Resolución de problemas matemáticos, José Heber Nieto Said

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Resolución de problemas matemáticos, José Heber Nieto Said

  1. 1. Talleres de Formaci´n Matem´tica o a Maracaibo, 26 al 31 de julio de 2004 Resoluci´n de oProblemas Matem´ticos a Jos´ Heber Nieto Said e
  2. 2. Prefacio Estas notas constituyen el material de apoyo de un taller para estudiantesLicenciatura en Matem´ticas dirigido a desarrollar la habilidad para resolver aproblemas. Aunque por lo general los problemas juegan un rol importante en cual-quier curso de matem´tica y la habilidad para resolverlos es un aspecto aimportante de la evaluaci´n, los profesores suelen centrar sus esfuerzos en olos aspectos t´cnicos espec´ e ıficas de su asignatura y no en los aspectos gene-rales de la resoluci´n de problemas. El objetivo de esta obra en cambio es oayudar al lector a desarrollar su habilidad general para resolver problemas. Es bueno dejar en claro que el desarrollo de esta habilidad es b´sica- amente el resultado del trabajo personal, de la pr´ctica adquirida resolviendo aproblemas y de la reflexi´n sobre esa pr´ctica. No es posible convertirse en o aun solucionista experto mediante la mera lectura pasiva de un libro, delmismo modo que no es posible convertirse en un buen nadador o pianistasimplemente leyendo un manual. Sin embargo el conocimiento de las t´cni- ecas apropiadas y de los errores t´ ıpicos que es preciso evitar puede ser tanutil para el solucionista como lo es para el nadador o el pianista.´ Con el fin de que la obra sea de utilidad para el mayor n´mero posible ude estudiantes se ha procurado que los problemas analizados no requierande conocimientos especializados. Sin embargo las mismas t´cnicas y estra- etegias que ejemplificamos con problemas elementales se aplican a los m´s aavanzados.
  3. 3. ´Indice generalIntroducci´n o 11. Principios Generales 3 1.1. Resoluci´n de Problemas y Creatividad . . . o . . . . . . . . . 3 1.1.1. Invertir el problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Pensamiento lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Principio de discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4. Imitaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . 5 1.1.5. Tormenta de cerebros (Brainstorming) . . . . . . . . . 5 1.1.6. Mapas mentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.7. Programaci´n neuroling¨´ o uıstica (PNL) . . . . . . . . . 6 1.1.8. Factores afectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.9. Bloqueos mentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. La Creaci´n Matem´tica . . . . . . . . . . . . o a . . . . . . . . . 7 1.3. La metodolog´ de P´lya . . . . . . . . . . . . ıa o . . . . . . . . . 8 1.4. El trabajo de Alan Schoenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Ejemplos sencillos 14 ´ 2.1. Aritm´tica y Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 e 2.2. Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3. Geometr´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ıa3. Algunas Estrategias B´sicas a 26 3.1. Figuras y diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2. Examen de casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3. Transformaciones e Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4. El Principio Extremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 iii
  4. 4. 4. Un problema y varias soluciones 37 4.1. Inducci´n . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2. Teor´ de grafos . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3. Pruebas por Integraci´n . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.4. El m´todo de perturbaciones . . . e . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.5. Funciones escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.6. Triangulaciones y Lema de Sperner . . . . . . . . . . . . . . . 435. Problemas para pensar 456. Soluciones y sugerencias 51Bibliograf´ ıa 60 iv
  5. 5. Introducci´n o La palabra problema proviene del griego πρoβαλλειν, “lanzar adelante”.Un problema es un obst´culo arrojado ante la inteligencia para ser superado, auna dificultad que exige ser resuelta, una cuesti´n que reclama ser aclarada. oTodos vivimos resolviendo problemas: desde el m´s b´sico de asegurar la a acotidiana subsistencia, com´n a todos los seres vivos, hasta los m´s com- u aplejos desaf´ planteados por la ciencia y la tecnolog´ La importancia de ıos ıa.la actividad de resoluci´n de problemas es evidente; en definitiva, todo el oprogreso cient´ıfico y tecnol´gico, el bienestar y hasta la supervivencia de la oespecie humana dependen de esta habilidad. No es de extra˜ar por lo tanto nque la misma se haya convertido en un nuevo objeto de estudio, atrayendopor igual la atenci´n de psic´logos, ingenieros, matem´ticos, especialistas o o aen inteligencia artificial y cient´ ıficos de todas las disciplinas. En el campoeducativo se ha reconocido ampliamente su importancia. y en muchas Uni-versidades el desarrollo de la creatividad y de la habilidad para resolverproblemas es una parte integral del curriculum. Pero lamentablemente todav´ es muy com´n que se expongan ante el ıa ualumno los productos y resultados de la resoluci´n de problemas, pero no el oproceso mismo. Si examinamos un libro de texto con problemas resueltosde matem´tica, encontraremos por lo general soluciones tersas y acabadas. aRara vez el autor incluye comentarios sobre los intentos fallidos de soluci´n, olos casos particulares examinados antes de llegar a la soluci´n general o los orefinamientos realizados a una primera soluci´n no totalmente satisfactoria. oEstos y otros elementos del proceso son cuidadosamente eliminados y lo quese nos presenta es el producto final, conciso y elegante. Hay muchas posiblesrazones para que esto sea as´ un estilo de exposici´n matem´tica consa- ı: o agrado por la tradici´n, criterios est´ticos de concisi´n y elegancia, razones o e oecon´micas de las editoriales, etc. Pero la consecuencia es que el estudiante oobtiene una visi´n falseada de lo que es resolver problemas y de la actividad o 1
  6. 6. 2matem´tica en general. a Si tiene la suerte de tener un profesor que entienda y valore el proceso deresolver problemas entonces las actividades de aula suplir´n las deficiencias adel texto. Pero si no es as´ y el profesor sigue al libro al pie de la letra, al ıenfrentarse al primer fracaso el estudiante terminar´ frustrado, perder´ la a aconfianza en s´ mismo y creer´ que la resoluci´n de problemas es una acti- ı a ovidad incomprensible, accesible solamente a unos pocos superdotados. Nuestro principal objetivo en esta obra es ayudar al lector a desarrollarsu habilidad para resolver problemas. Es bueno dejar claro desde el principioque el desarrollo de esta habilidad es el resultado del trabajo personal, de lapr´ctica adquirida resolviendo problemas y de la reflexi´n sobre esa pr´ctica. a o aNo es posible convertirse en un solucionista experto mediante la mera lecturapasiva de un libro, del mismo modo que no es posible convertirse en un buennadador o pianista simplemente leyendo. Sin embargo el conocimiento de last´cnicas apropiadas y de los errores t´ e ıpicos que es preciso evitar puede sertan util para el solucionista como lo es para el nadador o el pianista. ´
  7. 7. Cap´ ıtulo 1Principios Generales “La principal raz´n de existir del matem´tico es re- o a solver problemas, y por lo tanto en lo que realmente consisten las matem´ticas es en problemas y solu- a ciones.” Paul R. Halmos [14] En este cap´ ıtulo nos ocuparemos de los m´todos y principios generales eque resultan utiles para la resoluci´n de problemas. Pero recordemos que la ´ ounica manera de aprender a resolver problemas es . . . resolviendo problemas!´Por lo tanto la lectura de este cap´ ıtulo solamente ser´ util si se combina con a´la pr´ctica constante. Para quienes tengan poca experiencia es recomendable apasar r´pidamente por las p´ginas siguientes, para volver a ellas m´s tarde, a a acomo referencia, mientras est´n trabajando en la resoluci´n de problemas e oconcretos. Quienes se interesen por el estudio en profundidad de la habilidadpara resolver problemas pueden consultar [27].1.1. Resoluci´n de Problemas y Creatividad o Evidentemente la resoluci´n de problemas est´ estrechamente relaciona- o ada con la creatividad, que algunos definen precisamente como la habilidadpara generar nuevas ideas y solucionar todo tipo de problemas y desaf´ ıos. La especie humana es creativa por naturaleza. Todo ser humano nacecon un gran potencial para la creaci´n, pero mientras algunos lo aprovechan oal m´ximo, otros casi no lo utilizan. Sin embargo la creatividad, al igual que a
  8. 8. 4 Principios Generalescualquier otra habilidad humana, puede desarrollarse a trav´s de la pr´ctica e ay el entrenamiento adecuado. Lamentablemente tambi´n puede atrofiarse, si eno se ejercita adecuadamente. El pensamiento creativo se ha dividido en divergente y convergente. Elprimero consiste en la habilidad para pensar de manera original y elabo-rar nuevas ideas, mientras que el segundo se relaciona con la capacidadcr´ıtica y l´gica para evaluar alternativas y seleccionar la m´s apropiada. o aEvidentemente ambos tipos de pensamiento juegan un rol fundamental enla resoluci´n de problemas. o Tres aspectos de la creatividad han recibido mucha atenci´n: el proceso ocreativo, las caracter´ ısticas de la personalidad creativa, y las circunstanciasque posibilitan o favorecen el acto creativo. Como consecuencia de estos es-tudios se han desarrollado t´cnicas y m´todos generales dirigidos a desarro- e ellar el potencial creativo. En esta obra nos concentraremos en las t´cnicas ey estrategias espec´ıficas que han demostrado ser m’s utiles para la resolu- ´ci´n de problemas matem´ticos. Sin embargo haremos a continuaci´n una o a obreve rese˜a de algunos de los m´todos m´s generales, remitiendo al lector n e ainteresado a la bibliograf´ correspondiente. ıa1.1.1. Invertir el problema Cada concepto tiene uno contrario y la oposici´n entre ellos genera una otensi´n favorable al hecho creativo. Esta idea, que tiene profundas ra´ o ıcestanto en la filosof´ oriental como en la occidental, se refleja en la sabidur´ ıa ıapopular en aforismos tales como: “Para saber mandar hay que aprendera obedecer” o “Para ser un buen orador hay que saber escuchar”. Comoejemplo de esta t´cnica supongamos que deseamos dise˜ar un zapato que e nsea muy c´modo. El problema inverso ser´ dise˜ar un zapato inc´modo. o ıa n oPero el an´lisis de este problema nos llevar´ seguramente a descubrir los a afactores que causan incomodidad, y al evitarlos habremos dado un buenpaso hacia la soluci´n del problema original. Vea [38]. o1.1.2. Pensamiento lateral Consiste en explorar alternativas inusuales o incluso aparentemente ab-surdas para resolver un problema. En otras palabras: evitar los caminostrillados, intentar lo que nadie ha intentado, ensayar percepciones y puntosde vista diferentes. Vea [5].
  9. 9. 1.1 Resoluci´n de Problemas y Creatividad o 51.1.3. Principio de discontinuidad La rutina suprime los est´ ımulos necesarios para el acto creativo, porlo tanto si experimenta un bloqueo temporal de su capacidad creadora in-terrumpa su programa cotidiano de actividades y haga algo diferente a loacostumbrado. Vaya a dar un paseo por sitios que no conoce, ensaye unanueva receta de cocina, escuche m´sica diferente a la que escucha habi- utualmente, lea un libro que no ten´ pensado leer, asista a alg´n tipo de ıa uespect´culo diferente a sus favoritos. a1.1.4. Imitaci´n o La mayor parte de los grandes artistas comienzan imitando a sus maes-tros. M´s a´n se ha llegado a afirmar, en parte en broma y en parte en serio, a uque “la originalidad no es otra cosa que un plagio no detectado”. En cual-quier caso es claro que la imitaci´n puede ser un primer paso v´lido hacia o ala originalidad. En particular observe y no vacile en imitar las t´cnicas de eresoluci´n de problemas empleadas con ´xito por sus compa˜eros, maestros o e no colegas.1.1.5. Tormenta de cerebros (Brainstorming) Es una t´cnica desarrollada en el mundo de la publicidad, en el cual el e´xito depende de la generaci´n de nuevas y brillantes ideas. Para ello see ore´ne un grupo de personas y se les invita a expresar todas las ideas que use les ocurran en relaci´n a un problema o tema planteado, sin importar lo oestrafalarias o rid´ ıculas que parezcan. La evaluaci´n y la cr´ o ıtica se posponen,esperando crear un clima estimulante que favorezca el surgimiento de algunasideas realmente utiles. La utilidad de esta t´cnica es dudosa fuera de ciertos ´ ecampos o situaciones muy espec´ ıficas.1.1.6. Mapas mentales Es una t´cnica desarrollada por Tony Buzan (vea [6] y [7]) que trata de erepresentar en forma gr´fica el car´cter asociativo de la mente humana. Se a acomienza con la idea principal ubicada en el centro de la hoja y alrededorde ella se van colocando las ideas asociadas y sus respectivos v´ ınculos. Uti-lizando diversos colores y s´ ımbolos esta t´cnica puede llegar a ser muy util e ´para organizar las ideas que van surgiendo en torno a un problema.
  10. 10. 6 Principios Generales1.1.7. Programaci´n neuroling¨´ o uıstica (PNL) Tambi´n conocida como “la ciencia de la experiencia subjetriva”, es un econjunto de t´cnicas muy desarrolladas a trav´s de las cuales se trata de e ecaracterizar el contexto (f´ ısico, fisiol´gico, psicol´gico, ambiental, etc.) en o oel cual somos m´s creativos, para luego reproducirlo a voluntad. Los prac- aticantes de la PNL han incluso “modelado” el comportamiento de algunospersonajes famosos, tales como Walt Disney, para tratar de aprovechar susmodos y procedimientos m´s creativos. Vea [10] y [11]. a1.1.8. Factores afectivos La resoluci´n de problemas no es un asunto puramente intelectual. Las oemociones, y en particular el deseo de resolver un problema, tienen tambi´n euna gran importancia. La incapacidad que manifiestan algunos alumnos pararesolver incluso el ejercicio m´s sencillo no es producto por lo general de una adeficiencia intelectual, sino de una absoluta falta de inter´s y motivaci´n. A e oveces no existe ni siquiera el deseo de comprender el problema, y por lo tantoel mismo no es comprendido. El profesor que desee realmente ayudar a unalumno con estas caracter´ ısticas deber´ ante todo despertarle su curiosidad adormida, motivarlo y transmitirle deseos de logro y superaci´n. o Algunas creencias negativas para el proceso creativo est´n asociadas a auna baja autoestima y pueden tener ra´ emocionales profundas. Por ejem- ıcesplo hay quienes enfrentados a un problema creen a priori que no podr´n aresolverlo, y que si lo intentan s´lo conseguir´n terminar con un dolor de o acabeza. El maestro o profesor debe en estos casos apelar a todas sus dotesy conocimientos como educador, aunque en casos extremos ser´ necesaria atambi´n la ayuda de un orientador o la de un psic´logo. e o En el polo opuesto, alguien que tenga confianza en su propia capacidady crea que un problema es un desaf´ que vale la pena enfrentar y que re- ıosolverlo le proporcionar´ una satisfacci´n intelectual al mismo tiempo que a oser´ una experiencia valiosa para su formaci´n, estar´ en excelentes condi- a o aciones psicol´gicas para abordar el proceso resolutivo. Para profundizar en oestos aspectos vea [4], [24], [25], [26].1.1.9. Bloqueos mentales James Adams, profesor de dise˜o en la Universidad de Stanford, centra su nenfoque de la creatividad en la superaci´n de los bloqueos mentales, barreras o
  11. 11. 1.2 La Creaci´n Matem´tica o a 7que nos impiden percibir un problema en la forma correcta y encontrarlesoluci´n. En [1] analiza diferentes tipos de bloqueos y propone ejercicios opara identificarlos y superarlos. Su clasificaci´n es la siguiente: o Bloqueos perceptivos: estereotipos, dificultad para aislar el proble- ma, delimitar demasiado el espacio de soluciones, imposibilidad de ver el problema desde varios puntos de vista, saturaci´n, no poder utilizar o toda la informaci´n sensorial. o Bloqueos emocionales: miedo a cometer errores, a arriesgar, a fra- casar; deseo de seguridad y orden; preferir juzgar ideas a concebirlas; inhabilidad para relajarse; falta de est´ ımulo; entusiasmo excesivo; falta de control imaginativo. Bloqueos culturales: tab´es; el peso de la tradici´n; roles predeter- u o minados asignados a la mujer y al hombre. Bloqueos ambientales: distracciones; falta de apoyo para llevar ade- lante una idea; falta de cooperaci´n entre colegas. o Bloqueos intelectuales: inhabilidad para seleccionar un lenguaje apropiado para el problema (verbal, matem´tico, visual); uso inade- a cuado de las estrategias; falta de informaci´n o informaci´n incorrecta. o o Bloqueos expresivos: t´cnicas inadecuadas para registrar y expresar e ideas (a los dem´s y a uno mismo) a1.2. La Creaci´n Matem´tica o a Una de las reflexiones m´s profundas que se han hecho sobre la creativi- adad en matem´tica es la realizada a principios de siglo por Henri Poincar´, a euno de los m´s grandes matem´ticos de su tiempo. En una conferencia pro- a anunciada ante la Sociedad Psicol´gica de Par´ [30] hizo interesant´ o ıs ısimasrevelaciones sobre sus propias experiencias como creador: “¿Qu´ es, de hecho, la creaci´n matem´tica? No consiste en e o a hacer combinaciones nuevas con entes matem´ticos ya conoci- a dos. Cualquiera podr´ hacerlo, pcro las combinaciones que se ıa podr´ hacer as´ ser´ un n´mero limitado y en su mayor´ ıan ı ıan u ıa totalmente desprovistas de inter´s. Crear consiste precisamente e
  12. 12. 8 Principios Generales no en construir las combinaciones in´tiles, sino en construir las u que son utiles y que est´n en ´ ´ a ınfima minor´ Crear es discernir, ıa. es escoger. . . ” “A menudo, cuando se trabaja en un problema dif´ ıcil, no se consigue nada la primera vez que se comienza la tarea. Luego se toma un descanso m´s o menos largo y uno se sienta de nuevo a ante la mesa. Durante la primera media hora se contin´a sin u encontrar nada. Despu´s, de repente. la idea decisiva se presenta e ante la mente. . . ” “Hay que hacer otra observaci´n a prop´sito de las condicio- o o nes de este trabajo inconsciente. Se trata de que tal trabajo no es posible, y en todo caso no es fecundo, si no est´ por una parte a precedido y por otra seguido de un per´ ıodo de trabajo conscien- te. Estas inspiraciones s´bitas no se presentan . . . m´s que tr´s u a a algunos d´ de esfuerzos voluntarios, aparentemente est´riles, en ıas e los que uno ha cre´ no hacer nada interesante, y piensa haber ıdo tomado un camino falso totalmente. Estos esfuerzos no fueron, por tanto, tan est´riles como se pensaba. Pusieron en movimien- e to la m´quina inconsciente y sin ellos ´sta no habr´ funcionado a e ıa ni hubiera producido nada. . . ” Poincar´ esboza luego una teor´ del trabajo del yo subliminal, en la e ıacual atribuye un rol fundamental a la sensibilidad y el sentido est´tico del ematem´tico en el proceso de selecci´n, durante el trabajo inconsciente, de a olas combinaciones m´s significativas. a Una conclusi´n pr´ctica: cuando un problema se resiste a nuestros mejo- o ares esfuerzos, nos queda todav´ la posibilidad de dejarlo durante un tiempo, ıadescansar, dar un paseo, y volver a ´l m´s tarde. Sin embargo solamente e aaquellos problemas que nos han apasionado, manteni´ndonos en una con- esiderable tensi´n mental, son los que vuelven m´s tarde, transformados, a o ala mente consciente. La inspiraci´n o iluminaci´n s´bita, que los antiguos o o uconsideraban un don divino, hay que merecerla.1.3. La metodolog´ de P´lya ıa o En 1945 el insigne matem´tico y educador George P´lya (1887–1985) a opublic´ un libro que r´pidamente se convirtir´ en un cl´sico: How to solve o a ıa ait [31]. En el mismo propone una metodolog´ en cuatro etapas para resolver ıa
  13. 13. 1.3 La metodolog´ de P´lya ıa o 9problemas. A cada etapa le asocia una serie de preguntas y sugerencias queaplicadas adecuadamente ayudar´n a resolver el problema. Las cuatro etapas ay las preguntas a ellas asociadas se detallan a continuaci´n: oEtapa I: Comprensi´n del problema. o ¿Cu´l es la inc´gnita? ¿Cu´les son los datos? ¿Cual es la condici´n? a o a o ¿Es la condici´n suficiente para determinar la inc´gnita? ¿Es insufi- o o ciente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?Etapa II: Concepci´n de un plan. o ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿Ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? ¿Conoce un problema relacionado con ´ste? ¿Conoce alg´n teorema e u que le pueda ser util? Mire atentamente la inc´gnita y trate de recordar ´ o un problema que le sea familiar y que tenga la misma inc´gnita o una o inc´gnita similar. o He aqu´ un problema relacionado con el suyo y que se ha resuelto ya. ı ¿Podr´ utilizarlo? ¿Podr´ emplear su resultado? ¿Podr´ utilizar su ıa ıa ıa m´todo? ¿Podr´ utilizarlo introduciendo alg´n elemento auxiliar? e ıa u ¿Podr´ enunciar el problema en otra forma? ¿Podr´ plantearlo en ıa ıa forma diferente nuevamente? Refi´rase a las definiciones. e Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primero alg´n problema similar. ¿Podr´ imaginarse un problema an´logo un u ıa a tanto m´s accesible? ¿Un problema m´s general? ¿Un problema m´s a a a particular? ¿Un problema an´logo? ¿Puede resolver una parte del pro- a blema? Considere s´lo una parte de la condici´n; descarte la otra parte; o o ¿en qu´ medida la inc´gnita queda ahora determinada? ¿en qu´ forma e o e puede variar? ¿Puede usted deducir alg´n elemento util de los datos? u ´ ¿Puede pensar en algunos otros datos apropiados para determinar la inc´gnita? ¿Puede cambiar la inc´gnita? ¿Puede cambiar la inc´gnita o o o o los datos, o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva inc´gnita o y los nuevos datos est´n m´s cercanos entre s´ e a ı? ¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condici´n? ¿Ha o considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al pro- blema?
  14. 14. 10 Principios GeneralesEtapa III: Ejecuci´n del plan. o Al ejecutar el plan, compruebe cada uno de los pasos. ¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede demostrarlo?Etapa IV. Visi´n retrospectiva. o ¿Puede usted verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento? ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe? ¿Puede emplear el resultado o el m´todo en alg´n otro problema? e u La primera etapa es obviamente insoslayable: es imposible resolver unproblema del cual no se comprende el enunciado. Sin embargo en nuestrapr´ctica como docentes hemos visto a muchos estudiantes lanzarse a efectuar aoperaciones y aplicar f´rmulas sin reflexionar siquiera un instante sobre lo oque se les pide. Por ejemplo si en el problema aparece una funci´n comienzan ode inmediato a calcularle la derivada, independientemente de lo que diga elenunciado. Si el problema se plantea en un examen y luego, comentando losresultados, el profesor dice que el c´lculo de la derivada no se ped´ y m´s a ıa aa´n que el mismo era irrelevante para la soluci´n del problema, algunos le u oresponder´n: ¿o sea que no nos va a dar ning´n punto por haber calculado a ula derivada? Este tipo de respuesta revela una incomprensi´n absoluta de olo que es un problema y plantea una situaci´n muy dif´ al profesor, quien o ıciltendr´ que luchar contra vicios de pensamiento arraigados, adquiridos tal avez a lo largo de muchos a˜os. n La segunda etapa es la m´s sutil y delicada, ya que no solamente est´ re- a alacionada con los conocimientos y la esfera de lo racional, sino tambi´n con ela imaginaci´n y la creatividad. Observemos que las preguntas que P´lya o oasocia a esta etapa est´n dirigidas a llevar el problema hacia un terreno co- anocido. Con todo lo utiles que estas indicaciones son, sobre todo para el tipo ´de problemas que suele presentarse en los cursos ordinarios, dejan planteadauna interrogante: ¿qu´ hacer cuando no es posible relacionar el problema econ algo conocido? En este caso no hay recetas infalibles, hay que trabajarduro y confiar en nuestra propia creatividad e inspiraci´n. o La tercera etapa es de car´cter m´s t´cnico. Si el plan est´ bien concebi- a a e ado, su realizaci´n es factible y poseemos los conocimientos y el entrenamiento onecesarios, deber´ ser posible llevarlo a cabo sin contratiempos. Sin embar- ıago por lo general en esta etapa se encontrar´n dificultades que nos obligar´n a a
  15. 15. 1.4 El trabajo de Alan Schoenfeld 11a regresar a la etapa anterior para realizar ajustes al plan o incluso paramodificarlo por completo. Este proceso puede reperirse varias veces. La cuarta etapa es muchas veces omitida, incluso por solucionistas exper-tos. P´lya insiste mucho en su importancia, no solamente porque comprobar olos pasos realizados y verificar su correcci´n nos puede ahorrar muchas sor- opresas desagradables, sino porque la visi´n retrospectiva nos puede conducir oa nuevos resultados que generalicen, ampl´ o fortalezcan el que acabamos ıende hallar.1.4. El trabajo de Alan Schoenfeld Si bien la mayor´ de los matem´ticos reconocen en las estrategias heur´ ıa a ıs-ticas de P´lya los m´todos que ellos mismos utilizan habitualmente, no es o etan f´cil para el que no tiene experiencia aplicarlas exitosamente. En otras apalabras, dichas estrategias son m´s descriptivas que prescriptivas. Alan aSchoenfeld (ver [34], [35], [36]) es uno de los que m´s han estudiado esta aproblem´tica. En su an´lisis identifica los siguientes cuatro factores relevan- a ates para la resoluci´n de problemas: o Recursos cognitivos. Son nuestros conocimientos matem´ticos ge- a nerales, tanto de conceptos y resultados como de procedimientos (al- goritmos). Heur´ ıstica. Es el conjunto de estrategias y t´cnicas para resolver e problemas que conocemos y estamos en capacidad de aplicar. Control o metacognici´n. Es la capacidad de utilizar lo que sabe- o mos para lograr un objetivo. Creencias. Se refiere a aquellas creencias y opiniones relacionadas con la resoluci´n de problemas y que pueden afectarla favorable o o desfavorablemente. La importancia del primer factor es obvia. Sin embargo se ha demostra-do (ver [9]) que no es suficiente poseer un amplio bagaje de conocimientosmatem´ticos para ser un solucionista experto. Tambi´n es necesario dominar a ealgunas t´cnicas y estrategias que nos ayuden a atacar el problema. En do- eminios restringidos y bien delimitados, en los cuales los problemas a resolverson m´s o menos rutinarios, se han desarrollado estrategias que pueden ser a
  16. 16. 12 Principios Generalesaplicadas con ´xito incluso por un computador, con resultados tan buenos o emejores que los obtenidos por los expertos humanos (estos son los famosossistemas expertos, producto de las investigaciones en inteligencia artificialy ciencia cognitiva). Sin embargo para resolver problemas no rutinarios endominios ricos en contenido, como la matem´tica, se requiere algo m´s que a aconocimientos y estrategias. Ese factor adicional es lo que llamamos con-trol; act´a como una voz interior que nos dice qu´ ideas y estrategias (entre u emuchas alternativas posibles) nos conviene aplicar para el problema que te-nemos entre manos, o bien si debemos abandonar un camino que no parecearrojar resultados o por el contrario redoblar esfuerzos y perseverar en ´l. eLos solucionistas inexpertos tienen evidentes deficiencias en este aspecto: seapresuran a transitar el primer camino que se les ocurre y luego se muevenen c´ırculos, cayendo una y otra vez en el mismo error. El ultimo factor puede influir tambi´n de manera importante en el pro- ´ eceso de resoluci´n de problemas. Algunas creencias comunes, sobre todo oentre estudiantes de ense˜anza media, son las siguientes: “todo problema nse resuelve mediante alguna f´rmula”, “lo importante es el resultado y no oel procedimiento”, “la respuesta del libro no puede estar equivocada”. Estetipo de creencias es un obst´culo para el desempe˜o de cualquier persona a ncomo solucionista. Schoenfeld elabor´ tambi´n una lista de las estrategias m´s utilizadas: o e a 1. An´lisis. a a) Dibuje un diagrama siempre que sea posible. b) Examine casos especiales. 1) Seleccione algunos valores especiales para ejemplificar el pro- blema e irse familiarizando con ´l. e 2) Examine casos l´ ımite para explorar el rango de posibilidades. 3) Si hay un par´metro entero, dele sucesivamente los valores a 1, 2, . . . , m y vea si emerge alg´n patr´n inductivo. u o c) Trate de simplificar el problema. 1) Explotando la existencia de simetr´ ıa. 2) Usando argumentos del tipo “sin p´rdida de generalidad”. e 2. Exploraci´n. o a) Considere problemas esencialmente equivalentes.
  17. 17. 1.4 El trabajo de Alan Schoenfeld 13 1) Reemplazando condiciones por otras equivalentes. 2) Recombinando los elementos del problema de maneras dife- rentes. 3) Introduciendo elementos auxiliares. 4) Reformulando el problema: Mediante un cambio de perspectiva o notaci´n. o Mediante argumentos por contradicci´n o contraposici´n. o o Asumiendo que tenemos una soluci´n y determinando sus o propiedades. b) Considere un problema ligeramente modificado. 1) Escoja submetas (tratando de satisfacer parcialmente las con- diciones). 2) Relaje una condici´n y luego trate de reimponerla. o 3) Descomponga el dominio del problema y trabaje caso por caso. c) Considere problemas sustancialmente modificados. 1) Construya un problema an´logo con menos variables. a 2) Deje todas las variables fijas excepto una, para determinar su impacto. 3) Trate de aprovechar cualquier problema relacionado que ten- ga forma, datos o conclusiones similares. 3. Verificaci´n de la soluci´n. o o a) ¿Pasa su soluci´n estas pruebas espec´ o ıficas? 1) ¿Usa todos los datos pertinentes? 2) ¿Est´ de acuerdo con estimaciones o predicciones razonables? a 3) ¿Soporta pruebas de simetr´ an´lisis dimensional y escala? ıa, a b) ¿Pasa estas pruebas generales? 1) ¿Puede ser obtenida de manera diferente? 2) ¿Puede ser sustanciada por casos especiales? 3) ¿Puede ser reducida a resultados conocidos? 4) ¿Puede utilizarse para generar alg´n resultado conocido? u
  18. 18. Cap´ ıtulo 2Ejemplos sencillos “Resolver un problema es hacer un descubrimiento. Un gran problema significa un gran descubrimien- to, pero hay una part´ıcula de descubrimiento en la soluci´n de cualquier problema. El suyo puede ser o modesto, pero si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, y si lo resuelve por medios propios, puede experimen- tar la tensi´n y el encanto del descubrimiento y el o goce del triunfo.” George P´lya [31] o En este cap´ıtulo pondremos en pr´ctica los principios examinados en el acap´ıtulo anterior. Para ello hemos seleccionado varios problemas sencillosy de f´cil soluci´n, de modo que nos podamos concentrar en el proceso de a oresoluci´n m´s que en el contenido de los mismos. o a2.1. ´ Aritm´tica y Algebra e Algunos de los problemas m´s antiguos que se conocen son de tipo aaritm´tico. Es t´ e ıpico que se pida hallar una cantidad determinada por cier-tas condiciones, o bien efectuar un reparto cumpliendo ciertos requisitos.Los siguientes problemas pertenecen a esta categor´ ıa.Problema 2.1. Diofanto fue un notable matem´tico griego que desarroll´ su a oactividad en Alejandr´ en el siglo III A.C. y del cual se conservan muy pocos ıa
  19. 19. e ´2.1 Aritm´tica y Algebra 15datos biogr´ficos. Sin embargo se dice que su epitafio conten´ la siguiente a ıainscripci´n: o Caminante: aqu´ yacen los restos de Diofanto. Y los n´me- ı u ros pueden mostrar cu´n larga fue su vida, cuya sexta parte a constituy´ su hermosa infancia. Hab´ transcurrido adem´s una o ıa a duod´cima parte cuando sus mejillas se cubrieron de vello. Lue- e go de una s´ptima parte se cas´, y transcurrido un quinquenio e o le hizo dichoso el nacimiento de su primog´nito, cuya existencia e dur´ tan s´lo la mitad de la de su padre. Luego de cuatro a˜os o o n buscando consuelo en la ciencia de los n´meros, descendi´ Dio- u o fanto a la sepultura.¿Qu´ edad alcanz´ Diofanto? ¿A qu´ edad se cas´? ¿Cu´ntos a˜os vivi´ su e o e o a n ohijo?Soluci´n. Veamos si comprendemos bien el problema. ¿Cu´l es la inc´gnita? o a oEl n´mero de a˜os que vivi´ Diofanto (las preguntas restantes se responden u n of´cilmente conociendo la respuesta a la primera). ¿Cu´les son los datos? Una a aserie de informaciones sobre las etapas sucesivas de su vida, desde su infan-cia hasta su muerte. Ahora debemos concebir un plan. ¿Se ha encontradocon un problema semejante? Es de esperar que s´ ya que la mayor´ de los ı, ıaproblemas resolubles por m´todos algebraicos elementales son semejantes. eEl plan general consiste en escribir ecuaciones que reflejen las condicionesplanteadas, resolver el sistema resultante y finalmente interpretar las solu-ciones obtenidas en el contexto original del problema. Llamemos x al n´mero ude a˜os vividos por Diofanto. Esta cantidad debe ser igual a la suma de las nduraciones de las etapas de su vida, a saber: su infancia (x/6), la duod´cima eparte transcurrida hasta que le sali´ barba (x/12), los a˜os transcurridos o nhasta que contrajo matrimonio (x/7), los a˜os transcurridos hasta que na- nci´ su primog´nito (5), los a˜os que ´ste vivi´ (x/2) y los 4 a˜os que Diofanto o e n e o nle sobrevivi´. Por lo tanto escribimos: o x x x x x= + + +5+ +4 (2.1) 6 12 7 2Agrupando t´rminos semejantes resulta: e 1 1 1 1 (1 − − − − )x = 5 + 4 6 12 7 2y simplificando queda 3 x = 9. 28
  20. 20. 16 Ejemplos sencillosPor lo tanto x = 28 × 9/3 = 84. Verifiquemos el resultado: 84 84 84 84 + + +5+ + 4 = 14 + 7 + 12 + 5 + 42 + 4 = 84 6 12 7 2Diofanto se cas´ cuando contaba 84/6 + 84/12 + 84/7 = 33 a˜os, y su hijo o nvivi´ 84/2 = 42 a˜os. o n Los documentos matem´ticos m´s antiguos que se conservan son dos a arollos de papiro egipcios que datan aproximadamente de la XII dinast´ ıa(2078 a 1788 A.C.). Uno de ellos, conocido como el papiro Rhind, consta deunos 85 problemas y ejemplos pr´cticos. El siguiente es uno de ellos: aProblema 2.2. Dividir cien panes entre cinco hombres, de modo que lasporciones que reciban est´n en progresi´n aritm´tica y que la s´ptima parte e o e ede la suma de las tres mayores sea igual a la suma de las dos porcionesmenores.Soluci´n. Asegur´monos de comprender bien el problema. ¿Qu´ se nos pide? o e eDividir cien panes entre cinco hombres, de modo que se cumplan ciertas con-diciones. ¿Cu´les son los datos? El n´mero total de panes (100), la cantidad a ude porciones (5) y las condiciones que debe cumplir el reparto. ¿Cu´les son alas inc´gnitas? Obviamente, la cantidad de panes que le corresponder´ a ca- o ada uno. ¿Comprendemos la condici´n? En primer lugar las porciones deben oestar en progresi´n aritm´tica; esto significa que si escribimos las porciones o een orden creciente de magnitud, la diferencia de cada una de ellas con lasiguiente es constante. En otras palabras, si llamamos x a la menor de lasporciones y r a la diferencia com´n o raz´n de la progresi´n, entonces las u o ocinco porciones deber´n ser x, x + r, x + 2r, x + 3r y x + 4r. Utilizando esta anotaci´n podemos describir la ultima condici´n del problema mediante una o ´ oecuaci´n: o (x + 2r) + (x + 3r) + (x + 4r) = x + (x + r) (2.2) 7¿Es la condici´n suficiente para determinar la inc´gnita? ¿Es insuficiente? o oEstas preguntas vienen muy bien en este momento, ya que nos hacen ob-servar que tenemos dos inc´gnitas x y r pero una sola ecuaci´n. En general o o(pero por supuesto hay excepciones) esto significa que el problema es inde-terminado, es decir que en vez de una unica soluci´n admite varias, tal vez ´ ohasta un n´mero infinito de ellas. Pero otra posibilidad a tener en cuenta ues que no tengamos suficientes ecuaciones sencillamente por haber pasado
  21. 21. e ´2.1 Aritm´tica y Algebra 17por alto alg´n dato o condici´n del problema. Recordemos las preguntas u ode P´lya: ¿Ha empleado todos los datos?, ¿Ha empleado toda la condici´n? o oBueno, leyendo una vez m´s el enunciado del problema vemos que no hemos autilizado el hecho de que los panes a dividir son cien. Este dato nos permiteescribir otra ecuaci´n: o x + (x + r) + (x + 2r) + (x + 3r) + (x + 4r) = 100 (2.3)Bien, ya tenemos dos ecuaciones y dos inc´gnitas. El plan a seguir es simple: oresolver el sistema. Para ello simplificamos primero las ecuaciones 2.2 y 2.3hasta obtener 11x − 2r = 0 (2.4) x + 2r = 20 (2.5)de donde resulta x = 5/3 y r = 55/6. Las cinco porciones ser´n entonces: a5/3 = 1 2 , 5/3 + 55/6 = 65/6 = 10 5 , 65/6 + 55/6 = 20, 20 + 55/6 = 175/6 = 3 629 1 y finalmente 175/6 + 55/6 = 115/3 = 38 1 . 6 3Visi´n retrospectiva: ¿Puede usted verificar el resultado? Esto es f´cil: 5/3 + o a65/6 + 20 + 175/6 + 115/3 = 100 y 65/6 − 5/3 = 20 − 65/6 = 175/6 − 20 =115/3 − 175/6 = 55/6. ¿Puede obtener el resultado en forma diferente?Bueno, si se tiene cierta experiencia resolviendo problemas con progresionesaritm´ticas se observa que muchas veces resulta m´s c´modo representar la e a oprogresi´n de manera sim´trica, alrededor de un t´rmino central. En nuestro o e ecaso, si llamamos z al t´rmino central y r a la raz´n, los cinco t´rminos ser´n e o e az − 2r, z − r, z, z + r y z + 2r. Ahora la condici´n de que las partes suman ocien se escribe as´ı: (z − 2r + +(z − r) + z + (z + r) + (z + 2r) = 100que se reduce a 5z = 100 y por tanto z = 20. La otra condici´n es o 20 + (20 + r) + (20 + 2r) = (20 − 2r) + (20 − r) 7que luego de simplificar nos da 60 + 3r = 7(40 − 3r), de donde podemosdespejar r = (280 − 60)/24 = 55/6. Obtenemos por supuesto la mismasoluci´n que antes, pero el procedimiento luce m´s limpio y elegante: en lugar o ade resolver un sistema de dos ecuaciones con dos inc´gnitas s´lo tenemos que o oresolver un par de ecuaciones de primer grado. Esto se debe a que la simetr´ıahace que se cancelen los t´rminos con r en la primera ecuaci´n. e o
  22. 22. 18 Ejemplos sencillosProblema 2.3. Tres recipientes contienen agua. Si se vierte 1/3 del conte-nido del primer recipiente en el segundo, y a continuaci´n 1/4 del contenido odel segundo en el tercero, y por ultimo 1/10 del contenido del tercero en el ´primero, entonces cada recipiente queda con 9 litros de agua. ¿Qu´ cantidad ede agua hab´ originalmente en cada recipiente? ıaSoluci´n. Este problema puede tratarse en principio con el mismo m´todo o eque los anteiores: si llamamos x, y, z a los contenidos iniciales de los recipien-tes es posible escribir unas ecuaciones que reflejen las condiciones del pro-blema. Por ejemplo, despu´s de la primera operaci´n el contenido del primer e orecipiente ser´ (2/3)x y el del segundo y + x/3. Luego de la segunda opera- aci´n el contenido del segundo recipiente ser´ (3/4)(y + x/3) = x/4 + (3/4)y o ay el del tercero z + (1/4)(y + x/3) = x/12 + y/4 + z. Luego de la terceraoperaci´n el contenido del tercer recipiente ser´ (9/10)(x/12 + y/4 + z) y el o adel primero (2/3)x + (1/10)(x/12 + y/4 + z). Igualando ahora el contenidofinal de cada recipiente con 9 obtenemos un sistema de tres ecuaciones contres inc´gnitas, cuya soluci´n es la respuesta buscada. Los detalles se los o odejamos al lector como ejercicio.Visi´n retrospectiva: No cabe duda de que el m´todo anterior, aunque in- o efalible, es bastante aburrido y proclive a errores num´ricos. ¿No habr´ otra e aforma de proceder m´s apropiada para este tipo de problema? S´ la hay, a ıy consiste en sustituir el an´lisis hacia adelante que realizamos, partiendo ade la configuraci´n inicial y estudiando la evoluci´n del contenido de los o orecipientes con cada operaci´n, por un an´lisis retrospectivo. Este tipo de o aan´lisis consiste en partir de la configuraci´n final y estudiar c´mo se lleg´ a a o o oella. En nuestro caso los tres recipientes finalizan con 9 litros, y la ultima ´operaci´n consisti´ en trasvasar 1/10 del contenido del tercer recipiente al o oprimero. Pero si el tercer recipiente, luego de perder la d´cima parte de su econtenido, qued´ con 9 litros, es obvio que deb´ contener diez litros. Y el o ıaprimero, como qued´ con 9 luego de ganar un litro, antes conten´ 8 litros. o ıaEn otras palabras, despu´s de la segunda operaci´n y antes de la tercera el e ocontenido de los recipientes era 8, 9 y 10 litros, en ese orden. Del mismo mo-do se ve que antes de la segunda operaci´n el segundo recipiente conten´ 12 o ıalitros, para poder quedar en 9 al perder la cuarta parte de su contenido. Y eltercero, por consiguiente, ten´ 7 litros. Los contenidos antes de la segunda ıaoperaci´n eran entonces 8, 12 y 7. Razonando de igual forma llegamos a que oinicialmente los recipientes conten´ 12, 8 y 10 litros de agua. Este an´lisis ıan aretrospectivo se resume en la siguiente tabla:
  23. 23. 2.2 Combinatoria 19 1◦ 2◦ 3◦ 9 9 9 8 9 10 8 12 7 12 8 102.2. Combinatoria Hay una clase importante de problemas en los cuales tenemos que contaro enumerar configuraciones resultantes de combinar, de alguna manera, unn´mero finito de elementos. La rama de la matem´tica que se ocupa de esto u ase conoce como combinatoria. Los siguientes son algunos ejemplos sencillos.Problema 2.4. Un cubo s´lido de madera de lado 20 cm se pinta de rojo. oLuego con una sierra se hacen cortes paralelos a las caras, de cent´ ımetro en ımetro, hasta obtener 203 = 8000 cubitos de lado 1 cm. ¿Cu´ntos decent´ aesos cubitos tendr´n al menos una cara pintada de rojo? aSoluci´n. El problema es de f´cil comprensi´n. El primer plan que se nos o a oocurre es sencillamente contar los cubitos pintados. Por ejemplo: en cadacara del cubo hay 202 = 400 cubitos pintados, por lo tanto en total ser´n a. . . ¿400×6? No, porque estar´ıamos contando m´s de una vez los cubitos que aest´n en los v´rtices y aristas del cubo. Pero al menos esto nos da una pista a epara mejorar el plan (y una cota superior: el n´mero de cubitos pintados udebe ser menor que 2400). Contemos entonces por separado los diferentestipos de cubitos pintados: Los correspondientes a los v´rtices del cubo, que tienen tres caras e pintadas y son ocho en total. Los correspondientes a las aristas del cubo, exclu´ ıdos los v´rtices (tie- e nen exactamente dos caras pintadas). Cada arista tiene contacto con 20 cubitos, pero dos de ellos son v´rtices (que ya contamos aparte) por e lo cual nos quedan 18. Como el cubo tiene 12 aristas, el n´mero total u es 18 × 12 = 216. Los cubitos con exactamente una cara pintada. En cada cara del cubo, las caras pintadas de estos cubitos forman un cuadrado de 18 × 18, por lo tanto en total ser´n 18 × 18 × 6 = 1944. a
  24. 24. 20 Ejemplos sencillosPor consiguiente la respuesta es 8 + 216 + 1944 = 2168.Visi´n retrospectiva: ¿Podemos obtener el resultado en forma diferente? Una oprimera alternativa es partir de nuestro primer resultado err´neo, 2400, y oefectuar las correcciones necesarias. Como los cubos de los v´rtices se con- etaron tres veces cada uno, restemos 8 × 2 = 16. Y como los de las aristas secontaron dos veces, restemos 216. El resultado ser´ 2400 − 16 − 216 = 2168. aOtra idea (posiblemente la m´s elegante) se obtiene invirtiendo el proble- ama. Contemos los cubitos que no tienen ninguna cara pintada. Es claroque estos cubitos forman un cubo interior al primero, de lado 18. Por lotanto son 183 = 5832. Los que tiene al menos una cara pintada se puedenobtener ahora restando esta ultima cantidad del total de cubitos, a saber ´203 − 183 = 8000 − 5832 = 2168.Problema 2.5. En cada una de las 64 casillas de un tablero de ajedrez hayun grano de az´car. Una hormiga comienza en un v´rtice del tablero, come u eel az´car, y se traslada a una casilla adyacente, desplaz´ndose en direcci´n u a ohorizontal o vertical (pero nunca en diagonal). Contin´a de este modo hasta uacabar con todo el az´car, y sin pasar dos veces por una misma casilla. ¿Es uposible que su trayecto finalice en el v´rtice diagonalmente opuesto al inicial? eSoluci´n. Este problema es de naturaleza diferente a los anteriores. No se onos pide calcular nada, por lo cual muchos pensar´n que no es un verdadero aproblema de matem´tica. Sin embargo, si hacemos abstracci´n de la hormiga a oy el az´car (que obviamente se han incluido para hacer m´s atractivo el u aenunciado) vemos que el problema trata de la existencia de trayectorias conciertas caracter´ısticas geom´tricas. e Por alguna raz´n, la mayor´ de las personas a quienes les he planteado o ıaeste problema contestan de inmediato que s´ Cuando les pido que dibujen ı.en la pizarra la trayectoria, demuestran que no han comprendido cabalmenteel enunciado: trazan l´ ıneas diagonales, pasan m´s de una vez por la misma acasilla o simplemente finalizan en un v´rtice que no es el opuesto al inicial, ey a´n as´ creen haber solucionado el problema. Cuando por fin comprenden u ılas condiciones, luego de dos o tres intentos fallidos cambian s´bitamen- ute de posici´n y contestan que es imposible. Ahora bien, es claro que una orespuesta afirmativa queda suficientemente justificada con s´lo exhibir una otrayectoria que cumpla las condiciones pedidas. ¿Pero c´mo podemos jus- otificar una respuesta negativa? Es muy importante comprender la enormediferencia que existe entre las afirmaciones “no puedo hallar ninguna solu-ci´n” y “no existe ninguna soluci´n”. Para poder afirmar esto ultimo hay o o ´
  25. 25. 2.3 Geometr´ ıa 21b´sicamente dos maneras de proceder. Una de ellas consiste en dibujar todas alas trayectorias posibles que parten de un v´rtice y recorren todo el tablero, edesplaz´ndose en direcci´n horizontal o vertical y sin pasar dos veces por a oninguna casilla. Una vez hecho esto podemos examinar las trayectorias yverificar que ninguna finaliza en el v´rtice opuesto al inicial. Un inconve- eniente de este procedimiento es que resulta muy lento y engorroso para unser humano, aunque ser´ factible realizarlo con ayuda del computador. Otro ıainconveniente es que si se nos ocurre generalizar el problema para tablerosm´s grandes r´pidamente el problema se vuelve inmanejable, incluso para a ael computador. M´s a´n, si queremos una respuesta general, para tableros a ude n × n, este procedimiento resulta completamente in´til. u La segunda manera de proceder es demostrar que no existe trayectoriaalguna que cumpla las condiciones exigidas. Para esto resulta util el hecho ´de que las casillas de un tablero de ajedrez est´n pintadas de dos colores, adigamos blanco y negro, en forma alternada. La observaci´n clave es que ocada movimiento unitario en direcci´n horizontal o vertical nos lleva de una ocasilla a otra de diferente color. Ahora bien, como el tablero tiene 8 × 8 = 64casillas, comenzando en cualquiera de ellas se requieren 63 movimientos pararecorrerlas todas. Pero es claro que despu´s de 1, 3, 5 o cualquier n´mero e uimpar de movimientos estaremos en una casilla de color diferente a la inicial.Esto demuestra que la respuesta al problema que nos ocupa es negativa, yaque un v´rtice y el opuesto son del mismo color. eVisi´n retrospectiva: Una generalizaci´n obvia de este problema consiste en o oconsiderar tableros de n × n, para cualquier entero positivo n. Es claro quesi n es par entonces la respuesta es negativa, por el mismo argumento usadopara el caso 8 × 8. En cambio si n es impar el argumento no se aplica. Dehecho es f´cil ver que la respuesta es afirmativa. Otras generalizaciones que ase resuelven con el mismo m´todo: especificar dos casillas cualesquiera como einicio y fin de la trayectoria; cambiar el tipo de movimiento b´sico, usando apor ejemplo saltos de caballo; plantear el problema en tres dimensiones, porejemplo en un cubo. El lector interesado en estos temas puede consultar [29].2.3. Geometr´ ıa La otra clase importante de problemas que encontramos en la matem´ti- aca elemental son los de geometr´ El lector interesado en este tema puede ıa.
  26. 26. 22 Ejemplos sencillosconsultar [12]. Hay una gran variedad de problemas geom´tricos: problemas de construc- eci´n, de c´lculo, de demostraci´n, etc. El siguiente es un ejemplo sencillo. o a oProblema 2.6. Los lados del tri´ngulo ABC miden AB = 26cm, BC = a17cm y CA = 19cm. Las bisectrices de los ´ngulos de v´rtices B y C se a ecortan en el punto I. Por I se traza una paralela a BC que corta a los ladosAB y BC en los puntos M y N respectivamente. Calcule el per´ ımetro deltri´ngulo AM N . aSoluci´n. La primera de las estrategias que Schoenfeld coloca en su lista oes hacer un diagrama, toda vez que sea posible. Si bien esta recomendaci´n ose aplica a todo tipo de problemas, es casi insoslayable si el problema esde car´cter geom´trico. Muchas veces el enunciado de estos problemas va a eacompa˜ado de un dibujo, pero otras veces (como en este caso) no es as´ n ı,y hacerlo es la primera tarea que debemos realizar. Tal vez usted haya o´ ıdofrases tales como “un dibujo no constituye demostraci´n”, “razonar en base oa un dibujo puede conducir a errores”, etc. Todo eso es cierto, sin embargoun dibujo nos ayuda en primer lugar a comprender el problema. Adem´s aestimular´ nuestra imaginaci´n y es posibleque nos sugiera alg´n plan para a o uhallar la soluci´n. Si tiene a mano instrumentos geom´tricos uselos; sin em- o e ´bargo incluso un bosquejo aproximado suele ser de mucha ayuda (¡H´galo aantes de seguir leyendo!).Hay muchas maneras de resolver este problema. El que tenga afici´n a los oc´lculos complicados podr´ por ejemplo comenzar por hallar el ´rea del a ıa atri´ngulo ABC (usando la f´rmula de Heron). Dividiendo el ´rea entre el a o asemiper´ımetro se obtiene el radio de la circunferencia inscripta, es decir ladistancia de I a los lados del tri´ngulo ABC. Con estos datos es posible a
  27. 27. 2.3 Geometr´ ıa 23calcular, por proporcionalidad, las longitudes de AM , M N y AN . Sin em-bargo esto es bastante engorroso. ¿No habr´ una manera m´s sencilla? Si a amiramos el dibujo detenidamente, buscando alguna relaci´n interesante, ob- oservaremos (sobre todo si el dibujo est´ bien hecho) que los tri´ngulos BM I a ay CN I parecen is´sceles. Si esto fuese cierto la soluci´n ser´ inmediata, ya o o ıaque de las igualdades M I = M B y IN = N C se obtiene:AM + M N + AN = AM + M I + IN + AN = AM + M B + AN + N C = AB + AC = 26 + 19 = 45. Ahora bien, ¿podremos probar que los tri´ngulos BM I y CN I son is´sce- a oles? Para probar por ejemplo que BM I es is´sceles es suficiente probar que olos ´ngulos ∠M BI y ∠M IB son iguales. Pero sabemos que M N es paralela aa BC, por lo tanto ∠M IB = ∠IBC ya que son ´ngulos alternos internos. aPero BI es la bisectriz de ∠ABC, por lo tanto ∠M BI = ∠IBC y hemoscompletado la demostraci´n (por supuesto que para el tri´ngulo CN I se o arazona de modo an´logo). aVisi´n retrospectiva: Si revisamos los datos del problema vemos que hay ouno de ellos que no fue utilizado: la longitud del lado BC. En realidad paracualquier tri´ngulo con AB = 26 cm y CA = 19 la soluci´n ser´ la misma, a o ıa26 + 19 = 45. ¿Y si variamos AB y CA? Bueno, es f´cil ver que la respuesta aser´ siempre AB + CA. En otras palabras, los valores 26 y 19 no juegan aning´n papel especial, y mucho menos BC = 17. Estos datos en vez de ayu- udar a resolver el problema m´s bien estorban, dirigiendo nuestra atenci´n a ohacia detalles sin importancia. Son elementos distractores , que aumentan ladificultad del problema suministrando m´s informaci´n que la estrictamente a onecesaria para resolverlo. Para aclarar mejor este punto supongamos que elenunciado del problema hubiese sido: En un tri´ngulo ABC las bisectrices de los ´ngulos de v´rtices B a a e y C se cortan en el punto I. Por I se traza una paralela a BC que corta a los lados AB y BC en los puntos M y N respectivamente. Calcule el per´ımetro del tri´ngulo AM N en funci´n de los lados a o AB y AC.Este problema, a pesar de ser m´s general, es probablemente m´s f´cil de a a aresolver ya que nuestra atenci´n se enfocar´ directamente hacia los lados o aAB y AC. Este es el sentido de la recomendaci´n de P´lya: “eonsidere un o oproblema m´s general”, la cual parece parad´jica ya que un problema m´s a o a
  28. 28. 24 Ejemplos sencillosgeneral deber´ ser por l´gica m´s dif´ Sin embargo una abstracci´n ade- ıa o a ıcil. ocuada, al eliminar la hojarasca innecesaria, puede permitirnos ver el caminocon m´s claridad. Ahora bien, ¿es posible detectar y evitar el efecto de es- atos elementos distractores? Es bastante dif´ıcil, ya que a priori no podemossaber cu´les datos son esenciales y cu´les superfluos para resolver un pro- a ablema. Sin embargo es razonable desconfiar de los datos que parecen muyparticulares para la naturaleza del problema. Pero hay que tener cuidado,ya que hay propiedades que s´ dependen de valores muy particulares de los ıdatos (esto es muy com´n en problemas de aritm´tica, por ejemplo). u e Muchos problemas no se pueden clasificar de manera clara dentro de unarama de la matem´tica, sino que se encuentran en la frontera entre dos o am´s de ellas. El siguiente, por ejemplo, pertenece tanto a la geometr´ como a ıaa la combinatoria.Problema 2.7. ¿En cu´ntas regiones queda dividido el plano por 6 rectas aen posici´n gen´rica (es decir tales que no haya dos de ellas paralelas ni tres o econcurrentes en un punto)?Soluci´n. Evidentemente una recta divide el plano en dos regiones, y dos orectas no paralelas lo dividen en cuatro. Pero ya para tres rectas el problemacomienza a complicarse. Si trazamos unos cuantos diagramas veremos quela tercera recta atraviesa siempre a tres de las cuatro regiones determinadaspor las dos primeras, pero no a la cuarta, y por lo tanto la respuesta paratres rectas parece ser siete. ¿Pero podemos estar seguros de esto? ¿Y qu´ pa- esar´ cuando tracemos la cuarta, la quinta y la sexta recta? Lamentablemente alos dibujos se complican demasiado, algunas rectas se cortan fuera de la ho-ja y no es f´cil contar las regiones sin equivocarnos. Adem´s pareciera que a ala respuesta depende de como dibujemos las rectas. Volvamos entonces alprincipio. ¿Podr´ imaginarse un problema an´logo un tanto m´s accesible? ıa a aBueno, en vez de disminu´ el n´mero de rectas podemos disminu´ la di- ır u ırmensi´n, es decir considerar en cu´ntas regiones queda dividida una recta o apor cierto n´mero de puntos. Este problema s´ es f´cil, n puntos dividen a u ı ala recta en n + 1 regiones (a saber n − 1 segmentos y 2 semirrectas). ¿Y nopodemos aprovechar este resultado para el problema en el plano? Veamos,si ya hemos trazado n − 1 rectas entonces al trazar la n-sima ´sta cortar´ a e alas anteriores en n − 1 puntos diferentes (por la hi´tesis de genericidad). Por olo tanto la n-sima recta quedar´ dividida en n partes por esos puntos de aintersecci´n. Pero es claro que cada una de esas partes estar´ contenida por o a
  29. 29. 2.3 Geometr´ ıa 25completo en una regi´n de las determinadas por las primeras n − 1 rectas, oregi´n que quedar´ dividida en dos por la n-sima recta. Por lo tanto hemos o adescubierto que al trazar la n-sima recta el n´mero de regiones aumenta en un unidades. Apliquemos ahora este resultado desde el comienzo y de mane-ra sucesiva. Inicialmente hay una sola regi´n: el plano. Al trazar la primera orecta el n´mero de regiones aumenta en una unidad, y tendremos 1 + 1 = 2 uregiones. Al trazar la segunda recta el n´mero de regiones aumenta en dos uunidades, y tendremos 2 + 2 = 4 regiones. Al trazar la tercera recta el n´me- uro de regiones aumenta en tres unidades, y tendremos 4 + 3 = 7 regiones.Hasta aqu´ los resultados concuerdan con lo que ya sab´ ı ıamos. Ahora resultaf´cil continuar: para cuatro rectas son 7 + 4 = 11 regiones, para cinco rectas ason 11 + 5 = 16 regiones, para seis rectas son 16 + 6 = 22 regiones.Visi´n retrospectiva: Resulta natural preguntarse cu´l ser´ el n´mero de re- o a a ugiones en que queda dividido el plano por un n´mero n cualquiera de rectas uen posici´n gen´rica. Recordando que la suma de los enteros desde 1 hasta o en es n(n + 1)/2 es f´cil obtener a 1 + 1 + 2 + 3 + · · · + n = 1 + n(n + 1)/2 = (n2 + n + 2)/2Hay otras generalizaciones y problemas similares a los cuales se puede aplicarel mismo m´todo. e
  30. 30. Cap´ ıtulo 3Algunas Estrategias B´sicas a En este cap´ıtulo se enuncian algunas estrategias b´sicas y se ilustra su aaplicaci´n a la soluci´n de varios problemas, muchos de ellos tomados de o ocompetencias matem´ticas internacionales. a3.1. Figuras y diagramas El proverbio una figura vale m´s que mil palabras tiene plena validez en ala resoluci´n de problemas matem´ticos. Por eso nuestra primera estrategia o aes:Estrategia 1. Dibuje una figura o un diagrama siempre que seaposible. La importancia de este principio es obvia cuando se trata de resolver unproblema de geometr´ Pero hay muchos problemas que, sin ser de geome- ıa.tr´ admiten una interpretaci´n geom´trica, lo cual ampl´ mucho el verda- ıa, o e ıadero alcance de esta estrategia. Los siguientes ejemplos ilustran lo dicho.Problema 3.1.1 (Olimpiada Bolivariana 2000).Sean a1 , A1 , a2 , A2 , a3 , A3 n´meros reales positivos tales que ai + Ai = k, udonde k es una constante dada.a) Demostrar que a1 A2 + a2 A3 + a3 A1 < k 2 .

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