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Estructura discreta unidad III
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Estructura discreta unidad III

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  1. SlidehareUNIDAD III<br />YURENA RODRUGUEZ<br />CI:19.344.612<br />ESTRUCTURA DISCRETA <br />SAIA<br />
  2. CONJUNTO:Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales llamaremos elementos. Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, al conjunto que contiene todos los elementos a considerar. <br />Ejemplo: <br /> Consideremos el conjunto formado por todos los números naturales menores que 6. En este caso podemos escribir el conjunto como A = {1,2,3,4,5} y nuestro conjunto de referencia o conjunto universal es N, el conjunto formado por todos los números naturales. <br />
  3. Determinación de conjuntos:<br />Por extensión:<br />Por compresión:<br /><ul><li> Se encuentran entre llaves, los elementos del conjunto, el orden en que se enumeran no importa.
  4. Ejemplo: </li></ul> A= {a,e,i,o,u}<br /> B= {1,2,3,8}<br /><ul><li>Se expresa el conjunto como el dominio de verdad de una función proposicional que tiene como dominio un conjunto universal.
  5. Así (U, P(x)) Es una función proposicional entonces:</li></ul> A= {X€U/P(x)} <br />
  6. Subconjuntos: <br />Sean A y B conjuntos diremos que A es subconjunto de B y escribiremos A  B, si todo elemento de A es también un elemento de B. Simbólicamente lo expresaremos como: <br /> A  B ↔ (  x)(x€A x€B)<br />Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es: <br />1. Reflexiva: A  A, para todo conjunto A.<br />2. Antisimétrica: A  B y B  A entonces A = B. <br />3. Transitiva: A  B y B  C entonces A  C. <br />
  7. Conjunto de potencia <br /> Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia de A o conjunto partes de A como ᶗ(A) = { X / X  A}, es decir, es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. <br />Características del Conjunto Potencia <br /><ul><li>La principal característica de este conjunto es que es un conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos.
  8. Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de ᶗ (A), ya que si A tiene n elementos, entonces ᶗ(A) tiene 2n elementos. </li></li></ul><li>Conjunto de potencia:<br />Representación Tabular del Conjunto Producto<br /> Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas como veremos en el siguiente ejemplo. <br /> Ejemplo<br /> Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación tabular de AXB <br /> Solución<br />AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)}<br /> Igualdad de conjuntos:<br /> Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales. <br />
  9. Igualdad de conjuntos:<br /> Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales. <br /> El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos son iguales. <br />Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego, <br /> A = B ↔ A  B y B  A <br />Ejemplo: Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10} entonces, <br /> A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}<br />
  10. Unión e intersección de conjuntos:<br />Sean A y B dos conjuntos:<br /><ul><li> la unión de A y B es el conjunto.</li></ul>A U B={x€U/x€A y x€B}<br /><ul><li>La intersección A y B es el conjunto:</li></ul>AB= {x€U/x€A y x€B}<br />Tiene 3 teoremas <br />Idempotentes<br />Conmutativa<br />Asociativa <br />Ejemplo:<br />Si A={a,b,c} y B={b,c,d,e}, entonces:<br />A U B= {a,b,c,d,e} y A B={b,c}<br />Otro ejemplo seria:<br />Dos conjuntos A y B son disjuntos si y solo si AB=0 <br />Los conjunto A={1,2,3} y B={4,5,8} son disjuntos.<br />
  11. Diferencia y complemento<br />Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:<br />(AUB) - C = (A - C) U (B - C)<br />(A I B) - C = (A - C) I (B - C)<br />(AD B) - C = (A - C) D (B - C)<br />A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)<br />(B - C) I A = (B I A) - (C I A)<br />Sea B un conjunto. Se define el Complemento de B como el conjunto. <br />C(B) = {xÎ U/ xÏ B}. Es decir, el complemento de B son los elementos que le faltan a B para llegar a ser igual a U.<br />Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B.<br />
  12. Diferencia y complemento<br />Ejemplo: Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y B = {1,3,5,7} entonces C(B) = {2,4,6,8,9,10}<br />Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego:<br />A - B = AI C(B)<br />C(C(A)) = A <br />AUC(A) = U <br />AI C(A) = f <br />C(U) = f <br />C(f ) = U <br />AÌ B Û C(B) Ì C(A)<br />
  13. Ejemplo: Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}.<br />Solución<br />C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) = C(AUB), así podemos decir que:<br />C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}<br />Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}<br />
  14. Algebra de conjuntos.<br />Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación.<br /><ul><li>Leyes de intepotentes
  15. Leyes asociativas
  16. Leyes conmutativas
  17. Leyes distributivas
  18. Leyes de identidad
  19. Leyes de dominación
  20. Leyes de completacion
  21. Leyes de Morgan</li></li></ul><li>PRODUCTO CARTECIANO<br />Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}<br />Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8} <br />entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)} <br />mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}<br />Nótese que Ax B ¹ Bx A<br />
  22. Opertacionesgeneralizado <br />Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto.<br />Ejemplo<br /> Sea la familia indizada {Ai}iÎ I, donde I={1, 2, 3, 4} y  determinar por extensión cada miembro de la familia.<br />Solución<br /> La familia de conjuntos dadas en el ejemplo anterior es finita.Sin embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo conjunto de índice es el conjunto de los números naturales . Algunos de los miembros de la familia son:<br />
  23. Operaciones generalizadas<br />Ahora definamos la unión e intersección de una familia indizada de conjuntos:<br />Definición<br />Sea {Ai}iÎ I una familia indizada de conjuntos, se define:<br />La unión de esta familia como el conjunto <br />La intersección de esta familia como el conjunto <br />
  24. Participación<br /> Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:<br /> Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.<br />Ejemplo<br />Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.<br />
  25. Cardinalidad <br />Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito. <br />Ejemplo: El conjunto {a,b,c,d,e} es finito porque contiene 5 elementos, el conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de conjuntos infinitos. <br />Definición: Sea A un conjunto finito. Se dice que: <br />      i. El cardinal de A es 0 si A =f. <br />     El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n elementos. <br />Ejemplo: Si A = {0,1,2,5,4,7} entonces #A = 6 <br /> Teorema: Sean A yB dos conjuntos finitos, luego: <br />      i. B - A) = #B - #(AI B) <br />       ii. #(AUB) = #A + #B - #(AI B) <br />
  26. Cardinalidad <br />La cardinalidad se basa de algunos teorema Estos teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos. A continuación presentamos el siguiente problema que resolveremos con la teoría de cardinalidad de conjuntos. <br />
  27. Fin <br />

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