Calculus 2, Tom Apostol

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Calculus 2, Tom Apostol

  1. 1. E~"",,~:tek~ no es un proyecto lucrativo, sinoun esfuerzo colectivo de estudiantes y profesores de la UNAMpara facilitar el acceso a los materiales necesarios para laeducación de la mayor cantidad de gente posible. Pensamoseditar en formato digital libros que por su alto costo, o bienporque ya no se consiguen en bibliotecas y librerías, no sonaccesibles para todos.Invitamos a todos los interesados en participar en este proyecto asugerir títulos, a prestamos los textos para su digitalización y aayudarnos en toda la labor técnica que implica su reproducción.El nuestro, es un proyecto colectivo abierto a la participación decualquier persona y todas las colaboraciones son bienvenidas.Nos encuentras en los Talleres Estudiantiles de la Facultad deCiencias y puedes ponerte en contacto con nosotros a la siguientedirección de correo electrónico:eduktodos@gmail.com http:// eduktodos. dyndns. org
  2. 2. Calculus
  3. 3. TOIIl M. Apostol CALCULUS VOLUMEN 11 Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a lasecuaciones diferenciales y a las probabilidades Segunda edición EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Barcelona-Bogotá-Buenos Ai res-Caraca s-México
  4. 4. Título de la obra original:CALCULUS, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra,With Applications to DitTerential Equations and ProbabilityEdición original en lengua inglesa publicada por:Blaisdell Publishing Company, Waltham, MassachusettsCopyright © by Blaisdell Publishing CompanyVersión española por:Dr. D. Francisco V élez CantarellProfesor de la Universitat de BarcelonaRevisada por:Dr. D. Enrique Linés EscardóCatedrático de la Facultad de Ciencias de la Universidad de MadridPropiedad de:EDITORIAL REVERTÉ, S.A. y REVERTÉ EDICIONES, S.A. DE CVLoreto, 13-15, Local B Río Pánuco 141 Col. Cuauhtémoc08029 Barcelona c.r. 06500 México, D.F.Tel: (34) 934193336 Tel: 55-33-56-58 al 60Fax: (34) 934195189 Fax: 55-14-67-99E-mail: reverte@reverte.com E-mail: resavbp@data.net.mxInternet: http://www.reverte.comReservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, porcualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento in-formático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo pú-blicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorización escrita de los titulares delcopyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes.2". EDICIÓNEdición en español© EDITORIAL REVERTÉ, S. A., 1985© REVERTÉ EDICIONES, S.A. DE C.V., 200178 REIMPRESIÓN: MARZO DE 2002ISBN: 84-291-5001-3 (Obra completa) EspañaISBN: 84-291-5003-X (Tomo 2)ISBN: 698-6708-12-X (Obra completa) MéxicoISBN: 698-6708-11-1 (Tomo 2)Depósito legal: B-13143-2002Impreso por DomingrafImpressorsPoI. Ind. Can MagarolaPje. Autopista, Nave 1208100 Mollet del Vallés (Barcelona)
  5. 5. aJane y Stephen
  6. 6. PRÓLOGO Este libro es una continuación de mi Ca1culus, volumen 1, segunda edición.El presente volumen fue escrito con el mismo plan fundamental que inspiró alprimero. Un adecuado enfoque hacia la técnica se combina con un rigurosodesarrollo teórico. Se ha procurado hacer llegar al estudiante el espíritu de lamatemática moderna sin exagerar el formalismo. Como en el volumen 1, se hanincluido comentarios de tipo histórico para hacer vivir al lector la evolución delas ideas. El segundo volumen está dividido en tres partes, tituladas; Análisis lineal,Análisis no lineal, y Temas especiales. Los dos últimos capítulos del volumen 1han sido repetidos y son los dos primeros capítulos del volumen Il, de modo quetoda la materia relativa al álgebra lineal está completa en cada volumen. La parte 1 contiene una introducción al álgebra lineal, incluyendo transfor-maciones lineales, matrices, determinantes, autovalores y formas cuadráticas.Se dan aplicaciones al análisis, en particular al estudio de las ecuaciones diferen-ciales lineales. Se estudian los sistemas de ecuaciones diferenciales con la ayudadel cálculo matricial. Se demuestran los teoremas de existencia y unicidad pormedio del método de Picard de aproximaciones sucesivas, que también se tratautilizando los operadores de contracción. En la parte 2 se discute el cálculo de funciones de varias variables. El cálculodiferencial se unifica y simplifica con la ayuda del álgebra lineal. Se incluyenreglas de la cadena para campos escalares y vectoriales, y aplicaciones a lasecuaciones diferenciales en derivadas parciales y a problemas de extremos. Encálculo integral se incluyen integrales de línea, integrales múltiples y de superficie,con aplicaciones al análisis vectorial. En esto la exposición sigue más o menos lalínea clásica y no incluye un desarrollo formal de las formas diferenciales. Los temas especiales tratados en la parte 3 son Probabilidades y Análisisnumérico. El de probabilidades está dividido en dos capítulos, uno que trata delos espacios muestrales finitos o infinitos numerables; el otro de espacios mues-trales no numerables, variables aleatorias, y funciones de distribución. Las apli-caciones se ilustran en el estudio de variables aleatorias uni- y bi-dimensionales. El último capítulo contiene una introducción al análisis numérico, poniendoespecial atención en los distintos tipos de polinomios de aproximación. Terminael libro con un estudio de las fórmulas de integración aproximada, tales como laregla de Simpson y una discusión de la fórmula de sumación de Euler. VII
  7. 7. VIII Prólogo En este volumen hay materia suficiente para un curso anual completo contres o cuatro sesiones semanales. Presupone un conocimiento del cálculo con unavariable como se desarrolla en la mayoría de los cursos del primer año de cálculo.El autor ha imaginado el curso con cuatro sesiones semanales, dos de exposiciónpor parte del profesor y dos para preguntar a los alumnos, empleando aproxima-damente diez semanas en cada parte y omitiendo las secciones señaladas conasterisco. Este segundo volumen ha sido planeado de modo que muchos capítulospueden omitirse en cursos abreviados. Por ejemplo, el último capítulo de cadaparte puede suprimirse sin romper la continuidad de la exposición. La parteprimera proporciona material para un curso combinado de álgebra lineal y deecuaciones diferenciales ordinarias. Cada profesor puede elegir los temas adecua-dos a sus necesidades y preferencias consultando el diagrama de la página si-guiente que muestra la interdependencia lógica de los capítulos. Una vez más reconozco con agrado el asesoramiento de numerosos amigos ycolegas. Al preparar la segunda edición recibí valiosa ayuda de los profesoresHerbert s. Zuckerman de la Universidad de Washington, y Basil Gordon de laUniversidad de California, Los Angeles, cada uno de los cuales sugirió variasmejoras. Agradezco también al personal de la Blaisdell Publishing Company sucooperación y ayuda. Como en otras ocasiones me da especial satisfacción expresar mi gratituda mi esposa por su valiosa y variada contribución. En reconocimiento le dedicogustosamente este libro. T. M. A.Pasadena, California
  8. 8. Interdependencia lógica de los capítulos IX 1 ESPACIOS LINEALES I 2 15 INTRODUCCIÓN TRANSFORMACIONES AL ANÁLISIS LINEALES NUMÉRICO Y MATRICES 3 DETERM INANTES 8 10 13 6 CÁLCULO DIFEREN INTEGRALES FUNCIONES DE ECUACIONESDIFERENCIALES CIAL EN CAMPOS ESCALARES Y •.... DE LíNEA CONJUNTO Y PROBABILIDADES LINEALES VECTORIALES ELEMENTALES 4 I r- AUTOVALORES y I AUTOVECTORES 7 11 SISTEMAS IDE ECUACIONESDIFERENCIALES 5 INTEGRALES MÚLTIPLES I 14 AUTOV ALORES DE OPERADORES QUE ACTÚAN EN ESPACIOS "1 I CÁLCULO DE PROBABILIDADES EUCLíDEOS 9 12 APLICACIONES INTEGRALES DEL CÁLCULO DE DIFERENCIAL SUPERFICIE
  9. 9. íNDICE ANALíTICO Parte 1. Análisis lineal 1. ESPACIOS LINEALES1.1 Introducción 31.2 Definición de espacio lineal 31.3 Ejemplos de espacios lineales 51.4 Consecuencias elementales de los axiomas 71.5 Ejercicios 81.6 Subespacios de un espacio lineal 91.7 Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal 111.8 Bases y dimensión 141.9 Componentes 151.10 Ejercicios 161.11 Productos interiores, espacios euclídeos. Normas 171.12 Ortogonalidad en un esp-acio euclídeo 211.13 Ejercicios 241.14 Construcción de conjuntos ortogonales. Método de Gram-Schmidt 261.15 Complementos ortogonales. Proyecciones 311.16 Aproximación óptima de elementos de un espacio euclídeo por elementos de un subespacio de dimensión finita 341.17 Ejercicios 36 2. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES2.1 Transformaciones lineales 392.2 Núcleo y recorrido 412.3 Dimensión del núcleo y rango de la transformación 42 XI
  10. 10. XII In dice analítico 2.4 Ejercicios 44 2.5 Operaciones algebraicas con transformaciones lineales 46 2.6 Inversas 48 2.7 Transformaciones lineales uno a uno 51 2.8 Ejercicios 53 2.9 Transformaciones lineales con valores asignados 55 2.10 Representación matricial de las transformaciones lineales 56 2.11 Construcción de una representación matricial en forma diagonal 60 2.12 Ejercicios 62 2.13 Espacios lineales de matrices 63 2.14 Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices 65 2.15 Multiplicación de matrices 66 2.16 Ejercicios 70 2.17 Sistemas de ecuaciones lineales 72 2.18 Técnicas de cálculo 75 2.19 Inversas de matrices cuadradas 80 2.20 Ejercicios 83 2.21 Ejercicios varios sobre matrices 84 3. DETERMINANTES 3.1 Introducción 87 3.2 Justificación de la elección de los axiomas para una función determinante 88 3.3 Conjunto de axiomas que definen una función determinante 90 3.4 Cálculo de determinantes 93 3.5 El teorema de unicidad 96 3.6 Ejercicios 97 3.7 Producto de determinantes 99 3.8 Determinante de la matriz inversa de una matriz no singular 101 3.9 Determinantes e independencia de vectores 102 3.10 Determinante de una matriz diagonal en bloques 102 3.11 Ejercicios 104 3.12 Fórmulas para desarrollar determinantes. Menores y cofactores 105 3.13 Existencia de la función determinante 110 3.14 Determinante de una matriz transpuesta 112 3.15 La matriz cofactor 113 3.16 Regla de Cramer 115 3.17 Ejercicios 116
  11. 11. lndice analítico XIII 4. AUr¡OVALORES y AUTOVECTORES4.1 Transformaciones lineales representadas mediante matrices dia- gonales 1194.2 Autovectores y autovalores de una transformación lineal 1204.3 Independencia lineal de autovectores correspondientes a auto- valores distintos 1234.4 Ejercicios 1254.5 Caso de dimensión finita. Polinomios característicos 1264.6 Cálculo de autovalores y autovectores en el caso de dimensión finita 1284.7 Traza de una matriz 1314.8 Ejercicios 1324.9 Matrices que representan la misma transformación lineal. Matrices lineales 1344.10 Ejercicios 139 5. AUTOVALORES DE OPERADORES EN ESP ACrOS EUCLÍDEOS5.1 Autovalores y productos interiores o escalares 1415.2 Transformaciones hermitianas y hemi-hermitianas 1425.3 Autovalores y autovectores de los operadores hermitianos y hemi-hermitianos 1455.4 Ortogonalidad de los autovectores correspondientes a autova- lores distintos 1455.5 Ejercicios 1465.6 Existencia de un conjunto ortonormal de autovectores para operadores hermitianos y hemi-hermitianos que actúan en es- pacios de dimensión finita 1485.7 Representación matricial para operadores hermitianos y hemi- hermitianos 1495.8 Matrices hermitianas y hemi-hermitianas. Matriz adjunta de una matriz 1505.9 Diagonalización de una matriz hermitiana o hemi-hermitiana 1515.10 Matrices unitarias. Matrices ortogonales 1525.11 Ejercicios 1545.12 Formas cuadráticas 1565.13 Reducción de una forma cuadrática real a forma diagonal 1595.14 Aplicaciones a la Geometría Analítica 1615.15 Ejercicios 166
  12. 12. XIV Indice analítico* 5.16 Autovalores de una transformación simétrica obtenidos como valores de su forma cuadrática 166* 5.17 Propiedades relativas a extremos de los autovalores de una transformación simétrica 168* 5.18 Caso de dimensión finita 170 5.19 Transformaciones unitarias 170 5.20 Ejercicios 174 6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 6.1 Introducción histórica 175 6.2 Revisión de los resultados relativos a las ecuaciones de primer y segundo orden 176 6.3 Ejercicios 178 6.4 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n 179 6.5 Teorema de existencia y unicidad 181 6.6 Dimensión del espacio solución de una ecuación lineal ho- mogénea 181 6.7 Álgebra de operadores de coeficientes constantes 182 6.8 Determinación de una base de soluciones para ecuaciones li- neales con coeficientes constantes por factorización de ope- radores 185 6.9 Ejercicios 190 6.10 Relación entre las ecuaciones homogéneas y no homogéneas 192 6.11 Determinación de una solución particular de la ecuación no homogénea. Método de variación de constantes 193 6.12 No singularidad de la matriz wronskiana de n soluciones inde- pendientes de una ecuación lineal homogénea 198 6.13 Métodos especiales para determinar una solución particular de la ecuación no homogénea. Reducción a un sistema de ecua- ciones lineales de primer orden 200 6.14 Método del anulador para determinar una solución particular de la ecuación no homogénea 201 6.15 Ejercicios 204 6.16 Ejercicios varios sobre ecuaciones diferenciales lineales 206 6.17 Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes analíticos 207 6.18 La ecuación de Legendre 211 6.19 Polinomios de Legendre 215 6.20 Fórmula de Rodrigues para los polinomios de Legendre 217 6.21 Ejercicios 218
  13. 13. lndice analítico xv 6.22 Método de Frobenius 222 6.23 Ecuación de Bessel 224 6.24 Ejercicios 231 7. SISTEMAH DE ECUACIONES DIFERENCIALES 7.1 Introducción 235 7.2 Cálculo con funciones matriciales 238 7.3 Series de matrices. Normas de matrices 239 7.4 Ejercicios 241 7.5 Exponencial de una matriz 242 7.6 Ecuación diferencial que se satisface por etA 243 7.7 Teorema de unicidad para la ecuación diferencial matricial F(t) = AF(t) 244 7.8 Ley de exponentes para exponenciales de matrices 245 7.9 Teoremas de existencia y unicidad para sistemas lineales ho- mogéneos con coeficientes constantes 246 7.10 El problema de calcular erA 247 7.11 Teorema de Cayley-Hamilton 249 7.12 Ejercicios 251 7.13 Método de Putzer para calcular etA 253 7.14 Otros métodos para calcular etA en casos especiales 256 7.15 Ejercicios 260 7.16 Sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes 261 7.17 Ejercicios 264 7.18 Sistema lineal general Y(t) = P(t)Y(t) + O(t) 266 7.19 Resolución de sistemas lineales homogéneos mediante series de potencias 271 7.20 Ejercicios 272 7.21 Demostración del teorema de existencia por el método de las aproximaciones sucesivas 273 7.22 Aplicación del método de aproximaciones sucesivas a los sis- temas no lineales de primer orden 279 7.23 Demostración de un teorema de existencia y unicidad para sis- temas no lineales de primer orden 281 7.24 Ejercicios 283* 7.25 Aproximaciones sucesivas y puntos fíjos de operadores 285* 7.26 Espacios lineales normados 286* 7.27 Operadores de contracción 287
  14. 14. XVI lndice analítico* 7.28 Teorema del punto fijo para operadores de contracción 289* 7.29 Aplicaciones del teorema del punto fijo 291 Parte 2. Análisis no lineal 8. CALCULO DIFERENCIAL EN CAMPOS ESCALARES Y VECrrORIALES 8.1 Funciones de R" en R". Campos escalares y vectoriales 297 8.2 Bolas abiertas y conjuntos abiertos 298 8.3 Ejercicios 300 8.4 Límites y continuidad 302 8.5 Ejercicios 306 8.6 La derivada de un campo escalar respecto a un vector 308 8.7 Derivadas direccionales y derivadas parciales 310 8.8 Derivadas parciales de orden superior 311 8.9 Ejercicios 312 8.10 Derivadas direccionales y continuidad 313 8.11 La diferencial 314 8.12 Gradiente de un campo escalar 316 8.13 Condición suficiente de diferenciabilidad 318 8.14 Ejercicios 320 8.15 Regla de la cadena para derivadas de campos escalares 321 8.16 Aplicaciones geométricas. Conjuntos de nivel. Planos tangentes 324 8.17 Ejercicios 327 8.18 Diferenciales de campos vectoriales 328 8.19 La diferenciabilidad implica la continuidad 330 8.20 La regla de la cadena para diferenciales de campos vectoriales 331 8.21 Forma matricial de la regla de la cadena 332 8.22 Ejercicios 336* 8.23 Condiciones suficientes para la igualdad de las derivadas par- ciales mixtas 337 8.24 Ejercicios varios 342
  15. 15. In dice analítico XVII 9. APLICACIONES DE CÁLCULO DIFERENCIAL 9.1 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales 345 9.2 Ecuación en derivadas parciales de primer orden con coe- ficientes constantes 346 9.3 Ejercicios 349 9.4 La ecuación de ondas uni-dimensional 351 9.5 Ejercicios 356 9.6 Derivación de funciones definidas implícitamente 359 9.7 Ejemplos resueltos 363 9.8 Ejercicios 368 9.9 Máximos, mínimos y puntos de ensilladura 369 9.10 Fórmula de Taylor de segundo orden para campos escalares 375 9.11 Determinación de la naturaleza de un punto estacionario por medio de los autovalores de la matriz hessiana 378 9.12 Criterio de las derivadas segundas para determinar extremos de funciones de dos variables 380 9.13 Ejercicios 381 9.14 Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange 383 9.15 Ejercicios 387 9.16 Teorema del valor extremo para campos escalares continuos 388 9.17 Teorema de la continuidad uniforme para campos escalares continuos 391 10. INTEGRALES DE LÍNEA10.1 Introducción 39310.2 Caminos e integrales de línea 39310.3 Otras notaciones para las integrales de línea 39410.4 Propiedades fundamentales de las integrales de línea 39610.5 Ejercicios 39910.6 El concepto de trabajo como integral de línea 39910.7 Integrales de línea con respecto a la longitud de arco 40110.8 Otras aplicaciones de las integrales de línea 40210.9 Ejercicios 40310.10 Conjuntos conexos abiertos. Independientes del camino 40510.11 Segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de línea 40610.12 Aplicaciones a la Mecánica 40810.13 Ejercicios 409
  16. 16. XVIII lndice analítico 10.14 El primer teorema fundamental del cálculo para integrales de línea 411 10.15 Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vec- torial sea un gradiente 413 10.16 Condiciones necesarias para que un campo vectorial sea un gradiente 415 10.17 Métodos especiales para construir funciones potenciales 417 10.18 Ejercicios 420 10.19 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales exactas de primer orden 422 10.20 Ejercicios 425 10.21 Funciones de potencial en conjuntos convexos 426 11. INTEGRALES MÚLTIPLES 11.1 Introducción 431 11.2 Particiones de rectángulos. Funciones escalonadas 432 11.3 Integral doble de una función escalonada 433 11.4 Definición de integral doble de una función definida y acotada en un rectángulo 436 11.5 Integrales dobles superior e inferior 436 11.6 Cálculo de una integral doble por integración uni-dimensio- nal reiterada 438 11.7 Interpretación geométrica de la integral doble como un volumen 439 11.8 Ejemplos resueltos 440 11.9 Ejercicios 442 11.10 Integrabilidad de funciones continuas 443 11.11 Integrabilidad de funciones acotadas con discontinuidades 445 11.12 Integrales dobles extendidas a regiones más generales 446 11.13 Aplicaciones a áreas y volúmenes . 450 11.14 Ejemplos resueltos 451 11.15 Ejercicios 453 11.16 Otras aplicaciones de las integrales dobles 455 11.17 Dos teoremas de Pappus 459 11.18 Ejercicios 461 11.19 Teorema de Green en el plano 462 11.20 Algunas aplicaciones del teorema de Green 467 11.21 Condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial bi-dimensional sea un gradiente 468 11.22 Ejercicios 471
  17. 17. lndice analítico XIX* 11.23 Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas 473* 11.24 El número de giros 475* 11.25 Ejercicios 478 11.26 Cambio de variables en una integral doble 479 11.27 Casos particulares de la fórmula de transformación 484 11.28 Ejercicios 488 11.29 Demostración de la fórmula de transformación en un caso particular 490 11.30 Demostración de la fórmula de transformación en el caso general 492 11.31 Extensiones a un número mayor de dimensiones 494 11.32 Cambio de variables en una integral n-múltiple 497 11.33 Ejemplos resueltos 500 11.34 Ejercicios 504 12. INTEGRALES DE SUPERFICIE 12.1 Representación paramétrica de una superficie 509 12.2 Producto vectoriak fundamental 513 12.3 El producto vectorial fundamental, considerado como una nor- mal a la superficie 516 12.4 Ejercicios 517 12.5 Área de una superficie paramétrica 518 12.6 Ejercicios 524 12.7 Integrales de superficie 525 12.8 Cambio de representación paramétrica 527 12.9 Otras notaciones para las integrales de superficie 530 12.10 Ejercicios 532 12.11 Teorema de Stokes 534 12.12 El rotacional y la divergencia de un campo vectorial 537 12.13 Ejercicios 539 12.14 Otras propiedades del rotacional y de la divergencia 540 12.15 Ejercicios 545* 12.16 Reconstrucción de un campo vectorial a partir de su rotacional 546* 12.17 Ejercicios 551 12.18 Extensiones del teorema de Stokes 552 12.19 Teorema de la divergencia (teorema de Gauss) 557 12.20 Aplicaciones del teorema de la divergencia 561 12.21 Ejercicios 563
  18. 18. xx lndice analítico Parte 3. Temas especiales 13. FUNCIONES DE CONJUNTO Y PROBABILIDAD ELEMENTAL13.1 Introducción histórica 57113.2 Funciones de conjunto con aditividad finita 57213.3 Medidas con aditividad finita 57413.4 Ejercicios 57513.5 Definición de probabilidad para espacios muestrales finitos 57713.6 Terminología propia del cálculo de probabilidades 57913.7 Ejercicios 58113.8 Ejemplos resueltos 58113.9 Ejercicios 58413.10 Algunos principios básicos de análisis combinatorio 58613.11 Ejercicios 59113.12 Probabilidades condicionadas 59213.13 Independencia 59513.14 Ejercicios 59713.15 Experimentos o pruebas compuestas 59813.16 Pruebas de Bernoulli 60313.17 Número más probable de éxitos en n pruebas de Bernoulli 60513.18 Ejercicios 60813.19 Conjuntos numerables y no numerables 61013.20 Ejercicios 61413.21 Definición de probabilidad para espacios muestrales infini- tos numerables 61513.22 Ejercicios 61713.23 Ejercicios variados sobre probabilidades 618 14. CÁLCULO DE PROBABILIDADES14.1 Definición de probabilidad para espacios muestrales no nu- merables 62114.2 Numerabilidad del conjunto de puntos con probabilidad po- sitiva 62214.3 Variables aleatorias 62314.4 Ejercicios 625
  19. 19. Indice analítico XXI14.5 Funciones de distribución 62614.6 Discontinuidad de las funciones de distribución 63014.7 Distribuciones discretas. Funciones de masa de probabilidad 63414.8 Ejercicios 63714.9 Distribuciones continuas. Funciones de densidad 63914.10 Distribución uniforme sobre un intervalo 64114.11 Distribución de Cauchy 64614.12 Ejercicios 64714.13 Distribuciones exponenciales 64914.14 Distribuciones normales 65214.15 Observaciones sobre distribuciones más generales 65614.16 Ejercicios 65714.17 Distribuciones de funciones de variables aleatorias 65814.18 Ejercicios 66014.19 Distribución de variables aleatorias bidimensionales 66014.20 Distribuciones discretas bidimensionales 66314.21 Distribuciones continuas bidimensionales. Funciones de densidad 66414.22 Ejercicios 66614.23 Distribuciones de funciones de dos variables aleatorias 66814.24 Ejercicios 67314.25 Esperanza y varianza 67614.26 Esperanza de una función de una variable aleatoria 68014.27 Ejercicios 68114.28 Desigualdad de Chebyshev 68314.29 Leyes de los grandes números 68514.30 El teorema central del límite 68914.31 Ejercicios 691 Referencias citadas 692 15. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS NUMÉRICO15.1 Introducción histórica 69515.2 Aproximaciones por polinomios 69715.3 Aproximaciones polinómicas y espacios lineales normados 69815.4 Problemas fundamentales en la aproximación por polinomios 70015.5 Ejercicios 70315.6 Polinomios de interpolación 70515.7 Puntos de interpolación igualmente separados 70815.8 Análisis del error de la interpolación por polinomios 709
  20. 20. XXII lndice analítico 15.9 Ejercicios 713 15.10 Fórmula de interpolación de Newton 716 15.11 Puntos de interpolación igualmente separados. El operador de las diferencias sucesivas 718 15.12 Polinomios factoriales 720 15.13 Ejercicios 721 15.14 Problema de mínimo relativo a la norma del máximo 724 15.15 Polinomios de Chebyshev 725 15.16 Propiedad de mínimo de los polinomios de Chebyshev 728 15.17 Aplicación a la fórmula del error en la interpolación 730 15.18 Ejercicios 730 15.19 Integración aproximada. Regla de los trapecios 733 15.20 Regla de Simpson 736 15.21 Ejercicios 742 15.22 Fórmula de sumación de Euler 745 15.23 Ejercicios 752 Referencias citadas 755 Soluciones a los ejercicios 757 Indice 805
  21. 21. PARTE 1Análisis lineal
  22. 22. 1 ESPACIOS LINEALES1.1 Introducción A 10 largo de la Matemática se encuentran muchos ejemplos de objetos mate-máticos que pueden sumarse unos con otros y multiplicarse por números reales.Ante todo, los números reales son objetos de tal naturaleza, Otros ejemplos sonlas funciones vectoriales, los números complejos, las series y los vectores en elespacio n-dimensional. En este capítulo tratamos un concepto matemático general,llamado espacio lineal, que incluye todos esos ejemplos y muchos otros comocasos particulares. Brevemente, un espacio lineal es un conjunto de elementos de naturalezacualquiera sobre el que pueden realizarse ciertas operaciones llamadas adición ymultiplicación por números. Al definir un espacio lineal no especificamos lanaturaleza de los elementos ni decinios cómo se realizan las operaciones entreellos. En cambio, exigimos que las operaciones tengan ciertas propiedades quetomamos como axiomas de un espacio lineal. Vamos ahora a hacer con detalle unadescripción de esos axiomas.1.2 Definición de espacio lineal Sea V un conjunto no vacío de objetos, llamados elementos. El conjunto Vse llama espacio lineal si satisface los diez axiomas siguientes que se enuncianen tres grupos. Axiomas de clausura AXIOMA 1. CLAUSURA RESPECTO DE LA ADICIÓN. A todo par ae elementos~ e y de V corresponde un elemento único de V llamado suma de x e y, designadopor x + y. 3
  23. 23. 4 Espacios lineales AXIOMA 2. CLAUSURA RESPECTO DE LA MULTIPLICACIÓN POR NÚMEROS REA-LES. A todo x de V y todo número real a corresponde un elemento de V llamadoproducto de a por x, designado por ax. Axiomas para la adición AXIOMA 3. LEY CONMUTATIVA. Para todo x y todo y de V, tenemosx +y =y + x. AXIOMA 4. LEY ASOCIATIVA. Cualesquiera que sean x, y, z de V, tenemos(x + y) + z = x + (y + z). AXIOMA 5. EXISTENCIA DE ELEMENTO CERO. Existe un elemento en V, de-signado con el símbolo O, tal que x+O=x para toao x de V: AXIOMA 6. EXISTENCIA DE OPUESTOS. Para todo x de V, el elemento ( -1)xtiene la propiedad x + (-l)x = O. Axiomas para la multiplicación por números AXIOMA 7. LEY ASOCIATIVA. Para todo x di! V Y todo par de númerosreales a y b, tenemos a(bx) = (ab)x . AXIOMA 8. LEY DISTRIBUTIVA PARA LA ADICIÓN EN V. Para todo x y todoy de V y todo número real a, tenemos a(x + y) = ax + ay. AXIOMA 9. LEY DISTRIBUTIVA PARA LA ADICIÓN DE NÚMEROS. Para todox de V y todo par de números reales a y b, tenemos (a + b)x = ax + bx . AXIOMA 10. EXISTENCIA DE ELEMENTO IDÉNTICO. Para todo x de V, tene-mos Ix = x.
  24. 24. Ejemplos de espacios lineales 5 Los espacios lineales así definidos, se llaman, a veces, espacios Iíneales realespara resaltar el hecho de que se multiplican los elementos de V por númerosreales, Si en los axiomas 2, 7, 8 Y 9 se reemplaza número real por número com-plejo, la estructura que resulta se llama espacio lineal complejo. Algunas vecesun espacio lineal se llama también espacio vectorial lineal o simplemente espaciovectorial; los números utilizados como multiplicadores se llaman escalares. Unespacio lineal real tiene números reales como escalares; un espacio lineal com-plejo tiene como escalares números complejos. Si bien consideraremos principal-mente ejemplos de espacios lineales reales, todos los teoremas son válidos paraespacios lineales complejos. Cuando digamos espacio lineal sin más, se sobrenten-derá que el espacio puede ser real o complejo.1.3 Ejemplos de espacios lineales Si precisamos el conjunto V y decimos cómo se suman sus elementos y cómose multiplican por números, obtenemos un ejemplo concreto de espacio lineal.El lector fácilmente puede comprobar que cada uno de los ejemplos siguientessatisface todos los axiomas para un espacio lineal real. EJEMPLO 1. Sea V = R, el conjunto de todos los números reales, y seanx +y y ax la adición y la multiplicación ordinarias de números reales. EJEMPLO 2. Sea V = e el conjunto de todos los números complejos, defi-nimos x + y como la adición ordinaria de números complejos, y ax como la mul-tiplicación del número complejo x por el número real a. Aunque los elementos deV sean números complejos, éste es un espacio lineal real porque los escalaresson reales. EJEMPLO 3. Sea V = V•• el espacio vectorial de todas las n-plas de núme- ,ros reales, con la adición y la multiplicación por escalares definidas en la formaordinaria en función de los componentes. EJEMPLO 4. Sea V el conjunto de todos lo¡f.-vectores Vn ortogonales a unvector no nulo dado N. Si n = 2, este espacio lineal es una recta que pasa por Ocon N como vector normal. Si n = 3, es un plano que pasa por O con N comovector normal. Los siguientes ejemplos se llaman espacios funcionales. Los elementos de Vson funciones vectoriales, con la suma de dos funciones f y g definidas en la.forma ordinaria: (f + g)(x) = ¡(x) + g(x)
  25. 25. 6 Espacios linealespara todo real x en la intersección de los dominios de I "y g. La multiplicación deuna función I por un escalar real a se define así: al es aquella función cuyo valoren cada x del dominio de I es al(x). El elemento cero es la función cuyos valoresson nulos para todo x. El lector puede comprobar fácilmente que cada uno delos conjuntos siguientes es un espacio funcional. EJEMPLO 5. El conjunto de todas las funciones definidas en un intervalodado. EJEMPLO 6. El conjunto de todos los polinomios. EJEMPLO 7. El conjunto de todos los polinomios de grado ~ n, siendo nfijo. (Siempre que consideremos este conjunto, se sobrentenderá que siempre estáincluido el polinomio nulo.) El conjunto de todos los polinomios de grado iguala n no es una espacio lineal porque no se satisfacen los axiomas de clausura. Porejemplo, la suma de dos polinomios de grado n puede no ser de grado n. EJEMPLO 8. El conjunto de todas las funciones continuas en un intervalodado. Si el intervalo es [a, b]. designamos este espacio con C(a, b). EJEMPLO 9. El conjunto de todas las funciones derivables en un punto dado. EJEMPLO 10. El conjunto de todas las funciones integrables en un intervalodado. EJEMPLO 11. El conjunto de todas las funciones I definidas en el punto 1siendo I( 1) = O. El número O es esencial en este ejemplo. Si reemplazamos O porun número no nulo e, violamos el axioma de clausura. EJEMPLO 12. El conjunto de todas las soluciones de una ecuación diferenciallineal homogénea y" + ay + by = O, donde a y b son constantes dadas. Tambiénaquí es esencial el O. El conjunto de soluciones de una ecuación diferencial nohomogénea no satisface los axiomas de clausura. Estos ejemplos y muchos otros hacen patente cómo el concepto de espaciolineal está extendido por el Álgebra, la Geometría y el Análisis. Cuando se deduceun teorema de los axiomas de un espacio lineal, obtenemos un resultado válidopara cada ejemplo concreto. Unificando varios ejemplos de este modo, consegui-mos un conocimiento más profundo en cada uno. En ocasiones el conocimientode un determinado ejemplo ayuda para anticipar o interpretar resultados válidospara otros ejemplos y pone en evidencia relaciones que de otro modo podríanpasar inadvertidas.
  26. 26. Consecuencias elementales de los axiomas 71.4 Consecuencias elementales de los axiomas Los teoremas que siguen se deducen fácilmente de los axiomas de un espaciolineal. TEOREMA 1.1. UNICIDAD DEL ELEMENTO CERO. En cualquier espacio linealexiste un elemento cero y sólo uno. Demostración. El axioma 5 nos asegura que existe por lo menos un elementocero. Supongamos que existan dos, sean 01 y O2, Haciendo x = 01 Y O = O2 enel axioma 5, obtenemos 01 + O2 = 0 Análogamente, haciendo x = O2 Y 1,O = O" encontramos O2 + 01 = O2, Pero 01 + O2 = O2 + 01 por la ley con-mutativa, así que 01 = O2, TEOREMA 1.2. UNICIDAD DE ELEMENTOS OPUESTOS. En cualquier espaciolineal todo elemento tiene exactamente un opuesto. Esto es, para todo x existeun y, y sólo uno tal que x + y = O. Demostración. El axioma 6 nos dice que cada x tiene por lo menos unopuesto, a saber (-1)x. Supongamos que x tenga dos opuestos, sean Y1 e Y2 En-tonces x + Y1 = O Y x + Y2 = O. Sumando Y2 a los dos miembros de la primeraigualdad y aplicando los axiomas 5, 4 y 3, obtenemos quey Y2 + (x + Yl) = (Y2 + x) + Yt =O + Yl = Yl + O = Yl .Por consiguiente Y1 = Y2, con lo que x tiene exactamente un opuesto, el elemen-to (-l)x. Notación. El opuesto de x se designa por -x. La diferencia y - x se definecomo la suma y + (- x). El teorema siguiente muestra un conjunto de propiedades que rigen loscálculos algebraicos elementales en un espacio lineal. TEOREMA 1.3. En un espacio lineal, designemos con x e y dos elementoscualesquiera y con a y b dos escalares cualesquier .•. Tenemos entonces las pro-piedades siguientes: a) Ox = O. b) aO = O.
  27. 27. 8 Espacios lineales e) (~a)x =- (ax) = a( - x). d) Si ax = O, entonces a = O o x = O, o los dos. e) Si ax =ay y a =1= entonces x O y. = f) Si ax = bx y x =1= entonces a = b. O, g) - (x + y) = ( - x) + ( - y) = - x-y. h) x + x = 2x, x+ x +x = 3x, y en general, L~=l x = nx.Demostraremos a). b) y e) y dejamos como ejercicios las demostraciones de lasotras propiedades. Demostración de a). Sea z = Ox. Deseamos demostrar que z = O. Su-mando z a sí mismo y aplicando el axioma 9, encontramos que z +z= Ox + Ox = (O + O)x = Ox = z.Sumemos ahora - z a ambos miembros y obtenemos z = O. Demostración de b). Sea z = aO, sumar z a sí mismo, y aplicar el axioma 8. Demostración de e), Sea z = (-a)x. Sumando z a ax y aplicando el axio-ma 9, encontramos que z + ax = (-a)x + ax = (-a + a)x = Ox = O ,así que z es el opuesto de ax, z = -(ax). Análogamente, si sumamos a( -x) aax y aplicamos el axioma 8 y la propiedad b), encontramos que a( -x) = -(ax).1.5 Ejercicios En los ejercicios del 1 al 28, determinar si cada uno de los conjuntos dados es unespacio lineal real, si la adición y multiplicación por escalares reales está definida enla forma usual. Para aquellos en los que no es así, decir cuáles son los axiomas que no secumplen. Las funciones de los ejercicios 1 al 17 son reales. En los ejercicios 3, 4 Y 5, cadafunción tiene un dominio que contiene O y 1. En los ejercicios 7 al 12, cada dominio con-tiene todos los números reales. 1. Todas las funciones racionales. 2. Todas las funciones racionales tte. con el grado de 15 que el grado de g (incluyen- do 1=0). 3. Todas las I con 1(0) = 1(1). 4. Todas las I con 2/(0) =1(1). 5. Todas las I con 1(1) = 1 + 1(0). 6. Todas las funciones escalonadas definidas en [O, 1]. 7. Todas las I en las que I(x).~ O cuando x ~ + cc . 8. Todas las funciones pares. 9. Todas las funciones impares.
  28. 28. Subespacios de un espacio lineal 910. Todas las funciones acotadas.11. Todas las funciones crecientes.12. Todas las funciones con período 2lT.13. Todas las I integrables en [0,1] con n I(x)dx = O.14. Todas las I integrables en [0,1] connl(x)dx ~ O.15. Todas las I que satisfacen I(x) = l(l - x) para todo x,16. Todos los polinomios de Taylor de grado S;; n para un n fijo (incluyendo el polino- mio cero).17. Todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y" + P(x)y + Q(x)y = O, siendo P y Q funciones dadas, continuas para todo x.18. Todas las sucesiones reales acotadas.19. Todas las sucesiones reales convergentes.20. Todas las series reales convergentes.21. Todas las series reales absolutamente convergentes.22. Todos los vectores (x, y, z) de V~ con z = O.23. Todos los vectores (x, y, z) de V~ con x = O o y = O.24. Todos los vectores (x, y, z) de V~ con y = 5x.25. Todos los vectores (x,y,z) de Va con 3x+4y= 1, z=O.26. Todos los vectores (x, y, z) de V~ que son productos de (l, 2, 3) por escalares.27. Todos los vectores (x, y, z) de Va cuyos componentes satisfacen un sistema de tres ecua- ciones lineales de la forma28. Todos los vectores de Vn que son combinaciones lineales de dos vectores dados A y B.29. Sea V = R+, el conjunto de los números reales positivos. Definamos la «suma» de dos elementos x e y de V como su producto x ..y (en el sentido ordinario), y definamos la «multiplicación» de un elemento x de V por un escalar e poniendo x». Demostrar que V es un espacio lineal real con el elemento cero.30. a) Demostrar que el axioma 10 puede deducirse de los otros axiomas. b) Demostrar que el axioma 10 no puede deducirse de los otros axiomas si el axioma 6 es reemplazado por el axioma 6: Para todo x de -V y todo y de V tenemos que x+y=O.3í. Sea S el conjunto de todos los pares ordenados (x, ,x?) de números reales. En cada case determinar si S es o no un espacio lineal con las operaciones de adición y multiplica- ción por escalares definidas como se indica. Si el conjunto no es un espacio lineal, indicar cuáles son los axiomas que no se cumplen. a) (Xl X2) + (Yl, Y2) = (Xl + Yl , X2 + Y2), a(Xl, X2) = (aXl O). b) (Xl X2) + (Yl , Y2) = (Xl + Yl , O), a(Xl , X2) = (aXl , ax2)· c) (Xl X2) + (Yl , Y2) = (Xl X2 + Y2), a(Xl X2) = (aXl, ax2)· d) (Xl X2) + (Yl ,Y2) = (Ixl + x21, Iy¡ + Y21), a(Xl X2) = (Jaxll, !ax21)· 32. Demostrar las partes de la d) a la h) del teorema 11.3.1.6 Subespacios de un espacio lineal Dado un espacio lineal V sea S un subconjunto no vacío de V. Si S es tam-bién un espacio lineal, entonces S se llama subespacio de V. El teorema que sigue
  29. 29. 10 Espacios linealesda un sencillo criterio para determinar si un subconjunto de un espacio lineales o no un subespacio. TEOREMA 1.4. Sea S un subconjunto no vacío de un espacio lineal V.Tal subconjunto S es un subespacio si y s610 si satisface los axiomas de clausura. Demostración. Si S es un subespacio, satisface todos los axiomas de unespacio lineal, y por tanto, en particular, los axiomas de clausura. Demostremos ahora que si S satisface los axiomas de clausura, satisfacetambién los otros. Las leyes conmutativa y asociativa para la adición (axiomas3 y 4) y los axiomas para la multiplicación por escalares (axiomas del 7 al 10)se satisfacen automáticamente en S porque son válidos para todos los elementosde V. Falta comprobar los axiomas 5 y 6, la existencia del elemento cero en S,y la existencia de un opuesto para cada elemento de S. Sea x un elemento cualquiera de S. (S tiene por lo menos un elemento ya queno es vacío.) Según el axioma 2, ax está en S para todo escalar a. Tomando a = O,resulta que Ox está en S. Pero Ox = O, en virtud del teorema 1.3 a), con locual O E S, y se satisface el axioma 5. Tomando a = - 1, vemos que (-1)xestá en S. Pero x + (- l)x = O ya que x y (- l)x están ambos en V, así que elaxioma 6 se satisface en S. Por consiguiente S es un subespacio de V. DEFINICIÓN. Sea S un subconjunto no vacío de un espacio lineal V. Unelemento x de V de la forma k X =2 CiXi, i~len donde Xl ••• , x, pertenecen todos a S y cl, ••• , ci son escalares, se denominacombinación lineal de elementos de S. El conjunto- de todas las combinacioneslineales finitas de elementos de S satisface los axiomas de clausura y por tantoes un subespacio de V. Decimos de ese subespacio que está generado por S, otambién le llamamos la envolvente lineal de S, y lo designamos por L(S). Si Ses vacío, definimos L(S) como {a}, el conjunto consta s610 del elemento cero. Conjuntos distintos pueden generar el mismo subespacio. Por ejemplo, el es-pacio V está generado por cada uno de los siguientes conjuntos de vectores: 2{i, j}, {i, j, i + j}, {a, i, - i, j, - j, i + j}. El espacio de todos los polinomios n p(t)de grado :5n está generado por el conjunto de n + 1 polinomios {1, t, t", ... , tn}. También está generado por el conjunto { 1, t/2, t /3, ... , t" /(n + 1)} y por 2{ 1, (1 + t) , (1 + t)2, ... , (1 + t)n}. El espacio de todos los polinomios está ge-nerado por el conjunto infinito de los polinomios { 1, t, t", ... }. Al llegar aquí surgen de modo natural numerosas preguntas. Por ejemplo,¿qué espacios pueden generarse porun número finito de elementos? Si un espacioestá generado por un número finito de elementos, ¿cuál es el menor número deelementos necesarios? Para discutir estas cuestiones y otras con ellas relacionadas
  30. 30. Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal 11introducimos los conceptos de dependencia, independencia, bases y dimensión.Ya en el volumen I. encontramos esas ideas al estudiar el espacio vectorial VnAhora vamos a extenderlas a espacios lineales de tipo general.1.7 Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal DEFINICIÓN. Un conjunto S de elementos de un espacio lineal V se llamadependiente si existe un conjunto finito de elementos distintos de S, Xl> ••• , xi,y un correspondiente conjunto dé escalares c1, ••• , es, no todos cero, tales que k I c.x¡ = O. i=lEl conjunto S se llama independiente si no es dependiente. En tal caso, cuales-quiera que sean los elementos distintos X¡, .•• , x« de S y los escalares c., ... , ci, implica C1 = C2 = ... = Ck = O. Si bien la dependencia y la independencia son propiedades de los conjuntosde elementos, podemos también aplicar esas denominaciones a los elementosmismos. Por ejemplo, los elementos de un conjunto independiente se llaman ele-mentos independientes. Si S es un conjunto finito, la definición anterior está de acuerdo con la dadaen el Volumen 1 para el espacio Vn• No obstante, la definición dada aquí no estárestringida a conjuntos finitos. EJEMPLO 1. Si un subconjunto T de un conjunto S es dependiente, el mismoS es dependiente. Esto es lógicamente equivalente a la afirmación de que todosubconjunto de un conjunto independiente es independiente. EJEMPLO 2. Si un elemento de S es el producto de otro por un escalar, Ses dependiente. EJEMPLO 3. Si O E S. entonces S es dependiente EJEMPLO 4. El conjunto vacío es independiente. En el Volumen 1 fueron discutidos muchos ejemplos de conjuntos dependien-tes e independientes. Los ejemplos que a continuación se comentan, ilustran esosconceptos en espacios funcionales. En cada caso el espacio lineal fundamental Ves el conjunto de todas las funciones reales definidas en la recta real.
  31. 31. i2 Espacios lineales EJEMPLO 5. Sean u,(t) = ces" t , u2(t) sen" t, u,,(t) = 1 para todo núme- =ro real t. La identidad pitagórica prueba que u, + U2 - U3 = O, así que las tresfunciones u,, U2, u" son dependientes. EJEMPLO 6. Sea Uk(t) = tI. para k = O, 1, 2, ... , y t real. El conjuntoS = {un, U,, U2, ••• } es independiente. Para demostrar esto, basta demostrar quepara cada n los n + 1 polinomios Un, U,, ••• , Un son independientes. Una rela-ción de la forma I CkUk = O significa que n(1.1) Ickt k = O k~Opara todo real t. Cuando t = O, encontramos que Co = O. Repitiendo el proceso,encontramos que cada coeficiente Ck es cero. EJEMPLO 7. Si a" ... , a; son números reales distintos, las n funcionesexponencialesson independientes. Podemos demostrar esto por inducción sobre n. El resultadoes trivial cuando n = 1. Por consiguiente, supongamos que es válida para n - 1funciones exponenciales y consideremos los escalares c., ... , CIl tales que n(1.2) Icke akx = O. k~lSea aM el mayor de los n números a" ... , ano Multiplicando ambos miembros de(1.2) por ra.;:, obtenemos n(1.3) I cke(ak-aM)x = O. 1.=1Si k =1= M, el número ai - aM es negativo. Por consiguiente, cuando x ~ + 00 enla ecuación (1.3), cada término con k =1=M tiende a cero y encontramos que CM = O.Suprimiendo el término M-ésimo de (1.2) Y aplicando la hipótesis de inducción,encontramos que cada uno de los n - 1 restantes coeficientes ci es cero. TEOREMA 1.5. Sea S={Xl, ... , xd un conjunto independiente que constade k elementos de un espacio lineal V y sea L(S) el subespacio generado por S.Entonces todo conjunto de k+ 1 elementos rl» US) es dependiente.
  32. 32. Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal 13 Demostración. La demostración es por inducción sobre k, número de ele-mentos de S. Supongamos primero que k= 1. Entonces, por hipótesis, S contieneun solo elemento XI siendo Xl =1= O puesto que S es independiente. Ahora tome-mos en L(S) dos elementos distintos JI e J2 Entonces, cada uno de estos elementoses un escalar multiplicado por Xl, sea JI = CIX e J2 = C2Xl, en donde CI Y C2 no Ison ambos cero. Multiplicando Jl por C2 e J2 por CI Y restando, obtenemosPor 10 tanto Jl e J2 son dependientes, quedando así demostrado el teoremacuando k= 1. Supongamos ahora que el teorema es cierto para k - 1 Y demostremos quetambién 10 es para k. Tomemos un conjunto de k+ 1 elementos en L(S), seaT = {YI , Y2 , •.• , Yk + Queremos probar que T es dependiente. Puesto que cada 1 }.elemento Yi está contenido en L(S), podemos escribir k(1.4) Yi = LaijXj j=1para cada i = 1,2, , ... , k + 1. Examinemos todos los escalares ail que multipli-can a Xl y, para ello, consideremos dos casos en la demostración. CASO 1. ail=O para todo i=1,2, ... ,k+1. En este caso la suma (l.4)no incluye a x,; así cada Ji en T está en la envolvente lineal del conjuntoS = {x 2, ,xd. Pero S es independiente y contiene k-1 elementos. Por induc- •••ción y para k-1, el teorema es cierto, siendo por 10 tanto, T dependiente. Estodemuestra el Caso 1. CASO 2. No son cero todos los escalares a«. Suponemos que a., =1= O.Tomando i = 1 en la ecuación (l.4) Y mu 1tiplicando los dos miembros por ci,siendo ci=ai¡fa obtenemos: ll, k CiY1 = ai1x1 + L cia1jxj. j~2Si de esta ecuación restamos la (l.4), resulta: k CiY1 - Yi = L(cia1j - aij)xj, j~2para i = 2, ... , k + 1. Esta ecuacion expresa cada uno de los elementos CiYI - Yicomo una combinación lineal de los k - 1 elementos independientes X2, ••• , xi.
  33. 33. 14 Espacios linealesPor inducción,los k elementos C¡Yl -Yi deben ser dependientes. En consecuencia,para cualquier elección de escalares t«. ... , tk+l, no todos cero, tenemos k+l ~ t;(C¡Yl - Yi) = O, i~2y de aquí deducimosEsta es una combinación de Yl, ... , Yk+l, que representa el vector cero, de estamanera los elementos Yl," . , Yk+l deben ser dependientes, completando así lademostración.1 ,8 Bases y dimensión DEFINICIÓN. Un conjunto finito S de elementos de un espacio lineal V sellama base finita de V si S es independiente y genera V. El espacio V es dedimensión finita si tiene una base finita. De otro modo, V es de infinitas dimen-siones. TEOREMA 1 .6. Sea V un espacio lineal de dimensión finita. Entonces todabase finita de V tiene el mismo número de elementos. Demostración. Sean S y T dos bases finitas de V. Supongamos que S y Tconstan respectivamente de k y m elementos. Puesto que S es independiente y en-gendra V, el teorema 1.5 nos dice que todo conjunto de k + 1 elementos de Ves dependiente. Por consiguiente, todo conjunto de más de k elementos de V esdependiente. Ya que T es un conjunto independiente, debe ser m :::;; . El mismo krazonamiento con S y T intercambiadas prueba que k :::;; . Por lo tanto k = m. m DEFINICIÓN. Si un espacio lineal V tiene una base de n elementos, el en-tero n se llama dimensión de V. Escribimos n = dim V. EJEMPLO 1. El espacio V" tiene dimensión n. Una base es el conjunto delos n vectores coordenados unitarios. EJEMPLO 2. El espacio de todos los polinomios p(t) de grado :::;; n tienedimensión n + 1. Una base es el conjunto de n + 1 polinomios { 1, t, t", ... , t"}.Todo polinomio de grado :::;;ti es una combinación lineal de esos n + 1 poli-nomios. EJE M PLO 3. El espacio de las soluciones de la ecuacion diferencialy" - 2y - 3y = O tiene dimensión 2. Una base está formada por las dos fun-ciones u¡(x) = «>. u:z(x) = e", Toda solución es una combinación lineal deesas dos.
  34. 34. Componentes 15 EJEMPLO 4. El espacio de todos los polinomios p(t) es de infinitas dimen-siones. El conjunto infinito {1, t, t", ... } genera este espacio y ningún conjuntofinito de polinomios genera el espacio. TEOREMA 1.7. Sea V un espacio lineal de dimensión finita con dim V = n.Se tiene: a) Cualquier conjunto de elementos independiente de V es un subconjuntode una cierta base para V. b) Cualquier conjunto de n elementos independientes es una base para V. Demostración. Para demostrar (a), consideremos el conjunto independienteS ={Xl ... , Xk} constituido por elementos en V. Si L(S) = V, entonces S es unabase. Si no, entonces hay algún elemento y en V que no está en L(S). Añadamosese elemento a S y consideremos el nuevo conjunto S = {Xl ... , x« , y}. Si en esteconjunto dependiente multiplicamos sus elementos por escalares c I, •••Ck+l ,siendo alguno diferente de cero, estableceremos que k .2 c.x¿ + Ck+lY = O. i~lPero Ck+l=l= O puesto que Xl , ••• ,Xk son independientes. De aquí que podamosresolver esta ecuación respecto a y llegando a la conclusión que yE L(S), lo quecontradice el supuesto de que y no pertenece a L(S). Por lo tanto el conjunto S esindependiente y contiene k+ 1 elementos. Si L(S) = V, entonces S es una base y,siendo S un subconjunto de S, la parte (a) queda demostrada. Si S no es una base,entonces podemos proceder con S de igual manera que procedimos con S y consi-derar otro nuevo conjunto S" que contiene k+2 elementos y es independiente.Si S" es una base, (a) queda demostrado. Si no, repetimos el proceso. Debemosllegar a una base después de un número finito de etapas, ya que de otra maneraobtendríamos un conjunto independiente con n+ 1 elementos, contradiciendo elteorema (1.5). Por eso, la parte (a) del teorema (1.7) queda demostrada. Para demostrar la parte (b) consideremos un conjunto independiente S conn elementos. Por la parte (a), S es un subconjunto de base B. Pero por el teore-ma 1.6, la base B tiene exactamente n elementos, por tanto, S =B.1.9 Componentes Sea V un espacio lineal de dimensión n y consideremos una base cuyoselementos e, •... , en se toman en un cierto orden. Una tal base ordenada la con-sideramos como una n-pla (e" ...• en). Si X E V, podemos expresar X como unacombinación lineal de esos elementos base: n(l.S) X = L c.e., i~l
  35. 35. 16 Espacios linealesLos coeficientes en esta ecuación determinan una n-pla de números (e, ... , cn)que está unívocamente determinada por x. En efecto, si tenemos otra represen-tación de x como combinación lineal de e" ... , en, por ejemplo x = L;~l i, dierestando de ( 1 ,5) encontramos que L~lCCi- di)ei = O. Pero ya que los ele-mentos base son independientes, eso implica que ci=di para cada i, con lo cual(e" ... , cn) = (di," ,dn). Los componentes de la n-pla ordenada (c., ... , Cn) determinada por (1.5)se llaman componentes de x respecto a la base ordenada (e" ... , en).l.t O Ejercicios En cada uno de los ejerCICIOS del 1 al 10, S es el conjunto de todos los vectores(x, y, z) de Vo cuyos componentes satisfacen la condición que se da. Determinar si S esun subespacio de Vo Si lo es, calcular dim S.1. x = O. 6. x = yo x = z.2. x + y = O. 7. x2 - y2 = O. 3. x + y + z = O. 8. x + y = 1.4. x =y. 9. Y = 2x y z = 3x.5. x = y = z, 10. x + V + z = O y x - y - z = O. Sea P, el espacio lineal de todos los polinomios de grado :::;; , siendo n fijo. En cada nejercicio del 11 al 20, sea S el conjunto de todos los polinomios I de P. que satisfacen lacondición dada. Determinar si S es un subespacio de P•. Si lo es, calcular dim S.11. 1(0) = O.12. /(0) = O.13. /"(0) = O.14. 1(0) + /(0) = O.15. 1(0) = 10).16. 1(0) = 1(2).17. I es par.18. I es impar.19. I es de grado s; k, siendo k < n, o I = O.20. I es de grado k, siendo k < n, o I = O.21. En el espacio lineal de todos los polinomios reales p(t), describir el subespacio engen- drado por cada uno de los siguientes conjuntos de polinomios y determinar su dimensión. a) {l, t2, t4}; b) {t, t3, t5}; e) {t, t2}; d) {l + t, (1 + t)2}.22. En este ejercicio, L(S) es el subespacio generado por un subconjunto S de un espacio lineal V. Demostrar las proposiciones de la a) a la f). a) S S; L(S). b) Si S S; TS; Vy si T es un subespacio de V. entonces L(S) S; T. Esta propiedad se expresa diciendo que L(S) es el menor subespacio de V que contiene S. e) Un subconjunto S de V es un subespacio de V si y sólo si L(S) = S. d) Si S S; T S; V, entonces L(S) S; L(T). e) Si S Y T son subespacios de V, también lo es S Í T. f) Si S Y T son subconjuntos de V. entonces L(S n T) S;L(S) Í L(T). g) Dar un ejemplo en el que L(S Í T) #- L(S) Í L(T).23. Sea V el espacio lineal de todas las funciones reales definidas en la recta real. Deter- minar si cada uno de los siguientes subconjuntos de V es dependiente o independiente . . Calcular la dimensión del subespacio generado por cada conjunto.
  36. 36. Productos interiores, espacios euclídeos. Normas 17 a) {I, e"x, ebX}, a ;é b. f) reos x, senx}. b) {e"x, xe"X}. g) {cos" X,sen 2 x}. e) {I, eax, xeax}. h) {I, eos 2x,sen2 x}. d) {e"x, xe", x2eaX}. i) {sen x, sen 2x}. e) {eX, e-x, eoshx}. j) {eX eos x, e-X sen x}.24. Sean V un espacio lineal de dimensión finita, y S un subespacio de V. Demostrar cada una de las proposiciones siguientes. a) S es de dimensión finita y dim S ~ dim V. b) dim S = dim V si y sólo si S = V. e) Toda base de S es parte de una base de V. d) Una base de V no contiene necesariamente una base de S.1.11 Productos interiores, espacios euclídeos. Normas En la Geometría euclídea ordinaria, aquellas propiedades que cuentan conla posibilidad de medir longitudes de segmentos rectilíneos y ángulos formados porrectas se llaman propiedades métricas. En nuestro estudio de Vn, definimos laslongitudes y los ángulos en función del producto escalar. Queremos ahora exten-der esas ideas a espacios lineales más generales. Primero introduciremos una ge-neralización del producto escalar, que llamaremos producto interior, y luegodefiniremos la longitud y el Anguloen función de este producto interior. El producto escalar x . y de dos vectores x = (Xl .•. , xn) e y = (Yl, . " Yn)de Vn se definió en el Volumen 1 por la fórmula n(1.6) x· Y = IXiYi i~lEn un espacio lineal general, escribimos (x, y) en lugar de X y para los productosinteriores, y definimos el producto axiomáticamente y no mediante una fórmula.Esto es, establecemos unas ciertas propiedades que queremos que satisfagan losproductos interiores y las consideramos como axiomas. DEFINICIÓN. Un espacio lineal real V tiene un producto interior si a cadapar de elementos x e y de V corresponde un número real único (x, y) que satis-face los siguientes axiomas cualesquiera que sean x, y, z de V y para todos losescalares reales c. 1) (x, y) = (y, x) tconmutatividad, o simetría). 2) (x, y + z) = (x, y) + (x, z) tdistributividad, o linealidad). 3) e(x,y) = (ex, y) (asociatividad, u homogeneidad). 4) (x, x) > O si x rf O (positividad).Un espacio lineal con un producto interior se llama espacio real euclídeo.
  37. 37. 18 Espacios lineales Observación: Haciendo e =O en (3), encontramos que (O, y) =O para todo y. En un espacio lineal complejo, un producto interior (x, y) es un númerocomplejo que satisface los mismos axiomas que los del producto interior real,excepto el de la simetría que se reemplaza por la relación(1/) (x, y) = (y, x) , (Sitnetría hermitianat¡siendo (y, x) el complejo conjugado de (y, x). En el axioma de homogeneidad, elmultiplicador escalar e puede ser cualquier número complejo. Del axioma de lahomogeneidad y (1), llegamos a la relación(3/) (x, ey) = (ey, x) = é(y, x) = é(x, y) . Un espacio lineal complejo con un producto interior se llama espacio euclídeocomplejo. (A veces se usa también la denominación de espacio unitario.) Unejemplo es el espacio vectorial complejo vnCC) brevemente discutido en la sec-ción 12.16 del Volumen I. Aunque nos interesan principalmente los ejemplos de espacios euclídeos rea-les, los teoremas de este capítulo son válidos para espacios euclídeos complejos.Cuando decimos espacio euclídeo, sin más, entenderemos que puede ser real ocomplejo. El lector debiera comprobar que cada ejemplo que sigue satisface todos losaxiomas del producto interior. EJEMPLO l. En Vn sea (x, y) = x . y, el producto escalar ordinario de x e y. EJEMPLO 2. Si x = (x, , x2) e Y = (y, , Y2) son dos vectores de V2, defini-mos (x, y) mediante la fórmulaEste ejemplo pone de manifiesto que pueden existir más de un producto interioren un espacio lineal dado. EJEMPLO 3. Sea C(a, b) el espacio lineal de todas las funciones reales con- t En honor de Charles Hermite (1822-1901) matemático francés que contribuyó muchoal desarrollo del álgebra y del análisis.
  38. 38. Productos interiores, espacios euclídeos. Normas. 19tinuas en un intervalo [a, b]. Definamos un producto interior de dos funcionesf y g con la fórmula (j, g) = J: f(t)g(t) dt .Esta fórmula es análoga a la ecuación (1.6). que define el producto escalar de dosvectores en V n. Los valores de las funciones f(t) y g(t) desempeñan el papel delos componentes x, e y-; y la integración el de la suma. EJEMPLO 4. En el espacio C(a, b), definimos (j, g) = J: w(t)f(t)g(t) dt ,donde w es una función positiva fija de C(a, b.). Tal función se llama función peso.En el ejemplo 3 tenemos w(t) = 1 para todo t. EJEMPLO 5. En el espacio lineal de todos los polinomios reales, definimos (j, g) = foX) e-t¡(t)g(t) dt .Debido al factor exponencial, esta integral impropia converge para todo par depolinomios f y g. TEOREMA 1.8. En un espacio euclídeo V, todo producto interior satisfacela desigualdad de Cauchy-Schwarz: I(x, y)12 ~ (x, x)(y, y) para todo x y (todo yen V.Además, el signo de igualdad es válido si y sólo si x e y SOn dependientes. Demostración. Si ocurre que o bien x=O o y=O la demostración estrivial. Supongamos que x e y no son ambas cero. Sea z=ax+by en donde a y bson escalares que especificaremos después. Tenemos la desigualdad (z,z) ~ O paratodo a y b. Cuando expresamos esta desigualdad en función de x e y con unaelección apropiada de a y b, obtenemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Para expresar (z,z) en función de x e y usaremos las propiedades (I"), (2)Y (3), obteniendo (z; z) = (al- + by, ax + by) = (ax, ax) + (ax, by) + (by, ax) + (by, by) = aii(x, x) + ah(x,y) + bii(y, x) + bb(y,y) 2 o.
  39. 39. 20. Espacios lineales Tomando a=(y,y) y suprimiendo en la desigualdad el factor positivo (y,y),resulta (y, y)(x, x) + bix, y) + b(y, x) + bb ~ O. Ahora, hagamos b= -(x,y). Entonces, b= -(y,x) y la última desigualdad,una vez simplificada, toma la forma (y,y)(x, x) ~ (x,y)(y, x) = l(x,y)12.Esto demuestra la desigualdad de Cauchy-Schwarz. El signo de igualdad es válidosi y sólo si z = O. Esto ocurre si y sólo si x e y son dependientes. EJEMPLO. Aplicando el teorema 1.8 al espacio C(a, b) con el productointerior (j, g) = f~f(t)g(t) dt, encontramos que la desigualdad de Cauchy-Schwarzse transforma en El producto interior puede utilizarse para introducir el concepto métrico delongitud en cualquier espacio euclídeo. DEFINICIÓN. En un espacio euclídeo V, el número no negativo Ilxll definidopor la ecuación Ilxll = (x, X)1/2se denomina norma del elemento x. Cuando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se expresa en función de las nor-mas, toma la forma I(x,y)/ ~ [x] IIyll . Puesto que es posible definir un producto interior de muchas maneras, lanorma de un elemento dependerá del producto interior elegido. Esta falta de uni-cidad era de esperar. Este hecho es análogo al de que podemos asignar númerosdistintos a la medida de la longitud de un segmento rectilíneo dado, según laelección de escala o unidad de medida. El teorema que sigue da las propiedadesfundamentales de las normas que no dependen de la elección de producto interior.
  40. 40. Ortogonalidad en un espacio euclídeo 21 TEOREMA 1.9. En un espacio euclídeo, toda norma tiene las propiedadessiguientes para todos los elementos x e y, y todos los escalares c: a) [x] = O si x = O. b) [x] > O si x o¡é O (positividad). e) [ex] = [e] Ilxll (homogeneidad). d) IIx + yll ~ [x] + I/yll (desigualdad triangular).El signo de igualdad es válido en la desigualdad triangular si y sólo si x e y sondependientes. Demostración. Las propiedades a), b) y e) se deducen inmediatamente delos axiomas del producto interior. Para demostrar d) observemos que [x + yl12 = (x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) + (x, y) + (y, x) = = IIxl12 + IIyl12 + (x,y) + (x, y) .La suma (x, y) + (x, y) es real. La desigualdad de Cauchy-Schwarz prueba que ¡(x, y)1 ~ Ilxll Ilyll y que l(x,y)1 ~ Ilxll lbll. así que tenemos [x + yll2 ~ IIxl12 + IIyl12 + 211xll Ilyll = (11xll + lIy11)2.Esto demuestra d). El signo de igualdad en d) es válido siempre que lo sea en ladesigualdad de Cauchy-Schwarz. Cuando y = ex, siendo e > O, tenemos Ilx + yll = [x + ex] = (1 + c) !Ixll = I[xll + [ex] = Ilxll + Ilyl!. DEFINICIÓN. En un espacio euclídeo real V, el ángulo formado por dos ele-mentos no nulos x e y se define como el número e del intervalo O ~ e ~ tr quesatisface la ecuación(1. 7) ros e= (x, y) . Ilxllllyll Observación: La desigualdad de Cauchy-Schwarz prueba que el cociente del se- gundo miembro de (1.7) está en el intervalo [-1, 1], así que existe sólo un () en [O, 7T] cuyo coseno es igual al de este cociente.L.12 Ortogonalidad en un espacio euclídeo DEFINICIÓN. En un espacio euclídeo V, dos elementos x e y se llaman orto-gonales si su producto interior es cero. Un subconjunto S de V es un conjuntoortogonal si (x, y) = O para todo par de elementos distintos x e y de S. Un con-junto ortogonal se llama ortonormal si cada uno de sus elementos tiene norma 1.
  41. 41. 22 Espacios lineales El elemento cero es ortogonal a todo elemento de V; es el único elementoortogonal a sí mismo. El siguiente teorema demuestra una relación entre ortogona-lidad y dependencia. TEOREMA 1 .10. En un espacio euclídeo V, todo conjunto ortogonal deelementos no nulos es independiente. En particular, en un espacio euclídeo dedisnensián finita con dim V = n, todo conjunto ortogonal que conste de n ele-mentos no nulos es una base para V. Demostración. Sea S un conjunto ortogonal de elementos no nulos de V,y supongamos que una cierta combinación lineal finita de elementos de S es cero,Sea k !CiXi = O, i=ldonde cada x, E S. Formando el producto escalar de cada miembro por Xl yteniendo en cuenta que (Xl Xi) = O si i =1= 1, encontramos que c, (Xl Xl) = O.Pero (XI Xl) =1= O ya que Xl =1= O con lo cual c, = O. Repitiendo el razonamientocambiando x, por x., encontramos que cada e¡ = O. Esto prueba que S es indepen-diente. Si dim V = n y si S consta de n elementos, el teorema 1.7 b) demuestraque S es una base para V. EJEMPLO. En el espacio lineal real C(O, 277") con el producto interior(f, g) = J~lTj(x)g(x) dx, sea S el conjunto de las funciones trigonométricas {uo,u U2, ..• } dadas por l, uo(X) = 1, U2n_1(X) = cos nx, U2n(X) = sen nx , para n = 1,2, ....Si m =1= n, tenemos las relaciones de ortogonalidadasí que S es un conjunto ortogonal. Puesto que ningún elemento de S es el ele-mento cero, S es independiente. La norma de cada elemento de S se calcula fácil-mente. Tenemos (uo , uo) f~lT dx = = 277" y, para n ~ 1, tenemos (U2n-l U2n-1) = I"cos nx dx = o 2 7T, (U2n, . U2n) {2lT 2 = Jo sen nx dx = 7T.
  42. 42. Ortogonalidad en un espacio euclídeo 23Por consiguiente, Iluoll = Vl; y /1 Un 11 = y:;;: para n ~ 1. Dividiendo cada Un porsu norma, obtenemos un conjunto ortonormal {9!O,9!l,9!2, .,. } donde e.• n/llunll. =uAsí pues, tenemos 1 sennx 9!o(x) = . /- , V 217 9!2••(X) = V; , para n ~ 1. En la sección 1.14 demostraremos que todo espacio euclídeo de dimensiónfinita tiene una base ortogonal. El teorema que sigue muestra cómo se calculanlos componentes de un elemento relativos a una tal base. TEOREMA 1 .11. Sea V un espacio euclídeo de dimensión finita n, y supon-gamos que S = {el ... , e••} es una base ortogonal para V. Si un elemento x estáexpresado como una combinación lineal de los elementos de la base, sea ésta(1.8) •• x = 2ciei i=lentonces sus componentes relativos a la base ordenada (el> ... , en) vienen dadospor las fórmulas (x, ej)(1.9) Cj = -(--)e e., para j = 1, 2, ... , n. jEn particular, si S es una base ortonormal, cada e¡ viene dada por(1.10) Demostración. Formando el producto interior de cada miembro de (1,8)con ej, obtenemos n (x, ej) = 2c;(ei, e) = cj(ej, e) i=lpuesto que (e¡, ej) = O si i =1= Esto implica (1.9), y cuando (e¡ , e¡) = 1, obte- j.nemos (1.10). Si {el ... , en} es una base ortonormal, la ecuación (1 .9) puede escribirseen la forma . n(1.11) X = 2(x, ei)ei· i=l
  43. 43. 24 Espacios lineales El siguiente teorema prueba que en un espacio euclídeo real de dimensiónfinita con una base orto normal el producto interior de dos elementos es igual a lasuma de los productos de sus componentes. TEOREMA 1.12. Sea V un espacio euclídeo real de dimensión finita n,y supongamos lJue {el> ... , en} es una base ortonormal para V. Para todo par deelementos x e y de V, tenemos n(1.12) (x, y) = L (x, ei)(y, ei) (Fórmula de Parseval). i=lEn particular, cuando x = y, tenemos n(1.13) IIxl12 = L I(x, i=l e¡)12• Demostración. Formando. el producto interior de ambos miembros de laecuación (1.11) con y, y aplicando la propiedad de linealidad del producto inte-rior, obtenemos (1.12). Cuando x = y, la ecuación (1.12) se reduce a (1.13). Observación: La ecuacion (1.12) se denomina como se indica en honor de M. A. Parseval (aproximadamente 1776-1836), que obtuvo este tipo de fórmula en UD espacio funcional especial. La ecuación (1.13) es una generalización del teorema de Pitágoras.1.13 Ejercicios1. Sean x = (XI"" xn) e y = (YI"" Yn) vectores arbitrarios de Vn. Determinar en cada caso, si (x, y) es un producto interior en Vn, si (x, y) está definido por la fórmula que se da. En el caso en que (x, y) no sea un producto interior, decir cuáles son los axiomas que no se satisfacen. n a) (x, y) = LXi /Yi/ n )1/2 d) (x, y) = ( i~1 x¡y¡ i=l n n n e) (x,y) = L(xi + Yi)2 - LX~ - LY¡ i=l i=l i=l n n e) (X,y) = LXi LYi . i~1 i~12. Supongamos que mantenemos los tres primeros axiomas del producto interior real (simetría, linealidad y homogeneidad) pero reemplazamos el cuarto axioma por uno nue- vo (4): (x, x) = O si y sólo si x = O. Demostrar que o (x, x) > O para todo x;é O o bien (x, x) < O para todo x ;é O.
  44. 44. Ejercicios 25 [Indicación Suponer (x, x) > O para un cierto x ,é O Y (y, y) < O para un cierto y ,é O. En el espacio generado por {x, y}, hallar un elemento z ,é O eon (z, z) = O.] Demostrar que en los ejercicios del 3 al 7 cada una de las proposiciones es válida paratodo par de elementos x e y de un espacio euclídeo real. 3. (x,y) = O si y sólo si [x + yll = [x - yll. 4. (x,y) = O si y sólo si Ilx + yl12 = IIxl12 + Ily112. 5. (x,y) = O si y sólo si [x + cyll :2 [x] para todo e real 6. (x + y,x - y)= O si y sólo si [x] = Ilyll. 7. Si x e y son elementos no nulos que forman un ángulo (), entonces Ilx - yl12 = IIxl12 + lIyl12 - 2 Ilxll lIyll cos (). 8. En el espacio lineal real C(l, e), definimos un producto interior por (f,g) = f: (log x)f(x)g(x) dx. a) Si I(x) = V.;, calcular 11/11. b) Hallar un polinomio de primer grado g(x) = a + bx que sea ortogonal a la función constante I(x) = 1. 9. En el espacio lineal real C( -, 1), sea (J, g) =f=-l f(t)g(t)dt. Considerar las tres fun- ciones U" u2 u3 dadas por U3(t) = 1 +t . Demostrar que dos de ellas son ortogonales, dos forman entre sí un ángulo lT/3, y dos forman entre sí un ángulo lT /6.10. En el espacio lineal P. de todos los polinomios reales de grado ~ n, definimos a) Demostrar que (J, g) es un producto interior para P•. b) Calcular (J, g) cuando l(t) = t Y g(t) = at + b. e) Si I(t) = t, hallar todos los polinomios g ortogonales a l.11. En el espacio lineal de todos los polinomios reales, definimos (J, g) = e-t¡(t)g(t) dt. S;; a) Demostrar que esa integral impropia converge absolutamente para todos los polino- mios I y g. b) Si x.(t) = t" para n = O, 1, 2, ... , demostrar que (X., xm) = (m + n)! . e) Calcular (J, g) cuando l(t) = (t + 1)2 y g(t) = t2 + 1. d) Hallar todos los polinomios de primer grado g(t) = a + bt ortogonales a I(t) = 1 + t.12. En el espacio lineal de todos los polinomios reales, determinar si (/, g) es o no ur; producto interior cuando se define (J, g) con la fórmula que se da. En el caso en que (J, g) no es un producto interior, indicar qué axiomas no son respetados. En e), f y g indican derivadas.

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