Geometria, Carlos Ivorra Castillo

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  • 1. Carlos Ivorra Castillo GEOMETR´ IA
  • 2. La geometr´ ilumina el intelecto y templa la ıamente. Todas sus pruebas son claras y ordenadas.Apenas caben errores en el razonamiento geom´trico, epues est´ bien dispuesto y ordenado. As´ no es pro- a ı,bable que la mente que se aplica a la geometr´ con ıaregularidad cometa errores. De este modo, quiensabe geometr´ adquiere inteligencia. ıa Ibn Khaldun
  • 3. ´Indice GeneralIntroducci´n o ixCap´ ıtulo I: La geometr´ absoluta ıa 1 1.1 Axiomas de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Axiomas de ordenaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 3 ´ 1.3 Angulos y tri´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . 6 1.4 Axiomas de congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Suma de ´ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . 13 1.6 M´s propiedades de segmentos, ´ngulos y tri´ngulos a a a . . . . . . . 16 1.7 Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8 El axioma de continuidad, c´ ırculos y circunferencias . . . . . . . 21Cap´ ıtulo II: Medida de segmentos, ´ngulos a y arcos 27 2.1 Longitud de segmentos. N´meros reales u . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Complementos sobre n´meros reales . . u . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Amplitud de ´ngulos . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 Arcos y sectores circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Cap´ ıtulo III: La geometr´ eucl´ ıa ıdea 49 3.1 El axioma de las paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Semejanza de tri´ngulos . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Relaciones entre ´ngulos y arcos a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4 Las razones trigonom´tricas . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5 Propiedades de los tri´ngulos . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Cap´ ıtulo IV: La geometr´ anal´ ıa ıtica 73 4.1 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2 Espacios afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3 Coordenadas cartesianas y baric´ntricas e . . . . . . . . . . . . . . 84 4.4 Espacios eucl´ıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.5 Los giros y la medida de ´ngulos . . . . a . . . . . . . . . . . . . . 97 4.6 Complementos sobre trigonometr´ . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . 104 4.7 Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.8 C´nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 106 v
  • 4. vi ´ INDICE GENERALCap´ ıtulo V: N´ meros complejos u 115 5.1 Definici´n y propiedades b´sicas . o a . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2 La clausura algebraica de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.3 Construcciones con regla y comp´s a . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.4 Pol´ıgonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.5 Geometr´ discontinua . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.6 Ap´ndice: El teorema de Sylow . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Cap´ ıtulo VI: Biyecciones afines 139 6.1 El grupo af´ y el grupo lineal . . . . . . . . . ın . . . . . . . . . . . 139 6.2 Homotecias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.3 El teorema fundamental de la geometr´ af´ ıa ın . . . . . . . . . . . 146 6.4 Isometr´ y semejanzas . . . . . . . . . . . . ıas . . . . . . . . . . . 149 6.5 Clasificaci´n de endomorfismos . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 153 6.6 Clasificaci´n de isometr´ . . . . . . . . . . . o ıas . . . . . . . . . . . 172 6.7 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Cap´ ıtulo VII: La geometr´ af´ ıa ın 183 7.1 Incidencia y paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.2 Homotecias y traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7.3 Vectores y escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7.4 Los teoremas de Desargues y Papos-Pascal . . . . . . . . . . . . . 194 7.5 Axiomas de ordenaci´n . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 200Cap´ ıtulo VIII: La geometr´ proyectiva ıa 205 8.1 Espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.2 Homograf´ y coordenadas homog´neas ıas e . . . . . . . . . . . . . . 214 8.3 Perspectividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.4 Caracterizaci´n axiom´tica . . . . . . . o a . . . . . . . . . . . . . . 224 8.5 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.6 Razones dobles y separaci´n harm´nica o o . . . . . . . . . . . . . . 235 8.7 Espacios sobre cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Cap´ ıtulo IX: Secciones c´nicas o 251 9.1 Clasificaci´n de formas bilineales sim´tricas o e . . . . . . . . . . . . 251 9.2 C´nicas proyectivas y afines . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 256 9.3 La polaridad de una c´nica . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 264 9.4 El teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 9.5 Propiedades de las c´nicas proyectivas . . . o . . . . . . . . . . . . 272 9.6 Homograf´ entre c´nicas . . . . . . . . . . ıas o . . . . . . . . . . . . 282 9.7 C´nicas sobre cuerpos ordenados . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 289 9.8 Complexificaci´n . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 294
  • 5. ´INDICE GENERAL viiCap´ ıtulo X: La geometr´ parab´lica ıa o 299 10.1 Espacios parab´licos . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.2 El plano eucl´ ıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 10.3 El plano de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 10.4 Propiedades m´tricas de las c´nicas . e o . . . . . . . . . . . . . . . . 336 10.5 Espacios de dimensiones superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . 346Cap´ ıtulo XI: La geometr´ circular ıa 349 11.1 La proyecci´n estereogr´fica . . o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 11.2 Transformaciones circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 11.3 Homograf´ en la esfera . . . . ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 11.4 Conservaci´n de ´ngulos . . . . o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 11.5 El teorema de Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360Cap´ ıtulo XII: La geometr´ hiperb´lica ıa o 363 12.1 El plano hiperb´lico . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 363 12.2 Medida de segmentos y ´ngulos . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . 368 12.3 El modelo de Poincar´ . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . 372 12.4 Trigonometr´ hiperb´lica . . . . . . ıa o . . . . . . . . . . . . . . . . 375 12.5 Las isometr´ hiperb´licas . . . . . ıas o . . . . . . . . . . . . . . . . 380Cap´ ıtulo XIII: La geometr´ el´ıa ıptica 387 13.1 El plano el´ ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 13.2 Bil´teros y tri´ngulos . . . . . . . a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 13.3 Isometr´ el´ ıas ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 13.4 Trigonometr´ el´ ıa ıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395Bibliograf´ ıa 397´Indice de Materias 398
  • 6. Introducci´n o La geometr´ es, junto a la teor´ de n´meros, una de las ramas m´s antiguas ıa ıa u ade la matem´tica. Si por un momento restringimos el t´rmino para referirnos a ea lo que los antiguos griegos entend´ como tal, podemos decir que su objeto ıande estudio est´ ´a ıntimamente arraigado en nuestra forma de concebir la realidad.Toda la informaci´n que recibimos del mundo que nos rodea, todo lo que vemos, oo´ımos y tocamos, lo procesamos en primera instancia en t´rminos geom´tricos. e eSin embargo, no podemos considerar a las leyes formales que rigen el espaciotridimensional que percibimos como una parte de la f´ ısica. Al contrario quelas leyes f´ ısicas, las leyes de la geometr´ nos son dadas a priori, en cuanto que ıaninguna experiencia puede confirmar o refutar ninguna de ellas. Por ejemplo,podemos asegurar a priori que es imposible percibir una recta que posea dosparalelas por un mismo punto.1 Nuestra intuici´n geom´trica nos permite de- o ecidir inmediatamente la verdad o falsedad de un gran n´mero de afirmaciones. uA su vez, de todas ellas se sigue mediante razonamientos l´gicos un cuerpo ode teoremas no menos numeroso que, si nuestra intuici´n no alcanza a validar odirectamente, al menos los corrobora en instancias particulares. Los antiguos griegos exploraron en profundidad este cuerpo de teoremas yllegaron a comprender en gran medida su estructura l´gica. Tanto es as´ que o ıen sus exposiciones m´s elaboradas, el modelo de las cuales son, sin duda, los aElementos de Euclides, no s´lo se demuestran con un gran sentido del rigor todos olos hechos no evidentes, sino que incluso los que cualquiera dar´ tranquilamente ıapor obvios son demostrados a partir del m´ ınimo n´mero de principios a los que uel autor pudo reducirlos. Fermat y Descartes descubrieron que la geometr´ como teor´ l´gica es equi- ıa ıa ovalente a una estructura algebraica, esencialmente al espacio vectorial R3 , en elsentido de que los puntos, rectas, planos, circunferencias, etc. pueden ser iden-tificados con ciertos subconjuntos de R3 de modo que los teoremas geom´tricos esobre estos conceptos se corresponden con los teoremas algebraicos sobre susconjuntos asociados. As´ surgi´ la llamada geometr´ anal´ ı o ıa ıtica y con ella laclave para una comprensi´n mucho m´s profunda de la geometr´ en general. o a ıa El ´lgebra es especialmente dada a encontrar principios profundos, poco evi- adentes por s´ mismos pero enormemente iluminadores. El que una determinada ıafirmaci´n se nos aparezca o no como evidente es una cuesti´n psicol´gica sin o o o 1 Por supuesto, salvo que pervirtamos el significado de la palabra “recta” y lo confundamos,por ejemplo, con un concepto f´ ısico como pueda ser el de “trayectoria de un rayo de luz”. ix
  • 7. x Introducci´n oning´n significado matem´tico, por lo que la geometr´ axiom´tica al estilo de u a ıa aEuclides se considera hoy, con raz´n, como algo superado. El tratamiento al- ogebraico de la geometr´ aparte de ser l´gicamente m´s simple, nos abre las ıa, o apuertas de “otras geometr´ ıas”, es decir, de otras teor´ algebraicas lo suficien- ıastemente cercanas a las de la geometr´ tradicional eucl´ ıa ıdea como para que seajusto englobarlas bajo el mismo nombre. El caso m´s elemental es la sustituci´n a odel exponente en R3 por cualquier otro n´mero natural. No tenemos ninguna uintuici´n que pueda aplicarse a R4 , pero el cambio de un 3 por un 4 apenas omodifica la teor´ algebraica, que de hecho se desarrolla sin dificultad y por ıael mismo precio en el espacio general Rn . Otros casos menos triviales son lasgeometr´ no eucl´ ıas ıdeas o las geometr´ basadas en los n´meros complejos. ıas u La algebrizaci´n de la geometr´ no supone unicamente un cambio de len- o ıa ´guaje. En el siglo XIX la geometr´ al igual que las dem´s ramas de la ma- ıa, atem´tica, experiment´ un desarrollo gigantesco en varias direcciones. Por un a olado, Poncelet sent´ las bases de la geometr´ proyectiva, que viene a demostrar o ıaque nuestra intuici´n nos proporciona una imagen sesgada de una estructura oalgebraica m´s regular de lo que los ojos nos muestran. Esta regularidad se apone de manifiesto postulando la existencia de puntos infinitos. Gracias a ellos,una hip´rbola y una elipse pueden considerarse como una misma figura vista edesde posiciones distintas (la primera con dos puntos en el infinito y la segundacon todos sus puntos finitos). Si postulamos la existencia de puntos imaginarios(en el sentido de los n´meros complejos) la regularidad de la geometr´ se mul- u ıatiplica una vez m´s. Por otra parte, Gauss mostr´ las posibilidades del c´lculo a o adiferencial aplicado al estudio de las superficies. La geometr´ diferencial es hoy ıala aproximaci´n m´s potente a la mayor´ de las ramas de la geometr´ o a ıa ıa. El objeto de este libro es presentar una panor´mica de la geometr´ previa a a ıala geometr´ diferencial. M´s precisamente, de la geometr´ sin topolog´ Hay ıa a ıa ıa.varias razones por las que consideramos util conocer las t´cnicas no topol´gicas ´ e oen geometr´ Por una parte entre ellas se encuentran las t´cnicas genuinamente ıa. ealgebraicas, que son de gran valor en s´ mismas y por sus posibilidades de ıaplicaci´n. En muchos casos el ´lgebra suple con razonamientos conceptuales o aexquisitamente limpios lo que en un enfoque m´s directo se convertir´ en una a ıaristra de c´lculos, concluyentes pero ciegos. a En segundo lugar, y a pesar de que m´s arriba la hayamos calificado de aanticuada, es interesante conocer la geometr´ sint´tica, es decir, la geometr´ ıa e ıatradicional que parte de axiomas evidentes intuitivamente. Esta aproximaci´n oes la unica que justifica que ciertas ramas del ´lgebra describen realmente las ´ aleyes de nuestra intuici´n. Formalmente es posible evitarla, pero con ello se oincurre en una especie de “estafa legal”. Pensemos por ejemplo en un resultadotan cl´sico como el teorema de Pit´goras. Podemos definir la norma de un vector a p ade R2 como k(x, y)k = x2 + y 2 y la perpendicularidad como (x, y) ⊥ (x0 , y 0 )si y s´lo si xx0 + yy 0 = 0, y a partir de aqu´ demostrar el teorema de Pit´goras, o ı apero esa demostraci´n, l´gicamente irrefutable, no puede convencer a nadie o ode la validez del teorema si antes no se nos “demuestran” las definiciones, siantes no se nos convence de que si tomamos un papel cuadriculado y clavamoslas dos puntas del comp´s en los ´ngulos opuestos de un rect´ngulo de lados a a a
  • 8. xi3 y 4, nos encontraremos con que podemos girarlo hasta situarlo sobre dospuntos que disten 5 unidades, o que si dibujamos los vectores (2, 1) y (−1, 2)obtendremos realmente segmentos perpendiculares. Al igual que este ejemplopodemos encontrar much´ ısimos m´s, en torno a la definici´n de la medida de a oa´ngulos, de las razones trigonom´tricas, de la ortogonalidad de vectores, del ec´lculo diferencial b´sico, etc. a a Cubrir estas lagunas apenas cuesta cuatro de los trece cap´ ıtulos que tieneeste libro, por lo que creemos que merece la pena.
  • 9. Cap´ ıtulo ILa geometr´ absoluta ıa El objeto de estudio de la geometr´ es lo que se conoce como el espacio. ıaNo es posible definir este concepto, pero todos tenemos una idea intuitiva delmismo. Nuestra intenci´n es obtener un modelo matem´tico del espacio, para o alo cual iremos introduciendo axiom´ticamente afirmaciones intuitivamente evi- adentes, hasta llegar a un punto en que podamos probar que s´lo hay un objeto omatem´tico que satisface dichas propiedades. a La primera aproximaci´n a la caracterizaci´n matem´tica del espacio en el o o aseno de la teor´ de conjuntos ser´ precisamente concebirlo como tal, es decir, ıa aconsiderar al espacio como un conjunto E a cuyos elementos llamaremos puntos.Un punto es una posici´n en el espacio, carente de toda extensi´n. Un punto o oortogr´fico es una buena imagen de un punto geom´trico, si bien hemos de tener a epresente que la peque˜a mancha de tinta tiene una cierta extensi´n, de la que n odebemos hacer abstracci´n.o Hay dos conceptos m´s que se encuentran al mismo nivel elemental que el aconcepto de punto. Se trata de los conceptos de recta y plano. De nuevo esimposible definir la caracter´ ıstica que diferencia a una l´ ınea recta de una l´ ıneacurva o a una superficie plana de una superficie curva, pero intuitivamente todossabemos distinguir las rectas y los planos de las restantes curvas y superficies. ✡ ✡r ✡ ✡ ° π ° ° P ✡ ° ° ° ✡ ✡ Una recta r y un plano π que se cortan en un punto P . Hemos de hacer una aclaraci´n sobre la interpretaci´n que vamos a dar a o oestas palabras: una hoja de papel proporciona una buena imagen de un plano,salvo por el hecho de que la hoja termina en unos bordes, mientras que paranosotros un plano ser´ una superficie ilimitada. Si apoyamos la hoja en una a 1
  • 10. 2 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıamesa, la superficie de la mesa representa una porci´n m´s amplia del mismo o aplano que representa la hoja. Similarmente, por una recta entenderemos unal´ ınea recta sin extremos, de modo que si trazamos una porci´n de recta con ola ayuda de una regla, cualquier extensi´n de la misma por cualquiera de sus oextremos ser´ una porci´n mayor de la misma recta. Del mismo modo que hemos a ohecho con el espacio, podemos concebir las rectas y los planos como conjuntosde puntos, es decir, como ciertos subconjuntos de E que no podemos definir.1.1 Axiomas de incidenciaDefinici´n 1.1 Una geometr´ (tridimensional) est´ formada por un conjunto o ıa aE al que llamaremos espacio—y a cuyos elementos llamaremos puntos— juntocon dos familias no vac´ de subconjuntos de E a cuyos elementos llamaremos ıasrespectivamente rectas y planos, de modo que se cumplan los siete axiomasindicados m´s abajo. a Diremos que una recta o plano X pasa por un punto P , o que X incide enel punto P , si P ∈ X.Axioma A1 Por cada par de puntos distintos P y Q pasa una unica recta, ´que representaremos por P Q.Axioma A2 Toda recta pasa al menos por dos puntos. Diremos que tres o m´s puntos son colineales si hay una recta que pasa por atodos ellos.Axioma A3 Por cada tres puntos no colineales P , Q, R pasa un unico plano, ´al que representaremos por P QR.Axioma A4 Todo plano contiene tres puntos no colinealesAxioma A5 Si una recta r tiene dos puntos en com´n con un plano π, en- utonces r est´ contenida en π. aAxioma A6 Si dos planos tienen un punto en com´n, entonces tienen dos upuntos en com´n.1 u Diremos que cuatro o m´s puntos son coplanares si hay un plano que pasa apor todos ellos.Axioma A7 Existen cuatro puntos distintos no coplanares. Veamos algunas consecuencias de estos axiomas b´sicos. Todas ellas son aelementales, as´ que omitiremos los detalles de las pruebas. ı Si una recta o un plano X no pasa por un punto P , diremos que P es unpunto exterior a X. 1 Este axioma implica que la dimensi´n del espacio es ≤ 3, mientras que el siguiente implica oque es ≥ 3.
  • 11. 1.2. Axiomas de ordenaci´n o 3Teorema 1.2 Toda recta tiene un punto exterior contenido en un plano dado(Por A4)Teorema 1.3 Todo plano tiene un punto exterior. (Por A7)Teorema 1.4 Si P y Q son puntos de una recta r y R es exterior a r, entoncesP , Q y R no son colineales. (Por A1)Teorema 1.5 Si P , Q y R son puntos de un plano π no colineales y S esexterior a π, entonces P , Q, R y S no son coplanares. (Por A3)Teorema 1.6 Dados dos planos distintos, entonces o bien no tienen puntoscomunes o bien su intersecci´n es una recta. (Por A6 y A3) o Diremos que dos planos son coincidentes si son iguales, secantes (lat. ‘que secortan’) si su intersecci´n es una recta y paralelos (gr. ‘uno al lado del otro’) si ono tienen puntos comunes.Teorema 1.7 Dos rectas distintas tienen como m´ximo un punto en com´n. a u(Por A1) Diremos que dos rectas son coincidentes si son iguales, secantes si su inter-secci´n es un punto, y si no tienen puntos comunes diremos que son paralelas si oest´n contenidas en un mismo plano o que se cruzan en caso contrario. aTeorema 1.8 Dados un plano y una recta, o bien no tienen puntos comunes,o bien tienen un unico punto en com´n, o bien la recta est´ contenida en el ´ u aplano. (Por A5) Diremos que una recta y un plano son secantes si se cortan en un punto yparalelos si no tienen puntos comunes.Teorema 1.9 Una recta y un punto exterior a ella est´n contenidos en un unico a ´plano. (Por A2, A3 y A5)Teorema 1.10 Dos rectas secantes est´n contenidas en un unico plano. a ´1.2 Axiomas de ordenaci´n o Si fijamos dos puntos A y B en una recta r y establecemos que A est´ a ala izquierda de B, esto determina cu´ndo un punto cualquiera de r est´ a la a aizquierda o a la derecha de otro punto de r. M´s a´n, tiene sentido decir qu´ a u epunto est´ m´s a la izquierda o m´s a la derecha de uno dado, es decir, los puntos a a ade la recta quedan ordenados por el criterio de que un punto es menor cuantom´s a la izquierda se encuentra. Es importante notar que la noci´n de izquierda a oy derecha es relativa, pues si giramos la recta, la izquierda se convierte enderecha y viceversa. Los axiomas siguientes recogen las propiedades necesariaspara determinar estas nociones intuitivas.Definici´n 1.11 Una geometr´ est´ ordenada si cada par ordenado de puntos o ıa adistintos A y B tiene asociado una relaci´n ≤AB sobre los puntos de la recta oAB de tal modo que se satisfacen los cinco axiomas siguientes:
  • 12. 4 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıaAxioma B1 Para todo par de puntos distintos A y B, la relaci´n ≤AB es una orelaci´n de orden total sobre la recta AB, es decir, es reflexiva, antisim´trica, o etransitiva y todo par de puntos P y Q de AB cumple P ≤AB Q o bien Q ≤AB P .Adem´s, con este orden, la recta no tiene m´ximo ni m´ a a ınimo, y para todo parde puntos P <AB Q, existe un punto R tal que P <AB R <AB Q.Axioma B2 Para todo par de puntos distintos A y B se cumple A ≤AB B.Axioma B3 Si A y B son dos puntos distintos y P , Q son dos puntos de larecta AB, entonces P ≤AB Q si y s´lo si Q ≤BA P . oAxioma B4 Si A 6= B y C 6= D son pares de puntos de una misma recta,entonces ≤AB = ≤CD o bien ≤AB = ≤DC . Los axiomas B3 y B4 afirman que en realidad s´lo estamos considerando dos oordenaciones en cada recta, y una es la inversa de la otra. Diremos que un puntoP est´ entre dos puntos A y B si los tres son colineales y A ≤AB P ≤AB B. aAxioma B5 Sean A, B, C tres puntos no colineales y r una recta contenidaen el plano ABC pero que no pase por ninguno de ellos. Si r pasa por un puntosituado entre A y B, entonces r pasa por un punto entre A y C o bien por unpunto entre B y C, y s´lo se da uno de los dos casos. o ❚ C ✑ ❚ ✑✑ ❡ ✑❚ ❡ ✑ ❚ ❡❡ ✑ ✥ ✥✥ B ✑ ✥✥ ❚ ✥✥✥ ❚ ✑ ✥ ✥✥✥ ✑ A ❚ rTeorema 1.12 Dados tres puntos A, B, C, se cumple que B est´ entre A y C asi y s´lo si est´ entre C y A. (Por B2) o aDefinici´n 1.13 Dados dos puntos distintos A y B, llamaremos segmento (lat. o‘corte’) de extremos A y B al conjunto de los puntos situados entre A y B. Lorepresentaremos por AB. Por el teorema anterior AB = BA. Observemos que un segmento s contienea sus extremos, luego est´ contenido en una unica recta, a la que llamaremos a ´prolongaci´n de s. Los extremos de s son el m´ximo y el m´ o a ınimo para cualquierade las ordenaciones de su prolongaci´n, luego est´n determinados por s, es decir, o ados segmentos son iguales si y s´lo si tienen los mismos extremos. o Si a una recta le quitamos un punto, ´sta queda dividida en dos partes. El eteorema siguiente lo demuestra, al tiempo que caracteriza a cada una de estaspartes. Para enunciarlo conviene adoptar el convenio de que AA = {A}, si bienno consideraremos como segmentos a estos conjuntos de un solo punto.
  • 13. 1.2. Axiomas de ordenaci´n o 5Teorema 1.14 Sea r una recta y O un punto de r. Entonces la relaci´n en or {O} dada por P ∼ Q si y s´lo si O ∈ P Q es una relaci´n de equivalencia o / ocon exactamente dos clases de equivalencia. ´ Demostracion: Sea B un punto de r y sea A tal que A <OB O <OB B.Es f´cil ver que P ∼ Q si y s´lo si P y Q son ambos mayores que O o ambos a omenores que O respecto a la relaci´n ≤OB , de donde se sigue inmediatamente oque la relaci´n es de equivalencia. Adem´s hay s´lo dos clases, a saber, la clase o a ode A y la clase de B.Definici´n 1.15 Dado un punto O en una recta r llamaremos semirrectas en or con origen en O a cada una de las dos clases de equivalencia descritas en elteorema anterior junto con el punto O. Claramente, dados dos puntos distintos O y A, existe una unica semirrecta ´ − →de origen O y que pasa por A. La representaremos por OA. Es f´cil ver que a−→OA = {P ∈ OA | O ≤OA P }. Una semirrecta est´ contenida en una unica recta, a la que llamaremos su a ´prolongaci´n. Notemos que si s es una semirrecta, entonces el origen de s es oel m´ximo o el m´ a ınimo de s respecto a cada una de las dos ordenaciones desu prolongaci´n. Si es el m´ o ınimo entonces s no tiene m´ximo y viceversa. Por aconsiguiente una semirrecta determina a su origen, de modo que dos semirrectasiguales tienen el mismo origen. Si s es una semirrecta, existe una unica semirrecta distinta de s con la misma ´prolongaci´n y el mismo origen. A ´sta la llamaremos semirrecta complemen- o etaria de s. El unico punto en com´n entre una semirrecta y su complementaria ´ ues el origen de ambas. Del mismo modo que un punto divide a una recta en dos semirrectas, unarecta divide a un plano en dos semiplanos. El teorema siguiente lo demuestra.Teorema 1.16 Sea π un plano y r una recta contenida en π. Entonces larelaci´n en π r dada por P ∼ Q si y s´lo si r no corta a P Q es una relaci´n o o ode equivalencia con exactamente dos clases de equivalencia. ´ Demostracion: La relaci´n es obviamente reflexiva y sim´trica, y es tran- o esitiva por el axioma B5. Tomemos un punto A de π exterior a r y un punto Xen r. La recta AX est´ contenida en π y corta a r unicamente en X, luego si a ´tomamos un punto B en AX tal que X est´ entre A y B, ciertamente B ∈ π r. eM´s a´n, A 6∼ B. De nuevo el axioma B5 implica que todo punto de π r es a uequivalente a A o a B, luego s´lo hay dos clases de equivalencia. oDefinici´n 1.17 Sea π un plano y r una recta contenida en π. Llamaremos osemiplanos en π de frontera r a las uniones de cada una de las dos clases deequivalencia descritas en el teorema anterior con la recta r.
  • 14. 6 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa Dada una recta r y un punto exterior A, existe un unico semiplano de frontera ´ −→r y que contiene a A. Lo representaremos por rA, y es el conjunto de todos lospuntos X del plano que contiene a r y a A tales que r no corta al segmento AX. Un semiplano s est´ contenido en un unico plano, al que llamaremos su pro- a ´longaci´n. La frontera de s est´ formada por los puntos X con la propiedad de o aque existe una semirrecta de origen X contenida en s cuya semirrecta comple-mentaria no tiene m´s punto en s que el propio X. Por lo tanto s determina a asu frontera, es decir, si dos semiplanos son iguales, sus fronteras son iguales. Dado un semiplano s, existe un unico semiplano distinto de s con la misma ´prolongaci´n y con la misma frontera, al que llamaremos semiplano complemen- otario de s. Los unicos puntos en com´n entre un semiplano y su complementario ´ uson los de la frontera.Ejercicio: Probar que un plano divide al espacio en dos semiespacios. Definir losconceptos de prolongaci´n de un semiespacio y semiespacio complementario. oDefinici´n 1.18 Un conjunto de puntos F es convexo si cuando A, B son opuntos de F entonces el segmento AB est´ contenido en F . a Es f´cil probar que las rectas, los planos, los segmentos, las semirrectas, los asemiplanos y los semiespacios son conjuntos convexos. As´ mismo es claro que ıla intersecci´n de conjuntos convexos es un conjunto convexo. o1.3 ´ Angulos y tri´ngulos aDefinici´n 1.19 Sean l1 y l2 dos semirrectas con origen com´n O y no conte- o unidas en la misma recta. Sean r1 y r2 sus respectivas prolongaciones. Sea π elplano que las contiene. Es claro que l1 est´ contenido en uno de los semiplanos aen que r2 divide a π y l2 est´ contenido en uno de los semiplanos en que r1 adivide a π. Llamaremos ´ngulo (lat. ‘rinc´n’) de v´rtice (lat. ‘cumbre’) O y a o elados l1 y l2 a la intersecci´n del semiplano de π respecto a r2 que contiene a l1 o dcon el semiplano de π respecto a r1 que contiene a l2 . Lo representaremos l1 l2 .Los puntos de l1 y l2 constituyen la frontera del ´ngulo. a d Observemos que l1 l2 contiene m´s puntos, aparte de los de sus lados. De ahecho es un conjunto convexo, pues es la intersecci´n de dos conjuntos convexos. oPor lo tanto, si A y B son puntos en l1 y l2 respectivamente, entonces todos lospuntos entre ellos est´n en el ´ngulo. a a Si tres puntos A, O y B no son colineales, llamaremos AOB al ´ngulo de a − → −→−v´rtice O y lados OA y OB. e Un ´ngulo est´ contenido en un unico plano, llamado su soporte. Es f´cil a a ´ aprobar que un ´ngulo determina su v´rtice y sus lados. a e Dos rectas secantes dividen el plano que las contiene en cuatro ´ngulos con av´rtice com´n. Dos ´ngulos con el mismo v´rtice, un lado en com´n y los otros e u a e u
  • 15. ´1.3. Angulos y tri´ngulos a 7lados formados por semirrectas complementarias se llaman ´ngulos adyacentes. aDos ´ngulos con el mismo v´rtice y cuyos lados son semirrectas complementarias a ese llaman ´ngulos opuestos por el v´rtice. Cada ´ngulo tiene exactamente dos a e aa´ngulos adyacentes y un ´ngulo opuesto por el v´rtice. a e ´ Angulo adyacente ✔✔ l2 ✔ d l1 l2 ✔ ✏ ✏✏ ✔ ✏✏✏ O✔ ✏ ✏✏ l1 ✏ ✏✏ ✔ ✏✏ ✔ ✏ ✏✏ ✔ ´ Angulo ✔ opuesto ✔ ´ Angulo adyacente ✔Teorema 1.20 Sean A, O, B puntos no colineales en un plano π. Entonces a a una semirrecta de origen O y contenida en π est´ contenida en el ´ngulo AOBsi y s´lo si corta al segmento AB. o ´ Demostracion: Sea s una semirrecta de origen O y contenida en π. Pode- mos suponer que no es uno de los lados de AOB. Si s corta a AB en un puntoX y P es cualquier otro punto de s (distinto de O), entonces la prolongaci´n odel segmento P X es la prolongaci´n de s, que corta a los lados del ´ngulo en el o apunto O, y ´ste no est´ en P X. Por lo tanto P y X est´n en los mismos semi- e a aplanos respecto a los lados del ´ngulo, y como X est´ en el ´ngulo, P tambi´n. a a a e Esto prueba que s est´ contenida en AOB. a Rec´ ıprocamente, supongamos que s est´ contenida en AOB. Sea s la prolon- a ¯gaci´n de s y consideremos un punto C tal que O est´ entre C y B. Los puntos o eA, B y C no son colineales, y s no pasa por ninguno de ellos. Como s pasa por ¯ ¯O, que es un punto entre C y B, por el axioma B5 ha de pasar por un puntoentre A y B o bien por un punto entre A y C. Ahora bien, s est´ contenida en aAOB y puesto que al pasar por O cruza a la vez los dos lados de s, es claro quela semirrecta complementaria de s est´ contenida en el ´ngulo opuesto por el a a e v´rtice a AOB. Sin embargo el segmento AC est´ contenido en el ´ngulo AOC, a a [ Por lo tanto s no puede cortar a AC. As´que es uno de los adyacentes a AOB. ¯ ıpues, s corta a AB. Sin embargo, la semirrecta complementaria de s no puede ¯ cortar a este segmento, pues est´ fuera de AOB. Concluimos que es s quien acorta al segmento. a a Observemos que si un punto P est´ en un ´ngulo AOB entonces la semirrecta−−→ OP est´ contenida en AOB. aTeorema 1.21 Dos ´ngulos con un lado en com´n y contenidos en el mismo a usemiplano respecto a ´l est´n contenidos el uno en el otro. e a ´ Demostracion: Los ´ngulos ser´n de la forma AOB1 y AOB2 . Suponga- a amos que el segmento AB 1 no corta a la recta OB2 . Entonces todos los puntos
  • 16. 8 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıade AB 1 est´n en el mismo semiplano que A respecto a OB2 , y por hip´tesis a otambi´n est´n en el mismo semiplano que B2 respecto a OA. Por lo tanto AB 1 e a est´ contenido en AOB2 . Si P es cualquier punto de AOB1 (que no est´ en a e −−→OA) la semirrecta OP corta a AB1 en un punto X. Si X = P ya tenemos que P est´ en AOB2 . En caso contrario, el segmento XP no contiene a O, por lo a que X y P est´n en los mismos semiplanos respecto a los lados de AOB2 , luego a P est´ en AOB2 . a Supongamos ahora que AB 1 corta a la recta OB2 en un punto X. Entonces a X est´ en AOB1 , luego est´ en el mismo semiplano que B2 respecto a OA, a −→ − luego en realidad X est´ en OB2 . Esto implica que AOX = AOB2 , luego no a perdemos generalidad si suponemos que X = B2 . Ahora, si P est´ en AOB2 la a − −→ semirrecta OP corta a AB 2 , luego corta a AB 1 , luego est´ contenida en AOB1 , a .luego P est´ en AOB1 a De la prueba del teorema anterior y del teorema 1.20 se deduce el hechosiguiente:Teorema 1.22 Sean l1 , l2 y l3 semirrectas de origen O y tales que l2 y l3 est´n econtenidas en un mismo semiplano de frontera la prolongaci´n de l1 . Entonces od d dl1 l2 est´ contenido en l1 l3 si y s´lo si l2 est´ contenida en l1 l3 . a o aDefinici´n 1.23 Sean A, B y C tres puntos no colineales. Llamaremos tri´n- o a e o a ABC y ACB.gulo de v´rtices A, B y C a la intersecci´n de los ´ngulos BAC, Lo representaremos por ABC. Los ´ngulos BAC, ABC y ACB se llaman ´ngulos del tri´ngulo ABC. a a a Cuando no haya ambig¨edad, nos referiremos a ellos como A, u ˆ B y C, respecti- ˆ ˆvamente (es decir, los nombraremos por sus v´rtices). Los segmentos AB, AC y e BC se llaman lados de ABC. Los tres lados de un tri´ngulo forman su frontera. a ˆ Los lados AB y AC se llaman lados contiguos al ´ngulo A, mientras que el a a ˆ (similarmente con los otros dos ´ngulos).lado BC es el lado opuesto al ´ngulo A a Normalmente llamaremos a, b y c a los lados de un tri´ngulo ABC, de modo a a a ˆ a ˆque a ser´ el lado opuesto al ´ngulo A, b ser´ el lado opuesto a B y c ser´ el a ˆlado opuesto a C. B ✑ ✑ ❡ a c ✑✑ ❡ ✑ ❡❡ ✑ ✥ ✥ C ✑ ✥✥ ✥✥✥ ✑ ✥✥ ✥✥✥ ✑ b A
  • 17. 1.4. Axiomas de congruencia 91.4 Axiomas de congruencia Continuamos introduciendo conceptos geom´tricos b´sicos ocup´ndonos de e a ala congruencia de figuras. La idea subyacente es que dos figuras son congruen-tes si se diferencian a lo sumo en su posici´n en el espacio, es decir, si una opuede convertirse en la otra mediante un movimiento. Aunque en principio elconcepto de congruencia es aplicable a cualquier figura, de momento s´lo nece- ositamos considerar congruencias de segmentos, ´ngulos y tri´ngulos. Adem´s, a a ala congruencia de tri´ngulos puede definirse en t´rminos de las otras dos. a eDefinici´n 1.24 Una geometr´ m´trica es una geometr´ ordenada junto con o ıa e ıados relaciones, que llamaremos de congruencia y las representaremos por ≡,definidas respectivamente sobre los conjuntos de los segmentos y ´ngulos, y que acumplen los axiomas siguientes:Axioma C1 Las dos congruencias son relaciones de equivalencia, es decir,son reflexivas, sim´tricas y transitivas. eAxioma C2 Dados tres puntos A, B y A0 y una semirrecta s de origen A0 ,existe un unico punto B 0 en s tal que AB ≡ A0 B 0 . ´Axioma C3 Sean A, B, C puntos colineales de modo que B est´ entre A y eC, sean A0 , B 0 y C 0 otros tres puntos en las mismas condiciones. Entonces, siAB ≡ A0 B 0 y BC ≡ B 0 C 0 , tambi´n AC ≡ A0 C 0 . eAxioma C4 Sea L un ´ngulo, s una semirrecta y π un semiplano cuya fron- atera sea la prolongaci´n de s. Entonces existe un unico ´ngulo L0 contenido en o ´ aπ, con un lado igual a s y tal que L ≡ L0 . Diremos que dos tri´ngulos T y T 0 son congruentes si existe una correspon- adencia entre sus v´rtices para la cual cada par de lados y ´ngulos correspondien- e ates son congruentes. En lo sucesivo, cuando digamos que dos tri´ngulos ABC a 0 0 0y A B C son congruentes, se sobreentender´ que cumplen la definici´n para la a ocorrespondencia A → A0 , B → B 0 , C → C 0 , es decir, que AB ≡ A0 B 0 , etc. Axioma C5 Dado un tri´ngulo ABC, un segmento A0 B 0 ≡ AB y un semi- a o u a plano π de frontera la prolongaci´n de A0 B 0 , existe un (´nico) tri´ngulo A0 B 0 C 0 contenido en π y congruente con ABC. Observemos que la unicidad del tri´ngulo se sigue del axioma C4, pues las arectas A0 C 0 y B 0 C 0 son unicas, y C 0 ha de ser su intersecci´n. En el lenguaje tra- ´ odicional de la geometr´ es costumbre hablar de ´ngulos, segmentos y tri´ngulos ıa a a‘iguales’ en el sentido que aqu´ hemos dado a la palabra ‘congruentes’, mientras ıque para indicar que dos segmentos, ´ngulos o tri´ngulos son iguales en el sen- a atido conjuntista, es decir, que contienen los mismos puntos, se suele decir queson ‘coincidentes’. Nosotros usaremos estos t´rminos excepto cuando pueda dar elugar a confusi´n. o Comencemos estudiando las propiedades de la congruencia de segmentos. Elaxioma C3 nos permite definir una suma:
  • 18. 10 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıaTeorema 1.25 Dados dos segmentos AB y CD existe un segmento P Q conla propiedad de que existe un punto R entre P y Q de modo que P R ≡ ABy RQ ≡ CD. La clase de congruencia de P Q s´lo depende de las clases de ocongruencia de AB y CD. ´ Demostracion: Tomamos por ejemplo P = A y R = B. Ahora considera-mos la semirrecta de AB con origen B y que no contiene a A. Por el axioma C2existe en ella un punto Q tal que RQ ≡ CD. Es claro que P , Q y R cumplenlo pedido. El resto es consecuencia del axioma C3.Definici´n 1.26 En las condiciones del teorema anterior, escribiremos o P Q ≡ AB + CD,entendiendo la expresi´n como una igualdad entre clases de congruencia. o De este modo tenemos definida la suma de dos (clases de) segmentos cuales-quiera. Es obvio que esta suma es asociativa y conmutativa. El hecho siguienteno es exactamente una consecuencia inmediata de la definici´n de suma: oTeorema 1.27 Si P Q ≡ u + v entonces existe un punto R entre P y Q tal queP R ≡ u y RQ ≡ v. − −→ ´ Demostracion: Por el axioma C2 existe un punto R en la semirrecta P Q 0tal que P R ≡ u. Del mismo modo, existe un punto R en la semirrecta de P Qde origen R y que no contiene a P de modo que RR0 ≡ v. Por definici´n deosuma tenemos que P R0 ≡ u + v ≡ P Q, luego la unicidad del axioma C2 implicaque R0 = Q De aqu´ se sigue que la suma de segmentos es simplificable: ıTeorema 1.28 Dados tres segmentos u, v y w, si u + v ≡ u + w entoncesv ≡ w. ´ Demostracion: Sea u + v ≡ u + w ≡ P Q. Entonces existe un punto Rentre P y Q tal que P R ≡ u y RQ ≡ v. Tambi´n tiene que existir un punto R0 etal que P R0 ≡ u y R0 Q ≡ w, y por la unicidad de C2 ha de ser R = R0 , luegov ≡ RQ = R0 Q ≡ w.Definici´n 1.29 Diremos que un segmento u es menor que un segmento v (y olo representaremos por u < v) si existe un segmento w tal que v ≡ u + w.En tal caso el teorema anterior afirma que w es unico (salvo congruencia) y lo ´llamaremos resta o diferencia de u y v, y lo representaremos w ≡ v − u. De las propiedades de la suma se sigue inmediatamente que la desigualdadde segmentos depende s´lo de las clases de congruencia y es una relaci´n de o oorden estricto. Tambi´n es f´cil probar lo siguiente: e a
  • 19. 1.4. Axiomas de congruencia 11Teorema 1.30 Si AB < AC y ambos segmentos est´n situados sobre una se- amirrecta de origen A, entonces B est´ entre A y C. a Nos ocupamos ahora de la congruencia de ´ngulos y tri´ngulos. Comenzamos a acon dos criterios de igualdad de tri´ngulos. a a a Teorema 1.31 (Criterio lado-´ngulo-lado) Si dos tri´ngulos T = ABC y 0 0 cumplen AB ≡ A0 B 0 , AC ≡ A0 C 0 y A ≡ A0 entonces T ≡ T 0 . 0 0T =ABC ˆ ˆ ´ Demostracion: Por el axioma C5 el tri´ngulo T es igual a un tri´ngulo a a 00T =ABC 00 contenido en mismo semiplano que T 0 respecto a la recta A0 B 0 y 0 0con todos sus lados y ´ngulos congruentes con los de T . En particular, usando a el axioma C1 resulta que A0 C 0 ≡ A0 C 00 y B 0 A0 C 0 ≡ B 0 A0 C 00 . Estos ultimos ´ngulos tienen un lado en com´n y est´n contenidos en el ´ a u amismo semiplano respecto a dicho lado, luego por el axioma C4 son coincidentes. −→ − −→−En particular la semirrecta AC 0 coincide con AC 00 . Ahora el axioma C2 implicaque C = C , por lo que T coincide con T , luego T y T 0 son iguales. 0 00 0 00Teorema 1.32 (Criterio ´ngulo-lado-´ngulo) Si dos tri´ngulos T = ABC a a a 0 0 0 0y T = A B C cumplen AB ≡ A ˆ ˆ ˆ ˆ 0 B 0 , A ≡ A0 y B ≡ B 0 entonces T ≡ T 0 . ´ Demostracion: Razonamos igual que en el teorema anterior, con lo que obtenemos un tri´ngulo T 00 = A0 B 0 C 00 igual a T y que comparte con T 0 el lado a ˆ ˆ −→ − −− − → −− −→ −− −→ 0 B 0 y los ´ngulos A0 y B 0 . Esto implica que A0 C 0 = A0 C 00 y B 0 C 0 = B 0 C 00 ,A apero C 0 y C 00 son los respectivos puntos donde se cortan estas semirrectas, luegoC 0 = C 00 y concluimos igualmente. M´s adelante probaremos que si dos tri´ngulos tienen dos ´ngulos iguales a a aentonces tienen los tres ´ngulos iguales, con lo que el criterio anterior cubrir´ a acualquier caso en que dos tri´ngulos tengan iguales dos ´ngulos y un lado. a aM´s delicado es probar el criterio lado-lado-lado. Antes necesitamos un par de aresultados. En primer lugar demostramos para ´ngulos lo que el axioma C3 aafirma para segmentos.Teorema 1.33 Sean l1 , l2 y l3 semirrectas de origen O tales que las dos ultimas´est´n contenidas en un mismo semiplano con frontera la prolongaci´n de la a oprimera. Sean l1 , l2 y l3 semirrectas de origen O0 en las mismas condiciones. 0 0 0 a d a d d d d d 0 0 0 0Supongamos que el ´ngulo l1 l2 est´ contenido en l1 l3 . Si l1 l2 ≡ l1 l2 y l2 l3 ≡ l2 l3 d est´ contenido en l0 l0 y l1 l3 ≡ l0 l0 . 0 l0entonces l1 2 a d d d 1 3 1 3 Demostracion: Por el axioma C4 existe una semirrecta l3 de origen O0 y ´ 00 0contenida en el mismo semiplano respecto a l1 que las dem´s y de modo que ad d 0 00 0 00l1 l3 ≡ l1 l3 . Hemos de probar que l3 = l3 . Tomemos puntos A ∈ l1 y B ∈ l3 . Por el teorema 1.20 sabemos que lasemirrecta l2 corta a AB en un punto C. Consideremos puntos A0 ∈ l1 y 0 0 00 0 A0 ≡ OA y O 0 B 0 ≡ OB.B ∈ l3 tales que O
  • 20. 12 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa 0 00 °l l3 ✁ 0 ° l3 B° 3 ✁ B° °❇❇ l2 ✁ °❇ ❇ l0 ✦✦ ✦2 ° C ❇✦ ✦ ✁ ° C 0❇✦✦ ✦ °✦✦ ❇ ✁°✦✦ 0 ❇ ✦ l1 ✦ l10 O✦ ° A❇ O 0✦ ✁ ° A❇ Por el criterio LAL de igualdad de tri´ngulos tenemos que AOB ≡ A0 O0 B 0 , a −− −→ 0 B 0 . Sea C 0 el punto de A0 B 0 que cumple AC ≡ A0 C 0 . Comoluego AB ≡ AAC < AB resulta que C 0 est´ entre A0 y B 0 . Veamos que est´ en l2 . Esto se debe a a 0a que los tri´ngulos y A O C son iguales, porque tienen iguales el ´ngulo a AOC 0 0 0 aA [ ˆ ≡ A0 y los lados OA ≡ O0 A0 y AC ≡ A0 C 0 . Por lo tanto AOC ≡ A0 O0 C 0 , y ˆ −− −→ dpor la unicidad del axioma C4 ha de ser l2 = O0 C 0 . Esto implica que l1 l2 est´ 0 0 0 a d. 0 l00contenido en l1 3 Finalmente observamos que los tri´ngulos BOC y B 0 O0 C 0 tienen iguales el aa´ngulo B d d d ˆ ≡ B 0 y sus lados adyacentes, luego l0 l00 ≡ l2 l3 ≡ l0 l0 , y por consi- ˆ 2 3 2 3 0 00guiente l3 = l3Definici´n 1.34 Un tri´ngulo es equil´tero (lat. ‘de lados iguales’) si sus tres o a alados son iguales. Un tri´ngulo es is´sceles (gr. ‘de piernas iguales’) si tiene al a omenos dos lados iguales. Un tri´ngulo es escaleno (gr. ‘oblicuo’) si sus lados ason desiguales dos a dos. Probamos ahora un resultado con una prueba mucho m´s elemental de lo aque podr´ preverse: ıa a o a Teorema 1.35 (Criterio del tri´ngulo is´sceles) Si en un tri´ngulo ABC ˆ ˆse cumple CA ≡ CB entonces A ≡ B. ´ Demostracion: Basta aplicar el criterio LAL a los tri´ngulos (coinciden- a tes) ACB y BCA (es decir, tomando A0 = B, B 0 = A y C 0 = C). Observemos que el teorema anterior implica que los tri´ngulos equil´teros a atienen tambi´n sus tres ´ngulos iguales. Finalmente podemos probar: e a Teorema 1.36 (Criterio lado-lado-lado) Si T = ABC y T 0 = A0 B 0 C 0 cum-plen AB ≡ A0 B 0 , AC ≡ A0 C 0 y BC ≡ B 0 C 0 , entonces T ≡ T 0 . ´ Demostracion: Trasladando uno de los tri´n- a A gulos podemos suponer que AC = A0 C 0 y que los ✓❙ v´rtices B y B 0 se encuentran en semiplanos distin- e ✓ ❙ ✓ ❙ tos respecto a este lado com´n. u ✓ ❙ En estos t´rminos AB ≡ AB 0 , BC ≡ B 0 C y e ✓ ❙ hemos de probar que AB 0 C ≡ ABC. Para ello basta ✓ ❙B ◗ ◗ ✑ 0 ✑ B ≡ ABC, pues entonces el criterio probar que AB 0C ◗ ✑ ◗ ✑ LAL nos da el resultado. Si C est´ en el segmento a ◗✑ BB 0 concluimos por el teorema anterior aplicado a C
  • 21. 1.5. Suma de ´ngulos a 13 ABB 0 . En caso contrario aplicamos el teorema anterior a los tri´ngulos ABB 0 a 0 , con lo que obtenemos ABB 0 ≡ AB 0 B y CBB 0 ≡ CB 0 B. El teoremay CBB 1.33 implica que AB 0 C ≡ ABC.1.5 Suma de ´ngulos a El teorema 1.33 nos permite definir una suma de ´ngulos de forma similar aa como hemos definido la suma de segmentos. Conviene definir primero laordenaci´n de los ´ngulos. o aDefinici´n 1.37 Diremos que un ´ngulo A es menor que un ´ngulo B (y lo o a arepresentaremos por A < B) si existen ´ngulos A0 y B 0 congruentes con A y aB respectivamente, con un lado en com´n, situados en un mismo semiplano urespecto a dicho lado y de modo que A0 est´ (estrictamente) contenido en B 0 . a Si A y B son dos ´ngulos no congruentes, por el axioma C4 existen ´ngulos a aA0 y B 0 en las condiciones de la definici´n, por el teorema 1.21 uno de ellos oestar´ contenido en el otro y por el teorema 1.33 el resultado de la comparaci´n a odepende s´lo de las clases de congruencia de A y B. Ahora es f´cil probar que o ala relaci´n que acabamos de definir es ciertamente una relaci´n de orden total o oestricto sobre (las clases de congruencia de) todos los ´ngulos, as´ como que a ısi dos ´ngulos comparten un lado y est´n contenidos en un mismo semiplano a arespecto a dicho lado, entonces el menor estar´ contenido en el mayor. aTeorema 1.38 Si L y L0 son ´ngulos iguales, S es un ´ngulo adyacente a L y a aS 0 es un ´ngulo adyacente a L0 , entonces S y S 0 tambi´n son iguales. a e ´ Demostracion: Digamos que L = AOB y que S = COB, donde los puntosC, O, A est´n alineados. Sea O el v´rtice de L y S , tomemos B 0 en el lado a 0 e 0 0com´n entre ambos y de modo que OB ≡ O0 B 0 . Sea A0 en el otro lado de L0 de umodo que OA ≡ O0 A0 y sea C 0 en el otro lado de S 0 de modo que OC ≡ O0 C 0 . 0 ❇B ❇ ❇B ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ 0 C ❇O A C0 ❇O A0 Es claro entonces que CA ≡ C 0 A0 , AOB ≡ A0 O0 B 0 (por el criterio LAL), de donde AB ≡ A0 B 0 , de donde CAB ≡ C 0 A0 B 0 (por el mismo criterio), de dondeBC ≡ B 0 C 0 , de donde COB ≡ C 0 O 0 B 0 (por el criterio LLL). Esto implica que COB ≡ C 0 O0 B 0 , es decir, S ≡ S 0 . Como consecuencia inmediata tenemos:Teorema 1.39 Los dos ´ngulos adyacentes a un ´ngulo dado son iguales entre a as´ Dos ´ngulos opuestos por el v´rtice son iguales entre s´ ı. a e ı.
  • 22. 14 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa (Notemos que dos ´ngulos opuestos por el v´rtice son adyacentes a un mismo a ea´ngulo.)Definici´n 1.40 Dos ´ngulos son suplementarios si uno es congruente con un o aa´ngulo adyacente al otro. Es obvio que la relaci´n de ser suplementarios depende s´lo de las clases de o ocongruencia de los ´ngulos, as´ como que es sim´trica. Si dos ´ngulos suplemen- a ı e atarios tienen un lado en com´n y est´n en semiplanos opuestos respecto a ´ste, u a eentonces son adyacentes.Teorema 1.41 Si un ´ngulo A es menor que un ´ngulo B, entonces el suple- a amentario de B es menor que el suplementario de A. ´ Demostracion: Podemos suponer que A y B tienen un lado en com´n y uest´n contenidos en un mismo semiplano respecto a ´ste. Digamos A = l1 l2 a e dy d 0B = l1 l3 . Sea l1 la semirrecta complementaria de l1 . Entonces los suplementa- d d 0 0 d0rios de A y B son l1 l2 y l1 l3 . Basta probar que l3 est´ contenida en l1 l2 . Por el a 0teorema 1.20 esto equivale a que l1 y l2 est´n en semiplanos distintos respecto ea l3 , lo que a su vez equivale a que l1 y l2 est´n en el mismo semiplano respecto e o a e da l3 , y por definici´n de ´ngulo esto equivale a que l2 est´ contenida en l1 l3 , locual es cierto por hip´tesis. oDefinici´n 1.42 Un semihaz de semirrectas (lat. fascem = ‘manojo’) es el oconjunto de todas las semirrectas con un origen com´n O contenidas en un usemiplano S que tenga a O en su frontera. Notemos que un semihaz determina su origen y su semiplano. El origen Odivide a la frontera de S en dos semirrectas s y t a las que llamaremos extremosdel semihaz. Cada semirrecta l en un semihaz que sea distinta de sus extremos b bdetermina dos ´ngulos suplementarios sl y tl. Esto nos permite definir dos aordenaciones totales en el semihaz: una dada por l ≤st l0 b c si y s´lo si sl ≤ sl0 o(con el convenio adicional de que s ≤st l ≤st t, para cualquier semirrecta ldistinta de s y t), y otra ≤ts definida an´logamente. El teorema anterior prueba aque ambas ordenaciones son mutuamente inversas. En particular, si l1 l2 y l3 son tres semirrectas de un semihaz, diremos quel2 est´ entre l1 y l3 si l1 ≤st l2 ≤st l3 , donde el orden de los extremos s y t es airrelevante. Es f´cil ver que esto sucede si y s´lo si l1 y l3 est´n en semiplanos a o adistintos respecto a l2 . Ahora conviene adoptar el convenio siguiente:Definici´n 1.43 Llamaremos ´ngulos llanos a los semiplanos. Extendemos o ala congruencia de ´ngulos a los ´ngulos llanos estipulando que todos ellos son a acongruentes entre s´ y no son congruentes con ning´n ´ngulo en sentido estricto. ı u aExtendemos la relaci´n de orden estipulando que un ´ngulo llano es mayor que o acualquier ´ngulo en sentido estricto. a
  • 23. 1.5. Suma de ´ngulos a 15 Notemos que un ´ngulo llano no tiene definidos un v´rtice y unos lados. a ePodemos considerar como tales a un punto cualquiera de su frontera y las semi-rrectas que ´ste determina, pero hay infinitos ´ngulos llanos con el mismo v´rtice e a ey los mismos lados (todos los semiplanos con una misma recta como frontera).Los ´ngulos llanos no tienen suplementario. Si s y t son los extremos de un asemihaz de semirrectas contenidas en el semiplano S, entonces convendremos ben que st representa precisamente a S (pero esto s´lo tiene sentido con respecto oa un semihaz prefijado). Con este convenio se cumple el teorema siguiente (lademostraci´n es muy simple): oTeorema 1.44 Sean l1 y l2 dos semirrectas distintas en un semihaz prefijado. dEntonces l1 l2 es la uni´n de todas las semirrectas del semihaz que est´n entre o al1 y l2 . Todas estas consideraciones nos permiten estudiar c´modamente la suma de oa´ngulos. o a dDefinici´n 1.45 Diremos que un ´ngulo A = l1 l2 es la suma de dos ´ngulos B ay C si existe una semirrecta l3 de origen el v´rtice de A y contenida en A tal e d dque B ≡ l1 l3 y C ≡ l3 l2 . Lo representaremos por A ≡ B + C. Como en el caso de los segmentos, es claro que la relaci´n A ≡ B + C puede overse como una igualdad entre clases de congruencia de los ´ngulos. Por ejemplo, anotemos que si A, B y C cumplen la definici´n anterior y A0 ≡ A, entonces oB < A, luego existe un ´ngulo B 0 con un lado en com´n con A y contenido a uen A. Por el teorema 1.33, los otros lados de B 0 y A0 forman un ´ngulo C 0 acongruente con C, luego A0 tambi´n es una suma de B y C. Igualmente se eprueba que todas las sumas de B y C son congruentes. Convenimos en que un ´ngulo llano A es la suma de dos ´ngulos B y C a asi y s´lo si ´stos son suplementarios. Observemos que la definici´n general de o e osuma es aplicable a este caso tomando como v´rtice de A cualquier punto de su efrontera. La suma de ´ngulos presenta una diferencia importante con la de segmentos, ay es que no todo par de ´ngulos tiene una suma. Concretamente: aTeorema 1.46 Dos ´ngulos B y C admiten una suma si y s´lo si C es menor a oo igual que el suplementario de B. ´ Demostracion: Sea A una suma de B y C. Es claro que existe un semihazde semirrectas contenidas en el semiplano de A y con un extremo l1 igual a unlado de A (incluso si A es un semiplano). Sea l3 el otro lado de A. Por definici´n o d dde suma, existe una semirrecta l2 entre l1 y l3 de modo que l1 l2 ≡ B y l2 l3 ≡ C. Si llamamos l4 a la semirrecta complementaria de l1 tenemos l1 ≤l1 l4 l2 ≤l1 l4 l3 ≤l1 l4 l4 , d dluego C ≡ l2 l3 ≤ l2 l4 , y este ultimo ´ngulo es el suplementario de B. ´ a
  • 24. 16 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa Rec´ıprocamente, si C es menor o igual que el suplementario de B, entonces dpodemos tomar B = l1 l2 , donde l1 es un extremo de un semihaz de semirrectas dal cual pertenece l2 . Por hip´tesis C ≤ l4 l2 , donde l4 es la semirrecta comple- o dmentaria de l1 , luego existe una semirrecta l3 entre l2 y l4 tal que C ≡ l2 l3 . Es dclaro entonces que l1 l3 es una suma de B y C. Se comprueba sin dificultad que la suma de ´ngulos es asociativa, es decir, asi A + B es sumable con C, entonces A tambi´n es sumable con B + C y e(A+B)+C ≡ A+(B +C). As´ mismo es conmutativa y simplificable. Si B < C ıentonces existe un unico ´ngulo D (salvo congruencia) tal que C ≡ B + D. Lo ´ arepresentaremos por D ≡ C − B.1.6 M´s propiedades de segmentos, ´ngulos y a a tri´ngulos a Con los resultados de que disponemos hasta el momento ya podemos pro-bar con cierta agilidad muchas propiedades intuitivamente evidentes acerca desegmentos, ´ngulos y tri´ngulos. Recogemos aqu´ las que nos har´n falta m´s a a ı a aadelante para estudiar la perpendicularidad, el paralelismo y las circunferencias,entre otras nociones.Teorema 1.47 Todo segmento AB contiene un unico punto M que cumple ´AM ≡ M B. Se le llama punto medio del segmento. ´ Demostracion: Sea C un punto cualquiera fuera de la recta AB. El a es congruente con un unico tri´ngulo BDA contenido en eltri´ngulo ACB ´ a semiplano complementario del que contiene al primero. C Los puntos C, A y D no pueden ser co- ❛❛ ✪ ❡ ❛❛ ✪ lineales, pues entonces los ´ngulos CAB y a ✪ ❡ ❛❛ ser´ suplementarios, luego tambi´n BAD ıan e ❡M ❛❛ A✪ ıan a e ❛ B lo ser´ los ´ngulos (iguales a ´stos) ABD y ❛❛ ❡ ❛❛ ✪ ❛❛ ❡ ✪ CBA, luego C, B y D ser´ tambi´n colinea- ıan e ❛❛❡ ✪ les, y as´ los cuatro puntos estar´ alineados, ı ıan ❡ ❛✪ en contra de la elecci´n de C. o D Tenemos, pues, dos tri´ngulos ACD y BDC, que tienen sus lados iguales, aluego tambi´n sus ´ngulos. Adem´s CD corta a la recta AB en un punto M e a a (porque C y D est´n en semiplanos distintos). Los tri´ngulos ACM y BDM a a son iguales por el criterio LAL, luego AM ≡ M B. El punto M ha de estarentre A y B, pues en caso contrario habr´ dos segmentos iguales con extremo ıaM y el otro extremo al mismo lado de M . La unicidad es f´cil de probar: Si hubiera dos puntos medios M1 y M2 , apodemos suponer que M1 est´ entre A y M2 . Entonces a AM 2 = AM 1 + M1 M2 ,
  • 25. 1.6. M´s propiedades de segmentos, ´ngulos y tri´ngulos a a a 17luego AB = 2AM2 = 2AM 1 + 2M1 M2 = AB + 2M1 M2 , lo cual es absurdo. a dTeorema 1.48 Dado un ´ngulo l1 l2 , existe una unica semirrecta l contenida ´en ´l, tal que l1 l ≡ lc . Se la llama bisectriz del ´ngulo. e c l2 a ´ Demostracion: Sea O el v´rtice del ´ngulo. Tomemos un punto A en l1 y e asea B en l2 tal que OA ≡ OB. Sea M el punto medio de AB y l la semirrectade origen O y que pasa por M . Claramente l est´ contenida en el ´ngulo. a a Los tri´ngulos OAM y OBM tienen los tres lados iguales, luego tambi´n los a e´ngulos. En particular l1 l ≡ lc . La unicidad se prueba como en el caso de losa c l2segmentos o, alternativamente, se prueba que una bisectriz ha de pasar por elpunto medio de AB.Teorema 1.49 Todo ´ngulo de un tri´ngulo es menor que el suplementario de a acualquier otro de los ´ngulos. a ´ Demostracion: Sea el tri´ngulo ABC. Vamos a probar que el suplemen- a ˆ ˆtario de C es mayor que B. Sea D el punto medio del lado BC. Consideremos −→ −la semirrecta AD y, sobre ella, sea E el punto que cumple AD ≡ DE. Los tri´ngulos ABD y DCD son iguales por el criterio LAL, luego DCE ≡ B y a ˆ a a ˆest´ contenido en el ´ngulo adyacente a C. B E ✁❅ ✟ ✟✁ ✁ ❅ ✟✟ ✁ ✁ D ✟ ❅✟ ✁ ✁ ✟✟✟❅ ✁ ✁ ✟ ❅ ✁ ✁ ✟ ✟ ❅✁ A C El teorema siguiente generaliza al criterio del tri´ngulo is´sceles. a oTeorema 1.50 Los ´ngulos de un tri´ngulo satisfacen las mismas desigualda- a ades que sus respectivos lados opuestos. ´ Demostracion: Sea ABC un tri´ngulo y supongamos, por ejemplo, que aBC < AB. Entonces existe un punto D en AB tal que BD ≡ BC. ˆ Entonces A = CAD < CDB, por el teorema anterior, pues el segundo es el suplementario de un ´ngulo de ADC; a su vez CDB = DCB, porque el a es is´sceles, y por ultimo DCB < ACB = C.tri´ngulo DCB a o ´ ˆ El rec´ ˆ ˆ ıproco es obvio: Si A < C no puede ser AB < BC por la parte yaprobada, y tampoco puede darse la igualdad por el criterio del ´ngulo is´sceles. a o En particular tenemos que un tri´ngulo es equil´tero si y s´lo si tiene sus tres a a oa´ngulos iguales, es is´sceles si y s´lo si tiene dos ´ngulos iguales y es escaleno si o o ay s´lo si tiene sus tres ´ngulos desiguales. o a
  • 26. 18 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa1.7 PerpendicularesDefinici´n 1.51 Un ´ngulo es recto si es su propio suplementario. o aTeorema 1.52 Existen ´ngulos rectos. a ´ d Demostracion: Sea l1 l2 un ´ngulo cualquiera. Sea O su v´rtice, sea A un a epunto en l1 y sea B el punto de l2 que cumple OA ≡ OB. Sea M el punto medio de AB. Entonces los ´ngulos OM A y OM B son adyacentes y por otra aparte son iguales, pues los tri´ngulos correspondientes tienen los lados iguales. aPor consiguiente ambos son ´ngulos rectos. a Es obvio que todos los ´ngulos rectos son congruentes entre s´ y que todo a ıa´ngulo congruente con un ´ngulo recto es recto. La existencia de ´ngulos rectos a ageneraliza el teorema 1.48 al caso de ´ngulos llanos. aDefinici´n 1.53 Dos rectas son perpendiculares (lat. perpendiculum = ‘plo- omada’) si son secantes y uno de los ´ngulos que forman—y por consiguiente los acuatro— es recto. Dos semirrectas o segmentos son perpendiculares si lo sonsus prolongaciones. Un ´ngulo es agudo (lat. ‘con punta’) si es menor que un ´ngulo recto. Un a aa´ngulo es obtuso (lat. ‘sin punta’) si es mayor que un ´ngulo recto. a Es claro que el suplementario de un ´ngulo agudo es un ´ngulo obtuso y a aviceversa. El teorema 1.49 implica que todo tri´ngulo tiene al menos dos ´ngulos a aagudos, pues si tiene uno obtuso su suplementario es agudo, y los otros dos sonmenores que ´ste. Esto nos permite clasificar los tri´ngulos en obtus´ngulos, e a arect´ngulos y acut´ngulos seg´n si tienen, respectivamente, un ´ngulo obtuso, a a u aun ´ngulo recto o si todos sus ´ngulos son agudos. En un tri´ngulo rect´ngulo, a a a alos lados perpendiculares se llaman catetos (gr. ‘perpendiculares’) y el ladosituado bajo el ´ngulo recto se llama hipotenusa (gr. ‘tendido por debajo’). aTeorema 1.54 Dada una recta r y un punto P contenidos en un plano π, existeuna unica recta perpendicular a r que pasa por P y est´ contenida en π. ´ a ´ Demostracion: Si el punto P est´ en r es evidente, pues basta transportar aun ´ngulo recto sobre una de las semirrectas que P determina en r. La unicidad atambi´n es clara. Supongamos ahora que P no est´ en r. e a Sea A un punto de r, sea P 0 el unico punto del semiplano de π opuesto al ´ −→ −que contiene a P y que cumple que el ´ngulo que r forma con AP 0 es igual al a − →que forma con AP as´ como que AP ≡ AP 0 . ı Si P , A y P 0 est´n alineados entonces la recta P P 0 forma con r dos ´ngulos a aadyacentes iguales, luego es perpendicular a r y pasa por P . Si no est´n alinea- ados entonces la recta P P 0 corta a r en un punto B distinto de A. Los tri´ngulos a ABP y ABP 0 son iguales, luego tambi´n lo son los ´ngulos ABP y ABP 0 , que e aadem´s son adyacentes. Por lo tanto la recta P P 0 es perpendicular a r y pasa apor P . Si hubiera dos perpendiculares a r que pasaran por P , formar´ un ıantri´ngulo con dos ´ngulos rectos, lo cual es imposible. a a
  • 27. 1.7. Perpendiculares 19 Observemos que si P es un punto exterior a una recta r y Q es el puntodonde la perpendicular a r por P corta a r, entonces P Q es menor que P R para a cualquier otro punto R de r. En efecto, el tri´ngulo P QR es rect´ngulo, y por ael teorema 1.50 el lado mayor es la hipotenusa P R.Teorema 1.55 Todo lado de un tri´ngulo es menor que la suma de los otros ados y mayor que su diferencia. ´ Demostracion: Consideremos un tri´ngulo ABC y tracemos la perpen- adicular por A a la recta BC. Distinguimos tres casos. 1) Si la perpendicular corta a BC en B o en C (por ejemplo en B), entoncesel tri´ngulo es rect´ngulo y BC es menor que la hipotenusa AC, y en particular a aes menor que AC + AB. 2) Si la perpendicular corta a BC fuera del segmento BC, digamos en unpunto P de modo que B est´ entre P y C, entonces BC < P C, que es el cateto ade un tri´ngulo rect´ngulo de hipotenusa AC, luego BC < AC < AC + AB. a a 3) Si la perpendicular corta a BC en un punto X entre B y C, entonces a a tenemos dos tri´ngulos rect´ngulos AXB y AXC, de hipotenusas AB y AC,luego BC ≡ BX + XC < AB + AC. La segunda propiedad es consecuencia de la primera. Si llamamos a, b y c alos tres lados y, por ejemplo, b ≤ c, entonces a + b > c implica a > c − b. Ahora pasamos a ocuparnos de la perpendicularidad entre rectas y planos.El resultado b´sico es el siguiente: aTeorema 1.56 Si una recta es perpendicular a dos rectas contenidas en unplano, entonces es perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano yque pasan por el punto de corte. A ´ Demostracion: Sea O el punto de corte entre la recta ❙ ❊▲ y el plano. Sea A otro punto de la recta y A0 el sim´trico e ❊ ▲❙ de A respecto a O (es decir, el que cumple AO ≡ OA0 ). ❊▲❙ Consideremos una recta cualquiera contenida en el plano que ❊ ▲ ❙ ❊ ▲ ❙ pase por O. Fijemos en particular una de sus semirrectas de O ❍❊ ▲ ❙ ´ origen O. Esta estar´ contenida en uno de los cuatro ´ngulos a a ❆ ❊❍❍ ° C en que las rectas de la hip´tesis dividen al plano. Digamos ▲✓ ✓ o ❆❊ ✡ D° ❆❊°✓ ✡ que este ´ngulo es BOC. Entonces la semirrecta corta al a ✁✡B ✓ segmento BC en un punto D. En estos t´rminos tenemos e ✁✡ ✓ [ que los ´ngulos AOB y AOC son rectos, y queremos probar a ✓ ✡ ✁ que AOD tambi´n lo es. e A0 Los tri´ngulos y A0 OC son iguales por el criterio LAL y lo mismo a AOC sucede con AOB y A0 OB. Esto implica que los tri´ngulos ABC y A0 BC tambi´n a e ı a son iguales, por el criterio LLL. De aqu´ pasamos a que los tri´ngulos ADB y
  • 28. 20 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıa A0 DB tambi´n son iguales, esta vez por el criterio LAL, lo que nos da finalmente e la igualdad de los tri´ngulos AOB y A0 OB, pues sus lados son iguales. Esto aimplica que los ´ngulos AOB a y A0 OB son iguales, a la vez que adyacentes, luegoson rectos. Como consecuencia inmediata obtenemos:Teorema 1.57 La uni´n de todas las rectas perpendiculares a una recta r que opasan por uno de sus puntos es un plano. ´ Demostracion: Sea P un punto de r. Consideremos dos planos que pasenpor r, tracemos en ellos sendas perpendiculares a r por P y sea π el plano quelas contiene. Entonces r es perpendicular a dos rectas de π, luego por el teoremaanterior es perpendicular a todas las rectas que pasan por P y est´n contenidas aen π. Falta probar que toda recta perpendicular a r por P est´ contenida en aπ. Sea s una de estas rectas. Entonces el plano que contiene a r y a s corta aπ en una recta que, seg´n sabemos, es perpendicular a r. Como en un mismo uplano s´lo puede haber una perpendicular, dicha intersecci´n es s, luego s est´ o o acontenida en π.Definici´n 1.58 Diremos que una recta es perpendicular a un plano π si lo ocorta en un punto P y es perpendicular a todas las rectas contenidas en π quepasan por P . El teorema anterior prueba que por cada punto de una recta pasa un unico ´plano perpendicular a la misma. El rec´ ıproco es f´cil de probar: aTeorema 1.59 Dado un plano π y un punto A, existe una unica recta perpen- ´dicular a π que pasa por A. ´ Demostracion: Supongamos primero que A est´ en π. Entonces consi- aderamos dos rectas perpendiculares contenidas en π que se corten en A. Susrespectivos planos perpendiculares se cortar´n en una recta que ser´ perpen- a adicular a las dos elegidas, luego a todas las de π. Supongamos ahora que A no est´ en π. Tomemos una recta cualquiera r acontenida en π, sea D el punto donde la perpendicular a r por A corta a r.Sean B y C puntos en r situados en semirrectas opuestas respecto a D. Seas la perpendicular a r por D contenida en π. Sea A0 el punto situado en el −→ −semiplano de frontera s complementario del que contiene a A y que hace DA0 −→ −forme el mismo ´ngulo con s que DA y adem´s DA0 ≡ DA. Sea O el punto en a aque AA0 corta a s (la figura de la prueba del teorema 1.56 ilustra tambi´n la esituaci´n actual). o o Por construcci´n ODA ≡ ODA0 , de donde ADB ≡ A0 DB y ADC ≡ AD0 C ≡ A0 BO(recordar que ambos son rect´ngulos). Por lo tanto tenemos que ABO a ≡ A0 CO, luego ambos son rect´ngulos, y as´ la recta AA0 es perpen-y ACO a ıdicular a OB y OC, luego a π.
  • 29. 1.8. El axioma de continuidad, c´ ırculos y circunferencias 211.8 El axioma de continuidad, c´ ırculos y circun- ferencias Para demostrar los hechos b´sicos sobre c´ a ırculos y circunferencias necesita-mos un axioma adicional que nos garantice la existencia de ciertos puntos deintersecci´n. Se trata del hecho siguiente: oAxioma D Supongamos que una recta r est´ dividida en dos partes disjuntas ano vac´ s1 y s2 con la propiedad de que si P y Q son puntos en si , entonces ıasP Q ⊂ si . Entonces s1 y s2 son dos semirrectas complementarias (salvo que auna de ellas le falta el origen, que s´lo pertenece a la otra). oDefinici´n 1.60 Dado un plano π, un punto O en π y un segmento r, llama- oremos c´ ırculo de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos P de π talesque OP ≤ r. Llamaremos circunferencia (lat. circumferre = ‘llevar alrededor’)de centro O y radio r en π al conjunto de todos los puntos P de π tales queOP ≡ r. Cada c´ırculo tiene asociada una circunferencia (la del mismo centro y radio),a la que se llama tambi´n su frontera. Los puntos del c´ e ırculo que no pertenecen ala circunferencia se llaman interiores, mientras que los puntos que no pertenecenal c´ ırculo se llaman puntos exteriores a ´l. e Tambi´n se llama radio de un c´ e ırculo o circunferencia a cualquier segmentoque una su centro con uno de los puntos de la circunferencia. Es claro que todoslos radios son congruentes entre s´ Un segmento que une dos puntos de una ı.circunferencia se llama cuerda de la misma. Una cuerda que pase por el centrose llama di´metro (gr. ‘medida transversal’). Es f´cil ver que un di´metro es a a aigual a dos veces el radio. Es f´cil ver que cada c´ a ırculo o circunferencia contiene al menos tres puntosno colineales, con lo que determina el plano que lo contiene, al que llamaremossu soporte. Veamos que tambi´n determinan su centro y su radio (´ste ultimo e e ´salvo congruencia): Dados dos puntos A y B en un plano π, la perpendicular (en π) al segmentoAB por su punto medio se llama mediatriz de AB. Es inmediato comprobar quela mediatriz de un segmento AB contiene exactamente a los puntos que equidis-tan de sus extremos, es decir, que cumplen AX ≡ BX. Por lo tanto, si unimosdos puntos de una circunferencia y trazamos la mediatriz del segmento obtenido,´sta pasa por su centro. Si tomamos tres puntos (no colineales) en la circunfe-erencia y hacemos lo mismo con dos pares de ellos, las rectas que obtendremosse cortar´n precisamente en el centro, luego ´ste est´ un´ a e a ıvocamente determi-nado por la circunferencia. As´ mismo, el radio es congruente con cualquier ısegmento que una el centro con un punto de la circunferencia, luego tambi´n eest´ determinado. a Por otra parte, un c´ ırculo determina su circunferencia (un punto P de unc´ ırculo est´ en su circunferencia si y s´lo si hay un segmento AB que lo contiene a o
  • 30. 22 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıade modo que los puntos de AP son interiores al c´ ırculo y los restantes sonexteriores). Concluimos que dos c´ ırculos o circunferencias (en un mismo plano)son iguales si y s´lo si tienen el mismo centro y sus radios son congruentes. o Estudiamos ahora las intersecciones entre rectas y circunferencias.Teorema 1.61 Sea ω un c´ ırculo y s una recta contenida en el plano soporte deω y que pase por un punto interior de ω. Entonces s corta a ω en un segmentoP Q, y a la circunferencia de ω s´lo en los puntos P y Q. o ´ Demostracion: Sea O el centro de ω y r su radio. Sea A el punto dondela perpendicular a s por O corta a s. Es claro que OA < OP para todo puntoP de s distinto de A, luego por hip´tesis OA < r. o Sea t una de las semirrectas en que A divide a s. Si s pasa por O el resultadoes inmediato. Supongamos lo contrario. Dividamos s en dos partes X e Y . Elconjunto X est´ formado por la semirrecta complementaria de t m´s aquellos a apuntos P en t tales que existe un punto Q posterior a P (desde A) de modoque OQ < r. El conjunto Y est´ formado por los puntos de s que no est´n a aen X. No es vac´ pues cualquier punto B sobre t tal que AB > 2r cumple ıo,OB > 2r − OA > r (por el teorema 1.55), luego est´ en Y . a Por la propia definici´n de X e Y es inmediato que cumplen las hip´tesis o o −→del axioma D. Por lo tanto existe un punto C tal que X es la semirrecta CA(salvo quiz´ el origen C). Es claro que C ha de estar en s. a Veamos que no puede ser OC < r ni OC > r, con lo que tendremos que Cest´ en la circunferencia. Si OC < r podemos tomar un punto D en s posterior a aC y de modo que CD < r − OC. El teorema 1.55 implica entonces que OD < r, −→con lo que todos los puntos entre C y D est´n en X = CA, lo cual es imposible. a Similarmente, si OC > r entonces tomamos D en s anterior a C y de modoque DC < OC − r. Entonces llegamos a que OD > r, luego cualquier puntoposterior a D cumple lo mismo, luego D est´ en Y y esto tambi´n es imposible. a e Aplicando lo anterior a las dos semirrectas en que A divide a s tenemos ques corta a la circunferencia en dos puntos P y Q. Notemos ahora que Si M y N son dos puntos de s al mismo lado de A, digamos A < M < N , entonces el tri´ngulo OM A es rect´ngulo, luego OM A es a a es obtuso, luego el teorema 1.50 implica queagudo, luego su adyacente OM NOM < ON . Esto prueba que s´lo P y Q est´n en la circunferencia y que P Q o aes la intersecci´n de s con ω. o Dada una recta s y un c´ ırculo ω de centro O y radio r (ambos en el mismoplano), consideramos el punto A donde la perpendicular a s por O corta a s.Como ya hemos notado antes, es claro que OA < OP para todo punto P de sdistinto de A. Por lo tanto, si OA < r tenemos que la intersecci´n de s con ω oes un segmento P Q, de modo que P y Q son los unicos puntos en com´n entre ´ us y la circunferencia de ω; si OA = r entonces A est´ en la circunferencia de ω ay todos los dem´s puntos de s son exteriores; y si OA > r, todos los puntos de as son exteriores.
  • 31. 1.8. El axioma de continuidad, c´ ırculos y circunferencias 23Definici´n 1.62 Diremos que una recta r es secante (lat. ‘que corta’) a una ocircunferencia ω si tienen dos puntos en com´n. Diremos que r es tangente u(lat. ‘que toca’) si tienen un punto en com´n y diremos que r es exterior a ω si uno tienen puntos en com´n. u Hemos probado que estas definiciones cubren todas las posibilidades. Tam-bi´n es claro lo siguiente: eTeorema 1.63 Por un punto de una circunferencia pasa una unica recta tan- ´ ´gente. Esta es concretamente la perpendicular al radio con extremo dicho punto.Ejercicio: Probar que los c´ ırculos son convexos.Ejercicio: Probar que una circunferencia no contiene tres puntos colineales.Ejercicio: Probar que por tres puntos no alineados pasa una unica circunferencia. ´Ejercicio: Probar que si una recta r es tangente a una circunferencia ω, entonces ωest´ contenida en un semiplano respecto a r. a Veamos ahora la intersecci´n entre dos circunferencias: oTeorema 1.64 Sean ω1 y ω2 circunferencias contenidas en un mismo plano,de centros respectivos O1 y O2 y radios r1 y r2 (con r1 ≤ r2 ). Entonces: 1. Si O1 O2 > r1 + r2 entonces ω1 y ω2 no tienen puntos en com´n ni sus u c´ ırculos tampoco. 2. Si O1 O2 = r1 + r2 entonces ω1 y ω2 tienen un unico punto en com´n, al ´ u igual que sus c´ ırculos. 3. Si r2 −r1 < O1 O2 < r1 +r2 entonces ω1 y ω2 tienen dos puntos en com´n. u 4. Si O1 O2 = r2 − r1 entonces ω1 y ω2 tienen un unico punto en com´n, y ´ u el c´ ırculo de ω1 est´ contenido en el de ω2 . a 5. Si O1 O2 < r2 −r1 entonces ω1 y ω2 no tienen puntos en com´n y el c´ u ırculo de ω1 est´ contenido en el de ω2 . a ´ Demostracion: Todos los casos son sencillos excepto el tercero. Sea A el −− −→punto de la semirrecta O1 O2 tal que O1 A ≡ r1 y sea B el punto de la semirrecta−− −→O2 O1 tal que O2 B ≡ r2 . Las hip´tesis garantizan que A est´ en el interior de ω2 o ay que B est´ en el interior de ω1 . Como los c´ a ırculos son convexos, el segmentoAB est´ en la intersecci´n de ambos. Fijamos un semiplano respecto a la recta a oO1 O2 . Para cada punto P de AB la semirrecta de origen P , contenida en elsemiplano elegido y perpendicular a O1 O2 parte de un punto en ambos c´ ırculos,luego corta a las circunferencias ω1 y ω2 en dos puntos C1 y C2 , respectivamente.Llamaremos X al conjunto de todos los puntos P de AB para los que existe unpunto Q tal que A ≤ P < Q < B y QC1 ≤ QC2 , m´s los puntos de la semirrecta a
  • 32. 24 Cap´ ıtulo 1. La geometr´ absoluta ıade origen A que no contiene a B. Llamaremos Y al conjunto de puntos de larecta AB que no est´n en X. El conjunto Y no es vac´ pues contiene todos a ıo,los puntos posteriores a B desde A. Es inmediato que se cumplen las hip´tesis del axioma D, luego X e Y son osemirrectas de origen un punto M , que claramente tiene que estar en AB. Vamosa probar que para este M se cumple C1 = C2 . Supongamos que M C1 < M C2 . Sea s la tangente a ω1 por C1 , sea R un punto entre C1 y C2 . Sea t una rectaque pase por R y corte a la recta AB en cualquier punto distinto de M . Entoncest corta a ω2 en dos puntos K y L, de modo que los puntos del segmento KLdistintos de sus extremos son interiores a ω2 . Sea S un punto de este segmentoque est´ en el mismo semiplano que B respecto a M R y que sea anterior a un eeventual corte entre KL y la tangente s. Tracemos desde S la perpendicular aAB, que cortar´ a esta recta en un punto Q. Como las rectas M R y SQ tienen auna perpendicular com´n (AB) no pueden cortarse (o formar´ un tri´ngulo u ıan acon dos ´ngulos rectos). Esto implica que Q est´ entre M y B. Ahora notamos a aque el segmento RS no corta a s, luego S est´ en el mismo semiplano que S arespecto a s, es decir, en el semiplano opuesto a M , o sea, en el que no est´ ω2 . a −→Por lo tanto QS corta a ω1 antes de llegar a S, pero como S es interior a ω2 , − →resulta que QS corta a ω2 despu´s de llegar a S, o sea, M C1Q < M C2Q . Por econsiguiente cualquier punto entre M y Q est´ en X, lo cual es imposible. a El mismo argumento prueba que si M C2 < M C1 existe un punto Q entre Ay M de modo que todos los puntos entre Q y M cumplen la misma desigualdad,con lo que est´n en Y y esto tambi´n es contradictorio. a e Concluimos que existe un punto de intersecci´n entre las dos circunferencias oen el semiplano seleccionado en un principio. Cambiando de semiplano obtene-mos otro m´s. La unicidad es inmediata, pues dos puntos de corte en el mismo asemiplano dar´ lugar a dos tri´ngulos distintos con lados iguales, uno de ellos ıan acom´n y ambos en el mismo semiplano respecto a ´l, lo cual es imposible. u e C2 ω2 ω1 K S R L C1 t s A M Q B Una consecuencia inmediata del teorema anterior es el resultado siguientesobre existencia de tri´ngulos: aTeorema 1.65 Sean r1 , r2 y r3 tres segmentos que cumplan las desigualdadesr2 ≤ r3 y r3 − r2 < r1 < r2 + r3 (o simplemente r1 < r2 + r3 si r2 = r3 ).Entonces existe un tri´ngulo de lados r1 , r2 y r3 . a
  • 33. 1.8. El axioma de continuidad, c´ ırculos y circunferencias 25 ´ Demostracion: Tomamos un segmento AB igual a r1 . Por el teoremaanterior, la circunferencia de centro A y radio r1 corta a la circunferencia decentro B y radio r2 en un punto C que nos da el tri´ngulo buscado. aEjercicio: Usar el axioma D para probar que por un punto exterior a una circunfe-rencia pasan dos tangentes a la misma.
  • 34. Cap´ ıtulo IIMedida de segmentos,´ngulos y arcosa Dedicamos este cap´ ıtulo a introducir y desarrollar unos conceptos muy in-tuitivos, pero tambi´n muy t´cnicos. De hecho se trata de un punto en el que e ela intuici´n ‘enga˜a’ un poco, pues una cuesti´n aparentemente muy simple en- o n ocierra una sutileza. Se trata del concepto de medida de un segmento. En laconcepci´n de la geometr´ que ten´ los griegos retresentaba un papel muy o ıa ıanimportante la noci´n de proporci´n o raz´n entre dos segmentos. La idea es que o o ola raz´n de dos segmentos u y v es, por ejemplo, 4 : 7 si al dividir el segundo en osiete partes iguales y sumar cuatro de estas partes obtenemos un segmento igualal primero. En t´rminos de medidas esto significa que si tomamos a v como uni- edad de medida, entonces u mide 4/7 unidades. Los griegos supon´ que todo ıansegmento puede medirse de este modo con respecto a una unidad prefijada o,dicho de otro modo, que dados dos segmentos siempre guardan una determi-nada raz´n entre s´ Aqu´ veremos que esto no es as´ cosa que los griegos nunca o ı. ı ı,llegaron a asimilar.2.1 Longitud de segmentos. N´ meros reales u El primer paso para detallar las ideas que acabamos de exponer es, natural-mente, probar que es posible dividir segmentos en partes iguales.Teorema 2.1 Para todo n´mero natural n ≥ 2, todo segmento se puede dividir uen n partes iguales. ´ Demostracion: Sea AB un segmento contenido en una recta r. Llamamos − −→X al conjunto formado por la semirrecta complementaria de AB m´s los puntos aP de AB tales que n AP < AB. Sea Y el conjunto de los puntos de r que noest´n en X. Es obvio que se cumplen las hip´tesis del axioma D, luego existe a oun punto C en r tal que X e Y son semirrectas de origen C. Veamos quen AC ≡ AB. 27
  • 35. 28 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, ´ngulos y arcos a Supongamos que n AC < AB. Sea entonces D un punto entre A y B talque n AC ≡ AD. Sea m un n´mero natural tal que 2m > n. Sea u el segmento uque resulta de dividir m veces por la mitad el segmento DB. Entonces tenemosnu < 2m u = DB. En particular u < CB, luego podemos tomar un punto E enCB tal que CE ≡ u. As´ ı, n AE ≡ n AC + n CE < AD + DB ≡ AB.Esto significa que E est´ en X, pero es posterior a C, lo cual es imposible. De amodo similar se prueba que n AC > AB lleva a contradicci´n. Por lo tanto on AC = AB. Aunque la medida de ´ngulos la abordaremos cuando hayamos acabado con ala de segmentos, la similitud de las pruebas aconseja incluir aqu´ este teorema: ıTeorema 2.2 Para todo n´mero natural n ≥ 2, todo ´ngulo se puede dividir u aen n partes iguales. ´ Demostracion: El teorema es cierto incluso para ´ngulos llanos, pero apodemos reducir este caso al de ´ngulos menores del modo siguiente: Para adividir un ´ngulo llano en n partes dividimos un ´ngulo recto en n partes y a atomamos el doble del resultado. As´ pues, partamos de un ´ngulo en sentido ı a Cada punto P del segmento AB distinto de A determinaestricto L = AOB. a [un ´ngulo LP = AOP contenido en L y, rec´ ıprocamente, todo ´ngulo contenido a −→en L con un lado igual a OA es de la forma LP . Adem´s, si A < P < Q ≤ B, a −−→entonces el ´ngulo LQ contiene a OP , luego es mayor que LP . Esto implica, am´s en general, que P <AB Q si y s´lo si LP < LQ . a o A partir de aqu´ la prueba sigue el mismo argumento que la del teorema ıanterior. Tomamos como X el conjunto de los puntos de la semirrecta comple- −− →mentaria a AB m´s los puntos P de AB tales que nLP < L. El conjunto Y aest´ formado por los puntos de la recta AB que no est´n en X, bien porque a anLP ≥ L, bien porque LP no se puede sumar n veces consigo mismo. Es f´cil ver que se cumplen las hip´tesis del axioma D, con lo que obtenemos a oun punto C de manera que X es una semirrecta de origen C. Veamos que existenLC . Dividiendo por la mitad el suplementario de L un n´mero suficiente de veces u(los detalles son los mismos que en el teorema anterior) encontramos un ´ngulo aM tal que nM sea menor que dicho suplementario (y podemos exigir que seamenor que LC ). Existe un punto P <AB C tal que LC − M ≡ LP , luego Pest´ en X y por lo tanto existe n(LC − M ) < L, y como nM es menor que el asuplementario de L, tambi´n existe n(LC − M ) + nM ≡ nLC . A partir de aqu´ e ı,la prueba de que nLC ≡ L es formalmente id´ntica a la del teorema anterior. e La definici´n de la medida de un segmento descansa fuertemente en la pro- opiedad siguiente, que nos permitir´ eludir la existencia de una raz´n respecto a a ouna unidad.
  • 36. 2.1. Longitud de segmentos. N´meros reales u 29Teorema 2.3 (Propiedad de Arqu´ ımedes) Para todo par de segmentos uy v existe un n´mero natural n tal que nu > v. u ´ Demostracion: Podemos suponer que u = AB y v = AC, as´ como que ıambos est´n sobre una misma semirrecta s de origen A. Supongamos que el aresultado es falso, es decir, que nu < v para todo n´mero natural n (observemos uque si se diera la igualdad para un n, entonces n + 1 cumplir´ el teorema. Para ıacada n, sea An el punto de s que cumple que AAn ≡ nu. Llamemos X alconjunto de todos los puntos de la semirrecta complementaria a s m´s los P apuntos de s que cumplen P <AB An para alg´n n. Sea Y el conjunto de los upuntos de s que no est´n en X (por ejemplo C). Es evidente que se cumplen alas hip´tesis del axioma D, luego existe un punto D en s de modo que X e oY son las semirrectas de origen D. Sea E un punto de s tal que ED ≡ u.Entonces E < ABD, luego E ha de estar en X. Por consiguiente existe unn´mero n tal que E < ABAn , lo que significa que AE < AAn ≡ nu, de donde uAD ≡ AE + ED < nu + u = (n + 1)u ≡ AAn+1 , pero entonces An+1 es unpunto de X posterior a D, lo cual es contradictorio. La propiedad de Arqu´ ımedes puede leerse como que todo segmento puedehacerse arbitrariamente grande sum´ndolo consigo mismo un n´mero suficiente a ude veces, pero tambi´n implica claramente que todo segmento se puede hacer earbitrariamente peque˜o dividi´ndolo en un n´mero suficiente de partes iguales. n e uA su vez de aqu´ se sigue que si dividimos un segmento en partes suficientemente ıpeque˜as y sumamos un n´mero adecuado de ´stas, podemos formar un seg- n u emento igual a cualquier otro prefijado con un error menor que la longitud delas partes que empleamos, es decir, con un error tan peque˜o como se desee. nNuestra definici´n de medida de segmentos se basar´ en este hecho. o aDefinici´n 2.4 Dado un segmento u y un n´mero racional positivo p/q, llama- o uremos (p/q)u al segmento que resulta de dividir u en q partes iguales y sumarp de ellas. Claramente (p/q)u est´ definido salvo congruencia. La simplificabilidad de ala suma de segmentos permite probar por argumentos puramente algebraicosque la definici´n no depende de la fracci´n escogida como representante del o on´mero racional, as´ como que se cumplen las propiedades siguientes: u ı 1. (rs)u ≡ r(su), r(u + v) ≡ ru + rv, (r + s)u ≡ ru + su, 2. Si ru ≡ rv entonces u ≡ v, 3. Si ru ≡ su, entonces r = s, 4. Si r < s entonces ru < su, 5. Si u < v entonces ru < rv,para todos los n´meros racionales positivos r, s y todos los segmentos u y v. u En estos t´rminos, que la raz´n entre dos segmentos u y v sea un n´mero e o uracional positivo r significa que u = rv. Con esto podemos hacer una primera
  • 37. 30 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, ´ngulos y arcos aaproximaci´n al problema de la medida. Tomemos una recta cualquiera y en oella fijemos dos puntos arbitrarios P0 y P1 . Entonces a cada n´mero racional u −− −→positivo r le podemos asignar un´ ıvocamente un punto Pr de la semirrecta P0 P1 ,a saber, el unico que cumple P0 Pr ≡ r P0 P1 . Es util convenir en asignar a los ´ ´n´meros racionales negativos puntos en la semirrecta complementaria, de modo uque si r < 0 entonces Pr est´ determinado por la relaci´n P0 Pr ≡ −r P0 P1 . a o · · · −3 −2 −1 − 1 0 5 1 3 2 2 3 ··· Es importante notar que esta asignaci´n de n´meros racionales a algunos o upuntos de una recta depende de la elecci´n arbitraria de los puntos P0 y P1 o, oen otros t´rminos, de la elecci´n de P0 , de la unidad de medida u = P0 P1 y de la e oorientaci´n de la recta (es decir, de la semirrecta que tomamos como positiva). oCuando en una recta hemos hecho estas elecciones, diremos que tenemos unarecta graduada. Si en una recta graduada consideramos el orden para el cualP0 < P1 , entonces el orden en Q se corresponde claramente con el orden de larecta. El problema es que no todo punto de la recta tiene asignado un n´mero uracional. Sin embargo tenemos lo siguiente:Teorema 2.5 Si P y Q son dos puntos distintos de una recta graduada, existeun n´mero racional r tal que P < Pr < Q. u ´ Demostracion: Si P y Q est´n en semirrectas distintas respecto a P0 es aobvio. Podemos suponer que P0 < P < Q. El caso contrario es an´logo. Sea au = P0 P1 y v = P Q. Por la propiedad de Arqu´ ımedes existe un n´mero natural un tal que u < nv o, equivalentemente, (1/n)u < v. De nuevo por la propiedadde Arqu´ımedes existe un n´mero m tal que (m/n)u > P0 P . Podemos tomar el um´ınimo que cumpla esto. Entonces m−1 m 1 u ≤ OP , luego u < P0 P + u < P0 P + P Q = P0 Q. n n nPor consiguiente si llamamos r = m/n tenemos que P0 P < Pr < P0 Q, es decir,P < Pr < Q. La idea clave para definir la medida de un segmento es la siguiente: medirun segmento s con respecto a una unidad u significa cuantificar c´mo es de ogrande s supuesto que sabemos c´mo es de grande u. En el mejor de los casos oesta informaci´n puede codificarse con un n´mero racional, pero si no es as´ o u ı,para conocer el tama˜o relativo de un segmento s con respecto a v es suficiente nsaber qu´ n´meros racionales r hacen que ru < s y qu´ n´meros racionales e u e uhacen ru ≥ s. Equivalentemente, si situamos a s en una recta graduada con launidad u y con un extremo en P0 , el problema es saber entre qu´ puntos Pr se eencuentra el otro extremo de s.
  • 38. 2.1. Longitud de segmentos. N´meros reales u 31 En t´rminos puramente conjuntistas, para conocer exactamente la posici´n e oen una recta graduada de un punto P es suficiente conocer el conjunto αP = {r ∈ Q | Pr < P }. Ahora veremos que podemos tratar a cada uno de estos conjuntos de n´meros uracionales como a un solo n´mero. La definici´n siguiente recoge las propiedades u oesenciales de los conjuntos αP .Definici´n 2.6 Una secci´n inicial abierta de Q es un subconjunto α ⊂ Q que o ocumpla: 1. Si r ∈ α y s ≤ r entonces s ∈ α. 2. Si r ∈ α existe un s ∈ α tal que r < s.Llamaremos R al conjunto de todas las secciones iniciales abiertas en Q. Es f´cil probar que los conjuntos αP que hemos definido son secciones inicia- ales abiertas que cumplen dos propiedades m´s: no son vac´ (pues hay puntos a ıasanteriores a P ) y no contienen a todos los n´meros racionales (pues hay puntos uposteriores). Definimos ±∞ ∈ R como −∞ = ∅ y +∞ = Q. Llamaremos conjunto de losn´meros reales a R = R {±∞}. uTeorema 2.7 Se cumplen las propiedades siguientes: 1. R es un conjunto totalmente ordenado por la inclusi´n con m´ o ınimo −∞ y m´ximo +∞. a 2. Todo subconjunto de R tiene supremo e ´ ınfimo. 3. R es un conjunto totalmente ordenado sin m´ximo ni m´ a ınimo. 4. Si un subconjunto no vac´ de R est´ acotado superiormente tiene su- ıo a premo, y si est´ acotado inferiormente tiene ´ a ınfimo. ´ Demostracion: 1) La inclusi´n es claramente un orden parcial. S´lo falta o over que en este caso es total. Sean α, β ∈ R. Supongamos α 6= β, por ejemplo, supongamos que existeb ∈ β α. Si a ∈ α entonces a < b (o si no b ∈ α), de donde a ∈ β. Esto prueba que α ⊂ β, es decir, α ≤ β. Por lo tanto R est´ totalmente aordenado. 2) Sea S un subconjunto de R. Es inmediato comprobar que [ α∈R α∈Sy es obviamente el supremo de S. El ´ ınfimo de S no es sino el supremo delconjunto de sus cotas inferiores.
  • 39. 32 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, ´ngulos y arcos a 3) Si α ∈ R entonces α 6= +∞, luego existe un n´mero racional r ∈ Q α. uEs f´cil ver que si r < s ∈ Q, el conjunto β = {t ∈ Q | t < s} es un n´mero real a utal que α < β. Por lo tanto R no tiene m´ximo. a Si α ∈ R, entonces α 6= −∞, luego existe un n´mero racional r ∈ α. Si us ∈ Q y s < r, entonces el conjunto β = {t ∈ Q | t < s} es un n´mero real tal uque β < α. Por lo tanto R no tiene m´ ınimo. 4) Un subconjunto de R no vac´ y acotado superiormente tiene supremo en ıoR, como no es vac´ el supremo no es −∞, como tiene una cota en R tampoco ıoes +∞, luego tiene supremo en R. An´logamente con ´ a ınfimos. Ahora podemos probar:Teorema 2.8 La aplicaci´n que a cada punto P de una recta graduada le asigna oel n´mero real αP es una biyecci´n entre la recta y el conjunto de los n´meros u o ureales. Adem´s conserva el orden. a ´ Demostracion: Veamos que αP es un n´mero real. En efecto: si r ∈ αP uy s ≤ r entonces Ps ≤ Pr < P , luego s ∈ αP . Si r ∈ αP entonces Pr < P , luego hay un n´mero s tal que Pr < Ps < P , uluego r < s y s ∈ αP . Como existen puntos a la izquierda de P , tambi´n existen n´meros racionales e ur tales que Pr < P , con lo que αP 6= ∅, similarmente existen n´meros r tales uque P < Pr , con lo que r ∈ αP , luego αP 6= Q. / Si P < Q existe un n´mero racional r tal que P < Pr < Q. Esto se traduce uen que r ∈ αQ y r ∈ αP , luego αP 6= αQ y es obvio que αP ⊂ αQ . Por lo tanto /αP < αQ . Esto prueba en particular que la correspondencia es inyectiva. Sea ahora un n´mero real α. Vamos a probar que tiene un punto asociado uen a recta. Sea X el conjunto de todos los puntos Q de la recta graduada talesque P < Pr para alg´n r ∈ α. Sea Y el conjunto de todos los puntos de la recta uque no est´n en X. Es f´cil ver que podemos aplicar el axioma D y obtener un a apunto P que claramente cumple α = αP . Consideremos una recta graduada y un n´mero racional r. El punto Pr utiene asignado por una parte el n´mero real r y por otra parte el n´mero real u uformado por todos los n´meros racionales menores que r. Podemos conciliar esta uduplicidad identificando ambos n´meros de acuerdo con el teorema siguiente: uTeorema 2.9 La aplicaci´n i : Q −→ R dada por o i(r) = {s ∈ Q | s < r}es inyectiva y conserva el orden. Si identificamos Q con su imagen en R, entredos n´meros reales hay siempre un n´mero racional. u u Demostracion: Es inmediato que i(r) ∈ R. Si r, s ∈ Q con r < s, entonces ´existe un t ∈ Q tal que r < t < s, de donde resulta que t ∈ i(s) i(r). Comoobviamente i(r) ⊂ i(s), concluimos que i(r) < i(s). Esto prueba que i es inyectiva y creciente.
  • 40. 2.1. Longitud de segmentos. N´meros reales u 33 Si α < β, existir´ b ∈ β α. Sean r, s ∈ β tales que b < r < s. Entonces atodo a ∈ α es menor que r, luego α ≤ i(r). As´ mismo todo t < r est´ en β, ı aluego i(r) ≤ β. Las desigualdades son estrictas pues b ∈ i(r) α y s ∈ β i(r). En lo sucesivo consideraremos a los n´meros racionales como parte de los un´meros reales a trav´s de la aplicaci´n que acabamos de definir. Ahora po- u e odemos generalizar la noci´n de raz´n entre dos segmentos de modo que sea o oaplicable a cualquier par de ellos.Definici´n 2.10 Dado un segmento u = AB y un n´mero real α > 0, definimos o uel segmento α u como el segmento AP α , donde Pα es el punto asociado a α enla prolongaci´n de u cuando la graduamos tomando origen A, unidad u y la oorientaci´n de modo que B sea positivo. o Si en particular v = r u para un n´mero racional r > 0, tenemos que en uuna recta graduada v ≡ P0 P , donde αP = {s ∈ Q | s < r}. Esto significa quePs < P si y s´lo si s < r, lo que s´lo es posible si P = Pr (por el teorema 2.5). o oPor la definici´n de Pr tenemos que v ≡ r u en el sentido de 2.4. Acabamos de oprobar que ambas definiciones coinciden sobre los n´meros racionales. u Es inmediato que si 0 < α < β entonces α u < β u. Junto con lo anterior,esto permite probar f´cilmente que la definici´n de α u depende s´lo de la clase a o ode congruencia de u. En efecto, si u ≡ v pero α u < α v, existe un n´mero uracional r tal que α u < ru < α v, pero entonces α < r, luego α v < rv ≡ ru, locual es absurdo.Teorema 2.11 Para todos los segmentos u, v y todos los n´meros reales posi- utivos α, β se cumple: 1. Si α < β entonces α u < β u, 2. Si u < v entonces α u < α v, 3. α(u + v) ≡ α u + α v. ´ Demostracion: La primera propiedad ya est´ probada (es otra forma de aexpresar que la correspondencia entre n´meros reales y puntos de una recta uconserva el orden). La segunda es una consecuencia de la tercera, pues si u < ventonces v ≡ u + w, luego α u < α u + α w ≡ αv. Para probar la tercera propiedad observemos en general que si α u < ventonces v ser´ de la forma v ≡ β u, con β > α, luego existir´ un r > α a a(y menor que β) de modo que ru < v, e igualmente si las desigualdades sonopuestas. Supongamos que α(u + v) < α u + α v. Entonces existe un n´mero racional ur > α tal que r(u + v) < α u + α v, pero r(u + v) ≡ ru + rv > α u + α v. Sipor el contrario α(u + v) > α u + α v existir´ un n´mero racional r < α tal que a uα u + α v < r(u + v), pero r(u + v) ≡ ru + rv < α u + α v. As´ pues, se ha de ıdar la igualdad.
  • 41. 34 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, ´ngulos y arcos a Si v = α u, diremos tambi´n que la proporci´n que guardan v y u es α. Lo e orepresentaremos por v = α. u Un planteamiento alternativo es fijar un segmento u como unidad de longitudy decir que la longitud de v es α. Es claro que dos segmentos son congruentes si y s´lo si tienen la misma olongitud medida con la misma unidad. Definimos la distancia entre dos puntos P y Q como la longitud del seg-mento P Q. La distancia es, pues, relativa a la unidad de longitud utilizada.Convenimos adem´s que la distancia de un punto a s´ mismo es 0. a ı En estos t´rminos podemos decir, por ejemplo, que una circunferencia est´ e aformada por los puntos equidistantes de su centro. Es muy importante notar que la construcci´n de los n´meros reales a partir o ude los n´meros racionales es puramente conjuntista, es decir, no se basa en los uaxiomas geom´tricos que estamos estudiando. As´ pues, tenemos un modelo e ıconjuntista del concepto geom´trico de recta. Se trata del primer paso en la einmersi´n de la geometr´ en la teor´ de conjuntos. o ıa ıa Vamos a definir una suma de n´meros reales de manera que la longitud de uuna suma de segmentos ser´ la suma de sus longitudes. aDefinici´n 2.12 Dados α, β ∈ R, definimos o α + β = sup{r + s | r, s ∈ Q, r < α, s < β}.Ciertamente tenemos que α + β ∈ R.Teorema 2.13 Se cumple: 1. (R, +) es un grupo abeliano. 2. La suma + restringida a Q es la suma usual en Q. 3. Si α ≤ β entonces α + γ ≤ β + γ. 4. Se cumple α > 0 si y s´lo si −α < 0. o ´ Demostracion: Notemos en general que para probar que dos n´merosureales α y β son iguales es suficiente probar que todo n´mero racional x que ucumple x < α cumple tambi´n x ≤ β y viceversa. e Si x ∈ Q, x < (α + β) + γ, entonces existen y, t ∈ Q tales que x < y + t,y < α + β, t < γ, luego existen r, s ∈ Q, tales que y < r + s, r < α, s < β, luegos + t < β + γ y x < r + (s + t) < α + (β + γ). Similarmente se recorre el caminocontrario, luego (α + β) + γ = α + (β + γ). Es obvio que la suma es conmutativa.
  • 42. 2.1. Longitud de segmentos. N´meros reales u 35 Veamos que α + 0 = α. Si x ∈ Q, x < α + 0 existen r, s ∈ Q tales quex < r + s, r < α, s < 0, luego x < r + s < r < α. As´ mismo, sir ∈ Q, r < α ıentonces existe un s ∈ Q tal que r < s < α, con lo que r = s + (r − s) < α + 0. Dado un n´mero real α, definimos u −α = sup{−r | r ∈ Q, α < r}.Una cota superior del conjunto es −s, donde s ∈ Q, s < α, luego −α es unn´mero real. Veamos que α + (−α) = 0. u Si x ∈ Q, x < α + (−α) entonces existen r, s ∈ Q tales que x < r + s, ıprocamente, si x ∈ Q, x < 0, tomamosr < α, −s > α, luego x < r + s < 0. Rec´n´meros racionales x < −u < 0 y v < α. Entonces la sucesi´n v+nu sobrepasar´ u o a(un n´mero racional mayor que) α para alg´n natural n, que podemos tomar u um´ınimo. As´ obtenemos un n´mero r < α tal que s = r + u > α (si r + u = α ı ucambiamos u por un n´mero mayor que siga cumpliendo x < −u < 0). Entonces ux < −u = r − s < α + (−α). Dados u, v ∈ Q, si x ∈ Q cumple x < i(u) + i(v) entonces existen r, s ∈ Qtales que x < r + s, r < u, s < v, luego x < u + v, luego x < i(u + v). Six < i(u + v) tomamos r ∈ Q tal que 0 < r < (u + v − x)/2, de modo quex < (u − r) + (v − r) < i(u) + i(v). Por lo tanto i(u + v) = i(u) + i(v). Si r < α y s < γ son n´meros racionales y α ≤ β, entonces r + s ≤ β + γ upor definici´n de suma, luego tomando el supremo, α + γ ≤ β + γ. o La propiedad 4 se sigue sin dificultad de la definici´n de −α. o La interpretaci´n geom´trica de la suma de n´meros reales est´ expresada o e u aen la relaci´n siguiente, seg´n la cual la longitud de una suma de segmentos es o ula suma de las longitudes.Teorema 2.14 Si α y β son n´meros reales positivos y u es un segmento, uentonces (α + β)u ≡ α u + β u. ´ Demostracion: Sea α u + β u = γ u. Hay que ver que γ = α + β. Sir < α y s < β son n´meros racionales positivos, entonces (r + s)u ≡ ru + su < uα u + β u ≡ γ, luego r + s < γ, lo que prueba que α + β ≤ γ. Si fuera α + β < γsea δ > 0 tal que γ = α + β + δ (existe por la propiedad 3 del teorema anterior).Sea r ∈ Q tal que 0 < r < δ. Tomemos n´meros racionales s y t tales que uα < s < α + r/2 y β < t < β + r/2. Entonces α u + β u < su + tu ≡ (s + t)u < (α + β + r)u < (α + β + δ)u ≡ α u + β u,con lo que tenemos una contradicci´n. Por consiguiente se da la igualdad. o Los n´meros reales negativos tambi´n tienen su interpretaci´n geom´trica u e o een t´rminos de las rectas graduadas. eEjercicio: Probar que si Pα es el punto de una recta graduada que se correspondecon el n´mero real α, entonces P0 P α ≡ P0 P −α , es decir, que los puntos asociados a un´meros opuestos son los ‘sim´tricos’ respecto al punto P0 . u e
  • 43. 36 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, ´ngulos y arcos a Si tomamos dos unidades de longitud, por ejemplo el metro y el cent´ ımetro,para expresar en cent´ımetros una longitud dada en metros hemos de multiplicarpor 100, debido a que 1m = 100 cm. En general, si tenemos dos unidades u yv, para expresar en t´rminos de v la longitud de un segmento dada en t´rminos e ede u necesitamos conocer la longitud de u en t´rminos de v, es decir, el n´mero e uβ que cumple u = β v. Entonces, si s = α u, tendremos tambi´n s = αβ v, de emodo que la longitud de s en t´rminos de v se obtiene multiplicando por β su elongitud en t´rminos de u. Todo esto es f´cil de probar si las longitudes son e atodas racionales, pero si no es as´ ni siquiera tenemos definido el producto αβ. ıVamos a definir un producto de n´meros reales que d´ sentido a estas f´rmulas. u e oDefinici´n 2.15 Si α y β son n´meros reales positivos definimos o u αβ = sup{rs | r, s ∈ Q, 0 < r < α, 0 < s < β}.El producto de dos n´meros reales no nulos se define por las relaciones: u  ° ¢  −°(−α)β ¢ si α < 0, β > 0, αβ = − α(−β) si α > 0, β < 0,  (−α)(−β) si α < 0, β < 0.Finalmente, si α = 0 o β = 0 definimos αβ = 0.Teorema 2.16 Se cumple: 1. (R, +, ·) es un cuerpo que contiene a Q como subcuerpo. 2. Si α ≥ 0 y β ≥ 0 entonces αβ ≥ 0. ´ Demostracion: La prueba de que los n´meros reales positivos forman un ugrupo con el producto se obtiene reemplazando literalmente sumas por produc-tos en la prueba que hemos visto de que R es un grupo con la suma. Despu´s las epropiedades se trasladan formalmente a n´meros reales arbitrarios a partir de ula definici´n de producto. Del mismo modo se ve que el producto en R extiende oal producto en Q, y la ultima propiedad es trivial. S´lo queda comprobar que ´ ola suma distribuye al producto. Tomemos en primer lugar α, β, γ > 0 y veamos que α(β + γ) = αβ + αγ. Si r ∈ Q cumple 0 < r < α(β + γ), entonces existen u, v ∈ Q positivos ytales que r < uv, u < α, v < β + γ, luego existen x, y ∈ Q positivos tales quev < x + y, x < β, y < γ. Entonces r < u(x + y) = ux + uy ≤ αβ + αγ. Si 0 < r < αβ + αγ entonces existen u, v ∈ Q positivos tales que x < u + v,u < αβ, v < αγ. A su vez existen a, b, c, d ∈ Q positivos de modo quex < ab + cd, a < α, b < β, c < α, d < γ. Sea e = m´x a, c. Entonces e < α y ax < eb + ed = e(b + d) < α(β + γ). Esto prueba la igualdad. ° ¢ Si β + γ ≥ 0, β ≥ 0, γ < 0, entonces αβ = α (β + γ) − γ = α(β + γ) + α(−β)(puesto que β + γ ≥ 0 y −γ ≥ 0), de donde α(β + γ) = αβ + αγ. Los dem´s acasos se siguen formalmente de ´stos dos. e Las propiedades siguientes son consecuencias inmediatas de los teoremasanteriores:
  • 44. 2.1. Longitud de segmentos. N´meros reales u 37 1. Si α ≤ β entonces −β ≤ −α. 2. Para todo α ∈ R, α2 ≥ 0. 3. Si α ≤ β y γ ≥ 0 entonces αγ ≤ βγ. 4. Si 0 < α < β, entonces 0 < β −1 < γ −1 . Tambi´n podemos probar la propiedad geom´trica que hab´ e e ıamos anunciado: Si α y β > 0 y u es un segmento, entonces α(β u) ≡ (αβ)u. Equivalente-mente, s s v = . u v u En efecto, un segmento s es menor que α(β u) si y s´lo si s < r(β u) para ocierto r < α, si y s´lo si (1/r)s < β u para cierto r < α, si y s´lo si (1/r)s < r0 u o opara ciertos r < α y r0 < β, si y s´lo si s < rr0 u para ciertos r < α y r0 < β, si oy s´lo si s < r00 u para cierto r00 < αβ, si y s´lo si s < (αβ)u. De aqu´ se sigue o o ıobviamente la igualdad. Para terminar con los resultados b´sicos sobre longitud de segmentos demos- atramos una caracterizaci´n sencilla que nos ser´ util en el cap´ o a´ ıtulo pr´ximo. oTeorema 2.17 Sea m una aplicaci´n que a cada segmento le asigna un n´mero o ureal positivo y que cumpla las propiedades siguientes: 1. Si u ≡ v entonces m(u) = m(v), 2. Para todo par de segmentos u, y v se cumple m(u + v) = m(u) + m(v).Entonces, para todo par de segmentos u, v se cumple m(v) v = . m(u) u ´ Demostracion: Para todo n´mero natural q se cumple por hip´tesis que u om(qx) = qm(x), y si aplicamos esto a x = u/q tenemos que m(u) = qm(u/q), oequivalentemente m(u/q) 1 = . m(u) qMultiplicando esta igualdad por un n´mero natural p obtenemos, para cualquier un´mero racional positivo r = p/q, que u m(ru) = r. m(u)Si dos segmentos cumplen x < y, entonces existe un segmento z tal que y = x+z,luego m(x) < m(x) + m(z) = m(y). Por lo tanto, si α es un n´mero real uarbitrario y r, s son n´meros racionales tales que r < α < s tenemos u m(ru) m(αu) m(ru) r= < < = s. m(u) m(u) m(u)
  • 45. 38 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, ´ngulos y arcos aComo esto es v´lido para todo r y todo s, ha de ser a m(αu) = α. m(u)Expresando v ≡ α u tenemos la relaci´n buscada. o Lo que afirma este teorema es que si una aplicaci´n m cumple las propiedades oindicadas, tomamos una unidad de longitud u y llamamos k = m(u), entoncesm asigna a cada segmento su longitud multiplicada por k.2.2 Complementos sobre n´ meros reales u Recogemos aqu´ algunos conceptos y propiedades adicionales sobre los n´- ı umeros reales que acabamos de construir y que a menudo resultan utiles. ´Definici´n 2.18 Llamaremos R+ al conjunto de los n´meros reales positivos o u(mayores que 0), llamaremos R− al conjunto de los n´meros reales negativos u(menores que 0). Definimos el signo de un n´mero real α como u   +1 si α > 0 sig α = 0 si α = 0  −1 si α < 0 Llamaremos valor absoluto o m´dulo de un n´mero real α al n´mero o u u Ω α si α ≥ 0 |α| = −α si α ≤ 0 La demostraci´n de las propiedades siguientes no ofrece ninguna dificultad: o 1. |α| ≥ 0, 2. |α| = | − α|, 3. |α| ≤ β si y s´lo si −β ≤ α ≤ β, o 4. |α + β| ≤ |α| + |β|, Ø Ø 5. Ø|α| − |β|Ø ≤ |α − β|, 6. |αβ| = |α||β|. Todo n´mero real α est´ comprendido entre dos n´meros enteros. Llamare- u a umos parte entera del n´mero α al unico n´mero E[α] que cumple: E[α] ∈ Z y u ´ uE[α] ≤ α < E[α] + 1. Es f´cil probar que siempre existe un unico n´mero entero a ´ uen estas condiciones.
  • 46. 2.2. Complementos sobre n´meros reales u 39Definici´n 2.19 Si α y β son n´meros reales definimos los conjuntos: o u ]α, β[ = {x ∈ R | α < x < β} [α, β] = {x ∈ R | α ≤ x ≤ β} ]α, β] = {x ∈ R | α < x ≤ β} [α, β[ = {x ∈ R | α ≤ x < β}. Podemos considerar estas mismas definiciones en R = R ∪ {−∞, +∞} y as´ ıtenemos en particular ]−∞, β[ = {x ∈ R | x < β} ]α, +∞[ = {x ∈ R | α < x} ]−∞, β] = {x ∈ R | x ≤ β} [α, +∞[ = {x ∈ R | α ≤ x}. Los conjuntos de cualquiera de estos tipos reciben el nombre de intervalos. La interpretaci´n geom´trica de los intervalos es clara. El teorema siguiente o ees una forma generalizada del axioma D, pero lo demostramos a partir de la de-finici´n de los n´meros reales, es decir, sin hacer uso de los axiomas geom´tricos. o u eTeorema 2.20 Los intervalos de R son exactamente los subconjuntos I de Rque cumplen la propiedad siguiente: si α, β ∈ I y α < γ < β, entonces γ ∈ I. ´ Demostracion: Es claro que todos los intervalos cumplen la propiedadindicada. Sea I un subconjunto de R con dicha propiedad. Si I = ∅, entonces I = ]α, α[, que es un intervalo. Supongamos que I no esvac´ ıo. Sean α y β el ´ ınfimo y el supremo de I, respectivamente en R. Si x ∈ ]α, β[, por definici´n de supremo e ´ o ınfimo, existen n´meros u, v ∈ I de umanera que α ≤ u < x < v ≤ β, luego x ∈ I, es decir, ]α, β[ ⊂ I, y obviamenteI ⊂ [α, β]. Esto da lugar a cuatro casos seg´n si α y β est´n o no en I, lo que u anos lleva a una de las igualdades: I = ]α, β[ , I = ]α, β] , I = [α, β[ , I = [α, β]. Veamos ahora que existen n´meros irracionales. Para ello probamos lo si- uguiente:Teorema 2.21 Para todo n´mero real α ≥ 0 existe un unico n´mero real β ≥ 0 u ´ utal que α = β 2 . Diremos que β es la ra´ cuadrada de α y lo representaremos √ ızpor α. ´ Demostracion: Podemos suponer que α > 0. Sea β el supremo del con-junto de n´meros reales cuyo cuadrado es menor que α. Est´ acotado superior- u amente por cualquier n´mero real mayor que α y que 1, luego β es ciertamente uun n´mero real. Supongamos que α < β 2 . Tomemos un n´mero natural n que u ucumpla n > 1/β y n > 2β/(β 2 − α). As´ 2β/n < β 2 − α y en consecuencia ı µ ∂2 1 1 1 1 β− = β 2 − 2β + 2 > β 2 − β 2 + α + 2 > α. n n n nEs claro que cualquier n´mero cuyo cuadrado sea menor que α ha de ser menor uque β − 1/n, luego este n´mero es una cota superior del conjunto de todos ellos, uen contra de que β sea su supremo.
  • 47. 40 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, ´ngulos y arcos a Supongamos ahora que β 2 < α. Entonces tomamos un n´mero natural n uque cumpla n > 4β/(α − β 2 ) y n2 > 2/(α − β 2 ). As´ ı µ ∂2 1 1 1 α − β2 α − β2 β+ = β 2 + 2β + 2 < β 2 + + = β 2 + α − β 2 = α, n n n 2 2luego β + 1/n es un n´mero mayor que β perteneciente al conjunto del que β es uel supremo, lo cual es imposible. Por lo tanto ha de ser β 2 = α. La unicidad es clara, pues si γ es cualquier otro n´mero real positivo entonces uγ 2 < β 2 o γ 2 > β 2 seg´n si γ < β o γ > β. u Es conocido que un n´mero √ √ no es un cuadrado en Q salvo que sea un u √ naturalcuadrado en Z, por lo que 2, 3, 5, etc. son ejemplos concretos de n´meros uirracionales.Ejercicio: Probar que entre dos n´meros reales cualesquiera existe un n´mero irra- u ucional. El teorema anterior admite una generalizaci´n que ser´ esencial m´s ade- o a alante.Teorema 2.22 Todo polinomio de R[x] de grado impar tiene una ra´ en R. ız ´ Demostracion: Probemos en primer lugar que si P (x) es un polinomio noconstante, c ∈ R y ≤ > 0, entonces existe un δ > 0 tal que si |h| < δ entonces|P (c + h) − P (c)| < ≤. P n En efecto, si P (x) = ak xk , entonces k=0 n X X µk∂ k X k−1 µk∂ n X P (c + h) = ak ci hk−i = P (c) + ak ci hk−1−i h, i=0 i i=0 i k=0 k=0luego si h ≤ 1 se cumple ≥X k−1 µk∂ n X ¥ |P (c + h) − P (c)| ≤ ak |c|i |h| = K|h|. i=0 i k=0Basta tomar δ = ≤/K. Por otro lado, si suponemos que P (x) es m´nico (es decir, an = 1), o n P (x) an−1 a0 n =1+ + ··· + . x x xSi tomamos |x| > n m´xi |ai | y |x| > 1, se cumple |ai /xi | < 1/n, luego a Øa a0 n Ø Ø n−1 Ø Ø + ··· + Ø < 1, x xcon lo que P (x) > 0, xn
  • 48. 2.2. Complementos sobre n´meros reales u 41es decir, P (x) y xn toman el mismo signo cuando |x| es suficientemente grande.Si n es impar P toma valores positivos y negativos. M´s a´n, existe un n´mero a u ureal x0 tal que P (t) < 0 siempre que t < x0 . Esto prueba que el conjunto A = {x ∈ R | P (t) < 0 para todo t < x}no es vac´ Por otra parte cualquier x tal que P (x) > 0 es una cota superior ıo.de A, luego α = sup A es un n´mero real. Veamos que P (α) = 0. u Notemos que si t < α entonces existe un x ∈ A tal que t < x < α, luegoP (t) < 0. Si P (α) > 0 tomamos 0 < ≤ < P (α) y sabemos que existe un δ > 0de modo que |P (α − δ/2) − P (α)| < ≤, luego P (α − δ/2) > P (α) − ≤ > 0, y estoes imposible. Supongamos ahora que P (α) < 0. Entonces tomamos P (α) < −≤ < 0, conlo que existe un δ > 0 de modo que si |h| < δ entonces |P (α + h) − P (α)| < ≤,luego P (α + h) < P (α) + ≤ < 0. Esto implica que α + δ ∈ A, lo cual es tambi´n eimposible. Concluimos que P (α) = 0. Si aplicamos el teorema anterior al polinomio xn −a, con n impar, concluimosque todo n´mero real tiene al menos una ra´ n-sima, es decir, que existe un u ızn´mero b tal que bm = a. Este n´mero b es unico, pues si hubiera otro b0 u u ´ ıamos que (b/b0 )m = 1 (podemos suponer a 6= 0), pero entonces b/b0 = 1,tendr´ya que si b/b0 < 1 entonces (b/b0 )m < 1 y si b/b0 > 1 entonces (b/b0 )m > 1. √ Llamaremos √ a a la unica ra´ m-sima de a, donde m es impar. Notemos m ´ ızque el signo de m a es el mismo que el de a. Si m no es impar pero a > 0 entonces a tambi´n tiene ra´ e ıces m-simas.Concretamente, si √ = 2r m0 , donde m0 es impar, basta calcular r veces la m 0ra´ cuadrada de m a. Sin embargo ahora tenemos dos ra´ ız ıces cuadradas, puessi b es una ra´ m-sima de a con m par, es claro que −b tambi´n lo es. El ız eargumento anterior prueba, no obstante, que todo a > 0 tiene una unica ra´ ´ ızm-sima positiva. √ Si a > 0, llamaremos m a a su unica ra´ m-sima positiva. ´ ız √ Es inmediato comprobar que si a < 1 entonces m a < 1, mientras que si √a > 1 entonces m a > 1. Ahora observamos que si m ≥ 1 es un n´√ ¢ natural, n es un n´mero °umero u nentero y a un n´mero real positivo entonces m a u depende s´lo del n´mero o u ° km ¢km √racional n/m, pues si k es un n´mero natural no nulo, u a = a, luego° km ¢k √ √ ° √ ¢kn ° m ¢n √ a = m a, luego km a = a . Por consiguiente podemos definir ° √ ¢n n an/m = m a , para todo ∈ Q. m Haciendo m = 1 vemos que esta exponenciaci´n extiende a la usual (para oexponentes enteros). Es muy simple comprobar que se conservan las propiedadesb´sicas: a 1 a0 = 1, a1 = a, 1r = 1, ar+s = ar as , ars = (ar )s , a−r = r . a
  • 49. 42 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, ´ngulos y arcos a Adem´s si r < s entonces ar < as si a > 1, mientras que as < ar si a < 1. aEn efecto, basta comparar as−r con 1, luego basta probar que si r > 0 entoncesar es mayor o menor que 1 seg´n lo sea a, pero esto es inmediato. u Si a > 1 y α ∈ R definimos aα = sup{ar | r ∈ Q, r ≤ α}. Es claroque aα as´ definido es un n´mero real positivo. Adem´s es inmediato que esta ı u aexponenciaci´n con exponentes reales coincide con la que ya ten´ o ıamos definidacuando los exponentes son racionales. Si a < 1 en la definici´n hemos de cambiar oel supremo por un ´ ınfimo. Por simplicidad supondremos siempre a > 1, pero ellector debe comprobar que todo vale igualmente cuando a < 1. Se siguen cumpliendo todas las propiedades elementales: 1 a0 = 1, a1 = a, 1α = 1, aα+β = aα aβ , aαβ = (aα )β , a−α = . aα Comprobaremos la cuarta como ejemplo: Si r ≤ α, s ≤ β son dos n´meros racionales, entonces r + s ≤ α + β, luego upor definici´n ar+s ≤ aα+β , luego ar ar ≤ aα+β , luego ar ≤ aα+β /as . Tomando oel supremo para r ≤ α concluimos que aα ≤ aα+β /as , luego as ≤ aα+β /aα yan´logamente aβ ≤ aα+β /aα , luego aα aβ ≤ aα+β . a Si r ≤ α + β es un n´mero racional, de la definici´n de suma de n´meros u o ureales se sigue f´cilmente que r ≤ s + t, donde s ≤ α, t ≤ β son dos n´meros a uracionales. As´ ar ≤ as at ≤ aα aβ , luego tomando el supremo para r ≤ α + β ıqueda aα+β ≤ aα aβ . Si α < β, existen racionales α < r < s < β, luego aα ≤ ar < as ≤ aβ (sia < 1 hay que cambiar el sentido de la desigualdad). Con esto tenemos probado que la funci´n exponencial expa : R −→ R+ dada opor expa (x) = ax es un monomorfismo de grupos. Veamos que es suprayectivo,es decir, que para todo β ∈ R+ existe un α ∈ R tal que aα = β. En primer lugar probamos que si a > 1 y x ∈ R existe un natural n tal quean > x. En efecto, haciendo a = 1 + b, con b > 0 el teorema del binomio deNewton nos da que an ≥ 1 + nb, luego basta tomar n > (x − 1)/b. Tomamos α = sup{x ∈ R | ax ≤ β}. La observaci´n anterior prueba oen particular que el conjunto est´ acotado superiormente. Si r ≤ α entonces aar ≤ β por definici´n, luego tomando supremos resulta que aα ≤ β. No puede oser aα < β, pues entonces 1 < b/aα y existir´ un natural n tal que a < (b/aα )n , ıaes decir, a1/n < b/aα , o tambi´n aα+1/n < β, en contradicci´n con la definici´n e o ode α. As´ pues, aα = β. ı Definimos la funci´n logar´ o ıtmica loga : R+ −→ R como el isomorfismo in-verso de la funci´n exponencial expa . o Las propiedades siguientes de la funci´n logar´ o ıtmica se demuestran inmedia-tamente a partir de las de la funci´n exponencial: o logb (α) loga (αβ) = loga (α) + loga (β), loga (αβ ) = β loga (α), loga (α) = . logb (a)
  • 50. 2.3. Amplitud de ´ngulos a 432.3 Amplitud de ´ngulos a Vamos a asignar un n´mero real a cada ´ngulo tal y como hemos hecho u acon los segmentos. Dado un ´ngulo L, el ´ngulo nL, es decir, la suma de L a aconsigo mismo n veces, no est´ definido para todos los n´meros naturales n a u(puede incluso no estar definido para n = 2). En cambio el teorema 2.2 aseguraque (1/n)L est´ definido para todo n. Es claro entonces que rL est´ definido al a amenos para todo n´mero racional menor o igual que 1. M´s a´n, si est´ definido u a u apara r = p/q, entonces est´ definido para n/q, para todo n ≤ p, de donde es af´cil ver que si rL est´ definido para un n´mero racional r > 0, tambi´n lo est´ a a u e apara todo n´mero racional positivo menor. El teorema siguiente prueba que uciertamente hay n´meros para los que rL no est´ definido junto con otro hecho u aimportante.Teorema 2.23 Sea L un ´ngulo. Entonces a 1. Existe un n´mero real µ > 0 tal que rL est´ definido exactamente para los u a n´meros racionales que cumplen 0 < r ≤ µ. u 2. Dados dos ´ngulos U < V , hay un n´mero racional r tal que U < rL < V . a u ´ Demostracion: Supongamos que nL est´ definido para todo n´mero na- a utural n. En particular los ´ngulos nL han de ser todos agudos, pues si nL fuera a ıa recto u obtuso entonces no estar´ definido 3nL. Sea AOB un ´ngulo recto y a [consideremos puntos An en AB tales que AOAn ≡ nL. Aplicando como decostumbre el axioma D probamos que el conjunto X de los puntos P en AB [ [tales que AOP < AOAn para alg´n n (m´s los puntos menores o iguales que A u arespecto al orden ≤AB ) es una semirrecta de origen un punto C en AB. [ Entonces AOC es mayor o igual que todos los ´ngulos nL. En particular apodemos restarle un ´ngulo menor que L y obtener un punto D en AB anterior a a C tal que DOC < L. Entonces D est´ en X, luego existe un n tal que a [ < AOAn . Pero entoncesAOC [ [ [ [ AOC ≡ AOD + DOC < AOAn + L ≡ AOAn+1 , [ [mientras que ha de ser AOAn+1 ≤ AOC. Por lo tanto nL no est´ definido apara alg´n n (ni para ning´n n´mero racional posterior) y as´ el conjunto de u u u ılos n´meros racionales r para los que rL est´ definido tiene un supremo µ en u aR, que es el n´mero buscado. u De aqu´ se deduce que dados dos ´ngulos L y L0 existe un n´mero natural ı a un tal que (1/n)L < L0 . En efecto, si fuera L0 ≤ (1/n)L para todo n, entonceses claro que nL0 estar´ definido para todo n, en contra de lo que acabamos de ıaprobar. Sean ahora dos ´ngulos U < V . Existe un n´mero natural n de manera que a u(1/n)L < V − U < V . Ahora observamos que si A es cualquier ´ngulo menor ao igual que U , entonces A + (1/n)L est´ definido y es un ´ngulo menor que a a
  • 51. 44 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, ´ngulos y arcos aU + (V − U ) ≡ V . Por lo tanto, o bien U < (1/n)L < V o bien podemos ircalculando (1/n)L, (2/n)L, etc., definidos mientras sean menores o iguales queU . Como no puede haber definidos infinitos m´ltiplos de (1/n)L, ha de haber uun k tal que (k/n)L ≤ U pero k+1 U< L < V, ncomo hab´ que probar. ıa Ahora ya podemos definir la medida de ´ngulos: aTeorema 2.24 Sea L un ´ngulo cualquiera y sea µ la constante del teorema aanterior. 1. Para todo n´mero real 0 < α ≤ µ existe un unico ´ngulo α L (salvo u ´ a congruencia) tal que para todo n´mero racional 0 < r < α se cumple u rL < α L y para todo n´mero racional α < r ≤ µ se cumple rL > α L. u 2. Para todo ´ngulo L0 existe un unico n´mero real 0 < α ≤ µ tal que a ´ u L0 ≡ α L. En particular µ L es un ´ngulo llano. a ´ Demostracion: Supongamos primero que α < µ. Sea un n´mero racional uα < s < µ. Sea sL = AOB. Sea X el conjunto de puntos P del intervalo [AB tales que OAP < rL para alg´n n´mero racional r < α (m´s los puntos u u aanteriores a A). Aplicando el axioma D tal y como es habitual obtenemos que [X es una semirrecta de origen un punto C que determina un ´ngulo AOC, que aes al que vamos a llamar αL. Si r < α existen un n´meros racionales r < r0 < r00 < α. Si r0 L ≡ AOP , uentonces P ∈ AB (porque r0 L < sL) y AOP < r00 L, luego P est´ en X y por alo tanto es anterior a C, lo que implica que rL < r0 L ≤ αL. Si α < r entonces existen n´meros racionales α < r0 < r y r0 < s. Si uponemos r0 L ≡ AOP , entonces P no est´ en X, luego es posterior a C, luego aαL ≤ r0 L < rL. El segundo apartado del teorema anterior garantiza que αL es unico y que ´no depende m´s que de la clase de congruencia de L (si hubiera dos ´ngulos a acon la misma propiedad, uno ser´ menor que el otro y podr´ ıa ıamos intercalar una´ngulo rL entre ambos que incumplir´ la propiedad que acabamos de probar). ıa Es claro que si definimos µL como un ´ngulo llano se cumple tambi´n el a eteorema en este caso (ning´n ´ngulo no llano tiene la propiedad, pues ser´ u a ıaposterior a un rL). Dado un ´ngulo L0 , sea α el supremo del conjunto de los n´meros racionales a utales que rL < L0 . Necesariamente entonces αL ≤ L0 , y si fuera estrictamentemenor, existir´ un n´mero racional r tal que αL < rL < L0 , pero entonces ıa user´ r ≤ α por definici´n de α y r > α por definici´n de αL. La unicidad de α ıa o oes clara. Es claro que si α es un n´mero racional αL coincide con el definido algebrai- ucamente mediante sumas y divisiones. As´ mismo se demuestran sin dificultad ı
  • 52. 2.3. Amplitud de ´ngulos a 45(y de modo totalmente an´logo al caso de los segmentos) las propiedades si- aguientes:Teorema 2.25 Sean α, β n´meros reales y L, L0 dos ´ngulos. Entonces se u acumplen las propiedades siguientes (donde suponemos que las sumas y productosest´n definidos) a 1. Si α < β, entonces αL < βL, 2. Si L < L0 entonces αL < αL0 , 3. (α + β)L ≡ αL + βL, 4. α(L + L0 ) ≡ αL + αL0 , ° ¢ 5. α(βL) ≡ (αβ)L. La interpretaci´n geom´trica de estas propiedades es la misma que en el caso o ede las longitudes de segmentos. En particular, si fijamos una unidad de ´ngulos aarbitraria U , definimos la amplitud de un ´ngulo L con respecto a esta unidad acomo el n´mero α que cumple L = αU . Para que nuestra notaci´n coincida u ocon la habitual, vamos a adoptar provisionalmente un convenio no habitual:llamaremos π a la amplitud de un ´ngulo llano respecto a la unidad de ´ngulos a aque consideremos. El teorema 1.49 puede reenunciarse ahora como que la suma de dos ´ngulos ade un tri´ngulo es siempre menor que π. En realidad podemos probar un poco am´s: aTeorema 2.26 (Lagrange) La suma de los tres ´ngulos de un tri´ngulo es a amenor o igual que π. ´ Demostracion: Dado un tri´ngulo ABC cuyos ´ngulos midan a, b y c, a aconsideramos el punto medio M del lado AB y prolongamos el segmento AM hasta un segmento AD ≡ 2AM . Es claro entonces que AM C ≡ DM B, con lo a resulta tener un ´ngulo igual a b + c y otros dos ´ngulosque el tri´ngulo ABD a ax e y tales que a = x + y. Uno de estos dos ser´ menor o igual que a/2. a C D ◗ ✦✦ ✁ ✦x ✁ ✁ c ◗◗ ✦✦ ✁ ✁ ◗ ✦✦✦ ✁ ✁ ◗ M ✦✦ ✁ ◗ ✦ ✁ ✦✦ ◗ ◗ ✁ ✁ ✦✦ ◗ ✁ ✁ ✦ ✦✦ ◗ ✁ ✁x ✦✦ ◗ c ✁ ✁ ✦y ✦ b ◗◗✁ A B
  • 53. 46 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, ´ngulos y arcos a De este modo, dado un tri´ngulo arbitrario hemos obtenido otro cuyos aa´ngulos suman la misma cantidad pero uno de ellos es menor o igual que lamitad de uno de los ´ngulos originales. Repitiendo el proceso podemos obtener atri´ngulos con la misma suma de ´ngulos y donde uno de ellos sea menor o igual a aque a/2n . Si la suma de los ´ngulos del tri´ngulo original fuera π + ≤, entonces a apodemos llegar a un tri´ngulo cuyos ´ngulos sumen π + ≤ con uno de ellos me- a anor que ≤. Por lo tanto, los otros dos sumar´n al menos π, lo cual contradice al ateorema 1.49. Terminamos lo referente a la medida de ´ngulos con un resultado an´logo al a ateorema 2.17. Omitimos la prueba por ser completamente an´loga. aTeorema 2.27 Sea m una aplicaci´n que a cada ´ngulo le asigna un n´mero o a ureal positivo y que cumpla las propiedades siguientes: 1. Si L ≡ L0 entonces m(L) = m(L0 ), 2. Si L, y L0 se pueden sumar, entonces m(L + L0 ) = m(L) + m(L0 ).Entonces, para todo par de ´ngulos L, L0 se cumple a m(L) L = 0. m(L0 ) L2.4 Arcos y sectores circulares Fijemos una circunferencia ω de centro O y radio r. Si A y B son dos puntosde ω no diametralmente opuestos (es decir, no alineados con O), llamaremos arco menor de extremos A y B a la intersecci´n de ω con AOB. El arco mayor de oextremos A y B es el conjunto formado por los puntos de ω que no est´n en el aarco menor, m´s los puntos A y B. Diremos que estos dos arcos son mutuamente acomplementarios. Un arco determina a sus extremos, pues son los unicos puntos P con la ´propiedad de que todo ´ngulo de v´rtice O y que contenga a P en su interior a e(es decir, no en su frontera) contiene puntos de ω externos al arco. Si A y B son puntos de ω diametralmente opuestos llamaremos arcos de ex-tremos A y B a las intersecciones de ω con los dos semiplanos determinados porla recta AB. As´ tenemos dos pares de arcos complementarios, sin que podamos ıdecir que uno es mayor que otro. Estos arcos se llaman tambi´n semicircunfe- erencias. Las semicircunferencias determinan sus extremos del mismo modo que _los dem´s arcos. Usaremos la notaci´n AB para referirnos a un arco de extremos a o _A y B en una circunferencia dada, pero hemos de tener presente que AB nodetermina el arco, sino que ´ste depende de la circunferencia y adem´s hay dos e aarcos distintos con los mismos extremos. Cuando no sean semicircunferencias _ _los distinguiremos si conviene como ABM (arco mayor) y ABm (arco menor). El segmento que une los extremos de un arco se llaman cuerdas del arco.Dos arcos complementarios comparten la misma cuerda.
  • 54. 2.4. Arcos y sectores circulares 47 Si en lugar de partir de una circunferencia partimos de un c´ırculo obtenemoslas definiciones de sector circular y semic´ ırculo. La frontera de un sector circularest´ formada por dos radios OA, OB y un arco de extremos A y B, de modo aque los arcos se corresponden biun´ ıvocamente con los sectores, por lo que esequivalente trabajar con unos u otros. Los arcos admiten la caracterizaci´n siguiente: oTeorema 2.28 Los arcos de extremos A y B en una circunferencia ω son lasintersecciones con ω de los semiplanos determinados por la recta AB. ´ Demostracion: Si AB pasa por el centro O de ω los arcos de extremosA y B son semicircunferencias, y el resultado es cierto por definici´n. Supon- o _gamos el caso contrario. Si P es un punto del arco menor ABm , entonces P − −→est´ en el ´ngulo AOB, luego la semirrecta OP corta al segmento AB. Como a aeste segmento est´ contenido en el c´ a ırculo, el punto de corta ha de estar enOP , y esto significa que O y P est´n en semiplanos distintos respecto a AB. aRec´ıprocamente, si P es un punto de ω en el semiplano opuesto a O respecto aAB, entonces OP ha de cortar a AB. Como OP est´ contenido en el c´ a ırculo, −−→el punto de corte ha de estar en AB, luego la semirrecta OP est´ contenida en a _AOB, lo que se traduce en que P est´ en ABm . a _ Con esto hemos probado que ABm es la intersecci´n de ω con el semiplano ode AB que no contiene a O. Obviamente entonces el arco mayor ha de ser laintersecci´n de ω con el semiplano que contiene a O. oDefinici´n 2.29 La amplitud de un arco de extremos AB (en un c´ o ırculo de si el arco es menor, 2π menos esta amplitud sicentro O) es la del ´ngulo AOB aes mayor y π si son semicircunferencias. De este modo, los arcos menores son los arcos de amplitud menor que π y losmayores son los de amplitud mayor que π. Podemos pensar en las circunferenciascomo arcos de amplitud igual 2π. _ _Teorema 2.30 Sean AB y BC dos arcos de una circunferencia con el extremo _ _B como unico punto com´n. Entonces AB ∪ BC es un arco de extremos A y ´ uC, y su amplitud es la suma de las amplitudes de los arcos dados. ´ Demostracion: Sea O el centro de la circunferencia que contiene a los ar-cos. Representemos por m(X) la amplitud de un ´ngulo o arco X. Supongamos a _que la amplitud de uno de los arcos es mayor que π, por ejemplo m(AB) > π. _Entonces AB es un arco mayor, luego est´ contenido en el complementario del a _ _a´ngulo AOB. Como BC no tiene puntos en com´n con AB (salvo B) ha de u estar contenido en AOB. En particular C es un punto interior de este ´ngulo, a _ _ _ = AOC + COB. Es claro entonces que AB ∪ BC = ACM . Adem´s [ luego AOB a _ [ _ _m(ACM ) = 2π − m(AOC) = 2π − m(AOB) + m(COB) = m(AB) + m(BC).
  • 55. 48 Cap´ ıtulo 2. Medida de segmentos, ´ngulos y arcos a Si uno de los arcos tiene amplitud π la prueba es casi id´ntica. Supongamos eahora que ambos arcos son menores que π. Esto significa que ambos arcos son a a menores, luego est´n contenidos en los ´ngulos AOB y BOC. Llamemos A0 y 0B a los puntos diametralmente opuestos a A y B. Notemos que A y C han de estar en semiplanos opuestos respecto a BB 0 , a pues en caso contrario los ´ngulos AOB y BOC estar´ uno contenido en otro, ıany los arcos tambi´n. Por lo tanto C est´ en uno de los dos ´ngulos BOA0 o e a a A0 . 0 OB a Si C est´ en BOA0 (incluyendo el caso C = A0 ) entonces tenemos la relaci´n o _ _ _[ = AOB + BOC, luego AB ∪ BC = ACm y la relaci´n entre las amplitudes AOC oes clara. Si C est´ en A0 OB 0 entonces BOC = BOA0 + A0 OC, luego a _ _ _ _ _ _ _ _ AB ∪ BC = AB ∪ BA0 ∪ A0C = AA0 ∪ A0C m = ACM , _donde AA0 es la semicircunferencia que contiene a B. Las amplitudes cumplenla relaci´n indicada: o _ [ m(ACM ) = 2π − m(AOC) = 2π − π + m(A0 OC) = π + m(A0 OC) = m(AOB) + m(BOA0 ) + m(A0 OC) = m(AOB) + m(BOC) _ _ = m(AB) + m(BC).
  • 56. Cap´ ıtulo IIILa geometr´ eucl´ ıa ıdea Los resultados de los cap´ ıtulos anteriores eran intuitivamente evidentes, opor lo menos susceptibles de ser justificados sin m´s que observar una figura. aEn este cap´ıtulo nos ocuparemos de resultados m´s profundos, de los que ya ano puede decirse lo mismo. Por una parte nos servir´n para comprender que la ageometr´ encierra resultados nada triviales de inter´s en s´ mismo, y por otra ıa e ıuna parte de ellos nos pondr´n en condiciones de sumergir completamente la ageometr´ en la teor´ de conjuntos, de lo cual nos ocuparemos en el cap´ ıa ıa ıtulosiguiente.3.1 El axioma de las paralelas Recordemos del cap´ ıtulo anterior que dos rectas son paralelas si est´n conte- anidas en un mismo plano y no tienen puntos en com´n, as´ como que dos planos u ıson paralelos si no tienen puntos en com´n. Muy poco es lo que podemos decir usobre rectas y planos paralelos sin m´s base que los axiomas que hemos dado ahasta ahora. Probaremos tan s´lo la existencia. oTeorema 3.1 Por un punto exterior a una recta pasa una paralela. ´ Demostracion: Dada una recta r y un punto exterior P , sea s la perpen-dicular a r por P y sea t la perpendicular a s por P contenida en el plano der y s. Las rectas r y t han de ser paralelas, pues si se cortaran formar´ un ıantri´ngulo con dos ´ngulos rectos. a aTeorema 3.2 Por un punto exterior a un plano pasa un plano paralelo. ´ Demostracion: Sea π un plano y P un punto exterior. Sea r la rectaperpendicular a π por P , sea π1 el plano perpendicular a r por P . Entonces πy π1 son planos paralelos, pues si tuvieran un punto en com´n Q, el tri´ngulo u aformado por P , Q y la intersecci´n de r con π tendr´ dos ´ngulos rectos. o ıa a Introducimos ahora el ultimo axioma de la geometr´ Con ello estaremos ´ ıa.en condiciones de formalizar cualquier razonamiento geom´trico intuitivo. e 49
  • 57. 50 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdeaDefinici´n 3.3 Una geometr´ (tridimensional) eucl´ o ıa ıdea es una geometr´ que ıasatisfaga los axiomas A, B, C, D junto con el axioma siguiente:Axioma E Por un punto exterior a una recta pasa una unica paralela. ´ El hecho an´logo para planos se demuestra f´cilmente: a aTeorema 3.4 Por un punto exterior a un plano pasa un unico plano paralelo. ´ ´ Demostracion: Sea π un plano y P un punto exterior. Sea r la perpen-dicular a π por P y sea π1 el plano perpendicular a r por P . Hemos probadoque π1 es paralelo a π. Veamos que es el unico posible. Si π2 es otro plano ´paralelo a π que pasa por P , entonces π1 y π2 se cortar´n en una recta s (que acontiene a P y es perpendicular a r). Sean t1 y t2 las rectas perpendicularesa s por P contenidas en π1 y π2 . Entonces r, t1 y t2 son coplanares (por serperpendiculares a s por P ), y el plano que forman corta a π en una recta t (quepasa por el punto de intersecci´n de r y π). Por lo tanto las rectas t, t1 y t2 oson coplanares, pero t1 y t2 son dos paralelas a t que pasan por P , luego hande coincidir. As´ pues, π1 y π2 tienen en com´n las rectas perpendiculares s y ı ut1 , luego π1 = π2 .Teorema 3.5 Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas o coincidentes. ´ Demostracion: Sean r1 y r2 paralelas a r3 . Supongamos que r1 y r2 noson paralelas ni coincidentes. Sea π1 el plano que contiene a r1 , r3 y sea π2 elplano que contiene a r2 y r3 . Si π1 = π2 entonces r1 y r2 est´n en el mismo aplano, y como no son paralelas se cortan en un punto P , con lo que r3 tiene dosparalelas distintas por P , contradicci´n. o Si π1 6= π2 entonces la intersecci´n de ambos planos es la recta r3 . Sea π el oplano que contiene a r1 y a un punto Q de r2 . Entonces π corta a π2 en unarecta r0 disjunta de r3 (pues si R est´ en r0 ∩ r3 entonces R no puede estar en ar1 , ya que entonces estar´ en π1 ∩ π2 = r3 y por tanto en r1 ∩ r3 . De aqu´ que ıa ıπ = π1 , pues tienen a r1 y a R en com´n, luego r0 = r3 y Q estar´ en r2 ∩ r3 ). u ıaPor lo tanto r0 es paralela a r3 y pasa por un punto de r2 , luego r0 = r2 . Denuevo tenemos que r1 y r2 est´n en un mismo plano, y concluimos como antes. a M´s f´cilmente se demuestra: a aTeorema 3.6 Dos planos paralelos a un tercero son paralelos o coincidentes. Consideremos una figura formada por dos rectas r y s que cortan a unarecta t en puntos distintos P y Q. De los ocho ´ngulos determinados por los dos acortes, llamaremos ´ngulos internos de la figura a los dos que tienen v´rtice P y a eque est´n contenidos en el semiplano de r que contiene a Q, as´ como a los dos a ıque tienen v´rtice Q y est´n contenidos en el semiplano de s que contiene a P . e aHay, pues, cuatro ´ngulos internos, dos con v´rtice P , uno en cada semiplano a erespecto a t, y dos con v´rtice Q, tambi´n uno en cada semiplano respecto a t. e e
  • 58. 3.1. El axioma de las paralelas 51Los cuatro ´ngulos restantes son externos. Tambi´n hay dos en cada v´rtice y a e ecada uno en un semiplano distinto respecto a t. Diremos que dos ´ngulos son aalternos si tienen v´rtices distintos y est´n contenidos en semiplanos distintos e arespecto a t. t a ´ngulos alternos P externos r a ´ngulos alternos internos a ´ngulos alternos internos Q s ´ngulos alternos a externosTeorema 3.7 Sean r y s dos rectas que corten a una recta t en dos puntos Py Q. Entonces r y s son paralelas si y s´lo si los ´ngulos alternos internos que o adeterminan son iguales. ´ Demostracion: Si los ´ngulos alternos internos son iguales, entonces dos aa´ngulos internos no alternos son suplementarios, luego no pueden ser los ´ngulos ade un tri´ngulo, cosa que ocurrir´ si las rectas r y s se cortaran. a ıa Supongamos ahora que r y s son paralelas. Tomamos uno de los ´ngulos ainternos de v´rtice P y lo transportamos a un ´ngulo de v´rtice Q, con un lado e a e −− →igual a QP y con el otro lado en el semiplano opuesto al ´ngulo de partida arespecto de t. La prolongaci´n de dicho lado es una recta s0 de modo que t odetermina ´ngulos alternos internos iguales en r y s0 . Por la parte ya probada ar y s0 son rectas paralelas, y como s0 pasa por Q, por el axioma E ha de sers = s0 , luego ciertamente los ´ngulos alternos internos son iguales. a As´ pues cuando una recta t corta a dos rectas paralelas r y s se forman ocho ıa´ngulos divididos en dos grupos de cuatro que son iguales entre s´ Los de un ı.grupo son los suplementarios de los del otro grupo. Como aplicaci´n inmediata otenemos el hecho siguiente:Teorema 3.8 La suma de los ´ngulos de un tri´ngulo es igual a π. a a ´ Demostracion: Dado un tri´ngulo cualquiera ABC, trazamos la paralela r aal lado BC por el punto A. Obviamente r deja a B y C en un mismo semiplano. r PA Q ✦ ✦✦ ❝ ✦✦ ❝ ✦✦✦ ❝ ❝ ✦✦ ❝ B ✦✦ ❝C
  • 59. 52 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea − −→ − → Las semirrectas AB y AC dividen a dicho semiplano en tres ´ngulos cuya a ˆ ˆ ˆsuma es π. Uno de ellos es A, y los otros dos son iguales a B y C por el teoremaanterior. Con m´s detalle: tomemos puntos P y Q a ambos lados de A en r. Entonces a a [los ´ngulos P AB y P AC est´n contenidos en el mismo semiplano respecto a r a(pues r no corta a BC) luego uno est´ contenido en el otro. Supongamos por a −−→ [ejemplo que P AB es el menor. Entonces AB est´ contenida en P AC, luego acorta a P C, luego P y C est´n en semiplanos distintos respecto a AB, de donde a se sigue que P AB y ABC son alternos internos. As´ pues, P AB ≡ B, luego ı ˆ [ ≡ P AB + BAC ≡ A + B. Por otra parte, QAC es adyacente a P AC y deP AC ˆ ˆ [ [ ı e [aqu´ que B y Q est´n en semiplanos distintos respecto a AC, con lo que QAC y son alternos internos. En total queda que A + B + C = P AC + CAQ = π.ACB ˆ ˆ ˆ [ [ En particular, si dos tri´ngulos tienen dos ´ngulos iguales, de hecho tienen a alos tres ´ngulos iguales, luego el criterio de igualdad ALA puede aplicarse con ados ´ngulos cualesquiera, no necesariamente los contiguos al lado. aDefinici´n 3.9 Sean A, B, C, D cuatro puntos coplanares tales que la recta oAB sea paralela a CD y la recta AD sea paralela a BC. Entonces C y D est´n aen el mismo semiplano respecto a AB, A y B est´n en el mismo semiplano arespecto a CD, A y D est´n en el mismo semiplano respecto a BC y B y C aest´n en el mismo semiplano respecto a AD. A la intersecci´n de estos cuatro a osemiplanos se le llama paralelogramo (gr. ‘de l´ ıneas paralelas’) de v´rtices A, B, eC y D. Los segmentos AB, BC, CD y DA se llaman lados del paralelogramo. Doslados son contiguos si tienen un v´rtice en com´n y son opuestos en caso con- e utrario. La uni´n de todos ellos constituye su frontera. o a Los ´ngulos DAB, ABC, BCD y CDA se llaman ´ngulos del paralelogramo. aLos segmentos AC y BD se llaman diagonales del paralelogramo. Dos v´rtices eson contiguos u opuestos seg´n si son extremos de un lado o de una diagonal. u A ✦✦✦B ✓❅ ✓ ✓ ❅ ✦✦ ✓ ✓ ✦✦ ✓ ✓ ✦✦ ❅ ✦✦ ❅ ✓ ✓ ✦✦ ❅ ✓ D ✓✦ ✦ ❅✓C Los paralelogramos son intersecciones de semiplanos, luego son convexos.En particular las diagonales de un paralelogramo est´n contenidas en ´l. No es a edif´ probar que un paralelogramo determina sus v´rtices. ıcil eTeorema 3.10 Los lados y los ´ngulos opuestos de un paralelogramo son igua- ales, los ´ngulos contiguos son suplementarios, las diagonales se cortan por su apunto medio.
  • 60. 3.2. Semejanza de tri´ngulos a 53 ´ Demostracion: Con la notaci´n de la definici´n anterior, tenemos que A o oy D est´n en el mismo semiplano respecto a BC, luego si D y B estuvieran aen el mismo semiplano respecto a AC tendr´ ıamos que D pertenecer´ al ´ngulo ıa a luego AD cortar´ al segmento BC, cuando en realidad son paralelos.CAB, ıaAs´ pues, B y D est´n en semiplanos distintos respecto a AC, por lo que BD ı acorta a AC. Similarmente llegamos a que AC ha de cortar a la recta BD, ycomo el punto de corte ha de ser el mismo en ambos casos, concluimos que las d ddiagonales AC y BD se cortan en un punto P . a ˆ ˆ Es claro que dos ´ngulos contiguos, por ejemplo A y B son ´ngulos internos arespecto a la figura formada por las rectas paralelas AD y BC cortadas por AB,pero no son alternos, sino que ambos est´n en el mismo semiplano respecto a a ˆ ˆ ıAB. Por lo tanto A y un ´ngulo adyacente a B s´ son ´ngulos alternos internos, a a ˆ ˆluego A y B son suplementarios. De aqu´ que dos ´ngulos opuestos sean iguales, ı apues tienen un suplementario com´n. u Puesto que A y C est´n en semiplanos distintos respecto a BD, los ´ngulos a a y BDC son alternos internos, luego son iguales. Igualmente se cumpleABD que ADB ≡ DBC, luego ADB ≡ CBD, lo que en particular implica que loslados opuestos son iguales. a e Es f´cil ver tambi´n que P AB ≡ P CD, de donde se sigue que P B ≡ P D yP A ≡ P C, luego P es el punto medio de las diagonales.Definici´n 3.11 Un rombo (gr. ‘alternado’) es un paralelogramo cuyos cuatro olados son iguales. Un rect´ngulo es un paralelogramo cuyos cuatro ´ngulos son a aiguales (luego los cuatro son rectos). Un cuadrado es un paralelogramo con loscuatro lados y los cuatro ´ngulos iguales. aEjercicio: Probar que las diagonales de un rombo son perpendiculares, y son lasbisectrices de los ´ngulos que unen. a3.2 Semejanza de tri´ngulos a o a Definici´n 3.12 Dos tri´ngulos ABC y A0 B 0 C 0 son semejantes si sus lados sonproporcionales dos a dos, es decir, si AB AC BC 0B0 = 0 0 = . A AC B0C 0 Este concepto de semejanza representa un papel muy importante en la geo-metr´ eucl´ ıa ıdea, y ello se debe fundamentalmente a que vamos a probar que dostri´ngulos son semejantes si y s´lo si sus ´ngulos son iguales. Para ello necesi- a o atamos un par de resultados previos. Conviene introducir el concepto siguiente: o a Definici´n 3.13 Diremos que dos tri´ngulos ABC y A0 B 0 C 0 est´n en posici´n a ode Tales si, nombrando los v´rtices adecuadamente, A = A0 , B 0 est´ en AB y e aB 0 C 0 es paralela a BC (con lo que tambi´n C 0 est´ en AC). e a
  • 61. 54 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea A ✁❅ ✁ ❅ ✁ ❅ ✁ ❅ ✁ ❅ B0 ✁ ❅ C0 ✁ ❅ ✁ ❅ B✁ ❅C Es f´cil probar el teorema siguiente: a a Teorema 3.14 Si dos tri´ngulos ABC y A0 B 0 C 0 est´n en posici´n de Tales a o ˆ = A0 , B = B 0 y C = C 0 . Rec´entonces A ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ıprocamente, si ABC y A0 B 0 C 0 cumplen estas igualdades existe un tri´ngulo A00 B 00 C 00 semejante a A0 B 0 C 0 de a modo que ABC y A00 B 00 C 00 est´n en posici´n de Tales. a o Con ayuda de este hecho ya podemos probar el resultado b´sico: aTeorema 3.15 Sean l1 y l2 dos semirrectas no alineadas de origen O. SeanP y P 0 puntos de l1 y l2 respectivamente distintos de O. Sean A y B dospuntos cualesquiera de l1 distintos entre s´ y distintos de O. Sean A0 y B 0 los ıpuntos donde las rectas paralelas a P P 0 por A y B, respectivamente, cortan al2 . Entonces la longitud de A0 B 0 depende de la longitud de AB, pero no de laelecci´n de los puntos A y B en l1 . o ´ Demostracion: Podemos suponer que A est´ m´s cerca de O que B. a aNotemos que la recta paralela a P P 0 por A ha de cortar efectivamente a l2 , ode lo contrario ser´ paralelas, luego P P 0 tambi´n ser´ paralela a l2 , lo cual ıan e ıaes absurdo. Tracemos por A la paralela a l2 , que cortar´ a BB 0 en un punto X a(por el axioma B5). l1 B ° ° °❆ ° ❆ ° ❆ ° ❆ ° ❆ A ❆X °❆ ° ❆ ❆ ❆ P ° ❆ ❆ °❆ ❆ ° ❆ ❆ ❆ ❆ ° ❆ 0 ❆ 0 ❆ 0 l2 O P A B a Los tri´ngulos BOB y BAX est´n en posici´n de Tales, luego se cumple a o = BOB 0 = P OP 0 . Lo mismo sucede con OP P 0 y OBB 0 , luego tambi´nBAX e = OBB 0 = OP P 0 .ABX
  • 62. 3.2. Semejanza de tri´ngulos a 55 a a Esto significa que los ´ngulos del tri´ngulo ABX son independientes de laelecci´n de A y B. Por lo tanto, si hacemos elecciones distintas conservando ola longitud de AB obtendremos tri´ngulos iguales, luego los lados AX tambi´n a eser´n iguales, pero AX = A0 B 0 porque son los lados opuestos de un parale- alogramo. As´ pues, la longitud de A0 B 0 s´lo depende de la longitud de AB. ı oTeorema 3.16 (Teorema de Tales) Si dos tri´ngulos est´n en posici´n de a a oTales entonces son semejantes. ´ Demostracion: Sean ABC y A0 B 0 C 0 tri´ngulos en posici´n de Tales, di- a ogamos con el v´rtice A en com´n. Para cada segmento s podemos tomar dos e u − −→ −→puntos P y Q en AB tales que P Q ≡ s, transportarlos a AC mediante rectasparalelas a BC de acuerdo con el teorema anterior y obtener as´ un segmento ıcuya longitud s´lo depende de la longitud de s. Llamemos m(s) a esta longitud. oEs obvio que se cumplen las hip´tesis del teorema 2.17, luego en particular, y oteniendo en cuenta que AB se transforma en AC y AB 0 se transforma en AC 0 ,concluimos que AB AC = 0 0 . A0 B 0 AC Ahora bien, los dos tri´ngulos dados tienen los ´ngulos iguales, luego (pa- a asando a otros congruentes) podemos ponerlos en posici´n de Tales con otro ov´rtice en com´n, por ejemplo B, y entonces obtenemos la igualdad que nos e ufalta para concluir que son semejantes.Teorema 3.17 Dos tri´ngulos son semejantes si y s´lo si tienen los ´ngulos a o aiguales. ´ Demostracion: Si dos tri´ngulos tienen los ´ngulos iguales, entonces pue- a aden ponerse en posici´n de Tales, luego son semejantes. Supongamos ahora que o ABC y A0 B 0 C 0 son dos tri´ngulos semejantes. Es claro que podemos construir a en posici´n de Tales respecto a ABC y de modo que 00 00 00un tri´ngulo A B C a o 00 0AA ≡ AA . Entonces los tri´ngulos A B C a 0 y A00 B 00 C 00 son semejantes y tie- 0 0 nen un lado igual. De la definici´n de semejanza se sigue entonces que tienen olos tres lados iguales, luego son iguales.Teorema 3.18 Dos tri´ngulos son semejantes si s´lo si tienen un ´ngulo igual a o ay sus lados adyacentes proporcionales. ´ Demostracion: Sustituyendo uno de los tri´ngulos por otro congruente (y apor lo tanto semejante) podemos suponer que ambos tienen un ´ngulo coinci- a −−→ − →dente. Sean, pues ABC y AB 0 C 0 , donde las semirrectas AB y AC coinciden −−→ − →respectivamente con AB 0 y AC 0 . Trazamos la paralela a BC que pasa por B 0 , la a a cual cortar´ a AC en un punto C 00 . Por el teorema de Tales, el tri´ngulo AB 0 C 00
  • 63. 56 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea es semejante a ABC luego a AB 0 C 0 , con lo que sus lados son proporcionales,pero tienen un lado coincidente, de hecho todos sus lados han de ser iguales. En ı particular AC 0 ≡ AC 00 , luego C 0 = C 00 y as´ AB 0 C 0 es semejante a ABC. Elrec´ ıproco es obvio.Teorema 3.19 (Teorema de Pit´goras) En un tri´ngulo rect´ngulo, el cua- a a adrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. ´ ˆ Demostracion: Sea ABC un tri´ngulo rect´ngulo, donde A es el ´ngulo a a arecto. Sea P el punto donde la perpendicular a BC por A corta a BC. No puedeocurrir que P coincida con B o con C, o de lo contrario el tri´ngulo tendr´ dos a ıaa´ngulos rectos. Adem´s P ha de estar en el segmento BC, pues si, por ejemplo, a a B estuviera entre P y C los ´ngulos P BA y CBA ser´ adyacentes, pero el ıan ˆprimero forma parte del tri´ngulo P BA, que tiene un ´ngulo recto en P , luego a a P BA ser´ agudo, y CBA ser´ obtuso, lo cual es imposible. Por lo tanto P ıa ıaest´ ciertamente en BC. a A ✁❍❍❍ ✁ ❍❍ ✁ ❍❍ ✁ ❍❍ ✁ ❍❍ ✁ ❍ B P C a El tri´ngulo rect´ngulo ABP comparte un ´ngulo agudo con el tri´ngulo a a a e a tambi´n rect´ngulo CBA, luego tienen dos—y por consiguiente tres—´ngulos aiguales, es decir, son semejantes. As´ pues ı AB BC = , BP ABy por consideraciones an´logas sobre el tri´ngulo concluimos que a a ACP AC BC = . CP ACPor lo tanto 2 2 2 AB + AC = BC BP + BC CP = BC (BP + CP ) = BC . √ De aqu´ se sigue f´cilmente que la diagonal de un cuadrado mide 2 veces ı asu lado, luego no guarda una proporci´n racional ´ste. As´ fue como los griegos o e ıdescubrieron la existencia de n´meros irracionales. u
  • 64. 3.2. Semejanza de tri´ngulos a 57 Otra prueba sencilla del teorema de Pit´goras se basa en el concepto de ´rea. a aSi observamos la figura, vemos que el ´rea del cuadrado se puede calcular de ados maneras: bc a2 + 4 = (b + c)2 . 2Desarrollando se obtiene la igualdad a2 = b2 + c2 . c b ✟✟✟❆ ✟✟ ❆ ✟✟ ❆ b a ✟ ✟ a❆ c ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ c ❆a ✟❆ ❆ ✟ ✟ a✟ ❆ ✟✟ b ❆ ✟✟ ❆✟ b c Esta prueba supone que tenemos definida el ´rea de cualquier figura (o al amenos de una familia de figuras que contenga a los tri´ngulos y cuadrados), aas´ como que el ´rea de una uni´n disjunta de figuras es la suma de las ´reas. ı a o aProbar esto en general resultar´ muy laborioso en estos momentos, sin embargo ıavamos a ver que con unos m´ ınimos resultados sobre ´reas se puede justificar el aargumento.Definici´n 3.20 Se llama altura de un tri´ngulo a cualquiera de los segmentos o aque une perpendicularmente un v´rtice con la prolongaci´n del lado opuesto. e oDicho lado se llama base del tri´ngulo correspondiente a la altura considerada. aEl punto donde la altura corta a la prolongaci´n del lado se llama pie de la oaltura.Teorema 3.21 El producto de una altura de un tri´ngulo por su base corres- apondiente no depende de la elecci´n de la altura. o ´ Demostracion: Sea ABC un tri´ngulo. Sea P el pie de la altura que aparte de A y sea Q el pie de la altura que parte de B. Hemos de probar queAP BC = BQ AC. Los tri´ngulos y BQC tienen los ´ngulos iguales, pues por una parte a AP C a [ ˆ y Q son rectos y por otra P CA = BCA = BCQ. Por lo tanto son semejantesP ˆy en consecuencia AP AC = . BQ BCEsto implica la igualdad buscada.
  • 65. 58 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea o a a Definici´n 3.22 Llamaremos ´rea de un tri´ngulo ABC de altura h y basecorrespondiente b al n´mero real u 1 (ABC) = bh. 2 Todos los razonamientos que haremos en lo sucesivo en los que intervenga elconcepto de ´rea se justificar´n por el siguiente hecho evidente: a a Si unimos un v´rtice de un tri´ngulo con un punto del lado opuesto, e a obtenemos dos tri´ngulos con la misma altura y cuyas bases suman a la base del tri´ngulo original. Por lo tanto el ´rea del tri´ngulo de a a a partida es la suma de las ´reas de los dos tri´ngulos resultantes. a a Por ejemplo, una demostraci´n del teorema de Pit´goras se obtiene divi- o adiendo el cuadrado anterior en diez tri´ngulos de acuerdo con la figura siguiente: a c b ❇ ✟✟❆ ✂ ✡ ❇ 2 ✟✟ ✂ ❆ 7 ✡ b 1❇ ✟ ✟ ✂ ❆ ✡ ✟ ✟✟ ❇ ✂ ✡ ❆ 8 c ❆ 3❇ 4 ✂ 6 ✡❆ ❆ ❇ ✂ ✡ ❆ ❆ ❇ ✂ ✡ ❆ ❆ ❇ ✂ ✡ ❆ c ❆❇ ✂ ✡ 9 ✟❆ 5 ❆❇ ✂ ✡ ✟ ✟ ❆❇ ✂ ✡ ✟✟✟ b ❆❇ ✂✡ ✟ ✟ 10 ❆✟ ❇✂ ✡ b c Cada par´ntesis en la igualdad siguiente significa una aplicaci´n del principio e ode descomposici´n que hemos indicado. o (1 + 2) + (7 + 8) + 5 + 10 + (3 + 4) + (6 + 9) ° ¢ ° ¢ ° ¢ = (1 + 3) + 5) + (2 + 4) + (6 + 7) + (8 + 9) + 10 . El primer miembro es 2bc + a2 , mientras que el segundo es (b + c)b (b + c)2 (b + c)c b+b+c+c + + = (b + c) = (b + c)2 , 2 2 2 2con lo que llegamos tambi´n a que a2 = b2 + c2 . e
  • 66. 3.3. Relaciones entre ´ngulos y arcos a 593.3 Relaciones entre ´ngulos y arcos aDefinici´n 3.23 Diremos que un ´ngulo est´ inscrito en una circunferencia ω o a asi su v´rtice est´ en ω y sus lados cortan a ω (en otros puntos distintos de su e aorigen). a Cuando digamos que un ´ngulo AV B est´ inscrito en una circunferencia ω ase sobreentender´ que A, V y B est´n en ω. a a En estas condiciones, la intersecci´n de AV B con ω es o B V y uno de los arcos de extremos A y B, concretamente el que no contiene a V . En efecto, si P es un punto de −→ − la intersecci´n distinto de V , entonces la semirrecta V P o est´ contenida en el ´ngulo, luego corta a AB, luego P a a A y V est´n en semiplanos distintos respecto a AB, luego a V en arcos distintos. El rec´ ıproco se prueba igualmente. Llamaremos arco abarcado por un ´ngulo inscrito en una circunferencia al aarco formado por los puntos del ´ngulo contenidos en ella y distintos de su av´rtice. eTeorema 3.24 Un ´ngulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco aque abarca. A ´ Demostracion: Sea AV B un ´ngulo inscrito en a una circunferencia ω de centro O. Supongamos prime- ramente que O est´ en uno de los lados del ´ngulo, por a a V B ejemplo en V B. Sea α la amplitud de AV B. Como el O a tri´ngulo V OA es is´sceles, tiene dos ´ngulos iguales o a a α, luego el ´ngulo V OA mide π − 2α, luego AOB a mide 2α. _ As´ pues, el arco menor AB tiene amplitud 2α, y ´ste es precisamente el arco ı eabarcado, pues claramente no puede contener a V . Supongamos ahora que O est´ contenido en AV B (pero no en su frontera). aAl igual que antes, sea α su amplitud. Sea P el punto diametralmente opuesto a −→ −V . Entonces la semirrecta V P divide el ´ngulo en suma de dos ´ngulos inscritos a a _AV P y P V B. El arco abarcado AB ser´ la uni´n de los arcos abarcados por a o _ _los sumandos, AP y P B. Como el unico punto en com´n entre estos dos es P , ´ ula amplitud de la uni´n es la suma de las amplitudes. Si llamamos α1 y α2 a o las amplitudes de AV P y P V B, por el caso anterior tenemos que la amplitud _de AB es 2α1 + 2α2 = 2α. ´ a Por ultimo supongamos que O no est´ contenido en AV B. Sea como antesP el punto diametralmente opuesto a V . Ahora A y B est´n en un mismo a a semiplano respecto a V P , luego uno de los ´ngulos AV P o BV P est´ contenido aen el otro. Supongamos que el segundo es el menor. Entonces tenemos la
  • 67. 60 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea o descomposici´n AV P = AV B + BV P , y la misma relaci´n se tiene entre los oarcos abarcados por los tres (igual que en el caso anterior). Aplicando el primer a caso a los ´ngulos AV P y BV P , obtenemos la relaci´n buscada. o El teorema anterior es v´lido tambi´n en el caso en que uno de los lados del a ea´ngulo sea tangente a la circunferencia. Entonces tenemos lo que se llama una´ngulo semiinscrito:Definici´n 3.25 Diremos que un ´ngulo est´ semiinscrito en una circunferen- o a acia ω si su v´rtice est´ en ω, uno de sus lados es tangente a ω y el otro es e asecante. A l2 d Si l1 l2 est´ semiinscrito a ω, l1 corta a ω en A y a l2 es tangente, es f´cil ver que el arco abarcado por a el ´ngulo, es decir, su intersecci´n con ω es el arco a o _ P V V A contenido en el mismo semiplano que l2 respecto a O V A. Distinguiendo tres casos, seg´n que el ´ngulo sea u a agudo, recto u obtuso y usando el teorema anterior, es f´cil probar que la amplitud de un ´ngulo semiinscrito a aes tambi´n la mitad de la del arco que abarca. e Supongamos ahora que un ´ngulo tiene su v´r- a e A0tice V en el exterior de una circunferencia ω, y quesus lados cortan a ω en puntos A, A0 y B, B 0 res- A Vpectivamente. Supongamos que A y B est´n m´s a a B O B0cerca de V que A0 y B 0 . Entonces la intersecci´n o _del ´ngulo con ω est´ formada por dos arcos AB y a a _0 _A0 B sin puntos comunes. Concretamente, AB esel arco contenido en el mismo semiplano que V respecto a su cuerda, mientras _que A0 B 0 es el arco contenido en el semiplano opuesto a V respecto a su cuerda.Teorema 3.26 La medida de un ´ngulo exterior a una circunferencia cuyos alados sean secantes a la misma es la semidiferencia de los arcos que abarca. Esbozo de la prueba: El caso general se reduce al caso en que el centroO de la circunferencia est´ contenido en uno de los lados, por ejemplo en BB 0 . aEntonces AV B = π − V BA − BAV = π − (π − ABO) − (π − BAO − OAA0 ) _ _ AA0 = ABO + BAO + OAA0 − π = π − AB + π/2 − −π 2 _ _ A0 B 0 − AB = , 2 _ _ _usando que AB + AA0 + A0 B 0 = π. En el cap´ ıtulo anterior comentamos que del axioma D se desprende que porun punto exterior a una circunferencia pasan dos tangentes a la misma. Veamosahora una construcci´n expl´ o ıcita de dichas tangentes basada en los resultadosque hemos probado.
  • 68. 3.4. Las razones trigonom´tricas e 61 Sea, pues ω una circunferencia de centro O y V un punto exterior. Sea P elpunto medio de V O. Entonces la circunferencia de centro P y radio V P tieneun punto interior y un punto exterior a ω, luego corta a ´sta en dos puntos edistintos A y B. A V P O B Los ´ngulos V AO y V BO son rectos, pues abarcan arcos de amplitud π, aluego las rectas V A y V B son tangentes a ω. Observar que la distancia de V alos dos puntos de tangencia es la misma.Ejercicio: Probar que la amplitud de V es la semidiferencia de la de los arcos en quelos puntos de tangencia dividen a ω. Generalizar este hecho al caso en que un lado seatangente y el otro secante. A El ultimo caso posible es aquel en que el v´rtice del ´ e a ´ngulo est´ en el interior de la circunferencia. Aqu´ a ı _ hemos de considerar tanto el arco AB abarcado por V _ B0 B el ´ngulo dado como el arco A0 B 0 abarcado por su a O A0 opuesto por el v´rtice. Dejamos a cargo del lector pre- e cisar las definiciones de estos arcos as´ como la prueba ı del teorema siguiente. Respecto a ella digamos tans´lo que se reduce como siempre al caso en que O est´ en uno de los lados o a(adem´s podemos suponer que es distinto de V , o el resultado es trivial) y que aentonces basta estudiar los tri´ngulos V OA y 0 . a AOATeorema 3.27 La amplitud de un ´ngulo interior a una circunferencia es la asemisuma de los arcos abarcados por ´l y por su opuesto por el v´rtice. e e3.4 Las razones trigonom´tricas e Sabemos que los ´ngulos y los lados de un tri´ngulo est´n sometidos a mu- a a achas relaciones. Por ejemplo, si conocemos los ´ngulos de un tri´ngulo y uno a ade sus lados, los otros dos lados est´n completamente determinados, pero en aprincipio no sabemos c´mo calcularlos a partir de estos datos. Este tipo de oproblemas constituye el objeto de la trigonometr´ (gr. ‘medida de tri´ngulos’), ıa aaunque ahora no profundizaremos mucho en ella, pues m´s adelante estaremos aen condiciones de hacerlo con m´s fluidez. a
  • 69. 62 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdeaDefinici´n 3.28 Sea L un ´ngulo agudo de v´rtice O, sea A un punto arbitrario o a een uno de sus lados y sea B el punto donde la perpendicular al lado opuestopor A corta a dicho lado. Entonces el tri´ngulo AOB tiene un ´ngulo recto y otro igual a a ✁ ✁a L, luego sus ´ngulos son independientes de la elecci´n de A a o A✁e incluso del lado en que lo tomamos (m´s a´n, s´lo dependen a u o ✁de la clase de congruencia de L). Si tomamos puntos distintos ✁obtendremos tri´ngulos semejantes, luego podemos definir el seno a ✁ ✁y el coseno de L como las razones ✁ ✁L AB OB O B sen L = , cos L = . OA OA En particular podemos tomar el punto A a una unidad de distancia de O,y entonces el seno y el coseno de L son simplemente AB y OB. El teorema dePit´goras nos da entonces la que llamaremos relaci´n fundamental: a o sen2 L + cos2 L = 1.Puesto que el seno y el coseno dependen s´lo de las clases de congruencia de los oa´ngulos, podemos definir el seno y el coseno de un n´mero real positivo menor uque π como el seno y el coseno de los ´ngulos de amplitud correspondiente. a A✁ Las definiciones de seno y coseno valen tal cual para ✁ ´ngulos obtusos, pero en este caso convendremos en a ✁ que el coseno tiene signo negativo. Es claro entonces ✁ ✁ que se cumplen las relaciones: ✁ ✁ sen α = sen(π − α), cos α = − cos(π − α). ✁ Se sigue cumpliendo la relaci´n fundamental. o ✁ α ✁π − α Observemos que el seno y el coseno pueden carac- O B terizarse del modo siguiente: dado un ´ngulo L, si to- amamos un punto en uno de sus lados a una distancia r del v´rtice, su proyecci´n e osobre el otro se encuentra a una distancia r cos L del v´rtice (donde el signo es enegativo si el punto de corte est´ fuera del lado opuesto) y la distancia entre el apunto y su proyecci´n es r sen L. Ahora bien, todo esto tiene sentido tambi´n o esi el ´ngulo es recto, en cuyo caso la proyecci´n del punto escogido es el propio a ov´rtice del ´ngulo, de modo que todo lo dicho se sigue cumpliendo si definimos e a π π sen = 1, cos = 0. 2 2 Para cada n´mero real α en el intervalo ]−1, 1[ es f´cil construir un ´ngulo u a acon coseno igual a α, que claramente ser´ unico. As´ mismo, si α est´ en el a ´ ı aintervalo ]0, 1] existen exactamente dos ´ngulos (suplementarios) con seno igual aa α. La relaci´n entre las razones trigonom´tricas y los problemas sobre tri´ngulos o e aviene dada por el teorema del coseno y el teorema de los senos, que demostramosa continuaci´n. El teorema del coseno es una generalizaci´n del teorema de o oPit´goras: a
  • 70. 3.4. Las razones trigonom´tricas e 63 Teorema 3.29 (Teorema del coseno) Todo tri´ngulo ABC verifica la re- alaci´n o ˆ a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. ´ Demostracion: Sea P el pie de la altura del tri´ngulo desde C (que puede ao no estar en AB). Podemos suponer que el tri´ngulo no es rect´ngulo, pues si a ano el teorema se reduce al de Pit´goras. Entonces P es distinto de B y C. Sean ac1 , c2 y h las longitudes indicadas en la figura. Por el teorema de Pit´goras se acumple a2 = h2 + c2 , b2 = h2 + c2 , 2 1luego a2 = b2 − c2 + c2 . 1 2 Por otra parte, c = c2 ±c1 , donde el signo es positivo si A es agudo y negativosi es obtuso. As´ c2 = (c ∓ c1 )2 = c2 + c2 ∓ 2cc1 , con lo que a2 = b2 + c2 ∓ 2cc1 . ı, 2 1 ˆAhora bien, c1 = ±b cos A, luego concluimos que a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. ˆ C ✁❍❍❍ ✁ ❍❍ b✁ h a ❍❍ ✁ ❍❍ ✁ ❍❍ ✁ ❍ A c1 P c2 B Para probar el teorema de los senos recordamos que la mediatriz de unsegmento es la perpendicular por su punto medio, as´ como que est´ formada ı apor los puntos que equidistan de sus extremos. Las mediatrices de dos lados de un tri´ngulo ABC, por ejemplo, AB y BC se cortan en un punto O que aequidista de A y B por una parte y de B y C por otra, luego equidista de lostres v´rtices, lo que implica que tambi´n se encuentra sobre la tercera mediatriz. e eDefinici´n 3.30 Se llama circuncentro de un tri´ngulo a la intersecci´n O de o a olas mediatrices de sus lados. La distancia R del punto O a cualquiera de losv´rtices se llama circunradio del tri´ngulo, la circunferencia de centro O y radio e aR se llama circunferencia circunscrita al tri´ngulo. a Claramente la circunferencia circunscrita a un tri´ngulo es la unica que pasa a ´por sus v´rtices. eTeorema 3.31 (Teorema de los senos) Si R es el circunradio de un tri´n- a gulo ABC, entonces se cumple a b c = = = 2R. ˆ sen A ˆ sen B ˆ sen C
  • 71. 64 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea A ´ Demostracion: Sea ω la circunferencia circuns- crita del tri´ngulo. Sea J el punto diametralmente a opuesto a C. Si J = B entonces el ´ngulo A abarca a ˆ un semic´ırculo, luego es un ´ngulo recto, y trivialmente aJ C se cumple a 2R a = = 2R. ˆ sen A 1 B ˆ ˆ Si B 6= J entonces los ´ngulos J y A abarcan arcos aque comparten la cuerda BC. Esto implica que los ´ngulos son iguales o suple- a [mentarios, luego tienen el mismo seno. Por otra parte el ´ngulo JBC es recto, apues abarca un semic´ırculo. As´ pues ı a a a = = = 2R. ˆ sen A ˆ sen J a/2R Si tenemos datos suficientes sobre un tri´ngulo (los tres lados, dos lados y ael ´ngulo que forman, dos ´ngulos y un lado) los teoremas anteriores nos per- a amiten calcular los lados y ´ngulos restantes en t´rminos de senos y cosenos. a eNaturalmente esto no es de mucha utilidad pr´ctica si no sabemos calcular efec- ativamente las razones trigonom´tricas de un ´ngulo, cosa que de momento no e aestamos en condiciones de hacer. Pese a ello, la trigonometr´ es de gran utilidad ıate´rica. Un ejemplo sencillo nos lo proporciona el teorema siguiente, que pro- oporciona una expresi´n para el ´rea de un tri´ngulo donde se ve expl´ o a a ıcitamentesu car´cter invariante. a a a Teorema 3.32 El ´rea de un tri´ngulo ABC viene dada por abc (ABC) = , 4Rdonde R es el circunradio del tri´ngulo. a ´ ˆ Demostracion: La altura de ABC que parte de A es claramente b sen C, ˆy por el teorema de los senos sen C = c/2R. La conclusi´n es obvia. o3.5 Propiedades de los tri´ngulos a Terminaremos el cap´ıtulo introduciendo algunos conceptos adicionales rela-cionados con los tri´ngulos. Con la teor´ que hemos desarrollado estamos en a ıacondiciones de probar resultados interesantes, aunque en los pr´ximos cap´ o ıtulosprofundizaremos m´s en ellos. Cada tri´ngulo tiene asociados varios puntos de a ainter´s. Ya conocemos el circuncentro, que es el punto de intersecci´n de sus e omediatrices. Similarmente podemos considerar el punto de intersecci´n de sus obisectrices.
  • 72. 3.5. Propiedades de los tri´ngulos a 65El incentro Recordemos que la bisectriz de un ´ngulo es la recta que lo divide aen dos ´ngulos iguales, y es f´cil probar que est´ formada por los puntos que a a aequidistan de sus lados (la distancia de un punto a una recta es la longituddel segmento que lo une perpendicularmente con ella). Si dos bisectrices de untri´ngulo se cortan en un punto I, entonces I equidista de los tres lados del atri´ngulo, luego est´ tambi´n sobre la tercera bisectriz. a a eDefinici´n 3.33 Se llama incentro de un tri´ngulo al punto I en el que se cor- o atan sus bisectrices. La distancia r de I a cualquiera de los lados se llama inradiodel tri´ngulo. La circunferencia de centro I y radio r se llama circunferencia ainscrita al tri´ngulo. a El punto donde la perpendicular por el incentro a uno de los lados cortaal lado pertenece a la circunferencia inscrita, luego los lados del tri´ngulo son atangentes a la circunferencia. Circunferencias inscrita y circunscrita de un tri´ngulo a En principio no conocemos los puntos de tangencia, pero podemos deter-minarlos. Para ello consideramos el punto L donde una bisectriz corta al ladoopuesto. Notemos que los dos ´ngulos con v´rtice a e A L son suplementarios, luego tienen el mismo α α seno, al cual podemos llamar sin ambig¨edad u ˆ sen L. El teorema de los senos implica enton- c b ces que BL c LC b = , = , sen α sen L sen α sen LB L C con lo que BL c = . LC b Por lo tanto hemos demostrado:Teorema 3.34 Una bisectriz de un tri´ngulo divide a su lado opuesto en seg- amentos proporcionales a los lados adyacentes.
  • 73. 66 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea Todav´ podemos decir m´s. Llamemos x a la distancia entre A y los puntos ıa adonde la circunferencia inscrita toca a los lados AB y AC (hemos visto que lastangentes por un punto exterior tienen la misma longitud). Similarmente, seay la distancia de B a los puntos de tangencia en BA y BC y z la distancia deC a los puntos de tangencia en CA y CB. Entonces a = y + z, b = x + z, c = x + y. Euler introdujo la costumbre de llamar s al semiper´ımetro de un tri´ngulo, aes decir, s = (a + b + c)/2. En estos t´rminos x + y + z = s, y e x = s − a, y = s − b, z = s − c. A x x y I z B C y z Adem´s, observamos que el tri´ngulo tiene base c y altura r (el inradio) a a AIBluego su ´rea es cr/2. Calculando del mismo modo el ´rea de los otros dos a atri´ngulos y concluimos que a AIC BIC (ABC) = sr.(Es f´cil justificar que (ABC) es la suma de las ´reas de los tres tri´ngulos.) a a aLos excentros Se llaman ´ngulos exteriores de un tri´ngulo los ´ngulos adya- a a acentes a sus ´ngulos (interiores). Cada v´rtice tiene, pues, dos ´ngulos exteriores a e aopuestos por el v´rtice y, por lo tanto, iguales. Los dos ´ngulos exteriores por e aun v´rtice comparten la bisectriz. Consideremos el punto Ia donde se cortan las ebisectrices exteriores de los ´ngulos B y C (es f´cil probar que no pueden ser a aparalelas). Entonces Ia equidista de las prolongaciones de los tres lados, luegoest´ tambi´n sobre la bisectriz del ´ngulo (interior) A. Hemos probado: a e a Las bisectrices exteriores de dos ´ngulos de un tri´ngulo son concu- a a rrentes con la bisectriz interna del tercer ´ngulo. a
  • 74. 3.5. Propiedades de los tri´ngulos a 67 Zb Yc A Ib Ic I Zc Yb Xc Xb B Xa C Ya Za IaDefinici´n 3.35 Llamaremos excentros de un tri´ngulo a los puntos de inter- o asecci´n de cada par de bisectrices exteriores con la bisectriz interior del tercer oa´ngulo. Los representaremos por Ia , Ib , Ic . La distancias de cada excentro a lasprolongaciones de los lados se llaman exradios, ra , rb , rc . Las circunferenciasdeterminadas por los excentros y los exradios se llaman circunferencias excritasal tri´ngulo y son tangentes a un lado y a las prolongaciones de los otros dos. aLas circunferencias excritas y la circunferencia inscrita se llaman circunferenciastritangentes al tri´ngulo. a Es f´cil determinar los puntos donde los exc´ a ırculos tocan a los lados. Note-mos que BX b = BZ b y por otro lado BX b + BZ b = BC + CX b + BA + AZ b = BC + CY b + BA + AY b = a + b + c = 2s. Por consiguiente BX b = s, luego CY b = CX b = BX b − BC = s − a.Similarmente podemos calcular la distancia de cualquier v´rtice a cualquier epunto de tangencia.El teorema de Ceva Los tri´ngulos tienen asociadas varias ternas de rectas aconcurrentes, como, por ejemplo, las bisectrices. El matem´tico italiano Gio- avanni Ceva (1647–1734) obtuvo un resultado general sobre este tipo de rectas,a ra´ del cual se llaman cevianas de un tri´ngulo a las rectas que pasan por ız aun v´rtice y cortan a la prolongaci´n del lado opuesto en puntos distintos de e o
  • 75. 68 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdealos v´rtices, de modo que cuando hablamos de tres cevianas en un tri´ngulo se e asobrentiende que cada una pasa por uno de los v´rtices. e Para enunciar el teorema de Ceva conviene introducir un convenio: si A, B,C y D son cuatro puntos colineales, consideraremos que la raz´n o AB CDes positiva si las relaciones <AB y <CD son iguales, mientras que ser´ negativa asi las relaciones son mutuamente inversas. De este modo, dados tres puntoscolineales A, B y C con A 6= B, existe un unico punto D colineal con ellos y ´para el que la proporci´n anterior tome un valor dado (en principio habr´ dos o ıapuntos posibles, uno en cada semirrecta de origen C, pero el ajuste del signodescarta a uno de ellos).Teorema 3.36 (Ceva) En un tri´ngulo arbitrario, tres cevianas AX, BY , CZ ason concurrentes si y s´lo si o BX CY AZ = 1. XC YA ZB ´ Demostracion: Supongamos en primer Alugar que las cevianas se cortan en un puntoP . Por definici´n de ceviana el punto X es o Z Ydistinto de B y C. As´ mismo, el punto P no ı Ppuede estar en la recta BC, o de lo contrarioser´ Y = C. Por lo dem´s X puede estar o B ıa a X C no entre B y C. En cualquier caso los tri´ngulos ABX y AXC tienen la misma a altura, as´ como P BX y P XC, luego ı Ø Ø Ø BX Ø (ABX) (P BX) ±(ABX) ± (P BX) (ABP ) Ø Ø Ø XC Ø = (AXC) = (P XC) = ±(AXC) ± (P XC) = (ACP ) .(Notar que la elecci´n del signo es la misma en el numerador y el denominador, oseg´n la posici´n de P respecto a A y X.) u o Del mismo modo obtenemos Ø Ø Ø Ø Ø CY Ø (BCP ) Ø AZ Ø (CAP ) Ø Ø= , Ø Ø Ø Y A Ø (BAP ) Ø ZB Ø = (CBP ) .Multiplicando las tres igualdades resulta BX CY AZ = ±1. XC YA ZBEstudiemos el signo. Si dos de los factores son positivos, por ejemplo los dosprimeros, eso significa que X est´ entre B y C y que Y est´ entre A y C. a a −→ − ˆEntonces la semirrecta AX est´ contenida en A, luego ha de cortar al segmento a
  • 76. 3.5. Propiedades de los tri´ngulos a 69 a a a ˆBY , y la intersecci´n es P , luego P est´ en el tri´ngulo, luego est´ en C, luego o− →CZ ha de cortar a AB y la intersecci´n es Z, luego Z est´ entre A y B y el o atercer factor es tambi´n positivo. e S´lo falta ver que los tres factores no pueden ser negativos a la vez. Si as´ o ıfuera, entonces X no est´ entre B y C. Podemos suponer que C est´ entre B a a −→ − ˆy X. Por otra parte Y no est´ entre A y C, luego BY no est´ contenida en B, a aluego no corta a AX, luego P no est´ entre A y X. Distinguimos dos casos: asi es A quien est´ entre P y X, entonces P est´ en el mismo semiplano que A a arespecto a BC y en semiplano opuesto a X respecto a AC, luego en el mismo ˆ −− →que B. Por consiguiente P est´ en C, luego CP corta a AB, y la intersecci´n a oes Z, con lo que el tercer factor es positivo. Si por el contrario es X quien est´aentre A y P entonces P est´ en el mismo semiplano que X respecto a AC, luego aen el opuesto a B, y tambi´n en el semiplano opuesto a A respecto a BC, luego e a a e ˆest´ en el ´ngulo opuesto por el v´rtice a C. Por consiguiente la semirrecta − −→ ˆ luego corta a AB y de nuevo lacomplementaria de CP est´ contenida en C, aintersecci´n ha de ser Z. o Probemos el rec´ ıproco. Si se cumple la relaci´n indicada, sea P el punto odonde AX corta a BY y sea CZ 0 la ceviana que pasa por P . Notar que Z 0 hade ser distinto de A y B, pues en caso contrario P estar´ en uno de los lados ıay X o Y coincidir´ con un v´rtice. Podemos aplicar la parte ya probada a las ıa ecevianas AX, BY , CZ 0 , con lo que obtenemos la relaci´no BX CY AZ 0 = 1. XC YA Z 0BComparando con la hip´tesis concluimos que o AZ AZ 0 = 0 , ZB ZBlo cual s´lo es posible si Z = Z 0 , luego las cevianas dadas se cortan en P . oEl baricentro Una aplicaci´n inmediata del teorema de Ceva nos da la inter- osecci´n de las medianas: oDefinici´n 3.37 Se llaman medianas de un tri´ngulo a los segmentos que unen o acada v´rtice con el punto medio del lado opuesto. El punto de intersecci´n de e olas medianas de un tri´ngulo se llama baricentro (gr./lat. ‘centro de peso’), y lo arepresentaremos por G. A El baricentro debe su nombre a que laf´ ısica demuestra que es el centro de gravedad x zdel tri´ngulo. a C0 B0 Los tri´ngulos marcados con la misma le- a x ztra en la figura tienen la misma ´rea, pues a y y 0comparten una altura y sus bases son iguales. B A C
  • 77. 70 Cap´ ıtulo 3. La geometr´ eucl´ ıa ıdea Por la misma raz´n (BCC 0 ) = (ACC 0 ), luego 2y + x = 2z + x (es claro que opodemos sumar las ´reas). As´ pues y = z, y del mismo modo se concluye que a ılas seis ´reas son iguales. Esto a su vez implica que (GAB) = 2(GBA0 ), y como alos dos tri´ngulos comparten una altura, se ha de cumplir que AG = 2 GA0 . En aotros t´rminos: las medianas de un tri´ngulo se cortan en raz´n 2 : 1. e a oEl ortocentro Veamos que el teorema de Ceva es aplicable a las alturas deun tri´ngulo no rect´ngulo (notemos que las alturas de un tri´ngulo rect´ngulo a a a ase cortan trivialmente en el v´rtice correspondiente al ´ngulo recto). e a Para ello basta observar que A BX ˆ c cos B = , XC ˆ b cos Cdonde el signo del coseno ajusta correctamente Yel signo de la proporci´n (tener presente que a olo sumo uno de los ´ngulos es obtuso). a X B C Las otras dos proporciones se calculan delmismo modo: ˆ ˆ Z CY a cos C AZ b cos A = , = , YA ˆ c cos A ZB ˆ a cos B Hy es claro que su producto es 1.Definici´n 3.38 La intersecci´n de las alturas de un tri´ngulo se llama orto- o o acentro (gr./lat. ‘centro de perpendiculares’), y lo representaremos por H. Si eltri´ngulo no es rect´ngulo, los pies de las alturas determinan un tri´ngulo que a a arecibe el nombre de tri´ngulo ´rtico. a o Es f´cil comprobar que las bisectrices de dos ´ngulos adyacentes son perpen- a adiculares, de donde se sigue que todo tri´ngulo es el tri´ngulo ´rtico del tri´ngulo a a o aformado por sus excentros. Veamos que se cumple el rec´ ıproco. Consideremosun tri´ngulo acut´ngulo. a a A Es claro que el circuncentro de un tri´ngulo a rect´ngulo es el punto medio de su hipotenusa. a Por lo tanto, los tri´ngulos BF H y BHD tienen el a E mismo circuncentro, luego los cuatro puntos B, F , F E y D est´n sobre un mismo c´ a ırculo. Por lo tanto H y F DH son iguales (abarcan los ´ngulos F BH a el mismo arco). El primero es claramente π − A, ˆ B D C luego lo mismo vale para el segundo. Por el mismo ˆ argumento EDH = π − A. Vemos, pues, que laaltura AD divide el ´ngulo D a ˆ del tri´ngulo ´rtico en dos ´ngulos iguales, o sea, a o a ˆes la bisectriz de D. Adem´s entonces el lado BC es la bisectriz de los ´ngulos a a ˆadyacentes de D. Como esto es v´lido por igual para todos los v´rtices, hemos a eprobado lo siguiente:
  • 78. 3.5. Propiedades de los tri´ngulos a 71 El ortocentro y los v´rtices de un tri´ngulo acut´ngulo coinciden e a a respectivamente con el incentro y los excentros de su tri´ngulo ´rtico. a o La situaci´n es similar en el caso de tri´ngulos obtus´ngulos. De hecho, si en o a a la figura anterior consideramos que AHC es un tri´ngulo obtus´ngulo arbitrario, a a entonces DEF sigue siendo el tri´ngulo ´rtico y B es el ortocentro, de modo a oque en un tri´ngulo obtus´ngulo, el v´rtice correspondiente al ´ngulo obtuso es a a e ael incentro del tri´ngulo ´rtico y el ortocentro junto con los otros dos v´rtices a o eson los excentros. Dejamos las comprobaciones a cargo del lector. Para terminar se˜alamos que los tri´ngulos , DF B y DEC son todos n a AEF semejantes a ABC.
  • 79. Cap´ ıtulo IVLa geometr´ anal´ ıa ıtica En el siglo XVII, Descartes revolucion´ la geometr´ al descubrir la geometr´ o ıa ıaanal´ ıtica, una potente t´cnica capaz de convertir los problemas geom´tricos en e eproblemas algebraicos equivalentes y, a menudo, m´s f´ciles de tratar.1 Por a acontraposici´n, el tratamiento de la geometr´ que hemos seguido hasta ahora o ıarecibe el nombre de geometr´ sint´tica. La primera secci´n de este cap´ ıa e o ıtulocontiene los resultados t´cnicos necesarios para que el tr´nsito de una a la otra e ase produzca sin salto l´gico alguno. o4.1 VectoresDefinici´n 4.1 Una recta orientada es una recta en la que hemos fijado una ode las ordenaciones <AB determinadas por dos cualesquiera de sus puntos. Una misma recta da lugar a dos rectas orientadas distintas. Si fijamos unpunto P en una recta orientada r, entonces P divide a r en dos semirrectas, unaformada por los puntos menores o iguales que P y otra por los puntos mayores oiguales que P . Las llamaremos, respectivamente, semirrecta menor y semirrectamayor. Diremos que dos rectas paralelas orientadas r y s tienen la misma orientaci´n osi existe una recta t que las cruza en puntos P y P 0 de modo que las semirrectasmenores determinadas por estos puntos est´n contenidas en el mismo semiplano erespecto de t. Veamos que esta definici´n no depende de la recta t escogida. En efecto, osupongamos que esto se cumple con una recta t y que t0 es cualquier otra rectaque corte a r y a s en dos puntos Q y Q0 . Tomemos puntos A y A0 en r y s quesean menores que P , Q, P 0 , Q0 respectivamente. Basta probar que t0 no corta al 0segmento AA , pues entonces A y A0 est´n en el mismo semiplano respecto a t0 , ay como est´n ambos en las semirrectas menores respecto a P 0 y Q0 , concluimos aque ambas est´n en el mismo semiplano respecto a t0 . a 1 Al parecer, Descartes parti´ de una sugerencia que le hizo Fermat en una carta. o 73
  • 80. 74 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica 0 Supongamos que AA corta a t0 . Es f´cil ver que a 0 A 0 P 0 Q s 0 entonces de hecho corta al segmento QQ (El primer segmento est´ contenido en la banda determinada a por r y s, esto es, en la intersecci´n del semiplano o A Q P r de frontera r que contiene a s con el semiplano defrontera s que contiene a r. Por otra parte la intersecci´n de t0 con esta banda o 0 0es QQ , luego si la recta corta a AA el punto de corte ha de estar en dichosegmento.) 0 0 Si AA corta a QQ y P 6= Q, entonces el axioma B5 aplicado al tri´nguloaP QQ0 obtenemos que AA0 corta a P Q0 (no puede cortar al otro lado P Q porqueentonces A estar´ entre P y Q). Si P = Q tenemos directamente que AA0 corta ıaa PQ a 0 . Por el mismo argumento aplicado al tri´ngulo P Q0 P 0 llegamos a que 0 0AA corta a P P , pero el punto de corte ha de estar en AA , con lo que A y A0 0est´n en semiplanos distintos respecto de t, en contradicci´n con la hip´tesis. a o o As´ pues, siempre que una recta t corta a dos rectas paralelas igualmente ıorientadas r y s, las semirrectas menores quedan en el mismo semiplano (y lasmayores tambi´n). e A partir de aqu´ se sigue inmediatamente que el estar igualmente orientado es ıuna relaci´n de equivalencia, es decir, que si dos rectas paralelas est´n orientadas o aigual que una tercera, entonces est´n igualmente orientadas. Por lo tanto, cada ahaz de rectas paralelas admite dos orientaciones posibles.Definici´n 4.2 Un vector fijo (lat ‘transportador’) es un par ordenado de pun- o − −→tos del plano. Lo representaremos P Q (no confundir con la notaci´n para las o − −→semirrectas). El punto P se llama origen del vector P Q, mientras que el puntoQ es el extremo. Si el origen es igual al extremo diremos que el vector es nulo. − −→ − −→ Llamaremos norma de un vector fijo P Q a la longitud kP Qk del segmentoP Q (respecto a una unidad de longitud prefijada). Convenimos que la longitudde los vectores nulos es 0. − −→ Llamaremos direcci´n de un vector fijo no nulo P Q al haz de todas las rectas o − −→ −0− 0 −→paralelas a P Q, de modo que dos vectores P Q y P Q tienen la misma direcci´n osi y s´lo si las rectas P Q y P 0 Q0 son paralelas o iguales. o −− → Llamaremos sentido de un vector fijo no nulo P Q al conjunto de las relacionessobre las rectas paralelas a P Q que inducen la misma orientaci´n que <P Q . De oeste modo, los vectores fijos no nulos con una misma direcci´n quedan divididos o −−→ − −→en dos clases de vectores de sentidos opuestos. Los vectores P Q y QP tienensentidos opuestos. −− → −− −→ Diremos que dos vectores fijos P Q y P 0 Q0 son equipolentes (lat. de igual fuerza) si ambos son nulos o si ambos son no nulos y tienen la misma norma, la misma direcci´n y el mismo sentido. o Es claro que la equipolencia es una relaci´n de oVectores equipolentes equivalencia.
  • 81. 4.1. Vectores 75 Un vector libre es una clase de equipolencia de vectores fijos. Si ~ es un vvector libre, a los vectores fijos que lo componen los llamaremos trasladados − −→ −−→de ~ . Si P Q es un trasladado de ~ escribiremos simplemente ~ = P Q. Por v v vdefinici´n de equipolencia, los vectores nulos forman un mismo vector libre al oque representaremos por ~ Llamaremos norma, direcci´n y sentido de un vector 0. olibre al de cualquiera de sus trasladados. Dado un punto P y un vector libre ~ , existe un unico punto Q tal que v ´ −−→ ~ es claro. Si ~ = − un vector con origen P y la −→~ = P Q. En efecto, si ~ = 0v v v AB,misma direcci´n que ~ ha de tener el extremo en la recta paralela (o igual) a AB o v −− →por P . En dicha recta hay dos puntos Q tales que P Q tiene la misma normaque ~ , y cada uno de ellos determina una ordenaci´n <P Q diferente, luego s´lo v o o − −→uno de ellos hace que P Q tenga el mismo sentido que ~ . v −−→ Al unico punto Q que cumple P Q = ~ lo llamaremos trasladado de P por ~ ´ v v −− →y lo representaremos por Q = P + ~ . Tambi´n diremos que P Q es el trasladado v e − −→de ~ de origen P . En particular tenemos P + P Q = Q. v Es claro que dos vectores libres no nulos ~ y w tienen la misma direcci´n si v ~ o −− → −− →y s´lo si al tomar trasladados ~ = P Q y w = P Q0 con origen com´n se cumple o v ~ uque P , Q y Q0 son colineales. Adem´s tendr´n el mismo sentido si y s´lo si Q a a oy Q0 est´n en la misma semirrecta respecto a P . a Dado un vector libre ~ 6= 0 y un n´mero real α 6= 0, definimos el vector libre v uα~ como el unico vector con norma |α| k~ k, la misma direcci´n que ~ y el mismo v ´ v o vsentido que ~ o sentido opuesto seg´n si α > 0 o α < 0. Definimos tambi´n v u e0~ = α~ = ~ Es f´cil comprobar que (αβ)~ = α(β~ ), as´ como que 1~ = ~ . v 0 0. a v v ı v v − −→ Dada una recta r, un vector director de r es cualquier vector ~ = P Q, donde vP y Q son dos puntos distintos de r.Teorema 4.3 Si P es un punto de una recta r y ~ es un vector director, en- vtonces cada punto de r se expresa de forma unica como Q = P + λ~ , con λ ∈ R. ´ v −− → Demostracion: Tenemos ~ = P P 0 , para un cierto P 0 en r. Por lo tanto ´ v − −→los vectores ~ y P Q tienen la misma direcci´n. Por lo tanto existe un λ ∈ R tal v o − −→que P Q = λ~ , luego Q = P + λ~ . v v Si Q = P + λ~ = P + λ0~ , entonces λ~ = λ0~ . Obviamente λ = 0 si y s´lo si v v v v o 0λ = 0. Si no son nulos, comparando las normas y los sentidos concluimos queλ = λ0 . P + λ~ v ~ v r P
  • 82. 76 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Es f´cil ver que Pλ = P + λ~ es una graduaci´n de la recta r. a v o M´s en general, si r es una recta graduada y ~ es un vector director, entonces a v −− −→ −→ − −− −→~ = P0 Pβ , para alg´n β. Entonces Q = Pα + ~ cumple que Pα Q = ~ = P0 Pβ ,v u v vluego Q est´ en r y dista |β| unidades de Pα , por lo que claramente Q = Pα±β . a Si β > 0 entonces P0 < Pβ , luego Pα < Q (pues ambos pares de puntos hande inducir el mismo orden en r), luego Q = Pα+β . Similarmente, si β < 0 ha deser Q < Pα , luego tambi´n Q = Pα+β . As´ pues, en toda recta graduada e ı −− −→ Pα + P0 Pβ = Pα+β .En particular P + (α + β)~ = (P + α~ ) + β~ v v v Las propiedades b´sicas de los vectores se siguen del teorema siguiente. aTeorema 4.4 Para todo par de puntos A y B y todo vector libre ~ , si A0 = A+~ v v − −→ −−−→y B 0 = B + ~ , entonces AB = A0 B 0 . v Demostracion: Podemos suponer que ~ 6= ~ Supongamos ahora que A, ´ v 0. 0B y A est´n alineados. Graduemos la recta que los contiene tomando P0 = A a −− −→y P1 = B. Sea ~ = P0 Pα . Entonces A + ~ = Pα y B + ~ = P1+α , y claramente v v v−− −→ − → −P0 P1 = Pα Pα+1 (ambos miden una unidad de longitud e inducen la ordenaci´n ode la graduaci´n). o Supongamos ahora que A0 no est´ en AB. Entonces las rectas AA0 y BB 0 ason paralelas. Si las ordenamos con las relaciones <AA0 y <BB 0 la orientaci´n oes la misma, luego A0 y B 0 est´n en el mismo semiplano respecto de AB. a La paralela a AB que pasa por A0 corta a BB 0 A✑0 ✲ B0 ✑✸ ✑✸ ✑ en un punto X que forma un paralelogramo con A, ✑ ~ v ✲✑ ~ v A0 , B, luego X dista de B lo mismo que A0 dista de A B A, luego lo mismo que B 0 dista de B. Como adem´s a 0B y X est´n en el mismo semiplano respecto de AB (el que contiene a B), de a −− −→hecho est´n en la misma semirrecta de origen B, luego X = B 0 . As´ pues, A0 B 0 a ı − − →y AB tienen la misma direcci´n y la misma norma. Como la recta AA0 deja a B oy a B 0 en el mismo semiplano, el sentido tambi´n es el mismo (B 0 y B est´n en e a −0− 0 − −→ − →las semirrectas mayores para las ordenaciones que inducen A B y AB). Estoprueba que los dos vectores son iguales.Teorema 4.5 Para todos los puntos A y B y todos los vectores ~ y w se cumple: v ~ 1. Si A + ~ = B + ~ entonces A = B. v v 2. Si A + ~ = A + w entonces ~ = w. v ~ v ~ 3. (A + ~ ) + w = (A + w) + ~ . v ~ ~ v −→ − → − − 4. Si A0 = (A + ~ ) + w y B 0 = (B + ~ ) + w, entonces AA0 = BB 0 . v ~ v ~
  • 83. 4.1. Vectores 77 ´ Demostracion: 1) Si llamamos C = A + ~ = B + ~ , el teorema anterior v v − −→ − −→nos da que AB es equipolente a CC, luego ha de ser A = B. −→ 2) Si C = A + ~ = A + w, obviamente ~ = AC = w. v ~ v ~ 3) Sean B = A + ~ , A0 = A + w y B 0 = B + w. Por el teorema anterior v ~ ~−0− 0 −−→ − →A B = AB = ~ . As´ v ı −− −→ (A + ~ ) + w = B + w = B 0 , (A + w) + ~ = A0 + A0 B 0 = B 0 . v ~ ~ ~ v − −→ 4) Sea ~ = AB. Entonces x B 0 = (B + ~ ) + w = ((A + ~ ) + ~ ) + w = ((A + ~ ) + w) + ~ = A0 + ~ , v ~ x v ~ v ~ x x − −→ −− −→y como tambi´n B = A + ~ , el teorema anterior implica que AB = A0 B 0 . e x La propiedad 4) del teorema anterior nos permite definir la suma de dosvectores ~ y w como el vector ~ + w que cumple v ~ v ~ A + (~ + w) = (A + ~ ) + w, v ~ v ~para todo punto A.Teorema 4.6 El conjunto V de los vectores libres con la suma y el productoque hemos definido forma un espacio vectorial sobre R en el sentido algebraicodel t´rmino, es decir, se cumplen las propiedades siguientes: e 1. (~ + w) + ~ = ~ + (w + ~ ), v ~ x v ~ x 2. ~ + w = w + ~ , v ~ ~ v 3. ~ + ~ = ~ , v 0 v 4. Para cada vector ~ existe un vector −~ tal que ~ + (−~ ) = ~ v v v v 0, 5. α(β~ ) = (αβ)~ , v v 6. (α + β)~ = α~ + β~ , v v v 7. α(~ + w) = α~ + αw, v ~ v ~ 8. 1~ = ~ . v v ´ Demostracion: Todas las propiedades son inmediatas a partir de lo yaprobado salvo la s´ptima. Las propiedades restantes permiten reducir la prueba eal caso en que α > 0 y los vectores ~ y w tienen direcciones distintas. v ~ C0 ✟ ✟❆ ✟✟ ❆ C ✟✟ ❆ ✟✟❆ ❆ ✟✟ ❆w ~ ❆ ✟✟ ~ v ❆ ❆ A B = A+~ v B 0 = A + α~ v
  • 84. 78 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Sea A un punto cualquiera, B = A + ~ , C = A + ~ + w y B 0 = A + α~ . Sea v v ~ vC el punto donde la paralela a BC por B 0 corta a AC. 0 −− −→ Entonces B 0 C 0 tiene la misma direcci´n y sentido que w, y por el teorema de o ~ −− −→ −→ −Tales su norma es αkwk, luego B 0 C 0 = αw y por consiguiente AC 0 = α~ + αw. ~ ~ v ~ −→ −0 Por otra parte AC tiene la misma direcci´n y sentido que ~ + w y tambi´n o v ~ e −→ −por el teorema de Tales, su norma es αk~ + wk, luego AC 0 = α(~ + w). v ~ v ~ El teorema 4.3 se interpreta ahora como que una recta est´ formada por alos trasladados de uno cualquiera de sus puntos mediante los vectores de unsubespacio vectorial de V de dimensi´n 1. Vamos a probar un resultado an´logo o apara los planos:Teorema 4.7 Sea π un plano, sean P , Q y R tres puntos de π no colineales. − −→ −→Sean ~ = P Q y ~ = P R. Entonces cada punto de π se expresa de forma unica u v ´como X = P + λ~ + µ~ , λ, µ ∈ R. u v ´ Demostracion: Dado un punto X en π, consideramos la recta paralela a ´P R que pasa por X. Esta cortar´ a P Q en un punto de la forma Y = P + λ~ . a u −→ − −→El vector Y X tiene la misma direcci´n que P R = ~ , luego ser´ de la forma o v a−→ −Y X = µ~ . As´ v ı −→ −→ − − X = P + P Y + Y X = P + λ~ + µ~ . u vLa unicidad equivale a que los vectores ~ y ~ sean linealmente independientes, u vpero esto se sigue de que P , Q y R no son colineales. Es f´cil ver de modo asimilar que todo punto de la forma indicada est´ en π. a Del mismo modo tenemos: − −→Teorema 4.8 Sean P , Q, R, S cuatro puntos no coplanares. Sean ~ = P Q, u −→ −→~ = P R y w = P S. Entonces todo punto X se expresa de forma unica comov ~ ´ X = P + λ~ + µ~ + ν w, u v ~ λ, µ, ν ∈ R. ´ Demostracion: La recta paralela a P S que pasa por X cortar´ al plano aP QR en un punto que por el teorema anterior ser´ de la forma a Y = P + λ~ + µ~ . u v −→ − −→ −→ − El vector Y P tiene la misma direcci´n que P S = w, luego Y P = ν w. Como o ~ ~en el teorema anterior concluimos que X tiene la forma indicada. La expresi´n oes unica porque los vectores ~ , ~ y w son linealmente independientes (o de lo ´ u v ~contrario todo el espacio estar´ contenido en un plano). ıa El teorema anterior implica que el espacio de los vectores libres tiene di-mensi´n 3. o
  • 85. 4.2. Espacios afines 794.2 Espacios afines Los resultados algebraicos que hemos obtenido en la secci´n anterior se ex- opresan m´s adecuadamente en t´rminos del concepto siguiente: a e o ın o ~Definici´n 4.9 Un espacio af´ de dimensi´n n es una terna (E, E, +), dondeE es un conjunto no vac´ a cuyos elementos se les llama puntos, E ıo, ~ es un espacio o o ~vectorial de dimensi´n n sobre un cuerpo K y + es una aplicaci´n E × E −→ Eque cumple las propiedades siguientes: 1. Para cada par de puntos P , Q, existe un unico vector ~ tal que Q = P +~ , ´ v v − −→ y se le representa por ~ = P Q. v 2. P + ~ = P , 0 3. (P + ~ ) + w = P + (~ + w). v ~ v ~ En la secci´n anterior hemos probado que el espacio de la geometr´ (tri- o ıadimensional) eucl´ıdea es un espacio af´ tridimensional con R como cuerpo de ınescalares. Es f´cil demostrar que todas las propiedades de vectores que hemos aprobado all´ son v´lidas en cualquier espacio af´ Por ejemplo, ı a ın. − −→ − − → − −→ − −→ −−→ P + P Q + QP = Q + QP = P = P + ~ 0, luego QP = −P Q. −− → − −→ − → Del mismo modo se prueba que P Q + QR = P R. Una variedad lineal2 de dimensi´n m en un espacio af´ es un conjunto de o ınpuntos de la forma ~ ~ ~ ~ L = P + L = {P + w | w ∈ L}, ~ ~donde L es un subespacio vectorial de E de dimensi´n m, llamado espacio odirector de la variedad. ~ ~ ~ Notemos que L = {~ ∈ E | P + ~ ∈ L}, luego L est´ determinado por L. v v aRec´ıprocamente, una variedad lineal L est´ determinada por su espacio director a~ ~ − −→ ~L y uno cualquiera de sus puntos, pues si Q ∈ P + L, entonces P Q ∈ L, luego ~ − −→ ~ ~Q + L = P + P Q + L = P + L = L. En la secci´n anterior hemos probado que las rectas son las variedades linea- oles de dimensi´n 1 del espacio de la geometr´ eucl´ o ıa ıdea, mientras que los planosson las variedades de dimensi´n 2. Por ello las variedades lineales de dimensi´n o o1 y 2 de cualquier espacio af´ reciben el nombre de rectas y planos. Las va- ınriedades lineales de dimensi´n 0 son los puntos (con rigor, los conjuntos con un osolo punto). En un espacio af´ de dimensi´n n, las variedades de dimensi´n ın o on − 1 se llaman hiperplanos. ~ Toda variedad lineal L = P + L de dimensi´n m se puede considerar en o ı ın o ~s´ misma como un espacio af´ de dimensi´n m con L como espacio vectorialasociado. 2 El nombre hace referencia a que los elementos de una variedad est´n determinados por avarias coordenadas.
  • 86. 80 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Dado un conjunto de puntos A 6= ∅, existe una m´ ınima variedad lineal que locontiene, la llamaremos la variedad lineal generada por A y la representaremospor hAi. En efecto, si P ∈ A es f´cil ver que a ≠− −→ Æ hAi = P + P Q | Q ∈ A .es una variedad que contiene a A y est´ contenida en cualquier otra que cumpla alo mismo. Diremos que n + 1 puntos A0 , . . ., An son af´ ınmente independientes si lavariedad lineal que generan tiene dimensi´n n (en caso contrario se dice que son oaf´ ınmente dependientes). Seg´n lo que acabamos de ver, esto equivale a que los u −→ − −→ −vectores A0 A1 , . . ., A0 An sean linealmente independientes. En particular tres puntos P , Q, R son colineales si y s´lo si son af´ o ınmente − −→ − →dependientes, si y s´lo si los vectores P Q y P R son linealmente dependientes. o − − −→ →An´logamente, cuatro puntos P , Q, R, S son coplanares si y s´lo si P Q, P R y a o−→P S son linealmente dependientes, etc. Es claro que en un espacio af´ de dimensi´n n hay conjuntos af´ ın o ınmenteindependientes con n + 1 puntos, pero no con m´s.a Diremos que dos variedades lineales son paralelas si no tienen puntos encom´n y el espacio director de una est´ contenido en el de la otra. u a El teorema siguiente prueba que esta noci´n general de paralelismo coincide ocon la que conocemos para rectas y planos en los espacios tridimensionales.Teorema 4.10 Dos variedades lineales de dimensiones k y l con k ≤ l sonparalelas si y s´lo si no tienen puntos en com´n y est´n contenidas en una o u avariedad de dimensi´n l + 1. o ´ Demostracion: Sean P + h~1 , . . ., ~k i y Q + hw1 , . . ., wl i las dos varie- v v ~ ~dades. Supongamos que no se cortan y est´n contenidas en una variedad de a − −→dimensi´n l + 1. Veamos en primer lugar que P Q no es combinaci´n lineal de o ov1 , . . ., ~k , w1 , . . ., wl . Si lo fuera tendr´ v ~ ~ ıamos − −→ α1~1 + · · · αk~k = P Q + β1 w1 + · · · βl wl , v v ~ ~con lo que el punto P + α1~1 + · · · αk~k = Q + β1 w1 + · · · βl wl v v ~ ~estar´ en las dos variedades. ıa Una variedad de dimensi´n l + 1 que contenga a ambas variedades contiene a olos puntos P , Q, P +~i , Q + wi , luego su espacio director contiene a los vectores v ~ D− E−−→ −→P Q, ~i , wi . Como la dimensi´n es l+1 dicho espacio ha de ser P Q, w1 , . . ., wl , v ~ o ~ ~luego D− E −→ h~1 , . . ., ~k i ⊂ P Q, w1 , . . ., wl , v v ~ ~
  • 87. 4.2. Espacios afines 81 − −→y como P Q no es combinaci´n lineal de ninguno de los dem´s vectores, o a h~1 , . . ., ~k i ⊂ hw1 , . . ., wl i , v v ~ ~lo que prueba que las variedades son paralelas. Rec´ ıprocamente, si se da la inclusi´n anterior entonces las dos variedades D− o E − →est´n contenidas en la variedad P + P Q, w1 , . . ., wl . a ~ ~ As´ dos rectas son paralelas si y s´lo si no se cortan y est´n contenidas en un ı o aplano, dos hiperplanos (en particular dos planos en un espacio tridimensional)son paralelos si y s´lo si no se cortan. oEjercicio: Probar que si dos variedades lineales tienen intersecci´n no vac´ entonces o ıa´sta es una variedad lineal y que su espacio director es la intersecci´n de los espaciose odirectores. Es f´cil comprobar que cualquier espacio af´ de dimensi´n 3 cumple el grupo a ın ode axiomas A del cap´ıtulo I, as´ como el axioma E. De hecho, si la dimensi´n es ı o2 se siguen cumpliendo los axiomas que no hablan de planos, y si la dimensi´noes mayor que 3 se cumplen todos los axiomas del grupo excepto A6. Por ejemplo, si dos planos en un espacio tridimensional tienen un puntoen com´n P , la intersecci´n es una variedad lineal cuyo espacio director es la u ointersecci´n de dos subespacios de dimensi´n 2, luego la relaci´n o o o dim(V + W ) = dim V + dim W − dim(V ∩ W )implica que la dimensi´n de la intersecci´n ha de ser al menos 1, luego la inter- o osecci´n es un plano o una recta. o Si el cuerpo K del espacio af´ est´ ordenado (como es el caso de R) podemos ın adefinir el orden <AB en la recta AB como el dado por3 − −→ − −→ X <AB Y si y s´lo si X = A + λ AB, Y = A + µ AB y λ < µ. oCon este orden se satisface tambi´n el grupo de axiomas B. Vamos a demostrar ecomo ejemplo el axioma B5, que es el m´s t´cnico. Notemos en general que los a epuntos situados entre dos puntos A y B son los de la forma − −→ A + λ AB, λ ∈ [0, 1]. Sean A, B y C tres puntos no colineales y una recta r en su mismo planoque no pasa por ninguno de ellos, pero s´ por un punto X entre A y B. Sea ~ ı vun vector director de r, es decir, r = X + h~ i. v −→ − Los vectores ~ y XB han de ser linealmente independientes, pues en caso v −→ −contrario B estar´ en r. El punto A est´ en la recta XB, luego A = X + αXB, ıa a −→ 3 Notemos que en el caso del espacio eucl´ ıdeo hemos probado que Xλ = A + λ AB es unagraduaci´n de AB, luego esta definici´n da el orden usual. o o
  • 88. 82 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica −→ −para cierto escalar α. Como ha de ser A <XB X y X = X + 0XB, la definici´n ode orden implica que α < 0. D −→ E − Es claro que el plano X + XB, ~ es ABC. Por lo tanto v −→ − C = X + β XB + γ ~ , vpara ciertos escalares β, γ. No puede ser β = 0 o de lo contrario C estar´ en r. ıaDe hecho, el argumento que sigue va a demostrar que el signo de β ser´ positivo ao negativo seg´n que C est´ en el mismo semiplano que B o que A respecto a r. u e Supongamos por ejemplo que β > 0 y vamos a ver que r corta a AC. Elpunto de corte entre r y AC (si existe) ha de cumplir −→ X + λ~ = A + µ AC vpara ciertos escalares λ y µ, luego −→ − −→ −→ − − −→ − −→ − −→ −X + λ~ v = X + XA + µ(XC − XA) = X + α XB + µ(β XB + γ ~ − α XB) v ° ¢ −→ − = X + α + µ(β − α) XB + µβ ~ . v Esto sucede exactamente cuando −α µ= , β−αque, teniendo en cuenta los signos, es un n´mero entre 0 y 1, luego el punto de u −→corte A + µ AC est´ ciertamente entre A y C. Similarmente se prueba que r no acorta al segmento BC. Como ya hemos comentado, en la prueba se ha visto que si r es una rectaque contiene a un punto X y B es un punto exterior a r, entonces un punto Cest´ en el semiplano4 de frontera r que contiene a B si y s´lo si es de la forma a o −→ − C = X + β XB + γ~ , v con β ≥ 0. Equivalentemente, dada una recta r = P + h~ i, todo plano que la contiene ves de la forma π = P + h~ , wi, para un cierto vector w independiente de ~ , y v ~ ~ ventonces los semiplanos que r determina en π son {P + λ~ + µw | µ ≥ 0} y {P + λ~ + µw | µ ≤ 0}. v ~ v ~ Dada una recta r = O + h~ i, es f´cil ver que las semirrectas que O determina v aen r son los conjuntos {O + λ~ | λ ≥ 0} y {O + λ~ | λ ≤ 0}. v v 4 Desdeel momento en que hemos probado que todo espacio af´ (sobre un cuerpo ordenado) ınsatisface los grupos de axiomas A y B, todos los conceptos definidos a partir de ellos tienensentido en cualquier espacio af´ en estas condiciones (segmentos, semirrectas, etc.). ın
  • 89. 4.2. Espacios afines 83 Por lo tanto, el ´ngulo de v´rtice O y lados las semirrectas a e {O + λ~ | λ ≥ 0} y {O + λw | λ ≥ 0} v ~es el conjunto A(O; ~ , w) = {O + λ~ + µw | λ ≥ 0 y µ ≥ 0}. v ~ v ~ Es f´cil comprobar que todo espacio af´ sobre R cumple tambi´n el axioma a ın eD, luego en total tenemos que la geometr´ af´ satisface todos los grupos de ıa ınaxiomas a excepci´n del grupo C. No tiene sentido plantearse si los espacios oafines cumplen estos axiomas porque en ellos no tenemos definida la noci´n de ocongruencia. Terminamos la secci´n estudiando brevemente las aplicaciones que conservan ola estructura af´ ın.Definici´n 4.11 Sean E y F dos espacios afines. Una aplicaci´n af´ o afinidad o o ınentre E y F es una aplicaci´n f : E −→ F tal que para todo punto P de E se ocumple ~− −→ f (P ) = f (O) + f (OP ), ~ ~ ~donde O es un punto prefijado en E, y f : E −→ F es una aplicaci´n lineal, ollamada aplicaci´n lineal asociada a f . o En primer lugar hemos de notar que si f admite una expresi´n como la o ~indicada para un punto O y una cierta aplicaci´n lineal f , entonces f admite ouna expresi´n an´loga para cualquier otro punto O0 y con la misma aplicaci´n o a o~ ~ −→−f . En efecto, puesto que f (O0 ) = f (O) + f (OO0 ), resulta que ~− −→ ~− −→ ~ −→− ~ −→− f (P ) = f (O) + f (OP ) = f (O0 ) + f (OP ) − f (OO0 ) = f (O0 ) + f (O0 P ).En particular una afinidad determina su aplicaci´n lineal asociada. o o ~ Notemos que la relaci´n entre f y f se puede escribir tambi´n en la forma e~(−Q) = −(P − (Q), para todo par de puntos P y Q. Teniendo esto en cuenta esf P − → − −→ − − f )ff´cil comprobar que la composici´n de aplicaciones afines es una aplicaci´n af´ a o o ın,as´ como que la inversa de una biyecci´n af´ es una biyecci´n af´ Adem´s ı o ın o ın. a−→ ~ − −→ − ~f ◦ g = f ◦ ~ y f −1 = (f )−1 . g Se prueba sin dificultad que las biyecciones afines conservan todas las propie-dades definibles a partir de la estructura de espacio af´ aplican variedades en ın:variedades, paralelas en paralelas, semiplanos en semiplanos, ´ngulos en ´ngulos, a atri´ngulos en tri´ngulos, conservan las relaciones de orden de las rectas, etc. a a
  • 90. 84 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica4.3 Coordenadas cartesianas y baric´ntricas e Tras todas estas consideraciones podemos exponer el n´cleo de la geometr´ u ıaanal´ ıtica, en virtud de la cual los conceptos geom´tricos se caracterizan en et´rminos de ecuaciones y desigualdades. Para ello necesitamos los conceptos ede sistema de referencia y coordenadas de un punto.Definici´n 4.12 Un sistema de referencia en un espacio af´ E est´ formado o ın a e e ~por un punto O y una base (~1 , . . . , ~n ) del espacio E. Fijado un sistema de referencia, podemos identificar cada vector ~ con susvcoordenadas en la base del sistema. As´ ~ = (x1 , . . ., xn ) se interpreta como que ı, v~ = x1~1 + · · · xn~n . Llamaremos vector de posici´n de un punto P (siemprev e e o −−→respecto al sistema de referencia fijado) al vector OP . Las coordenadas carte-sianas (lat. ‘de Descartes’) de un punto P ser´n las coordenadas de su vector ade posici´n. Escribiremos P (x1 , . . ., xn ) para indicar que las coordenadas de P oen un sistema de referencia dado son (x1 , . . ., xn ). Seg´n lo dicho, esto equivale ua que P = O + x1~1 + · · · + xn~n . e e Por ejemplo, si tomamos dos rectas que se corten perpendicularmente enun punto O, las graduamos con la misma unidad y consideramos los vectores − −→ −→ −~ = OP1 , w = OQ1 (donde P1 y Q1 son los respectivos puntos unitarios de lasv ~rectas) los resultados de la secci´n anterior muestran que tenemos un sistema ode referencia cartesiano, y las coordenadas (x, y) de un punto P se interpretancomo los n´meros asociados por las graduaciones a las proyecciones de P por urectas paralelas a las rectas OP1 y OQ1 , es decir, sus distancias al origen m´s aun signo que indica la semirrecta en la que se encuentran. La recta O + λ~ , vcuyos puntos tienen coordenadas (x, 0), se llama simplemente ‘Eje X’ o eje deabscisas, mientras que la recta O + λw recibe el nombre de ‘Eje Y ’, o eje de ~ordenadas. Eje Y y P (x, y) Q1 P1 x Eje X Igualmente podemos interpretar las coordenadas (x, y, z) de un punto delespacio respecto a un sistema de referencia determinado por tres rectas per-pendiculares graduadas con la misma unidad (ejes X, Y y Z). Conviene tenerpresente que la definici´n de sistema de referencia no exige que los ejes se tomen operpendiculares. De hecho la noci´n de perpendicularidad no est´ definida en o aun espacio af´ arbitrario. ın
  • 91. 4.3. Coordenadas cartesianas y baric´ntricas e 85 Consideremos un hiperplano H = P + h~1 , . . . , ~n−1 i en un espacio af´ en el v v ınque hemos fijado un sistema de referencia de origen O. Un punto Q(x1 , . . ., xn ) − −→est´ en H si y s´lo si P Q ∈ h~1 , . . . , ~n−1 i. Si (p1 , . . . , pn ) son las coordenadas de a o v v −−→ −→ − − −→P , entonces las coordenadas de P Q = OQ− OP son (x1 −p1 , . . ., xn −pn ), luegola condici´n anterior equivale a que el determinante formado por este vector y olas coordenadas de los ~i sea igual a O. Esto se traduce en una ecuaci´n de la v oforma a1 x1 + · · · + an xn = b,donde necesariamente alguno de los coeficientes es no nulo. Rec´ıprocamente, el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen unaecuaci´n de esta forma es un hiperplano. En efecto, el miembro izquierdo de la oecuaci´n define una aplicaci´n lineal no nula de K n en K, que necesariamente o oser´ suprayectiva y su n´cleo tendr´ dimensi´n n − 1. La aplicaci´n que a cada a u a o ovector le asigna sus coordenadas en una base dada es un isomorfismo de V enK n , luego los vectores cuyas coordenadas anulan el miembro izquierdo de laecuaci´n forman un subespacio vectorial de base ~1 , . . ., ~n−1 . As´ mismo ha o v v ıde existir un vector ~ cuyas coordenadas satisfagan la ecuaci´n. Si llamamos v oP = O+~ , entonces los puntos del hiperplano P +h~1 , . . . , ~n−1 i son exactamente v v vlos puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuaci´n dada. o En resumen: Los puntos de un hiperplano en un espacio af´ est´n caracteriza- ın a dos por que sus coordenadas satisfacen una determinada ecuaci´no lineal no nula. Toda ecuaci´n lineal no nula es la ecuaci´n de un o o hiperplano. Dos hiperplanos son paralelos si y s´lo si no tienen puntos comunes, lo que of´cilmente se traduce en que sus ecuaciones tienen los miembros izquierdos pro- aporcionales pero el t´rmino derecho no respeta la proporci´n. e o De este modo, una recta en el plano est´ formada por los puntos cuyas acoordenadas en un sistema de referencia dado satisfacen una ecuaci´n de la oforma ax + by = c. Una recta en el espacio se puede expresar como intersecci´n ode dos planos, luego sus elementos son los puntos cuyas coordenadas satisfacenun sistema de dos ecuaciones lineales independientes y compatibles æ a1 x + b1 y + c1 z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2En general, los puntos de una variedad de dimensi´n m en un espacio af´ de o ındimensi´n k est´n caracterizados por que sus coordenadas satisfacen un sistema o ade n − m ecuaciones lineales independientes. Veamos ahora el modo en que una afinidad transforma las coordenadas afinesde los puntos. Sea f : E −→ F una afinidad, sea (O; ~1 , . . ., ~n ) un sistema v vde referencia en E y (O0 ; w1 , . . ., wm ) un sistema de referencia en F . Sean ~ ~A = (a1 , . . ., am ) las coordenadas de f (O) en O0 , sea M la matriz asociada a la ~aplicaci´n lineal f en las bases de los sistemas de referencia. Sea P un punto en o ´E con coordenadas X = (x1 , . . ., xn ). Estas son por definici´n las coordenadas o
  • 92. 86 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica − −→ ~− − →de OP en la base ~i , luego las coordenadas de f (OP ) en la base wi son XM . v ~Puesto que ~−−→ −− − − −→ ~ − −→ f (P ) = f (O) + f (OP ) = O0 + O0 f (O) + f (OP ), −− − − −→vemos que las coordenadas de O0 f (P ) en la base wi son ~ Y = A + XM.En resumen: La relaci´n entre las coordenadas X de un punto en un sistema de o referencia O y las coordenadas Y de su imagen por una afinidad f es Y = A+XM , donde A son las coordenadas de f (O) en el sistema ~ O0 y M es la matriz de f . Rec´ıprocamente, es f´cil ver que toda ecuaci´n matricial Y = A + XM est´ a o aasociada a una unica afinidad en unos sistemas de referencia prefijados. ´ El sumando A puede suprimirse si en el segundo espacio tomamos comoorigen de coordenadas el punto O0 = f (O). Sin embargo, cuando f es unaafinidad de un espacio en s´ mismo, resulta m´s conveniente considerar un unico ı a ´sistema de referencia, y entonces s´lo podemos eliminar el sumando A si f tiene oun punto fijo, es decir, un punto O tal que f (O) = O. Si K es un cuerpo, podemos dotar al conjunto K n de estructura de espacioaf´ n-dimensional sin m´s que tomar sus elementos como puntos y como vecto- ın ares a un tiempo, de modo que la suma de puntos y vectores sea la misma sumavectorial de K n . Las variedades lineales de K n son de la forma P + V , dondeV es un subespacio de K n , es decir, son las clases de congruencia m´dulo los osubespacios de K n . El sistema de referencia can´nico en K n es el formado por o(0, . . ., 0) como origen y la base can´nica de K n . Respecto a este sistema, cada opunto coincide con sus propias coordenadas. Si E es cualquier espacio af´ n-dimensional sobre K, la aplicaci´n que a cada ın opunto le asigna sus coordenadas respecto a un sistema de referencia prefijadoes una biyecci´n af´ (cuya expresi´n coordenada respecto a este sistema y al o ın osistema can´nico de K n es simplemente Y = X). o As´ pues, todo espacio af´ n-dimensional sobre K es isomorfo a K n , luego ı ındichos espacios tienen todos las mismas propiedades afines (las mismas propie-dades que sean invariantes por biyecciones afines). En particular podemos identificar el espacio de la geometr´ tridimensional ıaeucl´ ıdea que venimos estudiando con el conjunto R3 . Si (O; ~1 , . . ., ~n ) es un sistema de referencia de un espacio af´ E, entonces e e ınlos puntos A0 = O, A1 = O + ~1 , . . ., An = O + ~n son af´ e e ınmente independien-tes y, rec´ ıprocamente, un conjunto de n + 1 puntos af´ ınmente independientes −→ − −→ −A0 , . . ., An determina el sistema de referencia (A0 ; A0 A1 , . . ., A0 An ). Por lotanto todo punto P de E se expresa de forma unica como ´ −→ − −→ − P = A0 + x1 A0 A1 + · · · + A0 An .
  • 93. 4.3. Coordenadas cartesianas y baric´ntricas e 87En algunas ocasiones esta expresi´n no es satisfactoria, pues sit´a al punto A0 en o uuna situaci´n asim´trica respecto de los otros, cuando en realidad la noci´n de o e opuntos af´ ınmente independientes es completamente sim´trica. Por ello, a veces econviene considerar las coordenadas baric´ntricas que definimos a continuaci´n. e o Notemos en primer lugar, que para puntos cualesquiera A1 , . . ., An y escala-res λ1 + · · · + λn = 0, el vector n X −→ λi OAi i=1es independiente de la elecci´n del punto O, pues si tomamos otro punto O0 ovemos que n X −→ n X − n X −→ − → −0 λi O0 Ai − λi OAi = λi OOi = ~ 0. i=1 i=1 i=1 De aqu´ se desprende que si λ1 + · · · + λn = λ 6= 0 el punto ı n 1X − → B =O+ λi OAi λ i=1es independiente de O. Al punto B se le llama baricentro de (Ai , λi ) y lorepresentaremos por n 1 1X − → (λ1 A1 + · · · + λn An ) = O + λi OAi . λ λ i=1Las sumas y productos del miembro izquierdo son meramente formales, sin unsignificado intr´ ınseco. Tan s´lo sugieren que las coordenadas del baricentro en el o −→sistema de referencia (O; OAi ) se obtienen multiplicando por λi las coordenadasde Ai , sumando y dividiendo entre λ. El baricentro recibe este nombre porque secorresponde con el centro de gravedad de un sistema de n part´ ıculas puntualessituadas en los puntos Ai con masas λi . Retomando ahora el conjunto af´ınmente independiente A0 , . . ., An , ahoranotamos que un punto P se puede expresar en la forma n X X n −→ − P = A0 + λi A0 Ai = λi Ai , i=1 i=0donde n X λ0 = 1 − λi . i=1Los n´meros (λ0 , . . ., λn ) (sujetos a la condici´n λ0 + · · · + λn = 1) est´n u o aun´ ıvocamente determinados por P y se llaman coordenadas baric´ntricas de eP respecto al sistema (Ai ).
  • 94. 88 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıticaTeorema 4.13 Los puntos A0 , . . ., An son af´ınmente independientes si y s´lo osi ninguno de ellos es un baricentro de los dem´s. a ´ Demostracion: Si uno de los puntos, por ejemplo A0 es un baricentro delos dem´s, entonces a n X n X A0 = λi Ai , con λi = 1. i=1 i=1Alguno de los coeficientes ha de ser no nulo, digamos que λn 6= 0. As´ ı n−1 X −→ − A0 = An + λi An Ai , i=1 −− −→donde no todos los coeficientes son nulos, luego An A0 es combinaci´n lineal de olos restantes. Invirtiendo el razonamiento tenemos la otra implicaci´n. o4.4 Espacios eucl´ ıdeos Nos ocupamos ahora de extender la estructura de espacio af´ para recoger el ınconcepto de congruencia, el ultimo concepto geom´trico primitivo que nos queda ´ epor representar anal´ ıticamente. Es importante notar que todo lo que desdeel punto de vista de la teor´ de conjuntos hemos tomado como definiciones, ıadesde el punto de vista de la geometr´ eucl´ ıa ıdea son teoremas. Por ejemplo,hemos definido una recta en R3 como una variedad lineal de dimensi´n 1, peroohemos demostrado que las rectas en la geometr´ eucl´ ıa ıdea son las variedades dedimensi´n 1. Esto se interpreta como que las definiciones dadas son las unicas o ´posibles para que se satisfagan los axiomas de la geometr´ de modo que si ıa,tomamos un espacio eucl´ ıdeo cualquiera y a cada punto le asignamos una ternade coordenadas respecto a un sistema de referencia arbitrario, entonces estacorrespondencia transformar´ necesariamente las rectas y planos del espacio en alas variedades lineales de R3 , las relaciones de orden entre los puntos de unarecta se corresponder´n necesariamente con las que hemos definido en R3 , etc. a Si probamos que no hay m´s que una definici´n anal´ a o ıtica de congruenciaque sea consistente con los axiomas de la geometr´ habremos demostrado que ıa,s´lo existe un espacio tridimensional eucl´ o ıdeo, en el sentido de que cualquierade ellos es identificable con R3 a trav´s de un sistema de coordenadas. Por ello evamos a desarrollar un poco m´s nuestro concepto sint´tico de congruencia y a elos relacionados con ´l para comprobar que en la definici´n de congruencia no e otenemos ning´n grado de libertad. u En primer lugar notamos que si ~ y w son dos vectores no nulos cualesquiera, v ~ ~ a O es un punto, A = O+~ y B = O+w, entonces el ´ngulo AOB (si est´ definido) v a tiene lados k~ k, kwk y k~ − wk,es independiente de O, pues el tri´ngulo AOB a v ~ v ~luego los tri´ngulos construidos a partir de puntos O distintos son congruentes, ay en particular el ´ngulo indicado es el mismo. a
  • 95. 4.4. Espacios eucl´ ıdeos 89 a El ´ngulo AOB no est´ definido cuando los vectores ~ y w son linealmente a v ~dependientes (lo cual tampoco depende de O). Todo esto nos permite definir ela ´ngulo entre dos vectores no nulos como el ´ngulo AOB si los puntos no est´n a aalineados, si w = α~ con α < 0 consideraremos que el ´ngulo es llano y si α > 0 ~ v adiremos que el ´ngulo que forman es nulo y tiene medida 0. Cuando dos vectores aforman un ´ngulo recto se dice que son ortogonales (gr. ‘en ´ngulo recto’). a a Consideremos un sistema de referencia de origen O y con una base ~1 , ~2 , ~3 e e eformada por vectores ortogonales y de norma 1. Entonces, un punto arbitrarioP cumplir´ que a P = O + x ~1 + y ~2 + z ~3 , e e epara ciertos n´meros reales (x, y, z) (sus coordenadas en el sistema de referencia uindicado). Si Q = O + x ~1 + y ~2 , vemos que la recta OQ est´ contenida en el e e aplano XY , mientras que la recta QP es paralela al eje Z, que es perpendicularal plano XY (suponiendo que Q 6= O y Q 6= P ). Por lo tanto el tri´ngulo OQP a es rect´ngulo, y el teorema de Pit´goras nos da que a a − −→ −→ − − −→ kOP k2 = kOQk2 + kQP k2 = kx ~1 + y ~2 k2 + kz ~3 k2 . e e eSi Q = O o Q = P la conclusi´n es trivialmente cierta. Del mismo modo, si o e a llamamos R = O + x ~1 tenemos que el tri´ngulo OQR es rect´ngulo (o bien aQ = O o Q = R), con lo que − −→ kOP k2 = kx ~1 k2 + ky ~2 k2 + kz ~3 k2 = x2 + y 2 + z 2 , e e e −−→ pluego kOP k = x2 + y 2 + z 2 . Puesto que P es un punto arbitrario, tenemosque si un vector ~ tiene coordenadas (x, y, z) respecto a una base formada por vvectores ortogonales y unitarios, entonces p k~ k = x2 + y 2 + z 2 . v Si ~ y w son dos vectores arbitrarios cuyas coordenadas en una base en las v ~condiciones anteriores son respectivamente (x, y, z) y (x0 , y 0 , z 0 ), definimos suproducto escalar como ~ w = xx0 + yy 0 + zz 0 . v~ √ En estos t´rminos hemos probado que k~ k = ~~ . Es claro adem´s que se e v vv acumplen las propiedades siguientes: 1. ~ (~ + w) = ~ ~ + ~ w, uv ~ uv u ~ 2. (~ + ~ )w = ~ w + ~ w, u v ~ u~ v~ 3. (α~ )~ = α(~ ~ ) = ~ (α~ ), uv uv u v 4. ~ ~ = ~ ~ . uv v u
  • 96. 90 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Teniendo esto en cuenta vamos a probar unos hechos muy importantes: Consideremos dos vectores no nulos ~ y w. Supongamos en primer lugar que v ~son linealmente independientes. Sean A = O + ~ , B = O + w. Entonces los v ~puntos O, A, B no son colineales, luego forman un tri´ngulo cuyos lados miden a −→ −→ − −− →kOAk = k~ k, kOBk = kwk, kABk = kw − ~ k. Por otra parte v ~ ~ v − −→ kABk2 = (w − ~ )(w − ~ ) = ww + ~~ − 2~ w = kOAk2 + kOBk2 − 2~ w. ~ v ~ v ~ ~ vv v~ v~Si comparamos con el teorema del coseno concluimos que v~ v ~ c ~ w = k~ k kwk cos ~ w. v~Esta expresi´n sigue siendo v´lida cuando w = α~ si convenimos en que el o a ~ vcoseno de un ´ngulo nulo es 1 y el coseno de un ´ngulo llano es −1. En efecto: a a ~ w = α~~ = ±|α| k~ k2 = ±k~ k kwk. v~ vv v v ~ En particular esto prueba que el producto escalar de dos vectores no dependedel sistema de referencia que elegimos para calcularlo (siempre y cuando losvectores de su base sean ortogonales y de norma 1. Estas consideraciones condicionan ya la estructura algebraica que hemosde imponer a un espacio af´ para definir en ´l un concepto de ortogonalidad ın econsistente con los axiomas de la geometr´ eucl´ ıa ıdea.Definici´n 4.14 Un espacio vectorial eucl´ o ıdeo es un espacio vectorial real Vde dimensi´n finita sobre el que hay definido un producto escalar, que es una oaplicaci´n V × V −→ R que cumple las propiedades siguientes: o 1. ~~ ≥ 0 y ~~ = 0 si y s´lo si ~ = 0, vv vv o v 2. ~ (~ + w) = ~ ~ + ~ w, uv ~ uv u ~ 3. (~ + ~ )w = ~ w + ~ w, u v ~ u~ v~ 4. (α~ )~ = α(~ ~ ) = ~ (α~ ), uv uv u v 5. ~ ~ = ~ ~ . uv v uUn espacio af´ eucl´ ın ~ ıdeo es un espacio af´ real E tal que en E hay definido un ınproducto escalar que lo dota de estructura de espacio eucl´ıdeo. √ Definimos la norma de un vector en un espacio eucl´ ıdeo como k~ k = ~~ . v vv − −→La distancia entre dos puntos A y B de un espacio af´ eucl´ ın ıdeo ser´ kABk. aDiremos que dos vectores ~ y w son ortogonales si ~ w = 0. Lo representaremos v ~ v~por ~ ⊥ w. Un conjunto de vectores es ortogonal si no contiene al 0 y sus v ~elementos son ortogonales dos a dos. Un conjunto de vectores es ortonormal sies ortogonal y todos sus vectores tienen norma 1. Hemos probado que el espacio eucl´ ıdeo en el sentido de la geometr´ sint´tica ıa ees un espacio af´ eucl´ ın ıdeo tridimensional en el sentido anal´ıtico. Probaremos
  • 97. 4.4. Espacios eucl´ ıdeos 91que el rec´ ıproco tambi´n es cierto (lo que justifica el nombre de espacio eucl´ e ıdeoen el segundo caso). En primer lugar sucede que esta definici´n algebraica no omuestra directamente la existencia de bases ortonormales. Probar esto ser´ anuestro primer objetivo. Para ello conviene notar algunos hechos elementales. Se cumple que ~ v = (0~ v = 0(~ v ) = 0. 0~ 0)~ 0~ La norma verifica la relaci´n kα~ k = |α| k~ k. Por lo tanto, si dividimos un o v vvector no nulo por su norma obtenemos un vector de norma 1, y si los vectoresde un conjunto ortogonal los dividimos por sus normas respectivas obtenemos unconjunto ortonormal. As´ pues, basta probar la existencia de bases ortogonales. ı Observemos tambi´n que si un conjunto de vectores {~1 , . . ., ~n } es ortogonal, e v ventonces es linealmente independiente. En efecto, si α1 v1 + · · · + αm vm = ~ ~ ~ 0entonces 0 = ~j~ = α1~j ~1 + · · · + αm~j ~m = αj ~j ~j , luego αj = 0. v 0 v v v v v vTeorema 4.15 (Teorema de ortogonalizaci´n de Gram-Schmidt) Si V oes un espacio vectorial eucl´ ıdeo, todo conjunto ortogonal de vectores de V seextiende hasta una base ortogonal de V . ´ Demostracion: Sea A = {~1 , . . ., ~r } un conjunto de vectores ortogonales v v(y por lo tanto linealmente independientes). Si A es ya una base de V no haynada que probar. En caso contrario tomamos un vector ~ de V que no est´ en v ehAi. Consideremos un vector de la forma r X w=~− ~ v αi~i . v i=1Claramente ~i w = ~i w − αi~i~i , luego si tomamos cada αi como el unico escalar v ~ v ~ vv ´que cumple esta ecuaci´n tenemos que w ⊥ A. As´ obtenemos un conjunto o ~ ıortogonal con un vector m´s. Repitiendo el proceso llegamos hasta un con- ajunto ortogonal con tantos vectores como la dimensi´n de V , que ser´ una base o aortogonal. En particular todo espacio eucl´ ıdeo V tiene una base ortonormal {~1 , . . ., ~n }. e eSi ~ y w son vectores cualesquiera y (x1 , . . ., xn ), (y1 , . . ., yn ) son sus coordenadas v ~en dicha base, tenemos que ~ w = (x1~1 + · · · + xn~n )(y1~1 + · · · + yn~n ) = x1 y1 + · · · + xn yn . v~ e e e e Esto significa que un producto escalar est´ completamente determinado en acuanto conocemos una base ortonormal. En particular podemos dotar a Rn deestructura de espacio eucl´ ıdeo definiendo el producto escalar como (x1 , . . ., xn )(y1 , . . ., yn ) = x1 y1 + · · · + xn yn .Es claro que se trata ciertamente de un producto escalar y, respecto a ´l, la base ecan´nica es ortonormal. Los resultados del comienzo de la secci´n prueban que o osi en un espacio eucl´ ıdeo (en el sentido sint´tico) fijamos un sistema de referencia econ base ortonormal y a cada punto le asignamos sus coordenadas respecto a
  • 98. 92 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıticadicho sistema, entonces el producto escalar se corresponde con el producto enR3 que acabamos de definir, luego la ortogonalidad y la distancia entre puntosse corresponden con los conceptos hom´nimos en R3 definidos anal´ o ıticamente. El teorema siguiente es obvio desde un punto de vista sint´tico, pero es lo eunico necesario para probar anal´´ ıticamente las propiedades de la distancia entrepuntos y la ortogonalidad de vectores.Teorema 4.16 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Si ~ y w son dos vec- v ~tores de un espacio eucl´ıdeo, entonces |~ w| ≤ k~ k kwk y se da la igualdad si y v~ v ~s´lo si ~ y w son linealmente dependientes. o v ~ Demostracion: Si w = ~ la igualdad se da trivialmente. Supongamos que ´ ~ 0 ~ Llamando ~ = w/kwk, entonces k~ k = 1 y lo que hemos de probarw 6= 0.~ u ~ ~ ues que |~ ~ | ≤ k~ k, y que se da la igualdad si y s´lo si ~ y ~ son linealmente vu v o u vdependientes. Tomemos λ ∈ R. Entonces 0 ≤ k~ + λ~ k2 = (~ + λ~ )(~ + λ~ ) = ~~ + λ2 ~ ~ + 2λ~ ~ = k~ k2 + λ2 + 2λ~ ~ , v u v u v u vv uu vu v vu En particular, si tomamos λ = −~ ~ queda que k~ k2 + (~ ~ )2 − 2(~ ~ )2 ≥ 0, o vu v vu vusea, (~ ~ )2 ≤ k~ k2 , luego |~ ~ | ≤ k~ k. vu v vu v Adem´s la igualdad se da si y s´lo si k~ − (~ ~ )~ k = 0, o sea, si y s´lo si a o v vu u o~ = (~ ~ )~ . Por lo tanto, si se da la igualdad ~ y ~ son linealmente dependientes.v vu u u vRec´ ıprocamente, si ~ = λ~ , entonces |~ ~ | = |λ~ ~ | = |λ| = k~ k. v u vu uu v Ahora podemos probar las propiedades esenciales de la norma eucl´ ıdea:Teorema 4.17 En todo espacio eucl´ ıdeo se cumple: 1. k~ k ≥ 0 y k~ k = 0 si y s´lo si ~ = ~ v v o v 0. 2. k~ + wk ≤ k~ k + kwk. v ~ v ~ 3. kα~ k = |α| k~ k. v v ´ Demostracion: La unica propiedad que no es inmediata es la segunda, ´pero k~ + wk2 v ~ = (~ + w)(~ + w) = k~ k2 + kwk2 + 2~ w ≤ k~ k2 + kwk2 + 2|~ w| v ~ v ~ v ~ v~ v ~ v~ 2 2 2 ≤ k~ k + kwk + 2k~ k kwk = (k~ k + kwk) . v ~ v ~ v ~Por lo tanto k~ + wk ≤ k~ k + kwk. v ~ v ~ La propiedad 2 del teorema anterior es la versi´n anal´ o ıtica de la desigualdadtriangular. Es f´cil ver que es una igualdad exactamente cuando uno de los avectores es un m´ltiplo positivo del otro. u Ahora nos ocupamos de las aplicaciones que conservan la estructura eucl´ ıdea.Vamos a dar una definici´n que aparentemente es mucho m´s d´bil que la que o a e
  • 99. 4.4. Espacios eucl´ ıdeos 93cabr´ esperar, pues vamos a pedir que se conserven las distancias, pero no la ıaestructura lineal ni mucho menos el producto escalar. Sin embargo probaremosseguidamente que la conservaci´n de las distancias implica todo lo dem´s. Re- o a − −→presentaremos por d(P, Q) = kP Qk la distancia entre dos puntos P y Q de unespacio af´ eucl´ ın ıdeo.Definici´n 4.18 Sean A y B dos subconjuntos de dos espacios afines eucl´ o ıdeos.Una isometr´ entre A y B es una aplicaci´n biyectiva f : A −→ ¢ tal que para ıa o ° Btodo par de puntos P , Q ∈ A se cumple d(P, Q) = d f (P ), f (Q) . Tomemos un sistema de referencia del primer espacio con origen en un puntoO ∈ A y un sistema de referencia en el segundo espacio con origen en O0 = f (O). Por simplificar la notaci´n usaremos un ap´strofo para representar las im´- o o agenes por f , es decir, si P ∈ A, entonces P 0 representar´ a f (P ). Llamemos A a ˜ −−→ ˜al conjunto de los vectores OP , con P ∈ A. Similarmente, sea B el conjunto de −0− 0 −→ −− → ˜ −− −→ ˜los vectores O P con P ∈ B. Si ~ = OP ∈ A, llamaremos ~ = O0 P 0 ∈ B. 0 v v 0 0 ˜ 0 0 ˜ En estos t´rminos ~ ∈ A, ~ 0 = ~ ∈ B y k~ − wk = k~ 0 − w0 k, para todo par e v ~ v ~de vectores ~ y w en A. v ~ ˜ En particular, si hacemos ~ = ~ tenemos k~ k = k~ 0 k. v 0 v v La relaci´n o k~ − wk2 = k~ k2 + kwk2 − 2~ w v ~ v ~ v~ 0 0implica que ~ w = ~ w , para todo par de vectores ~ , w ∈ A. v~ v ~ v ~ ˜ Veamos que si ~ ∈ A v ˜ y α~ ∈ A entonces (α~ )0 = α~ 0 . Si ~ = ~ es trivial. En v ˜ v v v 0caso contrario |~ 0 (α~ )0 | = |~ (α~ )| = |α| k~ k2 = k~ k kα~ k = k~ 0 k k(α~ )0 k. v v v v v v v v vComo la desigualdad de Cauchy-Schwarz es en este caso una igualdad, tenemosque (α~ )0 = λ~ 0 , para cierto escalar λ. Multiplicando ambos miembros por ~ 0 v v vobtenemos αk~ k2 = λk~ k2 , luego λ = α, y se cumple lo afirmado. v v u v u v ˜ Ahora probamos que si ~ , ~ , ~ +~ ∈ A, entonces (~ +~ )0 = ~ 0 +~ 0 . Tenemos u v u v k~ 0 + ~ 0 k2 = k~ 0 k2 + k~ 0 k2 + 2~ 0~ 0 = k~ k2 + k~ k2 + 2~ ~ = k~ + ~ k2 , u v u v uv u v uv u vluego k~ 0 + ~ 0 k = k~ + ~ k. Por otra parte u v u v (~ + ~ )0 (~ 0 + ~ 0 ) = (~ + ~ )0 ~ 0 + (~ + ~ )0~ 0 = (~ + ~ )~ + (~ + ~ )~ = k~ + ~ k2 u v u v u v u u v v u v u u v v u v Reuniendo ambas igualdades (~ + ~ )0 (~ 0 + ~ 0 ) = k(~ + ~ )0 k k~ 0 + ~ 0 k. De u v u v u v u vnuevo la desigualdad de Cauchy-Schwarz es una igualdad, lo que implica que~ 0 + ~ 0 = λ(~ + ~ )0 . Consecuentemente,u v u v k~ + ~ k2 = (~ + ~ )0 (~ 0 + ~ 0 ) = λk~ 0 + ~ 0 k2 = λk~ + ~ k2 . u v u v u v u v u vEsto implica λ = 1 (y por lo tanto la relaci´n que queremos probar) salvo si o~ + ~ = ~ pero en este caso tenemos k~ 0 + ~ 0 k = 0, luego ~ 0 + ~ 0 = ~ = (~ + ~ )0 .u v 0, u v u v 0 u v ≠ Æ ≠ Æ ˜ 0 ˜ Sea W = A y W = B . Consideramos una base de W contenida enA ~ ˜ y definimos f : W −→ W 0 como la aplicaci´n lineal que sobre la base es o
  • 100. 94 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica~vf (~ ) = ~ 0 . Los resultados que acabamos de probar justifican que esta relaci´n v o ˜vale para todos los vectores de A. Ahora observamos que ~u ~v f (~ )f (~ ) = ~ ~ , uv para todo ~ , ~ ∈ W. u v ˜En efecto, basta tener en cuenta que esto es cierto para vectores de A y usar ~la linealidad de f y del producto escalar. Haciendo ~ = ~ obtenemos que f u v ~es inyectiva. La suprayectividad es clara, por construcci´n. Tambi´n vemos o e ~uque kf (~ )k = k~ k. Los isomorfismos entre espacios vectoriales eucl´ u ıdeos queconservan el producto escalar en este sentido se llaman isometr´ lineales. ıas Consideramos ahora las variedades lineales L = O + W y L0 = O0 + W 0 .Es claro que se trata de las menores variedades lineales que contienen a A yB respectivamente. Hemos probado que tienen la misma dimensi´n. M´s a´n, o a u ˜ ˜ ~−−→la afinidad f : L −→ L0 dada por f (P ) = O0 + f (OP ) es una isometr´ que ıaextiende a f . Esta isometr´ es unica, pues si g fuera otra, le aplicamos todo ıa ´ ˜el razonamiento anterior, tomando ahora A = L, con lo que A = W . Con ello ~probamos que la aplicaci´n ~ 7→ ~ 0 es lineal y coincide con f en el conjunto A o u u ˜ ~ ˜original (el generador de L), luego coincide con f en L, luego g coincide con f . El teorema siguiente recoge lo que hemos obtenido hasta ahora:Teorema 4.19 Toda isometr´ entre dos subconjuntos de dos espacios eucl´ ıa ıdeosse extiende a una unica isometr´ entre las variedades lineales que generan. ´ ıa o o ın o ~Adem´s la extensi´n es una biyecci´n af´ cuya aplicaci´n lineal asociada f es auna isometr´ lineal entre los espacios directores de las variedades. ıa Ahora veamos que es posible extender la isometr´ a todo el espacio, aunque ıaperdemos la unicidad. Para ello conviene introducir el concepto siguiente:Definici´n 4.20 Dado un subespacio W de un espacio vectorial eucl´ o ıdeo V , sellama complemento ortogonal de W al espacio W ⊥ = {~ ∈ V | ~ ⊥ w para todo w ∈ W }. v v ~ ~ Es claro que W ⊥ es un subespacio vectorial, as´ como que W ∩ W ⊥ = 0. ıTomemos una base ortogonal ~1 , . . ., ~r de W y extend´mosla hasta una base v v aortogonal ~1 , . . ., ~n de V . Entonces es claro que W ⊥ = h~r+1 , . . ., ~n i, luego v v v vV = W ⊕ W ⊥. En general, si V1 , . . ., Vr son espacios vectoriales cuyos elementos son orto-gonales entre s´ es f´cil ver que su suma es directa, y el tal caso diremos que ı, atienen suma ortogonal y la representaremos por V1 ⊥ · · · ⊥ Vr . Hemos probadoque V = W ⊥ W ⊥ . El teorema siguiente es inmediato:Teorema 4.21 Un isomorfismo f : V −→ V 0 entre dos espacios vectorialeseucl´ ıdeos es una isometr´ lineal si y s´lo si existe una base {~1 , . . ., ~n } de V ıa o v vtal que f (~i~j ) = f (~i )f (~j ) para todo i, j. En particular si aplica una base vv v vortonormal a una base ortonormal.
  • 101. 4.4. Espacios eucl´ ıdeos 95 Con todo esto ya podemos concluir:Teorema 4.22 Sean E y F dos espacios eucl´ ıdeos de la misma dimensi´n. oEntonces ~ 1. Las isometr´ de E en F son las biyecciones afines f tales que f es una ıas isometr´ lineal. ıa 2. Toda isometr´ entre un subconjunto A de E y un subconjunto B de F se ıa extiende a una isometr´ de E en F . ıa 3. Si A contiene un conjunto de n + 1 puntos af´ ınmente independientes, entonces la extensi´n es unica. o ´ ~ ~ Demostracion: Sean hAi = O + W y hBi = O0 + W 0 , de modo que f se ´extienda a una isometr´ af´ sobre O + W ıa ın ~ . En particular W y W 0 tienen lamisma dimensi´n, luego sus complementos ortogonales tambi´n. Extendamos o e~f a V (el espacio vectorial de E) asignando a una base ortonormal de W ⊥ unabase ortonormal de W 0⊥ . Por el teorema anterior la extensi´n (que seguiremos o ~llamando f ) es una isometr´ lineal, y la afinidad que induce en E es una ıaisometr´ y extiende a f . ıa A trav´s de las isometr´ podemos definir una noci´n general de congruencia e ıas ode conjuntos arbitrarios que coincide con la que ya conocemos en el caso desegmentos, ´ngulos y tri´ngulos y con la cual todo espacio eucl´ a a ıdeo cumplir´ el agrupo de axiomas C de la geometr´ eucl´ ıa ıdea.Definici´n 4.23 Diremos que dos conjuntos A y B en un espacio eucl´ o ıdeo Eson congruentes si existe una isometr´ f : E −→ E tal que f [A] = B. Los ıapuntos de A y B correspondientes por (una isometr´ en particular) f se llaman ıapuntos hom´logos. o En el sentido de la geometr´ axiom´tica, dos segmentos son equivalentes si ıa ay s´lo si tienen la misma longitud pero, si esto es as´ una biyecci´n entre los o ı, oconjuntos de sus extremos es una isometr´ que se extiende a todo el espacio, y ıa,es f´cil ver que transforma uno de los segmentos en el otro, luego son semejantes aen el sentido de la definici´n anterior. El rec´ o ıproco es an´logo. a a Similarmente, si un ´ngulo AOB es congruente con otro de v´rtice O0 , epodemos tomar puntos en sus lados de modo que ´ste sea Ae 0 y adem´s 0 O0 B aOA ≡ O0 A0 , OB ≡ O0 B 0 . Entonces se cumplir´ tambi´n que AB ≡ A0 B 0 , luego a ela correspondencia entre los conjuntos {A, O, B} y {A0 , O0 , B 0 } es una isometr´ ıa,que se extiende a todo el espacio, y de nuevo es f´cil ver que hace corresponder alos ´ngulos, luego son semejantes en el sentido de la definici´n anterior. De igual a omodo se prueba el rec´ ıproco y la equivalencia correspondiente a tri´ngulos. a Ahora veamos que todo espacio eucl´ ıdeo cumple el grupo de axiomas C. Lacomprobaci´n de los axiomas sobre segmentos es muy sencilla, y el axioma C4 osobre ´ngulos se comprueba de modo similar al axioma C5 sobre tri´ngulos. Por a aello probaremos s´lo C4. o
  • 102. 96 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica En primer lugar consideremos dos semiplanos cualesquiera, que ser´n con- ajuntos de la forma π = {O0 + λ~1 + µ~2 | µ ≥ 0} y π 0 = {O0 + λw1 + µw2 | µ ≥ 0}, v v ~ ~donde podemos suponer que las bases (~1 , ~2 ) y (w1 , w2 ) son ortonormales. Si v v ~ ~ ~ o v v ~ ~llamamos f a la aplicaci´n lineal determinada por ~ (~i ) = wi , entonces f es ~ − −→una isometr´ lineal, y es claro que la aplicaci´n dada por f (P ) = O0 + f (OP ) ıa oes una isometr´ entre los planos que contienen a π y a π 0 , tal que f [π] = π 0 ıay que adem´s transforma la semirrecta O + {λ~1 | λ ≥ 0}, en la semirrecta a vO0 + {λw1 | λ ≥ 0}. ~ De aqu´ se sigue que dados dos semiplanos y en sus fronteras sendas semirrec- ıtas, existe una isometr´ que transforma uno en el otro haciendo corresponder las ıasemirrectas. Por lo tanto, si tenemos un ´ngulo, un semiplano y en su frontera auna semirrecta (seg´n el axioma C4) existe una isometr´ entre el semiplano que u ıacontiene al ´ngulo con un lado en su frontera y el semiplano dado, de modo que ael lado del ´ngulo se corresponda con la semirrecta dada. La imagen del ´ngulo a apor la isometr´ indicada ser´ un ´ngulo congruente con el dado, contenido en ıa a ael semiplano dado y con un lado igual a la semirrecta dada, tal y como exige elaxioma C4. Para probar la unicidad suponemos que tenemos dos ´ngulos con un lado en acom´n y contenidos en el mismo semiplano respecto a ´ste. Ser´n de la forma u e a v v v v0A(O; ~1 , ~2 ) y A(O; ~1 , ~2 ). Adem´s ambos est´n contenidos en el semiplano a a {O + λ~1 + µw | µ ≥ 0}, v ~lo que se traduce en que ~2 = x~1 + y w con y > 0 y ~2 = x0~1 + y 0 w con y 0 > 0. v v ~ v0 v ~ 0Podemos suponer que ~1 , ~2 y ~2 tienen todos norma 1. v v v ıa a ~v v ~v Una isometr´ f entre los ´ngulos ha de cumplir5 f (~1 ) = ~1 y f (~2 ) = ~2 o v0 ~v 0 ~v 0bien f (~1 ) = ~2 y f (~2 ) = ~1 . En cualquier caso tendremos ~1~2 = ~1~2 , luego v v v v v vx2 = x02 . Por otro lado, x2 + y 2 = k~2 k2 = k~2 k2 = x02 + y 02 , v v0y como y, y 0 > 0, de hecho y = y 0 . Desarrollando igualmente la condici´n ok~2 − ~1 k2 = k~2 − ~1 k2 se concluye x = x0 , con lo que los ´ngulos son iguales. v v v0 v a As´ pues, tenemos que todo espacio tridimensional eucl´ ı ıdeo en el sentidoanal´ıtico cumple los axiomas de la geometr´ eucl´ ıa ıdea, y que todo espacio quecumpla dichos axiomas puede ser dotado de estructura de espacio tridimensionaleucl´ ıdeo. La aplicaci´n que a cada punto de un espacio eucl´ o ıdeo de dimensi´n n ole hace corresponder sus coordenadas en Rn respecto a un sistema de referenciaortonormal es una isometr´ (porque la aplicaci´n lineal asociada env´ la base ıa o ıa 5 El punto m´s delicado es comprobar que si AOB = A0 O 0 B 0 entonces OA = O 0 A0 y aOB = O0 B 0 . Por ejemplo, puede probarse que si una recta corta a un ´ngulo en un segmento, aentonces los extremos del segmento est´n sobre los lados. De aqu´ se sigue f´cilmente la a ı apropiedad indicada.
  • 103. 4.5. Los giros y la medida de ´ngulos a 97ortonormal en la base can´nica), y las isometr´ conservan todas las propie- o ıasdades geom´tricas, luego resulta que todos los espacios eucl´ e ıdeos de la mismadimensi´n tienen las mismas propiedades, luego cualquier resultado geom´trico o eque se obtenga en uno de ellos es aplicable a todos los dem´s. En este sentido ase dice que la geometr´ eucl´ ıa ıdea es completa o, mejor, categ´rica. o Por ultimo se˜alamos que, desde el momento en que hemos probado que los ´ nespacios afines eucl´ ıdeos verifican los axiomas geom´tricos de congruencia, todos elos hechos que hemos probado al comienzo de la secci´n a partir de tales axiomas oson v´lidas en general.6 En particular tenemos la relaci´n entre el coseno de un a oa´ngulo y el producto escalar: v~ v ~ c ~ w = k~ k kwk cos ~ w, v~de la cual se deduce a su vez la versi´n anal´ o ıtica del teorema del coseno: − −→ − −→ −→ − − −→ −→ − − −→ − − → kP Qk2 = kOP k2 + kOQk2 − 2kOP k kOQk cos A(O; OP OQ),v´lida para puntos cualesquiera O, P , Q (sin exigir que sean distintos o no acolineales) si convenimos que el ´ngulo es nulo si uno de los vectores que lo adefinen es nulo. A su vez esta f´rmula contiene como caso particular el teorema ode Pit´goras. a4.5 Los giros y la medida de ´ngulos a Dedicamos esta secci´n a definir el concepto de giro, el ultimo concepto o ´eucl´ ıdeo que nos obligar´ a resolver algunos problemas t´cnicos, concretamente a eal respecto de la medida de ´ngulos. a Consideremos un sistema de referencia ortonormal (O; ~1 , ~2 ) en un plano v vaf´ eucl´ ın ıdeo. Vamos a adoptar por primera vez el punto de vista habitualde la geometr´ anal´ ıa ıtica. Identificaremos a cada punto P con su vector de −−→posici´n OP y ´ste a su vez con sus coordenadas (x, y). Notemos que, en estos o e − −→t´rminos, P Q = Q − P . Es costumbre llamar semiplano derecho al semiplano ex ≥ 0, semiplano izquierdo al semiplano x ≤ 0, semiplano superior a y ≥ 0 ysemiplano inferior a y ≤ 0 (pero hay que tener presente que la diferencia entrederecha e izquierda no es intr´ınseca, en el sentido de que depende del sistemade referencia y es imposible establecerla de forma absoluta sin hacer referenciaa la anatom´ humana, o algo similar). ıa Consideramos tambi´n la circunferencia ω de centro (0, 0) y radio 1, cuyos epuntos se caracterizan por la relaci´n x2 + y 2 = 1. o Vamos a asignar a cada punto de ω un n´mero real al que llamaremos su uargumento. Fijamos una unidad de ´ngulos. Si un punto P de ω est´ en el a asemiplano superior, su argumento ser´ la medida del arco menor de extremos a 6 Aunque los axiomas que hemos dado describen la geometr´ tridimensional, los hechos ıacitados son bidimensionales, y todos los planos eucl´ ıdeos bidimensionales son isom´tricos. e
  • 104. 98 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica(1, 0) y P (entendiendo que el argumento de (1, 0) es 0). Si el punto P est´ en el asemiplano inferior, su argumento se define igualmente pero con signo negativo. π/2 Con esto tenemos bien definido el argumento 3π/4 π/4 sobre todos los puntos de ω excepto (−1, 0), dia- metralmente opuesto a (1, 0), cuyo argumento deber´ ser por una parte π y por otra parte ıa π 0 −π. Resolvemos esto asignando a cada punto, −π no un argumento, sino una clase de argumentos m´dulo 2π, es decir, si α es el argumento de P o seg´n lo acabamos de definir, ahora definimos u −3π/4 −π/4 arg P = {α + 2kπ | k ∈ Z}. De este modo, −π/2 arg(−1, 0) = {π + 2kπ | k ∈ Z}, que contienetanto a π como a −π, y la definici´n resulta consistente. Tenemos as´ una o ıbiyecci´n entre la circunferencia ω y el grupo cociente R/2πR. o Intuitivamente, el argumento de un punto indica el ´ngulo que hay que girar adesde (1, 0) para llegar hasta ´l. As´ el hecho de que un mismo punto tenga e ı,argumentos π/2, −3π/2 y 5π/2 significa que se llega hasta ´l girando un recto een un sentido, o tres rectos en sentido opuesto, o dando una vuelta entera de4 rectos m´s otro recto. El resultado b´sico en torno a los argumentos es el a asiguiente:Teorema 4.24 Sean P y Q dos puntos en ω, sean arg P = [α], arg Q = [β] de modo que |β − α| ≤ π. Entonces el ´ngulo P OQ tiene amplitud |β − α|. a ´ Demostracion: Notemos en general que cada clase m´dulo 2π tiene un ounico representante en el intervalo [−π, π] (excepto π, que tiene dos pero con el´mismo valor absoluto). Esto implica que el valor de |β − α| menor o igual que πest´ un´ a ıvocamente determinado por P y Q y no importa con qu´ representantes econcretos lo calculamos. En principio tomamos α y β en [−π, π]. Sean I = (1, 0), I 0 = (−1, 0). Si P y Q est´n ambos en el semiplano superior, apodemos suponer que 0 ≤ α ≤ β ≤ π. Descartando casos triviales tenemos que[ [IOP est´ contenido en IOQ y sus amplitudes son α y β, luego es claro que la de a es β − α. El mismo argumento vale si P y Q est´n ambos en el semiplanoP OQ ainferior. Supongamos que P est´ en el semiplano superior y Q est´ en el inferior. Si a a [ [Q es diametralmente opuesto a P , entonces IOQ es adyacente a IOP , luego susamplitudes α y −β suman π, como hab´ que probar. ıa Sea P 0 el punto diametralmente opuesto a P . Podemos suponer que P esdistinto de I, I 0 . Entonces la recta P P 0 deja a I y a I 0 en semiplanos distintos.Supongamos que Q e I est´n en el mismo semiplano. Entonces es claro que a [ [P OQ = P OI + IOQ y de nuevo la suma de las amplitudes es α − β < π. Finalmente consideramos el caso en que Q e I 0 est´n en el mismo semiplano. a = P OI 0 + QOI 0 . Las amplitudes de los sumandos son π − αEntonces P OQ y π + β, luego la amplitud de P OQ es 2π + β − α. Si tomamos 2π + β comoargumento de Q, se cumple lo pedido.
  • 105. 4.5. Los giros y la medida de ´ngulos a 99 Consideremos un punto P (x, y) en ω, sea α su P argumento en ]−π, π], sea P 0 = (x, 0). Si x, y son α a no nulos, entonces el tri´ngulo OP P 0 es rect´ngulo, a pues P − P = (0, y) es ortogonal a P 0 . Por otra 0 P0 O parte, si I = (1, 0), la definici´n de argumento nos o [ da que IOP = ±α, donde el signo es el de la coor- denada y. Puesto que kP k = 1, la definici´n del seno y el ° o ¢coseno de un ´ngulo implican entonces que (x, y) = cos(±α), ± sen(±α) . Esta af´rmula sigue siendo cierta para los puntos (±1, 0) y (0, ±1) (cuyos argumentos oson 0, ±π/2, ±π) por la definici´n del seno y del coseno en estos casos particu- olares. Recordemos que al comienzo de la secci´n anterior hemos convenido en oque el coseno de un ´ngulo nulo es 1 y el coseno de un ´ngulo llano es −1 (y en a aambos casos definimos el seno como 0). Hasta aqu´ tenemos definidas las funciones seno y coseno en el intervalo [0, π]. ıAhora extendemos las definiciones al intervalo [−π, π] mediante las relaciones sen(−α) = − sen α, cos(−α) = cos α. As´ la relaci´n entre α y las coordenadas de P se reduce a ı o ° ¢ (x, y) = cos α, sen α . Puesto que todos los n´meros α + 2kπ son argumentos de P , podemos hacer uque esta f´rmula valga para cualquiera de ellos si extendemos las funciones seno oy coseno a todo el conjunto R mediante sen(α + 2kπ) = sen α, cos(α + 2kπ) = cos α, para todo k ∈ Z. A continuaci´n extendemos el concepto de argumento a cualquier punto oP del plano distinto de O. Para ello consideramos la intersecci´n con ω de ola semirrecta de origen O que pasa por P , esto es, el punto P ∗ = P/kP k.Definimos el argumento de P como arg P = arg P ∗ . Si este argumento es α, lascoordenadas de P son (x, y) = kP k(cos α, sen α).Definici´n 4.25 Llamaremos coordenadas polares de un punto P 6= 0 (respecto oal sistema de referencia dado) a los n´meros ρ = kP k (el m´dulo de P ) y u oθ = arg P (el argumento de P , determinado m´dulo 2π). Representaremos por oP = ρθ al unico punto P del plano de m´dulo ρ y argumento θ. ´ o En estos t´rminos, la relaci´n entre las coordenadas cartesianas y las coor- e odenadas polares de un punto P es (x, y) = (ρ cos θ, ρ sen θ).Definici´n 4.26 Sea π un plano af´ y (O; ~1 , ~2 ) un sistema de referencia. o ın v vSea α un n´mero real. Llamaremos giro de centro O y ´ngulo α a la aplicaci´n u a odeterminada por G(O) = O y Gα (ρθ ) = ρθ+α .
  • 106. 100 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Los giros son isometr´ıas. En efecto, dados dos puntos P y Q, hemos deprobar que kQ − P k = kGα (Q) − Gα (Q)k. Si P = O el t´rmino izquierdo es ela coordenada ρ de Q, mientras que el t´rmino derecho es la coordenada ρ de eGα (Q), y ´sta se conserva por definici´n. Si P 6= O 6= Q, entonces el teorema e o = Gα (P )OGα (Q) (incluyendo los valores posibles 0 y π4.24 prueba que P OQsi los puntos est´n alineados). Como tambi´n tenemos que kP k = kGα (P )k y a ekQk = kGα (Q)k, por el teorema del coseno kQ − P k = kGα (Q) − Gα (P )k. Puesto que Gα (O) = O, la expresi´n en coordenadas de Gα es lineal (coincide ocon la de G~ α . Vamos a calcular su matriz en la base del sistema de referen-cia que estamos considerando. Se trata de la matriz que tiene por filas lasim´genes de los puntos (1, 0) y (0, 1). El punto P (1, 0) = 10 se transforma aen 1α = (cos α, sen α), mientras que el punto P (0, 1) = 1π/2 se transforma en ° ¢1π/2+α = cos(π/2 + α), sen(π/2 + α) . Por otra parte este vector tiene norma1 y es ortogonal a (cos α, sen α). S´lo hay dos vectores en estas condiciones (el ocomplemento ortogonal del subespacio generado por este ultimo vector tiene ´dimensi´n 1). As´ pues, o ı ° ¢ Gα (0, 1) = cos(π/2 + α), sen(π/2 + α) = ±(− sen α, cos α)(pues estos dos vectores cumplen las condiciones y no puede haber m´s). Es af´cil ver que el signo ha de ser positivo. Por ejemplo, si 0 < α < π/2 entonces acos α > 0 y por otra parte π/2 < π/2 + α < π, luego sen(π/2 + α) > 0.Similarmente se discuten las dem´s posibilidades. As´ pues, la matriz del giro a ıde ´ngulo α en un sistema de referencia dado es a µ ∂ cos α sen α Mα = . − sen α cos αTeniendo en cuenta que Gα (O) = O, la expresi´n en coordenadas de Gα resulta oser µ ∂ cos α sen α Gα (x, y) = (x, y) . − sen α cos α Es f´cil ver que, salvo que α = 2kπ con k ∈ Z, el unico punto fijo de Gα es el a ´origen O, luego un giro determina su centro. Ahora vamos a comparar los girosdefinidos en distintos sistemas de referencia ortonormales con un mismo origenO. Para ello hemos de notar que de la definici´n de giro se sigue inmediatamente o −1que Gα ◦ Gβ = Gα+β , luego Mα Mβ = Mα+β . En particular Mα = M−α . Recordemos que hab´ ıamos fijado el sistema (O; ~1 , ~2 ) y sea ahora (O; w1 , w2 ) v v ~ ~otro sistema de referencia ortonormal. Sea O + w1 = 1θ . Entonces w1 = Gθ (~1 ). ~ ~ ~ v ~ vLos vectores Gθ (~2 ) y w2 son ambos ortogonales a w1 y tienen m´dulo 1, luego ~ ~ ow2 = ±Gθ (~2 ). Teniendo esto en cuenta es f´cil ver que la matriz de cambio de~ v abase de (~1 , ~2 ) a (w1 , w2 ) es v v ~ ~ µ ∂ 1 0 Mθ , 0 ±1
  • 107. 4.5. Los giros y la medida de ´ngulos a 101luego su inversa es µ ∂ 1 0 M−θ . 0 ±1 As´ pues, la matriz del giro de ´ngulo α (definido respecto al primer sistema ı ade referencia) en el segundo sistema de referencia es µ ∂ µ ∂ 1 0 1 0 Mθ Mα M−θ = Mθ M±α M−θ = M±α . 0 ±1 0 ±1 Esto significa que el giro de ´ngulo α respecto a un sistema de referencia aes el giro de ´ngulo ±α respecto a cualquier otro sistema de referencia con el amismo origen, y adem´s el posible cambio de signo depende s´lo de los sistemas a ode referencia, es decir, o bien todos los giros coinciden, o bien todos cambian designo. Vemos, pues, que un giro (distinto de la identidad) determina su centroy su ´ngulo salvo signo. Dicho signo depende del sistema de referencia. a Como aplicaci´n vamos a obtener unas importantes relaciones trigonom´tri- o ecas. Basta desarrollar la igualdad Mα+β = Mα Mβ para concluir sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β, cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β. Enseguida veremos que con estas f´rmulas tenemos completamente determi- onadas (salvo un factor constante) las funciones seno y coseno. Primero enun-ciamos un teorema que recoja las propiedades esenciales de ambas funciones.Todas est´n ya demostradas. aTeorema 4.27 Las funciones seno y coseno (respecto a una medida de ´ngulos aprefijada en la que los ´ngulos llanos tengan amplitud π) verifican las propieda- ades siguientes: 1. sen(α + 2kπ) = sen α, cos(α + 2kπ) = cos α, para todo k ∈ Z. 2. sen 0 = 0, cos 0 = 1, sen(π/2) = 1, cos(π/2) = 0. 3. sen2 α + cos2 α = 1, sen(−α) = − sen α, cos(−α) = cos α. 4. sen α ≥ 0 si α ∈ [0, π], cos α ≥ 0 si α ∈ [−π/2, π/2]. 5. Para cada par (x, y) ∈ R2 tal que x2 + y 2 = 1 existe un unico α ∈ ]−π, π] ´ tal que (x, y) = (cos α, sen α). 6. sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β, 7. cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β. Nuestra definici´n de las funciones seno y coseno se basa en la delicada oconstrucci´n de la medida de ´ngulos, que no admite una formulaci´n algebraica o a osencilla. Estas funciones pueden ser definidas mucho m´s f´cilmente mediante a at´cnicas anal´ e ıticas. Vamos a probar que cualquier par de funciones que cumplan
  • 108. 102 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıticalas propiedades del teorema anterior son de hecho el seno y el coseno que hemosdefinido (respecto a una unidad de ´ngulos adecuada). As´ tendremos justificado a ıque nuestra definici´n geom´trica equivale a cualquiera de las varias definiciones o eanal´ıticas posibles. Supongamos, pues, que tenemos dadas dos funciones sen y cos que satisfaganlas propiedades del teorema anterior. Entonces, dado x ∈ [0, 1], existe un unico ´n´mero y ≥ 0 tal que x2 + y 2 = 1, y as´ (x, y) = (cos α, sen α) para un unico u ı ´α ∈ [0, π]. El teorema de Cauchy-Schwarz nos permite definir la amplitud dela´ngulo entre dos vectores ~1 y ~2 como el unico n´mero α ∈ [0, π] que cumple v v ´ u ~ 1~ 2 v v cos α = . k~1 k k~2 k v v − −→ −→ −La amplitud de un ´ngulo ABC es la de los vectores BA y BC. Es f´cil ver que a aesta definici´n no depende de la elecci´n de A y C en los lados del ´ngulo, as´ o o a ıcomo que se conserva por isometr´ es decir, que ´ngulos congruentes tienen la ıas, amisma amplitud. Vamos a comprobar que esta definici´n de amplitud satisface olas condiciones del teorema 2.27. Acabamos de probar la primera. w ~ Para probar la segunda consideramos un ´ngulo a ~ v ˆ A = A(O; ~1 , ~2 ), donde podemos suponer que ~1 y v v v ~2 v ~2 tienen norma 1, y una semirrecta O + {λ~ | λ ≥ 0} v v contenida en el ´ngulo, lo cual equivale a que a O ~1 v ~ = λ~1 + µ~2 , v v v λ, µ ≥ 0.(Tambi´n podemos suponer que ~ tiene norma 1.) e v Sea w un vector ortogonal a ~1 en el plano del ´ngulo. Cambiando w por ~ v a ~−w si es preciso podemos suponer que ~2 = x~1 + y w, con y > 0. Sean α, β ~ v v ~ a d d dy γ las amplitudes de los ´ngulos ~1~2 , ~1~ y ~~2 respectivamente. Hemos de v v v v vvprobar que α = β + γ. Tenemos cos α = ~1~2 = x, luego y = sen α (pues x2 + y 2 = 1 e y > 0). As´ v v ıpues, ~2 = cos α ~1 + sen α w. De aqu´ que v v ~ ı ~ = (λ + µ cos α)~1 + µ sen α w. v v ~A su vez esto implica que cos β = ~1~ = λ + µ cos α, luego sen β = µ sen α. v vUsando las f´rmulas 6 y 7 del teorema 4.27 vemos que o cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β = λ cos α + µ = ~~2 = cos γ, vv sen(α − β) = sen α cos β − sen β cos α = λ sen α ≥ 0. Puesto que |α − β| ≤ π, la ultima desigualdad implica que 0 ≤ α − β ≤ π, ´luego de cos(α−β) = cos γ podemos concluir α−β = γ, como quer´ ıamos probar. ˆ ˆ Llamemos m(A) a la amplitud de un ´ngulo A tal y como la hemos definido a a 0 ˆ ˆpartir de las funciones sen y cos. Sea m (A) la amplitud de A en el sentido usual,digamos que tomando como unidad de ´ngulos el ´ngulo recto. Claramente los a a
  • 109. 4.5. Los giros y la medida de ´ngulos a 103a´ngulos rectos tienen medida m igual a π/2. El teorema 2.27 nos da entonces que ˆ ˆ ˆm(A) = (π/2)m0 (A), para todo ´ngulo A, dicho de otro modo, que la amplitud a ˆ ade un ´ngulo cualquiera en el sentido usual es (2/π)m(A) ´ngulos rectos. a Si suponemos adem´s que π > 1, entonces podemos tomar como unidad de aa´ngulos 2/π veces un ´ngulo recto y, respecto a esta unidad, la amplitud de un aa´ngulo cualquiera es precisamente m(A).ˆ Finalmente, dado α ∈ ]0, π[, fijamos un sistema de referencia ortonormal y consideramos los puntos P (cos α, sen α) y Q(1, 0). Entonces el tri´ngulo P OQ a ˆ y la perpendicular a OQ por P corta a OQ en el puntotiene un ´ngulo recto Q a(cos α, 0). Como kP k = 1, concluimos que sen α y cos α son el seno y el coseno ˆde O en el sentido geom´trico, es decir, hemos probado: eTeorema 4.28 Si unas funciones sen y cos satisfacen las propiedades del teo-rema 4.27 con π > 1, entonces existe una unidad de ´ngulos respecto a la cual asen α y cos α son el seno y el coseno de los ´ngulos de amplitud α (para todo aα ∈ [0, π]). Es importante insistir en que nosotros hemos demostrado la existencia delas funciones seno y coseno. No obstante, si se supone conocida su existenciajunto con las propiedades del teorema 4.27, la f´rmula ~ w = k~ k kwk cos ~ w o v~ v ~ c v~ o c(usada como definici´n de la amplitud de ~ w) permite introducir r´pidamente la v~ amedida de ´ngulos en los espacios eucl´ a ıdeos, y de ella se siguen inmediatamenteel teorema del coseno y el teorema de Pit´goras. Por completitud daremos la aprueba anal´ ıtica de otros dos resultados fundamentales: probaremos que losa´ngulos de un tri´ngulo suman dos rectos y tambi´n el teorema de los senos. a e Dado un tri´ngulo ABC, tomando un sistema de referencia ortonormal con a −− →origen en A y un vector en la direcci´n de AB podemos suponer que A = (0, 0), oB = (c, 0), C = (x, y), con c, y ≥ 0. Se comprueba f´cilmente que a ˆ x ˆ y cos A = , sen A = , cos B = ˆ c−x ˆ y , sen B = . b b a aLas f´rmulas de la suma nos dan que o ˆ ˆ yc sen(A + B) = ≥ 0, ab − −→ →− ˆ ˆ cx − x2 − y 2 AC BC ˆ cos(A + B) = =− = − cos C. ab ab ˆ ˆ ˆ ˆEstas relaciones implican que 0 ≤ A + B ≤ π y A + B = π − C. ˆ C ✁❍❍❍ ✁ ❍❍ b✁ y a ❍❍ ✁ ❍❍ ✁ ❍❍ ✁ x ❍ A c B
  • 110. 104 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Conservando la notaci´n, tenemos o ˆ ˆ C = (b cos A, b sen A), ˆ ˆ B − C = (a cos B, −a sen B),y como B = (c, 0), al sumar las segundas coordenadas queda ˆ ˆ 0 = b sen A − a sen B,que es una de las igualdades del teorema de los senos. La otra se prueba inter-cambiando los papeles los v´rtices (no entraremos en la relaci´n con el radio de e ola circunferencia circunscrita).4.6 Complementos sobre trigonometr´ ıa Ahora que tenemos caracterizadas completamente las funciones seno y co-seno podemos probar unos pocos resultados adicionales sobre trigonometr´ que ıanos ser´n utiles m´s adelante. En primer lugar destacamos las f´rmulas del seno a ´ a oy el coseno del ´ngulo doble, que son consecuencias inmediatas de las f´rmulas a ode la suma: sen 2α = 2 sen α cos α, cos 2α = cos2 α − sen2 α.De ellas se deducen sin esfuerzo las f´rmulas para el ´ngulo mitad: o a r r α 1 − cos α α 1 + cos α sen = , cos = . 2 2 2 2 Introducimos ahora una tercera funci´n trigonom´trica de inter´s: o e eDefinici´n 4.29 Llamaremos tangente de un ´ngulo α a o a sen α tan α = . cos α La tangente est´ definida para todos los n´me- a u Cros reales α excepto aquellos cuyo coseno es nulo,es decir, α = ±π/2 + 2kπ, con k ∈ Z. Su inter-pretaci´n geom´trica es f´cil de obtener. Tomemos o e a A0 < α < π/2. Si la circunferencia de la figura tieneradio 1, sabemos que las longitudes de los segmen-tos OA y OB son respectivamente sen α y cos α.Por lo tanto la tan α es el cociente de ambas lon- O B Dgitudes, y por el teorema de Tales este cociente esindependiente de la recta vertical AB que escoja-mos para calcularlo. En particular si tomamos latangente CD vemos que tan α = CD. Para los dem´s valores posibles de α la tangente se interpreta del mismo amodo, y la unica diferencia es el signo. ´
  • 111. 4.7. Circunferencias 105 En general, vemos que la tangente de uno de los ´ngulos agudos de un atri´ngulo rect´ngulo es la raz´n entre el cateto opuesto y el cateto contiguo. a a oDe aqu´ se sigue que existen ´ngulos agudos cuya tangente es igual a cualquier ı an´mero real positivo prefijado. Las f´rmulas siguientes se prueban sin dificultad u oa partir de las correspondientes para senos y cosenos: tan(α + 2π) = tan α, tan(−α) = − tan α, tan α + tan β 2 tan α tan(α + β) = , tan 2α = . 1 − tan α tan β 1 − tan2 α Dejamos al lector la comprobaci´n de la tabla siguiente. Es f´cil obtener o apruebas tanto geom´tricas como algebraicas. e α sen cos tan 0 0 √ 1 0 √ π/6 √1/2 √3/2 1/ 3 π/4 √2/2 2/2 √1 π/3 3/2 1/2 3 π/2 1 0 −4.7 Circunferencias Veamos la expresi´n anal´ o ıtica de las circunferencias. Dado un plano af´ ıneucl´ ıdeo y fijado en ´l un sistema de referencia ortonormal, la circunferencia de ecentro un punto (a, b) y radio r > 0 est´ formada por los puntos (x, y) cuya adistancia a (a, b) es igual a r, es decir, k(x − a, y − b)k = r, o equivalentemente: (x − a)2 + (y − b)2 = r2 .Desarrollando la ecuaci´n, vemos que las circunferencias est´n formadas por los o apuntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuaci´n de la forma o x2 + y 2 + Ax + By + C = 0, (4.1)donde A = −2a, B = −2b, C = a2 + b2 − r2 . Demostramos ahora un resultado cl´sico sobre circunferencias cuya prueba asint´tica es inmediata. A continuaci´n lo relacionaremos con la geometr´ e o ıaanal´ıtica.Teorema 4.30 (Teorema de la potencia) Sea P un punto que no est´ en euna circunferencia ω. Sean L1 y L2 dos rectas secantes a ω que pasen por P .Sean A1 y B1 los puntos en que L1 corta a ω y sean A2 y B2 los puntos en queL2 corta a ω. Entonces P A1 · P B 1 = P A2 · P B 2 .
  • 112. 106 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica ´ Demostracion: Basta observar que los B1 1 y P A1 B2 tienen dos ´n- tri´ngulos P A2 B a a gulos iguales (B ˆ1 y B2 abarcan arcos igua- ˆ A1P les), luego son semejantes. Si el punto P es interior a la circunferencia el razonamiento A2 es similar. B2 Definici´n 4.31 La potencia de un punto o P respecto a una circunferencia ω se define como 0 si P est´ en ω y en caso contrario acomo la cantidad constante considerada en el teorema anterior, con signo posi-tivo si P es exterior a ω y con signo negativo si P es interior. Si ω tiene centro O y radio r y la distancia de P a r es d, podemos calcular lapotencia de P mediante la recta OP (tomamos una recta cualquiera si P = O).Es f´cil ver que si P es exterior la potencia es (d − r)(d + r) = d2 − r2 , y si P es ainterior obtenemos −(d + r)(r − d) = d2 − r2 . Esta expresi´n vale trivialmente si oP est´ en ω, luego en general tenemos que la potencia de P respecto a ω viene adada por la f´rmula d2 − r2 . o Teniendo en cuenta c´mo hemos obtenido la ecuaci´n (4.1) es claro que la o opotencia de un punto (x, y) respecto a la circunferencia que ´sta determina es eprecisamente el valor del miembro izquierdo de la ecuaci´n. oEjercicio: Probar que si P es un punto exterior a una circunferencia ω, entonces lapotencia de P es el cuadrado de la distancia de P a los puntos donde las tangentes aω por P tocan a ω.Ejercicio: Probar que el conjunto de los puntos con la misma potencia respecto ados circunferencias no conc´ntricas es una recta perpendicular a la recta que pasa por esus centros (esta recta recibe el nombre de eje radical de las circunferencias).4.8 C´nicas o Como ilustraci´n de las t´cnicas anal´ o e ıticas que hemos introducido en estecap´ ıtulo vamos a exponer la teor´ b´sica sobre las secciones c´nicas, que in- ıa a ocluyen tres clases de curvas: elipses, hip´rbolas y par´bolas. Empezaremos e aestudi´ndolas individualmente y despu´s veremos las relaciones entre ellas. En a etoda esta secci´n E ser´ un plano af´ eucl´ o a ın ıdeo.La elipse Es posible definir una elipse de muchas formas alternativas, peroquiz´ la m´s intuitiva sea la siguiente: a aDefinici´n 4.32 Una elipse es el conjunto de puntos del plano tales que la osuma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
  • 113. 4.8. C´nicas o 107 La figura siguiente muestra una elipse de focos F1 y F2 . Podemos pensar queunimos F1 y F2 con una cuerda de longitud l, la tensamos estirando de un puntoy movemos dicho punto de modo que la cuerda nunca deje de estar tensada. Latrayectoria del punto ser´ la elipse correspondiente a los focos dados y a la suma ade distancias l. a b F1 c F2 El punto medio del segmento que une los focos se llama centro de la elipse,los segmentos que unen dos puntos de la elipse y que pasan por su centro sellaman di´metros. El di´metro que contiene a los focos se llama eje mayor y el a adi´metro perpendicular se llama eje menor. Los extremos del di´metro mayor a ase llaman v´rtices mayores y los extremos del eje menor v´rtices menores. La e edistancia c del centro a cada foco se llama distancia focal. Es claro que los v´rtices menores est´n a la misma distancia de los dos focos, e aluego si llamamos a a dicha distancia, entonces el valor constante de la suma delas distancias a los focos desde cualquier punto de la elipse es l = 2a. Notemosque para que pueda existir una elipse con distancia focal c y suma de longitudes2a es necesario (y suficiente) que c < a. La distancia de los v´rtices mayores/menores al centro de la elipse se llama esemieje mayor/menor de la elipse. Al semieje menor lo representaremos por b,mientras que el semieje mayor no es sino la distancia a que acabamos de definir. En efecto, si llamamos a0 al semieje mayor, la distancia de un v´rtice mayor ea su foco m´s pr´ximo es a0 − c, mientras que la distancia al foco m´s alejado es a o ac + a0 , luego la suma de ambas distancias es a0 − c + c + a0 = 2a0 y, como dichasuma ha de ser 2a, resulta que a0 = a. La figura muestra entonces la relaci´n a2 = b2 + c2 . En particular vemos que oel semieje mayor es siempre mayor que el semieje menor, por lo que los nombresson adecuados. Conviene observar que la definici´n de elipse sigue siendo v´lida si reducimos o alos dos focos a un mismo punto C. Lo que obtenemos entonces es el conjuntode puntos P tales que el doble de la distancia de P a C es una constante 2a,pero esto no es sino la circunferencia de centro C y radio a. En suma, podemosver a las circunferencias como elipses con distancia focal nula. En general, una elipse tiene el aspecto de una circunferencia achatada, y el“grado de achatamiento” puede medirse a trav´s de su excentricidad e = c/a. e
  • 114. 108 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıticaPara una elipse propiamente dicha tenemos que 0 < e < 1, y las circunferenciaspueden verse como elipses de excentricidad e = 0. √ Observemos que b/a = 1 − e2 , por lo que la excentricidad determina (yest´ determinada por) la proporci´n entre los semiejes de la elipse. As´ se ve a o ım´s claramente que es una medida del “achatamiento” de la elipse. a Fijemos ahora un sistema de referencia ortonormal cuyo origen sea el cen-tro de la elipse y su eje X contenga al eje mayor. Entonces los focos tienencoordenadas (±c, 0) y un punto P = (x, y) est´ en la elipse si cumple que a p p (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a. Despejando la primera ra´ cuadrada, elevando al cuadrado y simplificando ızllegamos a que p (x − c)2 + y 2 = a − xc/a.Elevando de nuevo al cuadrado queda x2 + c2 + y 2 = a2 + c2 x2 /a2o, equivalentemente, b2 2 x + y 2 = b2 . a2 Por ultimo, dividiendo entre b2 llegamos a la ecuaci´n ´ o x2 y2 + 2 = 1. (4.2) a2 b Rec´ıprocamente, vamos a ver que toda ecuaci´n de esta forma con a > b ocorresponde a una elipse de semiejes a y b y focos en los puntos (±c, 0), donde √c = a2 − b2 . Para ello calculamos la distancia d1 de un punto P = (x, y) quecumpla la ecuaci´n al punto (−c, 0): o b2 2 c2d2 = (x + c)2 + y 2 = x2 + 2cx + c2 + b2 − 1 x = 2 x2 + 2cx + a2 = (a + ex)2 , a2 adonde hemos llamado e = c/a. De (4.2) se sigue que |x| ≤ a y 0 < e < 1, luegoa + ex > 0, luego d1 = a + ex. Similarmente se prueba que la distancia de P alv´rtice (c, 0) es d2 = a − ex, luego, ciertamente, la suma de ambas distancias es econstante: d1 + d2 = 2a. Esto prueba que la ecuaci´n (4.2) corresponde a una oelipse con los par´metros indicados. a Del argumento anterior se extrae una consecuencia relevante: llamemos d = a/e = a2 /c > ay consideremos las directrices de la elipse, que son las rectas perpendicularesa su eje mayor y que distan de su centro una distancia d. El cociente de ladistancia de un punto P al foco (c, 0) y a la directriz que pasa por (d, 0) es a − ex a − ex =e = e, d−x a − exe igualmente sucede si consideramos el otro foco y la otra directriz. En resumen:
  • 115. 4.8. C´nicas o 109Teorema 4.33 El cociente entre la distancia de un punto de una elipse (queno sea una circunferencia) a uno de sus focos sobre la distancia a su directrizcorrespondiente es igual a la excentricidad de la elipse. La figura siguiente muestra las directrices de la elipse anterior junto con lasdistancias de un punto arbitrario P a un foco y a su directriz. Vemos as´ queıuna elipse est´ completamente determinada por uno de sus focos, su directriz acorrespondiente y su excentricidad. P d FLa hip´rbola Un m´ e ınimo cambio en la definici´n de elipse nos da la definici´n o ode hip´rbola: eDefinici´n 4.34 Una hip´rbola es el conjunto de puntos del plano tales que la o ediferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Aqu´ hemos de entender que la diferencia se toma en valor absoluto o, equi- ıvalentemente, que la ecuaci´n de una hip´rbola respecto de un sistema de refe- o erencia en el que los focos tengan coordenadas (±c, 0) es de la forma p p (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = ±2a,con a > 0. Observemos que si llamamos u y v a las dos distancias y, por ejemplou ≥ v, entonces u − v = 2a y, por otro lado, la diferencia entre las longitudes dedos lados de un tri´ngulo ha de ser menor que el tercer lado, luego 2a ≤ 2c. a P u v F0 c c F Si se da la igualdad a = c entonces la “hip´rbola” ha de estar contenida en ela recta y = 0 (y es f´cil ver que, de hecho, es toda la recta), as´ que vamos a ıconsiderar que la definici´n de hip´rbola excluye este caso trivial. Suponemos, o epues, que a < c.
  • 116. 110 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica Las mismas manipulaciones que hemos hecho con la ecuaci´n de la elipse onos llevan ahora a a2 − c2 2 x + y 2 = a2 − c2 . a2 Como a < c, podemos llamar b2 = c2 − a2 , con lo que la ecuaci´n se reduce oa la forma x2 y2 − 2 = 1. (4.3) a2 b Como en el caso de la elipse, podemos definir el centro de una hip´rbola como eel punto medio de sus focos, sus di´metros como los segmentos que unen dos apuntos de la hip´rbola y pasan por su centro, su eje mayor como el di´metro e aque pasa por sus focos y sus v´rtices como los extremos del eje mayor. Res- epecto al sistema de referencia correspondiente a la ecuaci´n (4.3) el centro es oel punto (0, 0) y los v´rtices son los puntos (±a, 0). La hip´rbola s´lo tiene e e odos v´rtices, porque no corta al eje x = 0. El n´mero b no tiene una interpre- e utaci´n geom´trica, pero determina la distancia focal c a trav´s de la relaci´n o e e oc2 = a2 + b2 . Definimos la excentricidad como e = c/a > 1. Definimos las directrices de una hip´rbola igual que para una elipse, es decir, ecomo las rectas perpendiculares a su eje que distan ±d de su centro, donded = a/e. Dejamos a cargo del lector la demostraci´n de que el teorema 4.33 ovale igualmente para elipses. La figura siguiente muestra una hip´rbola con sus efocos y sus directrices. La distancia de P a F dividida entre la distancia de Pa D es igual a la excentricidad e. P 0 D D F0 FC´nicas eucl´ o ıdeas El hecho de que tanto las elipses como las hip´rbolas esatisfagan el teorema 4.33 nos lleva a la siguiente definici´n de c´nica en el o oplano eucl´ ıdeo:Definici´n 4.35 Sea D una recta en el plano eucl´ o ıdeo, sea F un punto nocontenido en D y sea e > 0 un n´mero real. Llamaremos c´nica de foco F , u odirectriz D y excentricidad e al conjunto de los puntos P tales que la distanciade P a F sobre la distancia de P a D sea igual a e. Una c´nica ser´ una o acurva que cumpla esta definici´n o bien una circunferencia, de modo que, por odefinici´n, las circunferencias son las c´nicas de excentricidad 0. o o Vamos a probar que las c´nicas en este sentido son elipses si su excentricidad oes 0 < e < 1 y son hip´rbolas si e > 1. Para ello tomamos D, F y e en las e
  • 117. 4.8. C´nicas o 111condiciones de esta definici´n con e 6= 1. Llamamos k > 0 a la distancia de F a oD, y definimos a > 0 mediante la relaci´no Ø Ø Ø1 Ø aØØ − eØ = k. e Ø De este modo, si llamamos c = ae y d = a/e, se cumple que |c − d| = a, luegopodemos tomar un sistema de referencia en el que el punto F tenga coordenadas(c, 0) y la recta D tenga ecuaci´n x = d. Si 0 < e < 1 el punto F estar´ a la o aizquierda de D, pero si e > 1 ser´ al rev´s. a e Los puntos P = (x, y) de la c´nica definida por D, F y e son los que cumplen o p (x − c)2 + y 2 = e. (4.4) |d − x| Esta ecuaci´n equivale a la que resulta de elevarla al cuadrado, que es: o x2 − 2cx + c2 + y 2 = e2 d2 + e2 x2 − 2e2 dx,la cual es equivalente a (1 − e2 )x2 + y 2 = a2 (1 − e2 ). Si llamamos ≤ = ±1 al signo de 1 − e2 y p p b = a |1 − e2 | = |a2 − c2 |,tenemos que x2 ≤b2 + y 2 = ≤b2 , a2lo que equivale a que x2 y2 + ≤ 2 = 1. a2 b As´ si 0 < e < 1 tenemos que ≤ = 1 y hemos llegado a la ecuaci´n de una ı, oelipse, mientras que para e > 1 se cumple que ≤ = −1 y la ecuaci´n corresponde oa una hip´rbola. En ambos casos es claro que e, F y D son respectivamente ela excentricidad, un foco y una directriz en el sentido definido espec´ ıficamentepara elipses e hip´rbolas, luego la definici´n 4.35 es coherente con las definiciones e oprevias.La par´bola Las c´nicas de excentricidad e = 1 no son ni elipses ni hip´rbolas, a o esino que reciben el nombre de par´bolas. La ecuaci´n m´s simple de una a o apar´bola se tiene cuando se toma un sistema de referencia en el que el foco atenga coordenadas (p, 0) y la directriz tenga ecuaci´n x = −p. Entonces un opunto P = (x, y) est´ en la par´bola si cumple a a p (x − p)2 + y 2 = |x + p|,lo cual equivale a y 2 = 4px.
  • 118. 112 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıtica P D F Podemos definir el eje de la par´bola como la recta perpendicular a D que acontiene a F , y su v´rtice es el punto donde la par´bola corta al eje. En el e asistema de referencia en el que la par´bola tiene la ecuaci´n can´nica y 2 = 4px a o otenemos que el eje es y = 0 y el v´rtice es (0, 0), por lo que p es la distancia del efoco al v´rtice (o de la directriz al v´rtice) y se llama par´metro de la par´bola. e e a a El teorema siguiente resume la clasificaci´n de las c´nicas eucl´ o o ıdeas quehemos obtenido:Teorema 4.36 Fijado un sistema de referencia ortonormal en un plano eucl´ ıdeoreal, toda c´nica es isom´trica a una sola de las c´nicas siguientes: o e o x2 y2 x2 y2 + 2 =1 (con a ≥ b > 0), − 2 =1 (con a, b > 0), y 2 = 4px, a2 b a2 b(con p > 0). La unicidad se debe a que las isometr´ han de conservar los par´metros ıas aintr´ ınsecos de las c´nicas, como los semiejes, la distancia focal, etc. oSecciones c´nicas Finalmente vamos a probar que las c´nicas pueden ca- o oracterizarse por su definici´n cl´sica, es decir, por que son las curvas que se o aobtienen al cortar un cono con un plano que no pase por su v´rtice. e Dados un punto O y una recta r que pase por O, un cono (gr. ‘pi˜a’) de nv´rtice O y eje r es el conjunto de los puntos del espacio que pertenecen a al- eguna de las rectas que pasan por O y forman un z y = mza´ngulo fijo α con r. Dichas rectas se llaman ge- dneratrices del cono. En realidad esta definici´n o x + y 2 = m2 z 2 2corresponde a lo que m´s propiamente se llama aun cono doble, formado por dos conos simplesopuestos por el v´rtice. Las generatrices de los e yconos simples son las semirrectas de origen en OO y contenidas en un mismo semiespacio res- xpecto del plano perpendicular a r que pasa porO, pero aqu´ vamos a considerar conos dobles. ı Dado un cono en un espacio af´ eucl´ ın ıdeoE, podemos tomar un sistema de referencia or-tonormal cuyo origen se encuentre en el v´rtice del cono y cuyo eje Z sea el eje e
  • 119. 4.8. C´nicas o 113del cono. Si llamamos d a la distancia al eje Z de un punto del cono situado aaltura z, tenemos que m = tan α = d/z, luego los puntos del cono cumplen laecuaci´n o z x2 + y 2 = m2 z 2 Π ~ u Consideremos ahora un plano Π que corte al eje γ 0 O ~ vZ en un punto O0 = (0, 0, l), con l > 0. Suponga-mos primeramente que Π no es vertical. Entonces suintersecci´n con el plano XY es una recta y, como o ypodemos elegir los ejes X e Y sin alterar la ecuaci´nodel cono, no perdemos generalidad si suponemos que xdicha intersecci´n es el eje Y . Esto significa que el plano es de la forma o Π = O0 + h(1, 0, k), (0, 1, 0)i ,para cierto k ≥ 0. Concretamente, notemos que k = tan γ, donde γ es el ´ngulo aque forma Π con el plano XY . Por lo tanto, un punto est´ en Π si y s´lo si a ocumple la ecuaci´n o z = l + kx Podemos considerar a Π como plano af´ eucl´ın ıdeo con el producto escalar en~ ~Π inducido desde E por restricci´n. Un sistema de referencia ortonormal de Π oes entonces (O0 ; ~ , ~ ), donde u v µ ∂ 1 k ~= √ u , 0, √ , ~ = (0, 1, 0). v k2 + 1 k2 + 1 Claramente p (x, y, l + kx) = O0 + k2 + 1 x~ + y~ , u vlo que se interpreta como que las coordenadas en Π del punto que en E tienecoordenadas (x, y, z) son p (x0 , y 0 ) = ( k2 + 1 x, y). Los puntos de la intersecci´n de Π con el cono son los que est´n en Π y o aadem´s cumplen la ecuaci´n a o x2 + y 2 = m2 (kx + l)2 ⇔ (1 − m2 k2 )x2 + y 2 = 2m2 klx + m2 l2 . En t´rminos de las coordenadas en Π esto equivale a e 1 − m2 k2 02 2m2 kl 0 2+1 x + y 02 = √ x + m2 l2 . (4.5) k k2 + 1 Vamos a probar que esta ecuaci´n corresponde a una c´nica en Π. Supon- o ogamos en primer lugar que mk 6= 1, con lo que el coeficiente de x02 no es nulo.Realizamos entonces la traslaci´n o √ 0 k2 + 1km2 l x =x+ , y 0 = y, 1 − m2 k2
  • 120. 114 Cap´ ıtulo 4. La geometr´ anal´ ıa ıticacon lo que la ecuaci´n se transforma en o 1 − m2 k2 2 m2 l2 2+1 x + y2 = k 1 − m2 k2 Si mk < 1 todos los coeficientes son positivos, por lo que tenemos unaelipse. Concretamente, dividiendo entre el t´rmino independiente, vemos que esus semiejes son √ m k2 + 1 m a= l, b= √ l, 1 − m2 k2 1 − m2 k2luego √ p 1 + m2 mk c = a2 − b2 = l. 1 − m2 k2La excentricidad resulta ser √ 1 + m2 k e= √ . (4.6) k2 + 1 Si mk > 1 tenemos una hip´rbola, y c´lculos an´logos llevan a expresiones e a asimilares para a, b, c (el unico cambio es que aparece m2 k2 − 1 donde antes ´ ıamos 1 − m2 k2 ) que dan lugar a la misma expresi´n para e. Por ultimo, siten´ o ´mk = 1 la ecuaci´n (4.5) se reduce a o 2m2 l x02 − √ y 0 = m2 l2 , m2 + 1y una traslaci´n en y la reduce a o 2m2 l x02 = √ y0 , m2 + 1que corresponde a una par´bola. Notemos que la f´rmula (4.6) da e = 1 cuando a ok = 1/m, luego es v´lida en todos los casos. a √ √ Notemos a continuaci´n que m2 + 1 = tan2 α + 1 = cos−1 α e, igual- √ omente7 k2 + 1 = cos−1 γ, por lo que (4.6) equivale a cos γ tan γ sen γ e= = . cos α cos α Si llamamos β al ´ngulo que Π forma con el eje Z se cumple que sen γ = cos β, ay as´ obtenemos una expresi´n m´s simple para la excentricidad: ı o a cos β e= . (4.7) cos α As´ la c´nica es una elipse (gr. ‘defecto’), una par´bola (gr. ‘comparaci´n’) ı, o a oo una hip´rbola (gr. ‘exceso’) seg´n si β < α, β = α o β > α. e uEjercicio: Comprobar que si el plano Π es vertical (y no pasa por O) corta al conoen una hip´rbola de excentricidad dada igualmente por (4.7) con β = 0. e 7 Esta relaci´n surge de dividir entre cos2 α la identidad sen2 α + cos2 α = 1. o
  • 121. Cap´ ıtulo VN´ meros complejos u Es bien conocido que las ra´ de una ecuaci´n polin´mica de segundo grado ıces o ocon coeficientes reales ax2 + bx + c = 0 vienen dadas por la f´rmula o √ −b ± b2 − 4ac x= , 2asupuesto que el discriminante b2 − 4ac tenga ra´ cuadrada, esto es, no sea ne- ızgativo. Sin embargo, los matem´ticos renacentistas italianos observaron que aaun en el caso de que el discriminante fuera negativo se pod´ trabajar con- ıasistentemente con unas hipot´ticas ra´ e √ ıces “imaginarias” sin m´s que admitir la aexistencia de una cantidad i = −1. M´s concretamente, los algoritmos de aresoluci´n de ecuaciones c´bicas pasaban en determinados casos por solucio- o unes imaginarias de ecuaciones cuadr´ticas asociadas que despu´s daban lugar a a esoluciones reales de la c´bica de partida. La teor´ de extensiones algebraicas u ıaproporciona un fundamento riguroso de esta introducci´n directa de los n´meros o uimaginarios a partir de la ecuaci´n i2 = −1: o5.1 Definici´n y propiedades b´sicas o a El polinomio x2 + 1 no tiene ra´ıces reales, y al tener grado 2 es irreducibleen el anillo R[x]. Por lo tanto existe una extensi´n algebraica de R en la cual otiene una ra´ız:Definici´n 5.1 Llamaremos cuerpo de los n´meros complejos C = R[i] a la o uadjunci´n a R de una ra´ i del polinomio x2 + 1. o ız La teor´ de cuerpos nos asegura que C est´ un´ ıa a ıvocamente determinado salvoisomorfismos que fijan a R. El cuerpo C es un espacio vectorial de dimensi´n o2 sobre R y tiene por base a {1, i}. Por lo tanto todo n´mero complejo z se uexpresa de forma unica como z = a + bi, donde a, b ∈ R. As´ pues, podemos ´ ıidentificar el n´mero complejo a + bi con el par (a, b) ∈ R2 . u 115
  • 122. 116 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u El nombre de “n´meros complejos” hace referencia precisamente a que cada un´mero complejo z = a + bi est´ compuesto o determinado por dos n´meros u a ureales a y b, llamados respectivamente parte real y parte imaginaria de z. Lasrepresentaremos por Re z e Im z. El adjetivo “imaginario” es herencia de las vacilaciones originales sobre lanaturaleza de los n´meros complejos. En general, los n´meros a + bi con b 6= 0 u use llaman imaginarios (y de aqu´ viene, por oposici´n, el calificativo de n´meros ı o ureales para los n´meros no imaginarios) los n´meros de la forma bi con b 6= 0 se u ullaman imaginarios puros. Al n´mero i se le llama unidad imaginaria. u Teniendo en cuenta que i2 = −1 las operaciones en C son(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Vemos, pues, que la suma de n´meros complejos es la suma usual en R2 , uy el producto de un n´mero real por un n´mero complejo es tambi´n el pro- u u educto usual. Queda pendiente interpretar geom´tricamente el producto de dos en´meros complejos cualesquiera. u Puesto que x2 + 1 = (x + i)(x − i), la extensi´n C/R es finita de Galois, luego otiene exactamente dos R-automorfismos. Uno es la identidad, y el otro env´ i ıaa −i. Lo llamaremos conjugaci´n. Representaremos por z al conjugado de z. o ¯Seg´n lo dicho, u a + bi = a − bi. La norma eucl´ıdea de R2 se corresponde con lo que en la teor´ de n´meros ıa ucomplejos se llama el m´dulo de un n´mero complejo z = a + bi, definido como o u p √ |z| = a2 + b2 = z z .¯ Observemos que |z|2 es la norma de z en el sentido de la teor´ de Galois, ıaluego el m´dulo es multiplicativo, es decir, |z1 z2 | = |z1 | |z2 |. o La relaci´n |z|2 = z z nos da una expresi´n sencilla para el inverso de un o ¯ on´mero complejo no nulo, a saber, u z ¯ z −1 = . |z|2 Tambi´n conviene notar que |Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z|. En efecto, si z = a+bi, e 2tenemos que |Re z| = a2 ≤ a2 + b2 = |z|2 , luego |Re z| ≤ |z|, e igualmente conla parte imaginaria. Las partes real e imaginaria de un n´mero z son las coordenadas cartesianas ude z respecto al sistema de referencia can´nico determinado por el 0 y la base o{1, i}. Tambi´n podemos expresar todo n´mero complejo no nulo en t´rminos e u ede sus coordenadas polares, es decir, z = |z|(cos θ + i sen θ),con el argumento θ determinado m´dulo 2π. o
  • 123. 5.2. La clausura algebraica de C 117 Retomemos ahora el problema de interpretar el producto de n´meros com- uplejos. Consideremos en primer lugar un n´mero complejo de m´dulo 1, digamos u o1θ = cos θ + i sen θ. Consideremos otro n´mero complejo x + iy. Entonces u 1θ (x + iy) = (x cos θ − y sen θ) + (x sen θ + y cos θ)i.Si lo interpretamos en R2 tenemos µ ∂ cos θ sen θ 1θ (x, y) = (x, y) = Gθ (x, y), − sen θ cos θdonde Gθ es el giro de ´ngulo θ respecto al sistema de referencia can´nico. As´ a o ıpues, si expresamos x + yi en coordenadas polares, ρ0 0 , acabamos de probar que θ1θ ρ0 0 = ρ0 0 . θ θ+θ Teniendo en cuenta que el m´dulo del producto es el producto de los m´dulos, o oahora es claro que ρθ ρ0 0 = ρ · 1θ ρ0 0 = ρρ0 0 = (ρρ0 )θ+θ0 . θ θ θ+θ As´ pues, el producto de dos n´meros complejos no nulos es el n´mero com- ı u uplejo cuyo m´dulo es el producto de los m´dulos y cuyo argumento es la suma o ode los argumentos. Ahora es evidente que todo n´mero complejo tiene una ra´ cuadrada. Con- u ız √cretamente, la ra´ cuadrada de ρθ es ρθ/2 . Vamos a dar una prueba de este ızhecho que no dependa de consideraciones geom´tricas sobre argumentos. e Partamos de un n´mero complejo z que podemos suponer imaginario. Sea uz/|z| = a+bi. La bisectriz del ´ngulo formado por 1 y a+bi pasar´ por el punto a a ´medio del segmento de extremos 1 y a + bi. Este es (a + 1)/2 + bi/2. Tenemosas´ un n´mero cuyo argumento es la mitad del argumento de z. Ahora hemos ı ude ajustar su m´dulo, que es o r a+1 2Dividi´ndolo entre este n´mero obtenemos un n´mero de m´dulo 1 y multipli- e p u u ocando por |z| obtenemos, seg´n lo dicho anteriormente, una ra´ cuadrada de u ız ´z. Esta es r µ ∂ 2|z| a + 1 b w= + i . (5.1) a+1 2 2Elevando al cuadrado y usando que a2 + b2 = 1 obtenemos |z|(a + bi) = z, luegose trata ciertamente de una ra´ cuadrada de z. ız5.2 La clausura algebraica de C El hecho de que todo n´mero complejo tenga ra´ cuadradas se traduce en u ıces o ıces en C. Los algebristas sab´que toda ecuaci´n de segundo grado tiene ra´ ıanbien que lo mismo sucede con las ecuaciones de grado tres y cuatro, as´ como ı
  • 124. 118 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos ucon muchos casos particulares de ecuaciones de grados superiores. Esto sustent´ odurante siglos la conjetura de que de hecho toda ecuaci´n polin´mica pod´ o o ıaresolverse en C, sin embargo, la primera prueba tuvo que esperar hasta principiosdel siglo XIX. Fue en este per´ıodo cuando Argrand descubri´ la representaci´n o ogeom´trica de los n´meros complejos, aunque fue Gauss el primero en usarla y e udifundirla. Gauss descubri´ as´ mismo la interpretaci´n geom´trica del producto o ı o ede n´meros complejos y en su tesis doctoral prob´ el que hoy se conoce como u oteorema fundamental del ´lgebra. La prueba que veremos aqu´ se basa en la a ıteor´ de Galois y s´lo requiere dos hechos concretos sobre n´meros reales y ıa o ucomplejos, ambos ya probados: A Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una ra´ real. ız B Todo n´mero complejo tiene una ra´ cuadrada. u ız El ultimo ingrediente que necesitamos es un resultado fundamental de la ´teor´ de grupos finitos: ıaTeorema de Sylow Sea G un grupo finito, p un n´mero primo y n un n´mero Ø u unatural tal que pn Ø |G|. Entonces G tiene un subgrupo de orden pn . Para comodidad del lector incluimos al final del cap´ıtulo un ap´ndice con ela demostraci´n del teorema de Sylow. Para probar el teorema fundamental odel ´lgebra conviene reformular A y B en t´rminos de la teor´ de cuerpos. a e ıaEn primer lugar, A equivale a que todo polinomio irreducible en R[x] de gradomayor que 1 es de grado par. Como toda extensi´n finita de R es simple, su o ınimo en R[x] de su elemento primitivo, luegogrado es el grado del polinomio m´ A0 Todas las extensiones propias de R tienen grado par. Por otro lado B equivale a que toda ecuaci´n de segundo grado sobre C tiene ora´ en C, es decir, que no hay polinomios irreducibles de grado 2 en C[x], as´ ıces ıpues: B 0 No existen extensiones de C de grado 2.Teorema 5.2 (Teorema fundamental del ´lgebra) C es algebraicamente acerrado. Demostracion: Hay que probar que C no tiene extensiones algebraicas ´propias. Supongamos que K es una tal extensi´n. Adjuntando a C un elemento ocualquiera de K que no est´ en C obtenemos una extensi´n propia y finita de C. e oPodemos suponer, pues, que K/C es una extensi´n finita. Tambi´n ser´ finita o e ala extensi´n K/R. Existe una extensi´n finita normal de R que contiene a K. o oPor lo tanto podemos suponer que K/R es una extensi´n finita de Galois (de ogrado mayor que 1). Por A sabemos que |K : R| es un n´mero par. Digamos que |K : R| = 2n · m, ucon n ≥ 1 y m impar.
  • 125. 5.3. Construcciones con regla y comp´s a 119 Sea G el grupo de Galois de la extensi´n. Como |G| = 2n · m, el teorema de oSylow nos da la existencia de un subgrupo H de orden 2n . El cuerpo F fijadopor H cumple |K : F | = 2n , luego |F : R| = m. Por A0 resulta que m ha de serigual a 1. As´ pues, |K : R| = 2n y, por lo tanto, |K : C| = 2n−1 . Sea r = n − 1. ıEstamos suponiendo que K es una extensi´n propia de C, luego r ≥ 1. o Sea ahora L el grupo de Galois de la extensi´n K/C. Entonces |L| = 2r y, de onuevo por el teorema de Sylow, L tiene un subgrupo H de orden 2r−1 . El cuerpofijado por este subgrupo es una extensi´n de C de grado 2, en contradicci´n con o ola afirmaci´n B 0 . o Como consecuencia, el conjunto A de los n´meros complejos algebraicos usobre Q es algebraicamente cerrado (pues las ra´ complejas de cualquier poli- ıcesnomio de A[x] ser´n elementos algebraicos sobre A, luego sobre Q, luego estar´n a aen A). As´ pues, A es la clausura algebraica de Q, luego podemos considerar ıcontenidas en C a todas las extensiones algebraicas de Q. Otra consecuencia esque C es la clausura algebraica de R, por lo que los polinomios irreducibles enR[x] tienen todos grado 1 o 2. Esto ser´ importante en la clasificaci´n de las a oisometr´ en Rn . ıas5.3 Construcciones con regla y comp´s a Veamos c´mo la estructura de cuerpo que le hemos dado al plano eucl´ o ıdeoresulta de gran ayuda para estudiar la constructibilidad con regla y comp´s. Los aantiguos griegos se interesaron especialmente por los problemas geom´tricos aso- eciados a figuras que pueden ser trazadas con los instrumentos m´s simples: una aregla para trazar rectas y un comp´s para trazar circunferencias. Con m´s pre- a acisi´n, una construcci´n con regla y comp´s en sentido estricto no admite que se o o atracen rectas o circunferencias aleatorias. Para que una recta se pueda conside-rar ‘construida’ es necesario tener construidos dos de sus puntos, sobre los queapoyar la regla; un punto est´ construido cuando lo hemos determinado como aintersecci´n de dos rectas, dos circunferencias, o una recta y una circunferencia; ofinalmente, para construir una circunferencia tenemos que tener construido sucentro, sobre el que clavar el comp´s, y su radio ha de ser la distancia entre dos apuntos construidos, con los que fijar la apertura del comp´s.a Para aplicar estos criterios necesitamos tener unos datos, por ejemplo, dadoun tri´ngulo arbitrario (trazado al azar, si se quiere) podemos plantearnos la aconstrucci´n de su circunferencia circunscrita. Esto supone tomar como ‘cons- otruidos’ los v´rtices del tri´ngulo y a partir de ellos realizar una cadena de e aconstrucciones en el sentido anterior que acaben con el trazado de la circunfe-rencia buscada. Es claro que a partir de un unico punto es imposible realizar construcci´n ´ oalguna. El menor n´mero de puntos para iniciar una construcci´n es 2. Una u oconstrucci´n a partir de dos puntos es una construcci´n absoluta. Una cons- o otrucci´n que acepte como datos m´s de dos puntos es una construcci´n relativa o a oa los datos. Veamos algunos ejemplos de construcciones elementales:
  • 126. 120 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos uMediatriz de un segmento dado Tomando como datos los extremos deun segmento AB, para construir su mediatriz procedemos del modo siguiente: ´trazamos las circunferencias de centros A y B y radio AB. Estas se cortar´n en ados puntos P y Q equidistantes de A y B. La recta que pasa por P y Q es lamediatriz buscada. PPerpendicular a una recta Para trazar la perpen-dicular a una recta por un punto O dado sobre ella setraza una circunferencia de centro O y cualquier radioconstructible, que cortar´ a la recta en dos puntos A y aB. La perpendicular buscada es la mediatriz del seg-mento AB. A B Para obtener la perpendicular a una recta por unpunto exterior P se toma un punto A en la recta y setraza la circunferencia de centro P y radio A, que cortar´ aa la recta en otro punto B. La perpendicular buscada esla mediatriz del segmento AB QParalela a una recta Para trazar la paralela a una recta r por un puntoexterior P se traza la perpendicular a r por P , llam´mosla s, y luego la perpen- edicular a s por P .Bisectriz de un ´ngulo Para trazar la bisectriz ade un ´ngulo dado se traza una circunferencia con acentro en su v´rtice y cualquier radio constructible. e B´Esta cortar´ a los lados en dos puntos A y B. La abisectriz buscada es la mediatriz de AB. ADivisi´n de un segmento Para dividir un o A5segmento AB en n partes iguales trazamos A4cualquier recta constructible que pase por A A3y que sea no contenga a B. Con el comp´s a A2marcamos n puntos equidistantes A = A0 , A1A1 , . . ., An . Unimos An con B y trazamos A Bparalelas a esta recta que pasen por los pun-tos Ai . Por el teorema de Tales, los cortes de estas rectas con AB dividen elsegmento en partes iguales. i Consideremos un sistema de referencia ortonormal enun plano eucl´ ıdeo. Cada punto del plano se correspondea trav´s de este sistema con un unico n´mero complejo. e ´ uPodemos elegir arbitrariamente los puntos que se corres- −1 0 1ponden con 0 y 1. Trazamos la recta que contiene aambos y la perpendicular a ella por 0. La circunferencia −i
  • 127. 5.3. Construcciones con regla y comp´s a 121de centro 0 y radio 1 corta a estas rectas en los puntos ±1 y ±i. Tenemos liber-tad para decidir qui´n es i y qui´n −i. Una vez hecha esta elecci´n, cada punto e e odel plano tiene asignado un unico n´mero complejo. Llamaremos n´meros cons- ´ u utructibles a los n´meros complejos asociados a puntos del plano constructibles ucon regla y comp´s (´nicamente a partir de 0 y 1). Llamaremos C al conjunto a ude todos los n´meros complejos constructibles. u Notemos que si un n´mero real a es constructible, tambi´n lo es la circunfe- u erencia de centro 0 y radio a, y ´sta corta al eje imaginario en ai, luego tambi´n e e´ste es constructible. En general, si z = a+bi es constructible, entonces tambi´ne elo son las rectas que pasan por z perpendiculares a los ejes, luego tambi´n los epuntos de intersecci´n con los ejes, luego los n´meros a y bi son constructi- o ubles, luego a y b son constructibles. El rec´ ıproco se prueba igualmente. Porconsiguiente tenemos: Un n´mero complejo es constructible si y s´lo si lo son su parte real y su u oparte imaginaria. Ahora podemos probar el resultado b´sico sobre constructibilidad: aTeorema 5.3 El conjunto C de los n´meros complejos constructibles es un sub- ucuerpo de C. Demostracion: Veamos en primer lugar que C ∩ R es un subcuerpo de R. ´ Sean a, b ∈ C ∩ R. Si b = 0, entonces a − b = a ∈ C ∩ R. En otro caso, lacircunferencia de centro a y radio |b| es constructible y corta al eje real en a + by a − b, luego a − b ∈ C ∩ R. Esto prueba que C ∩ R es un subgrupo de R. Ahora supongamos que b 6= 0 y veamos queab−1 ∈ C ∩ R, lo que probar´ que es un sub- a b + aicuerpo. Podemos suponer que a, b > 0. Usando zlas construcciones que hemos visto antes es claroque todos los puntos marcados en la figura sonconstructibles. El teorema de Tales nos da quela distancia de z a 1 es ab−1 . 0 1 b Dados z1 y z2 en C, tenemos que sus partes reales e imaginarias son cons-tructibles, de donde se sigue f´cilmente, aplicando la parte ya probada, que las a −1partes reales e imaginarias de z1 − z2 y z1 z2 (si z2 6= 0) son constructibles,luego tambi´n lo son estos n´meros y el teorema queda probado. e u En particular todos los n´meros racionales son constructibles, pues Q es el umenor cuerpo contenido en C. Es f´cil dar una prueba directa de la construc- atibilidad de los n´meros racionales. A su vez esto legitima el uso de reglas ugraduadas. En principio hemos considerado a una regla como un instrumentopara trazar rectas por dos puntos dados. Ahora sabemos que si marcamos unagraduaci´n (racional) sobre la regla y la usamos para construir segmentos de ouna longitud racional determinada, esto no aumenta nuestra capacidad de cons-trucci´n. o Vamos a dar una caracterizaci´n puramente algebraica de los n´meros com- o uplejos constructibles. Para ello necesitamos un ultimo resultado auxiliar: ´
  • 128. 122 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u Las ra´ ıces cuadradas de los n´meros constructibles son constructibles. u Probamos primero que si a ∈ C ∩ R y a > 0, ai √entonces a ∈ C ∩ R. Sea P el punto medio entreai y −i (se obtiene de la bisectriz del segmento). Lacircunferencia de centro P que pasa por −i corta aleje real en dos puntos ±x. La potencia de 0 respecto Pa esta circunferencia (en m´dulo) es por una parte o −x 0 x √x2 y por otra parte a, luego x = a. La ra´ cuadrada de un n´mero constructible ar- ız u −ibitrario no nulo viene dada por la f´rmula 5.1 y es oclaramente constructible.Teorema 5.4 Un n´mero complejo z es constructible si y s´lo si existe una u ocadena de cuerpos Q = F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Fn ⊂ Cde modo que |Fj+1 : Fj | = 2 y z ∈ Fn . ´ Demostracion: Si z es constructible podemos considerar la sucesi´n de opuntos intermedios que se trazan en una construcci´n de z: o z0 = 0, z1 = 1, z2 , . . . , zn = z. As´ cada zj se construye directamente a partir de los puntos anteriores, ı,bien como intersecci´n de dos rectas que pasan por dos de los puntos anteriores, obien como intersecci´n de dos circunferencias con centros en dos de los puntos oanteriores y radios iguales a las distancias entre dos puntos anteriores o biencomo intersecci´n de una recta y una circunferencia en estas mismas condiciones. o Vamos a probar que existe una sucesi´n de cuerpos o Q = K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Kn ⊂ Rtales que |Ki+1 : Kj | ≤ 2 y las partes reales e imaginarias de cada zj est´n en aKj . Lo demostramos por inducci´n. Todo se reduce a probar que si un cuerpo oK contiene las partes reales e imaginarias de los puntos anteriores a zj entonceslas partes real e imaginaria de zj est´n en K o en una extensi´n cuadr´tica de a o aK. Sea zj = (x, y). Supongamos que zj es la intersecci´n de dos rectas que pasan opor dos puntos de entre los anteriores, en particular dos puntos con coordenadasen K. La recta que pasa por dos puntos (a, b) y (c, d) en K 2 tiene vector director~ = (c − a, d − b), luego est´ formada por los puntos (x, y) tales que (x − a, y − b)v aes m´ltiplo de ~ o, equivalentemente, tales que u v Ø Ø Ø x−a y−b Ø Ø Ø Ø c − a d − b Ø = 0. Al desarrollar obtenemos una ecuaci´n Ax + By = C con coeficientes en K. oTenemos, pues, que zj = (x, y) es la soluci´n unica de dos ecuaciones de este o ´
  • 129. 5.3. Construcciones con regla y comp´s a 123tipo, y al resolver expl´ ıcitamente el sistema obtenemos una expresi´n de x e y oen funci´n de los coeficientes, que prueba que ambos est´n en K. o a Supongamos ahora que zj est´ en la intersecci´n de una recta que pasa por a odos puntos de K 2 y una circunferencia con centro en K 2 y radio r igual a ladistancia entre dos puntos de K 2 . Entonces r2 ∈ K, luego tenemos que (x, y)satisface las ecuaciones æ Ax + By = C x2 + y 2 + ax + by + c = 0donde todos los coeficientes est´n en K. Uno de los coeficientes A o B ha de aser no nulo. Al despejar la variable correspondiente en la primera ecuaci´n y osustituirla en la segunda obtenemos una ecuaci´n de segundo grado con coefi- ocientes en K que ha de tener entre sus soluciones√una de las coordenadas de zj ,luego ´sta se encuentra en una extensi´n de K( α ) de K, donde α es el dis- e ocriminante de la ecuaci´n, que est´ en K. La otra coordenada se√ o a √ despeja de laprimera ecuaci´n, luego est´ tambi´n en K( α ). Claramente |K( α ) : K| ≤ 2. o a e Por ultimo suponemos que zj est´ en la intersecci´n de dos circunferencias ´ a oconstructibles a partir de los puntos anteriores. Por el mismo razonamiento deantes, sus coordenadas cumplen dos ecuaciones de la forma æ x2 + y 2 + a x + b y + c = 0 x2 + y 2 + a0 x + b0 y + c0 = 0con los coeficientes en K. Restando ambas ecuaciones obtenemos la ecuaci´n o (a − a0 )x + (b − b0 )y + c − c0 = 0,que tambi´n es satisfecha por las coordenadas de zj y cuyos coeficientes no epueden ser todos nulos, o si no las dos circunferencias ser´ la misma. En ıandefinitiva tenemos que zj est´ tambi´n en una recta cuya ecuaci´n tiene sus a e ocoeficientes en K y este caso se reduce al anterior. Tenemos, pues, la sucesi´n Kj en las condiciones pedidas. Ahora observamos oque zj ∈ Kj (i) y la sucesi´n o Q ⊂ Q(i) ⊂ K1 (i) ⊂ · · · ⊂ Kn (i)cumple las condiciones del teorema. Rec´ıprocamente, si z cumple las condiciones del enunciado, entonces es claro √ √que Fj+1 = Fj ( αj ) para un cierto αj ∈ Fj , y si Fj ⊂ C, entonces αj ∈ C,luego Fj+1 ⊂ C. As´ pues, z ∈ Fn es constructible. ı Esto nos da una condici´n necesaria sencilla para que un n´mero complejo o usea constructible. Observar que es muy restrictiva.Teorema 5.5 Si z es un n´mero complejo constructible entonces es algebraico uy |Q(z) : Q| es potencia de 2. Esta condici´n no es en general necesaria, pero tenemos un rec´ o ıproco parcial:Teorema 5.6 Si K es una extensi´n finita de Galois de Q, entonces K ⊂ C si oy s´lo si |K : Q| es potencia de 2. o
  • 130. 124 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos uEjemplo: El problema del´ ıaco La ciudad de Delos era una de las m´s aimportantes de la Grecia cl´sica. Destacaba en ella el templo de Apolo, con ala colosal estatua del dios, ofrenda de Naxos, que los griegos ten´ por el m´s ıan aexcelso de sus santuarios. El or´culo de Delos era uno de los m´s reputados, a aconsiderado poco menos que infalible. Cuenta la leyenda que una gran plagaazot´ la ciudad, y sus habitantes consultaron el or´culo, el cual les orden´ o a o ´duplicar el altar de Apolo. Este ten´ forma c´bica, y as´ construyeron otro ıa u ıaltar m´s lujoso con el doble de arista. Como la plaga no arreciaba, volvieron aa consultar el or´culo, que esta vez especific´ que deb´ construir un altar con a o ıanel doble de volumen. Si tomamos como unidad la arista del altar original, el √problema consist´ en construir un cubo de volumen 2, luego con arista 3 2. Los ıaarquitectos de Delos no supieron c´mo hacer los c´lculos y llamaron en su ayuda o aa los ge´metras m´s famosos. Desde entonces muchos ge´metras han trabajado o a √ oen el problema. Euclides prob´ que 3 2 es un n´mero irracional, Apolonio, o uHer´n, Papos, Huygens, Fermat y Descartes propusieron soluciones, y en 1837 o √Wantzel prob´ que 3 2 no es constructible con regla y comp´s. Para nosotros o √ aes evidente, pues el cuerpo Q( 3 2 ) tiene grado 3 sobre Q.5.4 Pol´ ıgonos regulares Es especialmente interesante la teor´ en torno a la construcci´n de pol´ ıa o ıgonosregulares. Para evitar una disgresi´n sobre pol´ o ıgonos en general daremos unadefinici´n fuerte. oDefinici´n 5.7 Diremos que n puntos P1 , . . ., Pn , con n ≥ 3 son los v´rtices o ede un pol´ ıgono regular (gr. ‘muchos ´ngulos’) de n lados si est´n conteni- a a _ _ _dos en una circunferencia y los arcos menores P1 P2 , P2 P3 , . . ., Pn P1 son todosdisjuntos y tienen amplitud 2π/n. Los lados del pol´ ıgono son los segmentosP1 P 2 , P2 P 3 , . . ., Pn P 1 , el pol´ ıgono con los v´rtices indicados es la intersecci´n e ode todos los semiplanos respecto a las rectas P1 P2 , . . ., Pn P1 que contienen a losv´rtices restantes. La circunferencia que contiene a los v´rtices de un pol´ e e ıgonoregular se llama circunferencia circunscrita al pol´ ıgono (tambi´n se dice que el epol´ ıgono est´ inscrito en la circunferencia). El centro y el radio de la circunfe- arencia se llaman tambi´n centro y radio del pol´ e ıgono. Es f´cil probar que fijado un punto en una circunferencia existe un unico a ´pol´ ıgono regular inscrito en ella con un v´rtice en el punto dado. Los pol´ e ıgonosregulares de tres lados son simplemente los tri´ngulos equil´teros, los de cuatro a alados son los cuadrados, los siguientes reciben el nombre de pent´gono regular, ahex´gono regular, hept´gono regular, etc. Tambi´n es f´cil ver que dos pol´ a a e a ıgonosregulares son congruentes si y s´lo si tienen el mismo radio y el mismo n´mero o ude lados. Fijada una circunferencia ω y un punto en ella, podemos tomar como 0 el cen-tro y como 1 el punto dado, de modo que los v´rtices del n-´gono regular ser´n e a alos n´meros complejos de m´dulo 1 y argumento 2kπ/n, para n = 0, . . ., n − 1. u o
  • 131. 5.4. Pol´ ıgonos regulares 125Construir dicho pol´ıgono es, por definici´n, construir estos v´rtices, pero en rea- o elidad basta construir ζn = 12π/n pues, una vez construido ´ste, la circunferencia ede centro ζn que pasa por 1 corta a ω en 14π/n , la circunferencia de centro14π/n y que pasa por 12π/n corta a ω en 16π/n , y de este modo se construyenlos v´rtices restantes. e As´ pues, un pol´ ı ıgono regular de n v´rtices es constructible si y s´lo si lo es e oel n´mero complejo u 2π 2π ζn = cos + i sen . n n Estos n´meros tienen una caracterizaci´n algebraica muy simple. Notemos u oque 2kπ 2kπ ζn = 1k k 2π/n = 12kπ/n = cos + i sen , n n kluego los n´meros ζn para k = 0, . . ., n − 1 son los v´rtices del n-´gono regular u e a ny ζn = 1. ζ ζ2 1 ζ3 ζ4 En t´rminos algebraicos, ζn es una ra´ n-sima primitiva de la unidad, el e ızcuerpo Q(ζn ) es el cuerpo ciclot´mico n-simo (gr. = ‘que divide el c´ o ırculo’), quees una extensi´n de Galois de grado φ(n), donde φ es la funci´n de Euler.1 El o oteorema 5.6 nos da la caracterizaci´n siguiente: oTeorema 5.8 Los pol´ ıgonos regulares de n v´rtices son constructibles con regla ey comp´s si y s´lo si φ(n) es potencia de 2. a o Notemos que la constructibilidad de los pol´ ıgonos regulares de n v´rtices eequivale a la constructibilidad de los ´ngulos de amplitud 2π/n. Esto nos lleva aa un interesante resultado: 1 φ(n) es en n´mero de n´meros naturales menores que n y primos con n. u u
  • 132. 126 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos uEjemplo: la trisecci´n del ´ngulo Otro problema cl´sico es la divisi´n o a a ode un ´ngulo dado en tres partes iguales. Ahora es f´cil ver que no existe una a asoluci´n general de este problema pues, por ejemplo, el ´ngulo de amplitud 2π/6 o aes constructible, ya que φ(6) = 2, pero su tercera parte, es decir, el ´ngulo de aamplitud 2π/18 no lo es, ya que φ(18) = 6.Ejercicio: Describir las construcciones de los pol´ ıgonos regulares de 3, 4 y 6 lados. Vamos a dar una caracterizaci´n aritm´tica de cu´ndo φ(n) es potencia de 2. o e aFactoricemos n = 2r0 pr1 · · · prk , donde p1 , . . ., pk son primos impares distintos. 1 kEntonces φ(n) = (p1 − 1)pr1 −1 · · · (pk − 1)prk −1 y la unica posibilidad para que 1 k ´este n´mero sea una potencia de dos es que todos los exponentes sean iguales a u1 y que pi − 1 sea potencia de 2 para todo i.Definici´n 5.9 Los n´meros primos de la forma 2n + 1 se llaman primos de o uFermat. En estos t´rminos: eTeorema 5.10 El pol´ ıgono regular de n v´rtices es constructible con regla y ecomp´s si y s´lo si n es producto de una potencia de 2 y de primos de Fermat a ocon exponente 1. S´lo nos queda estudiar qu´ n´meros de la forma 2n + 1 son primos. Cons- o e utruyamos una tabla: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2n + 1 3 5 9 17 33 65 129 257 513 1.025 Resultan primos los n´meros correspondientes a los valores n = 1, 2, 4, 8, . . . uFermat conjetur´ bas´ndose en esto que los primos que hoy llevan su nombre o a nson exactamente los n´meros de la forma 22 + 1. u Ciertamente todo primo de Fermat es de esta forma: sea p = 2n + 1 unprimo de Fermat. Tomamos clases m´dulo p. Entonces el orden de [2] divide oa p − 1 = 2n , luego es potencia de 2. Sea n = 2u v, con v impar. Entonces u u+122 v ≡ −1 (m´d p), luego 22 v ≡ 1 (m´d p). As´ el orden de [2] divide a o o ı,2u+1 v y es potencia de 2, luego de hecho divide a 2u+1 . Sea, pues d ≤ u + 1 tal d d−1que [2]2 = [1] pero [2]2 6= 1. Como el cuadrado de esta clase es [1], ha de d−1 d−1 2ser [2] = [−1] y as´ 2 + 1 | 22 ı n + 1. Puesto que 2d−1 ≤ n, necesariamente d−1 n 2 d−12 +1=2 +1 y n=2 . n Queda por ver si todo n´mero de la forma 22 + 1 es primo. Volvamos a la utabla y ampli´mosla: e n 0 1 2 3 4 5 n 22 + 1 3 5 17 257 65.537 4.294.967.297 Ahora chocamos con un problema computacional. No es f´cil decidir si los an´meros que aparecen son primos o no. De hecho el lector ha aceptado en la u
  • 133. 5.4. Pol´ ıgonos regulares 127tabla anterior que el n´mero 257 es primo, lo que supone probar que no es udivisible entre primos menores o iguales que 13. Aceptemos este hecho y enfrent´monos al caso m´s complejo de determinar e a 4si el n´mero 65.537 es o no primo. Sabemos que se trata de 22 +1. Supongamos u 4que es divisible entre un primo p. Entonces, m´dulo p se cumple que [2]2 = [−1], o 5 ° ¢ 5 ° ¢y elevando al cuadrado [2]2 = [1]. Consecuentemente o [2] | 2 , pero o [2] - 24 4 ° ¢(o ser´ [2]2 = [1]). °Esto significa que o [2] = 25 . ıa ¢ Por otra parte o [2] | p − 1, o sea, 25 | p − 1 y por tanto p ha de ser de laforma p = 32k + 1 4 3 La ra´ cuadrada de 22 + 1 es apenas mayor que 22 = 256, luego si nuestro ızn´mero no es primo tiene un divisor primo p < 256. Los primeros valores de la usucesi´n 32k + 1 son: o 33, 65, 97, 129, 161, 193, 225, 257, . . .y los unicos primos a considerar son 97 y 193 (161 es m´ltiplo de 7). Por lo ´ utanto, 65.537 ser´ primo si y s´lo si no es divisible entre 97 ni 193. Comprobar a oque esto es cierto no supone ninguna dificultad, luego, en efecto, 65.537 es primo. El siguiente n´mero a comprobar es much´ u ısimo mayor. Si aplicamos el mismo 5razonamiento concluimos que si 22 + 1 no es primo, entonces tiene un divisorprimo de la forma p = 64k + 1 y p ≤ 65.536. Esto nos deja todav´ un gran ıan´mero de candidatos, pero el argumento puede ser refinado como sigue: u Si p = 64k + 1 en particular p ≡ 1 (m´d 8), lo que implica que 2 es un resto ocuadr´tico m´dulo p, es decir, existe un natural x tal que x2 ≡ 2 (m´d p), o a o osea, p | x2 − 2,°y as´ m´dulo p, sabemos que [x]p−1 = [1], luego [2](p−1)/2 = [1]. ¢ ı, oPor lo tanto o [2] = 64 | (p − 1)/2 y en consecuencia p = 128k + 1. A´n as´ la lista de candidatos es enorme. Los diez primeros son u ı 129, 257, 385, 513, 641, 769, 897, 1.025, 1.153, 1.281, . . .(los primos est´n en negrita). a El primer primo es f´cil de descartar por su forma, ya que se trata de 28 + 1 a 5y m´dulo 28 + 1 se cumple [22 + 1] = [28 ]4 + [1] = [−1]4 + [1] = [2] 6= [0]. o Respecto al siguiente, las potencias de 2 m´dulo 641 son las siguientes: o 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, −129, −258, 125, 250, −141, −282, 77, 154, 308, −25, −50, −100, −200, −400, −159, −318, 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640. 5 5 As´ pues, [22 + 1] = [0], es decir, 641 | 22 + 1 que no es, por tanto, primo. ı Posiblemente as´ fue c´mo Gauss lleg´ a descubrir este hecho. Por supuesto ı o o 5una calculadora nos da m´s r´pidamente que 22 +1 = 641·6.700.417 (el segundo a afactor resulta ser primo). Hoy en d´ no se conoce ning´n otro primo de Fermat distinto de los cinco ıa uque ya hemos encontrado, a saber: 3, 5, 17, 257, 65.537.
  • 134. 128 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u A partir de un pol´ıgono de n lados es muy f´cil construir un pol´ a ıgono de2n lados (basta bisecar sus ´ngulos o sus lados), luego s´lo tiene inter´s la a o econstrucci´n de pol´ o ıgonos con un n´mero impar de lados. A partir de los pri- umos de Fermat que conocemos s´lo puede construirse un n´mero finito de tales o upol´ ıgonos, concretamente 31. Los primeros tienen los siguientes n´meros de ulados: 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, . . . La construcci´n de los tres primeros era conocida por los griegos, mientras oque la del heptadec´gono regular fue descubierta por Gauss. Vamos a mostrar aconstrucciones expl´ ıcitas de estos cuatro pol´ ıgonos. En primer lugar notemos que es muy f´cil construir un tri´ngulo equil´tero: a a a Por otro lado, si sabemos construir un pent´gono regular, tambi´n sabemos a econstruir un pentadec´gono regular: basta restar de un ´ngulo de amplitud a a2π/3 otro de amplitud 2π/5 para obtener uno de amplitud 4π/15, y despu´s ebisecar el resultado: S´lo necesitamos, pues, encontrar una construcci´n para el pent´gono y el o o aheptadec´gono regular. La construcci´n del pent´gono es muy simple, y nos a o aservir´ de gu´ para obtener la del heptadec´gono. a ıa a5.4.1 Construcci´n del pent´gono regular o a Sea K = Q(ζ), donde ζ = 12π/5 , el cuerpo ciclot´mico quinto. Su grado es o4 y su grupo de Galois G es c´ıclico. Un generador es el automorfismo σ quecumple σ(ζ) = ζ 2 . Hay un unico cuerpo intermedio L, el cuerpo fijado por σ 2 , ´
  • 135. 5.4. Pol´ ıgonos regulares 129al cual pertenecen los per´ ıodos de longitud 2: η1 = ζ + ζ 4 y η2 = ζ 2 + ζ 3 , queconstituyen una Q-base de L. La conjugaci´n compleja induce un automorfismo en K de orden 2, luego ha o ¯de ser σ 2 . Por lo tanto ζ 4 = ζ, de donde η1 = 2 Re ζ = 2 cos 2π/5 > 0. Teniendo en cuenta que ζ es una ra´ de x4 + x3 + x2 + x + 1, es inmediato ızque η1 + η2 = η1 η2 = −1, luego η1 y η2 son las ra´ del polinomio x2 + x − 1. ıcesEstas ra´ son ıces √ √ −1 + 5 −1 − 5 η1 = y η2 = 2 2(sabemos que η1 es la ra´ positiva). As´ pues, ız ı √ 2π −1 + 5 cos = . 5 4 √ °√ ¢Aunque no lo vamos a necesitar, hemos obtenido que 5 ∈ L, luego L = Q 5 . Una forma r´pida de construir el pent´gono es trazar un arco con el comp´s a a aapoyado en −1/2 y el otro extremo en −i, hasta cortar el eje real en el punto √A. La distancia de −1/2 a −i es 5/2, luego A = η1 . Despu´s trazamos la emediatriz del segmento 0A, que pasa por cos 2π/5 y cortar´ al c´ a ırculo de centro0 y radio 1 en el punto ζ: ζ −1/2 A 1 0 −i5.4.2 Construcci´n del heptadec´gono regular o a Sea ζ = 12π/15 y K = Q(ζ). Ahora el grupo de Galois G tiene orden 16.Una ra´ primitiva m´dulo 17 es 3, luego el automorfismo σ determinado por ız oσ(ζ) = ζ 3 tiene orden 16 y por lo tanto es un generador de G. El grupo G tiene ≠ Æ ≠ Æ ≠ Ætres subgrupos, a saber, σ 8 , σ 4 y σ 2 , que por el teorema de Galois secorresponden con tres cuerpos intermedios: Q ⊂ L1 ⊂ L2 ⊂ L3 ⊂ K, de grados2, 4 y 8. Para llegar desde los n´meros racionales hasta ζ (y obtener una expresi´n u oradical de cos 2π/17) hemos de dar cuatro pasos, lo que significa que la expresi´n ode ζ ser´ demasiado complicada para manejarla con comodidad. En lugar de aeso nos limitaremos a describir ζ en funci´n de su polinomio m´ o ınimo respecto
  • 136. 130 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos ua L3 , y los coeficientes de este polinomio en funci´n de sus polinomios m´ o ınimosen L2 y as´ sucesivamente. ı En el caso del pent´gono, los n´meros η1 y η2 estaban determinados por que a usab´ıamos que eran las ra´ ıces de x2 + x − 1 y porque adem´s sab´ a ıamos que η1era la ra´ positiva. Aqu´ tambi´n tendremos que hacer estimaciones de signos ız ı econ el mismo fin, para lo cual deberemos tener presente la distribuci´n de las ora´ de la unidad: ıces ζ5 ζ4 ζ3 ζ6 ζ2 ζ7 ζ ζ8 1 ζ9 ζ 16 ζ 10 ζ 15 ζ 11 ζ 14 ζ 12 ζ 13 Como en el caso del pent´gono, el automorfismo de orden 2, o sea, σ 8 es la aconjugaci´n compleja y as´ ζ y ζ 16 son conjugados, al igual que ζ 2 y ζ 15 , etc. o ı,(como muestra la figura). El cuerpo L3 (fijado por σ 8 ) contiene a los per´ ıodos de longitud 2, es decir,a los pares de ra´ conjugadas: ıces λ1 = ζ + ζ 16 , λ2 = ζ 2 + ζ 15 , λ3 = ζ 3 + ζ 14 , λ4 = ζ 4 + ζ 13 , λ5 = ζ 5 + ζ 12 , λ6 = ζ 6 + ζ 11 , λ7 = ζ 7 + ζ 10 , λ8 = ζ 8 + ζ 9 ,y como ζζ 16 = 1, es claro que ζ y ζ 16 son las ra´ del polinomio x2 − λ1 x + 1. ıcesEn general tenemos que ζ y ζ 16 son las ra´ ıces de x2 − λ1 x + 1 ζ2 y ζ 15 son las ra´ ıces de x2 − λ2 x + 1 ζ3 y ζ 14 son las ra´ ıces de x2 − λ3 x + 1 ζ4 y ζ 13 son las ra´ ıces de x2 − λ4 x + 1 ζ5 y ζ 12 son las ra´ ıces de x2 − λ5 x + 1 ζ6 y ζ 11 son las ra´ ıces de x2 − λ6 x + 1 ζ7 y ζ 10 son las ra´ ıces de x2 − λ7 x + 1 ζ8 y ζ9 son las ra´ ıces de x2 − λ8 x + 1 En realidad para la construcci´n del heptadec´gono nos interesan m´s los o a aλk que las ra´ıces de la unidad, pues claramente λk = 2 Re ζ k = 2 cos 2kπ/17.De aqu´ se sigue claramente (ver la figura anterior) que ı λ1 > λ2 > λ3 > λ4 > 0 > λ5 > λ6 > λ7 > λ8 .
  • 137. 5.4. Pol´ ıgonos regulares 131 Una vez construido un λk , basta dividirlo entre 2 y levantar la perpendicularpara obtener ζ k y su conjugado como las intersecciones de dicha recta y lacircunferencia unidad. Para construir los λk vamos a expresarlos en funci´n del ocuerpo L2 , que es el cuerpo fijado por σ 4 y que, por tanto, tiene por base a losper´ıodos de longitud 4: ξ1 = ζ + ζ 16 + ζ 4 + ζ 13 , ξ2 = ζ 2 + ζ 15 + ζ 8 + ζ 9 , ξ3 = ζ 3 + ζ 14 + ζ 5 + ζ 12 , ξ4 = ζ 6 + ζ 11 + ζ 7 + ζ 10 . (Si aplicamos a ζ las potencias de σ 4 obtenemos ζ, ζ 16 , ζ 4 y ζ 13 , por lo que 4σ permuta los sumandos de ξ1 , que es, por lo tanto, invariante). Es obvio que ξ1 = λ1 + λ4 , ξ2 = λ2 + λ8 , ξ3 = λ3 + λ5 , ξ4 = λ6 + λ7 . Por otro lado λ1 · λ4 = (ζ + ζ 16 )(ζ 4 + ζ 13 ) = ζ 5 + ζ 14 + ζ 3 + ζ 12 = ξ3 λ2 · λ8 = (ζ 2 + ζ 15 )(ζ 8 + ζ 9 ) = ζ 10 + ζ 11 + ζ 6 + ζ 7 = ξ4 λ3 · λ5 = (ζ 3 + ζ 14 )(ζ 5 + ζ 12 ) = ζ 8 + ζ 15 + ζ 2 + ζ 9 = ξ2 λ6 · λ7 = (ζ 6 + ζ 11 )(ζ 7 + ζ 10 ) = ζ 13 + ζ 16 + ζ + ζ 4 = ξ1de donde se desprende que λ1 y λ4 son las ra´ ıces de x2 − ξ1 x + ξ3 λ2 y λ8 son las ra´ ıces de x2 − ξ2 x + ξ4 λ3 y λ5 son las ra´ ıces de x2 − ξ3 x + ξ2 λ4 y λ7 son las ra´ ıces de x2 − ξ4 x + ξ1 Finalmente, L1 es el cuerpo fijado por σ 2 , y su base son los per´ ıodos delongitud 8: η1 = ζ + ζ 9 + ζ 13 + ζ 15 + ζ 16 + ζ 8 + ζ 4 + ζ 2 η2 = ζ 3 + ζ 10 + ζ 5 + ζ 11 + ζ 14 + ζ 7 + ζ 12 + ζ 6 . Un simple c´lculo nos da η1 + η2 = −1, η1 η2 = −4, luego son las ra´ a ıces delpolinomio x2 + x − 4. Por otro lado se comprueba que ξ1 y ξ2 son las ra´ de x2 −η1 x−1, mientras ıcesque ξ3 y ξ4 son las ra´ de x2 − η2 x − 1. ıces Estos datos nos permiten ascender gradualmente hasta construir ζ. Paraagilizar la construcci´n nos valdremos de un truco. o Consideremos el ´ngulo θ que cumple 0 < 4θ < π/2 y tan 4θ = 4. a Las ra´ del polinomio x2 +x−4 son 2 tan 2θ y −2/ tan 2θ, pues su producto ıceses −4 y su suma vale µ ∂ 2 tan2 2θ − 1 4 2 tan 2θ − =2 =− = −1 tan 2θ tan 2θ tan 4θ
  • 138. 132 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u(por la f´rmula de la tangente del ´ngulo doble). o a Por otra parte sabemos que las ra´ son η1 y η2 , luego ıces η1 = 2 tan 2θ y η2 = −2 tan 2θ,(hay que comprobar que η1 > 0, pero eso se sigue de que µ µ ∂ µ ∂ µ ∂∂ 2π 2π 2π 2πη1 = λ1 + λ2 + λ4 + λ8 = 2 cos + cos 2 + cos 4 + cos 8 17 17 17 17y los tres primeros sumandos son positivos, m´s a´n, los dos primeros suman a um´s de 1, luego compensan al ultimo.) a ´ Las ra´ de x2 − η1 x − 1 son tan(θ + π/4) y tan(θ − π/4), pues su producto ıceses −1 (los ´ngulos se diferencian en π/2, luego la tangente de uno es la inversa ade la tangente del otro, y adem´s tienen signos opuestos) y su suma es a ≥ π¥ ≥ π¥ tan θ + 1 tan θ − 1 tan θ + + tan θ − = + 4 4 1 − tan θ 1 + tan θ 4 tan θ = = 2 tan 2θ = η1 . 1 − tan2 θ Por lo tanto ξ1 = tan(θ + π/4) y ξ2 = tan(θ − π/4) (pues ξ1 = λ1 + λ4 > 0). Con el mismo razonamiento se concluye que ξ3 = tan θ y ξ4 = − cot θ. Yatenemos suficiente para realizar la construcci´n: o Consideramos los puntos A = 1 y B = i. Dividimos el segmento OB en [cuatro partes, con lo que obtenemos el punto I = (1/4)i. El ´ngulo OIA, tiene atangente 4, luego es 4θ. Lo bisecamos dos veces y obtenemos θ igual al ´ngulo a[OIE (figura 5.1). B I θ 0E A Figura 5.1: Construcci´n de θ. o
  • 139. 5.4. Pol´ ıgonos regulares 133 B I θ F 0 E C A Figura 5.2: Construcci´n de C. o [ Ahora construimos un punto F de modo que el ´ngulo F IE sea igual a π/4, a [con lo que el ´ngulo OIF es igual a π/2 − θ. Llamamos C al punto medio de aAF (figura 5.2). Seg´n nuestros c´lculos E = ξ3 /4 , F = −ξ2 /4 y la distancia de A a F es u aAF = (4 − ξ2 )/4. Por lo tanto la distancia de F a C (que es igual a la distanciade C a A) es (4 − ξ2 )/8. Consecuentemente 4 − ξ2 ξ2 ξ2 + 4 C = OC = + = . 8 4 8Trazamos el c´ ırculo de centro C y radio AC, que cortar´ al eje imaginario en aun punto K. Por el teorema de Pit´goras a q q √ 2 2 2 2 −ξ2 K = OK = OK − OC = CA − OC = , q 2 √ 2 2 ξ3 − 4ξ2 EK = OK + OE = . 4 A continuaci´n trazamos el c´ o ırculo de centro E y y radio EK, que cortan aleje horizontal en los puntos N5 y N3 . Entonces p 2 ξ3 + ξ3 − 4ξ2 λ3 N3 = E + EK = = , 2 2pues λ3 es la ra´ positiva del polinomio x2 −ξ3 x+ξ2 . As´ pues, N3 = cos 6π/17. ız ıPor otra parte, p ξ 2 − 2ξ2 ξ3 2 −ξ3 + ξ3 − 4ξ2 λ5 N5 = EN 5 − E = EK − E = 3 − = =− , 4 4 2 2
  • 140. 134 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u ζ5 B ζ3 K I θ N5 F 0E C N3 A Figura 5.3: Construcci´n de ζ 3 y ζ 5 . oluego N5 = cos 10π/17. Levantando perpendiculares por N3 y N5 y trazando el c´ ırculo de centro 0y radio 1 obtenemos ζ3 y ζ5 (figura 5.3). [ Para acabar, bisecamos el ´ngulo ζ3 0ζ5 con lo que obtenemos ζ4 y, uniendo aζ3 con ζ4 obtenemos el lado del heptadec´gono regular (figura 5.4). a5.5 Geometr´ discontinua ıa Aunque en la definici´n de espacio af´ eucl´ o ın ıdeo hemos exigido que el cuerpobase sea R, es claro que todos los resultados en torno a ellos son v´lidos si atrabajamos con cualquier subcuerpo K de R en el que todo n´mero positivo utenga una ra´ cuadrada (para definir la norma). Un ejemplo es tomar como ızK el cuerpo de los n´meros reales constructibles. As´ K 3 verifica todos los u ıaxiomas de la geometr´ eucl´ ıa ıdea salvo el axioma de constructibilidad. Puestoque C es isomorfo a K 2 como espacio vectorial, los planos eucl´ ıdeos sobre K sonidentificables con C. Las propiedades sobre circunferencias que hemos probadocon el axioma D siguen siendo v´lidas, as´ como la propiedad de Arqu´ a ı ımedes;en cambio el comportamiento de los ´ngulos es peculiar, pues en K 2 no hay ahept´gonos regulares, ni se puede trisecar un ´ngulo arbitrario. a a Una geometr´ eucl´ ıa ıdea discontinua menos at´ ıpica es la que se obtiene altomar como K el cuerpo de los n´meros reales algebraicos, de modo que los uplanos se pueden identificar con la clausura algebraica de Q. De nuevo K 2satisface todos los axiomas excepto el axioma D pero ahora existen pol´ ıgonosregulares de cualquier n´mero de lados (pues los n´meros 12π/n son algebraicos). u uEjercicio: Probar que un n´mero complejo a + bi es algebraico sobre Q si y s´lo si lo u oson a y b.
  • 141. 5.5. Geometr´ discontinua ıa 135 B ζ4 ζ5 ζ3 6 ζ ζ2 ζ7 K ζ I ζ8 θ N5 F 0 E C N3 A ζ9 ζ 16 ζ 10 ζ 15 ζ 11 ζ 14 ζ 12 ζ 13 Figura 5.4: Construcci´n del heptadec´gono regular o a
  • 142. 136 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos u Esto muestra que los resultados esenciales de la geometr´ no dependen del ıaaxioma D, sino que ´ste puede sustituirse por requisitos espec´ e ıficos m´s d´biles. a e5.6 Ap´ndice: El teorema de Sylow e Probamos aqu´ el teorema de Sylow que hemos usado en la demostraci´n del ı oteorema fundamental del ´lgebra. Emplearemos un argumento inductivo que se aapoyar´ en el hecho siguiente: a Ø Si G es un grupo abeliano finito y p un n´mero primo tal que p Ø |G|, entonces uG tiene un elemento de orden p. Esto es cierto porque todo grupo abeliano finito es producto directo degrupos c´ıclicos, uno de los cuales debe tener orden m´ltiplo de p, y en un ugrupo c´ıclico hay elementos de todos los ´rdenes posibles (divisores del orden odel grupo). Si G es un grupo finito, en G tenemos definida la relaci´n de conjugaci´n, o oseg´n la cual dos elementos x, y ∈ G son conjugados si existe un g ∈ G tal que uy = g −1 xg = xg . Se trata de una relaci´n de equivalencia. La clase de equiva- olencia de un elemento x se llama clase de conjugaci´n de x, y la representaremos opor cl(x). Necesitamos calcular el cardinal de cl(x). Para ello definimos el centralizadorde x en G como el conjunto CG (x) = {g ∈ G | xg = x} = {g ∈ G | xg = gx},que claramente es un subgrupo de G. Tenemos el teorema siguiente:Teorema 1 Sea G un grupo finito y x ∈ G. Entonces |cl(x)| = |G : CG (x)|. Demostracion: Observamos que xg = xh si y s´lo si hg −1 x = xhg−1 , si y ´ os´lo si hg −1 ∈ CG (x), si y s´lo si CG (x)h = CG (x)g. o o El subgrupo CG (x) no tiene por qu´ ser un subgrupo normal, luego no po- edemos hablar de grupo cociente, pero s´ del conjunto G/CG (x) de las clases de ıequivalencia CG (x)g para la relaci´n de la congruencia por la derecha m´dulo o oCG (x). Lo que hemos obtenido es que la aplicaci´n f : G/CG (x) −→ cl(x) definida ° ¢ opor f CG (x)g = xg es biyectiva. En particular, un x ∈ G cumplir´ cl(x) = {x} si y s´lo si CG (x) = G, es a odecir, si y s´lo si gx = xg para todo g ∈ G, si x conmuta con todo elemento de oG. Definimos el centro de G como el subgrupo Z(G) = {x ∈ G | gx = xg para todo g ∈ G}. As´ Z(G) est´ formado por los elementos cuya clase de conjugaci´n tiene ı, a ocardinal 1, por los elementos que conmutan con todos los elementos de G. En
  • 143. 5.6. Ap´ndice: El teorema de Sylow e 137particular los elementos de Z(G) conmutan entre s´ es decir, Z(G) es un grupo ı,abeliano. Tambi´n es claro que Z(G) es normal en G. e Dado un grupo finito G, sabemos que tiene |Z(G)| clases de conjugaci´n ocon un elemento y, digamos, n clases con m´s de un elemento. Sean x1 , . . ., xn arepresentantes de estas clases. El orden de G es la suma de los ´rdenes de sus oclases de conjugaci´n, luego teniendo en cuenta el teorema 1 concluimos: oTeorema 2 (ecuaci´n de clases) Si G es un grupo finito, existen elementos ox1 , . . ., xn ∈ G tales que CG (xi ) < G y n X |G| = |Z(G)| + |G : CG (xi )|. i=1 Con esto tenemos suficiente para probar la parte principal del teorema deSylow. Conviene dar la definici´n siguiente: oDefinici´n Sea G un grupo finito y p un n´mero primo. Sea |G| = pn · m, o ucon (p, m) = 1 (quiz´ con n = 0). Un subgrupo H de G de orden pn se llama ap-subgrupo de Sylow de G.Teorema 3 Si G es un grupo finito y p un n´mero primo, entonces G tiene uun p-subgrupo de Sylow. ´ Demostracion: Por inducci´n sobre el orden de G. Si G tiene orden 1 oes obvio. Supongamos que todos los grupos de orden menor que |G| tienenp-subgrupos de Sylow y demostremos que G tambi´n los tiene. e Si p - |G|, entonces elØ subgrupo trivial es un p-subgrupo de Sylow de G.Supongamos, pues, que p Ø |G|. Sea |G| = pn · m, con (p, m) = 1. Distinguimos dos casos: Caso 1 Existe un subgrupo H < G tal que p - |G : H|. Entonces pn | |H| y por hip´tesis de inducci´n H tiene un p-subgrupo de o oSylow P de orden pn , y as´ P es tambi´n un p-subgrupo de Sylow de G. ı, e Caso 2 Para todo subgrupo H ≤ G, se cumple que p | |G : H|. Ø Entonces la ecuaci´n de clases nos da que p Ø |Z(G)|. Como se trata de un ogrupo abeliano, tiene un elemento de orden p o, lo que es lo mismo, tiene unsubgrupo H ≤ Z(G) de orden p. Como los elementos de H conmutan con todoslos elementos de G, es evidente que H g = H para todo g ∈ G, o sea, H esnormal en G. Se cumple que |G/H| = pn−1 · m y tiene un subgrupo de Sylow P/H quecumplir´ |P/H| = pn−1 , luego |P | = pn , es decir, P es un subgrupo de Sylow ade G. Ahora falta probar que todo grupo de orden potencia de primo tiene sub-grupos de todos los ´rdenes posibles, lo que concluir´ la prueba del teorema de o aSylow. Los grupos de orden pn se llaman p-grupos. El teorema siguiente basta:
  • 144. 138 Cap´ ıtulo 5. N´meros complejos uTeorema 4 Si p es un primo, todo p-grupo no trivial tiene un subgrupo de´ındice p. ´ Demostracion: Sea P un p-grupo. Lo probaremos por inducci´n sobre eloorden de P . Si |P | = p el subgrupo trivial tiene ´ındice p. Supongamos que losp-grupos de orden menor que |P | tienen subgrupos de ´ ındice p. Si P es abeliano, entonces P es producto de grupos c´ ıclicos. Los gruposc´ ıclicos tienen subgrupos de todos los ´rdenes posibles, luego podemos tomar oun subgrupo de ´ ındice p en uno cualquiera de los factores. El producto de estesubgrupo por los factores restantes es un subgrupo de ´ ındice p en P . Supongamos que P no es abeliano. Entonces Z(P ) < P . De nuevo laecuaci´n de clases nos da que p | Z(P ), luego Z(P ) 6= 1. Como |P/Z(P )| < |P | oy es un p-grupo no trivial, por hip´tesis de inducci´n tenemos que existe un o ogrupo H/Z(P ) < P/Z(P ) de ´ ındice p, luego |P : H| = p. Conviene observar que hemos demostrado lo siguiente:Teorema 5 Si p es un primo y P es un p-grupo no trivial, entonces Z(P ) 6= 1. De aqu´ se sigue, por ejemplo: ıTeorema 6 Todo p-grupo es resoluble. ´ Demostracion: Sea P un p-grupo no trivial. Por inducci´n sobre |P |. Si oP es abeliano es resoluble. Si no es abeliano, entonces P/Z(P ) es un p-grupono trivial y de orden menor. Por hip´tesis de inducci´n P/Z(P ) es resoluble y o oZ(P ) es abeliano, luego resoluble. De aqu´ se sigue que P es resoluble. ı
  • 145. Cap´ ıtulo VIBiyecciones afines La geometr´ sint´tica suele ser la m´s indicada para tratar problemas “lo- ıa e acales”, en torno a figuras que involucran pocos puntos y rectas, mientras que lageometr´ anal´ ıa ıtica resulta m´s apta, por no decir imprescindible, para cuestio- anes “globales”, como son las relacionadas con las transformaciones del espacioen s´ mismo. Dedicamos este cap´ ı ıtulo a profundizar en las propiedades de es-tas transformaciones. Conviene distinguir siempre entre los resultados afines,v´lidos en todo espacio af´ de los genuinamente eucl´ a ın, ıdeos, pues la geometr´ ıaaf´ es una herramienta algebraica susceptible de ser aplicada al estudio de cuer- ınpos arbitrarios, mientras que la estructura eucl´ ıdea es muy particular, v´lida apara espacios reales y s´lo parcialmente generalizable a espacios sobre el cuerpo ode los n´meros complejos. u6.1 El grupo af´ y el grupo lineal ınDefinici´n 6.1 Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, llamaremos ogrupo lineal de V , representado por GL(V ), al conjunto de todos los automorfis-mos de V , es decir, el conjunto de todas las aplicaciones lineales biyectivas de Ven s´ mismo, que es un grupo con la composici´n de aplicaciones. Claramente, ı osi V tiene dimensi´n n, entonces GL(V ) es isomorfo al grupo GL(n, K) de las omatrices inversibles n × n con coeficientes en K. Dado un espacio af´ E, llamaremos grupo af´ de E al grupo GA(E) for- ın ınmado por las biyecciones afines de E en s´ mismo, tambi´n con la composici´n ı e ode aplicaciones. Recordemos del cap´ ıtulo IV que una afinidad f ∈ GA(E) es una aplicaci´n oque act´a sobre cada punto P en la forma u ~− −→ f (P ) = f (O) + f (OP ), ~ ~donde f ∈ GL(E) y O es un punto de E. All´ probamos que una afinidad admite ıuna expresi´n de esta forma para cualquier punto O prefijado y siempre con la o o ~misma aplicaci´n f . 139
  • 146. 140 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Es inmediato comprobar que la aplicaci´n o ~ GA(E) −→ GL(E) f 7→ ~ fes un epimorfismo de grupos. Su n´cleo est´ formado por las aplicaciones de la u aforma − −→ −−→ − −− −→ −−→ −− f (P ) = f (O) + OP = P + P f (O) + OP = P + Of (O), −−→ −−donde Of (O) es un vector arbitrario de V . As´ pues, el n´cleo del epimorfismo ı uanterior es el grupo T(E) de las traslaciones de E, esto es, el grupo formadopor las afinidades T~ dadas por T~ (P ) = P + ~ . v v ± v As´ pues, tenemos que GA(E) T(E) ∼ GL(V ). Por otro lado, es obvio que ı =la aplicaci´n ~ 7→ T~ es un isomorfismo E ∼ T(E). Diremos que dos conjuntos o v v ~ =son trasladados si uno es la imagen del otro por una traslaci´n. o ~ Tambi´n podemos sumergir GL(E) en GA(E). Dado un punto O ∈ E, el econjunto GAO (E) formado por los elementos f ∈ GA(E) tales que f (O) = O ~es claramente un subgrupo de GA(E) isomorfo a GL(E). Concretamente, cada~ ∈ GL(E) se corresponde con la afinidad fO dada porf ~ ~ ~ ~− −→ fO (P ) = O + f (OP ). ~El isomorfismo inverso es simplemente f 7→ f . Fijado O, toda biyecci´n af´ f se expresa como o ın ~− −→ ~− −→ −−→ ~ −− −−→ −− f (P ) = f (O) + f (OP ) = O + f (OP ) + Of (O) = fO (P ) + Of (O), ~ −−→ −−o sea, como composici´n de fO ∈ GAO (E) con la traslaci´n de direcci´n Of (O). o o oEsto significa que GA(E) = GAO (E) T(E). Por otro lado es claro que lastraslaciones no tienen puntos fijos, luego GAO (E) ∩ T(E) = 1. En t´rminos de la teor´ de grupos esto se interpreta como que GA(E) es e ıa ~ ~isomorfo al producto semidirecto GL(E)[E]. Si una afinidad tiene un punto fijo O, entonces su expresi´n respecto a oun sistema de referencia con origen O es particularmente simple, por ello esinteresante el teorema siguiente, que describe el conjunto de puntos fijos de unaafinidad y en un caso particular garantiza incluso su existencia:Teorema 6.2 Sea f : E −→ E una afinidad en un espacio af´ E. Entonces ın ~ ~ ~ 1. El conjunto I(f ) de puntos fijos (o invariantes) de f es un subespacio ~ vectorial de E. 2. Si f tiene un punto fijo O, entonces el conjunto I(f ) de puntos fijos de f ~ ~ es la variedad lineal O + I(f ). ~ ~ 3. Si I(f ) = 0, entonces f tiene un unico punto fijo. ´
  • 147. 6.2. Homotecias 141 ´ Demostracion: 1 es evidente. En 2 es claro que todos los puntos de ~ ~O + I(f ) son puntos fijos de f . Rec´ ıprocamente, si f (P ) = P entonces P = ~(− ), luego f (− ) = − y por lo tanto − ∈ I(f ). −O + f OP → − → ~ OP − OP → −→ OP ~ ~ Veamos 3. Sea O un origen arbitrario. Estamos buscando un punto P tal ~− − → −−→ ~ − −− −→que P = f (O) + f (OP ) = O + Of (O) + f (OP ), es decir, tal que − −→ ~− −→ −−→ −− OP − f (OP ) = Of (O). o ~La aplicaci´n 1− f (donde 1 representa a la identidad) es lineal y por hip´tesis su on´cleo es 0, luego es inyectiva, y por consiguiente suprayectiva, luego ciertamente u − −→ ~ − −→ −−→ −−existe un vector OP tal que (1 − f )(OP ) = Of (O), como quer´ ıamos probar. Launicidad del punto fijo se sigue del apartado anterior.6.2 Homotecias Las homotecias son una familia importante de aplicaciones afines, pues con-tienen esencialmente el concepto de semejanza de figuras, que hasta ahora hemosestudiado unicamente para el caso de los tri´ngulos. Comenzamos defini´ndolas ´ a ealgebraicamente y despu´s las caracterizaremos geom´tricamente. e eDefinici´n 6.3 Sea E un espacio af´ sobre un cuerpo K. La homotecia de o ıncentro O ∈ E y raz´n k ∈ K ∗ = K {0} es la aplicaci´n H(O, k) ∈ GA(E) dada o opor −− → H(O, k)(P ) = O + k OP.Llamaremos H(O, E) al grupo de todas las homotecias de centro O en E. Dosconjuntos son homot´ticos (gr. ‘con el mismo aspecto’) si uno es la imagen del eotro por una homotecia.1 Es inmediato comprobar que la aplicaci´n k 7→ H(O, K) es un isomorfismo oK ∗ ∼ H(O, E). = Las homotecias se pueden caracterizar por sus aplicaciones lineales asociadas.Llamaremos homotecia lineal de raz´n k ∈ K ∗ en un espacio vectorial V sobre oun cuerpo K a la aplicaci´n dada por f (~ ) = k~ . Claramente las homotecias o v vlineales forman un grupo H(V ) isomorfo a K ∗ .Teorema 6.4 Una afinidad f de un espacio af´ E en s´ mismo es una homo- ın ı o o ~tecia de raz´n k 6= 1 si y s´lo si f es una homotecia lineal de raz´n k. o ´ ~− −→ − −→ Demostracion: Si f = H(O, k), entonces f (P ) = O + f (OP ) = O + k OP , ~− −→ −− → − −→ ~ ~luego f (OP ) = kOP para todo vector OP de E, es decir, f es la homotecialineal de raz´n k. o 1 Notar que esta relaci´n es reflexiva y sim´trica, pero enseguida veremos que no es transi- o etiva.
  • 148. 142 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Rec´ ~ ıprocamente, si f es la homotecia de raz´n k 6= 1, entonces es claro que o~ ~I(f ) = O, luego por 6.2 sabemos que f tiene un punto fijo O. Entonces es claroque f = H(O, k). Observar que la unica homotecia de raz´n 1 es la identidad. Ahora es claro ´ oque la composici´n de dos homotecias de centros distintos no es necesariamente ouna homotecia. Concretamente, la composici´n de una homotecia de raz´n k o o ~con otra de raz´n 1/k da lugar a una afinidad con f = 1, pero si los centros ono son el mismo es f´cil ver que f 6= 1, y entonces f es una traslaci´n. Pronto a overemos que la composici´n de dos homotecias es siempre una homotecia o una otraslaci´n. Antes necesitamos algunos conceptos auxiliares: oDefinici´n 6.5 Diremos que dos variedades lineales L y M de un espacio af´ o ın ~ ~ ~E son suplementarias si E = L ⊕ M . Notemos que si L y M son suplementarias entonces existe un punto O tal −−→que L ∩ M = {O}. En efecto, dado P ∈ L y Q ∈ M , entonces P Q = ~ + w, v ~ v ~ ~ ~donde ~ ∈ L y w ∈ M , luego O = P + ~ = Q − w cumple O ∈ L ∩ M . Si v ~ −→ − ~ ~O0 ∈ L ∩ M , entonces OO0 ∈ L ∩ M = 0, luego O = O0 . Dadas dos variedades lineales suplementarias L y M en un espacio af´ E, ıntodo punto de E se expresa de forma unica como O +~ + w, donde L∩M = {O}, ´ v ~v ~ ~ ~~ ∈ L y w ∈ M . Llamaremos proyecci´n de E en L paralela a M a la aplicaci´n o op : E −→ L dada por p(O + ~ + w) = O + ~ . v ~ v Alternativamente, p(P ) es el unico punto de intersecci´n entre las variedades ´ o ~suplementarias L y P + M . Tambi´n es claro que p es una afinidad, pues e − −→ p(P ) = O + p(OP ), ~ ~ ~donde p es la proyecci´n de L ⊕ M sobre L. ~ o ~ Ahora estamos en condiciones de probar una versi´n general del teorema de oTales. Podr´ pensarse que el teorema de Tales es genuinamente eucl´ ıa ıdeo, porlo que no puede enunciarse en espacios afines. No es as´ y ello se debe a la ı,observaci´n siguiente: si P , Q, R y S son cuatro puntos colineales en un espacio o −→ −− →af´ sobre un cuerpo K y P 6= Q, entonces RS = α P Q, para un unico α ∈ K. ın ´Por lo tanto podemos definir −→ RS − = α. −→ PQNotar que esta definici´n generaliza a la que dimos en el cap´ o ıtulo III antes delteorema de Ceva. En un espacio af´ no podemos comparar vectores que no ıncorrespondan a puntos colineales,2 pero para formular el teorema de Tales nonecesitamos m´s. a 2 Podr´ıamos haber definido m´s en general la raz´n entre dos vectores con la misma di- a orecci´n, aunque los puntos que los definen no sean colineales, pero esto ya no ser´ un invariante o ıaaf´ (las afinidades no lo conservan) mientras que sobre puntos colineales s´ lo es, como es f´cil ın ı acomprobar.
  • 149. 6.2. Homotecias 143Teorema 6.6 (Teorema de Tales) Sean L, M , N tres hiperplanos paralelosen un espacio af´ E. Si r es cualquier recta no paralela a estos hiperplanos, ınentonces la raz´n o −− → PQ − , donde r ∩ L = {P }, r ∩ M = {Q}, r ∩ N = {R}, → PRes independiente de r. R0 ✦ ✦ ☎ ☎ ☎ ☎ Q0 ✦✦☎ ☎ ☎ ☎✦✦ ✦✦ ☎ ☎ 0 ✦✦ ☎ ☎ ☎P ✦ ☎ ✦ ☎ 0 ✦✦ ✦ ☎ r ☎ ☎ r ☎P ☎Q ☎R ☎ ☎ ☎ ☎L ☎M ☎N Demostracion: Sea W el espacio director de los tres hiperplanos. Sea r0 ´otra recta no paralela a L, M , N que los corte en los puntos P 0 , Q0 , R0 . Seap : E −→ r0 la proyecci´n paralela a W . Entonces es claro que p(P ) = P 0 , o −→− −→ −− −→ −− →p(Q) = Q , p(R) = R . Por lo tanto P 0 R0 = p(P R) y P 0 Q0 = p(P Q). Si se 0 0 ~ ~ −− → −→ −− −→ −→ −cumple P Q = α P R, aplicando p obtenemos P 0 Q0 = α P 0 R0 . ~ Como consecuencia obtenemos:Teorema 6.7 Sean P , Q, P 0 , Q0 puntos distintos de un espacio af´ tales que ınlas rectas P Q y P 0 Q0 sean paralelas. −→ − 1. Si las rectas P P 0 y QQ0 son paralelas, entonces Q0 = T~ (Q), con ~ = P P 0 . v v 2. Si las rectas P P 0 y QQ0 se cortan en O, entonces Q0 = H(O, k)(Q), donde − →±− − − → k = OP 0 OP . ☎ ☎ 0 ☎ ☎✚ ✚ ☎Q ☎Q ☎ ✚☎Q0 ☎ ☎ ☎ ✚ ☎ ☎ ☎ ☎ ✚✚ ☎ ☎ ☎ ☎ ✚ ☎ ☎ ☎ ✚☎ Q ☎ ☎ ☎ ✚ ☎ ☎ 0 ✚ ☎☎ ☎ ☎ 0 ✚ ☎P ☎P ✚ O ☎P ☎P −→ − Demostracion: 1) Hemos de probar que Q0 = Q+ P P 0 . Para ello notamos ´ −→ −0que Q + P P est´ en la recta QQ0 y por otro lado a −→ − − −→ −→ − − −→ Q + PP0 = P + PQ + PP0 = P0 + PQest´ en la recta P 0 Q0 , luego se trata del punto de corte entre ambas, Q0 , como aquer´ıamos probar.
  • 150. 144 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines −→ − − →±−→ − − − →±− − − → 2) Hemos de probar que Q0 = O + k OQ, o sea, OQ0 OQ = OP 0 OP ,pero esto es consecuencia inmediata del teorema de Tales (aplicado al plano quecontiene las rectas consideradas y teniendo en cuenta adem´s la recta paralela aa P Q que pasa por O). Esto nos lleva a la caracterizaci´n geom´trica de las homotecias que hab´ o e ıamosanunciado:Teorema 6.8 Sea E un espacio af´ de dimensi´n mayor o igual que 2. El ın oconjunto de las biyecciones de E en s´ mismo que transforman cada recta en una ırecta paralela (o igual) es el subgrupo de GA(E) formado por las homotecias ylas traslaciones de E. Lo representaremos por HT(E). ´ Demostracion: Las biyecciones indicadas forman obviamente un grupo.Es f´cil ver que contiene a las homotecias y a las traslaciones. Por ejemplo, si af = H(O, k) y r = P + h~ i es una recta, la imagen de un punto Q = P + λ~ v v −→ − −→ − −− → − −→ −− →es O + k OQ, pero k OQ = k OP + k P Q = k OP + λ k, ~ , luego concluimos que v − −→f [r] = (O + k OP ) + h~ i, que es una recta paralela a r. v Veamos que cualquier elemento f del grupo es una homotecia o una tras-laci´n. Distinguimos varios casos. o Si f tiene dos puntos fijos, Q y Q0 , entonces, dado cualquier punto P queno est´ en la recta QQ0 , tenemos que f [P Q] es una recta paralela o igual a P Q eque contiene a P , luego es P Q. Igualmente f [P Q0 ] = P Q0 . Como P es el unico ´punto en com´n entre P Q y P Q0 , necesariamente f (P ) = P . As´ pues, f fija u ıa todos los puntos fuera de la recta QQ0 . Si R est´ en la recta QQ0 y P es un apunto exterior a esta recta, entonces todos los puntos de P R salvo quiz´ R son afijados, luego R tambi´n. Por consiguiente f es la identidad. e Si f tiene un unico punto fijo O, tomemos un punto cualquiera P 6= O. Sea ´P 0 = f (P ), que es un punto distinto de O y P y colineal con ellos. Si Q escualquier punto exterior a la recta OP , entonces Q0 = f (Q) cumple que lasrectas QQ0 y P P 0 se cortan en O y las rectas P Q y P 0 Q0 son paralelas. Por − →±− − − →el teorema anterior f (Q) = H(O, k)(Q), donde k = OP 0 OP . Esto vale enprincipio para todo Q fuera de la recta OP , pero razonando con otro punto Pfuera de esta recta, tambi´n vale para ella. e Si f no tiene puntos fijos, consideremos un punto cualquiera P y su imagenP 0 = f (P ). Para cualquier punto Q exterior a la recta P P 0 el punto Q0 = f (Q)cumple que P Q es paralela a P 0 Q0 . Adem´s P P 0 es paralela a QQ0 , pues si aambas rectas tuvieran un punto en com´n, ´ste ser´ un punto fijo de f . Por u e ıa −→ −el teorema anterior f (Q) = T~ (Q), donde ~ = P P 0 . En principio esto vale para v vtodo punto Q fuera de la recta P P 0 , pero partiendo de otra recta, tambi´n vale epara ella.Ejercicio: Probar que los grupos H(O, E) y H(O0 , E) son conjugados en HT(E) −→ −mediante la traslaci´n de vector OO0 . o Veamos ahora una consecuencia muy importante del teorema de Tales:
  • 151. 6.2. Homotecias 145Teorema 6.9 (Teorema de Desargues) En un espacio af´ sean ABC y ın, 0 dos tri´ngulos con A 6= A0 , B 6= B 0 , C 6= C 0 y tales que las rectas 0 0ABC aAB, AC, BC sean paralelas (o iguales) respectivamente a A0 B 0 , A0 C 0 y B 0 C 0 .Entonces las rectas AA0 , BB 0 y CC 0 son paralelas o concurrentes. A0✥ 0 A ✥✥ ✥✥✥ A A ✥✥✥ ❅ ❅ ❅ ✥✥✥ ✥   ❅ ❅ ❅ ❅ ❜  ❅ ❅ ❜ ❅ C ❅ C0 ❜ C ❅ ❅ ❅ ❅ ❜ ❅ ✏✏✏ ✏ ✏ ✏✏✏ ❜ ✏✏✏  ❅ ✏ ❜  ❅ 0 B B0 B❜ C ❅ ❜ ✏ ❜ ✏ ✏✏ ❜ ❜ ✏✏✏ B❜0❜ ´ Demostracion: Notar que no se exige que los tri´ngulos est´n contenidos a een el mismo plano. Basta probar que si dos de las tres rectas AA0 , BB 0 , CC 0se cortan en un punto, la tercera pasa por dicho punto (si dos de las rectascoinciden el teorema se cumple trivialmente, las tres rectas no pueden coincidir).Supongamos que AA0 y CC 0 concurren en O. Si A = O las rectas AC y A0 C 0no ser´ paralelas. En general, O ha de ser distinto de los seis v´rtices. Por ıan e − ±− → − ±− → → − − − →el teorema de Tales OA OA0 = OC AC 0 = k. Como A 6= A0 ha de ser k 6= 1.Sea f = H(O, k) y B 00 = f (B). Por el teorema 6.7 tenemos que B 00 est´ en laaparalela a AB que pasa por A0 , es decir, en A0 B 0 , y por el mismo motivo est´ aen B 0 C 0 , luego ha de ser B 00 = B 0 . Esto prueba que O, B y B 0 est´n alineados a(de hecho los tri´ngulos son homot´ticos). a eEjercicio: Refinar el teorema anterior (analizando los casos que no ha hecho faltaanalizar) para concluir que bajo las hip´tesis del teorema de Desargues los tri´ngulos o ason trasladados u homot´ticos. e El teorema de Desargues es equivalente a su rec´ ıproco, por lo que tambi´n e´ste es conocido como teorema de Desargues:eTeorema 6.10 (Teorema de Desargues) En un espacio af´ sean ABC y ın, 0 dos tri´ngulos con A 6= A0 , B 6= B 0 , C 6= C 0 y tales que las rectas AA0 , 0 0ABC aBB 0 y CC 0 sean paralelas (o iguales) o concurrentes en un punto O distinto detodos los v´rtices. Si los tri´ngulos tienen dos pares de lados paralelos, tambi´n e a eel tercer par lo es. Demostracion: Supongamos que AB es paralela a A0 B 0 y que AC es ´paralela a A0 C 0 . No puede ser que ambos pares de rectas sean coincidentes (oser´ A = A0 ) supongamos que las rectas AB y A0 B 0 son distintas y sea B 00 el ıapunto de corte entre A0 B 0 y la recta paralela a BC por C 0 . Entonces B 6= B 00y podemos aplicar el teorema anterior para concluir que las rectas AA0 , BB 00 ,CC 0 son paralelas o concurrentes, lo que conjuntamente con la hip´tesis implica oque BB 00 = BB 0 , luego B 0 = B 00 , pues ambos son el punto de corte de BB 00 conA0 B 0 .
  • 152. 146 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines6.3 El teorema fundamental de la geometr´ af´ ıa ın Vamos a probar un teorema que muestra claramente el papel exacto quejuegan las biyecciones afines en el marco de la geometr´ af´ al menos en el ıa ın,caso de espacios reales. Se trata del siguiente:Teorema 6.11 (Teorema fundamental de la geometr´ af´ Si E y E 0 ıa ın)son dos espacios afines reales de la misma dimensi´n n ≥ 2 y f : E −→ E 0 es ouna biyecci´n que transforma puntos colineales en puntos colineales, entonces f oes una biyecci´n af´ o ın. As´ pues, toda aplicaci´n que conserve la colinealidad conserva de hecho ı otodas las propiedades afines, es decir, todas las propiedades que se conservanpor biyecciones afines. En el cap´ ıtulo siguiente interpretaremos este hecho mos-trando que toda la geometr´ af´ puede construirse a partir del mero concepto ıa ınde colinealidad. ´ Demostracion: Dividiremos la prueba en varios pasos. 1. Si A = {P0 , . . ., Pm } es un conjunto de puntos de E af´ ınmente indepen- dientes, entonces f [hAi] ⊂ hf [A]i. Lo probamos por inducci´n sobre m. Para m = 1 se trata de la hip´tesis. o o Supong´moslo cierto para conjuntos con m puntos y tomemos P ∈ hAi. a Usando coordenadas baric´ntricas tenemos e P = λ0 P0 + · · · + λm Pm , con λ0 + · · · + λm = 1. Puesto que m ≥ 1 hay al menos un λi 6= 1. Supongamos por ejemplo que se trata de λm . Entonces P = (1 − λm )P 0 + λm Pm , donde 1 P0 = (λ0 P0 + · · · + λm−1 Pm−1 ) ∈ hP0 , . . ., Pm−1 i . 1 − λm Entonces f (P ) est´ en la recta f (P 0 )f (Pm ) y f (P 0 ) est´ en la variedad a a hf (P0 ), . . ., f (Pm−1 )i por hip´tesis de inducci´n. As´ pues, f (P ) ∈ hf [A]i. o o ı 2. Las im´genes por f de m + 1 puntos af´ a ınmente independientes son af´ ın- mente independientes Podemos completar el conjunto hasta un sistema de referencia af´ y su- ın poner, por lo tanto, que m = n. Si A es un conjunto de n + 1 puntos ınmente independientes, por el apartado anterior E 0 = f [hAi] ⊂ hf [A]i, af´ luego los puntos de f [A] han de ser independientes. 3. f transforma cada recta P Q en la recta f (P )f (Q). La hip´tesis del teorema nos da una inclusi´n. Sea R0 un punto de o o f (P )f (Q). Como f es biyectiva R0 = f (R) para un cierto R. Si R no
  • 153. 6.3. El teorema fundamental de la geometr´ af´ ıa ın 147 estuviera en P Q entonces los puntos P, Q, R ser´ af´ ıan ınmente libres, luego por el punto anterior lo mismo ocurrir´ con f (P ), f (Q), f (R), lo cual es ıa una contradicci´n. o 4. f transforma rectas paralelas en rectas paralelas. Sean P Q y P 0 Q0 rectas paralelas distintas en E. Entonces los puntos P, Q, P 0 son af´ ınmente independientes y generan el plano que contiene a las dos rectas. Por el paso 1 tenemos que f (P ), f (Q), f (P 0 ) son af´ ınmente independientes, luego generan un plano que contiene a f (Q0 ) por 2, luego de hecho contiene a las rectas f [P Q] y f [P 0 Q0 ]. Como f es biyectiva estas rectas no tienen puntos comunes, luego son paralelas. 5. Para todos los puntos O, P, Q ∈ E, se cumple −→ − −−−→ −−− f (P + OQ) = f (P ) + f (O)f (Q). −→ − Sea R = P + OQ. Si O, P, Q no est´n alineados, lo mismo sucede con a f (P ), f (Q), f (R). Por el teorema 6.7 tenemos que R es la intersecci´n o de la paralela a OP por Q y la paralela a OQ por P . Por consiguiente f (R) es la intersecci´n de la paralela a f (O)f (P ) por f (Q) y la paralela a o f (O)f (Q) por f (P ). De nuevo por el teorema 6.7 podemos concluir que −−−→ −−− f (R) = f (O) + f (O)f (Q). Si O, P, Q est´n contenidos en una recta r, tomamos una paralela cual- a quiera r0 y en ella un punto R0 . La paralela a OR0 por Q corta a r0 en un −→ − −→ − punto R00 = R0 + OQ y la paralela a P R0 por R00 corta a r en P + OQ = R. Al aplicar f a todos estos puntos y rectas se conservan las relaciones de −−−→ −−− incidencia y paralelismo, luego tenemos que f (R00 ) = f (R0 ) + f (O)f (Q) y −−−→ −−− f (R) = f (P ) + f (O)f (Q). R0 R00 r0 ✡❇ ✡ ✡❇ ✡ ✡ ❇ ✡ ❇ ✡ ❇ ✡ ❇ ✡ ❇❇ ✡ ❇ r ❇ O P Q R 6. Fijemos una recta r y sean O, A dos de sus puntos. Para cada α ∈ R sea −→ −−−→ −−−→ −−− −−− P = O + α OA y sea σ(α) = f (O)f (P )/f (O)f (A), Entonces σ : R −→ R es un automorfismo de cuerpos. La figura anterior ilustra que σ conserva la suma. En efecto, si suponemos −→ −→ −→ P = O + α OA, Q = O + β OA, entonces R00 = R0 + β OA, y de aqu´ que ı −→ − → R = P + β OA = O + (α + β)OA. −−−→ −−− Por definici´n de σ tenemos que f (P ) = f (O) + σ(α) f (O)f (A), f (Q) = o −−−→ −−− −−−→ −−− f (O) + σ(β) f (O)f (A), f (R) = f (O) + σ(α + β) f (O)f (A), y como f
  • 154. 148 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines ° ¢− − − → −−− conserva la figura, tambi´n tenemos que f (R) = σ(α) + σ(β) f (O)f (A), e luego σ(α + β) = σ(α) + σ(β). Para el producto empleamos un argumento similar basado en la cons- trucci´n que muestra la figura siguiente: o ✑ R00✑✑ ✑ ✑ ✁❅ ✑ ✁ ❅ R0 ✑ ✁ ✑ ❅ ✑ ✁❅ ✁ ❅ ✑ ✁ ❅✁ ✑ ❅ ✑ ✁ ✁❅ ❅ O A P Q R − → −→ − Se prueba sin dificultad que si P = O + α OA y Q = O + β OB, en- −→ tonces R = O + (αβ) OA. Por definici´n de σ tenemos que f (R) = o −−−→ −−− −−−→ −−− σ(αβ) f (O)f (A), y como f conserva la figura f (R) = σ(α)σ(β) f (O)f (A), luego σ(αβ) = σ(α)σ(β). El car´cter biyectivo de σ es inmediato. a 7. El unico automorfismo de R es la identidad. ´ En efecto, si σ es un automorfismo de R, entonces σ env´ cuadrados a ıa cuadrados, luego α > 0 si y s´lo si σ(α) > 0. A su vez esto implica que o α < β si y s´lo si σ(α) < σ(β). Por otro lado σ ha de fijar a Q, y una o biyecci´n de R en R que conserve el orden y fije a los n´meros racionales o u es necesariamente la identidad. 8. f es una afinidad. ~v −− − − −→ −−−−− Fijemos un punto O ∈ E. Sea f (~ ) = f (O)f (O + ~ ). Por 5 se cumple que v − − −→ → − − −→ −−−→−−− −−−→ −−−→ −−− −−− f (O+OP +OQ) = f (O+OP )+f (O)f (Q) = f (O)+f (O)f (P )+f (O)f (Q), luego ~− −→ −→− ~− −→ ~ −→ − f (OP + OQ) = f (OP ) + f (OQ). Por 7 tenemos que σ es la identidad, luego por definici´n de σ o ~ − → ~− → f (α OA) = α f (OA). ~ ~− −→ Por consiguiente f es una aplicaci´n lineal, y f (P ) = f (O) + f (OP ), luego o f es af´ ın. Observar que la prueba es v´lida para espacios afines sobre cualquier sub- acuerpo K de R en el que todo n´mero positivo tenga una ra´ cuadrada. En u ızparticular es v´lido para los modelos de geometr´ discontinua que comentamos a ıaen el cap´ ıtulo anterior.Ejercicio: Probar que el teorema anterior es falso para espacios afines complejos.
  • 155. 6.4. Isometr´ y semejanzas ıas 1496.4 Isometr´ y semejanzas ıas Nos ocupamos ahora de los espacios eucl´ ıdeos. Recordemos del cap´ ıtulo IVque una isometr´ de un espacio af´ eucl´ ıa ın ıdeo E es una afinidad biyectiva cuyaaplicaci´n lineal asociada es una isometr´ lineal. Recordemos a su vez que las o ıa ~ ~isometr´ lineales son los automorfismos f de E tales que ıas ~v ~ ~ f (~ )f (w) = ~ w, v~ v ~ ~ para todo ~ , w ∈ E, ~v ~lo cual a su vez equivale a que kf (~ )k = k~ k para todo ~ ∈ E, debido a la v vrelaci´n o k~ − wk2 = k~ k2 + kwk2 − 2~ w. v ~ v ~ v~ ~ ~ ~Otra caracterizaci´n importante es que una aplicaci´n lineal f : E −→ E es una o oisometr´ si y s´lo si transforma una base ortonormal en una base ortonormal, ıa opues si conserva el producto escalar sobre una base, por linealidad lo conservasobre vectores arbitrarios. De aqu´ se sigue a su vez otra caracterizaci´n impor- ı otante que no vimos en su momento.Definici´n 6.12 Diremos que una matriz cuadrada A en un cuerpo K es or- otogonal si cumple AAt = In , donde At es la matriz traspuesta de A y e In es lamatriz identidad. As´ A es ortogonal si su inversa es su traspuesta. ı, Veamos la caracterizaci´n de las isometr´ lineales a la que hac´ o ıas ıamos refe-rencia:Teorema 6.13 Sea E un espacio vectorial eucl´ ıdeo y f : E −→ E una apli-caci´n lineal. Entonces f es una isometr´ lineal si y s´lo si la matriz de f en o ıa ouna base ortonormal es ortogonal (y en tal caso la matriz de f en cualquier baseortonormal es ortogonal. ´ Demostracion: Fijada una base ortonormal de E, la aplicaci´n que a cada ovector le asigna sus coordenadas respecto a esta base es una isometr´ entre E ıay Rn . Sea A la matriz de f en la base fijada. Entonces f ser´ una isometr´ si a ıay s´lo si las im´genes de los vectores de la base forman una base ortonormal, si o ay s´lo si sus coordenadas (esto es, las filas de A) son una base ortonormal en oRn . Ahora observamos que el elemento (i, j) de AAt es el producto escalar dela fila i-´sima de A por la fija j-´sima de A, luego las filas de A son una base e eortonormal de Rn si y s´lo si AAt = In . oDefinici´n 6.14 Dado un espacio vectorial eucl´ o ıdeo V sobre un cuerpo K, lla-maremos grupo ortogonal de V , representado por O(V ), al conjunto de todaslas isometr´ lineales de V , que es un grupo con la composici´n de aplicacio- ıas ones.Si V tiene dimensi´n n, entonces O(V ) es isomorfo al grupo O(n, K) de las omatrices ortogonales n × n con coeficientes en K. Dado un espacio af´ eucl´ ın ıdeo E, llamaremos Is(E) al grupo de las isometr´ ıasde E, tambi´n con la composici´n de aplicaciones. e o
  • 156. 150 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Es claro que la aplicaci´n o ~ Is(E) −→ O(E) f 7→ f~es un epimorfismo de grupos cuyo n´cleo es el grupo de las traslaciones T(E). uDefinici´n 6.15 Sea E un espacio af´ eucl´ o ın ıdeo. Una biyecci´n f : A −→ B oentre dos subconjuntos de E es una semejanza de raz´n k > 0 si para todo par ode puntos P, Q ∈ A se cumple −−−→ −−− − −→ kf (P )f (Q)k = kkP Qk.Si existe una semejanza entre A y B se dice que son semejantes, y cada parde puntos P , f (P ) correspondientes por una semejanza f se llaman puntoshom´logos (respecto a f ). o Es claro que la inversa de una semejanza de raz´n k es una semejanza de oraz´n 1/k y que la composici´n de semejanzas es una semejanza de raz´n igual o o oal producto de las razones. Las semejanzas de raz´n 1 son las isometr´ o ıas Notemos que dos tri´ngulos son semejantes en el sentido usual si y s´lo si lo a oson en el sentido general que acabamos de definir. Es obvio que una homotecia de raz´n k es una semejanza de raz´n |k|. Por o oconsiguiente, si f es una semejanza de raz´n k entre dos subconjuntos A y B ode un espacio af´ eucl´ ın ıdeo E, al componerla con una homotecia g de raz´n 1/k oobtenemos una semejanza de raz´n 1, es decir, una isometr´ Por el teorema o ıa.4.22, f ◦g se extiende a una isometr´ de E en s´ mismo, llam´mosla h. Entonces ıa ı eh ◦ g −1 es una semejanza de E en s´ mismo que extiende a f . Esto prueba el ıteorema siguiente:Teorema 6.16 Toda semejanza de raz´n k entre dos subconjuntos de un espa- ocio af´ eucl´ ın ıdeo E se extiende a una semejanza de raz´n k de E en s´ mismo. o ıToda semejanza de raz´n k de E en s´ mismo es una afinidad y se puede expresar o ıcomo composici´n de una isometr´ y una homotecia de raz´n k. o ıa oDefinici´n 6.17 Llamaremos Sem(E) al grupo de las semejanzas de un espacio oaf´ eucl´ ın ıdeo E en s´ mismo. ı Hemos probado que Sem(E) ≤ GA(E). La aplicaci´n que a cada semejanza ole asigna su raz´n es un epimorfismo de Sem(E) en ]0, +∞[ cuyo n´cleo es o uclaramente Is(E). Vamos a caracterizar las semejanzas en t´rminos de sus aplicaciones lineales easociadas. Si V es un espacio vectorial eucl´ıdeo, diremos que f ∈ GL(V ) es unasemejanza lineal de raz´n k > 0 si kf (~ )k = k k~ k para todo ~ ∈ V . Llamaremos o v v vSem(V ) al grupo de las semejanzas lineales de V . ~ Es claro que una afinidad f es una semejanza si y s´lo si f es una semejanza olineal. Tenemos, pues, un epimorfismo Sem(E) −→ Sem(E) ~ cuyo n´cleo es el u
  • 157. 6.4. Isometr´ y semejanzas ıas 151grupo T (E) de las traslaciones de E. Por otra parte, el hecho de que toda seme-janza de E se descomponga en producto de una isometr´ y una homotecia se ıatraduce, a trav´s de este epimorfismo, en que toda semejanza lineal es producto ede una isometr´ lineal y una homotecia lineal. M´s a´n, es f´cil ver que si ıa a u a ~ ~llamamos H+ (E) al grupo de las homotecias lineales de E de raz´n positiva, se ocumple ~ ~ Sem(E) = O(E) × H+ (E).~Para ello hay que probar que los dos subgrupos de la derecha son normales, peroello se sigue inmediatamente del hecho de que las homotecias lineales conmutan ~con todos los elementos de GL(E).Ejercicio: Probar que HT(E) es un subgrupo normal de Sem(E) y Sem(E)/HT(E) ∼ Sem(E)/H(E). = ~ ~ Una propiedad interesante de las semejanzas propiamente dichas, es decir,las que no son isometr´ es que siempre tienen un unico punto fijo. ıas, ´Teorema 6.18 Toda semejanza de raz´n k 6= 1 en un espacio af´ eucl´ o ın ıdeotiene un unico punto fijo llamado centro de la semejanza. ´ ´ Demostracion: Es consecuencia inmediata del teorema 6.2, pues si f cum- o ~ple las hip´tesis entonces f es una semejanza lineal de raz´n k 6= 1, y es claro oque su unico punto fijo es 0. ´ En general, las semejanzas lineales no conservan las normas, luego tampocoel producto escalar. Sin embargo, el hecho de que toda semejanza lineal f deraz´n k se exprese como composici´n de una isometr´ lineal por una homotecia o o ıalineal de raz´n k implica la relaci´n f (~ )f (w) = k2~ w. Esto implica que las o o v ~ v~semejanzas lineales conservan ´ngulos, pues a ~ f (~ )f (w) v ~ k 2~ w v~ c cos f (~ )f (w) = v = 2 = cos ~ w. v~ kf (~ )k kf (w)k v ~ k k~ k kwk v ~ En particular las semejanzas lineales conservan la ortogonalidad. Vamos aprobar el rec´ ıproco, es decir, que las unicas aplicaciones lineales que conservan ´la ortogonalidad (o a fortiori los ´ngulos) son las semejanzas lineales. De aqu´ a ıdeduciremos el an´logo para las semejanzas afines. aTeorema 6.19 Sea V un espacio vectorial eucl´ ıdeo y f : V −→ V una apli-caci´n lineal no nula. Entonces son equivalentes: o 1. f es una semejanza lineal. 2. f conserva la ortogonalidad de vectores. 3. f conserva los ´ngulos entre vectores. a
  • 158. 152 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines ´ Demostracion: Es suficiente probar que 2 implica 1. Suponemos, pues,que si ~ w = 0 entonces f (~ )f (w) = ~ (notar que no suponemos la doble impli- v~ v ~ 0caci´n). o Fijado un vector ~ ∈ V , la aplicaci´n u(w) = f (~ )f (w) es lineal. Suponga- v o ~ v ~mos que existe un w tal que u(w) 6= 0. Entonces el n´cleo de u tiene dimensi´n ~ ~ u o ⊥n − 1 (donde n es la dimensi´n de V ), y por hip´tesis contiene a h~ i , cuya di- o o vmensi´n es la misma. Por consiguiente u se anula exactamente sobre los vectores oortogonales a ~ . v Definimos k(~ ) como el unico escalar que cumple v ´ u(w) = f (~ )f (w) = k(~ )~ w. ~ v ~ v v~Todo vector de V se expresa como ~ + αw, donde ~ ⊥ ~ , con lo que la relaci´n t ~ t v oanterior vale en realidad no s´lo para el w que hemos tomado sino de hecho o ~para todo w ∈ V . Si u es nula la relaci´n sigue siendo v´lida sin m´s que tomar ~ o a ak(~ ) = 0. v Por simetr´ si ~ w 6= 0 se ha de cumplir k(~ ) = k(w). Si ~ w = 0 con ıa, v~ v ~ v~ambos factores no nulos, entonces ~ = ~ + w cumple que ~ ~ 6= 0 6= w~ , luego y v ~ vy ~yk(~ ) = k(~ ) = k(w). Esto prueba que k = k(~ ) es independiente de ~ 6= ~ v y ~ v v 0.Adem´s a kf (~ )k2 = kk~ k2 , para todo ~ ∈ V. v v vComo existen vectores con imagen no nula, ha de ser k > 0, de donde f es una √semejanza de raz´n k. oTeorema 6.20 Sea E un espacio af´ eucl´ ın ıdeo y f : E −→ E una aplicaci´n obiyectiva. Las afirmaciones siguientes son equivalentes: 1. f es una semejanza. 2. Para toda terna de puntos distintos se cumple ABC = f (A)f (B)f (C). 3. Para todos los puntos A 6= B, C 6= D, si AB ⊥ CD, entonces f (A)f (B) ⊥ f (C)f (D). ´ Demostracion: Usando el teorema anterior es f´cil ver que 1 → 2 → 3. aPara probar 3 → 1 basta demostrar que f es af´ y por el teorema fundamental ın,esto equivale a probar que f transforma puntos alineados en puntos alineados. Sean A, B, C tres puntos alineados. Podemos formar una base ortogonal ~ −→de E de la forma AAi , para i = 1, . . ., n con A1 = B. Por hip´tesis los vecto- o −− − − − − −→ ~res f (A)f (Ai ) son ortogonales dos a dos, luego son una base ortogonal de E.Podemos expresar −−−→ −−− −− − − − − −→ −−−− −−−→ f (A)f (C) = λ1 f (A)f (A1 ) + · · · + λn f (A)f (An ). (6.1)Ahora bien, si i 6= 1 entonces AAi ⊥ AC, luego tambi´n f (A)f (Ai ) ⊥ f (A)f (C). e −− − − − − −→Multiplicando (6.1) por f (A)f (Ai ) obtenemos λi = 0, luego (6.1) se reduce a−−−→ −−− −− − − − − −→f (A)f (C) = λ1 f (A)f (A1 ), lo que significa que f (A), f (A1 ) = f (B) y f (C)est´n alineados. a
  • 159. 6.5. Clasificaci´n de endomorfismos o 1536.5 Clasificaci´n de endomorfismos o En esta secci´n desarrollaremos una potente teor´ algebraica que nos dar´ o ıa aun gran control sobre los endomorfismos de un espacio vectorial y, de aqu´ ı,sobre las afinidades e isometr´ de los espacios afines. El problema principal ıasque nos proponemos resolver consiste en que a veces es f´cil reconocer que auna isometr´ lineal es, por ejemplo, un giro en R3 , si conocemos su matriz en ıauna base determinada, mientras que es irreconocible si se nos da su matriz enotra base. Vamos a buscar criterios que nos permitan determinar cu´ndo dos amatrices pueden corresponder a la misma aplicaci´n escogiendo bases adecuadas oas´ como t´cnicas que nos permitan encontrar la expresi´n m´s simple posible ı e o apara la matriz de una aplicaci´n lineal. o Por razones que pronto se comprender´n, conviene que comencemos nuestro aestudio en un contexto muy general. Consideraremos homomorfismos entrem´dulos libres sobre un dominio eucl´ o ıdeo. Haremos uso de los teoremas deestructura de m´dulos: todo m´dulo M finitamente generado sobre un dominio o ode ideales principales3 A se descompone como M = L ⊕ Mt , donde L es unsubm´dulo libre (cuyo rango s´lo depende de M ) y Mt es el subm´dulo de o o otorsi´n, formado por todos los elementos m tales que am = 0 para cierto a ∈ A ono nulo. Cada elemento m de Mt tiene definido (salvo unidades) un ordeno(m) ∈ A de modo que am = 0 si y s´lo si o(m) | a. A su vez es posible odescomponer Mt = hv1 i ⊕ · · · ⊕ hvn i, donde podemos exigir que cada o(vi ) seapotencia de primo (y entonces se llaman divisores elementales de M ) o bien queo(vi ) | o(vi+1 ) (y entonces se llaman factores invariantes de M ). Los divisoreselementales y los factores invariantes est´n un´ a ıvocamente determinados por Msalvo unidades. Supongamos que f : M −→ N es un homomorfismo entre A-m´dulos libres ode rangos m y n respectivamente y que B y B 0 son bases respectivas. Sea Sla matriz de f en estas bases. Supongamos que f tiene otra matriz T respectoa otras bases C y C 0 . ¿Cu´l es entonces la relaci´n entre S y T ? Es sencilla: a oSea P la matriz de la identidad en M respecto de las bases C y B (la llamadamatriz del cambio de base). Sea Q la matriz de la identidad en N respectode las bases C 0 y B 0 . Entonces si x es la m-tupla de coordenadas en C de unelemento m ∈ M , tendremos que xP es la m-tupla de coordenadas de m en labase B, luego xP S es la n-tupla de coordenadas de f (m) en B 0 , luego xP SQes la n-tupla de coordenadas de f (m) en C 0 . Por la unicidad de la matriz, seha de cumplir T = P SQ. Adem´s como P y Q son matrices de isomorfismos, aambas son regulares (tienen inversa). En vista de esto definimos:Definici´n 6.21 Sea A un anillo conmutativo y unitario. Diremos que dos omatrices S, T ∈ Matm×n (A) son equivalentes si existen matrices P ∈ GL(m, A)y Q ∈ GL(n, A) tales que T = P SQ. Es evidente que la equivalencia de matrices es una relaci´n de equivalencia oen el conjunto Matm×n (A). Acabamos de demostrar que si S y T son matrices 3 En realidad nos bastar´ trabajar con dominios eucl´ a ıdeos.
  • 160. 154 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afinesde un mismo homomorfismo entre A-m´dulos libres f : M −→ N , entonces S y oT son equivalentes. Rec´ ıprocamente, si S es la matriz de f en ciertas bases y Tes equivalente a S, es f´cil ver que T es la matriz de f en otras bases adecuadas a(las que convierten a P y Q en las matrices del cambio de base). Ahora vamos a dar un criterio sencillo para determinar cu´ndo dos matrices adadas son o no equivalentes, al tiempo que encontraremos para cada matriz unaequivalente lo m´s sencilla posible. Para ello usaremos el resultado siguiente: aTeorema 6.22 Sea A un anillo conmutativo y unitario y sean S y T dos matri-ces m×n en A. Si T resulta de realizar sobre S una de las siguientes operaciones,entonces T es equivalente a S: 1. Permutar dos filas (o columnas). 2. Cambiar la fila (o columna) j-´sima por la suma de la fila (columna) e j-´sima m´s la fila (columna) k-´sima (k 6= j) multiplicada por una cons- e a e tante r. 3. Multiplicar una fila (columna) por una unidad u de A. ´ Demostracion: Realizar una de estas operaciones equivale a multiplicarla matriz por la izquierda o por la derecha (seg´n sea sobre filas o columnas) upor una de las siguientes matrices regulares (todas tienen unos en la diagonal yceros fuera de ella salvo cuando se indica expl´ ıcitamente lo contrario): j k k     1 1 ..  ..   .   .     ..    j 0 1  j  . r    ..   ..   . ,  . ,        ..  k 1 0   .   ..     .   ..  . 1 1 j   1  ..   .  j  u  .  ..   .  1 El teorema siguiente nos resuelve el problema de determinar cu´ndo dos amatrices son equivalentes:
  • 161. 6.5. Clasificaci´n de endomorfismos o 155Teorema 6.23 Sea E un dominio eucl´ ıdeo y A ∈ Matm×n (E). Entonces A esequivalente a una unica matriz de la forma ´   d1  ..   .     dr   ,  0   ..   .  0donde cada di 6= 0 y di | di+1 . La unicidad se entiende salvo sustituci´n de los odi por asociados (o sea, salvo unidades). Los elementos di se llaman factoresinvariantes de A. ´ Demostracion: La prueba que vamos a ver nos da un algoritmo paracalcular los factores invariantes de cualquier matriz dada. Llamemos φ a lanorma eucl´ ıdea del anillo E. Si A = 0 ya es de la forma requerida. En otro caso, sea aij un coeficientede A no nulo con norma m´ ınima. Intercambiando filas y columnas podemosllevarlo a la posici´n (1, 1), es decir, pasamos a una matriz equivalente donde oa11 6= 0 tiene norma m´ ınima. Para cada k > 1 dividimos a1k = a11 bk + b1k , de modo que b1k = 0 o bienφ(b1k ) < φ(a11 ). Restamos a la columna k-´sima la primera multiplicada por bk , con lo que ela primera fila se convierte en (a11 , b12 , . . ., b1n ). Si alg´n b1k es no nulo llevamos a la posici´n (1, 1) el de menor norma y u orepetimos el proceso. Como cada vez la norma del coeficiente (1, 1) disminuye,el proceso no puede continuar indefinidamente, por lo que al cabo de un n´meroufinito de pasos llegaremos a una primera fila de la forma (a11 , 0, . . ., 0). Repitiendo el proceso con la primera columna llegamos a una matriz equi-valente de la forma:   a11 0 · · · 0  0     .   . . B  0 Si a11 no divide a alguno de los restantes coeficientes aij , entonces hacemosaij = aij c + d con d 6= 0 y φ(d) < φ(a11 ), llevamos d a la posici´n (1, 1) y orepetimos el proceso de hacer ceros. Como la norma sigue disminuyendo, trasun n´mero finito de pasos llegaremos a una matriz como la anterior y en la que ua11 divide a todos los coeficientes restantes. Ahora repetimos el proceso con la matriz B, lo cual no altera los ceros de lafila y la columna primera ni el hecho de que a11 divide a todos los coeficientes.De este modo llegamos a una matriz como la del enunciado. Probemos que si dos matrices como la del enunciado son equivalentes, en-tonces son iguales (salvo multiplicaci´n de sus coeficientes por unidades). o
  • 162. 156 Cap´ ıtulo 6. Biyecciones afines Sea A una tal matriz. Sea f : E m −→ E n el homomorfismo que en ciertasbases, digamos {e1 , . . ., em } y {f1 , . . ., fn }, tiene matriz A, es decir, f (ei ) = di fipara i = 1, . . ., r y f (ei ) = 0 en otro caso. Entonces Im f = hd1 f1 i ⊕ · · · ⊕ hdr fr i, y ± E n / Im f = hf1 i ⊕ · · · ⊕ hfn i (hd1 f1 i ⊕ · · · ⊕ hdr fr i ⊕ 0 ⊕ · · · ⊕ 0) ± ± ∼ hf1 i hd1 f1 i ⊕ · · · ⊕ hfr i hdr fr i ⊕ hfr+1 i ⊕ · · · ⊕ hfn i . = Resulta que E n / Im f es un m´dulo finitamente generado sobre un dominio oeucl´ıdeo con rango n − r (el rango de la parte libre) y, respecto al subm´dulo de otorsi´n, est´ generado por los elementos fi + hdi fi i de orden claramente igual a o adi . Por lo tanto d1 , . . ., dr son los factores invariantes del m´dulo E n / Im f . o Si otra matriz B del mismo tipo es equivalente a A, entonces B es la matrizde f en otras bases, luego sus coeficientes son los factores invariantes del mismom´dulo E n / Im f , luego son los mismos salvo unidades. o As´ pues, dos matrices son equivalentes si y s´lo si tienen los mismos factores ı oinvariantes. La matriz equivalente a una matriz dada A que tiene la formaindicada en el teorema anterior se llama forma can´nica de A, de modo que dos omatrices son equivalentes si y s´lo si tienen la misma forma can´nica. o o En el caso en que el anillo es un cuerpo la situaci´n es mucho m´s simple. o aComo todos los elementos no nulos son unidades, todos los factores invariantesde una matriz A pueden tomarse iguales a 1, luego lo unico que puede variar ´es su n´mero r. Este n´mero se llama rango de A. Tenemos, pues, que dos u umatrices sobre un cuerpo son equivalentes si y s´lo si tienen el mismo rango. o El rango de A tiene una interpretaci´n muy sencilla: sea f una aplicaci´n o olineal de matriz A. Las filas de A son las coordenadas de las im´genes de los vec- atores de la primera base respecto a la segunda base. Estas im´genes generan el asubespacio Im f , luego contienen exactamente dim Im f vectores independientes.Como la aplicaci´n que a cada vector le asigna sus coordenadas es un isomor- ofismo, resulta que A tiene dim Im f filas independientes. La forma can´nica de oA es tambi´n una matriz de f y tiene r filas independientes, luego dim Im f = r ey el rango de una matriz es el n´mero de filas independientes que contiene. u Por otra parte es obvio que si dos matrices son equivalentes sus traspuestastambi´n lo son, y la traspuesta de una forma can´nica es ella misma, luego el e orango de una matriz es el mismo que el de su traspuesta. Por lo tanto: El rango de una matriz A con coeficientes en un cuerpo es el n´mero u de filas y el n´mero de columnas linealmente independientes. u Con esto tenemos clasificadas las matrices de los homomorfismos entre m´- odulos libres, es decir, sabemos reconocer si dos matrices corresponden al mismohomomorfismo en bases distintas y a cada homomorfismo le sabemos encon-trar una matriz especialmente simple (en forma can´nica). Nuestro objetivo es oobtener una teor´ an´loga para endomorfismos de un espacio vectorial, donde ıa aahora imponemos la condici´n de que no queremos considerar dos bases para o
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