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Cálculo integral de varias variables, Javier Páez Cárdenas
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  • 1. C´lculo integral de varias variables a Javier P´ez C´rdenas a a
  • 2. ´Indice General Introducci´n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i1 Integral de Riemann 1 1.1 Los primeros pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Construcci´n de la integral de Riemann . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Propiedades de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Medida de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 La integral sobre conjuntos Jordan-medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Calculando integrales 41 2.1 Integrales iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Calculando integrales sobre otros conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 El Teorema de Cambio de Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4 Algunos cambios de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.5 Masa y centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923 Integrando sobre curvas 99 3.1 Curvas y trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2 Integrando funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.3 Integrando funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.4 Campos conservativos (primera parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.5 Rotacional y divergencia en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.6 El rotacional en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.7 Campos conservativos (segunda parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 3.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744 Integrando sobre superficies 179 4.1 Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.2 Integrando funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4.3 Integrando funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 4.4 El teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 4.5 Campos solenoides (primera parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 4.6 Divergencia y teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 4.7 Campos solenoides (segunda parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 4.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 3
  • 3. 5 Formas: el concepto que unifica 247 5.1 Formas b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 5.2 Formas diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 5.3 Diferenciales exactas (primera parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 5.4 p−variedades parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 5.5 Integrando formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 5.6 El Gran Teorema Fundamental del C´lculoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 5.7 Diferenciales exactas (segunda parte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278A El Teorema de Lebesgue 283
  • 4. Introducci´n oEste texto trata sobre algunos de los distintos conceptos de integraci´n que existen para funciones ode varias variables, tema que constituye el n´ cleo central del curso de C´lculo Diferencial e Integral u aIV que se imparte en la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Aut´noma de M´xico. o e Dado que el curso de C´lculo Diferencial e Integral IV es un curso de matem´ticas que forma a aparte del tronco com´n de materias de cuatro de las cinco licenciaturas que se ofrecen en la Fac- uultad, el objetivo principal de este texto es el de exponer los conceptos y resultados matem´ticos arelacionados con el tema de la integral de funciones de varias variables. En general, casi todos los conceptos que aqu´ se exponen se tratan de motivar a partir de ıproblemas espec´ ıficos, la mayor´ de ellos tomados de la f´ ıa ısica o de la geometr´ De esta forma, ıa.las definiciones de rotacional o de divergencia, se obtienen como resultado del intento de medir “larotaci´n producida” por un campo de fuerzas o “la expansi´n (o contracci´n)” de un flu´ o o o ıdo. Unavez hecho lo anterior, se camina hacia la obtenci´n de los resultados que reflejen las estructuras omatem´ticas subyacentes a estos conceptos. a Es importante mencionar que, aun cuando el objetivo es mantener un nivel de rigor y formalismomatem´tico adecuado a lo largo de todo el texto, hay conceptos y resultados que se discuten en at´rminos puramente “intuitivos” en virtud del espacio y tiempo que habr´ que dedicarles a su e ıaformalizaci´n. En este sentido, su definici´n rigurosa y la prueba de algunos teoremas no se incluyen o oen este texto y s´lo se mencionan con la intenci´n de que el estudiante los conozca y tenga una o ovisi´n m´s global del tema en cuesti´n. o a o Este texto est´ dirigido a aquellos estudiantes que ya han pasado por los primeros tres cursos ade C´lculo de la Facultad, lo que significa que se parte del supuesto de que conocen y manejan ael C´lculo diferencial e integral de funciones de una variable y el C´lculo diferencial de funciones a ade varias variables, adem´s de los cursos b´sicos de Geometr´ Anal´ a a ıa ıtica, Algebra Superior y unprimer curso de Algebra Lineal. El texto est´ organizado en cinco cap´ a ıtulos y a continuaci´n se da una somera y r´pida des- o acripci´n del contenido de cada uno de ellos. o En el primero se aborda el tema de la integral de Riemann para funciones de varias variablesy valores reales. Se hace la construcci´n formal de este concepto y despu´s se usa para introducir o eel de medida de Jordan de subconjuntos de Rn . Una vez hecho lo anterior, se extiende el conceptode integral de Riemann justo a los conjuntos Jordan-medibles. El segundo cap´ ıtulo se dedica al desarrollo de las herramientas que permiten el c´lculo deaintegrales. Los resultados m´s importantes de este cap´ a ıtulo son el teorema de Fubini y el teoremade Cambio de Variable, y es justo en el caso de este ultimo teorema, la primera vez que no se incluye ´la prueba de un resultado. A cambio de ella, se hace un an´lisis detallado de c´mo se aplica este a oteorema y su relaci´n con los diferentes sistemas coordenados que suelen usarse con m´s frecuencia, o atanto en R 2 (polares) como en R3 (cil´ ındricas y esf´ricas). El cap´ e ıtulo concluye con una secci´n oen la que se muestra c´mo usar toda esta herramienta para obtener la masa de un objeto, y c´mo o odefinir y calcular su centro de masa. i
  • 5. Introducci´n o En el tercer cap´ ıtulo se aborda el estudio de lo que tradicionalmente se concoce como C´lculo aVectorial. Comienza con el tema de la Integral de L´ ınea, iniciando con una revisi´n del concepto ode curva y algunos temas relacionados con ´stas, como el de longitud de curva. A continuaci´n, se e odefine la integral de l´ ınea de una funci´n de valores reales (o campos escalares) a partir del problema odel c´lculo de la masa total de un alambre no homog´neo, y adem´s de sus propiedades estrictamente a e amatem´ticas, se ve c´mo este tipo de integrales tambi´n se pueden usar para el c´lculo de areas. En a o e a ´la siguiente secci´n, se introduce la integral de l´ o ınea de una funci´n de valores vectoriales (o campos ovectoriares) a partir del concepto de trabajo. Con base en este mismo concepto y el problema desaber si ´ste depende de la curva (o trayectoria) que se siga, se aborda la cuesti´n de los campos e oconservativos (o campos gradiente, su equivalente en t´rminos matem´ticos). Para abordar este e aproblema, en la siguiente secci´n se desarrolla el concepto de rotacional y divergencia en el plano y ose deduce uno de los tres teoremas m´s importantes del C´lculo Vectorial, el teorema de Green. En a ala siguiente secci´n se extiende el concepto de rotacional para campos en el espacio y se concluye oel cap´ ıtulo con una secci´n en la que se dan un par de teoremas que responden al problema de los ocampos conservativos. En el cap´ ıtulo cuatro se aborda el tema de la Integral de Superficie, y se organiza de formasimilar al cap´ ıtulo de la integral de l´ ınea. Comienza con la definici´n de lo que se entender´ por o auna superficie y se analizan algunas de sus principales caracter´ ısticas. A continuaci´n, se define la ointegral de superficie de una funci´n de valores reales (o campos escalares) a partir del problema del oc´lculo de la masa total de una l´mina no homog´nea, y se dan algunas de las propiedades b´sicas a a e ade este concepto. En la siguiente secci´n, se introduce la integral de superficie de una funci´n de o ovalores vectoriales (o campos vectoriares) a partir del problema de encontrar una forma de medirqu´ tanto se expande un fluido a trav´s de una superficie. Dado que desde el cap´ e e ıtulo tres yase cuenta con el concepto de rotacional en el espacio, y una vez que ya se defini´ la integral de osuperficie de campos vectoriales, se tienen todos los elementos necesarios para abordar otro de losteoremas m´s importantes del C´lculo Vectorial: el teorema de Stokes. Con base en este teorema, a ase plantea el problema de determinar cu´ndo un campo vectorial es un campo solenoide, es decir, acu´ndo un campo vectorial coincide con ser el rotacional de otro campo. Con el fin de resolverlo, aen la siguiente secci´n se introduce el concepto de divergencia de un campo vectorial y se presenta oel tercer teorema m´s importante del C´culo Vectorial: el teorema de Gauss. Una vez hecho lo a aanterior, en la ultima secci´n de este cap´ ´ o ıtulo se regresa al problema de los campos solenoides, y sedan un par de teoremas que lo resuelven. Finalmente, en el quinto cap´ ıtulo se desarrolla de una manera m´s descriptiva y menos formal, ael tema de las formas diferenciables. El objetivo principal de este cap´ ıtulo es mostrar c´mo el con- ocepto de forma diferenciable unifica los conceptos y resultados que se desarrollaron en los cap´ ıtulosanteriores. Comienza con la descripci´n y definici´n de las p−formas b´sicas para despu´s dar paso o o a ea la de p−forma y lo que significa la derivada de esta clase de objetos, dando lugar al conceptode forma diferenciable. Una vez hecho lo anterior, se muestra que el rotacional y la divergencia sepueden ver como un caso particular de derivaci´n de ciertas p−formas y se ve que el problema de los ocampos conservativos y los campos solenoides, son un caso particular de un problema m´s general: ael problema de las diferenciales exactas. Con el fin de abordar este problema, en las siguientessecciones se introduce el concepto de p−variedad parametrizada (como una generalizaci´n de los ode curva y superficie) y se define la integral de una p−forma sobre una p−variedad parametrizada,mostrando que las integrales de l´ ınea y de superficie de campos vectoriales, se pueden ver como uncaso particular de este tipo de integral. Una vez que se cuenta con todo este material, se tiene todolo necesario para formular el que bien podr´ ser calificado como el teorema m´s importante de ıa atodo este texto, y que aqu´ se prefiere bautizar con el nombre de: “el Gran Teorema Fundamental ıdel C´lculo” (y que en la literatura tradicional se le conoce con el nombre de teorema de Stokes). aJ. P´ez a ii
  • 6. Introducci´n oDespu´s de mostrar que los teoremas de Green, Stokes y Gauss son casos particulares de este gran eteorema, en la ultima secci´n se formulan un par de resultados que dan respuesta al problema de ´ olas diferenciales exactas. Es importante mencionar que en este cap´ ıtulo no se incluy´ una lista ode problemas, en virtud de que su objetivo s´lo es el de proporcionar un panorama general de la oestructura matem´tica que subyace a todos estos temas. aAgradecimientosEste trabajo ha sido escrito despu´s de haber impartido en la Facultad de Ciencias de la UNAM, een varias ocasiones y a lo largo de varios a˜os, el curso de C´lculo Diferencial e Integral IV. Por n aesta raz´n, las primeras personas a las que quiero agradecer su “colaboraci´n”, son todos aquellos o oestudiantes que me permitieron hablarles de estos temas y aprehenderlos junto con ellos. Para los que no tenemos mucha habilidad para escribir, nos resultan muy importantes aquellosque conf´ en que s´ podemos hacerlo y nos impulsan (o nos “obligan”) a intentarlo. Para este libro, ıan ıa quienes tengo que agradecer que hayan jugado ese importante papel son: Ana Irene (Ram´ ırez) yH´ctor (M´ndez Lango). e e Una vez que se ha logrado escribir los primeros borradores de un libro como este, el que algunaspersonas se tomen el (a veces ingrato) trabajo de leerlos, es algo que uno realmente aprecia mucho.En este aspecto, todav´ tengo una deuda de agradecimiento con el profesor “Marmol” (Quico ıaMarmolejo), quien ley´ y cuestion´ constructivamente una buena parte del material contenido en o oesta obra. No conforme con lo anterior, adem´s tuvo la generosidad de darse a la tarea de realizar aun buen n´mero de las figuras que ilustran este texto (y que seguramente el lector podr´ identificar u af´cilmente porque son las que est´n mejor hechas). Adem´s del profesor “Marmol”, tambi´n tuve a a a ela suerte de que Ceci (Neve) y Erik (Schwarz), un par de ex-alumnos, se dieran a la tarea deleer minuciosamente la totalidad (o parte) de este trabajo, haci´ndome una buena cantidad de eimportantes sugerencias, y marc´ndome un buen n´mero de errores tipogr´ficos. Para ellos, mi a u am´s sincero agradecimiento. Muchas otras personas me han hecho observaciones o me han ayudado acon la siempre dif´ tarea de darle un buen “formato” a este libro (¡ingrato latex!); ser´ muy largo ıcil ıamencionarlas a todas, pero no por ello quiero dejar de expresarles mi agradecimiento por su valiosaayuda. iii J. P´ez a
  • 7. Cap´ ıtulo 1Integral de Riemann1.1 Los primeros pasosDel mismo modo que para el caso real, el concepto de integral de Riemann1 de funciones de variasvariables (y valores reales), encuentra su motivaci´n en problemas de diversa ´ o ındole. Por ejemplo,sup´ngase que se tiene una l´mina de metal cuyo grosor no es homog´neo. Supongamos que tenemos o a ela suerte de contar con una funci´n ρ que nos dice cu´l es la “densidad” de la l´mina en cada uno o a ade sus puntos (es decir, una funci´n que en “cada punto P de la l´mina” nos asocia un n´mero o a ureal ρ(P ) que nos indica la “cantidad de masa (por unidad de area) contenida alrededor de dicho ´punto”). La pregunta ser´ entonces: ¿c´mo, a partir de esta funci´n ρ, podr´ ıa o o ıamos saber la masatotal de la l´mina? Supongamos por ahora que la l´mina tiene la forma de un rect´ngulo R (v´ase a a a ela figura 1.1). @@ II @@ II @@ II @@ Ri II @@ p• i II @@ II II @ @@ II @@ II @ II Figura 1.1: L´mina rectangular a Si a este rect´ngulo R lo subdividimos en rect´ngulos m´s peque˜os, R1 , . . . , Rk y en cada uno de a a a nestos subrect´ngulos escogemos cualesquiera puntos p1 , . . . , pk , entonces el producto ρ(pi)· area(Ri) a ´nos dar´ un valor aproximado de la cantidad de masa contenida en el pedazo de l´mina representado ıa apor el subrect´ngulo Ri (obs´rvese que en t´rminos de unidades, todo est´ bien, ya que la densidad a e e ase mide en unidades de masa por (o sobre) unidades de ´rea, que al multiplicarlas por el area de Ri, a ´obtenemos unidades de masa). As´ una aproximaci´n a la masa total de la l´mina (representada ı, o apor el rect´ngulo R) estar´ dada por a ıa k ρ(pi) · area(Ri ) ´ (1.1) i=1 1 Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 de septiembre de 1826 - 20 de junio de 1866) fue un matem´tico alem´n a aque realiz´ contribuciones muy importantes en an´lisis y geometr´ diferencial. o a ıa 1
  • 8. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.1. Los primeros pasosEs un hecho claro que, si los subrect´ngulos en los que subdividimos al rect´ngulo R son cada vez a am´s peque˜os, las diferentes sumas que obtenemos se aproximan “mejor” a la masa de la l´mina. a n aEs decir, es “intuitivamente claro” que estas sumas deben aproximarse (en la medida en que nuestrasubdivisi´n sea cada vez “m´s fina”) a un valor espec´ o a ıfico. Si s´lo pensamos a ρ como una funci´n que asigna valores positivos (independientemente de o oque ´stos representen una densidad de masa), la expresi´n 1.1 tiene un significado geom´trico muy e o eespec´ıfico. Si nos fijamos en la gr´fica de la funci´n ρ (que en este caso es una superficie en R3 a oubicada por arriba del plano XY , como se muestra en la figura 1.2), la cantidad ρ(pi) · area(Ri) ´representa el volumen de un paralelep´ ıpedo cuya base es el rect´ngulo Ri y altura ρ(pi). As´ la a ı,suma de la expresi´n 1.1 tambi´n se puede interpretar como una aproximaci´n al volumen que hay o e opor arriba del rect´ngulo R y por debajo de la gr´fica de ρ. En este sentido, podemos decir que, el a aproblema del c´lculo de la masa total de nuestra l´mina, se puede “cambiar” por el problema de a acalcular el volumen de una cierta regi´n. Este enfoque geom´trico ser´ el que seguiremos de aqu´ o e a ıen adelante para dar un significado m´s preciso a las ideas expresadas en los p´rrafos anteriores. a a y Z .... ............... ....... .... ............ ÖÖ Ö (pi , ρ(pi ))Ø Ø • ØØ 1 Ø ÖÖ 1 1 1 1 1 • 1 Y G Ó 1 ÓÓ 1 ØØ ÓÓ R 1 ØØ ~ ÓÓ Ö Ø ØØ ~~ ÓÓ ÖÖRip •1 ØØØ ØØ ~~ ~ ÓÓ ÖÖ i Ø ØØ ~~ ÓÓÓ ØØØ X~~ ~ ÓÓ ØØ Figura 1.2: Funci´n de densidad sobre Ri o Por tanto, el problema que abordaremos se podr´ resumir de la siguiente manera: si tenemos ıa 1. R un “rect´ngulo” en R a n 2. f una funci´n de valores reales que est´ definida en R o a 3. R1 , . . . , Rk subrect´ngulos que se obtienen al subdividir a R y cualesquiera pi ∈ Ri (i = a 1, . . ., k) ¿existe un n´mero, digamos I, tal que la suma de la forma u k f (pi ) · area(Ri ) ´ i=1“se parece mucho” a I? M´s aun, ¿si los rect´ngulos R1 , . . . , Rk son una subdivisi´n “m´s fina” de a a o aR, entonces la correspondiente suma se parece m´s a I? aJ. P´ez a 2
  • 9. 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann o Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı1.2 Construcci´n de la integral de Riemann oA fin de “construir” una respuesta al problema planteado, precisaremos algunos de los t´rminos eque hemos venido utilizando.Definici´n 1.1 R es un rect´ngulo en Rn si es un conjunto de la forma o a R = [a1 , b1] × · · · × [an , bn]en donde cada [ai, bi] es un intervalo cerrado de n´meros reales. Al n´mero u u d(R) = (b1 − a1 )2 + · · · + (bn − an )2lo llamaremos la diagonal de R, y al n´mero u m(R) = (b1 − a1 ) · . . . · (bn − an )se le llamar´ la medida de R. a N´tese que m(R) ≥ 0 y que en el caso de R2 esta medida es el ´rea de R, mientras que en R3 o acoincide con ser el volumen de R. Diremos que un rect´ngulo es no degenerado si m(R) > 0. Todos los rect´ngulos que conside- a aremos de aqu´ en adelante ser´n de este tipo, a menos que se indique lo contrario. ı a tt tt tt tt tt tt tt tt tt tt tt tt tt tt tt t t t tt tt tt tt tt t tt tt tt tt tt t Figura 1.3: No-particiones Existen muchas formas de subdividir a un rect´ngulo R, como las que se muestran en la figura a1.3. Sin embargo, para la construcci´n que vamos a hacer, ser´ suficiente con que consideremos o aa aquellas que se obtienen de hacer subdivisiones en cada uno de los intervalos [ai , bi], como semuestra en la figura 1.4.Definici´n 1.2 Sea R = [a1 , b1] × · · · × [an , bn]. Si Pi es una partici´n del intervalo [ai , bi] o o(recu´rdese que Pi es entonces un subconjunto finito del intervalo [ai, bi] que incluye a los extremos eai , bi) para cada i = 1, . . . , n, decimos que P = P1 × · · · × Pnes una partici´n de R. Obs´rvese que P es un subconjunto finito de R, que consta de los v´rtices de o e ecada uno de los subrect´ngulos de R inducidos por P. A la partici´n Pi le llamaremos la i-´sima a o epartici´n coordenada de P. Denotaremos por PR al conjunto de todas las particiones del rect´ngulo o aR. 3 J. P´ez a
  • 10. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann o Y y b2− − − − − − a2− | | | | | | | | | XG a1 b1 Zy z z b3 • −• • • • • • z • Ó Ó Õ ÓÓ ÓÓ ÕÕ ×× ØØ − ÓÓ ÓÓ ÕÕ ×× ØØØØ ÓÓ ÓÓ ÕÕ ×× ØØØØ ÓÓ ÓÓ ÕÕ ×× ØØØØ ØØ − Ó ÓÓ ÕÕ ×× ØØØØ Ø ÓÓ ÓÓ ÕÕ ×× ØØØØ ØØØ Ø − ÓÓÓ Ó Õ × ØØ ~a3 Ó ÓÓ ÕÕ ×× ØØØØ ØØØ ØØØ ~ Ø Ø Ø ØØ Ø Ø Ø Ø 1 • • • • • • • •1 a2 ~ Ø • • • • • • 1 • Ô• • • • • • + • ØØØ + Ø ØØØØ•Ø1 b2 Y • • • • Ø G ÐÐ Ø ØØØ Ø Ø 1 Ö + ÐЕ • • • • • • •Ô 1 Ô Ø ØØ Ö • a1Ð ØØ ØØ Ø Ð −ÐÐ ØØ ØØ ØØ ÐÐ Ø Ø ÐÐ Ð− ØØØØØ −ÐÐ 1 ØØ ÐÐ 1 −ÐÐ 1 •Ð b1 ÐÐ • • • • • • • • Ð ÐX Figura 1.4: Particiones buenas Hablando de particiones, que son a final de cuentas las que nos permitir´n hablar de las diferentes asubdivisiones que podemos hacer de un rect´ngulo R, cabe preguntarse: ¿qu´ relaci´n tendr´ que a e o ahaber entre dos diferentes particiones de R de tal forma que podamos asegurar que la subdivisi´n oinducida por una de ellas es “m´s fina” que la subdivisi´n inducida por la otra? Esta idea queda a oexpresada en la siguiente definici´n oDefinici´n 1.3 Sean P y Q dos particiones de R, con P = P1 × · · · × Pn y Q = Q1 × · · · × Qn . oDecimos que Q refina a P si Pi ⊂ Qi para cada i = 1, . . . , n. N´tese que, de acuerdo a esta definici´n, si Q refina a P entonces P ⊂ Q y que lo rec´ o o ıprocotambi´n es cierto (afirmaci´n que se deja probar al lector como un problema). e o La figura 1.5 muestra (para el caso de R2 ) que, en efecto, la subdivisi´n inducida por una opartici´n Q que refina a otra partici´n P, es “m´s fina” que la subdivisi´n inducida por P. o o a o Dada una partici´n P = P1 × · · · × Pn , la partici´n Q = (P1 ∪ {c}) × P2 × · · · × Pn , donde o oc ∈ [a1 , b1]P1 , es una de las particiones m´s sencillas que refinan a P. En particular, es importante ahacer notar que los subrect´ngulos inducidos por cada una de ellas son casi los mismos, salvo por aalgunos subrect´ngulos de P, que se pueden poner como la uni´n de dos de los subrect´ngulos a o ainducidos por esta Q (probar esta afirmaci´n es m´s un problema de notaci´n que de otra ´ o a o ındole)(ver figura 1.6).J. P´ez a 4
  • 11. 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann o Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı Y y Y y b2− b2− − − • − − • • a2− a2− | | | | | | | XG | | | • | | | • | XG a1 b1 a1 b1 Figura 1.5: Una partici´n y un refinamiento de ella o Destacar la relaci´n que hay entre estas dos particiones tiene como objetivo mostrar que, si oQ = Q1 × · · · × Qn es cualquier otra partici´n que refina a P, entonces podemos construir una o (0) (m)sucesi´n finita de particiones Q , . . . , Q o tales que P = Q(0) , Q = Q(m) y con la propiedadadicional de que la partici´n Q o (i) s´lo tiene un punto m´s, en alguna de sus particiones coordenadas, o aque Q(i−1) (para i = 1, . . ., m). As´ de acuerdo a lo que observamos en el p´rrafo anterior, los ı, asubrect´ngulos inducidos por la partici´n Q a o (i−1) son casi los mismos, salvo por algunos, que sepueden poner como la uni´n de dos subrect´ngulos inducidos por la partici´n Q(i) . Como esto es o a ov´lido para toda i = 1, . . ., m, podemos concluir que cada uno de los subrect´ngulos inducidos por a ala partici´n P es la uni´n de algunos de los subrect´ngulos inducidos por Q, propiedad que con o o afrecuencia usaremos. Y y Y y b2− b2− − − − − a2− a2− | | | • | | | | XG | | | • | | | | XG a1 c b1 a1 c b1 Figura 1.6: Si Q refina a P los subrect´ngulos inducidos por P son la uni´n de subrect´ngulos a o a inducidos por Q Note que, para obtener esta sucesi´n, bastar´ empezar haciendo Q(0) = P; Q(1) = (P1 ∪ {c}) × o ıa (2)P2 × · · · × Pn donde c ∈ Q1 P1 ; Q = (P1 ∪ {c, d}) × P2 × · · · × Pn donde d ∈ Q1 (P1 ∪ {c}), yas´ sucesivamente, hasta agotar todos los puntos de Q1 que no est´n en P1 , para despu´s hacer un ı a eproceso an´logo con todos los puntos de Q2 que no est´n en P2 , y una vez agotados estos, continuar a acon el mismo procedimiento para el resto de las particiones coordenadas. 5 J. P´ez a
  • 12. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann o En general, dadas dos particiones P y Q de un rect´ngulo R, no necesariamente existe una arelaci´n de refinamiento entre ellas. Sin embargo, es posible construir una tercera partici´n que o orefine a ambas; la denotaremos por P Q y si P = P1 × · · · × Pn y Q = Q1 × · · · × Qn entonces P Q = (P 1 ∪ Q1 ) × · · · × (Pn ∪ Qn ) ımbolo especial de uni´n que usamos, en virtud de que P(N´tese el s´ o o Q no coincide con P ∪ Q)(ver figura 1.7). Yy Q Yy P b2− • • • b2− • • • • − • • • • − • • • − • • • • − • • • − a2 • • • • a2− • • • | | | | G | | | G a1 b1 X a1 b1 X P Q P Q Yy Yy b2− • • • • • b2− • • • • • − • • • • • − • • • • − • • • • • − • • • • • − • • • • • − • • • a2− • • • • • a2− • • • • • | | | | | G | | | | | G a1 b1 X a1 b1 X Figura 1.7: P Q no coincide con P ∪ Q Una vez que hemos precisado estos conceptos, el siguiente paso consistir´ en construir sumas acomo las que aparecen en 1.1. Para ello, supondremos que tenemos una cierta funci´n f , que est´ o adefinida en R, y que toma valores reales. Es importante destacar que para construir sumas como lasde 1.1 (que a partir de este momento empezaremos a llamar por su nombre: sumas de Riemann),adem´s de contar con una partici´n P de R (que induce una subdivisi´n de R), tambi´n tenemos a o o eque hacer una elecci´n de un punto en cada uno de los subrect´ngulos inducidos por dicha partici´n. o a oAs´ pues, por cada partici´n P, podemos obtener una infinidad de sumas de Riemann (tantas como ı oformas diferentes haya de elegir dichos puntos). Veremos que no se necesita hacer tanto. En realidad, por cada partici´n P de R s´lo vamos a construir un par de sumas. Si, (como o odijimos anteriormente y para el caso de R2 ), nuestro problema se puede ver como el c´lculo de aun volumen (el que est´ por “debajo” de la gr´fica de f ), para alcanzar dicho volumen bastar´ a a ıaentonces con tomar sumas de Riemann, s´lo que en lugar de evaluar a la funci´n f en alg´n punto o o udel subrect´ngulo Ri, ser´ suficiente con tomar el m´ a ıa ınimo valor de f sobre dicho subrect´ngulo. aComo podr´ suponerse, el otro tipo se sumas que vamos a tomar en cuenta ser´n aquellas en las a a ınimo, tomaremos el valor m´ximo de f sobre el subrect´ngulo Ri.que, en lugar de tomar el valor m´ a aLa “intuici´n dice” que con cualquiera de estas sumas deber´ de ser suficiente para aproximarnos o ıaal “volumen por debajo de la gr´fica de f ”, con la peculiaridad de que con las primeras nos aaproximamos “por abajo” de dicho volumen, y con las segundas los hacemos “por arriba” delmismo volumen (ver figuras 1.8 y 1.9). Una vez que hemos llegado hasta este punto, s´lo resta aclarar un “detalle”. En general, opara que podamos asegurar que una funci´n alcanza su valor m´ o ınimo y su valor m´ximo sobre un aconjunto, sabemos que es “suficiente” con que dicha funci´n sea continua sobre el conjunto y que oJ. P´ez a 6
  • 13. 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann o Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı y Z ..u ............... uu | · | | ÑÑ ··.....| Ð ÐÐ || ...... || ÐÐÐ ÐÐÐÐ ÓÓÓÑÑÑ ÔÔÔÔ ~ Ñ Ñ ... ÐÐ ÐÐÐÐ .........~~ ~ Ñ × Ó ÓÓ × Ô ÕÕ  Ð . ÐÐÐ Ð ÓÓÓÓ ×× ÕÕ ÓÓ ×× ÕÕÕ Ô ÔÔ ÔÔ •••••~ Ô Ò Ô ÒÒ ÒÒÒÒ Ò ~ ÔÔ Ò ÒÒ ÒÒ  ~ ~~ Ò ÒÒ  ÒÒ ÒÒ Y G  ÒÒ ÒÒ ØØ ØØ ~ ØØ ~~ ØØ ~~ ØØ ~~ ØØ X~~~ Ø ~ ØØ Figura 1.8: Suma inferior y Z ÐÐ ÐÑÐ Ð ÐÑ Ô ÔÔ Ô Ð  ................ ÐÐÐÐ ÓÓ ÔÔÔ × ÔÔÔ  . Õ .....· ÐÐ ÐÐ ÐÐ ÐÐ Ñ Ó Ô ×Ô Õ .... Ð ÐÐ ÓÓ Õ . · Õ ..Õ ....· ÐÐ ÐÐÐ  ÐÐ ÓÓ ÓÓ Ó ×× ÕÕ ÕÕÕ ........ Ò ÒÒ ÓÓ ×× Õ .Ó ÒÒ ÒÒÒ ÕÕ . ÒÒ Ò Ò ÓÓ Ò ÒÒ Ò ÒÒÒ ÒÒÒ ÒÒ ÖÖ ÖÖ ÒÒ Ö ÒÒ Y G ØØ ØØ ~ ØØ ~~ ØØ ~~ ØØ ~~ ØØ X~~~ Ø ~ ØØ Figura 1.9: Suma superior´ste sea cerrado y acotado. Como esta construcci´n no la queremos “restringir” s´lo a este tipo dee o ofunciones, y a este tipo de conjuntos (aunque un rect´ngulo s´ es un conjunto cerrado y acotado), en a ılugar del tomar el valor m´ ınimo y el valor m´ximo de f sobre cada subrect´ngulo Ri , tomaremos el a a´ınfimo y el supremo de los valores de f sobre este subrect´ngulo. Tomar este camino s´lo nos obliga a oa suponer que la funci´n f est´ acotada sobre el rect´ngulo R, que comparada con la hip´tesis de o a a ocontinuidad, esta nueva condici´n nos sale m´s barata. As´ pues, de aqu´ en adelante supondremos o a ı ıque nuestra funci´n f , adem´s de estar definida sobre R, tambi´n est´ acotada (sobre R). o a e a Aclarado el punto, procedemos a dar las siguientes definiciones:Definici´n 1.4 Sean, f una funci´n (de valores reales) definida y acotada sobre un rect´ngulo R o o acontenido en Rn , y P una partici´n de R. Si R1 , . . . , Rk son los subrect´ngulos de R inducidos por o ala partici´n P, definimos la suma inferior de f correspondiente a la partici´n P, que denotaremos o o 7 J. P´ez a
  • 14. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann opor S(f, P), como k S(f, P) = mi · m(Ri ) i=1en donde mi = inf{f (ˆ) | x ∈ Ri}, i = 1, . . . , k. x ˆAn´logamente, definimos la suma superior de f correspondiente a la partici´n P, que denotaremos a opor S(f, P), como k S(f, P) = Mi · m(Ri) i=1en donde Mi = sup{f (ˆ) | x ∈ Ri }, i = 1, . . ., k. x ˆ Estas sumas tienen una serie de propiedades, de las cuales la primera es bastante evidente:Proposici´n 1.1 Si P es cualquier partici´n de R, entonces S(f, P) ≤ S(f, P). o oDem. Como mi y Mi son, respectivamente, el ´ ınfimo y el supremo del mismo conjunto, a saber{f (ˆ) | x ∈ Ri}, se tiene que mi ≤ Mi . Por otra parte, de la definici´n de medida de un rect´ngulo x ˆ o ase tiene que 0 ≤ m(Ri) por lo que mi · m(Ri) ≤ Mi · m(Ri) para cada i = 1, . . . , k, de tal forma quesumando sobre las i s, se tiene que S(f, P) ≤ S(f, P). Como ya hab´ıamos observado desde el principio, tambi´n es geom´tricamente claro que si refi- e enamos una partici´n (es decir, la hacemos “m´s fina”) entonces nuestras sumas se parecen m´s a o a aese volumen. M´s a´n, podemos estar seguros de que si Q refina a P entonces la suma inferior de a uf correspondiente a Q es mayor o igual que la suma inferior correspondiente a P (ver figura 1.10);y an´logamente, la suma superior de f correspondiente a Q es menor o igual que la suma superior acorrespondiente a P. w w ww ww www www ww ww ww ww z x z x zz xx zz xx zzz xxx zzz xxx ww xx ww xx ww xxx ww xxx ww w Ri www xx ww w Ri Ri www xxww xx ww w ww x ww w zw xxxx 1 2 w ww w zz ww w ww zz z xx ww ww z x ww ww ww z xx ww ww zz xx ww ww ww zz xx Partici´n P o Partici´n Q o Figura 1.10: Si Q refina a P entonces la suma inferior de f correspondiente a Q es mayor que la suma inferior correspondiente a P Esta propiedad la dejamos plasmada en la siguienteJ. P´ez a 8
  • 15. 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann o Cap´tulo 1. Integral de Riemann ıProposici´n 1.2 Sean P, Q ∈ PR . Si Q refina a P entonces S(f, P) ≤ S(f, Q) y S(f, Q) ≤ oS(f, P).Dem. Sean R1 , . . . , Rk los subrect´ngulos de R inducidos por P, y sean Ri , . . . , Ri i los sub- a 1 krect´ngulos inducidos por Q que unidos nos dan Ri para alguna i ∈ {1, . . ., k}. Dado que cada aRi est´ contenido en Ri , tenemos que {f (ˆ) | x ∈ Ri } ⊂ {f (ˆ) | x ∈ Ri} y por lo tanto j a x ˆ j x ˆinf{f (ˆ) | x ∈ Ri } ≤ inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } y sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } ≤ sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } para x ˆ x ˆ j x ˆ j x ˆ icada j = 1, . . . , ki, de modo que multiplicando estas desigualdades por m(Rj ), que es un n´mero uno negativo, se tiene que inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) ≤ inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) x ˆ j x ˆ j jy sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) ≤ sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) x ˆ j j x ˆ j ındice j de 1 a ki, tenemos queSi ahora sumamos ambas desigualdades, corriendo el ´ ki ki inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) ≤ x ˆ j inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) x ˆ j j j=1 j=1y ki ki sup{f (ˆ) | x ∈ x ˆ Ri } j · m(Ri ) j ≤ sup{f (ˆ) | x ∈ Ri} · m(Ri ) x ˆ j j=1 j=1Ahora, como el subrect´ngulo Ri es la uni´n de los subrect´ngulos Ri , . . . , Ri i , se tiene que m(Ri) = a o a 1 kki m(Ri ) y por lo tanto jj=1 ki inf{f (ˆ) | x ∈ Ri} · m(Ri) ≤ x ˆ inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) x ˆ j j j=1y ki sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri ) ≤ sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri) x ˆ j j x ˆ j=1Si en estas desigualdades sumamos con respecto del ´ ındice i, corriendo de 1 a k, tenemos que ⎛ ⎞ k k ki inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri) ≤ x ˆ ⎝ inf{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri )⎠ x ˆ j j i=1 i=1 j=1y ⎛ ⎞ k ki k ⎝ sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri )⎠ ≤ x ˆ j j sup{f (ˆ) | x ∈ Ri } · m(Ri) x ˆ i=1 j=1 i=1Recordando la definici´n de suma inferior y suma superior, tenemos entonces que o S(f, P) ≤ S(f, Q)y S(f, Q) ≤ S(f, P) 9 J. P´ez a
  • 16. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann oque es lo que quer´ ıamos demostrar. Obs´rvese que de las dos proposiciones anteriores podemos concluir, bajo el supuesto de que la epartici´n Q refina a la partici´n P, que o o S(f, P) ≤ S(f, Q)y S(f, Q) ≤ S(f, P) De hecho, si recurrimos nuevamente a la interpretaci´n geom´trica, estas desigualdades no nos o edeben de causar sorpresa puesto que cualquier suma inferior debe de “estar por debajo” del volumenque queremos calcular, y de manera an´loga, cualquier suma superior debe de “estar por arriba”. aPor lo anterior, debiera ser cierto que, dadas cualesquiera dos particiones P y Q de R, se debetener que S(f, P) ≤ S(f, Q). Esta propiedad, que ser´ muy importante para la construcci´n que a oestamos realizando, la dejaremos establecida en la siguienteProposici´n 1.3 Si P y Q son cualesquiera dos particiones del rect´ngulo R entonces se cumple o aque S(f, P) ≤ S(f, Q)Dem. Consideremos la partici´n P Q. Como dijimos anteriormente, esta partici´n refina tanto o oa P como a Q de tal forma que, por la proposici´n 1.2 debemos tener que o S(f, P) ≤ S(f, P Q)y S(f, P Q) ≤ S(f, Q)Como S(f, P Q) ≤ S(f, P Q) (proposici´n 1.1), se tiene que S(f, P) ≤ S(f, Q). o La conclusi´n de la proposici´n anterior resultar´ fundamental para la obtenci´n (cuando menos o o a o“te´rica”) de ese n´mero I al cual se deben de parecer las sumas de Riemann de una cierta funci´n o u of . N´tese que esta proposici´n nos dice dos cosas relevantes: o o 1. el conjunto de todas las sumas inferiores que se obtiene para una funci´n f definida sobre o un rect´ngulo R, es un conjunto acotado superiormente y adem´s cualquier suma superior es a a una cota superior de dicho conjunto, y 2. el conjunto de todas las sumas superiores que se obtiene para una funci´n f definida sobre o un rect´ngulo R, es un conjunto acotado inferiormente y adem´s cualquier suma inferior es a a una cota inferior de dicho conjunto. As´ pues, cuando menos desde un punto de vista te´rico, podr´ ı o ıamos esperar que existiera algoas´ como “la suma inferior m´s grande” o “la suma superior m´s peque˜a”, y si todo funciona bien, ı a a ncualquiera de estos dos n´meros debiera de coincidir con el tan famoso y anhelado “volumen que uhay por debajo de la gr´fica de f ”. A continuaci´n daremos una definici´n m´s precisa de estos a o o an´meros. u Denotaremos por S(f ) al conjunto de todas las sumas inferiores de una funci´n f (definida osobre el rect´ngulo R) y como S(f ) al conjunto de todas las sumas superiores, es decir: a S(f ) = {S(f, P) | P ∈PR }J. P´ez a 10
  • 17. 1.2. Construcci´n de la integral de Riemann o Cap´tulo 1. Integral de Riemann ıy S(f ) = {S(f, P) | P ∈PR } Dado que estos conjuntos son acotados inferior y superiormente, respectivamente, podemos darla siguienteDefinici´n 1.5 Al supremo del conjunto S(f ) lo llamaremos la integral inferior de f sobre R, y lo odenotaremos por −R f , y al ´nfimo del conjunto S(f ) lo llamaremos la integral superior de f sobre ı −R, y lo denotaremos por R f . De forma abreviada, se tendr´ que a f = sup{S(f, P) | P ∈PR } −Ry − f = inf{S(f, P) | P ∈PR } R Sin duda nuestra primera reacci´n ser´ pensar que estos n´meros son iguales para cualquier o a ufunci´n acotada que consideremos. Desafortunadamente, esto no siempre es as´ El siguiente o ı.ejemplo nos muestra una funci´n definida y acotada sobre el rect´ngulo [0, 1] × [0, 1], para la que o ano se cumple que estos n´meros sean iguales. uEjemplo 1.1 Sea f : R = [0, 1] × [0, 1] → R definida como ⎧ ⎨ 1 si x ´ y ∈ Q o f (x, y) = ⎩ 0 si x y y ∈ Q / −Muestre que R f = −R f .Soluci´n. Obs´rvese que si P es cualquier partici´n del rect´ngulo R, y Ri es cualquier subrect´ngulo o e o a ainducido por esta partici´n, entonces sobre dicho subrect´ngulo siempre existen parejas (x, y) tales o aque x ´ y ∈ Q, y parejas (x, y) tales que x y y ∈ Q. De aqu´ se deduce que M (Ri ) = 1 y m(Ri) = 0 o / ıde tal forma que S(f, P) = 1 y S(f, P) = 0 para cualquier partici´n P de R. De esta forma, se o −tiene que S(f ) = {0} y S(f ) = {1} por lo que R f = 1 y −R f = 0. Aun cuando puede que este ejemplo nos desanime un poco, es importante hacer un par deobservaciones: 1. la integral inferior y la integral superior de una funci´n definida y acotada sobre un rect´ngulo o a R siempre existen, y 2. la integral inferior siempre es menor o igual que la integral superior, es decir, − f≤ f −R R 11 J. P´ez a
  • 18. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.3. Propiedades de la integral de Riemann Esta ultima desigualdad se obtiene muy f´cilmente a partir de la proposici´n 1.3; baste recordar ´ a oque de esa proposici´n se deduce que cualquier suma superior es una cota superior del conjunto ode todas las sumas inferiores por lo que −R f (que es el supremo de todas las sumas inferiores ypor lo tanto la m´s peque˜a de todas las cotas superiores de este mismo conjunto) debe cumplir a nque −R f ≤ S(f, P) para cualquier partici´n P de R. De aqu´ se tiene que −R f es una cota o ı,inferior del conjunto de todas las sumas superiores, por lo que dicho n´mero debe ser menor o igual u −que el ´ ınfimo del conjunto de todas las sumas superiores, que es R f . Por tanto, se tiene que − −R f ≤ R f (este mismo trabalenguas se puede decir de otra forma si ahora empezamos diciendoque cualquier suma inferior es una cota inferior del conjunto de todas las sumas superiores, lo quetambi´n se sabe por la misma proposici´n. ¡Int´ntelo!) e o e As´ de entre las funciones que est´n definidas y son acotadas sobre un rect´ngulo R, fijaremos ı, a a −nuestra atenci´n en aqu´llas para las cuales se tiene que R f = −R f . Este tipo de funciones ser´n o e aconocidas como funciones Riemann-integrables (o simplemente integrables) sobre R, como quedar´ aestablecido en la siguienteDefinici´n 1.6 Sea f : R ⊂ Rn → R acotada sobre el rect´ngulo R. Decimos que f es Riemann- o aintegrable (o simplemente integrable) sobre R si se tiene que la integral inferior y la integral superiorde f sobre R son iguales. Es decir, si − f= f. R −REn este caso, a este n´mero lo llamaremos la integral de f y lo denotaremos por u R f.1.3 Propiedades de la integral de RiemannExisten muchas propiedades del concepto que acabamos de definir, pero hay una en particular quesin duda tiene que ser la primera en aparecer. Se trata de una proposici´n que nos da un criterio oalternativo para saber cuando una funci´n es integrable. Este criterio tiene la ventaja (o desventaja, oseg´n se vea) de establecer cu´ndo una funci´n es integrable sin necesidad de saber cu´l es el valor u a o ade la integral, algo as´ como el criterio de Cauchy para la convergencia de sucesiones. ı Si una funci´n es integrable, significa que la integral inferior y la integral superior de dicha ofunci´n son iguales, digamos a un cierto n´mero I. De las propiedades del ´ o u ınfimo y el supremosabemos entonces que, para cualquier cantidad positiva que demos (por peque˜a que esta sea), nexisten particiones P y Q para las cuales las correspondientes suma inferior (S(f, Q)) y sumasuperior (S(f, P)) distan de este n´mero I en menos que la mitad de la cantidad positiva que udimos, y por lo tanto la distancia entre estos n´meros ser´ menor a la distancia original (ver figura u a1.11). 0 I − ε/2 I1 I + ε/2 1 1 a• •g c • — {{{ gg gg {{ gg {{ S(f, Q) S(f, P) Figura 1.11: Si una funci´n f es integrable y su integral es igual a un n´mero I, dada una o u cantidad positiva ε > 0, existen particiones Q y P tales que S(f, Q) y S(f, P) difieren de I en menos que ε/2J. P´ez a 12
  • 19. 1.3. Propiedades de la integral de Riemann Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı As´ podemos asegurar que, para cualquier cantidad positiva que demos (digamos ε > 0), se ı,pueden encontrar particiones P y Q tales que S(f, P) − S(f, Q) < ε. De hecho, vamos a mostrarque se puede conseguir una sola partici´n para la cual vale la misma desigualdad. Lo mejor ode todo esto es que esta propiedad no s´lo es necesaria (como acabamos de platicarlo) sino que otambi´n es una propiedad suficiente (que es la parte m´s interesante y m´s comunmente usada); e a aes decir, si para cada cantidad positiva que demos, existe una partici´n P para la cual se tiene oque S(f, P) − S(f, P) < ε entonces podremos estar seguros de que la funci´n f es integrable. Esta oimportante propiedad la estableceremos en el siguienteTeorema 1.1 Sea f : R ⊂ Rn → R acotada sobre el rect´ngulo R. f es integrable sobre R si y as´lo si para cada ε > 0 existe P partici´n de R tal que o o S(f, P) − S(f, P) < ε −Dem. Probemos la necesidad. Sea ε > 0. Como f es integrable, sabemos que R f = −R f .Llamemos I a este n´mero. Como I = −R f = sup{S(f, P) | P ∈PR }, de las propiedades del usupremo sabemos que para ε/2 > 0, existe P partici´n de R tal que o I − ε/2 < S(f, P ) ≤ I −Por otra parte, como I = R f = inf{S(f, P) | P ∈PR }, de las propiedades del ´ ınfimo sabemos quepara ε/2 > 0, existe Q partici´n de R tal que o I ≤ S(f, Q) < I + ε/2Si ahora hacemos P = P Q, sabemos que P refina tanto a P como a Q de tal forma que, por laproposici´n 1.2 tenemos que o S(f, P ) ≤ S(f, P) ≤ S(f, P) ≤ S(f, Q)y por lo tanto, de las desigualdades anteriores obtenemos que I − ε/2 < S(f, P) ≤ S(f, P) < I + ε/2De estas ultimas desigualdades concluimos que ´ S(f, P) − S(f, P) < εque es lo que se quer´ demostrar. ıaPara la prueba de la suficiencia, tenemos que demostrar que la funci´n f es integrable, lo que o − −significa que tenemos que probar que R f = −R f para lo cual basta con demostrar que R f − − −R f = 0. Como sabemos que 0 ≤ R f − −R f , es suficiente con demostrar que este n´ mero se upuede hacer m´s peque˜o que cualquier cantidad positiva (digamos ε > 0). Siendo as´ la cosa, sea a n ıε > 0. De acuerdo a nuestra hip´tesis, existe P partici´n de R tal que o o S(f, P) − S(f, P) < ε −Por otra parte, como −R f = sup{S(f, P) | P ∈PR } y R f = inf{S(f, P) | P ∈PR }, sabemos que − S(f, P) ≤ f≤ f ≤ S(f, P) −R R 13 J. P´ez a
  • 20. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.3. Propiedades de la integral de Riemannde modo que, como los extremos de estas desigualdades son dos n´ meros que distan entre si en umenos de ε, entonces los n´meros que est´n en medio tambi´n distan en menos de ε, es decir u a e − 0≤ f− f <ε R −RComo esto se vale para toda ε > 0 tenemos que − f− f =0 R −R −Por lo tanto R f = −R f , de modo que f es integrable sobre R. Quiz´s fue una decepci´n el que no toda funci´n definida y acotada sobre un rect´ngulo resultara a o o aser integrable. Sin embargo, no hay porque tirarse al suelo. En el siguiente teorema mostraremosque hay una clase muy grande de funciones que s´ resultan ser integrables. Estas funciones son ılas funciones continuas que (como la intuici´n nos lo indica, para este tipo de funciones s´ debe de o ıexistir el “volumen bajo su gr´fica”), s´ son integrables. Y nada mejor que el siguiente teorema a ıpara estrenar el anterior.Teorema 1.2 Sea f : R ⊂ Rn → R continua sobre el rect´ngulo R. Entonces f es integrable sobre aR.Dem. Para la prueba de este teorema, tendremos que usar un par de teoremas (muy importantes)acerca de las funciones continuas que est´n definidas sobre conjuntos cerrados y acotados (como los arect´ngulos con los que estamos trabajando). El primero de ellos es el que nos dice que toda funci´n a ode este tipo alcanza su valor m´ximo y su valor m´ a ınimo en puntos del dominio. Y el segundo, elque nos dice que estas mismas funciones tambi´n deben de ser uniformemente continuas sobre el emismo dominio. Con este par de potentes armas demostraremos nuestro teorema haciendo uso, porsupuesto, del teorema 1.1.As´ pues, sea ε > 0. Como ya dijimos, sabemos que f tambi´n es uniformemente continua sobre R, ı ede modo que, para ε/m(R) (que es una cantidad positiva), existe δ > 0 con la propiedad de que six, y ∈ R son tales que x − y < δ entonces |f (ˆ) − f (ˆ)| < ε/m(R). Sea ahora P una partici´nˆ ˆ ˆ ˆ x y ode R con la propiedad de que la diagonal de cualquier subrect´ngulo Ri (de los inducidos sobre R apor la partici´n P) sea menor que δ (es decir, d(Ri) < δ) (probar que existe una partici´n con esta o opropiedad es un ejercicio de este cap´ ıtulo). Como tambi´n dijimos antes, como f es continua en cada esubrect´ngulo Ri (que supongamos fueron k), existen xi , yi ∈ Ri tales que f (ˆi ) ≤ f (ˆ) ≤ f (ˆi ) a ˆ ˆ x x ypara todo x ∈ Ri . Con todo esto en mente, tenemos que ˆ k k S(f, P) = mi · m(Ri) = f (ˆi) · m(Ri) x i=1 i=1y k k S(f, P) = Mi · m(Ri) = f (ˆi ) · m(Ri) y i=1 i=1J. P´ez a 14
  • 21. 1.3. Propiedades de la integral de Riemann Cap´tulo 1. Integral de Riemann ıde tal forma que k k S(f, P) − S(f, P) = f (ˆi ) · m(Ri) − y f (ˆi ) · m(Ri) x i=1 i=1 k = (f (ˆi ) − f (ˆi )) · m(Ri) y x i=1Ahora, como xi , yi ∈ Ri y d(Ri) < δ, tenemos que xi − yi < δ de modo que |f (ˆi ) − f (ˆi )| = ˆ ˆ ˆ ˆ x yf (ˆi ) − f (ˆi ) < ε/m(R), para cada i = 1, . . . , k. Por lo tanto y x k k (f (ˆi ) − f (ˆi )) · m(Ri) < y x (ε/m(R)) · m(Ri) i=1 i=1 k = ε/m(R) · m(Ri) i=1 = (ε/m(R)) · m(R) =εde donde tenemos que S(f, P) − S(f, P) < εy por lo tanto, f es integrable sobre R. Es importante destacar que el teorema anterior s´lo nos dice que la continuidad es una condici´n o osuficiente para que una funci´n sea integrable. De hecho, y afortunadamente, una funci´n puede o oser discontinua e integrable al mismo tiempo. El siguiente, es un ejemplo de este tipo de funciones.Ejemplo 1.2 Sea f : R = [0, 1] × [0, 1] → R definida como ⎧ ⎨ 1 si 0 ≤ x ≤ 1/2 f (x, y) = ⎩ 0 si 1/2 < x ≤ 1Muestre que f es integrable sobre R.Soluci´n. Para demostrar que esta funci´n es integrable usaremos (como casi siempre haremos), o oel teorema 1.1. Sea ε > 0. Para esta ε, consid´rese la siguiente partici´n P = {0, 1/2 − ε/2, 1/2 + e oε/2, 1}×{0, 1} del rect´ngulo R = [0, 1]×[0, 1] (observe que necesitamos suponer que 0 < ε < 1 para aque 0 < 1/2 − ε/2 y 1/2 + ε/2 < 1, lo que no representa ning´n problema, puesto que si lo probamos upara estos n´meros, entonces el teorema 1.1 tambi´n ser´ cierto para n´meros m´s grandes). Los u e a u asubrect´ngulos de R inducidos por esta partici´n son los siguientes: R1 = [0, 1/2−ε/2]×[0, 1], R2 = a o[1/2 − ε/2, 1/2 + ε/2] × [0, 1], y R3 = [1/2 + ε/2, 1] × [0, 1]. Es f´cil ver que: m3 = m2 = 0 mientras aque m1 = 1. Por otra parte, tambi´n es f´cil ver que: M1 = M2 = 1 mientras que M3 = 0. De e aaqu´, se tiene que ı S(f, P) = m1 · m(R1 ) + m2 · m(R2 ) + m3 · m(R3 ) = 1 · (1/2 − ε/2) + 0 · ε + 0 · (1/2 − ε/2) = 1/2 − ε/2 15 J. P´ez a
  • 22. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.3. Propiedades de la integral de Riemanny S(f, P) = M1 · m(R1 ) + M2 · m(R2 ) + M3 · m(R3) = 1 · (1/2 − ε/2) + 1 · ε + 0 · (1/2 − ε/2) = (1/2 − ε/2) + ε = 1/2 + ε/2de tal forma que S(f, P) − S(f, P) = ε. As´, por el teorema 1.1 tenemos que esta funci´n es ı ointegrable sobre [0, 1] × [0, 1] (esperamos que al lector no le cause ning´n problema el hecho de que use haya obtenido una igualdad para la diferencia S(f, P) − S(f, P), en lugar de un menor estricto). Adem´s de mostrar que existen funciones integrables que no son continuas, el ejemplo anterior amuestra que las discontinuidades pueden ser “muchas”. De hecho, el conjunto de discontinuidadesde la funci´n del ejemplo anterior (que es el conjunto {(1/2, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1}) tiene tantos oelementos como el conjunto de discontinuidades de la funci´n del ejemplo 1.1 (que es el conjunto o[0, 1] × [0, 1]). As´ pues, el problema para que una funci´n discontinua sea integrable, no radica en la cantidad ı ode discontinuidades que tenga, sino en la forma en que ´stas est´n “acomodadas” (por decirlo de e aalguna forma). Observe que en el ejemplo 1.2 el conjunto de discontinuidades de la funci´n es un oconjunto “flaco” (o de “´rea cero”) mientras que el conjunto de discontinuidades de la funci´n del a oejemplo 1.1 es un conjunto “gordo” (o de “´rea positiva”). Observe tambi´n que, para funciones a edefinidas sobre rect´ngulos en R2 , que su conjunto de discontinuidades sea un conjunto “flaco” asignificar´ algo parecido a un conjunto finito de puntos o una l´ ıa ınea (no necesariamente recta)(ver figura 1.12), y “gordo” algo que tuviera “´rea” diferente de cero, mientras que para funciones adefinidas sobre rect´ngulos en R3 , “flaco” significar´ algo parecido a un conjunto finito de puntos, a ıauna l´ ınea o a una superficie (no necesariamente plana), y “gordo” algo que tuviera “volumen”diferente de cero (se deja al lector “imaginar” el significado de estas palabras en dimensiones m´sagrandes). Yy • R  •     •  •   GX Figura 1.12: El conjunto de discontinuidades de una funci´n f definida sobre un rect´ngulo o a R⊂R 2 es “flaco”, si est´ formado por puntos “aislados”, l´ a ıneas (rectas o curvas) o por todos ellos juntos (claro, siempre y cuando al “juntarlos”, no formen un conjunto “gordo”)J. P´ez a 16
  • 23. 1.3. Propiedades de la integral de Riemann Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı Otra herramienta que nos permitir´ hablar de conjuntos “flacos” y “gordos” (al menos por ıaahora) tiene que ver con el concepto de interior de un conjunto. M´s adelante, una vez que ahayamos precisado lo que significa que un conjunto se pueda “medir” (lo que en R2 significar´ a 3que se puede hablar de su “´rea”, o en R de su “volumen”), se podr´ demostrar f´cilmente que a a apara estos conjuntos “medibles” se cumplen afirmaciones como la siguiente: si un conjunto A “esmedible”, su “medida” ser´ cero si y s´lo si su interior ( int(A)) es vac´o. a o ı El siguiente resultado que veremos es una primera aproximaci´n a las ideas expuestas en los op´rrafos anteriores. En la prueba de este teorema ser´ de vital importancia acordarnos del teorema a ade los “rect´ngulos anidados” (en R a n ). Tambi´n ser´ importante saber que, si una funci´n es e a ointegrable sobre un rect´ngulo R, entonces tambi´n lo es sobre cualquier rect´ngulo R contenido a e aen R (este resultado se deja como un problema para el lector).Teorema 1.3 Sea f : R ⊂ Rn → R integrable sobre R. Entonces existe x0 ∈ int(R) tal que f es ˆcontinua en x0 . ˆDem. Como f es integrable, por el teorema 1.1 sabemos que existe una partici´n P de R tal que o k k S(f, P) − S(f, P) = Mi · m(Ri) − mi · m(Ri) i=1 i=1 k = (Mi − mi ) · m(Ri) i=1 < m(R)Como los t´rminos de la ultima suma son no negativos, debe existir un ´ e ´ ındice i ∈ {1, . . ., k} (quesin p´rdida de generalidad supondremos que i = 1), para el cual se tiene que e M1 − m1 < 1 (1.2)Observe que en caso contrario, si Mi −mi ≥ 1 para toda i ∈ {1, . . . , k}, entonces (Mi −mi )·m(Ri) ≥m(Ri) (para toda i ∈ {1, . . ., k}) de tal forma que sumando esta ultima desigualdad, corriendo el ´´ındice i de 1 hasta k, tendr´ ıamos que k k (Mi − mi ) · m(Ri) ≥ m(Ri) i=1 i=1 = m(R)lo cual ser´ una contradicci´n con la propiedad con que se eligi´ a la partici´n P. ıa o o oLlamemos entonces R1 al subrect´ngulo inducido por P para el cual se satisface la desigualdad 1.2. aAdicionalmente, supondremos que R1 ⊂ int(R). En caso de que este subrect´ngulo no satisfaga esta apropiedad, siempre podemos tomar otro rect´ngulo R contenido en el interior del subrect´ngulo a aR1 de tal forma que este nuevo rect´ngulo tambi´n estar´ contenido en el interior del rect´ngulo a e ıa aoriginal R. Adem´s, el supremo y el ´ a ınfimo de los valores de la funci´n f sobre este nuevo rect´ngulo o aR seguir´n cumpliendo una desigualdad an´loga a 1.2 ya que R ⊂ R1 . a aSupongamos ahora que el lector ya prob´ el problema que establece que: si una funci´n es integrable o osobre un rect´gulo R entonces es integrable sobre cualquier subrect´ngulo contenido en R. Entonces a apodemos asegurar que, como f es integrable sobre el rect´ngulo R1 , existe una partici´n P (1) del a orect´ngulo R1 tal que a k k (1) (1) (1) (1) (1) (1) S(f, P ) − S(f, P )= Mi · m(Ri ) − mi · m(Ri ) i=1 i=1 17 J. P´ez a
  • 24. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.3. Propiedades de la integral de Riemann k (1) (1) (1) = (Mi − mi ) · m(Ri ) i=1 m(R1 ) < 2Por un argumento an´logo al que hicimos renglones arriba, podemos asegurar que existe un sub- a (1)rect´ngulo Ri (de los inducidos por P (1) sobre R1 ), y que denotaremos simplemente como R2 , acon la propiedad de que 1 M2 − m2 < 2donde M2 = sup{f (ˆ) | x ∈ R2 } y m2 = inf{f (ˆ) | x ∈ R2 }, y adem´s R2 ⊂ int(R1 ). x ˆ x ˆ aSiguiendo con este procedimiento, obtenemos una sucesi´n {Rk } de rect´ngulos (o “intervalos”) o aanidados en R con las siguientes propiedades: n 1 1. Mk − mk < k donde Mk = sup{f (ˆ) | x ∈ Rk } y mk = inf{f (ˆ) | x ∈ Rk }, y x ˆ x ˆ 2. Rk+1 ⊂ int(Rk )para toda k ∈ N. ∞ ∞As´ por el teorema de los “rect´ngulos anidados” sabemos que ı, a Rk = ∅. Ahora, si x0 ∈ ˆ Rk , k=1 k=1 1probaremos que f es continua en x0 . Para ello, tomemos ε > 0 y N ∈ N talque N < ε. Como ˆx0 ∈ RN +1 ⊂ int(RN ), existe δ > 0 tal que Bδ (ˆ0 ) ⊂ int(RN ) ⊂ RN de tal forma queˆ x mN ≤ f (ˆ) ≤ MN x 1para toda x ∈ Bδ (ˆ0 ). Como MN − mN < ˆ x N se tiene que 1 |f (ˆ) − f (ˆ0 )| < x x <ε Npara toda x ∈ Bδ (ˆ0 ), lo que prueba que f es continua en x0 . ˆ x ˆ Este teorema tiene como consecuencia un hecho que seguido usaremos para determinar cu´ndo auna funci´n no es integrable. Para ello, establezcamos primero la siguiente notaci´n: si f : A ⊂ o oRn → R, denotaremos por Df,A al conjunto de discontinuidades de f en A, es decir, Df,A = {ˆ ∈ xA | f es discontinua en x}. ˆCorolario 1.1 Sea f : R ⊂ Rn → R integrable sobre R. Entonces Df,R tiene interior vac´o ı(int(Df,R) = ∅).Dem. Si int(Df,R ) = ∅ entonces existe un rect´ngulo R tal que R ⊂ int(Df,R ) ⊂ Df,R ⊂ R. Como af es integrable sobre R y R ⊂ R, entonces f tambi´n es integrable sobre R de modo que, por el eteorema anterior, existe x0 ∈ int(R ) tal que f es continua en x0 . Observe que, como x0 ∈ int(R ), ˆ ˆ ˆque es un conjunto abierto contenido en R, si f es continua en x0 restringida a R , entonces f es ˆcontinua en x0 restringida a R, lo cual contradice el hecho de que x0 ∈ Df,R . ˆ ˆ Como dijimos antes, este resultado ser´ muy util para determinar cuando una funci´n no es a ´ ointegrable. Tal es el caso de la funci´n del ejemplo 1.1. En este caso, se tiene que Df,R = [0, 1]×[0, 1] oJ. P´ez a 18
  • 25. 1.3. Propiedades de la integral de Riemann Cap´tulo 1. Integral de Riemann ıde tal forma que int(Df,R ) = ∅; as´ por el corolario anterior podemos concluir nuevamente que ı,dicha funci´n no es integrable sobre R = [0, 1] × [0, 1]. o Es una buena costumbre preguntarse siempre qu´ pasa con el rec´ e ıproco de una afirmaci´n. En el ocaso del corolario anterior no hay mucho que decir. En general, que el conjunto de discontinuidadesde una funci´n tenga interior vac´ no significar´ necesariamente que dicho conjunto tenga que ser o ıo a“flaco” (m´s a´n, no tendr´ nada que ver con el hecho de que se pueda “medir”). De hecho, este a u aasunto nos conduce hacia una pregunta m´s general: ¿hay alguna manera de medir conjuntos (en aRn ) de tal forma que en funci´n de dicha medida pudi´ramos determinar si un conjunto es “flaco” o eo es “gordo”? (es claro que si se contara con esta medida, los conjuntos “flacos” ser´ aquellos ıanque su medida fuera cero, y los “gordos” aquellos que su medida fuera mayor que cero). En el casoparticular de R2 , ¿existe una forma de extender el concepto de “´rea” a los subconjuntos (cuando amenos acotados) de R2 ? (aqu´ usamos la palabra extender puesto que hay conjuntos a los cuales ya ıles asignamos un “´rea”, como es el caso de los rect´ngulos). La respuesta es s´ hay forma de hacer a a ı,esto (aunque no para todos los subconjuntos acotados de R 2 ) y justo en este cap´ ıtulo veremos unamanera de hacerlo. Sin embargo, antes de hablar de medida de conjuntos, nos ser´ muy util terminar de mencionar a ´algunas otras propiedades de las funciones integrables, sobre todo aquellas que tienen que ver conlas operaciones entre (o con) funciones. Estas propiedades las resumiremos en el siguienteTeorema 1.4 Sean f, g : R ⊂ Rn → R integrables sobre R. Entonces: 1. f + g es integrable sobre R y adem´s a (f + g) = f+ g R R R 2. si c ∈ R, cf es integrable sobre R y adem´s a cf = c · f R R 3. f g es integrable sobre R 4. si f (ˆ) ≥ 0 para toda x ∈ R entonces x ˆ f ≥0 R 5. si f (ˆ) ≤ g(ˆ) para toda x ∈ R, entonces x x ˆ f≤ g R R 6. |f | es integrable sobre R y adem´s a f ≤ |f | R R 7. las funciones max{f, g} y min{f, g}2 son integrables sobre R La demostraci´n de cada uno de los incisos de este teorema son parte de los problemas de oeste cap´ıtulo. N´tese tambi´n, que la afirmaci´n del segundo inciso es un caso particular de la o e oafirmaci´n del tercero (tomando g igual a la funci´n constante c), s´lo que la f´rmula que aparece o o o oen el segundo es muy utilizada. Otra propiedad que destacaremos, relacionada con el cuarto inciso del teorema anterior, tieneque ver con la siguiente pregunta: ¿si f (ˆ) > 0 para toda x ∈ R entonces R f > 0? La respuesta a x ˆesta pregunta es afirmativa, s´lo que para probarla hace falta el teorema 1.3 junto con la siguiente o 2 Recuerde que f + g + |f − g| f + g − |f − g| max{f, g} = y min{f, g} = 2 2 19 J. P´ez a
  • 26. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.3. Propiedades de la integral de RiemannProposici´n 1.4 Sea f : R ⊂ Rn → R integrable sobre R tal que f (ˆ) ≥ 0 para toda x ∈ R. Si f o x ˆes continua en x0 ∈ R y f (ˆ0 ) > 0 entonces R f > 0. ˆ xDem. Si f es continua en x0 ∈ R y f (ˆ0 ) > 0, sabemos que existe δ > 0 tal que |f (ˆ) − f (ˆ0 )| < ˆ x x xf (ˆ0) x 2 para toda x ∈ Bδ (ˆ0 ) o, equivalentemente ˆ x f (ˆ0 ) x f (ˆ0 ) x −< f (ˆ) − f (ˆ0 ) < x x 2 2por lo que, de la primera desigualdad, tenemos que f (ˆ0 ) x < f (ˆ) x 2para toda x ∈ Bδ (ˆ0 ). ˆ xAhora, sea P una partici´n de R tal que uno de los subrect´ngulos inducidos por dicha partici´n o a o(digamos R1 ) se quede dentro de la vecindad Bδ (ˆ0 ). As´ tenemos que x ı, k S(f, P) = mi · m(Ri) i=1 k = m1 · m(R1 ) + mi · m(Ri) i=2 f (ˆ0 ) x ≥ · m(R1) + 0 2 >0 f (ˆ0 ) xdonde m1 ≥ 2 > 0 porque R1 ⊂ Bδ (ˆ0 ) y mi ≥ 0 porque f (ˆ) ≥ 0 para toda x ∈ R. Como x x ˆ 0 < S(f, P) ≤ f Rconcluimos la prueba. Una vez que contamos con la proposici´n anterior, se tiene como consecuencia inmediata (usando otambi´n el teorema 1.3) la siguiente eProposici´n 1.5 Sea f : R ⊂ Rn → R integrable sobre R tal que f (ˆ) > 0 para toda x ∈ R. o x ˆEntonces R f > 0. Para concluir esta secci´n, probaremos un teorema relacionado con el hecho de que la integral ode una funci´n f sobre un rect´ngulo R ⊂ Rn , dividida por la medida de R, tambi´n se puede o a einterpretar como “el valor promedio” de los valores de f sobre R. En efecto, si tomamos f : R ⊂Rn → R, con R = [a1 , b1] × · · · × [an , bn], una manera de aproximarnos a “el valor promedio” de fsobre R consistir´ de los siguientes pasos: ıa 1. tomamos la partici´n de R que se obtiene al subdividir cada intervalo [ai, bi] en k partes o iguales (de longitud (bi − ai )/k); esta partici´n induce kn subrect´ngulos Rj de R, todos de o a la misma medida, es decir, se tiene que m(R) m(Rj ) = kn para cada j = 1, . . . , knJ. P´ez a 20
  • 27. 1.3. Propiedades de la integral de Riemann Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı ˆ 2. en cada uno de estos subrect´ngulos Rj (j = 1, . . ., kn ) elegimos un punto ξj , con lo cual a obtenemos una “muestra” de puntos del rect´ngulo R muy bien distribuida a ˆ 3. calculamos el promedio de los valores de f sobre estos puntos ξj , es decir, calculamos kn ˆ f ( ξj ) (1.3) kn j=1 Es “intuitivamente” claro que esta suma es una muy buena aproximaci´n a “el promedio” de olos valores de f sobre R, y que esta aproximaci´n ser´ mejor en la medida de que k sea m´s grande. o a aLo interesante es que esta misma suma tambi´n se puede ver como una suma de Riemann de f esobre R, dividida por m(R); en efecto, como m(Rj ) = m(R)/kn, entonces kn ˆ kn f ( ξj ) ˆ 1 = f ( ξj ) kn kn j=1 j=1 kn ˆ m(Rj ) = f ( ξj ) m(R) j=1 kn 1 ˆ = f (ξj )m(Rj ) m(R) j=1 Dado que esta suma de Riemann se parece mucho a la integral de f sobre R cuando k es muygrande, resulta “natural” decir que el n´mero u 1 f m(R) Rse puede interpretar como “el valor promedio” de los valores de f sobre R. Pues bien, el ultimo teorema de esta secci´n establece que, si f es una funci´n continua sobre ´ o oR, este valor promedio se “alcanza” en un alg´n punto de R, raz´n por la cual, es conocido como u oel Teorema del Valor Promedio.Teorema 1.5 (del Valor Promedio) Sean f, g : R ⊂ Rn → R tales que f es continua en R y gintegrable sobre R. Entonces: 1. ˆ ˆ f = f (ξ) · m(R) para alguna ξ ∈ R R 2. si g(ˆ) ≥ 0 para toda x ∈ R entonces x ˆ ˆ = f (ξ) · ˆ para alguna ξ ∈ R R fg RgDem. Sean m y M el m´ ınimo y el m´ximo de f sobre R, respectivamente. Por el problema 11 de aeste cap´ ıtulo tenemos que m · m(R) ≤ f ≤ M · m(R) Rde tal forma que f m≤ ≤M R m(R) 21 J. P´ez a
  • 28. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.4. Medida de Jordan ˆComo f es continua y R es conexo, debe de existir ξ ∈ R tal que ˆ f R f (ξ) = m(R) ˆpor lo que R f = f (ξ) · m(R).En cuanto al segundo inciso, como m ≤ f (ˆ) ≤ M y g(ˆ) ≥ 0, para toda x ∈ R, tenemos que x x ˆ (mg)(ˆ) ≤ (f g)(ˆ) ≤ (M g)(ˆ) x x xde tal forma que m· g= mg ≤ fg ≤ Mg = M · g R R R R RAhora, si Rg = 0, de las desigualdades de arriba se tiene que R f g = 0 y por lo tanto R fg = ˆ0 = f (ξ) · ˆ R g para cualquier ξ ∈ R. Si R g > 0 entonces R fg m≤ ≤M R g ˆy nuevamente, como f es continua y R es conexo, debe de existir ξ ∈ R tal que ˆ R fg f (ξ) = R gpor lo que ˆ = f (ξ) · ˆ para alguna ξ ∈ R. R fg Rg Observe que el primer inciso de la proposici´n anterior, es un caso particular del segundo inciso otomando g igual a la funci´n constante 1. o1.4 Medida de JordanEn esta secci´n se abordar´ el problema de encontrar una forma de “medir conjuntos” a fin de o acontar con un concepto que nos permita, entre otras cosas, precisar la idea de cu´ndo un conjunto aen Rn es “flaco” o es “gordo”. Veremos que justo el concepto de integraci´n que acabamos de odefinir nos proporciona una herramienta para lograrlo. En realidad, eso de “medir conjuntos” es algo que nos han venido ense˜ando desde que somos nni˜os (qui´n no recuerda una que otra f´rmula para calcular “el area” de una figura plana (con- n e o ´juntos en R2 ) o “el volumen” de uno que otro s´lido (conjuntos en R3 )). Lo relevante de lo que ovamos a hacer a continuaci´n es que vamos a definir formalmente conceptos como los de “´rea” y o a“volumen”, y “extender” dichos conceptos cuando menos en dos sentidos: uno, en cuanto a que eltipo de conjuntos a los cu´les podremos asignarle esta “medida” ser´ bastante m´s diverso (no s´lo a a a otri´ngulos, rect´ngulos, pol´ a a ıgonos, c´ ırculos, cil´ ındros, esferas, etc.), y dos, esta forma de “medir”incluir´ no s´lo figuras planas o s´lidos, ¡sino conjuntos que “viven” en otras dimensiones! (¡un a o omundo nos vigila!).Definici´n 1.7 Dado A ⊂ Rn acotado, definimos χA : Rn → R, la funci´n caracter´stica de A, de o o ıla siguiente forma ⎧ ⎨ 1 si x ∈ A ˆ χA (ˆ) = x ⎩ 0 si x ∈ A ˆ /(ver figura 1.13).J. P´ez a 22
  • 29. 1.4. Medida de Jordan Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı Zy 1• Ò GY ÒÒ ÒÒÒ ÒÒ A ÒÒ ÒÒ ÐÒÒÒ X a o ıstica χA de un conjunto A ⊂ R2 Figura 1.13: La gr´fica de la funci´n caracter´ Una vez que tenemos esta funci´n, estamos en condiciones de definir cu´ndo un conjunto (aco- o atado) es Jordan-medible3 y cu´l es esa medida. aDefinici´n 1.8 Dado A ⊂ Rn acotado, decimos que A es Jordan-medible si la funci´n carac- o oter´stica de A es integrable sobre alg´n rect´ngulo R que contenga a A. En este caso decimos que ı u ala medida de Jordan de A (que denotaremos por J(A)) est´ dada por a J(A) = χA R Antes de entrar de lleno al estudio de los conjuntos Jordan-medibles, es importante hacer algunasobservaciones acerca de la definici´n anterior. o N´tese primero que en dicha definici´n hemos echado mano de un rect´ngulo R que contiene o o aal conjunto acotado A; la cuesti´n, al parecer muy sutil, es: ¿qu´ sucede con nuestra definici´n de o e omedida si en lugar del rect´ngulo R tomamos otro, digamos R , que tambi´n contenga al conjunto a eA? (es claro que, si A es un conjunto acotado, ¡hay una infinidad de rect´ngulos que lo cotienen!). aLa pregunta, sin lugar a dudas, es: ¿el concepto de medibilidad, y lo que llamamos la medida deA, dependen de qu´ rect´ngulo tomemos? Se deja al lector verificar (con ayuda de los problemas e a13, 6 y 7 de este cap´ ıtulo, junto con el hecho de que la intersecci´n (¡a diferencia de la uni´n!) de o odos rect´ngulos es un rect´ngulo) que: si la definici´n de medibilidad se cumple para un rect´ngulo a a o aR entonces tambi´n se cumple para cualquier otro rect´ngulo R que contenga al conjunto A, y e aadem´sa χA = χA R R En segundo lugar es importante destacar que para llegar a este concepto de medida, adem´s adel concepto de integral (que no es poca cosa, o mejor dicho, que lo es casi todo), s´lo fue necesario ohaber definido previamente lo que significaba la medida de un cierto tipo de conjuntos, a saberaquellos que llamamos “rect´ngulos”. De hecho, la medida de Jordan tambi´n se puede interpretar a ecomo una “extensi´n” (a conjuntos m´s “arbitrarios”) de la medida de un rect´ngulo, sobre todo o a a 3 Nombrados as´ en recuerdo de Camille Jordan (Lyon 1838 - Par´ 1922), un matem´tico franc´s conocido tanto ı ıs a epor su trabajo sobre la teor´ de los grupos como por su influyente Curso de an´lisis (Cours d’analyse). ıa a 23 J. P´ez a
  • 30. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.4. Medida de Jordansi observamos que cualquier rect´ngulo R ⊂ Rn es Jordan-medible y que J(R) = m(R) (problema a18). No obstante lo anterior, hasta este momento no sabemos si figuras (o subconjuntos de R2 )tales como un tri´ngulo o un c´ a ırculo, son conjuntos para las cuales tiene sentido hablar de su area, ´y en caso de que s´ ¿c´mo se calcular´ dicha area? ı, o ıa ´ A continuaci´n ilustraremos por medio de un ejemplo muy sencillo que en efecto, el concepto de omedida de Jordan no es m´s que la formalizaci´n de conceptos tan intuitivos para nosotros como a olos de ´rea y volumen. aEjemplo 1.3 Sean a, b ∈ R n´meros positivos y A = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ (b/a)x}. uComo se podr´ notar f´cilmente, A es un tri´ngulo de base a y altura b. Mostraremos que A es un a a a 2conjunto Jordan-medible en R , y que su medida (o su area) es, como todos sabemos, a·b . ´ 2Soluci´n. Tomemos el rect´ngulo R = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} = [0, a] × [0, b] el cual o acontiene a A. De acuerdo con nuestra definici´n tenemos que mostrar que la funci´n caracter´stica o o ıχA es integrable sobre el rect´ngulo R y que a a·b χA = 2 R (n)Para lograr esto echaremos mano del problema 10 de este cap´tulo. Para cada n ∈ N, sea P (n)= P 1 × ı (n) (n) (n)P2 , donde P1 = {i n | i = 0, 1, . . ., n} y P2 = {i n | i = 0, 1, . . . , n}, la partici´n de R que a b olo subdivide en n 2 subrect´ngulos de medida (o area) a·b . Como la funci´n con la que estamos a ´ o n2trabajando es χA , se tiene que S(χA , P (n)) = m(Ri ) y S(χA , P (n)) = m(Ri) Ri ⊂A Ri ∩A=∅donde los Ri representan a los subrect´ngulos de R inducidos por P, de modo que en este caso a S(χA , P (n)) = m(Ri ) Ri ⊂A a·b a·b a·b =1· 2 + 2 · 2 + · · · + (n − 1) · 2 n n n n−1 a·b = 2 i n i=1 a·b (n − 1)n = 2 · n 2 a·b n−1 = · 2 nPor otra parte, se tiene que S(χA , P (n)) = m(Ri) Ri ∩A=∅ a·b a·b a·b a·b =2· 2 + · · · + (n − 1) · 2 + n · 2 + n · 2 n n n n a·b a·b a·b a·b = 1 · 2 + 2 · 2 + · · · + n · 2 + (n − 1) · 2 n n n n a·b n+1 a·b = · + (n − 1) · 2 2 n nJ. P´ez a 24
  • 31. 1.4. Medida de Jordan Cap´tulo 1. Integral de Riemann ıDe estas dos identidades se obtiene inmediatemante que a·b lim S(χA , P (n)) = = lim S(χA , P (n)) n→∞ 2 n→∞de modo que por el problema antes mencionado, tenemos que χA es integrable sobre el rect´ngulo aR y adem´s a a·b J(A) = χA = 2 Rque es lo que quer´amos mostrar. ı Finalmente, es importante resaltar que no todos los subconjuntos acotados de Rn resultan serJordan-medibles. El lector podr´ comprobar f´cilmente que el ejemplo 1.1 no s´lo nos proporciona a a ouna funci´n que no es integrable, sino que tambi´n nos muestra que el conjunto A = {(x, y) ∈ o e[0, 1] × [0, 1] ⊂ R2 | x ´ y ∈ Q} ¡es un conjunto que no es Jordan-medible! Por cierto que tampoco oresulta ocioso decir que las siguientes dos frases tienen significados realmente diferentes; no es lomismo decir: “A es un conjunto con medida de Jordan cero”, que decir: “A es un conjunto que notiene medida de Jordan” o “A no es Jordan-medible”. Una vez discutidas estas cuestiones acerca de la definici´n de lo que son los conjuntos medibles o(y la medida misma), el primer resultado que probaremos nos proporcionar´ condiciones necesarias ay suficientes para determinar cu´ndo un conjunto es Jordan-medible. Antes, estableceremos que si aA ⊂ Rn entonces F r(A) denotar´ al conjunto de puntos frontera de A (o simplemente, la frontera ade A).Teorema 1.6 Sea A ⊂ Rn acotado. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A es Jordan-medible 2. para cada ε > 0 existen R1 , . . . , Rk rect´ngulos tales que: a (a) F r(A) ⊂ R1 ∪ · · · ∪ Rk , y k (b) m(Ri) < ε i=1 3. la F r(A) es Jordan-medible y J(F r(A)) = 0Dem. 1) ⇒ 2) En esta parte elegiremos un rect´ngulo R tal que la cerradura de A (A) est´ contenida a ¯ a ¯ ⊂ int(R) (observe que con esta elecci´n no perdemos ge-en el interior de R (int(R)), es decir: A oneralidad en virtud de que, como lo mencionamos p´rrafos arriba, nuestra definici´n de medibilidad a ono depende del rect´ngulo que contenga a A). Sea ε > 0. Como A es Jordan-medible, sabemos que aχA es integrable sobre este rect´ngulo R (que contiene a A) de tal forma que existe P partici´n de a oR tal que S(χA , P) − S(χA , P) < ε (1.4)N´tese que en este caso se tiene que o S(χA , P) = m(Ri) Ri ∩A=∅ 25 J. P´ez a
  • 32. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.4. Medida de Jordany S(χA , P) = m(Ri) Ri ⊂Adonde los Ri representan a los subrect´ngulos de R inducidos por P. As´ tenemos que a ı, S(χA , P) − S(χA , P) = m(Ri) Ri ∩A=∅ y Ri ∩Ac =∅Sean R1 , . . . , Rk los subrect´ngulos de R, inducidos por la partici´n P, tales que a o Ri ∩ A = ∅ y Ri ∩ Ac = ∅ (1.5)A fin de concluir la prueba de la condici´n 2, por la desigualdad 1.4, s´lo resta probar que o o ¯F r(A) ⊂ R1 ∪ · · · ∪ Rk . Para obtener esta contenci´n observe primero que, como A ⊂ int(R), oentonces F r(A) ⊂ int(R). Sea x ∈ F r(A). Si tenemos la suerte de que x ∈ int(Ri) para alguno ˆ ˆde los subrect´ngulos inducidos por la partici´n P (recuerde que R es la uni´n de todos esos sub- a o orect´ngulos), es claro que Ri cumple con las condiciones 1.5, en cuyo caso ya habremos acabado. aPor otra parte, si x no pertenece al interior de alguno de los subrect´ngulos, entonces x est´ en la ˆ a ˆ afrontera de m´s de uno de los subrect´ngulos de R inducidos por P ya que x ∈ F r(A) ⊂ int(R) a a ˆ(en realidad debe estar en 2k para alg´n k ∈ {1, . . ., n}; la figura 1.14 (a) ilustra este hecho en uR2 ). En este caso, si todos los subrect´ngulos que tienen a x en su frontera est´n contenidos en A, a ˆ aentonces x ∈ int(A) (ver figura 1.14 (b)). De forma an´loga, si todos los subrect´ngulos que tienen ˆ a aa x en su frontera est´n contenidos en Ac , entonces x ∈ ext(A). En ambas situaciones obtenemos ˆ a ˆque x ∈ F r(A) lo cual es una contradicci´n. As´ pues, de entre todos los subrect´ngulos para los ˆ / o ı acuales x pertenece a su frontera, debe existir alguno, llamemoslo Ri , para el que se satisfacen las ˆcondiciones 1.5. Con esto concluimos la prueba de la condici´n 2. o Yy Yy R R × × • • A GX GX (a) (b) Figura 1.14: En R2 , si un punto x ∈ int(R) no pertenece al interior de ninguno de los sub- ˆ rect´ngulos inducidos por una partici´n P, entonces x pertenece a la frontera de 2 = 21 sub- a o ˆ 2 rect´ngulos adyacentes (×), o es un v´rtice de 4 = 2 de ellos (•). Si todos los subrect´ngulos a e a que tienen a x en su frontera est´n contenidos en A, entonces x ∈ int(A). ˆ a ˆ 2) ⇒ 3) En este inciso tenemos que probar que el conjunto F r(A) es Jordan-medible, lo que ıstica χF r(A) debe ser integrable sobre alg´n rect´ngulo R que losignifica que su funci´n caracter´ o u aJ. P´ez a 26
  • 33. 1.4. Medida de Jordan Cap´tulo 1. Integral de Riemann ıcontenga. Por otra parte, de acuerdo con nuestra hip´tesis, existen R1 , . . . , Rk rect´ngulos tales o aque F r(A) ⊂ R1 ∪ · · · ∪ Rky k m(Ri) < ε i=1Lo primero que vamos a destacar, apoyados por el segundo inciso del problema 2, es que losrect´ngulos R1 , . . ., Rk los podemos elegir de tal forma que, adem´s de tener la propiedad de que a ala suma de sus medidas es menor que ε, tambi´n tienen la propiedad de que e F r(A) ⊂ int(R1 ) ∪ · · · ∪ int(Rk ) (1.6)(observe que el problema citado dice, en otras palabras, que todo rect´ngulo se puede “agrandar” aun poquito; ¡tan poquito como se quiera!). Una vez aclarado lo anterior, tomemos R un rect´ngulo aque contenga a R1 ∪ · · · ∪ Rk . Ahora “extendamos” los “lados” de cada uno de los rect´ngulosaRi y llamemos P a la partici´n que dichas extensiones generan sobre R (la figura 1.15 ilustra este oproceso en R2 ). Si bien es cierto que los subrect´ngulos Ri inducidos por esta partici´n sobre R, a ono coinciden necesariamente con los rect´ngulos originales R1 , . . . , Rk (¡lo m´s seguro es que casi a anunca coincidan!), tambi´n es cierto que si tomamos cualquiera de estos nuevos subrect´ngulos Ri e aque intersecte a la F r(A), entonces ´ste debe estar contenido en alguno de los Rj , lo cual es una econsecuencia de 1.6 (esperamos que el lector coincida en que lo dif´ de esta afirmaci´n no est´ en ıcil o aimaginar su prueba, sino en ¡escribirla!). Yy R A F r(A) GX Figura 1.15: “Extendiendo” los lados de cada uno de los rect´ngulos Ri para obtener una a partici´n P del rect´ngulo R o a En s´ıntesis, podemos asegurar que, si R1 , . . . , Rl son todos los subrect´ngulos de R inducidos apor la partici´n P tales que o F r(A) ∩ Ri = ∅ con i = 1, . . ., lentonces R1 ∪ · · · ∪ Rl ⊂ R1 ∪ · · · ∪ Rky por lo tanto tendremos que l k m(Ri) ≤ m(Ri) < ε i=1 i=1 27 J. P´ez a
  • 34. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.4. Medida de JordanComo S(χF r(A) , P) = m(Ri) Ri ∩F r(A)=∅ l = m(Ri) i=1 <εpor el problema 8 podemos concluir que la funci´n χF r(A) es integrable sobre R y que adem´s o a χF r(A) = 0 REs decir, F r(A) es un conjunto Jordan-medible y J(F r(A)) = 0. 3) ⇒ 1) Como en la primera parte, elegiremos un rect´ngulo R tal que la cerradura de A aest´ contenida en el interior de R. Por tanto, tambi´n tenemos que F r(A) ⊂ R de modo que a e − χF r(A) = χF r(A) = 0. De la segunda identidad, podemos concluir que existe P partici´n de oR RR tal que, si R1 , . . . , Rl son todos los subrect´ngulos de R inducidos por la partici´n P tales que a oF r(A) ∩ Ri = ∅ (con i = 1, . . ., l), entonces S(χF r(A) , P) = m(Ri) Ri ∩F r(A)=∅ l = m(Ri) i=1 <εPor otra parte, para la misma partici´n P sabemos que o S(χA , P) − S(χA , P) = m(Ri) Ri ∩A=∅ y Ri ∩Ac =∅donde los Ri tambi´n son parte de los subrect´ngulos de R inducidos por P. Ahora observe que si e aRi es cualquiera de estos subrect´ngulos que intersecan tanto a A como a Ac , entonces ´ste debe a ede intersecar a la F r(A) (problema 4 de este cap´ıtulo). En resumen, si Ri , . . . , Rk son todos lossubrect´ngulos que intersecan tanto a A como a Ac entonces {Ri, . . . , Rk } ⊂ {R1 , . . . , Rl }, de tal aforma que S(χA , P) − S(χA , P) = m(Ri) Ri ∩A=∅ y Ri ∩Ac =∅ k = m(Ri ) i=1J. P´ez a 28
  • 35. 1.4. Medida de Jordan Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı l ≤ m(Ri ) i=1 <εcon lo que podemos concluir que la funci´n χA es integrable sobre R y que por lo tanto A es un oconjunto Jordan-medible, como se quer´ demostrar. ıa Sin duda la demostraci´n de este teorema fue un poco larga, pero no se podr´ negar que es un o ateorema que nos proporciona informaci´n muy valiosa. Para empezar, nos dice que para saber si oun conjunto es Jordan-medible, es suficiente con que su frontera tambi´n sea un conjunto Jordan- emedible, pero adem´s de medida cero (es decir, “flaco”). Y para terminar, los incisos 2 y 3 nos dan acondiciones necesarias y suficientes para que dicha frontera resulte ser un conjunto Jordan-medibley de medida cero. Esto ultimo nos hace ver que los conjuntos Jordan-medibles y de medida cero ´resultan ser muy importantes (sobre todo si son la frontera de otro conjunto). Es por esta raz´n oque nuestro siguiente resultado nos da condiciones necesarias y suficientes para que un conjunto(aunque no sea la frontera de otro) tenga estas importantes caracter´ısticas; por supuesto que dichascondiciones est´n sugeridas por los mismos incisos 2 y 3, y su prueba resulta muy an´loga a lo que a ahicimos antes, raz´n por la cual se deja como un problema para el lector. oTeorema 1.7 Sea A ⊂ Rn , un conjunto acotado. A es Jordan-medible y J(A) = 0 si y s´lo si para ocada ε > 0 existen R1 , . . . , Rk rect´ngulos tales que: a 1. A ⊂ R1 ∪ · · · ∪ Rk , y k 2. m(Ri) < ε i=1 Lo siguiente que vamos a mostrar es que este concepto de medida de conjuntos se lleva bastantebien con las operaciones entre conjuntos (¡como es de esperarse de cualquier concepto de medidaque se respete!).Teorema 1.8 Si A, B ⊂ Rn son Jordan-medibles entonces A ∪ B y A ∩ B tambi´n son Jordan- emedibles y adem´s a J(A ∪ B) = J(A) + J(B) − J(A ∩ B) (1.7)Dem. Primero demostraremos que A ∪ B y A ∩ B son Jordan-medibles. Para ello, basta recordarque F r(A∪B) ⊂ F r(A)∪F r(B) y F r(A∩B) ⊂ F r(A)∪F r(B) de tal forma que, por el teorema 1.6(la equivalencia de los incisos 1 y 3, en ambos sentidos) y el problema 20 (ambos incisos), podemosconcluir que A ∪ B y A ∩ B son Jordan-medibles. En cuanto a la identidad 1.7 basta observar que se satisface la siguiente identidad de funciones χA∪B + χA∩B = χA + χBla cual se puede probar f´cilmente analizando los casos: x ∈ A ∩ B, x ∈ AB, x ∈ BA y x ∈ A ∪ B. a ˆ ˆ ˆ ˆ/Si ahora tomamos un rect´ngulo R tal que A, B ⊂ R, dado que por la primera parte de esta prueba aya sabemos que las funciones χA∪B y χA∩B son integrables sobre R, usando el primer inciso delteorema 1.4 obtenemos la f´rmula deseada. o Como se recordar´, parte de la motivaci´n para contar con una forma de medir conjuntos estaba a oen la posibilidad de decidir cu´ndo un conjunto es “flaco” (o “gordo”), lo cual a su vez estaba rela- acionado con la posibilidad de decidir la “forma” que deber´ tener el conjunto de discontinuidades ıa 29 J. P´ez a
  • 36. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.4. Medida de Jordande una funci´n para que ´sta resultara ser integrable (de hecho, hab´ o e ıamos adelantado que ser demedida cero era una manera de decidir que un conjunto era “flaco”). Pues bien, terminaremosesta secci´n con un resultado que cumple parcialmente con este objetivo. Y decimos que lo cumple oparcialmente en virtud de que las condiciones de este resultado s´lo son suficientes. oTeorema 1.9 Sea f : R ⊂ Rn → R acotada sobre el rect´ngulo R. Si el conjunto de discon- atinuidades de f en R (Df,R ) es un conjunto Jordan-medible y de medida cero entonces f es inte-grable sobre R.Dem. Sea M > 0 tal que |f (ˆ)| ≤ M para toda x ∈ R. Usaremos el teorema 1.1 para demostrar x ˆque f es integrable sobre R. Sea pues ε > 0. Dado que J(Df,R ) = 0 sabemos que existe unapartici´n P del propio rect´ngulo R tal que o a ε S(χDf,R , P) < 4MSi R1 , . . . , Rl son los subrect´ngulos de R inducidos por la partici´n P que tienen la propiedad de a oque Ri ∩ Df,R = ∅ (i = 1, . . . , l), tenemos entonces que l ε m(Ri) < 4M i=1Si ahora Rl+1 , . . ., Rk son el resto de los subrect´ngulos de R inducidos por P, sabemos entonces aque f es continua en cada uno de ellos de tal forma que, por el teorema 1.2, f es integrable sobrecada Ri (i = l + 1, . . . , k). Nuevamente por el teorema 1.1, para cada uno de estos subrect´ngulos a (i)podemos encontrar una partici´n P tal que o ε S(f, P (i)) − S(f, P (i)) < 2(k − l)para cada i = l + 1, . . . , k. Ahora, cada una de estas particiones P (i) la extendemos a todo elrect´ngulo R y junto con la partici´n inicial P, formamos una nueva partici´n del rect´ngulo R a a o o ala que llamaremos Q (la figura 1.16 ilustra este procedimiento en R2 ). Es importante hacer notar que, por la forma en que construimos la partici´n Q, cada sub- orect´ngulo inicial Ri (i = 1, . . . , k) es la uni´n de subrect´ngulos inducidos por Q; o dicho de otra a o aforma, si los subrect´ngulos inducidos por Q los denotamos por Rj,i, en donde i es un ´ a ındice quecorre desde 1 hasta k, y para cada una de estas i s, j es un ´ ındice que corre desde 1 hasta unacierta ki , entonces ki Ri = Rj,i j=1para i = 1, . . ., k. Obs´rvese tambi´n que para cada i = l + 1, . . . , k, los Rj,i (j = 1, . . ., ki) son subrect´ngulos e e ade Ri inducidos por alguna partici´n Q o (i) que refina a P (i) (en la figura 1.16 tambi´n se alcanza a enotar este hecho), de modo tal que S(f, Q(i)) − S(f, Q(i)) ≤ S(f, P (i)) − S(f, P (i)) ε < 2(k − l)J. P´ez a 30
  • 37. 1.4. Medida de Jordan Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı Yy Df,R R GX Figura 1.16: En cada subrect´ngulo Ri que no interseca al conjunto de las discontinuidades de a f en R (Df,R), “extendemos” su partici´n P (i) para obtener otra partici´n Q del rect´ngulo R o o a (en la figura s´lo se hizo en cinco de ´stos) o eUna vez aclarado lo anterior, tenemos que ⎛ ⎞ k ki S(f, Q) − S(f, Q) = ⎝ (Mj,i − mj,i ) · m(Rj,i)⎠ i=1 j=1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ l ki k ki = ⎝ (Mj,i − mj,i ) · m(Rj,i)⎠ + ⎝ (Mj,i − mj,i ) · m(Rj,i)⎠ i=1 j=1 i=l+1 j=1 ⎛ ⎞ l ki k = ⎝ (Mj,i − mj,i ) · m(Rj,i)⎠ + S(f, Q(i) ) − S(f, Q(i)) i=1 j=1 i=l+1 ⎛ ⎞ l ki k ≤ ⎝ 2M · m(Rj,i)⎠ + S(f, P (i)) − S(f, P (i)) i=1 j=1 i=l+1 ⎛ ⎞ l ki k ⎝ ε < 2M · m(Rj,i)⎠ + 2(k − l) i=1 j=1 i=l+1 l ε = 2M · m(Ri) + 2 i=1 ε ε < 2M · + 4M 2 =εen donde, como era de esperarse, Mj,i = sup{f (ˆ) | x ∈ Rj,i }, y mj,i = inf{f (ˆ) | x ∈ Rj,i } para x ˆ x ˆi = 1, . . . , k y j = 1, . . . , ki.Como se podr´ observar, con esto terminamos la prueba del teorema. a Como dijimos antes, este teorema es una respuesta parcial al problema de caracterizar a las 31 J. P´ez a
  • 38. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.5. La integral sobre conjuntos Jordan-mediblesfunciones integrables en t´rminos de la medida su conjunto de discontinuidades. Es un hecho edesafortunado que, si una funci´n es integrable sobre un rect´ngulo, no se pueda asegurar que o asu conjunto de discontinuidades sea Jordan-medible, lo que se puede comprobar con la funci´n odel problema 9. Por cierto que, si se supiera que el conjunto de discontinuidades de una funci´n ointegrable es Jordan-medible, ´ste tendr´ que ser necesariamente de medida cero, como se pide e ıaprobar en el ejercicio 25. Sin embargo, y como casi todo mundo lo sabe, los matem´ticos no suelen quedarse con una aduda y no falt´ uno de ellos que se diera a la tarea de buscar una nueva forma de medir conjuntos oque permitiera caracterizar a las funciones integrables (o m´s espec´ a ıficamente, a el conjunto dediscontinuidades de una funci´n integrable). Este trabajo lo realiz´ el matem´tico franc´s Henri o o a eLe´n Lebesgue (1875-1941) quien introdujo un nuevo concepto de medida de conjuntos (y que por orazones obvias ahora se le conoce como medida de Lebesgue). En particular, los conjuntos queresultan ser “flacos” con esta medida (es decir, los conjuntos de medidad de Lebesgue cero) secaracterizan por una propiedad an´loga a la que sirve para caracterizar a los conjuntos de medida ade Jordan cero, y que nosotros probamos en el teorema 1.7. Espec´ ıficamete se tiene la siguienteDefinici´n 1.9 Sea A ⊂ Rn , un conjunto acotado. A tiene medida de Lebesgue cero si para cada oε > 0 existe una cantidad numerable de rect´ngulos R1 , R2, . . . , Rk , . . . tales que: a ∞ 1. A ⊂ Rk , y k=1 ∞ 2. m(Rk ) < ε k=1En este caso escribimos que λ(A) = 0 (en donde λ(A) denota la medida de Lebesgue de A). Lo mejor de todo esto es que, sin tener que saber c´mo se define en general la medida de oLebesgue, y s´lo contando con la definici´n anterior, podemos formular el teorema que nos permite o ocaracterizar plenamente a las funciones integrables sobre un rect´ngulo R. Este teorema es conocido acomo el Teorema de Lebesgue (¡uno de los muchos que prob´!) y dice lo siguiente oTeorema 1.10 (de Lebesgue) Sea f : R ⊂ Rn → R acotada sobre el rect´ngulo R. f es inte- agrable sobre R si y s´lo si el conjunto de discontinuidades de f sobre R (Df,R) es un conjunto de omedida de Lebesgue cero (es decir, λ(Df,R) = 0). La prueba de este teorema requiere de algunos resultados previos relacionados con los conjuntosde medida de Lebesgue cero los cuales, aunque sencillos de probar, escapan a los objetivos de estetexto. Por esta raz´n, dichos resultados y la prueba del propio teorema se incluyen en un ap´ndice. o e1.5 La integral sobre conjuntos Jordan-mediblesEn esta secci´n mostraremos que el concepto de integral se puede extender a conjuntos m´s generales o aque los rect´ngulos. En principio, podremos extenderlo a cualquier conjunto acotado A ⊂ Rn (de ahecho, as´ lo haremos), aunque r´pidamente nos daremos cuenta de que, para ciertos conjuntos ı aacotados, algunas funciones tan sencillas como las funciones constantes (distintas de la constantecero) no resultar´n ser integrables. En este sentido, si queremos que funciones tan “elementales” a(como por ejemplo la funci´n constante uno) resulten ser integrables, lo m´s apropiado ser´ que o a anos concentremos en los conjuntos Jordan-medibles. Una vez aclarado lo anterior, procedemos a dar nuestra definici´noJ. P´ez a 32
  • 39. 1.5. La integral sobre conjuntos Jordan-medibles Cap´tulo 1. Integral de Riemann ıDefinici´n 1.10 Sea f : A ⊂ Rn → R acotada sobre el conjunto acotado A. Definimos fA : Rn → oR como ⎧ ⎨ f (ˆ) x si x ∈ A ˆ fA (ˆ) = x ⎩ 0 si x ∈ A ˆ /(ver figura 1.17).Decimos que f es integrable sobre A si la funci´n fA es integrable sobre alg´n rect´ngulo R que o u acontenga a A. En este caso diremos que la integral de f sobre A (que denotaremos por A f ) est´ adada por f= fA A R Zy Ò GY ÒÒ ÒÒ ÒÒ ÒÒÒ A ÒÒ ÐÒÒÒ X Figura 1.17: La gr´fica de la funci´n fA de un conjunto A ⊂ R2 a o De forma an´loga a como lo hicimos cuando definimos los conjuntos Jordan-medibles, debe ahacerse notar que la definici´n anterior no depende del rect´ngulo R que se elija. Usando la o amisma herramienta que en ese caso se puede probar que, si la funci´n fA es integrable sobre alg´n o urect´ngulo R que contenga al conjunto A, entonces es integrable sobre cualquier otro rect´ngulo a aque lo contenga. Asimismo vale la pena destacar que, si la funci´n f es la funci´n constante uno sobre A (f ≡ 1) o oentonces la funci´n fA no es m´s que la funci´n caracter´ o a o ıstica de A, de forma tal que pedir que estafunci´n sea integrable sobre A, es lo mismo que pedir que A sea un conjunto Jordan-medible. He oaqu´ la raz´n por la que decimos que nuestra definici´n de integral sobre conjuntos m´s arbitrarios ı o o aque los rect´ngulos, en realidad debiera de circunscribirse a los conjuntos Jordan-medibles. a La discusi´n anterior tambi´n sirve para mostrar que, si no suponemos que el conjunto A sobre o eel cual queremos integrar es Jordan-medible, entonces podemos tomar funciones que, a pesar deque se porten muy bien sobre dicho conjunto (como por ejemplo que sean continuas sobre A), decualquier forma no resultan ser integrables sobre A (¡qu´ mejor ejemplo que la funci´n constante e ouno!). Por el contrario, si suponemos que el conjunto es Jordan-medible, se puede probar quecualquier funci´n que sea continua sobre A resulta ser integrable sobre ´l. M´s a´n, con ayuda o e a udel teorema 1.9 podemos probar un resultado un poco m´s general y del cual la afirmaci´n previa a oresultar´ ser un corolario. a 33 J. P´ez a
  • 40. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.5. La integral sobre conjuntos Jordan-mediblesTeorema 1.11 Sea f : A ⊂ Rn → R acotada sobre el conjunto Jordan-medible A. Si el conjuntode discontinuidades de f sobre A (Df,A) es un conjunto Jordan-medible y de medida cero entoncesf es integrable sobre A.Dem. Sea R un rect´ngulo que contenga a A. De acuerdo con la definici´n, hay que probar a oque la funci´n fA es integrable sobre este rect´ngulo. Para obtener esto, por el teorema 1.9 basta o aprobar que el conjunto de discontinuidades de la funci´n fA sobre el rect´ngulo R es un conjunto o aJordan-medible y de medida cero, lo cual a su vez se obtiene de la contenci´n que se prueba en el oejercicio 29, del hecho de que la F r(A) es un cojunto Jordan-medible y de medida cero (puesto queA es Jordan-medible (teorema 1.6)), y de ambos incisos del problema 20.Corolario 1.2 Si f : A ⊂ Rn → R es continua sobre el conjunto Jordan-medible A entonces f esintegrable sobre A. Esta manera de extender el concepto de integral a otros conjuntos tiene todas las propiedadesb´sicas que se pueden esperar de ella. Sobre todo aquellas que tienen que ver con las operaciones aentre funciones (suma, multiplicaci´n, etc.), en donde incluso ni siquiera hace falta suponer que el oconjunto sobre el cual estemos integrando, es Jordan-medible. Estas propiedades quedan resumidasen el siguiente teorema y su prueba, como era de esperarse, se deja al lector.Teorema 1.12 Sean f, g : A ⊂ Rn → R integrables sobre el conjunto A. Entonces: 1. f + g es integrable sobre A y adem´s a (f + g) = f+ g A A A 2. si c ∈ R, cf es integrable sobre A y adem´s a cf = c · f A A 3. f g es integrable sobre A 4. si f (ˆ) ≥ 0 para toda x ∈ A entonces x ˆ f ≥0 A 5. si f (ˆ) ≤ g(ˆ) para toda x ∈ A, entonces x x ˆ f≤ g A A 6. |f | es integrable sobre A y adem´s a f ≤ |f | A A 7. las funciones max{f, g} y min{f, g} son integrables sobre A Adem´s de trabajar bien con las operaciones entre funciones, este concepto de integral tambi´n a ese lleva bien con las operaciones entre conjuntos. Esto significa que, si una funci´n es integrable osobre un par de conjuntos, entonces es integrable sobre la intersecci´n y la uni´n de ambos. Como o oen el caso del teorema anterior, estas propiedades son v´lidas aun cuando los conjuntos en cuesti´n a ono sean Jordan-medibles, como se establece en el siguienteTeorema 1.13 Si f : A ∪ B ⊂ Rn → R es integrable sobre A y sobre B entonces f es integrablesobre A ∩ B y A ∪ B y adem´s a f= f+ f− f (1.8) A∪B A B A∩BJ. P´ez a 34
  • 41. 1.5. La integral sobre conjuntos Jordan-medibles Cap´tulo 1. Integral de Riemann ıDem. Primero observemos que, como f es integrable sobre A y sobre B, entonces fA y fB sonintegrables (sobre alg´n rect´ngulo R que contenga a A ∪ B) de tal forma que, por el problema 14 u asabemos que (fA )+ y (fB )+ son integrables sobre R. Ahora, por la primera identidad del primerinciso del problema 34 se tiene que (fA∩B )+ es integrable sobre R. An´logamente se prueba que a(fA∩B )− es integrable sobre R. Por otra parte, dado que fA∩B = (fA∩B )+ + (fA∩B )− se tiene quefA∩B es integrable sobre R, es decir, f es integrable sobre A ∩ B. Finalmente, por la identidad delsegundo inciso del mismo problema 34 tenemos que fA∪B = fA + fB − fA∩Bde tal forma que podemos concluir que f es integrable sobre A ∪ B, adem´s de que tambi´n a eobtenemos la f´rmula 1.8. o Para concluir esta secci´n (¡y este cap´ o ıtulo!), probaremos las correspondientes versiones de “elTeorema del Valor Promedio” y “el Teorema del Valor Promedio Generalizado” que tambi´n son ev´lidos para la integral con la que estamos tratando, s´lo que a diferencia de los teoremas anteriores, a opara ´stos s´ hace falta suponer que el conjunto sobre el cual se est´ integrando sea Jordan-medible e ı a(adem´s de otra propiedad). aTeorema 1.14 Sean, f, g : A ⊂ Rn → R tales que, f es continua y acotada en A, g es integrablesobre A y A es un conjunto conexo y Jordan-medible. Entonces: 1. ˆ ˆ = f (ξ) · J(A) para alguna ξ ∈ A Af 2. si g(ˆ) ≥ 0 para toda x ∈ A entonces x ˆ ˆ = f (ξ) · ˆ para alguna ξ ∈ A A fg AgDem. Sean m = inf{f (ˆ) | x ∈ A} y M = sup{f (ˆ) | x ∈ A}. Entonces x ˆ x ˆ m ≤ f (ˆ) ≤ M x (1.9)para toda x ∈ A. Como A es Jordan-medible, por el inciso 5 del teorema 1.12, tenemos que ˆ m · J(A) ≤ f ≤ M · J(A) (1.10) AObs´rvese que si J(A) = 0 entonces, de las desigualdades anteriores, concluimos que A f = 0 de e ˆtal forma que la identidad del inciso 1 se cumple para cualquier ξ ∈ A. Supongamos por tanto queJ(A) > 0. En este caso, por el inciso a) del problema 21 y el problema 37 (aplicado a las funcionesf − m y/o M − f ), podemos asegurar que, si en 1.9 alguna de las desigualdades es estricta paratoda x ∈ A , entonces la correspondiente en 1.10 tambi´n es estricta. De esta forma, a´ n cuando ˆ e use diera esta desigualdad estricta, dado que f es continua sobre el conjunto conexo A, podemosasegurar que el n´mero A f /J(A) pertenece a f (A) (la imagen de A bajo f ), o lo que es lo u ˆmismo, que existe ξ ∈ A tal que Af ˆ = f (ξ) J(A)con lo cual terminamos la prueba del inciso 1). Para la prueba del inciso 2, si en 1.9 multiplicamos por g(ˆ) tenemos que x m · g(ˆ) ≤ f (ˆ) · g(ˆ) ≤ M · g(ˆ) x x x x 35 J. P´ez a
  • 42. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.6. Problemaspara toda x ∈ A de tal forma que, nuevamente por el inciso 5 del teorema 1.12, se tiene que ˆ m· g≤ fg ≤ M · g (1.11) A A AComo en la prueba del inciso 1, si A g = 0, por las desigualdades anteriores tenemos que A f g = 0 ˆy por tanto la identidad del inciso 2 se cumple para cualquier ξ ∈ A. Supongamos entonces que A g > 0. En este caso, por el problema 37 (en un sentido aplicado a la funci´n g y en el otro a las ofunciones f g − mg y/o M g − f g) de nueva cuenta podemos concluir que, si en 1.9 alguna de lasdesigualdades es estricta para toda x ∈ A , entonces la correspondiente en 1.11 tambi´n es estricta. ˆ ePor este hecho, y por las mismas hip´tesis sobre f y sobre A que usamos en la prueba del primer oinciso, podemos asegurar que el n´ mero A f g / A g pertenece a f (A), o lo que es lo mismo, u ˆque existe ξ ∈ A tal que A fg ˆ = f (ξ) A gcon lo cual terminamos la prueba del inciso 2.1.6 Problemas 1. Sea R = [a1 , b1] × · · · × [an , bn] un rect´ngulo en Rn . Pruebe que: a √ (a) si bi − ai < δ para i = 1, . . . , n, entonces d(R) < n·δ (b) si x, y ∈ R, entonces x − y ≤ d(R) ˆ ˆ ˆ ˆ (c) si x0 ∈ R y r > d(R), entonces R ⊂ Br (ˆ0 ) ˆ x 2. Sea R = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn] un rect´ngulo en Rn . Dado ε > 0, pruebe que existen R1 , R2 a rect´ngulos tales que a (a) R1 ⊂ int(R) y m(R) − ε < m(R1 ) (b) R ⊂ int(R2 ), y m(R2 ) < m(R) + ε. 3. Pruebe que, si A ⊂ Rn es un conjunto acotado, entonces existe R un rect´ngulo en Rn tal a que A ⊂ R. 4. Pruebe que si A ⊂ Rn y R es un rect´ngulo en Rn tal que R ∩ A = ∅ y R ∩ Ac = ∅ entonces a R ∩ F r(A) = ∅. 5. Sean P y Q dos particiones del rect´ngulo R ⊂ Rn . Pruebe que Q refina a P si y s´lo si a o P ⊂ Q. 6. Pruebe que, si f es integrable sobre el rect´ngulo R ⊂ Rn , entonces f es integrable sobre a cualquier rect´ngulo R ⊂ R. a 7. Sea f : R ⊂ Rn → R acotada tal que f (ˆ) = 0 para toda x ∈ int(R). Pruebe que f es x ˆ integrable sobre R y que f = 0. RJ. P´ez a 36
  • 43. 1.6. Problemas Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 8. Sea f : R ⊂ Rn → R acotada tal que f (ˆ) ≥ 0 para toda x ∈ R. Si para todo ε > 0 existe P x ˆ una partici´n de R tal que S(f, P) < ε entonces f es integrable sobre R y f = 0. o R 9. Sea f : R = [0, 1] × [0, 1] → R definida como: ⎧ ⎨ 0 si x ´ y es irracional, 0 o 1 o ´ f (x, y) = ⎩ 1 1 n + q si x = m y y = p con (m, n) y (p, q) primos relativos n q Determine si f es integrable sobre R. Pruebe su respuesta. 10. Sean, f : R ⊂ Rn → R acotada, I ∈ R, y {P (k)}, {Q(k)} dos sucesiones de particiones del rect´ngulo R tales que a lim S(f, P (k)) = I = lim S(f, Q(k) ) k→∞ k→∞ Pruebe que f es integrable sobre R y que adem´s a f =I R 11. Sea f : R ⊂ Rn → R integrables sobre R. Pruebe que, si M y m son tales que m ≤ f (ˆ) ≤ M x para toda x ∈ R, entonces m · m(R) ≤ f ≤ M · m(R) ˆ R 12. Sean f ,g funciones integrables sobre el rect´ngulo cerrado R ⊂ Rn y c ∈ R. Pruebe que f + g a y cf son integrables sobre R, y adem´s a (f + g) = f+ g y cf = c f R R R R R 13. Sean R, R1 , R2 rect´ngulos en Rn tales que R = R1 ∪ R2 e int(R1 ) ∩ int(R2 ) = ∅ (observe a que, si R = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] y ai < c < bi para alguna i ∈ {1, 2, . . . , n} entonces R1 = [a1 , b1 ] × · · · × [ai , c] × · · · × [an , bn] y R2 = [a1 , b1] × · · · × [c, bi] × · · · × [an , bn] son dos rect´ngulos que satisfacen las codiciones de este problema. Sin embargo, lo m´s importante de a a esta observaci´n es que ¡tambi´n se cumple lo rec´ o e ıproco! Es decir, si R, R1, R2 son rect´ngulos a que satisfacen las condiciones de este problema, entonces deben de poderse escribir justo como los que acabamos de describir). Pruebe que: − − − (a) f= f+ f y f= f+ f −R −R1 −R2 R R1 R2 (b) f es integrable sobre R si y s´lo si f es integrable sobre R1 y R2 . Adem´s, en ambos o a casos se tiene que f = f + f R R1 R2 14. Pruebe que, si f : R ⊂ Rn → R es integrable sobre R, entonces: (a) f+ definida como ⎧ ⎨ f (ˆ) x si f (ˆ) > 0 x f+ (ˆ) = x ⎩ 0 si f (ˆ) ≤ 0 x es integrable sobre R 37 J. P´ez a
  • 44. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.6. Problemas (b) f− definida como ⎧ ⎨ f (ˆ) x si f (ˆ) < 0 x f− (ˆ) = x ⎩ 0 si f (ˆ) ≥ 0 x es integrable sobre R (sugerencia: pruebe, y use, que f = f+ + f− ) (c) | f | es integrable sobre R y adem´s a f ≤ |f | R R (sugerencia: pruebe, y use, que | f |= f+ − f− ) (d) si adem´s g : R ⊂ Rn → R es integrable sobre R, entonces min{f, g} y max{f, g} son a integrables sobre R. 15. Sea f : R ⊂ Rn → R acotada (a) Suponga que f (ˆ) ≥ 0 para toda x ∈ R. Pruebe que, si M = sup{ f (ˆ) | x ∈ R}, x ˆ x ˆ M = sup{ f 2 (ˆ) | x ∈ R}, m = inf{ f (ˆ) | x ∈ R} y m = inf{ f 2 (ˆ) | x ∈ R}, x ˆ x ˆ x ˆ entonces M = M 2 y m = m2 . ¿Es indispensable la hip´tesis de que f sea no negativa? o Justifique su respuesta. (b) Pruebe que, si f es integrable sobre R entonces f 2 es integrable sobre R. (c) Pruebe que, si f y g son integrables sobre R entonces f g es integrable sobre R 16. Sea f : R ⊂ Rn → R acotada tal que f (ˆ) ≥ c > 0 para toda x ∈ R. Pruebe que, si f 2 x ˆ es integrable sobre R entonces f es integrable sobre R. ¿Qu´ sucede si f (ˆ) ≥ 0 para toda e x x ∈ R? ˆ 17. Sea f : R ⊂ Rn → R integrable sobre R tal que f (ˆ) ≤ 0 para toda x ∈ R. Pruebe que: x ˆ (a) f ≤0 R (b) si f es continua en x0 ∈ R y f (ˆ0 ) < 0, entonces ˆ x f <0 R (c) si f es mayor que cero para toda x ∈ R, entonces ˆ f <0 R 18. Sea R ⊂ Rn un rect´ngulo. Pruebe que R es Jordan-medible y que J(R) = m(R) a 19. Pruebe el teorema 1.7. 20. Sean A, B ⊂ Rn . Pruebe que: (a) si J(B) = J(A) = 0, entonces J(A ∪ B) = 0 (b) si B ⊂ A y J(A) = 0, entonces B es Jordan-medible y adem´s J(B) = 0 a 21. Sea A ⊂ Rn un conjunto Jordan-medible. Pruebe que: (a) J(A) > 0 ⇔ int(A) = ∅J. P´ez a 38
  • 45. 1.6. Problemas Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı (b) J(A) = 0 ⇔ A ⊂ F r(A) (c) int(A) es Jordan-medible y adem´s J(int(A)) = J(A) a (d) si B es un conjunto tal que int(A) ⊆ B ⊆ (A ∪ F r(A)), entonces B es Jordan-medible y adem´s J(B) = J(A) a ∞ ∞ 22. Sea {Ak ⊂ Rn | k ∈ N} una familia de conjuntos Jordan-medibles tales que Ak y Ak k=1 k=1 ∞ ∞ son acotados. ¿Los conjuntos Ak y Ak son Jordan-medibles? Pruebe su respuesta. k=1 k=1 23. Sean A, B ⊂ Rn Jordan-medibles. Pruebe que AB es Jordan-medible y adem´s J(AB) = a J(A) − J(A ∩ B) 24. Determine si el conjunto de discontinuidades de cada una de las funciones de los ejemplos 1.1 y 1.2, y el problema 9 son Jordan-medibles, y diga cu´l es su medida. Pruebe sus respuestas. a 25. Sea f : R ⊂ Rn → R integrable sobre el rect´ngulo R tal que Df,R es un conjunto Jordan- a medible. Pruebe que J(Df,R ) = 0. 26. Sean, A = {(x, y) ∈ R2 | 0 < x, y < 1 y x, y ∈ Q}, y f : A ⊂ Rn → R definida como 1 1 f (x, y) = + n q m p en donde x = n,y = q y (m, n),(p, q) son primos relativos. (a) ¿A es un conjunto Jordan-medible? (b) ¿f es integrable sobre A? Pruebe sus respuestas. 27. Sea f : A ⊂ Rn → R, tal que J(A) = 0 y f es acotada sobre A. Pruebe que f es integrable sobre A y adem´s f = 0. a A 28. Sea f : A ⊂ Rn → R acotada sobre el conjunto Jordan-medible A. Pruebe que, si f (ˆ) = 0 x para toda x ∈ int(A) entonces f es integrable sobre A y adem´s f = 0. ˆ a A 29. Sea f : A ⊂ → R acotada sobre el conjunto Jordan-medible A y R un rect´ngulo tal Rn a que A ⊂ R. Pruebe que DfA ,R ⊂ F r(A) ∪ Df,A . ¿Es necesaria la hip´tesis de que A sea un o conjunto Jordan-medible? Pruebe su respuesta. 30. Pruebe el teorema 1.12. 31. Sea f : A ⊂ Rn → R integrable sobre el conjunto Jordan-medible A. Pruebe que la gr´fica de a f (Gf = {(ˆ, f (ˆ)) ∈ Rn+1 | x ∈ A}) es un conjunto Jordan-medible (en Rn+1 ) y de medida x x ˆ cero. 32. Sean f, g : A ⊂ Rn → R continuas sobre el conjunto cerrado, acotado y Jordan-medible A, tales que f (ˆ) ≤ g(ˆ) para toda x ∈ A. Pruebe que el conjunto x x ˆ {(ˆ, y) ∈ Rn+1 | f (ˆ) ≤ y ≤ g(ˆ), x ∈ A} x x x ˆ es Jordan-medible (en Rn+1 ). 39 J. P´ez a
  • 46. Cap´tulo 1. Integral de Riemann ı 1.6. Problemas 33. Sea f : A ⊂ Rn → R integrable sobre A y B ⊂ A. (a) ¿f es integrable sobre B? Pruebe su respuesta (b) ¿bajo que condiciones sobre B es cierto que f es integrable sobre B? Pruebe su respuesta (c) pruebe que, si f es integrable sobre B entonces f es integrable sobre AB (d) pruebe que, si f es integrable sobre B y adem´s f (ˆ) ≥ 0 para toda x ∈ A, entonces a x ˆ f≤ f B A 34. Sea f : A ∪ B ⊂ Rn → R acotada sobre el conjunto acotado A ∪ B. Pruebe que: (a) (fA∩B )+ = min{(fA )+ , (fB )+ } y (fA∩B )− = max{(fA )− , (fB )− } (consulte el problema 14 para la definici´n de estas funciones) o (b) fA∪B + fA∩B = fA + fB 35. Sean A, B, C ⊂ Rn que A = B ∪ C. Pruebe que, si f : A ⊂ Rn → R es integrable sobre A, sobre AB y sobre AC entonces f es integrable sobre B, sobre C y sobre B ∩ C y adem´s a f= f+ f− f. A B C B∩C 36. Sea f : A ⊂ → R integrable sobre el conjunto Jordan-medible A tal que f (ˆ) ≥ 0 para Rn x toda x ∈ A. Pruebe que, si f es continua en x0 ∈ int(A) y f (ˆ0 ) > 0 entonces f > 0. ¿Es ˆ ˆ x A indispensable la hip´tesis de que x0 ∈ int(A)? o ˆ 37. Sea f : A ⊂ Rn → R integrable sobre el conjunto Jordan-medible A. Suponga que f (ˆ) ≥ 0 x para toda x ∈ A y sea B = {ˆ ∈ A | f (ˆ) > 0}. Pruebe que: f > 0 si y s´lo si int(B) = ∅. ˆ x x o A 38. Sea f : A ⊂ R → R integrable sobre el conjunto Jordan-medible A. Sea B = {ˆ ∈ A | n x f (ˆ) = 0} x (a) ¿B es un conjunto Jordan-medible? (b) pruebe que f es integrable sobre B y que adem´s a f= f A BJ. P´ez a 40
  • 47. Cap´ ıtulo 2Calculando integralesSi bien es cierto que por el material expuesto en el cap´ıtulo 1 sabemos c´mo se define la integral de ouna funci´n de varias variables con valores reales, tambi´n es cierto que hasta ahora no contamos o econ herramientas sencillas que nos permitan calcular, salvo en casos muy espec´ ıficos, el valor deeste tipo de integrales. Pues bien, la intenci´n de este cap´ o ıtulo es la de desarrollar dichas herramientas, las cuales est´n abasadas fundamentalmente en dos resultados: el Teorema de Fubini1 y el Teorema de Cambio deVariable.2.1 Integrales iteradasComo se recordar´, para el caso de una funci´n f definida sobre un rect´ngulo R = [a, b] × [c, d] a o aen R2 , y de valores positivos, la integral de f sobre R se puede interpretar geom´tricamente como eel volumen de la regi´n que se encuentra “por arriba” del rect´ngulo R y “por abajo” de la gr´fica o a ade la funci´n f . Y trat´ndose del c´lculo de vol´menes, seguramente el lector alguna vez habr´ o a a u aescuchado hablar del principio de Cavalieri2, aunque en realidad aqu´ haremos referencia al m´todo ı ede Cavalieri para el c´lculo de vol´menes. a u GG GG GGG G GGG GG GG GG GG GG GG G GG GG GG GG GG GG GG GG GG GG GG Figura 2.1: El m´todo de Cavalieri para aproximar el volumen de un objeto consiste en: “rebanar” e el objeto; despu´s, para cada rebanada, calcular el ´rea de alguna de sus “caras” (o de alguna e a “cara intermedia”), multiplicarla por el “grosor” de dicha rebanada (obteniendo as´ un volumen) ı y finalmente sumar todos estos vol´menes u 1 Guido Fubini, matem´tico italiano (1879-1943) a 2 Bonaventura Cavalieri (1598-1647), matem´tico italiano disc´ a ıpulo de Galileo, cuyo principio establece que elvolumen de dos objetos es igual, si existe una manera de colocarlos de tal forma que al realizar cortes paralelos ycon el mismo plano en ambos objetos, el ´rea de cada una de las “caras” o figuras que se forman en cada objeto, son aiguales. 41
  • 48. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.1. Integrales iteradas En t´rminos generales, dicho m´todo consiste en “rebanar” nuestro objeto; despu´s, para cada e e erebanada, calcular el area de alguna de sus “caras” (o de alguna “cara intermedia”), multiplicarla ´por el “grosor” de dicha rebanada (obteniendo as´ un volumen) y finalmente sumar todos estos ıvol´menes (ver figura 2.1). Como seguramente el lector se habr´ percatado, este m´todo no es m´s u a e aque una forma pintoresca de describir la construcci´n de lo que ahora llamamos sumas de Riemann ode una cierta funci´n, que en este caso ser´ aquella que asigna el area de las “caras” de cualquier o ıa ´“rebanada” o corte que hagamos, y de cuya disponibilidad depende el ´xito del m´todo de Cavalieri. e e Pues bien, para el caso en R2 que nos ocupa, resulta que s´ hay formas de cortar nuestra regi´n ı ode tal manera que s´ podemos tener la funci´n que nos asigna el area de la figura que se obtiene ı o ´en cada corte. De hecho, podemos hacer los cortes de dos formas diferentes y en ambas es posibleobtener dicha funci´n. Observe que, si cortamos nuestra regi´n por un plano paralelo al plano o oY Z a la “altura” del punto x0 ∈ [a, b] del eje X, la figura que se obtiene es justo la misma queobtenemos al considerar aquella que est´ por debajo de la gr´fica de la funci´n fx0 : [c, d] → R a a odefinida como fx0 (y) = f (x0 , y) (ver figura 2.2). De esta forma, el area de la figura correspodiente ´al corte realizado a la altura x0 , que denotaremos por α(x0 ), coincide con ser d α(x0 ) = fx0 (y)dy c d = f (x0 , y)dy cN´tese que α es una funci´n definida sobre el intervalo [a, b] y es justo una funci´n que es util para o o o ´aplicar el m´todo de Cavalieri. e Zy y fx0 (y) = f (x0 , y) Gf c d GY  a       x0    G     b    R c y d  X Figura 2.2: Si a la regi´n que se encuentra “por arriba” del rect´ngulo R y “por abajo” de la o a gr´fica de la funci´n f (Gf ), la “cortamos” por un plano paralelo al plano Y Z a la “altura” a o del punto x0 ∈ [a, b] del eje X, la figura que se obtiene es justo la misma que obtenemos al considerar aquella que est´ por debajo de la gr´fica de la funci´n fx0 : [c, d] → R definida como a a o fx0 (y) = f (x0 , y) Tambi´n podemos hacer cortes con planos paralelos al plano XZ; as´ si cortamos a la altura e ı,del punto y0 ∈ [c, d] del eje Y , la figura que se obtiene coincide con la que est´ por debajo de la aJ. P´ez a 42
  • 49. 2.1. Integrales iteradas Cap´tulo 2. Calculando integrales ıgr´fica de la funci´n fy0 : [a, b] → R definida como fy0 (x) = f (x, y0 ), de tal forma que el area de la a o ´figura obtenida con este corte (ver figura 2.3), que denotaremos por β(y0 ), estar´ dada por a b β(y0 ) = fy0 (x)dx a b = f (x, y0 )dx aEn este caso, β es una funci´n definida sobre el intervalo [c, d] y con ella tambi´n podemos aplicar o eel m´todo de Cavalieri. e Zy y Gf fy0 (x) = f (x, y0 ) b a Xo c cccc cc cc ccc cc cc cc cc c cc cc ccc0 y o cc cc cc b x a c c ccd R c1 Y Figura 2.3: Tambi´n podemos hacer cortes con planos paralelos al plano XZ. Si cortamos a e la altura del punto y0 ∈ [c, d] del eje Y , la figura que se obtiene coincide con la que est´ por a debajo de la gr´fica de la funci´n fy0 : [a, b] → R definida como fy0 (x) = f (x, y0 ) a o Si todo lo dicho anteriormente est´ bien (que s´ lo estar´, salvo por uno que otro “peque˜o a ı a najuste”), el volumen de la regi´n que describimos al principio, y que “geom´tricamente” es lo que o erepresenta la integral de f sobre R ( R f ), deber´ estar dado por a b f= α(x)dx R a b ⎛ d ⎞ = ⎝ f (x, y)dy ⎠ dx a co por d f= β(y)dy R c d ⎛ b ⎞ = ⎝ f (x, y)dx⎠ dy c a 43 J. P´ez a
  • 50. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.1. Integrales iteradas Las integrales que aparecen en el segundo rengl´n de cada una de las identidades anteriores, se ollaman integrales iteradas, se calculan de “adentro hacia afuera”, y de la misma forma que en elcaso de la derivaci´n parcial, en cada paso, las variables diferentes a la variable de integraci´n, se o oconsideran como constantes. Es importante destacar que las identidades anteriores nos proporcionan dos m´todos para cal- ecular la integral de f sobre R, y adem´s ambos m´todos nos dan el mismo resultado. El teorema de a eFubini es famoso por esta propiedad, y ´sta se resume diciendo que podemos integrar en el orden eque queramos. Si bien esto es cierto (bajo ciertas hip´tesis), es s´lo una parte. La otra, es justo o ola que establece que la integral de una funci´n de varias variables se puede integrar por medio de ointegraciones iteradas. Una vez que hemos llegado hasta aqu´ es necesario precisar algunas cuestiones. La primera de ı,ellas tiene que ver con las funciones α y β que definimos p´rrafos arriba. Y la pregunta es: ¿α ay β est´n definidas para todo x ∈ [a, b] y para toda y ∈ [c, d], respectivamente? Y bueno, si s´lo a osabemos que la funci´n original f es integrable sobre R, entonces la respuesta es: no. Y un ejemplo oque prueba esta afirmaci´n nos lo proporciona la funci´n del ejercicio 9 del cap´ o o ıtulo anterior.Ejemplo 2.1 Recordemos que esta funci´n est´ definida como o a ⎧ ⎨ 0 si x ´ y es irracional, 0 ´ 1 o o f (x, y) = ⎩ 1 1 n + q si x = m y y = p con (m, n) y (p, q) primos relativos n qObservemos que, si x0 ∈ [0, 1] es irracional, entonces fx0 (y) = f (x0 , y) = 0 para toda y ∈ [0, 1] encuyo caso la correspondiente funci´n α s´ est´ definida para este punto, y adem´s o ı a a 1 α(x0 ) = fx0 (y)dy 0 =0Sin embargo, si x0 ∈ [0, 1] es racional, con x0 = m0 /n0 , entonces ⎧ ⎨ 0 si y es irracional fx0 (y) = f (x0 , y) = ⎩ 1 1 p n0 + q si y = q con p y q primos relativos 1No es dif´cil comprobar para esta funci´n que su integral inferior 0 fx0 (y)dy = 0 y su integral ı o 1superior 0 fx0 (y)dy = 1/n0 , lo que significa que no es integrable en el intervalo [0, 1] y que por lotanto la funci´n α no est´ definida para estos valores de x. El lector puede verificar que se da una o asituaci´n an´loga para la funci´n β. o a o El ejemplo anterior no deber´ rompernos el coraz´n puesto que para una clase muy grande de a ofunciones (las continuas) no tendremos ning´n problema en definir a las ya famosas funciones α y β ude los p´rrafos anteriores, lo cual se deduce f´cilmente del problema 1. Y a´n menos descorazonador a a unos resultar´ dicho ejemplo, si observamos que, si bien no es posible definir las funciones α y β a 1 1puesto que las integrales 0 fx (y)dy y 0 fy (x)dx no existen para todo x ∈ [0, 1] y/o todo y ∈ [0, 1],de las que s´ podemos estar seguros que s´ existen, son las integrales inferiores y superiores de las ı ımismas funciones fx y fy . Es decir, sin importar que valores x ∈ [0, 1] y y ∈ [0, 1] escojamos, losJ. P´ez a 44
  • 51. 2.1. Integrales iteradas Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 1 1 1 1n´meros 0 fx (y)dy, 0 fx (y)dy, 0 fy (x)dx y 0 fy (x)dx siempre existen. As´ dado x ∈ [0, 1] le u ı,podemos asociar dos n´meros, que ahora denotaremos por φ(x) y Φ(x), de la siguiente forma u 1 1 φ(x) = fx (y)dy = f (x, y)dy = 0 para toda x ∈ [0, 1] 0 0y 1 1 ⎧ ⎨ 0 si x es irracional Φ(x) = fx (y)dy = f (x, y)dy = ⎩ 1 m 0 0 n si x = nY lo mejor de todo esto es que este par de funciones φ(x) y Φ(x) (x ∈ [0, 1]) que obtenemos de estamanera, ¡son integrables! con la propiedad de que 1 φ(x)dx = 0 0 = f Ry tambi´n e 1 Φ(x)dx = 0 0 = f RPor supuesto que tambi´n se cumple lo mismo si para cada y ∈ [0, 1], definimos las funciones e 1 1 ψ(y) = fy (x)dx = f (x, y)dx = 0 para toda y ∈ [0, 1] 0 0y 1 1 ⎧ ⎨ 0 si y es irracional Ψ(y) = fy (x)dx = f (x, y)dx = ⎩ 1 p 0 0 q si y = qque tambi´n resultar´n integrables, con la propiedad de que e a 1 ψ(y)dy = 0 0 = f R 45 J. P´ez a
  • 52. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.1. Integrales iteradasy 1 Ψ(y)dy = 0 0 = f R Lo que vamos hacer a continuaci´n es mostrar que estas propiedades no son exclusivas de la ofunci´n del ejemplo 2.1. M´s aun, veremos que las ideas que est´n detr´s del m´todo descrito o a a a ep´rrafos arriba para calcular el volumen de una figura que se puede expresar como la integral de auna funci´n definida sobre un rect´ngulo en R2 , se pueden extender a funciones que son integrables o asobre rect´ngulos en Rn . Hay varias formas de hacer esto, y la que expondremos aqu´ nos permitir´ a ı amostrar que, bajo ciertas condiciones, el c´lculo de este tipo de integrales se puede reducir al c´lculo a ade integrales iteradas. La herramienta m´s importante para lograr todo esto nos la da el teorema de Fubini, del acual aqu´ daremos una de sus tantas versiones. Antes, simplemente recordaremos un resultado muy ıelemental acerca del ´ ınfimo y el supremo de conjuntos acotados de n´meros reales, que seguramente uresultar´ muy familiar al lector, y que dice lo siguiente: si A, B ⊂ R son conjuntos no vac´ y a ıosacotados (superior e inferiormente) tales que A ⊂ B entonces inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B (2.1)Teorema 2.1 (de Fubini) Sean f : R = [a1 , b1 ] × · · ·× [an , bn] ⊂ Rn → R acotada, i0 ∈ {1, . . ., n}un ´ndice fijo, y Ri0 = [a1 , b1 ] × · · · × [ai0 −1 , bi0−1 ] × [ai0 +1 , bi0+1 ] × · · · × [an , bn ] ⊂ Rn−1 . Para cada ıy = (x1 , . . . , xi0−1 , xi0 +1 , . . . , xn) ∈ Ri0 definimos:ˆ 1. fy : [ai0 , bi0 ] ⊂ R → R como ˆ fy (x) = f (x1 , . . . , xi0 −1 , x, xi0+1 , . . ., xn ) ˆ 2. φ, Φ : Ri0 ⊂ Rn−1 → R como bi0 φ(ˆ) = y fy (x)dx ˆ ai0 y bi0 Φ(ˆ) = y fy (x)dx ˆ ai0Si f es integrable sobre R entonces φ y Φ son integrables sobre el rect´ngulo Ri0 y adem´s a a φ= f= Φ Ri0 R Ri0J. P´ez a 46
  • 53. 2.1. Integrales iteradas Cap´tulo 2. Calculando integrales ıDem. Lo primero que hay que destacar es que las funciones φ y Φ definidas en el enunciadosatisfacen que φ(ˆ) ≤ Φ(ˆ) y ypara toda y ∈ Ri0 . ˆ Para continuar, estableceremos la notaci´n que vamos a usar en esta demostraci´n. o o Si P = P1 × · · · × Pn es una partici´n del rect´ngulo R, sabemos que cada Pi es una partici´n o a odel correspondiente intervalo [ai , bi] (i = 1, . . ., n). Si Pi0 = {ai0 = t0 t1 · · · tk = bi0 } yRj (con j = 1, . . . , m) son los subrect´ngulos inducidos por la partici´n P i0 = P1 × · · · × Pi0 −1 × a oPi0 +1 × · · · × Pn en el rect´ngulo Ri0 , entonces los subrect´ngulos de R inducidos por la partici´n a a oP (que ser´n k · m) los denotaremos por Rlj , y que se puede interpretar como el que se obtiene de a“insertar” el intervalo [tl−1 , tl ] en la i0 -coordenada del rect´ngulo Rj , para cada l = 1, . . ., k y cada aj = 1, . . ., m. Para cada uno de estos mismos ´ ındices, llamamos mlj (f ) = inf{f (ˆ) | x ∈ Rlj } x ˆ y Mlj (f ) = sup{f (ˆ) | x ∈ Rlj } x ˆSi y ∈ Ri0 entonces ˆ ml (fy ) = inf{fy (x) | x ∈ [tl−1 , tl ]} ˆ ˆ y Ml (fy ) = sup{fy (x) | x ∈ [tl−1 , tl ]} ˆ ˆpara cada l ∈ {1, . . ., k}. Finalmente, para cada j = 1, . . ., m denotamos como mj (φ) = inf{φ(ˆ) | y ∈ Rj } y ˆ y Mj (φ) = sup{φ(ˆ) | y ∈ Rj } y ˆpara la funci´n φ, y o mj (Φ) = inf{Φ(ˆ) | y ∈ Rj } y ˆ y Mj (Φ) = sup{Φ(ˆ) | y ∈ Rj } y ˆpara la funci´n Φ. o Observe que, si y = (x1 , . . . , xi0−1 , xi0 +1 , . . . , xn ) ∈ Rj se tiene que ˆ {fy (x) = f (x1 , . . . , xi0 −1 , x, xi0+1 , . . ., xn ) | x ∈ [tl−1 , tl ]} ⊂ {f (ˆ) | x ∈ Rlj } ˆ x ˆde tal forma que por las desiguadades 2.1 tenemos que mlj (f ) ≤ ml (fy ) ≤ Ml (fy ) ≤ Mlj (f ) ˆ ˆpara cada l ∈ {1, . . ., k}. Ahora, si multiplicamos las desigualdades anteriores por tl − tl−1 0, obtenemos que mlj (f ) · (tl − tl−1 ) ≤ ml (fy ) · (tl − tl−1 ) ≤ Ml (fy ) · (tl − tl−1 ) ≤ Mlj (f ) · (tl − tl−1 ) ˆ ˆde tal forma que sumando sobre las l s, se tiene que k k k k mlj (f ) · (tl − tl−1 ) ≤ ml (fy ) · (tl − tl−1 ) ≤ ˆ Ml (fy ) · (tl − tl−1 ) ≤ ˆ Mlj (f ) · (tl − tl−1 ) l=1 l=1 l=1 l=1desigualdades que, usando la notaci´n de sumas superiores y sumas inferiores, se escriben como o k k mlj (f ) · (tl − tl−1 ) ≤ S(fy , Pi0 ) ≤ S(fy , Pi0 ) ≤ ˆ ˆ Mlj (f ) · (tl − tl−1 ) l=1 l=1 47 J. P´ez a
  • 54. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.1. Integrales iteradasSi ahora recordamos la definci´n de las funciones φ y Φ, podemos concluir que o k k mlj (f ) · (tl − tl−1 ) ≤ S(fy , Pi0 ) ≤ φ(ˆ) ≤ Φ(ˆ) ≤ S(fy , Pi0 ) ≤ ˆ y y ˆ Mlj (f ) · (tl − tl−1 ) l=1 l=1para toda y ∈ Rj . Esto prueba que los n´meros de los extremos de estas desigualdades son cota ˆ uinferior y superior (respectivamente) tanto de φ como de Φ en el subrect´ngulo Rj , y por lo tanto atendremos que k k mlj (f ) · (tl − tl−1 ) ≤ mj (φ) ≤ Mj (φ) ≤ Mlj (f ) · (tl − tl−1 ) l=1 l=1y k k mlj (f ) · (tl − tl−1 ) ≤ mj (Φ) ≤ Mj (Φ) ≤ Mlj (f ) · (tl − tl−1 ) l=1 l=1para cada j = 1, . . . , m. Ahora, si en ambos grupos de desigualdades multiplicamos por m(Rj ) 0,tenemos que k k mlj (f ) · m(Rj ) · (tl − tl−1 ) ≤ mj (φ) · m(Rj ) ≤ Mj (φ) · m(Rj ) ≤ Mlj (f ) · m(Rj ) · (tl − tl−1 )l=1 l=1y k k mlj (f ) · m(Rj ) · (tl − tl−1 ) ≤ mj (Φ) · m(Rj ) ≤ Mj (Φ) · m(Rj ) ≤ Mlj (f ) · m(Rj ) · (tl − tl−1 )l=1 l=1de tal forma que si sumamos con respecto al ´ ındice j, se tiene que m k m mlj (f ) · m(Rj ) · (tl − tl−1 ) ≤ mj (φ) · m(Rj ) j=1 l=1 j=1 m ≤ Mj (φ) · m(Rj ) j=1 m k ≤ Mlj (f ) · m(Rj ) · (tl − tl−1 ) j=1 l=1y m k m mlj (f ) · m(Rj ) · (tl − tl−1 ) ≤ mj (Φ) · m(Rj ) j=1 l=1 j=1 m ≤ Mj (Φ) · m(Rj ) j=1 m k ≤ Mlj (f ) · m(Rj ) · (tl − tl−1 ) j=1 l=1J. P´ez a 48
  • 55. 2.1. Integrales iteradas Cap´tulo 2. Calculando integrales ıYa que m(Rj ) · (tl − tl−1 ) = m(Rlj ), si usamos nuevamente la notaci´n de sumas inferiores y osuperiores, concluimos que S(f, P) ≤ S(φ, P i0 ) ≤ S(φ, P i0 ) ≤ S(f, P)y S(f, P) ≤ S(Φ, P i0 ) ≤ S(Φ, P i0 ) ≤ S(f, P)Como podr´ notar el lector, estas desigualdades son suficientes para probar que, si f es integrable asobre el rect´ngulo R, entonces las funciones φ y Φ son integrables sobre el rect´ngulo Ri0 y adem´s a a a φ= f= Φ Ri0 R Ri0 Hay una manera m´s general de formular el teorema de Fubini (como se ver´ en el problema a a2), pero la forma en que lo hemos hecho aqu´ tiene que ver con la manera m´s com´ n en que ı a usuele aplicarse. Dejando un poco de lado el formalismo del lenguaje matem´tico, podemos leeraeste teorema de la siguiente manera; si de lo que se trata es de calcular la integral de una funci´n of (x1 , . . ., xn ) sobre un rect´ngulo R = [a1 , b1] × · · · × [an , bn], s´ a ıganse los siguientes pasos: ındice i1 ∈ {1, . . ., n} 1. elija un ´ 2. integre a la funci´n f (x1 , . . . , xi1 , . . . , xn ) con respecto a la variable xi1 sobre el intervalo o [ai1 , bi1 ] (lo que significa que debe tratar “como constantes” a las variables distintas de xi1 ). Si por desgracia la funci´n f (x1 , . . ., xi1 , . . . , xn) no es integrable con respecto a la variable xi1 o sobre el intervalo [ai1 , bi1 ], no se preocupe, calcule la integral inferior o la integral superior de la misma funci´n (con respecto a la misma variable). El resultado de lo anterior es una expresi´n o o (o una funci´n) que s´lo depende (a lo m´s) de las variables x1 , . . . , xi1−1 , xi1+1 , . . . , xn o o a 3. el teorema de Fubini asegura que la funci´n del inciso anterior es integrable sobre el rect´ngulo o a R ⊂R i1 n−1 (que se obtiene del rect´ngulo R “quit´ndole” el intervalo [ai1 , bi1 ]) por lo que se a a puede volver al paso uno eligiendo ahora un ´ındice en {1, . . ., n}{i1} Los incisos anteriores tienen la intenci´n de bosquejar el algoritmo que se debe seguir a fin de ocalcular la integral de una funci´n de varias variables. Como se podr´ notar, ´stos nos dicen que la o a eintegral de una funci´n sobre un rect´ngulo en R se puede “reducir” a la integral de otra funci´n o a n osobre un rect´ngulo en Rn−1 , por lo que despu´s de un n´mero finito de pasos (a lo m´s n, que a e u aes el n´mero m´ximo de variables) habremos terminado. Una particularidad que es importante u adestacar, y por la cual es m´s conocido el teorema de Fubini, es que el orden en que vayamos aeligiendo los ´ındices es totalmente arbitrario. Es decir, nosotros podemos ir elegiendo la variablede integraci´n que m´s nos convenga en cada paso, lo cual, como veremos en algunos ejemplos, o aresulta muy conveniente. Esta propiedad se suele expresar diciendo que el teorema de Fubini nospermite intercambiar “el orden de integraci´n” de la forma que queramos. o Todo esto queda resumido en el siguiente resultado, que es un corolario del teorema de Fubini.Con el fin de evitar la posibilidad de que las funciones que se mencionan en el inciso 2 no seanintegrables, para este corolario vamos a suponer que la funci´n que deseamos integrar es continua o(ver el problema 1). 49 J. P´ez a
  • 56. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.1. Integrales iteradasCorolario 2.1 Sea f : R = [a1 , b1] × · · · × [an , bn ] ⊂ Rn → R continua en R, y sean i1 , . . ., in ∈{1, . . ., n} diferentes dos a dos (es decir, {i1 , . . ., in } = {1, . . ., n}). Entonces ⎛b ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ bin in−1 bi2 bi1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ f= ⎝ ⎝· · · ⎝ ⎝ f (x1 , . . . , xn)dxi1 ⎠ dxi2 ⎠ · · · ⎠ dxin−1 ⎠ dxin R ain ain−1 ai2 ai1Dem. Como el lector seguramente lo sospechaba, esta prueba se har´ por inducci´n sobre el a on´mero de variables y la iniciaremos desde k = 2. Este es el caso con el que se inici´ la discusi´n u o ode esta secci´n, est´ directamente relacionado con el m´todo de Cavalieri, y es una consecuencia o a edirecta del teorema de Fubini. Supongamos ahora que el resultado es v´lido para cualquier funci´n de n variables y continua a osobre un rect´ngulo en Rn . a Ahora, sea f : R = [a1 , b1] × · · · × [an+1 , bn+1 ] ⊂ Rn+1 → R continua en R, y sean i1 , . . . , in+1 ∈{1, . . ., n + 1} diferentes dos a dos. Elegimos el ´ ındice i1 y definimos φ : R = [a1 , b1] × · · · ×[ai1 −1 , bi1−1 ] × [ai1 +1 , bi1+1 ] × · · · × [an+1 , bn+1 ] ⊂ Rn → R como bi1 φ(x1 , . . . , xi1−1 , xi1 +1 , . . . , xn+1 ) = f (x1 , . . . , xi1 −1 , x, xi1+1 , . . ., xn+1 )dx ai1para cada x = (x1 , . . . , xi1 −1 , xi1+1 , . . . , xn+1 ) ∈ R . N´tese que φ est´ bien definida, pues f es ˆ o acontinua en R; entonces f (x1 , . . . , xi1 −1 , x, xi1+1 , . . ., xn+1 ) es tambi´n una funci´n continua de la e ovariable x ∈ [ai1 , bi1 ], y por lo tanto integrable sobre el intervalo [ai1 , bi1 ]. As´ por el teorema de ı,Fubini sabemos que f= φ R RPor otra parte, tenemos que φ es una funci´n de n variables indexadas por el conjunto {1, . . ., n + o1}{i1} = {i2 , . . . , in+1 }, y por el segundo inciso del problema 1, sabemos que es continua en elrect´ngulo R . Por lo tanto, por la hip´tesis de inducci´n tenemos que a o o b ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ in+1 bin bi3 bi2 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ φ= ⎝ ⎝· · · ⎝ ⎝ φ(x1 , . . . , xi1 −1 , xi1+1 , xn+1 )dxi2 ⎠ dxi3 ⎠ · · · ⎠ dxin ⎠ dxin+1R ain+1 ain ai3 ai2 bin+1 ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ bin bi3 bi2 bi1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = ⎝ ⎝· · · ⎝ ⎝ ⎝ f (x1 , . . . , xi1−1 , x, xi1+1 , . . . , xn+1 )dx⎠ dxi2 ⎠ dxi3 ⎠ · · · ⎠ dxin ⎠ dxin+1 ain+1 ain ai3 ai2 ai1de tal forma que, cambiando el nombre de la variable de integraci´n x por xi1 , obtenemos que o b ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ in+1 bin bi3 bi2 bi1 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ f= ⎝ ⎝· · · ⎝ ⎝ ⎝ f (x1 , . . ., xn+1 )dxi1 ⎠ dxi2 ⎠ dxi3 ⎠ · · · ⎠ dxin ⎠ dxin+1 R ain+1 ain ai3 ai2 ai1concluyendo con esto la inducci´n. o Sin duda, una vez que hemos llegado hasta aqu´ lo que sigue son algunos ejemplos de como ı,aplicar el corolario anterior.J. P´ez a 50
  • 57. 2.2. Calculando integrales sobre otros conjuntos Cap´tulo 2. Calculando integrales ıEjemplo 2.2 1. calcular la integral R sen(x + y) donde R = [0, π/2] × [0, π/2]. Soluci´n. De acuerdo con el teorema de Fubini, sabemos que: o ⎛ ⎞ π/2 π/2 ⎜ ⎟ sen(x + y) = ⎝ sen(x + y)dx⎠ dy R 0 0 π/2 π/2 = − cos(x + y) dy 0 0 π/2 = (− cos(π/2 + y) + cos(y)) dy 0 π/2 π/2 = − sen(π/2 + y) + sen(y) 0 0 = (− sen(π/2 + π/2) + sen(π/2 + 0)) + (sen(π/2) − sen(0)) =2 2. calcular la integral R x cos(xy) donde R = [0, π/2] × [0, 1]. Soluci´n. Nuevamente, por el teorema de Fubini sabemos que esta integral la podemos calcular o de la siguiente forma: π/2 ⎛ 1 ⎞ x cos(xy) = ⎝ x cos(xy)dy ⎠ dx R 0 0 π/2 1 = sen(xy) dx 0 0 π/2 = sen(x)dx 0 π/2 = cos(x) 0 =1 Se deja al lector que calcule la misma integral usando el otro orden de integraci´n, que de o acuerdo con el teorema de Fubini, tambi´n se vale hacerlo as´. e ı Si el lector hace la tarea del segundo inciso del ejemplo anterior, se podr´ dar cuenta de las aventajas que se tienen al poder elegir el orden de integraci´n. o2.2 Calculando integrales sobre otros conjuntosComo seguramente se recordar´, el concepto de integraci´n lo extendimos a los conjuntos Jordan- a omedibles y por la forma en que lo hicimos, integrar una funci´n definida sobre uno de estos conjuntos ose reduce a integrar una cierta funci´n sobre alg´n rect´ngulo que lo contenga. Hay un tipo de o u a 51 J. P´ez a
  • 58. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.2. Calculando integrales sobre otros conjuntosconjuntos Jordan-medibles para los cuales todo esto resulta muy conveniente a la hora de calcularla integral de funciones definidas sobre ellos. Este tipo de conjuntos es como el que se defini´ en el problema 32 del cap´ o ıtulo uno y un ejemplo, 2en R , es la regi´n acotada entre la gr´fica de dos funciones α, β (continuas) definidas sobre un o aintervalo cerrado [a, b] ⊂ R que tienen la propiedad de que α(x) ≤ β(x) para toda x ∈ [a, b] (verfigura 2.4). Es decir, si consideramos A = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b] y α(x) ≤ y ≤ β(x)} (2.2)por el problema antes mencionado sabemos que A es un conjunto Jordan-medible de tal forma que,si f es una funci´n continua sobre A y R ⊂ R2 es un rect´ngulo tal que A ⊂ R, entonces o a f= fA A REn particular, podemos tomar R = [a, b] × [m, M ] en donde m es el m´ ınimo valor de α en [a, b] yM es el m´ximo valor de β en [a, b]. a Yy β A α 1 1 GX a b Figura 2.4: La regi´n en R2 definida como A = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b] y α(x) ≤ y ≤ β(x)} o es un conjunto Jordan-medible As´ dado que para cada x ∈ [a, b] podemos estar seguros de que la funci´n (fA )x : [m, M ] → R ı, odefinida como (fA )x (y) = fA (x, y) es integrable (a lo m´s es discontinua en un par de puntos), atendremos que f= fA A R b ⎛M ⎞ = ⎝ fA (x, y)dy ⎠ dx a m ⎛ ⎞ b α(x) β(x) M ⎜ ⎟ = ⎝ fA (x, y)dy + fA (x, y)dy + fA (x, y)dy ⎠ dx a m α(x) β(x) ⎛ ⎞ b β(x) ⎜ ⎟ = ⎝ fA (x, y)dy ⎠ dx a α(x)J. P´ez a 52
  • 59. 2.2. Calculando integrales sobre otros conjuntos Cap´tulo 2. Calculando integrales ı ⎛ ⎞ b β(x) ⎜ ⎟ = ⎝ f (x, y)dy ⎠ dx a α(x) α(x) Men donde m fA (x, y)dy = β(x) fA (x, y)dy = 0 dado que fA (x, y) = 0 si y ∈ [m, α(x)) ∪ (β(x), M ].Es importante hacer notar que la forma en que est´ definido el conjunto A determina el orden en aque se toman las variables de integraci´n de esta integral iterada. o En R2 hay otra forma de construir un conjunto similar al definido en 2.2. As´ como en ese ıcaso se tiene que la coordenada y de cualquier punto en A (que tenga una coordenada x ∈ [a, b])est´ entre el valor de dos funciones de x, ahora la coordenada x de cualquier punto (que tenga auna coordenada y ∈ [c, d]) estar´ entre el valor de dos funciones de y. En t´rminos m´s precisos, a e aestamos hablando de un conjunto definido de la siguiente forma: si ϕ, ψ : [c, d] → R son continuasy tales que ϕ(y) ≤ ψ(y) para toda y ∈ [c, d], consideramos B = {(x, y) ∈ R2 | y ∈ [c, d] y ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y)} (2.3)La figura 2.5 ilustra un conjunto de este tipo. Yy d• ϕ B ψ c • GX Figura 2.5: La regi´n en R2 definida como B = {(x, y) ∈ R2 | y ∈ [c, d] y ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y)} o tambi´n es un conjunto Jordan-medible e Procediendo como en el caso del conjunto A, es f´cil deducir ahora que si f es una funci´n a ocontinua sobre el conjunto Jordan-medible B, entonces f= fB B R d ⎛M ⎞ = ⎝ fB (x, y)dx⎠ dy c m ⎛ ⎞ c ϕ(y) ψ(y) M ⎜ ⎟ = ⎝ fB (x, y)dx + fB (x, y)dx + fB (x, y)dx⎠ dy c m ϕ(y) ψ(y) 53 J. P´ez a
  • 60. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.2. Calculando integrales sobre otros conjuntos ⎛ ⎞ d ψ(y) ⎜ ⎟ = ⎝ fB (x, y)dx⎠ dy c ϕ(y) ⎛ ⎞ d ψ(y) ⎜ ⎟ = ⎝ f (x, y)dx⎠ dy c ϕ(y)tomando R = [m , M ] × [c, d] y en donde m es el m´ ınimo de ϕ en [c, d] y M es el m´ximo de ψ en a[c, d]. Vale la pena destacar que para las integrales iteradas que se obtuvieron para calcular la integralde una funci´n continua f definida sobre conjuntos como los definidos en 2.2 y en 2.3, no tiene mucho o b β(x)sentido hablar del cambio en el orden de integraci´n. Es decir, ni a α(x) f (x, y)dy dx es igual a o β(x) b d ψ(y) ψ(y) d α(x) a f (x, y)dx dy ni c ϕ(y) f (x, y)dx dy es igual a ϕ(y) c f (x, y)dy dx porque, entre β(x) b ψ(y) dotras cosas, integrales iteradas como α(x) a f (x, y)dx dy o dx no tienen un ϕ(y) c f (x, y)dysignificado preciso puesto que no nos conducen a alg´n resultado num´rico espec´ u e ıfico (observe que enambos casos las ultimas integrales est´n evaluadas de α(x) a β(x) o de ϕ(y) a ψ(y), respectivamente, ´ a¡sin que quede claro cu´l valor de x o de y habr´ que elegir!). a ıa De aqu´ en adelante a los conjuntos definidos como en 2.2 y en 2.3 los llamaremos regiones ı(de R2 ) tipo I y tipo II, respectivamente. Aunque el tipo de la regi´n determina el orden en que ose toman las variables de integraci´n, si un conjunto Jordan-medible (en R2 ) C se puede expresar ocomo una regi´n tipo I y como una regi´n tipo II, entonces la integral de cualquier funci´n continua o o odefinida sobre C se puede calcular por medio de integrales iteradas con los dos ordenes de integraci´n oposibles. El siguiente ejemplo ilustra esta situaci´n. oEjemplo 2.3 Calcular A f en donde f (x, y) = x + y y A = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 y x ≤ y ≤ 1}(ver figura 2.6).Soluci´n. Como se podr´ notar, A est´ descrito como una regi´n tipo I, tomando α(x) = x y o a a oβ(x) ≡ 1 (la funci´n constante uno) para x ∈ [0, 1]. Por tanto, sabemos que o ⎛ ⎞ 1 β(x) ⎜ ⎟ f= ⎝ f (x, y)dy ⎠ dx A 0 α(x) 1 ⎛ 1 ⎞ = ⎝ (x + y)dy ⎠ dx 0 x 1 1 1 = (x + y)2 dx 2 x 0 1 1 = (x + 1)2 − (x + x)2 dx 2 0 1 1 = −3x2 + 2x + 1 dx 2 0J. P´ez a 54
  • 61. 2.2. Calculando integrales sobre otros conjuntos Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 1 1 1 1 = −x3 + x2 +x 2 0 0 0 1 = 2 Yy 1 •      A            1 GX 1 Figura 2.6: La regi´n A del ejemplo 2.3 o Ahora, como A tambi´n se puede expresar de la forma A = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1 y e0 ≤ x ≤ y}, es decir, como una regi´n tipo II con ϕ(y) ≡ 0 y ψ(y) = y para y ∈ [0, 1], tenemos oentonces que ⎛ ⎞ 1 ψ(y) ⎜ ⎟ f= ⎝ f (x, y)dx⎠ dy A 0 ϕ(y) 1 ⎛ y ⎞ = ⎝ (x + y)dx⎠ dy 0 0 1 1 y = (x + y)2 dy 2 0 0 1 3 2 = y dy 2 0 1 3 1 = y 2 0 1 = 2 Este ejemplo no s´lo ilustra que, si un conjunto es de ambos tipos, entonces la integral de una ofunci´n continua sobre ´ste se puede expresar en t´rminos de integrales iteradas correspondientes o e ea los dos diferentes ordenes de integraci´n posibles, sino que en algunos casos uno de ellos resulta ´ om´s f´cil de realizar que el otro o, como se ver´ en uno de los ejercicios de este cap´ a a a ıtulo, s´lo con ouno de ellos es posible calcular el valor de la integral. 55 J. P´ez a
  • 62. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.2. Calculando integrales sobre otros conjuntos Hasta ahora s´lo hemos trabajado en R2 pero como seguramente el lector intuir´, todo esto o ase puede extender a cualquier Rn . En R3 , por ejemplo, podemos considerar conjuntos como lossiguientes: D = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ A y γ(x, y) ≤ z ≤ δ(x, y)} (2.4) 3 E = {(x, y, z) ∈ R | (x, z) ∈ B y λ(x, z) ≤ y ≤ µ(x, z)} F = {(x, y, z) ∈ R3 | (y, z) ∈ C y η(y, z) ≤ x ≤ σ(y, z)}en donde A, B y C son regiones tipo I y/o tipo II en R2 , y γ, δ, λ, µ, η y σ son funciones continuas(de valores reales) tales que γ ≤ δ, λ ≤ µ y η ≤ σ sobre A, B y C, respectivamente. Las figuras 2.7(a), y 2.7 (b) ilustran algunos ejemplos de este tipo de conjuntos. Zy Zy f• D . C Gδ ...  ...   .    . . .   . .   e • ..  ....  ..... Gη . .... ...... c ...... d ................... ÒÒ ...  ..................... ..  1 1 GY Gσ   ÒÒ GY .   Ò ...   Gγ  ÒÒ ..     ÒÒ ...       ÒÒ     ÒÒ F     Ò    A   ÒÒ   X X (a) (b) Figura 2.7: Ejemplos de conjunto tipo D = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ A y γ(x, y) ≤ z ≤ δ(x, y)} y tipo F = {(x, y, z) ∈ R3 | (y, z) ∈ C y η(y, z) ≤ x ≤ σ(y, z)} As´ si f es una funci´n continua definida sobre el conjunto D, sabemos que ı, o f= fD D Ren donde R ⊂ R3 es un rect´ngulo que contiene a D. Si ahora suponemos que el conjunto A ⊂ R2 aque aparece en la descripci´n del conjunto D es una regi´n tipo I, es decir de la forma 2.2, entonces o opodemos tomar R = [a, b] × [m, M ] × [m , M ] en donde m es el m´ ınimo valor de la funci´n α en o[a, b], M es el m´ximo valor de la funci´n β en [a, b], m es el m´ a o ınimo valor de la funci´n γ en A y oM es el m´ximo valor de la funci´n δ en A. De esta forma, obtendremos que: a o f= fD D R ⎛M ⎞ = ⎝ fD (x, y, z)dz ⎠ [a,b]×[m,M ] mJ. P´ez a 56
  • 63. 2.2. Calculando integrales sobre otros conjuntos Cap´tulo 2. Calculando integrales ı ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ b M δ(x,y) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎝ ⎝ fD (x, y, z)dz ⎠ dy ⎠ dx a m γ(x,y) ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ b β(x) δ(x,y) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎝ ⎝ f (x, y, z)dz ⎠ dy ⎠ dx a α(x) γ(x,y)Nuevamente vale la pena insistir en que el orden en que se toman las variables de integraci´n en oesta integral iterada, est´ determinado por la forma en que est´ descrito el conjunto D. a a Se deja al lector escribir las integrales iteradas que se obtienen al integrar una funci´n f sobre oconjuntos como E o F . A los conjuntos descritos en 2.4, sin importar el tipo de regi´n (en R2 ) que osean los conjuntos A, B y C que ah´ aparecen, los llamaremos regiones (en R3 ) tipo I, tipo II y tipo ıIII, respectivamente. Como es de suponerse, daremos un ejemplo de c´mo se calculan integrales de este tipo. oEjemplo 2.4 Sea D la regi´n acotada por el cono z 2 = x2 + y 2 y los planos z = 0, z = 1, x = o0, x = 1, y sea f (x, y, z) = xz. Calcule D f .Soluci´n. En este caso, D es un ejemplo (en R3 ) de la clase de conjuntos que se pueden expresar ocomo regiones de cualquiera de los tres tipos. Aqu´ lo describiremos como una regi´n de tipo II. En ı oefecto, tenemos que D se puede expresar como sigue: D = (x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ x ≤ z, − z 2 − x2 ≤ y ≤ z 2 − x2Por tanto, ⎛ ⎛ √ ⎞ ⎞ 1 z z2 −x2 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ f= ⎝ ⎝ xzdy ⎠ dx⎠ dz √ D 0 0 − z2 −x2 1 ⎛ ⎞ z √ z2 −x2 = ⎝ xz y √ dx⎠ dz − z2 −x2 0 0 1 ⎛ z ⎞ = ⎝z 2x z 2 − x2 dx⎠ dz 0 0 1 2 2 3/2 z = z − z − x2 dz 3 0 0 1 2 = z 4 dz 3 0 2 = 15 En gran medida, el problema de calcular la integral de una funci´n reside en identificar y oexpresar adecuadamente el conjunto sobre el cual se quiere integrar, como lo ilustran los ejemplosque hemos dado. Terminaremos esta secci´n con un resultado muy util y muy importante, en cuya demostraci´n o ´ oel teorema de Fubini juega un papel central. 57 J. P´ez a
  • 64. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.2. Calculando integrales sobre otros conjuntos ∂fTeorema 2.2 Sea f : [a, b] × [c, d] → R continua tal que ∂x existe y es continua en [a, b] × [c, d].Definimos g : [a, b] → R como d g(x) = f (x, y)dy cEntonces g es derivable en [a, b] y adem´s a d ∂f g (x) = (x, y)dy ∂x cDem. Primero notemos que para cada (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], por el segundo Teorema Fundamentaldel C´lculo, tenemos que: a x ∂f (t, y)dt = f (x, y) − f (a, y) ∂x ade tal forma que x ∂f f (x, y) = (t, y)dt + f (a, y) ∂x aPor tanto d g(x) = f (x, y)dy c d ⎛ x ⎞ ⎝ ∂f = (t, y)dt + f (a, y)⎠ dy ∂x c a x ⎛ d ⎞ d ⎝ ∂f = (t, y)dy ⎠ dt + f (a, y)dy ∂x a c cN´tese que es en el primer sumando de la ultima identidad en donde usamos el Teorema de Fubini, lo o ´cual nos est´ permitido puesto que ∂f es continua en [x, b]×[c, d] para toda x ∈ [a, b]. Por otra parte, a ∂xusando nuevamente el hecho de que ∂f es continua en [a, b] × [c, d], y por lo tanto uniformemente ∂x dcontinua ah´ mismo, concluimos que h(t) = c ∂f (t, y)dy es una funci´n continua de la variable t, ı ∂x o xde tal forma que por el primer Teorema Fundamental del C´lculo sabemos que a h(t)dt es una a dfunci´n derivable con respecto de x. Como c f (a, y)dy es una constante, concluimos que g es oderivable con respecto a x y adem´s a g (x) = h(x) d ∂f = (x, y)dy ∂x cque es lo que se quer´ demostrar. ıa De entre sus muchas aplicaciones, este ultimo teorema nos proporciona una herramienta muy ´util para resolver integrales, como se muestra en el siguiente´J. P´ez a 58
  • 65. 2.2. Calculando integrales sobre otros conjuntos Cap´tulo 2. Calculando integrales ıEjemplo 2.5 Calcule la integral π/2 ln sen2 (x) + a2 cos2 (x) dx (a = 0) 0Soluci´n. Definimos la funci´n f : (0, ∞)×(−∞, ∞) ⊂ R2 → R como f (x, y) = ln sen2 (x) + y cos2 (x) o ola cual es C ∞ en su dominio (y por lo tanto en cualquier rect´ngulo cerrado contenido ah´). De a ıesta forma, si definimos g : (0, ∞) ⊂ R → R como π/2 g(y) = ln sen2 (x) + y 2 cos2 (x) dx 0por el teorema anterior, sabemos que g es derivable y adem´s a π/2 ∂ g (y) = ln sen2 (x) + y 2 cos2 (x) dx ∂y 0 π/2 2y cos2 (x) = dx sen2 (x) + y 2 cos2 (x) 0De esta expresi´n se obtiene f´cilmente que o a π/2 2 cos2 (x) g (1) = dx sen2 (x) + cos2 (x) 0 π/2 =2 cos2 (x)dx 0 π = 2Ahora, si y = 1 se tiene que π/2 2y cos2 (x) g (y) = dx sen2 (x) + y 2 cos2 (x) 0 π/2 2y 1 = 2 1− dx y −1 sen2 (x) + y 2 cos2 (x) 0 ⎛ ⎞ π/2 2y ⎜ π 1 ⎟ = 2 ⎝ − dx⎠ y −1 2 sen2 (x) + y 2 cos2 (x) 0 59 J. P´ez a
  • 66. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.3. El Teorema de Cambio de VariableResolviendo la ultima integral (lo cual se puede lograr si hacemos el cambio de variable u = ´tan(x)(3)) obtenemos que 2y π π g (y) = − y2 −1 2 2y π = y+1para toda y 0. De esta ultima identidad, junto con el hecho de que g(1) = 0, se tiene que ´ π y+1 g(y) = ln 2 2de modo que π/2 π a+1 ln sen2 (x) + a2 cos2 (x) dx = ln 2 2 02.3 El Teorema de Cambio de VariableSin duda el lector conoce un teorema que lleva el mismo nombre que el de esta secci´n. Se trata de oun teorema para funciones de R en R que es muy util para resolver integrales indefinidas (de este ´mismo tipo de funciones), aunque tambi´n existe su versi´n para integrales definidas. e o De acuerdo con este conocido teorema, si nuestro problema es resolver una integral indefinidade la forma f (x)dxescribimos a la variable x en funci´n de otra variable t, es decir, x = g(t) (de ah´ el nombre de o ı“cambio de variable”) lo que nos conduce a resolver la integral4 f (g(t))g (t)dtEl criterio para elegir a la funci´n g tiene que ver fundamentalmente con el hecho de que el nuevo ointegrando f (g(t))g (t) resulte m´s f´cil de resolver. Si este es el caso y nos es m´s f´cil encontrar a a a auna primitiva de f (g(t))g (t), digamos una G(t), entonces se puede comprobar que la funci´n oF (x) = G(g −1 (x)) resulta ser una primitiva de f (x) (esto es lo que nos asegura el Teorema deCambio de Variable y ser´ muy adecuado que el lector comprobara esta afirmaci´n). ıa o 3 Con este cambio de variable, se tiene que Z π/2 Z∞ 1 1 dx = du sen2 (x) + y2 cos2 (x) u2 + y2 0 0 „ „ «˛ « 1 u ˛∞ = arctan ˛ y y 0 π = 2y 4 Si el lector no recuerda por qu´ cuando hacemos el cambio de variable x = g(t) el nuevo integrando est´ dado e apor f (g(t))g (t), s´lo considere que, si F (x) es una primitiva de f (x), entonces usando la regla de la cadena podemos ocomprobar que G(t) = F (g(t)) es una primitiva de f (g(t))g (t)J. P´ez a 60
  • 67. 2.3. El Teorema de Cambio de Variable Cap´tulo 2. Calculando integrales ı Si analizamos con m´s detenimiento todo lo hecho hasta aqu´ concluimos que la funci´n g a ı, otiene que ser una funci´n derivable, con derivada continua (para garantizar la integrabilidad de of (g(t))g (t)) y adem´s invertible. En la pr´ctica no solemos hacer mucho caso de estas condiciones a ay lo que realmente nos importa es que el cambio de variable “funcione”. Seguramente no escapa a la atenci´n del lector el hecho de que, en el concepto de integral para ofunciones de varias variables que se ha venido trabajando hasta ahora, no hemos mencionado nadaparecido al concepto de “integral indefinida” (o, equivalentemente, al concepto de “primitiva”).Es por esta raz´n que esta formulaci´n del Teorema de Cambio de Variable para funciones de R o oen R no es muy util a fin de guiarnos hacia su generalizaci´n para funciones de varias variables. ´ oAfortunadamente existe una formulaci´n para integrales definidas y esa s´ que nos ser´ util. o ı a´ En el caso de integrales definidas, el Teorema de Cambio de Variable para funciones de R enR se escribe de la siguiente manera: si g es una funci´n con derivada continua en [c, d] y f es una ofunci´n continua en g([c, d]) (la imagen bajo g del intervalo [c, d]) entonces o g(d) d f (x)dx = f (g(t))g (t)dt (2.5) g(c) c Usando un lenguaje menos riguroso, esta igualdad se podr´ leer de la siguiente manera: si el ıaintervalo sobre el cual se integra a una funci´n f (digamos [a, b]) se puede ver como la imagen de ootro intervalo (digamos [c, d]) bajo una cierta funci´n g entonces la integral de f sobre el intervalo o[a, b] es igual a la integral de la funci´n (f ◦ g)g sobre el intervalo [c, d]. o Esta forma de leer la identidad 2.5 (que no es muy precisa pero si bastante ilustrativa) nos per-mite dar un primer paso hacia la generalizaci´n del Teorema de Cambio de Variable para funciones ode varias variables, haci´ndonos la siguiente pregunta: si queremos integrar una funci´n f sobre e oun conjunto Jordan-medible A ⊂ R , y sabemos que este conjunto A se puede ver como la imagen nbajo una cierta funci´n g de otro conjunto Jordan-medible B ⊂ Rn , es decir A = g(B), ¿la integral ode f sobre A es igual a la integral sobre B de alguna funci´n que involucra a f y a g? o Con el fin de encontrar una respuesta, es conveniente esbozar los argumentos que nos permitenconvencernos de que la identidad 2.5 es cierta. Una manera de hacerlo es justo usando el concepto deprimitiva (esta es la manera en que suele hacerse) pero como dicho concepto no lo conocemos paralas funciones de varias variables, recurriremos a otro m´s elemental, el de las sumas de Riemann. a Aunque en la identidad 2.5 no es necesario que g sea una funci´n inyectiva, con el fin de que onuestros argumentos sean m´s sostenibles, ahora supondremos que s´ lo es. Sea P = {x0 · · · xk } a ıuna partici´n muy “fina” del intervalo que tiene como extremos a g(c) y a g(d) (y que denotaremos opor [a, b]). En este caso, sabemos que las sumas de Riemann correspondientes a esta partici´n se oaproxima mucho a la integral de f (x) sobre el intervalo [a, b], es decir g(d) k f (x)dx ≈ f (ξi )(xi − xi−1 ) (2.6) i=1 g(c)para cualquier ξi ∈ [xi−1 , xi] (i = 1, . . ., k). Como estamos suponiendo que [a, b] = g([c, d]) entonces sabemos que existe una partici´n oQ = {t0 , . . . , tk } del intervalo [c, d] tal que xi = g(ti ) para cada i = 1, . . ., k. Ahora, por el ısimo Teorema del Valor Medio sabemos que existe ηi entre ti−1 y ti tal quevalios´ xi − xi−1 = g(ti) − g(ti−1 ) 61 J. P´ez a
  • 68. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.3. El Teorema de Cambio de Variable = g (ηi)(ti − ti−1 )(nuevamente para cada i = 1, . . ., k) de tal forma que, tomando en 2.6 la suma de Riemanncorrespondiente a los n´meros ξi = g(ηi), tenemos que u g(d) k f (x)dx ≈ f (g(ηi))(xi − xi−1 ) i=1 g(c) k = f (g(ηi))g (ηi )(ti − ti−1 ) i=1Si se observa bien, esta ultima suma es una suma de Riemann de la funci´n f (g(t))g (t) correspon- ´ odiente a la partici´n Q del intervalo [c, d] de modo que o k d f (g(ηi))g (ηi )(ti − ti−1 ) ≈ f (g(t))g (t)dt i=1 cy por lo tanto g(d) d f (x)dx ≈ f (g(t))g (t)dt g(c) c Si bien es cierto que los “argumentos” que acabamos de dar son imprecisos, tambi´n es cierto eque nos sugieren un camino para encontrar una formulaci´n del Teorema de Cambio de Variable opara funciones de varias variables. Procediendo como en los p´rrafos anteriores sabemos que, si R es un rect´ngulo que contiene a a aA, entonces f= fA A Rde tal forma que si P es una partici´n muy “fina” del rect´ngulo R, entonces o a f= fA (2.7) A R ≈ ˆ f (ξi ) · m(Ri) Ri∩A=∅en donde los Ri son subrect´ngulos de R inducidos por P y ξi ∈ Ri ∩ A. a ˆ A diferencia de la suma de Riemann que aparece en 2.6, en donde la medida del subintervalo[xi−1 , xi] (a saber xi − xi−1 ) se puede expresar en t´rminos de la medida del subintervalo [ti−1 , ti] e(a saber ti − ti−1 ), gracias a que g([ti−1 , ti ]) = [xi−1 , xi ] y al Teorema del Valor Medio, en la sumade Riemann que aparece en 2.7 no somos tan afortunados. De hecho, ya ser´ demasiado pedir que, ıasi R es un rect´ngulo que contiene a B, entonces existiera una partici´n Q de R tal que el n´mero a o ude subrect´ngulos inducidos por Q en R fuera el mismo que los que P induce en R y adem´s cada a aRi = g(Ri) (en donde los Ri ser´ los subrect´ngulos de R inducidos por Q). ıan a Sin embargo nos queda otro recurso. Si consideramos el rect´ngulo R y su partici´n Q del a op´rrafo anterior, y para cada subrect´ngulo Ri que intersecta a B elegimos un ηi que est´ en ambos a a ˆ eJ. P´ez a 62
  • 69. 2.3. El Teorema de Cambio de Variable Cap´tulo 2. Calculando integrales ı Yy Yy g(R ) ÒÒ Ò R g ÒÒ ÒÒÒ uu Ò uu 6 ÒÒ Òg(Ri ) u uu oo Ri ÒÒÒ uuuu oooo Ò uuu ooo j uu oooo jjjjjj B oo jjjjj jj A = g(B) GX GX Figura 2.8: La imagen bajo la funci´n g del conjunto Jordan-medible B, del rect´ngulo R y del o a subrect´ngulo Ri aconjuntos, es decir ηi ∈ Ri ∩ B, y nos fijamos en la imagen de Ri bajo g, como se ilustra en la figura ˆ2.8 para el caso de R2 , ¿que podemos esperar de sumas de la forma f (g(ˆi)) · m(g(Ri))? η Ri∩B=∅Bueno, pues lo que nos gustar´ es que estas sumas (que son una especie de sumas de Riemann un ıapoco sui g´neris) se aproximen a A f y que esta aproximaci´n sea mejor en la medida de que Q e osea una partici´n m´s fina de R . De hecho, tambi´n habr´ que asegurar que los conjuntos g(Ri) o a e ıason Jordan-medibles y que su medida se pueda expresar (o aproximar) en t´rminos de la medida ede Ri (y seguramente de alg´n otro factor que dependa de la funci´n g). u o Vale la pena escribir con detalle todos estos supuestos (o buenos deseos) que buscamos secumplan: 1. g es tal que si Ri es cualquier subrect´ngulo entonces g(Ri) es un conjunto Jordan-medible a 2. existe una forma de expresar (o aproximar) la medida de g(Ri) (m(g(Ri))) en t´rminos de la e medida de Ri (m(Ri)) y de la funci´n g o 3. si Q es una partici´n muy “fina” de R las sumas de la forma o f (g(ˆi)) · m(g(Ri)) η (ˆi ∈ Ri ∩ B) η Ri ∩B=∅ se aproximan mucho a A f, es decir f≈ f (g(ˆi)) · m(g(Ri)) η (ˆi ∈ Ri ∩ B) η (2.8) A Ri ∩B=∅ Como se podr´ notar, todas estas propiedades dependen esencialmente de la funci´n g y parte a ode lo que haremos ser´ buscar cu´les son las carater´ a a ısticas de g que nos las puedan garantizar.Analizaremos lo planteado en el segundo inciso y dejaremos para despu´s los otros dos. e En este problema, las funciones lineales vuelven a ser muy utiles. En efecto, si R ⊂ Rn es un ´rect´ngulo y g es una funci´n af´ (una funci´n lineal seguida de una traslaci´n) entonces g(R) es a o ın o o 63 J. P´ez a
  • 70. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.3. El Teorema de Cambio de Variable“casi” un rect´ngulo en Rn , s´lo que con algunos “´ngulos” no rectos. Por ejemplo en R2 , g(R) a o acoincide con ser un paralelogramo y en R3 con un paralelep´ ıpedo “reclinado”, como se muestraen las figuras 2.9 y 2.10. De hecho, en este caso el problema de encontrar la medida de g(R) ent´rminos de la medida de R se resuelve f´cilmente. e a Yy Yy g P = g(R) gggggggggg d• gggg gg R g 6 g gggggg c• • ggggg g gg • gg (a, c) g(a, c) 1 1 GX GX a b Figura 2.9: La imagen bajo una funci´n af´ g (de R2 en R2 ) de un rect´ngulo R es un o ın a paralelogramo P Zy g Zy f• ƒ iiii ƒƒƒƒƒƒ   €ii iiii ƒ   6 i€€ hhh   €€€ €hhhhh hhhh         e•  c1  d 1 GY G H    Y  a         €€ i   €€€ iiii    €€iiiiii H R   b   P = g(R)  X X Figura 2.10: La imagen bajo una funci´n af´ g (de R3 en R3 ) de un rect´ngulo R es un o ın a pa-ralelepipedo P Como se recordar´ de los cursos de Geometr´ Anal´ a ıa ıtica, si tomamos dos vectores (x1 , y1 ) y(x2 , y2 ) en R2 , el area del paralelogramo P generado por estos dos vectores (y que es trasladado a ´cualquier punto (x0 , y0 )), est´ dada por: a x1 y1 area(P ) = |x1 y2 − x2 y1 | = det ´ (2.9) x2 y2 As´ si g es una funci´n lineal de R2 en R2 cuya matriz asociada es ı, o α β M= γ δJ. P´ez a 64
  • 71. 2.3. El Teorema de Cambio de Variable Cap´tulo 2. Calculando integrales ıy tomamos el rect´ngulo R = [a, b] × [c, d], entonces el paralelogramo P = g(R) coincide con el aparalelogramo generado por los vectores α β b−a (x1 , y1 ) = γ δ 0 = (b − a) (α, γ)y α β 0 (x2 , y2 ) = γ δ d−c = (d − c) (β, δ)y que est´ trasladado al punto g(a, c) (ver la figura 2.9) de tal forma que, usando 2.9, tenemos que a m(g(R)) = area(P ) ´ = |αδ − βγ| · (b − a) · (d − c) = |det(M )| · area(R) ´ = |det(M )| · m(R) Si ahora g es una funci´n lineal de R3 en R3 representada por una matriz M (de 3 × 3), y R ⊂ o 3R es un rect´ngulo, recurriendo otra vez a la Geometr´ Anal´ a ıa ıtica podemos probar nuevamenteque m(g(R)) = |det(M )| · m(R) (2.10) ¡Lo m´s interesante de todo esto es que la identidad 2.10 es v´lida en cualquier Rn ! aunque, a adesafortunadamente, la Geometr´ Anal´ ıa ıtica ya no nos alcanza para probarla en el caso general. Una vez que hemos analizado nuestro problema para el caso en que g sea una funci´n lineal, oes importante recordar que estamos trabajando con particiones muy “finas”, y por lo tanto conrect´ngulos muy peque˜os. Por tal raz´n, si g es una funci´n tal que en cada punto x de su dominio a n o o ˆexiste su mejor aproximaci´n lineal (es decir su derivada, que denotaremos por Dg(ˆ)), y R es un o xrect´ngulo “muy peque˜o”, parece muy razonable esperar que a n ˆ ˆ m(g(R)) ≈ m([Dg(ξ)](R)) = det(Dg(ξ)) · m(R) (2.11) ˆen donde ξ es alg´n elemento de R. u Como se podr´ notar, la aproximaci´n a que nos conduce 2.11 es justo lo que est´bamos bus- a o acando. Si ahora esta aproximaci´n la aplicamos en 2.8, tendremos que o f≈ f (g(ˆi)) · m(g(Ri)) η (2.12) A Ri∩B=∅ ≈ f (g(ˆi)) · |det(Dg(ˆi))| · m(Ri) η η Ri∩B=∅en donde ηi ∈ Ri ∩ B. ˆ Si se observa con cuidado, la segunda suma que aparece en 2.12 ahora s´ es una suma de ıRiemann, una de las asociadas a la funci´n (f ◦ g) · |det(Dg)| y correspondiente a la partici´n Q o ode R . En este sentido, si dicha partici´n es muy “fina” deber´ ser cierto que o a f (g(ˆi)) · |det(Dg(ˆi))| · m(Ri) ≈ η η (f ◦ g) · |det(Dg)| Ri ∩B=∅ B 65 J. P´ez a
  • 72. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.3. El Teorema de Cambio de Variablede tal forma que considerando la primera aproximaxi´n de 2.12 podemos intuir que o f≈ (f ◦ g) · |det(Dg)| A B Esta ultima aproximaci´n es la culminaci´n de nuestra b´squeda. A partir de ella, y recogiendo ´ o o utodas las suposiciones que hicimos anteriormente (sobre todo las relacionadas con la funci´n g), oahora estamos en condiciones de formular el Teorema de Cambio de Variable para funciones devarias variables de la siguiente manera:Teorema 2.3 (de Cambio de Variable) Sean, A, B ⊂ Rn Jordan-medibles, f : A ⊂ Rn → Rcontinua en A y g : B ⊂ Rn → Rn de clase C 1 en B. Si g es inyectiva en B (salvo por un conjuntode medida de Jordan cero) y g(B) = A entonces f= (f ◦ g) · |det(Dg)| A B Desafortunadamente la prueba de este teorema es lo suficientemente elaborada como para noaparecer en un texto como ´ste, y esa es la raz´n por la que nos tomamos tanto trabajo para deducir e osu formulaci´n. A cambio de la prueba, discutiremos detalladamente algunos ejemplos de funciones o(o transformaciones) g que suelen usarse m´s comunmente en las aplicaciones de este teorema, atanto en R2 como en R3 . Tambi´n es importante aclarar porqu´ en la formulaci´n del teorema, e e oadem´s de pedir que g sea derivable, pedimos que dicha derivada sea continua. Esta hip´tesis tiene a odos razones de ser: una, que con ella garantizamos la integrabilidad de la funci´n (f ◦ g) · |det(Dg)|, oy dos, que la aproximaci´n o ˆ m(g(R)) ≈ det(Dg(ξ)) · m(R)para rect´ngulos peque˜os R es una buena aproximaci´n, no para alguna, sino para cualquier a n oˆξ ∈ R. Concluimos estos comentarios mencionando cual es la notaci´n m´s com´n que se usa para o a u ˆ A este factor se le suele denotar simplemente porel t´rmino det(Dg(ξ)). e ˆ ˆ Jg(ξ) = det(Dg(ξ)) ˆy se le conoce como el jacobiano de g en ξ, en correspondencia con el nombre con que se conoce ala matriz asociada a Dg(ξ), a saber, matriz jacobiana.5 ˆ Antes de analizar los cambios de variable que se usan con m´s frecuencia, ilustraremos el uso adel teorema que acabamos de formular atrav´s del siguiente eEjemplo 2.6 Calcule la integral de la funci´n f (x, y) = xy sobre el conjunto Jordan-medible A ⊂ oR2 , en donde A es la regi´n contenida en el primer cuadrante y acotada por las hip´rbolas xy = 1, o exy = 4 y las rectas y = x, y = 4x.Soluci´n. Dado que la intenci´n de este ejemplo es ilustrar el uso del Teorema de Cambio de o oVariable, es necesario encontrar otro conjunto Jordan-medible B y una funci´n g (de clase C 1 ) tal oque g(B) = A. En este sentido, es importante hacer notar que las curvas que determinan al conjuntoA, son las curvas de nivel de un par de funciones definidas de R2 (o del ag´n subconjunto de ´ste) u een R; en efecto, obs´rvese que, si hacemos h1 (x, y) = xy y h2 (x, y) = y/x, entonces A se puede e 5 Como el lector recordar´, estos nombres son en honor del matem´tico alem´n Carl Gustav Jakov Jacobi (1804- a a a1851)J. P´ez a 66
  • 73. 2.3. El Teorema de Cambio de Variable Cap´tulo 2. Calculando integrales ı Vy Yy 4• g 4• # ## 5 ## R = h(A) ## A = g(R) ™ ## 1• h 1• gggg ggggg 1 1 GU 1 1 GX 1 4 1 4 Figura 2.11: Las regiones del ejemplo 2.6describir como el conjunto acotado por las curvas de nivel h1 (x, y) = 1, h1 (x, y) = 4, h2 (x, y) = 1 yh2 (x, y) = 4 (ver figura 2.11). De esta forma, si definimos la funci´no h(x, y) = (h1 (x, y), h2(x, y)) = (xy, y/x)se tiene que la imagen de A bajo esta funci´n h es el rect´ngulo R = [1, 4]×[1, 4], es decir, h(A) = R. o aLa relaci´n que este hecho tiene con nuestro problema, es que si se pudiera encontrar la funci´n o oinversa de h (a la que llamaremos g, por razones obvias), entonces g es tal que g(R) = g(h(A)) = A;es decir, g es una funci´n como la que estamos buscando (y R ser´a el conjunto B, lo cual resulta o ımuy conveniente). Calcular g en el ejemplo que nos ocupa no es una tarea dif´cil; si hacemos ı u = h1 (x, y) = xyy v = h2 (x, y) = y/xcalcular la inversa de h se traduce en expresar a las variables x y y en t´rminos de las variables u ey v. En este ejemplo, se verifica f´cilmente que, para (u, v) ∈ R, a √ x = uv u y= vlo que significa que la funci´n g = (g1 , g2) que estamos buscando est´ dada por o a g(u, v) = (g1 (u, v), g2(u, v)) √ u = uv, vUna vez hecho esto, ya contamos con todos los elementos necesarios para calcular la integral quese nos pide haciendo uso del Teorema de Cambio de Variable. As´, en virtud de este teorema, se ıtiene que f= (f ◦ g) · |det(Dg)| A=g(R) R 67 J. P´ez a
  • 74. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.4. Algunos cambios de variable 4 ⎛ 4 ⎞ = ⎝ f (g(u, v)) |det(Dg(u, v))|dv ⎠ du 1 1 4 ⎛ 4 ⎞ 1 ⎝ = dv ⎠ du u − 2v 1 1 ⎛ 4 ⎞⎛ 4 ⎞ 1 ⎠ = ⎝ udu⎠ ⎝ dv 2v 1 1 15 = ln(2) 2 Este ejemplo, adem´s de ilustrar el uso del Teorema de Cambio de Variable, establece un m´todo a epara calcular integrales sobre regiones que est´n determinadas por cuatro curvas de nivel de un par ede funciones (dos curvas por cada una de ellas), en el caso de R2 (o por seis superficies de nivelde tres funciones (dos superficies por cada una de ellas), en el caso de R3 , o en general, por 2nconjuntos de nivel de n funciones (dos conjuntos de nivel por cada una de ellas), en el caso de Rn ).La unica dificultad que se puede encontrar con este m´todo, es a la hora de calcular la inversa de ´ ela funci´n que se construye a partir de aquellas que determinan a la regi´n de integraci´n. o o o2.4 Algunos cambios de variableLas funciones o transformaciones que aparecen con m´s frecuencia en la aplicaci´n del teorema de a oCambio de Variable est´n inspiradas principalmente en los diferentes sistemas de coordenadas que apueden usarse tanto en el plano como en el espacio. En el caso del plano, adem´s de las coordenadas cartesianas (o euclideanas) est´n las coordenadas a apolares. Como se recordar´, una vez establecido un origen O, llamado polo, y una semirecta L que aparte de dicho punto, llamada eje polar, todo punto P en el plano (distinto de O) est´ determinado ade manera unica por los n´meros r y θ: r, que corresponde a la distancia de P al polo O, y θ que ´ ucorresponde a la medida del angulo dirigido formado entre el eje polar y la semirecta que parte del ´origen y pasa por P (ver figura 2.12). gP Ó• ÓÓÔÔ ÓÓ Ô ÓÓÔÔÔ ÓÓ Ô r ÔÔÔ Ô ÔÔ Ô ÔÔÔÔÔÔ ÔÔ ÔÔ ™ ÔÔ ÔÔ θ hÔÔÔ ÔÔ • GL O Figura 2.12: En el sistema polar determinado por el punto O (polo) y la semirecta L (eje polar), el punto P tiene coordenadas (r, θ) Con las coordenadas polares establecemos una correspondencia biun´ ıvoca entre todos los puntosdel plano diferentes de O y las parejas de n´meros (r, θ) en donde 0 r ∞ y 0 ≤ θ 2π; o uen forma m´s general, con el conjunto de parejas (r, θ) en donde 0 r ∞ y y0 ≤ θ y0 + 2π aJ. P´ez a 68
  • 75. 2.4. Algunos cambios de variable Cap´tulo 2. Calculando integrales ı(o y0 θ ≤ y0 + 2π) con y0 ∈ R, fijo6 . Sin embargo, aun cuando usando coordenadas polares nonecesitamos echar mano de todas las parejas de n´meros (R2 ) para representar a los puntos del plano u(a diferencia de las coordenadas cartesianas), cualquier pareja de n´meros se puede “interpretar” ucomo las coordenadas polares de un punto en el plano. Tal es el caso de la pareja (0, 0) (o cualquierade la forma (0, y)) que se puede interpretar como las coordenadas polares del punto O (u origen) yque de hecho as´ se conviene. ı Yy P • ÔÔ ÔÔÔ ÔÔ r ÔÔÔ ÔÔ y = rsen(θ) ÔÔÔ Ô ™ ÔÔ ÔÔ θ ÔÔ GX O x = rcos(θ) Figura 2.13: Las coordenadas (x, y) de un punto P en un sistema cartesiano cuyo origen coincide con el polo, la parte positiva del eje de las abscisas (o eje X) coincide con el eje polar, y cuyas coordenadas polares son (r, θ) Para nuestros fines, lo m´s interesante es la relaci´n que existe entre el sistema coordenado a ocartesiano y el sistema polar. Si establecemos un sistema cartesiano cuyo origen coincide con elpolo, y la parte positiva del eje de las abscisas (o eje X) coincide con la semirecta L (ver figura2.13), sabemos que las coordenadas (x, y) de un punto P en este sistema cartesiano, se puedenobtener a partir de las coordenadas polares (r, θ) de este mismo punto, atraves de las siguientesecuaciones: x = r cos(θ) (2.13) y = r sen(θ)Como se podr´ notar, estas ecuaciones definen una funci´n g : R2 → R2 de las variables r y θ dada a opor g(r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ)) Esta funci´n, adem´s de ser todo lo derivable que se quiera (es C ∞ ), nos da un ejemplo de o auna funci´n que transforma regiones rect´ngulares en regiones circulares. En efecto, si a las parejas o a(r, θ) y (r cos(θ), r sen(θ)) las interpretamos como coordenadas cartesianas (la primera en el sistemarθ y la segunda en el sistema XY ), se puede ver que el rect´ngulo R = [0, 1] × [0, 2π] en el dominio ade g se transforma en el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1}; basta notar que los puntos dela forma (r, θ0) con 0 ≤ r ≤ 1 y θ0 fijo, y que vistos en el sistema (cartesiano) rθ forman una l´ ıneahorizontal de longitud 1 a la altura θ0 , se transforman en la l´ ınea de longitud 1 que parte del origen 6 Esto, en particular, significa que para un punto del plano hay una infinidad de parejas de n´meros que representan usus coordenadas polares 69 J. P´ez a
  • 76. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.4. Algunos cambios de variabley hace un angulo θ0 con el eje X (el radio de la circunferencia unitaria que est´ a un angulo θ0 ) ´ a ´(ver figura 2.14). θy Yy g(r, θ) 2π • 1• 6 R θ0 θ0 1 G r t 1 GX 1 1 Figura 2.14: Los puntos de la forma (r, θ0) con 0 ≤ r ≤ 1 y θ0 fijo, que vistos en el sistema (cartesiano) rθ forman una l´ınea horizontal de longitud 1 a la altura θ0 , bajo la funci´n g(r, θ) = o (rcos(θ), rsen(θ)) se transforman en la l´ ınea de longitud 1 que parte del origen y hace un ´ngulo a θ0 con el eje X (el radio de la circunferencia unitaria que est´ a un ´ngulo θ0 ) a a An´logamente, los puntos de la forma (r0 , θ) con 0 ≤ θ ≤ 2π y r0 fijo, que en el dominio ade g forman una l´ ınea vertical de longitud 1 y a distancia r0 del “eje θ”, se transforman en lacircunferencia de radio r0 con centro en el origen (ver figura 2.15). Yy θy 1• g(r, θ) 2π • 6  r0   R  1 GX 1 1 G r r0 1 Figura 2.15: Los puntos de la forma (r0, θ) con 0 ≤ θ ≤ 2π y r0 fijo, que vistos en el sistema ınea vertical de longitud 2π a distancia r0 del eje Y , bajo la funci´n (cartesiano) rθ forman una l´ o g(r, θ) = (rcos(θ), rsen(θ)) se transforman en la circunferencia de radio r0 con centro en el origen Observe que, si el rect´ngulo R se “genera” por medio de l´ a ıneas horizontales, al aplicar la funci´n og “generamos” al c´ırculo unitario por medio de sus radios (¡como si se abriera un abanico!) (verfigura 2.16). Si por otra parte, ahora al rect´ngulo R lo “generamos” con l´ a ıneas verticales, al aplicar lafunci´n g “generamos” al c´ o ırculo unitario por medio de circunferencias centradas en el origen yJ. P´ez a 70
  • 77. 2.4. Algunos cambios de variable Cap´tulo 2. Calculando integrales ı θy Yy g(r, θ) 2π • 1• 6 ww R ww www ww ww ww 1 G r ww 1 GX 1 1 Figura 2.16: Si al rect´ngulo R lo “generamos” por medio de l´ a ıneas horizontales, al aplicar la funci´n g “generamos” al c´ o ırculo unitario por medio de sus radios (¡como si se abriera un abanico!)cuyo radio va creciendo (¡como cuando nos preparamos un delicioso hot cake!) (ver figura 2.17). Yy θy 1• g(r, θ) 2π • 6 R 1 GX 1 1 G r 1 Figura 2.17: Si al rect´ngulo R lo “generamos” con l´ a ıneas verticales, al aplicar la funci´n g o “generamos” al c´ırculo unitario por medio de circunferencias centradas en el origen y cuyo radio va creciendo (¡como cuando nos preparamos un delicioso hot cake!) Antes de dar un ejemplo de c´mo usar esta funci´n para aplicar el Torema del Cambio de o oVariable, conviene hacer un par de observaciones. En primer lugar n´tese que, de las ecuaciones o2.13 se obtienen las identidades r 2 = x2 + y 2 o ´ r= x2 + y 2 (2.14)y en segundo lugar, el jacobiano de esta funci´n est´ dado por o a Jg(r, θ) = det(Dg(r, θ)) cos(θ) −r sen(θ) = det sen(θ) r cos(θ) =r 71 J. P´ez a
  • 78. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.4. Algunos cambios de variable 2 +y2Ejemplo 2.7 Calcule la integral de la funci´n f (x, y) = ex o sobre el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1}Soluci´n. Quiz´s lo primero que habr´a que se˜ alar en este ejemplo es que, aun cuando la regi´n o a ı n oA es de ambos tipos, no es posible calcular la integral de la funci´n f sobre A, usando las t´cnicas o edesarrolladas en la secci´n anterior (el lector deber´a confirmar que esta afirmaci´n es cierta). o ı oRecurramos entonces al Teorema de Cambio de Variable.Como se vi´ p´rrafos arriba, la regi´n A coincide con ser la imagen, bajo la transformaci´n de o a o ocoordenadas polares g(r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ)) (que es con este nombre como llamaremos de aqu´ ıen adelante a esta funci´n), del rect´ngulo R = [0, 1] × [0, 2π]. Como dijimos antes, g es de clase o aC 1 y si la restringimos al subconjunto (0, 1]×(0, 2π] resulta ser inyectiva (es decir, g es inyectiva enR salvo por un conjunto de medida de Jordan cero). As´, tenemos que, por el Teorema de Cambio ıde Variable f= (f ◦ g) · |Jg| A R 2π ⎛ 1 ⎞ = ⎝ (f ◦ g)(r, θ) · |Jg(r, θ)| dr ⎠ dθ 0 0 2π ⎛ 1 ⎞ = ⎝ r · f (r cos(θ), r sen(θ))dr ⎠ dθ 0 0 2π ⎛ 1 ⎞ ⎝ r2 = r · e dr ⎠ dθ 0 0 ⎛ 2π ⎞⎛ 1 ⎞ r2 =⎝ dθ⎠ ⎝ r · e dr ⎠ 0 0 1 2 =π· 2r · er dr 0 2 1 = π · er 0 = π · (e − 1) En este ejemplo es importante mencionar que la decisi´n de recurrir a el cambio a coordenadas opolares (que es lo que se suele decir cuando se usa esta transformaci´n g) se debe no s´lo al hecho o ode que la regi´n original de integraci´n es un c´ o o ırculo, sino que la funci´n que se deseaba integrar o 2 2tambi´n lo suger´ En efecto, cuando a la funci´n ex +y se le aplica el cambio a coordenadas e ıa. o 2polares, obtenemos la funci´n er , para la cual (como el lector debe saber) no es posible encontrar ouna primitiva en t´rmino de “funciones elementales”; sin embargo, como al aplicar el cambio de evariable tambi´n debemos incluir el jacobiano de la transformaci´n (que en este caso es r), nos e o 2queda el integrando r · er , el cual, salvo por una constante (un 2) est´ “completo” (¡tiene una aprimitiva f´cilmente identificable!). aJ. P´ez a 72
  • 79. 2.4. Algunos cambios de variable Cap´tulo 2. Calculando integrales ı La siguiente transformaci´n que analizaremos est´ en el espacio y est´ inspirada en el sistema de o a acoordenadas cil´ndricas. Como seguramente es del conocimiento del lector, este sistema de coorde- ınadas es en cierto modo una “combinaci´n” de un sistema polar y un sistema cartesiano. Si fijamos oun sistema cartesiano XY Z en el espacio y tomamos P un punto, que tenga coordenadas (x, y, z),las coordenadas cil´ ındricas de P est´n dadas por las siguientes tres cantidades que determinan de amanera unica al punto: r y θ que ser´n las coordenadas polares del punto (x, y, 0) (la proyecci´n ´ a odel punto P en el plano XY ); es decir, r es la distancia entre el origen (del sistema XY Z) y elpunto (x, y, 0), y θ es el ´ngulo dirigido formado por la semirecta que parte del origen y pasa por a(x, y, 0), y la parte positiva del eje X. Finalmente, la ultima coordenada cil´ ´ ındrica coincide con laultima coordenada del sistema cartesiano XY Z, es decir “la altura” z. As´ decimos que (r, θ, z)´ ı,son las coordenadas cil´ ındricas de P en el sistema cartesiano XY Z (ver figura 2.18). Zy z P • Ù ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ ÙÙ Ù hÙÙ y G Y  hhh  hhr  θ hh  hh h x    X Figura 2.18: La terna (r, θ, z) representa a las coordenadas cil´ ındricas de P en el sistema cartesiano XY Z De esta forma, los puntos del espacio que no pertenecen al eje Z (en el sistema XY Z) est´n aen correspondencia biun´ ıvoca con el conjunto de ternas (r, θ, z) ∈ R3 , donde 0 r ∞, y0 ≤θ y0 + 2π (o y0 θ ≤ y0 + 2π) (con y0 ∈ R fijo) y −∞ z ∞, es decir con el conjunto(0, ∞) × [y0 , y0 + 2π) × (−∞, ∞) ⊂ R3 (o con el conjunto (0, ∞) × (y0 , y0 + 2π] × (−∞, ∞) ⊂ R3 ).Ahora, si recordamos que en el sistema polar cualquier pareja de la forma (0, θ) representa lascoordenadas polares del origen, entonces para un punto arbitrario P del eje Z, cuyas coordenadascartesianas sean (0, 0, z), tendremos que las ternas de la forma (0, θ, z) representar´n las coordenadas acil´ ındricas de P . Nuevamente, aunque para representar las coordenadas cil´ ındricas de los puntosdel espacio no necesitamos todas las ternas de R3 , cualquiera de ellas se puede interpretar como lascoordenadas de este tipo de alg´ n punto del espacio. u Como en el caso de las coordenadas polares, para nosotros es de particular importancia larelaci´n que existe entre el sistema cartesiano XY Z y el sistema cil´ o ındrico asociado con ´ste. De ehecho, dada la relaci´n tan estrecha entre estos dos sistemas, las ecuaciones que nos permiten oobtener las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto P del espacio en t´rminos de sus corres- epondientes coordenadas cil´ ındricas (r, θ, z), son muy parecidas al caso polar, como se muestra acontinuaci´n: o x = r cos(θ) 73 J. P´ez a
  • 80. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.4. Algunos cambios de variable y = r sen(θ) z=z(observe que la ultima de estas ecuaciones pareciera un poco absurda, pero no es m´s que una ´ aconsecuencia de un abuso de notaci´n; ¡estamos usando la misma letra para denotar la ultima o ´coordenada en ambos sistemas!). De nueva cuenta, estas ecuaciones nos permiten definir una funci´n g : R3 → R3 de la siguiente oforma: g(r, θ, z) = (r cos(θ), r sen(θ), z) (2.15)y las caracter´ ısticas, sobre todo geom´tricas, de esta funci´n las describiremos a continuaci´n. e o o Sin duda la funci´n g definida en 2.15 tiene todas las propiedades de derivabilidad que queramos, oas´ que nos concentraremos en sus propiedades geom´tricas. Para ello, analizaremos la forma en ı eque transforma al rect´ngulo R = [0, 1] × [0, 2π] × [0, 1] (del sistema cartesiano rθZ). En particular, averemos c´mo act´a la funci´n g cuando una de sus variables permanece fija; esto, en t´rminos de o u o ecoordenadas cil´ındricas, equivale a identificar los conjuntos de puntos del espacio que se obtienenal fijar cada una de estas coordenadas (que por lo general resultan ser superficies). Zy Zy g(r, θ, z) 1• 1•      R 6       z0 z0 •    ’’’’’’’’’’’’  1 G θ ’’’’’’’’’’’’  ’’’’’’’’’’F Y   2π     H 1   H   1 1   X r Figura 2.19: Si consideramos puntos de la forma (r, θ, z0) ∈ R (con z0 ∈ [0, 1] fijo) y que equivale a tomar una “rebanada” del rect´ngulo R paralela al plano rθ a la altura z0 , dicho a conjunto de puntos se transforma bajo la funci´n g(r, θ, z) = (r cos(θ), r sen(θ), z) en un c´ o ırculo unitario con centro en el punto (0, 0, z0) y contenido en el plano z = z0 (paralelo al plano XY ) Obs´rvese que si tomamos puntos de la forma (r, θ, 0), lo cual equivale a considerar la base del erect´ngulo R, la funci´n g act´a de forma id´ntica a la transformaci´n polar, de tal manera que a o u e odichos puntos van a dar a el c´ ırculo unitario con centro en el origen y contenido en el plano XY . Deforma m´s general, si consideramos puntos de la forma (r, θ, z0) (con z0 ∈ [0, 1] fijo, y que equivale aa tomar una “rebanada” del rect´ngulo R paralela al plano rθ a la altura z0 ), dicho conjunto de apuntos se transforma en un c´ ırculo unitario con centro en el punto (0, 0, z0) y contenido en el planoz = z0 (paralelo al plano XY ) (ver figura 2.19). De esta forma, si “generamos” el rect´ngulo R con a“rebanadas” paralelas al plano rθ entonces al aplicarles la transformaci´n g obtenemos un cil´ o ındrode base circular de altura 1, “generado” por c´ ırculos unitarios.J. P´ez a 74
  • 81. 2.4. Algunos cambios de variable Cap´tulo 2. Calculando integrales ı Zy Zy g(r, θ, z) 1 • ‚‚‚‚ ‚ • ‚‚‚ 1    ‚    R 6          1 ’’’’’’’’’’’’ G θ ’’’’’’’’’’’’   ’’’’’’’’’’F Y θ0  2π    H  θ0   1   1 1  H    X r Figura 2.20: Si consideramos puntos de la forma (r, θ0, z) ∈ R (con θ0 ∈ [0, 2π] fijo), que equi- vale a tomar una “rebanada” del rect´ngulo R paralela al plano rZ a la altura θ0 , dicho conjunto a de puntos se transforma bajo la funci´n g(r, θ, z) = (r cos(θ), r sen(θ), z) en un cuadrado de o lado 1, perpendicular al plano XY y “pegado” por uno de sus lados al eje Z (formando justo un ´ngulo θ0 con el plano XZ) a Si ahora “rebanamos” al rect´ngulo R con planos paralelos al plano rZ, es decir, si consideramos aternas de la forma (r, θ0 , z) (con θ0 ∈ [0, 2π] fijo), al aplicarles la transformaci´n g a dichos conjuntos oobtenemos cuadrados de lado 1, perpendiculares al plano XY y “pegados” por uno de sus lados al ejeZ (formando justo un angulo θ0 con el plano XZ) (ver figura 2.20). En este caso, si “generamos” el ´rect´ngulo R con “rebanadas” paralelas al plano rZ, al aplicarles la transformaci´n g “generamos” a oel mismo cilindro s´lo que ahora por medio de cuadrados que giran alrededor del eje Z. o Para terminar, consideremos “rebanadas” del rect´ngulo R paralelas al plano θZ, es decir, aconsideremos ternas de la forma (r0 , θ, z) (con r0 ∈ [0, 1] fijo). En este caso, la imagen bajo lafunci´n g de cada una de estas rebanadas resulta ser la superficie de un cilindro, justo de radio r0 oy perpendicular al plano XY (salvo cuando r0 = 0, en cuyo caso se obtiene el segmento que va de0 a 1 sobre el eje Z) (ver figura 2.21). Aqu´ al generar al rect´ngulo R por medio de “rebanadas” ı, aparalelas al plano θZ, aplicando la funci´n g generamos al cilindro a trav´s de superficies cil´ o e ındricascuyo eje est´ en el eje Z. a Vale la pena destacar que las identidades que aparecen en 2.14 tambi´n son v´lidas para las e acoordenadas cil´ ındricas, y que el jacobiano de esta transformaci´n vale lo mismo que en el caso opolar ya que Jg(r, θ, z) = det(Dg(r, θ, z)) ⎛ ⎞ cos(θ) −r sen(θ) 0 = det ⎝ sen(θ) r cos(θ) 0 ⎠ 0 0 1 =r A continuaci´n, damos un ejemplo de como usar esta transformaci´n en el c´lculo de una o o aintegral. 75 J. P´ez a
  • 82. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.4. Algunos cambios de variable Zy Zy g(r, θ, z) 1• • 1     R 6       1 ’’’’’’’’’’’’ G θ ’’’’’’’’’’’’   ’’’’’’’’’’F Y r0  2π r0  H  1   1 1  H    X r Figura 2.21: Si consideramos puntos de la forma (r0 , θ, z) ∈ R (con r0 ∈ [0, 1] fijo), que equivale a tomar una “rebanada” del rect´ngulo R paralela al plano θZ a la altura r0 , dicho conjunto a de puntos se transforma bajo la funci´n g(r, θ, z) = (r cos(θ), r sen(θ), z) en la superficie de un o cilindro, justo de radio r0 y perpendicular al plano XY (salvo cuando r0 = 0, en cuyo caso se obtiene el segmento que va de 0 a 1 sobre el eje Z) √Ejemplo 2.8 Calcule la integral de la funci´n f (x, y, z) = o x2 + y 2 · ez x2 +y2 sobre el conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 }Soluci´n. Obs´rvese con atenci´n que, aplicando la primera identidad de 2.14 a las desigualdades o e oque intervienen en la definici´n del conjunto A, ´stas se transforman en 0 ≤ r 2 ≤ 1 (´ 0 ≤ r ≤ 1) o e oy 0 ≤ z ≤ r. Cuando hacemos esto, en realidad lo que estamos haciendo es expresar al mismoconjunto A s´lo que en t´rminos de las coordenadas cil´ndricas de sus puntos por lo que, si ahora o e ıhacemos B = {(r, θ, z) ∈ R 3 | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ z ≤ r}, B resulta ser un conjunto (en elsistema cartesiano rθz) que al aplicarle la transformaci´n de coordenadas cil´ndricas g es tal que o ıg(B) = A (ver figura 2.22). Una vez hecho esto, que en algunos casos es la parte m´s importante, aal aplicar el Teorema de Cambio de Variable, dado que B es una regi´n en R3 de tipo I, tenemos oque f= (f ◦ g) · |Jg| A B 2π ⎛ 1 ⎛ r ⎞ ⎞ = ⎝ ⎝ (f ◦ g)(r, θ, z) · |Jg(r, θ, z)| dz ⎠ dr ⎠ dθ 0 0 0 2π ⎛ 1 ⎛ r ⎞ ⎞ = ⎝ ⎝ r · f (r cos(θ), r sen(θ), z)dz ⎠ dr ⎠ dθ 0 0 0 2π ⎛ 1 ⎛ r ⎞ ⎞ = ⎝ ⎝r · r · ezr dz ⎠ dr ⎠ dθ 0 0 0J. P´ez a 76
  • 83. 2.4. Algunos cambios de variable Cap´tulo 2. Calculando integrales ı ⎛ 2π ⎞⎛ 1 ⎞ r =⎝ dθ⎠ ⎝ r · ezr dr ⎠ 0 0 0 1 2 =π· 2r · er − 1 dr 0 = π · (e − 2) Zy Zy g(r, θ, z) A = g(B) 1• 6 • 1 B cc cc cc cc cc2π ’’’’’’’’’’’’ c1 G θ ’’’’’’’’’’’’   ’’’’’’’’’’F Y    H 1     1 1  H    X r Figura 2.22: B = {(r, θ, z) ∈ R3 | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ z ≤ r} es un conjunto (en el sistema cartesiano rθZ) que al aplicarle la transformaci´n de coordenadas cil´ o ındricas g es tal que g(B) = A, en donde A = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 } es la regi´n de integraci´n del ejemplo 2.8 o o Concluimos esta secci´n con la transformaci´n asociada a las coordenadas esf´ricas. Como o o een el caso de las coordenadas cil´ ındricas, las coordenadas esf´ricas est´n asociadas a un sistema e acartesiano. Es decir, dado un sistema cartesiano XY Z y un punto P del espacio, las coordenadasesf´ricas de P en este sistema est´n dadas por tres n´meros: ρ la distancia de P al origen del e a usistema XY Z; θ el ´ngulo dirigido formado por la parte positiva del eje X y la semirecta que parte adel origen y pasa por el punto en que se proyecta el punto P sobre el plano XY (el mismo ´ngulo a 7de las coordenadas cil´ındricas); y ϕ el ´ngulo (no dirigido) que forman la parte positiva del eje Z ay la semirecta que parte del origen y pasa por el punto P (ver figura 2.23). As´ las ternas de la ı,forma (ρ, θ, ϕ), en donde 0 ≤ ρ ∞, y0 ≤ θ y0 + 2π (´ y0 θ ≤ y0 + 2π) (con y0 ∈ R fijo) y o0 ≤ ϕ ≤ π. Como en el caso de los sistemas coordenados anteriores, aun cuando las coordenadasesf´ricas no necesitan de todas las ternas de n´ meros (R3 ), cualquier terna se puede ver como las e ucoordenadas esf´ricas de un punto en el espacio. e Como antes, lo importante aqu´ es la relaci´n entre las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un ı opunto P y sus correspondientes coordenadas esf´ricas (ρ, θ, ϕ). De la figura 2.23 se deducen las esiguientes ecuaciones: x = ρ sen(ϕ) cos(θ) (2.16) 7 En algunos textos, el segundo angulo de las coordenadas esf´ricas se toma como el ´ngulo dirigido ϕ formado ´ e apor la semirecta que parte del origen y pasa por P , y el plano XY , y cuya relaci´n con el ´ngulo definido en este o atexto es: ϕ = π/2 − ϕ 77 J. P´ez a
  • 84. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.4. Algunos cambios de variable Zy z P • Ù ÙÙ ÙÙ ÙÙρ ϕ ÙÙÙ Ù Ù hÙÙ y G Y  hhh  hh  θ hh  hh h x    X Figura 2.23: La terna (ρ, θ, ϕ) representa a las coordenadas esf´ricas de P en el sistema carte- e siano XY Z y = ρ sen(ϕ) sen(θ) z = ρ cos(ϕ)A partir de estas ecuaciones, como en los casos anteriores, podemos definir una funci´n g : R3 → R3 ode la siguiente forma: g(ρ, θ, ϕ) = (ρ sen(ϕ) cos(θ), ρ sen(ϕ) sen(θ), ρ cos(ϕ)) (2.17)la cual tiene, nuevamente, todas las propiedades de derivabilidad que se deseen. ϕ Z y y g(ρ, θ, ϕ) π•       R 6   gg {   gg {{   gg {{ g { 1 ggg {{ 1 ϕ0  gg {{  gg {{ {  gg {{ϕ0  1 G θ  { GY   2π          1 H    X ρ Figura 2.24: Si consideramos puntos de la forma (ρ, θ, ϕ0) ∈ R (con ϕ0 ∈ (0, π) fijo), que equiv- ale a tomar una “rebanada” del rect´ngulo R paralela al plano ρθ a la altura ϕ0 , dicho conjunto a de puntos se transforma bajo la funci´n g(ρ, θ, ϕ) = (ρ sen(ϕ) cos(θ), ρ sen(ϕ) sen(θ), ρ cos(ϕ)) o en un cono cuyo eje es el eje Z y que tiene una “abertura” de un ´ngulo ϕ0 a En cuanto a la parte geom´trica, mostraremos cu´l es la imagen bajo g del rect´ngulo R = e a aJ. P´ez a 78
  • 85. 2.4. Algunos cambios de variable Cap´tulo 2. Calculando integrales ı[0, 1] × [0, 2π] × [0, π]. Bajo la funci´n g, las ternas de la forma (ρ, θ, ϕ0) con ϕ0 ∈ (0, π) fijo (ternas oque se obtienen al “rebanar” al rect´ngulo R con un plano paralelo al plano ρθ, justo a la altura aϕ0 ) van a dar a un cono cuyo eje es el eje Z; esto se deduce del hecho de que, justo los puntos deun cono de este tipo, son puntos para los cuales su coordenada esf´rica ϕ es la misma (ver figura e2.24). Para ϕ0 = 0 se obtiene el segmento que va de 0 a 1 sobre el eje Z y para ϕ0 = π el segmentoque va de 0 a −1 (sobre el mismo eje). As´ si generamos al rect´ngulo R por medio de “rebanadas” ı, aparalelas al plano ρθ, al aplicarles la funci´n g “generamos” la esfera unitaria (centrada en el origen) oa trav´s de conos. e Si ahora tomamos las ternas de la forma (ρ, θ0, ϕ) con θ0 ∈ [0, 2π] fijo (ternas que se obtienen al“rebanar” al rect´ngulo R con un plano paralelo al plano ρϕ, a la altura θ0 ), al aplicar la funci´n g a oobtenemos el semic´ ırculo unitario que est´ contenido en el plano que contiene al eje Z y que forma ajusto un angulo (dirigido) θ0 con la parte positiva del eje X (ver figura 2.25). En este caso, si ´generamos al rect´ngulo R por medio de “rebanadas” paralelas al plano ρϕ, al aplicarles la funci´n a og “generamos” la misma esfera s´lo que ahora atraves de semic´ o ırculos que giran alrededor del ejeZ (¡como un abanico que gira!). ϕ y Zy g(ρ, θ, ϕ) • π        R 6 1•          1 G θ 1 1 1  ff GY θ0  2π  fff  θ ff  H 0 f. H  1  .. 1   ..   ... ρ X .... . .. 1 •.. Figura 2.25: Si consideramos puntos de la forma (ρ, θ0, ϕ) ∈ R (con θ0 ∈ [0, 2π] fijo), que equiv- ale a tomar una “rebanada” del rect´ngulo R paralela al plano ρϕ a la altura θ0 , dicho conjunto a de puntos se transforma bajo la funci´n g(ρ, θ, ϕ) = (ρ sen(ϕ) cos(θ), ρ sen(ϕ) sen(θ), ρ cos(ϕ)) o en el semic´ ırculo unitario que est´ contenido en el plano que contiene al eje Z y que forma justo a un ´ngulo (dirigido) θ0 con la parte positiva del eje X a Finalmente, si tomamos las ternas de la forma (ρ0 , θ, ϕ) con ρ0 ∈ [0, 1] fijo (ternas que seobtienen al “rebanar” al rect´ngulo R con un plano paralelo al plano θϕ, a la altura ρ0 ), al aplicar ala funci´n g obtenemos la esfera de radio ρ0 con centro en el origen (ver figura 2.26). Por tanto, si ogeneramos al rect´ngulo R por medio de “rebanadas” paralelas al plano θϕ, al aplicarles la funci´n a og “generamos” la misma esfera unitaria s´lo que ahora a trav´s de esferas centradas en el origen y o ecuyo radio “va creciendo”. De las identidades 2.16 se deduce que: ρ2 = x2 + y 2 + z 2 o ´ ρ= x2 + y 2 + z 2y el jacobiano de la funci´n g definida en 2.17 (que de aqu´ en adelante conoceremos como la o ı 79 J. P´ez a
  • 86. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.4. Algunos cambios de variable ϕ Z y y g(ρ, θ, ϕ) π•  1•     R 6       1 G θ 1 1 1 GY    2π  ρ0 ρ0       H  1   1H    ρ X 1• Figura 2.26: Si consideramos puntos de la forma (ρ0 , θ, ϕ) ∈ R (con ρ0 ∈ [0, 1] fijo), que equivale a tomar una “rebanada” del rect´ngulo R paralela al plano θϕ a la altura ρ0 , dicho conjunto a de puntos se transforma bajo la funci´n g(ρ, θ, ϕ) = (ρ sen(ϕ) cos(θ), ρ sen(ϕ) sen(θ), ρ cos(ϕ)) o en la esfera de radio ρ0 con centro en el origentransformaci´n de coordenadas esf´ricas) est´ dado por: o e a Jg(ρ, θ, ϕ) = det(Dg(ρ, θ, ϕ)) ⎛ ⎞ sen(ϕ) cos(θ) −ρ sen(ϕ) sen(θ) ρ cos(ϕ) cos(θ) = det ⎝ sen(ϕ) sen(θ) ρ sen(ϕ) cos(θ) ρ cos(ϕ) sen(θ) ⎠ cos(ϕ) 0 −ρ sen(ϕ) = cos(ϕ) · −ρ2 sen(ϕ) cos(ϕ) − ρ sen(ϕ) · ρ sen2 (ϕ) = −ρ2 · sen(ϕ) Como es de suponerse, terminamos esta secci´n con un ejemplo que muestra el uso de esta otransformaci´n. oEjemplo 2.9 Calcular el volumen de la regi´n que est´ dentro de la esfera unitaria con centro en o ael origen, y fuera del cono determinado por la ecuaci´n z 2 = x2 + y 2 . oEn t´rminos m´s precisos, se desea calcular el volumen de la regi´n e a o A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z 2 ≤ x2 + y 2 }Soluci´n. Observese primero que, si tomamos o π 3 B= (ρ, θ, ϕ) ∈ R3 | 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, ≤ϕ≤ π 4 4y g la transformaci´n de coordenadas esf´ricas, entonces o e g(B) = APor otra parte, sabemos que si f ≡ 1, entonces V (A) = m(A)J. P´ez a 80
  • 87. 2.5. Masa y centro de masa Cap´tulo 2. Calculando integrales ı = f A = (f ◦ g) |Jg| B = |Jg| B ⎛ ⎛ 3 ⎞ ⎞ 1 2π 4 π ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎝ ⎝ ρ2 · sen(ϕ)dϕ⎠ dθ⎠ dρ 0 0 π 4 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 3 π ⎞ 4 ⎜ ⎟ =⎝ ρ2 dρ⎠ · ⎝ dθ⎠ · ⎝ sen(ϕ)dϕ⎠ 0 0 π 4 ρ3 1 2π 3 4 π = · θ · − cos(ϕ) π 3 0 0 4 1 3 1 = · 2π · − cos( π) + cos( π) 3 4 4 4 π = ·√ 3 22.5 Masa y centro de masaIniciamos este texto planteando un problema: ¿c´mo calcular la masa total de una l´mina si o adisponemos de una funci´n f que nos proporciona la densidad de masa en cada punto de ´sta? o e´Este fue el problema a partir del cual iniciamos la discusi´n que finalmente nos condujo al concepto ode integral de una funci´n de varias variables (y de valores reales). Ahora sabemos que, si nuestra ol´mina tiene la forma de un rect´ngulo R, o de manera m´s general, coincide con la de un conjunto a a aA ⊂ R2 que resulta ser Jordan-medible, entonces la masa total de dicha l´mina estar´ dada por a a M (A) = f (2.18) ADe hecho, esto mismo lo podemos extender a objetos en el espacio (o en dimensiones m´s altas, si ahace falta); en efecto, si tenemos un objeto en el espacio cuya forma coincide con la de un conjuntoA ⊂ R3 el cual resulta ser Jordan-medible, y adem´s contamos con una funci´n que nos proporciona a ola densidad de masa del objeto en cada uno de sus puntos, entonces no dudamos en afirmar que lamasa total del objeto se puede obtener por medio de la correspondiente integral. En esta secci´n mostraremos otro ejemplo de c´mo usar el concepto de integral que hemos o odesarrollado, para resolver un problema muy relacionado con el del c´lculo de la masa total de un aobjeto. Imaginemos que tenemos un alambre (cuya masa est´ distribuida de forma homog´nea) que a eflota sobre un cierto l´ ıquido. Sobre de ´ste, colocamos objetos de diferente peso (o, para ser m´s e aexactos, con diferente masa). La pregunta es: ¿desde qu´ punto del alambre debemos sostenerlo epara que ´ste no se sumerja y adem´s permanezca horizontal? (ver figura 2.27). e a 81 J. P´ez a
  • 88. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.5. Masa y centro de masa GFBD @m1 C AE GFBD @m2 C AE GFBD @m3 C AE • • Figura 2.27: En un alambre que flota sobre alg´n l´ u ıquido colocamos objetos de diferente masa Si sostenemos el alambre por alguno de sus puntos, digamos P1 , y en otro, digamos P2 , colocamosun objeto de masa m, el efecto producido sobre el alambre depender´ de las posiciones relativas ade P1 y de P2 . Si el punto P2 est´ a la derecha de P1 , el alambre se sumergir´ hacia la derecha (o a agirar´ en el sentido de las manecillas de reloj) y si el punto P2 est´ a la izquierda de P1 , el alambre a ase sumergir´ hacia la izquierda (o girar´ en el sentido contrario al de las manecillas de reloj). Si P1 a ay P2 coinciden, entonces el alambre permanecer´ horizontal (o “equilibrado”). En los dos primeros acasos, la “fuerza” con que gire el alambre depender´ de dos cosas: una, de la cantidad m de masa aque hayamos colocado, y dos, de la distancia d entre los puntos P1 y P2 (ver figura 2.28). 7624 0153 m • •y • P1 = P2 7654 0123 m • • y • • P2 P1 9 7654 0123 m • •y • • P1 P2 x Figura 2.28: Si P1 y P2 coinciden, el alambre permanecer´ horizontal (o “equilibrado”); si el a punto P2 est´ a la izquierda de P1 , el alambre se sumergir´ hacia la izquierda (o girar´ en el a a a sentido contrario al de las manecillas de reloj); y si el punto P2 est´ a la derecha de P1 , el a alambre se sumergir´ hacia la derecha (o girar´ en el sentido de las manecillas de reloj) a a Para simplificar nuestro an´lisis, vamos a suponer que empezamos sosteniendo el alambre por asu punto medio, y que sobre de el alambre colocamos una recta que representa a los n´meros reales, uhaciendo coincidir el origen con dicho punto. Ya que elegimos este sistema de referencia, obs´rvese eque si la masa de magnitud m la colocamos en un cierto punto del alambre, y dicho punto coincidecon el n´mero real x (en cuyo caso diremos que la masa m est´ colocada en la posici´n x) entonces u a oJ. P´ez a 82
  • 89. 2.5. Masa y centro de masa Cap´tulo 2. Calculando integrales ıel n´mero que se obtiene al multiplicar m y x, es decir m · x, es una muy buena forma de medir el ugiro producido sobre el alambre, incluyendo su orientaci´n, la cual quedar´ expresada en el signo o ade dicho n´mero (ver figura 2.29). u 7654 0123 m • • 1y • G x 0 Figura 2.29: Sostenemos el alambre por su punto medio, y sobre el alambre colocamos una recta que representa a los n´meros reales, haciendo coincidir el origen con dicho punto u Una vez establecida esta forma de medir el efecto producido sobre el alambre al colocarleuna masa, veremos c´mo usando esta medida podemos expresar el hecho de que el alambre est´ o a“equilibrado” o en posici´n horizontal. Se comprueba f´cilmente que, si colocamos dos masas de la o amisma magnitud m, una en la posici´n x1 y otra en la posici´n x2 entonces la suma m · x1 + m · x2 = o om · (x1 + x2 ) nos da un n´mero que vuelve a reflejar el efecto producido sobre el alambre al colocar uambas masas. En efecto, si x1 + x2 0 entonces el alambre gira en el sentido de las manecillasdel reloj, si x1 + x2 0 lo hace en el sentido contrario, y si x1 + x2 = 0 (lo que significa que lasposiciones en que colocamos las masas de la misma magnitud son sim´tricas) entonces, como era ede esperarse, el alambre no gira, es decir, est´ “equilibrado” (ver figura 2.30). a 7654 0123 m 7654 0123 m • • 1y • • G x1 0 x2 x1 + x2 = 0 7654 0123 m 7654 0123 m 1y G • • • • x1 0 x2 z x1 + x2 0 7654 0123 m 7654 0123 m • • 1y • • G x1 0 x2 2 x1 + x2 0 Figura 2.30: Si x1 + x2 0 entonces el alambre gira en el sentido de las manecillas del reloj; si x1 + x2 0 lo hace en el sentido contrario, y si x1 + x2 = 0 el alambre no gira Otro caso que tambi´n es muy sencillo de verificar es el siguiente: si ahora colocamos dos masas em1 y m2 , no necesariamente de la misma magnitud, pero en posiciones x1 y x2 sim´tricas, es decir e 83 J. P´ez a
  • 90. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.5. Masa y centro de masax2 = −x1 ´ x1 + x2 = 0, entonces la suma o m1 · x1 + m2 · x2 = (m1 − m2 ) · x1es nuevamente un n´mero que refleja con toda presici´n el efecto producido sobre el alambre. u o En general, se puede comprobar que, si colocamos sobre nuestro alambre masas m1 , . . . , mk enlas posiciones x1 , . . . , xk , respectivamente, entonces el n´ mero u m1 · x1 + · · · + mk · xk (2.19)nos permite medir (y saber) cu´l es el giro producido sobre dicho alambre al sostenerlo por su punto amedio; en particular, si m1 · x1 + · · · + mk · xk = 0podemos asegurar que el alambre no girar´, o lo que es lo mismo, permaner´ “equilibrado”. a a Es importante destacar que hasta ahora la expresi´n 2.19 s´lo nos permite determinar si las o omasas m1 , . . ., mk , ubicadas en las posiciones x1 , . . . , xk , est´n equilibradas (o no) con respecto aal punto medio del alambre (que por cierto, es el punto del alambre que ocupa la posici´n 0, de oacuerdo con la forma en que ubicamos nuestra recta real). Por esta raz´n, es pertinente hacernos ola siguiente pregunta: ¿cu´l es la expresi´n que nos permite determinar si el mismo conjunto de a omasas y ubicaciones est´ equilibrado, si ahora suponemos que el alambre se sostiene desde un punto aque est´ en una posici´n x0 arbitraria? a o 7624 0153 m • • 1 y • • G x 0 x0 Figura 2.31: Ahora sostenemos el alambre por un punto que ocupa una posici´n x0 y colocamos o una masa de magnitud m en una posici´n x o Supongamos entonces que sostenemos el alambre por un punto que ocupa una posici´n x0 y que ocolocamos una masa de magnitud m en una posici´n x (ver figura 2.31). No es dif´ convencerse o ıcilde que ahora el n´mero m · (x − x0 ) es el que nos da una medida del giro (incluyendo la orientaci´n u ode ´ste, por medio de su signo) producido sobre nuestro alambre. Y si razonamos como p´rrafos e aarriba, tambi´n llegaremos a la conclusi´n de que, al colocar un conjunto de masas m1 , . . . , mk en e olas posiciones x1 , . . . , xk , el n´mero u m1 · (x1 − x0 ) + · · · + mk · (xk − x0 )nos proporciona una manera de saber la magnitud y orientaci´n del giro producido, y en particular oque, si m1 · (x1 − x0 ) + · · · + mk · (xk − x0 ) = 0 (2.20)entonces el alambre permanecer´ en equilibrio. a Lo m´s relevante de la identidad 2.20 es que ´sta determina al valor x0 en t´rminos de los a e evalores m1 , . . . , mk y x1 , . . ., xk . En efecto, si en esta identidad despejamos a x0 , obtenemos que m1 · x1 + · · · + mk · xk x0 = m1 + · · · + mkJ. P´ez a 84
  • 91. 2.5. Masa y centro de masa Cap´tulo 2. Calculando integrales ı k mi · xi i=1 = k mi i=1 Como se podr´ observar, esta ultima identidad resuelve el problema que planteamos inicial- a ´mente: si colocamos sobre nuestro alambre k objetos con masas m1 , . . . , mk en las posicionesx1 , . . . , xk , respectivamente, entonces la posici´n dada por la f´rmula o o m1 · x1 + · · · + mk · xk x0 = (2.21) m1 + · · · + mkes aquella desde la cual se debe de sostener al alambre para que ´ste permanezca equilibrado. e Todo lo discutido p´rrafos arriba constituye la base de lo que haremos a continuaci´n. Ahora a onuestro nuevo problema es el siguiente: si tenemos un alambre cuya distribuci´n de masa no es ohomog´nea, y contamos con una funci´n que nos asigna la densidad de masa en cada punto del e oalambre, la pregunta es: ¿cu´l es el punto de equilibrio de este alambre?, es decir, ¿desde qu´ punto a edebemos sostener a nuestro alambre para que se mantenga en posici´n horizontal? o ¡Manos a la obra! Empecemos por establecer un sistema de referencia sobre el alambre, es decir,lo ubicamos sobre una recta real. Si el extremo izquierdo del alambre se ubica en la posici´n a yoel derecho en la posici´n b, entonces la funci´n de densidad (de masa) del alambre se puede pensar o ocomo una funci´n ρ : [a, b] ⊂ R → R. o El siguiente paso consistir´ en subdividir el alambre en pedazos m´s peque˜os, lo que en t´rminos a a n ede posiciones equivale a tomar una partici´n P = {a = t0 t1 . . . tk = b} del intervalo [a, b]. oA continuaci´n, elegimos ξi ∈ [ti−1 , ti ] para cada uno de los subintervalos inducidos por P en o[a, b]. Ahora, resulta razonable suponer que la cantidad ρ(ξi) · (ti − ti−1 ) es una aproximaci´n aola masa contenida en la porci´n del alambre representada por el subintervalo [ti−1 , ti], y que esta oaproximaci´n es mejor en la medida de que dicho subintervalo sea m´s peque˜o, es decir, en la o a nmedida de que la partici´n P sea m´s “fina”. Como seguramente se recordar´, la masa total m del o a aalambre se parecer´ mucho a la suma de estos n´meros, es decir a u k m≈ ρ(ξi) · (ti − ti−1 ) i=1suma que a su vez se parece mucho a b ρ(x)dx ade donde concluimos que b m= ρ(x)dx alo cual debe de resultarle muy familiar al lector. En cuanto al problema de encontrar el punto de equilibrio del alambre, se estar´ de acuerdo en aque nos podemos aproximar a ´ste atrav´s del punto de equilibrio del conjunto de masas (colocadas e esobre un alambre homog´neo que flota sobre alg´n l´ e u ıquido) mi = ρ(ξi) · (ti − ti−1 ) ubicadas en las 85 J. P´ez a
  • 92. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.5. Masa y centro de masaposiciones ξi (i = 1, . . ., k) que, de acuerdo con la identidad 2.21, est´ dado por a k mi · ξi i=1 x0 = k mi i=1 k ξi · ρ(ξi) · (ti − ti−1 ) i=1 = k ρ(ξi) · (ti − ti−1 ) i=1y que esta aproximaci´n ser´ mejor en la medida de que la partici´n P sea m´s fina (ver figura o a o a2.32). • • • 1 • • • • G a = t0 t1 t2 0 t3 t4 t5 t6 = b mi = ρ(ξi) · (ti − ti−1 ) GFBD @m1 C AE GFBD @m2 C AE GFBD @m3 C AE GFBD @m4 C AE GFBD @m5 C AE GFBD @m6 C AE 1 1 • • • • 1 1 • 1 • 1 • • G a ξ1 ξ2 ξ3 0 ξ4 ξ5 ξ6 b Figura 2.32: El punto de equilibrio de un alambre no homog´neo, se puede aproximar a trav´s e e del punto de equilibrio del conjunto de masas (colocadas sobre un alambre homog´neo que flota e u ıquido) mi = ρ(ξi) · (ti − ti−1 ) ubicadas en las posiciones ξi (i = 1, . . ., k) sobre alg´n l´ Seguramente el lector coincidir´ en que, como a k b ξi · ρ(ξi) · (ti − ti−1 ) ≈ x · ρ(x)dx i=1 ajusto cuando la partici´n P es m´s fina, es del todo razonable afirmar que el n´mero o a u b x · ρ(x)dx a x0 = (2.22) b ρ(x)dx anos proporciona la ubicaci´n del punto de equilibrio de nuestro alambre. o Al n´mero que aparece a la derecha de la identidad 2.22 se le concoce como el centro de masa ude un alambre (identificado con el intervalo [a, b]) cuya funci´n de densidad de masa est´ dada por o aρ : [a, b] ⊂ R → R. Como se habr´ notado, en todo lo que hemos hecho hasta ahora no han aparecido las integrales ade funciones de varias variables, pero como seguramente se sospechar´, ´stas aparecer´n cuando a e aabordemos el problema equivalente para objetos en el plano (l´minas) o en el espacio (s´lidos). a o ¡Y aqu´ vamos! Imaginemos ahora que tenemos una l´mina de forma rectangular (lo que por ı aahora ser´ irrelevante) que flota sobre un cierto l´ a ıquido y cuya masa est´ distribuida de forma aJ. P´ez a 86
  • 93. 2.5. Masa y centro de masa Cap´tulo 2. Calculando integrales ı { { {{ GFBD @m4 C AE {{ {{ @m2 C GFBD AE {{ {{ • {{ {{ { GFBD • GFBD @m5 C AE @m3 C {{{ GFBD AE {{ @m1 C AE • {{{ {{ • • {{ {{ { Figura 2.33: En una l´mina que flota sobre alg´n l´ a u ıquido colocamos objetos de diferente masahomog´nea. Sobre de ´sta, colocamos objetos de diferente masa. La pregunta nuevamente es: e e¿desde que punto de la l´mina debemos sostenerla para que ´sta no se sumerja y adem´s permanezca a e ahorizontal? (ver figura 2.33). Como en el caso del alambre, si ahora sostenemos nuestra l´mina por alguno de sus puntos, adigamos P ˆ ˆ0 , y en otro, digamos P1 , colocamos un objeto de masa m, el efecto producido sobre la ˆ ˆl´mina depender´, de nueva cuenta, de las posiciones de P0 y de P1 . De hecho, es intuitivamente a a a a o ˆ(y experimentalmente) claro que la l´mina se sumergir´ en la direcci´n del punto P1 (visto desdeel punto Pˆ0 ) como si ´sta estuviera sostenida a lo largo de toda la l´ e ˆ ınea que para por P0 y que esperpendicular a la l´ınea que une a P ˆ ˆ0 con P1 (ver figura 2.34). Tambi´n es intuitivamente claro que ela “fuerza” con la que har´ este movimiento depender´ de la magnitud de la masa y de la distancia a aentre los puntos. As´ es f´cil converserse de que el vector ı, a m · P1 − P0 ˆ ˆes una muy buena forma de medir el efecto producido sobre la l´mina. a { qq { {{ P ˆ0 qqqq {{ {{ q {{ {{ { •q yˆ q tt ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ {{ { {{ tt ˆˆˆˆ123 7m 0654 {{ {{ tt ˆD • ˆ {{{ {{ tt tt P1 {{ {{ tt { v a a o ˆ Figura 2.34: La l´mina se “sumergir´” en la direcci´n del punto P1 (visto desde el punto P0 ) ˆ como si ´sta estuviera sostenida a lo largo de toda la l´ e ˆ0 y que es perpendicular ınea que pasa por P ˆ ınea que une a P0 con P1 a la l´ ˆ En general, podemos afirmar que, si colocamos k masas de magnitud m1 , . . . , mk en los puntosP ˆ ˆ1 , . . . , Pk , respectivamente, entonces el efecto producido sobre la l´mina (que seguimos suponiendo a ˆse sostiene por el punto P0 ) queda plenamente determinado por el vector ˆ ˆ ˆ ˆ m1 · P1 − P0 + · · · + mk · Pk − P0(seguramente el lector se podr´ imaginar algunas “configuraciones” sencillas de masas y posiciones aque confirman esta afirmaci´n), y en particular, si o m1 · P1 − P0 + · · · + mk · Pk − P0 = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 (2.23) 87 J. P´ez a
  • 94. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.5. Masa y centro de masaentonces podemos asegurar que la l´mina permanece horizontal (o en “equilibrio”). a ˆ Como en el caso unidimensional, la identidad 2.23 determina de manera unica al punto P0 ya ´que, despejando, tenemos que 1 ˆ P0 = · m1 · P1 + · · · + mk · Pk ˆ ˆ (2.24) m1 + · · · + mkcon lo cual resolvemos el problema inicialmente planteado. ˆ ˆ Si elegimos un sistema cartesiano en el que los puntos P1 , . . . , Pk tienen coordenadas (x1 , y1 ), . . .,(xk , yk ), respectivamente, entonces las coordenadas (x0 , y0 ) (en el mismo sistema) del punto de ˆ“equilibrio” P0 (o centro de masa) del conjunto de masas m1 , . . . , mk ubicadas en dichos puntos,est´n dadas por a m1 · x1 + · · · + mk · xk x0 = m1 + · · · + mk m1 · y1 + · · · + mk · yk y0 = m1 + · · · + mk Con base en lo anterior, podemos resolver ahora el problema de encontrar el punto de “equili-brio” (o centro de masa) de una l´mina cuya densidad de masa est´ dada por un funci´n ρ. Para a a oempezar, supondremos nuevamente que nuestra l´mina tiene la forma de un rect´ngulo R. Como en a ael caso de un alambre, si damos una partici´n P del rect´ngulo R y consideramos los subrect´ngulos o a aR1 , . . . , Rk de R inducidos por esta partici´n, una primera aproximaci´n al punto de “equilibrio” o ode la l´mina se obtiene calculando el punto de “equilibrio” correspondiente al conjunto de masas a ˆ ˆm1 , . . ., mk ubicadas en los puntos P1 = (x1 , y1 ), . . . , Pk = (xk , yk ), en donde tomamos ˆ a ˆ mi = ρ(Pi) · ´rea(Ri) = ρ(Pi ) · m(Ri) ˆy Pi es cualquier punto del subrect´ngulo Ri, para i = 1, . . . , k (ver figura 2.35). a {{ R R9 {{{{ { {{{ 7 R8 {{ {{ {{{ R4 R5 R6 {{{ {{ {{ {{{ R1 R2 R3 {{{ { { ˆ a mi = ρ(Pi ) · ´rea(Ri) { 89:; { ˆ ?9= 8:; {{ P7 m7 ˆ ?m= 89:; 8 ˆ ?m= { 9 P9 • {{{ {{ { ?m= • P8 • { { ˆ 89:; ˆ ?9= 8:; ˆ ?9= 8:; {{{ P4 •4 P5 m5• P6 m6 {{{{ •{ {{ ?9= { { ˆ 8:; {{ P1 m1 ˆ2 ?m= P • 89:; 2 ˆ3 ?m= {{{ 89:; 3 P • { { • Figura 2.35: El punto de equilibrio de una l´mina no homog´nea, se puede aproximar a trav´s a e e del punto de equilibrio del conjunto de masas (colocadas sobre una l´mina homog´nea) mi = a e ˆ a ˆ ρ(Pi) · ´rea(Ri) ubicadas en las posiciones Pi (i = 1, . . ., k) ı, ˆ As´ el punto P0 cuyas coordenadas est´n dadas por a m1 · x1 + · · · + mk · xk x0 = m1 + · · · + mkJ. P´ez a 88
  • 95. 2.5. Masa y centro de masa Cap´tulo 2. Calculando integrales ı k xi · ρ(xi, yi ) · m(Ri) i=1 = k ρ(xi , yi) · m(Ri) i=1 y m1 · y1 + · · · + mk · yk y0 = m1 + · · · + mk k yi · ρ(xi, yi ) · m(Ri ) i=1 = k ρ(xi, yi) · m(Ri) i=1son una aproximaci´n a las coordenadas del centro de masa de la l´mina, y esta aproximaci´n es o a omejor entre m´s “fina” sea la partici´n P. a o Por otra parte, justo si la partici´n P es muy “fina”, sabemos que o k xi · ρ(xi , yi) · m(Ri) ≈ x · ρ(x, y) i=1 R k yi · ρ(xi , yi) · m(Ri) ≈ y · ρ(x, y) i=1 Ry k ρ(xi, yi ) · m(Ri) ≈ ρ(x, y) i=1 Rde tal forma que podemos estar seguros de que las coordenadas del centro de masa (o punto de“equilibrio”) de la l´mina est´n dadas por a a x · ρ(x, y) R x0 = ρ(x, y) R y · ρ(x, y) R y0 = ρ(x, y) R Como el lector deducir´ f´cilmente, si ahora la forma de nuestra l´mina coincide con la de un a a a 2conjunto Jordan-medible A ⊂ R , en este caso el centro de masa de dicha l´mina estar´ en el punto a acuyas coordenadas son x · ρ(x, y) A x0 = ρ(x, y) A y · ρ(x, y) A y0 = ρ(x, y) A 89 J. P´ez a
  • 96. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.5. Masa y centro de masa Por nuestra incapacidad para “percibir” una cuarta dimensi´n espacial (¡en caso de que exis- otiera!), resultar´ “poco intuitivo” seguir el mismo procedimiento que en los casos anteriores para ıa“motivar” el concepto de punto de “equilibrio” (o centro de masa) de un conjunto de masas ˆ ˆm1 , . . ., mk ubicadas ahora en puntos del espacio P1 , . . . , Pk . Es por esta raz´n que en este caso oplantearemos el problema de manera diferente. GFBD @m4 C AE •‚ ‚ P4 ˆ ‚ GFBD @m1 C AE GFBD @m5 C AE ‚ • ‚ c c c ˆ • ™ ™5 ‚ P1 ˆ P5 ™5 ™5 ‚ c c ™5 ™5 ‚ ‚ c c ™5 c GFBD @m6 C AE qI qI qI qI • Bj Bj Bj qI qI qI qI Bj • q qI qI ×q ×q ˆ Bj Bj Bj Pˆ ×q ×q P0 Bj Bj Bj 2 ˆ P6 ×q ×q •m2B @FBC GAED ×q ×q ×q ×q × ˆ • P3 GFBD @m3 C AE o ˆ Figura 2.36: Un objeto ubicado en una posici´n P0 est´ unido por medio de resortes de difer- a ˆ ˆ ente tipo, a un conjunto de masas m1 , . . . , m6 ubicadas en los puntos del espacio P1 , . . . , P6 , respectivamente o ˆ Supongamos que tenemos un objeto ubicado en una posici´n P0 el cual vamos a unir, por mediode resortes de diferente tipo, a un conjunto de masas m1 , . . ., mk ubicadas en los puntos del espacio ˆ ˆP1 , . . . , Pk , respectivamente (ver figura 2.36). Supongamos tambi´n que la “tensi´n” del resorte e o ˆ o ˆque une a la masa en el punto Pi con el objeto en la posici´n P0 , es igual al producto de la masami por la distancia entre dichos puntos, de tal forma que la medida de la fuerza (o “tir´n”) que se oejerce sobre nuestro objeto est´ dada por mi · P a ˆi − P0 8 . Por tanto, la fuerza neta que se ejercer´ ˆ a a ˆsobre el objeto que est´ colocado en el punto P0 estar´ dada por a ˆ ˆ ˆ ˆ m1 · P1 − P0 + · · · + mk · Pk − P0 ˆy como en los casos anteriores, podremos decir que el punto P0 es el punto de “equilibrio” de nuestroconjunto de masas y resortes si m1 · P1 − P0 + · · · + mk · Pk − P0 = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ´ ´ ˆ Como en los otros casos, esta ultima identidad determina de manera unica al punto P0 por loque diremos que el punto de “equilibrio” (o centro de masa) del conjunto de masas m1 , . . . , mk ˆ ˆubicadas en los puntos del espacio P1 , . . . , Pk est´ dado por a ˆ 1 ˆ ˆ P0 = · m1 · P1 + · · · + mk · Pk m1 + · · · + mk Si estos puntos tienen (en alg´n sistema de referencia) coordenadas (x1 , y1 , z1 ), . . ., (xk , yk , zk ), urespectivamente, entonces las coordenadas (x0 , y0 , z0 ) (en el mismo sistema) del punto de “equili- 8 El lector estar´ de acuerdo en que este planteamiento tambi´n funcionar´ para los casos en una y dos dimensiones. a e ıaJ. P´ez a 90
  • 97. 2.5. Masa y centro de masa Cap´tulo 2. Calculando integrales ı ˆbrio” P0 del conjunto de masas m1 , . . . , mk ubicadas en dichos puntos, est´n dadas por a m1 · x1 + · · · + mk · xk x0 = m1 + · · · + mk m1 · y1 + · · · + mk · yk y0 = m1 + · · · + mk m1 · z1 + · · · + mk · zk z0 = m1 + · · · + mk Si ahora seguimos el mismo procedimiento que en los casos anteriores (y que a estas alturas ellector debe saberse de memoria) debe ser claro que, si tenemos un s´lido cuya forma coincide con la ode un conjunto Jordan-medible A ⊂ R3 y su densidad de masa est´ dada por la funci´n ρ(x, y, z), a o ˆentonces las coordenadas (x0 , y0 , z0 ) del centro de masa P0 de este s´lido, est´n dadas por o a x · ρ(x, y, z) A x0 = ρ(x, y, z) A y · ρ(x, y, z) A y0 = ρ(x, y, z) A z · ρ(x, y, z) A z0 = ρ(x, y, z) A Concluimos esta secci´n (y este cap´ o ıtulo) con un ejemplo.Ejemplo 2.10 Considere una l´mina cuya forma coincide con la del conjunto A ⊂ R2 que se aencuentra dentro de la circunferencia unitaria con centro en el origen, y por arriba de la par´bola ay = 1 (1 − x2 ). Si la densidad de masa de la l´mina es homog´nea, es decir, ρ(x, y) ≡ c, calcule su 2 a ecentro de masa.Soluci´n. Primero observemos que la regi´n en cuesti´n se puede escribir como o o o 1 A= (x, y) ∈ R2 | −1 ≤ x ≤ 1, (1 − x2 ) ≤ y ≤ 1 − x2 2Como se sabe, la masa total de la l´mina est´ dada por a a ⎛ √ ⎞ 1 1−x2 ⎜ ⎟ ρ(x, y) = ⎝ c · dy ⎠ dx A −1 1 (1−x2 ) 2 1 1 =c· 1 − x2 − (1 − x2 ) dx 2 −1 π 2 =c· − 2 3Por otra parte, como ⎛ √ ⎞ 1 1−x2 ⎜ ⎟ x · ρ(x, y) = ⎝ c · xdy ⎠ dx A −1 1 (1−x2 ) 2 91 J. P´ez a
  • 98. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.6. Problemas 1 1 =c· x· 1 − x2 − (1 − x2 ) dx 2 −1 =0se tiene que la abcisa x0 del centro de masa es igual a 0, como era de esperarse, puesto que laregi´n A es sim´trica con respecto al eje Y y la l´mina es homog´nea. o e a ePor otra parte, como ⎛ √ ⎞ 1 1−x2 ⎜ ⎟ y · ρ(x, y) = ⎝ c · ydy ⎠ dx A −1 1 (1−x2 ) 2 1 1 1 =c· · 1 − x2 − (1 − x2 )2 dx 2 4 −1 1 c 3 1 2 1 4 = · − · x − · x dx 2 4 2 4 −1 8·c = 15se tiene que la ordenada del centro de masa es y · ρ(x, y) A y0 = ρ(x, y) A 8c/15 = c· π − 2 2 3 8 = 15 · π − 2 2 3la cual, por cierto, es independiente de la densidad c. Por tanto, el centro de masa de nuestral´mina es a 8 0, 15 · π − 2 2 32.6 Problemas 1. Sea f : R = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn] ⊂ Rn → R continua en R, y sean {i1 , . . ., ik } ⊂ {1, . . ., n} tales que il il+1 para l = 1, . . . , k − 1 y {j1 , . . ., jn−k } = {1, . . ., n}{i1, . . . , ik } con jl jl+1 para l = 1, . . . , n − k − 1. Si yi1 ∈ [ai1 , bi1 ], . . ., yik ∈ [aik , bik ] pruebe que: (a) la funci´n fyi1 ,...,yik : Rj1 ,...,jn−k = [aj1 , bj1 ] × · · · × [ajn−k , bjn−k ] ⊂ Rn−k → R definida o como fyi1 ,...,yik (xj1 , . . . , xjn−k ) = f ((xj1 , . . . , xjn−k )(yi1 ,...,yi ) ) k en donde (xj1 , . . . , xjn−k )(yi1 ,...,yi ) denota al elemento de Rn cuya il coordenada es yil k (para l = 1, . . . , k) y su jl coordenadas es xjl (para l = 1, . . ., n − k), es continua en Rj1 ,...,jn−k .J. P´ez a 92
  • 99. 2.6. Problemas Cap´tulo 2. Calculando integrales ı (b) la funci´n φ : Ri1 ,...,ik = [ai1 , bi1 ] × · · · × [aik , bik ] ⊂ Rk → R definida como o φ(yi1 , . . . , yik ) = fyi1 ,...,yik Rj1,...,jn−k es continua en Ri1 ,...,ik . 2. (Teorema de Fubini generalizado) Sean, f : R = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn] ⊂ Rn → R integrable sobre R, y {i1 , . . . , ik } ⊂ {1, . . ., n} tales que il il+1 para l = 1, . . . , k − 1. Usando la misma notaci´n del ejercicio anterior, definimos las funciones φ, Φ : Ri1 ,...,ik ⊂ Rk → R como o φ(yi1 , . . ., yik ) = fyi1 ,...,yik Rj1 ,...,jn−k y Φ(yi1 , . . . , yik ) = fyi1 ,...,yik Rj1,...,jn−k para cada (yi1 , . . . , yik ) ∈ Ri1 ,...,ik . Pruebe que φ y Φ son integrables sobre Ri1 ,...,ik y que φ= f= Φ Ri1 ,...,ik R Ri1 ,...,ik 3. Considere las hip´tesis, los conjuntos y las funciones definidas en el problema 1. Agregue la o funci´n ψ : Rj1 ,...,jn−k ⊂ Rn−k → R definida como o ψ(xj1 , . . . , xjn−k ) = fxj1 ,...,xjn−k Ri1 ,...,ik Pruebe que φ= ψ Ri1 ,...,ik Rj1,...,jn−k o lo que es lo mismo, que ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ fyi1 ,...,yik ⎠ = ⎝ fxj1 ,...,xjn−k ⎠ Ri1 ,...,ik Rj1,...,jn−k Rj1 ,...,jn−k Ri1 ,...,ik ∂ 2f ∂ 2f 4. Sea f : A ⊂ R2 → R con A abierto. Pruebe, usando el teorema de Fubini que, si ∂x∂y y ∂y∂x son continuas en A, entonces ∂ 2f ∂ 2f (u, v) = (u, v) para toda (u, v) ∈ A ∂x∂y ∂y∂x 93 J. P´ez a
  • 100. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.6. Problemas 5. Sean fi : [ai , bi] ⊂ R → R (i = 1, . . ., n) funciones continuas. Si definimos f : R = [a1 , b1] × · · · × [an , bn] ⊂ Rn → R como f (x1 , . . . , xn ) = f1 (x1 ) · . . . · fn (xn ), pruebe que f es integrable sobre R y adem´s a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b1 bn f =⎝ f1 (x1 )dx1 ⎠ · . . . · ⎝ fn (xn )dxn⎠ R a1 an 6. Sea f : R = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 → R con derivadas parciales continuas. Definimos F : R = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 → R como F (x, y) = f para toda (x, y) ∈ [a, b] × [c, d] [a,x]×[c,y] Pruebe que F es de clase C 2 en int(R). Calcule todas las derivadas parciales hasta de orden dos de F . 7. Sea f : R = [0, 1] × [0, 1] ⊂ R2 → R definida como: ⎧ ⎨ 1 si x es racional f (x, y) = ⎩ 2y si x es irracional 1 1 Pruebe que la integral iterada f (x, y)dy dx existe pero que sin embargo f no es inte- 0 0 grable sobre R. 8. Sea f : [a, b] ⊂ R → R integrable en [a, b] y R = [a, b] × [a, b]. Pruebe que para toda u ∈ [a, b]: b ⎛ u ⎞ b ⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞2 ⎝ 1⎝ f (u)f (v)dv ⎠ du = ⎝ f (u)f (v)dv ⎠ du = f (u)du⎠ 2 a a a u a 9. Sea f : R = [a1 , b1 ] × [a2 , b2] × [a3 , b3] ⊂ R3 → R tal que la funci´n fx,y : [a3 , b3 ] ⊂ R → R o definida como fx,y (z) = f (x, y, z) es integrable para toda (x, y) ∈ R = [a1 , b1] × [a2 , b2] ⊂ R2 y ∂f es continua en R. Si definimos g : R ⊂ R2 → R como g(x, y) = a3 f (x, y, z)dz, pruebe b3 ∂x ∂g que ∂x (x, y) existe para toda (x, y) ∈ R y adem´s a b3 ∂g ∂f (x, y) = (x, y, z)dz ∂x ∂x a3 10. Sea f como en el problema anterior. Si definimos F : [a2 , b2] ⊂ R → R como x ⎛ b3 ⎞ F (x) = ⎝ f (x, y, z)dz ⎠ dy a2 a3 (a) ¿bajo qu´ condiciones F es derivable? eJ. P´ez a 94
  • 101. 2.6. Problemas Cap´tulo 2. Calculando integrales ı b3 x b3 ∂f (b) si F es derivable, pruebe que F (x) = f (x, x, z)dz + ∂x (x, y, z)dz dy a3 a2 a3 11. Determine las regiones de integraci´n que conducen a las siguientes integrales m´ltiples, y o u eval´elas u ⎛ ⎛√ ⎞ ⎞ 2 z z2 −y2 1 |x| (i) ⎝ ⎝ xdx⎠ dy ⎠ dz (ii) ex+y dy dx 0 0 0 −1 −2|x| 1 x x+y 3 6−2z 4−(2y/3)−4z/3 (iii) dz dy dx (iv) yzdx dy dz 0 0 x2 +y2 0 0 0 1 y 1 x (v) (xn + y m )dx dy (vi) (xn + y m )dy dx 0 y2 0 x3 12. Pruebe que, si g : [c, d] → [a, b] es una biyecci´n de clase C 1 y f : [a, b] → R es continua, o entonces b d f (x)dx = f (g(t)) · g (t) dt a c 13. Sea f : [0, a] ⊂ R → R continua. (a) identifique la regi´n que conduce a la siguiente integral o a ⎛ x⎛ y ⎞ ⎞ ⎝ ⎝ f (z)dz ⎠ dy ⎠ dx 0 0 0 (b) use el teorema de Fubini para probar la identidad a ⎛ x⎛ y ⎞ ⎞ a ⎝ ⎝ 1 f (z)dz ⎠ dy ⎠ dx = f (z)(a − z)2 dz 2 0 0 0 0 14. Calcule la integral de la funci´n f sobre la regi´n A, donde: o o (a) A es la regi´n acotada por la parte positiva de los ejes X y Y y la recta 3x + 4y = 10 y o f (x, y) = x2 + y 2 (b) A es la regi´n comprendida entre el c´ o ırculo de radio 1 y el c´ ırculo radio 2, ambos con centro en el origen, y f (x, y) = 1 + xy (c) A es la regi´n acotada por el eje Y y la par´bola x = −4y 2 + 3, y f (x, y) = x3 y o a (d) A es la regi´n encerrada por la superficie z = x2 + y 2 y los planos z = 5 y z = 10, y o f (x, y, z) = 1 (e) A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 9, y ≤ x + 3, x + y ≤ 0} y f (x, y) = xy 2 (f) A = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 y x ≤ y ≤ 1} y f (x, y) = ey 95 J. P´ez a
  • 102. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.6. Problemas (g) A es la regi´n acotada por los planos z = 0, z = x y la superficie y 2 = 4 − 2x, y o f (x, y, z) = 1 (h) A es la regi´n encerrada por las superficies y 2 + z 2 = 4a y |x| = 4a, y f (x, y, z) = x2 o (i) A es la intersecci´n de los cilindros s´lidos x2 + y 2 ≤ 1 y x2 + z 2 ≤ 1, y f (x, y, z) = 1 o o 15. Sea A = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, −φ(x) ≤ y ≤ φ(x)} donde φ : [a, b] → R es continua y no negativa. Pruebe que: (a) si (x, y) ∈ A, entonces (x, −y) ∈ A (b) si f : A ⊂ R2 → R es tal que f (x, −y) = −f (x, y), entonces f =0 A 16. En cada inciso, encuentra la imagen bajo la transformaci´n g de la regi´n A e integre la o o funci´n f sobre g(A), donde: o (a) g(u, v) = (u2 − v 2 , 2uv), A = {(u, v) ∈ R2 | u, v ≥ 0 y u2 + v 2 ≤ 1}, y f (x, y) = √1 1+ x2 +y2 (b) g(u, v) = (u + v, u2 − v), A = {(u, v) ∈ R2 | u, v ≥ 0 y u + v ≤ 2}, y f (x, y) = √ 1 1+ 4x+4y+1 (c) g(u, v) = (u, v(1 + u2 )), A = [0, 3] × [0, 2] y f (x, y) = x (d) g(u, v) = (u, v(1 + 2u)), (¿cu´l es la imagen de las l´ a ıneas horizontales bajo esta transfor- maci´n?) A = [0, 3] × [1, 3] y f (x, y) = 1 o 17. Calcule el area de las siguientes regiones: ´ (a) la regi´n acotada por las curvas cuyas ecuaciones polares son θ = 0, θ = o π 4 y r = θ2 (b) la regi´n acotada por la curva r 2 = 2a2 |cos(2θ)| (dib´jela) o u (c) la regi´n que est´ dentro de la curva r = 1 + cos(θ) y fuera de la curva r = 1 o a (d) la regi´n que est´ dentro de la curva r = 3 sen(θ) y fuera de la curva r = 1 + sen(θ) o a 18. Calcule el volumen de las siguientes regiones: (a) la regi´n que est´ dentro del cilindro x2 + y 2 = 1, debajo de la esfera de radio 2 con o a centro en el origen y arriba del plano XY (b) la regi´n que est´ dentro del elipsoide 4x2 + 4y 2 + z 2 = 16 y fuera del cilindro x2 + y 2 = 1 o a 19. Sea M 0. (a) muestre que 2 2 +y2 ) 2 π(1 − e−M ) ≤ e−(x ≤ π(1 − e−2M ) [−M,M ]×[−M,M ] (b) pruebe que ⎛ M ⎞2 −M 2 −t2 2 π(1 − e )≤⎝ e dt⎠ ≤ π(1 − e−2M ) −MJ. P´ez a 96
  • 103. 2.6. Problemas Cap´tulo 2. Calculando integrales ı ∞ 2 (c) ¿cu´nto vale a e−t dt? −∞ 20. Calcule la integral de la funci´n f (x, y, z) = xyz sobre el conjunto Jordan-medible A ⊂ R3 , o en donde A es la regi´n acotada por los planos 4x − y = 0, x − 4y = 0, x + y = 1, x + y = o 4, x + y − z = 0 y z = 0 (sugerencia: proceda como en el ejemplo 2.6). 21. Una bola en R4 de radio ρ con centro en el origen se define como {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x2 + x2 + x2 + x2 ≤ R2 }. Calcule el “volumen” de esta bola. 1 2 3 4 22. Si g es la transformaci´n de coordenadas esf´ricas, verifique que los puntos de la forma o e g(ρ, θ, ϕ0) (ϕ0 fijo) satisfacen la ecuaci´n de un cono. o 23. Usando el cambio de coordenadas “adecuado”, integra la funci´n f sobre la regi´n A, donde: o o (a) A es la regi´n que est´ fuera del cilindro x2 + y 2 = a2 y dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = o a 4a2 , y f (x, y, z) = kz 2 (b) A es la regi´n que est´ dentro del cono x2 +y 2 = z 2 y dentro de la esfera x2 +y 2 +z 2 = 2z, o a y f (x, y, z) = kz (c) A es la regi´n que est´ dentro del paraboloide x2 + y 2 = z y dentro de la esfera x2 + o a y 2 + z 2 = 2z, y f (x, y, z) = 2 (d) A es la regi´n que est´ fuera del cono x2 + y 2 = z 2 y dentro del cilindro x2 + y 2 − 2y = 0, o a y f (x, y, z) = x (e) A es la regi´n que est´ dentro del cilindro x2 + y 2 = 4 y fuera del hiperboloide x2 + y 2 − o a z 2 = 1, y f (x, y, z) = y (f) A es la regi´n que est´ por debajo del paraboloide x2 + y 2 = z, arriba del plano z = 0 y o a dentro del cilindro recto cuya base tiene la forma de la curva r = 1 + cos(θ), f (x, y, z) = x2 + y 2 (esboce la regi´n) o (g) A es la regi´n que est´ dentro del cono x2 +y 2 = z 2 y por debajo del plano x−2z +2 = 0, o a y f (x, y, z) = 2 (h) A es la regi´n que est´ dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 y dentro del cilindro recto o a cuya base tiene la forma de la curva r = cos(2θ), y f (x, y, z) = x2 + y 2 (esboce la regi´n) o 24. Sea h : [a, b] ⊂ R → R continua. Deduzca, usando coordenadas cil´ ındricas, cu´l es el volumen a del s´lido de revoluci´n que se obtiene cuando se gira la gr´fica de h con respecto al eje X. o o a 25. De una esfera de radio ρ se corta una cu˜a mediante dos planos que se intersecan en un n di´metro de la esfera. Si el ´ngulo entre los planos es π , ¿cu´l es el volumen de la cu˜a? a a 3 a n 26. Defina, en general, el concepto de masa y centro de masa para un “objeto en n dimensiones” cuya forma coincide con la de un conjunto Jordan-medible A ⊂ Rn y cuya “densidad” est´ a dada por la funci´n ρ : A ⊂ Rn → R. o 27. Considere dos objetos cuyas formas coinciden con los conjuntos A, B ⊂ Rn Jordan-medibles, respectivamente, tales que m(A ∩ B) = 0, y con funci´n de densidad ρ : A ∪ B ⊂ Rn → R. o ˆ ˆ ˆ Si PA , PB , y PA∪B son puntos de Rn que representan los centros de masa de A, B y A ∪ B, respectivamente. Pruebe que M (A) M (B) ˆ PA∪B = · PA + ˆ · PB ˆ M (A) + M (B) M (A) + M (B) 97 J. P´ez a
  • 104. Cap´tulo 2. Calculando integrales ı 2.6. Problemas Interprete “geom´tricamente” (el lector estar´ de acuerdo en que este problema “justifica” e a de alguna manera la expresi´n: “un objeto (o masa) ubicado(a) en un punto”, que sin duda o “idealiza” una situaci´n que es muy dif´ que se cumpla en “la realidad”). o ıcil 28. Considere una l´mina de densidad constante 1 cuya forma coincide con la del conjunto A = a [−2, 2] × [−1, 1] ⊂ R2 . (a) muestre que cualquier recta que pasa por su centro de masa la divide en dos partes con la misma masa (o ´rea) a (b) si ahora la l´mina tiene la forma del conjunto A = [−2, 0] × [−2, 2] ∪ [0, 2] × [−1, 1] ⊂ R2 , a ¿se sigue cumpliendo la misma propiedad del inciso anterior? 29. Sea A la regi´n que est´ dentro de la circunferencia de radio 1 con centro en el (0, 1). Si o a A es la forma de una placa met´lica cuya densidad de masa δ est´ dada por la funci´n a a o 2 2 ρ(x, y) = x + y , calcule: (a) la masa total de la placa (b) el centro de masa de la placa 30. Sea A la regi´n que est´ dentro de la circunferencia de radio 1 con centro en el (0, 1). Si A es o a la forma de una placa met´lica cuya densidad de masa ρ est´ dada por la funci´n a a o ⎧ 2 ⎨ x + y2 si − 1 ≤ x ≤ 0 ρ(x, y) = ⎩ 2 y si 0 ≤ x ≤ 1 calcule: (a) la masa total de la placa (b) el centro de masa de la placa 31. Considere la regi´n del problema 23 inciso (a). Si A es el complemento (en la esfera) de dicha o regi´n y es tal que su densidad de masa est´ dada por la funci´n ρ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , o a o calcule: (a) la masa total de A (b) el centro de masa de A 32. Una placa met´lica tiene la forma de la regi´n que est´ dentro de la curva r = 3 sen(θ) y a o a fuera de la curva r = 1 + sen(θ), y tiene una funci´n de densidad de masa en el punto P igual o al cuadrado de la distancia que hay de P al eje polar. Calcule: (a) la masa total de la placa (b) el centro de masa de la placa 33. Encuentre la masa total y el centro de masa del s´lido que est´ en el interior, tanto del cilindro o a x2 + y 2 − 2y = 0 como de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4, suponiendo que la densidad de masa en el punto P es directamente proporcional a la distancia de P al plano XY .J. P´ez a 98
  • 105. Cap´ ıtulo 3Integrando sobre curvasEn el cap´ ıtulo anterior vimos c´mo calcular la masa total de un alambre, aun cuando ´ste fuera o ede densidad no homog´nea, pero suponiendo que era recto. Surge entonces la pregunta de c´mo e ohacer el mismo c´lculo, pero suponiendo ahora que nuestro alambre est´ curvado. Y ya metidos en a agastos, por supuesto que tambi´n nos podemos preguntar lo mismo para l´minas no necesariamente e aplanas. Parte de lo que haremos en este cap´ ıtulo ser´ desarrollar las herramientas necesarias para acontestar la primera pregunta y en el siguiente, las necesarias para responder la segunda. En este cap´ ıtulo tambi´n desarrollaremos herramientas que nos permitir´n dar sentido a la idea e ade integrar una funci´n de valores reales sobre una curva (de este tipo es la funci´n que nos da la o odensidad de masa de un alambre no homog´neo), y m´s aun, veremos que hay ciertos problemas e a(de la F´ısica, ¡por supuesto!) que nos conducen al concepto de integral sobre una curva de unafunci´n de valores vectoriales. o3.1 Curvas y trayectoriasLa herramienta m´s adecuada para describir la forma de un alambre que no es recto, son las afunciones de R en R2 (si nuestro alambre no es recto pero es plano) o de R en R3 , justo porquelas im´genes de este tipo de funciones se ven como curvas. Para ser m´s precisos, trabajaremos a acon funciones que est´n definidas sobre alg´n intervalo [a, b] ⊂ R y cuyos valores est´n en Rn , en a u ageneral. Necesitaremos tambi´n que estas funciones sean derivables1 , o cuando menos que lo sean epor pedazos, y que esta derivada sea continua (para no tener problemas si nos topamos con algunaexpresi´n que la incluya y que vayamos a integrar). Este tipo de funciones reciben un nombre oparticular el cual queda establecido en la siguienteDefinici´n 3.1 Una funci´n γ : [a, b] ⊂ R → Rn es suave por pedazos si existe una partici´n o o oP = {a = t0 t1 · · · tk = b} del intervalo [a, b] tal que γ tiene derivada continua (de clase C 1 )en cada subintervalo [ti−1 , ti ] (para i = 1, . . . , k). A la imagen Γ = γ([a, b]) de una funci´n γ suave opor pedazos la llamaremos curva suave por pedazos y diremos que γ es una parametrizaci´n suave opor pedazos de Γ. A γ(a) se le conoce como el punto inicial de γ y a γ(b) como el punto final, ysi γ(a) = γ(b) decimos que γ es cerrada. Un ejemplo t´ ıpico de una curva suave por pedazos es la siguiente: 1 Existen funciones definidas sobre el intervalo [0, 1] con valores en R2 , continuas, cuya imagen es el cuadrado[0, 1] × [0, 1]. Se les conoce con el nombre de “curvas de Peano” en honor del matem´tico italiano Giuseppe Peano a(1858-1932). 99
  • 106. Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı 3.1. Curvas y trayectoriasEjemplo 3.1 Considere el cuadrado (en R2 ) con v´rtices en los puntos (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1) e(ver figura 3.1). Una parametrizaci´n (suave por pedazos) para esta curva puede ser la funci´n o oγ : [0, 4] ⊂ R → R2 definida como: ⎧ ⎪ (t, 0) ⎪ si 0 ≤ t ≤ 1 ⎨ (1, t − 1) si 1 ≤ t ≤ 2 γ(t) = ⎪ (3 − t, 1) ⎪ si 2 ≤ t ≤ 3 ⎩ (0, 4 − t) si 3 ≤ t ≤ 4 Y y 1 G 1 X Figura 3.1: Cuadrado unitario Es un hecho conocido que una curva con “picos” se puede ver como la imagen de una funci´n oγ : [a, b] ⊂ R → Rn derivable en todo su dominio (s´lo que en estos “picos” es necesario que la ovelocidad se haga cero, para que se pueda hacer un cambio “brusco” de direcci´n). Tal es el caso ode la gr´fica de la funci´n f (x) = |x| en el intervalo [−1, 1] (ver figura 3.2) para la cual se puede a oconseguir una parametrizaci´n que sea derivable y que adem´s dicha derivada sea continua en o atodo su dominio (es un buen ejercicio encontrar esta parametrizaci´n). Sin embargo, la funci´n o oγ : [−1, 1] ⊂ R → R2 definida como γ(t) = (t, |t|) tambi´n es una parametrizaci´n suave por pedazos e ode la misma curva (basta tomar la partici´n {−1, 0, 1}), en donde adem´s la derivada de γ en los o acorrespondientes subintervalos nunca se hace cero. Y y cc cc   cc cc   cc cc   cc cc   cc cc   cc cc   cc cc   cc  cc  c c G −1 1 X Figura 3.2: Valor absoluto Observe que el ejemplo anterior no es m´s que un caso particular de algo que se puede hacer de amanera m´s general. N´tese que, si f : [a, b] ⊂ R → R es una funci´n suave por pedazos, entonces a o ola gr´fica de f (Gf = {(x, f (x)) ∈ R a 2 | x ∈ [a, b]}) tambi´n es una curva suave por pedazos y ela funci´n γ : [a, b] ⊂ R → R2 definida como γ(x) = (x, f (x)) es una parametrizaci´n (suave por o opedazos) de ella (ver figura 3.3). Muchas de las propiedades de las funciones de R en Rn ya las conocemos, as´ que s´lo agregare- ı omos algunas muy espec´ ıficas de las suaves por pedazos. La primera de ellas, y que usaremos con mucha frecuencia, es que este tipo de funciones sepueden “unir” o “pegar”. En efecto, si dos funciones γ y δ son suaves por pedazos, con la propiedadJ. P´ez a 100
  • 107. 3.1. Curvas y trayectorias Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı Y y • (a, f (a)) TT TT • T (b, f (b)) | | G a b X Figura 3.3: La gr´fica de una funci´n tambi´n es una curva a o ede que δ “empieza” donde “termina” γ, entonces podemos construir una tercera funci´n (o curva) osuave por pedazos, que denotaremos por γ + δ, y que se obtiene “pegando” ambas funciones (verfigura 3.4). Formalizamos esta “operaci´n” en la siguiente oDefinici´n 3.2 Sean, γ : [a, b] ⊂ R → Rn y δ : [c, d] ⊂ R → Rn dos funciones suaves por pedazos otales que γ(b) = δ(c). Definimos la funci´n γ + δ : [a, b + (d − c)] ⊂ R → Rn de la siguiente manera: o ⎧ ⎨ γ(t) si t ∈ [a, b] (γ + δ)(t) = ⎩ δ(t − b + c) si t ∈ [b, b + (d − c)] δ δ(d) • γ • γ(a) • γ(b) = δ(c) Figura 3.4: La curva γ + δ Se deja como ejercicio al lector probar que en efecto, γ + δ es nuevamente una funci´n suave opor pedazos, y por lo tanto, que la uni´n de sus im´genes tambi´n es una curva suave por pedazos. o a e Otro concepto importante relacionado con las funciones de R en Rn es el que tiene que vercon la idea de cambio de par´metro o reparametrizaci´n. Incluimos todo lo relacionado con este a oconcepto en la siguienteDefinici´n 3.3 Sea γ : [a, b] ⊂ R → Rn una funci´n suave por pedazos y α : [c, d] ⊂ R →[a, b] ⊂ R o osuprayectiva en [a, b], y de clase C 1 en [c, d]. Si la funci´n γ ◦ α : [c, d] ⊂ R → Rn (cuya imagen es ola misma que la de γ) es nuevamente suave por pedazos, decimos que γ ◦α es una reparametrizaci´n ode la curva Γ = γ([a, b]). Si adicionalmente la funci´n α es inyectiva, se debe tener que α (t) ≥ 0 opara toda t ∈ [c, d] ´ α (t) ≤ 0 para toda t ∈ [c, d]. En el primer caso (en el que se debe de cumplir oque α(c) = a y α(d) = b) decimos que γ ◦ α es una reparametrizaci´n que preserva la direcci´n, y o oen el segundo (en el que se debe de cumplir que α(c) = b y α(d) = a) que invierte la direcci´n. o 101 J. P´ez a
  • 108. Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı 3.1. Curvas y trayectorias Dada γ : [a, b] ⊂ R → Rn una funci´n suave por pedazos, hay una reparametrizaci´n muy o oparticular de ´sta que usaremos con mucha frecuencia y que por tanto merece menci´n aparte. Es la e oque se obtiene al considerar la funci´n α : [a, b]→[a, b] definida como α(t) = a+b−t. Como se verifica of´cilmente, γ ◦ α es una reparametrizaci´n que invierte la orientaci´n y que tiene la particularidad a o ode recorrer la misma curva Γ = γ([a, b]), s´lo que en sentido contrario; el punto inicial de γ ◦ α oes el punto final de γ y el punto final de γ ◦ α es el punto inicial de γ. A esta reparametrizaci´n oespec´ıfica de γ la denotaremos como −γ (ver figura 3.5). Resumiendo, si γ : [a, b] ⊂ R → Rn es unafunci´n suave por pedazos, definimos −γ : [a, b] ⊂ R → Rn como o (−γ)(t) = γ(a + b − t)que tambi´n es una funci´n suave por pedazos. e o γ −γ ’ 1 Õ i I q U ! w ‚ d 6 ! • … • γ(a) (−γ)(b) E •γ(b) m (−γ)(a) • Figura 3.5: Las curvas γ y −γ Concluimos esta secci´n recordando c´mo se usan las parametrizaciones para calcular la longitud o ode una curva Γ ⊂ Rn . Supongamos por ahora que γ = (γ1 , . . . , γn) : [a, b] ⊂ R → Rn es unaparametrizaci´n inyectiva y de clase C 1 de esta curva. Como es intuitivamente claro, un m´todo o epara aproximarse a la longitud de la curva Γ consiste en tomar un n´mero finito de puntos de u´sta (empezando y terminando en los puntos inicial y final), digamos P0 , . . ., Pk ∈ Γ, y calcular lae ˆ ˆlongitud entre cada dos consecutivos, es decir Pi − Pi−1 . De esta forma, la suma de todos estos ˆ ˆ k i=1 Pi − Pi−1n´meros u ˆ ˆ es una aproximaci´n a la longitud de la curva, y esta ser´ mejor si o atomamos m´s puntos y m´s cercanos entre s´ (ver figura 3.6). a a ı ~tt • T ggggg TT • ~~~ tttt ggggg TT tt • ~~ tt TT ~~ tt TT ~~ tt Tii‚‚ iiii TT ‚‚‚‚d • ~~ tt • i i Tdddddd‚ ~~ γ(a) dddddd• pp dddddd • ~ γ(a)ppp ~~ ddddddd • ƒ • ƒƒ u •u pp ƒƒƒƒ• uu • ƒƒƒ uu ƒƒƒ uu ƒƒƒ uu ƒ γ(b) • “ • ““““““ γ(b) • Figura 3.6: Aproximaci´n a la longitud de la curva γ o Dado que estamos suponiendo que γ es una parametrizaci´n inyectiva de Γ, existe una unica o ´partici´n P = {t0 , . . . , tk } del intervalo [a, b] tal que Pi = γ(ti), y por lo tanto tenemos que o ˆ k k ˆ ˆ Pi − Pi−1 = γ(ti) − γ(ti−1 ) i=1 i=1J. P´ez a 102
  • 109. 3.1. Curvas y trayectorias Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı Por otra parte, como estamos suponiendo que γ = (γ1 , . . . , γn) es una funci´n de clase C 1 en o[a, b], por el Teorema del Valor Medio para funciones de R en R, tenemos que γ(ti) − γ(ti−1 ) = (γ1 (ti ) − γ1 (ti−1 ), . . . , γn(ti ) − γn (ti−1 )) (1) (n) = γ1 ti · (ti − ti−1 ), . . ., γn ti · (ti − ti−1 ) (1) (n) = (ti − ti−1 ) γ1 ti , . . ., γn ti (1) (n)en donde ti , . . . , ti ∈ [ti−1 , ti]. Ahora, si los puntos P0 , . . ., Pk ∈ Γ son muchos y muy cercanos ˆ ˆentre s´ (los consecutivos), entonces la partici´n P ser´ muy fina, de tal forma que ti−1 y ti tambi´n ı o a eser´n puntos muy cercanos. As´ por la continuidad de la derivada de γ debemos tener que a ı, (1) (n) γ1 ti , . . . , γn ti ≈ γ1 (ξi ) , . . ., γn (ξi )para cualquier ξi ∈ [ti−1 , ti ]. De esta forma, debemos tener entonces que (1) (n) γ(ti ) − γ(ti−1 ) = (ti − ti−1 ) γ1 ti , . . . , γn ti (3.1) ≈ (ti − ti−1 ) γ1 (ξi ) , . . . , γn (ξi )para cualquier ξi ∈ [ti−1 , ti ] y para cada i = 1, . . ., k. Por lo tanto, tenemos que k k ˆ ˆ Pi − Pi−1 = γ(ti) − γ(ti−1 ) i=1 i=1 k ≈ γ1 (ξi ) , . . . , γn (ξi ) · (ti − ti−1 ) i=1y como el lector sabr´ reconocer, esta ultima suma es una suma de Riemann correspondiente a la a ´integral b γ (t) dt apor lo que es de esperarse que la longitud de la curva Γ, que denotaremos por l(Γ), coincida conesta integral, es decir, se debe tener que b l(Γ) = γ (t) dt (3.2) a Es importante destacar que la integral que aparece en la identidad anterior est´ bien definida aaun y cuando γ sea una funci´n suave por pedazos, en virtud de que γ (t) ser´ una funci´n acotada o a oy continua en [a, b], salvo por un n´mero finito de puntos. Por otra parte, si γ no es una funci´n u oinyectiva entonces esta integral no representa la longitud de la curva descrita, sino la longitud totalrecorrida por un objeto que sigue la trayectoria descrita por γ. Esta ultima observaci´n es muy ´ orelevante, puesto que expresa el otro uso que le vamos a dar a las funciones como γ; es decir, estetipo de funciones tambi´n las usaremos para describir el recorrido o trayectoria seguida por un eobjeto. Para terminar esta secci´n, vale la pena decir que la aproximaci´n expresada en 3.1 funciona o omuy bien y por tanto ser´ muy usada en lo que resta de este cap´ a ıtulo. 103 J. P´ez a
  • 110. Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı 3.2. Integrando funciones escalares3.2 Integrando funciones escalaresUna vez que hemos definido y establecido las propiedades b´sicas de la herramienta con la cual avamos a trabajar (las funciones de R en Rn suaves por pedazos), estamos en condiciones de abordarel primer problema que nos planteamos al inicio de este cap´ ıtulo. Supongamos que tenemos un alambre no homog´neo cuya forma coincide con la de una curva eΓ ⊂ Rn (claro, con n = 2 o n = 3) y cuya densidad de masa est´ dada por la funci´n ρ. Por ahora, ´ a ovamos a suponer que Γ es la imagen de una funci´n γ = (γ1 , . . . , γn) : [a, b] ⊂ R → Rn inyectiva y ode clase C 1 . La pregunta es: ¿c´mo calcular la masa total del alambre? o De forma an´loga a como hicimos en el caso del c´lculo de la longitud de una curva, todo parece a aindicar que lo m´s apropiado es proceder de la siguiente manera (ver figura 3.7): a b Pi b ξi • b Pi−1 }} } }} }} } } }} }} b }} }} con densidad ρ(ξi ) } }} }} } }} }} } Figura 3.7: Un alambre no homog´neo cuya forma coincide con la de una curva Γ e ˆ ˆ 1. elegir nuevamente un n´mero finito de puntos P0 , . . . , Pk ∈ Γ u ˆ ˆ ˆ 2. en cada arco de curva Pi−1 Pi elegir un punto ξi ˆ ˆ ˆ 3. suponer que la densidad de masa a lo largo de cada arco Pi−1 Pi est´ dada por ρ(ξi ) a ˆ ˆ ˆ ˆ 4. aproximar la longitud del arco Pi−1 Pi por la distancia entre los puntos Pi y Pi−1 , es decir, ˆ ˆ por Pi − Pi−1 ˆ Siguiendo estos pasos se tiene que la cantidad ρ(ξi) · Pi − Pi−1 ˆ ˆ es una aproximaci´n a la o ˆ ˆcantidad de masa contenida en el pedazo de alambre representado por el arco Pi−1 Pi , por lo quela suma k ˆ ˆ ˆ ρ(ξi) · Pi − Pi−1 (3.3) i=1es una aproximaci´n a la masa total, la cual, como siempre sucede y suceder´ en estos casos, ser´ o a amejor en la medida de que tomemos muchos puntos, y muy bien distribuidos, a lo largo de Γ. Si ahora recordamos que la curva Γ est´ parametrizada por la funci´n γ, la selecci´n de los a o opuntos P ˆ ˆ0 , . . . , Pk ∈ Γ se corresponde con una partici´n P = {t0 , . . . , tk } del intervalo [a, b] tal que oJ. P´ez a 104
  • 111. 3.2. Integrando funciones escalares Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı • • • • ˆ • Pi = γ(ti )• γ(ξi ) • Pi−1 = γ(ti−1 )• ˆ Figura 3.8: Los puntos P0 , . . . , Pk ∈ Γ se corresponden con los elementos de una partici´n ˆ ˆ o P = {t0 , . . . , tk } del intervalo [a, b] o ˆPi = γ(ti), y la elecci´n de los puntos ξi ∈ Pi−1 Pi , con la elecci´n de un punto ξi ∈ [ti−1 , ti ], para ˆ ˆ ˆ ocada i = 1, . . . , k (ver figura 3.8). De esta forma, la suma 3.3 se puede escribir como k ρ(γ(ξi)) · γ(ti) − γ(ti−1 ) i=1y esta suma se aproximar´ cada vez mejor a la masa del alambre si la partici´n P es cada vez m´s a o afina. Por otra parte, si usamos 3.1 tendremos que k k ρ(γ(ξi)) · γ(ti) − γ(ti−1 ) ≈ ρ(γ(ξi)) · γ (ξi) · (ti − ti−1 ) (3.4) i=1 i=1y nuevamente, el ojo bien entrenado del lector reconocer´ r´pidamente que la suma de la derecha a aes una suma de Riemann correspondiente a la integral b ρ(γ(t)) · γ (t) dt (3.5) ay que dicha suma se parecer´ m´s a esta integral, justo en la medida de que P sea una partici´n a a omuy fina. Dado que la suma que est´ a la izquierda en 3.4 se parece m´s a la masa total de nuestro a aalambre en la medida de que P sea una partici´n muy fina, y en esta misma medida, la suma de ola derecha se parece m´s a la integral 3.5, es f´cil concluir entonces que la masa total deber´ estar a a adada por esta integral. De hecho obs´rvese que, si el alambre es homog´neo, es decir, ρ es una e efunci´n constante, entonces el valor de esta integral es igual a esta constante multiplicada por la olongitud de la curva l(Γ), como era de esperarse. Es importante destacar que la integral que aparece en 3.5 est´ perfectamente bien definida aun acuando γ sea una curva suave por pedazos, raz´n por la cual todos nuestros razonamientos son oaplicables en este caso. Ilustraremos la discusi´n anterior con el siguiente oEjemplo 3.2 Considere un alambre cuya forma coincide con la imagen de la funci´n γ(t) = o(cos(2πt), sen(2πt), t) con t ∈ [−1, 1] (un resorte), y su densidad de masa est´ dada por la funci´n a o 2ρ(x, y, z) = 1 − z . Calcular la masa total del alambre. 105 J. P´ez a
  • 112. Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı 3.2. Integrando funciones escalares √Soluci´n. Dado que γ (t) = (−2π sen(2πt), 2π cos(2πt), 1) entonces γ (t) = o 1 + 4π 2 y por lotanto 1 1 ρ(γ(t)) · γ (t) dt = 1 + 4π 2 · (1 − t2 )dt −1 −1 2 = 1 + 4π 2 · 2 − 3 4 · 1 + 4π 2 = 3 Hay otro problema, en este caso geom´trico, cuya soluci´n nos conduce a calcular una integral e ocomo la que aparece en 3.5. Sup´ngase que se tiene una barda cuya base tiene la forma de una ocurva Γ ⊂ R2 y su altura, que var´ en cada punto de esta curva, est´ dada por una funci´n f (la ıa a oque supondremos que es continua, aunque podemos suponer menos que eso) (ver figura 3.9). Comoes de imaginarse, la pregunta en este caso es: ¿cu´l es el ´rea total de la barda? a a y y R R Figura 3.9: Una barda de altura variable (dada por la funci´n f ) y cuya base tiene la forma de o la curva γ Si seguimos exactamente los mismos cuatro pasos que en el caso anterior, aclarando que en elpaso 3 ahora lo que supondr´ ˆ ˆ ıamos es que la altura de la barda a lo largo del arco Pi−1 Pi est´ dada apor f (ξ ˆ ˆ ˆ ˆi ), entonces la cantidad f (ξi ) · Pi − Pi−1 representa el ´rea de una tabla que se parece amucho a la barda en ese arco de la curva (ver figura 3.10). De esta forma, la suma k ˆ f (ξi ) · Pi − Pi−1 ˆ ˆ i=1ser´ una aproximaci´n al area total de la barda. a o ´ Si ahora suponemos que tenemos una parametrizaci´n γ de la curva Γ, con las mismas carac- oter´ ısticas de antes, y aplicamos la misma aproximaci´n para la cantidad o Pi − Pi−1 = γ(ti) − γ(ti−1 ) ≈ γ (ξi) · (ti − ti−1 ) ˆ ˆentonces k k ˆ f (ξi ) · Pi − Pi−1 ≈ ˆ ˆ f (γ(ξi)) · γ (ξi) · (ti − ti−1 ) i=1 i=1y como la suma de la derecha es una suma de Riemann de la integral b f (γ(t)) · γ (t) dt (3.6) aJ. P´ez a 106
  • 113. 3.2. Integrando funciones escalares Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı • ““““““““““ b f (ξ i ) • ξi • “““• “““““• “ Pi−1 Pi Figura 3.10: Una tabla que se parece mucho a la barda en un subarco de la curva γllegamos a la conclusi´n de que el area de la barda debe estar dada por esta integral. o ´ El siguiente ejemplo muestra que estamos en lo correcto.Ejemplo 3.3 Considere una barda circular (de radio 1) cuya altura en cada punto est´ dada por ala funci´n f (x, y) = 1 − y (ver figura 3.11). Calcular el area de la barda. o ´Soluci´n. Lo primero que se debe destacar es que el area que se quiere calcular, coincide con o ´ser la mitad del area de un cilindro de base circular (de radio 1) y altura 2 (per´metro de la ´ ıbase(2π) × altura(2) = 4π). Por esta raz´n, el valor al que debemos llegar es 2π. oPara calcular la integral 3.6, parametrizaremos la base de la barda con la funci´n γ(t) = (cos(t), sen(t)) ocon t ∈ [0, 2π]. Por tanto, γ (t) = (− sen(t), cos(t)) de tal forma que b 2π f (γ(t)) · γ (t) dt = (1 − sen(t)) · 1dt a 0 = 2πcomo hab´amos previsto. ı Figura 3.11: Una barda circular El trabajo desarrollado hasta aqu´ es parte de la motivaci´n para introducir el concepto matem´- ı o atico que definiremos a continuaci´n. Se trata del concepto de integral de una funci´n f (de valores o oreales) sobre una curva Γ ⊂ Rn parametrizada por una funci´n γ : [a, b] ⊂ R → Rn . A este tipo de o 107 J. P´ez a
  • 114. Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı 3.2. Integrando funciones escalaresintegral se le conoce con el nombre de integral de l´nea de una funci´n f (o de un campo escalar ı of , como tambi´n se le nombra a este tipo de funciones por su cercan´ con la F´ e ıa ısica). En t´rminos eestrictamente matem´ticos, la definici´n es la siguiente: a oDefinici´n 3.4 Sea Γ ⊂ Rn una curva suave por pedazos, parametrizada por una funci´n (suave o opor pedazos) γ : [a, b] ⊂ R → Rn . Si f : Γ ⊂ Rn → R es continua, definimos la integral de f sobreΓ, seg´n la parametrizaci´n γ, (que denotaremos por Γ f dγ ) como u o b f dγ = f (γ(t)) · γ (t) dt Γ a Por el trabajo realizado hasta aqu´ este tipo de integral puede tener varias interpretaciones ı,(masa, area, etc.) de acuerdo con el contexto en el que se est´ trabajando, lo que por cierto, es una ´ ecaracter´ıstica com´n a muchos conceptos matem´ticos. u a Lo siguiente que haremos ser´ mostrar algunas de las propiedades de este nuevo concepto, todas aellas muy sencillas. La primera se relaciona con la aritm´tica del tipo de funciones que se integran, ey dice lo siguiente:Proposici´n 3.1 Sea Γ ⊂ Rn una curva suave por pedazos parametrizada por la funci´n γ : [a, b] ⊂ o oR → R . Si f, g : Γ ⊂ R → R son continuas y α, β ∈ R entonces n n (αf + βg) dγ = α f dγ + β g dγ Γ Γ Γ Como es de suponerse, la prueba de esta proposici´n se deja al lector. o La siguiente propiedad que mencionaremos tiene que ver con lo se puede llamar la “aritm´tica ede las curvas” sobre las que se integra, y establece que, si una curva se puede ver como la “suma”de otras dos (ver definici´n 3.2), entonces la integral de una funci´n sobre la curva original, es igual o oa la suma de las integrales sobre cada una de ellas.Proposici´n 3.2 Sean, Γ, ∆ ⊂ Rn curvas suaves por pedazos parametrizadas por las funciones oγ : [a, b] ⊂ R → Rn y δ : [c, d] ⊂ R → Rn , respectivamente, tales que Γ ∪ ∆ es suave por pedazos yest´ parametrizada por γ + δ. Si f : Γ ∪ ∆ ⊂ Rn → R es continua entonces a f d(γ + δ) = f dγ + f dδ Γ∪∆ Γ ∆Dem. De acuerdo con la definici´n de γ + δ, tenemos que o b+d−c f d(γ + δ) = f ((γ + δ)(t)) · (γ + δ) (t) dt Γ∪∆ a b b+d−c = f ((γ + δ)(t)) · (γ + δ) (t) dt + f ((γ + δ)(t)) · (γ + δ) (t) dt a b b b+d−c = f (γ(t)) · γ (t) dt + f (δ(t − b + c)) · δ (t − b + c) dt a bJ. P´ez a 108
  • 115. 3.2. Integrando funciones escalares Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı b+d−c = f dγ + f (δ(t − b + c)) · δ (t − b + c) dt Γ bAhora, si en la segunda integral del ultimo rengl´n hacemos el cambio de variable s = t − b + c, ´ otendremos que b+d−c d f (δ(t − b + c)) · δ (t − b + c) dt = f (δ(s)) · δ (s) ds b c = f dδ ∆con lo cual concluimos la prueba. Esta propiedad tiene un valor pr´ctico muy importante, ya que nos permite “ahorrarnos” el ac´lculo de la parametrizaci´n γ + δ. Ilustraremos esto con un ejemplo. a oEjemplo 3.4 Considere el cuadrado Γ parametrizado por la funci´n γ (suave por pedazos) del oejemplo 3.1, y la funci´n f (x, y) = x2 + y 2 . Calcule Γ f dγ . oSoluci´n. De acuerdo con el problema 4, se tiene que γ = γ1 + γ2 + γ3 + γ4 de modo que, por la oproposici´n 3.2 o f dγ = f dγ1 + f dγ2 + f dγ3 + f dγ4 Γ Γ1 Γ2 Γ3 Γ4 1 1 1 1 = t2 dt + (1 + t2 )dt + (1 + (1 − t)2 )dt + (1 − t)2 dt 0 0 0 0 1 = 4 − 4t + 4t2 dt 0 4 = 4−2+ 3 10 = 3en donde Γ1 , Γ2 , Γ3 y Γ4 son la curva imagen (cada uno de los lados del cuadrado) de las funcionesγ1 , γ2 , γ3 y γ4 , respectivamente. Una pregunta que es muy pertinente hacerse con relaci´n a este tipo de integral es la siguiente: o¿qu´ tanto depende el valor de Γ f dγ de la parametrizaci´n γ? Cuando se calcul´ la longi- e o otud de una curva Γ (o la masa total de un alambre, o el area de una barda) supusimos que la ´parametrizaci´n con la que est´bamos trabajando era inyectiva, y esto se hizo con el fin de no o a“agregar de m´s” a lo que est´bamos calculando. Esto nos lleva a sospechar que, en tanto dos a aparametrizaciones γ y δ recorran “el mismo n´mero de veces” a la curva Γ, sin importar la rapidez uy la orientaci´n con que lo hagan, al realizar la integral con cualquiera de ellas nos debe de dar oel mismo resultado. Esta idea de que dos parametrizaciones recorran “el mismo n´ mero de veces” ua la curva Γ, se puede formalizar usando el concepto de reparametrizaci´n definida en 3.3, de la o 109 J. P´ez a
  • 116. Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı 3.2. Integrando funciones escalaressiguiente manera: si δ se puede escribir como una reparametrizaci´n inyectiva de γ (sin importar osi preserva o no la orientaci´n) entonces diremos que γ y δ recorren “el mismo n´mero de veces” a o ula curva Γ. La siguiente proposici´n, con la que concluimos esta secci´n, concreta estas ideas. o oProposici´n 3.3 Sean, Γ ⊂ Rn una curva suave por pedazos y f : Γ ⊂ Rn → R continua. oSi γ : [a, b] ⊂ R → Rn y δ : [c, d] ⊂ R → Rn son dos parametrizaciones de Γ tales que existeα : [c, d] → [a, b] una biyecci´n de clase C 1 con la propiedad de que δ = γ ◦ α, entonces o f dγ = f dδ Γ ΓDem. Como se establece en la definici´n 3.3 (y se pide probar en el problema 5), dado que oα : [c, d] → [a, b] es una biyecci´n, se debe tener que α (s) ≥ 0 para toda s ∈ [c, d] o α (s) ≤ 0 para o ´toda s ∈ [c, d]. Supongamos que ocurre la segunda posibilidad (la primera se deja como problemaal lector) en cuyo caso se debe tener que α(c) = b y α(d) = a. Ahora, si en la integral b f (γ(t)) · γ (t) dt ahacemos el cambio de variable t = α(s), tenemos que b f dγ = f (γ(t)) · γ (t) dt Γ a c = f (γ(α(s))) · γ (α(s)) · α (s)ds d d = − f (γ(α(s))) · γ (α(s)) · α (s)ds c d = f (γ(α(s))) · γ (α(s)) · (−α (s))ds c d = f (γ(α(s))) · γ (α(s)) · α (s) ds c d = f (γ(α(s))) · γ (α(s)) · α (s) ds c d = f ((γ ◦ α)(s)) · (γ ◦ α) (s) ds c d = f (δ(s)) · δ (s) ds cJ. P´ez a 110
  • 117. 3.2. Integrando funciones escalares Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı = f dδ Γ Una consecuencia de la proposici´n anterior que es importante mencionar, es que o f dγ = f d(−γ) Γ Γ Concluimos esta secci´n mostrando otra interpretaci´n del concepto de integral de una funci´n o o oescalar f sobre una curva Γ ⊂ Rn . Un problema que suele ser importante resolver, es el de conocerel “promedio” de los valores de la funci´n f a lo largo de la curva Γ (si, por ejemplo, f representa ola densidad de masa de un alambre que tiene la forma de la curva Γ, suele ser importante sabercu´l es la “densidad promedio” de dicho alambre). a A fin de contestar esta pregunta, empezaremos por subdividir a la curva Γ en k subarcos ˆ ˆΓ1 , . . . , Γk de la misma longitud y elegir en cada uno de ellos puntos ξ1 , . . . , ξk . De esta forma, eln´mero u ˆ ˆ f ( ξ1 ) + · · · + f ( ξk ) kes una aproximaci´n al promedio de los valores de la funci´n f sobre la curva Γ, y esta aproximaci´n o o oser´ mejor en la medida de que k sea m´s grande. a a Dado que subdividimos en subarcos Γi de la misma longitud, se tiene que l(Γi ) 1 = l(Γ) kpara cada i = 1, . . . , k, de tal forma que ˆ ˆ f ( ξ1 ) + · · · + f ( ξk ) ˆ 1 ˆ 1 = f ( ξ1 ) + · · · + f ( ξk ) k k k ˆ l(Γ1 ) ˆ l(Γk ) = f ( ξ1 ) + · · · + f ( ξk ) l(Γ) l(Γ) 1 ˆ ˆ = f (ξ1 )l(Γ1 ) + · · · + f (ξk )l(Γk ) l(Γ) Ahora, si γ : [a, b] ⊂ R → Rn es una parametrizaci´n inyectiva de Γ, si tomamos la partici´n o o ˆP = {t0 , . . . , tk } del intervalo [a, b] tal que γ([ti−1 , ti]) = Γi y elegimos ξi ∈ [ti−1 , ti ] tal que γ(ξi) = ξi(para cada i = 1, . . ., k), entonces ˆ ˆ f ( ξ1 ) + · · · + f ( ξk ) 1 = ˆ ˆ f (ξ1 )l(Γ1 ) + · · · + f (ξk )l(Γk ) k l(Γ) k 1 ˆ ≈ f (ξi) γ(ti ) − γ(ti−1 ) l(Γ) i=1 k 1 ≈ f (ξi) · γ (ξi) · (ti − ti−1 ) l(Γ) i=1 1 ≈ f dγ l(Γ) Γ 111 J. P´ez a
  • 118. Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı 3.3. Integrando funciones vectorialesde donde es claro que el n´mero u 1 f dγ l(Γ) Γes la forma adecuada de calcular el “promedio” de los valores de f a lo largo de la curva Γ (sinolvidar que γ debe ser una parametrizaci´n inyectiva de Γ). o3.3 Integrando funciones vectorialesComo en los casos anteriores, plantearemos un problema cuya soluci´n nos conduzca a la definici´n o odel concepto de integral de l´ ınea de funciones vectoriales, que desarrollaremos en esta secci´n. o Y vv vv vv vv F vvv b v vv vvv vv •vvv P ˆ ˆ Figura 3.12: Una fuerza F “actuando” en un punto P ˆ Todos tenemos una idea intuitiva de lo que significa que en un cierto punto P del espacio (o delplano) est´ “actuando” una fuerza F e ˆ . Este hecho lo podemos representar geom´tricamente si en e ˆ ˆeste punto P colocamos una flecha que represente a esa fuerza F (ver figura 3.12). Un ejemplo deesto es la fuerza de gravedad que ejerce la tierra y que act´ a en cada punto del espacio. En general, usabemos que hay situaciones en las que, ya sea por la presencia de un objeto de masa muy grande,de un objeto que posea carga el´ctrica, o de un im´n, en cada punto alrededor de ellos “act´a” una e a ufuerza, es decir, se crea un “campo de fuerzas” (ver figura 3.13). 22 22 gg 22 { gg {{ gg {{ 3 }{ E reeeeee o ˜˜˜˜˜˜I tX tt ‚88 RRR ttt v $$ 88 RR $$ 88 R $$ Figura 3.13: Un campo de fuerzas Para empezar con algo sencillo, supongamos que en el plano tenemos un campo de fuerzas ˆ ˆconstante, es decir, que en cada punto P del plano act´a la misma fuerza hacia abajo F , como se umuestra en la figura 3.14 (as´ suele suponerse que es el campo gravitatorio de la tierra para escalas ımuy peque˜as). n ˆ Si ahora suponemos que un objeto se mueve desde un punto P hacia un punto Q sobre el ˆsegmento de recta que los une. Existen b´sicamente tres situaciones que se pueden distinguir en acuanto a las posiciones de estos puntos: ˆ ˆ 1. P est´ m´s elevado que Q a aJ. P´ez a 112
  • 119. 3.3. Integrando funciones vectoriales Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı Y y G X Figura 3.14: Un campo de fuerzas constante ˆ ˆ 2. Q est´ m´s elevado que P a a ˆ ˆ 3. P y Q est´n a la misma altura a ˆ ˆ En el primer caso, en cada punto del trayecto de P a Q el campo de fuerzas act´a en “favor” udel movimiento; en el segundo caso act´a en “contra” del movimiento y en el tercero, ni en “favor” uni en “contra” del movimiento (situaciones que seguramente todos las hemos experimentado) (verfigura 3.15). Una manera de medir la magnitud de esta “acci´n” del campo es a trav´s de la o ecomponente de la fuerza F ˆ en la direcci´n del vector Q − P (que es el que determina la direcci´n o ˆ ˆ odel movimiento) y que est´ dada por: a ⎛ ⎞ ˆ Q−P ⎠ˆ F ·⎝ ˆ ˆ Q−P ˆ Y y Y y •a Y y a {{ P •rrr a {{ Q rr 5 rr r5rr {{ {{ { rr {a{ rr rr 5 r {{ {{ a P• G G G G G G G • G rr 5 rr r5 r {{ a {{ { {{ Q r6 r a rr {{ a {{ 6r •6 P •{{{{ Q G G G X X X ˆ ˆ Figura 3.15: Posibles posiciones de los puntos P y Q N´tese que este n´ mero nos da una medida muy precisa del efecto producido por el campo en o ucada punto del recorrido. Justo cuando el campo no act´a en favor o en contra del movimiento, ueste n´mero es cero; y si no es cero, su valor absoluto es una medida de la magnitud con la que uact´a, y su signo nos dice si lo hace en favor o en contra del movimiento. En la F´ u ısica, a esten´mero, multiplicado por la distancia recorrida, es decir, u ⎛ ⎞ Qˆ−P ˆ F ·⎝ ˆ ⎠· Q−P = F · Q−P ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (3.7) Q−P ˆ ˆ 113 J. P´ez a
  • 120. Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı 3.3. Integrando funciones vectorialesse le conoce como el trabajo realizado por el campo de fuerzas a lo largo de ese segmento. Como es de suponerse, este concepto de trabajo se puede extender a un campo de fuerzasarbitrario y a una trayectoria (o curva) arbitraria que una a dos puntos. Supongamos que tenemosuna funci´n F que a cada punto x del plano le asocia un vector F (ˆ) (tambi´n en el plano) que o ˆ x erepresenta a la fuerza que act´a en x, y que γ : [a, b] ⊂ R → R2 es una funci´n que describe la u ˆ otrayectoria que sigue un objeto para ir de un punto P ˆ = γ(a) hacia un punto Q = γ(b). ¿Cu´l ˆ aes, y c´mo lo calculamos, el trabajo total (o el trabajo “neto”, como ser´ m´s adecuado llamarlo) o ıa arealizado por el campo de fuerzas F a lo largo de la trayectoria descrita por γ? Hagamos lo siguiente: 1. tomemos una partici´n P = {t0 , . . . , tk } del intervalo [a, b] o 2. en cada subintervalo [ti−1 , ti ] elijamos un punto ξi (para cada i = 1, . . ., k ), y 3. supongamos que en cada punto del segmento de recta que une a los puntos γ(ti−1 ) y γ(ti ) el campo de fuerzas F tiene un valor constante F (γ(ξi)) Entonces, de acuerdo con 3.7, el n´mero u F (γ(ξi)) · (γ(ti ) − γ(ti−1 ))es el trabajo realizado por el campo F si el objeto se mueve del punto γ(ti−1 ) hacia el punto γ(ti)sobre el segmento de recta que los une, y ser´ una aproximaci´n a lo que bien podr´ calificarse ıa o ıacomo el trabajo realizado por el campo F , cuando se empieza y se termina en estos mismos puntos,pero siguiendo la trayectoria descrita por γ (restringida al intervalo [ti−1 , ti]). De esta forma, lasuma k F (γ(ξi)) · (γ(ti) − γ(ti−1 )) (3.8) i=1ser´ una buena forma de “medir” el trabajo realizado por el campo F cuando el objeto se mueve a ˆ ˆdel punto P = γ(a) hacia el punto Q = γ(b), siguiendo la trayectoria descrita por γ. La mejor parte de este procedimiento es que si ahora usamos la aproximaci´no γ(ti) − γ(ti−1 ) ≈ (ti − ti−1 ) γ1 (ξi ) , . . . , γn (ξi ) = (ti − ti−1 )γ (ξi )que establecimos en 3.1 para este vector, la suma 3.8 ser´ muy parecida a la suma a k F (γ(ξi)) · γ (ξi ) (ti − ti−1 ) i=1la cual es f´cilmente reconocible como una suma de Riemann de la integral a b F (γ(t)) · γ (t)dt (3.9) a Dado que todas las estimaciones que estamos haciendo, tanto para “medir” el trabajo realizadopor el campo, como para calcular la integral anterior, son mejores en la medida de que la partici´n oP sea cada vez m´s fina, es del todo razonable concluir que la integral 3.9 es la forma m´s adecuada a ade extender el concepto de trabajo realizado por un campo arbitrario F sobre una trayectoria γ,tambi´n arbitraria. eJ. P´ez a 114
  • 121. 3.3. Integrando funciones vectoriales Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı Vale la pena destacar que, al menos en el caso en que F es un campo constante (es decir, queF (ˆ) = F para toda x ∈ R2 ) y γ es la trayectoria que recorre el segmento de recta que une a P x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆcon Q (empezando en P y terminando en Q), la integral 3.9 nos conduce a lo mismo que definimosen 3.7. En efecto, si tomamos γ(t) = P + t Q − P con t ∈ [0, 1], entonces ˆ ˆ ˆ b 1 F (γ(t)) · γ (t)dt = ˆ ˆ ˆ F · Q − P dt a 0 1 =F · Q−P · ˆ ˆ ˆ dt 0 ˆ ˆ ˆ =F · Q−P El concepto (f´ ısico) de trabajo (realizado por un campo de fuerzas) es una de las motivacionesm´s importantes para definir el concepto (matem´tico) de integral de l´ a a ınea (o de trayectoria) deuna funci´n de valores vectoriales. Nuestro siguiente trabajo ser´ formalizar este ultimo concepto y o a ´exponer sus propiedades m´s importantes, la mayor´ de las cuales ser´n motivadas e interpretadas a ıa aen t´rminos de este concepto f´ e ısico.Definici´n 3.5 Sean, F = (F1 , . . . , Fn ) : U ⊂ Rn → Rn una funci´n continua en el conjunto o oU , abierto y conexo, una curva Γ ⊂ U y γ : [a, b] ⊂ R → R n una funci´n suave por pedazos tal oque Γ = γ([a, b]). Definimos la integral de F sobre la curva Γ seg´n la parametrizaci´n γ (que u odenotaremos por Γ F · dγ) como b F · dγ = F (γ(t)) · γ (t)dt Γ a Es relevante destacar que dos de las herramientas m´s importantes que se usan en esta definici´n a oson: 1. las funciones de Rn en Rn con las cuales describimos a los campos de fuerza de la siguiente manera: cada n − ada (x1 , . . . , xn) del dominio representar´ las coordenadas (casi siempre en a un sistema euclideano) del punto x sobre el que act´a la fuerza F (ˆ), que a su vez se represen- ˆ u x tar´ por la n − ada (F1 (x1 , . . . , xn), . . . , Fn (x1 , . . . , xn )) la cual (casi siempre) se interpretar´ a a como las coordenadas de un vector en el mismo sistema euclideano, s´lo que trasladado al o punto x. En cuanto al dominio de estas funciones, de aqu´ en adelante siempre supondremos ˆ ı que es un conjunto abierto y conexo, y para abreviar, a este tipo de conjunto simplemente le llamaremos regi´n. o 2. las funciones de R en Rn suaves por pedazos, con las cuales describiremos a la trayectoria seguida entre dos puntos, y cuyas propiedades ya discutimos anteriormente. Antes de abordar las propiedades b´sicas de este nuevo concepto (y que ser´n muy parecidas a a alas de la integral de l´ ınea de funciones escalares), daremos el siguiente ejemplo.Ejemplo 3.5 Considere la funci´n F (x, y) = (0, −g) para toda (x, y) ∈ R2 , con g ≥ 0. Calcular o Γ F · dγ donde Γ sea: 115 J. P´ez a
  • 122. Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı 3.3. Integrando funciones vectoriales 1. el segmento de recta que va del punto (0, 0) al punto (1, 1), recorrido en esa direcci´n o 2. el arco de la circunferencia con centro en el (0, 1) que une a esos mismos puntos, recorrido en la direcci´n contraria a las manecillas del reloj y cuyo punto inicial es el (0, 0) o 3. el segmento de la par´bola y = x2 que une a estos dos puntos, recorrido del punto (1, 1) al a punto (0, 0) Soluci´n. Para el primer inciso, hacemos γ(t) = (t, t) con t ∈ [0, 1]. Entonces, γ (t) = (1, 1) o para toda t ∈ [0, 1] y por lo tanto 1 F · dγ = (0, −g) · (1, 1)dt Γ 0 1 = −gdt 0 = −g Para el segundo inciso, hacemos γ(t) = (cos(t), sen(t) + 1) con t ∈ [−π/2, 0]. Entonces, γ (t) = (− sen(t), cos(t)) para toda t ∈ [−π/2, 0] y por lo tanto 0 F · dγ = (0, −g) · (− sen(t), cos(t))dt Γ −π/2 0 = −g cos(t)dt −π/2 0 = −g sen(t) −π/2 = −g (sen(0) − sen(−π/2)) = −g Para el ultimo inciso, tomamos γ(t) = (1 − t, (1 − t)2 ) con t ∈ [0, 1]. Entonces, γ (t) = ´ (−1, −2(1 − t)) para toda t ∈ [0, 1] y por lo tanto 1 F · dγ = (0, −g) · (−1, −2(1 − t))dt Γ 0 1 = −g −2(1 − t)dt 0 1 = −g (1 − t)2 0 = −g(0 − 1) =gJ. P´ez a 116
  • 123. 3.3. Integrando funciones vectoriales Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı Los resultados de este ejemplo dar´n lugar a algunas reflexiones importantes acerca de este tipo ade integrales, pero antes veremos sus propiedades b´sicas. a Las dos primeras son totalmente equivalentes a las que vimos para el caso de funciones escalaresy en su formulaci´n casi es suficiente nada m´s cambiar el nombre de la integral. o aProposici´n 3.4 Sean, U ⊂ Rn una regi´n, y Γ ⊂ U una curva suave por pedazos parametrizada o opor la funci´n γ : [a, b] ⊂ R → R . Si F, G : U ⊂ Rn → Rn son continuas y α, β ∈ R entonces o n (αF + βG) · dγ = α F · dγ + β G · dγ Γ Γ ΓProposici´n 3.5 Sean, U ⊂ Rn una regi´n, y Γ, ∆ ⊂ U curvas suaves por pedazos parametrizadas o opor las funciones γ : [a, b] ⊂ R → Rn y δ : [c, d] ⊂ R → Rn , respectivamente, tales que Γ ∪ ∆ essuave por pedazos y est´ parametrizada por γ + δ. Si F : U ⊂ Rn → Rn es continua entonces a F · d(γ + δ) = F · dγ + F · dδ Γ∪∆ Γ ∆ Como es de suponerse, la prueba de estas proposiciones se deja como un problema para el lector. Con respecto a la tercera proposici´n que probamos para el caso de la integral de funciones oescalares, si bien hay una equivalente para el caso de la integral de funciones vectoriales, tenemosque ser m´s cuidadosos a la hora de formularla puesto que, como se puede apreciar en su definici´n, a ola “direcci´n” con que se hace un recorrido afecta la forma que en que “act´a” un campo de fuerzas o u(simplemente tenga presente el lector, por ejemplo, que bajo la influencia del campo gravitatoriode la tierra no es lo mismo ir para “arriba” que para “abajo” (¡como en muchas otras situacionesde la vida!)).Proposici´n 3.6 Sean, U ⊂ Rn una regi´n, Γ ⊂ U una curva suave por pedazos, y F : Γ ⊂ Rn → o oR continua. Si γ : [a, b] ⊂ R → R y δ : [c, d] ⊂ R → Rn son dos parametrizaciones de Γ tales que n nexiste α : [c, d] → [a, b] una biyecci´n de clase C 1 con la propiedad de que δ = γ ◦ α, entonces: o 1. si α preserva la direcci´n, se tiene que o F · dγ = F · dδ Γ Γ 2. si α invierte la direcci´n, se tiene que o F · dγ = − F · dδ Γ Γ En particular F · d(−γ) = − F · dγ Γ ΓDem. Probaremos el segundo inciso y el primero queda como un problema para el lector. En elcaso que nos ocupamos, se tiene que α(c) = b y α(d) = a. Ahora, si en la integral b F (γ(t)) · γ (t)dt a 117 J. P´ez a
  • 124. Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı 3.4. Campos conservativos (primera parte)hacemos el cambio de variable t = α(s), tenemos que b F · dγ = F (γ(t)) · γ (t)dt Γ a c = F (γ(α(s))) · γ (α(s)) · α (s)ds d d =− F (δ(s)) · δ (s)ds c =− F · dδ Γ Con base en el segundo inciso de esta ultima proposici´n podemos concluir que, si en el tercer ´ oinciso del ejemplo 3.5 calculamos Γ F · d(−γ), entonces F · d(−γ) = −g Γde tal forma que el trabajo realizado por el campo F es el mismo para los tres recorridos ah´ ıdescritos (los cuales empiezan en el (0, 0) y terminan en el (1, 1)). Esta caracter´ ıstica de estecampo F constituye el punto de arranque de la siguiente secci´n. o3.4 Campos conservativos (primera parte)Como se recordar´, el tipo de problemas que motivan la definici´n del concepto de integral de l´ a o ıneade funciones escalares, est´n relacionados con el c´lculo de la masa de un alambre o el area de una a a ´barda. As´ si dos alambres coinciden en sus extremos pero son de formas diferentes, aun cuando ı,hubiera una sola funci´n que describa la densidad de masa de ambos alambres, en general no hay oporque esperar que sus masas sean iguales. De esta forma, lo m´s seguro es que las integrales de auna funci´n escalar sobre dos curvas que coinciden en sus puntos extremos, en general no tengan oporque ser iguales (¡lo m´s seguro es que casi nunca lo sean!). a Este no es el caso de la integral de l´ ınea de una funci´n de valores vectoriales. Por el contrario, ocuando se tiene un campo de fuerzas F (ˆ), una de las preguntas importantes a responder es si el xtrabajo realizado por dicho campo a lo largo de una trayectoria γ que une a dos puntos P y Q, ˆ ˆ o o e ˆ ˆdepende de la trayectoria γ que se sigui´, o s´lo de los puntos extremos de ´sta (P y Q) (ver figura3.16). El campo de fuerzas definido por la funci´n del ejemplo 3.5 (que por cierto es la forma en que osuele representarse al campo gravitacional de la tierra a peque˜as escalas y en un plano), pareciera nser uno de esos campos para los cuales el trabajo realizado s´lo depender´ de los puntos extremos o ade la trayectoria y no de ´sta. e En t´rminos m´s t´cnicos, la pregunta que abordaremos en esta secci´n es la siguiente: e a e o ¿si F : U ⊂ Rn → Rn es una funci´n continua, y γ : [a, b] ⊂ R → Rn y δ : [c, d] ⊂ R → Rn o son dos funciones suaves por pedazos, una describiendo una curva Γ ⊂ U y la otra unaJ. P´ez a 118
  • 125. 3.4. Campos conservativos (primera parte) Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı γ1 7 !t • D P γ2 s6 A • Q γ3 X ˆ ˆ Figura 3.16: Distintas curvas (o trayectorias) que inician en P y terminan en Q ˆ ˆ curva ∆ ⊂ U , tales que γ(a) = P = δ(c) y γ(b) = Q = δ(d) (es decir, que empiezan en el mismo punto Pˆ ∈ U y terminan en el mismo punto Q ∈ U ) entonces ˆ F · dγ = F · dδ? Γ ∆ En el caso particular de la funci´n del ejemplo 3.5 es f´cil verificar que esta propiedad s´ se o a ı 2 2cumple. Supongamos que γ = (γ1 , γ2 ) : [a, b] ⊂ R → R y δ = (δ1 , δ2 ) : [c, d] ⊂ R → R satisfacenlas condiciones requeridas y que F es la funci´n dada en ese ejemplo. En particular, tendremos oque: γ2 (a) = δ2 (c) y γ2 (b) = δ2 (d)Entonces, usando el Teorema Fundamental del C´lculo (problema 2), tenemos que a b F · dγ = F (γ(t)) · γ (t)dt Γ a b = (0, −g) · ((γ1(t), γ2 (t))dt a b = −g γ2 (t)dt a = −g (γ2 (b) − γ2 (a)) = −g (δ2 (d) − δ2 (c)) d = −g δ2 (t)dt c d = (0, −g) · (δ1 (t), δ2 (t))dt c 119 J. P´ez a
  • 126. Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı 3.4. Campos conservativos (primera parte) d = F (δ(t)) · δ (t)dt c = F · dδ ∆ El ejemplo anterior sugiere que la clave de nuestra pregunta se encuentra en la expresi´n o F (γ(t)) · γ (t)y si el lector tiene buena memoria, recordar´ que una expresi´n similar a ´sta aparece en la f´rmula a o e ode cambio de variable para integrales de funciones de R en R (ecuaci´n 2.5 del cap´ o ıtulo 2) y que´sta coincidir´ con ser la derivada de una composici´n de funciones, si F tuviera una especie dee ıa o“primitiva”. Las funciones cuya derivada se representa en t´rminos de un vector son las funciones de Rn en eR. En efecto, si ϕ : U ⊂ R → R es una de estas funciones, su derivada en cada punto x ∈ U (a la n ˆcual se le conoce con el nombre de gradiente de ϕ en x y se denota por ∇ϕ(ˆ)) es un vector en Rn , ˆ xde tal forma que si F (ˆ) = ∇ϕ(ˆ) para toda x ∈ U x x ˆ (3.10)entonces F (γ(t)) · γ (t) = ∇ϕ(γ(t)) · γ (t) = (ϕ ◦ γ) (t)para toda t ∈ [a, b], y de esta manera se tiene que b F · dγ = F (γ(t)) · γ (t)dt Γ a b = ∇ϕ(γ(t)) · γ (t)dt a b = (ϕ ◦ γ) (t)dt a b = (ϕ ◦ γ) a = ϕ(γ(b)) − ϕ(γ(a)) ˆ ˆ = ϕ(Q) − ϕ(P )con lo cual concluimos que, si una funci´n F satisface la condici´n 3.10 para alguna funci´n ϕ, o o o¡entonces la integral de l´ ınea de F sobre una curva Γ parametrizada por una funci´n γ s´lo depende o ode los puntos extremos de γ! (y de la funci´n ϕ). ¡Obs´rvese que la identidad o e F · dγ = ϕ(γ(b)) − ϕ(γ(a)) (3.11) Γcuando F (ˆ) = ∇ϕ(ˆ), es una especie de generalizaci´n del Teorema Fundamental del C´lculo! x x o aJ. P´ez a 120
  • 127. 3.4. Campos conservativos (primera parte) Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı De la identidad 3.11 tambi´n se desprende una propiedad que est´ muy relacionada con el e aproblema que planteamos en un principio. N´tese que, si en particular la funci´n γ describe una o otrayectoria cerrada, es decir que γ(a) = γ(b), entonces F · dγ = 0 Γ En resumen, si la funci´n (o el campo) F satisface la condici´n 3.10, entonces necesariamente o osucede lo siguiente: 1. la integral de l´ ınea de F sobre una curva Γ parametrizada por una funci´n γ s´lo depende de o o los puntos extremos de γ 2. la integral de l´ ınea de F sobre cualquier curva Γ parametrizada por una trayectoria cerrada γ, vale cero La mejor parte de esta historia es que ¡es suficiente que alguna de las condiciones anteriores secumpla para que podamos asegurar que existe una funci´n ϕ para la cual se satisface 3.10! o Si una funci´n ϕ satisface la multicitada condici´n 3.10 entonces se dice que la funci´n F es un o o ocampo conservativo (o gradiente) y este concepto lo formalizamos en la siguienteDefinici´n 3.6 Sea F : U ⊂ Rn → Rn una funci´n continua en la regi´n U . Decimos que F es un o o ocampo conservativo (o gradiente) en U si existe ϕ : U ⊂ R → R tal que n F (ˆ) = ∇ϕ(ˆ) x x para toda x ∈ U ˆEn este caso decimos que ϕ es un gradiente (o un potencial)2 de F . Un ejemplo de un campo conservativo es justo el que definimos en el ejemplo 3.5. N´tese que, osi tomamos ϕ(x, y) = −gy entonces ∇ϕ(x, y) = (0, −g) = F (x, y)para toda (x, y) ∈ R2 , es decir, esta funci´n F es un campo conservativo en la regi´n U = R2 , lo o oque por cierto explica los resultados obtenidos en ese ejemplo. Toda la discusi´n anterior queda sintetizada en el siguiente oTeorema 3.1 Sea F = (F1 , . . . , Fn ) : U ⊂ Rn → Rn una funci´n continua en la regi´n U . Las o osiguientes afirmaciones son equivalentes: 1. F es un campo conservativo en U 2. la integral de l´nea de F sobre cualquier curva Γ ⊂ U parametrizada por una funci´n suave ı o por pedazos y cerrada γ vale cero, es decir F · dγ = 0 Γ 2 Como es de suponer, el t´rmino “potencial” proviene de la F´ e ısica. 121 J. P´ez a
  • 128. Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ı 3.4. Campos conservativos (primera parte) 3. la integral de l´nea de F sobre cualquier curva Γ ⊂ U parametrizada por una funci´n suave ı o por pedazos γ s´lo depende de los puntos extremos de γ. Es decir, si γ : [a, b] ⊂ R → Rn y o δ : [c, d] ⊂ R → Rn son dos funciones suaves por pedazos, una describiendo una curva Γ ⊂ U y la otra una curva ∆ ⊂ U , tales que γ(a) = δ(c) y γ(b) = δ(d) entonces F · dγ = F · dδ Γ ∆Dem. 1) ⇒ 2) Se sigue de manera inmediata de la identidad 3.11 y de que γ es una parametrizaci´n ocerrada, es decir, que γ(a) = γ(b). γ(a) = δ(c) • E γ q q 5 ƒ9 u7 u • γ(b) = δ(d) t yt sg −δ Figura 3.17: La curva Γ ∪ ∆ parametrizada por γ + (−δ) 2) ⇒ 3) Sean γ : [a, b] ⊂ R → Rn y δ : [c, d] ⊂ R → Rn son dos funciones suaves por pedazos,una describiendo una curva Γ ⊂ U y la otra una curva ∆ ⊂ U , tales que γ(a) = δ(c) y γ(b) = δ(d).Por estas dos ultimas identidades, y el hecho de que (−δ)(c) = δ(d) = γ(a) y (−δ)(d) = δ(c) = γ(a), ´podemos construir la parametrizaci´n γ + (−δ) de Γ ∪ ∆ y adem´s concluir que es cerrada (ver o afigura 3.17). De esta forma, por la hip´tesis tenemos que o F · d(γ + (−δ)) = 0 Γ∪∆Por otra parte, por la proposici´n 3.5 y el segundo inciso de la proposici´n 3.6, sabemos que o o F · d(γ + (−δ)) = F · dγ + F · d(−δ) Γ∪∆ Γ ∆ = F · dγ − F · dδ Γ ∆con lo cual, considerando ambas identidades, obtenemos el resultado deseado. 3) ⇒ 1) Sea x0 ∈ U un punto fijo. Definiremos ϕ : U ⊂ Rn → R de la siguiente manera: dado ˆx ∈ U , hacemosˆ ϕ(ˆ) = x F · dγ Γen donde Γ ⊂ U es cualquier curva formada por segmentos paralelos a los ejes coordenados (enel problema 18 se pide probar que siempre existe al menos una de estas curvas) (ver figura 3.18)J. P´ez a 122
  • 129. 3.4. Campos conservativos (primera parte) Cap´tulo 3. Integrando sobre curvas ıparametrizada por una funci´n suave por pedazos γ : [a, b] ⊂ R → Rn tal que γ(a) = x0 y γ(b) = x. o ˆ ˆN´tese que por nuestra hip´tesis, podemos asegurar que el valor ϕ(ˆ) no depende ni de la curva o o xΓ ⊂ U ni de su parametrizaci´n γ, siempre y cuando ´sta ultima empiece en x0 y termine en x. o e ´ ˆ ˆPor esta raz´n, ϕ est´ bien definida. o a U o Γ y b x o • Γh x+thbi b e • o y b x0 • Figura 3.18: La curva Γ ∪ Γh Probaremos ahora que ∇ϕ(ˆ) = F (ˆ) para toda x ∈ U . Para cada i ∈ {1, . . . , n} sabemos que x x ˆ ∂ϕ ϕ(ˆ + hˆi ) − ϕ(ˆ) x e x (ˆ) = lim x ∂xi h→0 hen donde ei es el i − esimo vector b´sico de Rn (el que tiene un 1 en la i − esima coordenada y ˆ ´ a ´cero en las dem´s). a Supongamos que Γ y γ son como en la definici´n de ϕ(ˆ) y sea Γh el segmento de recta que o xva del punto x al punto x + hˆi y γh (t) = x + thˆi con t ∈ [0, 1], una parametrizaci´n de ´ste (ver ˆ ˆ e ˆ e o efigura 3.18). Usando estas curvas y sus parametrizaciones, podemos escribir que ϕ(ˆ + hˆi ) = x e F · d(γ + γh ) Γ∪Γhy por lo tanto ∂ϕ ϕ(ˆ + hˆi ) − ϕ(ˆ) x e x (ˆ) = lim x ∂xi h→0 h ⎛ ⎞