C´lculo integral de varias variables a         Javier P´ez C´rdenas                 a    a
´Indice General   Introducci´n             o    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...
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Cálculo integral de varias variables, Javier Páez Cárdenas
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Cálculo integral de varias variables, Javier Páez Cárdenas

  1. 1. C´lculo integral de varias variables a Javier P´ez C´rdenas a a
  2. 2. ´Indice General Introducci´n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i1 Integral de Riemann 1 1.1 Los primeros pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Construcci´n de la integral de Riemann . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Propiedades de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Medida de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 La integral sobre conjuntos Jordan-medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Calculando integrales 41 2.1 Integrales iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Calculando integrales sobre otros conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 El Teorema de Cambio de Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4 Algunos cambios de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.5 Masa y centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923 Integrando sobre curvas 99 3.1 Curvas y trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2 Integrando funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.3 Integrando funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.4 Campos conservativos (primera parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.5 Rotacional y divergencia en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.6 El rotacional en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.7 Campos conservativos (segunda parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 3.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744 Integrando sobre superficies 179 4.1 Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.2 Integrando funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4.3 Integrando funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 4.4 El teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 4.5 Campos solenoides (primera parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 4.6 Divergencia y teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 4.7 Campos solenoides (segunda parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 4.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 3
  3. 3. 5 Formas: el concepto que unifica 247 5.1 Formas b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 5.2 Formas diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 5.3 Diferenciales exactas (primera parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 5.4 p−variedades parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 5.5 Integrando formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 5.6 El Gran Teorema Fundamental del C´lculoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 5.7 Diferenciales exactas (segunda parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278A El Teorema de Lebesgue 283
  4. 4. Introducci´n oEste texto trata sobre algunos de los distintos conceptos de integraci´n que existen para funciones ode varias variables, tema que constituye el n´ cleo central del curso de C´lculo Diferencial e Integral u aIV que se imparte en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Aut´noma de M´xico. o e Dado que el curso de C´lculo Diferencial e Integral IV es un curso de matem´ticas que forma a aparte del tronco com´n de materias de cuatro de las cinco licenciaturas que se ofrecen en la Fac- uultad, el objetivo principal de este texto es el de exponer los conceptos y resultados matem´ticos arelacionados con el tema de la integral de funciones de varias variables. En general, casi todos los conceptos que aqu´ se exponen se tratan de motivar a partir de ıproblemas espec´ ıficos, la mayor´ de ellos tomados de la f´ ıa ısica o de la geometr´ De esta forma, ıa.las definiciones de rotacional o de divergencia, se obtienen como resultado del intento de medir “larotaci´n producida” por un campo de fuerzas o “la expansi´n (o contracci´n)” de un flu´ o o o ıdo. Unavez hecho lo anterior, se camina hacia la obtenci´n de los resultados que reflejen las estructuras omatem´ticas subyacentes a estos conceptos. a Es importante mencionar que, aun cuando el objetivo es mantener un nivel de rigor y formalismomatem´tico adecuado a lo largo de todo el texto, hay conceptos y resultados que se discuten en at´rminos puramente “intuitivos” en virtud del espacio y tiempo que habr´ que dedicarles a su e ıaformalizaci´n. En este sentido, su definici´n rigurosa y la prueba de algunos teoremas no se incluyen o oen este texto y s´lo se mencionan con la intenci´n de que el estudiante los conozca y tenga una o ovisi´n m´s global del tema en cuesti´n. o a o Este texto est´ dirigido a aquellos estudiantes que ya han pasado por los primeros tres cursos ade C´lculo de la Facultad, lo que significa que se parte del supuesto de que conocen y manejan ael C´lculo diferencial e integral de funciones de una variable y el C´lculo diferencial de funciones a ade varias variables, adem´s de los cursos b´sicos de Geometr´ Anal´ a a ıa ıtica, Algebra Superior y unprimer curso de Algebra Lineal. El texto est´ organizado en cinco cap´ a ıtulos y a continuaci´n se da una somera y r´pida des- o acripci´n del contenido de cada uno de ellos. o En el primero se aborda el tema de la integral de Riemann para funciones de varias variablesy valores reales. Se hace la construcci´n formal de este concepto y despu´s se usa para introducir o eel de medida de Jordan de subconjuntos de Rn . Una vez hecho lo anterior, se extiende el conceptode integral de Riemann justo a los conjuntos Jordan-medibles. El segundo cap´ ıtulo se dedica al desarrollo de las herramientas que permiten el c´lculo deaintegrales. Los resultados m´s importantes de este cap´ a ıtulo son el teorema de Fubini y el teoremade Cambio de Variable, y es justo en el caso de este ultimo teorema, la primera vez que no se incluye ´la prueba de un resultado. A cambio de ella, se hace un an´lisis detallado de c´mo se aplica este a oteorema y su relaci´n con los diferentes sistemas coordenados que suelen usarse con m´s frecuencia, o atanto en R 2 (polares) como en R3 (cil´ ındricas y esf´ricas). El cap´ e ıtulo concluye con una secci´n oen la que se muestra c´mo usar toda esta herramienta para obtener la masa de un objeto, y c´mo o odefinir y calcular su centro de masa. i
  5. 5. Introducci´n o En el tercer cap´ ıtulo se aborda el estudio de lo que tradicionalmente se concoce como C´lculo aVectorial. Comienza con el tema de la Integral de L´ ınea, iniciando con una revisi´n del concepto ode curva y algunos temas relacionados con ´stas, como el de longitud de curva. A continuaci´n, se e odefine la integral de l´ ınea de una funci´n de valores reales (o campos escalares) a partir del problema odel c´lculo de la masa total de un alambre no homog´neo, y adem´s de sus propiedades estrictamente a e amatem´ticas, se ve c´mo este tipo de integrales tambi´n se pueden usar para el c´lculo de areas. En a o e a ´la siguiente secci´n, se introduce la integral de l´ o ınea de una funci´n de valores vectoriales (o campos ovectoriares) a partir del concepto de trabajo. Con base en este mismo concepto y el problema desaber si ´ste depende de la curva (o trayectoria) que se siga, se aborda la cuesti´n de los campos e oconservativos (o campos gradiente, su equivalente en t´rminos matem´ticos). Para abordar este e aproblema, en la siguiente secci´n se desarrolla el concepto de rotacional y divergencia en el plano y ose deduce uno de los tres teoremas m´s importantes del C´lculo Vectorial, el teorema de Green. En a ala siguiente secci´n se extiende el concepto de rotacional para campos en el espacio y se concluye oel cap´ ıtulo con una secci´n en la que se dan un par de teoremas que responden al problema de los ocampos conservativos. En el cap´ ıtulo cuatro se aborda el tema de la Integral de Superficie, y se organiza de formasimilar al cap´ ıtulo de la integral de l´ ınea. Comienza con la definici´n de lo que se entender´ por o auna superficie y se analizan algunas de sus principales caracter´ ısticas. A continuaci´n, se define la ointegral de superficie de una funci´n de valores reales (o campos escalares) a partir del problema del oc´lculo de la masa total de una l´mina no homog´nea, y se dan algunas de las propiedades b´sicas a a e ade este concepto. En la siguiente secci´n, se introduce la integral de superficie de una funci´n de o ovalores vectoriales (o campos vectoriares) a partir del problema de encontrar una forma de medirqu´ tanto se expande un fluido a trav´s de una superficie. Dado que desde el cap´ e e ıtulo tres yase cuenta con el concepto de rotacional en el espacio, y una vez que ya se defini´ la integral de osuperficie de campos vectoriales, se tienen todos los elementos necesarios para abordar otro de losteoremas m´s importantes del C´lculo Vectorial: el teorema de Stokes. Con base en este teorema, a ase plantea el problema de determinar cu´ndo un campo vectorial es un campo solenoide, es decir, acu´ndo un campo vectorial coincide con ser el rotacional de otro campo. Con el fin de resolverlo, aen la siguiente secci´n se introduce el concepto de divergencia de un campo vectorial y se presenta oel tercer teorema m´s importante del C´culo Vectorial: el teorema de Gauss. Una vez hecho lo a aanterior, en la ultima secci´n de este cap´ ´ o ıtulo se regresa al problema de los campos solenoides, y sedan un par de teoremas que lo resuelven. Finalmente, en el quinto cap´ ıtulo se desarrolla de una manera m´s descriptiva y menos formal, ael tema de las formas diferenciables. El objetivo principal de este cap´ ıtulo es mostrar c´mo el con- ocepto de forma diferenciable unifica los conceptos y resultados que se desarrollaron en los cap´ ıtulosanteriores. Comienza con la descripci´n y definici´n de las p−formas b´sicas para despu´s dar paso o o a ea la de p−forma y lo que significa la derivada de esta clase de objetos, dando lugar al conceptode forma diferenciable. Una vez hecho lo anterior, se muestra que el rotacional y la divergencia sepueden ver como un caso particular de derivaci´n de ciertas p−formas y se ve que el problema de los ocampos conservativos y los campos solenoides, son un caso particular de un problema m´s general: ael problema de las diferenciales exactas. Con el fin de abordar este problema, en las siguientessecciones se introduce el concepto de p−variedad parametrizada (como una generalizaci´n de los ode curva y superficie) y se define la integral de una p−forma sobre una p−variedad parametrizada,mostrando que las integrales de l´ ınea y de superficie de campos vectoriales, se pueden ver como uncaso particular de este tipo de integral. Una vez que se cuenta con todo este material, se tiene todolo necesario para formular el que bien podr´ ser calificado como el teorema m´s importante de ıa atodo este texto, y que aqu´ se prefiere bautizar con el nombre de: “el Gran Teorema Fundamental ıdel C´lculo” (y que en la literatura tradicional se le conoce con el nombre de teorema de Stokes). aJ. P´ez a ii
  6. 6. Introducci´n oDespu´s de mostrar que los teoremas de Green, Stokes y Gauss son casos particulares de este gran eteorema, en la ultima secci´n se formulan un par de resultados que dan respuesta al problema de ´ olas diferenciales exactas. Es importante mencionar que en este cap´ ıtulo no se incluy´ una lista ode problemas, en virtud de que su objetivo s´lo es el de proporcionar un panorama general de la oestructura matem´tica que subyace a todos estos temas. aAgradecimientosEste trabajo ha sido escrito despu´s de haber impartido en la Facultad de Ciencias de la UNAM, een varias ocasiones y a lo largo de varios a˜os, el curso de C´lculo Diferencial e Integral IV. Por n aesta raz´n, las primeras personas a las que quiero agradecer su “colaboraci´n”, son todos aquellos o oestudiantes que me permitieron hablarles de estos temas y aprehenderlos junto con ellos. Para los que no tenemos mucha habilidad para escribir, nos resultan muy importantes aquellosque conf´ en que s´ podemos hacerlo y nos impulsan (o nos “obligan”) a intentarlo. Para este libro, ıan ıa quienes tengo que agradecer que hayan jugado ese importante papel son: Ana Irene (Ram´ ırez) yH´ctor (M´ndez Lango). e e Una vez que se ha logrado escribir los primeros borradores de un libro como este, el que algunaspersonas se tomen el (a veces ingrato) trabajo de leerlos, es algo que uno realmente aprecia mucho.En este aspecto, todav´ tengo una deuda de agradecimiento con el profesor “Marmol” (Quico ıaMarmolejo), quien ley´ y cuestion´ constructivamente una buena parte del material contenido en o oesta obra. No conforme con lo anterior, adem´s tuvo la generosidad de darse a la tarea de realizar aun buen n´mero de las figuras que ilustran este texto (y que seguramente el lector podr´ identificar u af´cilmente porque son las que est´n mejor hechas). Adem´s del profesor “Marmol”, tambi´n tuve a a a ela suerte de que Ceci (Neve) y Erik (Schwarz), un par de ex-alumnos, se dieran a la tarea deleer minuciosamente la totalidad (o parte) de este trabajo, haci´ndome una buena cantidad de eimportantes sugerencias, y marc´ndome un buen n´mero de errores tipogr´ficos. Para ellos, mi a u am´s sincero agradecimiento. Muchas otras personas me han hecho observaciones o me han ayudado acon la siempre dif´ tarea de darle un buen “formato” a este libro (¡ingrato latex!); ser´ muy largo ıcil ıamencionarlas a todas, pero no por ello quiero dejar de expresarles mi agradecimiento por su valiosaayuda. iii J. P´ez a
  7. 7. Cap´ ıtulo 1Integral de Riemann1.1 Los primeros pasosDel mismo modo que para el caso real, el concepto de integral de Riemann1 de funciones de variasvariables (y valores reales), encuentra su motivaci´n en problemas de diversa ´ o ındole. Por ejemplo,sup´ngase que se tiene una l´mina de metal cuyo grosor no es homog´neo. Supongamos que tenemos o a ela suerte de contar con una funci´n ρ que nos dice cu´l es la “densidad” de la l´mina en cada uno o a ade sus puntos (es decir, una funci´n que en “cada punto P de la l´mina” nos asocia un n´mero o a ureal ρ(P ) que nos indica la “cantidad de masa (por unidad de area) contenida alrededor de dicho ´punto”). La pregunta ser´ entonces: ¿c´mo, a partir de esta funci´n ρ, podr´ ıa o o ıamos saber la masatotal de la l´mina? Supongamos por ahora que la l´mina tiene la forma de un rect´ngulo R (v´ase a a a ela figura 1.1). @@ II @@ II @@ II @@ Ri II @@ p• i II @@ II II @ @@ II @@ II @ II Figura 1.1: L´mina rectangular a Si a este rect´ngulo R lo subdividimos en rect´ngulos m´s peque˜os, R1 , . . . , Rk y en cada uno de a a a nestos subrect´ngulos escogemos cualesquiera puntos p1 , . . . , pk , entonces el producto ρ(pi)· area(Ri) a ´nos dar´ un valor aproximado de la cantidad de masa contenida en el pedazo de l´mina representado ıa apor el subrect´ngulo Ri (obs´rvese que en t´rminos de unidades, todo est´ bien, ya que la densidad a e e ase mide en unidades de masa por (o sobre) unidades de ´rea, que al multiplicarlas por el area de Ri, a ´obtenemos unidades de masa). As´ una aproximaci´n a la masa total de la l´mina (representada ı, o apor el rect´ngulo R) estar´ dada por a ıa k ρ(pi) · area(Ri ) ´ (1.1) i=1 1 Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 de septiembre de 1826 - 20 de junio de 1866) fue un matem´tico alem´n a aque realiz´ contribuciones muy importantes en an´lisis y geometr´ diferencial. o a ıa 1
  8. 8. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.1. Los primeros pasosEs un hecho claro que, si los subrect´ngulos en los que subdividimos al rect´ngulo R son cada vez a am´s peque˜os, las diferentes sumas que obtenemos se aproximan “mejor” a la masa de la l´mina. a n aEs decir, es “intuitivamente claro” que estas sumas deben aproximarse (en la medida en que nuestrasubdivisi´n sea cada vez “m´s fina”) a un valor espec´ o a ıfico. Si s´lo pensamos a ρ como una funci´n que asigna valores positivos (independientemente de o oque ´stos representen una densidad de masa), la expresi´n 1.1 tiene un significado geom´trico muy e o eespec´ıfico. Si nos fijamos en la gr´fica de la funci´n ρ (que en este caso es una superficie en R3 a oubicada por arriba del plano XY , como se muestra en la figura 1.2), la cantidad ρ(pi) · area(Ri) ´representa el volumen de un paralelep´ ıpedo cuya base es el rect´ngulo Ri y altura ρ(pi). As´ la a ı,suma de la expresi´n 1.1 tambi´n se puede interpretar como una aproximaci´n al volumen que hay o e opor arriba del rect´ngulo R y por debajo de la gr´fica de ρ. En este sentido, podemos decir que, el a aproblema del c´lculo de la masa total de nuestra l´mina, se puede “cambiar” por el problema de a acalcular el volumen de una cierta regi´n. Este enfoque geom´trico ser´ el que seguiremos de aqu´ o e a ıen adelante para dar un significado m´s preciso a las ideas expresadas en los p´rrafos anteriores. a a y Z .... ............... ....... .... ............ ÖÖ Ö (pi , ρ(pi ))Ø Ø • ØØ 1 Ø ÖÖ 1 1 1 1 1 • 1 Y G Ó 1 ÓÓ 1 ØØ ÓÓ R 1 ØØ ~ ÓÓ Ö Ø ØØ ~~ ÓÓ ÖÖRip •1 ØØØ ØØ ~~ ~ ÓÓ ÖÖ i Ø ØØ ~~ ÓÓÓ ØØØ X~~ ~ ÓÓ ØØ Figura 1.2: Funci´n de densidad sobre Ri o Por tanto, el problema que abordaremos se podr´ resumir de la siguiente manera: si tenemos ıa 1. R un “rect´ngulo” en R a n 2. f una funci´n de valores reales que est´ definida en R o a 3. R1 , . . . , Rk subrect´ngulos que se obtienen al subdividir a R y cualesquiera pi ∈ Ri (i = a 1, . . ., k) ¿existe un n´mero, digamos I, tal que la suma de la forma u k f (pi ) · area(Ri ) ´ i=1“se parece mucho” a I? M´s aun, ¿si los rect´ngulos R1 , . . . , Rk son una subdivisi´n “m´s fina” de a a o aR, entonces la correspondiente suma se parece m´s a I? aJ. P´ez a 2
  9. 9. 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann o Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı1.2 Construcci´n de la integral de Riemann oA fin de “construir” una respuesta al problema planteado, precisaremos algunos de los t´rminos eque hemos venido utilizando.Definici´n 1.1 R es un rect´ngulo en Rn si es un conjunto de la forma o a R = [a1 , b1] × · · · × [an , bn]en donde cada [ai, bi] es un intervalo cerrado de n´meros reales. Al n´mero u u d(R) = (b1 − a1 )2 + · · · + (bn − an )2lo llamaremos la diagonal de R, y al n´mero u m(R) = (b1 − a1 ) · . . . · (bn − an )se le llamar´ la medida de R. a N´tese que m(R) ≥ 0 y que en el caso de R2 esta medida es el ´rea de R, mientras que en R3 o acoincide con ser el volumen de R. Diremos que un rect´ngulo es no degenerado si m(R) > 0. Todos los rect´ngulos que conside- a aremos de aqu´ en adelante ser´n de este tipo, a menos que se indique lo contrario. ı a tt tt tt tt tt tt tt tt tt tt tt tt tt tt tt t t t tt tt tt tt tt t tt tt tt tt tt t Figura 1.3: No-particiones Existen muchas formas de subdividir a un rect´ngulo R, como las que se muestran en la figura a1.3. Sin embargo, para la construcci´n que vamos a hacer, ser´ suficiente con que consideremos o aa aquellas que se obtienen de hacer subdivisiones en cada uno de los intervalos [ai , bi], como semuestra en la figura 1.4.Definici´n 1.2 Sea R = [a1 , b1] × · · · × [an , bn]. Si Pi es una partici´n del intervalo [ai , bi] o o(recu´rdese que Pi es entonces un subconjunto finito del intervalo [ai, bi] que incluye a los extremos eai , bi) para cada i = 1, . . . , n, decimos que P = P1 × · · · × Pnes una partici´n de R. Obs´rvese que P es un subconjunto finito de R, que consta de los v´rtices de o e ecada uno de los subrect´ngulos de R inducidos por P. A la partici´n Pi le llamaremos la i-´sima a o epartici´n coordenada de P. Denotaremos por PR al conjunto de todas las particiones del rect´ngulo o aR. 3 J. P´ez a
  10. 10. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann o Y y b2− − − − − − a2− | | | | | | | | | XG a1 b1 Zy z z b3 • −• • • • • • z • Ó Ó Õ ÓÓ ÓÓ ÕÕ ×× ØØ − ÓÓ ÓÓ ÕÕ ×× ØØØØ ÓÓ ÓÓ ÕÕ ×× ØØØØ ÓÓ ÓÓ ÕÕ ×× ØØØØ ØØ − Ó ÓÓ ÕÕ ×× ØØØØ Ø ÓÓ ÓÓ ÕÕ ×× ØØØØ ØØØ Ø − ÓÓÓ Ó Õ × ØØ ~a3 Ó ÓÓ ÕÕ ×× ØØØØ ØØØ ØØØ ~ Ø Ø Ø ØØ Ø Ø Ø Ø 1 • • • • • • • •1 a2 ~ Ø • • • • • • 1 • ԕ • • • • • + • ØØØ + Ø ØØØؕØ1 b2 Y • • • • Ø G ÐÐ Ø ØØØ Ø Ø 1 Ö + ÐЕ • • • • • • •Ô 1 Ô Ø ØØ Ö • a1Ð ØØ ØØ Ø Ð −ÐÐ ØØ ØØ ØØ ÐÐ Ø Ø ÐÐ Ð− ØØØØØ −ÐÐ 1 ØØ ÐÐ 1 −ÐÐ 1 •Ð b1 ÐÐ • • • • • • • • Ð ÐX Figura 1.4: Particiones buenas Hablando de particiones, que son a final de cuentas las que nos permitir´n hablar de las diferentes asubdivisiones que podemos hacer de un rect´ngulo R, cabe preguntarse: ¿qu´ relaci´n tendr´ que a e o ahaber entre dos diferentes particiones de R de tal forma que podamos asegurar que la subdivisi´n oinducida por una de ellas es “m´s fina” que la subdivisi´n inducida por la otra? Esta idea queda a oexpresada en la siguiente definici´n oDefinici´n 1.3 Sean P y Q dos particiones de R, con P = P1 × · · · × Pn y Q = Q1 × · · · × Qn . oDecimos que Q refina a P si Pi ⊂ Qi para cada i = 1, . . . , n. N´tese que, de acuerdo a esta definici´n, si Q refina a P entonces P ⊂ Q y que lo rec´ o o ıprocotambi´n es cierto (afirmaci´n que se deja probar al lector como un problema). e o La figura 1.5 muestra (para el caso de R2 ) que, en efecto, la subdivisi´n inducida por una opartici´n Q que refina a otra partici´n P, es “m´s fina” que la subdivisi´n inducida por P. o o a o Dada una partici´n P = P1 × · · · × Pn , la partici´n Q = (P1 ∪ {c}) × P2 × · · · × Pn , donde o oc ∈ [a1 , b1]P1 , es una de las particiones m´s sencillas que refinan a P. En particular, es importante ahacer notar que los subrect´ngulos inducidos por cada una de ellas son casi los mismos, salvo por aalgunos subrect´ngulos de P, que se pueden poner como la uni´n de dos de los subrect´ngulos a o ainducidos por esta Q (probar esta afirmaci´n es m´s un problema de notaci´n que de otra ´ o a o ındole)(ver figura 1.6).J. P´ez a 4
  11. 11. 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann o Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı Y y Y y b2− b2− − − • − − • • a2− a2− | | | | | | | XG | | | • | | | • | XG a1 b1 a1 b1 Figura 1.5: Una partici´n y un refinamiento de ella o Destacar la relaci´n que hay entre estas dos particiones tiene como objetivo mostrar que, si oQ = Q1 × · · · × Qn es cualquier otra partici´n que refina a P, entonces podemos construir una o (0) (m)sucesi´n finita de particiones Q , . . . , Q o tales que P = Q(0) , Q = Q(m) y con la propiedadadicional de que la partici´n Q o (i) s´lo tiene un punto m´s, en alguna de sus particiones coordenadas, o aque Q(i−1) (para i = 1, . . ., m). As´ de acuerdo a lo que observamos en el p´rrafo anterior, los ı, asubrect´ngulos inducidos por la partici´n Q a o (i−1) son casi los mismos, salvo por algunos, que sepueden poner como la uni´n de dos subrect´ngulos inducidos por la partici´n Q(i) . Como esto es o a ov´lido para toda i = 1, . . ., m, podemos concluir que cada uno de los subrect´ngulos inducidos por a ala partici´n P es la uni´n de algunos de los subrect´ngulos inducidos por Q, propiedad que con o o afrecuencia usaremos. Y y Y y b2− b2− − − − − a2− a2− | | | • | | | | XG | | | • | | | | XG a1 c b1 a1 c b1 Figura 1.6: Si Q refina a P los subrect´ngulos inducidos por P son la uni´n de subrect´ngulos a o a inducidos por Q Note que, para obtener esta sucesi´n, bastar´ empezar haciendo Q(0) = P; Q(1) = (P1 ∪ {c}) × o ıa (2)P2 × · · · × Pn donde c ∈ Q1 P1 ; Q = (P1 ∪ {c, d}) × P2 × · · · × Pn donde d ∈ Q1 (P1 ∪ {c}), yas´ sucesivamente, hasta agotar todos los puntos de Q1 que no est´n en P1 , para despu´s hacer un ı a eproceso an´logo con todos los puntos de Q2 que no est´n en P2 , y una vez agotados estos, continuar a acon el mismo procedimiento para el resto de las particiones coordenadas. 5 J. P´ez a
  12. 12. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann o En general, dadas dos particiones P y Q de un rect´ngulo R, no necesariamente existe una arelaci´n de refinamiento entre ellas. Sin embargo, es posible construir una tercera partici´n que o orefine a ambas; la denotaremos por P Q y si P = P1 × · · · × Pn y Q = Q1 × · · · × Qn entonces P Q = (P 1 ∪ Q1 ) × · · · × (Pn ∪ Qn ) ımbolo especial de uni´n que usamos, en virtud de que P(N´tese el s´ o o Q no coincide con P ∪ Q)(ver figura 1.7). Yy Q Yy P b2− • • • b2− • • • • − • • • • − • • • − • • • • − • • • − a2 • • • • a2− • • • | | | | G | | | G a1 b1 X a1 b1 X P Q P Q Yy Yy b2− • • • • • b2− • • • • • − • • • • • − • • • • − • • • • • − • • • • • − • • • • • − • • • a2− • • • • • a2− • • • • • | | | | | G | | | | | G a1 b1 X a1 b1 X Figura 1.7: P Q no coincide con P ∪ Q Una vez que hemos precisado estos conceptos, el siguiente paso consistir´ en construir sumas acomo las que aparecen en 1.1. Para ello, supondremos que tenemos una cierta funci´n f , que est´ o adefinida en R, y que toma valores reales. Es importante destacar que para construir sumas como lasde 1.1 (que a partir de este momento empezaremos a llamar por su nombre: sumas de Riemann),adem´s de contar con una partici´n P de R (que induce una subdivisi´n de R), tambi´n tenemos a o o eque hacer una elecci´n de un punto en cada uno de los subrect´ngulos inducidos por dicha partici´n. o a oAs´ pues, por cada partici´n P, podemos obtener una infinidad de sumas de Riemann (tantas como ı oformas diferentes haya de elegir dichos puntos). Veremos que no se necesita hacer tanto. En realidad, por cada partici´n P de R s´lo vamos a construir un par de sumas. Si, (como o odijimos anteriormente y para el caso de R2 ), nuestro problema se puede ver como el c´lculo de aun volumen (el que est´ por “debajo” de la gr´fica de f ), para alcanzar dicho volumen bastar´ a a ıaentonces con tomar sumas de Riemann, s´lo que en lugar de evaluar a la funci´n f en alg´n punto o o udel subrect´ngulo Ri, ser´ suficiente con tomar el m´ a ıa ınimo valor de f sobre dicho subrect´ngulo. aComo podr´ suponerse, el otro tipo se sumas que vamos a tomar en cuenta ser´n aquellas en las a a ınimo, tomaremos el valor m´ximo de f sobre el subrect´ngulo Ri.que, en lugar de tomar el valor m´ a aLa “intuici´n dice” que con cualquiera de estas sumas deber´ de ser suficiente para aproximarnos o ıaal “volumen por debajo de la gr´fica de f ”, con la peculiaridad de que con las primeras nos aaproximamos “por abajo” de dicho volumen, y con las segundas los hacemos “por arriba” delmismo volumen (ver figuras 1.8 y 1.9). Una vez que hemos llegado hasta este punto, s´lo resta aclarar un “detalle”. En general, opara que podamos asegurar que una funci´n alcanza su valor m´ o ınimo y su valor m´ximo sobre un aconjunto, sabemos que es “suficiente” con que dicha funci´n sea continua sobre el conjunto y que oJ. P´ez a 6
  13. 13. 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann o Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı y Z ..u ............... uu | · | | ÑÑ ··.....| Ð ÐÐ || ...... || ÐÐÐ ÐÐÐÐ ÓÓÓÑÑÑ ÔÔÔÔ ~ Ñ Ñ ... ÐÐ ÐÐÐÐ .........~~ ~ Ñ × Ó ÓÓ × Ô ÕÕ  Ð . ÐÐÐ Ð ÓÓÓÓ ×× ÕÕ ÓÓ ×× ÕÕÕ Ô ÔÔ ÔÔ •••••~ Ô Ò Ô ÒÒ ÒÒÒÒ Ò ~ ÔÔ Ò ÒÒ ÒÒ  ~ ~~ Ò ÒÒ  ÒÒ ÒÒ Y G  ÒÒ ÒÒ ØØ ØØ ~ ØØ ~~ ØØ ~~ ØØ ~~ ØØ X~~~ Ø ~ ØØ Figura 1.8: Suma inferior y Z ÐÐ ÐÑÐ Ð ÐÑ Ô ÔÔ Ô Ð  ................ ÐÐÐÐ ÓÓ ÔÔÔ × ÔÔÔ  . Õ .....· ÐÐ ÐÐ ÐÐ ÐÐ Ñ Ó Ô ×Ô Õ .... Ð ÐÐ ÓÓ Õ . · Õ ..Õ ....· ÐÐ ÐÐÐ  ÐÐ ÓÓ ÓÓ Ó ×× ÕÕ ÕÕÕ ........ Ò ÒÒ ÓÓ ×× Õ .Ó ÒÒ ÒÒÒ ÕÕ . ÒÒ Ò Ò ÓÓ Ò ÒÒ Ò ÒÒÒ ÒÒÒ ÒÒ ÖÖ ÖÖ ÒÒ Ö ÒÒ Y G ØØ ØØ ~ ØØ ~~ ØØ ~~ ØØ ~~ ØØ X~~~ Ø ~ ØØ Figura 1.9: Suma superior´ste sea cerrado y acotado. Como esta construcci´n no la queremos “restringir” s´lo a este tipo dee o ofunciones, y a este tipo de conjuntos (aunque un rect´ngulo s´ es un conjunto cerrado y acotado), en a ılugar del tomar el valor m´ ınimo y el valor m´ximo de f sobre cada subrect´ngulo Ri , tomaremos el a a´ınfimo y el supremo de los valores de f sobre este subrect´ngulo. Tomar este camino s´lo nos obliga a oa suponer que la funci´n f est´ acotada sobre el rect´ngulo R, que comparada con la hip´tesis de o a a ocontinuidad, esta nueva condici´n nos sale m´s barata. As´ pues, de aqu´ en adelante supondremos o a ı ıque nuestra funci´n f , adem´s de estar definida sobre R, tambi´n est´ acotada (sobre R). o a e a Aclarado el punto, procedemos a dar las siguientes definiciones:Definici´n 1.4 Sean, f una funci´n (de valores reales) definida y acotada sobre un rect´ngulo R o o acontenido en Rn , y P una partici´n de R. Si R1 , . . . , Rk son los subrect´ngulos de R inducidos por o ala partici´n P, definimos la suma inferior de f correspondiente a la partici´n P, que denotaremos o o 7 J. P´ez a
  14. 14. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann opor S(f, P), como k S(f, P) = mi · m(Ri ) i=1en donde mi = inf{f (ˆ) | x ∈ Ri}, i = 1, . . . , k. x ˆAn´logamente, definimos la suma superior de f correspondiente a la partici´n P, que denotaremos a opor S(f, P), como k S(f, P) = Mi · m(Ri) i=1en donde Mi = sup{f (ˆ) | x ∈ Ri }, i = 1, . . ., k. x ˆ Estas sumas tienen una serie de propiedades, de las cuales la primera es bastante evidente:Proposici´n 1.1 Si P es cualquier partici´n de R, entonces S(f, P) ≤ S(f, P). o oDem. Como mi y Mi son, respectivamente, el ´ ınfimo y el supremo del mismo conjunto, a saber{f (ˆ) | x ∈ Ri}, se tiene que mi ≤ Mi . Por otra parte, de la definici´n de medida de un rect´ngulo x ˆ o ase tiene que 0 ≤ m(Ri) por lo que mi · m(Ri) ≤ Mi · m(Ri) para cada i = 1, . . . , k, de tal forma quesumando sobre las i s, se tiene que S(f, P) ≤ S(f, P). Como ya hab´ıamos observado desde el principio, tambi´n es geom´tricamente claro que si refi- e enamos una partici´n (es decir, la hacemos “m´s fina”) entonces nuestras sumas se parecen m´s a o a aese volumen. M´s a´n, podemos estar seguros de que si Q refina a P entonces la suma inferior de a uf correspondiente a Q es mayor o igual que la suma inferior correspondiente a P (ver figura 1.10);y an´logamente, la suma superior de f correspondiente a Q es menor o igual que la suma superior acorrespondiente a P. w w ww ww www www ww ww ww ww z x z x zz xx zz xx zzz xxx zzz xxx ww xx ww xx ww xxx ww xxx ww w Ri www xx ww w Ri Ri www xxww xx ww w ww x ww w zw xxxx 1 2 w ww w zz ww w ww zz z xx ww ww z x ww ww ww z xx ww ww zz xx ww ww ww zz xx Partici´n P o Partici´n Q o Figura 1.10: Si Q refina a P entonces la suma inferior de f correspondiente a Q es mayor que la suma inferior correspondiente a P Esta propiedad la dejamos plasmada en la siguienteJ. P´ez a 8
  15. 15. 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann o Cap´tulo 1. Integral de Riemann ıProposici´n 1.2 Sean P, Q ∈ PR . Si Q refina a P entonces S(f, P) ≤ S(f, Q) y S(f, Q) ≤ oS(f, P).Dem. Sean R1 , . . . , Rk los subrect´ngulos de R inducidos por P, y sean Ri , . . . , Ri i los sub- a 1 krect´ngulos inducidos por Q que unidos nos dan Ri para alguna i ∈ {1, . . ., k}. Dado que cada aRi est´ contenido en Ri , tenemos que {f (ˆ) | x ∈ Ri } ⊂ {f (ˆ) | x ∈ Ri} y por lo tanto j a x ˆ j x ˆinf{f (ˆ) | x ∈ Ri } ≤ inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } y sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } ≤ sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } para x ˆ x ˆ j x ˆ j x ˆ icada j = 1, . . . , ki, de modo que multiplicando estas desigualdades por m(Rj ), que es un n´mero uno negativo, se tiene que inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) ≤ inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) x ˆ j x ˆ j jy sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) ≤ sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) x ˆ j j x ˆ j ındice j de 1 a ki, tenemos queSi ahora sumamos ambas desigualdades, corriendo el ´ ki ki inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) ≤ x ˆ j inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) x ˆ j j j=1 j=1y ki ki sup{f (ˆ) | x ∈ x ˆ Ri } j · m(Ri ) j ≤ sup{f (ˆ) | x ∈ Ri} · m(Ri ) x ˆ j j=1 j=1Ahora, como el subrect´ngulo Ri es la uni´n de los subrect´ngulos Ri , . . . , Ri i , se tiene que m(Ri) = a o a 1 kki m(Ri ) y por lo tanto jj=1 ki inf{f (ˆ) | x ∈ Ri} · m(Ri) ≤ x ˆ inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) x ˆ j j j=1y ki sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) ≤ sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri) x ˆ j j x ˆ j=1Si en estas desigualdades sumamos con respecto del ´ ındice i, corriendo de 1 a k, tenemos que ⎛ ⎞ k k ki inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri) ≤ x ˆ ⎝ inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri )⎠ x ˆ j j i=1 i=1 j=1y ⎛ ⎞ k ki k ⎝ sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri )⎠ ≤ x ˆ j j sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri) x ˆ i=1 j=1 i=1Recordando la definici´n de suma inferior y suma superior, tenemos entonces que o S(f, P) ≤ S(f, Q)y S(f, Q) ≤ S(f, P) 9 J. P´ez a
  16. 16. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann oque es lo que quer´ ıamos demostrar. Obs´rvese que de las dos proposiciones anteriores podemos concluir, bajo el supuesto de que la epartici´n Q refina a la partici´n P, que o o S(f, P) ≤ S(f, Q)y S(f, Q) ≤ S(f, P) De hecho, si recurrimos nuevamente a la interpretaci´n geom´trica, estas desigualdades no nos o edeben de causar sorpresa puesto que cualquier suma inferior debe de “estar por debajo” del volumenque queremos calcular, y de manera an´loga, cualquier suma superior debe de “estar por arriba”. aPor lo anterior, debiera ser cierto que, dadas cualesquiera dos particiones P y Q de R, se debetener que S(f, P) ≤ S(f, Q). Esta propiedad, que ser´ muy importante para la construcci´n que a oestamos realizando, la dejaremos establecida en la siguienteProposici´n 1.3 Si P y Q son cualesquiera dos particiones del rect´ngulo R entonces se cumple o aque S(f, P) ≤ S(f, Q)Dem. Consideremos la partici´n P Q. Como dijimos anteriormente, esta partici´n refina tanto o oa P como a Q de tal forma que, por la proposici´n 1.2 debemos tener que o S(f, P) ≤ S(f, P Q)y S(f, P Q) ≤ S(f, Q)Como S(f, P Q) ≤ S(f, P Q) (proposici´n 1.1), se tiene que S(f, P) ≤ S(f, Q). o La conclusi´n de la proposici´n anterior resultar´ fundamental para la obtenci´n (cuando menos o o a o“te´rica”) de ese n´mero I al cual se deben de parecer las sumas de Riemann de una cierta funci´n o u of . N´tese que esta proposici´n nos dice dos cosas relevantes: o o 1. el conjunto de todas las sumas inferiores que se obtiene para una funci´n f definida sobre o un rect´ngulo R, es un conjunto acotado superiormente y adem´s cualquier suma superior es a a una cota superior de dicho conjunto, y 2. el conjunto de todas las sumas superiores que se obtiene para una funci´n f definida sobre o un rect´ngulo R, es un conjunto acotado inferiormente y adem´s cualquier suma inferior es a a una cota inferior de dicho conjunto. As´ pues, cuando menos desde un punto de vista te´rico, podr´ ı o ıamos esperar que existiera algoas´ como “la suma inferior m´s grande” o “la suma superior m´s peque˜a”, y si todo funciona bien, ı a a ncualquiera de estos dos n´meros debiera de coincidir con el tan famoso y anhelado “volumen que uhay por debajo de la gr´fica de f ”. A continuaci´n daremos una definici´n m´s precisa de estos a o o an´meros. u Denotaremos por S(f ) al conjunto de todas las sumas inferiores de una funci´n f (definida osobre el rect´ngulo R) y como S(f ) al conjunto de todas las sumas superiores, es decir: a S(f ) = {S(f, P) | P ∈PR }J. P´ez a 10
  17. 17. 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann o Cap´tulo 1. Integral de Riemann ıy S(f ) = {S(f, P) | P ∈PR } Dado que estos conjuntos son acotados inferior y superiormente, respectivamente, podemos darla siguienteDefinici´n 1.5 Al supremo del conjunto S(f ) lo llamaremos la integral inferior de f sobre R, y lo odenotaremos por −R f , y al ´nfimo del conjunto S(f ) lo llamaremos la integral superior de f sobre ı −R, y lo denotaremos por R f . De forma abreviada, se tendr´ que a f = sup{S(f, P) | P ∈PR } −Ry − f = inf{S(f, P) | P ∈PR } R Sin duda nuestra primera reacci´n ser´ pensar que estos n´meros son iguales para cualquier o a ufunci´n acotada que consideremos. Desafortunadamente, esto no siempre es as´ El siguiente o ı.ejemplo nos muestra una funci´n definida y acotada sobre el rect´ngulo [0, 1] × [0, 1], para la que o ano se cumple que estos n´meros sean iguales. uEjemplo 1.1 Sea f : R = [0, 1] × [0, 1] → R definida como ⎧ ⎨ 1 si x ´ y ∈ Q o f (x, y) = ⎩ 0 si x y y ∈ Q / −Muestre que R f = −R f .Soluci´n. Obs´rvese que si P es cualquier partici´n del rect´ngulo R, y Ri es cualquier subrect´ngulo o e o a ainducido por esta partici´n, entonces sobre dicho subrect´ngulo siempre existen parejas (x, y) tales o aque x ´ y ∈ Q, y parejas (x, y) tales que x y y ∈ Q. De aqu´ se deduce que M (Ri ) = 1 y m(Ri) = 0 o / ıde tal forma que S(f, P) = 1 y S(f, P) = 0 para cualquier partici´n P de R. De esta forma, se o −tiene que S(f ) = {0} y S(f ) = {1} por lo que R f = 1 y −R f = 0. Aun cuando puede que este ejemplo nos desanime un poco, es importante hacer un par deobservaciones: 1. la integral inferior y la integral superior de una funci´n definida y acotada sobre un rect´ngulo o a R siempre existen, y 2. la integral inferior siempre es menor o igual que la integral superior, es decir, − f≤ f −R R 11 J. P´ez a
  18. 18. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.3. Propiedades de la integral de Riemann Esta ultima desigualdad se obtiene muy f´cilmente a partir de la proposici´n 1.3; baste recordar ´ a oque de esa proposici´n se deduce que cualquier suma superior es una cota superior del conjunto ode todas las sumas inferiores por lo que −R f (que es el supremo de todas las sumas inferiores ypor lo tanto la m´s peque˜a de todas las cotas superiores de este mismo conjunto) debe cumplir a nque −R f ≤ S(f, P) para cualquier partici´n P de R. De aqu´ se tiene que −R f es una cota o ı,inferior del conjunto de todas las sumas superiores, por lo que dicho n´mero debe ser menor o igual u −que el ´ ınfimo del conjunto de todas las sumas superiores, que es R f . Por tanto, se tiene que − −R f ≤ R f (este mismo trabalenguas se puede decir de otra forma si ahora empezamos diciendoque cualquier suma inferior es una cota inferior del conjunto de todas las sumas superiores, lo quetambi´n se sabe por la misma proposici´n. ¡Int´ntelo!) e o e As´ de entre las funciones que est´n definidas y son acotadas sobre un rect´ngulo R, fijaremos ı, a a −nuestra atenci´n en aqu´llas para las cuales se tiene que R f = −R f . Este tipo de funciones ser´n o e aconocidas como funciones Riemann-integrables (o simplemente integrables) sobre R, como quedar´ aestablecido en la siguienteDefinici´n 1.6 Sea f : R ⊂ Rn → R acotada sobre el rect´ngulo R. Decimos que f es Riemann- o aintegrable (o simplemente integrable) sobre R si se tiene que la integral inferior y la integral superiorde f sobre R son iguales. Es decir, si − f= f. R −REn este caso, a este n´mero lo llamaremos la integral de f y lo denotaremos por u R f.1.3 Propiedades de la integral de RiemannExisten muchas propiedades del concepto que acabamos de definir, pero hay una en particular quesin duda tiene que ser la primera en aparecer. Se trata de una proposici´n que nos da un criterio oalternativo para saber cuando una funci´n es integrable. Este criterio tiene la ventaja (o desventaja, oseg´n se vea) de establecer cu´ndo una funci´n es integrable sin necesidad de saber cu´l es el valor u a o ade la integral, algo as´ como el criterio de Cauchy para la convergencia de sucesiones. ı Si una funci´n es integrable, significa que la integral inferior y la integral superior de dicha ofunci´n son iguales, digamos a un cierto n´mero I. De las propiedades del ´ o u ınfimo y el supremosabemos entonces que, para cualquier cantidad positiva que demos (por peque˜a que esta sea), nexisten particiones P y Q para las cuales las correspondientes suma inferior (S(f, Q)) y sumasuperior (S(f, P)) distan de este n´mero I en menos que la mitad de la cantidad positiva que udimos, y por lo tanto la distancia entre estos n´meros ser´ menor a la distancia original (ver figura u a1.11). 0 I − ε/2 I1 I + ε/2 1 1 a• •g c • — {{{ gg gg {{ gg {{ S(f, Q) S(f, P) Figura 1.11: Si una funci´n f es integrable y su integral es igual a un n´mero I, dada una o u cantidad positiva ε > 0, existen particiones Q y P tales que S(f, Q) y S(f, P) difieren de I en menos que ε/2J. P´ez a 12
  19. 19. 1.3. Propiedades de la integral de Riemann Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı As´ podemos asegurar que, para cualquier cantidad positiva que demos (digamos ε > 0), se ı,pueden encontrar particiones P y Q tales que S(f, P) − S(f, Q) < ε. De hecho, vamos a mostrarque se puede conseguir una sola partici´n para la cual vale la misma desigualdad. Lo mejor ode todo esto es que esta propiedad no s´lo es necesaria (como acabamos de platicarlo) sino que otambi´n es una propiedad suficiente (que es la parte m´s interesante y m´s comunmente usada); e a aes decir, si para cada cantidad positiva que demos, existe una partici´n P para la cual se tiene oque S(f, P) − S(f, P) < ε entonces podremos estar seguros de que la funci´n f es integrable. Esta oimportante propiedad la estableceremos en el siguienteTeorema 1.1 Sea f : R ⊂ Rn → R acotada sobre el rect´ngulo R. f es integrable sobre R si y as´lo si para cada ε > 0 existe P partici´n de R tal que o o S(f, P) − S(f, P) < ε −Dem. Probemos la necesidad. Sea ε > 0. Como f es integrable, sabemos que R f = −R f .Llamemos I a este n´mero. Como I = −R f = sup{S(f, P) | P ∈PR }, de las propiedades del usupremo sabemos que para ε/2 > 0, existe P partici´n de R tal que o I − ε/2 < S(f, P ) ≤ I −Por otra parte, como I = R f = inf{S(f, P) | P ∈PR }, de las propiedades del ´ ınfimo sabemos quepara ε/2 > 0, existe Q partici´n de R tal que o I ≤ S(f, Q) < I + ε/2Si ahora hacemos P = P Q, sabemos que P refina tanto a P como a Q de tal forma que, por laproposici´n 1.2 tenemos que o S(f, P ) ≤ S(f, P) ≤ S(f, P) ≤ S(f, Q)y por lo tanto, de las desigualdades anteriores obtenemos que I − ε/2 < S(f, P) ≤ S(f, P) < I + ε/2De estas ultimas desigualdades concluimos que ´ S(f, P) − S(f, P) < εque es lo que se quer´ demostrar. ıaPara la prueba de la suficiencia, tenemos que demostrar que la funci´n f es integrable, lo que o − −significa que tenemos que probar que R f = −R f para lo cual basta con demostrar que R f − − −R f = 0. Como sabemos que 0 ≤ R f − −R f , es suficiente con demostrar que este n´ mero se upuede hacer m´s peque˜o que cualquier cantidad positiva (digamos ε > 0). Siendo as´ la cosa, sea a n ıε > 0. De acuerdo a nuestra hip´tesis, existe P partici´n de R tal que o o S(f, P) − S(f, P) < ε −Por otra parte, como −R f = sup{S(f, P) | P ∈PR } y R f = inf{S(f, P) | P ∈PR }, sabemos que − S(f, P) ≤ f≤ f ≤ S(f, P) −R R 13 J. P´ez a

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