GEOMETRI TRANSFORMASI

1. 1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari sering ditemukan masalah-masalah yang
berkaitan dengan Geometri Transformasi. Contoh sederhananya adalah saat
membuka pintu atau jendela. Saat membuka pintu atau jendela tentu dapat
dilihat perubahan yang terjadi ketika pertama kali pintu atau jendela tersebut
tertutup dan apabila dibuka akan mengalami perubahan keadaan yaitu terjadi
perubahan jarak antara daun pintu dengan tembok atau kusen pintu, serta
perubahan bentuk dari engsel pintu tersebut. Geometri itu sendiri
mengajarkan tentang perubahan bentuk, ukuran dan jarak objek suatu benda
terhadap bidangnya.
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1 Apa yang dimaksud dengan sudut?
1.2.2 Apa saja jenis-jenis sudut?
1.2.3 Apa yang dimaksud dengan segi banyak?
1.2.4 Apa saja sifat-sifat dari bangun datar?
1.2.5 Apa yang dimaksud dengan kesebangunan?
1.2.6 Apa yang dimaksud dengan geometri transformasi?
1.2.7 Apa yang dimaksud dengan translasi?
1.2.8 Apa yang dimaksud dengan refleksi?
1.2.9 Apa yang dimaksud dengan rotasi?
1.2.10 Apa yang dimaksud dengan dilatasi?

2. 2
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 SUDUT
Sebelum memahami tentang sudut jauh lebih dalam, terlebih dahulu harus
dipahami dari mana datangnya sudut atau asal sudut itu sendiri. Sudut dibahas
dalam ilmu matematika khususnya Geometri yang membahas tentang
hubungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang.
Geometri merupakan salah satu sistem dalam matematika yang diawali oleh
sebuah konsep pangkal, yakni titik. Titik adalah sesuatu yang tidak dapat
didefinisikan, tidak berbentuk dan tidak mempunyai ukuran. Titik merupakan
suatu ide yang abstrak. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda noktah,
kemudian dibubuhi dengan nama titik itu. Nama sebuah titik biasanya
menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, D, E, O, P, Q. Contohnya: . B =
Titik B atau . O = Titik O. Titik kemudian digunakan untuk membentuk garis.
Garis adalah deretan titik-titik (tak terhingga jumlahnya) yang saling
bersebelahan dan memanjang ke dua arah. Bagian dari garis yang terbatas
dalam satu arah dinamakan sinar garis. Contohnya:
Dalam gambar tersebut titik-titik muncul pada baris dalam urutan A, B, C
yang mengarah pada satu arah yaitu kekanan. Pertemuan atau perpotongan
dua sinar garis yang dilambangkan (∠) disebut sudut. Sudut merupakan
bangun yang bersisi dua garis dan sisi-sisinya bersekutu pada salah satu
ujungnya. Sisi-sisi sudut terbentuk dari ruas-ruas garis. Ruas garis adalah
sebagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik ujung yang berbeda, dan
memuat semua titik pada garis di antara ujung-ujungnya. Contoh ruas garis
misalnya sisi segitiga atau sisi persegi. Titik persekutuan suatu sudut disebut
titik sudut. Sisi sudut juga disebut kaki sudut. Jika memberi nama sudut,
huruf pada titik sudut terdapat ditengah.

3. 3
Contoh :
Sudut diatas disebut sudut ABC (∠ABC) atau sudut CBA (∠CBA) atau
sudut B (∠B), BA dan BC merupakan kaki sudut dan B meruakan titik sudut.
Besar suatu sudut dapat dinyatakan dalam satuan derajat ( º ), menit ( ‘ ),
dan detik ( “ ). Ukuran sudut dalam derajat yakni 1 derajat adalah besar sudut
yang diputar oleh jari-jari lingkaran sejauh 1/360 putaran atau 1° = 1/360
putaran. Ukuran sudut yang lebih kecil daripada derajat adalah menit (‘) dan
detik (“).
Hubungan antara derajat, menit, dan detik dapat dinyatakan sebagai
berikut:
a. 1 derajat = 60 menit atau 1° = 60’
b. 1 menit = 1/60 derajat atau 1’ = 1/60°
c. 1 menit = 60 detik atau 1’ = 60”
d. 1 detik = 1/60 menit atau 1” = 1/60’
2.1.1 Jenis-Jenis Sudut
1) Sudut lancip
Sudut lancip adalah sudut yang besarnya kurang dari 90° atau
antara 0° - 90° ( 0° ∠ α ∠ 90°).
2) Sudut siku-siku
Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90°.

4. 4
3) Sudut tumpul
Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya lebih dari 90° tetapi
kurang dari 180° ( 90°∠ α ∠ 180° ).
4) Sudut lurus
Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 180°.
5) Sudut dalam berseberangan
Sudut dalam berseberangan adalah sudut yang terletak antara dua
garis sejajar dan terletak pada sisi dalam yang bersebrangan dari
garis yang memotong kedua garis sejajar itu yaitu garis putus-putus.

5. 5
6) Sudut luar berseberangan
Sudut luar berseberangan adalah sudut yang terletak antara dua
garis sejajar dan terletak pada sisi luar yang bersebrangan dari garis
yang memotong kedua garis sejajar itu yaitu garis putus-putus.
7) Sudut dalam sepihak
Sudut yang berada di dalam dua garis sejajar dan keduanya
terletak di sebelah kiri garis transversal. Garis transversal adalah
suatu garis yang memotong dua garis lain di dua titik yang berlainan.
Sudut-sudut itu disebut sudut dalam sepihak.
8) Sudut luar sepihak
Sudut yang berada diluar dua garis sejajar dan keduanya terletak
di sebelah kiri garis transversal. Garis transversal adalah suatu garis
yang memotong dua garis lain di dua titik yang berlainan. Sudut-
sudut ini disebut sudut luar sepihak.

6. 6
9) Sudut bertolak belakang
Dua garis yang berpotongan membentuk sudut-sudut yang
bertolak belakang yakni ∠1 bertolak belakang dengan ∠3, ∠2
bertolak belakang dengan ∠4. Besar sudut-sudut yang bertolak
belakang adalah sama.
2.1.2 Hubungan Antar Sudut
1) Sudut yang Saling Berpelurus (Bersuplemen)
Dua sudut dikatakan saling berpelurus atau bersuplemen jika
jumlah besar kedua sudut itu adalah 180º.
2) Sudut yang Berpenyiku (Berkomplemen )
Dua sudut dikatakan saling berpenyiku atau berkomplemen jika
jumlah besar kedua sudut itu adalah 90º.

7. 7
Contoh Soal :
1. Tentukan nilai x°untuk setiap segitiga pada gambar berikut.
Penyelesaian :
a. x° + x° + 50° = 180° b. x° + 5x° + 2x° = 180°
2x° = 130° 8x° = 180°
2x°
2
=
130°
2
8x°
8
=
180°
8
x = 65 x = 22,5
c. 3x° + 2x° + 60° = 180° d. 3x° + 4x° + 90° = 180°
5x° = 120° 7x° = 90°
5x°
5
=
120°
5
7x°
7
=
90°
7
x = 24 x = 12,86

8. 8
2.2 SEGI BANYAK
Sebelum mengenal tentang segi banyak, sebaiknya mengetahui terlebih
dahulu dari mana datangnya segi banyak. Segi banyak terbentuk dari sebuah
kurva. Kurva adalah garis dan ruas garis yang membentuk kurva-kurva
sederhana. Kurva dapat digambarkan dengan bermacam-macam bentuk,
bentuknya bisa teratur bisa juga tidak teratur. Dikenal 4 macam kurva yaitu :
1. Kurva tertutup sederhana yaitu kurva yang titik ujung dan titik pangkalnya
bersekutu atau berimpit dan tidak memotong diri sendiri atau tidak
mempunyai titik potong.
2. Kurva tidak tertutup sederhana yaitu kurva yang titik ujung dan titik
pangkalnya tidak bersekutu atau tidak berimpit.
3. Kurva tertutup tidak sederhana yaitu kurva yang titik ujung dan titik
pangkalnya bersekutu atau berimpit dan memotong dirinya sendiri atau
mempunyai titik potong.
4. Kurva tidak tertutup tidak sederhana yaitu kurva yang titik ujung dan titik
pangkalnya tidak bersekutu atau tidak berimpit tetapi memotong dirinya
sendiri atau mempunyai titik potong.

9. 9
Kurva tertutup sederhana yang memiliki sisi berupa ruas garis disebut
dengan Segi Banyak. Segi banyak terjadi dengan menghubungkan beberapa
titik satu sama lain yang tidak terletak pada satu garis lurus. Sisi-sisi tersebut
kemudian berkumpul dan membetuk segi banyak. Segi banyak paling sedikit
memiliki tiga sisi yang dinamakan segitiga. Segi banyak dengan empat sisi
dinamakan segi empat. Segi banyak dengan lima sisi dinamakan segi lima,
segi banyak dengan enam sisi dinamakan segi enam dan begitu seterusnya.
Apabila sisi dan sudut segi banyak berukuran sama, segi banyak tersebut
dinamakan segi banyak beraturan.
Segi banyak juga disebut bangun datar karena bangun datar merupakan
sebuah bangun berupa bidang datar yang dibatasi oleh beberapa ruas garis
dan di dalam bangun datar juga disebutkan mengenai segitiga, segi empat,
segi lima dan segi enam. Bangun datar dalam matematika disebut bangun
geometri. Jumlah dan model ruas garis yang membatasi bangun tersebut
menentukan nama dan bentuk bangun datar tersebut. Misalnya:
- Bidang yang dibatasi oleh 3 ruas garis, disebut bangun segitiga.
- Bidang yang dibatasi oleh 4 ruas garis, disebut bangun segiempat.
- Bidang yang dibatasi oleh 5 ruas garis, disebut bangun segilima dan
seterusnya.
Jumlah ruas garis serta model yang dimiliki oleh sebuah bangun
merupakan salah satu sifat bangun datar tersebut. Jadi, sifat suatu bangun
datar ditentukan oleh jumlah ruas garis, model garis, besar sudut, dan lain-
lain.

10. 10
2.2.1 Macam-macam segi banyak
a. Segitiga
Segitiga merupakan bangun geometri yang dibentuk oleh 3 buah
garis yang saling bertemu dan membentuk 3 buah titik sudut.
Bangun segitiga dilambangkan dengan ∆. Jumlah sudut pada segitiga
besarnya 180⁰. Ada beberapa jenis segitiga yaitu :
1. Segitiga Sama Sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang mempunyai :
a. 3 sisi yang sama panjang (AB = BC = AC).
b. 3 sudut yang sama besar yaitu 60⁰ (∠𝐴 = ∠𝐵 = ∠𝐶 = 60⁰)
c. 3 simetri lipat
d. 3 simetri putar
2. Segitiga Sama Kaki
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai :
a. 2 sisi yang berhadapan sama panjang (AC = BC)
b. 1 pasang sudut sama besar (∠𝐴 = ∠𝐵)
c. 1 simetri lipat.
d. 1 simetri putar.

11. 11
3. Segitiga Siku-Siku
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai :
a. 2 sisi yang saling tegak lurus (AC dan AB)
b. 1 sisi miring (a)
c. Salah satu sudutnya adalah sudut siku-siku yang besarnya
adalah 90⁰ (∠𝐴)
d. Tidak mempunyai simetri lipat dan putar.
Untuk mencari panjang sisi miring digunakan rumus phytagoras
yakni :
a2 + b2 = c2
Keterangan :
a : sisi datar
b : sisi tegak
c : sisi miring
4. Segitiga Sembarang
Segitiga sembarang adalah segitiga yang mempunyai :
a. 3 sisi yang tidak sama panjang (AB ≠ BC ≠ AC).
b. 3 sudut yang tidak sama besar (∠𝐴 ≠ ∠𝐵 ≠ ∠𝐶).

12. 12
5. Segitiga Lancip
Segitiga lancip adalah segitiga yang besar ketiga sudutnya
adalah kurang dari 90o (< 90o).
6. Segitiga Tumpul
Segitiga tumpul adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya
adalah lebih dari 90o (>90o).
2.2.2 Garis-garis Istimewa dalam Segitiga
1. Garis Tinggi
Garis tinggi adalah ruas garis yang ditarik dari sebuah titik sudut
segitiga dan tegak lurus dengan sisi dihadapannya.
Garis-garis tinggi dari gambar diatas adalah garis AE, BF, CD.
Titik potong ketiga garis tingginya disebut titik tinggi (titik P).

13. 13
2. Garis Bagi
Garis bagi adalah ruas garis yang ditarik dari sebuah titik sudut
segitiga dan membagi sudut menjadi dua bagian yang sama besar.
Garis-garis bagi dari gambar diatas adalah garis AF, BD, CE.
Titik potong ketiga garis baginya disebut titik bagi (titik P).
3. Garis Berat
Garis berat adalah ruas garis yang ditarik dari sebuah titik sudut
segitiga dan membagi sisi dihadapannya menjadi dua bagian yang
sama panjang.
Garis-garis berat pada gambar diatas adalah AD, BE, CF. Titik
potong ketiga garis beratnya disebut titik berat (titik P).
4. Garis Sumbu
Garis sumbu adalah ruas garis yang membagi sisi segitiga
menjadi dua bagian sama panjang dan tegak lurus pada sisi tersebut.

14. 14
Garis-garis sumbu pada gambar diatas adalah k, l, dan m. Titik
potong ketiga garis sumbunya disebut titik sumbu atau titik P.
b. Segiempat
1. Persegi
Persegi adalah bangun segiempat yang memiliki :
a. 4 sisi yang sama panjang ( PQ = QR = RS = SP ).
b. 4 titik sudut siku-siku yang besar tiap sudutnya 90⁰ ( ∠𝑃 = ∠𝑄
= ∠𝑅 = ∠𝑆 = 90⁰)
c. 2 diagonal yang sama panjang (SQ = PR).
d. 4 simetri lipat.
e. 4 simetri putar.
Untuk mencari Keliling Segitiga digunakan rumus :
Keliling ∆ = panjang sisi 1 + panjang sisi 2 + panjang sisi 3
Untuk mencari Luas Segitiga digunakan rumus :
Luas ∆ =
1
2
x alas x tinggi
Untuk mencari Keliling Persegi digunakan rumus :
Keliling = 4 x sisi  K = 4s
Untuk mencari Keliling Persegi digunakan rumus :
Luas = sisi x sisi  L = s2

15. 15
2. Persegi panjang
Persegi panjang merupakan bangun segiempat yang memiliki
a. 4 sisi (AB, BC, CD, AD).
b. Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar (AB = CD dan
AD = BC).
c. Sisi-sisi persegi panjang saling tegak lurus (AD ⊥ BC dan AB
⊥ CD)
f. 4 sudut siku-siku yang besar tiap sudutnya 90⁰ ( ∠𝐴 = ∠𝐵 =
∠𝐶 = ∠𝐷 = 90⁰).
d. 2 diagonal yang sama panjang (AC = BD)
e. 2 simetri lipat.
f. 2 simetri putar.
3. Jajaran genjang
Untuk mencari Keliling Persegi Panjang digunakan rumus :
Keliling = 2 x (panjang + lebar)  K = 2 x ( p + l )
Untuk mencari Keliling Persegi Panjang digunakan rumus :
Luas = panjang x lebar  L = p x l

16. 16
Jajaran genjang merupakan bangun segiempat yang memiliki:
a. 4 sisi (AB, BC, CD, AD).
b. Sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang.
c. Dua sisi lainnya tidak saling tegak lurus.
d. 4 titik sudut ( ∠𝐴, ∠𝐵, ∠𝐶, ∠𝐷 )
e. 2 pasang sudut yang sama besar dengan sudut dihadapannya
(∠𝐴 = ∠𝐶 dan ∠𝐵 = ∠𝐷)
f. Sudut yang saling berdekatan besarnya 180⁰.
g. 2 diagonal yang tidak sama panjang (AC ≠ BD)
h. Tidak mempunyai simetri lipat dan simetri putar.
4. Belah ketupat
Belah ketupat merupakan bangun segiempat yang memiliki :
a. 4 sisi sama panjang (AB = BC = CD = AD)
b. 4 titik sudut ( ∠𝐴 , ∠𝐵, ∠𝐶, ∠𝐷 )
c. Sudut yang berhadapan besarnya sama (∠𝐴 = ∠𝐶 dan ∠𝐵 =
∠𝐷 )
d. Sisinya tidak tegak lurus.
e. 2 diagonal yang berbeda panjangnya (AC ≠ BD)
Untuk mencari Keliling Jajaran Genjang digunakan rumus :
Keliling = 2 x (sisi datar + sisi miring)
Untuk mencari Keliling Jajaran Genjang digunakan rumus :
Luas = alas x tinggi  L = a x t

17. 17
f. 2 simetri lipat.
g. 2 simeteri putar
5. Layang-layang
Layang-layang adalah bangun segiempat yang terbentuk dari
dua segitiga sama kaki yang alasnya berhimpitan. Bangun layang-
layang memiliki :
a. 4 sisi (AB, BC, CD, AD).
b. 2 pasang sisi yang sama panjang (AB = BC dan CD = AD)
c. 4 titik sudut ( ∠𝐴, ∠𝐵, ∠𝐶, ∠𝐷 )
h. Sepasang sudut yang berhadapan sama besar (∠𝐴 = ∠𝐶 dan
∠𝐵 = ∠𝐷 )
d. 2 diagonal berbeda dan tegak lurus.
e. 1 simetri lipat.
f. Tidak mempunyai simetri putar
Untuk mencari Keliling Belah Ketupat digunakan rumus :
Keliling = 4 x sisi  K = 4s
Untuk mencari Keliling Belah Ketupat digunakan rumus :
Luas =
1
2
x diagonal 1 x diagonal 2  L =
1
2
x d1 x d2

18. 18
6. Trapesium
Trapesium adalah bangun segiempat dengan sepasang sisi
berhadapan sejajar. Tiap pasang sudut yang sisinya sejajar
besarnya 180⁰. Ada beberapa jenis trapesium seperti:
a. Trapesium Sembarang
Trapesium sembarang adalah trapesium yang mempunyai
sisi-sisi yang berbeda.
AB // CD
b. Trapesium Siku-Siku
Trapesium siku-siku adalah trapesium yang mempunyai
sudut siku-siku.
AB // CD dan ∠A = 90⁰
Untuk mencari Keliling Layang-Layang digunakan rumus :
Keliling = 2 x (sisi panjang + sisi pendek)
Untuk mencari Keliling Layang-Layang digunakan rumus :
Luas =
1
2
x diagonal 1 x diagonal 2  L =
1
2
x d1 x d2

19. 19
c. Trapesium Sama Kaki
Trapesium sama kaki adalah trapesium yang mempunyai
sepasang kaki sama panjang.
AB // SR , ∠𝐴 = ∠𝐵 , AD= BC
c. Segi-n Beraturan
Segi-n beraturan adalah segi banyak yang memiliki sudut yang
sama besar, sisi yang sama panjang dan diagonal sudut yang sama
panjang, yang lebih dari 4 sehingga jumlahnya dilambangkan dengan
“n”. Didalam segi-n dapat ditarik 3 diagonal dari tiap-tiap sudutnya.
Secara umum contoh segi-n beraturan adalah segi lima beraturan dan
segi enam beraturan.
1. Segi Lima Beraturan
Untuk mencari Keliling Trapesium digunakan rumus :
Keliling = sisi 1 + sisi 2 + sisi 3 + sisi 4  K = s1 + s2 + s3
+ s4
Untuk mencari Keliling Trapesium digunakan rumus :
Luas =
1
2
x jumlah sisi sejajar x tinggi

20. 20
Segi lima beraturan adalah segi banyak yang memiliki lima
sisi, di mana semua sisinya memiliki panjang yang sama dan
seluruh sudut dalamnya sama besar. Besar tiap sudut dalam pada
segi lima beraturan adalah 108°.
2. Segi Enam Beraturan
Segi enam beraturan adalah segi banyak yang memiliki enam
sisi yang yang sama panjang dan sudut dalam yang sama besar.
Besar tiap sudut dalam pada segi enam beraturan adalah 120°.
Segi enam beraturan memiliki enam simetri garis dan 6 simetri
putar. Sejumlah segi enam dapat disusun bersama-sama dengan
cara mempertemukan tiga segi enam pada masing-masing salah
satu sudutnya.
d. Segi-n Tak Beraturan
Segi-n tak beraturan adalah segi banyak yang memiliki sudut
yang tidak sama besar, sisi yang tidak sama panjang dan diagonal
sudut yang tidak sama panjang yang lebih dari 4 sehingga jumlahnya
dilambangkan dengan n. Secara umum contoh segi-n tak beraturan
adalah segi lima tak beraturan dan segi enam tak beraturan.
1. Segi Lima Tak Beraturan
Segi lima tak beraturan adalah segi banyak yang memiliki lima
sisi, di mana masing-masing sisinya memiliki panjang yang
berbeda dan masing-maing sudut dalamnya memiliki besar yang
berbeda.

21. 21
2. Segi Enam Tak Beraturan
Segi enam tak beraturan adalah segi banyak yang memiliki
enam sisi, di mana masing-masing sisinya memiliki panjang yang
berbeda dan masing-maing sudut dalamnya memiliki besar yang
berbeda.
Banyaknya diagonal pada segi-n beraturan dan tidak beraturan
dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
Diagonal segi-n =
1
2
x n (n - 3)
Jumlah sudut pada segi-n beraturan dan tidak beraturan dapat
dihitung dengan menggunakan rumus:
Jumlah sudut segi-n = (n - 2) x 180
Besar tiap sudut pada segi-n beraturan dapat diitung dengan rumus:
( 𝑛 − 2) 𝑥 180
𝑛
Contoh soal:
1. Hitung luas segitiga di bawah ini. Berapa luas segitiga tersebut?
Penyelesaian:
Tinggi = 3 cm
L =
1
2
x a x t

22. 22
=
1
2
x 4 cm x 3 cm
= 6 cm2
Jadi, luas segitiga adalah 6 cm2
2.3 KESEBANGUNAN
Kesebangunan adalah bangun-bangun yang memiliki bentuk yang sama
tetapi ukuran yang berbeda. Secara umum dua buah bangun datar dikatakan
sebangun jika sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama
atau senilai dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Pembuktiannya
adalah sebagai berikut :
1. Kesebangunan pada Persegi
a. Sisi-sisi yang bersesuain memiliki perbandingan yang sama atau senilai
1. Pasangan sisi AD dan KN =
AD
KN
=
3
6
=
1
2
2. Pasangan sisi AB dan KL =
AB
KL
=
3
6
=
1
2
3. Pasangan sisi BC dan LM =
BC
LM
=
3
6
=
1
2
4. Pasangan sisi CD dan MN =
CD
MN
=
3
6
=
1
2
Jadi,
AD
KN
=
AB
KL
=
BC
LM
=
CD
MN
b. Sudut - sudut yang bersesuaian sama besar
∠A = ∠K, ∠B = ∠L, ∠C = ∠M, ∠D= ∠N
Jadi, bangun ABCD dan KLMN adalah sebangun, karena memiliki
pasang sisi yang sama panjang dan 4 sudut yang sama besar.

23. 23
2. Kesebangunan pada Segitiga
a. Sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama atau
senilai
1. Pasangan sisi AC dan PR =
AC
PR
=
4
2
=
2
1
2. Pasangan sisi AB dan PQ =
AB
PQ
=
4
2
=
2
1
3. Pasangan sisi BC dan QR =
BC
QR
=
4
2
=
2
1
Jadi,
AC
PR
=
AB
PQ
=
BC
QR
b. Sudut - sudut yang bersesuaian sama besar
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R
Jadi, bangun ∆ABC dan ∆PQR adalah sebangun, karena memiliki
pasang sisi yang sama panjang dan 3 sudut yang sama besar.
Contoh Soal :
1. Perhatiakan gambar berikut ini!
Diketahui ∆ABC sebangun dengan ∆DEF. Tentukanlah panjang garis
DE!

24. 24
Penyelesaian:
AB
DE
=
AC
DF
⟺
8
DE
=
6
3
⟺ 8 x 3 = DE x 6
⟺ 24 = 6DE
⟺
24
6
=
6
6
DE
⟺ 4 = DE
Jadi, panjang DE adalah 4 cm.
2. Perhatikan gambar berikut ini!
Dari bangun-bangun diatas, manakah yang merupakan bangun yang
sebangun?
Penyelesaian :
Dari bangun-bangun di atas, bangun yang sebangun adalah A dan J, B
dan G, C dan M, E dan L. Bangun-bangun tersebut dikatakan sebangun
karena bangun-bangun tersebut telah memenuhi sifat-sifat dari

25. 25
kesebangunan yakni sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan
yang sama atau senilai dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
2.4 GEOMETRI TRANSFORMASI
Geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan antara titik,
garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang. Transformasi digunakan untuk
untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada suatu bidang. Transformasi
geometri adalah bagian dari geometri yang membahas tentang perubahan
(letak, bentuk, penyajian) yang didasarkan dengan gambar dan matriks.
Transformasi yang biasanya disajikan dalam kegiatan belajar mengajar adalah
transformasi bidang, yaitu transformasi yang mempelajari bagaimana sebuah
bidang berpindah dari satu titik ke titik lainnya atau pemetaan satu-satu
dari himpunan semua titik dalam bidang pada himpunan itu sendiri. Bangun
hasil dari transformasi disebut bayangan. Transformasi yang tidak mengubah
ukuran dan bentuk bangun disebut transformasi isometri, di antaranya translasi
(pergeseran), releksi (pencerminan), dan rotasi (putaran). Adapun transformasi
yang tidak isometri adalah dilatasi (perkalian) karena ukuran bayangan dapat
diperbesar atau diperkecil.
2.4.1 Translasi (pergeseran)
Translasi (pergeseran) yaitu transformasi yang memindahkan setiap
titik yang ada dalam suatu bidang dengan jarak dan arah yang sama
tanpa mengubah bentuk dan ukuran. Jarak dan arah suatu transalasi
dapat dilambangkan dengan garis berarah misalnya 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ atau pasangan
berurutan (
𝑎
𝑏
) dengan a merupakan komponen translasi pada arah sumbu
x dan b merupakan komponen translasi pada arah sumbu y. Salah satu
contoh nyata penerapan translasi dalam kehidupan sehari-hari adalah
pergeseran atau perpindahan orang pada eskalatot dan lift. Peralatan
yang biasa dipakai mal-mal ini berguna untuk memindahkan orang dari
satu lantai ke lantai lain. Selain itu, penggunaan konsep translasi sering
digunakan programmer game dalam membuat games. Penerapan

26. 26
translasi terlihat pada pergerakan objek saat mengikuti visualisasi dari
persamaan garis.
Contoh :
Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai
koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:
(−10
0
) menjadi segitiga A2B2C2 dengan A2(-7,9), B2(-7,3), C2(-4,3)
( 0
−13
) menjadi segitiga A3B3C3 dengan A3(3,-4), B3(3,-10), C3(6,-10)
(−10
−13
) menjadi segitiga A4B4C4 dengan A4(-7,-4), B4(-7,-10), C4(-4,-10)
Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi
dapat digunakan rumus sebagai berikut :
Dimana :
 a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)
 b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)

27. 27
Contoh soal:
1. Bayangan titik P (3,5) ditranslasikan






3
2 adalah…..
Penyelesaian:
   byaxPyxP b
a
T
 






,, '
1
=    55),2(35,3 '3
2
1
 





 
PP
T
= P’(1,8)
Jadi bayangan titik P (3,5) adalah P’(1,8)
2.4.2 Refleksi (pencerminan)
Refleksi pencerminan yaitu transformasi semua titik pada bidang
dengan jalan membalik bidang pada suatu garis tertentu yang disebut
sebagai sumbu pencerminan atau dengan menggunakan sifat bayangan
oleh suatu cermin. Dalam transformasi, pencerminan memiliki sifat-
sifat sebagai berikut :
a. Jarak suatu titik terhadap cermin sama dengan jarak bayangan
pencerminan terhadap cermin.
b. Garis yang menghubungkan titik dengan bayangan pencerminan
selalu tegak lurus dengan cermin.
c. Setiap bangun dan bayangan pencerminannya selalu kongruen.
d. Bayangan hasil pencerminan atau refleksi sama dengan benda tetapi
terbalik.
e. Jarak antara benda dengan cermin sama dengan jarak bayangan ke
cermin.
Misalnya ketika kita sedang berkaca (bercermin) maka di belakang
cermin tampak bayangan kita. Bayangan itu sama dengan kita baik
bentuk maupun besarnya, perbedaannya terletak pada arahnya, yaitu
berlawanan karena kita dan bayangan kita saling berhadapan.

28. 28
a. Pencerminan terhadap sumbu x dan y dan sumbu O(0,0)
Segitiga ABC dengan koordinat A(3,9), B(3,3), C(6,3)
dicerminkan:
 Terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat
A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)
 Terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat
A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)
 Terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat
A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

29. 29
b. Pencerminan terhadap x = h ,dan y = h
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3)
dicerminkan:
 Terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan
koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)
 Terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan
koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)

30. 30
c. Pencerminan terhadap y = x dan y = -x
Segitiga PQR dengan koordinat P(6,4), Q(6,1), R(10,1)
dicerminkan:
 Terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat
P2(4,6), Q2(1,6), R2(1,10)
 Terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan
koordinat P3(-4,-6), Q3(-1,-6), R3(-1,-10)
Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan :
Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b

31. 31
Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y
Pencerminan terhadap titik (0, 0)
Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x
Contoh soal:
1. Bayangan garis y = 2x - 3 yang dicerminkan terhadap garis y = -
x adalah?
Penyelesaian :
( 𝑥′
𝑦′
) = (
0 −1
−1 0
) ( 𝑥
𝑦
)
⟺ ( 𝑥′
𝑦′
) = (−𝑥
−𝑦
)
x ' = -y → x = - y '
y ' = -x → y = - x '
substitusikan ke persamaan garis y = 2x – 3 menjadi:
- x ' = 2 (- y ' ) – 3 → 2 y ' = x ' - 3
Jadi bayangannya adalah 2y = x -3
Hubungan Refleksi dengan Simetri Lipat :
Simetri Lipat adalah jumlah lipatan yang dapat dibentuk oleh
suatu bidang datar menjadi 2 bagian yang sama besar. Untuk mencari
simetri lipat dari suatu bangun datar maka dapat dilakukan dengan
membuat percobaan dengan membuat potongan kertas yang

32. 32
ukurannya mirip dengan yang akan diuji coba. Lipat-lipat kertas
tersebut untuk menjadi dua bagian sama besar. Jika suatu bangun
dilipat menjadi dua, sehingga lipatan yang satu dapat menutup
bagian yang lain dengan tepat, maka dikatakan bangun tersebut
memiliki simetri lipat.
2.4.3 Rotasi (perputaran)
Rotasi atau perputaran yaitu proses memutar bangun geometri
terhadap titik tertentu yang dinamakan titik pusat rotasi. Setiap
pemutaran pada bidang datar ditentukan oleh pusat rotasi, arah rotasi,
dan sudut rotasi. Titik pusat rotasi adalah titik tetap atau titik pusat yang
digunakan sebagai acuan untuk menentukan arah dan besar sudut rotasi.
Titik pusat dapat berada di dalam, pada, atau di luar bangun geometri
yang hendak dirotasi. Arah rotasi yang berlawanan dengan arah putar
jarum jam disebut sebagai arah positif, sedang arah yang searah dengan
arah putar jarum jam disebut arah negatif. Besarnya sudut putar rotasi
menentukan jauhnya rotasi. Jauh rotasi dinyatakan dalam bilangan
pecahan terhadap satu kali putaran penuh (360°) atau besar sudut dalam
ukuran derajat atau radian.

33. 33
Contoh :
Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–). Untuk
rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+). Segitiga
ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:
 α = 90o berlawanan arah jarum jam (+90°) atau α = 270o searah
jarum jam (–270°) dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga
A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
 α =270° berlawanan arah jarum jam (+270°) atau α = 90o searah
jarum jam ( –90°) dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga
A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)
 α =180° berlawanan arah jarum jam (+180°) atau α = 180o searah
jarum jam ( –180°) dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga
A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)
Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan
sebagai berikut :
Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

34. 34
Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):
Contoh soal :
1. Titik B(1,3) dirotasikan terhadap titik (0,0). Tentukan Bayangan titik B
apabila titik B dirotasikan sejauh 90 0 berlawanan arah dengan jarum
jam.
Penyelesaian :
( 𝑥′
𝑦′
) = (
0 −1
−1 0
) ( 𝑥
𝑦
)
⟺ ( 𝑥′
𝑦′
) = (
0 −1
−1 0
) (1
3
)
⟺ ( 𝑥′
𝑦′
) = (−3
1
)
Hubungan Rotasi dengan Simetri Putar :
Simetri Putar adalah jumlah putaran yang dapat dilakukan terhadap
suatu bangun datar di mana hasil putarannya akan membentuk pola yang
sama sebelum diputar, namun bukan kembali ke posisi awal. Suatu bangun
mempunyai simetri putar jika ada satu titik pusat dan bangun tersebut
dapat diputar kurang dari satu putaran penuh sehingga bayangannya tepat
pada bangun semula. Percobaan dapat dilakukan mirip dengan percobaan
pada simetri lipat namun caranya adalah dengan memutar kertas yang
telah dibentuk. Jika suatu bangun datar diputar melalui pusatnya dan dapat
tepat menempati tempat semula maka dikatakan bangun tersebut memiliki
simetri putar. Banyaknya bangun tersebut menempati tempat semula

35. 35
dalam sekali putaran menjukkan jumlah simetri putar. Arah perputaran
mengikuti arah jarum jam.
2.4.4 Dilatasi (perkalian)
Ditalasi adalah transformasi yang mengubah ukuran atau skala suatu
bangun geometri yaitu membesar atau mengecil, tetapi tidak mengubah
bentuk bangunan tersebut. Suatu dilatasi memerlukan suatu titik sebagai
pusat (titik pusat) dan suatu bilangan sebagai faktor skala. Faktor skala
(k) adalah perbandingan antara jarak titik bayangan dari titik pusat
dilatasi dan jarak titik benda berkaitan dengan titik pusat dilatasi. Faktor
skala (k) juga di definisikan sebagai perbandingan antara panjang sisi
tiap bayangan dan panjang sisi yang berkaitan pada benda. Salah satu
contoh nyata penerapan dilatasi dalam kehidupan sehari-hari adalah pada
mikroskop atau alat pembesar yang merupakan alat penting di
laboratorium foto. Alat ini digunakan untuk memperbesar foto dari
negatifnya (klisenya) dengan menggerakkan film di depan lensa,
memungkinkan untuk mengubah ukuran foto yang dihasilkan. Selain itu,
contoh lainnya seperti miniatur pesawat terbang yang mempunyai
bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya, tetapi
ukurannya lebih kecil. Bentuk seperti miniatur pesawat terbang ini telah
mengalami dilatasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya.

36. 36
Contoh :
1. Jika garis PA diperpanjang hingga di A'
PA = A A' maka dapat dikatakan bahwa PA diperpanjang dua kali
atau PA' = 2 x PA. Dimana :
 Titik P disebut sebagai titik tetap atau titk pusat
 2 x PA disebut pembiasan
 Angka 2 disebut faktor skala pembesar
Jadi, faktor skala pembesar dari PA adalah
P𝐴′
PA
= 2
2. Jika garis PA diperkecil hingga di A'
PA' = AA' maka dikatakan bahwa PA dibagi menjadi dua bagian
yang sama, atau PA' =
1
2
x PA. Dimana :
 Titik P disebut sebagai titik pusat

1
2
x PA disebut pengecil
 Angka
1
2
disebut faktor skala pengecil
Jadi, faktor skala pengecilnya adalah
𝑃𝐴′
PA
=
1
2

37. 37
3. Dilatasi dengan faktor skala k
Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:
 Dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi
segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1)
 Dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga
A3B3C3 dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)
Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah
aslinya. Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :
Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k
Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):

38. 38
Contoh soal :
1. Bayangan titik B(1,3) dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan
factor skala 2 adalah:
Penyelesaian :
( 𝑥′
𝑦′
) = (
𝑘 0
0 𝑘
) ( 𝑥
𝑦
)
k = 2, x = 1, y = 3 masukkan ke dalam persamaan matriks :
( 𝑥′
𝑦′
) = (
2 0
0 2
) (1
2
)
Didapat :
x' = 2 dan y' = 6
Jadi bayangan titik B(1,3) dilatasi terhadap titik pusat O (0,0) dengan
factor skala 2 adalah B' (2,6).

39. 39
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Geometri membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, bidang
dan bangun-bangun ruang. Geometri merupakan salah satu sistem dalam
matematika yang diawali oleh sebuah konsep pangkal, yakni titik. Titik
adalah sesuatu yang tidak dapat didefinisikan, tidak berbentuk dan tidak
mempunyai ukuran. Sudut merupakan bangun yang bersisi dua garis dan sisi-
sisinya bersekutu pada salah satu ujungnya. Sisi-sisi sudut terbentuk dari
ruas-ruas garis. Ruas garis adalah sebagian dari garis yang dibatasi oleh dua
titik ujung yang berbeda, dan memuat semua titik pada garis di antara ujung-
ujungnya. Segi banyak juga disebut bangun datar karena
bangun datar merupakan sebuah bangun berupa bidang datar yang dibatasi
oleh beberapa ruas garis dan di dalam bangun. Jadi, sifat suatu bangun datar
ditentukan oleh jumlah ruas garis, model garis, besar sudut, dan lain-
lain.Transformasi Geometri adalah bagian dari geometri yang membicarakan
perubahan, baik perubahan letak maupun bentuk penyajianya didasarkan
dengan gambar dan matriks. Transformasi yang tidak mengubah ukuran dan
bentuk bangun disebut transformasi isometri, di antaranya translasi
(pergeseran), releksi (pencerminan), dan rotasi (putaran). Adapun
transformasi yang tidak isometri adalah dilatasi (perkalian) karena ukuran
bayangan dapat diperbesar atau diperkecil.
3.1 Saran
Sebagai calon guru, sebaiknya kita memahami materi Geometri
Transformasi dengan baik, agar nanatinya pada saat mengajar kita lebih
mudah memberikan pembelajaran kepada anak didik kita mengenai Geometri
Transformasi.

40. 40
DAFTAR PUSTAKA
I Made Suarjana dan I Gusti Ngurah Japa. 2014. Matematika. Singaraja:
UNDIKSHA
Bitman Simanulang, dkk. 2008. Bahan Ajar Cetak Pemecahan Masalah
Matematika. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional
http://id.wikipedia.org/wiki/Sudut_%28geometri%29
http://damarlanhadi.wordpress.com/2012/12/14/segi-banyak-lingkaran/
http://wahyonohadi23.wordpress.com/2013/01/13/segi-banyak-lingkaran/
http://gerobakpinter.blogspot.com/2013/05/kesebangunan.html
http://workshopmathematics.blogspot.com/2012/12/bab-1-kesebangunan-dan-
kekongruenan.html
http://rumus-matematika.com/lebih-mengenal-transformasi-geometri/