Slidehare estructura discreta iii

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Slidehare estructura discreta iii

  1. 1. YURENA RODRUGUEZ CI:19.344.612ESTRUCTURA DISCRETA SAIA
  2. 2. CONJUNTO:Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cualesllamaremos elementos.Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, alconjunto que contiene todos los elementos a considerar. Ejemplo: Consideremos el conjunto formado por todos los números naturales menores que 6. En este caso podemos escribir el conjunto como A = {1,2,3,4,5} y nuestro conjunto de referencia o conjunto universal es N, el conjunto formado por todos los números naturales.
  3. 3. Determinación de conjuntos:Por extensión: Por compresión: Se encuentran entre llaves,  Se expresa el conjunto como los elementos del conjunto, el el dominio de verdad de una orden en que se enumeran no función proposicional que importa. tiene como dominio un Ejemplo: conjunto universal. A= {a,e,i,o,u}  Así (U, P(x)) Es una función proposicional entonces: B= {1,2,3,8} A= {X€U/P(x)}
  4. 4. Subconjuntos: Sean A y B conjuntos diremos que A es subconjunto de B y escribiremos A  B, si todo elemento de A es también un elemento de B. Simbólicamente lo expresaremos como: A  B ↔ (  x)(x€A x€B)Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es:1. Reflexiva: A  A, para todo conjunto A.2. Antisimétrica: A  B y B  A entonces A = B.3. Transitiva: A  B y B  C entonces A  C.
  5. 5. Conjunto de potenciaSi A es un conjunto, se define el conjunto Potenciade A o conjunto partes de A comoᶗ(A) = { X / X  A}, es decir, es el conjuntoformado por todos los subconjuntos de A.Características del Conjunto Potencia La principal característica de este conjunto es que es un conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos. Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de ᶗ (A), ya que si A tiene n elementos, entonces ᶗ(A) tiene 2n elementos.
  6. 6. Conjunto de potencia: Representación Tabular del Conjunto Producto Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas como veremos en el siguiente ejemplo. Ejemplo Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación tabular de AXB Solución AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)} Igualdad de conjuntos: Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales.
  7. 7. Igualdad de conjuntos: Si dos conjuntos tienen los Ejemplo: Si A = {1,3,5,6,7,8} y mismos elementos diremos B = {0,1,-14,5,8,7,10} que son iguales, por entonces, ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14} = {10,5,3,2,9} son iguales. El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos son iguales.Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego, A=B↔AByBA
  8. 8. Unión e intersección de conjuntos:Sean A y B dos conjuntos:  Ejemplo: la unión de A y B es el Si A={a,b,c} y B={b,c,d,e}, conjunto. entonces:A U B={x€U/x€A y x€B} A U B= {a,b,c,d,e} y La intersección A y B es el A B={b,c} conjunto: Otro ejemplo seria:AB= {x€U/x€A y x€B} Dos conjuntos A y B sonTiene 3 teoremas disjuntos si y solo si AB=0Idempotentes Los conjunto A={1,2,3} yConmutativa B={4,5,8} son disjuntos.Asociativa
  9. 9. Diferencia y complemento Sean A,B,C tres conjuntos,  Sea B un conjunto. Se luego se cumple que: define el Complemento (AUB) - C = (A - C) U (B - C) de B como el conjunto. (A I B) - C = (A - C) I (B - C)  C(B) = {xÎ U/ xÏ B}. Es (AD B) - C = (A - C) D (B - C) decir, el complemento de A I ( B - C) = (A I B) - (A I C) B son los elementos que (B - C) I A = (B I A) - (C I A) le faltan a B para llegar a ser igual a U.  Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B.
  10. 10. Diferencia y complemento Ejemplo: Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y B = {1,3,5,7} entonces C(B) = {2,4,6,8,9,10} Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego: A - B = AI C(B) C(C(A)) = A AUC(A) = U AI C(A) = f C(U) = f C(f ) = U AÌ B Û C(B) Ì C(A)
  11. 11.  Ejemplo: Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}.SoluciónC(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) = C(AUB), así podemos decir que:C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}
  12. 12. Algebra de conjuntos. Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación. Leyes de intepotentes Leyes asociativas Leyes conmutativas Leyes distributivas Leyes de identidad Leyes de dominación Leyes de completacion Leyes de Morgan
  13. 13. PRODUCTO CARTECIANOSean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B} Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8}entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}Nótese que Ax B ¹ Bx A
  14. 14. Opertaciones generalizadoConsideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto. Ejemplo Sea la familia indizada {Ai}iÎ I, donde I={1, 2, 3, 4} y determinar por extensión cada miembro de la familia. Solución La familia de conjuntos dadas en el ejemplo anterior es finita.Sin embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo conjunto de índice es el conjunto de los números naturales . Algunos de los miembros de la familia son:
  15. 15. Operaciones generalizadasAhora definamos la unión e intersección de una familia indizada de conjuntos: DefiniciónSea {Ai}iÎ I una familia indizada de conjuntos, se define:La unión de esta familia como el conjuntoLa intersección de esta familia como el conjunto
  16. 16. Participación Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si: Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X. EjemploSi X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.
  17. 17. Cardinalidad Diremos que un conjunto A Definición: Sea A un conjunto es finito si A tiene n finito. Se dice que: elemento, para algún número i. El cardinal de A es 0 si A natural n, es decir, un =f. conjunto es finito si se El cardinal de A es n y lo pueden contar sus elementos. denotaremos por #A = n si A En caso contrario se dice que tiene n elementos. es infinito. Ejemplo: El conjunto Ejemplo: Si A = {0,1,2,5,4,7} {a,b,c,d,e} es finito porque entonces #A = 6 contiene 5 elementos, el Teorema: Sean A yB dos conjunto de los números conjuntos finitos, luego: reales, de los números i. B - A) = #B - #(AI B) naturales son ejemplos de ii. #(AUB) = #A + #B - #(AI conjuntos infinitos. B)
  18. 18. Cardinalidad La cardinalidad se basa de algunos teorema Estos teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. A continuación presentamos el siguiente problema que resolveremos con la teoría de cardinalidad de conjuntos.
  19. 19. Fin
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