Apuntes de Matem´tica Discreta
a
1. Conjuntos y Subconjuntos

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e
C´diz, Octubre de 20...
Universidad de C´diz
a

Departamento de Matem´ticas
a

ii
Lecci´n 1
o

Conjuntos y Subconjuntos
Contenido
1.1

Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Conjuntos y...
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a

derivar contradicciones. Parece extra˜o el proponerse tal cosa deli...
Matem´tica Discreta
a

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

(c) El conjunto cuyo unico elemento es el primer President...
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a

(a) El conjunto de los enteros mayores que diez.
(b) El conjunto de...
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Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

Incluso si podemos especificar todos los elementos de un c...
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Como todo conjunto tiene los mismos elementos que ´l mismo, se sigu...
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Ejemplo 1.8

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

Dar una condici´n necesaria y suficiente para...
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¬(A ⊆ B)
¬ [∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B)]

⇐⇒

∃x : [¬ (x ∈ A =⇒ x ∈ B)]

⇐⇒...
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a

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

Soluci´n
o
{a} es un conjunto cuyo unico elemento es el a....
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(a) Veamos cuantos subconjuntos tiene el conjunto {a, b}.
De la pro...
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a

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

(d) {∅}. Este conjunto tiene un elemento que es ∅, por lo ...
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1.2.6

Departamento de Matem´ticas
a

Corolario

De la caracterizaci´n anterior se sigue que para ...
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Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

Soluci´n
o
A y B son distintos, ya que 2 ∈ A y 2 ∈ B y 3 ∈...
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U

U

U

A
B

B

B

A

A

(a) A ⊆ B

(b) A y B son disjuntos

(c) A ...
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2. Operaciones con Conjuntos

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e
C´diz, Octubre de 2...
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a

ii
Lecci´n 2
o

Operaciones con Conjuntos
Contenido
2.1

Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
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2.1.1

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a

Uni´n
o

La uni´n de dos conjuntos A y B es el conjunto form...
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2.1.3

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

Diferencia

La diferencia entre dos conjuntos A y B...
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Ejemplo 2.2

Departamento de Matem´ticas
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Sean los conjuntos

A = {n ∈ Z+ : n

13}

+

B = {n ∈ Z...
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A∪B

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

= {n ∈ Z+ : n

13} ∪ {n ∈ Z+ : n es par y n

20}

= {...
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2.2

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Algebra de conjuntos. Dualidad

Bajo las operaciones definidas...
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2.2.3

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

Leyes Asociativas

Dados tres conjuntos A, B y C de...
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consecuentemente,
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
2. De una forma s...
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2.2.6

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

Ley Involutiva

Dado un conjunto cualquiera A de un...
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3. A ∩ Ac = ∅. En efecto,
A ∩ Ac = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ Ac } = {x ∈...
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Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

(f) Si A ⊆ B, entonces A ∪ B = B
(g) Si A ⊆ B, entonces A ...
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(e) A ∩ B ⊆ A
En efecto, sea x un elemento cualquiera de A ∩ B. Ent...
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e
a
e

(i) A ∩ (B  A) = ∅
En efecto,
A ∩ (B  A)

= A ∩ (B ∩ Ac ) ...
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Por otro lado, siempre se verifica que
A ⊆ A ∪ X, ∀X ∈ U
en particu...
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Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

Ejemplo 2.5 Sea A = {a, b, c, d, e} y sea A la clase de su...
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2.4

Departamento de Matem´ticas
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Producto cartesiano de conjuntos

El concepto matem´tico de re...
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Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

y suele notarse por A2 .
Su extensi´n a n conjuntos se defi...
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tambi´n,
e
A × A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
B × B = {(a, a)...
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Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

(b) B × A
(c) A ∪ (B × C)
(d) (A ∪ B) × C
(e) (A × C) ∪ (B...
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La figura muestra el diagrama en ´rbol. Recorriendo cada una de las...
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Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

luego,
∀(a, b) ((a, b) ∈ (A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ) ⇐⇒ (a, b)...
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3. Principios B´sicos de Conteo
a

Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e
C´diz, Octubre...
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ii
Lecci´n 3
o

Principios B´sicos de Conteo
a
Contenido
3.1

37

Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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3.1.2

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Recubrimiento

Si los subconjuntos B1 , B2 , . . . . . . , B...
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e
a
e

Sin embargo no es una partici´n ya que, por ejemplo,
o
A1 ...
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siendo,
p

∩ Ap+1

=

(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap ) ∩ Ap+1

=

Ai

(A1 ∩ ...
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e
a
e

formas distintas de obtener una, dos, tres o cuatro caras....
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Consecuentemente, por el Principio de inducci´n matem´tica, el teor...
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Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

(a) Sin devoluci´n de cada carta extra´
o
ıda.
(b) Con dev...
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(b) Sean
A1 = {2}
B1 = {1, 3, 4, 5, 6}
y
A2 = {1, 3, 4, 5, 6}
B2 = ...
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Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

− Si la primera visita es a la ciudad B, entonces el viaja...
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U
A∪B
A

B

AB

A∩B

BA

Principio de Inclusi´n-Exclusi´n
o
o
Intuit...
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Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

De (3.6) se sigue directamente que
A ∪ B = (A  B) ∪ (A ∩ B...
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20 alumnos no han aprobado ninguna de las dos asignaturas.
Han apro...
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Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

y
(D ∩ L) ∩ (Dc ∩ L) = D ∩ Dc ∩ L = ∅ ∩ D = ∅
de aqu´ que ...
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Apoy´ndonos en el teorema anterior y en la distributividad de la in...
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Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

y
|A1 ∩ A2 ∩ A3 | = 1
Con todos estos datos,
|A1 ∪ A2 ∪ A3...
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x ∈ A ⇐⇒

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[(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)]
/
/

∨ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ ...
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e
a
e

(a) ¿Cu´ntas personas no leen ninguno de los tres peri´dic...
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(a) Veamos cu´ntas personas no leen ninguno de los tres peri´dicos....
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Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez
e
a
e

y
|Dc ∩ M c ∩ P | = |P | − |M ∩ P | − |D ∩ P | + |D ∩ M ∩ ...
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Seis tienen, al menos, los colores rojo y negro, es decir,
|R ∩ N |...
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e
a
e

(b) N´mero de monocolores rojas.
u
El conjunto de banderas...
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y si ahora unimos los tres, tendremos que
C ∪H ∪P

=

(C ∩ H ∩ P ) ...
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Apuntes de älgebra y matemática discreta

  1. 1. Apuntes de Matem´tica Discreta a 1. Conjuntos y Subconjuntos Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e C´diz, Octubre de 2004 a
  2. 2. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a ii
  3. 3. Lecci´n 1 o Conjuntos y Subconjuntos Contenido 1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Conjuntos y Elementos . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Determinaci´n por Extensi´n . . . . . . . . . o o 1.1.3 Determinaci´n por Comprensi´n . . . . . . . o o 1.1.4 Conjunto Universal . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Conjunto Vac´ . . . . . . . . . . . . . . . . . ıo 1.1.6 Axioma de Extensi´n . . . . . . . . . . . . . o 1.2 Inclusi´n de conjuntos . . . . . . . . . . . . . o 1.2.1 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Inclusi´n Estricta . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.3 Proposici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.4 Proposici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2.5 Caracterizaci´n de la Igualdad . . . . . . . . o 1.2.6 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Transitividad de la Inclusi´n . . . . . . . . . o 1.3 Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . 8 . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . 13 Un conjunto es la reuni´n en un todo de objetos de nuestra ino tuici´n o de nuestro pensar, bien determinados y diferenciables o los unos de los otros. Georg Cantor (1845-1918) El concepto de conjunto es de fundamental importancia en las matem´ticas modernas. La mayor´ de los a ıa matem´ticos creen que es posible expresar todas las matem´ticas en el lenguaje de la teor´ de conjuntos. a a ıa Nuestro inter´s en los conjuntos se debe tanto al papel que representan en las matem´ticas como a su e a utilidad en la modelizaci´n e investigaci´n de problemas en la inform´tica. o o a Los conjuntos fueron estudiados formalmente por primera vez por Georg Cantor1 . Despu´s de que la e teor´ de conjuntos se estableciera como un ´rea bien definida de las matem´ticas, aparecieron conıa a a tradicciones o paradojas en la misma. Para eliminar tales paradojas, se desarrollaron aproximaciones m´s sofisticadas que las que hizo Cantor. Un tratamiento introductorio de la teor´ de conjuntos se a ıa ocupa, generalmente, de la teor´ elemental, la cual es bastante similar al trabajo original de Cantor. ıa Utilizaremos esta aproximaci´n m´s simple y desarrollaremos una teor´ de conjuntos de la cual es posible o a ıa 1 Georg Cantor. Matem´tico alem´n de origen ruso (San Petesburgo 1845-Halle 1918). Despu´s de estudiar en Alemania, a a e fue profesor de la universidad de Halle (1879). Escribi´ numerosas memorias, pero es especialmente conocido por ser el o creador de la Teor´ de los conjuntos. ıa 1
  4. 4. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a derivar contradicciones. Parece extra˜o el proponerse tal cosa deliberadamente, pero las contradicciones n no son un problema si, como es nuestro caso, el universo del discurso se define convenientemente. A´n u m´s, la existencia de las paradojas en la teor´ elemental no afecta a la validez de nuestros resultados ya a ıa que los teoremas que presentaremos pueden demostrarse mediante sistemas alternativos en los que las paradojas no ocurren. 1.1 Generalidades Definimos los conceptos fundamentales del tema como conjunto, elemento, determinaci´n de un conjunto o por extensi´n, por comprensi´n y estudiamos la igualdad de dos conjuntos. o o 1.1.1 Conjuntos y Elementos Intuitivamente, un conjunto es cualquier colecci´n de objetos que pueda tratarse como una entidad. o A cada objeto de la colecci´n lo llamaremos elemento o miembro del conjunto. o A los conjuntos los designaremos con letras may´sculas y a sus elementos con letras min´sculas. La u u afirmaci´n “el elemento a pertenece al conjunto A” se escribe o a∈A y la negaci´n de este hecho, ¬(a ∈ A), se escribe o a∈A / La definici´n de un conjunto no debe ser ambigua en el sentido de que pueda decidirse cuando un objeto o particular pertenece, o no, a un conjunto. 1.1.2 Determinaci´n por Extensi´n o o Un conjunto est´ definido por extensi´n cuando se especifican todos los elementos que forman el a o mismo. Ejemplo 1.1 Los siguientes conjuntos est´n definidos por extensi´n. a o (a) El conjunto de las vocales del alfabeto. A = {a, e, i, o, u} (b) El conjunto formado por los n´meros enteros pares no negativos y menores que diez. u B = {0, 2, 4, 6, 8} Obs´rvese que los elementos del conjunto est´n separados por comas y encerrados entre llaves. e a Ejemplo 1.2 Definir por extensi´n los siguientes conjuntos. o (a) El conjunto de los enteros no negativos menores que cinco. (b) El conjunto de las letras de mi nombre. 2
  5. 5. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e (c) El conjunto cuyo unico elemento es el primer Presidente de Gobierno de la democracia. ´ (d) El conjunto de los n´meros primos entre 10 y 20. u (e) El conjunto de los m´ltiplos de 12 que son menores que 65. u Soluci´n o (a) A = {0, 1, 2, 3, 4} (b) B = {p, a, c, o} (c) C = {Adolfo Su´rez} a (d) D = {11, 13, 17, 19} (e) E = {12, 24, 36, 48, 60} Ejemplo 1.3 Definir, por extensi´n, los conjuntos siguientes: o (a) A = {x : x ∈ Z ∧ 3 < x < 12} (b) B = {x : x es un n´mero de un d´ u ıgito} (c) B = {x : x = 2 ∨ x = 5} Soluci´n o (a) A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} (b) B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (c) C = {2, 5} Nota 1.1 Los elementos de un conjunto infinito no pueden especificarse de una forma expl´ ıcita; consecuentemente, necesitaremos una forma alternativa de describir tales conjuntos impl´ ıcitamente. 1.1.3 Determinaci´n por Comprensi´n o o Se dice que un conjunto est´ definido por comprensi´n cuando se especifica una propiedad que caraca o teriza a todos los elementos del mismo. Esta propiedad o especificaci´n impl´ o ıcita, se hace a menudo mediante un predicado con una variable libre. El conjunto estar´ determinado por aquellos elementos del universo que hacen del predicado una a proposici´n verdadera. De aqu´ que si p(x) es un predicado con una variable libre, el conjunto o ı A = {x : p(x)} denota al conjunto A tal que a ∈ A si, y s´lo si p(a) es verdad. o Ejemplo 1.4 Definir por comprensi´n los siguientes conjuntos: o 3
  6. 6. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a (a) El conjunto de los enteros mayores que diez. (b) El conjunto de los enteros pares. (c) El conjunto {1, 2, 3, 4, 5} Soluci´n o (a) A = {x : x ∈ Z ∧ x > 10} (b) B = {x : x ∈ Z ∧ ∃y ∈ Z ∧ x = 2y} (c) C = {x : x ∈ Z ∧ 1 Ejemplo 1.5 x 5} Definir por extensi´n el siguiente conjunto dado por comprensi´n. o o A = x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0 Soluci´n o Dado que las soluciones de la ecuaci´n son 1 y 2, podemos escribir o A = {1, 2} Nota 1.2 Muchas veces se utilizan significados algo menos formales para describir conjuntos. Por ejemplo, el conjunto de los n´meros enteros mayores que diez, suele escribirse: u A = {x ∈ Z : x > 10} y el conjunto de los enteros pares, B = {x : x = 2y, y ∈ Z} A veces tanto en conjuntos finitos demasiado grandes como en conjuntos infinitos, se utiliza la elipsis matem´tica para caracterizar a los elementos de un conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los n´meros a u enteros del 1 al 100, C = {1, 2, 3, . . . , 100} o el conjunto de los enteros pares no negativos, D = {0, 2, 4, 6, . . .} Algunos conjuntos aparecer´n muy frecuentemente a lo largo del curso y se usan s´ a ımbolos especiales para designarlos. Z: Conjunto de los n´meros enteros. u N = Z+ : Conjunto de los n´meros naturales o enteros positivos. u Z+ : Conjunto de los enteros no negativos. 0 Q: Conjunto de los n´meros racionales. u R: Conjunto de los n´meros reales. u C: Conjunto de los n´meros complejos. u 4
  7. 7. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e Incluso si podemos especificar todos los elementos de un conjunto puede que no sea pr´ctico hacerlo. a Por ejemplo, no definir´ ıamos por extensi´n el conjunto de los estudiantes de la Universidad de C´diz que o a estudien Inform´tica, aunque te´ricamente es posible definirlo. a o As´ pues, describiremos un conjunto mediante un listado exhaustivo de sus elementos s´lo si contiene unos ı o pocos elementos, en caso contrario describiremos un conjunto mediante una propiedad que caracterice a los mismos. 1.1.4 Conjunto Universal En cualquier aplicaci´n de la teor´ de conjuntos, los elementos de todos los conjuntos en consideraci´n o ıa o pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto universal. Lo notaremos por U . Ejemplo 1.6 Para cada uno de los conjuntos siguientes, elegir un conjunto universal y un predicado apropiados para definirlo. (a) El conjunto de los enteros entre 0 y 100. (b) El conjunto de los enteros positivos impares. (c) El conjunto de los m´ltiplos de 10. u Soluci´n o (a) A = {x : x ∈ Z ∧ x > 0 ∧ x < 100} ´ A = {x ∈ Z : 0 < x < 100} o (b) B = {x : ∃y ∈ Z+ , x = 2y − 1} ´ B = {x : x = 2y − 1, y ∈ Z+ } o (c) C = {x : ∃y ∈ Z, x = 10y} ´ C = {x : x = 10y, y ∈ Z} o 1.1.5 Conjunto Vac´ ıo Al conjunto unico que no contiene elementos, lo llamaremos conjunto vac´ Lo notaremos con el ´ ıo. s´ ımbolo ∅ que proviene del alfabeto noruego. 1.1.6 Axioma de Extensi´n o Dos conjuntos A y B son iguales si, y s´lo si tienen los mismos elementos. Es decir, cada elemento o del conjunto A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A. Su expresi´n formal en notaci´n l´gica es: o o o A = B ⇐⇒ ∀x [(x ∈ A =⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)] o bien, A = B ⇐⇒ ∀x (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B) Nota 1.3 El axioma de extensi´n asegura que si dos conjuntos tienen los mismos elementos, ambos o son iguales, independientemente de como est´n definidos. e 5
  8. 8. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a Como todo conjunto tiene los mismos elementos que ´l mismo, se sigue que si un conjunto est´ definido e a por extensi´n, el orden el que los elementos figuren en ´l es intrascendente. As´ pues, los conjuntos o e ı {a, b, c}, {b, c, a} y {c, b, a} son iguales. Tambi´n se sigue del axioma de extensi´n que la aparici´n de un elemento m´s de una vez en un conjunto, e o o a es igualmente intrascendente. Por ejemplo, los conjuntos {a, b}, {a, b, b} y {a, a, a, b} son iguales ya que todo elemento de cualquiera de ellos est´ en los dem´s, por tanto, son especificaciones diferentes del a a mismo conjunto. Ejemplo 1.7 iguales. Determinar, en el conjunto de los n´meros enteros, cu´les de los siguientes conjuntos son u a A = x : x es par y x2 es impar B = {x : ∃y, y ∈ Z ∧ x = 2y} C = {1, 2, 3} D = {0, 2, −2, 3, −3, 4, −4, . . .} E = {2x : x ∈ Z} F = {3, 3, 2, 1, 2} G = x : x3 − 6x2 − 7x − 6 = 0 Soluci´n o Sea x cualquier n´mero entero, entonces u x es par =⇒ x = 2y, y ∈ Z =⇒ x2 = 4y 2 , y ∈ Z =⇒ x2 = 2(2y 2 ), 2y 2 ∈ Z =⇒ x2 es par Por lo tanto, la proposici´n ∀x(x es par ∧ x2 es impar) es falsa o dicho de otra forma no hay o ning´n n´mero par cuyo cuadrado sera impar y, por lo tanto, A no tiene elementos es decir es el u u conjunto vac´ ıo. x ∈ B ⇐⇒ ∃y : y ∈ Z ∧ x = 2y ⇐⇒ x es par, luego B = {x ∈ Z : x es par} x ∈ C ⇐⇒ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3 E = {0, 2, −2, 4, −4, 6, −6, . . .} = {x ∈ Z : x es par} x ∈ F ⇐⇒ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3 x ∈ G ⇐⇒ x3 − 6x2 − 7x − 6 = 0 Pero no existe ning´n n´mero entero que satisfaga la ecuaci´n anterior, por lo tanto, G es el u u o conjunto vac´ ıo. De todo lo anterior, se sigue que ∗ ∗ ∗ ∗ A=G B=E C=F El conjunto D no es igual a ninguno de los otros. 6
  9. 9. Matem´tica Discreta a Ejemplo 1.8 Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e Dar una condici´n necesaria y suficiente para que dos conjuntos sean distintos. o Soluci´n o Sean A y B dos conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U . Entonces, por el axioma de extensi´n o A = B ⇐⇒ ∀x [(x ∈ A =⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)] de aqu´ que por asociatividad (??), tengamos que ı A = B ⇐⇒ [∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B) ∧ ∀x (x ∈ B =⇒ x ∈ A)] y si ahora negamos ambos miembros, tendremos ¬(A = B) ⇐⇒ ¬ [∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B) ∧ ∀x (x ∈ B =⇒ x ∈ A)] por lo tanto, ⇐⇒ ¬ [∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B) ∧ ∀x (x ∈ B =⇒ x ∈ A)] ⇐⇒ [¬∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B)] ∨ [¬∀x (x ∈ B =⇒ x ∈ A)] {De Morgan} ⇐⇒ [∃x : ¬ (x ∈ A =⇒ x ∈ B)] ∨ [∃x : ¬ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)] {Regla General} ⇐⇒ [∃x : ¬ (¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B))] ∨ [∃x : ¬ (¬(x ∈ B) ∨ (x ∈ A))] {Implicaci´n} o ⇐⇒ [∃x : (¬¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B))] ∨ [∃x : (¬¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ A))] {De Morgan} ⇐⇒ A=B [∃x : (x ∈ A ∧ x ∈ B)] ∨ [∃x : (x ∈ B ∧ x ∈ A)] / / {Doble Negaci´n} o As´ pues, una condici´n necesaria y suficiente para que dos conjuntos A y B sean distintos es que exista ı o un elemento en A que no est´ en B o que exista un elemento en B que no est´ en A. e e 1.2 1.2.1 Inclusi´n de conjuntos o Subconjuntos Sean A y B dos conjuntos. Diremos que A est´ contenido en B o que es un subconjunto de B, y lo a notaremos por A ⊆ B, si cada elemento de A es un elemento de B, es decir, A ⊆ B ⇐⇒ ∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B) Tambi´n puede decirse que B contiene a A, en cuyo caso escribiremos B ⊇ A. e Ejemplo 1.9 Probar que el conjunto A = x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0 es subconjunto del B = {1, 2, 3} Soluci´n o En efecto, sea a un elemento cualquiera de R, o sea, un n´mero real arbitrario. Entonces, u a ∈ A ⇐⇒ a2 − 3a + 2 = 0 ⇐⇒ a = 2 ´ a = 1 =⇒ a ∈ B o luego ∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B) y seg´n la definici´n anterior, A ⊆ B. u o Ejemplo 1.10 Dar una condici´n necesaria y suficiente para que un conjunto A no est´ contenido en o e otro conjunto B. Soluci´n o 7
  10. 10. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a ¬(A ⊆ B) ¬ [∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B)] ⇐⇒ ∃x : [¬ (x ∈ A =⇒ x ∈ B)] ⇐⇒ ∃x : [¬ (¬(x ∈ A) ∨ (x ∈ B))] ⇐⇒ ∃x : [¬¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)] ⇐⇒ B ⇐⇒ ⇐⇒ A ∃x : (x ∈ A ∧ x ∈ B) / es decir, una condici´n necesaria y suficiente para que A no est´ contenido en B es que exista, al menos, o e un elemento en A que no est´ en B. e Ejemplo 1.11 ¿Es B = {1, 2, 3} un subconjunto de A = x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0 ? Soluci´n o No, ya que 3 ∈ B y, sin embargo, 32 − 3 · 3 + 2 = 2 = 0, luego 3 ∈ A, es decir, hemos encontrado un / elemento en B que no est´ en A, por tanto, B A. a 1.2.2 Inclusi´n Estricta o Si A ⊆ B y adem´s B tiene un elemento que no est´ en A, diremos que A est´ estrictamente incluido a a a en B o que A es un subconjunto propio de B y lo notaremos por A ⊂ B. A ⊂ B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ [∃x : (x ∈ B ∧ x ∈ A)] / Ejemplo 1.12 tenido en otro. Dar una condici´n necesaria y suficiente para que un conjunto est´ estrictamente cono e Soluci´n o Sean A y B dos conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U . Entonces, seg´n acabamos de ver u A ⊂ B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ [∃x : (x ∈ B ∧ x ∈ A)] / de donde, teniendo en cuenta el resultado del ejemplo 1.8, se sigue que A ⊂ B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ A = B Nota 1.4 Los conjuntos tambi´n son objetos, luego pueden ser elementos de otros conjuntos, por e ejemplo, el conjunto A = {{a, b} , {a, c} , {b} , {c}} tiene cuatro elementos que son los conjuntos {a, b} , {a, c} , {b} y {c}. Si tuvi´ramos una caja con tres e paquetes de caramelos, la considerar´ ıamos como una caja con paquetes antes que una caja con caramelos, por lo que se tratar´ de un conjunto (la caja) con tres elementos (los paquetes). ıa An´logamente, si A es un conjunto, entonces {A} es un conjunto con un unico elemento, A, sin impora ´ tarnos cuantos elementos tenga A. Un caso curioso ocurre con el conjunto vac´ ∅. Una caja con un paquete vac´ de caramelos no es una ıo, ıo caja vac´ ya que contiene algo, un paquete. De la misma forma {∅} es un conjunto con un elemento ıa mientras que ∅ no contiene elementos, as´ que ∅ y {∅} son conjuntos distintos. Tendremos que ∅ ∈ {∅} e ı incluso ∅ ⊆ {∅}, pero ∅ = {∅}. Ejemplo 1.13 Describir brevemente la diferencia entre los conjuntos {a} y {{a}} y entre los conjuntos ∅, {∅} y {∅, {∅}}. 8
  11. 11. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e Soluci´n o {a} es un conjunto cuyo unico elemento es el a. ´ {{a}} es un conjunto cuyo unico elemento es el conjunto {a}. ´ ∅. Conjunto unico que no tiene elementos (definici´n 1.1.5). ´ o {∅}. Conjunto con un unico elemento que es el ∅. ´ {∅, {∅}}. Conjunto con dos elementos, el ∅ y el {∅}. 1.2.3 Proposici´n o Sea U el conjunto universal y A un conjunto cualquiera. Entonces A ⊆ U . Demostraci´n o La demostraci´n es un ejemplo de demostraci´n trivial basada en la definici´n de conjunto universal que o o o nos permite afirmar que la proposici´n ∀x, x ∈ U es una tautolog´ es decir es verdad siempre. o ıa, El conjunto A es un subconjunto de U si, y s´lo si la implicaci´n o o x ∈ A =⇒ x ∈ U es verdad para cada x de U . Pero x ∈ U es verdad para todos los x, luego la implicaci´n tambi´n es o e verdad independientemente de que x ∈ A sea verdadero o falso. Como x es un elemento arbitrario de U , se sigue que ∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ U ) es verdad y, por lo tanto, A⊆U 1.2.4 Proposici´n o Sea A un conjunto cualquiera, entonces ∅ ⊆ A. Demostraci´n o Esta demostraci´n es un ejemplo de demostraci´n vac´ ya que la definici´n de conjunto vac´ nos permite o o ıa o ıo afirmar que la proposici´n ∃x : x ∈ ∅ es una contradicci´n, es decir siempre es falsa. o o Pues bien, sea x un elemento arbitrario del universal. Como x ∈ ∅ es falsa para todos los elementos de U tendremos que la implicaci´n o x ∈ ∅ =⇒ x ∈ A es verdadera. De la arbitrariedad de x se sigue que ∀x (x ∈ ∅ =⇒ x ∈ A) y, consecuentemente, ∅⊆A Ejemplo 1.14 Determinar los subconjuntos de un conjunto. 9
  12. 12. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a (a) Veamos cuantos subconjuntos tiene el conjunto {a, b}. De la proposici´n 1.2.4 se sigue que el conjunto vac´ ∅ es uno de ellos. Por otra parte, a ∈ A o ıo, y b ∈ B luego por la definici´n de inclusi´n (1.2.1), {a}, {b} y {a, b} son subconjuntos de {a, b}. o o Consecuentemente, el conjunto propuesto tiene cuatro subconjuntos distintos: ∅, {a} , {b} , y {a, b} Obs´rvese que {a} ⊆ {a, b} y a ∈ {a, b}, pero a e ∅ ∈ {a, b} / {a, b} y {a} ∈ {a, b}. Tambi´n ∅ ⊆ {a, b}, pero / e (b) El conjunto {{a}} es un conjunto unitario ya que tiene un unico elemento, el conjunto {a}. Sus ´ subconjuntos son el ∅ y el {{a}}. Ejemplo 1.15 Determinar todos los subconjuntos de los siguientes conjuntos: (a) {1, 2, 3} (b) {1, {2, 3}} (c) {{1, {2, 3}}} (d) {∅} (e) {∅, {∅}} (f) {{1, 2} , {2, 1, 1} , {2, 1, 1, 2}} (g) {{∅, 2} , {2}} Soluci´n o Utilizaremos la definici´n de subconjunto (1.2.1), o A ⊆ B ⇐⇒ ∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B) (a) {1, 2, 3} ∅ ⊆ {1, 2, 3} (Proposici´n 1.2.4). o 1 ∈ {1, 2, 3}, luego {1} ⊆ {1, 2, 3}. 2 ∈ {1, 2, 3}, luego {2} ⊆ {1, 2, 3}. 3 ∈ {1, 2, 3}, luego {3} ⊆ {1, 2, 3}. 1 ∈ {1, 2, 3} y 2 ∈ {1, 2, 3}, luego {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}. 1 ∈ {1, 2, 3} y 3 ∈ {1, 2, 3}, luego {1, 3} ⊆ {1, 2, 3}. 2 ∈ {1, 2, 3} y 3 ∈ {1, 2, 3}, luego {2, 3} ⊆ {1, 2, 3}. 1 ∈ {1, 2, 3}, 2 ∈ {1, 2, 3} y 3 ∈ {1, 2, 3}, luego {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3}. por lo tanto, los subconjuntos de {1, 2, 3} son ∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} y {1, 2, 3} (b) {1, {2, 3}}. Aqu´ tenemos que 1 y {2, 3} son los dos elementos que tiene este conjunto, luego ı razonando igual que en el apartado anterior, sus subconjuntos son: ∅, {1} , {{2, 3}} y {1, {2, 3}} (c) {{1, {2, 3}}}. Este conjunto tiene un unico elemento que es {1, {2, 3}}, por lo tanto sus subconjuntos ´ son: ∅ y {{1, {2, 3}}} 10
  13. 13. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e (d) {∅}. Este conjunto tiene un elemento que es ∅, por lo tanto tiene dos subconjuntos, ∅ (por 1.2.4) y {∅} (por 1.2.1) (e) {∅, {∅}}. Este conjunto tiene dos elementos, ∅ y {∅}, por lo tanto sus subconjuntos son ∅ (por 1.2.4) y {∅} , {{∅}} y {∅, {∅}} (por 1.2.1) (f) {{1, 2} , {2, 1, 1} , {2, 1, 1, 2}}. Obs´rvese que e {1, 2} = {2, 1, 1} = {2, 1, 1, 2} luego el conjunto propuesto es {{1, 2}} y, por lo tanto, sus subconjuntos son ∅ y {{1, 2}} (g) {{∅, 2} , {2}}. Siguiendo un razonamiento id´ntico a los anteriores apartados, sus subconjuntos son e ∅, {{∅, 2}} , {{2}} y {{∅, 2} , {2}} 1.2.5 Caracterizaci´n de la Igualdad o Sean A y B dos conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U . Entonces A = B si, y s´lo si o A ⊆ B y B ⊆ A. Demostraci´n o “S´lo si.” A = B =⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A o En efecto, supongamos que A = B. Entonces por el axioma de extensi´n, cada elemento de o A es un elemento de B luego por definici´n de subconjunto, A ⊆ B. As´ pues, si A = B, o ı entonces A ⊆ B. Utilizando los mismos argumentos, aunque intercambiando los papeles de A y B, tendremos que si A = B, entonces B ⊆ A. De aqu´ que ı (A = B =⇒ A ⊆ B) ∧ (A = B =⇒ B ⊆ A) lo cual equivale a A = B =⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A “Si.” A ⊆ B ∧ B ⊆ A =⇒ A = B En efecto, (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) =⇒ [(∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ B)] ∧ [(∀x (x ∈ B =⇒ x ∈ A)] consecuentemente, por el axioma de extensi´n o A=B Este teorema lo utilizaremos con mucha frecuencia para comprobar que dos conjuntos son iguales, es decir, para probar que A = B, probaremos que A ⊆ B y B ⊆ A. 11
  14. 14. Universidad de C´diz a 1.2.6 Departamento de Matem´ticas a Corolario De la caracterizaci´n anterior se sigue que para cualquier conjunto A, se verifica que A ⊆ A. o 1.2.7 Transitividad de la Inclusi´n o Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U . Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C. Demostraci´n o Sea x un elemento arbitrario del universal U . De A ⊆ B, se sigue que x ∈ A =⇒ x ∈ B De B ⊆ C, se sigue que x ∈ B =⇒ x ∈ C De la transitividad de la implicaci´n l´gica se sigue que o o x ∈ A =⇒ x ∈ C y al ser x arbitrario, tendremos ∀x (x ∈ A =⇒ x ∈ C) por lo tanto, A⊆C Ejemplo 1.16 Sean A, B y C tres conjuntos. Si A ∈ B y B ∈ C, ¿es posible que A ∈ C?, ¿es siempre verdad que A ∈ C?. Da ejemplos de tus afirmaciones. Soluci´n o En efecto, es posible. Por ejemplo, sean A = {a} B = {{a}} C = {{{a}} , {a}} entonces, A ∈ B, B ∈ C y A ∈ C. Ahora bien, esto no es verdad siempre. En efecto, sean A = {a} , B = {{a}} y C = {{{a}}} entonces, A∈B yB∈C y sin embargo, A∈C / Ejemplo 1.17 Estudiar la relaci´n que existe entre los siguientes conjuntos: o A = {1, 2} B = {1, 3} C = x ∈ R : x2 − 4x + 3 = 0 D = x ∈ R : x2 − 3x + 2 = 0 E = {x ∈ Z+ : x < 3} F = {x ∈ Z+ : x es impar y x < 5} 12
  15. 15. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e Soluci´n o A y B son distintos, ya que 2 ∈ A y 2 ∈ B y 3 ∈ B y 3 ∈ A. As´ pues, hemos encontrado un elemento en / / ı A que no est´ en B y un elemento en B que no est´ en A. Por tanto, por el resultado del ejemplo 1.8, a a A = B. Ahora observemos lo siguiente: Sea x un n´mero real arbitrario. Entonces, u x ∈ C ⇐⇒ x2 − 4x + 3 = 0 ⇐⇒ x = 1 ∨ x = 3 ⇐⇒ x ∈ B o sea, C = B x ∈ D ⇐⇒ x2 − 3x + 2 = 0 ⇐⇒ x = 1 ∨ x = 2 ⇐⇒ x ∈ A es decir, A = D. Sea x un entero positivo cualquiera. Entonces, x ∈ E ⇐⇒ x < 3 ⇐⇒ x = 1 ∨ x = 2 ⇐⇒ x ∈ A por lo tanto, A = E. Sea x un entero positivo cualquiera. Entonces, x ∈ F ⇐⇒ x es impar x < 5 ⇐⇒ x = 1 ∨ x = 3 ⇐⇒ x ∈ B por lo tanto, F = B. Consecuentemente, A=B A=C A=D A=E A=F Nota 1.5 2 2 2 2 B=C B=D B=E B=F 2 2 2 C=D C=E C=F 2 2 D=E D=F 2 E=F Con el conjunto vac´ puede construirse una sucesi´n infinita de conjuntos distintos. ıo o En la sucesi´n, o ∅, {∅} , {{∅}} , {{{∅}}} , . . . el primer conjunto no tiene ning´n elemento y cada uno de los restantes tiene, exactamente, un elemento u que es el conjunto que le precede en la sucesi´n. o En la sucesi´n, o ∅, {∅} , {∅, {∅}} , {∅, {∅} , {∅, {∅}}} , {∅, {∅} , {∅, {∅}} , {∅, {∅} , {∅, {∅}}}} cada conjunto tiene como elementos todos los conjuntos que le preceden en la sucesi´n. As´ contando o ı, desde cero, el conjunto que ocupa el lugar k tiene k elementos. 1.3 Diagramas de Venn Una representaci´n gr´fica para los conjuntos son los diagramas de Venn. El conjunto universal se o a representa por el interior de un rect´ngulo y todos los dem´s conjuntos se representan por regiones a a cerradas incluidos en el mismo. 13
  16. 16. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a U U U A B B B A A (a) A ⊆ B (b) A y B son disjuntos (c) A y B no son disjuntos Diagramas de Venn − Si A es un subconjunto de B, A ⊆ B, entonces la regi´n que representa a A, estar´ contenida en o a la que representa a B (apartado (a) de la figura). − Si A y B no tienen elementos en com´n (A y B son disjuntos), entonces la regi´n que representa u o a A estar´ separada completamente de la regi´n que representa a B (apartado (b) de la figura). a o − Si A y B son dos conjuntos arbitrarios, entonces es posible que algunos elementos est´n en A pero e no en B, algunos en B pero no en A, algunos en los dos, A y B, y algunos ni en A, ni en B (apartado (c) en la figura). 14
  17. 17. Apuntes de Matem´tica Discreta a 2. Operaciones con Conjuntos Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e C´diz, Octubre de 2004 a
  18. 18. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a ii
  19. 19. Lecci´n 2 o Operaciones con Conjuntos Contenido 2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 16 Intersecci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 16 2.1.3 Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.4 Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.5 2.2 Uni´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.1.2 Diferencia Sim´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 17 Algebra de conjuntos. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Leyes Conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.3 Leyes Asociativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.4 Leyes Distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.5 Leyes de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.6 Ley Involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.7 Leyes del Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.8 2.3 Leyes Idempotentes 2.2.2 Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Conjunto de las Partes de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 2.4 Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 29 Producto cartesiano de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.1 n-tupla ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.2 Igualdad de n-tuplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.3 Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.4 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Introduciremos las operaciones con conjuntos que nos van a permitir obtener nuevos conjuntos, partiendo de conjuntos ya conocidos. A y B ser´n dos conjuntos cualesquiera de un universal arbitrario U . a 2.1 Definiciones Definiremos las principales operaciones entre conjuntos. 15
  20. 20. Universidad de C´diz a 2.1.1 Departamento de Matem´ticas a Uni´n o La uni´n de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o o a B. Se nota A ∪ B. A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} . La disyunci´n, ∨, se utiliza en el sentido inclusivo, es decir, significa “y/o”. o 2.1.2 Intersecci´n o La intersecci´n de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen o a A y a B. Se nota A ∩ B. A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} Si A y B no tienen elementos en com´n, es decir, si A ∩ B = ∅, entonces diremos que A y B son u conjuntos disjuntos. Ejemplo 2.1 Sean A, B y C tres conjuntos. (a) Demostrar que si C ⊆ A y C ⊆ B, entonces C ⊆ (A ∩ B), es decir, A ∩ B es el mayor conjunto que contiene a A y a B. (b) Demostrar que si C ⊇ A y C ⊇ B, entonces C ⊇ (A ∪ B), es decir, A ∪ B es el conjunto m´s a peque˜o que contiene a A y a B. n Soluci´n o (a) Supongamos que C ⊆ A y C ⊆ B, entonces la proposici´n o ∀x (x ∈ C =⇒ x ∈ A) ∧ ∀x (x ∈ C =⇒ x ∈ B) es verdad. Esta proposici´n es equivalente a o ∀x [(x ∈ C =⇒ x ∈ A) ∧ (x ∈ C =⇒ x ∈ B)] la cual, a su vez, equivale a ∀x, [ x ∈ C =⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B)] de aqu´ que ı ∀x, x ∈ C =⇒ x ∈ [(A ∩ B)] y, por lo tanto, C ⊆A∩B (b) Supongamos que C ⊇ A y que C ⊇ B, y sea x un elemento arbitrario de A ∪ B entonces, x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x∈A ∨ x∈B {Definici´n de uni´n} o o =⇒ x∈C ∨x∈C {Por hip´tesis} o ⇐⇒ x∈C {Idempotencia de ∨} luego, ∀x, (x ∈ A ∪ B =⇒ x ∈ C) de aqu´ que ı C ⊇ (A ∪ B) 16
  21. 21. Matem´tica Discreta a 2.1.3 Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e Diferencia La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se nota por A B. A B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} / El conjunto A B se lee “A menos B” y recibe tambi´n el nombre de complementario relativo del e conjunto B respecto del conjunto A. 2.1.4 Complementario El complementario de un conjunto A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal que no pertenecen a A. Se nota Ac . Ac = {x : x ∈ U ∧ x ∈ A} / Obs´rvese que el complementario de A es igual a la diferencia entre U y A, es decir, Ac = U A. e 2.1.5 Diferencia Sim´trica e La diferencia sim´trica entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que e pertenecen a A o a B pero no a ambos. Se nota por A B. A B = (A B) ∪ (B A) A∪B A AB B A∩B Operaciones con conjuntos 17 BA
  22. 22. Universidad de C´diz a Ejemplo 2.2 Departamento de Matem´ticas a Sean los conjuntos A = {n ∈ Z+ : n 13} + B = {n ∈ Z : n es par y n 20} C = {n ∈ Z+ : n es par} Hallar A ∪ B, A ∩ B, Ac , B c , A B, B A, A B, B ∩ C y B C. Soluci´n o 18
  23. 23. Matem´tica Discreta a A∪B Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e = {n ∈ Z+ : n 13} ∪ {n ∈ Z+ : n es par y n 20} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} ∪ {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 20} A∩B = {n ∈ Z+ : n 13} ∩ {n ∈ Z+ : n es par y n 20} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} ∩ {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} = {2, 4, 6, 8, 10, 12} Ac = {n ∈ Z+ : n ∈ A} / = {n ∈ Z+ : n > 13} Bc = {n ∈ Z+ : n ∈ B} / = {n ∈ Z+ : ¬(n ∈ B)} = {n ∈ Z+ : ¬ [n es par ∧ (n 20)]} + = {n ∈ Z : ¬(n es par) ∨ ¬(n 20)} = {n ∈ Z+ : (n es impar) ∨ (n > 20)} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .} ∪ {21, 22, 23, 24, . . .} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 24, . . .} AB = {n ∈ Z+ : n ∈ A ∧ n ∈ B} / = {n ∈ Z+ : n ∈ A ∧ n ∈ B c } = {n ∈ Z+ : n 13 ∧ n ∈ B c } = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} B A = {n ∈ Z+ : n ∈ B ∧ n ∈ A} / = {n ∈ Z+ : n ∈ B ∧ n ∈ Ac } = {n ∈ Z+ : n es par y n 20 y n > 13} = {n ∈ Z+ : n es par y 14 n 20} = {14, 16, 18, 20} A B = (A B) ∪ (B A) = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} ∪ {14, 16, 18, 20} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 20} = {n ∈ Z+ : n es par y n 20} ∩ {n ∈ Z+ : n es par} = {n ∈ Z+ : n es par y n B∩C 20 y n es par} = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} BC = {n ∈ Z+ : n ∈ B y n ∈ C} / = {n ∈ Z+ : n es par y n 20 y n es impar} = ∅ 19
  24. 24. Universidad de C´diz a 2.2 Departamento de Matem´ticas a Algebra de conjuntos. Dualidad Bajo las operaciones definidas en los apartados anteriores, los conjuntos satisfacen varias leyes o identidades. Observaremos que existe una dualidad entre las leyes que utilizan la intersecci´n y las que utilizan o la uni´n. o 2.2.1 Leyes Idempotentes Dado cualquier conjunto A en un universal arbitrario U , se verifica: 1. A ∪ A = A 2. A ∩ A = A Demostraci´n o En efecto, sea x un elemento arbitrario del universal U . Entonces, 1. x ∈ (A ∪ A) ⇐⇒ ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ A {Definici´n de uni´n} o o x∈A {Idempotencia de ∨} De la arbitrariedad de x se sigue que ∀x [x ∈ (A ∪ A) ⇐⇒ x ∈ A] de aqu´ que ı A∪A=A 2. An´logamente se prueba que A ∩ A = A. a 2.2.2 Leyes Conmutativas Dados dos conjuntos A y B de un universal arbitrario U , se verifica: 1. A ∪ B = B ∪ A 2. A ∩ B = B ∩ A Demostraci´n o En efecto, 1. Sea x cualquier elemento de U . Entonces, x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x∈A∨ x∈B {Definici´n de uni´n} o o ⇐⇒ x ∈ B ∨ x ∈ A {Commutatividad de ∨} ⇐⇒ x ∈ (B ∪ A) {Definici´n de uni´n} o o Como x es cualquiera de U , se sigue que ∀x [x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ B ∪ A] por lo tanto, A∪B =B∪A 2. De una forma similar se demuestra que A ∩ B = B ∩ A. 20
  25. 25. Matem´tica Discreta a 2.2.3 Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e Leyes Asociativas Dados tres conjuntos A, B y C de un universal arbitrario, U , se verifica: 1. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Demostraci´n o En efecto, sea x es un elemento arbitrario de U . Entonces, 1. x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A ∨ [x ∈ (B ∪ C)] {Definici´n de uni´n} o o ⇐⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) {Definici´n de uni´n} o o ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C {Asociatividad de ∨} ⇐⇒ (x ∈ A ∪ B) ∨ x ∈ C {Definici´n de uni´n} o o ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∪ C {Definici´n de uni´n} o o De la arbitrariedad de x se sigue que ∀x [x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∪ C] de aqu´ que ı A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C 2. An´logamente se demuestra que a A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C 2.2.4 Leyes Distributivas Dados tres conjuntos A, B y C de un conjunto universal arbitrario, U , se verifica: 1. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 2. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Demostraci´n o En efecto, 1. En efecto, sea x cualquier elemento del conjunto universal U , entonces x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇐⇒ x ∈ A ∨ [x ∈ (B ∩ C)] {Definici´n de uni´n} o o ⇐⇒ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) {Definici´n de intersecci´n} o o ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C) {Distributividad} ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∪ C) {Definici´n de uni´n} o o ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) {Definici´n de intersecci´n} o o Al ser x cualquier elemento de U , se sigue que ∀x [x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)] 21
  26. 26. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a consecuentemente, A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 2. De una forma similar se prueba que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 2.2.5 Leyes de Identidad Dado un conjunto cualquiera de un universal arbitrario, U , se verifica: 1. A ∪ ∅ = A 2. A ∪ U = U 3. A ∩ ∅ = ∅ 4. A ∩ U = A Demostraci´n o 1. A ∪ ∅ = A. En efecto, sea x es un elemento arbitrario de U . Entonces, x ∈ (A ∪ ∅) ⇐⇒ ⇐⇒ x∈A ∨ x∈∅ {Definici´n de uni´n} o o x∈A {x ∈ ∅ es falso siempre} luego, ∀x [x ∈ (A ∪ ∅) ⇐⇒ x ∈ A] de aqu´ que ı A∪∅=A 2. A ∪ U = U . Sea x un elemento cualquiera de U . Entonces, x ∈ (A ∪ U ) ⇐⇒ x∈A ∨ x∈U x∈U ⇐⇒ {Definici´n de uni´n} o o {x ∈ U es verdad siempre} luego, ∀x [x ∈ (A ∪ U ) ⇐⇒ x ∈ U ] es decir, A∪U =U 3. A ∩ ∅ = ∅. Si x es cualquiera de U , entonces x ∈ (A ∩ ∅) ⇐⇒ ⇐⇒ x∈A ∧ x∈∅ {Definici´n de uni´n} o o x∈∅ {x ∈ ∅ es falso siempre} luego, A∩∅=∅ 4. A ∩ U = A. Sea x un elemento arbitrario de U . Entonces, x∈A∩U ⇐⇒ x∈A ∧ x∈U {Definici´n de intersecci´n} o o ⇐⇒ x∈A {x ∈ U es verdad siempre} luego, A∩U =A 22
  27. 27. Matem´tica Discreta a 2.2.6 Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e Ley Involutiva Dado un conjunto cualquiera A de un universal U , se verifica: (Ac )c = A Demostraci´n o Sea x cualquiera de U . Entonces, c x ∈ (Ac ) ⇐⇒ x ∈ Ac / {Definici´n de complementario} o c ⇐⇒ ¬(x ∈ A ) {Negaci´n} o ⇐⇒ ¬(x ∈ A) / {Definici´n de complementario} o ⇐⇒ ¬¬(x ∈ A) {Negaci´n} o ⇐⇒ x∈A {Doble negaci´n} o luego, c ∀x [x ∈ (Ac ) ⇐⇒ x ∈ A] es decir, c (Ac ) = A 2.2.7 Leyes del Complementario Dado un conjunto cualquiera A de un universal arbitrario U , se verifica: 1. A ∪ Ac = U 2. U c = ∅ 3. A ∩ Ac = ∅ 4. ∅c = U Demostraci´n o 1. A ∪ Ac = U . En efecto, sea x cualquier elemento de U . Entonces, x ∈ (A ∪ Ac ) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ Ac {Definici´n de uni´n} o o ⇐⇒ x∈A ∨ x∈A / {Complementario} ⇐⇒ x ∈ A ∨ ¬(x ∈ A) {Negaci´n} o ⇐⇒ x∈U {Tautolog´ ıa} luego, ∀x [x ∈ (A ∪ Ac ) ⇐⇒ x ∈ U ] por lo tanto, A ∪ Ac = U 2. U c = ∅. En efecto, U c = {x ∈ U : x ∈ U c } = {x ∈ U ∧ x ∈ U } = ∅ / 23
  28. 28. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a 3. A ∩ Ac = ∅. En efecto, A ∩ Ac = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ Ac } = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ A} = ∅ / 4. ∅c = U . En efecto, ∅c = {x ∈ U : x ∈ ∅c } = {x ∈ U : x ∈ ∅} = {x ∈ U } = U / 2.2.8 Leyes de De Morgan Dados dos conjuntos A y B en un universal U , se verifica: 1. (A ∪ B)c = Ac ∩ B c 2. (A ∩ B)c = Ac ∪ B c Demostraci´n o 1. (A ∪ B)c = Ac ∩ B c En efecto, sea x un elemento arbitrario del conjunto universal U . Entonces, x ∈ (A ∪ B)c ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) / {Definici´n de complementario} o ⇐⇒ ¬ [x ∈ (A ∪ B)] {Negaci´n} o ⇐⇒ ¬ [(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)] {Definici´n de uni´n} o o ⇐⇒ ¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B) {De Morgan para ∨} ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) / / {Negaci´n} o ⇐⇒ (x ∈ Ac ) ∧ (x ∈ B c ) {Definici´n de complementario} o ⇐⇒ c c x ∈ (A ∩ B ) {Definici´n de intersecci´n} o o y al ser x un elemento arbitrario de U , se sigue que c ∀x [x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ (Ac ∩ B c )] luego, (A ∪ B)c = Ac ∩ B c 2. An´logamente se prueba que a (A ∩ B)c = Ac ∪ B c Ejemplo 2.3 Entonces, Sean A, B, C y D subconjuntos arbitrarios de un conjunto universal arbitrario, U . (a) A B ⊆ A (b) Si A ⊆ B y C ⊆ D, entonces (A ∪ C) ⊆ (B ∪ D) (c) Si A ⊆ B y C ⊆ D, entonces (A ∩ C) ⊆ (B ∩ D) (d) A ⊆ (A ∪ B) (e) A ∩ B ⊆ A 24
  29. 29. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e (f) Si A ⊆ B, entonces A ∪ B = B (g) Si A ⊆ B, entonces A ∩ B = A (h) A ∅ = A (i) A ∩ (B A) = ∅ (j) A ∪ (B A) = A ∪ B (k) A (B ∪ C) = (A B) ∩ (A C) (l) A (B ∩ C) = (A B) ∪ (A C) Soluci´n o (a) A B ⊆ A En efecto, sea x un elemento arbitrario de U , x∈AB ⇐⇒ x∈A ∧ x∈B / {Definici´n de diferencia} o =⇒ x∈A {Simplificaci´n} o luego, ∀x [x ∈ A B =⇒ x ∈ A] consecuentemente, AB ⊆A (b) Si A ⊆ B y C ⊆ D, entonces (A ∪ C) ⊆ (B ∪ D) En efecto, supongamos que A ⊆ B y C ⊆ D y sea x un elemento arbitrario de U , entonces x∈A∪C ⇐⇒ x∈A ∨ x∈C {Definici´n de uni´n} o o =⇒ x∈B ∨ x∈D {Hip´tesis} o ⇐⇒ x ∈ (B ∪ D) {Definici´n de uni´n} o o luego, ∀x [x ∈ (A ∪ C) =⇒ x ∈ (B ∪ D)] por lo tanto, A∪C ⊆B∪D (c) Si A ⊆ B y C ⊆ D, entonces (A ∩ C) ⊆ (B ∩ D) Se prueba de forma an´loga a la anterior. a (d) A ⊆ (A ∪ B) En efecto, si x es cualquiera de U , entonces x∈A =⇒ x∈A ∨ x∈B {Adici´n} o ⇐⇒ x∈A∪B {Definici´n de uni´n} o o luego, ∀x [x ∈ A =⇒ x ∈ (A ∪ B)] de aqu´ que ı A ⊆ (A ∪ B) 25
  30. 30. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a (e) A ∩ B ⊆ A En efecto, sea x un elemento cualquiera de A ∩ B. Entonces, x∈A∩B ⇐⇒ x∈A ∧ x∈B {Definici´n de intersecci´n} o o =⇒ x∈A {Simplificaci´n} o luego, ∀x [x ∈ (A ∩ B) =⇒ x ∈ A] de donde se sigue A∩B ⊆A (f) Si A ⊆ B, entonces A ∪ B = B En efecto, sea x cualquiera de U y supongamos que A ⊆ B. x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x∈A ∨ x∈B {Definici´n de uni´n} o o =⇒ x∈B ∨ x∈B {Hip´tesis} o ⇐⇒ x∈B {Idempotencia de ∨} luego, ∀x [x ∈ (A ∪ B) =⇒ x ∈ B] por lo tanto, A∪B ⊆B y por (d) B ⊆ (A ∪ B) De la doble inclusi´n se sigue la igualdad que buscamos. o (g) Si A ⊆ B, entonces A ∩ B = A Por el apartado (e), tenemos que A∩B ⊆A Veamos la inclusi´n contraria. o Supongamos que A ⊆ B y sea x un elemento arbitrario de U , entonces x∈A =⇒ x∈A ∧ x∈B {Hip´tesis} o ⇐⇒ x ∈ (A ∩ B) {Definici´n de intersecci´n} o o luego, ∀x [x ∈ A =⇒ x ∈ (A ∩ B)] de aqu´ que ı A ⊆ (A ∩ B) Tenemos, pues, que A ⊆ (A ∩ B) y (A ∩ B) ⊆ A por lo tanto, A=A∩B (h) A ∅ = A Sea x cualquiera de U . Entonces, x∈A∅ ⇐⇒ x∈A ∧ x∈∅ / {Definici´n de diferencia} o ⇐⇒ x∈A {Por ser x ∈ ∅ verdad, siempre} / luego, A ∅ = {x : x ∈ A} = A 26
  31. 31. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e (i) A ∩ (B A) = ∅ En efecto, A ∩ (B A) = A ∩ (B ∩ Ac ) {Diferencia de conjuntos} = A ∩ (Ac ∩ B) {Conmutatividad de la uni´n} o (A ∩ Ac ) ∩ B = {Asociatividad de la intersecci´n} o = ∅∩B {Leyes del complementario} = ∅ {Leyes de identidad} (j) A ∪ (B A) = A ∪ B En efecto, A ∪ (B A) = A ∪ (B ∩ Ac ) {Diferencia de conjuntos} = (A ∪ B) ∩ (A ∪ Ac ) {Distributividad} = (A ∪ B) ∩ U {Leyes del complementario} = A∪B {Leyes de identidad} (k) A (B ∪ C) = (A B) ∩ (A C) A (B ∪ C) c {Diferencia de conjuntos} c {De Morgan} = A ∩ (B ∪ C) c = A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ A) ∩ (B c ∩ C c ) {Idempotencia de la intersecci´n} o = (A ∩ B c ) ∩ (A ∩ C c ) {Commutatividad y asociatividad} = (A B) ∩ (A C) {Diferencia de conjuntos} (l) A (B ∩ C) = (A B) ∪ (A C) La demostraci´n es similar a la del apartado anterior. o Ejemplo 2.4 Probar las identidades siguientes: (a) A ∪ (A ∩ B) = A (b) A ∩ (A ∪ B) = A (c) A B = A ∩ B c (d) A ∪ (Ac ∩ B) = A ∪ B (e) A ∩ (Ac ∪ B) = A ∩ B Soluci´n o (a) A ∪ (A ∩ B) = A Sea x un elemento cualquiera del universal U , entonces x ∈ A ∪ (A ∩ B) ⇐⇒ =⇒ x ∈ A ∨ x ∈ (A ∩ B) {Definici´n de uni´n} o o x∈A luego ∀x, x ∈ A ∪ (A ∩ B) =⇒ x ∈ A es decir, A ∪ (A ∩ B) ⊆ A 27
  32. 32. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a Por otro lado, siempre se verifica que A ⊆ A ∪ X, ∀X ∈ U en particular, A ⊆ A ∪ (A ∩ B) De la doble inclusi´n se sigue el resultado, o A = A ∪ (A ∩ B) (b) A ∩ (A ∪ B) = A En efecto, A ∩ (A ∪ B) (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) {Distributividad} = = A ∪ (A ∩ B) {Idempotencia de la intersecci´n} o = A {Apartado (a)} (c) A B = A ∩ B c En efecto, sea x cualquiera del conjunto universal U , entonces x∈AB ⇐⇒ x∈A ∧ x∈B / ⇐⇒ x∈A ∧ x∈B ⇐⇒ x ∈ (A ∩ B c ) {Definici´n de diferencia} o c {Definici´n de complementario} o {Definici´n de intersecci´n} o o luego, ∀x, x ∈ A B ⇐⇒ x ∈ (A ∩ B c ) por lo tanto, A B = A ∩ Bc (d) A ∪ (Ac ∩ B) = A ∪ B En efecto, A ∪ (Ac ∩ B) = (A ∪ Ac ) ∩ (A ∪ B) {Distributividad} = U ∩ (A ∪ B) {Leyes del complementario} = A∪B {Leyes de identidad} (e) A ∩ (Ac ∪ B) = A ∩ B A ∩ (Ac ∪ B) = (A ∩ Ac ) ∪ (A ∩ B) {Distributividad} = ∅ ∪ (A ∩ B) = A∩B 2.3 {Leyes del complementario} {Leyes de identidad} Conjunto de las Partes de un Conjunto Dado un conjunto A, si nos referimos a algunos de sus subconjuntos estar´ ıamos considerando un conjunto de conjuntos. En tales casos hablaremos de una clase de conjuntos o colecci´n de conjuntos en vez de o un conjunto de conjuntos. Si quisi´ramos considerar algunos de los conjuntos de una clase dada de e conjuntos, entonces hablaremos de una subclase o de una subcolecci´n. o 28
  33. 33. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e Ejemplo 2.5 Sea A = {a, b, c, d, e} y sea A la clase de subconjuntos de A que contienen exactamente tres elementos de A. Entonces, A = {{a, b, c} , {a, b, d} , {a, b, e} , {a, c, d} , {a, c, e} , {a, d, e} , {b, c, d} , {b, c, e} , {c, d, e}} siendo los elementos de A los conjuntos: {a, b, c} , {a, b, d} , {a, b, e} , {a, c, d} , {a, c, e} , {a, d, e} , {b, c, d} , {b, c, e} y {c, d, e} 2.3.1 Definici´n o Dado un conjunto A, llamaremos conjunto de las partes de A a la clase o colecci´n de todos los o subconjuntos de A y se nota por P(A). Obs´rvese que de acuerdo con esta definici´n, si X es un conjunto cualquiera de U , entonces e o X ∈ P(A) ⇐⇒ X ⊆ A Ejemplo 2.6 Sea A = {1, 2, 3}. Entonces, P(A) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}} Nota 2.1 Si el conjunto A es finito y tiene n elementos, entonces P(A) tambi´n es un conjunto finito e y tiene 2n elementos. En efecto, sea X un elemento arbitrario de P(A). Para cada a ∈ A, hay dos opciones a ∈ X ´ a ∈ X; o / como hay n elementos en A, habr´ a n veces 2 · 2 · 2 · · · · · · 2 = 2n diferentes conjuntos X. Es decir, P(A) tiene 2n elementos. Veremos otra demostraci´n en una lecci´n posterior. o o Ejemplo 2.7 Especificar el conjunto de las partes para cada uno de los conjuntos siguientes: (a) {a, b, c} (b) {{a, b} , {c}} (c) {{a, b} , {b, a} , {a, b, b}} Soluci´n o (a) {a, b, c} P ({a, b, c}) = {∅, {a} , {b} , {c} , {a, b} , {a, c} , {b, c} , {a, b, c}} (b) {{a, b} , {c}} P ({{a, b} , {c}}) = {∅, {{a, b}} , {{c}} {{a, b} , {c}}} (c) {{a, b} , {b, a} , {a, b, b}} P ({{a, b} , {b, a} , {a, b, b}}) = P ({a, b}) = {∅, {a, b} {{a, b}}} 29
  34. 34. Universidad de C´diz a 2.4 Departamento de Matem´ticas a Producto cartesiano de conjuntos El concepto matem´tico de relaci´n est´ basado en la noci´n de relaci´n entre objetos. Algunas relaciones a o a o o describen comparaciones entre elementos de un conjunto: Una caja es m´s pesada que otra, un hombre a es m´s rico que otro, etc. Otras relaciones involucran elementos de conjuntos diferentes, tal como “x a vive en y”, donde x es una persona e y es una ciudad, “x es propiedad de y” donde x es un edificio e y es una empresa, ´ “x naci´ en el pa´ y en el a˜o z”. o o ıs n Todos los ejemplos anteriores son de relaciones entre dos o tres objetos, sin embargo, en principio, podemos describir relaciones que abarquen n objetos, donde n es cualquier entero positivo. Cuando hagamos una afirmaci´n que relacione n objetos, ser´ necesario no solamente especificar los objetos en s´ o a ı mismos sino tambi´n una ordenaci´n de los mismos. Por ejemplo, la posici´n relativa de 3 y 5 da lugar e o o unicamente a dos afirmaciones “5 < 3” y “3 < 5”, siendo una de ellas falsa y la otra verdadera. ´ Usaremos las n-tuplas ordenadas de elementos para especificar una sucesi´n finita de objetos no neceo sariamente distintos; la posici´n relativa de los objetos en la sucesi´n nos dar´ la ordenaci´n necesaria o o a o de los mismos. 2.4.1 n-tupla ordenada Llamaremos n-tupla ordenada a una sucesi´n de n objetos a1 , a2 , . . . , an dados en un cierto orden y o la notaremos por (a1 , a2 , . . . , an ). Obs´rvese que es fundamental el orden en que escribamos los elementos de la n-tupla, as´ e ı (a1 , a2 , . . . , an ) = (a2 , a1 , . . . , an ) Si n = 2, una n-tupla ordenada se llama “par ordenado” y si n = 3, “terna ordenada”. 2.4.2 Igualdad de n-tuplas Diremos que dos n-tuplas ordenadas son iguales si, y s´lo si, sus i-´simas componentes son iguales o e para todo i, 1 i n, es decir, (a1 , a2 , . . . , an ) = (b1 , b2 , . . . , bn ) ⇐⇒ ai = bi , ∀i, 1 i n Muchas veces trataremos con colecciones de n-tuplas donde la componente i-´sima de cada n-tupla es e un elemento de un conjunto Ai . Definimos el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas. 2.4.3 Producto cartesiano Dada una colecci´n arbitraria de conjuntos A1 , A2 , . . . , An , llamaremos producto cartesiano de los o mismos y lo notaremos por A1 × A2 × · · · × An , al conjunto formado por todas las n-tuplas ordenadas, (a1 , a2 , . . . , an ), donde ai ∈ Ai , 1 i n, es decir, A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , . . . , an ) : ai ∈ Ai 1 En el caso de dos conjuntos A y B, tendremos A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} y este producto se llama binario si A = B, o sea, A × A = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ A} 30 i n}
  35. 35. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e y suele notarse por A2 . Su extensi´n a n conjuntos se define como o (n A × A× · · · ×A = {(a1 , a2 , . . . , an ) : ai ∈ A, 1 i n} y lo notaremos por An . Nota 2.2 Obs´rvese que A × ∅ = ∅. En efecto, si A × ∅ no fuese vac´ entonces existir´ al menos, un e ıo, ıa, par (a, b) ∈ A × ∅ de aqu´ que a ∈ A y b ∈ ∅, lo cual es imposible. ı Ejemplo 2.8 Considerando el conjunto R de los n´meros reales, el producto cartesiano R2 = R × R u es el conjunto de todos los pares ordenados de n´meros reales. u R × R = R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} Cada punto P representa un par ordenado (x, y) de n´meros reales y viceversa. A R2 se le llama u normalmente plano cartesiano. Ejemplo 2.9 Sean A = {x ∈ R : 1 2} y B = {y ∈ R : 0 x y 1}. Hallar A × B y B × A. Soluci´n o A × B = {(x, y) : 1 x 2 ∧ 0 y 1} B × A = {(y, x) : 0 y 1 ∧ 1 x 2} 3 • 3 • 2 • 2 • B×A 1 • 1 • A×B • 0 • 1 • 2 • 3 • 0 • 1 • 2 • 3 Ejemplo 2.9 Cuando A y B son, como en este caso, conjuntos de n´meros reales, su producto cartesiano puede u representarse como un conjunto de puntos en el plano cartesiano. Ejemplo 2.10 Sea A = {1, 2} y B = {a, b, c}. Entonces A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} 31
  36. 36. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a tambi´n, e A × A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} B × B = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)} Nota 2.3 En los ejemplos anteriores se observa que el producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo. Es decir, en general, A × B = B × A Ejemplo 2.11 A2 . 3 Sean A1 = {1, 2}, A2 = {a, b} y A3 = {x, y}. Calcular A1 × A2 × A3 , A2 × A1 × A3 y Soluci´n o A1 × A2 × A3 = {(1, a, x), (1, a, y), (1, b, x), (1, b, y), (2, a, x), (2, a, y), (2, b, x), (2, b, y)} A2 × A1 × A3 = {(a, 1, x), (a, 1, y), (a, 2, x), (a, 2, y), (b, 1, x), (b, 1, y), (b, 2, x), (b, 2, y)} A2 = A3 × A3 = {(x, x), (x, y), (y, x), (y, y)} 3 2.4.4 Propiedades El producto cartesiano es distributivo respecto de la uni´n y la intersecci´n de conjuntos, es decir, si o o A, B y C son tres conjuntos cualesquiera, se verifica: (a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) (b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) (c) (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C) (d) (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C) Demostraci´n o (a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) En efecto, sea (x, y) un elemento arbitrario de A × (B ∪ C), entonces, (x, y) ∈ A × (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ y ∈ (B ∪ C) {Def. producto cartesiano} ⇐⇒ x ∈ A ∧ (y ∈ B ∨ y ∈ C) {Def. de uni´n} o ⇐⇒ (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ y ∈ C) {Dist. de ∧ respecto de ∨} ⇐⇒ (x, y) ∈ (A × B) ∨ (x, y) ∈ (A × C) {Def. producto cartesiano} ⇐⇒ (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × C) {Definici´n de uni´n} o o luego, ∀(x, y) ((x, y) ∈ A × (B ∪ C) ⇐⇒ (x, y) ∈ (A × B) ∪ (A × C)) es decir, A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) Los apartados (b), (c) y (d) se demuestran de una forma similar. Ejemplo 2.12 siguientes: Si U = Z+ , A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 5} y C = {3, 4, 7}, determ´ ınense los conjuntos (a) A × B 32
  37. 37. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e (b) B × A (c) A ∪ (B × C) (d) (A ∪ B) × C (e) (A × C) ∪ (B × C) Soluci´n o (a) A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} luego, A × B = {(1, 2), (1, 5), (2, 2), (2, 5), (3, 2), (3, 5), (4, 2), (4, 5)} (b) B × A = {(b, a) : b ∈ B ∧ a ∈ A} luego, B × A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)} (c) A ∪ (B × C) = {1, 2, 3, 4, (2, 3), (2, 4), (2, 7), (5, 3), (5, 4), (5, 7)} (d) (A ∪ B) × C = {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 7), (3, 3), (3, 4), (3, 7), (4, 3), (4, 4), (4, 7), (5, 3), (5, 4), (5, 7)} (e) (A × C) ∪ (B × C) = {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 7), (3, 3), (3, 4), (3, 7), (4, 3), (4, 4), (4, 7), (5, 3), (5, 4), (5, 7)} Ejemplo 2.13 Sean A = {a, b, c}, B = {b, c, d} y C = {a, d}. Encontrar A × B × C utilizando un diagrama en ´rbol. a Soluci´n o • a • • d a • • d a • • d a • • d a • • d a Ejemplo 2.13 33 • • d a d• c• b• d• c• b• d• c• b• •c b• a• • • d a • • d a • d
  38. 38. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a La figura muestra el diagrama en ´rbol. Recorriendo cada una de las ramas obtenemos las distintas a ternas que integran el producto cartesiano de los tres conjuntos, es decir, A×B×C = {(a, b, a), (a, b, d), (a, c, a), (a, c, d), (a, d, a), (a, d, d), (b, b, a), (b, b, d), (b, c, a) (b, c, d), (b, d, a), (b, d, d), (c, b, a), (c, b, d), (c, c, a), (c, c, d), (c, d, a), (c, d, d)} Ejemplo 2.14 Dados tres conjuntos arbitrarios A, B, C ⊂ U , probar A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) Soluci´n o A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) En efecto, ∀(a, b) ∈ A × (B ∩ C) ⇐⇒ a ∈ A ∧ b ∈ (B ∩ C) ⇐⇒ a ∈ A ∧ (b ∈ B ∧ b ∈ C) ⇐⇒ (a ∈ A ∧ b ∈ B) ∧ (a ∈ A ∧ b ∈ C) ⇐⇒ (a, b) ∈ A × B ∧ (a, b) ∈ A × C ⇐⇒ (a, b) ∈ (A × B) ∩ (A × C) luego, ∀(a, b) ((a, b) ∈ A × (B ∩ C) ⇐⇒ (a, b) ∈ (A × B) ∩ (A × C)) es decir, A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) Ejemplo 2.15 Hallar A × B Se consideran los conjuntos A = {x ∈ Z : 3 x 8} y B = {x ∈ Z : −6 < x −4}. Soluci´n o A = {x ∈ Z : 3 8} = {3, 4, 5, 6, 7, 8} x B = {x ∈ Z : −6 < x −4} = {−5, −4} luego, A×B = {(3, −5), (4, −5), (5, −5), (6, −5), (7, −5), (8, −5), (3, −4), (4, −4), (5, −4), (6, −4), (7, −4), (8, −4)} Ejemplo 2.16 Demostrar que (A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ) = (A1 ∩ A2 ) × (B1 ∩ B2 ) Soluci´n o En efecto, sea (a, b) un elemento arbitrario de (A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ). Entonces, (a, b) ∈ (A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ) ⇐⇒ (a, b) ∈ (A1 × B1 )) ∧ (a, b) ∈ (A2 × B2 ) {Def. de ∩} ⇐⇒ (a ∈ A1 ∧ b ∈ B1 ) ∧ (a ∈ A2 ∧ b ∈ B2 ) {Def. de ×} ⇐⇒ (a ∈ A1 ∧ a ∈ A2 ) ∧ (b ∈ B1 ∧ b ∈ B2 ) {Asoc. y conm.} ⇐⇒ a ∈ (A1 ∩ A2 ) ∧ b ∈ (B1 ∩ B2 ) ⇐⇒ (a, b) ∈ (A1 ∩ A2 ) × (B1 ∩ B2 ) 34
  39. 39. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e luego, ∀(a, b) ((a, b) ∈ (A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ) ⇐⇒ (a, b) ∈ (A1 ∩ A2 ) × (B1 ∩ B2 )) es decir, (A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ) = (A1 ∩ A2 ) × (B1 ∩ B2 ) Ejemplo 2.17 Dados los conjuntos A = {a, b, c, d} , B = {1, 2, 3} y C = {α, β, γ}, hallar (a) A × B × C (b) A × (B ∩ C) (c) A × (B ∪ C) Soluci´n o (a) A×B×C = {(a, 1, α), (a, 1, β), (a, 1, γ), (a, 2, α), (a, 2, β), (a, 2, γ), (a, 3, α), (a, 3, β), (a, 3, γ), (b, 1, α), (b, 1, β), (b, 1, γ), (b, 2, α), (b, 2, β), (b, 2, γ), (b, 3, α), (b, 3, β), (b, 3, γ), (c, 1, α), (c, 1, β), (c, 1, γ), (c, 2, α), (c, 2, β), (c, 2, γ), (c, 3, α), (c, 3, β), (c, 3, γ), (d, 1, α), (d, 1, β), (d, 1, γ), (d, 2, α), (d, 2, β), (d, 2, γ), (d, 3, α), (d, 3, β), (d, 3, γ)} (b) A × (B ∩ C) = A × ∅ = ∅ (c) A × (B ∪ C) Seg´n hemos visto en la lecci´n, u o A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) luego, A × (B ∪ C) = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (d, 1), (d, 2), (d, 3) (a, α), (a, β), (a, γ), (b, α), (b, β), (b, γ), (c, α), (c, β), (c, γ), (d, α), (d, β), (d, γ)} Ejemplo 2.18 Para A, B, C ⊆ U , probar que A × (B C) = (A × B) (A × C). Soluci´n o En efecto, ∀(a, b) ∈ A × (B C) ⇐⇒ a∈A ∧ b∈BC ⇐⇒ a ∈ A ∧ (b ∈ B ∧ b ∈ C) / ⇐⇒ (a ∈ A ∧ b ∈ B) ∧ (a ∈ A ∧ b ∈ C) / ⇐⇒ (a, b) ∈ A × B ∧ (a, b) ∈ (A × C) / ⇐⇒ (a, b) ∈ (A × B) (A × C) luego, ∀(a, b) ((a, b) ∈ A × (B C) ⇐⇒ (a, b) ∈ (A × B) (A × C)) es decir, A × (B C) = (A × B) (A × C) 35
  40. 40. Apuntes de Matem´tica Discreta a 3. Principios B´sicos de Conteo a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e C´diz, Octubre de 2004 a
  41. 41. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a ii
  42. 42. Lecci´n 3 o Principios B´sicos de Conteo a Contenido 3.1 37 Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 37 3.1.2 Recubrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.3 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Partici´n de un Conjunto o Cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 39 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Principio de Adici´n o Regla de la Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 41 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.2 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Principio de Multiplicaci´n o Regla del Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Principio de Inclusi´n-Exclusi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o o 45 3.4.1 45 3.4.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4.3 3.5 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Generalizaci´n del Principio de Inclusi´n-Exclusi´n . . . . . . . . . . . . . . . . o o o 59 Principio de Distribuci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 69 3.5.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Desarrollamos en esta lecci´n los principios b´sicos para contar elementos de un conjunto, el de Adici´n, o a o el de Multiplicaci´n, el de Inclusi´n-Exclusi´n y finalizaremos con el de Distribuci´n. o o o o 3.1 3.1.1 Partici´n de un Conjunto o Definici´n o Dado un conjunto A, diremos que los subconjuntos de A, A1 , A2 , . . . , An , constituyen una partici´n o del mismo si se cumplen las siguientes condiciones: 1. Ai = ∅; ∀i = 1, 2, . . . . . . , n 2. Ai ∩ Aj = ∅; ∀i = j, i, j = 1, 2, . . . . . . n 3. A1 ∪ A2 ∪ · · · · · · ∪ An = A 37
  43. 43. Universidad de C´diz a 3.1.2 Departamento de Matem´ticas a Recubrimiento Si los subconjuntos B1 , B2 , . . . . . . , Bn de un conjunto A cumplen las condiciones 1. y 3. de la definici´n anterior, diremos que B1 , B2 , . . . . . . , Bn constituyen un recubrimiento de A. o Ejemplo 3.1 A A2 A3 A1 A4 Partici´n del conjunto A. Ejemplo 3.1 o Los subconjuntos A1 , A2 , A3 y A4 constituyen una partici´n de A. o Ejemplo 3.2 Si A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}, los conjuntos A1 = {a, b, c, d} A2 = {c, d, e, f, g} A3 = {g, h, i} A4 = {j, k} constituyen un recubrimiento del conjunto A. Soluci´n o En efecto, Ai = ∅; i = 1, 2, 3, 4 A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 = {a, b, c, d} ∪ {c, d, e, f, g} ∪ {g, h, i} ∪ {j, k} = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} = A 38
  44. 44. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e Sin embargo no es una partici´n ya que, por ejemplo, o A1 ∩ A2 = {a, b, c, d} ∩ {c, d, e, f } = {c, d} = ∅ 3.1.3 Cardinal de un conjunto Si A es un conjunto finito no vac´ designaremos por cardinal de A al n´mero de elementos que tiene ıo, u A. Si A es el conjunto vac´ entonces su cardinal es cero. Lo notaremos |A|. ıo, 3.2 Principio de Adici´n o Estudiamos el m´s b´sico y simple de los principios para contar elementos de un conjunto. a a 3.2.1 Teorema Si A1 , A2 , . . . , An es una colecci´n de conjuntos finitos no vac´ disjuntos dos a dos, entonces o ıos, |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An | = |A1 | + |A2 | + · · · + |An | Demostraci´n o Procederemos por inducci´n sobre el n´mero de conjuntos n. o u Paso b´sico. Veamos que el teorema es cierto para n = 2. a En efecto, sean A1 y A2 dos conjuntos finitos tales que A1 ∩ A2 = ∅. Pues bien, si A1 = {a1 , a2 , . . . , aq } y A2 = {b1 , b2 , . . . , br } al ser disjuntos no tendr´n elementos comunes, de aqu´ que a ı A1 ∪ A2 = {a1 , a2 , . . . , aq , b1 , b2 , . . . , br } luego, |A1 ∪ A2 | = q + r = |A1 | + |A2 | y el teorema es cierto para n = 2. Paso inductivo. Supongamos que el teorema es cierto para n = p, es decir, si A1 , A2 , . . . , Ap son una familia de conjuntos finitos y disjuntos dos a dos, entonces p p |Ai | Ai = i=1 i=1 Veamos que el teorema es cierto para n = p + 1. En efecto, sea A1 , A2 , . . . , Ap , Ap+1 una familia de conjuntos finitos y dos a dos disjuntos, entonces por la asociatividad de la uni´n de conjuntos, o p+1 p Ai = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap ∪ Ap+1 = (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap ) ∪ Ap+1 = i=1 Ai i=1 39 ∪ Ap+1
  45. 45. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a siendo, p ∩ Ap+1 = (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ap ) ∩ Ap+1 = Ai (A1 ∩ Ap+1 ) ∪ (A2 ∩ Ap+1 ) ∪ · · · ∪ (Ap ∩ Ap+1 ) i=1 = ∅ ∪ ∅ ∪ ··· ∪ ∅ = ∅ luego, p p+1 Ai Ai = ∪ Ap+1 i=1 i=1 p Ai + |Ap+1 | {Paso b´sico} a |Ai | + |Ap+1 | {Hip´tesis de inducci´n} o o = i=1 p = i=1 p+1 |Ai | = i=1 Consecuentemente, por el primer principio de inducci´n, la propiedad es cierta para todo entero positivo o n y, |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An | = |A1 | + |A2 | + · · · + |An | Obs´rvese que en este tipo de problemas, la palabra “o” aparece o se sobrentiende impl´ e ıcitamente. En cualquier caso en el que tengamos una acci´n simple a realizar y que debe satisfacer una condici´n u otra o o siendo las condiciones mutuamente excluyentes, utilizaremos normalmente el principio de adici´n. Este o primer principio del conteo puede expresarse como sigue: 3.2.2 Regla de la Suma Si una primera tarea puede realizarse de m formas distintas, mientras que una segunda tarea puede realizarse de n formas distintas, y no es posible realizar ambas tareas de manera simult´nea, entonces, a para llevar a cabo cualquiera de ellas pueden utilizarse cualquiera de m + n formas. Ejemplo 3.3 Se lanza al aire una moneda cuatro veces. ¿De cu´ntas formas distintas pueden obtenerse a una, dos, tres o cuatro caras? Soluci´n o Sea Ai el conjunto formado por todos los resultados posibles en los que aparezcan, exactamente, “i caras” al lanzar cuatro veces la moneda. Entonces, A1 = {(c, x, x, x), (x, c, x, x), (x, x, c, x), (x, x, x, c)} A2 = {(c, c, x, x), (c, x, c, x), (c, x, x, c), (x, c, c, x), (x, c, x, c), (x, x, c, c)} A3 = {(c, c, c, x), (c, c, x, c), (c, x, c, c), (x, c, c, c)} A4 = {(c, c, c, c)} y el conjunto A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 estar´ formado por todos los resultados en los que aparecen una, dos, a tres o cuatro caras, por tanto el n´mero pedido es el cardinal de dicho conjunto. Al ser los Ai dos a dos u disjuntos, por el principio de adici´n, tendremos que habr´ o a |A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 | = |A1 | + |A2 | + |A3 | + |A4 | = 15 40
  46. 46. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e formas distintas de obtener una, dos, tres o cuatro caras. 3.3 Principio de Multiplicaci´n o Este principio nos va a permitir resolver con m´s comodidad situaciones que involucren procesos que a consistan en acciones sucesivas. Supongamos una acci´n que consista en una secuencia de pasos. Por ejemplo tirar un dado, luego otro o y a continuaci´n un tercero. Diremos que los pasos son independientes si el n´mero de formas en que o u puede hacerse cada uno de ellos no depende del n´mero de formas en que pueden realizarse cada uno de u los otros. 3.3.1 Teorema Si A1 , A2 , . . . , An es una colecci´n de conjuntos finitos no vac´ entonces o ıos, |A1 × A2 × · · · × An | = |A1 | · |A2 | · · · · · |An | Demostraci´n o Procederemos por inducci´n sobre el n´mero de conjuntos, n. o u Paso b´sico. Veamos si el teorema es cierto para n = 2. En efecto, sean A1 y A2 dos conjuntos finitos a no vac´ ıos, A1 = {a1 , a2 , . . . , aq } y A2 = {b1 , b2 , . . . , br } Por definici´n de producto cartesiano, o A1 × A2 = {(ai , bj ) : ai ∈ A1 y bj ∈ A2 } para cada uno de los ai , 1 i q, tendremos los pares distintos, (ai , b1 ), (ai , b2 ), . . . , (ai , br ) es decir, r pares o r elementos de A1 × A2 . Haciendo lo mismo para cada uno de los ai ∈ Ai , 1 tendremos (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), . . . , (a1 , br ) i q, (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), . . . , (a2 , br ) ........................... (aq , b1 ), (aq , b2 ), . . . , (aq , br ) o sea, un total de q · r pares distintos en A1 × A2 , luego |A1 × A2 | = q · r = |A1 | · |A2 | por tanto, la proposici´n es cierta para n = 2. o Paso inductivo. Supongamos que es cierta para n = p, es decir si A1 , A2 , . . . , Ap es una colecci´n de o conjuntos finitos no vac´ ıos. Entonces, |A1 × A2 × · · · × Ap | = |A1 | · |A2 | · · · · · |Ap | Veamos si la proposici´n es cierta para n = p + 1. En efecto, si A1 , A2 , . . . , Ap , Ap+1 es una colecci´n de o o conjuntos finitos no vac´ entonces ıos, |A1 × A2 × · · · × Ap × Ap+1 | = |(A1 × A2 × · · · × Ap ) × Ap+1 | {Asociatividad de ×} = |A1 × A2 × · · · × Ap | · |Ap+1 | {Paso b´sico} a = |A1 | · |A2 | · · · · · |Ap | · |Ap+1 | {Paso inductivo} 41
  47. 47. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a Consecuentemente, por el Principio de inducci´n matem´tica, el teorema es cierto para todo entero o a positivo, n, es decir, |A1 × A2 × · · · × An | = |A1 | · |A2 | · · · · · |An | Ejemplo 3.4 ¿Cu´ntos resultados distintos son posibles al tirar tres dados diferentes? a Soluci´n o Sean A1 , A2 y A3 los conjuntos formados por los posibles resultados que podamos obtener al tirar cada uno de los tres dados, entonces |Ai | = 6, i = 1, 2, 3 y cada resultado es un elemento del producto cartesiano A1 × A2 × A3 , luego por el principio de multiplicaci´n, habr´ o a |A1 × A2 × A3 | = |A1 | · |A2 | · |A3 | = 6 · 6 · 6 = 216 resultados distintos. Obs´rvese que al ser diferentes los dados, podemos etiquetarlos como primero, segundo y tercero y tratar e la tirada como una acci´n con tres pasos sucesivos, cada uno de las cuales tiene seis resultados posibles. o El n´mero de posibilidades ser´, por tanto, u a 6 · 6 · 6 = 216 Obs´rvese tambi´n que si los dados no fueran diferentes, la respuesta ser´ distinta. Por ejemplo ser´ e e ıa ıa imposible distinguir entre el resultado 152 y el 251. Ejemplo 3.5 Un n´mero de tel´fono consta de siete d´ u e ıgitos. Si la primera ha de ser un n´mero entre u 2 y 9, ambos inclusive, la segunda y la tercera han de ser n´meros entre 1 y 9 ambos inclusive. ¿Cu´ntos u a n´meros de tel´fono distintos pueden formarse con estas condiciones? u e Soluci´n o Sean los conjuntos, A1 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A2 = A3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A4 = A5 = A6 = A7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} El n´mero de tel´fonos con numeraciones distintas que pueden formarse son los del conjunto u e A1 × A2 × A3 × A4 × A5 × A6 × A7 Por el principio de multiplicaci´n, o |A1 × A2 · · · × A7 | = |A1 | · |A2 | · |A3 | · |A4 | · |A5 | · |A6 | · |A7 | = = 3.3.2 8 · 9 · 9 · 10 · 10 · 10 · 10 6.480.000 Regla del Producto Si un procedimiento puede descomponerse en las etapas primera y segunda, y si existen m resultados posibles de la primera etapa y si, para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento entero puede realizarse, en el orden dado, de mn formas. Ejemplo 3.6 entes: Se dispone de una baraja de 40 cartas de la cual extraemos cuatro de dos formas difer- 42
  48. 48. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e (a) Sin devoluci´n de cada carta extra´ o ıda. (b) Con devoluci´n de la carta en cada extracci´n. o o Calcular el n´mero de formas diferentes de obtener cuatro cartas en cada caso. u Soluci´n o Consideraremos el experimento como una acci´n con cuatro pasos independientes. o (a) Para el primer paso tenemos 40 opciones posibles y como la carta extra´ no se devuelve quedar´n ıda a 39 opciones para el segundo paso y, por la misma raz´n, 38 y 37 opciones para el tercero y el cuarto, o respectivamente. As´ pues el experimento podr´ hacerse de ı a 40 · 39 · 38 · 37 = 2193360 formas distintas. (b) Cada carta extra´ se devuelve a la baraja. Por tanto, para cada una de las cuatro extracciones ıda dispondremos de las cuarenta. As´ pues, el n´mero de formas diferentes de obtener las cuatro cartas ı u es 40 · 40 · 40 · 40 = 2560000 Ejemplo 3.7 tirada. Se lanzan dos dados, uno azul y otro rojo, a continuaci´n se registra el resultado de cada o (a) ¿En cu´ntos resultados la suma es 7 u 11? a (b) ¿En cu´ntos resultados uno y s´lo uno de los dados muestra un 2? a o (c) ¿En cu´ntos resultados ninguno de los dados muestra un 2? a Soluci´n o (a) Sean a y b los resultados de los dados azul y rojo, respectivamente. Entonces, a, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el par (a, b) puede considerarse como un par ordenado. Pues bien, si A es el conjunto formado por todos los pares ordenados cuya suma sea 7 y B el formado por aquellos que suman 11, entonces, A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} B = {(5, 6), (6, 5)} y el n´mero de resultados en los cuales la suma es 7 u 11 ser´ igual al cardinal de A ∪ B. Al ser A u a y B disjuntos, por el principio de adici´n, habr´ o a |A ∪ B| = |A| + |B| = 8 resultados que cumplan las condiciones requeridas. 43
  49. 49. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a (b) Sean A1 = {2} B1 = {1, 3, 4, 5, 6} y A2 = {1, 3, 4, 5, 6} B2 = {2} donde Ai y Bi , i = 1, 2, representan, respectivamente, los resultados de los dados azul y rojo. Entonces, todos los resultados en los cuales aparece un 2 en uno s´lo de los dados, son los elementos o del conjunto (A1 × B1 ) ∪ (A2 × B2 ) siendo A1 × B1 y A2 × B2 , disjuntos. Consecuentemente, por el principio de adici´n y luego por el de multiplicaci´n tendremos que el o o n´mero de resultados en los que uno s´lo de los dados muestra un 2 es u o |(A1 × B1 ) ∪ (A2 × B2 )| = |A1 × B1 | + |A2 × B2 | = |A1 | · |A2 | + |B1 | · |B2 | = 1 · 5 + 1 · 5 = 10 (c) Utilizando los mismos conjuntos que en el apartado anterior, los resultados en los que ninguno de los dos dados muestra un 2 son los elementos de A2 × B1 . Por el principio de multiplicaci´n, habr´ o a |A2 × B1 | = |A2 | · |B1 | = 5 · 5 = 25 resultados que cumplen la condiciones pedidas. Ejemplo 3.8 Un viajante de comercio ha de visitar n ciudades sin pasar dos veces por ninguna de ellas. ¿Cu´ntas rutas distintas puede tomar si el viaje ha de empezar y terminar en la ciudad A? a Soluci´n o El viajante elige cualquiera de las n − 1 ciudades restantes para la primera visita, las opciones para la segunda ser´ n−2 y n−3 posibilidades para la siguiente. Seguimos as´ sucesivamente y por el principio ıan ı de multiplicaci´n, el n´mero de rutas distintas ser´ o u ıa: (n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1 Obs´rvese que al contar de esta forma, el orden en que se visitan las ciudades es importante, es decir una e ruta tal como ABCDEFA es distinta de la AFEDCBA. Si las rutas que se recorren en sentidos inversos las consideramos iguales, el n´mero de posibilidades se reducir´ a: u ıa (n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1 2 es decir, la mitad de opciones. En el siguiente ejemplo, veremos una situaci´n en la cual se mezclan los principios de adici´n y multiplio o caci´n. o Ejemplo 3.9 El viajante de comercio del ejemplo anterior ha de visitar cinco ciudades A,B,C,D y E, teniendo su base en la ciudad A. ¿Cu´ntas rutas distintas puede tomar si no puede visitar la ciudad E a hasta despu´s de haber visitado la B o la C? e Soluci´n o Como la ciudad E no puede ser visitada hasta despu´s de visitar B o C, la primera visita deber´ ser a B e a o a C o a D. 44
  50. 50. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e − Si la primera visita es a la ciudad B, entonces el viajante tiene tres opciones para la segunda, dos para la siguiente y una para la ultima, luego por el principio de multiplicaci´n hay ´ o 3·2·1=6 rutas distintas teniendo a B como la primera ciudad visitada. − Si la primera ciudad visitada es C, un razonamiento id´ntico al anterior ofrecer´ al viajante el e a mismo n´mero de opciones, es decir, seis rutas distintas. u − Si la primera ciudad visitada es la D, entonces hay dos opciones para la segunda (B y C), dos opciones para la siguiente y una para la ultima. Consecuentemente, el n´mero de opciones distintas ´ u es, en este caso, por el principio de multiplicaci´n o 2·2·1=4 As´ pues, por el principio de adici´n existen un total de ı o 6 + 6 + 4 = 16 rutas posibles que puede tomar el viajante. 3.4 Principio de Inclusi´n-Exclusi´n o o El principio de adici´n establec´ que si X es la uni´n de una colecci´n de conjuntos A1 , A2 , . . . , An , o ıa o o disjuntos dos a dos, entonces |X| = |A1 | + |A2 | + · · · + |An | . En muchas ocasiones, necesitaremos calcular el n´mero de elementos de un conjunto X que es la uni´n u o de una colecci´n de conjuntos A1 , A2 , . . . , An que no sean disjuntos. El principio de inclusi´n-exclusi´n o o o nos dice como hacerlo en funci´n del n´mero de elementos de los conjuntos A1 , A2 , . . . , An . o u En s´ ıntesis, este principio nos dice que si sabemos contar elementos de intersecciones de conjuntos, entonces podremos determinar el tama˜o de la uni´n de dichos conjuntos. n o 3.4.1 Teorema Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto universal arbitrario, U . Entonces, |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| Demostraci´n o 45
  51. 51. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a U A∪B A B AB A∩B BA Principio de Inclusi´n-Exclusi´n o o Intuitivamente, podemos justificar este teorema examinando la figura. Si sumamos el n´mero de elemenu tos que hay en A y en B, entonces contamos los elementos de A ∩ B dos veces. As´ pues, para encontrar ı el |A ∪ B| deber´ ıamos sumar |A| a |B| y restar |A ∩ B|. Veamos una demostraci´n formal. o Sea x un elemento cualquiera de U . Entonces, x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B). (3.1) Ahora bien, si un elemento x est´ en A, puede estar en A y no en B o en A y en B, es decir, a x ∈ A ⇐⇒ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)] ∨ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)] / o sea, x ∈ A ⇐⇒ [x ∈ (A B)] ∨ [x ∈ (A ∩ B)] (3.2) A = (A B) ∪ (A ∩ B) (3.3) de aqu´ que ı Tambi´n, si un elemento x est´ en B, razonando exactamente igual, tendremos e a x ∈ B ⇐⇒ [x ∈ (B A)] ∨ [x ∈ (A ∩ B)] (3.4) B = (B A) ∪ (A ∩ B) (3.5) luego Llevando los resultados (3.2) y (3.4) a (3.1), obtenemos x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ [x ∈ (A B)] ∨ [x ∈ (A ∩ B)] ∨ [x ∈ (B A)] (3.6) es decir, si un elemento pertenece a A ∪ B, entonces puede estar en A y no en B o en B o en A y en B o en B y no en A. 46
  52. 52. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e De (3.6) se sigue directamente que A ∪ B = (A B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B A) . (3.7) Adem´s, a (A B) ∩ (A ∩ B) = (A ∩ B c ) ∩ (A ∩ B) = A ∩ (B c ∩ B) = A∩∅ = ∅ (A B) ∩ (B A) = (A ∩ B c ) ∩ (B ∩ Ac ) = A ∩ B c ∩ B ∩ Ac = A ∩ ∅ ∩ Ac = ∅ (A ∩ B) ∩ (B A) = (A ∩ B) ∩ (B ∩ Ac ) = A ∩ B ∩ Ac = A ∩ Ac ∩ B = ∅ es decir, los tres conjuntos son disjuntos dos a dos, por lo tanto (3.3), (3.5) y (3.7) son, respectivamente, descomposiciones de los conjuntos A, B y A ∪ B en uni´n de subconjuntos disjuntos, de aqu´ que por el o ı principio de adici´n, o |A| = |A B| + |A ∩ B| =⇒ |A B| = |A| − |A ∩ B| |B| = |B A| + |A ∩ B| =⇒ |B A| = |B| − |A ∩ B| |A ∪ B| = |A B| + |A ∩ B| + |B A| y sustituyendo los dos primeros resultados en la tercera igualdad, |A ∪ B| = |A| − |A ∩ B| + |B| − |A ∩ B| + |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| Ejemplo 3.10 De un grupo de programadores, 35 est´n familiarizados con ordenadores del tipo A, 41 a con ordenadores del tipo B y 46 con algunos de los dos. ¿Cu´ntos est´n familiarizados con ambos? a a Soluci´n o Sea P el conjunto de todos los programadores y sean A y B los subconjuntos de P formados por los que est´n familiarizados con los ordenadores de tipo A y tipo B, respectivamente. Los que lo est´n con a a ambos son, por tanto, los del conjunto A ∩ B. Pues bien, seg´n los datos del enunciado, u |A| = 35 |B| = 41 |A ∪ B| = 46. Aplicando el principio de inclusi´n-exclusi´n, o o |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| =⇒ |A ∩ B| = 35 + 41 − 46 = 30 Hay, por tanto, 30 programadores que est´n familiarizados con ambos tipos de ordenadores. a Ejemplo 3.11 Los 100 alumnos de una facultad se han examinado de Matem´tica Discreta y de L´gica a o Matem´tica, obteniendo los siguientes resultados en los ex´menes. a a 47
  53. 53. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a 20 alumnos no han aprobado ninguna de las dos asignaturas. Han aprobado las dos asignaturas un total de 25 personas. El n´mero de alumnos que han aprobado Matem´tica discreta es el doble de los que han aprobado u a el L´gica Matem´tica. o a ¿Cu´ntos alumnos aprobaron unicamente Matem´tica discreta? a ´ a ¿Cu´ntos alumnos aprobaron unicamente L´gica Matem´tica? a ´ o a Soluci´n o Un diagrama de Venn que refleja la situaci´n planteada en el ejercicio es el de la figura, donde D y o L son los conjuntos cuyos elementos son los alumnos que han aprobado Matem´tica Discreta y L´gica a o Matem´tica, respectivamente. a U D L D ∩ Lc D∩L Dc ∩ L Dc ∩ Lc Ejemplo 3.11 Los alumnos que han aprobado una de las dos asignaturas puede que no hayan aprobado la otra o que si la hayan aprobado, luego D = (D ∩ Lc ) ∪ (D ∩ L), L = (D ∩ L) ∪ (Dc ∩ L) y D ∪ L = (D ∩ Lc ) ∪ (D ∩ L) ∪ (Dc ∩ L) donde (D ∩ Lc ) ∩ (D ∩ L) = D ∩ Lc ∩ L = D ∩ ∅ = ∅ 48
  54. 54. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e y (D ∩ L) ∩ (Dc ∩ L) = D ∩ Dc ∩ L = ∅ ∩ D = ∅ de aqu´ que por el Principio de Adici´n, ı o |D| = |D ∩ Lc | + |D ∩ L| |D ∩ L| + |Dc ∩ L| |L| = |D ∪ L| = |D ∩ Lc | + |D ∩ L| + |Dc ∩ L| . Por otra parte, si llamamos U al conjunto formado por los 100 alumnos, U = (D ∪ L) ∪ (D ∪ L)c donde, (D ∪ L) ∪ (D ∪ L)c = ∅ de aqu´ que nuevamente por el Principio de Adici´n, ı o c |U | = |D ∪ L| + |(D ∪ L) | Pues bien, seg´n los datos aportados por el enunciado: u 20 alumnos no han aprobado ninguna de las dos asignaturas, es decir, c |(D ∪ L) | = 20. luego |D ∪ L| = 100 − 20 = 80. Han aprobado las dos asignaturas un total de 25 personas, o sea, |D ∩ L| = 25 El n´mero de alumnos que han aprobado Matem´tica discreta es el doble de los que han aprobado u a el L´gica Matem´tica, es decir, o a |D| = 2 |L| . Datos que sustituidos en las ecuaciones anteriores, nos llevan a 2 |L| = |D ∩ Lc | + |L| = 80 25 25 + = |D ∩ Lc | + 25 |Dc ∩ L| + |Dc ∩ L| . de aqu´ que ı |D ∩ Lc | = c |D ∩ L| = 45 10 luego hay 45 alumnos que han aprobado unicamente la Matem´tica Discreta y 10 que aprobaron unicamente ´ a ´ el L´gica Matem´tica. o a 3.4.2 Teorema Sean A, B y C tres subconjuntos de un conjunto universal arbitrario, U . Entonces, |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| Demostraci´n o 49
  55. 55. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a Apoy´ndonos en el teorema anterior y en la distributividad de la intersecci´n respecto a la uni´n de a o o conjuntos, |A ∪ B ∪ C| = |A ∪ (B ∪ C)| = |A| + |B ∪ C| − |A ∩ (B ∪ C)| = |A| + |B| + |C| − |B ∩ C| − |(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)| = |A| + |B| + |C| − |B ∩ C| − (|A ∩ B| + |A ∩ C| − |(A ∩ B) ∩ (A ∩ C)|) = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| Ejemplo 3.12 ¿Cu´ntos n´meros existen entre 1 y 1000, ambos inclusive, que no sean ni cuadrados a u perfectos, ni cubos perfectos ni cuartas potencias? Soluci´n o Sea Z el conjunto de todos los enteros entre 1 y 1000 y sean A1 , A2 y A3 los subconjuntos de Z formados por los cuadrados perfectos, los cubos perfectos y las cuartas potencias, respectivamente. Entonces, A1 = x : x = n2 , n ∈ Z A2 = x : x = n3 , n ∈ Z A3 = x : x = n4 , n ∈ Z Pues bien, 312 = 961 < 1000 y 322 = 1024 > 1000, luego |A1 | = 31 103 = 1000, luego |A2 | = 10 54 = 625 y 64 = 1296, luego |A3 | = 5 Observemos ahora lo siguiente: A1 ∩ A2 = x : ∃n ∈ Z+ ; x = n2 y x = n3 = x : ∃n ∈ Z; x = n6 y al ser 36 = 729 < 1000 y 46 = 4096 > 1000, tendremos que |A1 ∩ A2 | = 3. Por otra parte, x ∈ A3 ⇐⇒ x = n4 , n ∈ Z =⇒ x = n2 2 , n ∈ Z ⇐⇒ x ∈ A1 es decir cada cuarta potencia es tambi´n un cuadrado, luego A3 ⊆ A1 y, por tanto, A1 ∩ A3 = A3 y e |A1 ∩ A3 | = 5. Tambi´n, e A2 ∩ A3 = x : x = n3 y x = n4 , n ∈ Z+ = x : x = n12 , n ∈ Z+ luego el conjunto A2 ∩ A3 estar´ formado por todos los n´meros que son a un tiempo, cubos y cuartas a u potencias, es decir son de la forma n12 para alg´n entero n y al ser 212 = 4096 > 1000, tendremos que u |A2 ∩ A3 | = 1. Finalmente, x ∈ A2 ∩ A3 ⇐⇒ x = n12 =⇒ x = n6 2 , n ∈ Z ⇐⇒ x ∈ A1 luego las doceavas potencias son tambi´n cuadrados, es decir, A2 ∩ A3 ⊆ A1 de aqu´ que e ı A1 ∩ A2 ∩ A3 = A2 ∩ A3 50
  56. 56. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e y |A1 ∩ A2 ∩ A3 | = 1 Con todos estos datos, |A1 ∪ A2 ∪ A3 | = |A1 | + |A2 | + |A3 | − |A1 ∩ A2 | − |A1 ∩ A3 | − |A2 ∩ A3 | + |A1 ∩ A2 ∩ A3 | = 31 + 10 + 5 − 3 − 5 − 1 + 1 = 38 Consecuentemente, el n´mero de enteros entre 1 y 1000 que no son cuadrados, cubos o cuartas potencias u son 1000 − 38 = 962. Ejemplo 3.13 Demostrar que |A ∪ B ∪ C| = |A (B ∪ C)| + |B (A ∪ C)| + |C (A ∪ B)| + |(A ∩ B) C| + |(A ∩ C) B| + |(B ∩ C) A| + |A ∩ B ∩ C| donde A, B y C est´n incluidos en un universal arbitrario U . a Soluci´n o En efecto, sea x un elemento arbitrario de U . Entonces x ∈ (A ∪ B ∪ C) ⇐⇒ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∨ (x ∈ C) . Pues bien, si x est´ en A, entonces puede estar en A y no estar en B ni en C, o estar en A y en B pero a no estar en C o estar en A y en C pero no en B o estar en A, en B y en C (la situaci´n planteada puede o apreciarse con claridad en la figura), es decir, U A A (B ∪ C) (A ∩ C) B (A ∩ B) C A∩B∩C C B C (A ∪ B) (B ∩ C) A Ejemplo 3.13 51 B (A ∪ C)
  57. 57. Universidad de C´diz a x ∈ A ⇐⇒ Departamento de Matem´ticas a [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)] / / ∨ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)] / ∨ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)] / ∨ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)] ⇐⇒ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B c ) ∧ (x ∈ C c )] ∨ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C c )] ∨ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B c ) ∧ (x ∈ C)] ∨ [(x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)] ⇐⇒ [x ∈ (A ∩ B c ∩ C c )] ∨ [x ∈ (A ∩ B ∩ C c )] ∨ [x ∈ (A ∩ B c ∩ C)] ∨ [x ∈ (A ∩ B ∩ C)] de aqu´ que ı A = (A ∩ B c ∩ C c ) ∪ (A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ B c ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) y razonando de forma an´loga para los conjuntos B y C, tendremos a B = (Ac ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ B ∩ C c ) ∪ (Ac ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) y C = (Ac ∩ B c ∩ C) ∪ (A ∩ B c ∩ C) ∪ (Ac ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) . Si ahora unimos los tres, tendremos que A∪B∪C = (A ∩ B c ∩ C c ) ∪ (A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ B c ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (Ac ∩ B ∩ C c ) ∪ (Ac ∩ B ∩ C) ∪ (Ac ∩ B c ∩ C) . Adem´s, en cada pareja de conjuntos que tomemos, en uno de sus miembros aparece un conjunto y en a el otro su complementario, por lo tanto su intersecci´n es vac´ Por ejemplo, o ıa. (A ∩ B c ∩ C c ) ∩ (A ∩ B ∩ C c ) = A ∩ B c ∩ C c ∩ A ∩ B ∩ C c = A ∩ B c ∩ B ∩ C c = A ∩ ∅ ∩ C c = ∅. Consecuentemente, la igualdad que obtuvimos anteriormente es una descomposici´n de A ∪ B ∪ C en o uni´n de conjuntos disjuntos y aplicando el principio de adici´n, tendremos que o o |A ∪ B ∪ C| = |A ∩ B c ∩ C c | + |A ∩ B ∩ C c | + |A ∩ B c ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| + |Ac ∩ B ∩ C c | + |Ac ∩ B ∩ C| + |Ac ∩ B c ∩ C| y ahora bastar´ aplicar las leyes de De Morgan y la definici´n de diferencia de conjuntos para obtener ıa o el resultado, |A ∪ B ∪ C| = |A (B ∪ C)| + |B (A ∪ C)| + |C (A ∪ B)| + |(A ∩ B) C| + |(A ∩ C) B| + |(B ∩ C) A| + |A ∩ B ∩ C| Ejemplo 3.14 Una encuesta realizada entre 200 personas arroj´ el resultado siguiente: o 40 leen Diario de C´diz. a 42 leen El Mundo. 45 leen El Pa´ ıs. 13 leen Diario de C´diz y El Mundo. a 20 leen El Mundo y El Pa´ ıs. 18 leen Diario de C´diz y El Pa´ a ıs. 7 leen los tres peri´dicos. o 52
  58. 58. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e (a) ¿Cu´ntas personas no leen ninguno de los tres peri´dicos? a o (b) ¿Cu´ntas personas leen unicamente el Diario de C´diz? a ´ a (c) ¿Cu´ntas personas leen un s´lo peri´dico? a o o Soluci´n o Un diagrama de Venn de la situaci´n planteada se muestra en la figura. o U D D ∩ Mc ∩ Pc D ∩ Mc ∩ P Dc ∩ M c ∩ P c D ∩ M ∩ Pc D∩M ∩P P M Dc ∩ M c ∩ P Dc ∩ M ∩ P Dc ∩ M ∩ P c Ejemplo 3.14 Sea U el conjunto formado por todas las personas encuestadas y sean D, M y P los conjuntos formados por las personas que leen Diario de C´diz, El Mundo y El Pa´ respectivamente. Seg´n los datos del a ıs, u enunciado |D| = 40 |M | = 42 |P | = 45 |D ∩ M | = 13 |M ∩ P | = 20 |D ∩ P | = 18 |D ∩ M ∩ P | = 7 53
  59. 59. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a (a) Veamos cu´ntas personas no leen ninguno de los tres peri´dicos. a o El conjunto D ∪ M ∪ P est´ formado por las personas que leen, al menos, uno de los tres peri´dicos, a o luego el conjunto de las personas que no leen ninguno de los tres peri´dicos ser´ su complementario o a c c (D ∪ M ∪ P ) y al ser D ∪ M ∪ P y (D ∪ M ∪ P ) disjuntos, por el principio de adici´n, tendremos o c c |U | = |(D ∪ M ∪ P ) ∪ (D ∪ M ∪ P ) | = |D ∪ M ∪ P | + |(D ∪ M ∪ P ) | de aqu´ que ı c |(D ∪ M ∪ P ) | = |U | − |D ∪ M ∪ P | . Por el principio de inclusi´n-exclusi´n para tres conjuntos, tendremos o o |D ∪ M ∪ P | = |D| + |M | + |P | − |D ∩ M | − |M ∩ P | − |D ∩ P | + |D ∩ M ∩ P | = 40 + 42 + 45 − 13 − 20 − 18 + 7 = 134 − 51 = 83 por lo tanto, c |(D ∪ M ∪ P ) | = 200 − 83 = 117 (b) Calculemos ahora el n´mero de personas que leen unicamente Diario de C´diz. u ´ a Las personas que leen unicamente Diario de C´diz ser´n aquellas que lean Diario de C´diz y no ´ a a a lean El Mundo ni El Pa´ es decir las del conjunto D ∩ M c ∩ P c . Para calcular el n´mero de ıs, u estas personas, y teniendo en cuenta los datos que proporciona el enunciado, habr´ que hacerlo en a funci´n de |D|, |D ∩ M |, |D ∩ P | y |D ∩ M ∩ P |. o Pues bien, las personas que leen Diario de C´diz puede que lean alguno de los otros dos peri´dicos a o c (D ∩ (M ∪ P )) o que no lean ninguno de los otros dos (D ∩ (M ∪ P ) ), es decir, c D = [D ∩ (M ∪ P )] ∪ [D ∩ (M ∪ P ) ] siendo esta descomposici´n en uni´n de disjuntos. Aplicando el principio de adici´n y, posterioro o o mente, el de inclusi´n-exclusi´n, o o c |D| = |D ∩ (M ∪ P )| + |D ∩ (M ∪ P ) | = |(D ∩ M ) ∪ (D ∩ P )| + |D ∩ M c ∩ P c | = |D ∩ M | + |D ∩ P | − |D ∩ M ∩ P | + |D ∩ M c ∩ P c | de donde, |D ∩ M c ∩ P c | = |D| − |D ∩ M | − |D ∩ P | + |D ∩ M ∩ P | = 40 − 13 − 18 + 7 = 16 (c) Veamos ahora cu´ntas personas leen un s´lo peri´dico. a o o Las personas que leen unicamente un s´lo peri´dico ser´n aquellas que lean unicamente Diario de ´ o o a ´ C´diz (ni El Mundo, ni El Pa´ o que unicamente lean El Mundo (ni Diario de C´diz ni El Pa´ a ıs) ´ a ıs) o que lean unicamente El Pa´ (ni Diario de C´diz ni El Mundo), es decir las del conjunto ´ ıs a (D ∩ M c ∩ P c ) ∪ (Dc ∩ M ∩ P c ) ∪ (Dc ∩ M c ∩ P ) y como estos tres conjuntos son disjuntos dos a dos, por el principio de adici´n, tendremos o |(D ∩ M c ∩ P c ) ∪ (Dc ∩ M ∩ P c ) ∪ (Dc ∩ M c ∩ P )| = |D ∩ M c ∩ P c | + |Dc ∩ M ∩ P c | + |Dc ∩ M c ∩ P | (3.8) El primero de los sumandos lo hemos calculado en el apartado anterior. Si seguimos un camino an´logo para calcular los otros dos, tendremos: a |Dc ∩ M ∩ P c | = |M | − |M ∩ P | − |D ∩ M | + |D ∩ M ∩ P | = 42 − 20 − 13 + 7 = 16 54 (3.9)
  60. 60. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e y |Dc ∩ M c ∩ P | = |P | − |M ∩ P | − |D ∩ P | + |D ∩ M ∩ P | = 45 − 20 − 18 + 7 = 14. (3.10) Sustituyendo (3.9) y (3.10) junto con el resultado obtenido en el apartado anterior en (3.8) tendremos que el n´mero de personas que leen unicamente un peri´dico es u ´ o |(D ∩ M c ∩ P c ) ∪ (Dc ∩ M ∩ P c ) ∪ (Dc ∩ M c ∩ P )| = 16 + 16 + 14 = 46 Ejemplo 3.15 Se ha comprado un lote de banderas monocolores, bicolores y tricolores. En todas ellas figura, al menos, el blanco, el rojo o el negro. Adem´s, en ocho de ellas no figura el blanco, en diez a no figura el rojo y en cuatro no figura el negro. Por otra parte, cinco banderas tienen, al menos, los colores rojo y blanco, siete el blanco y el negro y seis el rojo y el negro. Finalmente, cuatro tienen los tres colores. Averiguar: (a) N´mero total de banderas. u (b) N´mero de monocolores rojas. u Soluci´n o Sean B: Conjunto formado por las banderas en las que figura, al menos, el blanco. N : Conjunto formado por las banderas en las que figura, al menos, el negro. R: Conjunto formado por las banderas en las que figura, al menos, el rojo. (a) N´mero total de banderas. u Como en todas las banderas figura, al menos, uno de los tres colores, el n´mero total de banderas u ser´ el cardinal del conjunto B ∪ R ∪ N . a Veamos que datos aporta el enunciado. En ocho de ellas no figura el blanco. Entonces, |B c | = 8 En diez de ellas no figura el rojo, es decir, |Rc | = 10 En cuatro de ellas no figura el negro, luego, |N c | = 4 Cinco tienen, al menos, los colores rojo y blanco. Pues bien, |B ∩ R| = 5 Siete tienen, al menos, los colores blanco y negro, o sea, |B ∩ N | = 7 55
  61. 61. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a Seis tienen, al menos, los colores rojo y negro, es decir, |R ∩ N | = 6 Cuatro tienen los tres colores, es decir, |B ∩ R ∩ N | = 4. A la vista de estos datos parece que lo m´s l´gico es utilizar el principio de inclusi´n-exclusi´n a o o o para 3 conjuntos: |B ∪ N ∪ R| = |B| + |N | + |R| − |B ∩ N | − |B ∩ R| − |N ∩ R| + |B ∩ N ∩ R| y utilizando el principio de adici´n, o B ∪ Bc = B ∪ N ∪ R =⇒ |B| + |B c | = |B ∪ N ∪ R| =⇒ |B| = |B ∪ N ∪ R| − |B c | N ∪ Nc = B ∪ N ∪ R =⇒ |N | + |N c | = |B ∪ N ∪ R| =⇒ |N | = |B ∪ N ∪ R| − |N c | R ∪ Rc = B ∪ N ∪ R =⇒ |R| + |Rc | = |B ∪ N ∪ R| |R| = |B ∪ N ∪ R| − |Rc | =⇒ Si ahora sustituimos estos resultados en la igualdad anterior, −2 |B ∪ N ∪ R| = − |B c | − |N c | − |Rc | − |B ∩ N | − |B ∩ R| − |N ∩ R| + |B ∩ N ∩ R| de donde se sigue que el n´mero total de banderas es u |B ∪ N ∪ R| = = = |B c | + |N c | + |Rc | + |B ∩ N | + |B ∩ R| + |N ∩ R| − |B ∩ N ∩ R| 2 8 + 10 + 4 + 5 + 7 + 6 − 4 2 18 B B (N ∪ R) (B ∩ N ) R (B ∩ R) N B∩R∩N N R N (B ∪ R) (R ∩ N ) B Ejemplo 3.15 56 R (B ∪ N )
  62. 62. Matem´tica Discreta a Francisco Jos´ Gonz´lez Guti´rrez e a e (b) N´mero de monocolores rojas. u El conjunto de banderas que tienen unicamente el color rojo es R (B ∪ N ) o B c ∩ N c ∩ R. Pues ´ bien las banderas que tienen el color rojo, puede que tengan, adem´s, uno de los otros dos colores a o ninguno de los dos, es decir, c R = [R ∩ (B ∪ N )] ∪ [R ∩ (B ∪ N ) ] siendo ´sta una descomposici´n de R en uni´n de subconjuntos disjuntos. Aplicando el principio e o o de adici´n y el principio de inclusi´n-exclusi´n, o o o c |R| = |R ∩ (B ∪ N )| + |R ∩ (B ∪ N ) | = |(B ∩ R) ∪ (N ∩ R)| + |B c ∩ N c ∩ R| = |B ∩ R| + |N ∩ R| − |B ∩ N ∩ R| + |B c ∩ N c ∩ R| si ahora sustituimos |R| por |B ∪ N ∪ R| − |Rc | y despejamos, |B c ∩ N c ∩ R| = |B ∪ N ∪ R| − |Rc | − |N ∩ R| − |B ∩ R| + |B ∩ N ∩ R| = 18 − 10 − 6 − 5 + 4 = 1 luego hay una sola bandera de color rojo. Ejemplo 3.16 En una muestra de 1000 individuos elegida para el estudio las preferencias gastron´micas o de una poblaci´n, se observa que sesenta comen pescado y carne pero no huevos, cuarenta comen pescado o y huevos pero no carne, treinta carne y huevos pero no pescado, cincuenta comen unicamente pescado, ´ cuarenta s´lo carne y treinta comen unicamente, huevos. Todos comen al menos, una de las tres cosas. o ´ (a) ¿Cu´ntos comen las tres cosas? a (b) ¿Cu´ntos comen pescado? a Soluci´n o Sean C, H y P los conjuntos formados por los individuos que comen, respectivamente, carne, huevos y pescado. (a) Los individuos que comen las tres cosas ser´n los del conjunto C ∩ H ∩ P es decir, tenemos que a calcular |C ∩ H ∩ P |. Descompondremos el conjunto C ∪H ∪P en uni´n de conjuntos disjuntos, para lo cual razonaremos o igual que en los ejercicios anteriores. En efecto, si un individuo come una de las tres cosas, puede que coma tambi´n las otras dos, una o ninguna. Por ejemplo, si come carne, puede que tambi´n e e coma huevos y pescado o huevos y no coma pescado o pescado y no coma huevos o que no coma huevos ni pescado. Esto en t´rminos de los conjuntos C, H y P quiere decir lo siguiente: e P (C ∩ H) ∪ (C ∩ H c ) (C ∩ H ∩ P ) ∪ (C ∩ H ∩ P c ) ∪ (C ∩ H c ∩ P ) ∪ (C ∩ H c ∩ P c ) = (C ∩ H) ∪ (C c ∩ H) = H = = C (C ∩ H ∩ P ) ∪ (C ∩ H ∩ P c ) ∪ (C c ∩ H ∩ P ) ∪ (C c ∩ H ∩ P c ) = (C ∩ P ) ∪ (C c ∩ P ) = (C ∩ H ∩ P ) ∪ (C ∩ H c ∩ P ) ∪ (C c ∩ H ∩ P ) ∪ (C c ∩ H c ∩ P ) 57
  63. 63. Universidad de C´diz a Departamento de Matem´ticas a y si ahora unimos los tres, tendremos que C ∪H ∪P = (C ∩ H ∩ P ) ∪ (C ∩ H ∩ P c ) ∪ (C ∩ H c ∩ P ) ∪ (C ∩ H c ∩ P c ) ∪ (C c ∩ H ∩ P ) ∪ (C c ∩ H c ∩ P ) ∪ (C c ∩ H ∩ P c ) . Donde, como siempre, los conjuntos que integran el segundo miembro son disjuntos dos a dos ya que en cada pareja que elijamos figura un conjunto en uno de sus miembros y su complementario en el otro. Tenemos, por tanto, una descomposici´n de C ∪ H ∪ P en uni´n de conjuntos disjuntos, o o luego por el principio de adici´n, o |C ∪ H ∪ P | = |C ∩ H ∩ P | + |C ∩ H ∩ P c | + |C ∩ H c ∩ P | + |C ∩ H c ∩ P c | + |C c ∩ H ∩ P | + |C c ∩ H c ∩ P | + |C c ∩ H ∩ P c | . La situaci´n se refleja en la figura. o C C ∩ Hc ∩ P c C ∩ Hc ∩ P C ∩ H ∩ Pc C ∩H ∩P P H Cc ∩ Hc ∩ P Cc ∩ H ∩ P Ejemplo 3.16 Observemos ahora los datos que proporciona el enunciado. Sesenta comen pescado y carne pero no huevos. Entonces, |C ∩ H c ∩ P | = 60 Cuarenta comen pescado y huevos pero no carne, es decir, |C c ∩ H ∩ P | = 40 Treinta comen carne y huevos pero no comen carne, o sea, |C ∩ H ∩ P c | = 30 58 Cc ∩ H ∩ P c

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