2. CONJUNTO:
Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales
llamaremos elementos.
Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, al
conjunto que contiene todos los elementos a considerar.
Ejemplo:
Consideremos el conjunto formado por todos los números
naturales menores que 6. En este caso podemos escribir el
conjunto como A = {1,2,3,4,5} y nuestro conjunto de
referencia o conjunto universal es N, el conjunto formado
por todos los números naturales.
3. Determinación de conjuntos:
Por extensión: Por compresión:
Se encuentran entre llaves, Se expresa el conjunto como
los elementos del conjunto, el el dominio de verdad de una
orden en que se enumeran no función proposicional que
importa. tiene como dominio un
Ejemplo: conjunto universal.
A= {a,e,i,o,u} Así (U, P(x)) Es una función
proposicional entonces:
B= {1,2,3,8}
A= {X€U/P(x)}
4. Subconjuntos:
Sean A y B conjuntos diremos que A es subconjunto de B y
escribiremos A B, si todo elemento de A es también un
elemento de B. Simbólicamente lo expresaremos como:
A B ↔ ( x)(x€A x€B)
Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es:
1. Reflexiva: A A, para todo conjunto A.
2. Antisimétrica: A B y B A entonces A = B.
3. Transitiva: A B y B C entonces A C.
5. Conjunto de potencia
Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia
de A o conjunto partes de A como
ᶗ(A) = { X / X A}, es decir, es el conjunto
formado por todos los subconjuntos de A.
Características del Conjunto Potencia
La principal característica de este conjunto es que es un
conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son
conjuntos.
Dado un conjunto A podemos conocer el número de
elementos de ᶗ (A), ya que si A tiene n elementos,
entonces ᶗ(A) tiene 2n elementos.
6. Conjunto de potencia:
Representación Tabular del Conjunto Producto
Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de
tablas como veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación
tabular de AXB
Solución
AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)}
Igualdad de conjuntos:
Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que
son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9}
son iguales.
7. Igualdad de conjuntos:
Si dos conjuntos tienen los Ejemplo: Si A = {1,3,5,6,7,8} y
mismos elementos diremos B = {0,1,-14,5,8,7,10}
que son iguales, por entonces,
ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}
= {10,5,3,2,9} son iguales.
El siguiente teorema nos
permite determinar
cuando dos conjuntos son
iguales.
Teorema: Sean A Y B dos
conjuntos. Luego,
A=B↔AByBA
8. Unión e intersección de conjuntos:
Sean A y B dos conjuntos: Ejemplo:
la unión de A y B es el Si A={a,b,c} y B={b,c,d,e},
conjunto. entonces:
A U B={x€U/x€A y x€B} A U B= {a,b,c,d,e} y
La intersección A y B es el A B={b,c}
conjunto: Otro ejemplo seria:
AB= {x€U/x€A y x€B} Dos conjuntos A y B son
Tiene 3 teoremas disjuntos si y solo si AB=0
Idempotentes Los conjunto A={1,2,3} y
Conmutativa B={4,5,8} son disjuntos.
Asociativa
9. Diferencia y complemento
Sean A,B,C tres conjuntos, Sea B un conjunto. Se
luego se cumple que: define el Complemento
(AUB) - C = (A - C) U (B - C) de B como el conjunto.
(A I B) - C = (A - C) I (B - C)
C(B) = {xÎ U/ xÏ B}. Es
(AD B) - C = (A - C) D (B - C)
decir, el complemento de
A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)
B son los elementos que
(B - C) I A = (B I A) - (C I A)
le faltan a B para llegar a
ser igual a U.
Así podemos decir xÎ
C(B) Û xÏ B.
10. Diferencia y complemento
Ejemplo: Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y B = {1,3,5,7}
entonces C(B) = {2,4,6,8,9,10}
Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego:
A - B = AI C(B)
C(C(A)) = A
AUC(A) = U
AI C(A) = f
C(U) = f
C(f ) = U
AÌ B Û C(B) Ì C(A)
11. Ejemplo: Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U =
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}.
Solución
C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) =
C(AUB), así podemos decir que:
C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}
Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que A =
{0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}
12. Algebra de conjuntos.
Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra
de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las
leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación.
Leyes de intepotentes
Leyes asociativas
Leyes conmutativas
Leyes distributivas
Leyes de identidad
Leyes de dominación
Leyes de completacion
Leyes de Morgan
13. PRODUCTO CARTECIANO
Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto
producto o producto cartesiano de A y B como el
conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}
Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8}
entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}
mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}
Nótese que Ax B ¹ Bx A
14. Opertaciones generalizado
Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos
{A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto.
Ejemplo
Sea la familia indizada {Ai}iÎ I, donde I={1, 2, 3, 4} y determinar
por extensión cada miembro de la familia.
Solución
La familia de conjuntos dadas en el ejemplo anterior es finita.Sin
embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por
ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número
natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo
conjunto de índice es el conjunto de los números naturales .
Algunos de los miembros de la familia son:
15. Operaciones generalizadas
Ahora definamos la unión e intersección de una familia
indizada de conjuntos:
Definición
Sea {Ai}iÎ I una familia indizada de conjuntos, se define:
La unión de esta familia como el conjunto
La intersección de esta familia como el conjunto
16. Participación
Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos
de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo
si:
Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir,
una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada
conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre
dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos
los miembros da X.
Ejemplo
Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} ,
entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.
17. Cardinalidad
Diremos que un conjunto A Definición: Sea A un conjunto
es finito si A tiene n finito. Se dice que:
elemento, para algún número i. El cardinal de A es 0 si A
natural n, es decir, un =f.
conjunto es finito si se El cardinal de A es n y lo
pueden contar sus elementos. denotaremos por #A = n si A
En caso contrario se dice que tiene n elementos.
es infinito.
Ejemplo: El conjunto
Ejemplo: Si A = {0,1,2,5,4,7}
{a,b,c,d,e} es finito porque entonces #A = 6
contiene 5 elementos, el Teorema: Sean A yB dos
conjunto de los números conjuntos finitos, luego:
reales, de los números i. B - A) = #B - #(AI B)
naturales son ejemplos de ii. #(AUB) = #A + #B - #(AI
conjuntos infinitos. B)
18. Cardinalidad
La cardinalidad se basa de algunos teorema Estos
teoremas son usados para resolver problemas de la vida
cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos
trabajando son conjuntos finitos. A continuación
presentamos el siguiente problema que resolveremos
con la teoría de cardinalidad de conjuntos.
