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第一宇宙速度,第二宇宙速度を数値的に求めてみる.やり方がわりとアホ.

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  • 1. シミュレーション工学地球における宇宙速度の計算 AE1-8 小田 悠介
  • 2. 宇宙速度● 第1宇宙速度 ● 天体に墜落しないで 周回軌道に乗る(楕円運動)ための速度● 第2宇宙速度 ● 天体の重力を振り切って 外宇宙へ行く(双曲線運動)ための速度● 地球では・・・● この速度を数値的に求めてみる.
  • 3. 支配方程式● 次の条件を仮定すると,単純な2質点の運動で表せる. ● 地球は完全な球である ● 地球の密度は同心球分布である ● m≪M● このとき,物体の座標pについて
  • 4. 支配方程式の変形● 式を使いやすくするために, 2階微分を1階微分に変形する. というベクトルを用いて,
  • 5. Runge-Kutta法● 微分方程式の数値解法 ● 現在の値から予測値を用いて次の値を計算 ● 割と精度が良い● dx/dt = f(x)のとき, 4次Runge-Kutta法は        →→→
  • 6. 宇宙速度の算出● Runge-Kutta法によるシミュレーション結果から二分探索 によって宇宙速度を算出する.● 二分探索で使用する条件・・・ ● 第1宇宙速度: – 未満: 軌道が地球に食い込む – 以上: 物体が半周する ● 第2宇宙速度: – 未満: 元の地点に帰ってくる – 以上: 無限遠に飛んでゆく ● 実際には無限遠の判定が難しいので, 地球半径の1000倍まで行ったところで打ち切る.
  • 7. 実験結果(1)● シミュレーション環境・・・MATLAB 7.12.0上で検証 ● 定数 – 万有引力定数 G = 6.674×10-11 m3s-2/kg – 地球質量 M = 5.972×1024 kg – 地球半径 (赤道半径) R = 6.378×106 m ● 初期条件 – x=0 – y = R+1(赤道の1m上空) – vy = 0 ● vxを適当な値にして,地球に対して水平に打ち出す.
  • 8. 実験結果(1)● シミュレーションによる物体の軌道
  • 9. 実験結果(2)● 二分探索による宇宙速度の算出 第2宇宙速度 第1宇宙速度
  • 10. 実験結果(2)● 最終的に得られた値: ● 第1宇宙速度: 7.9052 ~ 7.9053 [km/s] – 解析解: 7.905 [km/s] ● 第2宇宙速度: 11.1755 ~ 11.1770 [km/s] – 解析解: 11.18 [km/s]● 4桁程度の範囲では,解析解と数値解がよく一致する. (もう少し詳しく計算してみると,第2宇宙速度に0.03%程度の定常誤差が出る) (探索条件に打ち切りを使っているため?)
  • 11. まとめ● 地球の第1宇宙速度,第2宇宙速度を数値的に求める方法を 考案,プログラムを組んで実験した.● 解析解との比較の結果,4桁程度の範囲でよく一致してい た.● 第2宇宙速度の探索に問題があるので,よりよい方法を検 討する必要がある.