = 1, −1, −3, 5, −5,...} x Dom tg ( x ) = R − {x ∈ R / x = 90 n, n = 1, −1, −3, 5, −5,...} −π 3π 2 Dom tg ( x ) = R − {x ∈ R / x = 90 n, n = 1, −1, −3, 5, −5,...} (es decir, en 90º, 270º, 450º, etc. se indefine). Rec tg ( x ) = R UNIDAD 4 tg x = y –Pero, ¿por qué la tangente se indefine en 90º? –Si miras nuevamente el círculo goniométrico o circunferencia unitaria, y mueves el punto B hasta hacerlo coincidir con el eje y, tendremos que el cateto adyacente se hace 0 (o ya no existe triángulo). Observa: 1 –1 –0,5 0,5 0 –0,5 y α 0,5 1 x –1 1 Entonces la fracción se indefine. 0 Esto pasa cada vez que B coincide con el eje y, es decir, en 90º, 270º, etc. tg α = –Ya entendí; gracias, papá. –Y tú, Jorge ¿entendiste? –Sí, la verdad, creo que sí... Nunca pensé que se podían relacionar ambas cosas. –¿Ves como esto sí es entretenido? –Mmm... no lo sé. Mejor veamos la próxima pregunta: “¿Qué relación puedes establecer entre la función tangente y la pendiente de una recta?” –¡La profesora siempre saca relaciones extrañas! 267 U4 MAT 3M (216-289).indd 267 2/11/11 15:39:48
  • –Bueno, dibujemos una recta cualquiera –dijo Mario– Tu papá dice que un buen dibujo ayuda a pensar, ¿cierto? y B(a,b) b x α A(c,0) a (La razón entre la diferencia de Entonces, la pendiente de esta recta las ordenadas con la diferencia y2 − y1 era: m = de las abscisas de un par de x 2 − x1 puntos cualquiera de ella). b−0 b b En este dibujo ⇒ m = , entonces... = c a −0 a −c bcateto opuesto a α −0 b ⇒ m = tg α –¡Ah! mira, ⇒ m = = cateto a a − 0 adyacente a α –¡Perfecto! –Muy bien, entonces escribiremos que la pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x. –Estoy un poco cansado... ¿les digo la última pregunta? –Sí, dale. “Encuentra el ángulo que forma la recta 2 x − 3 y + 5 = 0 con el eje x”. Calculemos la pendiente de la recta 2 x − 3 y + 5 = 0. Para ello debemos despejar y, entonces tenemos que: ⇒2 x +5=3 y 2 5 ⇒ x+ = y 3 3 2 Por lo tanto, la pendiente de la recta es: m = m 3 Por otro lado, sabemos que m = tg α (donde α es el ángulo que la recta forma con el eje x), entonces podemos escribir que: 2 tg α = /tg–1 3 2 (Usamos calculadora) α = tg −1   3 ⇒ α ≈ 33,69° Entonces, la recta 2 x − 3 y + 5 = 0 forma un ángulo de, aproximadamente, 34º con el eje x. –¿Terminamos? –Sí... hemos cumplido. Entonces, ¡vamos a ver una película! 268 U4 MAT 3M (216-289).indd 268 2/11/11 15:39:50
  • Links de interés En la siguiente página encontrarás una presentación en PowerPoint que resume la unidad con demostraciones basadas en construcciones geométricas. Te invitamos a buscarlo. http://www.campvscolle ge.cl/ Alumnos/Material %20de%20 Estudio/Mate matica/Mat-07. pps#306,48,Diapositiva 48 UNIDAD 4 Resumiendo: • Existen seis razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. • Las identidades trigonométricas son igualdades que pueden ser demostradas y que establecen relaciones entre las razones trigonométricas. • Las razones trigonométricas pueden ser consideradas como funciones. • Las razones trigonométricas ayudan a resolver problemas de campos como la física, matemática, topografía, etc. Trabaja 1 Verifica que sec 37º = cosec 53º Responde en tu cuaderno los siguientes ejercicios; no olvides revisar tus respuestas. 2 Entre los ángulos comprendidos entre 0º y 180º, ¿cuáles son los que tienen 0,5 como valor para seno? 3 Demuestra que: a. sec β ⋅ cos β = 1 b. tg x ⋅ cotg x = 1 Observa el gráfico para ayudarte. 2 2 4 Se sabe que 1 + cotg α = cosec α. Indica por lo menos un valor para α donde esta igualdad no sea válida. tg β sec β y b. ? cotg β cosec β 6 La función coseno disminuye su valor en 0o , 90o ¿Qué debiera ocurrir con la función secante en este  mismo intervalo? ¿Por qué se debe excluir el valor 90º en esta comparación? 5 ¿Qué obtienes al simplificar las razones: a. ) 7 Si la cotangente del ángulo de inclinación de una recta está entre 0 y 1, ambos incluidos, ¿se puede decir que dicho ángulo está entre 45º y 90º? Justifica tu respuesta. 8 La ecuación de una recta es y = 6, 3 x − 9 ¿Cuál es su ángulo de inclinación con respecto al eje x? 9 ¿Cuáles son los ángulos de inclinación de las rectas coloreadas?, ¿las rectas son perpendiculares? 5 4 3 2 1 –2 –1 0 –1 –2 –3 1 2 3 4 5 –4 –5 10 En un gráfico se ven tres rectas concurrentes en (4, 2). Una tiene pendiente igual a 0. Para la otra, el valor de la pendiente es –3 y la última tiene pendiente indeterminada. Grafícalas e indica los ángulos de inclinación. ¿Cuál es la que tiene mayor ángulo de inclinación? 269 U4 MAT 3M (216-289).indd 269 2/11/11 15:39:51
  • Trabaja Resuelvan en grupo los siguientes problemas. Respondan en sus cuadernos y no olviden revisar sus respuestas. 1 Alonso miró varias veces a su alrededor y se sentó a comer las papas fritas que venían incluidas en el combo que había pedido. Jacinta le pidió permiso para sentarse en la misma mesa. Al ver que Alonso continuó leyendo sus apuntes de trigonometría, se atrevió a solicitarle ayuda al respecto, pues tenía una duda. Alonso accedió y ella preguntó: “Si conocemos que el valor de la tangente de un ángulo es 2,36, ¿cómo se pueden saber los valores de las otras funciones?” Entreguen la respuesta a Jacinta. 2 Joel, alumno de 3º medio, después de mirar que cos x = sen 90o − x y que s en x = cos 90o − x , demostró que tg x = co tg 90o − x . Háganlo ustedes también. ( ) ( ) ( ) 1 + tg 2 β = tg 2 β 2 1 + cotg β 3 No puedo salir hoy porque estoy estudiando identidades trigonométricas. Sí, yo sé que me quieres, pero, entonces, ayúdame y veamos cómo demostrar la siguiente identidad trigonométrica: 4 Magdalena tiene que encontrar el ángulo de inclinación de este segmento con respecto al eje x ¿A qué resultado debe llegar? 7 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 5 Faustino y Roberta no pueden creer lo rápido y sencillo que es escribir ecuaciones de rectas aplicando los recursos trigonométricos. Ahora, el desafío es que solo con mirar este gráfico calculen la rapidez (pendiente) de dos automóviles que parten al mismo tiempo por un camino rectilíneo y con rapidez constante cada uno. Para esto van a medir los ángulos de inclinación y de allí el trabajo está listo: para el rojo, 40º y para el azul 60º. Tema concluido: 50,4 km/h y 103,8 km/h. y distancia (km) x a. ¿Qué ángulo debiera graficarse en este dibujo para un tercer auto que vaya a 90 km/h? b. El segmento en verde es paralelo al eje x. Si representa la realidad de otro auto, ¿cómo interpretan las intersecciones con las otras rectas? tiempo (min) 270 U4 MAT 3M (216-289).indd 270 2/11/11 15:39:52
  • Revisemos lo aprendido Es momento de revisar lo que has aprendido en esta sección. Marca con una cruz el casillero correspondiente según la siguiente rúbrica: Aún queda bastante por revisar Por lograr Indicador Entendí los conceptos de cosecante, secante y cotangente. Entendí el concepto de identidad trigonométrica. Entendí por qué las razones trigonométricas son también funciones. Entendí los ejercicios desarrollados en esta sección. Resolví correctamente los ejercicios propuestos. Participé activamente en mi grupo al momento de trabajar juntos. MB B S I UNIDAD 4 Totalmente logrado Recuerda que si no has logrado entender claramente los contenidos, debes revisarlos con alguien que te pueda explicar. Puede ser un compañero o compañera o tu profesor o profesora. Mis apuntes 271 U4 MAT 3M (216-289).indd 271 2/11/11 15:39:53
  • Trabaja más... Trabaja en forma individual 1 Demuestra las siguientes identidades trigonométricas (usa las ya estudiadas). a. cos x ⋅ cosec x = cotg x b. tg x = sen x sec x c. ( cotg α ⋅ sen α ⋅ sec α ) = 1 d. 1 − sen δ = cotg 2 δ 1 − cos2 δ 2 2 cos2 x = cosec x sen x f. sen x + cos x = 1 cosec x sec x e. sen x + g. 1 = tg 2 y ⋅ cos2 y + cos2 y h. (1 + cos x ) (1 − cos x ) = tg2 x cos2 x i. sen x ⋅ cos2 x = sen x − sen3 x j. 1 + tg 2 β = cosec2 β tg 2 β 2 k. sen x ⋅ cosec x = tg x cos x l. (sen x + cos x ) + (sen x − cos x ) = 2 2 2 Mis apuntes 272 U4 MAT 3M (216-289).indd 272 2/11/11 15:39:55
  • Taller Trabaja Muchas veces pensamos en lo díficil que pueden ser los cálculos que ingenieros y arquitectos deben hacer para diseñar o construir las estructuras que están en nuestra ciudad. Algunas veces lo son, pero otras, las mediciones resultan muy sencillas con los conocimientos que ya tienes. El objetivo de este taller es aplicar lo aprendido de trigonometría en la medición de edificios de tu barrio. Materiales: Un transportador Una escuadra Papel y lápiz Calculadora UNIDAD 4 Explorando mi barrio Actividad: En pareja, elijan un edificio, casa, torre, etc. que puedan medir. Coloquen el transportador en el suelo y miren, a través de él, el techo. Ayúdense con la escuadra para medir el ángulo de elevación, como lo indica la figura. Luego, midan la distancia desde el punto donde están midiendo hasta el borde del edificio. Por último, contesten las siguientes preguntas: α 1. 2. 3. 4. 5. 6. ¿Cuánto mide el ángulo de elevación? ¿Cuál es la distancia entre el punto de medición y la base del edificio? ¿Cómo puedes calcular la altura del edificio usando los datos anteriores? Determina la altura del edificio. ¿Es exacta tu medición? Justifica tu respuesta. Comenta tus resultados con tu curso. 273 U4 MAT 3M (216-289).indd 273 2/11/11 15:39:57
  • Evaluación Unidad 4 Síntesis conceptual de la unidad I. En la siguiente sopa de letras, busca los conceptos definidos a continuación: • Razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. • Inverso multiplicativo del coseno. • Razón entre el producto de los catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. • Igualdad que relaciona razones trigonométricas y que se verifica para cualquier ángulo. • Razón entre el seno y el coseno de un ángulo. Y A X Y K R V M F Q T Y S P F A K G M B N T H N I U V T U B U Z Q E Q L S E C A N T E R W K V V Z A Y A K F M M S F T G N C H H D A D I T N E D I E Z D A R U T L A P G U B X Q E H II. Responde V (verdadero) o F (falso) según corresponda. Justifica aquellas afirmaciones falsas. 1 ____ En un triángulo rectángulo, basta conocer un cateto y su proyección sobre la hipotenusa para determinar cuánto vale esta última. 2 ____ La función inversa de seno es coseno. 3 ____ Cuando el valor de seno crece, entonces el de coseno decrece y viceversa. 4 ____ cos2 α + sen2 α = 1 5 ____ Basta multiplicar las proyecciones de los catetos para saber directamente el valor de la altura implicada. Z H M Y H X D U J W Z C D N P U X T A N G E N T E K T Y O J J K C O N E S A O K L O R Y M V Q T E N T H Q G W W B U H V V E Y E P A F D K Q S C P E B U V P H O W Y V T V W N C R G W E D L F I P P Z H S O M T Y O O O D K N Y D I U R L M Y J D M V I U K Y U S Q I E K H L 6 ____ sen 150º = 5 sen 30º en general, a3 + b3 no es cubo de un natural. 7 ____ Si a > b, ambos son naturales; luego, 8 ____ Los valores de la función sen y cos están en el intervalo  −1,1 .   9 ____ La suma por diferencia entre la hipotenusa y uno de los catetos no es igual al cuadrado del otro cateto. 10 ____ El teorema de Fermat, en general, indica que la potencia enésima de un natural no se puede descomponer en dos sumandos también elevados a la potencia n, con n natural mayor que dos. 274 U4 MAT 3M (216-289).indd 274 2/11/11 15:39:57
  • III. Desarrolla con tu grupo los siguientes ejercicios. No olvides revisar las respuestas en el solucionario. 2 p y q son proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo; p es la proyección del cateto de 60 cm y q es la proyección del cateto de 11 cm. ¿Cuál es el valor de p2 + q2 + 2 pq? A E 6 Las medidas a, b y c son tríos pitagóricos. Se ha dibujado la diagonal en rojo. La arista mayor mide c. ¿Por qué basta considerar solo esta última para conocer la medida de la diagonal? UNIDAD 4 están en la razón 3:4. Si la hipotenusa mide 20 cm, ¿cuánto mide la altura sobre ella y las proyecciones de los catetos? 1 Los catetos de un triángulo rectángulo C 3 Determina el área del cuadrado construido sobre uno de los catetos del triángulo rectángulo. b c a x 90° x x un ángulo de 90º. Además, el ancho del techo es de 4 m. ¿Qué altura tiene el techo? ¿Cuánto deben medir las vigas? 7 Las vigas de un techo son iguales y forman x x 2m 4 A partir de la figura, verifica que el área (A) y el perímetro (P) están dados por las siguientes fórmulas: A= 2 pq ⋅ ( p + q ) y P =c+ c p+ q ) a hc x 4m 8 El radio del cono mide 7 cm y la generatriz 18 cm más. ¿Cuánto mide el ángulo formado por g y r?, ¿y la altura (h)? C b p q A ( h x D c B dibujado es isósceles de lado 4 cm. ¿Cuánto vale la altura perpendicular a la hipotenusa? 5 El triángulo rojo que está sobre el plano g h r 275 U4 MAT 3M (216-289).indd 275 2/11/11 15:39:58
  • 9 Un barco navega 620 km con rumbo de 70º. ¿A qué distancia en dirección norte está respecto de su posición inicial? 18 Usando el teorema de Euclides, muestra que el triángulo naranja es rectángulo. cateto mide 15 cm y que el ángulo opuesto a dicho cateto tiene por coseno a 0,4848. Calcula los lados que faltan y sus ángulos interiores. 19 De un triángulo rectángulo se sabe que un 10 Usando los valores de seno, coseno y 30º 45º 60º tangente vistos, completa la siguiente tabla: cotg 20 Remplazando x igual a 30º, decide si se cumple que sec 21 Dado el triángulo rectángulo de la figura, calcula el área del triángulo sombreado. cosec C Los ejercicios 11 al 18 están referidos a la siguiente figura, y se sabe que la pendiente de la recta azul es 2: 6 5 sen x + cos x 1 = sen x tg x y 4 A 3 2 1 0 –3 –2 –1 1 –1 –2 –3 8u 6u E B D rectángulo: a = 2 n + 1,, b = 2 n ( n + 1) y c = 2 n ( n + 1) + 1 y x a = 2 n + 1, b = 2 n ( n + 1) y c = 2 n ( n + 1) + 1. Determina los tríos 6 7 8 9 pitagóricos y comprueba que ellos lo son para: 22 Si los siguientes son lados de un triángulo 2 3 4 5 11 Encuentra los ángulos de inclinación de cada recta. 12 Escribe las ecuaciones de las rectas haciendo uso de dicho ángulo. 13 Determina trigonométricamente los catetos del triángulo naranja. 14 ¿Cuál es el valor de la altura perpendicular a la hipotenusa del triángulo naranja? 15 ¿Cuál es el valor de la altura con respecto a la hipotenusa para los dos triángulos restantes? 16 ¿Cuáles son los valores de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa en el triángulo naranja? 17 ¿Cuáles son los valores de las proyecciones a. n = 7 b. n = a + b 5 , calcula el valor de: 7 a. sen α b. tg α 23 Si cos α = IV. Resuelve los siguientes problemas junto a tu grupo. Revisa tus resultados. 1 “Este es mi sueño, exclama Pablo: participar en algún programa espacial. Por ejemplo, orbitar alrededor de la Tierra, fotografiarla, viajar a otros planetas, etc. Por ahora me conformo con imaginarme que estoy en esa nave espacial, que la veo con ángulo de 20° y que puedo calcular a qué distancia estoy de ella. Me falta un dato... Lo voy a buscar... estoy a 29760,74 km”. “¡Correcto, Pablo!”, le comenta su monitor de Ciencias. ¿Qué dato buscó Pablo? ¿Cuál es el valor que usó? de los catetos sobre la hipotenusa para el triángulo mayor? 276 U4 MAT 3M (216-289).indd 276 2/11/11 15:39:59
  • 20° 60° Nave espacial UNIDAD 4 y 2 Se acercan los cumpleaños de Blanca y Hugo y su padre está construyendo un teatro de títeres iluminado, que es un tronco de cono. Siguiendo las instrucciones de una revista, necesita que el radio menor sea de 10 cm y el mayor de 12 cm. Por desgracia y una falla de la impresión, la altura no aparece mencionada y su generatriz debe medir 15 cm. ¡Qué difícil instalar el foco para este teatro!... ¿Cuánto deberá medir la altura? x 4 ¿El teorema de quién?... de Fermat... ¡Ah! eso lo vi en la universidad cuando joven... ¿Pero recuerda algo?... ¡Nada, solo recuerdo que aún no lo demostraban hasta que en la década de los 90... Entonces ¡no recuerda nada del teorema de Fermat!.... ¡Nada, esta cabeza mía ya no funciona bien .... ¿ y por qué tanto asombro porque no recuerdo ese teorema?... ¿Quiere que yo se lo recuerde? Escribe el enunciado del teorema y explícalo dando ejemplos. 5 En un triángulo rectángulo, la suma de las 3 En un libro de Geometría analítica, Monserrat leyó que la pendiente de la recta estaba relacionada con su ángulo de inclinación. Allí se planteaba el siguiente problema: “Una escalera de 13,5 m de longitud llega hasta la parte superior de un muro. Si la escalera forma un ángulo de 60º con el muro, halla la altura de este y la distancia a él desde el pie de la escalera.” ¿Puedes solucionarlo? áreas de las semicircunferencias construidas sobre cada cateto es igual al área de la semicircunferencia construida sobre la hipotenusa. Verifica este teorema usando el trío pitagórico 6, 8 y 10 (Nota: Averigua con tu profesor cómo se demuestra dicho teorema e investiga si funciona con otras figuras, aparte de cuadrado o semicircunferencias). 6 César y Fernanda acostumbran ir al mirador de la azotea de su edifico a observar la ciudad. De súbito, se encuentran con un 277 U4 MAT 3M (216-289).indd 277 2/11/11 15:40:00
  • técnico haciendo algunas mediciones en uno de los bordes del edificio. –“No se preocupen, me marcho enseguida. Me faltan solo algunas observaciones y listo... Van a instalar en ese tremendo edificio de enfrente un letrero luminoso de bienvenida al 2013. Mmm... veamos, ya he chequeado que el ángulo de elevación al borde del techo de ese edificio sea 41º, que la distancia de aquí al edificio del frente sea, efectivamente, 85 m y que este edificio mida 115 m de altura. Ahora los dejo tranquilos–. –Espere –grita Fernanda–. ¿Sabe qué tan alto es el edificio del frente? –No sé, porque no he hecho los cálculos aún... Con los datos proporcionados, dinos tú. ¿Cuál es la altura? 02 52 92 132 172 siguientes tablas sumaría más que la amarilla. ¿Cuál es tu respuesta? (Ayúdate buscando tríos pitagóricos y comparando las tablas). 12 62 102 142 182 22 72 112 152 192 52 12 22 82 02 62 122 92 102 162 132 142 202 172 182 32 72 112 152 192 42 02 12 22 82 02 02 72 132 102 102 112 162 132 142 152 202 172 182 192 9 Mi hermana me indicó que esta es una 52 92 132 162 202 forma particular de conocer un ángulo inscrito en una circunferencia. Con hipotenusa 10 unidades y radio 4 unidades tenemos un ángulo inscrito. ¿Cuánto mide? 7 “Martita, tengo una duda con respecto a esta identidad. Parece que la anoté mal y tengo que demostrarla en clases. Por favor, verifícala usando dos valores. No necesito que la demuestres. Gracias eternas. Tu amiga Millie”. 10 “Todo se puede lograr, no hay nada Ambas personas son estudiantes de Pedagogía en Matemática y excelentes amigas. Te pedimos que colabores, chequeando con algún par de valores y nos digas si está correcta la siguiente expresión: sen x + sen y cos x − cos y + =0 cos x + cos y sen x − sen y 8 María Antonieta les propuso el siguiente juego: miren bien la tabla amarilla, que será su referencia: 1 2 5 2 9 2 2 2 6 x 2 3 2 7 2 4 2 8 2 10 11 12 2 2 2 132 142 152 162 172 182 192 202 Ahora, sin sumar todos los números de las tablas para saber el total, sino aplicando lo aprendido en esta unidad, digan cuál de las imposible para el que sabe luchar”. ¿Cómo puedo calcular el área del polígono amarillo? Tú puedes hacerlo... inténtalo. 2u 2u 2u estudia para su prueba. Ella sabe que 6, 8 y 10 11 A Lucía le ha surgido una duda mientras forman un trío pitagórico y que sus múltiplos también lo son. Sin embargo, se ha preguntado qué sucederá si los multiplica a 2 todos ellos por o si les extrae raíz cuadrada. 5 ¿Seguirán siendo tríos pitagóricos? Responde tú también estas preguntas. Justifica tu respuesta. 278 U4 MAT 3M (216-289).indd 278 2/11/11 15:40:03
  • disertación para la clase de Matemática que no se pueden encontrar números naturales: a, b y c, con a ≤ b < c y c = 7, tales 5 5 5 que a + b = c . ¿Puedes tú también dar un argumento para ello? Escribe todo tu desarrollo en tu cuaderno. V. Marca la alternativa correcta: 1 Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera? B β c 13 Úrsula necesita medir la altura del edificio en el que vive para su tarea de Matemática. Entonces, se ubica a 3 m de la base del edificio y con su transportador estima que el ángulo de elevación desde el suelo a la parte más alta del edificio es 78º. ¿Cuánto mide el edificio? (Usa calculadora). 14 Catalina y Samuel están estudiando Matemática. Samuel se para en la ventana de la pieza y le dice a Catalina: “Estando a 8 m del edificio del frente, puedo ver la punta de la antena que está sobre la azotea de él con un ángulo de 36º”. Catalina se acercó a Samuel y le preguntó: “Si yo soy 10 cm más baja que tú, ¿con que ángulo la veré?” (Usa calculadora). 15 En el huerto de don Floridor hay un árbol que tiene muchos años. Mientras ha ido creciendo lo han apuntalado con tutores, como se muestra en la figura, donde el tutor más pequeño mide 8 m. Un día su nieta Matilde le pregunta cuánto mide ese hermoso árbol, pero su abuelo solo le responde que el trozo de tronco desde el suelo hasta el tutor más cerca del suelo mide un tercio de la medida del árbol y que forma con el árbol un ángulo de 52º. ¿Puedes determinar la altura del árbol? UNIDAD 4 12 Ismael debe argumentar en una A b α C a a. sen α = d. sen β = b c c b. cos α = a a c. cos β = c e. tg α = a b b c DEMRE 2 En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)? C β 2a I. tg α = 2 A α a II. sen α + cos β = III. tg β + tg α = 1 a. Solo I b. Solo II c. Solo I y II B 4 5 5 d. Solo I y III e. I, II y III DEMRE miden 5 cm y 12 cm; entonces el coseno del ángulo menor es: 5 13 5 a. e. c. 13 12 12 12 12 DEMRE b. d. 13 5 3 Los catetos de un triángulo rectángulo 52° 279 U4 MAT 3M (216-289).indd 279 2/11/11 15:40:06
  • AC = BC = 6 2 cm, entonces CD es: 4 En la figura, si el ∆ ABC es rectángulo en C, y 16 u II. B D d. 6 cm a. 3 2 cm C A e. 12 cm b. 6 2 cm c. 3 cm 5 La longitud de un cable que tiene sus extremos fijos en un poste y en la tierra es de 20 3 m. El cable forma un ángulo de 60º con la tierra. ¿A cuántos metros de la tierra está fijo el cable en el poste? a. A 10 3 m d. A 40 m e. A 60 m b. A 10 6 m c. A 30 m DEMRE 6 A partir de los datos de la figura, se puede afirmar que son verdaderas: A a I. h q D p c B II. a ⋅ q = b ⋅ h III. h2 = b ⋅ q b h = c a a. Solo I b. Solo II c. Solo III 7 ¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es I. 280 U4 MAT 3M (216-289).indd 280 2u 10 u 8u 36 u 4u a. Solo I b. Solo I y II c. Solo II y III d. Solo I y III e. I, II y III 8 En el ∆ ABC de la figura, rectángulo en A, AD es altura. Entonces CD mide: C 12 u D 25 u 12 b. 65 u 12 13 u A B d. 60 u e. 144 u c. 25 u 9 En la figura, BC = 10 cm y DC = 6 cm, entonces AD mide: B d. Solo I y II e. I, II y III (son) rectángulo(s)? 8u a. C b 12 u III. DEMRE 4u D a. 4 cm b. 4,5 cm A 10 sen 2 a. 1 b. 2 c. 4 6 cm 10 cm c. 5 cm d. 6 cm C e. 8 cm (2 α ) + cos2 (2 α ) es igual a: d. 4 sen2 α cos2 α e. 8 sen2 α cos2 α DEMRE 2/11/11 15:40:09
  • 3 2 1 II. cos ( 4 x ) = 2 III. sen ( 2 x ) = 2 sen x I. sen ( 4 x ) = siguientes igualdades es (son) verdadera(s)? a. Solo I b. Solo II c. Solo III 6 3m 5 b. 2 m 12 c. m 5 d. Solo I y II e. I, II y III rectángulo en Q. Entonces, el valor del seno del ángulo PRQ es: 7 6 PS = 3,6 cm y RS = 4,8 cm, entonces PQ mide: 5 4 c. 8 cm d. 10 cm S Q e. 12 cm 13 En el triángulo de la figura, se puede determinar su perímetro si: B β R Q 3 R a. 6 cm b. 6,4 cm e. 6 3 m 15 En el gráfico de la figura, el ∆ PQR es 12 En la figura, el ∆ PQR es rectángulo en R. Si P d. 2, 4 3 m a. UNIDAD 4 11 Si x = 15°, entonces ¿cuál(es) de las 2 1 0 5 3 3 b. 4 4 c. 3 1 2 a. 3 4 P 5 6 7 4 5 3 e. 5 d. 16 ¿Cuál de los siguientes valores puede α 1 2 (2) AB = 24 u A (1) sen α = C a. (1) por sí sola b. (2) por sí sola c. Ambas juntas, (1) y (2) d. Cada una por sí sola, (1) o (2) e. Se requiere información adicional 14 Una viga de contención se encuentra apoyada contra un muro. Si la distancia entre el pie de la viga y el muro es de 1,2 m y el ángulo que forma con el suelo mide 60º, ¿cuánto mide la viga? corresponder al coseno de un ángulo? d. 0,29 a. 1,35 b. 8 7 c. 1 1 9 e. –1,35 sen α + cot g α ⋅ sen α es tg α equivalente a: d. 2 cotg α a. 2 sen α e. 2 cosec α b. 2 cos α c. 2 tg α 17 La expresión 18 ¿Cuál es la altura de un edificio, aproximadamente, si el ángulo de elevación de su extremo aumenta de 45º a 60º cuando un observador avanza 40 m hacia él? 281 U4 MAT 3M (216-289).indd 281 2/11/11 15:40:12
  • a. 68,17 m b. 75,13 m c. 80,25 m d. 82,09 m e. 94,79 m un ángulo de 45°. En uno de ellos, y a 100 metros del cruce, hay un colegio. ¿Cuál es la distancia menor, aproximada, entre el colegio y el otro camino? a. 50 m d. 100 m b. 68 m e. 121 m c. 71 m a. b. 19 Dos caminos rectos se intersectan formando c. 22 Si a , b , c ∈, tales que ellos son no nulos, la igualdad a + b = c se cumple si n toma el(los) valor(es): I. 2 II. 3 III. 4 n a. Solo I b. Solo II c. Solo III n 7 113 113 50 cm 13 70 b. cm 13 120 c. cm 13 a. miden 8 y 7 cm. Entonces, la altura trazada con respecto a la hipotenusa mide, en cm: 23 En un triángulo rectángulo los catetos 56 113 113 d. 288 cm 13 e. 26 cm 25 En un triángulo rectángulo se traza la altura con respecto a la hipotenusa, determinando segmentos que miden 16 y 9 cm. ¿Cuánto mide el área del triángulo? a. 1 728 cm2 b. 864 cm2 c. 300 cm2 d. 150 cm2 e. 75 cm2 AE . 3 Si EB = 5cm, ¿cuál es el área del rectángulo ABCD? 26 En el rectángulo de la figura EC = D C E n d. Solo I y II e. Solo I y III e. 113 113 ABC, rectángulo en A, miden 10 y 24 cm, ¿cuánto mide la proyección del cateto mayor sobre la hipotenusa? 21 ¿Cuál(es) de los siguientes tríos de números es(son) trío(s) pitagórico(s)? I. 45, 28 y 53 II. 19, 180 y 181 III. 35, 40 y 85 a. Solo I d. Solo II y III e. I, II y III b. Solo III c. Solo I y II 15 113 113 d. 24 Si los catetos de un triángulo rectángulo 20 Jaime está en el gimnasio ejercitando en una máquina trotadora que ha ajustado de manera que la pendiente esté dada por un ángulo de 20º. La cinta de la trotadora mide 1,20 m. ¿A qué altura del suelo se encuentra, aproximadamente, el extremo superior de la cinta? (Considera que sen 20º es aproximadamente 0,34). a. 20 cm d. 45 cm e. No se puede b. 30 cm c. 41 cm calcular. 8 113 113 A a. 20 3 cm2 3 b. 50 3 cm2 3 c. 100 3 cm2 3 B d. 200 3 cm2 3 e. No se puede determinar 282 U4 MAT 3M (216-289).indd 282 2/11/11 15:40:17
  • ¿Cuál es el valor del área sombreada? D 13 cm 12 cm a. 232,8 cm2 b. 312,8 cm2 c. 480,0 cm2 A 80 cm C d. 712,8 cm2 e. 1425,6 cm2 B de radio 12 cm, en la que se ha trazado la altura del triángulo inscrito con respecto a la hipotenusa. Si AC = 10 cm ¿a cuántos cm, centímetros del centro (O) se encuentra el pie de la altura señalada (D)? 28 La figura muestra una semicircunferencia 25 a. 6 47 b. 6 57 c. 6 D O 65 d. 6 119 e. 6 U4 MAT 3M (216-289).indd 283 D 18 u d. 3 : 5 e. 3 : 8 2 + 3 +2 2 e. 3 2 + 4 3 + 9 6 c. 12 6 + 9 6 32 La expresión ( tg α + c otg α ) ⋅ sec α ⋅ cosec α −2 −1 c. sec2 α d. cosec2 α e. sen2 α ⋅ cos2 α triángulo rectángulo mide 60º. Si la hipotenusa mide 64 cm, ¿cuál es la medida de la superficie del triángulo? B 33 Uno de los ángulos interiores de un cm a. 24 3 cm22 b. 32 3 cm22 cm C a. 2 : 3 b. 3 : 2 c. 5 : 3 d. b. 7 5 + 9 6 b. ( sen α ⋅ cos α ) los datos en la figura, la razón entre los AC catetos, , es: CB A a. 2 + 3 + 1 a. ( sec α ⋅ cosec α ) 29 ABC es un triángulo rectángulo en C. Según 8u sen 45 + 3 cos 60 + 2tg 30 es: 31 El valor de la expresión es igual a: C A mide 30 cm y uno de sus catetos es la mitad del otro aumentado en 6 cm. ¿Cuál es la medida de la altura trazada desde el vértice donde se encuentra el ángulo recto? a. 10,8 cm d. 19,2 cm b. 14,4 cm e. 24 cm c. 18 cm 30 En un triángulo rectángulo, la hipotenusa UNIDAD 4 27 En la figura adjunta, ABCD es un trapecio. c. 64 3 cm22 cm e. 1 024 3 cm2 cm2 1.024 34 Una persona mira desde su ventana a otra que va pasando por la calle con un ángulo de depresión de 30º. Si la persona en la calle se encuentra a 3 m de la base del edificio, ¿a qué altura se encuentra la persona en la ventana? a. 1,5 m B d. 512 3 cm2 cm2 b. 3 m c. 6 m 3m m m e. 3 3 m d. 283 2/11/11 15:40:19
  • 35 Según los datos de la figura para el triángulo rectángulo en C, la medida del segmento DB es: 30º a. 3cm E 10 cm B d. 30 3 cm D e. 20 cm b. 10 3 cm c. 20 3 cm 36 En la figura se ha dibujado el triángulo rectángulo ABC. El valor de x es: C d. 5 5 b. C A 2 5 a. e. 1 21 5 c. 39 Dado el triángulo rectángulo de la figura, la diferencia entre el valor numérico de su área y su perímetro es: C 25 u 30° 575 3 + 75 2 675 3 + 75 e. 2 A a. 575 3 − 75 x A 30° D a. 10 2 cm 45° b. 10 3 cm 15 c. 2 cm 2 15 cm b. 15 d. 3 cm 2 e. 30 cm B 37 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones I. 0 < cotg α < 1 es(son) falsa(s) para un ángulo α? II. sen α = 1 − cos2 α III. cos α = 1 − sen α a. Solo I b. Solo II c. Solo I y II 38 Si para uno de los ángulos agudos ( α ) de un triángulo rectángulo se tiene que 2 , entonces, el valor de sen α = 5 cos 90 − α es igual a: ( 284 U4 MAT 3M (216-289).indd 284 ) c. 575 3 − 75 2 B d. 675 3 − 75 2 40 En la circunferencia de centro O y radio 6 cm de la figura, BC = 6 cm El valor del área cm. 2 sombreada en cm es: C A d. Solo I y III e. Solo II y III 23 5 a. 18 2π − 3 ( ) b. 18 ( 2π + 3 ) c. 18 ( π − 2 3 ) O B d. 18 π + 2 3 ( ) e. 18 (3π − 2 3 ) 2/11/11 15:40:21
  • Criterios para autoevaluar tu aprendizaje Marca con una 8 según la evaluación de tu trabajo en esta unidad. Recuerda que hacer esta evaluación responsablemente te entregará información sobre tu proceso de aprendizaje. +++ ++– +–– Pude completar el mapa conceptual de la síntesis sin necesidad de mirar mi libro. Hice la sopa de letras de la síntesis conceptual sin dificultad. Colaboré con mis compañeros en la realización de las actividades propuestas. Anoté lo que más me cuesta para luego repasar y volver a revisar estos contenidos. Soy capaz de explicar a otros los contenidos y los procedimientos para resolver los ejercicios de esta unidad. UNIDAD 4 Indicadores Entiendo el tipo de problemas cotidianos que se pueden resolver con estos contenidos. Me siento seguro de mis conocimientos sobre lo tratado en esta unidad y creo que podría resolver cualquier ejercicio que se me planteara. Calcula el porcentaje de logro que obtuviste en el ítem III. Porcentaje de logro 29% a 0% 49% a 30% 59% a 50% 69% a 60% 79% a 70% 89% a 80% Nota Nivel de mi obtenida aprendizaje 1,0 a 2,5 Alerta 2,6 a 3,5 Muy bajo 3,6 a 3,9 Bajo 4,0 a 4,7 Medio bajo 4,8 a 5,4 Medio 5,5 a 6,2 Medio alto 100% a 90% 6,3 a 7,0 Alto Porcentaje de logro Nº de respuestas correctas . PL = 100 100 20 40 Cómo mejorar Los contenidos no han sido comprendidos. Debes repasarlos nuevamente y rehacer los ejercicios. Fíjate muy bien en los ejercicios resueltos. Debes pedir ayuda. ¡Ánimo! con trabajo y estudio se puede. La mayoría de los contenidos no han sido comprendidos. Debes volver a repasarlos y rehacer los ejercicios incorrectos. Pídele ayuda a tus compañeros o compañeras. Vuelve a estudiar; seguro que lo lograrás. Una gran parte de los contenidos no han sido comprendidos es su totalidad. Rehaz aquellos ejercicios incorrectos, pero antes, vuelve a estudiar los contenidos. Trata nuevamente. Adquiriste una parte de los contenidos, pero aún faltan. Debes corregir aquellos ejercicios incorrectos y revisar los contenidos de los temas en que fallaste. Bien, has avanzado, aunque aún queda camino por andar. Has logrado entender una buena parte de los contenidos; sin embargo, aún faltan otros y afianzar los primeros. Corrige las respuestas erróneas; puedes pedir ayuda si lo deseas. Revisa los contenidos. ¡Puedes hacerlo mucho mejor! Has logrado adquirir gran parte de los contenidos. Revisa los ejercicios en los que fallaste y repasa aquellos contenidos. ¡Lo has hecho bien! Has logrado aprender todos o casi todos los contenidos tratados. ¡Muy bien!, has logrado los objetivos propuestos. Sigue así. 285 U4 MAT 3M (216-289).indd 285 2/11/11 15:40:21
  • Evaluación de síntesis 3 (Unidades 1 a 4) I. Completa cada afirmación, según corresponda, de modo que ella sea correcta: 1 (  3 a ⋅ b : ab es igual a  3 ) 3  : y = − x + 3x − 5 con el eje y es  : − x > 3 es  3 El conjunto solución de la inecuación  4 Si x < 1, entonces x pertenece al conjunto :   : 5 En el triángulo de la figura, la cosecante de α es igual a  x +1 1 − =0 x x −2 b. 6 x + 1 − x = 1 a. 2 ( x + 1) − 3 (2 x − 5) ≤ 6 3 Resuelve las siguientes inecuaciones: x + 6 4 x − 1 2x − 7 − > 3 5 6 x +8 <2 c. 2 x −1 d. − x 2 + 6 x − 5≥0 e. 3 x − 11 < 8 2 x + 55≥9 x − 7 f. x + 1 6 − 3 x ≥ 5 10 AC = 35 cm y CD = 28 cm. Determina: 4 En el triángulo rectángulo ABC de la figura,  b. La diagonal de un cuadrado de lado a + b b.  2 a.   7+ 3 2 Resuelve las siguientes ecuaciones: 2 7− 3⋅ 1 Calcula el valor de: a. 2 El punto de intersección de la parábola II. Resuelve los siguientes ejercicios:  : C α a c A a. AD B D b. DB c. CB b 286 U4 MAT 3M (216-289).indd 286 2/11/11 15:40:25
  • III. Resuelve los siguientes problemas: 1 Diego molestaba siempre a sus compañeros porque cada vez que ellos le preguntaban acerca de algo que tuviera respuesta numérica, él les planteaba un problema. Ayer Norma le preguntó cuántos días iría de vacaciones y él le respondió:“ Si a la raíz cuadrada del doble de los días que iré, disminuidos en 3, le agregas 9 días, obtendrás exactamente los días que iré”. Enojada, Norma se dio media vuelta y se fue. ¿Puedes tú averiguar cuántos días irá de vacaciones Diego? 2 Emilio ha estado averiguando algunos datos para decidir si abrirá la fábrica de productos para cóctel que le ha aconsejado un amigo. En estas averiguaciones ha determinado que el capital de una empresa del rubro se comporta, en función del tiempo, bajo C ( t ) = 3 t 2 − 6 t + 15, donde C está medido en millones y t en años. Según esto, ¿cuál llegará a ser el capital mínimo que tenga su empresa? 3 Sofía debe construir un rectángulo para su clase de Tecnología. Sin embargo, su profesor se lo ha hecho difícil. El rectángulo debe ser tal que la medida de su ancho sea 1 cm menor que la de su largo y, además, su largo y ancho deben estar en una razón igual al doble de su largo. ¿Cuáles son las medidas del rectángulo que debe construir Sofía? 4 Fernando está participando en un concurso y con el dinero que gane, arreglará su casa. En él debe contestar la siguiente pregunta: ¿Cuál es el número que cumple que su doble aumentado en 3 unidades se encuentra entre 12 y 18? U4 MAT 3M (216-289).indd 287 5 Mónica es reportera gráfica y hoy ha salido en helicóptero a cubrir el incendio de bosques nativos que se ha producido en las afueras de su ciudad. Mientras vuelan, ella divisa el incendio bajo un ángulo de 20º. Al hablar con el piloto este le dice que la diagonal entre el incendio y el punto donde se encuentran es de aproximadamente 1 200 m. ¿A qué altura vuela el helicóptero? 6 La pasión de Marco es elevar volantines y E VA L U A C I Ó N DE SÍNTESIS luz con un ángulo de elevación de 18º y la base del poste con un ángulo de depresión de 28º. Si la persona está a 3 m del poste, determina, aproximando a la décima. a. la altura de la persona. b. la altura del poste. 5 Una persona mira la punta de un poste de desde hace algunos años lo practica en forma profesional e incluso ha participado en competencias. Hoy ha elevado un volantín precioso y ha ocupado 5 000 m de hilo. Si él puede divisar su volantín con un ángulo de elevación de 12º, ¿a qué altura se encuentra el volantín? 7 Felipe está haciendo una excursión. A él le gusta mucho hacer trekking. Mientras camina mira la cima de un cerro con un ángulo de 38º. Al acercarse 100 m al cerro lo ve con un ángulo de 53º. Si él mide 1,7 m, ¿cuál es la altura del cerro? (Aproxima a la centésima). 8 Desde el suelo y a 20 m de la base de un poste se ha amarrado un cable tensor que une el suelo con la punta del poste. Si el cable forma un ángulo de 46º con el suelo, ¿cuál es el alto del poste y cuál la longitud del cable tensor? 50 − 18 es: IV. Marca la alternativa correcta: a. 8 b. 32 c. 38 1 El resultado de ( d. 98 e. 128 2 Al dividir 27 + 4 75 por 23 3 4 109 b. 32 23 c. 4 108 − 12 se d. 109 3 32 23 e. 8 obtiene como resultado: a. 2 ) 287 2/11/11 15:40:27
  • x +3 x = + 4 y a sus soluciones, se x −1 2 x −3 puede afirmar que: 3 Con respecto a la ecuación a. sus soluciones son números naturales. b. sus soluciones son números reales. c. tiene solo una solución. d. no tiene solución en los números reales. e. nada se puede asegurar con respecto a sus soluciones. y = 3 x 2 − x − 14 es: 4 El punto mínimo de la parábola 7  a.  ,2  3   7 b.  2,   3  1 169  c.  , −   6 12   169 1  ,  d.  −  12 6   1 169  e.  , − 6  6  5 La inecuación 2 ( x + 3) − 1 > 5 x + 8 NO es a. 2 x + 5 > 5 x + 8 equivalente a la inecuación: b. 3 x < − 3 c. −1 > x 5−8 3 5−8 e. x > 3 d. x < x x +2 ≥ 0 6 La solución del sistema de inecuaciones ( ) 5 5 x + 3 8 + 7 x es: x ≤ 2 2 3 a. ]−∞ , −2] ∪ [0, ∞[ b. ]−∞ , −2] ∪ [0, 7[ c. ]−∞ ,7] d. ]−∞ , 7] ∪ [ −2, ∞[ e. ]−∞ ,0] 7 En un triángulo ABC rectángulo en C se ha trazado la altura con respecto a la hipotenusa, de modo que las proyecciones de los catetos miden 9 y 12 cm. La suma de las medidas de sus catetos es: a. 21 cm b. 6 3 cm c. 21 3 + 7 6 cm d. 3 21 + 6 7 cm e. 9 28 cm 8 Tres números, x, y, z, forman un trío pitagórico, de modo que x < y < z . Si x = 36 y z = 85, entonces el valor de y es: a. 7 b. 17 c. 37 d. 57 e. 77 288 U4 MAT 3M (216-289).indd 288 2/11/11 15:40:32
  • La medida de x es: 100° C 16 cm a. 8 cm A b. 16 3 cm 3 c. 8 3 cm x D 8 , con a uno de sus ángulos 13 agudos, entonces, el valor de cotg 90 − α sen α = 10 En un triángulo rectángulo se tiene que, 13 8 ( es igual a: 50° d. 32 cm e. 32 3 cm a. B b. c. 105 13 13 105 d. e. 8 105 105 8 ) E VA L U A C I Ó N DE SÍNTESIS 9 El triángulo de la figura es obtusángulo. Mis apuntes 289 U4 MAT 3M (216-289).indd 289 2/11/11 15:40:34
  • UNIDAD 5 Probabilidades... un paso más PROBABILIDAD Variable aleatoria. Frecuencia de una variable aleatoria. Probabilidad experimental. Ley de los grandes números. Cálculo de probabilidades y aplicación a problemas cotidianos. 290 U5 MAT 3M (290-359).indd 290 2/11/11 15:50:26
  • OBJETIVOS FUNDAMENTALES Y TRANSVERSALES En esta unidad: Conocerás y utilizarás conceptos matemáticos asociados al estudio de variable aleatoria, mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de formulación, verificación o refutación de conjeturas. Analizarás información cuantitativa presente en los medios de comunicación y establecerás relaciones entre estadística y probabilidades. Aplicarás y ajustarás modelos matemáticos para la resolución de problemas y el análisis de situaciones concretas. Resolverás desafíos con grado de dificultad creciente, valorando tus propias capacidades. Percibirás la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos. 291 U5 MAT 3M (290-359).indd 291 2/11/11 15:50:27
  • CONTENIDOS Variable aleatoria: estudio y experimentación en casos concretos. Gráfico de frecuencia de una variable aleatoria a partir de un experimento estadístico. Relación entre la probabilidad y la frecuencia relativa. Ley de los grandes números. Uso de programas computacionales para la simulación de experimentos aleatorios. Resolución de problemas sencillos que involucren suma o producto de probabilidades. Probabilidad condicionada. APRENDIZAJES ESPERADOS En esta unidad se espera que: 1 Reconozcas variables aleatorias y las interpretes de acuerdo a los contextos en que se presentan. 2 Conozcas empíricamente la ley de los grandes números y relaciones la frecuencia relativa con la probabilidad de un suceso. 3 Resuelvas problemas que involucran el cálculo de probabilidad condicionada en situaciones sencillas. 4 Distingas entre sucesos equiprobables y no equiprobables. 292 U5 MAT 3M (290-359).indd 292 2/11/11 15:50:28
  • ¿Qué puede pasar? ¿Cómo lo hace que casi siempre acierta? ¿Cómo armamos el equipo para el concurso? UNIDAD 5 Una historia acerca del futuro probable Debe ser bruja... ¡Ah, no sé! Preguntémosle a Lulú ¡Muchas gracias! Claro, déjame pensarlo. ¿Me puedes ayudar? Quiero participar en el concurso. ¿Tengo posibilidades de clasificar? P= Esa noche... Al final del día... P-pero... ¿por qué no quedé en el equipo? Al día siguiente... cF cT P= cF cT ¡GRACIAS! Pero... Yo te dije que tenías solo el 60% de probabilidades de clasificar. 293 U5 MAT 3M (290-359).indd 293 2/11/11 15:50:32
  • Conocimientos previos En años anteriores ya estudiaste algo sobre probabilidad clásica. ¿Qué se entiende por probabilidad? Según el Diccionario de la Real Academia Española, probabilidad es: “Cualidad de probable, que puede suceder”. Por lo tanto, diremos que la probabilidad de que ocurra algo es la posibilidad de que esto suceda. Decimos, por ejemplo, que es más probable que mañana llueva si estamos en invierno que en verano, ya que hay más posibilidades de que esto ocurra. Pero ¿podemos asignar un número que represente la posibilidad de que llueva? Y si es así, ¿cómo entenderemos o interpretaremos dicho número? Matemáticamente decimos que dado un suceso A, la probabilidad de que este ocurra está dada por la razón entre el número de los casos favorables (posibilidades en que el caso A suceda) y el número de los casos totales (posibilidades del evento mismo). Por ejemplo. Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea 9? 32 8 = ⇒ P ( no salir 9) = 1 − P ( salir 9). 36 9 Además, la probabilidad de que no salga un nueve está dada por P ( no salir 9) = En este caso, el evento es “lanzar dos dados”. Aquí, el número de posibilidades de que esto pueda ocurrir corresponde a todas las combinaciones de resultados posibles (ver registro en la tabla) y el número de casos favorables (que la suma de los números obtenidos sea 9) se ha escrito de color azul, así tenemos que: Resultado de los dados 1 2 3 4 5 6 1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1) 2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) 3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3) 4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) 5 (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) 6 (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6) 4 1 = fiP ( salir 9) = 0, 1fiP ( salir 9)ª11 % . 36 9 (Recuerda que para escribir un decimal como porcentaje, debes multiplicarlo por 100). Por lo tanto, podemos decir que: P ( salir 9) = 294 U5 MAT 3M (290-359).indd 294 2/11/11 15:50:33
  • Hagamos juntos otro ejemplo. Pedro está jugando Lotería y aquí está el cartón que eligió: ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga cartón lleno con los 15 primeros números cantados? UNIDAD 5 Como el cartón tiene 15 números, estos deben salir todos (uno tras otro) en los 15 primeros números que se extraigan de la urna que contiene los 99 números de la Lotería. Esto se traduce en que el número de casos totales sea 99 y el número de casos favorables sea 15. En consecuencia, la probabilidad buscada es: 15 5 15 5 P ( ganar ) = P ganar = = = = 0,,15fiP ( ganar )ª15 % . = 0 15fiP ganar ª15 % 99 33 99 33 Esta forma de calcular probabilidades, de la forma casos favorables se llama regla de Laplace. P ( suceso ) = casos totales Trabaja Resuelvan en grupo los siguientes ejercicios de probabilidades. Revisen sus respuestas en el solucionario. de un 85%. Cuál es la probabilidad de que: a. tenga una nota de cuatro hacia abajo. b. apruebe la asignatura. 1 La probabilidad de que Jaime obtenga una nota superior a cuatro en el examen final de Química es 2 En el diagrama, los números corresponden a la cantidad de alumnos que participaron en el taller de Música (M) y/o el taller de Teatro (T) durante el segundo semestre de 2010. M 45 20 35 T Al elegir un alumno al azar, encuentra la probabilidad de que haya asistido a: a. ambos talleres. b. solo a uno de ellos. 3 En un sorteo de 200 números, ¿cuántos hay que comprar para tener un 8% de probabilidad para ganarlo? 4 En una urna hay 30 bolas numeradas del 1 al 30. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número primo? Evaluación 1. ¿Entendí los conceptos revisados en esta sección? 2. ¿Pude resolver correctamente los ejercicios propuestos? 295 U5 MAT 3M (290-359).indd 295 2/11/11 15:50:35
  • Variable aleatoria: ¿qué es? En esta sección aprenderás Qué es una variable aleatoria y qué relación existe entre ella y la frecuencia relativa. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 2, 3, 9, 1, 2 • Comprender y resolver: 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 3, 4a • Interpretar y generar ideas: 4b Trabaja más... Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 2, 1, 2, 3, 4 • Comprender y resolver: 3 • Interpretar y generar ideas: 5, 6 $+ 7 < ¡ ? >% 2 = Para saber más Te invitamos a conocer un poco más de la historia de las probabilidades en el sitio web: http://www.estadisticaparatodos. es/historia/histo_proba.html Esta era una de aquellas tardes en las que Valentina, inevitablemente, se aburría. Además, estaba muy decepcionada porque no había sido elegida para representar a su curso en la tele. Después de recorrer su pieza, recostarse y pararse de su cama un sinnúmero de veces, pensando por qué habían fallado los cálculos de Lulú, tomó su cuaderno de Matemática y comenzó a estudiar lo que habían repasado de probabilidades. –¿Qué haces, Vale? –preguntó Manuel, su hermano gemelo. –Trato de llegar al resultado de Lulú, 60% y por qué no me eligieron. –Bah, creo que fue porque había que elegir 6 niñas de 10 y eso es 6 , o sea, 0,6, lo que es 60 %. 10 –Pero que no te hayan elegido no es problema solo de los números –siguió diciendo Manuel–, es problema de las probabilidades, las variables aleatorias y esas cosas. –Cierto, esta materia es tan ¿relativa? –Mira, Vale, Diego viene ahora a estudiar conmigo. Si quieres, puedes unirte a nuestro grupo y tal vez entiendas que lo probable no es lo que necesariamente ocurrirá, aunque así lo queramos –rio Manuel. –Está bien, vamos –dijo Valentina, no de muy buena gana. Diego, Florencia, Fernanda y Francisca llegaron para estudiar y hacer la tarea de Matemática. Manuel les abrió la puerta y se instalaron en el comedor. –Veamos. Aquí dice que una variable aleatoria es una magnitud susceptible de variar azarosamente y cuyos valores dependen de los resultados de un experimento. –Sí, como lanzar una moneda, tirar dados, sacar una bolita de una caja, elegir una carta del naipe o escoger a alguien del curso para interrogarlo diciendo el número de lista. –Bien. Dice también que lancemos una moneda 30 veces y anotemos los resultados obtenidos. Florencia, empieza tú. Florencia lo hizo y obtuvo lo siguiente. Anotó c para las caras y s para los sellos. Nº de lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Resultado c s c c c c s s s c c c c c c Nº de lanzamiento 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Resultado c s s s c c c s c s c s s c c –¿Cuántas caras y cuántos sellos obtuviste? –Mmm, espera. 19 caras y 11 sellos. –Ahora hay que hacerlo 30 veces más y agregarlas al resultado anterior. –Fernanda, hazlo tú. 296 U5 MAT 3M (290-359).indd 296 2/11/11 15:50:35
  • Nº de lanzamiento 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Resultado c c c s c s c s s c s s s s c Nº de lanzamiento 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 Resultado s c c s s c s s c c s s c c s –14 caras y 16 sellos –dijo Fernanda. En total, 33 caras y 27 sellos. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de cada uno en los 60 lanzamientos? 33 27 y P (c ) = = 0, 55 ⇒ P ( c ) = 55 % y P ( s ) = = 0, 45 ⇒ P ( s ) = 45 % 60 60 –Bien, ahora hay que ir a la página: http://www.emathematics.net/es/simulacionmoneda.php en internet. –Aquí dice que es un simulador de lanzamientos de monedas. Para que no lo tengas que hacer mil veces tú, simula 500, 1000, 2000, 5000 y 10000 lanzamientos y anota las probabilidades experimentales obtenidas. Francisca, hazlo tú. Francisca lo hizo y obtuvo lo siguiente: Número de lanzamientos P (c ) P (s) 500 0,49 0,51 1000 0,484 0,516 2000 5000 10000 0,4985 0,5128 0,4989 Links de interés UNIDAD 5 Fernanda lo hizo y obtuvo: Aquí encontrarás simuladores de ruletas y lanzamiento de dos dados. Experimenta con ellos. http://www.eduteka.org/ MI/master/interactiv ate/ activities/Prob/Index.html 0,5015 0,4872 0,5011 –Dice así: “Si miramos los resultados obtenidos como razones entre el número de veces en que se obtuvo un resultado y el número total de lanzamientos, ¿podríamos considerarlo como la frecuencia relativa del resultado en cuestión?” –Para, para –dijo Manuel–. ¿Frecuencia relativa? ¿Estadística? –Sí, claro. Recuerda que la frecuencia relativa se definía así: número de veces que se repite el valor de la variable dada en los datos, dividida por el total de datos. –En el caso de los 500 lanzamientos, entiendo que si lo que hemos 49 obtenido es la frecuencia relativa, entonces 0,49 es igual a , pero 100 esto debe estar simplificado, porque el denominador debiera ser 500. –Entonces, si amplificamos la razón por 5, tendremos que la 245 . Esto quiere decir que de los frecuencia relativa de las caras es 500 500 lanzamientos, 245 fueron caras. –Ya entiendo, pero ¿no debiera resultar que cara y sello tienen la misma frecuencia relativa y la misma probabilidad de salir? –Yo entendí que al lanzar una moneda había una cara entre dos 1 posibles resultados y entonces la probabilidad de una cara era , o 2 sea, el 50%. ¿Estará mala esta moneda? U5 MAT 3M (290-359).indd 297 297 2/11/11 15:50:36
  • –No, no creo que esté mala. Además, recuerda que el profe también dijo que las conclusiones las íbamos a hacer en la clase mañana. Terminemos esto primero y luego pensemos lo que concluiríamos acerca de todo ¿ya? –Dice: ahora simule el lanzamiento de un dado el mismo número de lanzamientos anteriores, con el siguiente programa de la página: http://www.ematematicas.net/simulaciondado.php y anote sus resultados. ¿Lo haces tú, Manuel? Manuel lo hizo y obtuvo: Número de lanzamientos P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 500 1000 2000 5000 10000 0,168 0,170 0,164 0,182 0,157 0,154 0,182 0,161 0,183 0,162 0,164 0,151 0,160 0,159 0,170 0,165 0,160 0,182 0,168 0,173 0,147 0,172 0,178 0,171 0,167 0,170 0,167 0,163 0,165 0,166 –Ya, esto está mejor. Si pensamos que cada número del dado tiene una 1 posibilidad entre 6, tendríamos , que es igual a 0,16, o sea, 0,166666, 6 que es bastante cercano a lo que tenemos en las tablas, ¿no? –Es cierto. ¿Les parece que esa sea nuestra conclusión para mañana? –Sí, nos parece –dijeron todos. –Pero ¿qué pasaría si el dado estuviera cargado? –dijo Florencia. –Mmm, ¿pensando en hacer trampa? –dijo Diego. –Hagamos una prueba con un dado y le ponemos un poco de plasticina al número dos. ¿Veamos qué pasa si lanzamos 30 veces? –Ya, juguemos un rato –dijo Manuel. –Lo hicieron y esto fue lo que obtuvieron: 1 5 0,166 Número del dado Recordar y archivar Recuerda que la suma de las frecuencias relativas es siempre igual a 1. Frecuencia Frecuencia relativa 3 4 0,133 2 4 5 6 3 3 0 15 0,1 0,1 0 0,5 –Mira, ya no se distribuye equitativamente; los sucesos ya no son igualmente probables, ¿ves? 298 U5 MAT 3M (290-359).indd 298 2/11/11 15:50:36
  • • Llamamos variable aleatoria a toda magnitud que puede cambiar azarosamente. • Llamamos sucesos equiprobables a los que tienen igual posibilidad de ocurrir. Por lo tanto, serán no equiprobables los que, por alguna razón, no tienen la misma posibilidad de ocurrir. • Cuando realizamos experimentos, como lanzar un dado o una moneda, la probabilidad que obtenemos se llama probabilidad experimental. • La frecuencia relativa de un suceso determina la probabilidad experimental de este. UNIDAD 5 –Sí, yo creo que a eso se refería el profe cuando hablaba de sucesos no equiprobables; al cargar uno de los números, varía la probabilidad de todos los demás. En cambio, en el caso de un dado no cargado, todos los números tienen la misma probabilidad de salir. –Muy bien. Ahora resumamos aquí lo que obtuvimos: Trabaja 1 Los resultados de un juego de cartas, entre 5 jugadores, se presentan en la tabla siguiente: Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios; no olvides chequear tus respuestas en el solucionario. Jugador A B C D E Número de juegos ganados/ Total jugados 0,10 0,25 0,20 0,15 x a. Encuentra el valor de x. b. ¿Cuál es el posible ganador? ¿Por qué? c. ¿Por qué nadie obtuvo 1,00 en la segunda columna? 2 Cada color de la siguiente imagen representa un auto de una misma marca y modelo que un comprador desea adquirir en una recomendada automotora. a. Escribe la frecuencia relativa de cada color. b. Finalmente, se quedó con uno celeste. Basado en lo respondido anteriormente, ¿era este color el que tenía mayor chance de salir elegido? ¿Por qué? 299 U5 MAT 3M (290-359).indd 299 2/11/11 15:50:37
  • 3 P está realizando lanzamientos al aire de una moneda. M apuesta a cara y N lo hace por sello. Los resultados son: Número acumulado de lanzamientos Número acumulado de aciertos de M Número acumulado de aciertos de N 35 16 19 120 59 61 10 20 55 75 90 150 180 200 7 11 22 37 44 76 91 102 3 0,7000 9 0,5500 46 0,4889 33 38 74 89 98 0,4571 0,4000 0,4933 0,4917 0,5067 0,5056 0,5100 a. Coloca el nombre a la columna sin encabezamiento, de manera que describa los valores que representa y verifica cada uno de ellos. b. Indica los números acumulados de lanzamientos que favorecen a N y aquellos que no. c. Si siguen lanzando y viendo sus resultados uno por uno, a partir del lanzamiento 201, ¿cuántos lanzamientos más, como mínimo, deben hacerse para que M siga siendo ganador en sus aciertos? d. Interpretando adecuadamente los valores de la última columna, ¿es posible que la moneda esté cargada? 3 4 La posibilidad de que un arquero haga blanco con sus flechas es , valor proveniente de la frecuencia 5 relativa de aciertos en un total de 20 disparos. 3 a. ¿Qué significa en esta situación la expresión 1 − ? 5 b. ¿Por qué aparece el valor 1 en dicha expresión? 7 , la del 5 fue 4 y 7 para el 4. 9 36 18 Si este lanzamiento de 180 veces se repitiera y los resultados fueran similares, ¿cuál de los tres 5 Al lanzar 180 veces un dado, la frecuencia relativa del 3 fue de 6 Diariamente y en promedio, en el primer local de venta de huevos de la Vega Central, de cada 100 números mencionados tendría más posibilidad de volver a aparecer más veces? ¿Por qué? que se venden, 70 son blancos. En cambio, en el segundo local, de cada 75 huevos vendidos solo 45 son blancos. ¿En cuál de los locales es más probable no hallar un huevo blanco al final de la venta del día? ¿Por qué? 7 En general, el equipo A pierde 5 de cada 8 partidos frente al equipo D. Sin embargo, el equipo B gana 6 de cada 16 jugados ante el equipo C. ¿Por qué se dice que el equipo A tiene la misma posibilidad de ganar que el equipo B frente a los adversarios mencionados en cada caso? 8 En un control de calidad se han detectado n artefactos eléctricos con fallas y 21 sin ellas. a. Escribe las frecuencias relativas correspondientes. b. ¿Cuál debe ser el número de artículos para que la frecuencia relativa de los artículos sin fallas y de los defectuosos sean numéricamente iguales? c. ¿Cuáles deben ser las frecuencias relativas de los artículos sin fallas para tener mayor posibilidad que uno fallado? 300 U5 MAT 3M (290-359).indd 300 2/11/11 15:50:37
  • 9 Se lanzan al aire dos dados y se multiplican los números que resultan al caer. Se anotan en un cuaderno los valores obtenidos. a. ¿Cuál es la variable aleatoria? b. Si se quiere saber la posibilidad de que aparezca un producto mayor a 29, ¿qué se debe hacer para responder esto? LA TE TE UNIDAD 5 10 El siguiente dibujo contiene esferas de colores: TE TE LA LA TE TE TE TE LA LA TE LA TE a. Halla la frecuencia relativa de cada tipo de esfera. b. Aleatoriamente se escoge una de ellas. ¿Cuál es la sílaba que tiene más posibilidad de salir? c. ¿Cuáles son las esferas que tienen la misma posibilidad de ser escogidas? d. Completa las esferas blancas con color y sílaba asociada, de tal modo que queden solo azules y amarillas, teniendo la misma posibilidad de ser escogidas en una elección al azar. ¿Cuántas blancas pintadas de amarillo se requieren? ¿Cuántas blancas pintadas de azul se necesitan? e. De acuerdo a lo contestado en (d.), responde: Las esferas han sido colocadas en una bolsa. Se ha escogido una de las esferas y ha aparecido la sílaba LA. Sin devolverla, se ha extraído una segunda para formar una palabra con la anterior. Considerando las palabras “LATE y LALA”, ¿cuál de ellas es más posible formar? ¿Por qué? 11 En un juego de video se gana, se pierde o se empata. La posibilidad de ganar es 0,36 y la de perder es 15 veces la posibilidad de empatar. ¿Cuáles son las posibilidades de ganar y empatar, respectivamente? durante 20 días en el mes de mayo y se completó la siguiente tabla. Además, se estimó que el promedio de ellas fue de 3,5º. Si los días que restan se siguen comportando de la misma forma, responde: 12 En una ciudad interior de la Sexta Región se hicieron las siguientes mediciones de temperatura mínima Temperatura (ºC) 2 3 4 5 X Número de días 6 4 6 3 1 a. ¿Cuál es la temperatura mínima más baja que debiera esperarse? ¿Qué tan posible es que ocurra? b. ¿Cuál(es) sería(n) la(s) temperatura(s) más frecuente(s)? ¿Qué posibilidad de ocurrencia tiene(n)? c. ¿Cuál es la temperatura mínima que no tendría posibilidad de ocurrencia en el intervalo [2, 7]? U5 MAT 3M (290-359).indd 301 301 2/11/11 15:50:37
  • Trabaja Resuelvan en grupo los siguientes problemas de planteo. Revisen los resultados para chequear que estén correctos. 1 Nelly, la enfermera del colegio, da a conocer el informe que le han solicitado. “Informe de la campaña de donación de sangre” (Colegio Arlequín) “La mayoría de los donantes son del grupo sanguíneo A; en segundo lugar están los del grupo O, con una unidad menos que los del grupo A; hay 7 donantes del grupo B, 5 del AB, y en total, hay 75 donantes”. Expresen la posibilidad, como frecuencia relativa, de que la sangre de un donante elegido al azar sea del grupo O si se mantiene lo escrito por Nelly. 2 –Si no es indiscreción, ¿qué va a hacer después que yo termine su retrato Srta. Amelie? –Una dama como yo puede ir a tomar un té con panecillos o ir al salón de belleza de Beatriz Lumière o a aquel de la Séptima Avenida. Aunque creo que podría ir a jugar a las cartas; todo puede ser. –¿Puedo ir por usted a las seis y treinta esta tarde? –Sí, Omar, puede ir. Pero deberá adivinar dónde estoy, y si no llega a la hora, no lo esperaré más allá de tres minutos. Esa tarde, Omar, muy intuitivo, va firme y confiado en la búsqueda de Amelie. ¿Cuál es la posibilidad de que Omar la encuentre de inmediato? 3 Por fin conseguimos que pusieran un lomo de toro frente a la entrada del colegio. Los autos corrían como locos y no respetaban tampoco el signo PARE, menos el paso de cebra. Usted sabe que la velocidad máxima permitida es de 20 km/h. Acá le puedo mostrar la grave situación en que estábamos. Saque sus propias conclusiones. 302 U5 MAT 3M (290-359).indd 302 2/11/11 15:50:39
  • 90 – 100 Velocidad (km/h) 1 70 – 80 2 60 – 70 50 – 60 40 – 50 4 30 – 40 20 – 30 10 – 20 0 – 10 0 5 32 18 20 40 56 60 UNIDAD 5 1 80 – 90 81 80 100 Nº de vehículos ¿Cuál es la frecuencia relativa de los autos que cumplen con la norma? 4 En la fiesta anual del colegio, al curso de Luciana le ha tocado el stand de juegos. Tienen, entre otros, una ruleta como la de la figura. Como ella está un poco aburrida, decide contar los resultados que los participantes han obtenido y los ha puesto en el panel adjunto. Resultados por color 8 3 9 10 a. ¿Cuál es la frecuencia relativa del color rojo? b. Si miramos la tómbola, pareciera que el amarillo y el rojo son más posibles de salir. Entonces, ¿puedes explicar por qué la frecuencia mayor corresponde al color verde? Revisemos lo aprendido Contesta las siguientes preguntas y revisa lo que has aprendido. 1. ¿Puedo explicar qué es una variable aleatoria? ¿Puedo dar un ejemplo? 2. ¿Puedo explicar qué es la probabilidad experimental de un suceso? 3. ¿Puedo distinguir dos sucesos equiprobables de aquellos que no lo son? 4. ¿Puedo explicar cuál es la relación entre frecuencia relativa y probabilidad? 5. ¿Entendí los ejercicios resueltos? 6. ¿Pude resolver correctamente los ejercicios planteados? 7. ¿Fui un aporte para mi grupo cuando nos tocó trabajar juntos? 303 U5 MAT 3M (290-359).indd 303 2/11/11 15:50:39
  • Trabaja más... Trabaja en forma individual 1 Se está completando un equipo de básquetbol y se han preseleccionado 10 postulantes, quienes a continuación deben ser sometidos a una entrevista. Parte de la información está contenida en el siguiente cuadro. Número de postulante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Altura en m 1,91 1,95 1,95 1,97 1,90 1,95 1,97 1,91 1,95 1,95 Edad 22 20 19 20 21 19 20 19 21 19 Si se escoge una de estas personas al azar para ser entrevistada, ¿cuál es la posibilidad de que: a. tenga 19 años? b. mida 1,95 m? c. tenga una altura superior a 1,95 m? d. su edad supere los 20 años? e. sea el más bajo de todos? 2 Los siguientes son los diámetros, en cm, de 80 60 100 70 50 60 90 100 70 70 90 70 70 100 60 50 60 80 100 100 70 90 90 90 70 varias circunferencias que se desea construir. Para iniciar este trabajo de construcción, se elige azarosamente uno de ellos. Determina: a. ¿Cuál es la posibilidad para 60 cm? b. ¿Cuál es el que tiene mayor posibilidad de ser elegido? ¿Por qué? c. ¿Cuáles son los que tienen menor posibilidad de ser elegidos? Justifica tu respuesta. d. Indica aquellos que tienen la misma posibilidad de ser elegidos. e. ¿Cuál es el que tiene más de un quinto de posibilidad para ser elegido? ¿Por qué? f. ¿En cuánto aumenta la posibilidad para 60 cm, si no se considera la medida 100 cm? 3 Se han contado las pelotas de colores que una empresa tiene en stock. Hay cinco rojas, seis amarillas y cuatro verdes. Hoy un cliente ha devuelto una pelota de cada color que se ha ingresado al stock existente. Confecciona una tabla de frecuencia para el color de pelotas y luego determina: a. ¿Cuál es el color de la pelota que mantiene su posibilidad de ser elegida al azar? ¿Cuál es esta posibilidad? b. ¿Cuál es el color de la pelota que es desfavorecido en su posibilidad de ser seleccionada al azar? Justifica matemáticamente tu respuesta. Trabaja en grupo 1 “¡Póker! dijo y mostró sus cuatro reyes. Ya se habían repartido 5 cartas a cada uno de los 5 jugadores. ¿Cuál fue la frecuencia relativa de los reyes?” 2 “Ayer fui a la casa de mi vecino y jugamos tirando tres dados; sumábamos los números obtenidos en sus caras y ganaba quien obtenía sumas más altas. Tú puedes jugar también con tu grupo. Lancen los tres dados 20 veces cada vez, construyan las tablas de frecuencia correspondientes, calculen las frecuencias relativas y establezcan quién es el ganador según dichas frecuencias”. 3 “Micaela, nunca imaginé que tu hermano fuera a estar tan cerca de ganar la copa del campeonato de ajedrez. Comenzó a ganar los doce juegos que debía jugar, sin perder ninguno, y de pronto comenzó a perder y así siguió hasta terminar. Las estadísticas finales dijeron que tuvo un 75% de posibilidades de ganar”. ¿En qué juego comenzó a perder? Responde tú la pregunta. 304 U5 MAT 3M (290-359).indd 304 2/11/11 15:50:39
  • 4 “–Blanquita, no te preocupes por mí; estoy 6 Don Gregorio, dueño de un local de venta de vestuario ubicado en el centro comercial, terminó sacando buenas cuentas en la venta de pantalones masculinos durante la quincena previa al Día del Padre. El siguiente cuadro muestra la situación descrita: Talla 5 Maritza está estudiando para uno de los exámenes de su carrera de medicina. Le han dado los siguientes datos sobre las causas de defunciones en Chile el año 2005, en un universo de 1 000 personas. Causas de muerte Sistema circulatorio Sistema respiratorio Sistema digestivo Enfermedades mal definidas Tumores Causas externas Endocrinas, nutricionales y metabólicas Otras causas Frecuencia 282 93 71 28 248 87 49 142 38 40 42 44 46 48 50 52 54 Precio unidad Nº unidades Subtotal vendidas $5000 6 $30000 $5500 5 $27500 $5500 8 $44000 $6000 9 $54000 $6000 13 $78000 $6000 14 $84000 $5500 12 $66000 $5500 9 $49500 $5000 4 $20000 UNIDAD 5 solicitando mi almuerzo de lunes a sábado, al local Los Andes. Me lo vienen a entregar los empleados de allí: Orlando, Pedro y Francisco. El primero que te he nombrado ha venido 5 días; el siguiente, 3 días y Francisco, 4. En estos 12 días no han tenido un día fijo para venir. Blanquita, si mañana lunes aparece Pedro le voy dar tu recado. ¿Que si estoy segura que él vendrá mañana? ¡No sé Blanquita, no tengo una bolita de cristal para saberlo!” Supongamos que la entrega del almuerzo a esta persona se hiciera de manera aleatoria y se mantuviera la frecuencia con que cada empleado acudió a la entrega durante los 12 días. ¿Cuál es la posibilidad de que Pedro aparezca dicho día? Don Gregorio miró una y otra vez el total vendido y empezó a proyectar estos resultados para el mes de diciembre, esperando que, en el peor de los casos, fueran similares. De acuerdo al contexto de este problema, responde, expresando tus respuestas porcentualmente y con dos decimales, ¿qué tan posible es que el número de unidades vendidas sea: a. de la talla 46? b. de las tallas 44 y 48? De acuerdo a esta información, ella debe estimar algunas posibilidades de muerte para una persona cualquiera. Responde tú ¿cuál es la probabilidad de que la persona haya muerto por: a. problemas en el sistema digestivo? b. tener tumores? c. cualquier otra enfermedad, pero sin comprometer el sistema respiratorio? Además, responde: d. ¿Cuál es la causa más probable por la que ella haya muerto? e. ¿Y la menos posible? 305 U5 MAT 3M (290-359).indd 305 2/11/11 15:50:39
  • Probabilidad experimental y teórica... ¿se relacionan? En esta sección aprenderás Cómo se relaciona la probabilidad teórica con la experimental y qué es la ley de los grandes números. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Comprender y resolver: 4, 1 • Relacionar y aplicar: 2 • Interpretar y generar ideas: 1, 3, 2 Trabaja más... Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 2, 3a, 3b, 3c, 4, 5, 1 • Comprender y resolver: 2 • Relacionar y aplicar: 1, 3d Links de interés En este link encontrarás más información sobre la ley de los grandes números y además un simulador interesante. Te invitamos a revisarla. http://www.terra.es/pe rsonal2/jpb00000/ttcent rallimite.htm Manuel y sus amigos jugaban al cachipún al salir del colegio; lo hacían casi como una cábala. –Papel –dijo Fernanda–, 33% de probabilidad. –Tijera –respondió Florencia–. Te gané y no importan tus probabilidades. –Esto es lo que pasa con la probabilidad teórica versus la experimental –dijo, riéndose, Manuel. –Bien –dijo Diego–. Sí que has estado atento en clases. ¿Vamos a ir a los juegos cerca de tu casa hoy en la noche? –Sí –contestaron casi al unísono. –¿A las 5 en mi casa? Hacemos la tarea y vamos. –Perfecto, nos vemos; hasta las 5, entonces. Se juntaron en casa de Manuel. Francisca necesitaba algunas explicaciones porque estuvo en reunión del centro de alumnos a la hora de la clase de Matemática. –¿Qué es eso de probabilidad experimental y teórica? No entendí la broma que le hiciste a Fernanda cuando salimos del colegio. –¿Te acuerdas que llevamos la tarea de los dados y monedas y que llevamos una conclusión al respecto? –Sí, claro. Lo que encontramos fue que las probabilidades de las simulaciones eran parecidas a las que nos enseñaron a calcular el año pasado. –Bien, entonces a la probabilidad encontrada en las simulaciones la llamaremos probabilidad experimental, ya que se obtiene de los resultados de un experimento, y a la que calculamos como casos favorables divididos por casos totales la llamaremos probabilidad teórica, ya que así deberían comportarse teóricamente los sucesos. –Ya, pero son distintas, ¿no? –Aquí viene lo interesante. Existe una ley llamada ley de los grandes números, que dice que la probabilidad experimental tiende al valor de la probabilidad teórica, a medida que aumenta el número de repeticiones del experimento. –Ah, por eso es bueno el uso de simuladores; con ellos puedes comprobar esto, ¿no? Entonces, una no se contrapone con la otra. Está bien que nos diera valores aproximados. Pero ¿con cuántos lanzamientos llegaremos al valor teórico? –Con muchísimos. En clases probamos con 9 999999, que eran los lanzamientos máximos que podíamos hacer con el simulador, y aún no llegábamos. 306 U5 MAT 3M (290-359).indd 306 2/11/11 15:50:40
  • UNIDAD 5 –Ah, pero entonces no se llegará nunca. ¿Ves?, la teoría no refleja la realidad. –Pero Francisca, recuerda que siempre puedes hacer más lanzamientos que esos. Lo importante es que mientras más hagas, más cercanos serán tus resultados a lo calculado. –Bien, aunque no experimentaré más, al menos con esto. ¿Y qué pasó con los dados? –Lo hicimos con 9 999 999 y nos dio casi lo teórico: 0,166 o 0,167, en todos. –Ah, eso está mejor, suena razonable. Te voy a creer. –¿Y eso fue todo? –No, también hicimos los siguientes ejercicios. Mira: 1. En una encuesta sobre los hábitos televisivos (número de horas diarias que se ve televisión) de ciertas familias se obtuvo la siguiente información: Nº de horas Tipo de personas Niños Adolescentes Adultos Tercera edad 1 2 3 4 Total 5 2 3 10 20 13 15 7 5 3 4 1 2 6 1 0 3 20 20 20 Determina: a. La probabilidad de que, al elegir una persona de la muestra, este sea un niño que vea más de 2 horas de televisión diarias. 2 1 P ( A) = = = 0, 025 ⇒ P ( A ) = 2, 5 % 80 40 b. La probabilidad de que una persona vea más de dos horas de televisión si pertenece a la tercera edad. 9 P ( A) = = 0, 45 ⇒ P ( A ) = 45 % 20 c. La probabilidad de que las personas de una familia vean 1 o 4 horas de televisión al día. 54 27 P ( A) = = = 0, 675 ⇒ 67, 5 % 80 40 Recordar y archivar 1. Podemos llamar A al suceso pedido. 2. Calculamos una probabilidad como los casos favorables (aquellos que cumplen la condición pedida) divididos por casos totales (total de personas). 3. Para transformar el decimal obtenido a porcentaje, debemos multiplicarlo por 100. 307 U5 MAT 3M (290-359).indd 307 2/11/11 15:50:41
  • 2. La siguiente tabla muestra la distribución de la población mundial por continente. Continente América Europa Asia África Oceanía $+ 7 < ¡ ? >% 2 = Para saber más El uso de la estadística y de la probabilidad, como apoyo en la investigación de una gran variedad de disciplinas, ha tenido un gran auge en el mundo en las últimas décadas. La estadística es necesaria en casi todas las ciencias experimentales. Por ejemplo: En las ciencias naturales: se emplea con profusión en la descripción de modelos termodinámicos complejos (mecánica estadística), en física cuántica, en mecánica de fluidos o en la teoría cinética de los gases, entre otros muchos campos. En las ciencias sociales y económicas: es un pilar básico del desarrollo de la demografía y la sociología aplicada. En economía: suministra los valores que ayudan a descubrir interrelaciones entre múltiples parámetros macro y microeconómicos. En las ciencias médicas: permite establecer pautas sobre la evolución de las enfermedades y los enfermos, los índices de mortalidad asociados a procesos morbosos, el grado de eficacia de un medicamento, etcétera. Fuente: http://www.hiru.com/matematicas/ aplicaciones-de-la-estadistica Población 723942000 habitantes 498837100 habitantes 3112695000 habitantes 642111000 habitantes 26481000 habitantes Determina: a. La probabilidad de que al escoger una persona del mundo, esta sea de Asia. 3112695000 P ( asiático ) = asi· tico asi· tico ª0, 622fiP ( asiático )ª62 % 5004 066 100 Recuerda que estamos utilizando aquí la frecuencia relativa; por lo tanto, 5044066100 representa el total de habitantes del mundo. b. Estima qué es más probable al escoger a una persona al azar: que sea americana o que sea africana. Estima cuánto más probable es un evento que el otro. Será más probable que sea americana, pues hay mayor población en América que en África. Por otro lado, tenemos que la diferencia de las poblaciones es de 81831000 habitantes; entonces, podemos escribir que: 81 831 000 P ( pedida ) = ª0, 016fiP ( pedida )ª1, 6 % 5004 066 100 Por lo tanto, es un 1,6% más probable escoger a un americano que a un africano. También podemos pensar de la siguiente manera. Calcularemos ambas probabilidades y, entonces, para saber cuánto más probable es un suceso que otro, determinaremos la diferencia de las probabilidades. Nuestro resultado, por este camino, debiera coincidir con el que acabamos de obtener. Hagámoslo. P ( americana ) = P ( africana ) = 723 942000 ª0, 145ª14, 5 % 5004 066 100 642111 000 ª0, 128ª12, 8 % 5004 066 100 Por lo tanto, la diferencia pedida será 14,5% – 12,8% = 1,7 % (nota que la diferencia que se produce en las décimas se debe a las aproximaciones realizadas en ambos casos). Después de explicarle a Francisca, los cinco amigos fueron a los juegos cerca de la casa de Manuel. Allí se subieron a todo: montañas rusas, tacitas, pulpo y tagadá. De pronto Florencia vio una ruleta. 308 U5 MAT 3M (290-359).indd 308 2/11/11 15:50:42
  • –¡Fernanda! –gritó–, vamos, quiero jugar a la ruleta. –Bueno, bueno, pero ¿con qué número ganas algo? –Son 32 números y uno gana si te sale el 2, el 8 o el 12. –Francisca –dijo Florencia–, ¿me puedes decir qué probabilidad teórica tengo de ganar? –Mmm. Veamos. 3 números de 32, es decir: 3 ª0, 094fiP ( ganar )ª9, 4 % 32 UNIDAD 5 P ( ganar ) = La verdad es que no es muy alta. –¿Vas a apostar a la probabilidad experimental? –No, creo que no, solo jugaré una vez y veremos si tengo suerte. Desafortunadamente, Florencia perdió. • El valor de la probabilidad experimental (que se obtiene de realizar un determinado experimento una cierta cantidad de veces) tiende al valor de la probabilidad teórica de dicho evento mientras más veces se repita. Esta ley es conocida como ley de los grandes números. • Cuando analicemos tablas de frecuencia, ocuparemos la frecuencia relativa para calcular probabilidades de sucesos relacionados con ellas. Trabaja 1 La tabla resume los resultados de 100 lanzamientos de un dado amarillo: Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios. Corrige tus respuestas en el solucionario. Número 1 2 3 4 5 6 Frecuencia 9 20 20 21 19 11 Responde según esta información: a. ¿A qué corresponden los valores 0,09; 0,20, 0,20; 0,21; 0,19 y 0,11? ¿Qué te pueden indicar estos valores respecto a la probabilidad de aparición de cada número? b. Seguramente habrás descubierto que 4 es el número que tiene mayor probabilidad de aparición en una tirada cualquiera. Esto significa que en la tirada 101 aparece 4. ¿Estás de acuerdo con esta reflexión? ¿Por qué? c. ¿Cuáles son los 2 números que se alejan más de la probabilidad teórica  1 ? 6   d. ¿Qué debiera ocurrir, respecto a las probabilidades respectivas, si el número de lanzamientos aumenta en 900 tiradas? 309 U5 MAT 3M (290-359).indd 309 2/11/11 15:50:43
  • encontrarás un simulador de lanzamiento de 5 dados. Efectúa 10 lanzamientos y: a. Completa la siguiente tabla: 2 En la página web: http://www.estadisticaparatodos.es/taller/aleatorios/alea_juegos_js.html Dado 1 Dado 2 Dado 3 Dado 4 Dado 5 1 2 FRECUENCIAS 3 4 5 6 b. Para cada dado, escribe la probabilidad del número con mayor frecuencia y compáralos. ¿Cuál es el 1 número que sugiere ser más probable, si es que lo hay? ¿Es su probabilidad aproximada a ? 6 c. Considera que todos los valores de la frecuencia escritos en la tabla se hubieran logrado por el lanzamiento de un dado. Escribe la probabilidad experimental obtenida de cada número y compárala con la probabilidad teórica. 3 Una moneda, de la cual se sabe que está cargada, presenta una probabilidad de cara de 0,25. Si se lanzara 1000, 10000 veces y se aumentara el número de veces, ¿debiera incrementar la probabilidad de que aparezca cara y tender a 0,5? ¿Por qué? 4 La tabla siguiente nos entrega información sobre la población de algunos países de América del Sur. Con ella, responde las preguntas formuladas. Argentina Chile Ecuador Paraguay Venezuela Fecha 18 noviembre 2001 24 abril 2002 25 noviembre 2001 28 agosto 2002 30 octubre 2001 Población Censo disponible más reciente Total Hombres 36260130 17659072 15116435 7447695 12156608 6018353 5163198 2603242 23054210 11402869 Mujeres 18601058 7668740 6138255 2559956 11651341 * Nota: para mayor información, acude a la versión actualizada del 19 de enero del 2010 proporcionada por la ONU en: http://unstats.un.org/unsd/demographic/products/vitstats/serATab2.pdf Estimación actual 39745613 16763470 13805092 6230143 27932992 a. ¿En cuál de estos países es mayor la probabilidad de que sea mujer una persona elegida al azar? b. ¿En cuál de estos países es mayor la probabilidad de que sea hombre una persona elegida al azar? c. ¿En cuál de estos países es más factible que la probabilidad de elegir un hombre y una mujer sean las más cercanas numéricamente? d. Usando la estimación actual de población y eligiendo una persona al azar, ¿de qué nacionalidad es la que resulta más probable? 310 U5 MAT 3M (290-359).indd 310 2/11/11 15:50:43
  • Trabaja 1 Pamela es de Iquique y lleva 8 meses estudiando Auditoría en una universidad de Concepción. Resuelvan en grupo los siguientes problemas. No olviden revisar sus respuestas. GASTOS $ Número de ocasiones en que gastó ese monto. 0 ≤ g < 2000 2000 ≤ g < 4000 4000 ≤ g < 6000 6000 ≤ g < 8000 12 32 27 22 UNIDAD 5 Con mucho esfuerzo, sus padres le envían la mensualidad y por tanto ella es muy rigurosa con sus gastos. He aquí cómo los organizó durante los tres primeros meses. Ellos contemplan alimentación, fotocopias, locomoción y varios ocasionales. En la siguiente tabla de frecuencias consta el número de veces en que gastó el monto g en pesos. 8000 ≤ g < 10000 14 Conforme a esto datos, y haciendo los análisis de probabilidades pertinentes: a. Estimen la probabilidad de que Pamela haya gastado más de $4 000 y menos de $6 000. b. ¿Qué rango de gasto tiene menor probabilidad de haber ocurrido? c. ¿Qué es más probable, que haya gastado menos de $6 000 o de $6 000 a $10000? Justifiquen su respuesta. 2 Aquella tarde Memo estaba mirando por la ventana cómo las primeras gotas de lluvia empezaban a caer y vio que dos baldosines cerámicos de la galería se iban mojando, lentamente. Empezó contando “una gota al baldosín de la izquierda y otra al de la derecha”. De repente se mojaba más uno que el otro, y después volvían a estar igualmente mojados. Pensó: “Parece que cada baldosín se va bañando con el mismo número de gotas”. ¿Pasará lo mismo con el resto de los baldosines? ¿Eso se deberá a que la lluvia los moja a todos por igual? a. ¿Estás de acuerdo con Memo? b. La posibilidad que Memo calcula intuitivamente, ¿es algo factible? c. ¿Cuál debería ser la probabilidad teórica? Revisemos lo aprendido (7,0 - 6,0) (5,9 - 5,0) (4,9 - 4,0) (3,9 - 1,0) Marca con una 8 el casillero correspondiente según la evaluación que hagas de tu trabajo. MB: B: S: I: Muy bien Bien Suficiente Insuficiente Indicador Soy capaz de explicar el concepto de probabilidad. Soy capaz de explicar la ley de los grandes números. Entendí los ejercicios propuestos. Fui capaz de resolver correctamente los ejercicios propuestos. Trabajé con mi grupo, aportando cuando fue necesario. MB B S I Si has marcado 3 o más cruces en las columnas de suficiente (S) o Insuficiente (I), debes repasar lo visto y volver a hacer los ejercicios que fueron más difíciles de resolver. 311 U5 MAT 3M (290-359).indd 311 2/11/11 15:50:44
  • Trabaja más... Trabaja en forma individual 1 Revisa cuidadosamente la información entregada en el siguiente cuadro referido a habitantes de nuestro país. Personas mayores de 60 años que viven solas, por tramo de edad y región Total 3ª 60 a 69 70 a 79 80 o más Región Edad años años años Total país 200399 87336 77405 35658 Región de 4669 2329 1694 644 Tarapacá Región de 4681 2238 1820 623 Antofagasta Región de 3562 1818 1292 452 Atacama Región de 9476 4293 3635 1548 Coquimbo Región de 27315 11398 10971 4946 Valparaíso Región del Libertador Bernardo O’Higgins Región del Maule Región del Biobío Región de La Araucanía Región de Los Lagos Región de Aysén del Gral. Carlos Ibáñez del Campo Región de Magallanes y la Antártica Chilena Región Metropolitana 10273 12581 4499 5649 21984 10026 1265 639 12143 13198 2232 77020 5424 6110 1004 31909 4039 4837 8307 4548 4850 445 844 30121 1735 2095 3651 2171 2238 181 384 14990 * La información que se proporciona corresponde al año 2003 y es lo más actualizado de lo que existe registro. http://www.senama.cl/Archivos/712.pdf ¿Nos garantiza esta tabla que la probabilidad de escoger a una persona mayor, cuya edad fluctúe entre los 60 y 69 años, en la XI Región, será aproximadamente del 51%? 2 Recorta 12 cuadrados de cartón de igual tamaño y pinta 4 de ellos rojos, 4 azules y 4 negros. Colócalos en una bolsa o caja no transparente. Extrae uno, sin mirar, y anota su color, vuelve a introducir en la caja el cuadrado y repite la extracción 30 veces. Luego resuelve los siguientes ejercicios: a. Completa la tabla: Color Frecuencia Frecuencia Probabilidad relativa experimental Rojo Azul Negro b. ¿Cuál es la probabilidad teórica de obtener cada color? c. ¿Son distintos los valores obtenidos en (a.) y (b.)? ¿Por qué? 3 En una encuesta sobre los litros de leche consumidos semanalmente por los integrantes de algunas familias, se obtuvieron los datos de la tabla adjunta. A base de ellos determina qué probabilidad hay de que al elegir una de las familias encuestadas tome: a. entre 6 y 10 litros. b. entre 11 y 20 litros. c. de 1 a 5 litros o de 26 a 30 litros. Litros de leche consumida De 1 a 5 litros De 6 a 10 litros De 11 a 15 litros De 16 a 20 litros De 21 a 25 litros De 26 a 30 litros Nº de familias 33 42 28 21 17 9 d. ¿Se puede inferir que los resultados obtenidos determinan el comportamiento de consumo de leche en el país? 312 U5 MAT 3M (290-359).indd 312 2/11/11 15:50:44
  • de la figura y láncenla 50 veces, anotando los resultados obtenidos. Luego, usando los datos obtenidos, respondan: ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzarla salga: a. pierde turno? b. gana? c. pierde? d. tira de nuevo? e. no pierde turno? Pierde turno Gana 9 Gana 20 Pierde 1 Gana 10 Tira de nuevo Pierde 9 Pierde 8 5 Con tu grupo, construyan un dado de 8 caras, usando la red de construcción adjunta. Enumeren sus caras del 1 al 8. Láncenlo 50 veces y anoten los resultados obtenidos. Luego respondan las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par? b. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar? c. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par múltiplo de 4? d. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar múltiplo de 3? e. ¿Qué tan cercano están sus resultados de los que daría la probabilidad teórica en esta situación? Justifiquen su respuesta. Trabaja en grupo 1 Amparo está jugando ludo con su hermana y ha notado que en los lanzamientos que ha hecho de los dos dados ha obtenido los siguientes resultados: Suma de las caras 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nº de veces obtenida 2 4 6 4 7 2 1 0 0 3 1 UNIDAD 5 4 En grupos de 5, construyan una ruleta como la A base de los datos determinen la probabilidad experimental de: a. que la suma de las caras obtenida sea 4. b. que pueda avanzar 11 lugares. c. obtener una suma menor que 6. d. obtener una suma mayor que 9. 2 Juan tiene que completar la tabla de resultados de probabilidad en el experimento de lanzar un dado. Completen la tabla y luego responden las preguntas: Sucesos Salir un 1 Salir un 2 Salir un 3 Salir un 4 Salir un 5 Salir un 6 Total lanzamientos Experimentales 58 72 81 63 400 Probabilidad experimental 0,155 0,160 a. ¿Qué probabilidad tiene de ganar si para ello necesita que le salga un 5 o un 6? b. ¿Qué probabilidad tiene de lanzar y obtener un múltiplo de 3? c. ¿En cuánto difiere cada una de estas probabilidades con las probabilidades teóricas en cada caso? Considera el valor absoluto de la diferencia pedida. 313 U5 MAT 3M (290-359).indd 313 2/11/11 15:50:44
  • Algunas consideraciones de sucesos y probabilidades En esta sección aprenderás A definir la relación entre dos o más sucesos. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 3, 4, 5, 1, 2, 3 • Comprender y resolver: 2 • Relacionar y aplicar: 1, 6 Trabaja más... Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 2, 3, 4, 5, 8, 12, 13 • Comprender y resolver: 6, 7, 9, 10, 11 • Relacionar y aplicar: 1 –¡Estos consejos de curso me desesperan! ¡Nadie se pone de acuerdo! ¡Nunca logramos hacer nada sin tener que discutir! –Calma, Florencia –dijo Fernanda–, no es para tanto. –Pero piensa, si no somos capaces de ponernos de acuerdo en cómo sería mejor organizarnos para ayudar a los que saben menos para la prueba de Matemática, ¿qué podemos esperar en otras cosas? –Ya, calma. Y al final ¿qué vas a hacer? –Ayudar a Iván a estudiar; debe sacarse buena nota, si no le va a dar rojo. –Ya, pero sin rabia. No sacas nada con enojarte así. –Bueno, ya se me pasará. Nos vemos. Iván y Florencia se quedaron ese día estudiando en la biblioteca, después de clases. Florencia hizo un resumen de la materia que entraba y comenzó a explicarle así: –Lo primero que hay que recordar es que una probabilidad se calcula como la razón o división entre los casos favorables y los casos totales de ocurrencia de un suceso. Entonces, podemos decir que la probabilidad tomará valores entre 0 y 1 y, escrito en porcentaje, entre 0 % y 100%. –Por ejemplo, si quieres calcular la probabilidad de que al elegir un alumno o alumna de nuestro curso este tenga menos de 10 años, es imposible, porque todos tenemos entre 16 y 17 años; por lo tanto, los casos favorables serán 0 y eso hace que nuestro cálculo sea, 0 P ( pedida ) = =0 total de alumnos del curso –Y, por otro lado, si pedimos que tengan entre 15 y 18 años, tendremos que: total de alumnos del curso P ( pedida ) = =1 total de alumnos del curso –Además, podemos decir que si la probabilidad de que ocurra un 1 – p. Por ejemplo, si la probabilidad de que salga un 3 al tirar un 1 dado es (porque hay un número 3 entre los seis del dado), 6 5 entonces la probabilidad de que no salga 3 será (ya que hay 5 6 números que no son 3, entre los seis) y esto es equivalente a decir 1 − 1 = 5 . 6 6 suceso es p, entonces la probabilidad de que no ocurra es 314 U5 MAT 3M (290-359).indd 314 2/11/11 15:50:45
  • –En consecuencia, podemos resumir lo siguiente: –Lo segundo que debes saber es que existen sucesos que son independientes y otros que son dependientes. Por ejemplo: –Un juego consiste en sacar una carta de un naipe y tirar un dado. Ganas si en las cartas te sale un as y en el dado, un 6. Debes extraer la carta y lanzar el dado. Estos son sucesos independientes porque uno no influye en la elección del otro; la carta que salga no influirá en lo que salga en el dado. –En cambio, supón ahora que jugamos a lanzar dos dados y que gana aquel que obtiene un 5 en el segundo lanzamiento, siempre y cuando en el primero haya obtenido un número par. Estos sucesos son dependientes, ya que, para ganar, el segundo suceso depende del resultado del primer suceso. Resuelve el siguiente problema: Un estudiante pasa al pizarrón a colocar un punto en el segmento de línea mostrado abajo. Calcular la probabilidad de que lo coloque entre B y C. A 10 15 B C UNIDAD 5 • Si P es la probabilidad de que un evento o suceso ocurra, entonces tendremos que 0 ≤ P ≤ 1, o bien 0% ≤ P ≤ 100%. • Al suceso de probabilidad cero lo llamaremos suceso imposible y al suceso de probabilidad 1 lo llamaremos suceso seguro. • Si p es la probabilidad de que ocurra un suceso, entonces 1 – p es la probabilidad de que no ocurra. Para entretenerse Entonces, resumamos... Links de interés • Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no incide en la ocurrencia del otro. • Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos depende de lo que haya ocurrido con el otro. Luego, estos amigos hicieron una serie de ejercicios. Te invitamos a realizarlos para que revises lo aprendido. Un sitio donde puedes revisar estos contenidos es: http://ciberconta.unizar. es/ LECCION/probabil/INICIO. HTML Te invitamos a revisarlo. Fernando, mi hermano menor, pertenece a un club. Anteayer estaban eligiendo la directiva y decidieron hacer grupos de tres personas y luego repartir los puestos entre la terna elegida. Los integrantes del club son: Marcelo, Pedro, Juan, Tomás, Fernando y Damián. ¿Cuál es la probabilidad de que en la directiva esté Fernando? Nota que, en este caso, necesitamos formar “grupos”. Cuando esto sucede, debemos ser cuidadosos en cómo contamos los grupos que se pueden formar, ya que un grupo es un conjunto; por lo tanto, el grupo formado por {Fernando ( F ) , Pedro ( P ) , Juan ( J )} será el mismo que el formado por { J , P , F }. Así, los grupos que pueden formarse con los integrantes del club son: 315 U5 MAT 3M (290-359).indd 315 2/11/11 15:50:46
  • {P , M , J} {P , F , D} {M , J ,T } {M , F , D} {P , M ,T } {P ,T , F } {M , J , F } { J ,T , F } {P , M , F } {P ,T , D} {M , J , D} { J ,T , D} {P , M , D} {P , J , F } {M ,T , F } { J , F , D} {P , J ,T } {P , J , D} {M ,T , D} {T , D, F } Entonces, los tríos que cumplen con que Fernando esté incluido son aquellos subrayados con rojo, es decir, 10. Como existen 20 tríos en total, la probabilidad de que Fernando 10 1 integre la directiva del club es: = = 0, 5 ⇒ 50 % 20 2 ¿Y qué pasará con Damián? Los tríos donde Damián está son 10; por lo tanto, también su probabilidad es 50%. ¿Y con Marcelo? Hay 10 tríos donde está Marcelo; 50% de probabilidades de que sea parte de la directiva. Sorprendente, ¿no? Trabaja Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios. Revisa tus respuestas. 2 1 Al resolver x − 4 > 0 , ¿cuál es la probabilidad de que exista por lo menos algún número en  −2,2   que sea solución de la inecuación? 2 Se sabe que en un dado cargado la posibilidad de que salga un número par en una tirada es 74%. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca 1, 3 o 5? 3 Bernardo le dijo a su mamá que había reunión de apoderados el día jueves por la tarde. Su madre hizo un gesto de preocupación y le dijo: “Me es imposible asistir a esa reunión”. El muchacho le comentó a su profesor esta situación y éste pensó: “La mamá de Bernardo tiene un 90% de asistencia a las reuniones de apoderados, según mis registros, y siempre ha sido lo mismo”. En referencia al enunciado de este problema, responde: ¿Cuál es la probabilidad de que la mamá de Bernardo: a. asista a la reunión, conforme a sus propias palabras? b. no asista a la reunión, de acuerdo a lo que pensó el profesor? 4 Un cálculo astronómico señala que de acuerdo a sus proyecciones, para el año 2013, la probabilidad de que caiga un determinado meteorito de tamaño medio en la superficie lunar antes de septiembre de ese año es 40% y que caiga durante ese mes es del 55%. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga después de esa fecha? 5 Si Octavio no alcanzara a tener 15 años en el 2012, ¿cuál es la probabilidad de que: a. tenga más de siete años si actualmente ya pasó la enseñanza preescolar? b. haya nacido en 1996 o en 1997? 6 A Aladino se le ha solicitado que dibuje un rectángulo de área menor a 3 cm², cuyas medidas sean x y 4 cm, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente pueda existir dicho rectángulo? x Justifica tu respuesta. x y x+ 316 U5 MAT 3M (290-359).indd 316 2/11/11 15:50:47
  • Trabaja UNIDAD 5 Resuelvan en grupo los siguientes problemas. No olviden revisar sus respuestas. 1 “Te repito: no me insistas, no iré a casa de Noemí porque estoy enojada con ella. No daré mi brazo a torcer ante ella en esta oportunidad. No te olvides de que me llamó Naomi y a mucha honra”. De acuerdo al contexto del relato: a. ¿Cuál es la probabilidad de que Naomi vaya a casa de Noemí? b. ¿Qué tan probable es que Naomi no dé su brazo a torcer en esta oportunidad? c. ¿Por qué el suceso “estar enojada”podría convertirse en imposible? 2 Junto con tu grupo, construye dos rosas cromáticas como muestran las figuras: Hagan girar muy rápidamente cada una de las rosas cromáticas en torno a su centro y anoten lo que observan. Luego respondan: a. ¿Cuál es la probabilidad de que haya aparecido un anillo rojo cuando usaron la figura con fondo negro? b. ¿Cuál es la probabilidad de que en la figura con fondo blanco la rosa cromática haya desaparecido? 3 Bernardo le dijo a su mamá que había reunión de apoderados el día jueves por la tarde. Su madre hizo un gesto de preocupación. “Tengo cero probabilidad de ir a esa reunión”, le dijo. ¿Puedes dar una razón por la que su mamá hubiera dicho esto? ¿En qué caso se daría esta situación? 317 U5 MAT 3M (290-359).indd 317 2/11/11 15:50:48
  • Trabaja más... Trabaja en forma individual 1 Una urna contiene cuatro bolas blancas, cinco azules y siete rojas. Para aumentar la probabilidad de la elección de una bola roja al azar, se han retirado dos blancas, dos azules y aumentado las rojas en cuatro unidades. Con este cambio, ¿qué tan probable es el hecho de que la elección de una bola roja haya: a. aumentado en un 25% su probabilidad? b. quedado con una probabilidad de 25%? 2 En un año no bisiesto, ¿cuál es la probabilidad de que la fecha de cumpleaños de una persona: a. sea el 5 de abril? b. esté en el mes de diciembre? c. se produzca entre marzo y noviembre, ambos inclusive? d. sea el 31 de septiembre? Ahora bien, supongamos que Gilda no supo que inicialmente de la caja se habían retirado dos tacitas sin fallas y una fallada: c. ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya perdido ninguna fallada? 6 ¿De cuántas maneras se puede sentar doña Carlota con sus tres amigas en un sofá antiguo? ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna vez Carlota quede en los extremos? 7 En una repisa hay cuatro libros ordenados de la siguiente manera. Se decide reordenarlos. ¿Cuál es la probabilidad de que los rojos queden en los extremos? 3 En una elección, para cierta presidencia, todos los convocados a votar lo hicieron. No hubo votos nulos ni blancos. El candidato A obtuvo 75 votos, el B 84, y el C 72 votos. Si de manera azarosa se escogiera uno de estos votos, ¿cuál es la probabilidad de que: a. sea del candidato B? b. no sea del candidato C? c. sea de un elector que se haya abstenido? Ahora bien, ¿cuál es la probabilidad de que: d. el candidato A haya obtenido más de un 30% del total de votos? Justifica tu respuesta. e. el candidato B haya obtenido la mayoría absoluta? Justifica tu respuesta. que aparezca un número par es 0,25: a. halla la probabilidad de que en un lanzamiento aparezca un número impar. b. establece la desigualdad entre p (1) + p (5) y p ( 2) , pero calculando previamente los valores de las probabilidades implicadas. 4 Si al lanzar un dado cargado, la probabilidad de 5 En una caja de 12 tacitas para café hay tres que tienen fallas. Mientras Gilda la transportaba, se extravió una de ellas sin saberse de qué tipo era. Encuentra la probabilidad de que la pieza extraviada haya estado: a. con fallas. b. sin fallas. 8 Luis Alberto es tecnólogo médico y trabaja en un centro radiológico. Ahora está analizando el siguiente cuadro de su rendimiento, para solicitar un mejoramiento en los equipos. Atención radiológica Número de exámenes 2011 Rayos X Ultrasonido Escáner Septiembre 40 9 2 Octubre 55 6 7 Noviembre 45 4 6 Diciembre 39 5 5 Suponiendo que los mismos meses del 2012 se comportan de manera similar, te pedimos que hagas los cálculos necesarios para que respondas las siguientes preguntas, dando el valor porcentual de las probabilidades pedidas: a. ¿En qué mes es menos probable que Luis Alberto tome exámenes de rayos X? b. ¿Cuál es el mes en que es más probable que haga el mayor número de exámenes de escáner? c. ¿Qué es más probable que ocurra: tomar exámenes de ultrasonido o exámenes de escáner? 318 U5 MAT 3M (290-359).indd 318 2/11/11 15:50:49
  • una fuente de agua visitada por algunos transeúntes y le pregunta: –¿Y cuántas monedas de $100 reúnes comúnmente limpiando la fuente? –Es variable, el lunes pasado encontré 20 monedas, el martes 25, el miércoles eran como 35, ayer 23, y hoy espero que sea como el viernes pasado, es decir, 25. –¿Y esto te pasa todos las semanas? –Si, todas las semanas es lo mismo, la misma cantidad. De acuerdo al enunciado, ¿cuál es la probabilidad de que el niño encuentre: a. 43 monedas a la semana? b. menos de 70 monedas al final de su jornada del miércoles? c. $12800 al final de una semana? 10 Después de haber realizado muchos trucos, el mago terminó su presentación haciendo un concurso entre los niños que allí asistieron. Colocó en una gran bolsa, bolitas numeradas del 1 al 28. Llamó a Clemente y a mí me señaló con el dedo. Él impuso la siguiente regla: “Gana Clemente si saca una bolita cuyo número sea múltiplo de tres. Ganas tú si sacas una bolita con un número múltiplo de cinco”. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita gane: a. Clemente? b. yo? c. que no ganemos ninguno de los dos? 11 –”¡Por favor, esto no se resuelve en una sentada, Sr. Pantoja! Para el papel principal de las hermanas Bronte, tenía diez candidatas, todas muy bien recomendadas. ¿Qué me está diciendo, Sr. Pantoja? ¡Qué yo elegí a Genoveva, Marlene y Marilyn por capricho! Simplemente, de todas las candidatas, elegí al azar tres de las que me convencieron inmediatamente, ¡y eso es todo! ¿Por qué no opté por Nélida, Tracy y Cynthia, habiendo estudiado todos los tríos posibles con estas seis candidatas? ¡Caramba, Sr. Pantoja! ¡Soy director de teatro y no un matemático para estudiar todos los tríos posibles!” Ahora bien, tú que eres un muy buen estudiante, responde: ¿Qué tan probable era haber elegido: a. a este último trío? b. a un trío en el que Nélida esté presente? 12 A Virginia le entregaron su dictado, en el que por cierto no obtuvo una buena nota. Observa lo que ella escribió: Fecha: 29 de octubre de 2013 DICTADO Nº 7 Nombre: Virginia 1. Provabilidad 8. Irrasional 15. Discriminante 2. Intervalo 9. Azar 16. Interceccion 3. Parábola 10. Inecuación 17. Máximo 4. Preimagen 11. Secante 18. Decigualdad 5. Raíses 12. Vértice 19. Suseso 6. Cordenadas 13. Aliatorio 20. Principio 7. Trigonométrica 14. Simetría 21. Condisionada UNIDAD 5 9 El reportero encuentra a un niño limpiando Su profesora, preocupada, le dice que nuevamente ha fallado en un gran número de palabras. De acuerdo a esta información, responde: a. ¿Cuáles son las palabras que están incorrectamente escritas? Señala el número que le antecede. b. ¿Cuál es la probabilidad de que en el dictado siguiente, de seguir la misma tendencia, una palabra cualquiera escrita por ella presente errores? Expresa porcentualmente tu respuesta, con aproximación a entero. c. Reescribe las palabras con errores ortográficos, de manera que estén correctamente escritas. 13 En el hall de la clínica “Las Margaritas”, el médico jefe conversaba con los padres de una menor accidentada: “Estamos haciendo todo lo posible por lograr que su hija se salve. El accidente fue muy grave. Hay un 20% de probabilidades de que se recupere completamente y un 40% de que quede con algún tipo de secuela”. Los padres se angustiaron, pues la posibilidad de que su hija muriera era muy alta. ¿Cuál era esta? 319 U5 MAT 3M (290-359).indd 319 2/11/11 15:50:49
  • Sucesos independientes... ¿cómo trabajar con ellos? En esta sección aprenderás A calcular probabilidades de sucesos independientes. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 2, 1, 10 • Comprender y resolver: 1, 5, 7, 8, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11 • Relacionar y aplicar: 3, 4, 6 Trabaja más... Habilidades por actividad: • Comprender y resolver: 1, 2, 3, 4, 5 Florencia continuó explicándole la materia a Iván. –Analicemos el siguiente problema –le dijo. 1. Una persona debe ir de una ciudad a otra, pasando siempre por una tercera ciudad situada entre las otras dos. Si para ir de la primera a la segunda tiene tres posibilidades (caminos A, B y C) y para ir de la segunda a la tercera tiene cuatro posibilidades (D, E, F, G), ¿cuál es la probabilidad de que el camino escogido sea C – F? Grafiquemos la situación: D E F G A D Ciudad 1 Se quieren extraer dos bolitas desde la urna de la figura en forma sucesiva, sin reponerlas. Nota que para calcular la probabilidad de que, por ejemplo, se extraiga una roja y luego una verde, debes considerar que el espacio muestral (casos totales) cambia para la segunda extracción, pues ya has sacado una de la urna. Esto sería, entonces: F B G C Recordar y archivar E D Ciudad 2 E F G Ciudad 3 El hecho de escoger un camino de la ciudad 2 a la 3 es independiente del que se haya escogido antes. Podemos decir entonces que: Las formas totales de llegar son 12: A - D, A - E, A - F, A - G B - D, B - E, B - F, B - G C - D, C - E, C - F, C - G Como de aquellas 12 solo nos sirve el camino C - F; entonces, podemos anotar que: 1 P (C − F ) = 12 Ahora, piénsalo de la siguiente manera: 1 1 P (C ) = , P ( F ) = 3 4 3 2 P ( roja y verde ) = P ( roja ) ⋅ P ( verde ) = ⋅ 1 1 1 8 7 ⇒ P (C − F ) = ⋅ = 3 2 3 4 12 = P ( roja ) ⋅ P ( verde ) = ⋅ 320 8 7 U5 MAT 3M (290-359).indd 320 2/11/11 15:50:50
  • ¿Verifiquemos esto a través de un diagrama? UNIDAD 5 2. En uno de los cajones de mi cómoda hay 5 poleras (blanca, roja, amarilla, lila y verde) y en el otro hay 4 pantalones (azul, negro, blanco, rojo). ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una polera y un pantalón, al azar, esta combinación sea mi polera blanca y el pantalón azul? Los sucesos “sacar una polera y sacar un pantalón” son independientes. Entonces, si lo pensamos análogamente al ejercicio anterior, tendremos que: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P ( polera ) = ,, P ( pantalÛn ) = ⇒ P ( blanca-azul ) = ⋅⋅ = P (polera) = P (pantalón ) = ⇒ P (blanca-azul) = pantalÛn = 5 5 4 4 5 4 20 5 4 20 Polera Sí. Está bien, puede haber 20 combinaciones totales; por lo tanto, escogeremos 1 de 20, lo que hace que la probabilidad sea 1 = 0,05 = 5% 5% 20 Pantalón Entonces, ¿qué podemos concluir? No olvides que: Si dos o más sucesos son independientes, para calcular la probabilidad de la ocurrencia de ellos, todos a la vez, se deben multiplicar las probabilidades de que cada uno ocurra. Esto también lo podemos anotar así: Si P ( A ) = ayyPP BB ) = b ⇒ P aa ∧ b ) = abb P ( A) = a y ( ( ) = b ⇒ P ( ( ∧ b) = a ⋅ ⋅ Nota que aquí la clave es que se quiere la probabilidad de A y B a la vez. Veamos ahora otros ejemplos. 3. “Hoy, mi pololo me ha invitado a celebrar nuestro primer aniversario. Mi papá me dio permiso, pero debo llegar antes de las 22:00, lo que hace que solo podamos escoger una cosa que hacer juntos. Él me ha propuesto varias: 3 películas, 2 obras de teatro, 3 lugares para comer, entre ellos el restaurante en el que me pidió pololeo. Como no sabíamos qué hacer, escribimos cada lugar en papeles y los echamos a una bolsa”. ¿Cuál es la probabilidad de escoger el bello restaurante aquel? 321 U5 MAT 3M (290-359).indd 321 2/11/11 15:50:51
  • Si te fijas bien, el hecho de ir al cine no depende de escoger obras de teatro o restaurantes. El problema aquí es que deben escoger el cine o el restaurante o el teatro. Nota que a diferencia del ejercicio anterior, los sucesos no pueden ocurrir todos a la vez. Si lo representamos gráficamente, tendremos que: Cine Teatro Restaurantes En la bolsa habrá, entonces, 8 papeles y escogeremos uno al azar. Por lo tanto, la probabilidad de escoger el restaurante que se 1 quiere es . (Nota que aquí hemos puesto “en una misma bolsa” 8 todas las posibilidades de salidas que se tienen). 4. El papá de Juan le propone un juego. Si gana, hoy no le tocará cortar el pasto. Coloca dos cajas distintas, la primera con fichas numeradas del 1 al 5, y la segunda, con 3 dados: negro, naranjo y amarillo. El desafío es sacar una ficha y un dado y que estos sean la ficha con el número 4 o el dado negro. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan no corte el pasto hoy? Nota que en este caso, a diferencia del anterior, se tienen que extraer una ficha y un dado. Además, los sucesos siguen siendo independientes (lo que salga en las fichas no depende de lo que haya salido en los dados ni viceversa). Si graficamos esta situación, tendremos que: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Si te fijas, las posibilidades totales son 15 y las que cumplen con ser dado negro o ficha número 4 son 7 (marcadas en rojo); por lo 7 tanto, la probabilidad pedida será . 15 322 U5 MAT 3M (290-359).indd 322 2/11/11 15:50:52
  • Recordar y archivar Supongamos que para formar números de 3 cifras puedes utilizar todos los dígitos y que estos se pueden repetir. ¿Podemos determinar cuántos números de tres cifras hay usando un diagrama de árbol? Observa. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Entonces, ¿qué hacemos? 0 Razonamos de la siguiente manera: 1 Lo contrario de sacar “un dado negro o un número 4” es sacar 2 3 “un dado que no sea negro y una ficha que no sea número 4” 4 (mira en tu diagrama las posibilidades que no están marcadas 1 5 con rojo). Pero en este último caso, existen dos sucesos que 2 posibles dígitos 6 3 deben pasar a la vez (recuerda, uno y lo otro). Entonces, sí que pueden 7 4 ocupar el lugar podemos utilizar la multiplicación de las probabilidades. 5 8 de las unidades En consecuencia, tenemos que: 6 9 1 1 1 2 84 8 7 2 1 2 4 4 2 4 8 posibles dígitos , n˙ mero no dado negro = , no número 4) = ⇒ P no negro ) no + = no negro y 4 = (dado negro ((no dado negro ))= ) =,((no(n˙ mero 4 ) = ⇒ P ((negro o 4 y=no4 ))== ⋅⋅ = que pueden 3 5 315 15 8 5 5 3 5 15 5 3 3 3 9 ocupar el lugar 2 4 2 4 8 = , ( no n˙ mero 4 ) = ⇒ P ( no negro y no 4 ) = ⋅ = de las decenas 3 5 15 3 5 posibles dígitos Ahora bien, ya vimos que el complemento de un suceso o la probabilidad de que un suceso no ocurra es 1 menos la probabilidad de que sí ocurra, entonces: 1 3 1 5 1 1 88 15 8 7 = − = 3 5 15 15 15 15 15 (dado negro ) = ,o(n˙ mero 4 ) = 1 − ( no(negro y no = ) =+1 −= ( negro número ) ⇒ P negro o 4 ) 4 Que es justamente el resultado correcto. 3 y 8 3 que la probabilidad de que me deje ir al paseo es . ¿Cuál será 10 la probabilidad de que mi papá me deje ir al cine o al paseo?” ( cine o paseo ) = 1 − ( no cine y no paseo ) Hagamos el siguiente ejercicio: “Mi papá calculó que la probabilidad de que me deje ir a ver la película que quiero es 3 3 5 ⇒ P ( no cine ) = 1 − = 8 8 8 3 3 7 ⇒ P ( no paseo ) = 1 − = Si P ( paseo ) = 10 10 10 5 7 35 7 = Entonces, ( no cine y no paseo ) = ⋅ = 8 10 80 16 Calculemos... Si P ( cine ) = UNIDAD 5 Nota lo siguiente: uno de los errores más frecuentes es la idea de que en estos ejercicios, donde existen dos sucesos independientes, se podrían sumar las probabilidades de sacar un dado negro con la de sacar la ficha con el número 4. Si lo hacemos, te darás cuenta de que encontrarás un resultado erróneo, esto es: 1 1 1 1 8 n˙ mero (dado negro ) = , (número 4 ) = ⇒ P (negro o 4 ) = + = 3 5 3 5 15 1 1 1 1 8 ro ) = , ( n˙ mero 4 ) = ⇒ P ( negro o 4 ) = + = 3 5 3 5 15 en las centenas = 9 · 10 · 10 = 900 O bien, podemos esquematizarlo así: C D U = 9 ⋅ 10 ⋅ 10 = 900 9 10 10 posibilidades de colocar un dígito Recuerda que contar es un arte. (Te recomendamos que leas el libro El hombre que calculaba, de Malba Tahan). • Cuando se quiere “contar” el número total de formas en que puede ocurrir uno u otro suceso, podemos sumar ambas posibilidades. • Para calcular la probabilidad de que ocurra un suceso u otro, se calcula el complemento de la probabilidad de que, a la vez, no ocurra ninguno de ellos; esto es: P ( A o B ) = 1 − P ( no A y no B ) 323 U5 MAT 3M (290-359).indd 323 2/11/11 15:50:55
  • 7 9 Por lo tanto, ( cine o paseo ) = 1 − = ⇒ 56, 25 % 16 16 –Uff! –dijo Florencia. Resumamos: • Cuando se quiere “contar”el número total de maneras o formas en que puede ocurrir uno u otro suceso, podemos sumar ambas posibilidades. • Para calcular la probabilidad de que ocurra un suceso u otro, calcula el complemento de la probabilidad de que ambos sucesos ocurran a la vez; esto es: P ( A o B ) = 1 − P ( no A y no B ) –Florencia, descansemos por favor –dijo Iván. –Haremos los dos últimos ejercicios y mañana seguimos, ¿te parece? –Muy bien, veamos qué sigue: 5. Macarena está estudiando probabilidades en el preuniversitario al que asiste. Su profesor le ha preguntado: ¿cuál es la probabilidad de contestar la prueba de Matemática, al azar, y obtener puntaje nacional? Macarena se rio, pensó un momento y respondió: 1 –La probabilidad de contestar bien una pregunta es (hay una 5 respuesta correcta de 5). –Como hay 70 preguntas y ellas son sucesos independientes, entonces se puede escribir que: 70 70 49 47 ) 11 11 ⋅ ... 11 =11 ≈1,18 ⋅ 10−49 ≈1,18 ⋅ 10−47 % P (( pedida )= ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ ⋅ =   ≈ 1, 18 ⋅ 10−49 ≈ 1, 18 ⋅ 10−47 % P(pedida ) = 1, 18 1, 18 5 5 5 5 5 5  5 5 }2− ,3{ 70 veces y eso es prácticamente 0. –Muy bien, Macarena, ¿qué concluimos? –Que hay que contestar solo lo que una sabe y de lo que está segura, señor. Para terminar esta parte del estudio, Florencia le propuso estos ejercicios a Iván. Él los realizó correctamente. ¿Los puedes hacer tú ahora? 324 U5 MAT 3M (290-359).indd 324 2/11/11 15:50:57
  • Trabaja UNIDAD 5 Resuelve los siguientes ejercicios; coloca el desarrollo en tu cuaderno y luego revisa tus respuestas. 1 Una urna contiene 9 bolas blancas y 5 negras. Se han extraído dos de ellas de manera sucesiva. ¿Cuál es la probabilidad de que haya aparecido este orden: una negra y una blanca, si la extracción es: a. con reposición (vuelves a colocar la bolita extraída en la urna). b. sin reposición. 2 Al lanzar un dado y una moneda a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número par y sello? 3 De un grupo de cinco personas, al que pertenece Mauro, se deben elegir dos para formar una 4 Una tómbola contiene solo números de cuatro cifras cuyo dígito de las centenas es 8. Después de dar comisión de evaluación. ¿Cuál es la probabilidad de que Mauro no integre dicha comisión? varias vueltas, se extrae al azar un número. ¿Qué tan probable es que sea un número par y que el dígito que siga a 8 sea impar? 5 Mariano ha sido elegido como el presidente de una comisión. Falta completar los cargos de vicepresidente y secretario. Los posibles candidatos son: Marcelo, Ana María, Angélica María y Homero. ¿Qué tan probable es que Angélica María quede como vicepresidenta? Expresa tu respuesta porcentualmente. 6 Se desea escribir, al azar, cifras de cinco dígitos diferentes, utilizando los números 4, 5, 6, 8 y 9. ¿Cuál es la probabilidad de que se inicien con 98 y terminen en 5? ¿Será la misma probabilidad para las cifras que se inicien en 5 y terminen en 89? Justifica tu respuesta. 7 El diagrama muestra las maneras de transitar de D a A por distintas vías de uno o dos sentidos, pero todas 6 igualmente probables de ser transitadas. Los números son simplemente formas de distinguir las vías. D 1 2 C 5 4 3 B 7 8 9 A a. Encuentra la probabilidad de elegir cualquier camino que lleve de D a A, y luego haz lo mismo, pero para regresar. Compara tus resultados y responde por qué se produce esta diferencia. b. ¿Cuál es la probabilidad de las rutas 8 – 4 – 1 y 2 – 4 – 8? ¿Qué adviertes de especial respecto al segundo de los valores obtenidos? c. Hay que realizar la ruta 2 – 6, detenerse en B y regresar a D. ¿Cuál es la probabilidad de que se regrese por 3 – 2? d. Elige una ruta que se inicie en A, avance a través de 7, se devuelva en D y considere a 4 al regreso. Anímate y calcula la probabilidad respectiva. 8 ¿Qué es más probable, obtener sello al lanzar una moneda u obtener tres sellos al lanzar cuatro monedas? ¿Cuáles son estas probabilidades? 325 U5 MAT 3M (290-359).indd 325 2/11/11 15:50:57
  • Trabaja Resuelvan en grupo los siguientes problemas de planteo. Luego revisen sus respuestas. 1 –El joven empezó trabajando como auxiliar en los buses interprovinciales, esos que están al lado de los grandes almacenes, y con el tiempo llegó a ser uno de sus gerentes. –Espere, oficial, ¿cómo se llamaba? Parece que se llamaba Fernando o Hernando o creo que Hernaldo... ¡Ah, el apellido era poco común! Algo así como, Baggio, Bello, Biggio o Bolla, no sé, no lo recuerdo. –El oficial miró y se dirigió al suboficial: –¿será Hernaldo Bolla o Fernando Baggio? –Es posible, señor. ¿Qué tan probable es que sea cualquiera de los nombres mencionados por el oficial? 2 Y por fin llegó el 17 de agosto del 2012; Helga cumple 17 años. Sus seis amigos más cercanos estarán sentados en la mesa principal; tres a su derecha y tres a su izquierda. En las fotos siempre aparecerá Tommy a su lado izquierdo (sospechoso, ¿no?) Determinen la probabilidad de que en las fotos tomadas hayan aparecido las siguientes personas, con estos órdenes: Marcia Marcial Morelia Elisa Morelia Servando Servando Elisa Marcia Helga Helga Helga Tommy Tommy Tommy Marcial Marcia Elisa Morelia Servando Marcial 3 En la reunión de directorio, Maira se levanta y propone que la resolución a lo tratado se la confíen a los equipos de trabajo A o B. Uno de los miembros le pregunta: –¿Y qué sabe usted de los equipos que menciona? –Después de estudiarlos, sé que la probabilidad de éxito de A es 45% y de B, 60%. La presidenta agrega: –Necesitamos que lo resuelva cualquiera de los dos equipos. Ya no tenemos más tiempo para esperar. –Maira, ¿qué tan posible es que el problema sea resuelto en estas condiciones? Te solicitamos que te pongas en lugar de Maira y respondas la pregunta. 4 En el censo del 2002 me tocó conocer a don Julio, quien estaba ya jubilado. Me contó que en su trabajo tenía que transmitir mensajes mediante un telégrafo, y que había llegado a tal destreza, que casi no cometía errores en los signos de emisión (un error por cada 10 signos emitidos). Ahora que estudio probabilidades, me pregunto: en un mensaje con cuatro signos, como la palabra AMOR, ¿qué tan posible era que don Julio lo haya enviado sin errores? Ambiente 2013, al que están asistiendo 100 personas, de las cuales 40 solo hablan inglés, 25 solo francés, y el resto, ambos idiomas. Además, 45 provienen de Europa, 35 de América y el resto de Asia. Casualmente, al bajar a la cafetería, uno de los asistentes se acerca a él para hacerle una consulta. ¿Cuál es la probabilidad, expresada porcentualmente, de que sea una persona que venga de a. Asia y hable en inglés? b. Europa o América y hable en cualquiera de los idiomas? 5 Pablo y su equipo están preocupados por la buena realización del Congreso de Tecnología del Medio 6 Eran tan lindos esos dulces de colores amarillo, rosado, beige y blanco, que Rosita decidió colocarlos en línea en la vitrina de su negocio, uno de cada color, pero tan solo puede colocar tres. ¿Cuál es la probabilidad de que al ubicar tres de ellos, estos sean blanco, beige y rosado? ¿Cuál es la probabilidad de no colocarlos así? 7 “¡Uf, estoy tan cansado de participar! La verdad es que anhelo tener el cargo más alto entre los cinco que quedamos, y que Carlos me secunde (él me confesó que no quería mi opción). ¿Qué tan probable podría ser esto? Todos los que estamos en esta etapa final merecemos ser los primeros. Mamá, papá, pronto nos vemos, chao”. 326 U5 MAT 3M (290-359).indd 326 2/11/11 15:50:57
  • Tú podrías estar en esta situación, y como ya sabes de probabilidades, te preguntamos: ¿cuál es la probabilidad de que el deseo de este hijo se cumpla? 8 –Hoy es la semifinal del reality “Mi sueño es cantar”, Lito. UNIDAD 5 –¡Sí, es verdad! Fíjate que de los seis finalistas de hoy, dos se irán para la casa. –¿Eliminados para siempre? A mí me gustaría que quedaran estos dos. –Lo veo difícil, porque la cosa va a estar peleada a muerte. –Yo tengo el presentimiento de que se irán para la casa la cantante que interpretó Nadando contra la corriente y el cantante de Hago lo imposible por permanecer. –¡Claro que sí! Por lo tanto, esos dos... ¿ya?... ¿completamente de acuerdo? –¡Completamente de acuerdo! Al final del programa, escuchan el nombre de los cuatro clasificados. ¿Cuál es la probabilidad de que Lita y Lito se hayan equivocado completamente? 9 Jackie acudió junto a Telmo, su marido, a comprar una lavadora en una tienda especializada. Los atiende Marco, el vendedor: –Vengan por aquí. Aquí está la línea de Lavadoras W con dos tipos de carga (8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes. Continuemos por acá. Esta es la línea E, en dos colores y, ¡ah!, con tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos). ¿Qué les parece? –La pareja se mira, mientras Marco les muestra la línea GE: –A diferencia de las anteriores, hay en un solo tipo de carga, que es de 11 kilogramos, y en dos colores diferentes. Y... ¿por cuál se deciden? A Jackie y Telmo se les hizo difícil, pues todas les llamaron la atención. Ahora bien, ¿cuál es la línea más probable que hubieran elegido y qué porcentaje de probabilidad tiene de ser elegida? 10 En el colegio de Nicanor se hace una gran fiesta familiar de inicio de año, en la que cada curso tiene asignado un puesto de ventas o juegos para recaudar fondos para el año. Al curso de Nicanor le ha tocado el puesto de juegos. Uno de ellos consiste en lanzar una moneda al aire cuatro veces y contar el número de caras. Los premios se dividen de la siguiente manera: si se obtienen 2 caras, se gana un chocolate; con 3 caras, un brazo de reina; y con 4 caras, una torta. ¿Cuál es la probabilidad de a. ganar una torta? b. ganar un brazo de reina? c. ganar un chocolate? d. no ganar premios? Da tu respuesta en porcentaje, aproximado a dos decimales: familiar es de un 38%. Además, les agregó que la probabilidad de que se la compre don Edmundo es del 24% y que la compre don Faustino es del 18%. Sus hijos han hecho algunos cálculos para saber las siguientes probabilidades. Tú puedes dar también la respuesta. a. Que se venda esa parte de la hacienda y que la compre don Edmundo. b. Que se venda y la compre don Faustino. c. Que se venda y no la compre ninguno de ellos. 11 La señora Genoveva les ha dicho a sus hijos que la probabilidad de vender parte de la hacienda 327 U5 MAT 3M (290-359).indd 327 2/11/11 15:50:57
  • Trabaja más... participando la mamá de Aurora, hay 3 cajas: una roja, una azul y una verde, frente a cada uno de los autos de igual color. En la caja roja hay 7 llaves; en la azul 8 llaves; y en la verde 6 llaves. Solo una llave de cada caja enciende el auto respectivo, y la mamá de Aurora se llevará todos los autos que enciendan, con la llave que elija de cada una de las cajas. Calcula: 1 Un suceso A tiene 23% de probabilidades de Trabaja en forma individual 4 En el concurso de televisión en que está 2 de probabilidades 5 de no ocurrir, y por último, la probabilidad de ocurrir; otro suceso B tiene ocurrencia de un suceso C es 0,02. Si los sucesos son independientes, calcula: a. la probabilidad de que ocurra A y B, pero no C b. la probabilidad de que ocurra B y C, pero no A c. la probabilidad de que ocurran los tres sucesos a la vez d. la probabilidad de que ninguno de ellos ocurra. (Da tu respuesta en porcentaje, con aproximación a la décima). 2 Se tienen dos sucesos independientes A y B, de modo que la probabilidad de que no 1 ocurra A es . 7 a. la probabilidad de que ocurra B, si la probabilidad de que ocurran ambos es 16% b. la probabilidad de que no ocurra B, si la probabilidad de que no ocurra ninguno de los sucesos a la vez es 0,002. c. la probabilidad de que no ocurra B, si la probabilidad de que ocurra solo A es 27%. Da tu respuesta como fracción. a. la probabilidad de que gane uno de los tres autos. b. la probabilidad de que gane 2 de los tres autos. c. la probabilidad de que gane los tres autos. Da tus respuestas en porcentaje, con aproximación a la décima. de conducir que dará Felipe tiene 5 preguntas de alternativas con 4 opciones cada una, en la que cada una de ellas es independiente de las otras. Calcula la probabilidad de que Felipe tenga las cinco respuestas buenas si: 5 El test de preparación para el examen teórico a. contestó 2 al azar y las otras sabe que están buenas. b. contestó 4 al azar y la otra está seguro de que está buena. c. contestó las 5 al azar. 1 5 y y P ( no B ) = Determina la 7 8 probabilidad de: 3 A y B son sucesos independientes, de manera que P ( A ) = a. P ( A y B ) b. P ( no A y B ) c. P ( A y no B ) d. P ( no A y no B ) 328 U5 MAT 3M (290-359).indd 328 2/11/11 15:50:59
  • Sucesos dependientes... probabilidad condicionada Por ejemplo: 1. En un curso hay 35 alumnos y alumnas, de los que 20 son hombres. 5 mujeres y 8 hombres tienen pelo rubio y el resto tiene el pelo castaño. Se elige uno al azar y es hombre. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el pelo rubio? Si hacemos un diagrama, tendremos que: 8 rubios 20 hombres 35 alumnos 12 castaños 5 rubias En esta sección aprenderás Cómo definir y calcular probabilidades condicionadas. Desarrollarás las siguientes habilidades: • Identificar • Calcular • Comprender • Resolver • Relacionar • Aplicar • Interpretar y generar ideas Habilidades por actividad: • Identificar y calcular: 1, 2 • Comprender y resolver: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5 • Relacionar y aplicar: 10 • Interpretar y generar ideas: 3 UNIDAD 5 Esa mañana sonó el despertador. Los rayos de sol entraban tenues por la ventana, haciéndole caricias en su cara. –¡Uy, me quedé dormido! –gritó Iván. No llegaré a la hora acordada a la casa de Florencia. Esto me pasa por quedarme viendo tele hasta tarde. Los días sábados no deberían ser para estudiar. Un rato más tarde, Iván ya estaba en casa de Florencia y habían llegado todos; solo lo esperaban a él. –Hola, perdón el atraso, me quedé dormido. –Hola, ¿no les decía yo? Ya, dime Iván, ¿cuál es la probabilidad de que alcancemos a estudiar todo hoy, dado que tú llegaste atrasado? –Perdón, en serio, no fue mi intención. –¡Ja, ja, ja! –rieron todos. –No te preocupes, Iván, era solo una broma. Este es nuestro tema de hoy: –Un suceso depende de otro, entonces, probabilidad condicionada. Dos sucesos son dependientes cuando la ocurrencia de uno influye en la ocurrencia del otro. En este sentido, el primer suceso entrega información adicional que influye en el segundo. Trabaja más... Habilidades por actividad: • Comprender y resolver: 2, 3, 4, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6 • Relacionar y aplicar: 1, 5, 6, 8 15 mujeres 10 castañas Según nuestro diagrama, el número de personas que tienen el pelo castaño y son hombres es 12, y como debemos restringir nuestro espacio muestral solo a los hombres, entonces tenemos que la probabilidad pedida será: 8 2 P ( rubio si es hombre ) = = = 0, 4 = 40 % . 20 5 Lo anterior se puede entender también como: 8 35 = P ( ser rubio y hombre ). P ( rubio si es hombre ) = 20 P ( hombre ) 35 329 U5 MAT 3M (290-359).indd 329 2/11/11 15:51:00
  • Ahora bien, esto: P ( rubio si es hombre ) = P ( ser rubio y hombre ) , P ( hombre ) es exactamente lo que la teoría de las probabilidades (rama de la matemática que estudia todo lo relacionado con probabilidades) nos dice. Podemos anotar, en general, que: Si dos sucesos, A y B, son dependientes, entonces la probabilidad de que A suceda dado que B ha ocurrido se puede P ( A y B) calcular por la siguiente fórmula: P ( A / B ) = P (B) Hagamos otros ejemplos. 2. Un informe médico sobre la diabetes indica que del total de la población chilena, el 14% señala que no conoce su situación respecto al padecimiento de esta enfermedad. Del resto, solo el 25% dice estar en tratamiento riguroso de su enfermedad. Isaías, estudiante de Medicina de la Universidad de Talca, que está estudiando este tema y debe hacer un trabajo de investigación en su región, toma esta información de referencia y necesita calcular la probabilidad de que al escoger una persona al azar, esta no esté en tratamiento dado que conoce de su enfermedad. (Datos extraídos de: http://escuela.med.puc.cl/deptos/saludpublica/ResultadoENS/CapIV204Diabetes.pdf) Haciendo un esquema de los datos obtenidos tenemos: Población total (100%) sin tratamiento 75% sabe 86% con tratamiento 25% no sabe 14% Debes considerar que tenemos porcentajes de porcentajes; por lo tanto, debemos tener mucho cuidado al hacer los cálculos, ya que, por ejemplo, las personas sin tratamiento son el 75 % del 86%. Entonces, podemos tomar un universo de 100 personas para simplificar la situación (recuerda que como los porcentajes son razones, será lo mismo si tomamos un universo mayor). 330 U5 MAT 3M (290-359).indd 330 2/11/11 15:51:01
  • Entonces, reescribamos el esquema: 86 personas saben (86%) 65 personas, aproximadamente, sin tratamiento (75% de 86) P ( sin trat./sabe ) = 14 personas no saben (14%) 21 personas, aproximadamente, con tratamiento (25% de 86) P ( sin tratamiento y sabe ) P ( sabe ) 65 65 100 65 ⋅ = ≈ 0,76 ≈ 76% = 100 = 86 100 86 86 100 UNIDAD 5 Población total 100 personas 3. Nancy está planeando sus vacaciones. Se ha puesto a pensar en los lugares a los que viajó anteriormente y ha hecho el siguiente esquema: sur 70% vacaciones lagos 65% norte 30% playas 82% Si el comportamiento de Nancy se vuelve a repetir, según sus estadísticas, ¿cuál es la probabilidad de que vaya a un lugar que no sea playa, dado que ya ha decidido ir al norte? Reescribiendo el diagrama, con un universo de 100 veces, tenemos que: 100 veces de vacaciones 70 veces al r sur (70%) 46 veces lagos (65% de 70%) 24 veces otros lugares (35% de 70%) P ( no playa/norte ) = 30 veces al norte (30%) 25 veces playas (82% de 30%) P ( no playa y norte ) P ( norte ) 5 100 = 5 = 1 ≈ 0,17 ≈ 17% = 30 30 6 100 5 veces otros lugares (18% de 30%) 331 U5 MAT 3M (290-359).indd 331 2/11/11 15:51:03
  • –¿Verdad que no es tan difícil? –comentó Florencia–. Solo hay que ser ordenados, pensar un poco y ser positivos en creer que uno es capaz. –A propósito de personas positivas –contestó Fernanda–, ¿qué vas a hacer en el consejo de curso del lunes? ¿Todavía sigues enojada? –Sí, no hablaré. No quiero nada con algunas personas del curso. –Pero Florencia... –No, no insistan. Llegó el lunes y también la hora de consejo de curso. La señorita Blanca, profesora de Lenguaje y profesora jefe, ya enterada de los conflictos en su curso, les dijo: Jóvenes, ya hemos hablado de estos temas en varias ocasiones, también les he dicho lo que pienso acerca del compañerismo y la amistad entre ustedes, así que hoy solo les daré un regalo y tiempo para pensar y retomaremos el consejo el viernes, luego que hayan meditado un poco. Y les leyó el siguiente poema de José Martí (poeta cubano, 1853–1895): Cultivo una rosa blanca En junio como en enero Para el amigo sincero, Que me da su mano franca. Y para el cruel que me arranca El corazón con que vivo, Cardo ni ortiga cultivo, Cultivo una rosa blanca. ¿Qué opinas tú acerca de este poema? Trabaja Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno. No olvides corregir tus respuestas. 2 1 1 Si A y B son sucesos tal que P ( A ) = ; P ( A ∩ B ) = 3 5 ¿Cuánto es P ( B / A ) ? 1 ; y 2 Sean A y B dos sucesos aleatorios con P ( A ) = 0, 5; P ( B ) = y P ( A ∩ B ) = 0, 25 3 Determina: a. P ( A / B ) ( A / B )b. P ( B / A ) P = 3 Sean A y B dos sucesos. Si P ( A / B ) = P ( B / A ), ¿qué se puede asegurar de los valores de las probabilidades de A y B? arrojaron que de los 40 alumnos, hay 26 que prefieren ir a paseo y el resto quiere un regalo. De los que quieren ir a paseo, 12 prefieren ir la piscina y el resto a otro lugar. Si se escogiera, al azar, una persona dentro del curso, ¿cuál sería la probabilidad de que no quisiera ir a la piscina si desea ir a paseo? 4 Los resultados en una encuesta de mi curso, en relación con la utilización de los fondos de nuestra tesorería, 5 Estrella ha estado jugando a lanzar dos dados simultáneamente. Si ha sacado un 10 como suma de las 332 caras, ¿cuál es la probabilidad de que una de ellas sea 4? U5 MAT 3M (290-359).indd 332 2/11/11 15:51:05
  • 350 300 138 250 200 150 100 50 0 90 48 Mujeres Religioso 152 Hombres No religioso UNIDAD 5 6 Los resultados de una encuesta sobre la actitud religiosa son: Total 56 96 a. Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea religiosa sabiendo que es ho